固体物理习题课03
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固体物理基础课后1到10题答案
一．本章习题P272习题1.试证理想六方密堆结构中c/a=.一． 说明：C 是上下底面距离，a 是六边形边长。
二． 分析：首先看是怎样密堆的。
如图(书图(a)，P8)，六方密堆结构每个格点有12个近邻。
（同一面上有6个，上下各有3个）上下底面中间各有一个球，共有六个球与之相切，每个球直径为a 。
中间层的三个球相切，又分别与上下底面的各七个球相切。
球心之间距离为a 。
所以球心之间即格点之间距离均为a （不管是同层还是上下层之间）。
三． 证明：如图OA=a ，OO ’=C/2（中间层是上下面层的一半），AB=a O ’是ΔABC 的三垂线交点33'a AB AO ==∴（由余弦定理)330cos 2,30cos 230cos 2222a a x x a ax x a x ===-+=οοο633.1322384132)2()2()3()2(2222222222''≈===∴+=+=+=a c c a ac a ac OA AO OO2．若晶胞基矢c b a ρρρ,,互相垂直，试求晶面族（hkl ）的面间距。
一、分析：我们想到倒格矢与面间距的关系G d ρπ2=。
倒格矢与晶面族 （hkl ）的关系321b l b k b h G ρρρρ++=写出)(321b b b ρρρ与正格子基矢 )(c b a ρρρ的关系。
即可得与晶面族（hkl ） 垂直的倒格矢G ρ。
进而求得此面间距d 。
二、解：c b a ρρρΘ,,互相垂直，可令k c c j b b i a a ρρρρρρ===,,晶胞体积abc c b a v =⨯⋅=)(ρρρ倒格子基矢：kcj b i a abc b a v b j b i a k c abc a c v b ia k c jb abc c b v b ρρρρρρρρρρρρρρρρρρπππππππππ2)(2)(22)(2)(22)(2)(2321=⨯=⨯==⨯=⨯==⨯=⨯=而与 （hkl ）晶面族垂直的倒格矢 222321)()()(2)(2cl b k a h G k cl j b k i a h b l b k b h G ++=∴++=++=ππρρρρρρρρ故（hkl ） 晶面族的面间距222222)()()(1)()()(222cl b k a h cl b k a h G d ++=++==πππρ3．若在体心立方晶胞的每个面中心处加一个同类原子，试说明这种晶体的原胞应如何选择？每个原胞含有几个原子？1．分析：考虑选取原胞的条件：（即布拉菲晶格的最小单元）（1）体积最小的重复结构单元（2）只包含一个格点（3）能反映晶格的周期性应将几个原子组合成一个格点，然后构成原胞。
固体物理习题3PPT课件
x n 1 x n 1 2 x n
(1)
式中，xnn1 ,2 ,3 ,为原子位移； 为恢复力常数。
依题设，原子的振动位移可表示为
xn1xn AAcocosstt nna1qaq
(2)
xn1 Acost n1aq
将(2)式代入(1)式，得
m 2 x n A co t n s 1 a q
N4
2
又因为一维单原子链的色散关系为
ω2 4 β sin2aq 或者 ω2 2β1cosaq
m 2
m
所以 1mω2 β1cosaq
2
得平均总能量 ε 1 mω2A2 2
3.2 证明：在由两种不同质量M、m(M>m)的原子所组成的一维
复式格子中，如果波矢q取边界值 q 2a(a为相邻原子间
距)，则在声学支上，质量为m的轻原子全部保持不动；在光学 支上，质量为M的重原子保持不动。
uAe Ae iqn 2aωt
i1qn ω at
2
n
u B e Be n1
i q n 2 aq b ω t
i 1qn ω a t
2
代入运动方程，得
m ω 2 A β 2 B A β 1 A B iqe a m ω 2 B β 1 A iq B a e β 2 B A
证明：如图所示，设质量为m的轻原子位于2n-1，2n+2，2n+3，... 各点；设质量为M的轻原子位于2n-2，2n，2n+2，…各点。
a
mM
2n-3 2n-2 2n-1 2n 2n+1 2n+2 2n+3
令 表示原子间的恢复力系数，运动方程写为
m x 2 n x 2 n 1 x 2 nx 2 n x 2 n 1
固体物理第三章习题答案
1
4 u n
( ij u )
i j
右边
1
1
4 u n
i(n)
( in u
i(n)
2
2 in
j(n)
nj
u )
2
2 nj
4 u n
( in ( u n u i )
j(n)
nj
nj
(u j u n ) )
T 成正比，说明德拜模型 温的情况下。
3－ 5 设想在一维单原子晶格
中，只激发出一个动量
为
q ( q 0 )的声子，试证明晶体并
不因此而获得物理动量
。
证明：先证下面的式子 1 N
'
： l l l l
' '
e
n
ina ( q l q ' )
l
ll '
1, 0,
略去 项，（因为低温，
1）
d
C
T
m
l
M M
0
a
e
k BT
1
l
M
a
T
0
d
似为无穷大 )
e
k BT
1
(因为低温，频率低的占
主要，所以上限可以近
l
M k T
2 B
a
(e
0
x e
x
2
x 2
1)
2
《固体物理》课后习题答案
1.1 如果将等体积球分别排列成下列结构，设x 表示钢球所占体积与总体积之比，证明结构x简单立方π/ 6 ≈0.52 体心立方3π/ 8 ≈0.68 面心立方2π/ 6 ≈0.74六方密排2π/ 6 ≈0.74 金刚石3π/16 ≈0.34解：设钢球半径为r ，根据不同晶体结构原子球的排列，晶格常数a 与r 的关系不同，分别为：简单立方：a = 2r金刚石：根据金刚石结构的特点，因为体对角线四分之一处的原子与角上的原子紧贴，因此有1.3 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方。
证明：体心立方格子的基矢可以写为面心立方格子的基矢可以写为根据定义，体心立方晶格的倒格子基矢为同理与面心立方晶格基矢对比，正是晶格常数为4π/ a的面心立方的基矢，说明体心立方晶格的倒格子确实是面心立方。
注意，倒格子不是真实空间的几何分布，因此该面心立方只是形式上的，或者说是倒格子空间中的布拉菲格子。
根据定义，面心立方的倒格子基矢为同理而把以上结果与体心立方基矢比较，这正是晶格常数为4πa的体心立方晶格的基矢。
证明：根据定义，密勒指数为的晶面系中距离原点最近的平面ABC 交于基矢的截距分别为即为平面的法线根据定义，倒格子基矢为则倒格子原胞的体积为1.6 对于简单立方晶格，证明密勒指数为(h, k,l)的晶面系，面间距d 满足其中a 为立方边长。
解：根据倒格子的特点，倒格子与晶面族(h, k,l)的面间距有如下关系因此只要先求出倒格，求出其大小即可。
因为倒格子基矢互相正交，因此其大小为则带入前边的关系式，即得晶面族的面间距。
1.7 写出体心立方和面心立方晶格结构的金属中，最近邻和次近邻的原子数。
若立方边长为a ，写出最近邻和次近邻的原子间距。
答：体心立方晶格的最近邻原子数（配位数）为8，最近邻原子间距等于次近邻原子数为6，次近邻原子间距为a ；面心立方晶格的最近邻原子数（配位数）为12，最近邻原子间距等于次近邻原子数为6，次近邻原子间距为a 。
固体物理课后习题答案
(
)
⎞ 2π k⎟= −i + j + k 同理 ⎠ a
(
)
(
)
(
)
2π ⎧ ⎪b1 = a −i + j + k ⎪ 2π ⎪ i− j+k ⎨b 2 = a ⎪ 2π ⎪ ⎪b3 = a i + j − k ⎩
(
)
(
)
(
)
由此可得出面心立方格子的倒格子为一体心立方格子； 所以体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。 2.2 在六角晶系中，晶面常用四个指数（hkil）来表示，如图 所示，前三个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成 1200的 共面轴 a1 , a2 , a3 上的截距为
设两法线之间的夹角满足
K 1 i K 2 = K1 i K 2 cos γ
K 1iK 2 cos γ = = K1 i K 2 2π 2π (h1 i + k1 j + l1 k )i (h2 i + k2 j + l2 k ) a a 2π 2π 2π 2π (h1 i + k1 j + l1 k )i (h1 i + k1 j + l1 k ) i (h2 i + k2 j + l2 k )i (h2 i + k2 j + l2 k ) a a a a
a1 a2 a3 , , ，第四个指数表示该晶面 h k i
在六重轴c上的截距为
c 。证明： l
i = −(h + k )
并将下列用（hkl）表示的晶面改用（hkil）表示：
2
第一章 晶体的结构
( 001) , (133) , (110 ) , ( 323) , (100 ) , ( 010 ) , ( 213) .
固体物理课后习题答案
(
) )
)
1 3 a 4
a 2
(
(
)
2π ⎧ b a 2 × a3 1 = ⎪ Ω ⎪ 2π ⎪ a 3 × a1 ⎨b 2 = Ω ⎪ 2π ⎪ ⎪b3 = Ω a1 × a 2 ⎩
(
) ) )
(
(
Ω = a1 ⋅ a 2 × a 3 =
i a a 2 × a3 = 2 a 2 j 0 a 2
(
k 0 a =i a 2 2 0
(
)
⎞ 2π k⎟= −i + j + k 同理 ⎠ a
(
)
(
)
(
)
2π ⎧ ⎪b1 = a −i + j + k ⎪ 2π ⎪ i− j+k ⎨b 2 = a ⎪ 2π ⎪ ⎪b3 = a i + j − k ⎩
(
)
(
)
(
)
由此可得出面心立方格子的倒格子为一体心立方格子； 所以体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。 2.2 在六角晶系中，晶面常用四个指数（hkil）来表示，如图 所示，前三个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成 1200的 共面轴 a1 , a2 , a3 上的截距为
设两法线之间的夹角满足
K 1 i K 2 = K1 i K 2 cos γ
K 1iK 2 cos γ = = K1 i K 2 2π 2π (h1 i + k1 j + l1 k )i (h2 i + k2 j + l2 k ) a a 2π 2π 2π 2π (h1 i + k1 j + l1 k )i (h1 i + k1 j + l1 k ) i (h2 i + k2 j + l2 k )i (h2 i + k2 j + l2 k ) a a a a
固体物理课后习题解答（黄昆版）第三章
固体物理课后习题解答（黄昆版）第三章黄昆固体物理习题解答第三章晶格振动与晶体的热学性质3.1 已知⼀维单原⼦链，其中第j个格波，在第个格点引起的位移为，µ= anj j sin(ωj_j+ σj) ，σj为任意个相位因⼦，并已知在较⾼温度下每个格波的平均能量为，具体计算每个原⼦的平⽅平均位移。
解：任意⼀个原⼦的位移是所有格波引起的位移的叠加，即µn= ∑ µnj=∑ a j sin(ωj t naq j+σj)j j（1）µ2 n =∑µjnj∑µj*nj=µj2nj+ µ µnj*nj′j j′由于µ µnj?nj数⽬⾮常⼤的数量级，⽽且取正或取负⼏率相等，因此上式得第2 项与第⼀项µ相⽐是⼀⼩量，可以忽略不计。
所以2= ∑ µ 2njn j由于µnj是时间的周期性函数，其长时间平均等于⼀个周期内的时间平均值为µ 2 = 1 T∫0 2 ω+σ 1 2 j aj sin( t naqjj j)dt a=j（2）T0 2已知较⾼温度下的每个格波的能量为KT，µnj的动能时间平均值为1 L T ?1 ?dµ 2 ?ρw a2 T 1= ∫∫dx0?ρnj?= j j∫0 2 ω+ σ= ρ 2 2 T??dt L a sin( t naq)dt w Lanj T0 0 0 ? 2 ?dt??2T0 j j j j 4 j j其中L 是原⼦链的长度，ρ使质量密度，T0为周期。
1221所以Tnj= ρ w La j j=KT（3）4 2µKT因此将此式代⼊（2）式有nj2 = ρωL 2 jµ所以每个原⼦的平均位移为2== ∑ µ 2= ∑KT= KT∑1n njρωL2ρLω2j j j j j3.2 讨论N 个原胞的⼀维双原⼦链（相邻原⼦间距为a），其2N 格波解，当M=m 时与⼀维单原⼦链的结果⼀⼀对应.解答（初稿）作者季正华- 1 -黄昆固体物理习题解答解：如上图所⽰，质量为M 的原⼦位于2n-1，2n+1，2n+3 ……质量为m 的原⼦位于2n，2n+2，2n+4 ……⽜顿运动⽅程：..mµ2n= ?βµ(22n?µ2n+1 ?µ2n?1)..Mµ2n+1 = ?βµ(22n+1 ?µ2n+2 ?µ2n)体系为N 个原胞，则有2N 个独⽴的⽅程i na q⽅程解的形式：iµ2n=Ae[ωt?(2 ) ] µ2n+1=Be[ω?(2n+1)aq]na qµ=将µ2n=Ae[ωt?(2 ) ]2n+1 Be i[ωt?(2n+1) aq]代回到运动⽅程得到若A、B 有⾮零的解，系数⾏列式满⾜：两种不同的格波的⾊散关系：——第⼀布⾥渊区解答（初稿）作者季正华- 2 -第⼀布⾥渊区允许 q 的数⽬黄昆固体物理习题解答对应⼀个 q 有两⽀格波：⼀⽀声学波和⼀⽀光学波。
黄昆版固体物理习题课_03
01/34
设试探解： 将试探解代入方程得到： 由线性齐次方程组有非零解的条件得到：
习题问题讨论三 ——晶格振动与晶体的热力学性质
02/34
当：
代入原方程组得到： 光学支：
声学支：
当：
光学支：B=0 声学支：A=0
习题问题讨论三 ——晶格振动与晶体的热力学性质
03/34
补充题二、设有一纵波：
沿着一维单原子链传播，原子间距为a，最近邻忽作用的恢复 力常数为 试证明：每个原子对时间平均的总能量为：
考虑到晶体中存在有许多不同频率、不同模式的格波，因此总 的均方位移应对所有不同格波进行求和。又由于各振动模式间 是相互独立的，因此有：
当N足够大时，振动频率趋于连续，求和可以用积分代替
习题问题讨论三 ——晶格振动与晶体的热力学性质
11/34
将德拜模型的频率分布函数及最大频率代入得：
（2）非零温度下相应于某频率的格波的平均能量应为格波能 量和该温度下该格波的平均声子数之积，即：
红色标记原子位于2n， 2n+2， 2n+4 ……
习题问题讨论三 ——晶格振动与晶体的热力学性质
19/34
—— 第2n个原子和第2n＋1个原子的运动方程
—— 体系N个原胞，有2N个独立的方程 —— 方程的解
令
习题问题讨论三 ——晶格振动与晶体的热力学性质
20/34
—— A、B有非零的解，系数行列式满足
补充题一、证明在由两种不同质量M,m(M>m)的原子所组成的
一维复式格子中，如果波矢q取边界值
（a为相邻原子
间距），则在声学支上质量为m的轻原子全部保持不动；在光
学支上质量为M的重原子保持不动。
解：如图所示
固体物理吴代鸣 第三章
Ⅱ. 德拜模型
模型要点：
（1）用连续介质中的弹性波替代格波，即以弹性波 的色散关系ω(q)=Cq替代晶格格波的色散关系ω (q); （2）认为晶体中只存在三支弹性波，二支横波和一 支纵波，其色散关系分别为： ωt(q)=Ctq和ωl(q)=Clq。
体系规定：
N个原子组成，共有3N个晶格振动模。
重要结论
(2)T处于低温段时，实验规律与理论不符； 实验结论：CV（低温）～T3
爱因斯坦模型的评价
虽然Einstein模型简单，但与实验符合程度却相 当好，说明晶体比热的量子理论的成功；但极低温下 Einstein模型给出的比热容随温度T下降过快，而实 际上低温热容随温度的变化具有T3关系。只考虑了光 学模的贡献，完全忽略了声学波的贡献。说明 Einstein模型过于简单，需要进一步修正。晶格振动 采取格波形式，它们的频率值是不完全相同的，而是 有一定的分布情况。
0 其中 E (称爱因斯坦温度） kB
讨论
（1）高温情况（Ｔ>>θE): （2）低温情况（Ｔ<<θE):
CV 3 NkB
CV 3 NkB (
E
T
)2 e
T
E
T
T 0时, e
E
T
0, 有CV 3 NkB (
E
T
)2 e
E
0
结论：(1)T趋近于0时的理论结果与实际符合较好；
即Debye的T3定律
关于非谐效应
（1）格临爱森状态方程：
dU E d ln P , 其中 是格临爱森常数。 dV V d ln V CV （2）格临爱森定律： K 0V
表示当温度变化时，热膨胀系数近似与晶格热容量成比例。
黄昆版固体物理学课后答案解析答案 (3)
《固体物理学》习题解答黄昆 原着 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考）第一章 晶体结构、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1∴52.06r8r34a r 34x 3333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 3（4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯n=1232126112+⨯+⨯=6个（5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 3、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(ac 2/1≈=证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是：NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。
…、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。
证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a j k a a i k a a i j ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩r r r r r rr r r由倒格子基矢的定义：1232()b a a π=⨯Ωr r r31230,,22(),0,224,,022a a a a a a a a a a Ω=⋅⨯==r r rQ ，223,,,0,()224,,022i j ka a a a a i j k a a ⨯==-++r rr r r r r r 同理可得：232()2()b i j k ab i j k aππ=-+=+-r rr r r r r r 即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。
固体物理学课后题答案
第一章 晶体结构1.1、 如果将等体积球分别排成下列结构，设x 表示钢球所占体积与总体积之比，证明：结构 X简单立方52.06=π体心立方68.083≈π 面心立方74.062≈π 六角密排74.062≈π 金刚石34.063≈π解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06834343333====πππrra r x （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)334(3423423333≈=⨯=⨯=πππr r a r x （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 374.062)22(3443443333≈=⨯=⨯=πππr r a r x （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个 74.062)22(3443443333≈=⨯=⨯=πππr r a r x （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 334.06333834834833333≈=⨯=⨯=πππr r a r x 1.3、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。
固体物理学答案详细版
原胞的体积 = c (a b) = 1 (3i
3j
3k ) (3i
3
j
)
=13.5*
-30
10
3
(m )
2
1.7 六方晶胞的基失为： a
3a
ai j ， b
2
2
3 ai
a j ，c
ck
2
2
求其倒格子基失，并画出此晶格的第一布里渊区
.
答：根据正格矢与倒格矢之间的关系，可得：
正格子的体积 Ω=a·（ b*c ） = 3 a2c 2
相应波矢：
4
,
5a
2 ,0, 2 , 4
5a
5a 5a
由于
4
qa
sin ，代入 ， m及 q 值
m
2
则得到五个频率依次为（以 rad/sec 为单位）
8.06
× 1013， 4.99 × 1013， 0，4.99 × 1013，8.06 × 1013
3.2 求证由 N 个相同原子组成的一维单原子晶格格波的频率分布函数可以表示为
1.3 二维布拉维点阵只有 5 种，试列举并画图表示之。 答：二维布拉维点阵只有五种类型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。分别如图所示：
正方 a=b a^ b=90°
六方 a=b a^b=120°
矩形 a≠b a^b=90 °
带心矩形 a=b a^b=90 °
平行四边形 a≠ b a^ b≠ 90°
故d
[( h )2
( k )2
(
l
)2]
1 2
a1
a2
a3
1.9 用波长为 0.15405nm 的 X 射线投射到钽的粉末上，得到前面几条衍射谱线的布拉格角
固体物理 课后习题解答(黄昆版)第三章
解
•
w
M M
将
us −1
d 2us = C (Vs −1 − us ) + 10C (Vs − us ) ， dt 2 d 2Vs = 10C ( us − Vs ) + C ( us +1 − Vs ) , dt 2
w
a/2
o
vs −1
. e h c 3 . w
c 10c
m o c
o
•
o
•
us
vs
当 当
k = k x ，且 k y = 0 时的 ω − k 图，和 kx = k y
时的 ω − k 图，如右图所示。
3.5 已知 Nacl 晶体平均每对离子的相互作用能为 U (r ) = −
马德隆常数 α ＝1.75，n＝9，平均离子间距 r0 = 2.82 Å 。 （1）试求离子在平衡位置附近的振动频率
(b)根据题意，
μl ,m = μ (0) exp[i (lk x a + mk y a − ωt )]
) = c[( μl +1,m + μl −1,m − 2μl ,m ) 的解， dt 2 + ( μl ,m +1 + μl ,m −1 − 2μl ,m )] M(
因为
d 2 μl , m
μl ,m = μ (0) exp[i (lk x a + mk y a − ωt )]
代回到运动方程得到
若 A、B 有非零的解，系数行列式满足：
w
两种不同的格波的色散关系：
w
. e h c 3 . w
-2-
m o c
——第一布里渊区
解答（初稿）作者 季正华
•
w
M M
将
us −1
d 2us = C (Vs −1 − us ) + 10C (Vs − us ) ， dt 2 d 2Vs = 10C ( us − Vs ) + C ( us +1 − Vs ) , dt 2
w
a/2
o
vs −1
. e h c 3 . w
c 10c
m o c
o
•
o
•
us
vs
当 当
k = k x ，且 k y = 0 时的 ω − k 图，和 kx = k y
时的 ω − k 图，如右图所示。
3.5 已知 Nacl 晶体平均每对离子的相互作用能为 U (r ) = −
马德隆常数 α ＝1.75，n＝9，平均离子间距 r0 = 2.82 Å 。 （1）试求离子在平衡位置附近的振动频率
(b)根据题意，
μl ,m = μ (0) exp[i (lk x a + mk y a − ωt )]
) = c[( μl +1,m + μl −1,m − 2μl ,m ) 的解， dt 2 + ( μl ,m +1 + μl ,m −1 − 2μl ,m )] M(
因为
d 2 μl , m
μl ,m = μ (0) exp[i (lk x a + mk y a − ωt )]
代回到运动方程得到
若 A、B 有非零的解，系数行列式满足：
w
两种不同的格波的色散关系：
w
. e h c 3 . w
-2-
m o c
——第一布里渊区
解答（初稿）作者 季正华
聊城大学《固体物理》习题课3
2n2 Aeit(n1)aq
••
M 2n 1 2n 2n1 2 2 n 2n1
••
m
2n1 2
2n1
2n2
1 2n1 2n
••
2n1
2Beitnaq
将试探解代入方程得:
M 2 A 1( A B) 2 ( A Beiaq ) m 2B 2 (B Aeiaq ) 1(B A)
a
则每个波矢所占长度： 2 2
Na L
L
一维简单晶格波矢密度：
2
dq间隔内的振动模式数为：
L
2
dq
dω间隔内的振动模式数为： dn 2 L dq
2
dn 2 L dq 2 L dq d
2
2 d
D() dn 2 L dq d 2 d
2 L
2
1
d
dq
0 sin
aq 2
d a0 cos aq a
dE dT
0 0
kB
kBT
2
e kBT
(e kT
1)2
2L
a
(02 2 )d
6、填空
(1)、杜隆-珀替定律认为晶体的摩尔热容量为( 3R
)。
(2)、不管是一维、二维，还是三维晶格，晶格振动的波矢取 值范围都被限制在 ( 第一布里渊区 ) 。
(3)、为了避免一维有限长原子链两端原子与晶体内部原子运
(3)q=0时的光学波频率；
o
2
2 (m m )
m m
(4)长声学波的速度
2e2 (n 1)(m m ) a 3m m
A
2 a | q |,
mM
A
2 a
mM
聊城大学《固体物理》第一章习题课
回答问题要言简意赅，抓住要点进行 阐述。
逻辑清晰
回答内容应条理清晰，层次分明，符 合物理逻辑。
理论依据
结合物理概念和原理进行回答，提供 理论支持。
举例说明
可以举出具体例子来支持自己的观点 和答案。
05 典型习题讲解与答案分析
选择题典型例题及解析
例题1
题目内容
例题2
题目内容
解析
本题考查了XX知识点。根据XX理论，我们可以得出答案 。需要注意的是，选项中的干扰项可能是通过XX方式设 置的，要仔细辨别。
学习建议
认真听讲
在习题课上，要认真听讲，理 解教师的解题思路和方法，注
意记录重点和难点。
独立完成作业
课后应独立完成作业，遇到问题要 认真思考，不要轻易放弃，可以查 阅相关资料或请教老师和同学。
及时复习巩固
完成作业后，应及时复习巩固所 学知识，加深对基本概念和原理 的理解，形成自己的知识体系。
积极思考创新
弹性形变
当外力作用于固体时， 它会发生形变，但外 力撤去后又能恢复原 状。
塑性形变
当外力超过一定限度 时，固体会发生不可 恢复的形变，即塑性 形变。
晶体缺陷
晶体中可能存在的点 缺陷、线缺陷和面缺 陷等，这些缺陷会影 响晶体的物理性质。
03 第一章重点知识梳理与解 析
晶体结构基础知识
晶体与非晶体的区别
01
晶体具有长程有序性、各向异性和固定熔点等特征，而非晶体
则不具备这些特征。
晶体结构的周期性
02
晶体中原子、分子或离子在三维空间内呈周期性排列，形成晶
格。
晶胞的概念
03
晶胞是描述晶体结构的基本单元，通过晶胞可以了解晶体的对
逻辑清晰
回答内容应条理清晰，层次分明，符 合物理逻辑。
理论依据
结合物理概念和原理进行回答，提供 理论支持。
举例说明
可以举出具体例子来支持自己的观点 和答案。
05 典型习题讲解与答案分析
选择题典型例题及解析
例题1
题目内容
例题2
题目内容
解析
本题考查了XX知识点。根据XX理论，我们可以得出答案 。需要注意的是，选项中的干扰项可能是通过XX方式设 置的，要仔细辨别。
学习建议
认真听讲
在习题课上，要认真听讲，理 解教师的解题思路和方法，注
意记录重点和难点。
独立完成作业
课后应独立完成作业，遇到问题要 认真思考，不要轻易放弃，可以查 阅相关资料或请教老师和同学。
及时复习巩固
完成作业后，应及时复习巩固所 学知识，加深对基本概念和原理 的理解，形成自己的知识体系。
积极思考创新
弹性形变
当外力作用于固体时， 它会发生形变，但外 力撤去后又能恢复原 状。
塑性形变
当外力超过一定限度 时，固体会发生不可 恢复的形变，即塑性 形变。
晶体缺陷
晶体中可能存在的点 缺陷、线缺陷和面缺 陷等，这些缺陷会影 响晶体的物理性质。
03 第一章重点知识梳理与解 析
晶体结构基础知识
晶体与非晶体的区别
01
晶体具有长程有序性、各向异性和固定熔点等特征，而非晶体
则不具备这些特征。
晶体结构的周期性
02
晶体中原子、分子或离子在三维空间内呈周期性排列，形成晶
格。
晶胞的概念
03
晶胞是描述晶体结构的基本单元，通过晶胞可以了解晶体的对
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1 i aq 2 2 2
)( e
1 i aq 2 2 1
e
1 i aq 2 2 2
)0
习题问题讨论三 ——晶格振动与晶体的热力学性质
21/34
2 (12 2 2 )2 ( e
1 i aq 2 2 1
e
2 0
1 i aq 2 2 2
2 1
)( e
1 i aq 2 2 1
2 1 2 1 ( m M ) 4 mM 2 2 2 {1 [1 sin aq ] } 2 mM (m M )
—— 对应一个q有两支格波：一支声学波和一支光学波。总 的格波数目为2N
习题问题讨论三 ——晶格振动与晶体的热力学性质
16/34
1 ( m M ) 4 mM 2 2 2 {1 [1 sin aq ] } 2 mM (m M ) 1 ( m M ) 4 mM 2 2 2 {1 [1 sin aq ] } 2 mM (m M )
20
—— 色散关系图
习题问题讨论三 ——晶格振动与晶体的热力学性质
23/34
3.6 计算一维单原子链的频率分布函数()
设单原子链长度 L Na
2 h 波矢取值 q Na Na 状态密度 2
2 每个波矢的宽度 Na
dq间隔内的状态数
Na dq 2
对应q，取值相同， d间隔内的状态数目
( ) A ( e
2 1 2 2 2
1 i aq 2 2 1
e
1 i aq 2 2 2
)B 0
( e
1 i aq 2 2 1
e
1 i aq 2 2 2
2 ) A (12 2 2 )B 0
—— A、B有非零的解，系数行列式满足
( ),
频率分布函数
( )
2N
1
2 0
2
习题问题讨论三 ——晶格振动与晶体的热力学性质
30/34
3.7 设三维晶格的光学振动在q=0附近的长波极限有：
(q) 0 Aq2
证明：频率分布函数
V 1 1/ 2 2 3 / 2 ( 0 ) f ( ) 4 A 0
3.2 讨论N个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为a），其 2N个格波解，当M=m时与一维单原子链的结果一一对应 解：质量为M的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 ……。 质量为m的原子位于2n， 2n+2， 2n+4 ……。 牛顿运动方程
2n (22n 2 n1 2n1 ) m 2 n1 (22n1 2 n 2 2 n ) M
4 aq cos M m m 2 4 aq sin m 2
—— 两种色散关系如图所示
习题问题讨论三 ——晶格振动与晶体的热力学性质
17/34
4 aq cos m 2 4 aq sin m 2
长波极限情况下 q 0
qa qa sin( ) 2 2
0 0
习题问题讨论三 ——晶格振动与晶体的热力学性质
34/34
—— 体系N个原胞，有2N个独立的方程 —— 方程的解
2 n Ae
1 i [t (2 n ) aq ] 2 1 i [t (2 n 1) aq ] 2
2 n 1 Be
令
2 12 1 / m, 2 2 / m
习题问题讨论三 ——晶格振动与晶体的热力学性质
20/34
2 1 2 2 2
( e
1 i aq 2 2 1 2 1
e
2 2
1 i aq 2 2 2 2
)
( e
1 i aq 2 2 1
e
1 i aq 2 2 2
0
), ( )
2 (12 2 2 )2 ( e
1 i aq 2 2 1
e
2 n 1 Be
代回到运动方程
2 (2 m ) A (2 cos aq )B 0 2 (2 cos aq ) A (2 M )B 0
2 cosaq A 、 B 有 2 m 0 2 非零解 2 cosaq 2 M
V q V ds f ( ) 3 (2 ) 2 Aq (2 )3 2 A
习题问题讨论三 ——晶格振动与晶体的热力学性质
33/34
V 1 f ( ) 2 3/ 2 (0 )1/ 2 4 A
因为对于光学波，在 q 0 处振动频率具有最大值 0
V 1 1/ 2 (0 ) 2 3/ 2 频率分布函数 f ( ) 4 A 0
Na ( )d 2 dq 2
习题问题讨论三 ——晶格振动与晶体的热力学性质
28/34
d间隔内的状态数目
一维单原子链色散关系 令
Na ( )d 2 dq 2 4 2 2 aq sin ( ) m 2
aq 0 sin( ) 2 a aq d 0 cos( )dq 2 2
(2
mቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
)q
—— 与一维单原子晶格格波的色散关系一致
18/34
习题问题讨论三 ——晶格振动与晶体的热力学性质
3.3质量相同两种原子形成一维双原子链，最近邻原子间的 力常数交错等于 1 c 和 2 10c ，并且最近邻的间距 a / 2 1) 求出色散关系和分析计算 q 0, q 处格波的频率值 a 2) 大致画出色散关系图 解： 绿色标记的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 ……
0 0
习题问题讨论三 ——晶格振动与晶体的热力学性质
31/34
V ds 振动模式密度函数 f ( ) (2 )3 q ( q)
已知三维色散关系
(q) 0 Aq2
q( q) 2 Aq
1 q 0 A
—— 对于q空间的等频率面，波矢q为常数
红色标记原子位于 2n， 2n+2， 2n+4 ……
习题问题讨论三 ——晶格振动与晶体的热力学性质
19/34
—— 第2n个原子和第2n＋1个原子的运动方程
m2n ( 1 2 ) 2 n 2 2 n1 12 n1 m2n1 ( 1 2 ) 2n1 12n2 2 2 n
—— 两种色散关系
习题问题讨论三 ——晶格振动与晶体的热力学性质
22/34
(11 20cosqa 101)
2 2 0
—— 两种色散关系
q 0 (11 121)
2 2 0
22 0 0
2 2 q 0 (11 81) a 200
—— N 个 原 胞 ， 有 2N个独立的方程
习题问题讨论三 ——晶格振动与晶体的热力学性质
14/34
2n (22n 2n1 2n1 ) m 方程 2n1 (22n1 2n2 2n ) M
的解
2 n Ae
i [t ( 2 na ) q ] i [t ( 2 n 1) aq ]
2
习题问题讨论三 ——晶格振动与晶体的热力学性质
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1 ( m M ) 4 mM 2 2 2 {1 [1 sin aq ] } 2 mM (m M )
两种不同的格波的色散关系
(m M ) 4mM 2 {1 [1 sin aq] } 2 mM (m M )
a d 02 2 dq 2
29/34
0
4 m
两边微分得到
aq 2 cos( ) 1 2 2 0
习题问题讨论三 ——晶格振动与晶体的热力学性质
a d 02 2 dq 2
代入
2 d dq 2 2 a 0
Na N 1 d ( )d 2 dq 2 2 2 0 2
e
1 i aq 2 2 2
)0
c 10c 2 2 , 10 —— 1 c 2 10c 2 0 m m
2 4 4 (110 2 )2 20(1010 )0 cos aq 0
(11 20cosqa 101)
2 2 0