因式分解知识点总结

初中数学之因式分解知识点汇总因式分解1. 因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。

2. 因式分解与整式乘法的关系因式分解与整式乘法都是整式变形，两者互为逆变形。

因式分解是将“和差”的形式化为“积”的形式，而整式乘法是将“积”化为“和差”的形式。

注：分解因式必须进行到每一个多项式的因式都不能再分解为止，即分解因式要彻底。

3. 公因式多项式的各项都含有的公共因式叫做这个多项式各项的公因式。

系数——取各项系数的最大公约数；字母——取各项都含有的字母；指数——取相同字母的最低次幂。

例如：多项式pa+pb+pc 中因式p 即为多项式各项的公因式。

因式分解九大方法：(一)运用公式法：我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。

如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。

于是有：a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。

这种分解因式的方法叫做运用公式法。

(二)平方差公式1.平方差公式(1)式子：a2-b2=(a+b)(a-b)(2)语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

这个公式就是平方差公式。

(三)因式分解1.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。

2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。

(四)完全平方公式(1)把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：a2+2ab+b2 =(a+b)2a2-2ab+b2 =(a-b)2这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。

把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。

上面两个公式叫完全平方公式。

(2)完全平方式的形式和特点①项数：三项②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。

第四章 因式分解1.因式分解一、基本知识点1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫因式分解。

（1）.因式分解是恒等变形；（2）因式分解的对象是多项式；（3）结果是乘积形式；（4）分解后的每一个因式必须是整式；（5）分解到不能再分为止。

2、因式分解与整式乘法的关系：互逆过程。

（整式乘法可以验证因式分解的正确与否） 二、知识拓展与应用1、下列由左到右的变形属于因式分解的是（ ）22221(a+3)(3)9;1(1)();2x 3)(32)A a aB x x xC a b a bD y -=-+=++=++-、、、、6xy-4x+9y-6=（ 2、已知多项式x 4+2x 3－x+m 能因式分解，且有因式x+1. (1)当x=－1时，求多项式x 4+2x 3－x+m 的值。

(2)求m 的值。

3、如图4.1.1是由一个正方形和两个长方形组成的一个大矩形，根据图形，写出一个因式分解的等式。

4、证明：一个三位数的百位上的数字与个位上的数字交换位置，则原数与新数之差能被99整除。

5、多项式x 2－3x －10因式分解的结果是（ ） A 、（ｘ＋２）（ｘ－5） B 、（ｘ＋２）（ｘ+5）C 、（ｘ－２）（ｘ－5）D 、（ｘ－２）（ｘ+5）6、已知关于x 的二次三项式3x 2+mx －n=(x+3)(3x －5),求：m 、n 的值。

7、关于x 的多项式6x 2－11x+m 因式分解后有一个因式2x －3，试求m 的值。

8、试说明817－279－９１３能被４５整除。

２．提起公因式法一、基本知识点１、公因式：多项式各项中都含有的相同的因式（包括数）。

２、公因式的确定：（１）系数（第一项是负数时，提出负号）；确定数字因数；（２）找各项都有的字母；（３）各项都有的字母的最小指数。

３、提公因式法分解因式：（１）确定公因式；（２）用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式；（３）把多项式写成这两个因式的积的形式。

初中数学关于因式分解知识点整理(1)因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.(2)公因式：一个多项式每一项都含有的相同的因式叫做这个多项式的公因式.(3)确定公因式的方法：公因数的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取次数最低的. (4)提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.(5)提出多项式的公因式以后，另一个因式的确定方法是：用原来的多项式除以公因式所得的商就是另一个因式.(6)如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出〝-〞号，使括号内的第一项的系数是正的，在提出〝-〞号时，多项式的各项都要变号.(7)因式分解和整式乘法的关系：因式分解和整式乘法是整式恒等变形的正、逆过程，整式乘法的结果是整式，因式分解的结果是乘积式.(8)运用公式法：如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.(9)平方差公式：两数平方差，等于这两数的和乘以这两数的差，字母表达式：a2-b2=(a+b)(a-b)(10)具备什么特征的两项式能用平方差公式分解因式①系数能平方，(指的系数是完全平方数)②字母指数要成双，(指的指数是偶数)③两项符号相反.(指的两项一正号一负号)(11)用平方差公式分解因式的关键：把每一项写成平方的形式，并能正确地判断出a，b分别等于什么.(l2)完全平方公式：两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方.字母表达式：a2±2ab+b2=(a±b)2(13)完全平方公式的特点：①它是一个三项式.②其中有两项是某两数的平方和.③第三项是这两数积的正二倍或负二倍.④具备以上三方面的特点以后，就等于这两数和(或者差)的平方.(14)立方和与立方差公式：两个数的立方和(或者差)等于这两个数的和(或者差)乘以它们的平方和与它们积的差(或者和). (15)利用立方和与立方差分解因式的关键：能把这两项写成某两数立方的形式.(16)具备什么条件的多项式可以用分组分解法来进行因式分解：如果一个多项式的项分组并提出公因式后，各组之间又能继续分解因式，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式. (17)分组分解法的前提：熟练地掌握提公因式法和公式法，是学好分组分解法的前提.(18)分组分解法的原那么：分组后可以直接提出公因式，或者分组后可以直接运用公式.(19)在分组时要预先考虑到分组后能否继续进行因式分解，合理选择分组方法是关键.。

因式分解知识点总结因式分解是初中数学中的重要知识点，它与解方程、化简式子等许多数学问题有着紧密的联系。

因式分解的核心思想是找出多项式的因子，并将其拆解为更简单的形式。

在本文中，我们将综合讨论因式分解的几种常见方法和技巧。

一、提公因式法提公因式法是最基本也是最常用的因式分解方法之一。

它的核心思想是将多项式中的公因子提出来。

例如，对于多项式2x + 4y，我们可以发现其中的公因子为2。

因此，我们可以将2提取出来，得到2(x + 2y)。

这样，我们就成功将原多项式进行了因式分解。

二、配方法配方法亦称为乘法公式反算法。

它适用于多项式满足一个较为特殊的乘法公式形式，即(a + b)²。

例如，对于多项式x² + 2x + 1，我们可以将其视为(x + 1)²形式。

根据乘法公式，我们可以得到x² + 2x + 1 = (x + 1)²。

通过这样的处理，我们就成功地将多项式进行了因式分解。

三、差平方公式差平方公式是一种常见的因式分解方法，它是通过一个平方差的形式来进行因式分解。

例如，对于多项式x² - y²，我们可以利用差平方公式将其因式分解为(x + y)(x - y)。

通过这样的操作，我们可以看到多项式的差平方已经被成功拆解为两个因子的乘积。

四、分组分解法分组分解法亦称为二次拆分法，它适用于多项式含有四个及以上的项，并且存在某种规律性的分组方式。

例如，对于多项式x³ + 3x² + 3x + 1，我们可以进行如下的分组：(x³+ 3x²) + (3x + 1)。

接下来，我们可以对每个分组因式进行公因式提取，得到x²(x + 3) + 1(x + 3)。

最后，我们可以将公因式 (x + 3) 提取出来，得到(x + 3)(x² + 1)。

五、特殊公式法特殊公式法适用于特定形式的多项式，其中包括一些常见的平方差公式、立方差公式等。

因式分解知识点总结一、因式分解的概念。

1. 定义。

- 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

例如：x^2-4=(x + 2)(x - 2)，就是将多项式x^2-4因式分解为两个整式(x + 2)与(x - 2)的积的形式。

2. 与整式乘法的关系。

- 因式分解与整式乘法是互逆的恒等变形。

整式乘法是把几个整式相乘化为一个多项式，如(a + b)(a - b)=a^2-b^2；而因式分解是把一个多项式化为几个整式相乘，如a^2-b^2=(a + b)(a - b)。

二、因式分解的方法。

1. 提公因式法。

- 公因式的确定。

- 系数：取各项系数的最大公因数。

例如，对于多项式6x^2+9x，系数6和9的最大公因数是3。

- 字母：取各项相同的字母。

在6x^2+9x中，相同的字母是x。

- 字母的指数：取相同字母的最低次幂。

对于6x^2+9x，x的最低次幂是1。

所以公因式是3x。

- 提公因式的步骤。

- 找出公因式。

- 用多项式除以公因式，得到另一个因式。

例如，6x^2+9x = 3x(2x+3)。

2. 公式法。

- 平方差公式。

- 公式：a^2-b^2=(a + b)(a - b)。

- 应用条件：多项式必须是两项式，并且这两项都能写成平方的形式，符号相反。

例如，9x^2-16y^2=(3x + 4y)(3x - 4y)，这里9x^2=(3x)^2，16y^2=(4y)^2。

- 完全平方公式。

- 公式：a^2+2ab + b^2=(a + b)^2，a^2-2ab + b^2=(a - b)^2。

- 应用条件：多项式是三项式，其中有两项能写成平方的形式，且这两项的符号相同，另一项是这两个数乘积的2倍。

例如，x^2+6x + 9=(x + 3)^2，这里x^2=x^2，9 = 3^2，6x=2× x×3。

3. 十字相乘法（拓展内容，人教版教材部分有涉及）- 对于二次三项式ax^2+bx + c(a≠0)，如果能找到两个数m和n，使得m + n=b 且mn = ac，那么ax^2+bx + c=(x + m)(x + n)。

初中数学知识点：因式分解知识点学校数学学问点：因式分解学问点1一、单项式1、都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。

2、单项式的数字因数叫做单项式的系数。

3、单项式中全部字母的指数和叫做单项式的次数。

4、单独一个数或一个字母也是单项式。

5、只含有字母因式的单项式的系数是1或―1。

6、单独的一个数字是单项式，它的系数是它本身。

7、单独的一个非零常数的次数是0。

8、单项式中只能含有乘法或乘方运算，而不能含有加、减等其他运算。

9、单项式的系数包括它前面的符号。

10、单项式的系数是带分数时，应化成假分数。

11、单项式的系数是1或―1时，通常省略数字1。

12、单项式的次数仅与字母有关，与单项式的系数无关。

二、多项式1、几个单项式的和叫做多项式。

2、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。

3、多项式中不含字母的项叫做常数项。

4、一个多项式有几项，就叫做几项式。

5、多项式的每一项都包括项前面的符号。

6、多项式没有系数的概念，但有次数的概念。

7、多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。

三、整式1、单项式和多项式统称为整式。

2、单项式或多项式都是整式。

3、整式不肯定是单项式。

4、整式不肯定是多项式。

5、分母中含有字母的代数式不是整式;而是今后将要学习的分式。

四、整式的加减1、整式加减的理论依据是：去括号法则，合并同类项法则，以及乘法安排率。

去括号法则：假如括号前是十号，把括号和它前面的+号去掉，括号里各项都不变符号;假如括号前是一号，把括号和它前面的一号去掉，括号里各项都转变符号。

2、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

合并同类项：1).合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。

2).合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。

3).合并同类项步骤：a.精确的找出同类项。

b.逆用安排律，把同类项的.系数加在一起(用小括号)，字母和字母的指数不变。

第一讲因式分解知识梳理1.因式分解定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。

即：多项式f几个整式的积例：-ax+-bx=-x(a-∖-b)3 3 3因式分解，应注意以下几点。

1.因式分解的对象是多项式；2.因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3.分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4.公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5.结果如有相同因式，应写成幕的形式；6.题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。

2.因式分解的方法：(1)提公因式法：①定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。

公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。

公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。

'系数一一取各项系数的最大公约数＜字母——取各项都含有的字母指数一一取相同字母的最低次塞例：↑2a3b3c-Sa3b2c3+βa4b2c2的公因式是解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、-8、6,它们的最大公约数为2；字母部分/匕3g。

302。

3,。

力力：都含有因式/∕c,故多项式的公因式是2a3b2c.②提公因式的步骤第一步：找出公因式；第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。

注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。

多项式中第一项有负号的，要先提取符号。

例1：把12/b78。

从一2447√分解因式.解析：本题的各项系数的最大公约数是6,相同字母的最低次耗是ab,故公因式为6abo 解：↑2a2b-↑Sab2-24aV=6ab(2a-3b-4a2b2)例2：把多项式3。

-4)+x(4-R)分解因式解析：由于4-x=-(x-4),多项式3(x-4)+M4-x)可以变形为3(x-4)-X(X-4),我们可以发现多项式各项都含有公因式(工-4),所以我们可以提取公因式(x-4)后,再将多项式写成积的形式.解：3(x-4)+x(4-x)=3(x-4)-x(x-4)=(3-x)(x-4)例3：把多项式-f+2为分解因式解：-X2+2x=-(x2-2x)=-x(x-2)(2)运用公式法定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。

数学新课标八年级上册因式分解知识点总结一、相关定义1.因式分解：把一个多项式化成几个_________________的形式,叫做把这个多项式因式分解2.公因式：一个多项式每项都含有的___________因式,叫做这个多项式各项的公因式。

二、因式分解方法1.提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)2.公式法：- =(a+b)(a-b)+2ab+=- 2ab+=+ =(a+b)(– ab +)- =(a - b)(+ ab +)3.分组分解法4.十字相乘法：+ (p+q)+pq=(x+p)(x+q)三、一般步骤：“一提”、“二套”、“三分组”、“四十字”、“五检查”。

注意：因式分解一定要分解到__________________________________为止。

四、因式分解方法详解（一）提公因式法例题练习小结——公因式确定方法：1、系数是整数时取各项最大公约数。

2、相同字母（或多项式因式）取最低次幂3、系数最大公约数与相同字母取最低次幂的积就是这个多项式各项的公因式。

（二）公式法例题练习小结：1、公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。

2、选择公式的方法：主要看项数,若多项式是二项式可考虑平方差公式；若多项式是三项式,可考虑完全平方公式。

3、完全平方公式要注意正负号。

（三）分组分解法例题练习小结：将多项式分组后提公因式进行因式分解；将多项式分组后运用公式进行因式分解。

（四）十字相乘法形如+ (p+q)+pq=(x+p)(x+q)形式的多项式,可以考虑运用此种方法方法：常数拆成两个因数p和q,这两数的和p+q为一次项系数+ (p+q)+pq+ (p+q)+pq=(x+p)(x+q)例题练习小结：特别要注意正负号综合练习总结：一、因式分解要素：①结果必须是整式②结果必须是积的形式③结果是等式二、分解因式应注意：①不丢字母②不丢常数项注意查项数③双重括号化成单括号④首项负号放括号外⑤括号内同类项要合并。

因式分解知识点归纳总结
定义与基本概念
定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因
式分解，也叫作把这个多项式分解因式。

关系：因式分解是整式乘法
的逆过程。

分解方法
提公因式法：
公因式：多项式中的每一项都含有的因式，称为公因式。

找法：
取多项式各项系数的最大公约数为公因式的系数，各项中相同字母取
最低次幂的积。

公式法：
平方差公式：a² - b² = (a + b)(a - b)完全平方公式：a² +
2ab + b² = (a + b)²，a² - 2ab + b² = (a - b)²
十字相乘法：适用于二次项系数为1的二次三项式，如x² + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)。

分组分解法：将多项式分组，然后提取每组的公因式或应用其他方法进行分解。

应用与重要性
应用：因式分解在数学求根作图、解一元二次方程等方面有广泛
应用，是解决许多数学问题的有力工具。

重要性：学习因式分解的方
法与技巧，不仅是掌握数学内容所需，而且对于培养解题技能、发展
思维能力都有着十分独特的作用。

注意事项
在进行因式分解时，要注意分解彻底，即分解到每个因式都不能
再进一步分解为止。

注意公因式的提取要准确，避免遗漏或错误。

熟
记并理解常用的公式和定理，以便在分解过程中灵活运用。

综上所
述，因式分解是数学中的一个重要概念和方法，通过学习和掌握相关的知识点和技巧，可以更好地应用它来解决实际问题。

分解因式知识点总结一、基本概念1. 什么是因式代数表达式中，如果一个多项式能够被另一个多项式整除，那么这个被整除的多项式就是被称为因式。

比如，多项式x^2-4就可以被(x-2)(x+2)整除，所以(x-2)(x+2)就是x^2-4的因式。

2. 什么是分解因式分解因式就是将一个多项式拆解为更简单的因式的乘积的过程。

比如，将x^2-4分解为(x-2)(x+2)的过程就是分解因式。

二、分解因式的方法分解因式的方法有几种常见的基本方法，包括提公因式法、配方法、分组法和特殊因式公式等。

下面分别介绍这几种方法。

1. 提公因式法提公因式法是指通过提取多项式中的公因式，然后进行拆分。

比如，对于多项式x^2+4x+4，首先找出公因式x，然后进行拆分得到x(x+4)，再将x+4进一步分解为(x+2)(x+2)，最终得到完整的分解因式为x(x+2)(x+2)。

2. 配方法配方法是通过将多项式中的部分进行配对，然后进行拆分。

比如，对于多项式x^2+6x+9，可以通过配对得到(x+3)(x+3)，从而得到完整的分解因式为(x+3)(x+3)。

3. 分组法分组法是将多项式中的项进行分组，然后进行进一步拆分因式的方法。

通常用于四项以上的多项式分解。

比如，对于多项式x^3+3x^2+2x+6，可以先进行分组(x^3+3x^2)+(2x+6)，然后针对每组进行提公因式法或配方法进行进一步拆分，最终得到完整的分解因式。

4. 特殊因式公式在代数中还存在一些特殊的因式公式，比如(a+b)^2=a^2+2ab+b^2，(a-b)^2=a^2-2ab+b^2等，这些公式是一些特殊情况下的因式拆分公式，可以用来快速分解某些特定的多项式。

三、分解因式的应用分解因式是代数中一个非常重要的概念，它在多项式求值、方程求解、多项式因式分解和多项式简化等方面都有着广泛的应用。

1. 多项式求值在代数中，对于给定的多项式，求出其在某一特定值下的取值是一个非常重要的问题。

因式分解的知识点总结因式分解的知识点总结篇1因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫把这个多项式因式分解。

因式分解要素：①结果必需是整式②结果必需是积的形式③结果是等式因式分解与整式乘法的关系：m（a+b+c）公因式：一个多项式每项都含有的公共的`因式，叫做这个多项式各项的公因式。

公因式确定方法：①系数是整数时取各项最大公约数。

②相同字母取最低次幂③系数最大公约数与相同字母取最低次幂的积就是这个多项式各项的公因式。

提取公因式步骤：①确定公因式。

②确定商式③公因式与商式写成积的形式。

分解因式注意；①不准丢字母②不准丢常数项注意查项数③双重括号化成单括号④结果按数单字母单项式多项式次序排列⑤相同因式写成幂的形式⑥首项负号放括号外⑦括号内同类项合并。

因式分解的知识点总结篇21.因式分把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解；注意：因式分解与乘法是相反的两个转化。

2.因式分解的方法：常用“提取公因式法”“公式法”“分组分解法”“十字相乘法”。

3.公因式确实定：系数的最大公约数？相同因式的最低次幂。

注意公式：a+b=b+a；a—b=—（b—a）；（a—b）2=（b—a）2；（a—b）3=—（b—a）3、4.因式分解的公式：（1）平方差公式：a2—b2=（a+b）（a—b）；（2）完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2，a2—2ab+b2=（a—b）2、5.因式分解的注意事项：（1）选择因式分解方法的一般次序是：一提取、二公式、三分组、四十字；（2）使用因式分解公式时要特别注意公式中的.字母都具有整体性；（3）因式分解的最终结果要求分解到每一个因式都不能分解为止；（4）因式分解的最终结果要求每一个因式的首项符号为正；（5）因式分解的最终结果要求加以整理；（6）因式分解的最终结果要求相同因式写成乘方的形式。

6.因式分解的解题技巧：（1）换位整理，加括号或去括号整理；（2）提负号；（3）全变号；（4）换元；（5）配方；（6）把相同的式子看作整体；（7）敏捷分组；（8）提取分数系数；（9）打开部分括号或全部括号；（10）拆项或补项。

因式分解知识点归纳总结一（一）运用公式法：我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。

如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。

于是有：a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。

这种分解因式的方法叫做运用公式法。

（二）平方差公式1．平方差公式（1）式子：a2-b2=(a+b)(a-b)（2）语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

这个公式就是平方差公式。

（三）因式分解1．因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。

2．因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。

（四）完全平方公式（1）把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：a2+2ab+b2 =(a+b)2a2-2ab+b2 =(a-b)2这就是说，两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。

把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。

上面两个公式叫完全平方公式。

（2）完全平方式的形式和特点①项数：三项②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。

③有一项是这两个数的积的两倍。

（3）当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。

（4）完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。

这里只要将多项式看成一个整体就可以了。

（5）分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。

（五）分组分解法我们看多项式am+ an+ bm+ bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式．如果我们把它分成两组(am+ an)和(bm+ bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式．原式=(am +an)+(bm+ bn)＝a(m+ n)+b(m +n)做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义．但不难看出这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以原式=(am +an)+(bm+ bn)＝a(m+ n)+b(m+ n)＝(m +n)•(a +b)．这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．从上面的例子可以看出，如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式．（六）提公因式法1.在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式．当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式；当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式．2. 运用公式x2 +(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)进行因式分解要注意：1．必须先将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和等于一次项的系数．2．将常数项分解成满足要求的两个因数积的多次尝试，一般步骤：①列出常数项分解成两个因数的积各种可能情况；②尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数．3．将原多项式分解成(x+q)(x+p)的形式．（七）分式的乘除法1.把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．2.分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式．3.如果分式的分子或分母是多项式，可先考虑把它分别分解因式，得到因式乘积形式，再约去分子与分母的公因式．如果分子或分母中的多项式不能分解因式，此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分．4.分式约分中注意正确运用乘方的符号法则，如x-y＝-(y-x)，(x-y)2＝(y-x)2，(x-y)3＝-(y-x)3．5．分式的分子或分母带符号的n次方，可按分式符号法则，变成整个分式的符号，然后再按-1的偶次方为正、奇次方为负来处理．当然，简单的分式之分子分母可直接乘方．6．注意混合运算中应先算括号，再算乘方，然后乘除，最后算加减．（八）分数的加减法1．通分与约分虽都是针对分式而言，但却是两种相反的变形．约分是针对一个分式而言，而通分是针对多个分式而言；约分是把分式化简，而通分是把分式化繁，从而把各分式的分母统一起来．2．通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形，其共同点是保持分式的值不变．3．一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式，分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备．4．通分的依据：分式的基本性质．5．通分的关键：确定几个分式的公分母．通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．6.类比分数的通分得到分式的通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．7．同分母分式的加减法的法则是：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。

n m n a a +=同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

注意底数可以是多项式或单项式。

35())a b b += 、幂的乘方法则：mnm aa (（n m ,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。

如：幂的乘方法则可以逆用：即考点四、十字相乘法（1）二次项系数为1的二次三项式2x px q ++中，如果能把常数项q 分解成两个因式a b 、的积，并且a b +等于一次项系数p 的值，那么它就可以把二次三项式2x px q ++分解成()()()b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++22例题讲解1、分解因式：652++x x分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。

由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=51 2 解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5 用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。

例题讲解2、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x(4)22-+x x (5)1522--y y (6)24102--x x2、二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2 条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c （3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例题讲解1、分解因式：101132+-x x分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x。

因式分解知识点归纳总结因式分解是数学中的一个重要知识点，它在代数的各个领域中有着广泛的应用。

因式分解是将一个多项式表示为乘积的形式，使得每个乘积因子都是原多项式的一个因子。

通过因式分解，我们可以更好地理解多项式的结构、性质和特点。

一、基本概念和思想1.多项式：由变量和常数的乘积相加或相减而成的代数表达式。

2.因式：在乘积中的每个项。

3.因式分解：将一个多项式表示为乘积的形式。

4.公因式提取：在多个项中提取出一个公共的因子，然后将其提取出来。

5.公式：将其中一种特殊形式的多项式因式分解的方法。

二、因式分解的基本方法1.提取公因子：在多个项中提取出一个公共的因子。

2.完全平方公式：将二次多项式表示为完全平方的形式。

3.平方差公式：将二次多项式表示为一个平方差的形式。

4.组合因式法：将多项式按照特定的方式分组，然后进行因式分解。

5.因式定理：根据多项式的特征和性质，通过试探法找到一个因式，然后进行因式分解。

6.代换法：通过适当的代换，将多项式转化为一个更易于因式分解的形式。

三、因式分解的应用1.简化运算：可以通过因式分解将复杂的数学计算简化为更简单的形式，提高计算的速度和效率。

2.解方程：通过因式分解将方程转化为一个乘积的形式，可以更方便地求解方程的解。

3.获得更多信息：因式分解可以给出多项式的根的信息，从而帮助我们更好地理解多项式的特点和性质。

4.拓展推广：通过因式分解的方法，可以推广到更高次数的多项式，进行更深入的数学研究和应用。

四、因式分解的注意事项1.因式分解的结果应尽可能简化，即将多项式表示为最简形式的乘积。

2.对于不同类型的多项式，有不同的因式分解方法，需要根据具体情况选择合适的方法。

3.因式分解中的变量可以是实数、复数或其他数学对象，需要根据具体情况进行分析和处理。

4.在进行因式分解时，需要注意运算规则和性质，避免出现错误。

总结起来，因式分解是数学中的一个重要概念和方法，它在代数的各个领域中有着广泛的应用。

因式分解总结知识点一、多项式的基本知识1.多项式的定义多项式是由多个单项式相加或相减而成的代数式。

一般的形式为：$P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0$。

其中，$a_n, a_{n-1}, \cdots, a_1, a_0$ 是常数，$x$ 是变元，$a_nx^n, a_{n-1}x^{n-1}, \cdots, a_1x, a_0$ 分别称为多项式 $P(x)$ 的各项，$a_n$ 称为多项式 $P(x)$ 的首项系数，$a_0$ 称为常数项。

2.多项式的次数如果多项式 $P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0$ 中 $a_n \neq 0$，则$n$ 称为多项式的次数，记作 $\deg P(x) = n$。

3.多项式的分类按照多项式的次数和各项系数的类型，多项式分为一元多项式和多元多项式，一元多项式又可以分为单项式和多项式，多项式还可以按照各项系数的类型分为整系数多项式、有理系数多项式、实系数多项式和复系数多项式等等。

二、因式分解的基本方法1.提公因式法提公因式法是因式分解的一个基本方法，它适用于形如 $ax^2 + bx + c$ 的二次三项式，其中 $a, b, c$ 是常数。

例如对于 $2x^2 + 3x + 1$，我们可以先找到它的两个因式 $2x$ 和 $1$，然后将原多项式分解为 $(2x + 1)(x + 1)$。

2.公式法公式法是因式分解的另一个基本方法，它适用于一些特定形式的多项式，如平方差公式$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，完全平方公式 $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$，立方和公式 $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ 等等。

3.分组分解法分组分解法是对多项式中的部分项进行合并，以便进行进一步的因式分解。

数学中的因式分解知识点总结因式分解是数学中重要的基础概念之一，它在代数运算、方程求解、函数图像等领域都有广泛的应用。

本篇文章将对数学中的因式分解知识点进行总结和归纳，旨在帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

一、因式分解的基本概念因式分解是将一个数、一个代数式或一个多项式表示为若干个乘积的形式，其中每个乘积因子都是不可再分解的。

因式分解可以简化复杂的式子，方便进行进一步的计算和求解。

在因式分解中，常用的因式分解形式有公因式、差平方公式、完全平方式、三项完全平方式等。

二、公因式的因式分解公因式是多个代数式的公共因子，通过提取公因式，可以将一个多项式进行因式分解。

公因式的因式分解是因式分解的基础，也是其他形式的因式分解的前提。

公因式分解的关键是找到所有项的公共因子，然后将其提取出来作为公因式。

三、差平方公式的因式分解差平方公式（a²-b²）=(a+b)(a-b) 是平方差公式的一个特例。

差平方公式的因式分解运用了平方差公式的性质，通过将一个二次多项式表示为两个一次多项式的乘积形式，从而进行因式分解。

在应用差平方公式进行因式分解时，需要根据具体的题目要求，将其转化为差平方的形式，然后使用差平方公式进行因式分解。

四、完全平方式的因式分解完全平方式是将一个二次多项式表示为两个一次多项式乘积的形式，数学中非常常见的一种因式分解形式。

完全平方式的因式分解要求将二次多项式写成一个二次平方的形式（(a±b)²），然后应用完全平方式进行因式分解。

在应用完全平方式进行因式分解时，需要根据题目给出的多项式，将其转化为完全平方式的形式，然后应用完全平方式进行因式分解，得到最终的结果。

五、三项完全平方式的因式分解三项完全平方式是将一个三次多项式表示为三个一次多项式乘积的形式，同样也是一种常见的因式分解形式。

三项完全平方式的因式分解要求将三次多项式写成三个完全平方式的乘积形式（(a±b)³），然后应用三项完全平方式进行因式分解。

初二上学期数学《因式分解》知识点整理初二上册数学因式分解知识点（1）因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

（2）公因式：一个多项式每一项都含有的相同的因式叫做这个多项式的公因式。

（3）确定公因式的方法：公因数的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取次数最低的。

（4）提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

（5）提出多项式的公因式以后，另一个因式的确定方法是：用原来的多项式除以公因式所得的商就是另一个因式。

（6）如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“—”号，使括号内的第一项的系数是正的，在提出“—”号时，多项式的各项都要变号。

（7）因式分解和整式乘法的关系：因式分解和整式乘法是整式恒等变形的正、逆过程，整式乘法的结果是整式，因式分解的结果是乘积式。

（8）运用公式法：如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。

（9）平方差公式：两数平方差，等于这两数的和乘以这两数的差，字母表达式：a2—b2=（a+b）（a—b）（10）具备什么特征的两项式能用平方差公式分解因式①系数能平方，（指的系数是完全平方数）②字母指数要成双，（指的指数是偶数）③两项符号相反。

（指的两项一正号一负号）（11）用平方差公式分解因式的关键：把每一项写成平方的形式，并能正确地判断出a，b分别等于什么。

（l2）完全平方公式：两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。

字母表达式：a2±2ab+b2=（a±b）2 （13）完全平方公式的特点：①它是一个三项式。

②其中有两项是某两数的平方和。

③第三项是这两数积的正二倍或负二倍。

④具备以上三方面的特点以后，就等于这两数和（或者差）的平方。

数学因式分解知识点因式分解是多项式乘法的逆向运算,是代数恒等变形的基础,下面是店铺为你整理的数学因式分解知识点，一起来看看吧。

数学因式分解知识点(1)因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.(2)公因式：一个多项式每一项都含有的相同的因式叫做这个多项式的公因式.(3)确定公因式的方法：公因数的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取次数最低的.(4)提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.(5)提出多项式的公因式以后，另一个因式的确定方法是：用原来的多项式除以公因式所得的商就是另一个因式.(6)如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数是正的，在提出“-”号时，多项式的各项都要变号.(7)因式分解和整式乘法的关系：因式分解和整式乘法是整式恒等变形的正、逆过程，整式乘法的结果是整式，因式分解的结果是乘积式.(8)运用公式法：如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.(9)平方差公式：两数平方差，等于这两数的和乘以这两数的差，字母表达式：a2-b2=(a+b)(a-b)(10)具备什么特征的两项式能用平方差公式分解因式①系数能平方，(指的系数是完全平方数)②字母指数要成双，(指的指数是偶数)③两项符号相反.(指的两项一正号一负号)数学因式分解方法(1)提公因式法：①定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。

公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。

公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。

系数——取各项系数的最大公约数字母——取各项都含有的字母指数——取相同字母的最低次幂例：12a3b3c-8a3b2c3+6a4b2c2 的公因式是___________.解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、-8、6，它们的最大公数为2;字母部分a3b3c,a3b2c3,a4b2c2都含有因式a3b2c,故多项式的公因式是2a3b2c.②提公因式的步骤第一步：找出公因式;第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。

初中数学之因式分解知识点汇总因式分解1. 因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。

2. 因式分解与整式乘法的关系因式分解与整式乘法都是整式变形，两者互为逆变形。

因式分解是将“和差”的形式化为“积”的形式，而整式乘法是将“积”化为“和差”的形式。

注：分解因式必须进行到每一个多项式的因式都不能再分解为止，即分解因式要彻底。

3. 公因式多项式的各项都含有的公共因式叫做这个多项式各项的公因式。

系数——取各项系数的最大公约数；字母——取各项都含有的字母；指数——取相同字母的最低次幂。

例如：多项式pa+pb+pc 中因式p 即为多项式各项的公因式。

因式分解九大方法：(一)运用公式法：我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。

如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。

于是有：a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。

这种分解因式的方法叫做运用公式法。

(二)平方差公式1.平方差公式(1)式子：a2-b2=(a+b)(a-b)(2)语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

这个公式就是平方差公式。

(三)因式分解1.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。

2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。

(四)完全平方公式(1)把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：a2+2ab+b2 =(a+b)2a2-2ab+b2 =(a-b)2这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。

把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。

上面两个公式叫完全平方公式。

(2)完全平方式的形式和特点①项数：三项。

多项式的因式分解知识点总结多项式的因式分解是数学中的重要内容之一。

通过将多项式分解为较简单的因子，我们可以更好地理解和运用多项式在代数运算中的性质。

本文将对多项式的因式分解进行知识点总结。

一、因式分解的基本概念多项式的因式分解是将一个多项式表示为若干个较简单的因式相乘的形式的过程。

常见的多项式的因式分解包括线性因式、二次因式和高次多项式的因式分解。

二、线性因式分解线性因式是指次数为1的因式，其表达形式为$(x-a)$，其中a为常数。

对于形如$f(x)=ax+b$的一次多项式，若存在一个实数a使得$f(a)=0$，则多项式$f(x)$可被$(x-a)$整除，即$f(x)$可以写成$(x-a)$与一个次数较低的多项式的乘积形式。

三、二次因式分解二次因式是指次数为2的因式，其表达形式为$(x-a)(x-b)$，其中a 和b为常数。

对于形如$f(x)=ax^2+bx+c$的二次多项式，若其可以被二次因式$(x-a)(x-b)$整除，则多项式$f(x)$可以进行二次因式分解。

四、高次多项式的因式分解高次多项式的因式分解相对较为复杂，在一般情况下需要通过观察多项式的类型和使用适当的方法进行分解。

常见的高次多项式的因式分解方法包括公因式提取法、配方法、短除法和因式定理等。

1. 公因式提取法：当多项式中存在公因式时，可以通过提取公因式的方式进行因式分解。

例如，对于多项式$f(x)=3x^3+9x^2+6x$，可以提取公因式得到$f(x)=3x(x^2+3x+2)$，然后再对$(x^2+3x+2)$进行二次因式分解。

2. 配方法：对于特定形式的多项式，可以通过选取合适的配方方式将其因式分解。

例如，对于多项式$f(x)=x^2+5x+6$，可以使用常见的配方法$(x+2)(x+3)$进行因式分解。

3. 短除法：短除法是一种用于高次多项式的因式分解的方法。

通过逐步将多项式除以已知的因式，从而逐步缩小多项式的次数，最终得到完整的因式分解。