概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第四章习题参考答案
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概率论与数理统计第四章课后习题及参考答案1.在下列句子中随机地取一个单词,以X 表示取到的单词包含的字母的个数,试写出X 的分布律,并求)(X E .Have a good time解:本题的随机试验属于古典概型.所给句子共4个单词,其中有一个单词含一个字母,有3个单词含4个字母,则X 的所有可能取值为1,4,有41)1(==X P ,43)4(==X P ,从而413434411)(=⋅+⋅=X E .2.在上述句子的13个字母中随机地取一个字母,以Y 表示取到的字母所在的单词所含的字母数,写出Y 的分布律,并求)(Y E .解:本题的随机试验属于古典概型.Y 的所有可能取值为1,4,样本空间Ω由13个字母组成,即共有13个样本点,则131)1(==Y P ,1312)4(==Y P ,从而1349131241311)(=⋅+⋅=Y E .3.一批产品有一、二、三等品及废品4种,所占比例分别为60%,20%,10%和10%,各级产品的出厂价分别为6元、8.4元、4元和2元,求产品的平均出厂价.解:设产品的出厂价为X (元),则X 的所有可能取值为6,8.4,4,2,由题设可知X 的分布律为X 68.442P6.02.01.01.0则16.51.021.042.08.46.06)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E (元).4.设随机变量X 具有分布:51)(==k X P ,5,4,3,2,1=k ,求)(X E ,)(2X E 及2)2(+X E .解:3)54321(51)(=++++=X E ,11)54321(51)(222222=++++=X E ,274)(4)()44()2(222=++=++=+X E X E X X E X E .5.设离散型随机变量X 的分布列为k k kk X P 21)!2)1((=-=, ,2,1=k ,问X 是否有数学期望.解:因为∑∑∞=∞==⋅-111212)1(k k k k kkk 发散,所以X 的数学期望不存在.6.设随机变量X 具有密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他.,0,22,cos 2)(2πππx x x f 求)(X E 及)(X D .解:因为x x 2cos 在]2,2[ππ-上为奇函数,所以0d cos 2d )()(222=⋅==⎰⎰-∞+∞-πππx x x x x f x X E ,2112d cos 2d )()(2222222-=⋅==⎰⎰-∞+∞-ππππx x x x x f x X E ,故2112)]([)()(222-=-=πX E X E X D .7.设随机变量X 具有密度函数⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤<=其他.,0,21,2,10,)(x x x x x f 求)(X E 及)(X D .解:1d )2(d d )()(2112=-+==⎰⎰⎰∞+∞-x x x x x x x f x X E ,67d )2(d d )()(2121322=-+==⎰⎰⎰∞+∞-x x x x x x x f x X E ,61)]([)()(22=-=X E X E X D .8.设随机变量X 在)21,21(-上服从均匀分布,求)sin(X Y π=的数学期望与方差.解:由题可知X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他.,0,2121,1)(x x f 则0d 1sin d )(sin )][sin()(2121=⋅===⎰⎰-∞+∞-x x x x f x X E Y E πππ,21d 1sin d )(sin )]([sin )(21212222=⋅===⎰⎰-∞+∞-x x x x f x X E Y E πππ,21)]([)()(22=-=Y E Y E Y D .9.某正方形场地,按照航空测量的数据,它的边长的数学期望为350m ,又知航空测量的误差随机变量X 的分布列为X (m)30-20-10-0102030P05.008.016.042.016.008.005.0而场地边长随机变量Y 等于边长的数学期望与测量误差之和,即X Y +=350,求场地面积的数学期望.解:设场地面积为S ,则2Y S =,16.01042.0016.0)10(08.0)20(05.030)(⨯+⨯+⨯-+⨯-+⨯-=X E 005.03008.020=⨯+⨯+,16.01042.0016.0)10(08.0)20(05.0)30()(222222⨯+⨯+⨯-+⨯-+⨯-=X E 18605.03008.02022=⨯+⨯+,故)350700(])350[()()(2222++=+==X X E X E Y E S E 122686350)(700)(22=++=X E X E .10.A ,B 两台机床同时加工零件,每生产一批较大的产品时,出次品的概率如下表所示:A 机床次品数X 0123概率P7.02.006.004.0B 机床次品数X 0123概率P8.006.004.010.0问哪一台机床加工质量较好.解:44.004.0306.022.017.00)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E ,8.004.0306.022.017.00)(22222=⨯+⨯+⨯+⨯=X E ,6064.0)]([)()(22=-=X E X E X D ,44.010.0304.0206.018.00)(=⨯+⨯+⨯+⨯=Y E ,12.110.0304.0206.018.00)(22222=⨯+⨯+⨯+⨯=Y E ,9264.0)]([)()(22=-=Y E Y E Y D ,)()(Y E X E =,但)()(Y D X D <,故A 机床加工质量较好.11.设随机变量X 与Y 相互独立,且方差存在,试证:22)]()[()()]([)()()(Y E X D Y D X E Y D X D XY D ++=,由此得出)()()(Y D X D XY D ≥.证:22)]([])[()(XY E XY E XY D -=222)]()([)(Y E X E Y X E -=2222)]([)]([)()(Y E X E Y E X E -=2222)]([)]([})]([)(}{)]([)({Y E X E Y E Y D X E X D -++=22)]()[()()]([)()(Y E X D Y D X E Y D X D ++=.因为)(X D ,)(Y D ,2)]([X E ,2)]([Y E 非负,所以)()()(Y D X D XY D ≥.12.已知随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤++=其他.,010,)(2x c bx x a x f又已知5.0)(=X E ,15.0)(=X D ,求a ,b ,c .解:c b a x c bx x a x x f ++=++==⎰⎰∞+∞-2131d )(d )(1102,c b a x c bx x a x x x f x X E 213141d )(d )()(5.0102++=++===⎰⎰∞+∞-,⎰⎰++-=-==∞+∞-1222d )()5.0(d )()]([)(15.0xc bx x a x x x f X E x X D 41314151-++=c b a ,解之得12=a ,12-=b ,3=c .13.设),(Y X 的分布律为(1)求)(X E 及)(Y E ;(2)设XYZ =,求)(Z E ;(3)设2)(Y X Z -=,求)(Z E .解:(1)2)13.00(3)1.001.0(2)1.01.02.0(1)(=++⨯+++⨯+++⨯=X E ,0)1.01.01.0(1)3.001.0(0)01.02.0()1()(=++⨯+++⨯+++⨯-=Y E ,(2)1.01)3.001.0(00)31(1.021(2.01)(⨯+++⨯+⨯-+⨯-+⨯-=Z E 1511.0311.021-=⨯+⨯+,(3)1.0)01(0)]1(3[1.0)]1(2[2.0)]1(1[)(2222⨯-+⨯--+⨯--+⨯--=Z E 51.0)13(1.0)12(1.0)11(3.0)03(0)02(22222=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+.14.设随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=其他.,0,10,20,3),(y x yx y x f求)(X E ,)(Y E ,)(Y X E +及)(22Y X E +.解:⎰⎰∞+∞-∞+∞-=y x y x f x X E d d ),()(911d d 31020=+⋅=⎰⎰y x y x x ,⎰⎰∞+∞-∞+∞-=y x y x yf Y E d d ),()(95d d 31020=+⋅=⎰⎰y x y x y ,⎰⎰∞+∞-∞+∞-+=+y x y x f y x Y X E d d ),()()(916d d 3)(1020=+⋅+=⎰⎰y x y x y x ,⎰⎰∞+∞-∞+∞-+=+y x y x f y x Y X E d d ),()()(2222613d d 3)(102022=+⋅+=⎰⎰y x y x y x .15.),(Y X 在区域}1,0,0|),{(≤+≥≥=y x y x y x D 上服从均匀分布,求)(X E ,)23(Y X E -及)(XY E .解:由题可知),(Y X 的联合密度函数为⎩⎨⎧≤≤-≤≤=其他.,0,10,10,2),(y y x y x f ⎰⎰∞+∞-∞+∞-=y x y x f x X E d d ),()(31d d 21010==⎰⎰-yy x x ,⎰⎰∞+∞-∞+∞--=-y x y x f y x Y X E d d ),()23()23(31d d )23(21010=-=⎰⎰-yy x y x ,⎰⎰∞+∞-∞+∞-=y x y x xyf XY E d d ),()(121d d 21010==⎰⎰-y y x xy .16.设二维随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+=.1,0,1,1),(2222y x y x y x f π证明:随机变量X 与Y 不相关,也不相互独立.证:⎰⎰⎰⎰⋅=⋅=∞+∞-∞+∞-πθθππ201d d cos 1d d 1)(r r r y x x X E ,同理,0)(=Y E ,⎰⎰⎰⎰⋅⋅=⋅=∞+∞-∞+∞-πθθθππ201d d sin cos 1d d 1)(r r r r y x xy XY E ,0)()()(),cov(=-=Y E X E XY E Y X ,故随机变量X 与Y 不相关.当11≤≤-x 时,ππ21112d 1d ),()(22x y y y x f x f x x X -===⎰⎰---∞+∞-,其他,0)(=x f X ,故⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=其他.,0,11,12)(2x x x f X π同理,⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=其他.,0,11,12)(2y y y f Y π易得)()(),(y f x f y x f Y X ≠,故随机变量X 与Y 不相互独立.17.设随机变量1X ,2X 的概率密度分别为⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,e 2)(21x x x f x ,⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,e 4)(42y y y f y 试用数学期望的性质求:(1))(21X X E +及)32(221X X E -;(2)又设1X ,2X 相互独立,求)(21X X E .解:由题可知1X ~)2(E ,2X ~)4(E ,则21)(1=X E ,41)(2=X E ,161)(2=X D ,81)]([)()(22222=+=X E X D X E .(1)43)()()(2121=+=+X E X E X X E ,85)(3)(2)32(221221=-=-X E X E X X E .(2)81)()()(2121==X E X E X X E .18.(1)设1X ,2X ,3X 及4X 独立同在)1,0(上服从均匀分布,求)51(41∑=k k kX D ;(2)已知随机变量X ,Y 的方差分别为25和36,相关系数为4.0,求Y X U 23+=的方差.解:(1)由题易得121)(=i X D ,)51(41∑=k k kX D )(5141∑==k kkX D )](4)(3)(2)([514321X D X D X D X D +++=21)4321(121512222=+++⋅=.(2)由已知25)(=X D ,36)(=Y D ,4.0)()(),cov(==Y D X D Y X XY ρ,得12),cov(=Y X ,)2,3cov(2)2()3()23()(Y X Y D X D Y X D U D ++=+=513),cov(232)(2)(322=⋅⋅++=Y X Y D X D .19.一民航送客车载有20位旅客自机场开出,旅客有10个车站可以下车,如果到达一个车站没有旅客下车就不停车,以X 表示停车的次数,求)(X E (设每位旅客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是否下车相互独立).解:引入随机变量⎩⎨⎧=站无人下车.,在第站有人下车;,在第i i X i 01,10,,2,1 =i .易知1021X X X X +++= .按题意,任一旅客在第i 站不下车的概率为9.0,因此20位旅客都不在第i 站下车的概率为209.0,在第i 站有人下车的概率为209.01-,也就是209.0)0(==i X P ,209.01)1(-==i X P ,10,,2,1 =i .由此209.01)(-=i X E ,10,,2,1 =i .进而)()()()()(10211021X E X E X E X X X E X E +++=+++= 784.8)9.01(1020=-=(次).20.将n 只球(1~n 号)随机地放进n 只盒子(1~n 号)中去,一只盒子装一只球.若一只球装入与球同号的盒子中,称为一个配对,记X 为总的配对数,求)(X E .解:引入随机变量⎩⎨⎧=号盒子.号球未放入第第号盒子号球放入第第i i i i X i ,0,,1,n i ,,2,1 =,则n X X X X +++= 21,显然n X P i 1)1(==,则nX P i 11)0(-==,n i ,,2,1 =,从而nX E i 1)(=,n i ,,2,1 =,于是1)()()()()(2121=+++=+++=n n X E X E X E X X X E X E .21.设随机变量),(Y X 的分布律为试验证X 和Y 是不相关的,但X 和Y 不是相互独立的.证:0)25.00(2)025.0(1)025.0()1()25.00(2)(=+⨯++⨯++⨯-++⨯-=X E ,5)25.00025.0(4)025.025.00(1)(=+++⨯++++⨯=Y E ,0)4(25.0)8(0225.0125.0)1(02)(⨯-+⨯-+⨯+⨯+⨯-+⨯-=XY E 025.0804=⨯+⨯+,所以0)()()(),cov(=-=Y E X E XY E Y X ,故X 与Y 不相关.易知25.025.00)2(=+=-=X P ,5.0025.025.00)1(=+++==Y P ,0)1,2(==-=Y X P ,有)1()2()1,2(=-=≠=-=Y P X P Y X P ,故X 与Y 不相互独立.22.设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤+=其他.,0,10,10,),(y x y x y x f 求)(X E ,)(Y E ,)(X D ,)(Y D ,)(XY E ,),cov(Y X 及XY ρ.解:127d d )(d d ),()(1010=+==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x x y x y x f x X E ,125d d )(d d ),()(1010222=+==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x x y x y x f x X E ,14411)]([)()(22=-=X E X E X D ,由轮换对称性,得127)(=Y E ,14411)(=Y D ,31d d )(d d ),()(1010=+==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x xy y x y x xyf XY E ,1441)()()(),cov(-=-=Y E X E XY E Y X ,111)()(),cov(-==Y D X D Y X XY ρ.23.设X ~),(2σμN ,Y ~),(2σμN ,且X ,Y 相互独立.求Y X Z βα+=1和Y X Z βα-=2的相关系数(α,β是不为0的常数).解:由题可知μ==)()(Y E X E ,2)()(σ==Y D X D ,则2222)]([)()(σμ+=+=X E X D X E ,2222)]([)()(σμ+=+=Y E Y D Y E ,μβαβα)()()(1+=+=Y X E Z E ,μβαβα)()()(2-=-=Y X E Z E ,222221)()()()()(σβαβαβα+=+=+=Y D X D Y X D Z D ,222222)()()()()(σβαβαβα+=+=-=Y D X D Y X D Z D ,)()])([()(222221Y X E Y X Y X E Z Z E βαβαβα-=-+=))(()()(22222222σμβαβα+-=-=Y E X E ,222212121)()()()(),cov(σβα-=-=Z E Z E Z Z E Z Z ,22222121)()(),cov(21βαβαρ+-==Z D Z D Z Z Z Z .24.设),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤--=.,0,10,10,2),(其他y x y x y x f (1)求),cov(Y X ,XY ρ和)32(Y X D -;11(2)X 与Y 是否独立?解:(1)125d d )2(d d ),()(1010=--==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x x y x y x f x X E ,41d d )2(d d ),()(1010222=--==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x x y x y x f x X E ,61d d )2(d d ),()(1010=--==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x xy y x y x xyf XY E ,14411)]([)()(22=-=X E X E X D ,由轮换对称性,125)(=Y E ,14411)(=Y D ,1441)()()(),cov(-=-=Y E X E XY E Y X ,111)()(),cov(-==Y D X D Y X XY ρ,)3,2cov(2)3()2()32(Y X Y D X D Y X D -+-+=-144155),cov(12)(3)(222=-+=Y X Y D X D .(2)当10≤≤x 时,x y y x y y x f x f X -=--==⎰⎰∞+∞-23d )2(d ),()(10,其他,0)(=x f X ,故⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他.,0,10,23)(x x x f X 同理,⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他.,0,10,23)(y y y f Y 因为)()(),(y f x f y x f Y X ≠,故X 与Y 不相互独立.。
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目录第一部分考研真题第1章随机事件与概率第2章随机变量与分布第3章多维随机变量及其分布第4章大数定律与中心极限定理第5章统计量及其分布第6章参数估计第7章假设检验第8章方差分析与回归分析第二部分课后习题第1章随机事件与概率第2章随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布第4章大数定律与中心极限定理第5章统计量及其分布第6章参数估计第7章假设检验第8章方差分析与回归分析第三部分章节题库第1章随机事件与概率第2章随机变量与分布第3章多维随机变量及其分布第4章大数定律与中心极限定理第5章统计量及其分布第6章参数估计第7章假设检验第8章方差分析与回归分析第四部分模拟试题茆诗松《概率论与数理统计教程》(第2版)配套模拟试题及详解(一)茆诗松《概率论与数理统计教程》(第2版)配套模拟试题及详解(二)。
习题四1.设随机变量X 的分布律为X1 0 1 2P1/8 1/2 1/8 1/4求E (),(),(2+3). 【解】(1) 11111()(1)012;82842E X =-⨯+⨯+⨯+⨯= (2) 2222211115()(1)012;82844E X =-⨯+⨯+⨯+⨯=(3) 1(23)2()32342E X E X +=+=⨯+=2.已知100个产品中有10个次品,求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差. X 0 1 2 3 4 5P 5905100C 0.583C = 1410905100C C 0.340C = 2310905100C C 0.070C = 3210905100C C 0.007C = 4110905100C C 0C = 5105100C 0C = 故 ()0.58300.34010.07020.00730405E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 0.501,=52()[()]iii D X x E X P ==-∑222(00.501)0.583(10.501)0.340(50.501)00.432.=-⨯+-⨯++-⨯=3.设随机变量X 的分布律为X 1 0 1 P p 1 p 2 p 3且已知E ()=0.1,()=0.9,求1,2,3.【解】因1231P P P ++=……①,又12331()(1)010.1E X P P P P P =-++=-=……②,222212313()(1)010.9E X P P P P P =-++=+=……③由①②③联立解得1230.4,0.1,0.5.P P P ===4.袋中有N 只球,其中的白球数X 为一随机变量,已知E (X )=n ,问从袋中任取1球为白球的概率是多少?【解】记A ={从袋中任取1球为白球},则(){|}{}Nk P A P A X k P X k ===∑全概率公式1{}{}1().NNk k k P X k kP X k N Nn E X N N========∑∑5.设随机变量X 的概率密度为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.,0,21,2,10,其他x x x x求E (X ),D (X ). 【解】12201()()d d (2)d E X xf x x x x x x x +∞-∞==+-⎰⎰⎰21332011 1.33x x x ⎡⎤⎡⎤=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦122232017()()d d (2)d 6E X x f x x x x x x x +∞-∞==+-=⎰⎰⎰ 故 221()()[()].6D XE X E X =-=6.设随机变量X ,Y ,Z 相互独立,且E (X )=5,E (Y )=11,E (Z )=8,求下列随机变量的数学期望.(1) U =2X +3Y +1; (2) V =YZ 4X . 【解】(1) [](231)2()3()1E U E X Y E X E Y =++=++ 25311144.=⨯+⨯+=(2) [][4][]4()E V E YZ X E YZ E X =-=- ,()()4()Y Z E Y E Z E X -因独立1184568.=⨯-⨯=7.设随机变量X ,Y 相互独立,且E (X )=E (Y )=3,D (X )=12,D (Y )=16,求E (3X2Y ),D (2X 3Y ). 【解】(1) (32)3()2()3323 3.E X Y E X E Y -=-=⨯-⨯=(2) 22(23)2()(3)412916192.D X Y D X DY -=+-=⨯+⨯=8.设随机变量(X ,Y )的概率密度为f (x ,y )=⎩⎨⎧<<<<.,0,0,10,其他x y x k试确定常数k ,并求E (XY ). 【解】因1001(,)d d d d 1,2x f x y x y x k y k +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰故k =210()(,)d d d 2d 0.25xE XY xyf x y x y x x y y +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰.9.设X ,Y 是相互独立的随机变量,其概率密度分别为f X (x )=⎩⎨⎧≤≤;,0,10,2其他x x f Y (y )=(5)e ,5,0,.y y --⎧>⎨⎩其他求E (XY ).【解】方法一:先求X 与Y 的均值 12()2d ,3E X x x x ==⎰ 5(5)5()e d 5e d e d 51 6.z y y z z E Y y yz z z +∞+∞+∞=-----=+=+=⎰⎰⎰令由X 与Y 的独立性,得2()()()6 4.3E XY E X E Y ==⨯=方法二:利用随机变量函数的均值公式.因X 与Y 独立,故联合密度为(5)2e ,01,5,(,)()()0,,y X Y x x y f x y f x f y --⎧≤≤>==⎨⎩其他于是11(5)2(5)552()2ed d 2de d 6 4.3y y E XY xy x x y x xy y +∞+∞----===⨯=⎰⎰⎰⎰10.设随机变量X ,Y 的概率密度分别为f X (x )=⎩⎨⎧≤>-;0,0,0,22x x x e f Y (y )=⎩⎨⎧≤>-.0,0,0,44y y y e 求(1) E (X +Y );(2) E (2X 3Y 2).【解】22-200()()d 2ed [e ]e d xx x X X xf x x x x x x +∞+∞+∞--+∞-∞==-⎰⎰⎰201e d .2x x +∞-==⎰401()()d 4e dy .4y Y E Y yf y y y +∞+∞--∞==⎰⎰22242021()()d 4e d .48y Y E Y y f y y y y +∞+∞--∞====⎰⎰从而(1)113()()().244E X Y E X E Y +=+=+=(2)22115(23)2()3()23288E X Y E X E Y -=-=⨯-⨯= 11.设随机变量X 的概率密度为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≥-.0,0,0,22x x cx xke求(1) 系数c ;(2) E (X );(3) D (X ).【解】(1) 由222()d ed 12k x cf x x cx x k+∞+∞--∞===⎰⎰得22c k =. (2) 2220()()d()2e d k x E X xf x x x k x x +∞+∞--∞==⎰⎰22220π2e d .2k x k x x k+∞-==⎰(3) 22222221()()d()2e.k x E X x f x x x k x k +∞+∞--∞==⎰⎰故 222221π4π()()[()].4D X E X E X k k⎛⎫-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭ 12.袋中有12个零件,其中9个合格品,3个废品.安装机器时,从袋中一个一个地取出(取出后不放回),设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量X ,求E (X )和D (X ). 【解】设随机变量X 表示在取得合格品以前已取出的废品数,则X 的可能取值为0,1,2,3.为求其分布律,下面求取这些可能值的概率,易知9{0}0.750,12P X === 39{1}0.204,1211P X ==⨯= 329{2}0.041,121110P X ==⨯⨯= 3219{3}0.005.1211109P X ==⨯⨯⨯=于是,得到X 的概率分布表如下:X0 1 2 3 P0.7500.2040.0410.005由此可得()00.75010.20420.04130.0050.301.E X =⨯+⨯+⨯+⨯=22222222()075010.20420.04130.0050.413()()[()]0.413(0.301)0.322.E X D X E X E X =⨯+⨯+⨯+⨯==-=-=13.一工厂生产某种设备的寿命X (以年计)服从指数分布,概率密度为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤>-.0,0,0,414x x xe为确保消费者的利益,工厂规定出售的设备若在一年损坏可以调换.若售出一台设备,工厂获利100元,而调换一台则损失200元,试求工厂出售一台设备赢利的数学期望. 【解】厂方出售一台设备净盈利Y 只有两个值:100元和200元/41/411{100}{1}e d e 4x P Y P X x +∞--==≥==⎰1/4{200}{1}1e.P Y P X -=-=<=-故1/41/41/4()100e(200)(1e )300e 20033.64E Y ---=⨯+-⨯-=-= (元).14.设X 1,X 2,…,X n 是相互独立的随机变量,且有E (X i )=μ,D (X i )=σ2,i =1,2,…,n ,记∑==n i i S X n X 12,1,S 2=∑=--n i i X X n 12)(11. (1) 验证)(X E =μ,)(X D =n2σ;(2) 验证S 2=)(11122∑=--ni i X n X n ; (3) 验证E (S 2)=σ2.【证】(1) 1111111()()().n nn i i i i i i E X E X E X E X nu u n n n n ===⎛⎫===== ⎪⎝⎭∑∑∑22111111()()n nni i i ii i i D X D X D X X DXn nn ===⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑∑之间相互独立2221.n n nσσ==(2) 因222221111()(2)2nnnniii ii i i i i XX X X X X X nX X X ====-=+-=+-∑∑∑∑2222112nnii i i X nX X nX X nX ===+-=-∑∑故22211()1ni i S X nX n ==--∑. (3) 因2(),()i i E X u D X σ==,故2222()()().i i i E X D X EX u σ=+=+同理因2(),()E X u D X nσ==,故222()E X u nσ=+.从而222221111()()[()()]11n ni i i i E s E X nX E X nE X n n ==⎡⎤=-=-⎢⎥--⎣⎦∑∑221222221[()()]11().1ni i E X nE X n n u n u n n σσσ==--⎡⎤⎛⎫=+-+=⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎣⎦∑15.对随机变量X 和Y ,已知D (X )=2,D (Y )=3,Cov(X ,Y )=1,计算:Cov (3X 2Y +1,X +4Y 3).【解】Cov(321,43)3()10Cov(,)8()X Y X Y D X X Y D Y -++-=+- 3210(1)8328=⨯+⨯--⨯=- (因常数与任一随机变量独立,故Cov(X ,3)=Cov(Y ,3)=0,其余类似). 16.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为f (x ,y )=221,1,π0,.x y ⎧+≤⎪⎨⎪⎩其他试验证X 和Y 是不相关的,但X 和Y 不是相互独立的. 【解】设22{(,)|1}D x y x y =+≤.2211()(,)d d d d πx y E X xf x y x y x x y +∞+∞-∞-∞+≤==⎰⎰⎰⎰ 2π1001=cos d d 0.πr r r θθ=⎰⎰同理E (Y )=0. 而 Cov(,)[()][()](,)d d X Y x E x y E Y f x y x y +∞+∞-∞-∞=--⎰⎰222π1200111d d sin cos d d 0ππx y xy x y r r r θθθ+≤===⎰⎰⎰⎰, 由此得0XY ρ=,故X 与Y 不相关. 下面讨论独立性,当|x |≤1时,2212112()1.ππx X x f x y x ---- 当|y |≤1时,2212112()1ππy Y y f y x y ---. 显然()()(,).X Y f x f y f x y ≠故X和Y不是相互独立的.17.1 0 11 01 1/8 1/8 1/8 1/8 0 1/8 1/8 1/8 1/8验证X和Y是不相关的,但和不是相互独立的.【解】联合分布表中含有零元素,X与Y显然不独立,由联合分布律易求得X,Y及XY的分布律,其分布律如下表X 1 0 1P 382838Y 1 0 1P 382838XY 1 0 1P 284828由期望定义易得E(X)=E(Y)=E(XY)=0.从而E(XY)=E(X)·E(Y),再由相关系数性质知ρXY=0, 即X与Y的相关系数为0,从而X和Y是不相关的.又331{1}{1}{1,1}888P X P Y P X Y =-=-=⨯≠==-=-从而X与Y不是相互独立的.18.设二维随机变量(X,Y)在以(0,0),(0,1),(1,0)为顶点的三角形区域上服从均匀分布,求Cov(X,Y),ρXY.【解】如图,S D=12,故(X,Y)的概率密度为题18图2,(,),(,)0,x y Df x y∈⎧=⎨⎩其他.XY()(,)d d DE X xf x y x y =⎰⎰1101d 2d 3xx x y -==⎰⎰22()(,)d d DE X x f x y x y =⎰⎰11201d 2d 6xx x y -==⎰⎰从而222111()()[()].6318D XE X E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭同理11(),().318E Y D Y == 而 1101()(,)d d 2d d d 2d .12xDDE XY xyf x y x y xy x y x xy y -====⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以1111Cov(,)()()()123336X Y E XY E X E Y =-=-⨯=-. 从而 112)()XY D Y ρ-===-19.设(X ,Y )的概率密度为f (x ,y )=1ππsin(),0,0,2220.x y x y ,⎧+≤≤≤≤⎪⎨⎪⎩其他求协方差Cov (X ,Y )和相关系数ρXY . 【解】π/2π/21π()(,)d d d sin()d .24E X xf x y x y x xx y y +∞+∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰ππ2222201ππ()d sin()d 2.282E X x x x y y =+=+-⎰⎰从而222ππ()()[()] 2.162D XE X E X =-=+-同理 2πππ(),() 2.4162E Y D Y ==+- 又 π/2π/2π()d sin()d d 1,2E XY x xy x y x y =+=-⎰⎰故 2ππππ4Cov(,)()()()1.2444X Y E XY E X E Y -⎛⎫⎛⎫=-=--⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222222π4Cov(,)(π4)π8π164.πππ8π32π8π32()()2162XY X Y D X D Y ρ-⎛⎫- ⎪--+⎝⎭===-=-+-+-+- 20.已知二维随机变量(X ,Y )的协方差矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡4111,试求Z 1=X2Y 和Z 2=2XY 的相关系数.【解】由已知知:D (X )=1,D (Y )=4,Cov(X ,Y )=1.从而12()(2)()4()4Cov(,)1444113,()(2)4()()4Cov(,)414414,D Z D X Y D X D Y X Y D Z D X Y D X D Y X Y =-=+-=+⨯-⨯==-=+-=⨯+-⨯=12Cov(,)Cov(2,2)Z Z X Y X Y =--2Cov(,)4Cov(,)Cov(,)2Cov(,)2()5Cov(,)2()215124 5.X X Y X X Y Y Y D X X Y D Y =--+=-+=⨯-⨯+⨯=故 121212513.26()()134Z Z D Z D Z ρ===⨯21.对于两个随机变量V ,W ,若E (V 2),E (W 2)存在,证明:[E (VW )]2≤E (V 2)E (W 2).这一不等式称为柯西许瓦兹(Couchy Schwarz )不等式. 【证】令2(){[]},.g t E V tW t R =+∈显然22220()[()][2]g t E V tW E V tVW t W ≤=+=++222[]2[][],.E V t E VW t E W t R =++∀∈可见此关于t 的二次式非负,故其判别式Δ≤0, 即2220[2()]4()()E VW E W E V ≥∆=- 2224{[()]()()}.E VW E V E W =-故222[()]()()}.E VW E V E W ≤22.假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从参数λ=1/5的指数分布.设备定时开机,出现故障时自动关机,而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数F (y ).【解】设Y 表示每次开机后无故障的工作时间,由题设知设备首次发生故障的等待时间X ~E (λ),E (X )=1λ=5. 依题意Y =min(X ,2).对于y <0,f (y )=P {Y ≤y }=0. 对于y ≥2,F (y )=P (X ≤y )=1.对于0≤y <2,当x ≥0时,在(0,x )无故障的概率分布为P {X ≤x }=1e λx,所以F (y )=P {Y ≤y }=P {min(X ,2)≤y }=P {X ≤y }=1e y/5.23.已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放乙箱后,求:(1)乙箱中次品件数Z 的数学期望;(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 【解】(1) Z 的可能取值为0,1,2,3,Z 的概率分布为33336C C {}C k kP Z k -==, 0,1,2,3.k = Z =k0 1 2 3P k120 920 920120因此,()0123.202020202E Z =⨯+⨯+⨯+⨯=(2) 设A 表示事件“从乙箱中任取出一件产品是次品”,根据全概率公式有30(){}{|}k P A P Z k P A Z k ====∑191921310.202062062064=⨯+⨯+⨯+⨯= 24.假设由自动线加工的某种零件的径X (毫米)服从正态分布N (μ,1),径小于10或大于12为不合格品,其余为合格品.销售每件合格品获利,销售每件不合格品亏损,已知销售利润T (单位:元)与销售零件的径X 有如下关系T =⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤<-.12,5,1210,20,10,1X X X 若若若 问:平均直径μ取何值时,销售一个零件的平均利润最大?【解】(){10}20{1012}5{12}E T P X P X P X =-<+≤≤->{10}20{1012}5{12}(10)20[(12)(10)]5[1(12)]25(12)21(10) 5.P X u u P u X u u P X u u u u u u u u =--<-+-≤-≤--->-=-Φ-+Φ--Φ---Φ-=Φ--Φ--故2/2d ()25(12)(1)21(10)(1)0(()),d 2x E T u u x u ϕϕϕπ-=-⨯---⨯-= 令这里得 22(12)/2(10)/225e 21eu u ----=两边取对数有2211ln 25(12)ln 21(10).22u u --=--解得 125111ln 11ln1.1910.91282212u =-=-≈(毫米)由此可得,当u =10.9毫米时,平均利润最大.25.设随机变量X 的概率密度为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤.,0,0,2cos 21其他πx x 对X 独立地重复观察4次,用Y 表示观察值大于π/3的次数,求Y 2的数学期望.(2002研考)【解】令 π1,,3(1,2,3,4)π0,3i X Y i ⎧>⎪⎪==⎨⎪≤⎪⎩X .则41~(4,)i i Y Y B p ==∑.因为ππ{}1{}33p P X P X =>=-≤及π/30π11{}cos d 3222x P X x ≤==⎰,所以111(),(),()42,242i i E Y D Y E Y ===⨯=2211()41()()22D YE Y EY =⨯⨯==-,从而222()()[()]12 5.E Y D Y E Y =+=+=26.两台同样的自动记录仪,每台无故障工作的时间T i (i =1,2)服从参数为5的指数分布,首先开动其中一台,当其发生故障时停用而另一台自动开启.试求两台记录仪无故障工作的总时间T =T 1+T 2的概率密度f T (t ),数学期望E (T )及方差D (T ). 【解】由题意知:55e ,0,()0,0t i t f t t -⎧≥=⎨<⎩.因T 1,T 2独立,所以f T (t )=f 1(t )*f 2(t ).当t <0时,f T (t )=0;当t ≥0时,利用卷积公式得55()5120()()()d 5e 5e d 25e tx t x t T f t f x f t x x x t +∞-----∞=-==⎰⎰故得525e ,0,()0,0.t T t t f t t -⎧≥=⎨<⎩ 由于T i ~E (5),故知E (T i )=15,D (T i )=125(i =1,2)因此,有E (T )=E (T 1+T 2)=25.又因T 1,T 2独立,所以D (T )=D (T 1+T 2)=225. 27.设两个随机变量X ,Y 相互独立,且都服从均值为0,方差为1/2的正态分布,求随机变量|X Y |的方差. 【解】设Z =XY ,由于22~0,,~0,,22X N Y N ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭且X 和Y 相互独立,故Z ~N (0,1).因22()()(||)[(||)]D X Y D Z E Z E Z -==-22()[()],E Z E Z =-而22/2()()1,(||)||e d 2πz E Z D Z E Z z z +∞--∞===⎰ 2/202e d π2πz z z +∞-==⎰, 所以 2(||)1πD X Y -=-. 28.某流水生产线上每个产品不合格的概率为p (0<p <1),各产品合格与否相互独立,当出现一个不合格产品时,即停机检修.设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为X ,求E (X )和D (X ). 【解】记q =1p ,X 的概率分布为P {X =i }=q i 1p ,i =1,2,…,故12111()().1(1)i ii i q p E X iq p p q p q q p ∞∞-=='⎛⎫'===== ⎪--⎝⎭∑∑ 又221211121()()i i i i i i E X i qp i i q p iq p ∞∞∞---=====-+∑∑∑2232211()12112.(1)ii q pq q pq p q p pq q p q p p p∞=''⎛⎫''=+=+⎪-⎝⎭+-=+==-∑所以 22222211()()[()].p pD XE X E X p p p--=-=-=题29图29.设随机变量X 和Y 的联合分布在点(0,1),(1,0)及(1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布.(如图),试求随机变量U =X +Y 的方差. 【解】D (U )=D (X +Y )=D (X )+D (Y )+2Cov(X ,Y )=D (X )+D (Y )+2[E (XY )E (X )·E (Y )]. 由条件知X 和Y 的联合密度为2,(,),(,)0,0.x y G f x y t ∈⎧=⎨<⎩ {(,)|01,01,1}.G x y x y x y =≤≤≤≤+≥ 从而11()(,)d 2d 2.X xf x f x y y y x +∞-∞-===⎰⎰因此11122300031()()d 2d ,()2d ,22X E X xf x x x x E X x x =====⎰⎰⎰22141()()[()].2918D XE X E X =-=-=同理可得 31(),().218E Y D Y ==1115()2d d 2d d ,12xGE XY xy x y x x y y -===⎰⎰⎰⎰541Cov(,)()()(),12936X Y E XY E X E Y =-=-=- 于是 1121()().18183618D U D X Y =+=+-=30.设随机变量U 在区间[2,2]上服从均匀分布,随机变量X =1,1,1,1,U U -≤-⎧⎨>-⎩ Y =1,1,1, 1.U U -≤⎧⎨>⎩若试求(1)X 和Y 的联合概率分布;(2)D (X +Y ).【解】(1) 为求X 和Y 的联合概率分布,就要计算(X ,Y )的4个可能取值(1,1),(1,1),(1,1)及(1,1)的概率.P {x =1,Y =1}=P {U ≤1,U ≤1} 112d d 1{1}444x x P U ---∞-=≤-===⎰⎰P {X =1,Y =1}=P {U ≤1,U >1}=P {∅}=0,P {X =1,Y =1}=P {U >1,U ≤1}11d 1{11}44x P U -=-<≤==⎰21d 1{1,1}{1,1}{1}44x P X Y P U U P U ===>->=>=⎰. 故得X 与Y 的联合概率分布为(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(,)~1110424X Y ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (2) 因22()[()][()]D X Y E X Y E X Y +=+-+,而X +Y 及(X +Y )2的概率分布相应为202~111424X Y -⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎣⎦, 24()~1122X Y ⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎣⎦. 从而11()(2)20,44E X Y +=-⨯+⨯= 211[()]042,22E X Y +=⨯+⨯=所以22()[()][()] 2.D X Y E X Y E X Y +=+-+= 31.设随机变量X 的概率密度为f (x )=x-e 21,(∞<x <+∞)(1) 求E (X )及D (X );(2) 求Cov(X ,|X |),并问X 与|X |是否不相关? (3) 问X 与|X |是否相互独立,为什么?【解】(1)||1()e d 0.2x E X xx +∞--∞==⎰ 2||201()(0)e d 0e d 2.2x x D X x x x x +∞+∞---∞=-==⎰⎰(2) Cov(,|)(||)()(||)(||)X X E X X E X E X E X X =-= ||1||e d 0,2x x x x +∞--∞==⎰所以X 与|X |互不相关.(3) 为判断|X |与X 的独立性,需依定义构造适当事件后再作出判断,为此,对定义域∞<x <+∞中的子区间(0,+∞)上给出任意点x 0,则有0000{}{||}{}.x X x X x X x -<<=<⊂<所以000{||}{} 1.P X x P X x <<<<<故由00000{,||}{||}{||}{}P X x X x P X x P X x P X x <<=<><<得出X 与|X |不相互独立.32.已知随机变量X 和Y 分别服从正态分布N (1,32)和N (0,42),且X 与Y 的相关系数ρXY =1/2,设Z =23YX +. (1) 求Z 的数学期望E (Z )和方差D (Z ); (2) 求X 与Z 的相关系数ρXZ ;(3) 问X 与Z 是否相互独立,为什么? 【解】(1) 1().323X Y E Z E ⎛⎫=+=⎪⎝⎭ ()2Cov ,3232XY X Y D Z D D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11119162Cov(,),9432X Y =⨯+⨯+⨯⨯ 而1Cov(,)()()3462XY X Y D X D Y ρ⎛⎫==-⨯⨯=- ⎪⎝⎭所以 1()146 3.3D Z =+-⨯= (2) 因()()11Cov(,)Cov ,Cov ,Cov ,3232X Y X Z X X X X Y ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 119()(6)3=0,323D X =+⨯-=- 所以 0.()()XZ D X D Z ρ==(3) 由0XZ ρ==,得X 与Z 不相关.又因1~,3,~(1,9)3Z N X N ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以X 与Z 也相互独立.33.将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 表示正面向上和反面向上的次数.试求X 和Y 的相关系数XY ρ.【解】由条件知X +Y =n ,则有D (X +Y )=D (n )=0.再由X ~B (n ,p ),Y ~B (n ,q ),且p =q =12, 从而有 ()()4nD X npq D Y ===所以 0()()()2()()XY D X Y D X D Y D X D Y ρ=+=++2,24XY n nρ=+ 故XY ρ= 1.34.设随机变量X 和Y 的联合概率分布为1 0 10 10.07 0.18 0.15 0.08 0.32 0.20试求X 和Y 的相关系数ρ.【解】由已知知E (X )=0.6,E (Y )=0.2,而XY 的概率分布为YX 1 01P0.08 0.72 0.2所以E (XY )=0.08+0.2=0.12Cov(X ,Y )=E (XY )E (X )·E (Y )=0.120.6×0.2=0从而 XY ρ=035.对于任意两事件A 和B ,0<P (A )<1,0<P (B )<1,则称ρ=())()()()()()(B P A P B P A P B P A P AB P ⋅-为事件A 和B 的相关系数.试证:(1) 事件A 和B 独立的充分必要条件是ρ=0; (2) |ρ|≤1. 【证】(1)由ρ的定义知,ρ=0当且仅当P (AB )P (A )·P (B )=0.而这恰好是两事件A 、B 独立的定义,即ρ=0是A 和B 独立的充分必要条件. (2) 引入随机变量X 与Y 为1,,0,A X A ⎧⎪=⎨⎪⎩若发生若发生; 1,,0,B Y B ⎧⎪=⎨⎪⎩若发生若发生.由条件知,X 和Y 都服从01分布,即01~1()()X P A P A ⎧⎨-⎩ 01~1()()Y P B P B ⎧⎨-⎩从而有E (X )=P (A ),E (Y )=P (B ),D (X )=P (A )·P (A ),D (Y )=P (B )·P (B ),Cov(X ,Y )=P (AB )P (A )·P (B )所以,事件A 和B 的相关系数就是随机变量X 和Y 的相关系数.于是由二元随机变量相关系数的基本性质可得|ρ|≤1. 36. 设随机变量X 的概率密度为YXf X (x )=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<<-.,0,20,41,01,21其他x x令Y =X 2,F (x ,y )为二维随机变量(X ,Y )的分布函数,求:(1) Y 的概率密度f Y (y ); (2) Cov(X ,Y );(3)1(,4)2F -. 解: (1) Y 的分布函数为2(){}{}Y F y P Y y P X y =≤=≤.当y ≤0时, ()0Y F y =,()0Y f y =; 当0<y <1时,(){{0}{0Y F y P X P X P X =≤≤=≤<+≤≤=,()Y f y =;当1≤y <4时,1(){10}{02Y F y P X P X =-≤<+≤≤=()Y f y =;当y ≥4时,()1Y F y =,()0Y f y =. 故Y 的概率密度为1,()04,0,.Y y f y y <<=≤<⎪⎩其他(2) 0210111()()d d d 244+X E X =xf x x x x x x ∞∞=+=⎰⎰⎰--, 02222210115()()()d d d )246+X E Y =E X =x f x x x x x x ∞∞=+=⎰⎰⎰--, 02233310117()()()d d d 248+X E XY =E Y =x f x x x x x x ∞∞=+=⎰⎰⎰--, 故 Cov(X,Y ) =2()()()3E XY E X E Y =⋅-.(3) 2111(,4){,4}{,4}222F P X Y P X X -=≤-≤=≤-≤11{,22}{2}22P X X P X =≤--≤≤=-≤≤-11{1}24P X =-≤≤-=.37. 设随机变量X 服从参数为1的泊松分布,求P{X=E(X 2)}.解:因为其分布律为P{x=k}=1!e k -,k=0,1,2,…,12211011121111()!(1)!(1)!11(2)!(1)!() 2.k k k k k e k k E X k e e k k k e k k e e e -∞∞∞--===∞∞-==--+===--⎛⎫=+ ⎪--⎝⎭=+=∑∑∑∑∑所以211{()}{2}.2!2P x E X P X e e --=====所以。
各章大体题详解习题一一、选择题1. (A )A B A B B ⊂−−→=;(B )B A A B A B B ⊂−−→⊂−−→=; (C )AB A B A B B φ=−−→⊂−−→=;(D )AB B A φ=−−→⊂ 不必然能推出A B B =(除非A B =)所以 选(D )2. ()()()()()()()P A B P AB P AB P A P B P A P B -==--++ ()()()P A P B P AB =+-所以 选(C )3. )()()()()()()()|(A P B P A P B P A P B P AB P B A P B A ≥−→−==−→−⊂所以 选(B )4. 1)(0)()()()()(==−→−==B P A P B P A P AB P A P 或 所以 选(B )5. (A )若B A =,则φ=AB ,且φ==A A B A ,即B A ,不相容(B )若φ≠⊃B A ,且Ω≠A ,则φ≠AB ,且φ≠=A B A ,即B A ,相容 (C )若φφ≠=B A ,,则φ=AB ,且φ≠=B B A ,即B A ,相容 (D )若φ≠AB ,不必然能推出φ=B A 所以 选(D )6. (A )若φ≠AB ,不必然能推出)()()(B P A P AB P =(B )若1)(=A P ,且φ≠⊃B A ,则)()()()(B P A P B P AB P ==,即A,B 独立(C )若φ=AB ,1)(0<<A P ,1)(0<<B P ,则)()()(B P A P AB P ≠ (D )若1)(=A P ,则A 与任何事件都彼此独立 所以 选(B )7. 射击n 次才命中k 次,即前1-n 次射击恰好命中1-k 次,且第n 次射击时命中目标,所以 选(C )二、填空题8. C A C A C A A C A C A C A C A )())((= C C C C A A C C A C A C ==== ))(()()( 所以 C B =9. 共有44⨯种大体事件,向后两个邮筒投信有22⨯种大体事件,故所求概率为414422=⨯⨯ 10. 设事件A 表示两数之和大于21,则 样本空间}10,10|),{(<<<<=Ωy x y x ,}10,10,21|),{(<<<<>+=y x y x y x A 872121211=⋅⋅-==ΩS S P A 11. 由1.0)(,8.0)(=-=B A P A P ,得7.0)(=AB P ,故3.0)(=AB P 12. 由4.0)(,3.0)(,2.0)(===B A P B P A P ,得1.0)(=AB P ,故2.0)()()(=-=AB P B P A B P 13. 2.0)|()()(==A B P A P AB P ,故8.0)|()()(==B A P AB P B P14. )()()()()()()()(ABC P CA P BC P AB P C P B P A P C B A P +---++=)()()()()()()()()()()()(C P B P A P A P C P C P B P B P A P C P B P A P +---++=2719=15. 由于A,B 彼此独立,可得91)()()(==B P A P B A P ,)()(B A P B A P =,于是31)()(==B P A P ,故32)(=B P 三、计算题16.(1))},,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,{(T T T H T T T H T H H T T T H H T H T H H H H H =Ω;(2)}3,2,1,0{=Ω;(3)}1|),{(22≤+=Ωy x y x ;(4)}5:0,5:1,5:2,5:3,5:4,4:5,3:5,2:5,1:5,0:5{=Ω 17.(1)C B A ; (2))(C B A ; (3)C B A C B A C B A ; (4)AC BC AB ; (5)C B A ; (6)C B A ; (7)ABC18. 法一,由古典概率可知,所求概率为:2016420109⋅C ;法二,由伯努利定理可知,所求概率为:1644209.01.0⋅⋅C19. 只有唯一的一个六位数号码开能打开锁。
习题4.11.设10个零件中有3个不合格. 现任取一个使用,若取到不合格品,则丢弃重新抽取一个,试求取到合格品之前取出的不合格品数X 的数学期望.解 可得X 的概率分布为0123~77711030120120X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是X 的数学期望为7771()012310301201204531208E X =⨯+⨯+⨯+⨯==2..某人有n 把外形相似的钥匙,其中只有1把能打开房门,但他不知道是哪一把,只好逐把试开.求此人直至将门打开所需的试开次数X 的数学期望.解 可得X 的概率分布为12~111n X nn n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是X 的数学期望为111()121(1)122E X n n n nn n n n =⨯+⨯++⨯++==3.设5次重复独立试验中每次试验的成功率为0.9,若记失败次数为X ,求X 的数学期望。
解 由题意~(5,0.1)X B ,则X 的数学期望为()50.10.5E X =⨯=4.设某地每年因交通事故死亡的人数服从泊松分布.据统计,在一年中因交通事故死亡一人的概率是死亡两人的概率的21,求该地每年因交通事故死亡的平均人数。
解 设该地每年因交通事故死亡的人数为X ,由题意X 服从泊松分布() (0)P λλ>.因1{1}{2}2P X P X === 即121 41!22!ee λλλλλ--=⇒= 于是X 的数学期望为()4E X λ==所以地每年因交通事故死亡的平均人数为4人。
5.设随机变量X 在区间(1,7)上服从均匀分布,求2{()}P X E X <. 解 因X 在区间(1,7)上服从均匀分布,故X 的数学期望为17()42E X +== 于是22{()}{4}1 {22}6P X E X P X P X <=<=<-<<=6.设连续型随机变量X 的概率密度为01() (,0)0 b ax x p x a b ⎧<<=>⎨⎩其它又知()0.75E X =,求,a b 的值解 由密度函数的性质可得()1p x dx +∞-∞=⎰即1111b aax dx b =⇒=+⎰又由()0.75E X =,可得1()0.75b xp x dx x ax dx +∞-∞=⋅=⎰⎰即0.752ab =+ 求解110.752a b a b ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ 可得 3,2a b ==.7.设随机变量X 的概率密度为0<1()2 120 x x p x x x <⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其它求数学期望()E X解12013312201()() (2) ()133E X xp x dxx xdx x x dx x x x +∞-∞==⋅+⋅-=+-=⎰⎰⎰8.设随机变量X 的概率分布为 X -2 -1 0 1 P 0.2 0.3 0.1 0.4 求(1)(21)E X -;(2)2()E X .解 (1) (21)2()1E X E X -=- 其中()20.210.3010.40.3E X =-⨯-⨯++⨯=-则(21)2()12(0.3)1 1.6E X E X -=-=⨯--=-(2)22222()0.2(2)0.3(1)0.100.41 1.5E X =⨯-+⨯-+⨯+⨯=9.假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作。
第一章 随机事件与概率习题1.11. 写出下列随机试验的样本空间:(1)抛三枚硬币; (2)抛三颗骰子;(3)连续抛一枚硬币,直至出现正面为止;(4)口袋中有黑、白、红球各一个,从中任取两个球,先从中取出一个,放回后再取出一个; (5)口袋中有黑、白、红球各一个,从中任取两个球,先从中取出一个,不放回后再取出一个. 解:(1)Ω = {(0, 0, 0),(0, 0, 1),(0, 1, 0),(1, 0, 0),(0, 1, 1),(1, 0, 1),(1, 1, 1),(1, 1, 1)},其中出现正面记为1,出现反面记为0; (2)Ω = {(x 1 , x 2 , x 3):x 1 , x 2 , x 3 = 1, 2, 3, 4, 5, 6};(3)Ω = {(1),(0, 1),(0, 0, 1),(0, 0, 0, 1),…,(0, 0, …, 0, 1),…},其中出现正面记为1,出现反面记为0;(4)Ω = {BB ,BW ,BR ,WW ,WB ,WR ,RR ,RB ,RW},其中黑球记为B ,白球记为W ,红球记为R ; (5)Ω = {BW ,BR ,WB ,WR ,RB ,RW},其中黑球记为B ,白球记为W ,红球记为R .2. 先抛一枚硬币,若出现正面(记为Z ),则再掷一颗骰子,试验停止;若出现反面(记为F ),则再抛一枚硬币,试验停止.那么该试验的样本空间Ω是什么? 解:Ω = {Z1,Z2,Z3,Z4,Z5,Z6,FZ ,FF}. 3. 设A , B , C 为三事件,试表示下列事件:(1)A , B , C 都发生或都不发生; (2)A , B , C 中不多于一个发生; (3)A , B , C 中不多于两个发生; (4)A , B , C 中至少有两个发生. 解:(1)C B A ABC U ;(2)C B A C B A C B A C B A U U U ;(3)ABC 或C B A C B A C B A C B A BC A C B A C AB U U U U U U ; (4)ABC BC A C B A C AB U U U . 4. 指出下列事件等式成立的条件:(1)A ∪B = A ; (2)AB = A . 解:(1)当A ⊃ B 时,A ∪B = A ;(2)当A ⊂ B 时,AB = A .5. 设X 为随机变量,其样本空间为Ω = {0 ≤ X ≤ 2},记事件A = {0.5 < X ≤ 1},B = {0.25 ≤ X < 1.5},写出下列各事件:(1)B A ; (2)B A U ;(3)AB ; (4)B A U .解:(1)}5.11{}5.025.0{<<≤≤=X X B A U ;(2)Ω=≤≤=}20{X B A U ;(3)A X X AB =≤<≤≤=}21{}5.00{U ; (4)B X X B A =≤≤<≤=}25.1{}25.00{U U .6. 检查三件产品,只区分每件产品是合格品(记为0)与不合格品(记为1),设X 为三件产品中的不合格品数,指出下列事件所含的样本点:A =“X = 1”,B =“X > 2”,C =“X = 0”,D =“X = 4”.解:A = {(1, 0, 0),(0, 1, 0),(0, 0, 1)},B = {(1, 1, 1)},C = {(0, 0, 0)},D = ∅. 7. 试问下列命题是否成立?(1)A − (B − C ) = (A − B )∪C ;(2)若AB = ∅且C ⊂ A ,则BC = ∅; (3)(A ∪B ) − B = A ; (4)(A − B )∪B = A .解:(1)不成立,C B A AC B A AC B A C B A C B A C B A C B A U U U U )()()()(−≠−====−=−−;(2)成立,因C ⊂ A ,有BC ⊂ AB = ∅,故BC = ∅;(3)不成立,因A B A B A B B B A B B A B B A ≠−====−U U U )()(; (4)不成立,因A B A B B B A B B A B B A ≠===−U U U U U ))(()(. 8. 若事件ABC = ∅,是否一定有AB = ∅?解:不能得出此结论,如当C = ∅时,无论AB 为任何事件,都有ABC = ∅. 9. 请叙述下列事件的对立事件:(1)A =“掷两枚硬币,皆为正面”; (2)B =“射击三次,皆命中目标”;(3)C =“加工四个零件,至少有一个合格品”. 解:(1)=A “掷两枚硬币,至少有一个反面”;(2)=B “射击三次,至少有一次没有命中目标”; (3)=C “加工四个零件,皆为不合格品”. 10.证明下列事件的运算公式:(1)B A AB A U =; (2)B A A B A U U =.证:(1)A A B B A B A AB =Ω==)(U U ;(2)B A B A B A A A B A A U U U U U =Ω==)())((. 11.设F 为一事件域,若A n ∈F ,n = 1, 2, …,试证:(1)∅ ∈F ;(2)有限并∈=U ni i A 1F ,n ≥ 1;(3)有限交∈=I ni i A 1F ,n ≥ 1;(4)可列交∈+∞=I 1i i A F ;(5)差运算A 1 − A 2 ∈ F .证:(1)由事件域定义条件1,知 Ω ∈F ,再由定义条件2,可得∅∈Ω=F ;(2)在定义条件3中,取A n + 1 = A n + 2 = … = ∅,可得∈=∞==U U 11i i ni i A A F ;(3)由定义条件2,知∈n A A A ,,,21L F ,根据(2)小题结论,可得∈=U ni i A 1F ,再由定义条件2,知∈=U ni i A 1F ,即∈=I ni i A 1F ;(4)由定义条件2,知∈L L ,,,,21n A A A F ,根据定义条件3,可得∈∞=U 1i i A F ,再由定义条件2,知∈∞=U 1i i A F ,即∈∞=I 1i i A F ;(5)由定义条件2,知∈2A F ,根据(3)小题结论,可得∈21A A F ,即A 1 − A 2 ∈ F .习题1.21. 对于组合数⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛r n ,证明:(1)⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛r n n r n ; (2)⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛r n r n r n 111; (3)nn n n n 210=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛L ; (4)12221−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n n L ; (5)⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n b a b n a n b a n b a 0110L ,n = min{a , b }; (6)⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n 210222L . 证:(1)⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−=−−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−r n r r n n r n n r n n r n n !)!(!)]!([)!(!; (2)⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−=−+−−=−−−+−−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−r n r n r n r n r r n r n r n r n r n r n r n r n )!(!!)]([)!(!)!1()!1(!)!1()!()!1()!1(111; (3)由二项式展开定理nn n n y n n y x n x n y x ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=+−L 110)(,令x = y = 1,得 nn n n n 210=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛L ; (4)当1 ≤ r ≤ n 时,⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=−⋅−−=−⋅−=−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛11)!()!1()!1()!()!1(!)!(!!r n n r n r n n r n r n r n r n rr n r , 故12111101221−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n n n n n n n n n L L ; (5)因a ax a a x a a x ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=+L 10)1(,b b x b b x b b x ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=+L 10)1(, 两式相乘,其中x n 的系数为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛0110b n a n b a n b a L ,另一方面ba b a b a x a b a x b a b a x x x ++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=+=++L 10)1()1()1(, 其中x n 的系数为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+n b a ,即⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n b a b n a n b a n b a 0110L ; (6)在(5)小题结论中,取a = b = n ,有⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n n n n n n 20110L , 再由(1)小题结论,知⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛r n n r n ,即⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n 210222L . 2. 抛三枚硬币,求至少出现一个正面的概率.解:样本点总数n = 23 = 8,事件“至少出现一个正面”的对立事件为“三个都是反面”,其所含样本点个数为1, 即事件“至少出现一个正面”所含样本点个数为k = 8 − 1 = 7,故所求概率为87)(=A P . 3. 任取两个正整数,求它们的和为偶数的概率. 解:将所有正整数看作两个类“偶数”、“奇数”,样本点总数n = 22 = 4,事件“两个都是偶数”所含样本点个数为1,事件“两个都是奇数”所含样本点个数也为1, 即事件A =“它们的和为偶数”所含样本点个数k = 2,故所求概率为2142)(==A P .4. 掷两枚骰子,求下列事件的概率:(1)点数之和为6; (2)点数之和不超过6; (3)至少有一个6点. 解:样本点总数n = 62 = 36.(1)事件A 1 =“点数之和为6”的样本点有 (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1),即个数k 1 = 5,故所求概率为365)(1=A P ;(2)事件A 2 =“点数之和不超过6”的样本点有(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (5, 1), 即个数k 2 = 15,故所求概率为1253615)(2==A P ;(3)事件A 3 =“至少有一个6点”的样本点有(1, 6), (6, 1), (2, 6), (6, 2), (3, 6), (6, 3), (4, 6), (6, 4), (5, 6), (6, 5), (6, 6), 即个数k 3 = 11,故所求概率为3611)(3=A P .5. 考虑一元二次方程x 2 + Bx + C = 0,其中B , C 分别是将一颗骰子接连掷两次先后出现的点数,求该方程有实根的概率p 和有重根的概率q . 解:样本点总数n = 62 = 36,事件A 1 =“该方程有实根”,即B 2 − 4C ≥ 0,样本点有(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6),即个数k 1 = 19,故36191==n k p . 事件A 2 =“该方程有重根”,即B 2 − 4C = 0,样本点有(2, 1),(4, 4),即个数k 2 = 2,故1813622===n k q . 6. 从一副52张的扑克牌中任取4张,求下列事件的概率:(1)全是黑桃; (2)同花;(3)没有两张同一花色; (4)同色.解:样本点总数270725123449505152452=××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ,(1)事件A 1 =“全是黑桃”所含样本点个数7151234101112134131=××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k , 故所求概率为0026.0270725715)(1==A P ;(2)事件A 2 =“同花”所含样本点个数2860123410111213441342=×××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×=k , 故所求概率为0106.02707252860)(2==A P ;(3)事件A 3 =“没有两张同一花色”所含样本点个数k 3 = 13 × 13 × 13 × 13 = 28561,故所求概率为1055.027072528561)(3==A P ;(4)事件A 4 =“同色”所含样本点个数29900123423242526242624=×××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×=k , 故所求概率为1104.027072529900)(4==A P .7. 设9件产品中有2件不合格品.从中不返回地任取2个,求取出的2个中全是合格品、仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少?解:样本点总数36128929=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n , 事件A 1 =“全是合格品”所含样本点个数211267271=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ,故所求概率为1273621)(1==A P ; 事件A 2 =“仅有一个合格品”所含样本点个数142712171=×=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ,故所求概率为1873614)(2==A P ;事件A 3 =“没有合格品”所含样本点个数1223=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ,故所求概率为361)(3=A P . 8. 口袋中有7个白球、3个黑球,从中任取两个,求取到的两个球颜色相同的概率.解:样本点总数4512910210=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ,事件A =“两个球颜色相同”所含样本点个数24122312672327=××+××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k , 故所求概率为1584524)(==A P . 9. 甲口袋有5个白球、3个黑球,乙口袋有4个白球、6个黑球.从两个口袋中各任取一球,求取到的两个球颜色相同的概率. 解:样本点总数n = 8 × 10 = 80,事件A =“两个球颜色相同”所含样本点个数k = 5 × 4 + 3 × 6 = 38,故所求概率为40198038)(==A P .10.从n 个数1, 2, …, n 中任取2个,问其中一个小于k (1 < k < n ),另一个大于k 的概率是多少?解:样本点总数)1(212−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n n n N , 事件A = “其中一个小于k ,另一个大于k ”所含样本点个数K = (k − 1)(n − k ), 故所求概率为)1())(1(2)(−−−=n n k n k A P .11.口袋中有10个球,分别标有号码1到10,现从中不返回地任取4个,记下取出球的号码,试求:(1)最小号码为5的概率; (2)最大号码为5的概率.解:样本点总数210123478910410=××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n , (1)事件A 1 =“最小号码为5”所含样本点个数10123345351=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k , 故所求概率为21121010)(1==A P ; (2)事件A 2 =“最大号码为5”所含样本点个数4123234342=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ,故所求概率为10522104)(2==A P . 12.掷三颗骰子,求以下事件的概率:(1)所得的最大点数小于等于5; (2)所得的最大点数等于5. 解:样本点总数n = 63 = 216,(1)事件A 1 =“所得的最大点数小于等于5”所含样本点个数k 1 = 53 = 125,故所求概率为216125)(1=A P ; (2)事件A 2 =“所得的最大点数等于5”所含样本点个数k 2 = 53 − 43 = 61,故所求概率为21661)(2=A P .13.把10本书任意地放在书架上,求其中指定的四本书放在一起的概率. 解:样本点总数n = 10!,事件A =“其中指定的四本书放在一起”所含样本点个数k = 4! × 7!,故所求概率为30189101234!10!7!4)(=×××××=×=A P . 14.n 个人随机地围一圆桌而坐,求甲乙两人相邻而坐的概率. 解:样本点总数N = (n − 1)!,事件A =“甲乙两人相邻而坐”所含样本点个数k = 2! × (n − 2)!,故所求概率为12)!1()!2(!2)(−=−−×=n n n A P . 15.同时掷5枚骰子,试证明:(1)P {每枚都不一样} = 0.0926; (2)P {一对} = 0.4630; (3)P {两对} = 0.2315;(4)P {三枚一样} = 0.1543(此题有误); (5)P {四枚一样} = 0.0193; (6)P {五枚一样} = 0.0008. 解:样本点总数n = 65 = 7776,(1)事件“每枚都不一样”所含样本点个数72023456561=××××==A k ,故P {每枚都不一样}0926.07776720==; (2)事件“一对”所含样本点个数3600345124563525162=××××××=⋅⋅=A C A k , 故P {一对}4630.077763600==; (3)事件“两对”所含样本点个数18004122312451256142325263=×××××××××=⋅⋅⋅=A C C C k ,故P {两对}2315.077761800==; (4)事件“三枚一样”所含样本点个数15005123345652235164=××××××=⋅⋅=C A k ,故P {三枚一样}1929.077761500==; 事件“三枚一样且另两枚不一样”所含样本点个数12004512334562535164=×××××××=⋅⋅=A C A k ,故P {三枚一样且另两枚不一样}1543.077761200==; (5)事件“四枚一样”所含样本点个数15051234234561545165=××××××××=⋅⋅=A C A k ,故P {四枚一样}0193.07776150==; (6)事件“五枚一样”所含样本点个数6161555166=×=⋅⋅=A C A k ,故P {五枚一样}0008.077766==. 16.一个人把六根草紧握在手中,仅露出它们的头和尾.然后随机地把六个头两两相接,六个尾也两两相接.求放开手后六根草恰巧连成一个环的概率.解:在同一种六个头两两相接情况下,只需考虑六个尾两两相接的样本点总数n = 5 × 3 = 15,事件A =“放开手后六根草恰巧连成一个环”所含样本点个数k = 4 × 2 = 8,故所求概率为158)(=A P .17.把n 个“0”与n 个“1”随机地排列,求没有两个“1”连在一起的概率.解:样本点总数!!)!2(2n n n n n N ⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=,事件A =“没有两个‘1’连在一起”所含样本点个数11+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=n n n k , 故所求概率为)!2()!1(!)(n n n A P +⋅=.18.设10件产品中有2件不合格品,从中任取4件,设其中不合格品数为X ,求X 的概率分布.解:样本点总数210123478910410=××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n , 事件X = 0所含样本点个数7011234567802480=×××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k , 故所求概率为3121070}0{===X P ; 事件X = 1所含样本点个数112212367812381=×××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k , 故所求概率为158210112}1{===X P ; 事件X = 2所含样本点个数281127822282=×××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ,故所求概率为15221028}2{===X P . 19.n 个男孩,m 个女孩(m ≤ n + 1)随机地排成一排,试求任意两个女孩都不相邻的概率.解:样本点总数!!)!(m n m n n m n N ⋅+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=,事件A =“任意两个女孩都不相邻”所含样本点个数)!1(!)!1(1m n m n m n k −+⋅+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=, 故所求概率为)2()1)(()2()1()!1()!()!1(!)(+−++−+−=−+⋅++⋅=n m n m n m n n n m n m n n n A P L L .20.将3个球随机放入4个杯子中去,求杯子中球的最大个数X 的概率分布. 解:样本点总数n = 43 = 64,事件X = 1所含样本点个数24234341=××==A k ,故所求概率为836424}1{===X P ; 事件X = 2所含样本点个数363341323142=××==A C A k ,故所求概率为1696436}2{===X P ; 事件X = 3所含样本点个数4143==A k ,故所求概率为161644}3{===X P . 21.将12只球随意地放入3个盒子中,试求第一个盒子中有3只球的概率. 解:样本点总数n = 312 = 531441,事件A =“第一个盒子中有3只球”所含样本点个数11264051212310111223129=×××××=×⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k , 故所求概率为2120.0531441112640)(==A P .22.将n 个完全相同的球(这时也称球是不可辨的)随机地放入N 个盒子中,试求:(1)某个指定的盒子中恰好有k 个球的概率; (2)恰好有m 个空盒的概率;(3)某指定的m 个盒子中恰好有j 个球的概率.解:样本点总数为N 取n 次的重复组合,即)!1(!)!1(1−⋅−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=N n n N n n N M , (1)事件A 1 =“某个指定的盒子中恰好有k 个球”所含样本点个数为N − 1取n − k 次的重复组合,即)!2()!()!2(21)(11−⋅−−−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−+−=N k n k n N k n k n N k n k n N K , 故所求概率为)1()2)(1()1()1()1()!2()!()!1()!1(!)!2()(1−−+−+−+−⋅+−−=−⋅−⋅−+−⋅⋅−−+=k n N n N n N N k n n n N k n n N N n k n N A P L L ;(2)事件A 2 =“恰好有m 个空盒”所含样本点个数可分两步考虑:首先N 选m 次的组合,选出m 个空盒,而其余N − m 个盒中每一个都分别至少有一个球, 其次剩下的n − (N − m )个球任意放入这N − m 个盒中,即N − m 取n − (N − m )次的重复组合,则)!1()!()!(!)!1(!)(12−−⋅−+⋅−⋅−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=m N N m n m N m n N m N n n m N K ,故所求概率为)!1()!1()!()!(!)!1(!)!1(!)(2−+⋅−−⋅−+⋅−⋅−⋅⋅−⋅=n N m N N m n m N m N n n N A P ;(3)事件A 3 =“某指定的m 个盒子中恰好有j 个球”所含样本点个数为m 取j 次的重复组合乘以N − m 取n − j 次的重复组合,则)!1()!()!1(!)!1()!1(1)()(13−−⋅−⋅−⋅−−−+⋅−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=m N j n m j j m n N j m j n j n m N j j m K , 故所求概率为)!1()!1()!()!1(!)!1(!)!1()!1()(3−+⋅−−⋅−⋅−⋅−⋅⋅−−−+⋅−+=n N m N j n m j N n j m n N j m A P .23.在区间(0, 1)中随机地取两个数,求事件“两数之和小于7/5”的概率.解:设这两个数分别为x 和y ,有Ω = {(x , y ) | 0 < x < 1, 0 < y < 1},得m (Ω) = 1,事件A =“两数之和小于7/5”,有A = {(x , y ) | 0 < x +y < 7/5}, 得504153211)(2=⎟⎠⎞⎜⎝⎛×−=A m , 故所求概率为5041)()()(=Ω=m A m A P . 24.甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头,它们在一昼夜内到达的时间是等可能的.如果甲船的停泊时间是一小时,乙船的停泊时间是两小时,求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率是多少?解:设甲乙两艘轮船到达码头的时间分别为x 和y 小时,有Ω = {(x , y ) | 0 ≤ x ≤ 24, 0 ≤ y ≤ 24},得m (Ω) = 242 = 576, 事件A =“它们中任何一艘都不需要等候码头空出”, 若甲先到,有x + 1 ≤ y ≤ 24;若乙先到,有y + 2 ≤ x ≤ 24;即A = {(x , y ) | 0 ≤ x ≤ 24, 0 ≤ y ≤ 24, x + 1 ≤ y ≤ 24或y + 2 ≤ x ≤ 24},得2101322212321)(22=×+×=A m , 故所求概率为11521013)()()(=Ω=m A m A P . 25.在平面上画有间隔为d 的等距平行线,向平面任意投掷一个边长为a , b , c (均小于d )的三角形,求三角形与平行线相交的概率.解:不妨设a ≥ b ≥ c ,三角形的三个顶点分别为A , B , C ,其对边分别为a , b , c ,相应三个角也记为A , B , C ,设O 为BC 的中点,点O 与最近的一条平行线的距离为x , 从点O 向三角形外作与平行线平行的射线OD , 若B , C 中点C 更靠近某条平行线,则记α = ∠COD ,否则记α = −∠BOD , 有π}π,20|),{(<<−≤≤=Ωααdx x ,得m (Ω) = π d ,事件E =“三角形与平行线相交”,当α ≥ 0时,如果C ≤ α < π,事件E 就是OC 与平行线相交; 如果0 ≤ α < C ,事件E 就是OC 或AC 与平行线相交; 当α < 0时,如果−π < α ≤ −B ,事件E 就是OB 与平行线相交;如果−B < α < 0,事件E 就是OB 或AB 与平行线相交.记}sin 2,|),{(1αααax C x E ≤≥=, )}sin(sin 2,0|),{(2αααα−+≤<≤=C b ax C x E ,}sin 2,|),{(3αααax B x E −≤−≤=,)}sin(sin 2,0|),{(4αααα++−≤<<−=B c ax B x E ,有E = E 1∪E 2∪E 3∪E 4,得∫∫−−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡++−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=0π)sin(sin 2sin 2)(BB d B c a d a E m ααααα∫∫+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−++π0sin 2)sin(sin 2C C d a d C b a ααααα∫∫∫∫+−++++⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−−π0000πsin 2)sin()sin(sin 2ααααααααd a d C b d B c d a C B π0000πcos 2)cos()cos(cos 2ααααa C b B c aCB −−++−=−− 22cos cos 22a a C b b c B c a a +⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−++−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=c b a a a c b a abc b a b ac b c a c c b a ++=−++=−+⋅−−+⋅−++=2222222222222,故所求概率为d cb a m E m E P π)()()(++=Ω=.方法二:设事件A , B , C 分别表示“边长为a , b , c 三条边与平行线相交”,事件E 表示“三角形与平行线相交”, 由于三角形与平行线相交时,将至少有两条边与平行线相交,即E = AB ∪AC ∪BC ,则由三个事件的加法公式得P (E ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) − 2 P (ABC ), 因ABC 表示“三条边都与平行线相交”,有P (ABC ) = 0, 则P (E ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC ),另一方面,由于三角形与平行线相交时,将至少有两条边与平行线相交, 有A = AB ∪AC ,B = AB ∪BC ,C = AC ∪BC ,则P (A ) = P (AB ) + P (AC ) − P (ABC ) = P (AB ) + P (AC ), P (B ) = P (AC ) + P (BC ),P (C ) = P (AC ) + P (BC ),可得P (A ) + P (B ) + P (C ) = [P (AB ) + P (AC )] + [P (AC ) + P (BC )] + [P (AC ) + P (BC )]= 2[P (AB ) + P (AC ) + P (BC )],根据蒲丰投针问题知d a A P π2)(=,d b B P π2)(=,dc C P π2)(=, 故dcb a C P B P A P BC P AC P AB P E P π)]()()([21)()()()(++=++=++=.26.在半径为R 的圆内画平行弦,如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的,即交点在直径上一个区间内的可能性与这区间的长度成比例,求任意画弦的长度大于R 的概率.1A解:设弦与垂直于弦的直径的交点与圆心的距离为x ,有Ω = {x | 0 ≤ x < R },得m (Ω) = R ,事件A =“弦的长度大于R ”,有2222⎟⎠⎞⎜⎝⎛>−R x R ,2243R x <,即}230|{R x x A <≤=,得R A m 23)(=,故所求概率为23)()()(=Ω=m A m A P . 27.设一个质点落在xOy 平面上由x 轴、y 轴及直线x + y = 1所围成的三角形内,而落在这三角形内各点处的可能性相等,即落在这三角形内任何区域上的概率与区域的面积成正比,试求此质点还满足y < 2x 的概率是多少?解:Ω = {(x , y ) | 0 < x < 1, 0 < y < 1, 0 < x + y < 1},得21)(=Ωm , 事件A =“满足y < 2x ”,有A = {(x , y ) | 0 < y < 1, y /2 ≤ x ≤ 1 − y },得3132121)(=××=A m , 故所求概率为32)()()(=Ω=m A m A P . 28.设a > 0,有任意两数x , y ,且0 < x < a ,0 < y < a ,试求xy < a 2/4的概率. 解:Ω = {(x , y ) | 0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ y ≤ a },得m (Ω) = a 2,事件A =“xy < a 2/4”,有A = {(x , y ) | 0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ y ≤ a , xy < a 2/4},即4ln 44ln 44)(22422422a a x a ax a dx x a a a A m aa aa +=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=∫, 故所求概率为5966.04ln 4141)()()(=+=Ω=m A m A P . 29.用主观方法确定:大学生中戴眼镜的概率是多少? (自己通过调查,作出主观判断)30.用主观方法确定:学生中考试作弊的概率是多少? (自己通过调查,作出主观判断)x习题1.31. 设事件A 和B 互不相容,且P (A ) = 0.3,P (B ) = 0.5,求以下事件的概率:(1)A 与B 中至少有一个发生; (2)A 和B 都发生; (3)A 发生但B 不发生. 解:(1)P (A ∪B ) = P (A ) + P (B ) = 0.3 + 0.5 = 0.8;(2)P (AB ) = 0;(3)P (A − B ) = P (A ) = 0.3.2. 设P (AB ) = 0,则下列说法哪些是正确的?(1)A 和B 不相容; (2)A 和B 相容;(3)AB 是不可能事件;(4)AB 不一定是不可能事件; (5)P (A ) = 0或P (B ) = 0; (6)P (A − B ) = P (A ). 解:(1)错误,当P (AB ) = 0时,A 和B 可能相容也可能不相容;(2)错误,当P (AB ) = 0时,A 和B 可能相容也可能不相容;(3)错误,当P (AB ) = 0时,A 和B 可能相容也可能不相容,即AB 不一定是不可能事件; (4)正确,当P (AB ) = 0时,A 和B 可能相容也可能不相容,即AB 不一定是不可能事件; (5)错误,当P (A ) > 0,P (B ) > 0时,只要A 和B 不相容,就有P (AB ) = 0; (6)正确,P (A − B ) = P (A ) − P (AB ) = P (A ).3. 一批产品分一、二、三级,其中一级品是二级品的三倍,三级品是二级品的一半,从这批产品中随机地抽取一个,试求取到二级品的概率. 解:设A , B , C 分别表示“取到一、二、三级品”,有P (A ) + P (B ) + P (C ) = 1,P (A ) = 3P (B ),)(21)(B P C P =, 则1)(29)(21)()(3==++B P B P B P B P ,即92)(=B P , 故取到二级品的概率92)(=B P .4. 从0, 1, 2, …, 9等十个数字中任意选出三个不同的数字,试求下列事件的概率:(1)A 1 = {三个数字中不含0和5}; (2)A 2 = {三个数字中不含0或5}; (3)A 3 = {三个数字中含0但不含5}.解:样本点总数1201238910310=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ,(1)事件A 1所含样本点个数56123678381=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ,故15712056)(1==A P ; (2)事件=2A “三个数字中含0和5”所含样本点个数8182=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=A k ,故1514120112)(1)(22==−=A P A P ; (3)事件A 3所含样本点个数281278283=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ,故30712028)(3==A P .5. 某城市中共发行3种报纸A , B , C .在这城市的居民中有45%订阅A 报、35%订阅B 报、25%订阅C 报,10%同时订阅A 报B 报、8%同时订阅A 报C 报、5%同时订阅B 报C 报、3%同时订阅A , B , C 报.求以下事件的概率: (1)只订阅A 报;(2)只订阅一种报纸的; (3)至少订阅一种报纸的; (4)不订阅任何一种报纸的.解:设A , B , C 分别表示“订阅报纸A , B , C ”,则P (A ) = 0.45,P (B ) = 0.35,P (C ) = 0.30,P (AB ) = 0.10,P (AC ) = 0.08,P (BC ) = 0.05,P (ABC ) = 0.03,(1))()()()()()())(()(ABC P AC P AB P A P AC AB P A P C B A P C B A P +−−=−=−=U U= 0.45 − 0.10 − 0.08 + 0.03 = 0.30;(2))()()()(B A P C B A P C B A P C B A C B A C B A P ++=U U ,因)()()()()()())(()(ABC P BC P AB P B P BC AB P B P C A B P C B A P +−−=−=−=U U= 0.35 − 0.10 − 0.05 + 0.03 = 0.23,)()()()()()())(()(ABC P BC P AC P C P BC AC P C P B A C P C B A P +−−=−=−=U U= 0.30 − 0.08 − 0.05 + 0.03 = 0.20,故73.020.023.030.0)()()()(=++=++=C B A P C B A P C B A P C B A C B A C B A P U U ; (3)P (A ∪B ∪C ) = P (A ) + P (B ) + P (C ) − P (AB ) − P (AC ) − P (BC ) + P (ABC )= 0.45 + 0.35 + 0.30 − 0.10 − 0.08 − 0.05 + 0.03 = 0.90;(4)10.090.01)(1(=−=−=C B A P C B A P U U .6. 某工厂一个班组共有男工9人、女工5人,现要选出3个代表,问选的3个代表中至少有1个女工的概率是多少?解:样本点总数364123121314314=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ,事件=A “选的3个代表中没有女工”所含样本点个数8412378939=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=A k ,故所求概率为1310364280364841)(1)(==−=−=A P A P . 7. 一赌徒认为掷一颗骰子4次至少出现一次6点与掷两颗骰子24次至少出现一次双6点的机会是相等的,你认为如何? 解:“掷一颗骰子4次”的样本点总数n 1 = 64 = 1296,事件=1A “没有出现6点”所含样本点个数为625541==A k ,则5177.0129667112966251)(1)(11==−=−=A P A P ; “掷两颗骰子24次”的样本点总数n 2 = (62 )24 = 36 24,事件=2A “没有出现双6点”所含样本点个数为2424235)16(2=−=A k ,则4914.036353636351)(1)(242424242422=−=−=−=A P A P ;故掷一颗骰子4次至少出现一次6点的机会比掷两颗骰子24次至少出现一次双6点的机会更大. 8. 从数字1, 2, …, 9中可重复地任取n 次,求n 次所取数字的乘积能被10整除的概率. 解:样本点总数N = 9 n ,因事件A =“n 次所取数字的乘积能被10整除”就是“至少取到一次数字5并且至少取到一次偶数”, 则事件=A “没有取到数字5或没有取到偶数”, 设事件B =“没有取到数字5”,C =“没有取到偶数”,则事件B 所含样本点个数为K B = 8 n ,事件C 所含样本点个数为K C = 5 n , 且事件BC =“没有取到数字5和偶数”所含样本点个数为K BC = 4 n ,故nnn n n n n n n n n BC P C P B P C B P A P A P 945899495981)()()(1)(1)(1)(+−−=+−−=+−−=−=−=U . 9. 口袋中有n − 1个黑球和1个白球,每次从口袋中随机地摸出一球,并换入一只黑球.问第k 次摸球时,摸到黑球的概率是多少? 解:样本点总数N = n k ,事件=A “第k 次摸球时摸到白球”,此时前n − 1次摸球时都必须是摸到黑球,则A 中所含样本点个数1)1(−−=k A n K ,故所求概率为kk nn A P A P 1)1(1)(1)(−−−=−=. 10.若P(A ) = 1,证明:对任一事件B ,有P (AB ) = P (B ).证:因P (A ) = 1,且A B A ⊂,有0)(1)()(=−=≤A P A P B A P ,则0)()()()(=−=−=AB P B P A B P A P ,故P (AB ) = P (B ).11.掷2n + 1次硬币,求出现的正面数多于反面数的概率. 解:设A =“出现的正面数多于反面数”,因掷奇数次硬币,出现的正面数与反面数不可能相等,事件=A “出现的反面数多于正面数”,由于掷一枚硬币出现正面与出现反面的可能性相同,则“出现的正面数多于反面数”与“出现的反面数多于正面数” 的可能性相同, 可得)()(A P A P =,又1()(=+A P A P ,故P (A ) = 0.5.12.有三个人,每个人都以同样的概率1/5被分配到5个房间中的任一间中,试求:(1)三个人都分配到同一个房间的概率; (2)三个人分配到不同房间的概率. 解:样本点总数n = 53 = 125,(1)事件A 1 =“三个人都分配到同一个房间”所含样本点个数为k 1 = 5,故所求概率为2511255)(1==A P ; (2)事件A 2 =“三个人分配到不同房间”所含样本点个数为60345352=××==A k ,故所求概率为251212560)(2==A P . 13.一间宿舍住有5位同学,求他们之中至少有2个人生日在同一个月份的概率.解:首先假设一个人的生日在每一个月份的可能性相同,样本点总数n = 125,事件=A “每个人生日都在不同月份”所含样本点个数为512A k A =, 故所求概率为6181.014489121)(1)(5512==−=−=A A P A P . 14.某班n 个战士各有1支归个人保管使用的枪,这些枪的外形完全一样,在一次夜间紧急集合中,每人随机地取了1支枪,求至少有1人拿到自己的枪的概率.解:设A i =“第i 个战士拿到自己的枪”,n i ,,2,1L =,有==i ni A 1U “至少有1人拿到自己的枪”,因)()1()()()()(2111111n n nk j i kjinj i jini i i ni A A A P A A A P A A P A P A P L L U ⋅−+++−=−≤<<≤≤<≤==∑∑∑,且n n n A P i 1!)!1()(=−=,)1(1!)!2()(−=−=n n n n A A P j i ,)2)(1(1)(−−=n n n A A A P k j i ,……, 故!)1(!31!211!1)1()2)(1(1)1(11)(11321n n C n n n C n n C n n A P n nn n n n i ni −−=−+−+−=⋅−+−−−⋅+−⋅−×=L L U . 15.设A , B 是两事件,且P (A ) = 0.6,P (B ) = 0.8,问: (1)在什么条件下P (AB )取到最大值,最大值是多少? (2)在什么条件下P (AB )取到最小值,最小值是多少? 解:(1)因P (AB ) ≤ min{P (A ), P (B )} = P (A ) = 0.6,故当P (AB ) = P (A ) 时,P (AB )取到最大值0.6;(2)因P (AB ) = P (A ) + P (B ) − P (A ∪B ) ≥ P (A ) + P (B ) − 1 = 0.4,故当P (A ∪B ) = 1时,P (AB )取到最小值0.4. 注:若A ⊂ B ,有AB = A ,可得P (AB ) = P (A ),但不能反过来,由P (AB ) = P (A ),得出A ⊂ B ;若A ∪B = Ω,可得P (A ∪B ) = 1,但不能反过来,由P (A ∪B ) = 1,得出A ∪B = Ω. 16.已知事件A , B 满足)()(B A P AB P I =,记P (A ) = p ,试求P (B ).解:因)()()(1)(1)()()(AB P B P A P B A P B A P B A P AB P +−−=−===U U I ,有1 − P (A ) − P (B ) = 0,故P (B ) = 1 − P (A ) = 1 − p .17.已知P (A ) = 0.7,P (A − B ) = 0.4,试求)(AB P .解:因P (A − B ) = P (A ) − P (AB ),有P (AB ) = P (A ) − P (A − B ) = 0.7 − 0.4 = 0.3,故7.0)(1(=−=AB P AB P . 18.设P (A ) = 0.6,P (B ) = 0.4,试证)()(B A P AB P I =.证:)()(4.06.01)()()(1)(1)()(AB P AB P AB P B P A P B A P B A P B A P =+−−=+−−=−==U U I . 19.对任意的事件A , B , C ,证明:(1)P (AB ) + P (AC ) − P (BC ) ≤ P (A );(2)P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) ≥ P (A ) + P (B ) + P (C ) − 1. 证:(1)因P (AB ∪AC ) = P (AB ) + P (AC ) − P (ABC ),且 (AB ∪AC ) ⊂ A ,ABC ⊂ BC ,有P (AB ∪AC ) ≤ P (A ),P (ABC ) ≤ P (BC ),故P (AB ) + P (AC ) − P (BC ) = P (AB ∪AC ) + P (ABC ) − P (BC ) ≤ P (AB ∪AC ) ≤ P (A ). (2)因P (A ∪B ∪C ) = P (A ) + P (B ) + P (C ) − P (AB ) − P (AC ) − P (BC ) + P (ABC ),故P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) = P (A ) + P (B ) + P (C ) + P (ABC ) − P (A ∪B ∪C )≥ P (A ) + P (B ) + P (C ) + P (ABC ) − 1 ≥ P (A ) + P (B ) + P (C ) − 1.20.设A , B , C 为三个事件,且P (A ) = a ,P (B ) = 2a ,P (C ) = 3a ,P (AB ) = P (AC ) = P (BC ) = b ,证明:a ≤ 1/4,b ≤ 1/4.证:因P (B ∪C ) = P (B ) + P (C ) − P (BC ) = 5a − b ,且a = P (A ) ≥ P (AB ) = b ,则P (B ∪C ) = 5a − b ≥ 4a ,即4a ≤ 1,故a ≤ 1/4且b ≤ a ≤ 1/4.21.设事件A , B , C 的概率都是1/2,且)()(C B A P ABC P I I =,证明:2 P (ABC ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) − 1/2.证:因)(1)()()(C B A P C B A P C B A P ABC P U U U U I I −==== 1 − P (A ) − P (B ) − P (C ) + P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) − P (ABC ),故2 P (ABC ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) + 1 − P (A ) − P (B ) − P (C ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) − 1/2. 22.证明:(1)P (AB ) ≥ P (A ) + P (B ) − 1;(2)P (A 1 A 2 …A n ) ≥ P (A 1) + P (A 2) + … + P (A n ) − (n − 1). 证:(1)因P (A ∪B ) = P (A ) + P (B ) − P (AB ),故P (AB ) = P (A ) + P (B ) − P (A ∪B ) ≥ P (A ) + P (B ) − 1;(2)用数学归纳法证明,当n = 2时,由(1)小题知结论成立,设当n = k 时,结论成立,即P (A 1 A 2 …A k ) ≥ P (A 1) + P (A 2) + … + P (A k ) − (k − 1), 则P (A 1 A 2 …A k A k + 1) ≥ P (A 1 A 2 …A k ) + P (A k + 1) − 1≥ P (A 1) + P (A 2) + … + P (A k ) − (k − 1) + P (A k + 1) − 1 = P (A 1) + P (A 2) + … + P (A k ) + P (A k + 1) − k ,即当n = k + 1时,结论成立,故由数学归纳法知P (A 1 A 2 …A n ) ≥ P (A 1) + P (A 2) + … + P (A n ) − (n − 1). 23.证明:41|)()()(|≤−B P A P AB P . 证:因)()()](1)[()]()()[()()()()(A P A P A P AB P B A P AB P A P AB P B P A P AB P −−=+−=−,且0 ≤ P (AB )[1 − P (A )] ≤ P (A )[1 − P (A )],)](1)[(()()()(0A P A P A P A P B A P A P −=≤≤, 故)}()()],(1)[(max{|)()()](1)[(||)()()(|A P A P A P AB P B A P A P A P AB P B P A P AB P −≤−−=−4121)(41)]([)()](1)[(22≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=−=−≤A P A P A P A P A P .习题1.41. 某班级学生的考试成绩数学不及格的占15%,语文不及格的占5%,这两门课都不及格的占3%.(1)已知一学生数学不及格,他语文也不及格的概率是多少? (2)已知一学生语文不及格,他数学也不及格的概率是多少? 解:设A =“数学不及格”,B =“语文不及格”,有P (A ) = 0.15,P (B ) = 0.05,P (AB ) = 0.03,(1)所求概率为2.015.003.0)()()|(===A P AB P A B P ; (2)所求概率为6.005.003.0)()()|(===B P AB P B A P . 2. 设一批产品中一、二、三等品各占60%, 35%, 5%.从中任意取出一件,结果不是三等品,求取到的是一等品的概率.解:设A , B , C 分别表示“取出一、二、三等品”,有P (A ) = 0.6,P (B ) = 0.35,P (C ) = 0.05,故所求概率为191205.016.0)(1)()()()|(=−=−==C P A P C P C A P C A P . 3. 掷两颗骰子,以A 记事件“两颗点数之和为10”,以B 记事件“第一颗点数小于第二颗点数”,试求条件概率P (A | B ) 和P (B | A ). 解:样本点总数n = 6 2 = 36,则事件A 中的样本点有 (4, 6), (5, 5), (6, 4),即个数k A = 3,有363)(=A P , 事件B 中所含样本点个数k B = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 15,有3615)(=B P ,事件AB 中的样本点有 (4, 6),即个数k C = 1,有361)(=AB P , 故1513615361)()()|(===B P AB P B A P ,31363361)()()|(===A P AB P A B P .4. 以某种动物由出生活到10岁的概率为0.8,而活到15岁的概率为0.5,问现年为10岁的这种动物能活到15岁的概率是多少?解:设A , B 分别表示“这种动物能活到10岁, 15岁”,有P (A ) = 0.8,P (B ) = 0.5,故所求概率为858.05.0)()()()()|(====A P B P A P AB P A B P .5. 设10件产品中有4件不合格品,从中任取两件,已知其中一件是不合格品,求另一件也是不合格品的概率.解:设A =“其中一件是不合格品”,B =“两件都是不合格品”,有AB = B ,样本点总数45210=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n , 事件A 中所含样本点个数30624241614=+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=A k ,得4530)(=A P , 事件AB = B 中所含样本点个数624=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=B k ,得456)()(==B P AB P ,故所求概率为2.04530456)()()|(===A P AB P A B P . 6. 设n 件产品中有m 件不合格品,从中任取两件,已知两件中有一件是合格品,求另一件也是合格品的概率.解:设A =“两件中至少有一件是合格品”,B =“两件都是合格品”,有AB = B ,样本点总数2)1(2−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n n n N , 事件A 中所含样本点个数2)1)((2)1)(()(211−+−=−−−+−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=m n m n m n m n m n m m n m n m k A , 得)1()1)(()(−−+−=n n m n m n A P ,事件AB = B 中所含样本点个数2)1)((2−−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=m n m n m n k B , 得)1()1)(()()(−−−−==n n m n m n B P AB P ,故所求概率为11)1()1)(()1()1)(()()()|(−+−−=−−+−−−−−==m n m n n n m n m n n n m n m n A P AB P A B P . 7. 掷一颗骰子两次,以x , y 分别表示先后掷出的点数,记A = {x + y < 10},B = {x > y },求P (B | A ),P (A | B ). 解:样本点总数n = 6 2 = 36,则事件A 中所含样本点个数k A = 6 + 6 + 6 + 5 + 4 + 3 = 30,有3630)(=A P , 事件B 中所含样本点个数k B = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15,有3615)(=B P ,事件AB 中所含样本点个数k AB = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 3 = 13,有3613)(=AB P ,故301336303613)()()|(===A P AB P A B P ,151336153613)()()|(===B P AB P B A P .8. 已知P (A ) = 1/3,P (B | A ) = 1/4,P (A | B ) = 1/6,求P (A ∪B ).解:因1214131)|()()(=×==A B P A P AB P ,2161121)|()()(===B A P AB P B P , 故431212131)()()()(=−+=−+=AB P B P A P B A P U . 9. 已知3.0)(=A P ,P (B ) = 0.4,5.0(=B A P ,求)|(B A B P U . 解:因2.05.03.01)()(1)()()(=−−=−−=−=B A P A P B A P A P AB P ,且8.05.04.013.01()(1)(1)()()()(=−−+−=−−+−=−+=B A P B P A P B A P B P A P B A P U , 故25.08.02.0)()()())(()|(====B A P AB P B A P B A B P B A B P U U U U . 10.设A , B 为两事件,P (A ) = P (B ) = 1/3,P (A | B ) = 1/6,求|(B A P . 解:因1816131)|()()(=×==B A P B P AB P ,有18111813131)()()()(=−+=−+=AB P B P A P B A P U , 则18718111)(1)()(=−=−==B A P B A P B A P U U ,且32311)(1)(=−=−=B P B P , 故12732187)()()|(===B P B A P B A P . 11.口袋中有1个白球,1个黑球.从中任取1个,若取出白球,则试验停止;若取出黑球,则把取出的黑球放回的同时,再加入1个黑球,如此下去,直到取出的是白球为止,试求下列事件的概率.(1)取到第n 次,试验没有结束;(2)取到第n 次,试验恰好结束.解:设A k =“第k 次取出的是黑球”,k = 1, 2, ……(1)所求概率为P (A 1A 2…A n − 1A n ) = P (A 1A 2…A n − 1)P (A n | A 1A 2…A n − 1)1113221)|()|()(121121+=+×××==−n n n A A A A P A A P A P n n L L L ; (2)所求概率为)|()()(121121121−−−=n n n n n A A A A P A A A P A A A A P L L L)1(1113221)|()|()(121121+=+×××==−n n n A A A A P A A P A P n n L L L . 12.一盒晶体管有8只合格品,2只不合格品.从中不返回地一只一只取出,试求第二次取出的是合格品的概率.解:设A 1, A 2分别表示“第一次取出的是合格品、不合格品”,B 表示“第二次取出的是合格品”, 故所求概率为8.090729810297108)|()()|()()(2211==×+×=+=A B P A P A B P A P B P . 13.甲口袋有a 个白球、b 个黑球,乙口袋有n 个白球、m 个黑球.(1)从甲口袋任取1个球放入乙口袋,然后再从乙口袋任取1个球.试求最后从乙口袋取出的是白球的概率;(2)从甲口袋任取2个球放入乙口袋,然后再从乙口袋任取1个球.试求最后从乙口袋取出的是白球的概率.解:(1)设A 0 , A 1分别表示“从甲口袋取出的是白球、黑球”,B 表示“从乙口袋取出的是白球”,故所求概率为P (B ) = P (A 0)P (B | A 0) + P (A 1)P (B | A 1) )1)(()1(111+++++=++×+++++×+=n m b a bn n a m n n b a b m n n b a a ; (2)设A 0 , A 1 , A 2分别表示“从甲口袋取出的是2个白球、1个白球1个黑球、2个黑球”,B 表示“从乙口袋取出的是白球”,故所求概率为P (B ) = P (A 0)P (B | A 0) + P (A 1)P (B | A 1) + P (A 2)P (B | A 2)。
第四章 大数定律与中心极限定理习题4.11. 如果X X Pn →,且Y X Pn →.试证:P {X = Y } = 1.证:因 | X − Y | = | −(X n − X ) + (X n − Y )| ≤ | X n − X | + | X n − Y |,对任意的ε > 0,有⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−≤≥−≤2||2||}|{|0εεεY X P X X P Y X P n n ,又因X X Pn →,且Y X Pn →,有02||lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−+∞→εX X P n n ,02||lim =⎭⎫⎩⎨⎧≥−+∞→εY X P n n ,则P {| X − Y | ≥ ε} = 0,取k 1=ε,有01||=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−k Y X P ,即11||=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<−k Y X P , 故11||lim1||}{1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧<−==+∞→+∞=k Y X P k Y X P Y X P k k I . 2. 如果X X Pn →,Y Y Pn →.试证:(1)Y X Y X Pn n +→+; (2)XY Y X Pn n →.证:(1)因 | (X n + Y n ) − (X + Y ) | = | (X n − X ) + (Y n − Y )| ≤ | X n − X | + | Y n − Y |,对任意的ε > 0,有⎭⎫⎩⎨⎧≥−+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−≤≥+−+≤2||2||}|)()({|0εεεY Y P X X P Y X Y X P n n n n ,又因X X P n →,Y Y P n →,有02||lim =⎭⎫⎩⎨⎧≥−+∞→εX X P n n ,02||lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−+∞→εY Y P n n ,故0}|)()({|lim =≥+−++∞→εY X Y X P n n n ,即Y X Y X Pn n +→+;(2)因 | X n Y n − XY | = | (X n − X )Y n + X (Y n − Y ) | ≤ | X n − X | ⋅ | Y n | + | X | ⋅ | Y n − Y |,对任意的ε > 0,有⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−⋅+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⋅−≤≥−≤2||||2||||}|{|0εεεY Y X P Y X X P XY Y X P n n n n n ,对任意的h > 0,存在M 1 > 0,使得4}|{|1h M X P <≥,存在M 2 > 0,使得8}|{|2hM Y P <≥, 存在N 1 > 0,当n > N 1时,8}1|{|h Y Y P n <≥−, 因| Y n | = | (Y n − Y ) + Y | ≤ | Y n − Y | + | Y |,有4}|{|}1|{|}1|{|22h M Y Y Y P M Y P n n <≥+≥−≤+≥, 存在N 2 > 0,当n > N 2时,4)1(2||2h M X X P n <⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≥−ε,当n > max{N 1, N 2}时,有244}1|{|)1(2||2||||22h h h M Y P M X X P Y X X P n n n n =+<+≥+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≥−≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⋅−εε,存在N 3 > 0,当n > N 3时,42||1hM Y Y P n <⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−ε,有244}|{|2||2||||11h h h M X P M Y Y P X Y Y P n n =+<≥+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⋅−εε,则对任意的h > 0,当n > max{N 1, N 2, N 3} 时,有h h h Y Y X P Y X X P XY Y X P n n n n n =+<⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−⋅+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⋅−≤≥−≤222||||2||||}|{|0εεε,故0}|{|lim =≥−+∞→εXY Y X P n n n ,即XY Y X Pn n →.3. 如果X X Pn →,g (x )是直线上的连续函数,试证:)()(X g X g Pn →. 证:对任意的h > 0,存在M > 0,使得4}|{|h M X P <≥, 存在N 1 > 0,当n > N 1时,4}1|{|h X X P n <≥−, 因| X n | = | (X n − X ) + X | ≤ | X n − X | + | X |,则244}|{|}1|{|}1|{|h h h M X P X X P M X P n n =+<≥+≥−≤+≥, 因g (x ) 是直线上的连续函数,有g (x ) 在闭区间 [− (M + 1), M + 1] 上连续,必一致连续, 对任意的ε > 0,存在δ > 0,当 | x − y | < δ 时,有 | g (x ) − g ( y ) | < ε ,存在N 2 > 0,当n > N 2时,4}|{|hX X P n <≥−δ,则对任意的h > 0,当n > max{N 1, N 2} 时,有{}}|{|}1|{|}|{|}|)()({|0M X M X X X P X g X g P n n n ≥+≥≥−≤≥−≤U U δεh hh h M X P M X P X X P n n =++<≥++≥+≥−≤424}|{|}1|{|}|{|δ, 故0}|)()({|lim =≥−+∞→εX g X g P n n ,即)()(X g X g Pn →.4. 如果a X P n →,则对任意常数c ,有ca cX Pn →. 证:当c = 0时,有c X n = 0,ca = 0,显然ca cX Pn →;当c ≠ 0时,对任意的ε > 0,有0||||lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−+∞→c a X P n n ε, 故0}|{|lim =≥−+∞→εca cX P n n ,即ca cX Pn →.5. 试证:X X P n →的充要条件为:n → +∞ 时,有0||1||→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−XX X X E n n .证:以连续随机变量为例进行证明,设X n − X 的密度函数为p ( y ),必要性:设X X Pn →,对任意的ε > 0,都有0}|{|lim =≥−+∞→εX X P n n ,对012>+εε,存在N > 0,当n > N 时,εεε+<≥−1}|{|2X X P n , 则∫∫∫≥<∞+∞−+++=+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−εε||||)(||1||)(||1||)(||1||||1||y y n n dy y p y y dy y p y y dy y p y y XX X X E εεεεεεεεεεεεε=+++<≥−+<−+=++≤∫∫≥<11}|{|}|{|1)()(12||||X X P X X P dy y p dy y p n n y y ,故n → +∞ 时,有0||1||→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−XX X X E n n ; 充分性:设n → +∞ 时,有0||1||→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−XX X X E n n , 因∫∫∫≥≥≥++≤++==≥−εεεεεεεεεε||||||)(||1||1)(11)(}|{|y y y n dy y p y y dy y p dy y p X X P ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−+=++≤∫∞+∞−||1||1)(||1||1X X X X E dy y p y y n n εεεε, 故0}|{|lim =≥−+∞→εX X P n n ,即X X Pn →.6. 设D (x )为退化分布:⎩⎨⎧≥<=.0,1;0,0)(x x x D试问下列分布函数列的极限函数是否仍是分布函数?(其中n = 1, 2, ….)(1){D (x + n )}; (2){D (x + 1/n )}; (3){D (x − 1/n )}.解:(1)对任意实数x ,当n > −x 时,有x + n > 0,D (x + n ) = 1,即1)(lim =++∞→n x D n ,则 {D (x + n )} 的极限函数是常量函数f (x ) = 1,有f (−∞) = 1 ≠ 0,故 {D (x + n )} 的极限函数不是分布函数; (2)若x ≥ 0,有01>+n x ,11=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+n x D ,即11lim =⎟⎠⎞⎜⎝⎛++∞→n x D n ,若x < 0,当x n 1−>时,有01<+n x ,01=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+n x D ,即01lim =⎟⎠⎞⎜⎝⎛++∞→n x D n ,则⎩⎨⎧≥<=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++∞→.0,1;0,01lim x x n x D n 这是在0点处单点分布的分布函数,满足分布函数的基本性质,故⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎟⎠⎞⎜⎝⎛+n x D 1的极限函数是分布函数;(3)若x ≤ 0,有01<−n x ,01=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−n x D ,即01lim =⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+∞→n x D n ,若x > 0,当x n 1>时,有01>−n x ,11=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−n x D ,即11lim =⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+∞→n x D n ,则⎩⎨⎧>≤=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+∞→.0,1;0,01lim x x n x D n 在x = 0处不是右连续,故⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎟⎠⎞⎜⎝⎛−n x D 1的极限函数不是分布函数.7. 设分布函数列 {F n (x )} 弱收敛于连续的分布函数F (x ),试证:{F n (x )} 在 (−∞, +∞) 上一致收敛于分布函数F (x ). 证:因F (x ) 为连续的分布函数,有F (−∞) = 0,F (+∞) = 1,对任意的ε > 0,取正整数ε2>k ,则存在分点x 1 < x 2 < … < x k −1,使得1,,2,1,)(−==k i kix F i L ,并取x 0 = −∞,x k = +∞, 可得k k i k x F x F i i ,1,,2,1,21)()(1−=<=−−L ε, 因 {F n (x )} 弱收敛于F (x ),且F (x ) 连续,有 {F n (x )} 在每一点处都收敛于F (x ),则存在N > 0,当n > N 时,1,,2,1,2|)()(|−=<−k i x F x F i i n L ε,且显然有20|)()(|00ε<=−x F x F n ,20|)()(|ε<=−k k n x F x F ,对任意实数x ,必存在j ,1 ≤ j ≤ k ,有x j −1 ≤ x < x j ,因2)()()()(2)(11εε+<≤≤<−−−j j n n j n j x F x F x F x F x F ,则εεεε−=−−>−−>−−222)()()()(1x F x F x F x F j n ,且εεεε=+<+−<−222)()()()(x F x F x F x F j n ,即对任意的ε > 0和任意实数x ,总存在N > 0,当n > N 时,都有 | F n (x ) − F (x ) | < ε , 故 {F n (x )} 在 (−∞, +∞) 上一致收敛于分布函数F (x ).8. 如果X X Ln →,且数列a n → a ,b n → b .试证:b aX b X a Ln n n +→+. 证:设y 0是F aX + b ( y ) 的任一连续点,则对任意的ε > 0,存在h > 0,当 | y − y 0 | < h 时,4|)()(|0ε<−++y F y F b aX b aX ,又设y 是满足 | y − y 0 | < h 的F aX + b ( y ) 的任一连续点,因⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−≤=≤+=+a b y F a b y X P y b aX P y F X b aX }{)(,有a b y x −=是F X (x )的连续点,且X X L n→, 有)()(lim x F x F X X n n =+∞→,存在N 1,当n > N 1时,4|)()(|ε<−x F x F X X n ,即4|)()(|ε<−++y F y F b aX b aX n ,则当n > N 1且 | y − y 0 | < h 时,2|)()(||)()(||)()(|00ε<−+−≤−++++++y F y F y F y F y F y F b aX b aX b aX b aX b aX b aX n n , 因X 的分布函数F X (x ) 满足F X (−∞) = 0,F X (+∞) = 1,F X (x ) 单调不减且几乎处处连续, 存在M ,使得F X (x ) 在x = ± M 处连续,且41)(ε−>M F X ,4)(ε<−M F X ,因X X Ln →,有41)()(lim ε−>=+∞→M F M F X X n n ,4)()(lim ε<−=−+∞→M F M F X X n n ,则存在N 2,当n > N 2时,41)(ε−>M F n X ,4)(ε<−M F n X ,可得2)(1)(}|{|ε<−+−=>M F M F M X P n n X X n ,因数列a n → a ,b n → b ,存在N 3,当n > N 3时,M h a a n 4||<−,4||h b b n <−, 可得当n > max{N 2, N 3}时,⎭⎫⎩⎨⎧>−+−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+−+2|)()(|2|)()(|h b b X a a P h b aX b X a P n n n n n n n2}|{|24||42||||||ε<>=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+⋅≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−+⋅−≤M X P h h X M hP h b b X a a P nn n n n , 则⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+−+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤+≤≤+=+2|)()(|2}{)(000h b aX b X a h y b aX P y b X a P y F n n n n n n n n b X a n n n U222|)()(|200ε+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+−++⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤+≤+h y F h b aX b X a P h y b aX P b aX n n n n n n , 且⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+−+≤+≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧−≤+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+2|)()(|}{22000h b aX b X a y b X a P h y b aX P h y F n n n n n n n n b aX n U2)(2|)()(|}{00ε+<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+−++≤+≤+y F h b aX b X a P y b X a P n n n b X a n n n n n n n , 即22)(22000εε+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<<−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+++h y F y F h y F b aX b X a b aX n n n n n ,因当n > N 1且 | y − y 0 | < h 时,2)()(2)(00εε+<<−+++y F y F y F b aX b aX b aX n ,在区间⎟⎠⎞⎜⎝⎛++h y h y 00,2取F aX + b ( y ) 的任一连续点y 1,满足 | y 1 − y 0 | < h ,当n > max{N 1, N 2, N 3}时,εεε+<+≤+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<++++)(2)(22)(0100y F y F h y F y F b aX b aX b aX b X a n n n n n ,在区间⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−2,00h y h y 取F aX + b ( y ) 的任一连续点y 2,满足 | y 2 − y 0 | < h ,当n > max{N 1, N 2, N 3}时,εεε−>−≥−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−>++++)(2)(22)(0200y F y F h y F y F b aX b aX b aX b X a n n n n n ,即对于F aX + b ( y ) 的任一连续点y 0,当n > max{N 1, N 2, N 3}时,ε<−++|)()(|00y F y F b aX b X a n n n , 故)()(y F y F b aX Wb X a n n n ++→,b aX b X a Ln n n +→+. 9. 如果X X Ln →,a Y Pn →,试证:a X Y X Ln n +→+. 证:设y 0是F X + a ( y ) 的任一连续点,则对任意的ε > 0,存在h > 0,当 | y − y 0 | < h 时,4|)()(|0ε<−++y F y F a X a X ,又设y 是满足 | y − y 0 | < h 的F X + a ( y )的任一连续点,因F X + a ( y ) = P {X + a ≤ y } = P {X ≤ y − a } = F X ( y − a ),有x = y − a 是F X (x )的连续点,且X X Ln →, 有)()(lim x F x F X X n n =+∞→,存在N 1,当n > N 1时,4|)()(|ε<−x F x F X X n ,即4|)()(|ε<−++y F y F a X a X n , 则当n > N 1且 | y − y 0 | < h 时,2|)()(||)()(||)()(|00ε<−+−≤−++++++y F y F y F y F y F y F a X a X a X a X a X a X n n ,因a Y Pn →,有02||lim =⎭⎫⎩⎨⎧>−+∞→h a Y P n n ,存在N 2,当n > N 2时,22||ε<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−h a Y P n , 则⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎫⎩⎨⎧>−⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤+≤≤+=+2||2}{)(000h a Y h y a X P y Y X P y F n n n n Y X n n U222||200ε+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤+≤+h y F h a Y P h y a X P a X n n n , 且⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎫⎩⎨⎧>−≤+≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧−≤+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+2||}{22000h a Y y Y X P h y a X P h y F n n n n a X n U2)(2||}{00ε+<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−+≤+≤+y F h a Y P y Y X P n n Y X n n n , 即22)(22000εε+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<<−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+++h y F y F h y F a X Y X a X n n n n ,因当n > N 1且 | y − y 0 | < h 时,2)()(2)(00εε+<<−+++y F y F y F a X a X a X n ,在区间⎟⎠⎞⎜⎝⎛++h y h y 00,2取F X + a ( y ) 的任一连续点y 1,满足 | y 1 − y 0 | < h ,当n > max{N 1, N 2}时,εεε+<+≤+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<++++)(2)(22)(0100y F y F h y F y F a X a X a X Y X n n n n ,在区间⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−2,00h y h y 取F X + a ( y ) 的任一连续点y 2,满足 | y 2 − y 0 | < h ,当n > max{N 1, N 2}时,εεε−>−≥−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−>++++)(2)(22)(0200y F y F h y F y F a X a X a X Y X n n n n ,即对于F X + a ( y ) 的任一连续点y 0,当n > max{N 1, N 2}时,ε<−++|)()(|00y F y F a X Y X n n , 故)()(y F y F a X WY X n n ++→,a X Y X Ln n +→+. 10.如果X X Ln →,0Pn Y →,试证:0Pn n Y X →.证:因X 的分布函数F X (x ) 满足F X (−∞) = 0,F X (+∞) = 1,F X (x ) 单调不减且几乎处处连续,则对任意的h > 0,存在M ,使得F X (x ) 在x = ± M 处连续,且41)(h M F X −>,4)(hM F X <−, 因X X L n →,有41)()(lim h M F M F X X n n −>=+∞→,4)()(lim h M F M F X X n n <−=−+∞→,则存在N 1,当n > N 1时,41)(h M F n X −>,4)(hM F n X <−,可得2)(1)(}|{|hM F M F M X P n n X X n <−+−=>,因0Pn Y →,对任意的ε > 0,有0||lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+∞→M Y P n n ε,存在N 2,当n > N 2时,2||h M Y P n <⎭⎬⎫⎩⎨⎧>ε, 则当n > max{N 1, N 2}时,有h M Y P M X P M Y M X P Y X P n n n n n n <⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+>≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧>>≤>εεε||}|{|||}|{|}|{|U ,故0}|{|lim =>+∞→εn n n Y X P ,即0Pn n Y X →.11.如果X X Ln →,a Y Pn →,且Y n ≠ 0,常数a ≠ 0,试证:aXY X L n n →. 证:设y 0是F X / a ( y ) 的任一连续点,则对任意的ε > 0,存在h > 0,当 | y − y 0 | < h 时,4|)()(|0//ε<−y F y F a X a X ,又设y 是满足 | y − y 0 | < h 的F X / a ( y ) 的任一连续点,因)(}{)(/ay F ay X P y a X P y F X a X =≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=,有x = ay 是F X (x )的连续点,且X X Ln →,有)()(lim x F x F X X n n =+∞→,存在N 1,当n > N 1时,4|)()(|ε<−x F x F X X n ,即4|)()(|//ε<−y F y F a X a X n ,则当n > N 1且 | y − y 0 | < h 时,2|)()(||)()(||)()(|0////0//ε<−+−≤−y F y F y F y F y F y F a X a X a X a X a X a X n n ,因X 的分布函数F X (x )满足F X (−∞) = 0,F X (+∞) = 1,F X (x )单调不减且几乎处处连续,存在M ,使得F X (x ) 在x = ± M 处连续,且121)(ε−>M F X ,12)(ε<−M F X ,因X X Ln →,有121)()(lim ε−>=+∞→M F M F X X n n ,12)()(lim ε<−=−+∞→M F M F X X n n ,则存在N 2,当n > N 2时,121)(ε−>M F n X ,12)(ε<−M F n X ,可得6)(1)(}|{|ε<−+−=>M F M F M X P n n X X n ,因0≠→a Y Pn ,有02||lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−+∞→h a Y P n n ,存在N 3 > 0,当n > N 3时,62||||ε<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−a a Y P n ,有62||||ε<⎭⎬⎫⎩⎨⎧<a Y P n ,且64||2ε<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−M h a a Y P n , 可得当n > max{N 1, N 2, N 3}时,⎭⎬⎫⎩⎨⎧>⋅−⋅=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>−=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>−2||||||||2)(2h Y a a Y X P h aY Y a X P h a X Y X P n n n n n n n n n ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−>≤2||||4||}|{|2a Y M h a a Y M X P n n n U U22||||4||}|{|2ε<⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−+>≤a Y P M h a a Y P M X P n n n ,则⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎫⎪⎩⎪⎨⎧>−⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=22)(000/h a X Y X h y a XP y Y X P y F n n n n n n Y X n n U22220/0ε+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>−+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤≤h y F h a X Y X P h y a X P a X n n n n n ,且⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>−⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧−≤=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−222000/h a X Y X y Y X P h y a X P h y F n n n nn n a X n U2)(20/0ε+<⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>−+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤y F h a X Y X P y Y X P n n Y X n n n n n ,即22)(220/0/0/εε+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<<−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−h y F y F h y F a X Y X a X n n n n ,因当n > N 1且 | y − y 0 | < h 时,2)()(2)(0//0/εε+<<−y F y F y F a X a X a X n ,在区间⎟⎠⎞⎜⎝⎛++h y h y 00,2取F X / a ( y ) 的任一连续点y 1,满足 | y 1 − y 0 | < h ,当n > max{N 1, N 2, N 3}时,εεε+<+≤+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<)(2)(22)(0/1/0/0/y F y F h y F y F a X a X a X Y X n n n n ,在区间⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−2,00h y h y 取F X / a ( y ) 的任一连续点y 2,满足 | y 2 − y 0 | < h ,当n > max{N 1, N 2, N 3}时,εεε−>−≥−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−>)(2)(22)(0/2/0/0/y F y F h y F y F a X a X a X Y X n n n n ,即对于F X / a ( y ) 的任一连续点y 0,当n > max{N 1, N 2, N 3}时,ε<−|)()(|0/0/y F y F a X Y X n n ,故)()(//y F y F a X WY X n n →,aX Y X L n n →. 12.设随机变量X n 服从柯西分布,其密度函数为+∞<<∞−+=x x n nx p n ,)1π()(22.试证:0Pn X →.证:对任意的ε > 0,)arctan(π2)arctan(π1)1π(}|{|22εεεεεεn nx dx x n n X P n ==+=<−−∫, 则12ππ2)arctan(lim π2}|0{|lim =⋅==<−+∞→+∞→εεn X P n n n , 故0Pn X →.13.设随机变量序列{X n }独立同分布,其密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0;0,1)(其他ββx x p其中常数β > 0,令Y n = max{X 1, X 2, …, X n },试证:βPn Y →.证:对任意的ε > 0,P {| Y n − β | < ε} = P {β − ε < Y n < β + ε} = P {max{X 1, X 2, …, X n } > β − ε}= 1 − P {max{X 1, X 2, …, X n } ≤ β − ε} = 1 − P {X 1 ≤ β − ε} P {X 2 ≤ β − ε} … P {X n ≤ β − ε}n⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=βεβ1, 则11lim }|{|lim =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=<−+∞→+∞→nn n n Y P βεβεβ, 故βPn Y →.14.设随机变量序列{X n }独立同分布,其密度函数为⎩⎨⎧<≥=−−.,0;,e )()(a x a x x p a x 其中Y n = min{X 1, X 2, …, X n },试证:a Y Pn →.证:对任意的ε > 0,P {| Y n − a | < ε} = P {a − ε < Y n < a + ε} = P {min{X 1, X 2, …, X n } < a + ε}= 1 − P {min{X 1, X 2, …, X n } ≥ a + ε} = 1 − P {X 1 ≥ a + ε} P {X 2 ≥ a + ε} … P {X n ≥ a + ε}εεεn na a x n a a x dx −∞++−−∞++−−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=∫e 1e 1e 1)()(, 则1)e 1(lim }|{|lim =−=<−−+∞→+∞→εεn n n n a Y P ,故a Y Pn →.15.设随机变量序列{X n }独立同分布,且X i ~ U(0, 1).令nni i n X Y 11⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=∏=,试证明:c Y P n →,其中c 为常数,并求出c .证:设∑∏===⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==n i i n i i n n X n X n Y Z 11ln 1ln 1ln ,因X i ~ U (0, 1), 则1)ln (ln )(ln 101−=−==∫x x x xdx X E i ,2)2ln 2ln (ln )(ln 12122=+−==∫x x x x x xdx X E i ,1)](ln [)(ln )Var(ln 22=−=i i i X E X E X , 可得1)(ln 1)(1−==∑=n i i n X E n Z E ,n X nZ ni in 1)Var(ln 1)Var(12==∑=,由切比雪夫不等式,可得对任意的ε > 0,221)Var(}|)({|εεεn Z Z E Z P n n n =≤≥−,则01lim }|)({|lim 02=≤≥−≤+∞→+∞→εεn Z E Z P n n n n ,即0}|)({|lim =≥−+∞→εn n n Z E Z P ,1)(−=→n P n Z E Z ,因n Z n Y e =,且函数e x 是直线上的连续函数,根据本节第3题的结论,可得1e e −→=PZ n n Y , 故c Y Pn →,其中1e −=c 为常数.16.设分布函数列{F n (x )}弱收敛于分布函数F (x ),且F n (x ) 和F (x ) 都是连续、严格单调函数,又设 ξ 服从(0, 1)上的均匀分布,试证:)()(11ξξ−−→F F Pn. 证:因F (x ) 为连续的分布函数,有F (−∞) = 0,F (+∞) = 1,则对任意的h > 0,存在M > 0,使得21)(h M F −>,2)(h M F <−, 因F (x ) 是连续、严格单调函数,有F −1( y ) 也是连续、严格单调函数, 可得F −1( y ) 在区间 [F (− M − 1), F (M + 1)] 上一致连续, 对任意的ε > 0,存在δ > 0,当y , y * ∈ [F (− M − 1), F (M + 1)] 且 | y − y * | < δ 时,| F −1( y ) − F −1( y *) | < ε, 设y * 是 [F (−M ), F (M )] 中任一点,记x * = F −1( y *),有x * ∈ [−M , M ],不妨设0 < ε < 1, 则对任意的x 若满足 ε≥−|*|x x ,就有 δ≥−|*)(|y x F ,根据本节第7题的结论知,{F n (x )} 在 (−∞, +∞) 上一致收敛于分布函数F (x ), 则对δ > 0和任意实数x ,总存在N > 0,当n > N 时,都有 | F n (x ) − F (x ) | < δ, 因当n > N 时,δ<−|)()(|x F x F n 且δ≥−|*(|y x F ,有*)(y x F n ≠,即*)(1y F x n −≠, 则对任意的0 < ε < 1,当n > N 时,*)(1y F n −满足ε<−=−−−−|*)(*)(||**)(|111y F y F x y F n n , 可得对任意的0 < ε < 1,当n > N 时,h M F M F P F F P n −>−∈≥<−−−1)]}(),([{}|)()({|11ξεξξ由h 的任意性可知1}|)()({|lim 11=<−−−+∞→εξξF F P n n ,故)()(11ξξ−−→F F Pn.17.设随机变量序列{X n }独立同分布,数学期望、方差均存在,且E (X n ) = µ,试证:µP n k k X k n n →⋅+∑=1)1(2.证:令∑=⋅+=nk k n X k n n Y 1)1(2,并设Var (X n ) = σ 2, 因µµµ=+⋅+=+=∑=)1(21)1(2)1(2)(1n n n n k n n Y E nk n , 且222212222)1(324)12)(1(61)1(4)1(4)Var(σσσ++=++⋅+=+=∑=n n n n n n n n k n n Y nk n , 则由切比雪夫不等式可得,对任意的ε > 0,222)1(3241)Var(1}|{|1σεεεµ++−=−≥<−≥n n n Y Y P n n , 因1)1(3241lim 22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++−+∞→σεn n n n ,由夹逼准则可得1}|{|lim =<−+∞→εµn n Y P , 故µP n k kn X k n n Y →⋅+=∑=1)1(2. 18.设随机变量序列{X n }独立同分布,数学期望、方差均存在,且E (X n ) = 0,Var (X n ) = σ 2.试证:E (X n ) = 0,Var (X n ) = σ 2.试证:2121σP n k k X n →∑=. 注:此题与第19题应放在习题4.3中,需用到4.3节介绍的辛钦大数定律.证:因随机变量序列}{2n X 独立同分布,且222)]([)Var()(σ=+=n n n X E X X E 存在,故}{2nX 满足辛钦大数定律条件,}{2nX 服从大数定律,即2121σP n k k X n →∑=.19.设随机变量序列{X n }独立同分布,且Var (X n ) = σ 2存在,令∑==n i i X n X 11,∑=−=n i i n X X n S 122)(1.试证:22σPnS →.证:2122112122122121)2(1)(1X X n X n X X X n X X X X n X X n S n i i ni i n i i n i i i n i i n−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=+−=−=∑∑∑∑∑=====,设E(X n ) = µ,{X n }满足辛钦大数定律条件,{X n }服从大数定律,即µP nk k X n X →=∑=11,则根据本节第2题第(2)小问的结论知,22µPX →,因随机变量序列}{2n X 独立同分布,且2222)]([)Var()(µσ+=+=n n n X E X X E 存在,则}{2nX 满足辛钦大数定律条件,}{2nX 服从大数定律,即22121µσ+→∑=P n k k X n ,故根据本节第2题第(1)小问的结论知,22222122)(1σµµσ=−+→−=∑=P n i i nX X n S .20.将n 个编号为1至n 的球放入n 个编号为1至n 的盒子中,每个盒子只能放一个球,记⎩⎨⎧=.,0;,1反之的盒子的球放入编号为编号为i i X i 且∑==ni i n X S 1,试证明:0)(Pn n n S E S →−. 证:因n X P i 1}1{==,nX P i 11}0{−==,且i ≠ j 时,)1(1}1{−==n n X X P j i ,)1(11}0{−−==n n X X P j i , 则n X E i 1)(=,⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=n n X i 111)Var(, 且i ≠ j 时,)1(1)(−=n n X X E j i ,)1(11)1(1)()()(),Cov(22−=−−=−=n n n n n X E X E X X E X X j i j i j i , 有1)()(1==∑=ni i n X E S E ,1)1(1)1(11),Cov(2)Var()Var(211=−⋅−+−=+=∑∑≤<≤=n n n n n X X X S nj i j i ni i n , 可得0)]()([1)(=−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−n n n n S E S E n n S E S E ,221)Var(1)(Var n S n n S E S n n n ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡−, 由切比雪夫不等式,可得对任意的ε > 0,2221)(Var 1)()(εεεn n S E S n S E S E n S E S P n n n n n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡−≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−, 则01lim )()(lim 022=≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−≤+∞→+∞→εεn n S E S E n S E S P n n n n n n , 故0)(Pn n nS E S →−.习题4.21. 设离散随机变量X 的分布列如下,试求X 的特征函数.1.02.03.04.03210PX解:特征函数ϕ (t ) = e it ⋅ 0 × 0.4 + e it ⋅ 1 × 0.3 + e it ⋅ 2 × 0.2 + e it ⋅ 3 × 0.1 = 0.4 + 0.3 e it + 0.2 e 2it + 0.1 e 3it .2. 设离散随机变量X 服从几何分布P {X = k } = (1 − p ) k − 1 p , k = 1, 2, … .试求X 的特征函数.并以此求E (X ) 和Var (X ). 解:特征函数ititk k ititk k itk p p p p p p t e)1(1e )]1([ee)1(e )(1111−−=−=−⋅=∑∑+∞=−+∞=−ϕ; 因22]e )1(1[e ]e )1(1[]e )1([e ]e )1(1[e )(it it it it it it it p ip p i p p p i p t −−=−−⋅−−⋅−−−⋅⋅=′ϕ,有)()0(2X iE pip ip ===′ϕ,故pX E 1)(=; 因332]e )1(1[]e )1(1[e ]e )1([]e )1(1[e 2]e )1(1[e )(it it it itit itit itp p p i p p ip p i ip t −−−+−=⋅−−⋅−−−−−⋅⋅=′′−−ϕ, 有)(2)2()0(2223X E i pp p p p =−−=−−=′′ϕ,可得222)(p p X E −=, 故222112)Var(p pp p p X −=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=. 3. 设离散随机变量X 服从巴斯卡分布rk r p p r k k X P −−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−==)1(11}{,k = r , r + 1, …试求X 的特征函数.解:特征函数∑∑+∞=−−+∞=−−+−−−=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⋅=r k r k it r k itr r r k r k r itkp r k k r p p p r k t )(e)1)(1()1()!1(e )1(11e )(L ϕ ∑∑+∞=−=−−−+∞=−=−−=+−−−=r k p x r k r r it rk p x r k r it ititdx x d r p x r k k r p e )1(111e )1()()!1()e ()1()1()!1()e (L itit it p x r r it p x r r r it p x k k r r r it x r r p x dx d r p x dx d r p e )1(e )1(11e )1(1111)1()!1()!1()e (11)!1()e ()!1()e (−=−=−−−=+∞=−−−−−⋅−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⋅−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅−=∑rit itr it r it p p p p ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=−−=e )1(1e ]e )1(1[)e (. 4. 求下列分布函数的特征函数,并由特征函数求其数学期望和方差.(1))0(,e 2)(||1>=∫∞−−a dt a x F x t a ; (2))0(,1π)(222>+=∫∞−a dt at a x F x . 解:(1)因密度函数||11e 2)()(x a ax F x p −=′=,故⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⋅=+∞−∞−+∞+−∞−+∞+∞−−∫∫∫0)(0)(0)(0)(||1e e 2e e 2ee 2)(ait a it a dx dx a dx a t x a it x a it x a it x a it x a itx ϕ 222112at a a it a it a +=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−+=; 因222222221)(22)()(a t ta t a t a t +−=⋅+−=′ϕ,有)(0)0(1X iE ==′ϕ, 故E (X ) = 0;因32242242222222221)(26)(2)(22)(2)(a t a t a a t t a t t a a t a t +−=+⋅+⋅−+⋅−=′′ϕ, 有)(22)0(222641X E i a a a =−=−=′′ϕ,可得222)(a X E =, 故222202)Var(aa X =−=;(2)因密度函数22221π)()(ax a x F x p +⋅=′=, 则∫+∞∞−+⋅=dx a x a t itx 2221e π)(ϕ, 由第(1)小题的结论知∫∞+∞−=+=dx x p a t a t itx )(e )(12221ϕ,根据逆转公式,可得∫∫∞+∞−−∞+∞−−−+⋅===dt at a dt t a x p itx itx x a 2221||1e π21)(e π21e 2)(ϕ, 可得||||222e πe 2π21e y a y a itya a a dt a t −−−+∞∞−=⋅=+⋅∫, 故||||222e e ππ1e π)(t a t a itx a a dx ax a t −−+∞∞−=⋅=+⋅=∫ϕ; 因⎩⎨⎧>−<=′−,0,e ,0,e )(2t a t a t atat ϕ 有a a −=+′≠=−′)00()00(22ϕϕ,即)0(2ϕ′不存在, 故E (X ) 不存在,Var (X ) 也不存在.5. 设X ~ N (µ, σ 2),试用特征函数的方法求X 的3阶及4阶中心矩. 解:因X ~ N (µ, σ 2),有X 的特征函数是222e)(t t i t σµϕ−=,则)(e)(2222t i t t t i σµϕσµ−⋅=′−,)(e)(e )(222222222σσµϕσµσµ−⋅+−⋅=′′−−t t i t t i t i t ,因)()(3e)(e)(2223222222σσµσµϕσµσµ−⋅−⋅+−⋅=′′′−−t i t i t t t i t t i ,有ϕ″′(0) = e 0 ⋅ (i µ )3 + e 0 ⋅ 3i µ ⋅ (−σ 2) = − i µ 3 − 3i µσ 2 = i 3E (X 3) = − i E (X 3), 故E (X 3) = µ 3 + 3µσ 2; 又因2222222422)4()(3e)()(6e)(e)(222222σσσµσµϕσµσµσµ−⋅+−⋅−⋅+−⋅=−−−t t i t t i t t i t i t i t ,有ϕ (4)(0) = e 0 ⋅ (i µ )4 + e 0 ⋅ 6(i µ)2 ⋅ (−σ 2) + e 0 ⋅ 3σ 4 = µ 4 + 6µ 2σ 2 + 3σ 4 = i 4E (X 4) = E (X 4), 故E (X 4) = µ 4 + 6µ 2σ 2 + 3σ 4.6. 试用特征函数的方法证明二项分布的可加性:若X ~ b (n , p ),Y ~ b (m , p ),且X 与Y 独立,则X + Y ~ b (n + m , p ).证:因X ~ b (n , p ),Y ~ b (m , p ),且X 与Y 独立,有X 与Y 的特征函数分别为ϕ X (t ) = ( p e it + 1 − p ) n ,ϕ Y (t ) = ( p e it + 1 − p ) m , 则X + Y 的特征函数为ϕ X + Y (t ) = ϕ X (t ) ⋅ϕ Y (t ) = ( p e it + 1 − p ) n + m ,这是二项分布b (n + m , p )的特征函数, 故根据特征函数的唯一性定理知X + Y ~ b (n + m , p ).7. 试用特征函数的方法证明泊松分布的可加性:若X ~ P (λ1),Y ~ P (λ2),且X 与Y 独立,则X + Y ~ P (λ1 + λ2).证:因X ~ P (λ1),Y ~ P (λ2),且X 与Y 独立,有X 与Y 的特征函数分别为)1(e1e )(−=itt X λϕ,)1(e2e )(−=itt Y λϕ,则X + Y 的特征函数为)1)(e(21e )()()(−++==itt t t Y X Y X λλϕϕϕ,这是泊松分布P (λ1 + λ2)的特征函数,故根据特征函数的唯一性定理知X + Y ~ P (λ1 + λ2).8. 试用特征函数的方法证明伽马分布的可加性:若X ~ Ga (α1, λ),Y ~ Ga (α2, λ),且X 与Y 独立,则X + Y ~ Ga (α1 + α2 , λ).证:因X ~ Ga (α1, λ),Y ~ Ga (α2, λ),且X 与Y 独立,有X 与Y 的特征函数分别为11)(αλϕ−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=it t X ,21)(αλϕ−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=it t Y ,则X + Y 的特征函数为)(211)()()(ααλϕϕϕ+−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−==it t t t Y X Y X ,这是伽马分布Ga (α1 + α2 , λ)的特征函数,故根据特征函数的唯一性定理知X + Y ~ Ga (α1 + α2 , λ).9. 试用特征函数的方法证明χ 2分布的可加性:若X ~ χ 2 (n ),Y ~ χ 2 (m ),且X 与Y 独立,则X + Y ~ χ 2 (n + m ).证:因X ~ χ 2 (n ),Y ~ χ 2 (m ),且X 与Y 独立,有X 与Y 的特征函数分别为2)21()(n X it t −−=ϕ,2)21()(m Y it t −−=ϕ,则X + Y 的特征函数为2)21()()()(m n Y X Y X it t t t +−+−==ϕϕϕ,这是χ 2分布χ 2 (n + m )的特征函数,故根据特征函数的唯一性定理知X + Y ~ χ 2 (n + m ).10.设X i 独立同分布,且X i ~ Exp(λ),i = 1, 2, …, n .试用特征函数的方法证明:),(~1λn Ga X Y ni i n ∑==.证:因X i ~ Exp (λ),i = 1, 2, …, n ,且X i 相互独立,有X i 的特征函数为11)(−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−=λλλϕit it t i X ,则∑==ni i n X Y 1的特征函数为nni X Y it t t i n −=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−==∏λϕϕ1)()(1,这是伽马分布Ga (n , λ)的特征函数,故根据特征函数的唯一性定理知Y n ~ Ga (n , λ).11.设连续随机变量X 的密度函数如下:+∞<<∞−−+⋅=x x x p ,)(π1)(22µλλ, 其中参数λ > 0, −∞ < µ < +∞,常记为X ~ Ch (λ, µ ).(1)试证X 的特征函数为exp{i µ t − λ | t |},且利用此结果证明柯西分布的可加性; (2)当µ = 0, λ = 1时,记Y = X ,试证ϕ X + Y (t ) = ϕ X (t ) ⋅ϕ Y (t ),但是X 与Y 不独立;(3)若X 1, X 2, …, X n 相互独立,且服从同一柯西分布,试证:)(121n X X X n+++L 与X 1同分布. 证:(1)根据第4题第(2)小题的结论知:若X *的密度函数为22π1)(*xx p +⋅=λλ,即X * ~ Ch (λ, 0), 则X *的特征函数为ϕ * (t ) = e −λ | t |,且X = X * + µ 的密度函数为22)(π1)(µλλ−+⋅=x x p , 故X 的特征函数为ϕ X (t ) = e i µ t ϕ * (t ) = e i µ t ⋅ e −λ | t | = e i µ t −λ | t |; 若X 1 ~ Ch (λ1, µ1),X 2 ~ Ch (λ2, µ2),且相互独立,有X 1与X 2的特征函数分别为||111e )(t t i X t λµϕ−=,||222e )(t t i X t λµϕ−=, 则X 1 + X 2的特征函数为||)()(21212121e )()()(t t i X X X X t t t λλµµϕϕϕ+−++==,这是柯西分布Ch (λ1 + λ2, µ1 + µ2)的特征函数,故根据特征函数的唯一性定理知X 1 + X 2 ~ Ch (λ1 + λ2, µ1 + µ2); (2)当µ = 0, λ = 1时,X ~ Ch (1, 0),有X 的特征函数为ϕ X (t ) = e −| t |,又因Y = X ,有Y 的特征函数为ϕ Y (t ) = e −| t |,且X + Y = 2X ,故X + Y 的特征函数为ϕ X + Y (t ) = ϕ 2X (t ) = ϕ X (2t ) = e −| 2t | = e −| t | ⋅ e −| t | =ϕ X (t ) ⋅ϕ Y (t ); 但Y = X ,显然有X 与Y 不独立;(3)因X i ~ Ch (λ, µ ),i = 1, 2, …, n ,且X i 相互独立,有X i 的特征函数为||e )(t t i X t i λµϕ−=, 则)(121n n X X X nY +++=L 的特征函数为 )(e e )()(1||111t n t t t X t t i n t n ti n ni X ni X nY i in ϕϕϕϕλµλµ===⎟⎠⎞⎜⎝⎛==−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅−⋅==∏∏,故根据特征函数的唯一性定理知)(121n X X X n+++L 与X 1同分布. 12.设连续随机变量X 的密度函数为p (x ),试证:p (x ) 关于原点对称的充要条件是它的特征函数是实的偶函数.证:方法一:根据随机变量X 与−X 的关系充分性:设X 的特征函数ϕ X (t )是实的偶函数,有ϕ X (t ) = ϕ X (−t ),则−X 的特征函数ϕ −X (t ) = ϕ X (−t ) = ϕ X (t ),根据特征函数的唯一性定理知−X 与X 同分布,因X 的密度函数为p (x ),有−X 的密度函数为p (−x ),故由−X 与X 同分布可知p (−x ) = p (x ),即p (x ) 关于原点对称; 必要性:设X 的密度函数p (x ) 关于原点对称,有p (−x ) = p (x ), 因−X 的密度函数为p (−x ),即−X 与X 同分布,则−X 的特征函数ϕ −X (t ) = ϕ X (−t ) = ϕ X (t ),且)(][e ][e ][e )()()(t E E E t t X itX itX X it X X ϕϕϕ=====−−−, 故X 的特征函数ϕ X (t )是实的偶函数. 方法二:根据密度函数与特征函数的关系充分性:设连续随机变量X 的特征函数ϕ X (t )是实的偶函数,有ϕ X (t ) = ϕ X (−t ),因∫+∞∞−−=dt t x p itx )(e π21)(ϕ,有∫∫+∞∞−+∞∞−−−==−dt t dt t x p itxx it )(e π21)(e π21)()(ϕϕ, 令t = −u ,有dt = −du ,且当t → −∞时,u → +∞;当t → +∞时,u → −∞,则)()(e π21)(e π21))((e π21)()(x p du u du u du u x p iuxiux x u i ==−=−−=−∫∫∫+∞∞−−+∞∞−−−∞∞+−ϕϕϕ, 故p (x ) 关于原点对称;必要性:设X 的密度函数p (x ) 关于原点对称,有p (−x ) = p (x ),因∫+∞∞−−==dx x p E t itxitX)(e )(e)(ϕ,有∫∫+∞∞−−+∞∞−−==−dx x p dx x p t itx xt i )(e )(e)()(ϕ,令x = −y ,有dx = −dy ,且当x → −∞时,y → +∞;当x → +∞时,y → −∞, 则)()(e )(e ))((e )()(t dy y p dy y p dy y p t X ity ity y it X ϕϕ==−=−−=−∫∫∫+∞∞−+∞∞−−∞∞+−−,且)(][e ][e ][e )()()(t E E E t t X itX itX X t i X X ϕϕϕ====−=−−, 故X 的特征函数ϕ X (t )是实的偶函数.13.设X 1, X 2, …, X n 独立同分布,且都服从N(µ , σ 2)分布,试求∑==ni i X n X 11的分布.证:因X i ~ N (µ , σ 2),i = 1, 2, …, n ,且X i 相互独立,有X i 的特征函数为222e)(t t i X t i σµϕ−=,则∑==n i i X n X 11的特征函数为nt t i n t n t i n ni X n i X n X n t t t i i 2211112222ee)()(σµσµϕϕϕ−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⋅====⎟⎠⎞⎜⎝⎛==∏∏,这是正态分布⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n N 2,σµ的特征函数,故根据特征函数的唯一性定理知⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=∑=n N X n X ni i 21,~1σµ. 14.利用特征函数方法证明如下的泊松定理:设有一列二项分布{b (k , n , p n )},若λ=→∞n n np lim ,则L ,2,1,0,e !),,(lim ==−∞→k k p n k b kn n λλ.证:二项分布b (n , p n )的特征函数为ϕ n (t ) = ( p n e it + 1 − p n ) n = [1 + p n (e it − 1)] n ,且n → ∞时,p n → 0,因)1(e)1(e )1(e 1e )]1(e 1[lim )]1(e 1[lim )(lim −−⋅−→→∞→∞=−+=−+=itit n it n n np p itn p n it n n n n p p t λϕ,。
第四章 大数定律与中心极限定理习题4.11. 如果X X Pn →,且Y X Pn →.试证:P {X = Y } = 1.证:因 | X − Y | = | −(X n − X ) + (X n − Y )| ≤ | X n − X | + | X n − Y |,对任意的ε > 0,有⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−≤≥−≤2||2||}|{|0εεεY X P X X P Y X P n n ,又因X X Pn →,且Y X Pn →,有02||lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−+∞→εX X P n n ,02||lim =⎭⎫⎩⎨⎧≥−+∞→εY X P n n ,则P {| X − Y | ≥ ε} = 0,取k 1=ε,有01||=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−k Y X P ,即11||=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<−k Y X P , 故11||lim1||}{1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧<−==+∞→+∞=k Y X P k Y X P Y X P k k I . 2. 如果X X Pn →,Y Y Pn →.试证:(1)Y X Y X Pn n +→+; (2)XY Y X Pn n →.证:(1)因 | (X n + Y n ) − (X + Y ) | = | (X n − X ) + (Y n − Y )| ≤ | X n − X | + | Y n − Y |,对任意的ε > 0,有⎭⎫⎩⎨⎧≥−+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−≤≥+−+≤2||2||}|)()({|0εεεY Y P X X P Y X Y X P n n n n ,又因X X P n →,Y Y P n →,有02||lim =⎭⎫⎩⎨⎧≥−+∞→εX X P n n ,02||lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−+∞→εY Y P n n ,故0}|)()({|lim =≥+−++∞→εY X Y X P n n n ,即Y X Y X Pn n +→+;(2)因 | X n Y n − XY | = | (X n − X )Y n + X (Y n − Y ) | ≤ | X n − X | ⋅ | Y n | + | X | ⋅ | Y n − Y |,对任意的ε > 0,有⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−⋅+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⋅−≤≥−≤2||||2||||}|{|0εεεY Y X P Y X X P XY Y X P n n n n n ,对任意的h > 0,存在M 1 > 0,使得4}|{|1h M X P <≥,存在M 2 > 0,使得8}|{|2hM Y P <≥, 存在N 1 > 0,当n > N 1时,8}1|{|h Y Y P n <≥−, 因| Y n | = | (Y n − Y ) + Y | ≤ | Y n − Y | + | Y |,有4}|{|}1|{|}1|{|22h M Y Y Y P M Y P n n <≥+≥−≤+≥, 存在N 2 > 0,当n > N 2时,4)1(2||2h M X X P n <⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≥−ε,当n > max{N 1, N 2}时,有244}1|{|)1(2||2||||22h h h M Y P M X X P Y X X P n n n n =+<+≥+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≥−≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⋅−εε,存在N 3 > 0,当n > N 3时,42||1hM Y Y P n <⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−ε,有244}|{|2||2||||11h h h M X P M Y Y P X Y Y P n n =+<≥+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⋅−εε,则对任意的h > 0,当n > max{N 1, N 2, N 3} 时,有h h h Y Y X P Y X X P XY Y X P n n n n n =+<⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−⋅+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⋅−≤≥−≤222||||2||||}|{|0εεε,故0}|{|lim =≥−+∞→εXY Y X P n n n ,即XY Y X Pn n →.3. 如果X X Pn →,g (x )是直线上的连续函数,试证:)()(X g X g Pn →. 证:对任意的h > 0,存在M > 0,使得4}|{|h M X P <≥, 存在N 1 > 0,当n > N 1时,4}1|{|h X X P n <≥−, 因| X n | = | (X n − X ) + X | ≤ | X n − X | + | X |,则244}|{|}1|{|}1|{|h h h M X P X X P M X P n n =+<≥+≥−≤+≥, 因g (x ) 是直线上的连续函数,有g (x ) 在闭区间 [− (M + 1), M + 1] 上连续,必一致连续, 对任意的ε > 0,存在δ > 0,当 | x − y | < δ 时,有 | g (x ) − g ( y ) | < ε ,存在N 2 > 0,当n > N 2时,4}|{|hX X P n <≥−δ,则对任意的h > 0,当n > max{N 1, N 2} 时,有{}}|{|}1|{|}|{|}|)()({|0M X M X X X P X g X g P n n n ≥+≥≥−≤≥−≤U U δεh hh h M X P M X P X X P n n =++<≥++≥+≥−≤424}|{|}1|{|}|{|δ, 故0}|)()({|lim =≥−+∞→εX g X g P n n ,即)()(X g X g Pn →.4. 如果a X P n →,则对任意常数c ,有ca cX Pn →. 证:当c = 0时,有c X n = 0,ca = 0,显然ca cX Pn →;当c ≠ 0时,对任意的ε > 0,有0||||lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−+∞→c a X P n n ε, 故0}|{|lim =≥−+∞→εca cX P n n ,即ca cX Pn →.5. 试证:X X P n →的充要条件为:n → +∞ 时,有0||1||→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−XX X X E n n .证:以连续随机变量为例进行证明,设X n − X 的密度函数为p ( y ),必要性:设X X Pn →,对任意的ε > 0,都有0}|{|lim =≥−+∞→εX X P n n ,对012>+εε,存在N > 0,当n > N 时,εεε+<≥−1}|{|2X X P n , 则∫∫∫≥<∞+∞−+++=+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−εε||||)(||1||)(||1||)(||1||||1||y y n n dy y p y y dy y p y y dy y p y y XX X X E εεεεεεεεεεεεε=+++<≥−+<−+=++≤∫∫≥<11}|{|}|{|1)()(12||||X X P X X P dy y p dy y p n n y y ,故n → +∞ 时,有0||1||→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−XX X X E n n ; 充分性:设n → +∞ 时,有0||1||→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−XX X X E n n , 因∫∫∫≥≥≥++≤++==≥−εεεεεεεεεε||||||)(||1||1)(11)(}|{|y y y n dy y p y y dy y p dy y p X X P ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−+=++≤∫∞+∞−||1||1)(||1||1X X X X E dy y p y y n n εεεε, 故0}|{|lim =≥−+∞→εX X P n n ,即X X Pn →.6. 设D (x )为退化分布:⎩⎨⎧≥<=.0,1;0,0)(x x x D试问下列分布函数列的极限函数是否仍是分布函数?(其中n = 1, 2, ….)(1){D (x + n )}; (2){D (x + 1/n )}; (3){D (x − 1/n )}.解:(1)对任意实数x ,当n > −x 时,有x + n > 0,D (x + n ) = 1,即1)(lim =++∞→n x D n ,则 {D (x + n )} 的极限函数是常量函数f (x ) = 1,有f (−∞) = 1 ≠ 0,故 {D (x + n )} 的极限函数不是分布函数; (2)若x ≥ 0,有01>+n x ,11=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+n x D ,即11lim =⎟⎠⎞⎜⎝⎛++∞→n x D n ,若x < 0,当x n 1−>时,有01<+n x ,01=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+n x D ,即01lim =⎟⎠⎞⎜⎝⎛++∞→n x D n ,则⎩⎨⎧≥<=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++∞→.0,1;0,01lim x x n x D n 这是在0点处单点分布的分布函数,满足分布函数的基本性质,故⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎟⎠⎞⎜⎝⎛+n x D 1的极限函数是分布函数;(3)若x ≤ 0,有01<−n x ,01=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−n x D ,即01lim =⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+∞→n x D n ,若x > 0,当x n 1>时,有01>−n x ,11=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−n x D ,即11lim =⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+∞→n x D n ,则⎩⎨⎧>≤=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+∞→.0,1;0,01lim x x n x D n 在x = 0处不是右连续,故⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎟⎠⎞⎜⎝⎛−n x D 1的极限函数不是分布函数.7. 设分布函数列 {F n (x )} 弱收敛于连续的分布函数F (x ),试证:{F n (x )} 在 (−∞, +∞) 上一致收敛于分布函数F (x ). 证:因F (x ) 为连续的分布函数,有F (−∞) = 0,F (+∞) = 1,对任意的ε > 0,取正整数ε2>k ,则存在分点x 1 < x 2 < … < x k −1,使得1,,2,1,)(−==k i kix F i L ,并取x 0 = −∞,x k = +∞, 可得k k i k x F x F i i ,1,,2,1,21)()(1−=<=−−L ε, 因 {F n (x )} 弱收敛于F (x ),且F (x ) 连续,有 {F n (x )} 在每一点处都收敛于F (x ),则存在N > 0,当n > N 时,1,,2,1,2|)()(|−=<−k i x F x F i i n L ε,且显然有20|)()(|00ε<=−x F x F n ,20|)()(|ε<=−k k n x F x F ,对任意实数x ,必存在j ,1 ≤ j ≤ k ,有x j −1 ≤ x < x j ,因2)()()()(2)(11εε+<≤≤<−−−j j n n j n j x F x F x F x F x F ,则εεεε−=−−>−−>−−222)()()()(1x F x F x F x F j n ,且εεεε=+<+−<−222)()()()(x F x F x F x F j n ,即对任意的ε > 0和任意实数x ,总存在N > 0,当n > N 时,都有 | F n (x ) − F (x ) | < ε , 故 {F n (x )} 在 (−∞, +∞) 上一致收敛于分布函数F (x ).8. 如果X X Ln →,且数列a n → a ,b n → b .试证:b aX b X a Ln n n +→+. 证:设y 0是F aX + b ( y ) 的任一连续点,则对任意的ε > 0,存在h > 0,当 | y − y 0 | < h 时,4|)()(|0ε<−++y F y F b aX b aX ,又设y 是满足 | y − y 0 | < h 的F aX + b ( y ) 的任一连续点,因⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−≤=≤+=+a b y F a b y X P y b aX P y F X b aX }{)(,有a b y x −=是F X (x )的连续点,且X X L n→, 有)()(lim x F x F X X n n =+∞→,存在N 1,当n > N 1时,4|)()(|ε<−x F x F X X n ,即4|)()(|ε<−++y F y F b aX b aX n ,则当n > N 1且 | y − y 0 | < h 时,2|)()(||)()(||)()(|00ε<−+−≤−++++++y F y F y F y F y F y F b aX b aX b aX b aX b aX b aX n n , 因X 的分布函数F X (x ) 满足F X (−∞) = 0,F X (+∞) = 1,F X (x ) 单调不减且几乎处处连续, 存在M ,使得F X (x ) 在x = ± M 处连续,且41)(ε−>M F X ,4)(ε<−M F X ,因X X Ln →,有41)()(lim ε−>=+∞→M F M F X X n n ,4)()(lim ε<−=−+∞→M F M F X X n n ,则存在N 2,当n > N 2时,41)(ε−>M F n X ,4)(ε<−M F n X ,可得2)(1)(}|{|ε<−+−=>M F M F M X P n n X X n ,因数列a n → a ,b n → b ,存在N 3,当n > N 3时,M h a a n 4||<−,4||h b b n <−, 可得当n > max{N 2, N 3}时,⎭⎫⎩⎨⎧>−+−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+−+2|)()(|2|)()(|h b b X a a P h b aX b X a P n n n n n n n2}|{|24||42||||||ε<>=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+⋅≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−+⋅−≤M X P h h X M hP h b b X a a P nn n n n , 则⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+−+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤+≤≤+=+2|)()(|2}{)(000h b aX b X a h y b aX P y b X a P y F n n n n n n n n b X a n n n U222|)()(|200ε+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+−++⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤+≤+h y F h b aX b X a P h y b aX P b aX n n n n n n , 且⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+−+≤+≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧−≤+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+2|)()(|}{22000h b aX b X a y b X a P h y b aX P h y F n n n n n n n n b aX n U2)(2|)()(|}{00ε+<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+−++≤+≤+y F h b aX b X a P y b X a P n n n b X a n n n n n n n , 即22)(22000εε+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<<−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+++h y F y F h y F b aX b X a b aX n n n n n ,因当n > N 1且 | y − y 0 | < h 时,2)()(2)(00εε+<<−+++y F y F y F b aX b aX b aX n ,在区间⎟⎠⎞⎜⎝⎛++h y h y 00,2取F aX + b ( y ) 的任一连续点y 1,满足 | y 1 − y 0 | < h ,当n > max{N 1, N 2, N 3}时,εεε+<+≤+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<++++)(2)(22)(0100y F y F h y F y F b aX b aX b aX b X a n n n n n ,在区间⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−2,00h y h y 取F aX + b ( y ) 的任一连续点y 2,满足 | y 2 − y 0 | < h ,当n > max{N 1, N 2, N 3}时,εεε−>−≥−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−>++++)(2)(22)(0200y F y F h y F y F b aX b aX b aX b X a n n n n n ,即对于F aX + b ( y ) 的任一连续点y 0,当n > max{N 1, N 2, N 3}时,ε<−++|)()(|00y F y F b aX b X a n n n , 故)()(y F y F b aX Wb X a n n n ++→,b aX b X a Ln n n +→+. 9. 如果X X Ln →,a Y Pn →,试证:a X Y X Ln n +→+. 证:设y 0是F X + a ( y ) 的任一连续点,则对任意的ε > 0,存在h > 0,当 | y − y 0 | < h 时,4|)()(|0ε<−++y F y F a X a X ,又设y 是满足 | y − y 0 | < h 的F X + a ( y )的任一连续点,因F X + a ( y ) = P {X + a ≤ y } = P {X ≤ y − a } = F X ( y − a ),有x = y − a 是F X (x )的连续点,且X X Ln →, 有)()(lim x F x F X X n n =+∞→,存在N 1,当n > N 1时,4|)()(|ε<−x F x F X X n ,即4|)()(|ε<−++y F y F a X a X n , 则当n > N 1且 | y − y 0 | < h 时,2|)()(||)()(||)()(|00ε<−+−≤−++++++y F y F y F y F y F y F a X a X a X a X a X a X n n ,因a Y Pn →,有02||lim =⎭⎫⎩⎨⎧>−+∞→h a Y P n n ,存在N 2,当n > N 2时,22||ε<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−h a Y P n , 则⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎫⎩⎨⎧>−⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤+≤≤+=+2||2}{)(000h a Y h y a X P y Y X P y F n n n n Y X n n U222||200ε+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤+≤+h y F h a Y P h y a X P a X n n n , 且⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎫⎩⎨⎧>−≤+≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧−≤+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+2||}{22000h a Y y Y X P h y a X P h y F n n n n a X n U2)(2||}{00ε+<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−+≤+≤+y F h a Y P y Y X P n n Y X n n n , 即22)(22000εε+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<<−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+++h y F y F h y F a X Y X a X n n n n ,因当n > N 1且 | y − y 0 | < h 时,2)()(2)(00εε+<<−+++y F y F y F a X a X a X n ,在区间⎟⎠⎞⎜⎝⎛++h y h y 00,2取F X + a ( y ) 的任一连续点y 1,满足 | y 1 − y 0 | < h ,当n > max{N 1, N 2}时,εεε+<+≤+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<++++)(2)(22)(0100y F y F h y F y F a X a X a X Y X n n n n ,在区间⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−2,00h y h y 取F X + a ( y ) 的任一连续点y 2,满足 | y 2 − y 0 | < h ,当n > max{N 1, N 2}时,εεε−>−≥−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−>++++)(2)(22)(0200y F y F h y F y F a X a X a X Y X n n n n ,即对于F X + a ( y ) 的任一连续点y 0,当n > max{N 1, N 2}时,ε<−++|)()(|00y F y F a X Y X n n , 故)()(y F y F a X WY X n n ++→,a X Y X Ln n +→+. 10.如果X X Ln →,0Pn Y →,试证:0Pn n Y X →.证:因X 的分布函数F X (x ) 满足F X (−∞) = 0,F X (+∞) = 1,F X (x ) 单调不减且几乎处处连续,则对任意的h > 0,存在M ,使得F X (x ) 在x = ± M 处连续,且41)(h M F X −>,4)(hM F X <−, 因X X L n →,有41)()(lim h M F M F X X n n −>=+∞→,4)()(lim h M F M F X X n n <−=−+∞→,则存在N 1,当n > N 1时,41)(h M F n X −>,4)(hM F n X <−,可得2)(1)(}|{|hM F M F M X P n n X X n <−+−=>,因0Pn Y →,对任意的ε > 0,有0||lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+∞→M Y P n n ε,存在N 2,当n > N 2时,2||h M Y P n <⎭⎬⎫⎩⎨⎧>ε, 则当n > max{N 1, N 2}时,有h M Y P M X P M Y M X P Y X P n n n n n n <⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+>≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧>>≤>εεε||}|{|||}|{|}|{|U ,故0}|{|lim =>+∞→εn n n Y X P ,即0Pn n Y X →.11.如果X X Ln →,a Y Pn →,且Y n ≠ 0,常数a ≠ 0,试证:aXY X L n n →. 证:设y 0是F X / a ( y ) 的任一连续点,则对任意的ε > 0,存在h > 0,当 | y − y 0 | < h 时,4|)()(|0//ε<−y F y F a X a X ,又设y 是满足 | y − y 0 | < h 的F X / a ( y ) 的任一连续点,因)(}{)(/ay F ay X P y a X P y F X a X =≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=,有x = ay 是F X (x )的连续点,且X X Ln →,有)()(lim x F x F X X n n =+∞→,存在N 1,当n > N 1时,4|)()(|ε<−x F x F X X n ,即4|)()(|//ε<−y F y F a X a X n ,则当n > N 1且 | y − y 0 | < h 时,2|)()(||)()(||)()(|0////0//ε<−+−≤−y F y F y F y F y F y F a X a X a X a X a X a X n n ,因X 的分布函数F X (x )满足F X (−∞) = 0,F X (+∞) = 1,F X (x )单调不减且几乎处处连续,存在M ,使得F X (x ) 在x = ± M 处连续,且121)(ε−>M F X ,12)(ε<−M F X ,因X X Ln →,有121)()(lim ε−>=+∞→M F M F X X n n ,12)()(lim ε<−=−+∞→M F M F X X n n ,则存在N 2,当n > N 2时,121)(ε−>M F n X ,12)(ε<−M F n X ,可得6)(1)(}|{|ε<−+−=>M F M F M X P n n X X n ,因0≠→a Y Pn ,有02||lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−+∞→h a Y P n n ,存在N 3 > 0,当n > N 3时,62||||ε<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−a a Y P n ,有62||||ε<⎭⎬⎫⎩⎨⎧<a Y P n ,且64||2ε<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−M h a a Y P n , 可得当n > max{N 1, N 2, N 3}时,⎭⎬⎫⎩⎨⎧>⋅−⋅=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>−=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>−2||||||||2)(2h Y a a Y X P h aY Y a X P h a X Y X P n n n n n n n n n ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−>≤2||||4||}|{|2a Y M h a a Y M X P n n n U U22||||4||}|{|2ε<⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−+>≤a Y P M h a a Y P M X P n n n ,则⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎫⎪⎩⎪⎨⎧>−⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=22)(000/h a X Y X h y a XP y Y X P y F n n n n n n Y X n n U22220/0ε+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>−+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤≤h y F h a X Y X P h y a X P a X n n n n n ,且⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>−⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧−≤=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−222000/h a X Y X y Y X P h y a X P h y F n n n nn n a X n U2)(20/0ε+<⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>−+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤y F h a X Y X P y Y X P n n Y X n n n n n ,即22)(220/0/0/εε+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<<−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−h y F y F h y F a X Y X a X n n n n ,因当n > N 1且 | y − y 0 | < h 时,2)()(2)(0//0/εε+<<−y F y F y F a X a X a X n ,在区间⎟⎠⎞⎜⎝⎛++h y h y 00,2取F X / a ( y ) 的任一连续点y 1,满足 | y 1 − y 0 | < h ,当n > max{N 1, N 2, N 3}时,εεε+<+≤+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<)(2)(22)(0/1/0/0/y F y F h y F y F a X a X a X Y X n n n n ,在区间⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−2,00h y h y 取F X / a ( y ) 的任一连续点y 2,满足 | y 2 − y 0 | < h ,当n > max{N 1, N 2, N 3}时,εεε−>−≥−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−>)(2)(22)(0/2/0/0/y F y F h y F y F a X a X a X Y X n n n n ,即对于F X / a ( y ) 的任一连续点y 0,当n > max{N 1, N 2, N 3}时,ε<−|)()(|0/0/y F y F a X Y X n n ,故)()(//y F y F a X WY X n n →,aX Y X L n n →. 12.设随机变量X n 服从柯西分布,其密度函数为+∞<<∞−+=x x n nx p n ,)1π()(22.试证:0Pn X →.证:对任意的ε > 0,)arctan(π2)arctan(π1)1π(}|{|22εεεεεεn nx dx x n n X P n ==+=<−−∫, 则12ππ2)arctan(lim π2}|0{|lim =⋅==<−+∞→+∞→εεn X P n n n , 故0Pn X →.13.设随机变量序列{X n }独立同分布,其密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0;0,1)(其他ββx x p其中常数β > 0,令Y n = max{X 1, X 2, …, X n },试证:βPn Y →.证:对任意的ε > 0,P {| Y n − β | < ε} = P {β − ε < Y n < β + ε} = P {max{X 1, X 2, …, X n } > β − ε}= 1 − P {max{X 1, X 2, …, X n } ≤ β − ε} = 1 − P {X 1 ≤ β − ε} P {X 2 ≤ β − ε} … P {X n ≤ β − ε}n⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=βεβ1, 则11lim }|{|lim =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=<−+∞→+∞→nn n n Y P βεβεβ, 故βPn Y →.14.设随机变量序列{X n }独立同分布,其密度函数为⎩⎨⎧<≥=−−.,0;,e )()(a x a x x p a x 其中Y n = min{X 1, X 2, …, X n },试证:a Y Pn →.证:对任意的ε > 0,P {| Y n − a | < ε} = P {a − ε < Y n < a + ε} = P {min{X 1, X 2, …, X n } < a + ε}= 1 − P {min{X 1, X 2, …, X n } ≥ a + ε} = 1 − P {X 1 ≥ a + ε} P {X 2 ≥ a + ε} … P {X n ≥ a + ε}εεεn na a x n a a x dx −∞++−−∞++−−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=∫e 1e 1e 1)()(, 则1)e 1(lim }|{|lim =−=<−−+∞→+∞→εεn n n n a Y P ,故a Y Pn →.15.设随机变量序列{X n }独立同分布,且X i ~ U(0, 1).令nni i n X Y 11⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=∏=,试证明:c Y P n →,其中c 为常数,并求出c .证:设∑∏===⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==n i i n i i n n X n X n Y Z 11ln 1ln 1ln ,因X i ~ U (0, 1), 则1)ln (ln )(ln 101−=−==∫x x x xdx X E i ,2)2ln 2ln (ln )(ln 12122=+−==∫x x x x x xdx X E i ,1)](ln [)(ln )Var(ln 22=−=i i i X E X E X , 可得1)(ln 1)(1−==∑=n i i n X E n Z E ,n X nZ ni in 1)Var(ln 1)Var(12==∑=,由切比雪夫不等式,可得对任意的ε > 0,221)Var(}|)({|εεεn Z Z E Z P n n n =≤≥−,则01lim }|)({|lim 02=≤≥−≤+∞→+∞→εεn Z E Z P n n n n ,即0}|)({|lim =≥−+∞→εn n n Z E Z P ,1)(−=→n P n Z E Z ,因n Z n Y e =,且函数e x 是直线上的连续函数,根据本节第3题的结论,可得1e e −→=PZ n n Y , 故c Y Pn →,其中1e −=c 为常数.16.设分布函数列{F n (x )}弱收敛于分布函数F (x ),且F n (x ) 和F (x ) 都是连续、严格单调函数,又设 ξ 服从(0, 1)上的均匀分布,试证:)()(11ξξ−−→F F Pn. 证:因F (x ) 为连续的分布函数,有F (−∞) = 0,F (+∞) = 1,则对任意的h > 0,存在M > 0,使得21)(h M F −>,2)(h M F <−, 因F (x ) 是连续、严格单调函数,有F −1( y ) 也是连续、严格单调函数, 可得F −1( y ) 在区间 [F (− M − 1), F (M + 1)] 上一致连续, 对任意的ε > 0,存在δ > 0,当y , y * ∈ [F (− M − 1), F (M + 1)] 且 | y − y * | < δ 时,| F −1( y ) − F −1( y *) | < ε, 设y * 是 [F (−M ), F (M )] 中任一点,记x * = F −1( y *),有x * ∈ [−M , M ],不妨设0 < ε < 1, 则对任意的x 若满足 ε≥−|*|x x ,就有 δ≥−|*)(|y x F ,根据本节第7题的结论知,{F n (x )} 在 (−∞, +∞) 上一致收敛于分布函数F (x ), 则对δ > 0和任意实数x ,总存在N > 0,当n > N 时,都有 | F n (x ) − F (x ) | < δ, 因当n > N 时,δ<−|)()(|x F x F n 且δ≥−|*(|y x F ,有*)(y x F n ≠,即*)(1y F x n −≠, 则对任意的0 < ε < 1,当n > N 时,*)(1y F n −满足ε<−=−−−−|*)(*)(||**)(|111y F y F x y F n n , 可得对任意的0 < ε < 1,当n > N 时,h M F M F P F F P n −>−∈≥<−−−1)]}(),([{}|)()({|11ξεξξ由h 的任意性可知1}|)()({|lim 11=<−−−+∞→εξξF F P n n ,故)()(11ξξ−−→F F Pn.17.设随机变量序列{X n }独立同分布,数学期望、方差均存在,且E (X n ) = µ,试证:µP n k k X k n n →⋅+∑=1)1(2.证:令∑=⋅+=nk k n X k n n Y 1)1(2,并设Var (X n ) = σ 2, 因µµµ=+⋅+=+=∑=)1(21)1(2)1(2)(1n n n n k n n Y E nk n , 且222212222)1(324)12)(1(61)1(4)1(4)Var(σσσ++=++⋅+=+=∑=n n n n n n n n k n n Y nk n , 则由切比雪夫不等式可得,对任意的ε > 0,222)1(3241)Var(1}|{|1σεεεµ++−=−≥<−≥n n n Y Y P n n , 因1)1(3241lim 22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++−+∞→σεn n n n ,由夹逼准则可得1}|{|lim =<−+∞→εµn n Y P , 故µP n k kn X k n n Y →⋅+=∑=1)1(2. 18.设随机变量序列{X n }独立同分布,数学期望、方差均存在,且E (X n ) = 0,Var (X n ) = σ 2.试证:E (X n ) = 0,Var (X n ) = σ 2.试证:2121σP n k k X n →∑=. 注:此题与第19题应放在习题4.3中,需用到4.3节介绍的辛钦大数定律.证:因随机变量序列}{2n X 独立同分布,且222)]([)Var()(σ=+=n n n X E X X E 存在,故}{2nX 满足辛钦大数定律条件,}{2nX 服从大数定律,即2121σP n k k X n →∑=.19.设随机变量序列{X n }独立同分布,且Var (X n ) = σ 2存在,令∑==n i i X n X 11,∑=−=n i i n X X n S 122)(1.试证:22σPnS →.证:2122112122122121)2(1)(1X X n X n X X X n X X X X n X X n S n i i ni i n i i n i i i n i i n−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=+−=−=∑∑∑∑∑=====,设E(X n ) = µ,{X n }满足辛钦大数定律条件,{X n }服从大数定律,即µP nk k X n X →=∑=11,则根据本节第2题第(2)小问的结论知,22µPX →,因随机变量序列}{2n X 独立同分布,且2222)]([)Var()(µσ+=+=n n n X E X X E 存在,则}{2nX 满足辛钦大数定律条件,}{2nX 服从大数定律,即22121µσ+→∑=P n k k X n ,故根据本节第2题第(1)小问的结论知,22222122)(1σµµσ=−+→−=∑=P n i i nX X n S .20.将n 个编号为1至n 的球放入n 个编号为1至n 的盒子中,每个盒子只能放一个球,记⎩⎨⎧=.,0;,1反之的盒子的球放入编号为编号为i i X i 且∑==ni i n X S 1,试证明:0)(Pn n n S E S →−. 证:因n X P i 1}1{==,nX P i 11}0{−==,且i ≠ j 时,)1(1}1{−==n n X X P j i ,)1(11}0{−−==n n X X P j i , 则n X E i 1)(=,⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=n n X i 111)Var(, 且i ≠ j 时,)1(1)(−=n n X X E j i ,)1(11)1(1)()()(),Cov(22−=−−=−=n n n n n X E X E X X E X X j i j i j i , 有1)()(1==∑=ni i n X E S E ,1)1(1)1(11),Cov(2)Var()Var(211=−⋅−+−=+=∑∑≤<≤=n n n n n X X X S nj i j i ni i n , 可得0)]()([1)(=−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−n n n n S E S E n n S E S E ,221)Var(1)(Var n S n n S E S n n n ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡−, 由切比雪夫不等式,可得对任意的ε > 0,2221)(Var 1)()(εεεn n S E S n S E S E n S E S P n n n n n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡−≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−, 则01lim )()(lim 022=≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−≤+∞→+∞→εεn n S E S E n S E S P n n n n n n , 故0)(Pn n nS E S →−.习题4.21. 设离散随机变量X 的分布列如下,试求X 的特征函数.1.02.03.04.03210PX解:特征函数ϕ (t ) = e it ⋅ 0 × 0.4 + e it ⋅ 1 × 0.3 + e it ⋅ 2 × 0.2 + e it ⋅ 3 × 0.1 = 0.4 + 0.3 e it + 0.2 e 2it + 0.1 e 3it .2. 设离散随机变量X 服从几何分布P {X = k } = (1 − p ) k − 1 p , k = 1, 2, … .试求X 的特征函数.并以此求E (X ) 和Var (X ). 解:特征函数ititk k ititk k itk p p p p p p t e)1(1e )]1([ee)1(e )(1111−−=−=−⋅=∑∑+∞=−+∞=−ϕ; 因22]e )1(1[e ]e )1(1[]e )1([e ]e )1(1[e )(it it it it it it it p ip p i p p p i p t −−=−−⋅−−⋅−−−⋅⋅=′ϕ,有)()0(2X iE pip ip ===′ϕ,故pX E 1)(=; 因332]e )1(1[]e )1(1[e ]e )1([]e )1(1[e 2]e )1(1[e )(it it it itit itit itp p p i p p ip p i ip t −−−+−=⋅−−⋅−−−−−⋅⋅=′′−−ϕ, 有)(2)2()0(2223X E i pp p p p =−−=−−=′′ϕ,可得222)(p p X E −=, 故222112)Var(p pp p p X −=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=. 3. 设离散随机变量X 服从巴斯卡分布rk r p p r k k X P −−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−==)1(11}{,k = r , r + 1, …试求X 的特征函数.解:特征函数∑∑+∞=−−+∞=−−+−−−=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⋅=r k r k it r k itr r r k r k r itkp r k k r p p p r k t )(e)1)(1()1()!1(e )1(11e )(L ϕ ∑∑+∞=−=−−−+∞=−=−−=+−−−=r k p x r k r r it rk p x r k r it ititdx x d r p x r k k r p e )1(111e )1()()!1()e ()1()1()!1()e (L itit it p x r r it p x r r r it p x k k r r r it x r r p x dx d r p x dx d r p e )1(e )1(11e )1(1111)1()!1()!1()e (11)!1()e ()!1()e (−=−=−−−=+∞=−−−−−⋅−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⋅−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅−=∑rit itr it r it p p p p ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=−−=e )1(1e ]e )1(1[)e (. 4. 求下列分布函数的特征函数,并由特征函数求其数学期望和方差.(1))0(,e 2)(||1>=∫∞−−a dt a x F x t a ; (2))0(,1π)(222>+=∫∞−a dt at a x F x . 解:(1)因密度函数||11e 2)()(x a ax F x p −=′=,故⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⋅=+∞−∞−+∞+−∞−+∞+∞−−∫∫∫0)(0)(0)(0)(||1e e 2e e 2ee 2)(ait a it a dx dx a dx a t x a it x a it x a it x a it x a itx ϕ 222112at a a it a it a +=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−+=; 因222222221)(22)()(a t ta t a t a t +−=⋅+−=′ϕ,有)(0)0(1X iE ==′ϕ, 故E (X ) = 0;因32242242222222221)(26)(2)(22)(2)(a t a t a a t t a t t a a t a t +−=+⋅+⋅−+⋅−=′′ϕ, 有)(22)0(222641X E i a a a =−=−=′′ϕ,可得222)(a X E =, 故222202)Var(aa X =−=;(2)因密度函数22221π)()(ax a x F x p +⋅=′=, 则∫+∞∞−+⋅=dx a x a t itx 2221e π)(ϕ, 由第(1)小题的结论知∫∞+∞−=+=dx x p a t a t itx )(e )(12221ϕ,根据逆转公式,可得∫∫∞+∞−−∞+∞−−−+⋅===dt at a dt t a x p itx itx x a 2221||1e π21)(e π21e 2)(ϕ, 可得||||222e πe 2π21e y a y a itya a a dt a t −−−+∞∞−=⋅=+⋅∫, 故||||222e e ππ1e π)(t a t a itx a a dx ax a t −−+∞∞−=⋅=+⋅=∫ϕ; 因⎩⎨⎧>−<=′−,0,e ,0,e )(2t a t a t atat ϕ 有a a −=+′≠=−′)00()00(22ϕϕ,即)0(2ϕ′不存在, 故E (X ) 不存在,Var (X ) 也不存在.5. 设X ~ N (µ, σ 2),试用特征函数的方法求X 的3阶及4阶中心矩. 解:因X ~ N (µ, σ 2),有X 的特征函数是222e)(t t i t σµϕ−=,则)(e)(2222t i t t t i σµϕσµ−⋅=′−,)(e)(e )(222222222σσµϕσµσµ−⋅+−⋅=′′−−t t i t t i t i t ,因)()(3e)(e)(2223222222σσµσµϕσµσµ−⋅−⋅+−⋅=′′′−−t i t i t t t i t t i ,有ϕ″′(0) = e 0 ⋅ (i µ )3 + e 0 ⋅ 3i µ ⋅ (−σ 2) = − i µ 3 − 3i µσ 2 = i 3E (X 3) = − i E (X 3), 故E (X 3) = µ 3 + 3µσ 2; 又因2222222422)4()(3e)()(6e)(e)(222222σσσµσµϕσµσµσµ−⋅+−⋅−⋅+−⋅=−−−t t i t t i t t i t i t i t ,有ϕ (4)(0) = e 0 ⋅ (i µ )4 + e 0 ⋅ 6(i µ)2 ⋅ (−σ 2) + e 0 ⋅ 3σ 4 = µ 4 + 6µ 2σ 2 + 3σ 4 = i 4E (X 4) = E (X 4), 故E (X 4) = µ 4 + 6µ 2σ 2 + 3σ 4.6. 试用特征函数的方法证明二项分布的可加性:若X ~ b (n , p ),Y ~ b (m , p ),且X 与Y 独立,则X + Y ~ b (n + m , p ).证:因X ~ b (n , p ),Y ~ b (m , p ),且X 与Y 独立,有X 与Y 的特征函数分别为ϕ X (t ) = ( p e it + 1 − p ) n ,ϕ Y (t ) = ( p e it + 1 − p ) m , 则X + Y 的特征函数为ϕ X + Y (t ) = ϕ X (t ) ⋅ϕ Y (t ) = ( p e it + 1 − p ) n + m ,这是二项分布b (n + m , p )的特征函数, 故根据特征函数的唯一性定理知X + Y ~ b (n + m , p ).7. 试用特征函数的方法证明泊松分布的可加性:若X ~ P (λ1),Y ~ P (λ2),且X 与Y 独立,则X + Y ~ P (λ1 + λ2).证:因X ~ P (λ1),Y ~ P (λ2),且X 与Y 独立,有X 与Y 的特征函数分别为)1(e1e )(−=itt X λϕ,)1(e2e )(−=itt Y λϕ,则X + Y 的特征函数为)1)(e(21e )()()(−++==itt t t Y X Y X λλϕϕϕ,这是泊松分布P (λ1 + λ2)的特征函数,故根据特征函数的唯一性定理知X + Y ~ P (λ1 + λ2).8. 试用特征函数的方法证明伽马分布的可加性:若X ~ Ga (α1, λ),Y ~ Ga (α2, λ),且X 与Y 独立,则X + Y ~ Ga (α1 + α2 , λ).证:因X ~ Ga (α1, λ),Y ~ Ga (α2, λ),且X 与Y 独立,有X 与Y 的特征函数分别为11)(αλϕ−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=it t X ,21)(αλϕ−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=it t Y ,则X + Y 的特征函数为)(211)()()(ααλϕϕϕ+−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−==it t t t Y X Y X ,这是伽马分布Ga (α1 + α2 , λ)的特征函数,故根据特征函数的唯一性定理知X + Y ~ Ga (α1 + α2 , λ).9. 试用特征函数的方法证明χ 2分布的可加性:若X ~ χ 2 (n ),Y ~ χ 2 (m ),且X 与Y 独立,则X + Y ~ χ 2 (n + m ).证:因X ~ χ 2 (n ),Y ~ χ 2 (m ),且X 与Y 独立,有X 与Y 的特征函数分别为2)21()(n X it t −−=ϕ,2)21()(m Y it t −−=ϕ,则X + Y 的特征函数为2)21()()()(m n Y X Y X it t t t +−+−==ϕϕϕ,这是χ 2分布χ 2 (n + m )的特征函数,故根据特征函数的唯一性定理知X + Y ~ χ 2 (n + m ).10.设X i 独立同分布,且X i ~ Exp(λ),i = 1, 2, …, n .试用特征函数的方法证明:),(~1λn Ga X Y ni i n ∑==.证:因X i ~ Exp (λ),i = 1, 2, …, n ,且X i 相互独立,有X i 的特征函数为11)(−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−=λλλϕit it t i X ,则∑==ni i n X Y 1的特征函数为nni X Y it t t i n −=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−==∏λϕϕ1)()(1,这是伽马分布Ga (n , λ)的特征函数,故根据特征函数的唯一性定理知Y n ~ Ga (n , λ).11.设连续随机变量X 的密度函数如下:+∞<<∞−−+⋅=x x x p ,)(π1)(22µλλ, 其中参数λ > 0, −∞ < µ < +∞,常记为X ~ Ch (λ, µ ).(1)试证X 的特征函数为exp{i µ t − λ | t |},且利用此结果证明柯西分布的可加性; (2)当µ = 0, λ = 1时,记Y = X ,试证ϕ X + Y (t ) = ϕ X (t ) ⋅ϕ Y (t ),但是X 与Y 不独立;(3)若X 1, X 2, …, X n 相互独立,且服从同一柯西分布,试证:)(121n X X X n+++L 与X 1同分布. 证:(1)根据第4题第(2)小题的结论知:若X *的密度函数为22π1)(*xx p +⋅=λλ,即X * ~ Ch (λ, 0), 则X *的特征函数为ϕ * (t ) = e −λ | t |,且X = X * + µ 的密度函数为22)(π1)(µλλ−+⋅=x x p , 故X 的特征函数为ϕ X (t ) = e i µ t ϕ * (t ) = e i µ t ⋅ e −λ | t | = e i µ t −λ | t |; 若X 1 ~ Ch (λ1, µ1),X 2 ~ Ch (λ2, µ2),且相互独立,有X 1与X 2的特征函数分别为||111e )(t t i X t λµϕ−=,||222e )(t t i X t λµϕ−=, 则X 1 + X 2的特征函数为||)()(21212121e )()()(t t i X X X X t t t λλµµϕϕϕ+−++==,这是柯西分布Ch (λ1 + λ2, µ1 + µ2)的特征函数,故根据特征函数的唯一性定理知X 1 + X 2 ~ Ch (λ1 + λ2, µ1 + µ2); (2)当µ = 0, λ = 1时,X ~ Ch (1, 0),有X 的特征函数为ϕ X (t ) = e −| t |,又因Y = X ,有Y 的特征函数为ϕ Y (t ) = e −| t |,且X + Y = 2X ,故X + Y 的特征函数为ϕ X + Y (t ) = ϕ 2X (t ) = ϕ X (2t ) = e −| 2t | = e −| t | ⋅ e −| t | =ϕ X (t ) ⋅ϕ Y (t ); 但Y = X ,显然有X 与Y 不独立;(3)因X i ~ Ch (λ, µ ),i = 1, 2, …, n ,且X i 相互独立,有X i 的特征函数为||e )(t t i X t i λµϕ−=, 则)(121n n X X X nY +++=L 的特征函数为 )(e e )()(1||111t n t t t X t t i n t n ti n ni X ni X nY i in ϕϕϕϕλµλµ===⎟⎠⎞⎜⎝⎛==−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅−⋅==∏∏,故根据特征函数的唯一性定理知)(121n X X X n+++L 与X 1同分布. 12.设连续随机变量X 的密度函数为p (x ),试证:p (x ) 关于原点对称的充要条件是它的特征函数是实的偶函数.证:方法一:根据随机变量X 与−X 的关系充分性:设X 的特征函数ϕ X (t )是实的偶函数,有ϕ X (t ) = ϕ X (−t ),则−X 的特征函数ϕ −X (t ) = ϕ X (−t ) = ϕ X (t ),根据特征函数的唯一性定理知−X 与X 同分布,因X 的密度函数为p (x ),有−X 的密度函数为p (−x ),故由−X 与X 同分布可知p (−x ) = p (x ),即p (x ) 关于原点对称; 必要性:设X 的密度函数p (x ) 关于原点对称,有p (−x ) = p (x ), 因−X 的密度函数为p (−x ),即−X 与X 同分布,则−X 的特征函数ϕ −X (t ) = ϕ X (−t ) = ϕ X (t ),且)(][e ][e ][e )()()(t E E E t t X itX itX X it X X ϕϕϕ=====−−−, 故X 的特征函数ϕ X (t )是实的偶函数. 方法二:根据密度函数与特征函数的关系充分性:设连续随机变量X 的特征函数ϕ X (t )是实的偶函数,有ϕ X (t ) = ϕ X (−t ),因∫+∞∞−−=dt t x p itx )(e π21)(ϕ,有∫∫+∞∞−+∞∞−−−==−dt t dt t x p itxx it )(e π21)(e π21)()(ϕϕ, 令t = −u ,有dt = −du ,且当t → −∞时,u → +∞;当t → +∞时,u → −∞,则)()(e π21)(e π21))((e π21)()(x p du u du u du u x p iuxiux x u i ==−=−−=−∫∫∫+∞∞−−+∞∞−−−∞∞+−ϕϕϕ, 故p (x ) 关于原点对称;必要性:设X 的密度函数p (x ) 关于原点对称,有p (−x ) = p (x ),因∫+∞∞−−==dx x p E t itxitX)(e )(e)(ϕ,有∫∫+∞∞−−+∞∞−−==−dx x p dx x p t itx xt i )(e )(e)()(ϕ,令x = −y ,有dx = −dy ,且当x → −∞时,y → +∞;当x → +∞时,y → −∞, 则)()(e )(e ))((e )()(t dy y p dy y p dy y p t X ity ity y it X ϕϕ==−=−−=−∫∫∫+∞∞−+∞∞−−∞∞+−−,且)(][e ][e ][e )()()(t E E E t t X itX itX X t i X X ϕϕϕ====−=−−, 故X 的特征函数ϕ X (t )是实的偶函数.13.设X 1, X 2, …, X n 独立同分布,且都服从N(µ , σ 2)分布,试求∑==ni i X n X 11的分布.证:因X i ~ N (µ , σ 2),i = 1, 2, …, n ,且X i 相互独立,有X i 的特征函数为222e)(t t i X t i σµϕ−=,则∑==n i i X n X 11的特征函数为nt t i n t n t i n ni X n i X n X n t t t i i 2211112222ee)()(σµσµϕϕϕ−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⋅====⎟⎠⎞⎜⎝⎛==∏∏,这是正态分布⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n N 2,σµ的特征函数,故根据特征函数的唯一性定理知⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=∑=n N X n X ni i 21,~1σµ. 14.利用特征函数方法证明如下的泊松定理:设有一列二项分布{b (k , n , p n )},若λ=→∞n n np lim ,则L ,2,1,0,e !),,(lim ==−∞→k k p n k b kn n λλ.证:二项分布b (n , p n )的特征函数为ϕ n (t ) = ( p n e it + 1 − p n ) n = [1 + p n (e it − 1)] n ,且n → ∞时,p n → 0,因)1(e)1(e )1(e 1e )]1(e 1[lim )]1(e 1[lim )(lim −−⋅−→→∞→∞=−+=−+=itit n it n n np p itn p n it n n n n p p t λϕ,。