2019年高考理科数学考前必做难题30题(解析版)

2019年高考（理科）数学最有可能考的30题1．【集合运算与不等式】已知集合{}2A |log 1x x =≤，集合{}B |21xy y ==+，则A B ⋂=( )A. []1,2B. (]1,2 C. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 1,22⎛⎤⎥⎝⎦2.【条件概率与排列组合】从1,2,3,4,5种任取2个不同的数，事件A =“取到的2个数之和为偶数”，事件=B “取到的2个数均为偶数”，则()|P B A =（ ） A ．18 B ．14 C ．25 D ．123.【复数的概念及运算】复数z 满足()11i 1iz -=+，则z =A.22- B. 22+ C. 1i - D. 1i + 4. 【充要条件、特称命题与全称命题、复合命题真值表】已知命题:p 若,a b 是实数，则a b>是22a b >的充分不必要条件；命题:q “2R,23x x x ∃∈+>” 的否定是“2R,23x x x ∀∈+<”，则下列命题为真命题的是（ ） A. p q ∧ B. p q ⌝∧ C. p q ∧⌝ D. p q ⌝∧⌝ 5.【函数图象】函数()2sin f x x x =的图象可能为（ ）A. B.C.D.6.【三角变换】已知1cos 0,72παα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，，则cos 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ( )A.1114-B.14C.14D.13147.【函数综合问题】若关于x的不等式342xalog x-≤在10,2x⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上恒成立，则实数a的取值范围是（）A.3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B.30,4⎛⎤⎥⎝⎦C.10,4⎛⎤⎥⎝⎦D.1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭8.【等差数列与传统文化】《算法统宗》是中国古代数学名著.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“竹筒容米”就是其中一首：家有八節竹一莖，为因盛米不均平；下頭三節三生九，上梢三節貯三升；唯有中間二節竹，要将米数次第盛；若是先生能算法，也教算得到天明！大意是：用一根8节长的竹子盛米，每节竹筒盛米的容积是不均匀的.下端3节可盛米3.9升, 上端3节可盛米3升.要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米,中间两节可盛米多少升.由以上条件,要求计算出这根八节竹筒盛米的容积总共为( )升A. 9.0 B. 9.1 C. 9.2 D. 9.39.【三角函数图像与性质】已知函数(,,为常数,, , )的部分图像如图所示,则下列结论正确的是( )A. 函数的最小正周期为B. 直线是函数图象的一条对称轴C. 函数在区间上单调递增D. 将函数的图象向左平移个单位,得到函数的图象,则10. 设变量,x y满足线性约束条件{3030yx yx y≥-+≥+-≥，则2z x y=-的取值范围是（）A. []36-， B. []66-， C. [)6-+∞， D. [)3-+∞，11.【导数的综合应用】若函数()2lnlnxf x ax xx x=+--有三个不同的零点，则实数a的取值范围是( )A. 11,1e e e ⎛⎫- ⎪-⎝⎭ B. 11,1e e e ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦ C. 1,11e e e ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭ D. 1,11e e e ⎡⎤--⎢⎥-⎣⎦12.【简单几何体的三视图与球的切解问题】如图，网格上小正方形的边长为，粗线画出的是某个多面体的三视图，若该多面体的所有顶点都在球表面上，则球的表面积是（ ）A. B. C.D.13. 【双曲线几何性质】已知点2,F P 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与右支上的一点， O 为坐标原点，若点M 是2PF 的中点， 22OF F M =，且222·2c OF F M =，则该双曲线的离心率为（ ）B. 3214.【直线与抛物线的位置关系】已知抛物线2:4C y x =,过焦点F C 相交于,P Q 两点,且,P Q 两点在准线上的投影分别为,M N 两点,则MFN S ∆=（ ）A.83 C. 163 15.【程序框图】执行如图所示的程序框图，那么输出的a 值是A. 12-B. 1-C. 2D. 1216. 【抽样方法、直线与圆的位置关系】某学校有2500名学生，其中高一1000人，高二900人，高三600人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高三抽取样本数分别为,a b ，且直线80ax by ++=与以()1,1A -为圆心的圆交于,B C 两点，且120BAC ∠=，则圆C 的方程为（ ） A. ()()22111x y -++= B. ()()22112x y -++=C. ()()22181117x y -++=D. ()()22121115x y -++= 17.【新定义问题】若函数()y f x =在实数集R 上的图象是连续不断的，且对任意实数x 存在常数t 使得()()f x t tf x +=恒成立，则称()y f x =是一个“关于t 函数”.现有下列“关于t 函数”的结论：①常数函数是“关于t 函数”；②正比例函数必是一个“关于t 函数”； ③“关于2函数”至少有一个零点；④()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭是一个“关于t 函数”.其中正确结论的序号是_______.18.【线性规划应用问题】下表所示为,,X Y Z 三种食物的维生素含量及成本，某食品厂欲将三种食物混合，制成至少含44000单位维生素A 及48000单位维生素B 的混合物100千克，所用的食物,,X Y Z 的质量分别为,,x y z （千克），混合物的成本最少为__________元．19. 【正余弦定理应用】在ABC ∆中， a ， b ， c 分别为内角A , B , C 的对边，且 20.【平面向量数量积】如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 的中点， AE 与BD 交于点M ，AB 1AD =，且16MA MB ⋅=-，则AB AD ⋅= ．21. 【积分与二项式定理】()611(0)x ax a x ⎛⎫++> ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为240，则=__________．22. 【导数的几何意义】 已知曲线x ay e +=与2(1)y x =-恰好存在两条公切线，则实数a 的取值范围为________23.【极坐标与参数方程大题】在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程； （2）过点且与直线平行的直线交于，两点，求点到，两点的距离之积. 24.【不等式选讲】已知函数()23f x x a x a =-+-. （1）若()f x 的最小值为2，求a 的值；（2）若对x R ∀∈， []2,2a ∃∈-，使得不等式()20m m f x --<成立，求实数m 的取值范围.25. 【三角函数大题：正余弦定理应用】已知ABC ∆中，22,3sin 3AC A C B π===. （1）求AB ；（2）若D 为BC 边上一点，且ACD ∆，求ADC ∠的正弦值.26.【数列大题：递推数列求通项、数列求和】数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足3122n n S a =-， 11a =. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若31321log log n n n b a a ++=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .27. 【概率统计大题：总体估计、随机变量分布列】某厂生产一种零件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于8为优质品，小于8大于等于4为正品，小于4为次品，现随机抽取这种零件100件进行检测，检测结果统计如下：若以上述测试中各组的频率作为相应的概率. （1）试估计这种零件的平均质量指标；（2）生产一件零件，若是优质品可盈利40元，若是正品盈利20元，若是次品则亏损20元；现从大量的这种零件中随机抽取2件，其利润之和记为X （单位：元），求X 的分布列及数学期望.28.【立体几何大题：空间垂直判定与性质、二面角计算】在四棱锥ABC P -中，底面ABCD 是正方形，侧棱⊥PD 底面D A B C ，PC E DC PD 是， =的中点，作F PB PB EF 于点交⊥（1）证明：EDB PA 平面//； （2）证明：EFD PB 平面⊥； （3）求二面角D PB C -- 的大小。

2019年高考（理科）数学考前必做基础30题1．已知集合，，则（ ） A.B.C.D.2．已知全集U 是实数集R ，右边的韦恩图表示集合{}2M x x =与{|13}N x x =<<的关系，那么阴影部分所表示的集合可能为（ ）A ．{|2}x x <B ．{|12}x x <<C ．{}3x x D ．{|1}x x ≤ 3．若变量满足约束条件，则的最小值是（ ）A.B.C.D.4．已知函数()sin f x x x =-，则不等式()()2120f x f x ++-<的解集是（ ） A ． 1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ B ． 1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ． ()3,+∞D ． (),3-∞5．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线1C ： 2221x y -=，过1C 的左顶点引1C 的一条渐进线的平行线，则该直线与另一条渐进线及x 轴围成的三角形的面积（ ）A ．4 B ．2 C ．8 D ．166．已知为定义在 上的偶函数，且，当时，，记，则的大小关系为（ ）A. B. C. D.7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积等于（ ）A ．B ．3πC ．8πD ．12π8．如图，分别以,A C 为圆心，正方形ABCD 的边长为半径圆弧，交成图中阴影部分，现向正方形内投入1个质点，则该点落在阴影部分的概率为（ ）A.12 B. 22π- C. 14 D. 24π-9．将函数()22sin cos f x x x x =-(0)t t >个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t 的最小值为（ ） A ．23π B ． 3π C ． 2π D ． 6π10．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，则选中的花中没有红色的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．11．执行如图所示的程序框图，当输出的2S =时，则输入的S 的值为( )A. -2B. -1C. 12-D. 1212．已知向量，且，则等于__________．13．在正项等比数列{}n a 中， 26,a a 是231030x x -+=的两个根，则242611a a a ++=__________． 14．已知1112ni i =-+，其中n 是实数， i 虚数单位，那么n =__________． 15．下面茎叶图记录了甲、乙两班各六名同学一周的课外阅读时间（单位：小时），已知甲班数据的平均数为13，乙班数据的中位数为17，那么x 的位置应填__________， y 的位置应填__________．16．若的展开式中的系数为80，则_______.17．已知2,a b =是单位向量，且a 与b 夹角为60°，则()·a a b -等于__________． 18．函数()sin (0,0)6f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭的最大值为2，它的最小正周期为2π. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若()()cos g x x f x =⋅，求()g x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.19．已知中，角所对的边分别是,且.(1)求角的大小； (2)设向量，边长，当取最大值时，求边的长.20．已知直线l 的参数方程是2{x y ==+（t 是参数），圆C 的极坐标方程为4cos 4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭． （1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．21．某钢厂打算租用A ，B 两种型号的火车车皮运输900吨钢材， A ，B 两种车皮的载货量分别为36吨和60吨，租金分别为1.6万元/个和2.4万元/个，钢厂要求租车皮总数不超过21个，且B 型车皮不多于A 型车皮7个，分别用x ，y 表示租用A ，B 两种车皮的个数.（Ⅰ）用x ，y 列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅱ）分别租用A ， B 两种车皮的个数是多少时，才能使得租金最少？并求出此最小租金.22．如图，在各棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中， D ， E 分别为棱11A B 与1BB 的中点， M ， N 为线段1C D 上的动点，其中， M 更靠近D ，且1MN C N =.（1）证明： 1A E ⊥平面1AC D ；（2）若NE 与平面11BCC B ，求异面直线BM 与NE 所成角的余弦值.23．某单位年会进行抽奖活动，在抽奖箱里装有1张印有“一等奖”的卡片， 2张印 有“二等奖”的卡片， 3张印有“新年快乐”的卡片，抽中“一等奖”获奖200元， 抽中“二等奖”获奖100元，抽中“新年快乐”无奖金.（1）单位员工小张参加抽奖活动，每次随机抽取一张卡片，抽取后不放回.假如小张一定要P A的值；将所有获奖卡片全部抽完才停止. 记A表示“小张恰好抽奖4次停止活动”，求()（2）若单位员工小王参加抽奖活动，一次随机抽取2张卡片.P B的值；①%2记B表示“小王参加抽奖活动中奖”，求()②设X表示“小王参加抽奖活动所获奖金数（单位：元）”，求X的分布列和数学期望.24．如图所示的几何体是由以等边三角形ABC为底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知AO面EFD．FA⊥平面,=为BC的中点, //CE OABC2,AB=2,AF=3,(1)求BD的长；(2)求证：面EFD⊥面BCED；(3)求平面DEF与平面ACEF相交所成锐角二面角的余弦值．25．如图1，四边形ABCD 中， AC BD ⊥， 2222CE AE BE DE ====，将四边形ABCD 沿着BD 折叠，得到图2所示的三棱锥A BCD -，其中AB CD ⊥．（1）证明：平面ACD ⊥平面BAD ；（2）若F 为CD 中点，求二面角C AB F --的余弦值．12BA ⎛= ⎝⎭，31,,02BF ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设平面ABF 的法向量(),,u a b c =，由0u BA ⋅=及0u BF ⋅=得10,2{30,2a b a b +=+= 26．某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱.（1）求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a （a 为常数），演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a ，求观众与乐队的互动指数之和X 的概率分布及数学期望. 27．四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为2的菱形,侧面PAD ⊥底面ABCD ,BCD ∠=60°,PA PD ==E 是BC 中点,点Q 在侧棱PC 上.（Ⅰ）求证: AD PB ⊥;（Ⅱ）是否存在Q ,使平面DEQ ⊥平面PEQ ？若存在,求出,若不存在,说明理由.（Ⅲ）是否存在Q ,使//PA 平面DEQ ？若存在,求出.若不存在,说明理由.28．如图，D 是直角ABC ∆斜边BC 上一点，AC ．（I ）若30DAC ∠=，求角B 的大小；（II ）若2BD DC =，且AD =DC 的长．29．某企业有甲、乙两条生产线生产同一种产品，为了检测两条生产线产品的质量情况，随机从两条生产线生产的大量产品中各抽取了 40件产品作为样本，检测某一项质量指标值，得到如图所示的频率分布直方图，若，亦则该产品为示合格产品，若，则该产品为二等品，若，则该产品为一等品.（1）用样本估计总体的思想，从甲、乙两条生产线中各随机抽取一件产品，试估计这两件产品中恰好一件为二等品，一件为一等品的概率；（2）根据图1和图2，对两条生产线从样本的平均值和方差方面进行比较，哪一条生产线更好；（3）从甲生产线的样本中，满足质量指标值在的产品中随机选出3件，记为指标值在中的件数，求的分布列和数学期望•30．已知曲线的参数方程是(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.（Ⅰ）求曲线与交点的平面直角坐标；（Ⅱ）两点分别在曲线与上，当最大时，求的面积(为坐标原点).2019年高考（理科）数学考前必做基础30题答案及解析1．已知集合，，则（ ） A. B. C.D.【答案】D2．已知全集U 是实数集R ，右边的韦恩图表示集合{}2M x x =与{|13}N x x =<<的关系，那么阴影部分所表示的集合可能为（ ）A ．{|2}x x <B ．{|12}x x <<C ．{}3x x D ．{|1}x x ≤ 【答案】D【解析】阴影部分表示的集合为()U M N ⋃ð，由题{}1M N x x ⋃=，所以(){|1}U M N x x ⋃=≤ð，故选择D ． 3．若变量满足约束条件，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】画出不等式组表示的可行域（如图阴影部分所示）．由得．平移直线，结合图形可得，当直线经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 取得最小值． 由解得，故点．∴．故选B ．4．已知函数()sin f x x x =-，则不等式()()2120f x f x ++-<的解集是（ ） A ． 1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ B ． 1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ． ()3,+∞D ． (),3-∞ 【答案】D5．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线1C ： 2221x y -=，过1C 的左顶点引1C 的一条渐进线的平行线，则该直线与另一条渐进线及x 轴围成的三角形的面积（ ）A ．4 B ．2 C ．8 D ．16【答案】C6．已知为定义在 上的偶函数，且，当时，，记，则的大小关系为（ ）A. B. C.D.【答案】D 【解析】当时，，则在上是增函数，且当]时，， ∵，∴的周期为2．7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积等于（ ）A ．B ．3πC ．8πD ．12π【答案】D【解析】根据三视图可画出该空间几何体，如下图所示．其中2AB BD CD ===，AB BCD ⊥平面，BD CD ⊥，所以外接球的直径为AC =2412ππ=8．如图，分别以,A C 为圆心，正方形ABCD 的边长为半径圆弧，交成图中阴影部分，现向正方形内投入1个质点，则该点落在阴影部分的概率为（ ）A.12 B. 22π- C. 14 D. 24π- 【答案】B【解析】设正方形的面积为1，阴影部分由两个弓形构成，每个弓形的面积为11212224ππ-⨯⨯-= 故所求的概率为222412ππ-⨯-= 9．将函数()22sin cos f x x x x =-(0)t t >个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t 的最小值为（ ） A ．23π B ． 3π C ． 2π D ． 6π【答案】D10．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，则选中的花中没有红色的概率为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】A 【解析】从红、黄、白、紫种颜色的花中任选种花种在一个花坛中共有中，其中选中的花中没有红色共有种，故其概率为，故选A ．11．执行如图所示的程序框图，当输出的2S =时，则输入的S 的值为( )A. -2B. -1C. 12-D. 12【答案】B 【解析】若输入2S =-，则执行循环得1313,2;,3;2,4;,5;,6;3232S k S k S k S k S k =====-=====132,7;,8;,9;32S k S k S k =-=====结束循环，输出32S =，与题意输出的2S =矛盾；若输入1S =-，则执行循环得11,2;2,3;1,4;,5;2,6;22S k S k S k S k S k =====-===== 11,7;,8;2,9;2S k S k S k =-=====结束循环，输出2S =，符合题意；若输入12S =-，则执行循环得212,2;3,3;,4;,5;3,6;323S k S k S k S k S k =====-=====12,7;,8;3,9;23S k S k S k =-=====结束循环，输出3S =，与题意输出的2S =矛盾；若输入12S =，则执行循环得12,2;1,3;,4;2,5;1,6;2S k S k S k S k S k ===-======-=1,7;2,8;1,9;2S k S k S k =====-=结束循环，输出1S =-，与题意输出的2S =矛盾；综上选B. 12．已知向量，且，则等于__________． 【答案】13．在正项等比数列{}n a 中， 26,a a 是231030x x -+=的两个根，则242611a a a ++=__________． 【答案】133【解析】因为{}n a 为等比数列，所以2264a a a =，又262610,1a a a a +==，所以24261011133113a a a ++=+=，填133．14．已知1112ni i =-+，其中n 是实数， i 虚数单位，那么n =__________． 【答案】12【解析】()()111111122i i i i i -==-++-，根据复数相等的充要条件可知，12n =.15．下面茎叶图记录了甲、乙两班各六名同学一周的课外阅读时间（单位：小时），已知甲班数据的平均数为13，乙班数据的中位数为17，那么x 的位置应填__________， y 的位置应填__________．【答案】 3 8【解析】甲班平均数8913151020136x ++++++=，解得3x =；乙班共6个数据，中位数应为10106172y +++=，解得8y =.16．若的展开式中的系数为80，则_______.【答案】【解析】分析：先求出二项式的通项，然后通过组合的方法得到展开式中的系数后求得的值．详解：二项式展开式的通项为，故展开式中的系数为，由题意得，解得．17．已知2,a b =是单位向量，且a 与b 夹角为60°，则()·a a b -等于__________． 【答案】3【解析】()21||42132a ab a a b ⋅-=-⋅=-⨯⨯=18．函数()sin (0,0)6f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭的最大值为2，它的最小正周期为2π. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若()()cos g x x f x =⋅，求()g x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【答案】（1）()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）详见解析. 【解析】（1）由已知()f x 最小正周期为2π，所以22ππω=，解得1ω=.因为()f x 的最大值为2，所以2A =，所以()f x 的解析式为()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.19．已知中，角所对的边分别是,且.(1)求角的大小； (2)设向量，边长，当取最大值时，求边的长.【答案】(1)(2).【解析】（1）由题意，所以（2）因为所以当时，取最大值，此时，由正弦定理得，20．已知直线l的参数方程是2{x t y ==+（t 是参数），圆C 的极坐标方程为4cos 4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭． （1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（Ⅱ）直线l 上的点向圆C 引切线，则切线长为=≥，∴直线l上的点向圆C 引的切线长的最小值为21．某钢厂打算租用A ，B 两种型号的火车车皮运输900吨钢材， A ，B 两种车皮的载货量分别为36吨和60吨，租金分别为1.6万元/个和2.4万元/个，钢厂要求租车皮总数不超过21个，且B 型车皮不多于A 型车皮7个，分别用x ，y 表示租用A ，B 两种车皮的个数.（Ⅰ）用x ，y 列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅱ）分别租用A ， B 两种车皮的个数是多少时，才能使得租金最少？并求出此最小租金. 【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）分别租用A 、B 两种车皮5个，12个时租金最小，且最小租金为36.8万. 【解析】（Ⅰ）由已知x ， y 满足的数学关系式为3660900,21,{7,0,0.x y x y y x x y +≥+≤-≤≥≥该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中阴影部分所示.22．如图，在各棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为棱11A B 与1BB 的中点， M ， N 为线段1C D 上的动点，其中， M 更靠近D ，且1MN C N =.（1）证明： 1A E ⊥平面1AC D ；（2）若NE 与平面11BCC B，求异面直线BM 与NE 所成角的余弦值.【答案】（1）见解析（2（2）解：取BC 的中点O ， 11B C 的中点1O ，则AO BC ⊥， 1OO BC ⊥， 以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -， 则()0,1,0B ， ()0,1,1E ， ()10,1,2C -，1,22D ⎫⎪⎪⎝⎭， 设11C N C D λ=3,,02λ⎫=⎪⎪⎝⎭， 则11NE C E C N =- ()30,2,1,,02λ⎫=--⎪⎪⎝⎭3,2,12λ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，易知()1,0,0n =是平面11BCC B 的一个法向量，∴cos ,NE n==，解得13λ=.∴33,,12NE ⎛⎫=-- ⎪⎪⎝⎭， 112C M C D λ= ⎫=⎪⎪⎝⎭， 11BM BC C M =+1,2⎫=-⎪⎪⎝⎭，， ∴cos ,NE BM132---==∴异面直线NE 与BM23．某单位年会进行抽奖活动，在抽奖箱里装有1张印有“一等奖”的卡片， 2张印 有“二等奖”的卡片， 3张印有“新年快乐”的卡片，抽中“一等奖”获奖200元， 抽中“二等奖”获奖100元，抽中“新年快乐”无奖金.（1）单位员工小张参加抽奖活动，每次随机抽取一张卡片，抽取后不放回.假如小张一定要将所有获奖卡片全部抽完才停止. 记A 表示“小张恰好抽奖4次停止活动”，求()P A 的值； （2）若单位员工小王参加抽奖活动，一次随机抽取2张卡片. ①%2记B 表示“小王参加抽奖活动中奖”，求()P B 的值；②设X 表示“小王参加抽奖活动所获奖金数（单位：元）”，求X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）320；（2）见解析 【解析】（1）()11333346320C C A P A A ⋅⋅== （2）①()2326415C P B C =-=②由题意可知X 可取的值为0， 100， 200， 300，则()2326105C P X C ===； ()11232621005C C P X C ===()212326420015C C P X C +===； ()1226230015C P X C ===因此X 的分布列为X 的数学期望是()124240001002003005515153E X =⨯+⨯+⨯+⨯=24．如图所示的几何体是由以等边三角形ABC 为底面的棱柱被平面DEF 所截而得，已知FA ⊥平面,ABC 2,AB = 2,AF = 3,CE O =为BC 的中点, //AO 面EFD ．(1)求BD 的长；(2)求证：面EFD ⊥面BCED ；(3)求平面DEF 与平面ACEF 相交所成锐角二面角的余弦值．【答案】（1）1；（2）证明见解析；（3【解析】（1）取ED 的中点P ，连接,PO PF ,则PO 为梯形BCED 的中位线，322BD CE BD PO ++==又//,//PO BD AF BD ,所以//PO AF所以,,,A O P F 四点共面,因为//AO 面EFD ，且面AOPF ⋂面EFD PF =所以//AO PF所以四边形AOPF 为平行四边形， 2PO AF ==所以1BD =（2）由题意可知平面ABC ⊥面BCED ；又AO BC ⊥且AO ⊂平面ABC 所以AO ⊥面BCED ，因为//AO PF 所以PF ⊥面BCED 又PF ⊂面EFD ， 所以面EFD ⊥面BCED ；.设平面的法向量为(),,1n x y =， ()()1,0,1,PE PF ==由·0{·0n PF n PE ==得0{ 1y x ==- 所以()1,0,1n =-所以6cos ,BQ n BQ n BQ n⋅==-，由所求二面角为锐二面角角，所以平面与平面ACEF 相交所成锐角二面角的余弦值． 25．如图1，四边形ABCD 中， AC BD ⊥， 2222CE AE BE DE ====，将四边形ABCD 沿着BD 折叠，得到图2所示的三棱锥A BCD -，其中AB CD ⊥．（1）证明：平面ACD ⊥平面BAD ；（2）若F 为CD 中点，求二面角C AB F --的余弦值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）5【解析】（Ⅰ）因为AE BD ⊥且BE DE =，可得ABD ∆为等腰直角三角形，则AB AD ⊥，又AB CD ⊥，且A D C D ⊂、平面ACD ， AD CD D ⋂=，故AB ⊥平面ACD ，又AB ⊂平面BAD ，所以平面ACD ⊥平面BAD .（Ⅱ）以E 为原点，以EC 的方向为x 轴正方向， ED 的方向为y 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.过A 点作平面BCD 的垂线，垂足为G ，根据对称性，显然G 点在x 轴上，设AG h =.由题设条件可得下列坐标：()0,0,0E ，()2,0,0C ，()0,1,0B -，()0,1,0D，)Ah ，11,,02F ⎛⎫⎪⎝⎭.()1BA h=，()2,1,0DC =-，由于A BC D ⊥，所以210B A D C h ⋅=-=，解得h =，则A 点坐标为1,0,22A ⎛⎝⎭.由于12BA ⎛= ⎝⎭，31,,02BF ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设平面ABF 的法向量(),,u a b c =，由0u BA ⋅=及0u BF ⋅=得10,2{30,2a b a b +=+=26．某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱.（1）求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a （a 为常数），演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a ，求观众与乐队的互动指数之和X 的概率分布及数学期望. 【答案】(1)1314 (2) ()132E X a =【解析】（1）设“该乐队至少演唱1首原创新曲”的事件为A ，则()()4548131114C P A P A C =-=-=（2）由题意可得： 5,6,7,8X a a a a =.()()312235354488513035,67014707C C C C P X a P X a C C ========, ()()1343554488303517,87077014C C C P X a P X a C C ========.()13311356781477142E X a a a a a =⨯+⨯+⨯+⨯= 27．四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为2的菱形,侧面PAD ⊥底面ABCD ,BCD ∠=60°, PA PD ==E 是BC 中点,点Q 在侧棱PC 上.（Ⅰ）求证: AD PB ⊥;（Ⅱ）是否存在Q ,使平面DEQ ⊥平面PEQ ？若存在,求出,若不存在,说明理由. （Ⅲ）是否存在Q ,使//PA 平面DEQ ？若存在,求出.若不存在,说明理由.【答案】（I ）详见解析；（II ）详见解析；（III ）详见解析.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知, ,BO AD PO AD ⊥⊥,因为侧面PAD ⊥底面A B C D ,且平面PAD ⋂底面A B C D A D =,所以PO ⊥底面A B C D .以O 为坐标原点,如图建立空间直角坐标系O xyz -.则()()()()1,0,0,,0,0,1,D E P C ---,因为Q 为PC 中点,所以12Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.所以()10,3,0,0,2DE DQ ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭,所以平面DEQ 的法向量为()11,0,0n =. 因为()11,3,0,0,22DC DQ ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭,设平面DQC 的法向量为()2,,n x y z =,则220{0DC n DQ n ⋅=⋅=,即301022xy y z -+=+=. 令3x =,则1,y z ==即(23,1,n =.所以12121221cos ,n n n n n n ⋅==. 由图可知,二面角E DQ C --为锐角,所以余弦值为7. （Ⅲ）设()01PQ PC λλ=≤≤由（Ⅱ）可知()()2,3,1,1,0,1PC PA =--=-. 设(),,Q x y z ,则(),,1PQ x y z =-,又因为()2,PQ PC λλλ==--,所以2{ 1x y z λλ=-==-+,即()2,1Q λλ--+.所以在平面DEQ 中, ()()0,3,0,12,1DE DQ λλ==--, 所以平面DEQ 的法向量为()11,0,21n λλ=--, 又因为//PA 平面DEQ ,所以10PA n ⋅=, 即()()()11210λλ-+--=,解得23λ=. 所以当23λ=时, //PA 平面DEQ28．如图，D 是直角ABC ∆斜边BC 上一点，AC =．（I ）若30DAC ∠=，求角B 的大小；（II ）若2BD DC =，且AD =DC 的长． 【答案】（I ）60B ∠=°；（II ）2.29．某企业有甲、乙两条生产线生产同一种产品，为了检测两条生产线产品的质量情况，随机从两条生产线生产的大量产品中各抽取了 40件产品作为样本，检测某一项质量指标值，得到如图所示的频率分布直方图，若，亦则该产品为示合格产品，若，则该产品为二等品，若，则该产品为一等品.（1）用样本估计总体的思想，从甲、乙两条生产线中各随机抽取一件产品，试估计这两件产品中恰好一件为二等品，一件为一等品的概率；（2）根据图1和图2，对两条生产线从样本的平均值和方差方面进行比较，哪一条生产线更好；（3）从甲生产线的样本中，满足质量指标值在的产品中随机选出3件，记为指标值在中的件数，求的分布列和数学期望•【答案】（1）（2）乙生产线更好（3）见解析（2）设两条生产线样本的平均值分别为，则，，由频率分布直方图可知，甲生产线的数据较为分散，乙生产线的数据较为集中，所以甲生产线的数据方差大于乙生产线的数据方差，所以乙生产线更好.（3）甲生产线样本质量指标值在的件数为，质量指标值在的件数为，由题意可知的取值为0，1，2，3；所以，，，.所以的分布列为：的数学期望.30．已知曲线的参数方程是(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.（Ⅰ）求曲线与交点的平面直角坐标；（Ⅱ）两点分别在曲线与上，当最大时，求的面积(为坐标原点). 【答案】（1）；（2）．由平面几何知识可知，当依次排列且共线时，最大，此时，到的距离为，∴的面积为.2019年高考（理科）数学考前必做基础30题（解析版）第（31）页。

【2019年全国三卷理科数学第20题】20.已知函数32()2f x x ax b .(1)讨论()f x 的单调性;(2)是否存在a ,b 使得()f x 在区间[0,1]的最小值为-1且最大值为1?若存在,求出a ,b 的所有值;若不在,说明理由. 解:(1)2()626()3a f x x ax x x ; ①当0a 时,2()60f x x ≥在R 上恒成立,所以此时,()f x 在R 上单调递增; ②当0a 时,令()0f x 0x 或3a x ,令()003a f x x , 所以此时,()f x 在(,0) 和(,)3a 上单调递增,在(0,)3a 上单调递减; ③当0a 时,令()0f x 3a x 或0x ,令()003a f x x , 所以此时,()f x 在(,)3a 和(0,) 上单调递增,在(,0)3a 上单调递减. (2)由(1)知当0a ≤时,()f x 在[0,1]上单调递增, 所以此时,min max ()(0)1,0()(1)21,1f x f b a f x f a b b ;当03a 时,013a ,所以此时()f x 在(0,)3a 上单调递减,在(,1)3a 上单调递增, 所以此时,333min ()()21327927a a a a f x f b b ,max 2,02()max{(0),(1)}max{,2},23a b a f x f f b a b b a≤, 当02a联立31,02721,a b a a a b 或02a 矛盾,故舍去; 当23a ≤联立31,271,a b a b ,这与23a ≤矛盾,故舍去; 当3a ≥时,13a ≥,所以此时()f x 在[0,1]上单调递减, 所以此时,min max ()(1)21,4()(0)1,1f x f a b a f x f b b ; 所以综上所述:01a b 和41a b.【2019 年全国三卷理科数学第 21 题】 21.已知曲线C :22x y ,D 为直线12y 上的动点,过D 作C 的两条切线,切点分别为A ,B . (1)证明:直线AB 过定点; (2)若以5(0,)2E 为圆心与直线AB 相切,且切点为线段AB 的中点,求四边形ADBE 的面积. 解:(1)显然直线AB 的斜率一定存在,设AB l :y kx m ,11(,)A x y ,22(,)B x y .联立22,2202,x y x kx m y kx m ;由韦达定理知:122x x k ,122x x m . 对22x y 求导得y x ,所以1AD k x ,AD l :111()y y x x x ;2BD k x ,BD l :222()y y x x x . 联立111222(),(),y y x x x y y x x x 消去x 得:122112y y y y x x x x ; 因为直线AD 与BD 相交于点D ,所以1221121122y y x x x x , 即22122112112222x x x x x x ,化简得:121x x ;而122x x m ,所以12m . 所以AB l :12y kx ;所以直线AB 过定点1(0,)2. (2)设直线AB 的中点为00(,)F x y ,则EF ⊥AB . 而1202x x x k ,22222121212120()244124442y y x x x x x x k m y k , 所以21(,2F k k ,所以22152122EF k k k k k k ,所以1k . 当1k 时,2210x x解得:11x,132y,所以3(12A ; 此时:AD l:3((112y x ,令12y 得:1x .所以1(1,2D ,所以此时:12|||4AB x x ; 设E 到直线AB 的距离为1d ,D 2d ;则1dd所以12111||4222ADBE ABD ABE S S AB d △△而当1k 时,根据对称性可知此时四边形ADBE的面积也是所以综上所述; 四边形ADBE的面积为。

2019年高考（理科）数学新题精选30题（解析版）题（解析版） 第（1）页）页2019年高考（理科）数学新题精选30题1．（三角函数与抛物线相结合的创新题）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上的点()04,A y 作1AA l ^于点A ，若123AA F pÐ=，则p =（ ） A. 6 B. 12 C. 24 D.48 2．（辗转相除法与程序框图相结合的创新题）程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“MOD”表示除以的余数）， 若输入的，分别为7272，，1515，则输出的，则输出的=（）A. 12B. 3C. 15D. 45 3．（双曲线与二次函数相结合的创新题）（双曲线与二次函数相结合的创新题）当双曲线当双曲线的焦距取得最小值时，的焦距取得最小值时，其其渐近线的方程为（渐近线的方程为（） A. B. C. D.4．（等比数列与定积分相结合的创新题）等比数列等比数列{{a n }中，a 3＝9，前3项和为S 3＝323d x x ò，则公比q 的值是的值是 ( ()A. 1B. －12C. 1或－12D. －1或－125．（推理的创新题）（推理的创新题）富华中学的一个文学兴趣小组中，三位同学张博源、高家铭和刘雨恒分富华中学的一个文学兴趣小组中，三位同学张博源、高家铭和刘雨恒分别从莎士比亚、雨果和曹雪芹三位名家中选择了一位进行性格研究，并且他们选择的名家各不相同．三位同学一起来找图书管理员刘老师，三位同学一起来找图书管理员刘老师，让刘老师猜猜他们三人各自的研究对象．让刘老师猜猜他们三人各自的研究对象．让刘老师猜猜他们三人各自的研究对象．刘刘老师猜了三句话：老师猜了三句话：“①张博源研究的是莎士比亚；“①张博源研究的是莎士比亚；“①张博源研究的是莎士比亚；②刘雨恒研究的肯定不是曹雪芹；②刘雨恒研究的肯定不是曹雪芹；②刘雨恒研究的肯定不是曹雪芹；③高家③高家铭自然不会研究莎士比亚．”很可惜，刘老师的这种猜法，只猜对了一句，铭自然不会研究莎士比亚．”很可惜，刘老师的这种猜法，只猜对了一句，据此可以推知张据此可以推知张博源、高家铭和刘雨恒分别研究的是（博源、高家铭和刘雨恒分别研究的是（ ） A. 曹雪芹、莎士比亚、雨果曹雪芹、莎士比亚、雨果 B. B. 雨果、莎士比亚、曹雪芹雨果、莎士比亚、曹雪芹 C. 莎士比亚、雨果、曹雪芹莎士比亚、雨果、曹雪芹 D. D. 曹雪芹、雨果、莎士比亚曹雪芹、雨果、莎士比亚 6．（统计与数列相结合的创新题）统计新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示(每组含右端点，不含左端点含右端点，不含左端点))，则新生婴儿体重在，则新生婴儿体重在(2 700,3 000](2 700,3 000]克内的频率为克内的频率为( ( ( )A. 0.001B. 0.1C. 0.2 7．（等高条形图的创新题）（等高条形图的创新题）如图是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，如图是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，如图是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图中可以看出（表示喜欢理科的百分比，从图中可以看出（）A. 性别与喜欢理科无关性别与喜欢理科无关B. B. 女生中喜欢理科的比为80%C. 男生比女生喜欢理科的可能性大些男生比女生喜欢理科的可能性大些D. D. 男生不喜欢理科的比为6O%8．（复数的新定义的创新题）欧拉公式(为虚数单位为虚数单位))是瑞士数学家欧拉发明的拉发明的,,将指数的定义域扩大到复数集将指数的定义域扩大到复数集,,建立了三角函数和指数函数的联系建立了三角函数和指数函数的联系,,被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知中的天桥”.根据欧拉公式可知, , 3ie p 表示的复数的模为表示的复数的模为( ) ( )A. B. 1 C.D.9．（导数与不等式相结合的创新题）（导数与不等式相结合的创新题）已知定义在已知定义在R 上的偶函数()f x （函数f (x )的导函数为()f x ¢）满足()1102f x f x æö-++=ç÷èø，e 3f (2018)(2018)＝＝1，若()()f x f x >¢-，则关于x 的不等式()12ex f x +>的解集为的解集为 A. (),3-¥ B. ()3,+¥C. (),0-¥D. ()0,+¥1010．．（线性规划的创新题）某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A 原料2千克，千克， B 原料3千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，千克， B 原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在要求每天消耗,A B 原料都不超过12千克的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为（的利润之和的最大值为（） A. 1800元 B. 2100元 C. 2400元 D. 2700元1111．．（向量与三角函数相结合的创新题）已知向量()()sin ,cos ,1,1a x x b w w ==-，函数()f x a b =×，且1,2x R w >Î，若()f x 的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间()3,4p p ，则w 的取值范围是（的取值范围是（） A.][7151319,,12161216éùÈêúëû B. ][7111115,,12161216éùÈêúëû C. ][171119,,2121216æùÈçúèû D. ][1111115,,2161216æùÈçúèû 1212．．（解三角形与向量相结合的创新题）设ABC D 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，点G 为ABC D 的重心且满足向量BG CG ^，若tan sin a A c B l =，则实数l =（ ） A. 3 B. 2 C. 12 D. 231313．．（三视图的创新题）惠安石雕是中国传统雕刻技艺之一，历经一千多年的繁衍发展，仍然保留着非常纯粹的中国艺术传统，左下图粗实虚线画出的是某石雕构件的三视图，该石雕构件镂空部分最中间的一块正是魏晋期间伟大数学家刘徽创造的一个独特的几何体——牟合方盖（如下右图），牟合方盖的体积（其中 为最大截面圆的直径）为最大截面圆的直径）..若三视图中网格纸上小正方形的边长为 ，则该石雕构件的体积为（，则该石雕构件的体积为（）A. B. C. D.14．（三棱锥与球相结合的创新题）已知点A,B,C,D 均为球O 的表面上,3,3AB BC AC ===,若三棱锥D-ABC 体积的最大值为334,则球O 的表面积为的表面积为( ) ( ) A. 3636ππ B. 1616ππ C.1212ππ D.1616ππ31515．．（茎叶图与概率相结合的创新题）如图（茎叶图与概率相结合的创新题）如图,,茎叶图表示的是甲茎叶图表示的是甲,,乙两人在5次综合测评中的成绩成绩,,其中一个数字被污染其中一个数字被污染,,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( ) ( )A. 12 B. 35 C. 45D. 7101616．．（直线与二项式相结合的创新题）下列说法正确的是（直线与二项式相结合的创新题）下列说法正确的是___________.(___________.(___________.(填序号填序号填序号) ) ①直线：与直线：平行的充要条件是；②若，则的最大值为1；③曲线与直线所夹的封闭区域面积可表示为；④若二项式的展开式系数和为1，则.1717．．（正态分布与圆相结合的创新题）若随机变量x 服从正态分布()2,N m s ， ()0.6826P m s x m s -<<+=， (22)0.9544P m s x m s -<<+=，设()21,N x s~，且()30.1587P x ³=，在平面直角坐标系xOy 中，若圆222x y s +=上有四个点到直线1250x y c -+=的距离为1，则实数c 的取值范围是的取值范围是______________________________．． 1818．．（几何概型的创新题）折纸已经成为开发少年儿童智力的一种重要工具和手段，已知在折叠“爱心”活动中，折叠“爱心”活动中，会产生如图所示的几何图形，会产生如图所示的几何图形，会产生如图所示的几何图形，其中四边形其中四边形为正方形，为线段的中点，四边形与四边形也是正方形，连接，则向多边形中投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为则该点落在阴影部分的概率为______________________________．．1919．．（抛物线与定积分相结合的创新题）已知抛物线的焦点坐标为，则抛物线与直线所围成的封闭图形的面积为所围成的封闭图形的面积为______________________________．．2020．．（球与三棱锥相结合的创新题）已知一个三棱锥的所有棱长均为2，则该三棱锥的内切球的体积为切球的体积为______________________________．．2121．．（等差数列与定积分相结合的创新题）已知数列（等差数列与定积分相结合的创新题）已知数列{a {a n }为等差数列为等差数列,,且a 2 013+a 2 015=224x -òdx,dx,则则a 2 014(a (a 2 012+2a +2a 2 014+a +a 2 016)的值为的值为_. _.2222．．（函数的零点与三角函数相结合的创新题）函数f (x )＝2sin x sin 2x p æö+ç÷èø－x 2的零点个数为个数为________________________．．2323．．（函数的性质与数列相结合的创新题）高斯函数又称为取整函数，符号表示不超过的最大整数的最大整数..设是关于的方程的实数根，，则：（1）____________________；；（2）__________.2424．．（双曲线与圆相结合的创新题）已知双曲线222y x b -=1的离心率为52,左焦点为1F ,当点P 在双曲线右支上运动、点Q 在圆()221x y +-=1上运动时上运动时, , 1PQ PF +的最小值为_____.2525．．（独立性检验与分布列相结合的创新题）随着网络的飞速发展，人们的生活发生了很大变化，其中无现金支付是一个显著特征，某评估机构对无现金支付的人群进行网络问卷调查，并从参与调查的数万名受访者中随机选取了300人，把这300人分为三类，即使用支付宝用户、使用微信用户、户、使用微信用户、使用银行卡用户，各类用户的人数如图所示，使用银行卡用户，各类用户的人数如图所示，使用银行卡用户，各类用户的人数如图所示，同时把这同时把这300人按年龄分为青年人组与中年人组，制成如图所示的列联表：为青年人组与中年人组，制成如图所示的列联表： 支付宝用户支付宝用户 非支付宝用户非支付宝用户 合计合计 中老年中老年90青年青年 120 合计合计300(1) 完成列联表完成列联表,,并判断是否有99%99%的把握认为使用支付宝用户与年龄有关系的把握认为使用支付宝用户与年龄有关系的把握认为使用支付宝用户与年龄有关系? ? (2)(2)把频率作为概率，从所有无现金支付用户中把频率作为概率，从所有无现金支付用户中把频率作为概率，从所有无现金支付用户中((人数很多人数很多))随机抽取3人，用X 表示所选3人中使用支付宝用户的人数，求X 的分布列与数学期望的分布列与数学期望. . 附:()20P K k ³ 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828()()()()()22n ad bcK a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.26．（函数与导数的创新题）已知函数()2433x f x x =+ ()()0,2x Î，()21ln 2g x x x a =--. （1）求()f x 的值域；的值域；（2）若[]1,2x $Î使得()0g x =，求a 的取值范围；的取值范围；（3）对()10,2x "Î，总存在[]21,2x Î使得()()12f x g x =，求a 的取值范围的取值范围. .2727．．（解三角形的创新题）在中，分别是内角的对边，且.（1）求角的大小；的大小； （2）若，且，求的面积的面积. .2828．．（圆锥曲线的创新题）已知点(),P x y 满足条件()()2222114x y x y +++-+=.（Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程；的方程；（Ⅱ）直线l 与圆O ： 221x y +=相切，与曲线C 相较于A ， B 两点，若43OA OB ×=-，求直线l 的斜率的斜率. .2929．．（立体几何的创新题）在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为平行四边形，为平行四边形， 22BC AB ==， BD BA ^， 2PA PB PD ===， M 为PD 的中点的中点. .（1）求证：）求证：//PB 平面AMC ； （2）求点A 到平面PBC 的距离的距离. .3030．．（数列的创新题）已知数列的前项和为，数列是公差为1的等差数列，且.（1）求数列的通项公式；的通项公式； （2）设，求数列的前项和.2019年高考（理科）数学新题精选30题答案及解析1．（三角函数与抛物线相结合的创新题）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上的点()04,A y 作1AA l ^于点A ，若123AA F p pÐ=，则p =（ ） A. 6 B. 12 C. 24 D.48 【答案】【答案】C C2．（辗转相除法与程序框图相结合的创新题）程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“ MOD ”表示除以的余数）， 若输入的，分别为7272，，1515，则输出的，则输出的=（）A. 12B. 3C. 15D. 45 【答案】【答案】B B【解析】辗转相除法求的是最大公约数，的最大公约数为.3．（双曲线与二次函数相结合的创新题）（双曲线与二次函数相结合的创新题）当双曲线当双曲线的焦距取得最小值时，的焦距取得最小值时，其其渐近线的方程为（渐近线的方程为（） A. B. C.D.【答案】【答案】B B4．（等比数列与定积分相结合的创新题）等比数列等比数列{{a n }中，a 3＝9，前3项和为S 3＝323d x x ò，则公比q 的值是的值是 ( () A. 1 B. －12 C. 1或－12 D. －1或－12【答案】【答案】C C【解析】由题意得3330|27S x ==．①当q ≠1时，时，则有()313231127{ 19a q S qa a q -==-==，解得12q =-或1q =（舍去）． ②当q ＝1时，a 3＝a 2＝a 1＝9，故S 3＝2727，符合题意．，符合题意．，符合题意．综上12q =-或1q =．选C ．5．（推理的创新题）（推理的创新题）富华中学的一个文学兴趣小组中，三位同学张博源、高家铭和刘雨恒分富华中学的一个文学兴趣小组中，三位同学张博源、高家铭和刘雨恒分别从莎士比亚、雨果和曹雪芹三位名家中选择了一位进行性格研究，并且他们选择的名家各不相同．三位同学一起来找图书管理员刘老师，三位同学一起来找图书管理员刘老师，让刘老师猜猜他们三人各自的研究对象．让刘老师猜猜他们三人各自的研究对象．让刘老师猜猜他们三人各自的研究对象．刘刘老师猜了三句话：老师猜了三句话：“①张博源研究的是莎士比亚；“①张博源研究的是莎士比亚；“①张博源研究的是莎士比亚；②刘雨恒研究的肯定不是曹雪芹；②刘雨恒研究的肯定不是曹雪芹；②刘雨恒研究的肯定不是曹雪芹；③高家③高家铭自然不会研究莎士比亚．”很可惜，刘老师的这种猜法，只猜对了一句，铭自然不会研究莎士比亚．”很可惜，刘老师的这种猜法，只猜对了一句，据此可以推知张据此可以推知张博源、高家铭和刘雨恒分别研究的是（博源、高家铭和刘雨恒分别研究的是（ ） A. 曹雪芹、莎士比亚、雨果曹雪芹、莎士比亚、雨果 B. B. 雨果、莎士比亚、曹雪芹雨果、莎士比亚、曹雪芹 C. 莎士比亚、雨果、曹雪芹莎士比亚、雨果、曹雪芹 D. D. 曹雪芹、雨果、莎士比亚曹雪芹、雨果、莎士比亚 【答案】【答案】A A 【解析】假设“张博源研究的是莎士比亚”正确，那么“高家铭自然不会研究莎士比亚”也是正确的，这不符合“刘老师只猜对了一个”这一条件，这不符合“刘老师只猜对了一个”这一条件，所以假设错误；所以假设错误；假设“高家铭自然不会研究莎士比亚”正确，故①不正确即张博源研究的不是莎士比亚，②不正确即刘雨恒研究的肯定是曹雪芹．这样的话莎士比亚没人研究了，这样的话莎士比亚没人研究了，所以此假设错误；所以此假设错误；所以此假设错误；前两次假设都是错误前两次假设都是错误的，那么“刘雨恒研究的肯定不是曹雪芹”就是老师猜对了的那个，那么其他两句话是猜错的，即高家铭自然研究莎士比亚，那么张博源只能研究曹雪芹，刘雨恒研究雨果；的，即高家铭自然研究莎士比亚，那么张博源只能研究曹雪芹，刘雨恒研究雨果；故顺序为故顺序为曹雪芹、莎士比亚、雨果，故选A. 6．（统计与数列相结合的创新题）统计新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示(每组含右端点，不含左端点含右端点，不含左端点))，则新生婴儿体重在，则新生婴儿体重在(2 700,3 000](2 700,3 000]克内的频率为克内的频率为( ( ( )A. 0.001B. 0.1C. 0.2 【答案】【答案】D D【解析】根据直方图的含义，每组的频率即为相应小长方形的面积，所以新生婴儿体重在(]2700,3000克内的频率为3000.0010.3´=,故选D.7．（等高条形图的创新题）如图是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图中可以看出（分表示喜欢理科的百分比，从图中可以看出（）A. 性别与喜欢理科无关性别与喜欢理科无关B. B. 女生中喜欢理科的比为80%C. 男生比女生喜欢理科的可能性大些男生比女生喜欢理科的可能性大些D. D. 男生不喜欢理科的比为6O% 【答案】【答案】C C【解析】从图中看，【解析】从图中看，男生中喜欢理科的人多，男生中喜欢理科的人多，男生中喜欢理科的人多，喜欢理科的与性别有关；喜欢理科的与性别有关；喜欢理科的与性别有关；男生比女生喜欢理科男生比女生喜欢理科的可能性大些；女生中喜欢理科的只有20%20%；男生中不喜欢理科的有；男生中不喜欢理科的有40%40%．故选．故选C ．8．（复数的新定义的创新题）欧拉公式(为虚数单位为虚数单位))是瑞士数学家欧拉发明的拉发明的,,将指数的定义域扩大到复数集将指数的定义域扩大到复数集,,建立了三角函数和指数函数的联系建立了三角函数和指数函数的联系,,被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知中的天桥”.根据欧拉公式可知, , 3ie p 表示的复数的模为表示的复数的模为( ) ( )A. B. 1 C.D. 【答案】【答案】B B9．（导数与不等式相结合的创新题）（导数与不等式相结合的创新题）已知定义在已知定义在R 上的偶函数()f x （函数f (x )的导函数为()f x ¢）满足()1102f x f x æö-++=ç÷èø，e 3f (2018)(2018)＝＝1，若()()f x f x >¢-，则关于x 的不等式()12ex f x +>的解集为的解集为 A. (),3-¥ B. ()3,+¥ C. (),0-¥ D. ()0,+¥ 【答案】【答案】B B【解析】()f x 是偶函数， ()()f x f x \=-， ()()()'''f x f x f x éù=-=--ëû，()()'f x f x \-=-，()()()''f x f x f x >-=-，即()()'0f x f x +>，设()()x g x e f x =，则，则 ()()()''0x x e f x e f x f x éùéù=+>ëûëû， ()g x 在(),-¥+¥上递增，由()1102f x f x æö-++=ç÷èø，得，得 ()()330,3022f t f t f t f t æöæö++=+++=ç÷ç÷èøèø，相减可得()()3f t f t =+， ()f x 的周期为3，()()33201821e f e f \==， ()()2122g e f e ==， ()12x f x e+>，结合()f x 的周期为3可化为可化为()()12112x e f x e f e-->=， ()()12,12,3g x g x x ->->>， \不等式解集为()3,+¥，故选B. 1010．．（线性规划的创新题）某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A 原料2千克，千克， B 原料3千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，千克，B 原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在要求每天消耗,A B 原料都不超过12千克的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为（的利润之和的最大值为（ ） A. 1800元 B. 2100元 C. 2400元 D. 2700元 【答案】【答案】C C【解析】设分别生产甲乙两种产品为x 桶，桶， y 桶，利润为z 元，则根据题意可得元，则根据题意可得2212{212 ,0,,x y x y x y x y N+£+£³Î ， 300400z x y =+作出不等式组表示的平面区域，如图所示，作直线:3004000L x y +=，然后把直线向可行域平移，可得0,6x y ==，此时z 最大2400z =，故选C.1111．．（向量与三角函数相结合的创新题）已知向量()()sin ,cos ,1,1a x x b w w ==-，函数()f x a b =×，且1,2x R w >Î，若()f x 的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间()3,4p p ，则w 的取值范围是（的取值范围是（） A. ][7151319,,12161216éùÈêúëû B. ][7111115,,12161216éùÈêúëû C.][171119,,2121216æùÈçúèû D. ][1111115,,2161216æùÈçúèû 【答案】【答案】B B1212．．（解三角形与向量相结合的创新题）设ABC D 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，点G 为ABC D 的重心且满足向量BG CG ^，若tan sin a A c B l =，则实数l =（ ） A. 3 B. 2 C. 12D. 23【答案】【答案】C C 【解析】如图【解析】如图连接AG ，延长交AG 交BC 于D ，由于G 为重心，故D 为中点，为中点， 12CG BG DG BC ^\=，， 由重心的性质得，由重心的性质得， 3AD DG =，即32AD BC =，由余弦定理得，22222222AC AD CD AD CD cos ADC AB AD BD AD BDcos ADB =+-××Ð=+-×Ð，，222222ADC BDC CD BD AC AB BD AD p Ð+Ð==\+=+，，，2222219522AC AB BC BC BC \+=+=，2225b c a \+=，可得：，可得： 222224222b c a a a cosA bc bc bc+-===， tan sin a A c B l =， 22212sin 2asinA a a a c BcosA bccosAbc bcl \====×． 故选D ． 1313．．（三视图的创新题）惠安石雕是中国传统雕刻技艺之一，历经一千多年的繁衍发展，仍然保留着非常纯粹的中国艺术传统，左下图粗实虚线画出的是某石雕构件的三视图，该石雕构件镂空部分最中间的一块正是魏晋期间伟大数学家刘徽创造的一个独特的几何体——牟合方盖（如下右图），牟合方盖的体积 （其中 为最大截面圆的直径）为最大截面圆的直径）..若三视图中网格纸上小正方形的边长为 ，则该石雕构件的体积为（，则该石雕构件的体积为（）A. B. C. D.【答案】【答案】C C 【解析】由三视图可知，该几何体是由正方体中去除两个圆柱体，其中，正方体的棱长为5，圆柱体的直径为3，高为5，两个圆柱体中间重合部分为牟合方盖该石雕构件的体积为该石雕构件的体积为14．（三棱锥与球相结合的创新题）已知点A,B,C,D 均为球O 的表面上,3,3AB BC AC ===,若三棱锥D-ABC 体积的最大值为334,则球O 的表面积为的表面积为( ) ( ) A. 3636ππ B. 1616ππ C. 1212ππ D. 1616ππ3【答案】【答案】B B1515．．（茎叶图与概率相结合的创新题）如图（茎叶图与概率相结合的创新题）如图,,茎叶图表示的是甲茎叶图表示的是甲,,乙两人在5次综合测评中的成绩成绩,,其中一个数字被污染其中一个数字被污染,,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( ) ( )A. 12B. 35C. 45D. 710【答案】【答案】C C1616．．（直线与二项式相结合的创新题）下列说法正确的是（直线与二项式相结合的创新题）下列说法正确的是___________.(___________.(___________.(填序号填序号填序号) ) ①直线：与直线：平行的充要条件是；②若，则的最大值为1；③曲线与直线所夹的封闭区域面积可表示为；④若二项式的展开式系数和为1，则.【答案】②③【答案】②③ 【解析】当且时，，故①错；若同为正，则，同为负，则；异号，，所以②正确；③作图即可确认正确；当时，，则或，故④错．，故④错．1717．．（正态分布与圆相结合的创新题）若随机变量x 服从正态分布()2,N m s ，()0.6826P m s x m s -<<+=， (22)0.9544P m s x m s -<<+=，设()21,N x s~，且()30.1587P x ³=，在平面直角坐标系xOy 中，若圆222x y s +=上有四个点到直线1250x y c -+=的距离为1，则实数c 的取值范围是的取值范围是______________________________．．【答案】()1313-，【解析】()()131[1(13)](13)0.6826112P P P P x x x x s ³=£-=--<<Þ-<<=Þ-=-，13s +=，因此2s =，由题意，圆心，由题意，圆心(0(0(0，，0)0)到直线的距离到直线的距离d 满足01d £<． 2213125c cd ==+， 013c \£<，即()1313c Î-，． 1818．．（几何概型的创新题）折纸已经成为开发少年儿童智力的一种重要工具和手段，已知在折叠“爱心”活动中，折叠“爱心”活动中，会产生如图所示的几何图形，会产生如图所示的几何图形，会产生如图所示的几何图形，其中四边形其中四边形为正方形，为线段的中点，四边形与四边形也是正方形，连接，则向多边形中投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为则该点落在阴影部分的概率为______________________________．．【答案】【解析】设，则，，故多边形的面积；阴影部分为两个对称的三角形，其中，故阴影部分的面积，故所求概率.1919．．（抛物线与定积分相结合的创新题）已知抛物线的焦点坐标为，则抛物线与直线所围成的封闭图形的面积为所围成的封闭图形的面积为______________________________．．【答案】【解析】抛物线的标准方程为,由得或,图形面积,故填.2020．．（球与三棱锥相结合的创新题）已知一个三棱锥的所有棱长均为2，则该三棱锥的内切球的体积为切球的体积为______________________________．． 【答案】354p 【解析】由题意可知【解析】由题意可知,,该三棱锥为正三棱锥该三棱锥为正三棱锥, ,626sin60,,233AE AB AO AE =×===2223,3DO AD AO =-=三棱锥的体积11,33D ABC ABCV SDO-=×=设内切圆的半径为r ,则()3ABC 11343,,=.336354D ABC ABD BCDACD Vr SSSSr V r p p -=+++===内切球2121．．（等差数列与定积分相结合的创新题）已知数列（等差数列与定积分相结合的创新题）已知数列{a {a n }为等差数列为等差数列,,且a 2 013+a 2 015=224x -òdx,dx,则则a 2 014(a (a 2 012+2a +2a 2 014+a +a 2 016)的值为的值为_. _. 【答案】2p【解析】224x dx-ò表示半圆()2402y x x =-££的面积，的面积， 224x dx p \-=ò，2013201520142014=2=2a a a a pp \+=，，则()20142012201420162a a a a ++=()()2014201220142014201620142013201522=2=2aa a a a a a a p p +++=+´2p ，故答案为2p .2222．．（函数的零点与三角函数相结合的创新题）函数f (x )＝2sin x sin 2x p æö+ç÷èø－x 2的零点个数为个数为________________________．．【答案】【答案】2 2【解析】函数f (x )＝2sinx sin 2x p æö+ç÷èø－x 2的零点个数等价于方程2sin x ·sin 2x p æö+ç÷èø－x 2＝0的根的个数，即函数g (x )＝2sin x sin 2x p æö+ç÷èø＝2sinx cos x ＝sin 2x 与h (x )＝x 2的图象交点个数．于是，分别画出其函数图象如图所示，由图可知，函数g (x )与h (x )的图象有2个交点．故函数f (x )有2个零点．个零点．2323．．（函数的性质与数列相结合的创新题）高斯函数又称为取整函数，符号表示不超过的最大整数的最大整数..设是关于的方程的实数根，，.则：（1）____________________；；（2）__________.【答案】【答案】 2 2 【解析】【解析】设，则，所以函数单调递增，单调递增，当时，且，所以在内有唯一的实数根，所以，所以，所以.2424．．（双曲线与圆相结合的创新题）已知双曲线222y x b -=1的离心率为52,左焦点为1F ,当点P 在双曲线右支上运动、点Q 在圆()221x y +-=1上运动时上运动时, , 1PQ PF +的最小值为_____.【答案】522525．．（独立性检验与分布列相结合的创新题）随着网络的飞速发展，人们的生活发生了很大变化，其中无现金支付是一个显著特征，某评估机构对无现金支付的人群进行网络问卷调查，并从参与调查的数万名受访者中随机选取了300人，把这300人分为三类，即使用支付宝用户、使用微信用户、户、使用微信用户、使用银行卡用户，各类用户的人数如图所示，使用银行卡用户，各类用户的人数如图所示，使用银行卡用户，各类用户的人数如图所示，同时把这同时把这300人按年龄分为青年人组与中年人组，制成如图所示的列联表：为青年人组与中年人组，制成如图所示的列联表：支付宝用户支付宝用户非支付宝用户非支付宝用户合计合计中老年中老年 90 青年青年 120 合计合计300(1) 完成列联表完成列联表,,并判断是否有99%99%的把握认为使用支付宝用户与年龄有关系的把握认为使用支付宝用户与年龄有关系的把握认为使用支付宝用户与年龄有关系? ? (2)(2)把频率作为概率，从所有无现金支付用户中把频率作为概率，从所有无现金支付用户中把频率作为概率，从所有无现金支付用户中((人数很多人数很多))随机抽取3人，用X 表示所选3人中使用支付宝用户的人数，求X 的分布列与数学期望的分布列与数学期望. . 附:()20P K k ³ 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828。

2019年全国统一高考数学试卷（理科）（全国1卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣4＜x＜3} B．{x|﹣4＜x＜﹣2} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|2＜x＜3} 2．（5分）设复数z满足|z﹣i|＝1，z在复平面内对应的点为（x，y），则（）A．（x+1）2+y2＝1 B．（x﹣1）2+y2＝1C．x2+（y﹣1）2＝1 D．x2+（y+1）2＝13．（5分）已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a4．（5分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm5．（5分）函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）A．B．C．D．7．（5分）已知非零向量，满足||＝2||，且（﹣）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．8．（5分）如图是求的程序框图，图中空白框中应填入（）A．A＝B．A＝2+C．A＝D．A＝1+9．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则（）A．a n＝2n﹣5 B．a n＝3n﹣10 C．S n＝2n2﹣8n D．S n＝n2﹣2n 10．（5分）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）A．+y2＝1 B．+＝1C．+＝1 D．+＝111．（5分）关于函数f（x）＝sin|x|+|sin x|有下述四个结论：①f（x）是偶函数②f（x）在区间（，π）单调递增③f（x）在[﹣π，π]有4个零点④f（x）的最大值为2其中所有正确结论的编号是（）A．①②④B．②④C．①④D．①③12．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，P A＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是P A，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（）A．8πB．4πC．2πD．π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019年高考全国各地数学理科真题分类汇编（解析版）专题一集合-------------------------------------------------------------- 2 专题二函数-------------------------------------------------------------- 3 专题三三角函数 ------------------------------------------------------ 16 专题四解三角形 ------------------------------------------------------ 26 专题五平面向量 ------------------------------------------------------ 29 专题六数列------------------------------------------------------------ 34 专题七不等式--------------------------------------------------------- 46 专题八复数------------------------------------------------------------ 48 专题九导数及其应用 ------------------------------------------------ 50 专题十算法初步 ------------------------------------------------------ 62 专题十一常用逻辑用语 --------------------------------------------- 65 专题十二概率统计 --------------------------------------------------- 67 专题十三空间向量、空间几何体、立体几何-------------------- 75 专题十四平面几何初步 -------------------------------------------- 95 专题十五圆锥曲线与方程 ----------------------------------------- 99 专题十六计数原理------------------------------------------------- 118 专题十七不等式选讲 ---------------------------------------------- 120 专题十八坐标系与参数方程--------------------------------------- 123专题一 集合（2019·全国Ⅰ理科）1.已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A. }{43x x -<<B. }{42x x -<<-C. }{22x x -<<D. }{23x x <<【答案】C【解析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【详解】由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．（2019·全国Ⅱ理科）设集合A ={x |x 2-5x +6>0}，B ={ x |x -1<0}，则A ∩B =A. (-∞，1)B. (-2，1)C. (-3，-1)D. (3，+∞)【答案】A【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【详解】由题意得，{}{}2,3,1A x x x B x x ==<或，则{}1A B x x ⋂=<．故选A ．【点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目，难度偏易．不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．（2019·全国Ⅲ理科）已知集合{}{}21,0,1,21A B x x ，=-=≤，则A B ⋂=（ ）A. {}1,0,1-B. {}0,1C. {}1,1-D. {}0,1,2【答案】A【分析】先求出集合B 再求出交集.【详解】由题意得，{}11B x x =-≤≤，则{}1,0,1A B ⋂=-．故选A ． 【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题. （2019·天津理科）设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈<R …，则()A CB =（ ）A. {}2B. {}2,3C. {}1,2,3-D. {}1,2,3,4【答案】D【分析】先求A B ⋂，再求()A C B 。

2019年高考数学走出题海之黄金30题系列专题五考前必做基础30题一、填空题1．全集,集合, ,则__________．【答案】【解析】,集合,所以,所以．故答案为．2．复数满足（为虚数单位），则的模是_______．【答案】【解析】因为，所以，所以.故答案为53．某公司16个销售店某月销售产品数量（单位：台）的茎叶图如图，已知数据落在[18，22]中的频率为0.25，则这组数据的中位数为________【答案】27【解析】解：根据茎叶图中的数据知，数据落在[18，22]中的频率为 0.25，则频数为，∴；∴这组数据的中位数为．故答案为：27．4．我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：“今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百人.”若要用分层抽样从这三个乡中抽出500人服役，则西乡比南乡多抽出__________人．【答案】80【解析】根据分层抽样，可得抽样比例为，故南乡应抽出人，西乡应抽取人，故西乡比南乡多抽取80人.5．执行如图所示的程序框图，输出的______．【答案】7【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加的值，∵.故答案为7．6．根据图中所示的伪代码，可知输出的结果为________．【答案】12【解析】根据已知伪代码,S=0,I=1满足I≤4,执行循环I=3，S＝0+3=3满足I≤4,执行循环I=4，S＝3+4=7满足I≤4,执行循环I=5，S＝7+5=12此时，不再满足I≤4，跳出循环，输出S故答案为：127．函数的定义域为______．【答案】【解析】由，解得函数的定义域为本题正确结果：8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是_______.【答案】【解析】在不超过30的素数中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，从中选2个不同的数有45种，和等于30的有（7，23），（11，19），（13，17），共3种，则对应的概率P，故答案为：9．函数（，）的部分图象如图所示，则的解析式为______．【答案】【解析】由函数的部分图象知，，，，，由时，，解得，所以．故答案为：．10．已知圆：，在圆内随机取一点，直线交圆于，两点（为坐标原点），则的概率为_____．【答案】【解析】由已知得，当时，，所以当时，点在如图所示的阴影部分，，所以.11．已知，则__________．【答案】【解析】解：将化简，可得，即，即，即，利用二倍角公式可得，.12．已知向量，.若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】因为，，所以，.因为向量与的夹角为锐角，所以且与不同向. 由得；与不同向时得；所以实数的取值范围为.13．已知为双曲线的左焦点，过点作直线与圆相切于点，且与双曲线右支相交于点，若，则双曲线的离心率为______.【答案】【解析】解：如下图，取AB有中点D，连F2D，因为，所以FA＝AD＝DB，因为O为FF2的中点，A为FD的中点，OA⊥FD，所以OA∥F2D，F2D⊥FD，F2D＝2OA＝2a，在直角三角形FAO中，FA2＝OF2－OA2＝c2－a2＝b2，所以FA＝b，又由双曲线的定义，得：BF－BF2＝2a，所以BF2＝3b－2a，在Rt△BDF2中，，解得：.离心率：e＝14．已知等比数列满足，前项和满足，则等于______．【答案】【解析】设等比数列的公比为，∵，前项和满足，∴，联立解得：．则．故答案为：．15．若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为______．【答案】【解析】由题意，关于的不等式在上恒成立等价于在恒成立，设，，因为在上恒成立，所以当时，函数的图象恒在图象的上方，由图象可知，当时，函数的图象在图象的上方,不符合题意，舍去；当时，函数的图象恒在图象的上方，则，即，解得，综上可知，实数的取值范围是.16．已知正方体的棱长为2，是面的中心，点在棱上移动，则的最小值时，直线与对角面所成的线面角正切值为__________．【答案】【解析】由题意，以为坐标原点，，，为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，则，设．则，所以当，即为中点时，取最小值，此时点，所以,又由平面，且,即平面的一个法向量为，设与平面所成的角为，由线面角的公式可得,因为，由三角函数的基本关系式，可得.17．已知四棱锥，底面为边长为4的正方形，垂直于底面，若四棱锥外接球的表面积和外接球的体积数值相等，四棱锥的体积为________.【答案】【解析】四棱锥的底面为边长为4的正方形且垂直于底面，则棱锥的外接球即为所对应长方体的外接球，外接球的直径为长方体的体对角线，设PA=a,外接球的半径为R,则16+16+,由外接球的表面积和体积相等，即,解得R=3,即32+，解得a=2,则四棱锥的体积V=,故答案为：18．已知△ABC中，，D是BC边上的一点，且△ABD为等边三角形，则△ACD面积S的最大值为__________.【答案】.【解析】因为△ABD为等边三角形．所以60°，120°．在△ADC中，，由余弦定理得：，，即故当且仅当时△ACD面积S取得最大值为．19．已知点在的边上，且，若，则的最大值为____________．【答案】【解析】如图所示，以CD的中点为坐标原点，AB所在的直线为轴建立直角坐标系，不妨设因为，所以，又由，所以，整理得，又由，当且仅当向量与向量共线时取等号，所以的最大值为.20．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），对任意的x∈R，有f（x）+f（-x）=x2，且x∈（0，+∞）时，f′（x）＜x．若f（1-a）-f（a）≥-a，则实数a的取值范围是______．【答案】[，+∞）【解析】解：∵f（x）+f（-x）=x2，∴f（-x）-x2=x2-f（x）=-[f（x）-x2]，设g（x）=f（x）-x2，则g（x）是奇函数，且g′（x）=f′（x）-x．∵x∈（0，+∞）时，f′（x）＜x．∴当x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0．即此时g（x）为减函数，∵g（x）是奇函数，∴当x≤0时，g（x）也是减函数，即g（x）在（-∞，+∞）上是减函数，则若f（1-a）-f（a）≥-a，等价为g（1-a）+（1-a）2-g（a）-a2≥-a，即g（1-a）+-a+a2-g（a）-a2≥-a，即g（1-a）≥g（a），即1-a≤a，得2a≥1，即a≥，即实数a的取值范围是[，+∞），故答案为：[，+∞）二、解答题21．如图，在三棱柱中，平面，底面为正三角形，，是的中点，是的中点．求证：（1）平面；（2）⊥平面．【答案】（1）见证明；（2）见证明【解析】（1）连接交于点，连接，在正三棱柱中，，∴侧面是正方形，∴点是的中点，又点是的中点，故是的中位线．∴，又平面，平面，∴平面（2）由（1）知，侧面是正方形，又分别为的中点，∴，∴，∴，在正三棱柱中，是BC的中点，∴，又侧面底面，且侧面底面，底面，∴平面，又平面，∴，又，∴平面．22．已知，函数.（1）求的单调递增区间；（2）若在上的最大值为，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）.令，解得.故的单调递增区间为.（2）因为，所以，从而.因为，所以.因为在上的最大值为，所以，即.23．已知为锐角，．（Ⅰ）求的值;（Ⅱ）求的值．【答案】（Ⅰ）【解析】（Ⅰ）．，．（Ⅱ）为锐角，，，而24．△ABC的内角A，B，C的对边分别为，且．（1）求角A的大小；（2）求△ABC的面积的最大值【答案】（1）（2）最大值.【解析】在的内角A，B，C的对边分别为且，且．整理得，利用正弦定理得，又由余弦定理，得，由于，解得：．由于，所以，整理得：，所以．当且仅当时，的面积有最大值.25．在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，，，，分别为，的中点，过的平面与面交于，两点．（1）求证：；（2）求证：平面平面；（3）设，当为何值时四棱锥的体积等于，求的值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】（1）在平行四边形中，由，分别为，的中点，得，∵平面，平面，∴平面，过的平面与面交于，∴．（2）在平行四边形中，∵，，∴即有，由（1）得，∴．∵侧面底面，且，平面平面，且面，∴底面，又∵底面，∴，又∵，平面，平面，∴平面，∴平面，∴平面平面．（3）由题得，设四棱锥的高为h，∴，∴，∵，∴．26．如图，矩形是一个历史文物展览厅的俯视图，点在上，在梯形区域内部展示文物，是玻璃幕墙，游客只能在区域内参观．在上点处安装一可旋转的监控摄像头．为监控角，其中、在线段（含端点）上，且点在点的右下方．经测量得知：米，米，米，．记(弧度)，监控摄像头的可视区域的面积为平方米．（1）求关于的函数关系式，并写出的取值范围；（参考数据：）（2）求的最小值．【答案】(1) (2)【解析】(1）方法一：在中，，米，，.由正弦定理得，所以，同理在中，.，由正弦定理得'所以所以的面积. 当与重合时，；当与重合时，，即，，所以综上可得：方法二：在中，，米，，.由正弦定理可知，，所以.在中，由正整定理可知：.所以又点到的距离为，所以的面积=当与重合时，：当与重合时，，即，所以.综上可得：（2）由（1）得又当，即时，取得最小值为答：可视区域面积的最小值为平方米27．已知三角形的三个顶点均在椭圆上，为椭圆短轴上端点. （1）若的重心是右焦点，试求直线的方程；（2）若，为的中点，试求点的轨迹方程.【答案】（1）；（2）【解析】（1）设, 的中点，∴两式相减：①又∵为的重心∴代入①得：（2）∵②设的方程为：∴带入②得∴直线过定点，设为的中点由于四点共线，所以,即化简得28．已知椭圆的一个焦点与的焦点重合且点为椭圆上一点（l）求椭圆方程；（2）过点任作两条与椭圆相交且关于对称的直线，与椭圆分别交于、两点，求证：直线的斜率是定值【答案】（1）；（2）【解析】（1）抛物线的焦点为，则椭圆的一个焦点为,故把点带入椭圆方程得：解得：所以，椭圆方程为（2）由题意，可设直线的方程为，则直线的方程为设，，则，把直线的方程与椭圆方程联立得：，故同理可得所以所以，直线的斜率是定值29．某企业拟生产一种如图所示的圆柱形易拉罐（上下底面及侧面的厚度不计），易拉罐的体积为,设圆柱的高度为，底面半径为，且,假设该易拉罐的制造费用仅与其表面积有关．已知易拉罐侧面制造费用为元，易拉罐上下底面的制造费用均为元为常数)．（1）写出易拉罐的制造费用(元)关于的函数表达式，并求其定义域；（2）求易拉罐制造费用最低时的值．【答案】（1），；（2）当时，，易拉罐的制造费用最低，当时，，易拉罐的制造费用最低.【解析】解：（1）因为体积为故，即，易拉罐的侧面积为，易拉罐的上下两底面的面积为，所以,因为，所以有，解得，故，易拉罐的制造费用为；（2），令，解得，若，即，此时当，函数单调递减，当，函数单调递增，故当，此时函数取得最小值，即易拉罐的制造费用最低；若，即，此时，当时，函数单调递减，故当，此时函数取得最小值，即易拉罐的制造费用最低；综上：当时，，易拉罐的制造费用最低，当时，，易拉罐的制造费用最低.30．已知圆，直线过定点．（1）若与圆相切，求的方程；（2）若的倾斜角为，与圆相交于两点，求线段的中点M的坐标；（3）若与圆相交于两点，求三角形的面积的最大值，并求此时的直线方程【答案】（1）或；（2）或【解析】(1)解:①若直线的斜率不存在,则直线,圆的圆心坐标,半径为2,符合题意②若直线斜率存在,设直线为,即.由题意知,圆心到已知直线的距离等于半径2,即: ,解之得.所求直线方程是: ,或.(2)直线方程为，∵,∴方程为,即.∵,∴，∴点坐标(3)直线与圆相交,斜率必定存在,且不为0,设直线方程为,则圆心到直线的距离.又三角形面积当时, 取得最大值2，∴，，或.直线方程为,或.。

2019全国卷Ⅲ高考压轴卷数学理科一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．12i 2i+=-+（ ）A ．41i 5-+B ．4i 5-+C ．i -D ．i2.221a b +=是sin cos 1a b θθ+≤恒成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3．若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ， 1log ab 的大小关系为（ ）A. 1log log b a b aa b a b >>> B. 1log log a b b ab a b a >>>C. 1log log b a b aa ab b >>> D. 1log log a b b aa b a b>>>4.圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=（ ） （A ）43-（B ）34- （C ）3 （D ）2 5．已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的一条渐近线与直线053=+-y x 垂直，则双曲线C 的离心率等于（ ）A ．2B ．310C ．10D ． 22 6．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ）A ．310π B ． 320π C ． 3110π- D ． 3120π- 7．长方体1111ABCD A B C D -，1AB =，2AD =，13AA =，则异面直线11A B 与1AC 所成角的余弦值为（ ）A ．1414B ．8314C ．1313 D ．138．下图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的值分别为8，10，0，则输出和i 的值分别为（ ）A ． 2，4B ． 2，5C ． 0，4D ． 0，59.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π,则它的表面积是（ ） （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π10．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin 2sin cos 0B A C +=，则当cos B 取最小值时，ac=（ ）A ．2B ．3C ．33D ．2211．已知为抛物线x y C 4:2=的焦点，C B A ,,为抛物线C 上三点，当0=++FC FB FA 时，称ABC ∆为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（ ）A ． 0个B ． 1个C ． 3个D ． 无数个12．已知定义在R 上的偶函数()y f x =的导函数为()f x '，函数()f x 满足：当0x >时，()x f x '⋅()1f x +>，且()12018f =．则不等式()20171f x x<+的解集是（ ）A ．()1,1-B ．(),1-∞C ．()()1,00,1-D ．()(),11,-∞-+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13． 若()201512x -=2015012015a a x a x ++⋯+（x R ∈），则20151222015222a a a ++⋯+的值为 ．14． 如果点P 在平面区域22021020x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩上，点Q 在曲线22(2)1x y ++=上，那么PQ 的最小值为 ．15．要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有__________种（用数字作答）.16．直三棱柱111ABC A B C -的底面是直角三角形，侧棱长等于底面三角形的斜边长，若其外接球的体积为32π3，则该三棱柱体积的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本题满分12分） 已知函数()()21cos 3sin cos 06662f x x x x ωωωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+---> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，满足()1f α=-，()0f β=，且αβ-的最小值为4π．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上的单调区间和最大值、最小值．18．（本题满分12分）由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从湖口中学随机抽取16名学生，经校医用视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)如下：（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若视力测试结果不低于5.0则称为“好视力”，求校医从这16人中选取3人，至多有1人是“好视力”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“好视力”学生的人数，求ξ的分布列及数学期望．19．（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，90ABC PAD ∠=∠=，2PA AB BC ===，90ABC ∠=，1AD =，M 是棱PB 中点且2AM =（1）求证：//AM 平面PCD ；（2）设点N 是线段CD 上一动点，且DN DC λ=，当直线MN 与平面PAB 所成的角最大时，求λ的值.20．（本题满分12分）已知双曲线2215x y -=的焦点是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.（1）求椭圆C 的方程；（2）设动点M ，N 在椭圆C 上，且43MN =记直线MN 在y 轴上的截距为m ，求m 的最大值.21．（本题满分12分） 已知函数()ln xf x ax b x=-+在点()(),e f e 处的切线方程为2y ax e =-+. （1）求实数b 的值；（2）若存在20,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，满足()014f x e ≤+，求实数a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xoy 中，已知曲线1C 、2C 的参数方程分别为1C ：()2cos 3x y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数， 2C ：()1cos sin x t t y t θθ=+⎧⎨=⎩为参数． （1）求曲线1C 、2C 的普通方程；（2）已知点()1,0P ，若曲线1C 与曲线2C 交于A 、B 两点，求PB PA +的取值范围． 23．（本题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()2f x x a x =-++．（1）当1a =时，求不等式()3f x ≤的解集； （2）0x ∃∈R ，()03f x ≤，求a 的取值范围．2019全国卷Ⅲ高考压轴卷数学理科答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】C 【解析】()()()()12i 2i 12i 5ii 2i 2i 2i 5+--+-===--+-+--，故选C ． 2.【答案】A 【解析】设(){sin cos sin cos cos sin sin +1a cos a b b sin αθθθαθαθαα=⇒+=+=≤= 成立；反之， 22sin cos 101a b a b a b θθ+≤⇒==⇒+≠ ，故选A.3．【答案】D【解析】因为01a b <<<，所以10a a b b a a >>>>.log log 1b b a b >>.01a <<,所以11a >,1log 0ab <. 综上： 1log log a b b aa b a b >>>. 4.【答案】A【解析】圆的方程可化为22(x 1)(y 4)4-+-=，所以圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得：24111a d a +-==+，解得43a =-，故选A ．5．【答案】B【解析】∵双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b y a x C 的渐近线方程为x aby -=，又直线053=+-y x 斜率为3，∴31=a b 故91222=-a a c ， 双曲线的离心率310==a c e ，故选B. 6．【答案】．D【解析】由题意可知：直角三角向斜边长为17，由等面积，可得内切圆的半径为：815381517r ⨯==⇒++落在内切圆内的概率为2331208152r ππ⨯==⨯⨯，故落在圆外的概率为3120π- 7．【答案】A【解析】∵1111C D A B ∥，∴异面直线11A B 与1AC 所成的角即为11C D 与1AC 所成的角11AC D ∠．在11Rt AC D △中，111C D =，2212313AD =+=，222112314AC =++=， ∴11111114cos 1414C D AC D AC ∠===．故选A ． 8．【答案】B【解析】模拟执行程序框图，可得，，不满足，不满足；满足； 满足； 满足；不满足，满足，输出的值为2，i 的值为，故选B. 9.【答案】A[QQ 群 545423319:QQ 群 545423319ZXXK] 【解析】该几何体直观图如图所示：是一个球被切掉左上角的18,设球的半径为R ,则37428V R 833ππ=⨯=,解得R 2=,所以它的表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和2271=42+32=1784S πππ⨯⨯⨯⨯故选A ．10．【答案】C【解析】由正弦定理得222202a b c b a ab +-+⋅= ，∴22220a b c +-=，2222c a b -=，∴22222333cos 2444a c b a c a c B ac ac c a +-+===⋅+≥当344a c c a =，即3a c =时cos B 取最小值．故选C ． 11．【答案】D【解析】抛物线方程为x y C 4:2=,C B A ,,为曲线上三点， 当0=++FC FB FA 时，F 为ABC ∆的重心， 用如下办法构造ABC ∆， 连接AF 并延长至D ，使AF FD 21=， 当D 在抛物线内部时，设),(00y x D 若存在以D 为中点的弦BC ， 设),(),,(2211n m C n m B ，则0210212,2y n n x m m =+=+，2121m m n n k BC --=则⎪⎩⎪⎨⎧==22212144m n m n ，两式相减化为，021212124y n n m m n n k BC =+=--=，所以总存在以D 为中点的弦BC ，所以这样的三角形有无数个，故选D. 12．【答案】C【解析】当0x >时，()()1x f x f x '⋅+>，∴()()10x f x f x '⋅+->，令()()()()1F x x f x x x f x =⋅-=-，则()()()10F x x f x f x ''=⋅+->，即当0x >时，()F x 单调递增．又()f x 为R 上的偶函数，∴()F x 为R 上的奇函数且()00F =，则当0x <时，()F x 单调递增．不等式()20171f x x <+，当0x >时，()2017x f x x ⋅<+，即()2017x f x x ⋅-<，()()1112017F f =-=，即()()1F x F <，∴01x <<；当0x <时，()2017x f x x -⋅<-+，()2017x f x x ⋅->-，()()112017F F -=-=-， 即()()1F x F >-，∴10x -<<．综上，不等式()20171f x x<+的解集为()()1,00,1-．故选C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】-1【解析】在二项式展开式中，令12x =，得201501201511022a a a ⎛⎫=++⋯+ ⎪⎝⎭，令0x =得01a =，所以2015120220151222a a aa ++⋯+=-=-，故选C.14.51【解析】析 画出可行域如图7-14所示阴影部分（含边界），设圆心为'O 到直线210x y -+=的距离为d ，则55d ==，所以min 151PQ d =-=，故选A.15．【答案】120【解析】先选一个插入甲乙之间（甲乙需排列），再选一个排列即可. 详解：先从除了甲乙以外的6人中选一人，安排在甲乙中间，有种，最后再选出一人和刚才的三人排列得：.故答案为：120.16．【答案】2【解析】设三棱柱底面直角三角形的直角边为a ，b ，则棱柱的高22h a b +，设外接球的半径为r ，则3432ππ33r =，解得2r =，∵上下底面三角形斜边的中点连线的中点是该三棱柱的外接球的球心，224h r ==．∴22h =22282a b h ab +==≥，∴4ab ≤．当且仅当2a b ==时“=”成立．∴三棱柱的体积12422V Sh abh ab ===≤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本题满分12分）【答案】（1）()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）1，12-．【解析】（1）()1cos 2133cos 26262x f x x x ωωωπ⎛⎫+- ⎪πππ⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1cos 2133sin 2662x x x ωωωπ⎛⎫+- ⎪ππ⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 312cos 2323x x ωωππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =sin 2sin 2366x x ωωπππ⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()1f α=-，()0f β=，且αβ-的最小值为4π，则44T π=， ∴周期22T ωπ==π，则1ω=，∴()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭； O ' CyAB 220x y -+=O图 7-14210x y -+=20x y +-=x()2245BD αϕ++=4245BD +≥， 即49BD ≥，23BD ≥，则3BD ≥3sin 5α=，203c =． （2）∵02x π≤≤，∴52666x πππ-≤-≤，令2662x πππ-≤-≤得03x π≤≤，令52266x πππ≤-≤得32x ππ≤≤，∴()f x 的增区间为03π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,，减区间为32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,．∵()f x 在区间03π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上单调递增，在区间上32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上单调递减，又∵()102f =-，122f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴()()min 102f x f ==-，()max 13f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭．18．（本题满分12分） 【答案】（1）众数：4.6和4.7；中位数：4.75；（2）121140；（3）34． 【解析】（1）众数：4.6和4.7；中位数：4.75．（2）设i A 表示所取3人中有i 个人是“好视力”，至多有1人是“好视力”记为事件A ， 则()()()3121241201331616C C C 121140C C P A P A P A =+=+=． （3）一个人是“好视力”的概率为14，ξ的可能取值为0，1，2，3． ()33402746P ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭=，()2131327C 44641P ξ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭=， ()223139C 44426P ξ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭=，()3114634P ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭=，ξ的分布列为()27279130123646464644E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．19．（本题满分12分） 明（2）23λ=【答案】（1）见证中点K ，连接【解析】（1）取PCMK ，KD ，因为M 为PB 的中点，所以//MK DC 且12MK BC AD ==， 所以四边形AMKD 为平行四边形，所以//AM DK ， 又因为DK ⊂平面PDC ，AM ⊄平面PDC ， 所以//AM 平面PCD .（2）因为M 为PB 的中点，设PM MB x ==， 在PAB ∆中，∵PMA AMB π∠+∠=，设PMA θ∠=，ζ 0 1 23P64276427 649 641则AMB πθ∠=-，所以cos cos 0PMA AMB ∠+∠=，由余弦定理得222222022PM AM PA BM AM AB PM AM BM AM+-+-+=⋅⋅， 即222424044x x x x+-+-+=，所以x =则PB =所以222PA AB PB +=，所以PA AB ⊥，∵PA AD ⊥，AP AB ⊥且ABAD A =，所以PA ⊥平面ABCD ，且90BAD ABC ∠=∠=，以点A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()1,0,0D ，()0,2,0B ，()2,2,0C ，()0,0,2P ，()0,1,1M ，因为点N 是线段CD 上一点，可设()1,2,0DN DC λλ==，()()()()()()1,0,01,2,01,2,01,2,00,1,11,21,1AN AD DN MN AN AM λλλλλλλ⎧=+=+=+⎪⎨=-=+-=+--⎪⎩，又面PAB 的法向量为()1,0,0，设MN与平面PAB所成角为θ，则sin θ=====，所以当1315λ=+时，即533λ=+，23λ=时，sin θ取得最大值. 所以MN 与平面PAB 所称的角最大时23λ=. 20．（本题满分12分）【答案】（1）2216x y +=（2【解析】（1）双曲线2215x y -=的焦点坐标为().因为双曲线2215x y -=的焦点是椭圆C ：22221(0)xy a b a b +=>>的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以a =6a =，解得1b =.故椭圆C 的方程为2216x y +=.（2）因为23MN =>，所以直线MN 的斜率存在. 因为直线MN 在y 轴上的截距为m ，所以可设直线MN 的方程为y kx m =+. 代入椭圆方程2216x y +=得()()2221612610k x kmx m +++-=. 因为()()()2221224161km k m ∆=-+-()2224160k m =+->，所以2216m k <+.设()11,M x y ，()22,N x y ，根据根与系数的关系得1221216km x x k -+=+，()21226116m x x k -=+则12MN x =-==因为3MN =3=.整理得 ()42221839791k k m k -++=+. 令211k t +=≥，则21k t =-. 所以221875509t t m t -+-=15075189t t ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦75230593-⨯≤=. 等号成立的条件是53t =，此时223k =，253m =满足2216m k <+，符合题意.故m 的. 21．（本题满分12分） 【答案】（1）e （2）211,24e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（1）函数()f x 的定义域为()()0,11,+∞，因为()ln x f x ax b x=-+，所以()2ln 1'ln x f x a x-=-.所以函数()f x 在点()(),e f e 处的切线方程为y e ae b ax e --+=--，即y ax e b =-++.已知函数()f x 在点()(),e f e 处的切线方程为2y ax e =-+，比较求得b e =.所以实数b 的值为e .（2）由()014f x e ≤+，即0001ln 4x ax e e x -+≤+.所以问题转化为11ln 4a x x≥-在2,e e ⎡⎤⎣⎦上有解. 令()11ln 4h x x x=-，2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，则 ()2222211ln 4'4ln 4ln x x h x x x x x x -=-=(22ln ln 4ln x x x x+-=. 令()ln p x x =-2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，有()11'0p x x x ==<. 所以函数()p x 在区间2,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递减，所以()()ln 0p x p e e <=-<.所以()'0h x <，即()h x 在区间2,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递减.所以()()22221111ln 424h x h e e e e ≥=-=-. 所以实数a 的取值范围为211,24e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（本题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】【答案】（1）1C ：13422=+y x ，2C ：1=x ；（2）[]3,4． 【解析】（1）曲线1C 的普通方程为：13422=+y x ， 当2k θπ≠+π，k ∈Z 时，曲线2C 的普通方程为：θθtan tan -=x y ， 当2k θπ=+π，k ∈Z 时，曲线2C 的普通方程为：1=x ； （或曲线2C ：0sin cos sin =--θθθy x ） （2）将2C ：()1cos sin x t t y t θθ=+⎧⎨=⎩为参数代入1C ：13422=+y x 化简整理得： ()22sin 36cos 90t t θθ++-=，设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，1226cos sin 3t t θθ-+=+，1229sin 3t t θ-=+ 则()2236cos 36sin 31440∆θθ=++=>恒成立，∴1212212sin 3PA PB t t t t θ+=+=-=+，∵[]2sin 0,1θ∈，∴[]3,4PA PB +∈．23．（本题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】【答案】（1）{}21x x -≤≤；（2）[]5,1-．【解析】（1）当1a =时，()12f x x x =-++，①当2x ≤-时，()21f x x =--，令()3f x ≤，即213x --≤，解得2x =-， ②当21x -<<时，()3f x =，显然()3f x ≤成立，∴21x -<<， ③当1x ≥时，()21f x x =+，令()3f x ≤，即213x +≤，解得1x ≤， 综上所述，不等式的解集为{}21x x -≤≤． （2）∵()()()222f x x a x x a x a =-++≥--+=+，∵0x ∃∈R ，有()3f x ≤成立，∴只需23a +≤，解得51a -≤≤，∴a 的取值范围为[]5,1-．。

2019年高考全国Ⅲ卷理科数学（解析版）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝()A．{－1，0，1}B．{0，1}C．{－1，1} D．{0，1，2}A【考查目标】本题主要考查集合的交运算与一元二次不等式的求解，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算．【解析】集合B＝{x|－1≤x≤1}，则A∩B＝{－1，0，1}．2．若z(1＋i)＝2i，则z＝()A．－1－i B．－1＋iC．1－i D．1＋iD【考查目标】本题主要考查复数的四则运算，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算．【解析】z＝2i1＋i＝2i（1－i）（1＋i）（1－i）＝2＋2i2＝1＋i.3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为()A．0.5 B．0.6C．0.7 D．0.8C【考查目标】本题主要考查韦恩图的应用与概率问题，考查考生的阅读理解能力，考查的核心素养是数学抽象、逻辑推理、数据分析．【解析】根据题意阅读过《红楼梦》《西游记》的人数用韦恩图表示如下：所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70100＝0.7. 4．(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为()A．12 B．16C ．20D ．24A 【考查目标】 本题主要考查二项展开式通项公式的应用，考查的核心素养是数学运算． 【解析】 展开式中含x 3的项可以由“1与x 3”和“2x 2与x ”的乘积组成，则x 3的系数为C 34＋2C 14＝4＋8＝12.5．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3＝( ) A ．16 B ．8 C ．4D ．2C 【考查目标】 本题主要考查等比数列通项公式的应用，考查方程思想与运算求解能力，考查的核心素养是数学运算．【解析】 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 5＝3a 3＋4a 1得q 4＝3q 2＋4，得q 2＝4，因为数列{a n }的各项均为正数，所以q ＝2，又a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝a 1(1＋2＋4＋8)＝15，所以a 1＝1，所以a 3＝a 1q 2＝4.6．已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( ) A ．a ＝e ，b ＝－1 B ．a ＝e ，b ＝1 C ．a ＝e －1，b ＝1D ．a ＝e －1，b ＝－1D 【考查目标】 本题主要考查导数的几何意义，考查的核心素养是数学运算． 【解析】 因为y ′＝a e x ＋ln x ＋1，所以y ′|x ＝1＝a e ＋1，所以曲线在点(1，a e)处的切线方程为y －a e ＝(a e ＋1)(x －1)，即y ＝(a e ＋1)x －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a e ＋1＝2，b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e －1，b ＝－1.7．函数y ＝2x 32x ＋2－x在[－6，6]的图象大致为( )B 【考查目标】 本题主要考查函数图象与性质的应用，考查数形结合思想，考查的核心素养是直观想象、数学运算．【解析】 因为f (x )＝2x 32x ＋2－x ，所以f (－x )＝－2x 32－x＋2x ＝－f (x )，且x ∈[－6，6]，所以函数y ＝2x 32x ＋2－x 为奇函数，排除C ；当x ＞0时，f (x )＝2x 32x ＋2－x ＞0恒成立，排除D ；因为f (4)＝2×6424＋2－4＝12816＋116＝128×16257≈7.97，排除A.故选B.8.如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则( ) A ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是相交直线 B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线 C ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线B 【考查目标】 本题主要考查空间线线位置关系，考查考生的空间想象能力，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算．【解析】 取CD 的中点O ，连接ON ，EO ，因为△ECD 为正三角形，所以EO ⊥CD ，又平面ECD ⊥平面ABCD ，平面ECD ∩平面ABCD ＝CD ，所以EO ⊥平面ABCD .设正方形ABCD 的边长为2，则EO ＝3，ON ＝1，所以EN 2＝EO 2＋ON 2＝4，得EN ＝2.过M 作CD 的垂线，垂足为P ，连接BP ，则MP ＝32，CP ＝32，所以BM 2＝MP 2＋BP 2＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫322＋22＝7，得BM ＝7，所以BM ≠EN .连接BD ，BE ，因为四边形ABCD 为正方形，所以N 为BD 的中点，即EN ，MB 均在平面BDE 内，所以直线BM ，EN 是相交直线，选B.9.执行右边的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s 的值等于( ) A ．2－124B ．2－125C ．2－126D ．2－127C 【考查目标】 本题主要考查程序框图，考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．【解析】 执行程序框图，x ＝1，s ＝0，s ＝0＋1＝1，x ＝12，不满足x ＜ε＝1100，所以s ＝1＋12＝2－121，x ＝14，不满足x ＜ε＝1100，所以s ＝1＋12＋14＝2－122，x ＝18，不满足x ＜ε＝1100，所以s ＝1＋12＋14＋18＝2－123，x ＝116，不满足x ＜ε＝1100，所以s ＝1＋12＋14＋18＋116＝2－124，x ＝132，不满足x ＜ε＝1100，所以s ＝1＋12＋14＋18＋116＋132＝2－125，x ＝164，不满足x ＜ε＝1100，所以s ＝1＋12＋14＋18＋…＋164＝2－126，x ＝1128，满足x ＜ε＝1100，输出s ＝2－126，选C.10．双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点．若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( ) A.324B ．322C ．2 2D ．32A 【考查目标】 本题主要考查双曲线的标准方程与几何性质、三角形的面积，考查数形结合思想，考查的核心素养是直观想象、数学运算．【解析】 不妨设点P 在第一象限，根据题意可知c 2＝6，所以|OF |＝ 6.又tan ∠POF ＝ba ＝22，所以等腰三角形POF 的高h ＝62×22＝32，所以S △PFO ＝12×6×32＝324. 11．设f (x )是定义域为R 的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫log 314＞f (2－32)＞f (2－23) B ．f ⎝⎛⎭⎫log 314＞f (2－23)＞f (2－32) C ．f (2－32)＞f (2－23)＞f ⎝⎛⎭⎫log 314 D ．f (2－23)＞f (2－32)＞f ⎝⎛⎭⎫log 314 C 【考查目标】 本题主要考查函数的单调性、奇偶性，考查考生的化归与转化能力、数形结合能力，考查的核心素养是数学抽象、直观想象．【解析】 根据函数f (x )为偶函数可知，f ⎝⎛⎭⎫log 314＝f (－log 34)＝f (log 34)，因为0＜2－32＜2－23＜20＜log 34，且函数f (x )在(0，＋∞)单调递减，所以f (2－32)＞f (2－23)＞f ⎝⎛⎭⎫log 314. 12．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π5(ω＞0)，已知f (x )在[0，2π]有且仅有5个零点．下述四个结论： ①f (x )在(0，2π)有且仅有3个极大值点 ②f (x )在(0，2π)有且仅有2个极小值点 ③f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π10单调递增 ④ω的取值范围是⎣⎡⎭⎫125，2910 其中所有正确结论的编号是( )A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④D 【考查目标】 本题主要考查三角函数的图象与性质，考查考生的数形结合能力，考查的核心素养是数学抽象、直观想象、逻辑推理．【解析】 如图，根据题意知，x A ≤2π＜x B ，根据图象可知函数f (x )在(0，2π)有且仅有3个极大值点，所以①正确；但可能会有3个极小值点，所以②错误；根据x A ≤2π＜x B ，有24π5ω≤2π＜29π5ω，得125≤ω＜2910，所以④正确；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π10时，π5＜ωx ＋π5＜ωπ10＋π5，因为125≤ω＜2910，所以ωπ10＋π5＜49π100＜π2，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π10单调递增，所以③正确．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知a ，b 为单位向量，且a ·b ＝0，若c ＝2a －5b ，则cos 〈a ，c 〉＝________． 23【考查目标】 本题主要考查平面向量的数量积，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算．【解析】 设a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，则c ＝(2，－5)，所以cos 〈a ，c 〉＝a ·c |a |·|c |＝21×4＋5＝23. 14．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1≠0，a 2＝3a 1，则S 10S 5＝________．4 【考查目标】 本题主要考查等差数列的通项公式与前n 项和公式，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算．【解析】 设等差数列{a n }的公差为d ，由a 2＝3a 1，即a 1＋d ＝3a 1，得d ＝2a 1，所以S 10S 5＝10a 1＋10×92d 5a 1＋5×42d ＝10a 1＋10×92×2a 15a 1＋5×42×2a 1＝10025＝4. 15．设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为________．(3，15) 【考查目标】 本题主要考查椭圆的标准方程及定义，考查数形结合思想，考查的核心素养是直观想象、数学运算．【解析】 不妨令F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，根据题意可知c ＝36－20＝4.因为△MF 1F 2为等腰三角形，所以易知|F 1M |＝2c ＝8，所以|F 2M |＝2a －8＝4.设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，|F 1M |2＝（x ＋4）2＋y 2＝64，x ＞0，y ＞0，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝15，所以M 的坐标为(3，15)．16．学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1挖去四棱锥O ­EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，AB ＝BC ＝6 cm ，AA 1＝4 cm.3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.118．8 【考查目标】 本题主要考查空间几何体体积的计算，考查考生的空间想象能力与运算求解能力，考查的核心素养是直观想象、数学运算．【解析】 由题易得长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的体积为6×6×4＝144(cm 3)，四边形EFGH 为平行四边形，如图所示，连接GE ，HF ，易知四边形EFGH 的面积为矩形BCC 1B 1面积的一半，即12×6×4＝12(cm 2)，所以V 四棱锥O ­EFGH ＝13×3×12＝12(cm 3)，所以该模型的体积为144－12＝132(cm 3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．【解题关键】 求解本题的关键是运用平面几何知识求得四边形EFGH 的面积．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一)必考题：共60分．17．(12分)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A ，B 两组，每组100 只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P (C )的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a ，b 的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)． 【考查目标】 本题主要考查频率分布直方图，考查考生的识图能力、阅读理解能力，考查的核心素养是数据分析、数学运算．【解题思路】 (1)根据P (C )的估计值为0.70及频率之和为1可求得a ，b 的值；(2)根据各组区间的中点值及频率即可计算平均值． 解：(1)由已知得0.70＝a ＋0.20＋0.15，故 a ＝0.35.b ＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05. 乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.18．(12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＋C 2＝b sin A .(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围．【考查目标】 本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，考查的核心素养是数学运算． 解：(1)由题设及正弦定理得sin A sin A ＋C2＝sin B sin A . 因为sin A ≠0，所以sinA ＋C2＝sin B ．由A ＋B ＋C ＝180°，可得sinA ＋C 2＝cosB 2，故cos B 2＝2sin B 2cos B2. 因为cos B 2≠0，故sin B 2＝12，因此B ＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝34a .由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin （120°－C ）sin C ＝32tan C ＋12.由于△ABC 为锐角三角形，故0°＜A ＜90°，0°＜C ＜90°.由(1)知A ＋C ＝120°，所以30°＜C ＜90°，故12＜a ＜2，从而38＜S △ABC ＜32.因此，△ABC 面积的取值范围是⎝⎛⎭⎫38，32. 【误区警示】 确定a 的范围时，要注意该三角形为锐角三角形，每个角均为锐角． 19．(12分)图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB ＝1，BE ＝BF ＝2，∠FBC ＝60°.将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连接DG ，如图2. (1)证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ； (2)求图2中的二面角B ­CG ­A 的大小．【考查目标】 本题主要考查四点共面、面面垂直的证明、二面角的求解，考查考生的推理论证能力与空间想象能力，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算．【解题思路】 (1)根据AD ∥CG 可证明四点共面，通过证明AB ⊥平面BCGE 即可证明面面垂直；(2)过E 作BC 的垂线，以垂足为原点，BC 所在直线为x 轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角．解：(1)由已知得AD ∥BE ，CG ∥BE ，所以AD ∥CG ， 故AD ，CG 确定一个平面，从而A ，C ，G ，D 四点共面． 由已知得AB ⊥BE ，AB ⊥BC ，故AB ⊥平面BCGE . 又因为AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BCGE .(2)作EH ⊥BC ，垂足为H .因为EH ⊂平面BCGE ，平面BCGE ⊥平面ABC ，所以EH ⊥平面ABC .由已知，菱形BCGE 的边长为2，∠EBC ＝60°，可求得BH ＝1，EH ＝ 3.以H 为坐标原点，HC →的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H ­xyz ，则A (－1，1，0)，C (1，0，0)，G (2，0，3)，CG →＝(1，0，3)，AC →＝(2，－1，0)． 设平面ACGD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧CG →·n ＝0，AC →·n ＝0，即⎩⎨⎧x ＋3z ＝0，2x －y ＝0. 所以可取n ＝(3，6，－3)．又平面BCGE 的法向量可取为m ＝(0，1，0)， 所以cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝32.因此二面角B ­CG ­A 的大小为30°.【解后反思】 (1)证明空间线面位置关系时思路要清晰，证明过程中的条件要写全，步骤要规范；(2)本题没有直接建立空间直角坐标系的条件，需要证明垂直关系，才能建立坐标系． 20．(12分)已知函数f (x )＝2x 3－ax 2＋b . (1)讨论f (x )的单调性；(2)是否存在a ，b ，使得f (x )在区间[0，1]的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a ，b 的所有值；若不存在，说明理由．【考查目标】 本题主要考查导数在研究三次函数单调性、最值中的应用，考查考生的运算求解能力，考查分类讨论思想，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．【解题思路】 (1)求出导函数，分a ＞0，a ＝0，a ＜0讨论即可；(2)根据(1)中函数的单调性，结合已知区间分a ≤0，a ≥3，0＜a ＜3求解满足题意的a ，b . 解：(1)f ′(x )＝6x 2－2ax ＝2x (3x －a )． 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝a 3.若a ＞0，则当x ∈(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，a 3时，f ′(x )＜0.故f (x )在(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞单调递增，在⎝⎛⎭⎫0，a3单调递减；若a ＝0，f (x )在(－∞，＋∞)单调递增； 若a ＜0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，a 3∪(0，＋∞)时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝⎛⎭⎫a 3，0时，f ′(x )＜0.故f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，a 3，(0，＋∞)单调递增，在⎝⎛⎭⎫a 3，0单调递减． (2)满足题设条件的a ，b 存在．(ⅰ)当a ≤0时，由(1)知，f (x )在[0，1]单调递增，所以f (x )在区间[0，1]的最小值为f (0)＝b ，最大值为f (1)＝2－a ＋b .此时a ，b 满足题设条件当且仅当b ＝－1，2－a ＋b ＝1，即a ＝0，b ＝－1.(ⅱ)当a ≥3时，由(1)知，f (x )在[0，1]单调递减，所以f (x )在区间[0，1]的最大值为f (0)＝b ，最小值为f (1)＝2－a ＋b .此时a ，b 满足题设条件当且仅当2－a ＋b ＝－1，b ＝1，即a ＝4，b ＝1.(ⅲ)当0＜a ＜3时，由(1)知，f (x )在[0，1]的最小值为f ⎝⎛⎭⎫a 3＝－a 327＋b ，最大值为b 或2－a ＋b .若－a 327＋b ＝－1，b ＝1，则a ＝332，与0＜a ＜3矛盾．若－a 327＋b ＝－1，2－a ＋b ＝1，则a ＝33或a ＝－33或a ＝0，与0＜a ＜3矛盾．综上，当且仅当a ＝0，b ＝－1或a ＝4，b ＝1时，f (x )在[0，1]的最小值为－1，最大值为1. 21．(12分)已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎝⎛⎭⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．【考查目标】 本题主要考查抛物线的简单几何性质、直线与抛物线的位置关系，考查数形结合思想和化归与转化思想，考查的核心素养是直观想象、数学运算． 解：(1)设D ⎝⎛⎭⎫t ，－12，A (x 1，y 1)，则x 21＝2y 1. 由y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1，故y 1＋12x 1－t ＝x 1.整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0. 故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0. 所以直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫0，12. (2)由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx ＋12.由⎩⎨⎧y ＝tx ＋12，y ＝x 22可得x 2－2tx －1＝0.于是x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝－1，y 1＋y 2＝t (x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1， |AB |＝1＋t 2|x 1－x 2|＝1＋t 2×（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2(t 2＋1)．设d 1，d 2分别为点D ，E 到直线AB 的距离，则d 1＝t 2＋1，d 2＝2t 2＋1. 因此，四边形ADBE 的面积S ＝12|AB |(d 1＋d 2)＝(t 2＋3)t 2＋1.设M 为线段AB 的中点，则M ⎝⎛⎭⎫t ，t 2＋12.由于EM →⊥AB →，而EM →＝(t ，t 2－2)，AB →与向量(1，t )平行，所以t ＋(t 2－2)t ＝0.解得t ＝0或t ＝±1.当t ＝0时，S ＝3；当t ＝±1时，S ＝4 2. 因此，四边形ADBE 的面积为3或4 2. 【真题互鉴】 本题第(1)问考查的是抛物线的阿基米德三角形，与2018年全国Ⅲ卷理科第16题背景一样，弦AB 必过焦点． (二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)如图，在极坐标系Ox 中，A (2，0)，B ⎝⎛⎭⎫2，π4，C ⎝⎛⎭⎫2，3π4，D (2，π)，弧AB ︵，BC ︵，CD ︵所在圆的圆心分别是(1，0)，⎝⎛⎭⎫1，π2，(1，π)，曲线M 1是弧AB ︵，曲线M 2是弧BC ︵，曲线M 3是弧CD ︵.(1)分别写出M 1，M 2，M 3的极坐标方程；(2)曲线M 由M 1，M 2，M 3构成，若点P 在M 上，且|OP |＝3，求P 的极坐标．【考查目标】 本题主要考查极坐标方程的求解，考查数形结合思想，考查的核心素养是直观想象、数学运算．【解题思路】 (1)分别求出三段弧所在圆的极坐标方程，再确定极角的取值范围；(2)根据(1)中得到的三段曲线，求出每段曲线上到原点的距离为3的所有点对应的极角即可．解：(1)由题设可得，弧AB ︵，BC ︵，CD ︵所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cos θ.所以M 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π4，M 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ⎝⎛⎭⎫π4≤θ≤3π4，M 3的极坐标方程为 ρ＝－2cos θ⎝⎛⎭⎫3π4≤θ≤π.(2)设P (ρ，θ)，由题设及(1)知：若0≤θ≤π4，则2cos θ＝3，解得θ＝π6； 若π4≤θ≤3π4，则2sin θ＝3，解得θ＝π3或θ＝2π3； 若3π4≤θ≤π，则－2cos θ＝3，解得θ＝5π6. 综上，P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫3，π6或(3，π3)或(3，2π3)或(3，5π6)． 【解题关键】 解决本题的关键是求极角的取值范围，需要考生准确理解极角的含义．23．[选修4－5：不等式选讲](10分)设x ，y ，z ∈R ，且x ＋y ＋z ＝1.(1)求(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值；(2)若(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥13成立，证明：a ≤－3或a ≥－1. 【考查目标】 本题主要考查基本不等式在求最值、不等式恒成立求参数问题中的应用，考查考生的化归与转化能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．【解题思路】 (1)利用完全平方式、基本不等式求解最值即可；(2)仿照(1)的转化求解出式子的最小值，再解不等式即可证明．解：(1)由于[(x －1)＋(y ＋1)＋(z ＋1)]2＝(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2＋2[(x －1)(y ＋1)＋(y ＋1)(z ＋1)＋(z ＋1)(x －1)]≤3[(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2]，故由已知得(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2≥43，当且仅当x ＝53，y ＝－13，z ＝－13时等号成立． 所以(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值为43. (2)由于[(x －2)＋(y －1)＋(z －a )]2＝(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2＋2[(x －2)(y －1)＋(y －1)(z －a )＋(z －a )(x －2)]≤3[(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2]，故由已知得(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥（2＋a ）23，当且仅当x ＝4－a 3，y ＝1－a 3，z ＝2a －23时等号成立．因此(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2的最小值为（2＋a ）23. 由题设知（2＋a ）23≥13，解得a ≤－3或a ≥－1.。

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合A ={x |x 2-5x +6>0}，B ={ x |x -1<0}，则A ∩B =A. (-∞，1)B. (-2，1)C. (-3，-1)D. (3，+∞)【答案】A 【解析】 【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【详解】由题意得，{}{}2,3,1A x x x B x x ==<或，则{}1A B x x ⋂=<．故选A ．【点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目，难度偏易．不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．2.设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C 【解析】 【分析】本题考查复数的共轭复数和复数在复平面内的对应点位置，渗透了直观想象和数学运算素养．采取定义法，利用数形结合思想解题．【详解】由32,z i =-+得32,z i =--则32,z i =--对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C ．【点睛】本题考点为共轭复数，为基础题目，难度偏易．忽视共轭复数的定义致错，复数与共轭复数间的关系为实部同而虚部异，它的实部和虚部分别对应复平面上点的横纵坐标．3.已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅= A. -3 B. -2 C. 2 D. 3【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平面向量数量积的坐标运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法，利用转化与化归思想解题．【详解】由(1,3)BC AC AB t =-=-，211BC ==，得3t =，则(1,0)BC =，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．学生易在处理向量的法则运算和坐标运算处出错，借助向量的模的公式得到向量的坐标，然后计算向量数量积．4.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：121223()()M M M R r R r r R +=++.设r Rα=，由于α的值很小，因此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】本题在正确理解题意的基础上，将有关式子代入给定公式，建立α的方程，解方程、近似计算．题目所处位置应是“解答题”，但由于题干较长，易使考生“望而生畏”，注重了阅读理解、数学式子的变形及运算求解能力的考查． 【详解】由rRα=，得r R α= 因为121223()()M M M R r R r r R +=++，所以12122222(1)(1)M M M R R R ααα+=++，即543232221133[(1)]3(1)(1)M M αααααααα++=+-=≈++，解得3α=所以3.r R α==【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的变形出错．5.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A. 中位数B. 平均数C. 方差D. 极差【答案】A 【解析】 【分析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案． 【详解】设9位评委评分按从小到大排列为123489x x x x x x <<<<<．则①原始中位数为5x ，去掉最低分1x ，最高分9x ，后剩余2348x x x x <<<，中位数仍为5x ，∴A 正确． ②原始平均数1234891()9x x x x x x x =<<<<<，后来平均数234817x x x x x '=<<<（）平均数受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，B 不正确③()()()22221119q S x x x x x x ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦ ()()()222223817s x x x x x x ⎡⎤'=-'+-'++-'⎢⎥⎣⎦由②易知，C 不正确．④原极差91=x -x ，后来极差82=x -x 显然极差变小，D 不正确． 【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.6.若a >b ，则 A. ln(a −b )>0B. 3a <3bC. a 3−b 3>0D. │a │>│b │【答案】C 【解析】 【分析】本题也可用直接法，因为a b >，所以0a b ->，当1a b -=时，ln()0a b -=，知A 错，因为3xy =是增函数，所以33a b >，故B 错；因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，知C 正确；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错．【详解】取2,1a b ==，满足a b >，ln()0a b -=，知A 错，排除A ；因为9333a b =>=，知B 错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错，排除D ，因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，故选C ．【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．7.设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A. α内有无数条直线与β平行 B. α内有两条相交直线与β平行 C. α，β平行于同一条直线 D. α，β垂直于同一平面 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．【详解】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是//αβ的充分条件，由面面平行性质定理知，若//αβ，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是//αβ的必要条件，故选B ．【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβ”此类的错误．8.若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A. 2B. 3C. 4D. 8【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程，即可解出p ，或者利用检验排除的方法，如2p =时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A ，同样可排除B ，C ，故选D ．【详解】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p 是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2pp p -=，解得8p =，故选D ．【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．9.下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是 A. f (x )=│cos 2x │ B. f (x )=│sin 2x │ C. f (x )=cos│x │ D. f (x )= sin│x │【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．画出各函数图象，即可做出选择．【详解】因为sin ||y x =图象如下图，知其不是周期函数，排除D ；因为cos cos y x x ==，周期为2π，排除C ，作出cos2y x =图象，由图象知，其周期为2π，在区间单调递增，A 正确；作出sin 2y x =的图象，由图象知，其周期为2π，在区间单调递减，排除B ，故选A ．【点睛】利用二级结论：①函数()y f x =的周期是函数()y f x =周期的一半；②sin y x ω=不是周期函数；10.已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A.15B.5C. D.【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案． 【详解】2sin 2cos21α=α+，24sin cos 2cos .0,,cos 02π⎛⎫∴α⋅α=αα∈∴α> ⎪⎝⎭．sin 0,2sin cos α>∴α=α，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5∴α=α=，又sin 0α>，sin α∴=B ．【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．11.设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为 A.B. C. 2 D.【答案】A 【解析】 【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率． 【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2cOA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．e ∴=A ．【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．12.设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是A. 9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. 7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C. 5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D. 8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决． 【详解】(0,1]x ∈时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==（舍），(,]x m ∴∈-∞时，8()9f x ≥-成立，即73m ≤，7,3m ⎛⎤∴∈-∞ ⎥⎝⎦，故选B ．【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________. 【答案】0．98. 【解析】 【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．【详解】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为100.97200.98100.9939.2⨯+⨯+⨯=，其中高铁个数为10+20+10=40，所以该站所有高铁平均正点率约为39.20.9840=． 【点睛】本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养．侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．14.已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________.【答案】-3【解析】 【分析】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案． 【详解】因为()f x 是奇函数，且当0x <时，()ax f x e -=-．又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =，所以ln 28a e --=-，两边取以e 为底的对数得ln 23ln 2a -=，所以3a -=，即3π． 【点睛】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．15.V ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则V ABC 的面积为__________.【答案】【解析】 【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查． 【详解】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=， 即212c =解得c c ==-所以2a c ==11sin 222ABC S ac B ∆==⨯= 【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．【答案】 (1). 共26个面. (2). 1. 【解析】 【分析】第一问可按题目数出来，第二问需在正方体中简单还原出物体位置，利用对称性，平面几何解决． 【详解】由图可知第一层与第三层各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有18826+=个面．如图，设该半正多面体的棱长为x ，则A B B E x ==，延长BC 与FE 交于点G ，延长BC 交正方体棱于H ，由半正多面体对称性可知，BGE ∆为等腰直角三角形，,21)122BG GE CH x GH x x x ∴===∴=⨯+==，1x ∴==．【点睛】本题立意新颖，空间想象能力要求高，物体位置还原是关键，遇到新题别慌乱，题目其实很简单，稳中求胜是关键．立体几何平面化，无论多难都不怕，强大空间想象能力，快速还原图形．三、解答题：共70分。