新人教选修4-4教案参数方程的概念曲线的参数方程

《参数方程的概念-曲线的参数方程》教案（新人教选修）教学目标：1. 理解参数方程的概念，掌握参数方程与普通方程的相互转化方法。

2. 能够运用参数方程描述实际问题中的曲线运动。

3. 理解参数方程在数学和物理中的应用，培养学生的数学思维能力。

教学重点：1. 参数方程的概念及表示方法。

2. 参数方程与普通方程的相互转化。

3. 参数方程在实际问题中的应用。

教学难点：1. 参数方程的转化方法。

2. 参数方程的实际应用。

教学准备：1. 教学课件或黑板。

2. 相关例题和练习题。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾普通方程的概念，复习方程表示曲线的方法。

2. 提问：普通方程表示的曲线有什么局限性？二、新课讲解（15分钟）1. 引入参数方程的概念，解释参数方程表示曲线的方法。

2. 通过示例，讲解参数方程的表示方法，让学生理解参数方程的意义。

3. 讲解参数方程与普通方程的相互转化方法，引导学生掌握转化技巧。

三、课堂练习（10分钟）1. 布置练习题，让学生独立完成，巩固参数方程的概念和转化方法。

2. 选几位学生上黑板演示解题过程，加深对参数方程的理解。

四、拓展与应用（10分钟）1. 通过实际问题，引导学生运用参数方程描述曲线运动。

2. 让学生分组讨论，探讨参数方程在实际问题中的应用。

3. 分享各组的讨论成果，总结参数方程在实际问题中的应用方法。

五、总结与反思（5分钟）1. 回顾本节课的学习内容，让学生总结参数方程的概念和应用。

2. 提问：本节课有什么收获？还有哪些问题需要进一步解决？教学评价：1. 课后收集学生的练习题，评估学生对参数方程的掌握程度。

2. 在下一节课开始时，让学生分享对本节课内容的理解和体会，了解学生的学习效果。

教学反思：根据学生的反馈和练习情况，调整教学方法和进度，针对学生的薄弱环节进行重点讲解和辅导。

在后续的教学中，注重培养学生的实际应用能力，提高学生的数学思维水平。

六、案例分析：圆的参数方程1. 引导学生回顾圆的普通方程：x^2 + y^2 = r^22. 引入圆的参数方程：x = r cos(θ)，y = r sin(θ)3. 解释参数方程中θ的意义，让学生理解参数方程描述圆的方法。

2[1]1《参数方程的概念》教案(新人教选修4-4)精品教案参数方程目标点击：1．理解参数方程的概念，了解某些参数的几何意义和物理意义；3．会选择最常见的参数，建立最简单的参数方程，能够根据条件求出直线、圆锥曲线等常用曲线的一些参数方程并了解其参数的几何意义；4．灵活运用常见曲线的参数方程解决有关的问题.基础知识点击：1、曲线的参数方程在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标某,y都是某个变数t 的函某f(t)数，(1)并且对于t的每一个允许值，由方程组(1)所确定的点M(某,y)2、求曲线的参数方程求曲线参数方程一般程序：(1)设点：建立适当的直角坐标系，用(某,y)表示曲线上任意一点M 的坐标；(2)选参：选择合适的参数；(3)表示：依据题设、参数的几何或物理意义，建立参数与某，y的关系式，并由此分别解出用参数表示的某、y的表达式.(4)结论：用参数方程的形式表示曲线的方程3、曲线的普通方程相对与参数方程来说，把直接确定曲线C上任一点的坐标（某,y）的方程F（某,y）＝0叫做曲线C的普通方程.4、参数方程的几个基本问题(1)消去参数，把参数方程化为普通方程.(2)由普通方程化为参数方程.(3)利用参数求点的轨迹方程.(4)常见曲线的参数方程.5、几种常见曲线的参数方程(1)直线的参数方程(ⅰ)过点P0(某0,y0)，倾斜角为的直线的参数方程是某某0tco（t为参数）t的几何意义：t表示有向线段P0P的数量，P(某,y)yytin0为直线上任意一点.b(ⅱ)过点P0(某0,y0)，斜率为k的直线的参数方程是a某某0at（t为参数）yy0bt（2）圆的参数方程精品教案某rco(ⅰ)圆某2y2r2的参数方程为(为参数)的几何意义为“圆心角”yrin(ⅱ)圆(某某0)2(yy0)2r2的参数方程是某某0rco（为参数）的几何意义为“圆心角”yyrin0（3）椭圆的参数方程某aco某2y2(ⅰ)椭圆221(ab0)的参数方程为（为参数）ybinab(某某0)2(yy0)21(ab0)的参数方程是(ⅱ)椭圆22ab某某0aco（为参数）的几何意义为“离心角”yy0bin(4)双曲线的参数方程某aec某2y2(ⅰ)双曲线221的参数方程为（为参数）ybtgab22(某某0)(yy0)1的参数方程是(ⅱ)双曲线22abc某某0ae（为参数）的几何意义为“离心角”gyy0bt（5）抛物线的参数方程y22p某(p>0)的参数方程为某2pt2（t为参数）其中t的几何意义是抛物线上的点与原点连线的斜y2pt率的倒数（顶点除外）.考点简析：参数方程属每年高考的必考内容，主要考查基础知识、基本技能，从两个方面考查（1）参数方程与普通方程的互化与等价性判定；（2）参数方程所表示的曲线的性质.题型一般为选择题、填空题.一、参数方程的概念一）目标点击：二）概念理解：精品教案1、例题回放：问题1：（请你翻开黄岗习题册P122,阅读例题）已知圆C的方程为(某2)2y21，过点P1(1,0)作圆C的任意弦，交圆C于另一点P2,求P1P2的中点M的轨迹方程.书中列举了六种解法，其中解法六运用了什么方法求得M点的轨迹方程？此种方法是如何设置参数的，其几何意义是什么？k22某1k2，消去k,得(某3)2y21，因M与设M(某,y)，由24yk1k231P1不重合，所以M点的轨迹方程为(某)2y2（某1）24解法六的关键是没有直接寻求中点M的轨迹方程F(某,y)0,而是通过引入第三个变量k（直线的斜率），间接地求出了某与y的关系式，从而求得M点的k22某1k2（1）和(某3)2y21（某1）轨迹方程.实际上方程（2）都表示k24y21k同一个曲线，都是M点的轨迹方程.这两个方程是曲线方程的两种形式.方程组（1）是曲线的参数方程，变数k是参数，方程（2）是曲线的普通方程.由此可以看出参数方程和普通方程是同一曲线的两种不同的表达形式.我们对参数方程并不陌生，在求轨迹方程的过程中，我们通过设参变量k,先求得曲线的参数方程再化为普通方程，进而求得轨迹方程.参数法是求轨迹方程的一种比较简捷、有效的方法.问题2：几何课本3.1曲线的参数方程一节中，从研究炮弹发射后的运动规律，得出弹道曲线的方程.在这个过程中，选择什么量为参数，其物理意义是什么？参数的取值范围？通过研究炮弹发射后弹道曲线的方程说明：某f(t)1）形如的方程组，描述了运动轨道上的每一个位置(某,y)yg(t)和时间t的对应关系.某f(t)2）我们利用“分解与合成”的方法研究和认识了形如的方程组表示yg(t)质点的运动规律.3)参数t的取值范围是由t的物理意义限制的.2、曲线的参数方程与曲线C的关系某f(t)在选定的直角坐标系中，曲线的参数方程tD（某）与曲线yg(t)C满足以下条件：（1）对于集合D中的每个t0，通过方程组（某）所确定的点（f(t0),g(t0)）都在曲线C上；精品教案某f(t0)（2）对于曲线C上任意点（某0,y0），都至少存在一个t0，满足0 yg(t)00某f(t)则曲线C参数方程tDyg(t)某f(t)yg(t)恰当选择参数消去参数参数方程普通方程；普通方程参数方程这时普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式.某2y2222问题3：方程某ya（a0）；方程22（0）是参数方程吗？ab参数方程与含参数的方程一样吗？某2y2222方程某ya（a0）表示圆心在原点的圆系，方程22（0）ab表示共渐近线的双曲线系。

“参数方程的概念-曲线的参数方程》教案(新人教选修”一、教学目标1. 让学生了解参数方程的概念，理解参数方程与普通方程的区别和联系。

2. 让学生掌握曲线的参数方程的表示方法，能够根据实际问题选择合适的参数方程。

3. 培养学生的数学思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。

二、教学内容1. 参数方程的概念2. 曲线的参数方程的表示方法3. 参数方程与普通方程的互化4. 常见曲线的参数方程5. 参数方程在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：参数方程的概念，曲线的参数方程的表示方法，参数方程与普通方程的互化。

2. 教学难点：参数方程的运用，参数方程与普通方程的互化。

四、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、分析、归纳参数方程的性质和应用。

2. 利用多媒体课件辅助教学，直观展示曲线的参数方程表示方法。

3. 开展小组讨论，让学生互动交流，提高学生合作解决问题的能力。

4. 结合实际问题，培养学生运用参数方程解决实际问题的能力。

五、教学过程1. 引入：通过展示生活中的实例，如过山车、螺旋线等，引导学生关注参数方程在现实世界中的应用。

2. 讲解：介绍参数方程的概念，讲解参数方程与普通方程的区别和联系。

3. 演示：利用多媒体课件，展示曲线的参数方程表示方法，如圆的参数方程、正弦曲线和余弦曲线的参数方程等。

4. 练习：让学生尝试将普通方程转化为参数方程，以及将参数方程转化为普通方程。

5. 应用：结合实际问题，让学生运用参数方程解决具体问题，如物体运动轨迹的表示等。

7. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。

六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对参数方程概念的理解程度，以及学生对曲线参数方程表示方法的掌握情况。

2. 练习反馈：收集学生的练习作业，分析学生在将普通方程转化为参数方程和将参数方程转化为普通方程的过程中存在的问题。

3. 课后访谈：课后与学生交流，了解学生对参数方程运用的情况，以及对本节课的教学意见和建议。

《参数方程的概念-曲线的参数方程》教案(新人教选修)第一章：参数方程的概念1.1 参数方程的定义解释参数方程的概念，强调参数方程与普通方程的区别。

通过实际例子展示参数方程的形式。

1.2 参数方程的应用探讨参数方程在实际问题中的应用，如物理、工程等领域。

分析参数方程的优势和局限性。

第二章：曲线的参数方程2.1 曲线参数方程的定义解释曲线参数方程的概念，强调参数方程与曲线方程的关系。

通过实际例子展示曲线参数方程的形式。

2.2 曲线参数方程的应用探讨曲线参数方程在几何、物理、工程等领域中的应用。

分析曲线参数方程的优势和局限性。

第三章：参数方程的图像3.1 参数方程图像的绘制介绍如何绘制参数方程的图像，强调参数方程与图像之间的关系。

通过实际例子展示参数方程图像的绘制方法。

3.2 参数方程图像的特点分析参数方程图像的特点，如曲线的形状、斜率等。

探讨参数方程图像在解决问题中的应用。

第四章：参数方程的变换4.1 参数方程的变换公式介绍参数方程的变换公式，强调变换公式的应用和意义。

通过实际例子展示参数方程的变换过程。

4.2 参数方程的变换应用探讨参数方程的变换在几何、物理、工程等领域中的应用。

分析参数方程的变换的优势和局限性。

第五章：参数方程的综合应用5.1 参数方程在实际问题中的应用分析参数方程在实际问题中的应用，如物体运动、曲线变形等。

探讨参数方程在解决问题中的优势和局限性。

5.2 参数方程在数学研究中的应用介绍参数方程在数学研究中的应用，如代数方程的求解、几何问题的研究等。

强调参数方程在数学研究中的重要性。

第六章：参数方程与极坐标方程的转换6.1 极坐标方程的基本概念回顾极坐标方程的定义和基本性质。

强调极坐标方程与直角坐标方程之间的关系。

6.2 参数方程与极坐标方程的转换方法介绍如何将参数方程转换为极坐标方程。

通过实际例子展示参数方程与极坐标方程之间的转换过程。

第七章：参数方程在几何中的应用7.1 参数方程与几何图形的性质探讨参数方程在描述几何图形方面的优势。

学习目标：1.了解曲线参数方程的有关概念.2.能进行参数方程和普通方程的互化．(重点)1．参数方程的概念定义：设在平面上取定了一个直角坐标系xOy ，把坐标x ，y 表示为第三个变量t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )y ＝g (t )，a ≤t ≤b .(*)如果对于t 的每一个值(a ≤t ≤b )，(*)式所确定的点M (x ，y )都在一条曲线上；而这条曲线上的任一点M (x ，y )，都可由t 的某个值通过(*)式得到，则称(*)式为该曲线的参数方程，其中变量t 称为参数．简单地说，若t 在a ≤t ≤b 内变动时，由(*)式确定的点M (x ，y )描出一条曲线，则称(*)式为该曲线的参数方程．2．参数方程与普通方程互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )y ＝g (t )就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．思考1：曲线的参数方程中，参数是否一定具有某种实际意义？在圆的参数方程中，参数θ有什么实际意义？[提示] 联系x 、y 的参数t (θ，φ，…)可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是无实际意义的任意实数．圆的参数方程中，其中参数θ的几何意义是OM 0绕点O 逆时针旋转到OM 的位置时，OM 0转过的角度．思考2：普通方程化为参数方程，参数方程的形式是否惟一？[提示] 不一定惟一．普通方程化为参数方程，关键在于适当选择参数，如果选择的参数不同，那么所得的参数方程的形式也不同．1．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θy ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x ≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1)[解析] 消去sin 2θ，得x ＝2＋y ， 又0≤sin 2θ≤1，∴2≤x ≤3.[答案] C2．把方程xy ＝1化为以t 为参数的参数方程是( ) A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 12y ＝t －12 B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin t y ＝1sin tC ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t y ＝1cos tD ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t y ＝1tan t[答案] D3．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t 2y ＝t －1与x 轴交点的直角坐标是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,0)D ．(±2,0)[解析] 设与x 轴交点的直角坐标为(x ，y )，令y ＝0得t ＝1，代入x ＝1＋t 2，得x ＝2， ∴曲线与x 轴的交点的直角坐标为(2,0)． [答案] C4．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2ty ＝2＋3t (t 为参数)与直线x ＋y ＝0的交点坐标是( )A ．(5，－5)B ．(7，－7)C ．(－5,5)D ．(－7,7)[解析] 将x ＝1－2t ，y ＝2＋3t 代入x ＋y ＝0得t ＝－3，代入参数方程得x ＝7，y ＝－7. [答案]B⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ(θ为参数，0≤θ<2π)．判断点A (2,0)，B (－3，32)是否在曲线C 上？若在曲线上，求出点对应的参数的值．[思路探究] 将点的坐标代入参数方程，判断参数是否有解． [解] 把点A (2,0)的坐标代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ得cos θ＝1且sin θ＝0，由于0≤θ<2π，解之得θ＝0，因此点A (2,0)在曲线C 上，对应参数θ＝0，同理，把B (－3，32)代入参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧－3＝2cos θ，32＝3sin θ.∴⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝－32，sin θ＝12.又0≤θ<2π，∴θ＝56π，所以点B (－3，32)在曲线C 上，对应θ＝56π.对于曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )y ＝g (t )(t 为参数)，若点M (x 1，y 1)在曲线上，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝f (t )y 1＝g (t )对应的参数t有解，否则无解，即参数t 不存在．1．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1y ＝t 2－4(t 为参数)判断点A (3,0)，B (－2,2)是否在曲线C 上？若在曲线上，求出点对应的参数的值．[解] 将点A (3,0)的坐标代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1y ＝t 2－4，得⎩⎪⎨⎪⎧t ＋1＝3t 2－4＝0，解之得t ＝2.所以点A (3,0)在曲线C 上，对应参数t ＝2.将点B (－2,2)的坐标代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1y ＝t 2－4，得⎩⎪⎨⎪⎧t ＋1＝－2t 2－4＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧t ＝－3t 2＝6，此方程组无解．所以点B (－2,2)不在曲线C 上．【例2】 在一次军事演习中，飞机要向假想敌军阵地进行投弹，投弹时，飞机离地面的距离h ＝490 m ，水平飞行的速度v ＝100 m/s.求炸弹投出后，弹道的参数方程．(不计空气阻力，重力加速度g ＝10 m/s 2)[思路探究] 这是物理学中的平抛运动，选择时间t 作参数，可将炸弹的水平方向和竖直方向的运动表示出来，从而建立弹道的参数方程．[解] 如图，从飞机投弹所在的位置向地面作垂线，垂足为O ，以垂线为y 轴，以O 为原点，建立平面直角坐标系．设P (x ，y )为炸弹在t s 后的坐标，则由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝vt ，y ＝h －12gt 2.因为h ＝490 m ，v ＝100 m/s ，g ＝10 m/s 2，所以，炸弹投出后，弹道的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝100t ，y ＝490－5t 2(0≤t ≤72)．1．本例选择时间t 为参数，很容易将炸弹的水平方向和竖直方向的运动表示出来，给建立弹道的参数方程带来了方便，可见合理地选择参数是建立参数方程的关键．2．求轨迹的参数方程的一般步骤是(1)建立适当的坐标系，设动点P (x ，y )为轨迹上任意一点．(2)根据题意选择与动点P 有直接联系的参数t .(3)根据轨迹条件求出x 和y 与参数t 之间的函数关系，从而得到轨迹的参数方程，求轨迹的参数方程时，参数选的不同，得到的参数方程也不同，但化成普通方程后却是一样的．2．设炮弹的发射角为α，发射的初速度为v 0，求弹道曲线的参数方程(不计空气阻力、风向等因素)． [解] 取炮口为原点，水平方向为x 轴，建立坐标系如图所示，设炮弹发射后的位置在点M (x ，y )，又设炮弹发射后的时间t 为参数．由匀速直线运动和竖直上抛运动的位移公式，得x ＝OQ ＝|OP |cos α＝v 0t cos α.y ＝QM ＝QP －MP ＝v 0t sin α－12gt 2.即得弹道曲线的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝v 0t cos α，y ＝v 0t sin α－12gt 2.【例3】 在方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋t cos θy ＝b ＋t sin θ，(a ，b 为正常数)中，(1)当t 为参数，θ为常数时，方程表示何种曲线？ (2)当t 为常数，θ为参数时，方程表示何种曲线？[思路探究] (1)运用加减消元法，消t ；(2)利用平方关系sin 2θ＋cos 2θ＝1消参数，化成普通方程，进而判定曲线形状．[解] 方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋t cos θ， ①y ＝b ＋t sin θ， ②(a ，b 是正常数)，(1)①×sin θ－②×cos θ得x sin θ－y cos θ－a sin θ＋b cos θ＝0.∵cos θ、sin θ不同时为零， ∴方程表示一条直线． (2)(ⅰ)当t 为非零常数时，原方程组为⎩⎪⎨⎪⎧x －at＝cos θ， ③y －bt ＝sin θ. ④③2＋④2得(x －a )2t 2＋(y －b )2t2＝1， 即(x －a )2＋(y －b )2＝t 2，它表示一个圆． (ⅱ)当t ＝0时，表示点(a ，b )．1．将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法与加减消元法，第(2)问中利用了三角恒等变换消去参数．2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响．本题启示我们，形式相同的方程，由于选择参数的不同，可表示不同的曲线．3．若将题目中的条件，改为“以过点A (0,4)的直线的斜率为参数，试求方程4x 2＋y 2＝16的参数方程”．[解] 设M (x ，y )是曲线4x 2＋y 2＝16上异于A (0,4)的任意一点． 则y －4x＝k (x ≠0)， ∴y ＝kx ＋4(k ≠0)．将y ＝kx ＋4代入4x 2＋y 2＝16，得x [(4＋k 2)x ＋8k ]＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8k4＋k 2y ＝－4k 2＋164＋k2(k ≠0，k 为参数)．因此所求的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8k4＋k2y ＝－4k 2＋164＋k2(k ≠0)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－4.(教材P34习题2－1T4)设曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－2t y ＝－1－4t ，把它化为普通方程，说明它表示什么曲线．化下列曲线的参数方程为普通方程，并指出它是什么曲线.⎩⎨⎧x ＝1－2ty ＝3－4t(t 是参数)．[命题意图] 本题以化参数方程为普通方程为载体，考查运算求解能力． [解] ∵x ＝1－2t ，∴t ＝1－x2，① ∴x ≤1，将①代入y ＝3－4t 得2x －y ＋1＝0(x ≤1)，表示一条射线．。

曲线的参数方程教学目标1．通过圆及弹道曲线的参数方程的建立，使学生理解参数方程的概念，初步掌握求曲线的参数方程的思路．2．通过弹道曲线的参数方程的建立及选取不同参数建立圆的参数方程，培养学生探索发现能力以及解决实际问题的能力．3．从弹道曲线的方程的建立,对学生进行数学的返璞归真教育,使学生体会数学于实践的真谛,帮助学生树立空间和时间是运动物体的形式这一辩证唯物主义观点．教学重点与难点曲线参数方程的探求及其有关概念是本节课的重点;难点是弹道曲线参数方程的建立．教学过程师:满足什么条件时,一个方程才能称作曲线的方程,而这条曲线才能够称作方程的曲线?生:1.必须同时满足两个条件：（１）曲线上任一点的坐标都是这个方程的解；（２）同时以这个方程的第一组解作为坐标的点都在曲线上．那么，这个方程就称作曲线的方程，而这条曲线就称作这个方程的曲线．师：请写出圆心在原点，半径为r的圆Ｏ的方程，并说明求解方法．(师板书——⊙O:)师：求圆的方程事实上是探求圆上任一点Ｍ（x,y）的横、纵坐标之间的关系式.能用别的方法来探x、y之间的关系吗？生：……师：（诱导一下）不用刚才的方法给我们直接求x、y的关系带来了困难，能否考虑用间接的方法来求？即在x、y之间是否能建立一座桥梁，使之联系起来？（计算机演示动画，如图３－１）师：驱使Ｍ运动的因素是什么？生：旋转角θ.师：当我们把x轴作为θ角始边，并使ＯＭ绕Ｏ点逆时针旋转，请考虑θ在什么范围内取值就可以形成整个圆了？生：师：至此x、y之间的关系已通过θ联系起来了，谁能具体地说说它们之间的关系？生3：（c∈[0,2π],θ为变量，r为常数）（生３叙述，师板书）师：①式是⊙Ｏ的方程吗？生４：①式是⊙Ｏ的方程.师：请说明理由.生４：（生４叙述，师板书）（１）任取⊙Ｏ上一点，总存在，由三角函数定义知，显然满足方程①；（２）任取,由①得即M（）．所以．所以Ｍ在⊙Ｏ上.由（１）、（２）知①是⊙Ｏ的方程.师：既然①是⊙Ｏ的方程，那么它应该和是一致的，两者能统一起来吗？生：能，消去θ即可．师：这里，我们从另一个角度重新审视了圆，通过第三个变量θ把圆上任意一点的横、纵坐标x、y联系了起来，获得了圆的方程的另一种形式.通过间接的方法把某两个变量联系起来的例子不仅几何中有，在生产实践、军事技术、工程建设中也有.特别在两个变量之间的直接关系不易建立时，常用间接的方法将它们联系起来.请同学们再看一个例子.炮兵在射击目标时，需要考虑炮弹的飞行轨迹、射程等等.现在，我们假设一个炮兵射击目标，炮弹的发射角为α，发射的初速度为ν０.请同学们帮他求出弹道曲线的方程。

《参数方程的概念》教案（新人教选修）一、教学目标1. 理解参数方程的定义和特点；2. 掌握参数方程的表示方法和求解方法；3. 能够将实际问题转化为参数方程，并解决实际问题。

二、教学重难点1. 参数方程的定义和表示方法；2. 参数方程的求解方法；3. 将实际问题转化为参数方程。

三、教学准备1. 教师准备PPT，包括参数方程的定义、表示方法和求解方法的讲解；2. 准备一些实际问题，用于引导学生将问题转化为参数方程。

四、教学过程1. 引入：通过讲解PPT，引导学生了解参数方程的定义和表示方法；2. 讲解：通过PPT，详细讲解参数方程的求解方法，包括求解步骤和注意事项；3. 练习：让学生独立完成一些参数方程的求解练习题；4. 应用：引导学生将实际问题转化为参数方程，并解决实际问题。

五、课后作业1. 完成PPT上的练习题；2. 选择一个实际问题，将其转化为参数方程，并解决。

教学反思：在课后，教师应认真反思本节课的教学效果，包括学生的参与度、理解程度和应用能力。

根据学生的反馈，及时调整教学方法和策略，提高教学质量。

六、教学评估1. 课堂练习：观察学生在课堂练习中的表现，了解他们对参数方程的理解程度和应用能力；2. 课后作业：检查学生的课后作业，评估他们对参数方程的掌握情况；3. 学生反馈：收集学生的反馈意见，了解他们对本节课的教学内容和教学方法的满意度。

七、教学拓展1. 介绍其他相关的数学概念，如普通方程和函数方程等，让学生了解参数方程在数学中的地位和作用；2. 引导学生探索参数方程在实际问题中的应用，如物理、工程和经济学等领域。

八、教学计划1. 下一节课内容：介绍参数方程的进一步应用，如优化问题和动态系统等；2. 教学方法：采用案例教学法，结合实际问题，引导学生深入理解参数方程的应用；3. 教学目标：使学生能够灵活运用参数方程解决实际问题，提高他们的数学应用能力。

九、教学资源1. PPT：制作参数方程的进一步应用的PPT，包括案例分析和练习题；2. 实际问题案例：收集一些与参数方程应用相关的实际问题案例，用于课堂讲解和练习。

第二讲 参数方程 2.1 曲线的参数方程一、教学目标 （一）核心素养通过这节课学习，了解参数方程的概念、体会参数的意义，会进行参数方程和普通方程的互化，在直观想象、数学抽象中感受不同参数方程的特点． （二）学习目标1．通过实例，了解参数方程的含义，体会参数的意义．2．能求解圆的参数方程并用圆的参数解决有关问题，了解圆的参数方程中参数的意义． 3．掌握基本的参数方程与普通方程的互化，，感受集合语言的意义和作用． （三）学习重点 1．参数方程的概念． 2．圆的参数方程及其应用． 3．参数方程与普通方程的互化． （四）学习难点1．参数方程与普通方程的互化的等价转化．2．根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）读一读：阅读教材第21页至第26页，填空：一般的，在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数：⎩⎨⎧==)()(t g y t f x ①且对于t 的每一个允许值，由方程组①确定的点)(y x M ，都在这条曲线上，那么方程组①叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点坐标y x ,之间关系的方程0)(=y x f ，叫普通方程．（2）想一想：参数方程与普通方程如何转化？一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.反之，如果知道变数y x ,中的一个与参数t 的关系，例如)(t f x =，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系)(x g y =，那么就是曲线的参数方程．（3）写一写：圆的一般参数方程是什么？①圆心在原点,半径为r 的圆的参数方程为(θ为参数);②圆心在),(b a ,半径为r 的圆的参数方程为(θ为参数).2．预习自测（1）方程⎩⎨⎧x ＝1＋sin θy ＝sin 2θ(θ是参数)所表示曲线经过下列点中的( )A.(1,1)B.)21,23( C.)23,23(D.)21,232(-+ 【知识点】参数方程的定义【解题过程】将选项中的点一一代入曲线的参数方程中，显然选项C 满足题意 【思路点拨】根据参数方程的定义求解 【答案】C ．（2）下列方程：①⎩⎨⎧ x ＝m ，y ＝m .(m 为参数) ②⎩⎨⎧ x ＝m ，y ＝n .(m ，n 为参数) ③⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2.④x ＋y ＝0中，参数方程的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【知识点】参数方程的定义【解题过程】根据参数方程的定义，只有①是参数方程 【思路点拨】由参数方程的定义求解 【答案】A（3）参数方程⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)化成普通方程为_______________.【知识点】参数方程与普通方程互化【解题过程】由⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α变形整理得1sin ,cos -==y x αα，两式分别平方相加得1)1(22=-+y x【思路点拨】利用三角恒等变换消去参数 【答案】1)1(22=-+y x .（4）P (x ，y )是曲线⎩⎨⎧x ＝2＋cos αy ＝sin α(α为参数)上任意一点，则P 到直线x －y ＋4＝0的距离的最小值是________．【知识点】参数方程的应用【解题过程】由P 在曲线⎩⎨⎧x ＝2＋cos αy ＝sin α上可得P 的坐标为(2＋cos α，sin α)，由点到直线的距离公式得d ＝|cos α－sin α＋6|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋62，当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1时，d 最小，d min ＝－2＋62＝－1＋3 2.【思路点拨】根据参数方程的应用得到点设置，再转化为三角函数的最值问题求解 【答案】－1＋3 2 (二)课堂设计 1．问题探究探究一 结合实例，认识参数方程★ ●活动① 归纳提炼概念在过去的学习中，我们已经掌握了一些求曲线方程的方法，但在求某些曲线方程时，直接确定曲线上点的坐标y x ,的关系并不容易，我们先看下来的例子：一架救援飞机在离灾区底面500m 高处以100m/s 的速度作水平直线飞行．为使投放的救援物质准确落于灾区指定的地面飞行员应如何确定投放时机？（不计空气阻力，重力加速度2/8.9s m g =）设飞机在点A 将物质投出机舱，在过飞机航线且垂直于底面的平面上建立如右图的平面直角坐标系，其中x 轴为该平面与地面的交线，y 轴经过A 点．记物质从被投出到落地这段时间内的运动曲线为C ，)(y x M ，为C 上任意点，设t 时刻时，x 表示物质的水平位移，y 表示物质距地面的高度.由物理知识，物资投出机舱后，沿Ox 方向以s m /100的速度作匀速直线运动，沿Oy 反方向作自由落体运动，即：221500100gt y t x ⎪⎩⎪⎨⎧-== 令s t y 10.10,0≈=，代入t x 100=，解得m x 1010≈.所以，飞行员在离救援点的水平距离约为m 1010时投放物资，，可以使其准确落在指定地点.由上可知：在t 的取值范围内，给定t 的一个值，就可以惟一确定y x ,的值，反之也成立. 一般的，在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数：⎩⎨⎧==)()(t g y t f x ①且对于t 的每一个允许值，由方程组①确定的点)(y x M ，都在这条曲线上，那么方程组①叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点坐标y x ,之间关系的方程0)(=y x f ，叫普通方程．参数是联系变数y x ,的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义，也可以没有明显实际意义的变数.【设计意图】从生活实例到数学问题，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程． ●活动② 巩固基础，检查反馈例1 已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==)(1232为参数t t y tx（1）判断点)4,5(),1,0(21M M 与曲线C 的位置关系； （2）已知点),6(a M 在曲线C 上，求a 的值. 【知识点】参数方程．【解题过程】（1）把点1M 的坐标)1,0(代入方程组，解得0=t ，所以1M 在曲线C ．把点2M 的坐标)4,5(代入方程组，得⎩⎨⎧+==124352t t ，无解，所以2M 不在曲线C . （2）因为点),6(a M 在曲线C 上，所以⎩⎨⎧+==12362t a t，解得9,2==a t 【思路点拨】根据参数方程与曲线的关系来求解．【答案】（1） 1M 在曲线C ，2M 不在曲线C ； （2） 9=a ．同类训练 已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧∈=+=),(212R a t at y tx 为参数且点)4,3(-M 在该曲线上. (1)求常数a 的值；(2)判断点P (1,0)，Q (3，－1)是否在曲线C 上？【知识点】参数方程．【解题过程】(1)将M (－3,4)的坐标代入曲线C 的参数方程⎩⎨⎧ x ＝1＋2t ，y ＝at 2，得⎩⎨⎧－3＝1＋2t ，4＝at 2，消去参数t ，得a ＝1.(2)由上述可得，曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋2t ，y ＝t 2，把点P 的坐标(1,0)代入方程组，解得t ＝0，因此P 在曲线C 上，把点Q 的坐标(3，－1)代入方程组，得到⎩⎨⎧3＝1＋2t ，－1＝t 2，这个方程组无解，因此点Q 不在曲线C 上． 【思路点拨】根据参数方程和曲线的关系来求解．【答案】(1)1=a ； (2) P 在曲线C 上，点Q 不在曲线C 上． 【设计意图】巩固基础，加深理解与应用． 探究二 探究圆的参数方程 ●活动① 互动交流、初步实践结合以上参数方程的定义，你能的得到圆的参数方程吗？先看下面例子当物体绕定轴作匀速转动时，物体中各个点都作匀速圆周运动(如右图)．那么，怎样刻画运动中点的位置呢？如图1，设圆O 的半径是r ，点M 从初始位置M 0(t ＝0时的位置)出发，按逆时针方向在圆O 上作匀速圆周运动，点M 绕点O 转动的角速度为ω.以圆心O 为原点，OM 0所在的直线为x 轴，建立直角坐标系．显然，点M 的位置由时刻t 惟一确定，因此可以取t 为参数．【设计意图】通过现实问题的求解，加深对参数方程中参数的意义的理解．●活动② 建立模型，加深认识如果在时刻t ，点M 转过的角度是θ，坐标是M (x ，y )，那么θ＝ωt .设|OM |＝r ，如何用r 和θ表示x ，y 呢？由三角函数定义，有cos ωt ＝x r ，sin ωt ＝yr ， 即⎩⎨⎧x ＝r cos ωt ，y ＝r sin ωt .(t 为参数) 考虑到θ＝ωt ，也可以取θ为参数，于是有 ⎩⎨⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ.(θ为参数) 这就得到了以原点为圆心，半径为r 的圆参数方程.其中θ的几何意义是OM 0绕点O 逆时针旋转到OM 的位置时，OM 0转过的角度．【设计意图】通过对问题的求解，得出圆的参数方程，同时为求圆的标准方程的参数方程作铺垫．●活动③ 归纳梳理、灵活应用若圆的圆心坐标为),(b a ，半径为r 的圆的参数方程是什么呢？此时圆的标准方程为：222)()(r b y a x =-+-，由1cos sin 22=+αα，故令θθsin ,cos =-=-rby r a x ，整理得：图2-1-2)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x 一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，另外，要注明参数及参数的取值范围. 【设计意图】由特殊到一般，体会培养学生数学抽象、归类整理意识． 探究三 探究参数方程和普通方程的互化★▲ ●活动① 归纳梳理、体会内在联系我们除了用普通方程表示曲线外，还可以用参数方程表示曲线，它们是同一曲线的两种不同的表达形式.但由参数方程直接判断曲线的类型不太容易，例如⎩⎨⎧=+=θθsin 3cos y x 为何曲线？这就需要我们转化为普通再判断，那么两者如何转化？由⎩⎨⎧=+=θθsin 3cos y x 得⎩⎨⎧=-=yx θθsin 3cos ， 所以1)3(22=+-y x ，表示以)0,3(为圆心，半径为1的圆. 一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.反之，如果知道变数y x ,中的一个与参数t 的关系，例如)(t f x =，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系)(x g y =，那么就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使y x ,的取值范围保持一致，即等价转化.【设计意图】通过实例体会参数方程与普通方程的互化，培养学生数学抽象意识． ●活动② 巩固基础，检查反馈例2 如图，已知点P 是圆x 2＋y 2＝16上的一个动点，定点A (12,0)，当点P 在圆上运动时，求线段P A 的中点M 的轨迹.【知识点】圆的参数方程、点的轨迹方程． 【数学思想】数形结合 【解题过程】设动点M (x ，y )，∵圆x 2＋y 2＝16的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ，(θ为参数)，∴设点P (4cos θ，4sin θ)， 由线段的中点坐标公式，得x ＝4cos θ＋122，且y ＝4sin θ2，∴点M 的轨迹方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ＋6，y ＝2sin θ，转化为普通方程得4)6(22=--y x因此点M 的轨迹是以点(6,0)为圆心，以2为半径的圆．【思路点拨】借助于圆的参数方程来得到点的轨迹方程，即代入法． 【答案】点M 的轨迹是以点(6,0)为圆心，以2为半径的圆．同类训练 将例1中的定点A 的坐标改为)0,4(，其它条件不变，求线段P A 的中点M 的轨迹 【知识点】圆的参数方程、点的轨迹方程． 【解题过程】设动点M (x ，y )，∵圆x 2＋y 2＝16的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ，(θ为参数)，∴设点P (4cos θ，4sin θ)， 由线段的中点坐标公式，得24cos 4+=θx ，且y ＝4sin θ2， ∴点M 的轨迹方程为2cos 22sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，转化为普通方程得4)2(22=--y x因此点M 的轨迹是以点(6,0)为圆心，以2为半径的圆．【思路点拨】借助于圆的参数方程来得到点的轨迹方程，即代入法． 【答案】点M 的轨迹是以点(2,0)为圆心，以2为半径的圆． 【设计意图】巩固检查参数方程与曲线的关系．例3 把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？（1）⎩⎨⎧-=+=)(211为参数t ty t x （2）⎩⎨⎧+=+=)(2sin 1cos sin 为参数θθθθy x 【知识点】参数方程化为普通方程．【解题过程】（1）由11≥+=t x ，有1-=x t ，代入t y 21-=，得到32+-=x y .又因为11≥+=t x ，所以与参数方程等价的普通方程是)1(32≥+-=x x y ，即以)1,1(为端点的一条射线（包括端点）.（2）把θθcos sin +=x 平方后减去θ2sin 1+=y ，得到 y x =2，又因为)4sin(2cos sin πθθθ+=+=x ，所以]2,2[-∈x ，即与参数方程等价的普通方程是y x =2，]2,2[-∈x ，即开口向上的抛物线的一部分.【思路点拨】先由一个方程求出参数的表达式，再代入另一个方程，或者利用三角恒等变换消去参数．【答案】（1）)1(32≥+-=x x y ；（2）y x =2，]2,2[-∈x ． 同类训练 化下列曲线的参数方程为普通方程,并指出它是什么曲线． (1)⎩⎨⎧x ＝1＋2t ，y ＝3－4t (t 为参数)；(2)⎩⎨⎧x ＝cos θ＋sin θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．【知识点】参数方程化为普通方程． 【解题过程】(1)∵x ＝1＋2t ，∴2t ＝x －1. ∵－4t ＝－2x ＋2，∴y ＝3－4t ＝3－2x ＋2. 即y ＝－2x ＋5(x ≥1)，它表示一条射线． (2)∵x ＝cos θ＋sin θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，∴x ∈[－2，2]． x 2＝1＋2sin θcos θ，将sin θcos θ＝y 代入，得x 2＝1＋2y .∴普通方程为y ＝12x 2－12()－2≤x ≤2，它是抛物线的一部分．【思路点拨】先由一个方程求出参数的表达式，再代入另一个方程，或者利用三角恒等变换消去参数．【设计意图】巩固检查参数方程与普通方程的互化． ●活动③ 强化提升、灵活应用例4 若x ，y 满足(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，求2x ＋y 的最值． 【知识点】参数方程的应用、三角函数．【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】令x －1＝2cos θ，y ＋2＝2sin θ，则有x ＝2cos θ＋1，y ＝2sin θ－2， 故2x ＋y ＝4cos θ＋2＋2sin θ－2＝4cos θ＋2sin θ＝25sin(θ＋φ)． ∴－25≤2x ＋y ≤2 5.即2x ＋y 的最大值为25，最小值为－2 5.【思路点拨】考虑利用圆的参数方程将求2x ＋y 的最值转化为求三角函数最值问题． 【答案】2x ＋y 的最大值为25，最小值为－2 5.同类训练 已知点M (x ，y )是圆x 2＋y 2＋2x ＝0上的动点，若4x ＋3y －a ≤0恒成立，求实数a 的取值范围．【知识点】参数方程的应用、三角函数．． 【数学思想】转化化归思想．【解题过程】由x 2＋y 2＋2x ＝0，得(x ＋1)2＋y 2＝1，又点M 在圆上， ∴x ＝－1＋cos θ，且y ＝sin θ， 因此4x ＋3y ＝4(－1＋cos θ)＋3sin θ＝－4＋5sin(θ＋φ)≤－4＋5＝1.(φ由tan φ＝43确定) ∴4x ＋3y 的最大值为1.若4x ＋3y －a ≤0恒成立，则a ≥(4x ＋3y )max ， 故实数a 的取值范围是[1，＋∞)．【思路点拨】考虑利用圆的参数方程将恒成立问题转化为最值，在利用求三角函数最值问题． 【答案】[1，＋∞)．【设计意图】熟练利用参数方程求解某些最值问题． 3.课堂总结 知识梳理（1）一般的，在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数：⎩⎨⎧==)()(t g y t f x ①且对于t 的每一个允许值，由方程组①确定的点)(y x M ，都在这条曲线上，那么方程组①叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点坐标y x ,之间关系的方程0)(=y x f ，叫普通方程．（2）一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.反之，如果知道变数y x ,中的一个与参数t 的关系，例如)(t f x =，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系)(x g y =，那么就是曲线的参数方程．（3）①圆心在原点,半径为r 的圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ.)(为参数θ; ②圆心在),(b a ,半径为r 的圆的参数方程为)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x . 重难点归纳（1）参数t （也可用其它小写字母表示）是联系变数y x ,的桥梁，它可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数；参数方程和普通方程都是在直角坐标系之下同一曲线的两种不同表的形式．（2）参数方程和普通方程互化时，一定使y x ,的取值范围保持一致，即等价转化．（三）课后作业基础型 自主突破1．下列方程中能表示曲线参数方程的是( )A.032=-+t y xB.⎩⎨⎧+==t x y ty x 232C.⎩⎨⎧+=-=2342u y t xD.⎩⎨⎧+=+=ky k x 2335 【知识点】参数方程的含义．【解题过程】A 是含参数的方程,B 中的y x ,并不都由参数t 确定,C 中的y x ,不是由同一个参数确定,D 正确.【思路点拨】根据参数方程的含义进行判断．【答案】D2．曲线⎩⎨⎧x ＝1＋t 2y ＝t －1)(为参数t 与x 轴交点的直角坐标是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,0) D ．(±2,0)【知识点】曲线与参数方程．【解题过程】设与x 轴交点的直角坐标为(x ，y )，令y ＝0得t ＝1，代入x ＝1＋t 2，得x ＝2， ∴曲线与x 轴的交点的直角坐标为(2,0)．【思路点拨】根据曲线与参数方程的关系判断．【答案】C3．曲线⎩⎨⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( ) A.在直线y ＝2x 上 B.在直线y ＝－2x 上 C.在直线y ＝x －1上 D.在直线y ＝x ＋1上【知识点】圆的参数方程．【解题过程】由⎩⎨⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ，得⎩⎨⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2.所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1，2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1，2)，在直线y ＝－2x 上.故选B ．【思路点拨】将圆的参数方程化为圆的标准方程．【答案】B4．若x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则x ＋3y 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【知识点】参数方程的应用．【解题过程】由于圆x 2＋y 2＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，则x ＋3y ＝3sin θ＋cos θ＝2sin )6(πθ+，故x ＋3y 的最大值为2.故选B. 【思路点拨】利用三角代换求解．【答案】B ．5．圆心在点(-1,2),半径为5的圆的参数方程为________.【知识点】普通方程化为参数方程．【解题过程】因为是圆心在点(-1,2),半径为5的圆，所以参数方程为)(sin 52cos 51为参数θθθ⎩⎨⎧+=+-=y x ． 【思路点拨】根据三角代换公式来求解．【答案】)(sin 52cos 51为参数θθθ⎩⎨⎧+=+-=y x ．6．设y ＝tx (t 为参数)，则圆x 2＋y 2－4y ＝0的参数方程是_________．【知识点】普通方程与参数方程互化．【解题过程】把y ＝tx 代入x 2＋y 2－4y ＝0得x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t 21＋t 2， ∴参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t 21＋t 2(t 为参数)．【思路点拨】利用代入法求解．【答案】⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t 21＋t 2(t 为参数) 能力型 师生共研7．将参数方程⎩⎨⎧x ＝2＋sin 2θy ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x ≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1)【知识点】参数方程化为普通方程．【解题过程】消去sin 2θ，得x ＝2＋y ，又0≤sin 2θ≤1，∴2≤x ≤3.【思路点拨】注意三角函数的有界性，参数方程的等价转化．【答案】C8．已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ(θ为参数，0≤θ<2π)． 判断点A (2,0)，B )23,3(-是否在曲线C 上？若在曲线上，求出点对应的参数的值． 【知识点】曲线与参数方程．【解题过程】把点A (2,0)的坐标代入⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ，得cos θ＝1且sin θ＝0，由于0≤θ<2π，解之得θ＝0，因此点A (2,0)在曲线C 上，对应参数θ＝0.同理，把B )23,3(-代入参数方程，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ 3＝2cos θ，32＝3sin θ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ cos θ＝－32，sin θ＝12.又0≤θ<2π，∴θ＝56π，所以点B )23,3(-在曲线C 上，对应θ＝56π. 【思路点拨】利用曲线与参数方程的关系求解．【答案】A ，B 是在曲线C 上，A ，B 对应的参数的值分别为θ＝0、θ＝56π．探究型 多维突破9．在平面直角坐标系xOy 中，动圆x 2＋y 2－8x cos θ－6y sin θ＋7cos 2θ＋8＝0(θ∈R )的圆心为P (x ，y )，求2x －y 的取值范围．【知识点】参数方程的应用．【解题过程】由题设得⎩⎨⎧ x ＝4cos θ，y ＝3sin θ，(θ为参数，θ∈R )． 于是2x －y ＝8cos θ－3sin θ＝73sin(θ＋φ)，⎝ ⎛⎭⎪⎫φ由tan φ＝－83确定所以－73≤2x －y ≤73. 所以2x －y 的取值范围是[－73，73]．【思路点拨】利用参数方程，转化为三角函数的最值来求解．【答案】[－73，73]．10．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos θy ＝4sin θ(θ为参数，且0≤θ<2π)，点M 是曲线C 1上的动点．(1)求线段OM 的中点P 的轨迹的直角坐标方程；(2)以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l 的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＋1＝0(ρ>0)，求点P 到直线l 距离的最大值．【知识点】参数方程、极坐标、点到直线的距离．【解题过程】(1)曲线C 1上的动点M 的坐标为(4cos θ，4sin θ)，坐标原点O (0,0)，设P 的坐标为(x ，y )，则由中点坐标公式得x ＝12(0＋4cos θ)＝2cos θ，y ＝12(0＋4sin θ)＝2sin θ，所以点P 的坐标为(2cos θ，2sin θ)，因此点P 的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ为参数，且0≤θ<2π)， 消去参数θ，得点P 轨迹的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.(2)由直角坐标与极坐标关系得直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0.又由(1)知，点P 的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆，因为原点(0,0)到直线x －y ＋1＝0的距离为|0－0＋1|12＋(－1)2＝12＝22， 所以点P 到直线l 距离的最大值为2＋22.【思路点拨】普通方程侧重于判断曲线的形状,参数方程侧重于表示曲线上的点．【答案】（1）P 轨迹的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4；（2）2＋22． 自助餐1．下列点在方程)(2cos sin 2为参数θθθ⎩⎨⎧==y x 所表示的曲线上的是( ) A.)7,2( B.)32,31( C.)21,21( D.)1,1(- 【知识点】曲线与参数方程．【解题过程】选D.由方程(θ为参数),令1sin 2==θx ,得Z k k ∈+=,2ππθ12cos -==θy .【思路点拨】利用曲线点的与参数方程的关系求解．【答案】D2．把方程xy ＝1化为以t 为参数的参数方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t 12y ＝t －12B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝sin t y ＝1sin tC.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos t ，y ＝1cos tD.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝tan t ，y ＝1tan t【知识点】普通方程与参数方程互化．【解题过程】A 显然代入不成立，B,C 选项中1≤x ，不成立，D 选项满足要求．【思路点拨】把选项的参数方程转化为普通方程，注意等价转化．【答案】D3．圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋4cos θ，y ＝－3＋4sin θ(0≤θ<2π)，若圆上一点P 对应参数θ＝43π，则P 点的坐标是________．【知识点】曲线与参数方程．【解题过程】将θ＝43π代入参数方程中，解得33,0-==y x ，所以)33,0(-P ．【思路点拨】利用曲线上的点与参数方程的关系．【答案】(0，－33)．4．点(x ，y )是曲线C ：⎩⎨⎧ x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ＜2π)上任意一点，则y x 的取值范围是________．【知识点】圆的参数方程、直线斜率．【数学思想】数形结合思想【解题过程】曲线C ：⎩⎨⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ是以(－2,0)为圆心，1为半径的圆，即(x ＋2)2＋y 2＝1.设y x ＝k ，∴y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，k 取得最小值与最大值， ∴|－2k |k 2＋1＝1，k 2＝13，∴y x 的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33. 【思路点拨】利用数形结合的思想求解．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33． 5．根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程：（1）012=---y x y ，设t t y ,1-=为参数；（2）14922=+y x ，设θθ,cos 3=x 为参数. 【知识点】普通方程与参数方程互化．【解题过程】（1）将,1-=t y 代入方程012=---y x y ，解得132+-=t t x ，所以参数方程为⎩⎨⎧-=+-=)(1132为参数t t y t t x （2）将,cos 3θ=x 代入方程14922=+y x θsin 2±=y ，由于参数θ的任意性，可取θsin 2=y ，所以参数方程为)(sin 2cos 3为参数θθθ⎩⎨⎧==y x ．【思路点拨】普通方程化为参数方程，注意等价转化．【答案】（1）⎩⎨⎧-=+-=)(1132为参数t t y t t x ；（2）)(sin 2cos 3为参数θθθ⎩⎨⎧==y x 6．在方程⎩⎨⎧ x ＝a ＋t cos θ，y ＝b ＋t sin θ(a ，b 为正常数)中， (1)当t 为参数，θ为常数时，方程表示何种曲线？(2)当t 为常数，θ为参数时，方程表示何种曲线？【知识点】参数方程的含义．【数学思想】分类讨论的思想．【解题过程】（1）方程⎩⎨⎧ x ＝a ＋t cos θ， ①y ＝b ＋t sin θ， ②(a ，b 是正常数)， (1)①×sin θ－②×cos θ得 x sin θ－y cos θ－a sin θ＋b cos θ＝0.∵cos θ、sin θ不同时为零，∴方程表示一条直线．(2)(ⅰ)当t 为非零常数时，原方程组为⎩⎪⎨⎪⎧ x －a t ＝cos θ，③y －b t ＝sin θ. ④③2＋④2得x －a 2t 2＋y －b2t 2＝1，即(x －a )2＋(y －b )2＝t 2，它表示一个圆．(ⅱ)当t ＝0时，表示点(a ，b )．【思路点拨】(1)运用加减消元法，消t ；(2)当t ＝0时，方程表示一个点，当t 为非零常数时，利用平方关系消参数θ，化成普通方程，进而判定曲线形状．【答案】（1）方程表示一条直线；（2）(ⅰ)当t为非零常数时，它表示一个圆，(ⅱ)当t＝0时，表示点(a，b)．。

《参数方程的概念——曲线的参数方程》教案内容：一、教学目标1. 理解参数方程的概念，掌握参数方程与普通方程的转化方法。

2. 能够运用参数方程解决实际问题，体会参数方程在描述曲线方面的优势。

3. 培养学生的数学思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。

二、教学重点与难点1. 重点：参数方程的概念，参数方程与普通方程的转化。

2. 难点：参数方程在实际问题中的应用。

三、教学方法与手段1. 采用讲授法、案例分析法、讨论法等教学方法。

2. 使用多媒体课件、黑板、粉笔等教学手段。

四、教学过程1. 引入：通过展示一些实际问题，如物体运动、曲线轨迹等，引发学生对参数方程的思考。

2. 讲解：讲解参数方程的概念，举例说明参数方程在描述曲线方面的优势。

3. 案例分析：分析具体案例，引导学生掌握参数方程与普通方程的转化方法。

4. 练习：让学生独立完成一些有关参数方程的练习题，巩固所学知识。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调参数方程的概念和应用。

五、课后作业1. 理解并掌握参数方程的概念，能够熟练运用参数方程解决实际问题。

2. 能够将普通方程转化为参数方程，并分析其优缺点。

3. 完成课后练习题，提高运用参数方程解决问题的能力。

六、教学拓展1. 引导学生思考：参数方程在实际生活中有哪些应用？2. 讲解参数方程在物理学、工程学、计算机图形学等领域的应用实例。

3. 让学生尝试运用参数方程解决自己感兴趣的实际问题。

七、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，总结参数方程的概念和应用。

2. 强调参数方程在描述曲线方面的优势，以及与普通方程的转化方法。

3. 提醒学生注意参数方程在实际问题中的应用。

八、课后反思1. 学生反思本节课的学习过程，总结自己在parameter equation 方面的收获。

2. 学生思考如何在实际问题中更好地运用参数方程，提高解决问题的能力。

3. 教师通过课后反思，总结教学过程中的优点和不足，为下一步教学做好准备。

“参数方程的概念-曲线的参数方程》教案(新人教选修”一、教学目标1. 让学生理解参数方程的概念，了解参数方程与普通方程的区别和联系。

2. 让学生掌握曲线的参数方程的求解方法，能够根据实际问题建立参数方程。

3. 培养学生的数学思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。

二、教学内容1. 参数方程的概念2. 曲线的参数方程的求解方法3. 参数方程的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：参数方程的概念，曲线的参数方程的求解方法。

2. 教学难点：参数方程的应用，曲线的参数方程的求解过程。

四、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中发现参数方程的建立过程。

2. 通过实例讲解，让学生掌握曲线的参数方程的求解方法。

3. 利用数形结合的思想，帮助学生理解参数方程与曲线的关系。

五、教学过程1. 引入：通过一个实际问题，引导学生思考如何用参数方程来表示曲线。

2. 讲解：讲解参数方程的概念，解释参数方程与普通方程的区别和联系。

3. 实例分析：分析一组曲线的参数方程，引导学生掌握求解方法。

4. 练习：让学生尝试求解一些曲线的参数方程，巩固所学知识。

5. 应用：通过一些实际问题，让学生运用参数方程解决实际问题。

6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调参数方程的概念和求解方法。

7. 作业布置：布置一些有关参数方程的练习题，巩固所学知识。

六、教学评价1. 评价目标：通过课堂讲解、练习和作业，评价学生对参数方程的概念和曲线的参数方程求解方法的掌握程度。

2. 评价方法：课堂提问、练习解答、作业完成情况。

3. 评价内容：参数方程的概念理解、曲线的参数方程求解方法、实际问题分析与解决能力。

七、教学反思1. 在教学过程中，观察学生对参数方程概念的理解程度，是否能够正确区分参数方程与普通方程。

2. 分析学生在求解曲线参数方程时的困难点，是否能够熟练运用求解方法。

3. 反思教学方法的有效性，是否能够激发学生的学习兴趣，提高学生的参与度。

曲线的参数方程教学目标1．通过圆及弹道曲线的参数方程的建立，使学生理解参数方程的概念，初步掌握求曲线的参数方程的思路．2．通过弹道曲线的参数方程的建立及选取不同参数建立圆的参数方程，培养学生探索发现能力以及解决实际问题的能力．3．从弹道曲线的方程的建立,对学生进行数学的返璞归真教育,使学生体会数学来源于实践的真谛,帮助学生树立空间和时间是运动物体的形式这一辩证唯物主义观点．教学重点与难点曲线参数方程的探求及其有关概念是本节课的重点;难点是弹道曲线参数方程的建立．教学过程师:满足什么条件时,一个方程才能称作曲线的方程,而这条曲线才能够称作方程的曲线?生:1.必须同时满足两个条件：（１）曲线上任一点的坐标都是这个方程的解；（２）同时以这个方程的第一组解作为坐标的点都在曲线上．那么，这个方程就称作曲线的方程，而这条曲线就称作这个方程的曲线．师：请写出圆心在原点，半径为r的圆Ｏ的方程，并说明求解方法．(师板书——⊙O:)师：求圆的方程事实上是探求圆上任一点Ｍ（x,y）的横、纵坐标之间的关系式.能用别的方法来探x、y之间的关系吗？生：……师：（诱导一下）不用刚才的方法给我们直接求x、y的关系带来了困难，能否考虑用间接的方法来求？即在x、y之间是否能建立一座桥梁，使之联系起来？（计算机演示动画，如图３－１）师：驱使Ｍ运动的因素是什么？生：旋转角θ.师：当我们把x轴作为θ角始边，并使ＯＭ绕Ｏ点逆时针旋转，请考虑θ在什么范围内取值就可以形成整个圆了？生：师：至此x、y之间的关系已通过θ联系起来了，谁能具体地说说它们之间的关系？生3：（c∈[0,2π],θ为变量，r为常数）（生３叙述，师板书）师：①式是⊙Ｏ的方程吗？生４：①式是⊙Ｏ的方程.师：请说明理由.生４：（生４叙述，师板书）（１）任取⊙Ｏ上一点，总存在，由三角函数定义知，显然满足方程①；（２）任取,由①得即M（）．所以．所以Ｍ在⊙Ｏ上.由（１）、（２）知①是⊙Ｏ的方程.师：既然①是⊙Ｏ的方程，那么它应该和是一致的，两者能统一起来吗？生：能，消去θ即可．师：这里，我们从另一个角度重新审视了圆，通过第三个变量θ把圆上任意一点的横、纵坐标x、y联系了起来，获得了圆的方程的另一种形式.通过间接的方法把某两个变量联系起来的例子不仅几何中有，在生产实践、军事技术、工程建设中也有.特别在两个变量之间的直接关系不易建立时，常用间接的方法将它们联系起来.请同学们再看一个例子.炮兵在射击目标时，需要考虑炮弹的飞行轨迹、射程等等.现在，我们假设一个炮兵射击目标，炮弹的发射角为α，发射的初速度为ν０.请同学们帮他求出弹道曲线的方程。

曲线的参数方程教学目标：1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。

2．分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。

3．会进行参数方程和普通方程的互化。

教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。

参数方程和普通方程的互化。

教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。

参数方程和普通方程的等价互化。

教学过程一．参数方程的概念1．探究：（1）平抛运动： 为参数）t gt y tx (215001002⎪⎩⎪⎨⎧-== 练习：斜抛运动：为参数）t gt t v y t v x (21sin cos 200⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=αα2．参数方程的概念 （见教科书第22页） 说明：（1）一般来说，参数的变化范围是有限制的。

（2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。

例1．（教科书第22页例1）已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1232t y tx (t 为参数) （1）判断点M 1(0,1),M 2(5,4)与曲线C 的位置关系； （2）已知点M 3(6,a )在曲线C 上，求a 的值。

)0,1(21,21()21,31()7,2()(2cos sin 2D C B A y x ，、，、，、的坐标是表示的曲线上的一个点为参数、方程θθθ⎩⎨⎧==A 、一个定点B 、一个椭圆C 、一条抛物线D 、一条直线二．圆的参数方程)(sin cos 为参数t t r y t r x ⎩⎨⎧==ωω)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==r y r x说明：（1）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。

（2）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。

例2．（教科书第24页例2）思考：你能回答教科书第25页的思考吗？三．参数方程和普通方程的互化1．阅读教科书第25页，明确参数方程和普通方程的互化的方法。

参数方程考点要求1 了解参数方程的定义。

2 分析直线，圆，圆锥曲线的几何性质。

会选择适当的参数，写出他们的参数方程。

并理解直线参数方程标准形式中参数的意义。

3掌握曲线的参数方程与普通方程的互化。

考点与导学1参数方程的定义：在取定的坐标系中。

如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变量t 的函数⎩⎨⎧==)()(t g y t f x (t ∈T) （1） 这里T 是)(),(t g t f 的公共定义域。

并且对于t 的每一个允许值。

由方程（1）所确定的点),(y x M 。

都在这条曲线上；那么（1）叫做这条曲线的参数方程，辅助变数t 叫做参数。

2过点),,(000y x p 倾斜角为α的直线l 的参数方程 （错误！未找到引用源。

）⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）（错误！未找到引用源。

）通常称（错误！未找到引用源。

）为直线l 的参数方程的标准形式。

其中t 表示),,(000y x p 到l 上一点),(y x p 的有向线段p p 0的数量。

t>0时，p 在0p 上方或右方；t<0时，p 在0p 下方或左方，t=0时，p 与0p 重合。

（错误！未找到引用源。

）直线的参数方程的一般形式是：⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00（t 为参数）这里直线l 的倾斜角α的正切ba =αtan （00900==αα或时例外）。

当且仅当122=+b a 且b>0时. （1）中的t 才具有（错误！未找到引用源。

）中的t 所具有的几何意义。

2 圆的参数方程。

圆心在点),,(00'y x o 半径为r 的圆的参数方程是⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00r y y r x x （θ为参数）3 椭圆12222=+by ax 的参数方程。

⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （θ为参数）4 双曲线12222=-by ax 的参数方程：⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x （θ为参数）5 抛物线px y22=的参数方程。

高二数学选修4-4教案05曲线的参数方程教学目标：正确理解曲线参数方程的概念；能准确地选取参数求曲线的参数方程 教学重点：参数方程的概念；教学难点：参数t 可以是有物理、几何意义的变量，也可以是变数；建立参数t 与x,y 的关系 教学过程一、问题引入设炮弹的发射角为α，发射的初速度为0v ，求弹道曲线的方程（不计空气阻力）因为弹道曲线是炮弹飞行的轨迹，所以它上面的各个点都表示炮弹发射后某个时刻的位置。

当这个时刻确定后，炮弹的位置就确定了。

取炮口为原点，水平方向为x 轴，建立直角坐标系。

设炮弹发射后的位置在M(x ,y )，因为炮弹在O x 方向是以0v cos α 为速度的匀速直线运动，在O y 方向是以0v sin α为初速的竖直上抛运动。

按匀速直线运动和竖直上抛运动的位移公式，得⎪⎩⎪⎨⎧-∙=∙=,21s i n ,c o s 200gt t v y t v x ααg 是重力加速度。

课本中炮弹的飞行轨迹是学生在物理学习中极为熟悉的“斜抛运动”的一个实例．教学中不必过多解释，重点在于利用它，从数学的角度说明力学中的运动方程就是数学中的参数方程．它们是实际研究的需要，便于表示两个变量之间的联系．同时由于参数t 有一定取值范围，导致x 、y 也有一定的取值范围．在具体研究中，参数t 可以是有物理、几何意义的变量，也可以是变数．关键是t 与点（x 、y ）能否构成对应关系．同时，学生应认识到引进参数t 可以起到减少变量个数的作用，给研究多变量问题以一个新的方法． 二、数学构建1、曲线的参数方程一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t的函数，即 ⎩⎨⎧==)()(t f y t f x并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数．它可以是有物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数.注意：参数方程的特点是在于没有直接体现曲线上点的横、纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵坐标与参数之间的关系. 2、曲线的普通方程相对于参数方程来说，直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程．三、知识运用【例1】如图所示，以原点为圆心，分别以a,b(a>b)为半径作两个圆。

第二章 参数方程【课标要求】1、了解抛物运动轨迹的参数方程及参数的意义。

2、理解直线的参数方程及其应用；理解圆和椭圆（椭圆的中心在原点）的参数方程及其简单应用。

3、会进行曲线的参数方程与普通方程的互化。

第一课时 参数方程的概念一、教学目标：1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。

2．分析曲线的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。

二、教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。

教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。

三、教学方法：启发诱导，探究归纳 四、教学过程（一）．参数方程的概念1.问题提出：铅球运动员投掷铅球，在出手的一刹那，铅球的速度为0ν，与地面成α角，如何来刻画铅球运动的轨迹呢？ 2．分析探究理解： （1）、斜抛运动：为参数）t gt t v y t v x (21sin cos 200⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=αα （2）、抽象概括：参数方程的概念。

说明：（1）一般来说，参数的变化范围是有限制的。

（2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。

（3）平抛运动：为参数）t gt y t x (215001002⎪⎩⎪⎨⎧-== （4）思考交流：把引例中求出的铅球运动的轨迹xyOv=v 0αxy 500O Av=100m/s的参数方程消去参数t 后，再将所得方程与原方程进行比较，体会参数方程的作用。

（二）、应用举例：例1、已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1232t y t x (t 为参数)（1）判断点1M (0,1), 2M (5,4)与曲线C 的位置关系；（2）已知点3M (6,a )在曲线C 上，求a 的值。

分析：只要把参数方程中的t 消去化成关于x,y 的方程问题易于解决。

学生练习。

反思归纳：给定参数方程要研究问题可化为关于x,y 的方程问题求解。

例2、设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆做匀速（角速度）运动，角速度为60πrad/s,试以时间t 为参数，建立质点运动轨迹的参数方程。

参数方程目标点击：1． 理解参数方程的概念，了解某些参数的几何意义和物理意义；2． 熟悉参数方程与普通方程之间的联系和区别，掌握他们的互化法则；3． 会选择最常见的参数，建立最简单的参数方程，能够根据条件求出直线、圆锥曲线等常用曲线的一些参数方程并了解其参数的几何意义；4． 灵活运用常见曲线的参数方程解决有关的问题. 基础知识点击：1、 曲线的参数方程在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个变数t 的函数，⎩⎨⎧==)()(t g y t f x (1) 并且对于t 的每一个允许值，由方程组(1)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程组(1)叫做这条曲线的参数方程.联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数. 2、 求曲线的参数方程求曲线参数方程一般程序：(1) 设点：建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意一点M 的坐标；(2) 选参：选择合适的参数；(3) 表示：依据题设、参数的几何或物理意义，建立参数与x ，y 的关系式，并由此分别解出用参数表示的x 、y 的表达式.(4) 结论：用参数方程的形式表示曲线的方程 3、 曲线的普通方程相对与参数方程来说，把直接确定曲线C 上任一点的坐标（x,y ）的方程F （x,y ）＝0叫做曲线C 的普通方程. 4、 参数方程的几个基本问题(1) 消去参数，把参数方程化为普通方程.(2) 由普通方程化为参数方程. (3) 利用参数求点的轨迹方程. (4) 常见曲线的参数方程. 5、 几种常见曲线的参数方程 (1) 直线的参数方程(ⅰ)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,)为直线上任意一点.(ⅱ)过点P 0(00,y x )，斜率为ab k =的直线的参数方程是⎩⎨⎧+=+=bty y atx x 00 （t为参数）（2）圆的参数方程(ⅰ)圆222r y x =+的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos r y r x (ϕ为参数)ϕ的几何意义为“圆心角”(ⅱ)圆22020)()(r y y x x =-+-的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ϕϕsin cos 00r y y r x x （ϕ为参数）ϕ的几何意义为“圆心角”（3）椭圆的参数方程 (ⅰ)椭圆12222=+b y a x (>>b a ) 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x （ϕ为参数）(ⅱ)椭圆1)()(220220=-+-by y a x x (0>>b a )的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ϕϕsin cos 00b y y a x x （ϕ为参数）ϕ的几何意义为“离心角”(4)双曲线的参数方程(ⅰ)双曲线12222=-b y a x 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕbtg y a x sec （ϕ为参数）(ⅱ)双曲线1)()(220220=---b y y a x x 的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ϕϕbtg y y a x x 00sec （ϕ为参数）ϕ的几何意义为“离心角”（5） 抛物线的参数方程px y 22= (p>0) 的参数方程为⎩⎨⎧==pty pt x 222（t为参数） 其中t 的几何意义是抛物线上的点与原点连线的斜率的倒数（顶点除外）.考点简析：参数方程属每年高考的必考内容，主要考查基础知识、基本技能，从两个方面考查（1）参数方程与普通方程的互化与等价性判定；（2）参数方程所表示的曲线的性质. 题型一般为选择题、填空题.一、 参数方程的概念一）目标点击：1、 理解参数方程的概念，能识别参数方程给出的曲线或曲线上点的坐标；2、 熟悉参数方程与普通方程之间的联系和区别，掌握他们的互化法则；3、 能掌握消去参数的一些常用技巧：代人消参法、三角消参等；4、 能了解参数方程中参数的意义，运用参数思想解决有关问题； 二）概念理解： 1、例题回放： 问题1：（请你翻开黄岗习题册P122,阅读例题）已知圆C 的方程为1)2(22=+-y x ，过点P 1(1,0) 作圆C 的任意弦，交圆C 于另一点P 2,求P 1P 2的中点M 的轨迹方程.书中列举了六种解法，其中解法六运用了什么方法求得M 点的轨迹方程？此种方法是如何设置参数的，其几何意义是什么？ 设M(y x ,) ，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=222112k k y k k x ，消去k,得41)23(22=+-y x ，因M 与P 1不重合，所以M 点的轨迹方程为41)23(22=+-y x （1≠x ）解法六的关键是没有直接寻求中点M 的轨迹方程0),(=y x F ,而是通过引入第三个变量k（直线的斜率），间接地求出了x 与y 的关系式，从而求得M 点的轨迹方程.实际上方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=222112k k y k k x （1）和41)23(22=+-y x （1≠x ）（2）都表示同一个曲线，都是M 点的轨迹方程.这两个方程是曲线方程的两种形式.方程组（1）是曲线的参数方程，变数k 是参数，方程（2）是曲线的普通方程.由此可以看出参数方程和普通方程是同一曲线的两种不同的表达形式.我们对参数方程并不陌生，在求轨迹方程的过程中，我们通过设参变量k,先求得曲线的参数方程再化为普通方程，进而求得轨迹方程.参数法是求轨迹方程的一种比较简捷、有效的方法.问题2：几何课本3.1曲线的参数方程一节中，从研究炮弹发射后的运动规律，得出弹道曲线的方程.在这个过程中，选择什么量为参数，其物理意义是什么？参数的取值范围？通过研究炮弹发射后弹道曲线的方程说明： 1）形如⎩⎨⎧==)()(t g y t f x 的方程组，描述了运动轨道上的每一个位置(y x ,)和时间t 的对应关系.2） 我们利用“分解与合成”的方法研究和认识了形如⎩⎨⎧==)()(t g y t f x 的方程组表示质点的运动规律. 3)参数t 的取值范围是由t 的物理意义限制的. 2、曲线的参数方程与曲线C 的关系在选定的直角坐标系中，曲线的参数方程⎩⎨⎧==)()(t g y t f x t D ∈ （*）与曲线C 满足以下条件：（1） 对于集合D 中的每个t 0，通过方程组（*）所确定的点（)(),(00t g t f ） 都在曲线C 上；（2） 对于曲线C 上任意点（00,y x ），都至少存在一个t 0，满足⎩⎨⎧==)()(0000t g y t f x则 曲线C ⇔ 参数方程⎩⎨⎧==)()(t g y t f x t D ∈ 3、曲线的普通方程与曲线的参数方程的区别与联系曲线的普通方程),(y x F ＝0是相对参数方程而言，它反映了坐标变量x 与y 之间的直接联系；而参数方程⎩⎨⎧==)()(t g y t f x t D ∈是通过参数t 反映坐标变量x 与y 之间的间接联系.曲线的普通方程中有两个变数，变数的个数比方程的个数多1；曲线的参数方程中，有三个变数两个方程，变数的个数比方程的个数多1个.从这个意义上讲，曲线的普通方程和参数方程是“一致”的. 参数方程 普通方程 ； 普通方程 参数方程这时普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式. 问题3：方程222a y x =+（0≠a ）；方程λ=-2222by a x （0≠λ）是参数方程吗？参数方程与含参数的方程一样吗？方程222a y x =+（0≠a ）表示圆心在原点的圆系，方程消去参数恰当选择参数λ=-2222by a x （0≠λ）表示共渐近线的双曲线系。