线性代数超强的总结(不看你会后悔的)

线性代数知识点总结第一章 行列式1. n 阶行列式()()121212111212122212121==-∑n nnn t p p p n p p np p p p n n nna a a a a a D a a a a a a 2.特殊行列式()()111211222211221122010n t n n nn nn nna a a a a D a a a a a a a ==-=1212n nλλλλλλ=;()()1122121n n n nλλλλλλ-=-3.行列式的性质定义 记111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =;112111222212n n T nnnna a a a a a D a a a =;行列式TD 称为行列式D 的转置行列式.. 性质1行列式与它的转置行列式相等..性质2 互换行列式的两行()↔i j r r 或列()↔i j c c ;行列式变号.. 推论 如果行列式有两行列完全相同成比例;则此行列式为零..性质3 行列式某一行列中所有的元素都乘以同一数()⨯j k r k ;等于用数k 乘此行列式；推论1D 的某一行列中所有元素的公因子可以提到D 的外面;推论2 D 中某一行列所有元素为零;则=0D ..性质4若行列式的某一列行的元素都是两数之和;则1112111212222212()()()i i ni i n n n ni ninna a a a a a a a a a D a a a a a '+'+='+1112111112112122222122221212i n i ni n i n n n ninnn nninna a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''=+' 性质6 把行列式的某一列行的各元素乘以同一数然后加到另一列行对应的元素上去;行列式的值不变..算得行列式的值..4. 行列式按行列展开余子式 在n 阶行列式中;把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后;留下来的1n -阶行列式叫做元素ij a 的余子式;记作ij M ..代数余子式 ()1i jij ij A M +=-记;叫做元素ij a 的代数余子式..引理一个n 阶行列式;如果其中第i 行所有元素除i;j (,)i j 元外ij a 都为零;那么这行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积;即ij ij D a A =..高阶行列式计算首先把行列上的元素尽可能多的化成0;保留一个非零元素;降阶定理n 阶行列式 111212122212=n n n n nna a a a a a D a a a 等于它的任意一行列的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和;即1122i i i i in in D a A a A a A =+++;(1,2,,)i n =1122j j j j nj nj D a A a A a A =+++或;(1,2,,)j n =..第二章 矩阵1.矩阵111212122211n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭行列式是数值;矩阵是数表; 各个元素组成方阵 ：行数与列数都等于n 的矩阵A .. 记作：A n.. 行列矩阵：只有一行列的矩阵..也称行列向量.. 同型矩阵：两矩阵的行数相等;列数也相等.. 相等矩阵：AB 同型;且对应元素相等..记作：A ＝B 零矩阵：元素都是零的矩阵不同型的零矩阵不同 对角阵：不在主对角线上的元素都是零..单位阵：主对角线上元素都是1;其它元素都是0;记作：E注意 矩阵与行列式有本质的区别;行列式是一个算式;一个数字行列式经过计算可求得其值;而矩阵仅仅是一个数表;它的行数和列数可以不同..2. 矩阵的运算矩阵的加法 111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b +++⎛⎫⎪+++⎪+= ⎪⎪+++⎝⎭说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时;才能进行加法运算.. 矩阵加法的运算规律()1A B B A +=+；()()()2A B C A B C ++=++()()1112121222113,()n n ij ij m nm n m m mn a a a a a a A a A a a a a ⨯⨯---⎛⎫⎪--- ⎪=-=-= ⎪⎪---⎝⎭设矩阵记;A -称为矩阵A 的负矩阵()()()40,A A A B A B +-=-=+-..数与矩阵相乘111212122211,n n m m mn a a a a a a A A A A A a a a λλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭数与矩阵的乘积记作或规定为数乘矩阵的运算规律设A B 、为m n ⨯矩阵;,λμ为数()()()1A A λμλμ=；()()2A A A λμλμ+=+；()()3A B A B λλλ+=+..矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算..矩阵与矩阵相乘 设(b )ij B =是一个m s ⨯矩阵;(b )ij B =是一个s n ⨯矩阵;那么规定矩阵A 与矩阵B的乘积是一个m n⨯矩阵(c )ij C =;其中()12121122j j i i is i j i j is sj sj b b a a a a b a b a b b ⎛⎫⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1sik kj k a b ==∑;()1,2,;1,2,,i m j n ==;并把此乘积记作C AB = 注意1..A 与B2..矩阵的乘法不满足交换律;即在一般情况下;AB BA ≠;而且两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵..3..对于n 阶方阵A 和B;若AB=BA;则称A 与B 是可交换的..矩阵乘法的运算规律()()()1AB C A BC =； ()()()()2AB A B A B λλλ==()()3A B C AB AC +=+;()B C A BA CA +=+ ()4m n n n m m m n m n A E E A A ⨯⨯⨯⨯⨯==()5若A 是n 阶方阵;则称 A k 为A 的k 次幂;即kk A A AA =个;并且mk m kA A A+=;()km mk AA =(),m k 为正整数..规定：A 0＝E 只有方阵才有幂运算注意 矩阵不满足交换律;即AB BA ≠;()kk k AB A B ≠但也有例外转置矩阵把矩阵A 的行换成同序数的列得到的新矩阵;叫做A 的转置矩阵;记作A T ;()()1TT A A =；()()2T T T A B A B +=+；()()3T T A A λλ=；()()4TT T AB B A =..方阵的行列式由n 阶方阵A 的元素所构成的行列式;叫做方阵A 的行列式;记作A注意 矩阵与行列式是两个不同的概念;n 阶矩阵是n 2个数按一定方式排成的数表;而n 阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数..()1T A A =；()2n A A λλ=；(3)AB A B B A BA ===对称阵 设A 为n 阶方阵;如果满足A =A T ;那么A 称为对称阵.. 伴随矩阵行列式A 的各个元素的代数余子式ij A 所构成的如下矩阵112111222212n n nnnn A A A A A A A A A A *⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭称为矩阵A 的伴随矩阵.. 性质 AA A A A E **==易忘知识点总结1只有当两个矩阵是同型矩阵时;才能进行加法运算..2只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时;两个矩阵才能相乘;且矩阵相乘不满足交换律.. 3矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同..逆矩阵：AB ＝BA ＝E;则说矩阵A 是可逆的;并把矩阵B 称为A 的逆矩阵..1A B -=即..说明1 A ;B 互为逆阵; A = B -12 只对方阵定义逆阵..只有方阵才有逆矩阵 3.若A 是可逆矩阵;则A 的逆矩阵是唯一的..定理1矩阵A 可逆的充分必要条件是0A ≠;并且当A 可逆时;有1*1AA A-=重要奇异矩阵与非奇异矩阵 当0A =时;A 称为奇异矩阵;当0A ≠时;A 称为非奇异矩阵..即0A A A ⇔⇔≠可逆为非奇异矩阵..求逆矩阵方法**1(1)||||021(3)||A A A A A A -≠=先求并判断当时逆阵存在；（）求；求。

√ 关于12,,,n e e e ⋅⋅⋅：①称为n的标准基，n中的自然基，单位坐标向量；②12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性无关； ③12,,,1n e e e ⋅⋅⋅=； ④tr()=E n ；⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性表示. √ 行列式的计算：① 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则(1)mn A A A A BBBBAA B B οοοοο*===**=-②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.③关于副对角线：(1)211212112111(1)n n nnn n n n n n n a a a a a a a a a οοο---*==-√ 逆矩阵的求法:①1A A A*-=②1()()A E E A -−−−−→初等行变换③11a b d b c d c a ad bc --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ TT T TT A B A C C D BD ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦④12111121n a a n a a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦21111211na a n a a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⑤11111221n n A A A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 11121211n nA A A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦√ 方阵的幂的性质：m n m n A A A += ()()m n mn A A = √ 设1110()m m m m f x a x a x a x a --=++++，对n 阶矩阵A 规定：1110()m m m m f A a A a A a A a E--=++++为A 的一个多项式.√ 设,,m n n s A B ⨯⨯A 的列向量为12,,,n ααα⋅⋅⋅,B 的列向量为12,,,s βββ⋅⋅⋅，AB 的列向量为12,,,sr r r ,1212121122,1,2,,,(,,,)(,,,),(,,,),,,.i i s s T n n n i i i i r A i s A A A A A B b b b A b b b AB i r A AB i r B βββββββββαααβα==⋅⋅⋅=⎫⎪==++⎪⎬⎪⎪⎭则：即 用中简若则 单的一个提即：的第个列向量是的列向量的线性组合组合系数就是的各分量；高运算速度 的第个行向量是的行向量的线性组合组合系数就是的各分量 √ 用对角矩阵Λ左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量； 用对角矩阵Λ右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,与分块对角阵相乘类似,即：11112222,kk kk A B A B A B A B οοοο⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦√ 矩阵方程的解法：设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II) 当0A ≠时,√ Ax ο=和Bx ο=同解（,A B 列向量个数相同）,则：① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性； ③ 它们有相同的内在线性关系.√ 判断12,,,s ηηη是0Ax =的基础解系的条件：① 12,,,s ηηη线性无关； ② 12,,,s ηηη是0Ax =的解；③ ()s n r A =-=每个解向量中自由变量的个数.① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关. ③ 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关.④ 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. ⑤ 两个向量线性相关⇔对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关. ⑥ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅中任一向量i α(1≤i ≤)n 都是此向量组的线性组合.⑦ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关⇔向量组中至少有一个向量可由其余1n -个向量线性表示. 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关⇔向量组中每一个向量i α都不能由其余1n -个向量线性表示. ⑧ m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关()r A n ⇔<； m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关()r A n ⇔=. ⑨ ()0r A A ο=⇔=.⑩ 若12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关，而12,,,,n αααβ⋅⋅⋅线性相关,则β可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且表示法惟一.⑪ 矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩. 阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.⑫ 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系. 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.12,,,n ααα⋅⋅⋅和12,,,n βββ⋅⋅⋅可以相互线性表示. 记作：{}{}1212,,,,,,n n αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅A 经过有限次初等变换化为B . 记作：A B =⑬ 矩阵A 与B 等价⇔()(),r A r B A B =≠>作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.矩阵A 与B 作为向量组等价⇔1212(,,,)(,,,)n n r r αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=1212(,,,,,,)n n r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒ 矩阵A 与B 等价.⑭ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示⇔1212(,,,,,,)n s r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅⇒12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅≤12(,,,)n r ααα⋅⋅⋅. ⑮ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且s n >，则12,,,s βββ⋅⋅⋅线性相关. 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅线性无关,且可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,则s ≤n .⑯ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅,则两向量组等价；⑰ 任一向量组和它的极大无关组等价.⑱ 向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等. ⑲ 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.⑳ 若A 是m n ⨯矩阵,则{}()min ,r A m n ≤,若()r A m =，A 的行向量线性无关； 若()r A n =，A 的列向量线性无关,即：12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关.Ax β=1122n n x x x αααβ+++=5文档收集于互联网，如有不妥请联系删除.线性方程组解的性质：1212121211221212(1),0,(2)0,,(3),,,0,,,,,(4),0,(5),,0(6)k k k k Ax Ax k k Ax k Ax Ax Ax Ax Ax ηηηηηηηηηλλλληληληγβηγηβηηβηη=+⎫⎪=⎪⎬=⎪⎪++⎭==+==-= 是的解也是它的解 是的解对任意也是它的解齐次方程组 是的解对任意个常数 也是它的解 是的解是其导出组的解是的解 是的两个解是其导出组的解211212112212112212,0(7),,,,100k k k k k k k Ax Ax Ax Ax Ax ηβηηηηηηβληληληβλλλληληληλλλ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪=⇔-=⎪=⎪⎪++=⇔++=⎪⎪++=⇔++=⎩ 是的解则也是它的解是其导出组的解 是的解则也是的解 是的解√ 设A 为m n ⨯矩阵,若()r A m =,则()()r A r A β=,从而Ax β=一定有解. 当m n <时,一定不是唯一解.⇒<方程个数未知数的个数向量维数向量个数,则该向量组线性相关.m 是()()r A r A β和的上限. √ 矩阵的秩的性质：① ()()()T T r A r A r A A == ② ()r A B ±≤()()r A r B + ③ ()r AB ≤{}min (),()r A r B④ ()0()00r A k r kA k ≠⎧=⎨=⎩ 若 若⑤ ()()A r r A r B B οο⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⑥0,()A r A ≠若则≥1⑦ ,,()0,()()m n n s A B r AB r A r B ⨯⨯=+若且则≤n ⑧ ,()()()P Q r PA r AQ r A ==若可逆,则 ⑨ ,()()A r AB r B =若可逆则⑩ (),()(),r A n r AB r B ==若则且A 在矩阵乘法中有左消去律:n 个n 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.(,)0αβ=.1α==.√ 内积的性质： ① 正定性：(,)0,(,)0αααααο≥=⇔=且 ② 对称性：(,)(,)αββα=③ 双线性：1212(,)(,)(,)αββαβαβ+=+123,,ααα线性无关,单位化：111βηβ= 222βηβ= 333βηβ= T AA E =.√ A 是正交矩阵的充要条件：A 的n 个行（列）向量构成n的一组标准正交基.√ 正交矩阵的性质：① 1T A A -=；② T T AA A A E ==；③ A 是正交阵,则T A （或1A -）也是正交阵； ④ 两个正交阵之积仍是正交阵； ⑤ 正交阵的行列式等于1或-1.E A λ-.()E A f λλ-=.0E A λ-=. Ax x Ax x λ=→ 与线性相关 √ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n 各元素.√ 若0A =,则0λ=为A 的特征值,且0Ax =的基础解系即为属于0λ=的线性无关的特征向量. √ 12n A λλλ= 1ni A λ=∑tr√ 若()1r A =,则A 一定可分解为A =[]1212,,,n n a a b b b a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦、21122()n n A a b a b a b A =+++,从而A的特征值为：11122n n A a b a b a b λ==+++tr , 230n λλλ====.√ 若A 的全部特征值12,,,n λλλ，()f x 是多项式,则:① ()f A 的全部特征值为12(),(),,()n f f f λλλ；② 当A 可逆时,1A -的全部特征值为12111,,,n λλλ, A *的全部特征值为12,,,n A AAλ.√ 1122,.m m A k kA a b aA bEAA A A Aλλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩是的特征值则:分别有特征值 √ 1122,m m Ak kAa b aA bEAx A x A A A λλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩是关于的特征向量则也是关于的特征向量.1B P AP -= （P 为可逆阵） 记为：A B√ A 相似于对角阵的充要条件：A 恰有n 个线性无关的特征向量. 这时,P 为A 的特征向量拼成的矩阵，1P AP -为对角阵,主对角线上的元素为A 的特征值. √ A 可对角化的充要条件：()i i n r E A k λ--= i k 为i λ的重数. √ 若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值,则A 与对角阵相似.1B P AP -= （P 为正交矩阵） √ 相似矩阵的性质：① 11A B -- 若,A B 均可逆② T T A B③ kk A B （k 为整数）④ E A E B λλ-=-,从而,A B 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.即:x 是A 关于0λ的特征向量,1P x -是B 关于0λ的特征向量. ⑤ A B = 从而,A B 同时可逆或不可逆 ⑥ ()()r A r B = ⑦ ()()A B =tr tr√ 数量矩阵只与自己相似. √ 对称矩阵的性质：① 特征值全是实数,特征向量是实向量； ② 与对角矩阵合同；③ 不同特征值的特征向量必定正交；④ k 重特征值必定有k 个线性无关的特征向量；⑤ 必可用正交矩阵相似对角化（一定有n 个线性无关的特征向量,A 可能有重的特征值,重数=()n r E A λ--）.A 与对角阵Λ相似. 记为：AΛ （称Λ是A √ 若A 为可对角化矩阵,则其非零特征值的个数（重数重复计算）()r A =. √ 设i α为对应于i λ的线性无关的特征向量,则有：[]121212112212(,,,)(,,,)(,,,),,,n n n n n n PA A A A λλααααααλαλαλααααλΛ⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎣⎦.√ 若A B , CD ,则：A B C D οοοο⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. √ 若A B ,则()()f A f B ,()()f A f B =.12(,,,)T n f x x x X AX = A 为对称矩阵 12(,,,)T n X x x x =T B C AC =. 记作：A B （,,A B C 为对称阵为可逆阵） √ 两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数. √ 两个矩阵合同的充分条件是：A B √ 两个矩阵合同的必要条件是：()()r A r B =√ 12(,,,)Tn f x x x X AX =经过正交变换合同变换可逆线性变换X CY =化为2121(,,,)nn i i f x xx d y =∑标准型.√ 二次型的标准型不是惟一的,与所作的正交变换有关,但系数不为零的个数是由()r A +正惯性指数负惯性指数惟一确定的.√ 当标准型中的系数i d 为1，-1或0时,√ 实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数.√ 任一实对称矩阵A 与惟一对角阵11110⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦合同. √ 用正交变换法化二次型为标准形:① 求出A 的特征值、特征向量；② 对n 个特征向量单位化、正交化； ③ 构造C （正交矩阵）,1C AC -=Λ；文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.11文档收集于互联网，如有不妥请联系删除. ④ 作变换X CY =,新的二次型为2121(,,,)n n i i f x x x d y =∑,Λ的主对角上的元素i d 即为A 的特征值.12,,,n x x x 不全为零，12(,,,)0n f x x x >. 正定二次型对应的矩阵.√ 合同变换不改变二次型的正定性.√ 成为正定矩阵的充要条件（之一成立）：① 正惯性指数为n ；② A 的特征值全大于0；③ A 的所有顺序主子式全大于0；④ A 合同于E ，即存在可逆矩阵Q 使T Q AQ E =； ⑤ 存在可逆矩阵P ，使T A P P = （从而0A >）；⑥ 存在正交矩阵，使121T n C AC C AC λλλ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦（i λ大于0）. √ 成为正定矩阵的必要条件：0ii a > ； 0A >.。

大学数学线性代数知识点归纳总结线性代数是数学的一个重要分支，广泛应用于各个领域。

作为大学数学的一门核心课程，线性代数为我们提供了一种处理线性方程组、矩阵运算和向量空间等数学工具和理论。

在这篇文章中，我将对大学数学线性代数的知识点进行归纳总结。

1. 向量与向量空间- 向量的定义和性质- 向量的线性组合与线性相关性- 向量空间的定义和基本性质- 子空间与超平面- 线性无关与基2. 线性方程组- 线性方程组的概念与解的存在唯一性- 矩阵形式与增广矩阵- 初等行变换与线性方程组的等价性- 齐次线性方程组与非齐次线性方程组- 线性方程组的解的结构3. 矩阵与矩阵运算- 矩阵的定义和性质- 矩阵的加法与数乘- 矩阵的转置与对称矩阵- 矩阵乘法与矩阵的秩- 逆矩阵与可逆矩阵4. 特征值与特征向量- 特征值与特征向量的定义 - 特征多项式与特征方程- 对角化与可对角化条件- 特征值与矩阵的相似性5. 线性变换与线性映射- 线性变换的基本性质- 线性变换矩阵与基变换- 线性变换的零空间与像空间 - 线性变换的维数定理6. 内积空间与正交性- 内积空间的定义和性质- 正交向量与正交补空间- 正交投影与最小二乘法- 施密特正交化过程7. 特殊矩阵与应用- 对角矩阵与对角化- 正交矩阵与正交对角化- 幂零矩阵与Jordan标准形- 应用：图像处理、数据压缩、网络分析等通过对以上知识点的整理和总结，我们对大学数学线性代数的学习有了更加清晰的认识。

线性代数的理论和方法在计算机科学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用，了解和掌握线性代数知识对于我们的学术研究和职业发展都具有重要意义。

希望本文能帮助读者对线性代数有更深入的了解，并在实际应用中发挥作用。

线性代数超强总结()0A r A n A Ax A A οο⎧⎪<⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪⎪⎩不可逆 有非零解是的特征值的列（行）向量线性相关 12()0,,T s i nA r A n Ax A A A A A A A p p p p Ax οββ⎧⎪=⎪⎪=⎪⎪⎪≠⇔⎨⎪⎪⎪⎪=⋅⋅⋅⎪⎪∀∈=⎩可逆 只有零解 的特征值全不为零 的列（行）向量线性无关 是正定矩阵 与同阶单位阵等价 是初等阵总有唯一解R⎫⎪−−−→⎬⎪⎭具有向量组等价相似矩阵反身性、对称性、传递性矩阵合同 √ 关于12,,,n e e e ⋅⋅⋅：①称为n ¡的标准基，n ¡中的自然基，单位坐标向量； ②12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性无关； ③12,,,1n e e e ⋅⋅⋅=； ④tr()=E n ；⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性表示.√ 行列式的计算：① 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则(1)mn A A A A BBBBAA B B οοοοο*===**=-②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.③关于副对角线：(1)211212112111(1)n n nnn n n n n n n a a a a a a a a a οοο---*==-K NN√ 逆矩阵的求法:①1A A A*-=②1()()A E E A -−−−−→MM 初等行变换③11a b d b c d c a ad bc --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ TT T TT A B A C C D BD ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦④12111121n a a n a a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦OO21111211na a n a a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦NN⑤11111221n n A A A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦OO11121211n nA A A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦N N √ 方阵的幂的性质：m n m n A A A += ()()m n mn A A =√ 设1110()m m m m f x a x a x a x a --=++++L ，对n 阶矩阵A 规定：1110()m m m m f A a A a A a A a E --=++++L 为A 的一个多项式. √设,,m n n s A B ⨯⨯A 的列向量为12,,,nααα⋅⋅⋅,B 的列向量为12,,,sβββ⋅⋅⋅，AB 的列向量为12,,,s r r r L ,1212121122,1,2,,,(,,,)(,,,),(,,,),,,.i i s s T n n n i i i i r A i s A A A A A B b b b A b b b AB i r A AB i r B βββββββββαααβα==⋅⋅⋅=⎫⎪==++⎪⎬⎪⎪⎭L L L L 则：即 用中简若则 单的一个提即：的第个列向量是的列向量的线性组合组合系数就是的各分量；高运算速度 的第个行向量是的行向量的线性组合组合系数就是的各分量 √ 用对角矩阵Λ左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量； 用对角矩阵Λ右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,与分块对角阵相乘类似,即：11112222,kk kk A B A B A B A B οοοο⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦OO11112222kk kk A B A B AB A B οο⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦O√ 矩阵方程的解法：设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II) 当0A ≠时,,B A B E X −−−−→M M 初等行变换（当为一列时(I)的解法：构造()()即为克莱姆法则） T T T TA XB X X =(II)的解法：将等式两边转置化为，用(I)的方法求出，再转置得√ Ax ο=和Bx ο=同解（,A B 列向量个数相同）,则：① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性； ③ 它们有相同的内在线性关系.√ 判断12,,,s ηηηL 是0Ax =的基础解系的条件： ① 12,,,s ηηηL 线性无关； ② 12,,,s ηηηL 是0Ax =的解；③ ()s n r A =-=每个解向量中自由变量的个数.① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关. ③ 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关.④ 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. ⑤ 两个向量线性相关⇔对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关. ⑥ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅中任一向量i α(1≤i ≤)n 都是此向量组的线性组合.⑦ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关⇔向量组中至少有一个向量可由其余1n -个向量线性表示. 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关⇔向量组中每一个向量i α都不能由其余1n -个向量线性表示. ⑧ m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关()r A n ⇔<； m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关()r A n ⇔=. ⑨ ()0r A A ο=⇔=.⑩ 若12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关，而12,,,,n αααβ⋅⋅⋅线性相关,则β可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且表示法惟一. ⑪ 矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩. 阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.⑫ 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系. 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.12,,,n ααα⋅⋅⋅和12,,,n βββ⋅⋅⋅可以相互线性表示. 记作：{}{}1212,,,,,,n n αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅%A 经过有限次初等变换化为B . 记作：A B =%⑬ 矩阵A 与B 等价⇔()(),r A r B A B =≠>作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价. 矩阵A 与B 作为向量组等价⇔1212(,,,)(,,,)n n r r αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=1212(,,,,,,)n n r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒ 矩阵A 与B 等价.⑭ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示⇔1212(,,,,,,)n s r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅⇒12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅≤12(,,,)n r ααα⋅⋅⋅. ⑮ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且s n >，则12,,,s βββ⋅⋅⋅线性相关. 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅线性无关,且可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,则s ≤n .⑯ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅,则两向量组等价； ⑰ 任一向量组和它的极大无关组等价.⑱ 向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等. ⑲ 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.⑳ 若A 是m n ⨯矩阵,则{}()min ,r A m n ≤,若()r A m =，A 的行向量线性无关； 若()r A n =，A 的列向量线性无关,即：12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关.Ax β=1122n n x x x αααβ+++=L1112111212222212,,n n m m mn n m a a a x b a a a x b A x a a a x b β⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦L L M M M M M L 12,1,2,,j j jmj j n αααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L M1212120,,,0,,,()(),,,A n A n n Ax Ax A nAx Ax A Ax r A r A n βοαααβοβαααββααα⇒⇔==−−−−−→=<<≠⇒⇒⇔==−−−−−→≠⇔=⇔=<≠=⇒L L M L 当为方阵时当为方阵时有无穷多解有非零解线性相关 有唯一组解只有零解可由线性表示有解线性无关 12()(),,,()()()1()A n r A r A Ax r A r A r A r A ββαααβββ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪−−−−−→⎪⎩⇔≠⎧⎪⇔=⇔<⎨⎪⇔+=⎩ML M M 当为方阵时 克莱姆法则 不可由线性表示无解线性方程组解的性质：1212121211221212(1),0,(2)0,,(3),,,0,,,,,(4),0,(5),,0(6)k k k k Ax Ax k k Ax k Ax Ax Ax Ax Ax ηηηηηηηηηλλλληληληγβηγηβηηβηη=+⎫⎪=⎪⎬=⎪⎪++⎭==+==-=L L 是的解也是它的解 是的解对任意也是它的解齐次方程组 是的解对任意个常数 也是它的解 是的解是其导出组的解是的解 是的两个解是其导出组的解211212112212112212,0(7),,,,100k k k k k k k Ax Ax Ax Ax Ax ηβηηηηηηβληληληβλλλληληληλλλ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪=⇔-=⎪=⎪⎪++=⇔++=⎪⎪++=⇔++=⎩L 是的解则也是它的解是其导出组的解 是的解则也是的解 是的解√ 设A 为m n ⨯矩阵,若()r A m =,则()()r A r A β=M ,从而Ax β=一定有解. 当m n <时,一定不是唯一解.⇒<方程个数未知数的个数向量维数向量个数,则该向量组线性相关.m 是()()r A r A βM 和的上限. √ 矩阵的秩的性质：① ()()()T T r A r A r A A == ② ()r A B ±≤()()r A r B + ③ ()r AB ≤{}min (),()r A r B④ ()0()00r A k r kA k ≠⎧=⎨=⎩ 若 若⑤ ()()A r r A r B B οο⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⑥0,()A r A ≠若则≥1⑦ ,,()0,()()m n n s A B r AB r A r B ⨯⨯=+若且则≤n ⑧ ,()()()P Q r PA r AQ r A ==若可逆,则 ⑨ ,()()A r AB r B =若可逆则,()()B r AB r A =若可逆则⑩ (),()(),r A n r AB r B ==若则且A 在矩阵乘法中有左消去律:0AB B AB AC B Cο=⇒==⇒=n 个n 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.(,)0αβ=.1α==.√ 内积的性质： ① 正定性：(,)0,(,)0αααααο≥=⇔=且 ② 对称性：(,)(,)αββα=③ 双线性：1212(,)(,)(,)αββαβαβ+=+ 1212(,)(,)(,)ααβαβαβ+=+ (,)(,)(,)cc c αβαβαβ==123,,ααα线性无关,112122111313233121122(,)()(,)(,)()()βααββαβββαβαββαββββββ=⎧⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=--⎪⎩正交化单位化：111βηβ= 222βηβ= 333βηβ= T AA E =.√ A 是正交矩阵的充要条件：A 的n 个行（列）向量构成n ¡的一组标准正交基. √ 正交矩阵的性质：① 1T A A -=；② T T AA A A E ==；③ A 是正交阵,则T A （或1A -）也是正交阵； ④ 两个正交阵之积仍是正交阵； ⑤ 正交阵的行列式等于1或-1.E A λ-.()E A f λλ-=.0E A λ-=. Ax x Ax x λ=→ 与线性相关 √ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n 各元素.√ 若0A =,则0λ=为A 的特征值,且0Ax =的基础解系即为属于0λ=的线性无关的特征向量. √ 12n A λλλ=L 1ni A λ=∑tr√ 若()1r A =,则A 一定可分解为A =[]1212,,,n n a a b b b a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L M 、21122()n n A a b a b a b A =+++L ,从而A的特征值为：11122n n A a b a b a b λ==+++L tr , 230n λλλ====L . √ 若A 的全部特征值12,,,n λλλL ，()f x 是多项式,则:① ()f A 的全部特征值为12(),(),,()n f f f λλλL ；② 当A 可逆时,1A -的全部特征值为12111,,,n λλλL , A *的全部特征值为12,,,n A A AL .√ 1122,.m m Ak kA a b aA bEAA AA A λλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩是的特征值则:分别有特征值 √ 1122,m m Ak kAa b aA bEAx A x A A A λλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩是关于的特征向量则也是关于的特征向量. 1B P AP -= （P 为可逆阵） 记为：A B :√ A 相似于对角阵的充要条件：A 恰有n 个线性无关的特征向量. 这时,P 为A 的特征向量拼成的矩阵，1P AP -为对角阵,主对角线上的元素为A 的特征值. √ A 可对角化的充要条件：()i i n r E A k λ--= i k 为i λ的重数. √ 若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值,则A 与对角阵相似.1B P AP -= （P 为正交矩阵） √ 相似矩阵的性质：① 11A B --: 若,A B 均可逆② T T A B :③ k k A B : （k 为整数）④ E A E B λλ-=-,从而,A B 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.即:x 是A 关于0λ的特征向量,1P x -是B 关于0λ的特征向量. ⑤ A B = 从而,A B 同时可逆或不可逆 ⑥ ()()r A r B = ⑦ ()()A B =tr tr√ 数量矩阵只与自己相似. √ 对称矩阵的性质：① 特征值全是实数,特征向量是实向量； ② 与对角矩阵合同；③ 不同特征值的特征向量必定正交；④ k 重特征值必定有k 个线性无关的特征向量；⑤ 必可用正交矩阵相似对角化（一定有n 个线性无关的特征向量,A 可能有重的特征值,重数=()n r E A λ--）.A 与对角阵Λ相似. 记为：A Λ: （称Λ是A √ 若A 为可对角化矩阵,则其非零特征值的个数（重数重复计算）()r A =. √ 设i α为对应于i λ的线性无关的特征向量,则有：[]121212112212(,,,)(,,,)(,,,),,,n n n n n n PA A A A λλααααααλαλαλααααλΛ⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L L O1442443144424443. √ 若A B :, C D :,则：A B C D οοοο⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦:. √ 若A B :,则()()f A f B :,()()f A f B =.12(,,,)T n f x x x X AX =L A 为对称矩阵 12(,,,)T n X x x x =LT B C AC =. 记作：A B ; （,,A B C 为对称阵为可逆阵） √ 两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数. √ 两个矩阵合同的充分条件是：A B : √ 两个矩阵合同的必要条件是：()()r A r B =√ 12(,,,)Tn f x x x X AX =L 经过正交变换合同变换可逆线性变换X CY =化为2121(,,,)nn i i f x x x dy =∑L 标准型.√ 二次型的标准型不是惟一的,与所作的正交变换有关,但系数不为零的个数是由{()r A +正惯性指数负惯性指数惟一确定的.√ 当标准型中的系数i d 为1，-1或0时,√ 实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数.√ 任一实对称矩阵A 与惟一对角阵111100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦O OO合同.√ 用正交变换法化二次型为标准形:① 求出A 的特征值、特征向量； ② 对n 个特征向量单位化、正交化； ③ 构造C （正交矩阵）,1C AC -=Λ；④ 作变换X CY =,新的二次型为2121(,,,)nn i i f x x x d y =∑L ,Λ的主对角上的元素i d 即为A 的特征值.12,,,n x x x L 不全为零，12(,,,)0n f x x x >L . 正定二次型对应的矩阵. √ 合同变换不改变二次型的正定性. √ 成为正定矩阵的充要条件（之一成立）：① 正惯性指数为n ； ② A 的特征值全大于0；③ A 的所有顺序主子式全大于0；④ A 合同于E ，即存在可逆矩阵Q 使T Q AQ E =； ⑤ 存在可逆矩阵P ，使T A P P = （从而0A >）；⑥ 存在正交矩阵，使121T n C AC C AC λλλ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦O （i λ大于0）. √ 成为正定矩阵的必要条件：0ii a > ； 0A >.。

完整版线性代数知识点总结线性代数是数学的一个分支，研究向量空间及其上的线性变换。

它在各个领域中都有广泛的应用，包括物理学、计算机科学、工程学等。

以下是线性代数的一些重要知识点总结：1.向量和向量空间：向量是有方向和大小的量，可以用来表示力、速度、位移等。

向量空间是向量的集合，具有加法和标量乘法运算，同时满足一定的性质。

2.线性方程组和矩阵：线性方程组是一组线性方程的集合，研究其解的性质和求解方法。

矩阵是一个由数构成的矩形数组，可以用来表示线性方程组中的系数和常数。

3.矩阵的运算：包括矩阵的加法、减法和乘法运算。

矩阵乘法是一种重要的运算，可以用来表示线性变换和复合变换。

4.行列式和特征值：行列式是一个标量，表示矩阵的一些性质，如可逆性和面积/体积的变换。

特征值是矩阵对应的线性变换中特殊的值，表示该变换在一些方向上的伸缩程度。

5.向量的内积和正交性：向量的内积是一种二元运算，可以用来表示向量之间的夹角和长度。

正交向量是指内积为零的向量，可以用来表示正交补空间等概念。

6.向量的投影和正交分解：向量的投影是一个向量在另一个向量上的投影，可以用来表示向量的分解。

正交分解是将一个向量分解为与另一个向量正交和平行的两个向量之和。

7.线性变换和线性映射：线性变换是指保持向量加法和标量乘法运算的变换。

线性映射是向量空间之间的函数，具有保持线性运算的性质。

8.特征值和特征向量：特征值和特征向量是线性变换或矩阵中一个重要的概念，用于描述变换的性质和方向。

9.正交矩阵和对称矩阵：正交矩阵是一个方阵，其列向量组成的矩阵是正交的。

对称矩阵是一个方阵，其转置等于自身。

10.奇异值分解：奇异值分解（SVD）是一种矩阵的分解方法，用来将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积。

SVD在数据压缩、图像处理和机器学习等领域有广泛的应用。

11.最小二乘法：最小二乘法是一种数学优化方法，用来找到一条曲线或超平面，使得这些数据点到该曲线或超平面的距离平方和最小。

精彩文档线性代数超强总结()0A r A n A Ax A A οο⎧⎪<⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪⎪⎩不可逆 有非零解是的特征值的列（行）向量线性相关 12()0,,T s i nA r A n Ax A A A A A A A p p p p Ax οββ⎧⎪=⎪⎪=⎪⎪⎪≠⇔⎨⎪⎪⎪⎪=⋅⋅⋅⎪⎪∀∈=⎩可逆 只有零解 的特征值全不为零 的列（行）向量线性无关 是正定矩阵 与同阶单位阵等价 是初等阵总有唯一解R⎫⎪−−−→⎬⎪⎭具有向量组等价相似矩阵反身性、对称性、传递性矩阵合同 √ 关于12,,,n e e e ⋅⋅⋅：①称为n ¡的标准基，n ¡中的自然基，单位坐标向量； ②12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性无关； ③12,,,1n e e e ⋅⋅⋅=； ④tr()=E n ；精彩文档⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性表示. √ 行列式的计算：① 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则(1)mn A A A A BBBBAA B B οοοοο*===**=-②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.③关于副对角线：(1)211212112111(1)n n nnn n n n n n n a a a a a a a a a οοο---*==-K NN√ 逆矩阵的求法:①1A A A*-=②1()()A E E A -−−−−→MM 初等行变换③11a b d b c d c a ad bc --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ TT T T T A B A C C D BD ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦精彩文档④12111121n a a n a a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦OO21111211na a na a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦NN ⑤11111221n n A A A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦OO11121211n nA A A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦N N √ 方阵的幂的性质：m n m n A A A += ()()m n mn A A =√ 设1110()m m m m f x a x a x a x a --=++++L ，对n 阶矩阵A 规定：1110()m m m m f A a A a A a A a E --=++++L 为A 的一个多项式. √设,,m n n s A B ⨯⨯A 的列向量为12,,,nααα⋅⋅⋅,B 的列向量为12,,,sβββ⋅⋅⋅，AB 的列向量为12,,,s r r r L ,1212121122,1,2,,,(,,,)(,,,),(,,,),,,.i i s s T n n n i i i i r A i s A A A A A B b b b A b b b AB i r A AB i r B βββββββββαααβα==⋅⋅⋅=⎫⎪==++⎪⎬⎪⎪⎭L L L L 则：即 用中简若则 单的一个提即：的第个列向量是的列向量的线性组合组合系数就是的各分量；高运算速度 的第个行向量是的行向量的线性组合组合系数就是的各分量 √ 用对角矩阵Λ左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量； 用对角矩阵Λ右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,精彩文档与分块对角阵相乘类似,即：11112222,kk kk A B A B A B A B οοοο⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦OO11112222kk kk A B A B AB A B οο⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦O√ 矩阵方程的解法：设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II) 当0A ≠时,,B A B E X −−−−→M M 初等行变换（当为一列时(I)的解法：构造()()即为克莱姆法则）T T T TA XB X X=(II)的解法：将等式两边转置化为， 用(I)的方法求出，再转置得√ Ax ο=和Bx ο=同解（,A B 列向量个数相同）,则：① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性； ③ 它们有相同的内在线性关系.√ 判断12,,,s ηηηL 是0Ax =的基础解系的条件：精彩文档① 12,,,s ηηηL 线性无关； ② 12,,,s ηηηL 是0Ax =的解；③ ()s n r A =-=每个解向量中自由变量的个数.① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关. ③ 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关.④ 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. ⑤ 两个向量线性相关⇔对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关. ⑥ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅中任一向量i α(1≤i ≤)n 都是此向量组的线性组合.⑦ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关⇔向量组中至少有一个向量可由其余1n -个向量线性表示. 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关⇔向量组中每一个向量i α都不能由其余1n -个向量线性表示. ⑧ m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关()r A n ⇔<； m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关()r A n ⇔=. ⑨ ()0r A A ο=⇔=.⑩ 若12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关，而12,,,,n αααβ⋅⋅⋅线性相关,则β可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且表示法惟一.精彩文档⑪ 矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩. 阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.⑫ 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系. 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.12,,,n ααα⋅⋅⋅和12,,,n βββ⋅⋅⋅可以相互线性表示.记作：{}{}1212,,,,,,n n αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅% A 经过有限次初等变换化为B . 记作：A B =%⑬ 矩阵A 与B 等价⇔()(),r A r B A B =≠>作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价. 矩阵A 与B 作为向量组等价⇔1212(,,,)(,,,)n n r r αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=1212(,,,,,,)n n r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒ 矩阵A 与B 等价.⑭ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示⇔1212(,,,,,,)n s r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅⇒12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅≤12(,,,)n r ααα⋅⋅⋅. ⑮ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且s n >，则12,,,s βββ⋅⋅⋅线性相关. 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅线性无关,且可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,则s ≤n .⑯ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅,则两向量组等价； ⑰ 任一向量组和它的极大无关组等价.⑱ 向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等.精彩文档⑲ 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.⑳ 若A 是m n ⨯矩阵,则{}()min ,r A m n ≤,若()r A m =，A 的行向量线性无关； 若()r A n =，A 的列向量线性无关,即：12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关.Ax β=1122n n x x x αααβ+++=L1112111212222212,,n n m m mn n m a a a x b a a a x b A x a a a x b β⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦LL M M M M M L 12,1,2,,j j jmj j n αααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L M精彩文档1212120,,,0,,,()(),,,A n A n n Ax Ax A nAx Ax A Ax r A r A n βοαααβοβαααββααα⇒⇔==−−−−−→=<<≠⇒⇒⇔==−−−−−→≠⇔=⇔=<≠=⇒L L M L 当为方阵时当为方阵时有无穷多解有非零解线性相关 有唯一组解只有零解可由线性表示有解线性无关 12()(),,,()()()1()A n r A r A Ax r A r A r A r A ββαααβββ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪−−−−−→⎪⎩⇔≠⎧⎪⇔=⇔<⎨⎪⇔+=⎩ML M M 当为方阵时 克莱姆法则 不可由线性表示无解精彩文档实用标准文案线性方程组解的性质：1212121211221212(1),0,(2)0,,(3),,,0,,,,,(4),0,(5),,0(6)k k k k Ax Ax k k Ax k Ax Ax Ax Ax Ax ηηηηηηηηηλλλληληληγβηγηβηηβηη=+⎫⎪=⎪⎬=⎪⎪++⎭==+==-=L L 是的解也是它的解 是的解对任意也是它的解齐次方程组 是的解对任意个常数 也是它的解 是的解是其导出组的解是的解 是的两个解是其导出组的解211212112212112212,0(7),,,,100k k k k k k k Ax Ax Ax Ax Ax ηβηηηηηηβληληληβλλλληληληλλλ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪=⇔-=⎪=⎪⎪++=⇔++=⎪⎪++=⇔++=⎩L 是的解则也是它的解是其导出组的解 是的解则也是的解 是的解√ 设A 为m n ⨯矩阵,若()r A m =,则()()r A r A β=M ,从而Ax β=一定有解. 当m n <时,一定不是唯一解.⇒<方程个数未知数的个数向量维数向量个数,则该向量组线性相关.m 是()()r A r A βM 和的上限. √ 矩阵的秩的性质：① ()()()T T r A r A r A A == ② ()r A B ±≤()()r A r B + ③ ()r AB ≤{}min (),()r A r B④ ()0()00r A k r kA k ≠⎧=⎨=⎩ 若 若⑤ ()()A r r A r B B οο⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⑥0,()A r A ≠若则≥1⑦ ,,()0,()()m n n s A B r AB r A r B ⨯⨯=+若且则≤n ⑧ ,()()()P Q r PA r AQ r A ==若可逆,则 ⑨ ,()()A r AB r B =若可逆则,()()B r AB r A =若可逆则⑩ (),()(),r A n r AB r B ==若则且A 在矩阵乘法中有左消去律:0AB B AB AC B Cο=⇒==⇒=n 个n 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.(,)0αβ=.1α==.√ 内积的性质： ① 正定性：(,)0,(,)0αααααο≥=⇔=且 ② 对称性：(,)(,)αββα=③ 双线性：1212(,)(,)(,)αββαβαβ+=+ 1212(,)(,)(,)ααβαβαβ+=+ (,)(,)(,)c cc αβαβαβ==123,,ααα线性无关,112122111313233121122(,)()(,)(,)()()βααββαβββαβαββαββββββ=⎧⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=--⎪⎩正交化单位化：111βηβ= 222βηβ=333βηβ= T AA E =.√ A 是正交矩阵的充要条件：A 的n 个行（列）向量构成n ¡的一组标准正交基. √ 正交矩阵的性质：① 1T A A -=；② T T AA A A E ==；③ A 是正交阵,则T A （或1A -）也是正交阵； ④ 两个正交阵之积仍是正交阵；⑤ 正交阵的行列式等于1或-1.E A λ-.()E A f λλ-=.0E A λ-=. Ax x Ax x λ=→ 与线性相关 √ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n 各元素.√ 若0A =,则0λ=为A 的特征值,且0Ax =的基础解系即为属于0λ=的线性无关的特征向量. √ 12n A λλλ=L1niA λ=∑tr√ 若()1r A =,则A 一定可分解为A =[]1212,,,n n a a b b b a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L M 、21122()n n A a b a b a b A =+++L ,从而A的特征值为：11122n n A a b a b a b λ==+++L tr , 230n λλλ====L . √ 若A 的全部特征值12,,,n λλλL ，()f x 是多项式,则:① ()f A 的全部特征值为12(),(),,()n f f f λλλL ；② 当A 可逆时,1A -的全部特征值为12111,,,nλλλL , A *的全部特征值为12,,,n AAAL .√ 1122,.m m Ak kA a b aA bEAA AA A λλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩是的特征值则:分别有特征值 √ 1122,m m Ak kAa b aA bEAx A x AA A λλλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩是关于的特征向量则也是关于的特征向量.1B P AP -= （P 为可逆阵） 记为：A B :√ A 相似于对角阵的充要条件：A 恰有n 个线性无关的特征向量. 这时,P 为A 的特征向量拼成的矩阵，1P AP -为对角阵,主对角线上的元素为A 的特征值. √ A 可对角化的充要条件：()i i n r E A k λ--= i k 为i λ的重数. √ 若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值,则A 与对角阵相似.1B P AP -= （P 为正交矩阵） √ 相似矩阵的性质：① 11A B --: 若,A B 均可逆② T T A B :③ k k A B : （k 为整数）④ E A E B λλ-=-,从而,A B 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.即:x 是A 关于0λ的特征向量,1P x -是B 关于0λ的特征向量. ⑤ A B = 从而,A B 同时可逆或不可逆 ⑥ ()()r A r B = ⑦ ()()A B =tr tr√ 数量矩阵只与自己相似. √ 对称矩阵的性质：① 特征值全是实数,特征向量是实向量； ② 与对角矩阵合同；③ 不同特征值的特征向量必定正交；④ k 重特征值必定有k 个线性无关的特征向量；⑤ 必可用正交矩阵相似对角化（一定有n 个线性无关的特征向量,A 可能有重的特征值,重数=()n r E A λ--）.A 与对角阵Λ相似. 记为：A Λ: （称Λ是A√ 若A 为可对角化矩阵,则其非零特征值的个数（重数重复计算）()r A =. √ 设i α为对应于i λ的线性无关的特征向量,则有：[]121212112212(,,,)(,,,)(,,,),,,n n n n n n PA A A A λλααααααλαλαλααααλΛ⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L L O1442443144424443. √ 若A B :, C D :,则：A B C D οοοο⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦:. √ 若A B :,则()()f A f B :,()()f A f B =.12(,,,)T n f x x x X AX =L A 为对称矩阵 12(,,,)T n X x x x =LT B C AC =. 记作：A B ; （,,A B C 为对称阵为可逆阵） √ 两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数. √ 两个矩阵合同的充分条件是：A B : √ 两个矩阵合同的必要条件是：()()r A r B =√ 12(,,,)Tn f x x x X AX =L 经过正交变换合同变换可逆线性变换X CY =化为2121(,,,)nn i i f x x x d y =∑L 标准型.√ 二次型的标准型不是惟一的,与所作的正交变换有关,但系数不为零的个数是由{()r A +正惯性指数负惯性指数惟一确定的.√ 当标准型中的系数i d 为1，-1或0时,√ 实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数.√ 任一实对称矩阵A 与惟一对角阵111100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦O OO合同. √ 用正交变换法化二次型为标准形:① 求出A 的特征值、特征向量；② 对n 个特征向量单位化、正交化； ③ 构造C （正交矩阵）,1C AC -=Λ；④ 作变换X CY =,新的二次型为2121(,,,)nn i i f x x x d y =∑L ,Λ的主对角上的元素i d 即为A 的特征值.12,,,n x x x L 不全为零，12(,,,)0n f x x x >L . 正定二次型对应的矩阵. √ 合同变换不改变二次型的正定性. √ 成为正定矩阵的充要条件（之一成立）：① 正惯性指数为n ； ② A 的特征值全大于0；③ A 的所有顺序主子式全大于0；④ A 合同于E ，即存在可逆矩阵Q 使T Q AQ E =； ⑤ 存在可逆矩阵P ，使T A P P = （从而0A >）；⑥ 存在正交矩阵，使121T n C AC C AC λλλ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦O （i λ大于0）. √ 成为正定矩阵的必要条件：0ii a > ； 0A >.。

线性代数超强总结()0A r A n A Ax A A οο⎧⎪<⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪⎪⎩不可逆 有非零解是的特征值的列（行）向量线性相关 12()0,,T s i nA r A n Ax A A A A A A A p p p p Ax οββ⎧⎪=⎪⎪=⎪⎪⎪≠⇔⎨⎪⎪⎪⎪=⋅⋅⋅⎪⎪∀∈=⎩可逆 只有零解 的特征值全不为零 的列（行）向量线性无关 是正定矩阵 与同阶单位阵等价 是初等阵总有唯一解R⎫⎪−−−→⎬⎪⎭具有向量组等价相似矩阵反身性、对称性、传递性矩阵合同 √ 关于12,,,n e e e ⋅⋅⋅：①称为n ¡的标准基，n ¡中的自然基，单位坐标向量； ②12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性无关； ③12,,,1n e e e ⋅⋅⋅=； ④tr()=E n ；⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性表示.√ 行列式的计算：① 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则(1)mn A A A A BBBBAA B B οοοοο*===**=-②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.③关于副对角线：(1)211212112111(1)n n nnn n n n n n n a a a a a a a a a οοο---*==-K NN√ 逆矩阵的求法:①1A A A*-=②1()()A E E A -−−−−→MM 初等行变换③11a b d b c d c a ad bc --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ TT T TT A B A C C D BD ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦④12111121n a a n a a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦OO21111211na a n a a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦NN⑤11111221n n A A A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦OO11121211n nA A A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦N N √ 方阵的幂的性质：m n m n A A A += ()()m n mn A A =√ 设1110()m m m m f x a x a x a x a --=++++L ，对n 阶矩阵A 规定：1110()m m m m f A a A a A a A a E --=++++L 为A 的一个多项式. √设,,m n n s A B ⨯⨯A 的列向量为12,,,nααα⋅⋅⋅,B 的列向量为12,,,sβββ⋅⋅⋅，AB 的列向量为12,,,s r r r L ,1212121122,1,2,,,(,,,)(,,,),(,,,),,,.i i s s T n n n i i i i r A i s A A A A A B b b b A b b b AB i r A AB i r B βββββββββαααβα==⋅⋅⋅=⎫⎪==++⎪⎬⎪⎪⎭L L L L 则：即 用中简若则 单的一个提即：的第个列向量是的列向量的线性组合组合系数就是的各分量；高运算速度 的第个行向量是的行向量的线性组合组合系数就是的各分量 √ 用对角矩阵Λ左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量； 用对角矩阵Λ右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,与分块对角阵相乘类似,即：11112222,kk kk A B A B A B A B οοοο⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦OO11112222kk kk A B A B AB A B οο⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦O√ 矩阵方程的解法：设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II) 当0A ≠时,,B A B E X −−−−→M M 初等行变换（当为一列时(I)的解法：构造()()即为克莱姆法则） T T T TA XB X X =(II)的解法：将等式两边转置化为，用(I)的方法求出，再转置得√ Ax ο=和Bx ο=同解（,A B 列向量个数相同）,则：① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性； ③ 它们有相同的内在线性关系.√ 判断12,,,s ηηηL 是0Ax =的基础解系的条件： ① 12,,,s ηηηL 线性无关； ② 12,,,s ηηηL 是0Ax =的解；③ ()s n r A =-=每个解向量中自由变量的个数.① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关. ③ 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关.④ 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. ⑤ 两个向量线性相关⇔对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关. ⑥ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅中任一向量i α(1≤i ≤)n 都是此向量组的线性组合.⑦ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关⇔向量组中至少有一个向量可由其余1n -个向量线性表示. 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关⇔向量组中每一个向量i α都不能由其余1n -个向量线性表示. ⑧ m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关()r A n ⇔<； m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关()r A n ⇔=. ⑨ ()0r A A ο=⇔=.⑩ 若12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关，而12,,,,n αααβ⋅⋅⋅线性相关,则β可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且表示法惟一. ⑪ 矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩. 阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.⑫ 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系. 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.12,,,n ααα⋅⋅⋅和12,,,n βββ⋅⋅⋅可以相互线性表示. 记作：{}{}1212,,,,,,n n αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅%A 经过有限次初等变换化为B . 记作：A B =%⑬ 矩阵A 与B 等价⇔()(),r A r B A B =≠>作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价. 矩阵A 与B 作为向量组等价⇔1212(,,,)(,,,)n n r r αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=1212(,,,,,,)n n r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒ 矩阵A 与B 等价.⑭ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示⇔1212(,,,,,,)n s r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅⇒12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅≤12(,,,)n r ααα⋅⋅⋅. ⑮ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且s n >，则12,,,s βββ⋅⋅⋅线性相关. 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅线性无关,且可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,则s ≤n .⑯ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅,则两向量组等价； ⑰ 任一向量组和它的极大无关组等价.⑱ 向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等. ⑲ 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.⑳ 若A 是m n ⨯矩阵,则{}()min ,r A m n ≤,若()r A m =，A 的行向量线性无关； 若()r A n =，A 的列向量线性无关,即：12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关.Ax β=1122n n x x x αααβ+++=L1112111212222212,,n n m m mn n m a a a x b a a a x b A x a a a x b β⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦L L M M M M M L 12,1,2,,j j jmj j n αααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L M1212120,,,0,,,()(),,,A n A n n Ax Ax A nAx Ax A Ax r A r A n βοαααβοβαααββααα⇒⇔==−−−−−→=<<≠⇒⇒⇔==−−−−−→≠⇔=⇔=<≠=⇒L L M L 当为方阵时当为方阵时有无穷多解有非零解线性相关 有唯一组解只有零解可由线性表示有解线性无关 12()(),,,()()()1()A n r A r A Ax r A r A r A r A ββαααβββ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪−−−−−→⎪⎩⇔≠⎧⎪⇔=⇔<⎨⎪⇔+=⎩ML M M 当为方阵时 克莱姆法则 不可由线性表示无解线性方程组解的性质：1212121211221212(1),0,(2)0,,(3),,,0,,,,,(4),0,(5),,0(6)k k k k Ax Ax k k Ax k Ax Ax Ax Ax Ax ηηηηηηηηηλλλληληληγβηγηβηηβηη=+⎫⎪=⎪⎬=⎪⎪++⎭==+==-=L L 是的解也是它的解 是的解对任意也是它的解齐次方程组 是的解对任意个常数 也是它的解 是的解是其导出组的解是的解 是的两个解是其导出组的解211212112212112212,0(7),,,,100k k k k k k k Ax Ax Ax Ax Ax ηβηηηηηηβληληληβλλλληληληλλλ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪=⇔-=⎪=⎪⎪++=⇔++=⎪⎪++=⇔++=⎩L 是的解则也是它的解是其导出组的解 是的解则也是的解 是的解√ 设A 为m n ⨯矩阵,若()r A m =,则()()r A r A β=M ,从而Ax β=一定有解. 当m n <时,一定不是唯一解.⇒<方程个数未知数的个数向量维数向量个数,则该向量组线性相关.m 是()()r A r A βM 和的上限. √ 矩阵的秩的性质：① ()()()T T r A r A r A A == ② ()r A B ±≤()()r A r B + ③ ()r AB ≤{}min (),()r A r B④ ()0()00r A k r kA k ≠⎧=⎨=⎩ 若 若⑤ ()()A r r A r B B οο⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⑥0,()A r A ≠若则≥1⑦ ,,()0,()()m n n s A B r AB r A r B ⨯⨯=+若且则≤n ⑧ ,()()()P Q r PA r AQ r A ==若可逆,则 ⑨ ,()()A r AB r B =若可逆则,()()B r AB r A =若可逆则⑩ (),()(),r A n r AB r B ==若则且A 在矩阵乘法中有左消去律:0AB B AB AC B Cο=⇒==⇒=n 个n 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.(,)0αβ=.1α==.√ 内积的性质： ① 正定性：(,)0,(,)0αααααο≥=⇔=且 ② 对称性：(,)(,)αββα=③ 双线性：1212(,)(,)(,)αββαβαβ+=+ 1212(,)(,)(,)ααβαβαβ+=+ (,)(,)(,)cc c αβαβαβ==123,,ααα线性无关,112122111313233121122(,)()(,)(,)()()βααββαβββαβαββαββββββ=⎧⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=--⎪⎩正交化单位化：111βηβ= 222βηβ= 333βηβ= T AA E =.√ A 是正交矩阵的充要条件：A 的n 个行（列）向量构成n ¡的一组标准正交基. √ 正交矩阵的性质：① 1T A A -=；② T T AA A A E ==；③ A 是正交阵,则T A （或1A -）也是正交阵； ④ 两个正交阵之积仍是正交阵； ⑤ 正交阵的行列式等于1或-1.E A λ-.()E A f λλ-=.0E A λ-=. Ax x Ax x λ=→ 与线性相关 √ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n 各元素.√ 若0A =,则0λ=为A 的特征值,且0Ax =的基础解系即为属于0λ=的线性无关的特征向量. √ 12n A λλλ=L 1ni A λ=∑tr√ 若()1r A =,则A 一定可分解为A =[]1212,,,n n a a b b b a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L M 、21122()n n A a b a b a b A =+++L ,从而A的特征值为：11122n n A a b a b a b λ==+++L tr , 230n λλλ====L . √ 若A 的全部特征值12,,,n λλλL ，()f x 是多项式,则:① ()f A 的全部特征值为12(),(),,()n f f f λλλL ；② 当A 可逆时,1A -的全部特征值为12111,,,n λλλL , A *的全部特征值为12,,,n A A AL .√ 1122,.m m Ak kA a b aA bEAA AA A λλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩是的特征值则:分别有特征值 √ 1122,m m Ak kAa b aA bEAx A x A A A λλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩是关于的特征向量则也是关于的特征向量. 1B P AP -= （P 为可逆阵） 记为：A B :√ A 相似于对角阵的充要条件：A 恰有n 个线性无关的特征向量. 这时,P 为A 的特征向量拼成的矩阵，1P AP -为对角阵,主对角线上的元素为A 的特征值. √ A 可对角化的充要条件：()i i n r E A k λ--= i k 为i λ的重数. √ 若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值,则A 与对角阵相似.1B P AP -= （P 为正交矩阵） √ 相似矩阵的性质：① 11A B --: 若,A B 均可逆② T T A B :③ k k A B : （k 为整数）④ E A E B λλ-=-,从而,A B 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.即:x 是A 关于0λ的特征向量,1P x -是B 关于0λ的特征向量. ⑤ A B = 从而,A B 同时可逆或不可逆 ⑥ ()()r A r B = ⑦ ()()A B =tr tr√ 数量矩阵只与自己相似. √ 对称矩阵的性质：① 特征值全是实数,特征向量是实向量； ② 与对角矩阵合同；③ 不同特征值的特征向量必定正交；④ k 重特征值必定有k 个线性无关的特征向量；⑤ 必可用正交矩阵相似对角化（一定有n 个线性无关的特征向量,A 可能有重的特征值,重数=()n r E A λ--）.A 与对角阵Λ相似. 记为：A Λ: （称Λ是A √ 若A 为可对角化矩阵,则其非零特征值的个数（重数重复计算）()r A =. √ 设i α为对应于i λ的线性无关的特征向量,则有：[]121212112212(,,,)(,,,)(,,,),,,n n n n n n PA A A A λλααααααλαλαλααααλΛ⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L L O1442443144424443. √ 若A B :, C D :,则：A B C D οοοο⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦:. √ 若A B :,则()()f A f B :,()()f A f B =.12(,,,)T n f x x x X AX =L A 为对称矩阵 12(,,,)T n X x x x =LT B C AC =. 记作：A B ; （,,A B C 为对称阵为可逆阵） √ 两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数. √ 两个矩阵合同的充分条件是：A B : √ 两个矩阵合同的必要条件是：()()r A r B =√ 12(,,,)Tn f x x x X AX =L 经过正交变换合同变换可逆线性变换X CY =化为2121(,,,)nn i i f x x x dy =∑L 标准型.√ 二次型的标准型不是惟一的,与所作的正交变换有关,但系数不为零的个数是由{()r A +正惯性指数负惯性指数惟一确定的.√ 当标准型中的系数i d 为1，-1或0时,√ 实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数.√ 任一实对称矩阵A 与惟一对角阵111100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦O OO合同.√ 用正交变换法化二次型为标准形:① 求出A 的特征值、特征向量； ② 对n 个特征向量单位化、正交化； ③ 构造C （正交矩阵）,1C AC -=Λ；④ 作变换X CY =,新的二次型为2121(,,,)nn i i f x x x d y =∑L ,Λ的主对角上的元素i d 即为A 的特征值.12,,,n x x x L 不全为零，12(,,,)0n f x x x >L . 正定二次型对应的矩阵. √ 合同变换不改变二次型的正定性. √ 成为正定矩阵的充要条件（之一成立）：① 正惯性指数为n ； ② A 的特征值全大于0；③ A 的所有顺序主子式全大于0；④ A 合同于E ，即存在可逆矩阵Q 使T Q AQ E =； ⑤ 存在可逆矩阵P ，使T A P P = （从而0A >）；⑥ 存在正交矩阵，使121T n C AC C AC λλλ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦O （i λ大于0）. √ 成为正定矩阵的必要条件：0ii a > ； 0A >.。

线性代数知识点总结1 行列式（一）行列式概念和性质1、逆序数：所有的逆序的总数2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质：（用于化简行列式）（1）行列互换（转置），行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。

（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。

（6）两行成比例，行列式的值为0。

（二）重要行列式4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式数学归纳法证明★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值：（三）按行（列）展开9、按行展开定理：（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0（四）行列式公式10、行列式七大公式：（1）|kA|=k n|A|（2）|AB|=|A|·|B|（3）|A T|=|A|（4）|A-1|=|A|-1（5）|A*|=|A|n-1（6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则（7）若A与B相似，则|A|=|B|（五）克莱姆法则11、克莱姆法则：（1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0（3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。

2 矩阵（一）矩阵的运算1、矩阵乘法注意事项：（1）矩阵乘法要求前列后行一致；（2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律）（3）AB=O不能推出A=O或B=O。

线性代数总结知识点线性代数是数学的一个分支，主要研究向量、向量空间（也称为线性空间）、线性变换以及线性方程组的理论。

它是现代数学的基础工具之一，广泛应用于物理学、工程学、计算机科学、经济学和社会科学等领域。

以下是线性代数的一些核心知识点总结：1. 向量与向量运算- 向量的定义：向量可以是有序的数字列表，用于表示空间中的点或方向。

- 向量加法：两个向量对应分量相加得到新的向量。

- 标量乘法：一个向量与一个标量相乘，每个分量都乘以该标量。

- 向量的数量积（点积）：两个向量的对应分量乘积之和，用于计算向量的长度或投影。

- 向量的向量积（叉积）：仅适用于三维空间，结果是一个向量，表示两个向量平面的法向。

2. 矩阵- 矩阵的定义：一个由数字排列成的矩形阵列。

- 矩阵加法和减法：对应元素相加或相减。

- 矩阵乘法：第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数，结果矩阵的每个元素是两个矩阵对应行列的乘积之和。

- 矩阵的转置：将矩阵的行变成列，列变成行。

- 单位矩阵：对角线上全是1，其余位置全是0的方阵。

- 零矩阵：所有元素都是0的矩阵。

3. 线性相关与线性无关- 线性相关：如果一组向量中的任何一个可以通过其他向量的线性组合来表示，则这组向量是线性相关的。

- 线性无关：如果只有所有向量的零组合才能表示为零向量，则这组向量是线性无关的。

4. 向量空间（线性空间）- 定义：一组向量，它们在向量加法和标量乘法下是封闭的。

- 子空间：向量空间的子集，它自身也是一个向量空间。

- 维数：向量空间的基（一组线性无关向量）的大小。

- 基和坐标：向量空间的一组基可以用来表示空间中任何向量的坐标。

5. 线性变换- 定义：保持向量加法和标量乘法的函数。

- 线性变换可以用矩阵表示，矩阵的乘法对应线性变换的复合。

6. 特征值和特征向量- 特征值：对应于线性变换的标量，使得变换后的向量与原向量成比例。

- 特征向量：与特征值对应的非零向量，变换后的向量与原向量方向相同。