数理经济学试题3

《数理经济学》参考习题说明：以下习题主要在于帮助读者进一步理解和掌握相关的最优化方法。

而对相关数学最优化定理推导的深入理解将非常有助于对该原理的掌握，因此相关定理的证明可以作为习题，鉴于篇幅，在习题中不再重复。

另一方面，对经济学分析如何应用最优化数学方法，建议读者进一步阅读参考文献中的相关微观经济学和宏观经济学的高级教程。

另，以下习题中相关定理和例题的编号为教材中的编号。

第一部分 非线性规划与应用1. 如序中所提到的，目标函数和约束函数均为线性函数时称为线性规划问题，线性是非线性的一个特例，考虑以下的线性规划问题，min : T c x..:0s t Ax ≤ 0x ≥其中nx R ∈，c 为维向量，为n A m n ×矩阵。

导出该线性规划问题的Kuhn-Tucker 最优性条件。

2. 当非线性规划问题中的目标函数为二次函数，约束函数为线性函数时，称为二次规划问题。

导出以下二次规划问题的Kuhn-Tucker 最优性条件。

1min : 2T Ta c x x Hx ++..:s t Ax b =0x ≥其中为常数，为维向量，为a c n H n n ×对称矩阵，为A m n ×矩阵。

3. 考虑以下非线性规划问题：12max : x x −221..:0s t x x −+≤110x −≤ 20x −≤画图分析该问题的最优解，并讨论在最有解点是否满足Kuhn-Tucker 条件或Fritz John 条件。

14. 求解以下非线性规划问题：221122min : 23x x x x x −+− 212..:42s t x x −+≤1234x x +≤6)2 10x ≥，20x ≥5. 分析点*(4,3)是否为满足以下非线性规划问题的二阶条件的最优解：x =()(2212max : 34x x −+− 2212..:25s t x x +≤127x x +≥ 10x ≥，20x ≥6. 考虑下述含参数的非线性规划问题：11min : x u x −− 2212..:1s t x x u +≤−2用()x u 表示最优解，表示最优值函数，利用定理2.1.2和定理2.2.1的公式计算()u Φ()x u ∇，在和的值。

数理金融练习题1. 简答题1.1 请简述数理金融的定义，并说明其在金融领域中的应用。

数理金融是数学、统计学和金融学的交叉学科，研究运用数学和统计方法解决金融问题的理论和方法。

它主要运用概率论、微积分、随机过程等数学工具来分析和建模金融市场的风险和回报，为金融决策制定提供科学依据。

在金融领域中，数理金融可用于风险管理、资产定价、投资组合优化等方面。

例如，通过运用数理金融方法，可以衡量金融资产的价格波动风险，为金融机构提供风险控制措施；同时，数理金融还可以帮助投资者在不同资产之间进行有效的配置，以最大化投资组合的预期收益。

1.2 请简要介绍一下随机过程在数理金融中的应用。

随机过程是数理金融中常用的一种数学模型，它刻画了一系列随机事件随时间的变化过程。

在数理金融中，随机过程可以用来描述金融市场中的价格走势、利率变动等不确定性因素。

常见的随机过程模型包括布朗运动、几何布朗运动、扩散过程等。

随机过程在数理金融中的应用广泛，例如，通过建立随机过程模型，可以预测股票价格的未来演变，为投资者提供决策参考。

此外，随机过程还可用于衡量金融产品的风险价值，对金融衍生品的定价进行分析，以及评估投资组合的风险收益特征等方面。

2. 计算题2.1 假设某股票的价格服从几何布朗运动模型，其价格演化满足如下随机微分方程：dS = u * S * dt + σ * S * dz其中，S为股票价格，t为时间，u为收益率，σ为波动率，dz为布朗运动的微分项。

请计算在给定参数下，该股票的价格在一年之后的期望值和方差。

解：根据几何布朗运动的性质，该股票的价格演化方程可以写成如下形式：dln(S) = (u - 0.5 * σ^2) * dt + σ * dz其中，ln(S)为股票价格的对数。

根据该方程，可以推导出ln(S)的解析解为：ln(S(t)) = ln(S(0)) + (u - 0.5 * σ^2) * t + σ * W(t)其中，W(t)为标准布朗运动。

数理金融习题答案数理金融是一门结合了数学和金融学的学科，它运用数学模型和统计方法来分析金融市场和金融产品。

在数理金融的学习过程中，习题是不可或缺的一部分。

通过解答习题，我们可以加深对数理金融理论的理解，并提高解决实际问题的能力。

下面，我将为大家提供一些数理金融习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。

第一题：假设某只股票的价格服从几何布朗运动，其漂移率为0.05，波动率为0.2。

如果当前股票价格为100元，且时间为1年，求1年后股票价格为120元的概率。

答案：根据几何布朗运动的性质，股票价格的对数服从正态分布。

设股票价格的对数为X，则有X ~ N((0.05-0.2^2/2)*1, 0.2^2*1)，即X ~ N(0.03, 0.04)。

将120元转化为对数形式，即ln(120)，然后代入正态分布的公式，可以计算出概率为P(X > ln(120))。

最后，利用统计软件或查表工具，可以得到答案。

第二题：假设某只期权的价格为5元，行权价为100元，无风险利率为0.05，期权到期时间为3个月，波动率为0.3。

求该期权的Delta值。

答案：Delta值表示期权价格对标的资产价格变动的敏感性。

对于欧式期权，Delta值可以通过期权定价模型计算得到。

常用的期权定价模型有布莱克-斯科尔斯模型和它的变种。

根据布莱克-斯科尔斯模型，Delta值可以通过期权定价公式中的一阶偏导数来计算。

对于看涨期权，Delta值为N(d1)，对于看跌期权，Delta值为N(d1)-1，其中N(x)表示标准正态分布函数，d1的计算公式为：d1 = (ln(S/X) + (r + σ^2/2)T) / (σ√T)其中，S为标的资产价格，X为行权价，r为无风险利率，σ为波动率，T为期权到期时间。

将题目中给定的参数代入公式，即可计算出该期权的Delta值。

第三题：假设某只债券的到期时间为5年，票面利率为5%，市场利率为4%，票面价值为100元。

Problem Set 4 光滑函数1.（3.2）计算 CES 函数()( )⁄的 Hessi 矩阵解：一阶导数为：( )⁄( )⁄二阶导数为：()( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )()( )( )( )( ) ( )Hessi 矩阵为：()[]()( )()( )[] ()( )()( ) []()( )2.（3.3）计算二次函数()在点(0,0)附近的二次Taylor 展开式。

3.(3.5)证明以下结论成立：（1）CES函数()( )⁄是1次齐次的。

证明:令t>0，则有：(t )[(t )(t )(t )]⁄t( )⁄t ( )从而可知，CES函数()( )⁄是1次齐次的。

（2）证明：令t>0，则有：v(tp,tm)[m u() s.t. (tp)≤(tm)][m u() s.t. p ≤m]v(p,m)故v(p,m)在p和m中是0次齐次的。

（3）证明：令t>0，则有：Π(tp)[m (tp)T y s.t. ( )≥y]t[m (p)T y s.t. ( )≥y]tΠ(p)从而可知利润函数Π(p)是1次齐次的。

（4）证明：令t>0，则有(tw,y)[min(tw)T s.t. ( )≥y]t[min(w)T s.t. ( )≥y]t (w,y)可知成本函数(w,y)在投入价格w中是1次齐次的。

证明：由于生产函数是1次齐次的，有：(w,y)[min(w)T s.t. ()≥y][min(w)T s.t. (y)≥ ]y[min(w)Ty s.t. (y)≥ ]y[min(w)T z s.t. (z)≥ ]y (w,)其中，令zy证毕。

Problem Set 5 凹函数1. (3.7)必要性：由已知可得f()函数是凹函数，变量都在其定义域内。

对于α∀∈[0 1],有1212[(1)][((1))]g t t f x t t v αααα+-=++- 12[()(1)()]f x t v x t v αα=++-+ 12()(1)()f x t v f x t v αα≥++-+ 12()(1)()g t g t αα=+- 从而可知函数g （t ）是在定义域上是凹函数。

一、集合的证明：1. 证明： (1) 任意闭集类的交集是闭集；(2) 有限闭集类的并集是闭集。

证：（1）对于所有i I ∈，I 是一个指标集，i S 是闭集，即其补集C i S 是开集。

根据德·莫甘定律，有 CC i i i I i I S S ∈∈⎛⎞=⎜⎟⎝⎠∩∪，因为开集的并集是开集，即Ci i IS ∈∪是开集。

Ci i I S ∈⎛⎞∴⎜⎟⎝⎠∩是开集。

i i I S ∈∴∩是闭集，即任意闭集的交是闭集。

（2）同理，对于所有的 1,2,...i n =，i S 是闭集，即说明其补集C i S 是开集。

根据德·莫甘定律，有()11CnnC ii i i S S ===∪∩，因为任何有限个开集的交集是开集，即1nCi i S =∩是开集。

()1Cnii S =∴∪是开集。

1ni i S =∴∪是闭集，即有限个闭集的并集是闭集。

2. 设函数i f S T →：是一个连续函数，其中{}220,1,2,...,i S x i n ≡≤≤=x ，{}410T x x ≡≤≤。

证明：()0i i f x −=x 有解。

证明：在S 中任取两点1x ，2x ，对于[0,1]t ∀∈，令12(1)t t t =+−x x x ，即有12(1)t i i i x tx t x =+−。

依题意，有1220i x ≤≤，2220i x ≤≤。

则1220i t tx t ≤≤，22(1)(1)20(1)i t t x t −≤−≤−；122(1)20i i tx t x ∴≤+−≤，即220t i x ≤≤。

t ∴x 也在S 中。

∴S 是凸集。

又{}220,1,2,...,i S x i n ≡≤≤=x ∵，∴显然的，S 是紧集。

令12()((),(),,())n T F x f x f x f x = ，显然，F （x ）为连续函数，且4()82()20,1,2,,i i f x f x i n ≤≤⇒≤≤= ， 这表明()F x S ∈，即F 为S S →的连续映射。

注意：答案按题序写在专用答题纸上，写在本试卷或草稿纸上者一律不给分（因答题纸不够而另外由考场添加的答题纸除外）。

考试后要求试卷和答题纸同时上交.1. (12%)设S 与T 是凸集。

证明下面每个集合也是凸的：（1）、{}S s -s,x x ∈=≡-S（2）、{}T t ,S s t,-s x x ∈∈=≡-T S2. (12%)设f 和g 为nR D ⊆上的实值凹函数，,0,0>>g f 证明：它们的乘积)x ()x ()x (g f h =在D 上是拟凹的。

3. (12%)解答下列最优化问题：（1）、的局部极值点求222121212123126),(x x x x x x x x f ++++=及对应的函数值；（2）、函数33121212(,)3f x x x x x x =--是否存在极值，如果存在，求出极值，并判断是极大值还是极小值。

4. (12%)设函数T S f i →:是一个连续函数，其中},...,2,1,202{n i x X S i =≤≤=，}104{≤≤=x x T 。

证明：0)x (=-i i x f 有解。

5. (12%)考虑下面的问题：22121),(max x x x x f = a x x t s =+22212..已知3=a 时此问题的最优解为：)5.0,1,1())(),(),((21=a a x a x λ增加0.3个单位时，目标函数的最优值增加多少？6. (12%)求解最优化问题： ∏=∈+n i i R X i x 12max αm X P t s T ≤..厦门大学《数理经济学》课程试卷 经济 学院＿2009＿年级 研究生各专业其中.2,1,0,,=>i m p i i α7. (14%)求解下列微分方程系统，并分析系统的稳定性（1）X X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1243 （2）⎩⎨⎧--=+-=xy x yy x x 2 8. (14%)考虑微分方程y y dtdy ln 3--= （1）证明存在一点*y 使得**--y y ln 3=0，因此微分方程有均衡点*y ；（2）画出y y dtdy ln 3--=的相位图的略图； （3）讨论时间路径的定性性质（即均衡点的稳定性）；。

第三章作业参考答案 3.2 解： 由题意知，AT = f(x)/x 在 x*处达到极值，由极值的必要条件知， (AT)′|x=x* = [x*f′ (x*) − f(x*)]/(x*)2 = 0 从而 f ′(x*) = f(x*)/ x*，因此总函数在 x*处的点弹性为E=df ( x) dxf ( x) x * f ′( x*) = =1 x f ( x*)即此点弹性为单位弹性。

3.3 证明： 令 u = f(x)，v = g(x)，二者的乘积记为 y = uv = f(x)g(x)。

需证明，Eyx = Eux+Evx。

事实上， Eyx = dlny/dlnx = (dlnu + dlnv)/dlnx = dlnu/dlnx + dlnv/dlnx = Eux + Evx 3.12 （1） 图示如下：（2） 验证定理 A．验证定理 3.3.1 由于 TP(K) = 90K2 −K3，所以 AP(K) = TP(K)/K = 90K − K2，MP(K) = 180K − 3K2。

结论（1）和（2）的验证如下： 平均产量函数 AP(K)的递增和递减区间的分界点满足 90K −K2 = 180K − 3K2，解得 Ks= 45，也可解方程 AP′(K) = 90 − 2K = 0 获得这个分界点。

1经验证，在区间(0，45)上 AP′(K) > 0，在区间(45，+∞)上 AP′(K) < 0，因此 AP(K)在[0 ， 45]上递增，在[45 ， +∞)上递减；在区间(45，+∞)上 MP(K) > AP(K)，在区间[45 ， +∞) 上 MP(K) < AP(K)。

（3）的验证如下: 若 AP(K)在 KS 处获得极大值，由极值的必要条件，则 AP′(KS) = 0，即 90 − 2KS = 0，即 KS = 45，且有 AP(KS) = MP(KS) = 2025。

《数理金融分析—基础原理与方法》习题参考答案第一章（P52）题1-1 希德劳斯基模型的金融学含义是什么？解：参考方程（1.2.13）式后面的一个自然段。

题1-2 欧拉方程的经济学和金融学的含义是什么？解：参考方程（1.5.9）式和方程（1.5.10）式后面的一个自然段。

题1-3 如果你借款1000美元，并以年利率8%按每季度计息一次的复利形式支付利息，借期为一年。

那么一年后你欠了多少钱？解： 每季度计息一次的8%的年复合利率，等价于每个季度以2%的单利利率支付一次利息，而每个季度索要的利息，不仅要考虑原有的本金，而且还要加上累计到该时刻的利息。

因此，一个季度后你的欠款为： 1000(1+0.02)两个季度后你的欠款为： 21000(1+0.02)(1+0.02)1000(1+0.02)=三个季度后你的欠款为： 231000(1+0.02)(10.02)1000(1+0.02)+=四个季度后你的欠款为：341000(1+0.02)(10.02)1000(1+0.02)1082.40+==题1-4 许多信用卡公司均是按每月计息一次的18%的年复合利率索要利息的。

如果在一年的年初支付金额为P ，而在这一年中并没有发生支付，那么在这一年的年末欠款将是多少？ 解：这样的复合利率相当于每个月以月利率1812%1.5%=支付利息，而累计的利息将加到下一个月所欠的本金中。

因此，一年后你的欠款为： 12P(1+0.015)1.1956P =题1-5 如果一家银行所提供的利息是以名义利率5%连续地计算利息，那么每年的有效利率应该是多少？解：有效利率应为：0.050.05eff Pe P r e 10.05127P-==-≈ 即有效利率是每年5.127%。

题1-6 一家公司在未来的5年中需要一种特定型号的机器。

这家公司当前有一台这种机器，价值6000美元，未来3年内每年折旧2000美元，在第三年年末报废。

该机器开始使用后，第一年运转费用在该年年初值为9000美元，之后在此基础上每年增加2000美元。