人教版九年级数学知识点

第二十六章 二次函数

目标 掌握二次函数的图象特征，最大（小）值的计算，熟练用二次函数解决实际问题。

重点 二次函数的图象特征，最大（小）值的计算

难点 用二次函数解决实际问题

章节

内容 第一节：二次函数及其图象

1.1 二次函数

一般地，形如)0,(acbacbxaxy是常数、、的函数叫做二次函数。其中，x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。

1.2 二次函数2axy的图象

二次函数2axy的图象是一条曲线，叫做抛物线2axy。该图象关于y轴对称，与y轴的交点（0,0）叫做抛物线的顶点，顶点是抛物线的最低点或最高点。

当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口越大。

1.3 二次函数khxay2)(的图象

抛物线khxay2)(的图象是把2axy向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线khxay2)(。平移的方向、距离要根据h、k的值来决定。

抛物线khxay2)(有如下特点：

（1）当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下；

（2）对称轴是直线x=h；

（3）顶点坐标是（h，k）。

1.4 二次函数cbxaxy2的图象

一般地，用配方法求抛物线)0(2acbxaxy的顶点与对称轴。

abacabxacbxaxy44)2(22

因此，抛物线cbxaxy2的对称轴是abx2，顶点坐标是（ab2，abac442）。

1.5 用待定系数法求二次函数的解析式

求二次函数cbxaxy2的解析式，关键是求出待定系数a、b、c的值。由已知条件（如二次函数图象上三个点的坐标）列出关于a、b、c的方程组，并求出a、b、c，就可以写出二次函数的解析式。

第二节：用函数观点看一元二次方程

第1页 共7页 旋转知识点总结与练习

知识点1

旋转的定义

把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度的图形变换叫做_____，点O叫做旋转中心，________叫做旋转角.

要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.

1. 如图,将正方形图案绕中心O旋转180°后,得到的图案是 （ ）

2. 如图2，该图形围绕自己的旋转中心，按下列角度旋转后，不能与其自

身重合的是（ ）

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

旋转的性质

(1)对应点到旋转中心的距离________；

(2)对应点与旋转中心所连的线段的夹角等于________；

(3)旋转前后的两个图形______.

要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.

3. 如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B′位置，A点落在A′

位置，若AC⊥A′B′，则∠BAC的度数是（ ）

A．50° B．60° C．70° D．80°

4.如图，直线与轴、轴分别交于、两点，把△绕点顺

时针旋转90°后得到△，则点的坐标是

A. （3，4） B. （4，5） C. （7，4） D. （7，3）

旋转的作图: 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键，沿指定的方72108144216443yxxyABAOBAAOBB

第2页 共7页 向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．

5．在下图4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其

旋转中心可能是 （ ）

A.点A B.点B C.点C D.点D

知识点2

中心对称

把一个图形绕着某一点旋转_____，如果它能够与另一个图形____，那么就说这两个图形关于这个点对称或______，这个点叫做______，旋转后能够重合的对应点叫做关于对称中心的_______.

第二十六章、反比例函数

知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质

1.反比例函数的概念 （1）定义：形如y＝kx(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．

（2）形式：反比例函数有以下2种基本形式：

①y＝kx；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)

例：函数y=3xm+1，当m=－2时，则该函数是反比例函数．

2.反比例函数的图象和性质 k的符号 图象 经过象限 y随x变化的情况

k>0

图象经过第一、三象限

（x、y同号） 每个象限内，函数y的值随x的增大而减小.

k<0

图象经过第二、四象限

（x、y异号） 每个象限内，函数y的值随x的增大而增大.

3.反比例函数的图象特征 （1）由两条曲线组成，叫做双曲线；

（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；

（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．

4.待定系数法 只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数k即可.例：已知反比例函数图象过点（－3，－1），则它的解析式是y=3/x

知识点二 ：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合

5.系数k的几何意义 （1）意义：从反比例函数y＝kx(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.

（2）常见的面积类型：

失分点警示

已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则k＜0.

例：已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3，则该反比例函数解析式为：3yx或3yx

6.与一次函数的综合 （1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.

九年级 数学 上册数学期末复习提纲

章节 难易程度 重难点分析 知识点归纳 知识拓展

第一章

二次函数 ★★★★★ 1、二次函数的图像

2、二次函数的性质以及性质的综合应用

3、二次函数的应用性问题：①面积最值问题②高度、长度最值问题③利润最大化问题④求近似解 1、二次函数的概念y=ax2+bx+c(a≠0)

2、求二次函数的解析式

一般式y=ax2+bx+c、

顶点式y=a（x+m）2+k

交点式y=a（x-x1）(x-x2)

3、二次函数的图像和性质

当a>0时，图像开口向上，有最低点，有最小值

当a<0时，图像开口向下，有最高点，有最大值

顶点式对称轴：直线x=-m

一般式对称轴：直线x=-b/2a

交点式对称轴：直线x=（x1+x2）/2

4.二次函数图像的平移

函数y=a（x+m）2+k的图像，可以由函数y=ax2

的图像先向右（当m<0时）或向左（m>0时）平移|m|个单位，再向上（当k>0时）或向下（当k<0时）平移|k|个单位得到

4、抛物线与系数的关系

二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；

当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。

常数项c决定抛物线与y轴交点

抛物线与y轴交于（0，c）

抛物线与x轴交点个数

Δ=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

Δ=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点

5、二次函数的应用 初中数学最重要的部分，在中考中占的比重大，跟其他知识点联系多，以数形结合的题型考查几何，解方程、代数等都相互联系，知识点多题型多变，压轴题多以此为出题点

1、考查形式：以选择题、填空题形式考察二次函数图像的性质，以解答题形式考察以二次函数为载体的综合题。