阶段测试卷第四章

第四章 平 面 向 量

(时间：120分钟 满分：150分)

一、 选择题(每小题5分，共60分)

1. (2014·保定模拟)下列说法正确的是(D)

A. 数量可以比较大小，向量也可以比较大小

B. 方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小

C. 向量的大小与方向有关

D. 向量的模可以比较大小

A中不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，∴A不正确；由A的过程分析可知方向相同的向量也不能比较大小，∴B不正确；C中向量的大小即向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，∴C不正确；D中向量的模是一个数量，可以比较大小，∴D正确．

2. (2013·九江模拟)已知在△ABC中，AB→＝a，AC→＝b，且 a·b＜0，则△ABC的形状为(A)

A. 钝角三角形 B. 直角三角形

C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形

∵a·b＝|a||b|cos ∠BAC＜0，∴cos ∠BAC＜0, ∴90°＜∠BAC＜180°，故△ABC是钝角三角形．

3. (2013·西安八校联考)已知作用在点A(1，1)的三个力 F1＝(3，4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3，1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标是(B)

A. (8，0) B. (9，1) C. (－1，9) D. (3，1)

F＝(8，0)，故终点坐标为(8，0)＋(1，1)＝(9，1)．

4. (2014·大连模拟)已知四边形ABCD是一菱形，则下列等式中成立的是(C)

A. AB→＋BC→＝CA→ B. AB→＋AC→＝BC→

C. AC→＋BA→＝AD→ D. AC→＋AD→＝DC→

对于A，AB→＋BC→＝AC→≠CA→；对于B，AB→＋AC→≠BC→；对于C，AC→＋BA→＝BA→＋AC→＝BC→，又AD→＝BC→，∴AC→＋BA→＝AD→；对于D，AC→＋AD→≠DC→.

5. (2014·滕州质检)已知向量a，b，设AB→＝a＋2b，BC→＝－5a＋6b，CD→＝7a－2b，那么下列各组中三点一定共线的是(C)

A. A，B，C B. A，C，D C. A，B，D D. B，C，D 由向量的加法法则知BD→＝BC→＋CD→＝－5a＋6b＋7a－2b＝2(a＋2b)＝2AB→，又两线段均过点B，故A，B，D三点一定共线．

6. (2014·大庆检测)在△ABC中，AD→＝14AB→，DE∥BC，且DE与AC相交于点E，M是BC的中点，AM与DE相交于点N，若AN→＝xAB→＋yAC→(x，y∈R)，则x＋y等于(C)

A. 1 B. 12 C. 14 D. 18

AN→＝1214AB→＋14AC→＝18AB→＋18AC→，∴x＝y＝18，即 x＋y＝18＋18＝14.

7. (2014·佛山模拟)已知向量集M＝{a|a＝(1，2)＋λ(3，4)，λ∈R}，N＝{a|a＝(－2，－2)＋μ(4，5)，μ∈R}，则M∩N等于 (C)

A. {(1，1)} B. {(1，1)，(－2，－2)}

C. {(－2，－2)} D. ∅

设a＝(x，y)，对于M，(x，y)＝(1，2)＋λ(3，4)，(x－1，y－2)＝λ(3，4)，x－1＝3λ，y－2＝4λ，∴x－13＝y－24.对于N，(x，y)＝(－2，－2)＋μ(4，5)，(x＋2，y＋2)＝μ(4，5)，x＋2＝4μ，y＋2＝5μ，∴x＋24＝y＋25，解得x＝－2，y＝－2.

8. (2013·南昌模拟)已知平面上三点A，B，C满足|AB→|＝3，|BC→|＝4，|CA→|＝5，则AB→·BC→＋BC→·CA→＋CA→·AB→的值等于 (A)

A. －25 B. －20 C. －15 D. －10

∵AB→＋BC→＋CA→＝0，∴|AB→＋BC→＋CA→|2＝|AB→|2＋|BC→|2＋|CA→|2＋2AB→·BC→＋2BC→·CA→＋2AB→·CA→＝9＋16＋25＋2(AB→·BC→＋BC→·CA→＋AB→·CA→)＝0，

∴AB→·BC→＋BC→·CA→＋CA→·AB→＝－25.

9. (2014·银川模拟)已知向量OA→＝(2，2)，OB→＝(4，1)，在x轴上有一点P使AP→·BP→有最小值，则点P的坐标是(C)

A. (－3，0) B. (2，0) C. (3，0) D. (4，0)

设点P的坐标为(x，0)，则AP→＝(x－2，－2)，BP→＝(x－4，－1).AP→·BP→＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1.当x＝3时，AP→·BP→有最小值1，∴点P的坐标为(3，0)．

10. (2013·天津月考)已知a＝(－3，2)，b＝(－1，0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为(A)

A. －17 B. 17

C. －16 D. 16

λa＋b＝(－3λ－1，2λ)，a－2b＝(－1，2)，∵向量λa＋b与a－2b垂直，∴(λa＋b)(a－2b)＝0，即3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝－17.

11. (2014·金华十校模拟)a，b为非零向量．“a⊥b”是“函数 f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)为一次函数”的(B)

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

若a⊥b，则a·b＝0，f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)＝(a·b)x2＋(b2－a2)x－(a·b)＝(b2－a2)x, 若|a|＝|b|，则f(x)是常数，不是一次函数；若函数f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)为一次函数，则a·b＝0，即a⊥b，∴ “a⊥b”是“函数f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)为一次函数”的必要不充分条件．

12. (2013·天津月考)在平面内，已知|OA→|＝1，|OB→|＝3，OA→·OB→＝0，∠AOC＝30°，设OC→＝mOA→＋nOB→(m，n∈R)，则mn等于(B)

A. ±3 B. ±3

C. ±13 D. ±33

∵∠AOC＝30°，∴〈OA→，OC→〉＝30°.∵OC→＝mOA→＋nOB→，OA→·OB→＝0，∴|OC→|2＝(mOA→＋nOB→)2＝m2|OA→|2＋n2|OB→|2＝m2＋3n2，即|OC→|＝m2＋3n2.OA→·OC→＝OA→(mOA→＋nOB→)＝mOA→2＝m.又OA→·OC→＝|OA→|·|OC→|cos

30°＝m，即m2＋3n2×1×32＝m，平方得m2＝9n2，即m2n2＝9，∴mn＝±3.

二、 填空题(每小题5分，共20分) 13. (2014·洛阳检测)设m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定两向量之间的一个运算为m⊗n＝(ac－bd，ad＋bc)，若已知p＝(1，2)，p⊗q＝(－4，－3)，则q＝__(－2，1)__．

设q＝(x，y)，则由题意可知x－2y＝－4，y＋2x＝－3，解得x＝－2，y＝1，∴q＝(－2，1)．

14. (2013·奉化模拟)已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则|BD→|＝__23__．

易知AC⊥BD，且∠ABD＝30°，设AC与BD交于点O，则AO＝12AB＝1.在Rt△ABO中，易得|BO→|＝3，∴|BD→|＝2|BO→|＝23.

15. (2014·怀远模拟)若P为△ABC的外心，且PA→＋PB→＝PC→，则∠ACB＝__120°__．

由PA→＋PB→＝PC→知四边形ACBP为平行四边形，又P为外心，∴四边形ACBP为菱形，且PA＝PC＝AC，∠ACP＝60°，易得∠ACB＝120°.

16. (2013·滨州模拟)定义平面向量的一种运算：a⊗b＝|a|·|b|sin〈a，b〉，则下列命题：

①a⊗b＝b⊗a；②λ(a⊗b)＝(λa)⊗b；③(a＋b)⊗c＝(a⊗c)＋(b⊗c)；④若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊗b＝|x1y2－x2y1|.

其中真命题是__①④__(写出所有真命题的序号)．

由定义可知b⊗a＝|b|·|a|sin〈a，b〉＝a⊗b, ∴①正确；②当λ＜0时，〈λa，b〉＝π－〈a，b〉，∴(λa)⊗b＝|λa|·|b|sin〈a，b〉＝－λ|a|·|b|sin〈a，b〉，∴②不成立；③∵|a＋b|的长度不一定等于|a|＋|b|，∴③不成立；④(a⊗b)2＝|a|2·|b|2sin2〈a，b〉＝|a|2·|b|2(1－cos2〈a，b〉)＝|a|2·|b|2－|a|2·|b|2cos2〈a，b〉＝|a|2·|b|2－(a·b)2＝(x21＋y21)·(x22＋y22)－(x1x2＋y1y2)2＝(x1y2－x2y1)2，∴a⊗b＝|x1y2－x2y1|，∴④成立．∴真命题是①④.

三、 解答题(共70分)

17. (10分)(2013·上海模拟)已知向量OA→＝(3，－4)，OB→＝(6，－3)，OC→＝(5－x，－3－y)．

(1)若点A，B，C不能构成三角形，求x，y应满足的条件；

(2)若AC→＝2BC→，求x，y的值． (1) 若点A，B，C不能构成三角形，则这三点共线．

由OA→＝(3，－4)，OB→＝(6，－3)，OC→＝(5－x，－3－y)得

AB→＝(3，1)，AC→＝(2－x，1－y)，(2分)

∴3(1－y)＝2－x.

∴x，y满足的条件为x－3y＋1＝0.(6分)

(2)BC→＝(－x－1，－y),

由AC→＝2BC→得

(2－x，1－y)＝2(－x－1，－y)，(8分)

∴2－x＝－2x－2，1－y＝－2y，解得x＝－4，y＝－1.(10分)

18. (10分)(2014·中山质检)已知向量m＝(sin A，cos A)，n＝(cos B，sin

B)，m·n＝sin 2C，且A，B，C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角．

(1)求角C的大小；

(2)若sin A, sin C, sin B成等比数列， 且CA→·(AB→－AC→)＝18, 求c的值．

(1)∵m＝(sin A，cos A)，n＝(cos B，sin B)，m·n＝sin 2C，

∴sin Acos B＋cos Asin B＝sin 2C即sin C＝sin 2C.(2分)

∴cos C＝12，又角C为三角形的内角，∴C＝π3.(4分)

(2)∵sin A，sin C，sin B成等比数列，∴c2＝ab.(6分)

又CA→·(AB→－AC→)＝18，即CA→·CB→＝18，(8分)

∴abcos C＝18.即ab＝36.

∴c2＝ab＝36，即c＝6.(10分)

19. (12分)(2014·景德镇模拟)已知O为坐标原点，向量 OA→＝(sin α，1)，OB→＝(cos α，0)，OC→＝(－sin α，2)，点P满足AB→＝BP→.

(1)记函数f(α)＝PB→·CA→，求函数f(α)的最小正周期；

(2)若O，P，C三点共线，求|OA→＋OB→|的值．

(1)AB→＝(cos α－sin α，－1)，设OP→＝(x，y)，则BP→＝(x－cos α，y)，

由AB→＝BP→得x＝2cos α－sin α，y＝－1，

故OP→＝(2cos α－sin α，－1)．(4分)