基础代数学

第0章 基础知识§0 常用记号记号,,,, 分别表示正整数集、整数集、有理数集、实数集以及复数集。

如果a 是A 的一个元素，则记为a A ∈，反之记为a A ∉。

A B ⊆表示A 是B 的子集，而A B ⊂表示A 是B 的真子集，空集记为∅。

A B 与A B 表示A 与B 的交集与并集，'A 记为A 余集。

A B -表示属于A 但是不属于B 的全部元素，称为A 与B 的差集（difference set ）。

§1 整数§1.1 带余除法我们都已熟知整除的概念：非零整数b 整除a 整数意味着存在整数q ，使得a qb =，习惯记为|b a 。

当然两个整数之间的关系更多是互不整除，因此带余除法就特别有意义。

不少人也已经熟悉带余除法的描述：给定两个整数,a b ，其中0b ≠，则存在整数,q r ，使得等式a qb r =+成立。

但是一个重要的问题是在这种情况下整数,q r 并不唯一，为此必须约定余数r 的取值范围，比如假设0r b ≤<。

定理0.1.1（带余除法 division algorithm ）给定两个整数,a b ，其中0b ≠，并且令0r b ≤<。

则存在唯一整数,q r ，使得等式a qb r =+ （0.1） 成立。

以后我们始终约定0r b ≤<。

定义0.1.1（最大公因子 great common divisor ）对于两个不全为0整数,a b ，如果正整数d 同时整除它们，并且任意整除,a b 的整数c 必然整除d ，则d 称为,a b 的最大公因子。

以下把最大公因子d 记为gcd(,)a b 。

当gcd(,)1a b =时则称,a b 互素（coprime ）。

虽然两个整数,a b 之间互不整除，但是通过不断应用带余除法可以求出它们的最大公因子，而这一过程称为辗转相除法（欧几里德算法 Euclidean algorithm ）。

基代计算公式基本代数公式是学习数学的基础，它是解决数学问题的重要工具。

在学习基本代数公式时需要掌握一些必要的技巧，例如:将分式做通分处理，简化式子，去括号等。

以下是一些常见的基本代数公式及其解法：一、加减同类项：加减同类项是指含有相同字母幂次的项。

例如:2x、3x含有相同字母幂次，因此它们是同类项。

加减同类项的原则是将同类项相加减，而字母幂次不变。

例如:(2x+3x)-(4x-5x)=5x-(-x)=6x二、乘法公式:(1) (a+b)×c = ac+bc(2) c×(a+b) = ca+cb上述公式是将一个数与一个加减式相乘时所用到的公式。

例如：(2a+3b)×4=2a×4+3b×4=8a+12b三、分配律：分配律适用于乘法、整数除法、整数取余和整数取模运算中。

(1) c×(a+b) = ca+cb(2) (a+b)×c = ac+bc例如：8×(a+b)=8a+8b四、因式分解：因式分解是将一个多项式化为几个因式的乘积的过程。

因式分解的方法有很多，但是最基本的方法是提取公因式。

例如：6x+9y=3(2x+3y)五、乘方公式：(1) 平方公式：(a+b)² =a²+2ab+b²(2) 立方公式：(a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³例如：(2x+3)²=4x²+12x+9六、根式公式：(1) √a×√b=√ab(2) √a/√b=√a÷√b例如：6√2×2√3=12√6七、函数公式：(1) y=kx+b(2) y=ax²+bx+c以上是一些常见的基本代数公式及其解法。

在学习数学时，掌握这些公式可以快速地解决很多计算问题。

需要注意的是，公式只是一种工具，学习时还需要注重方法的掌握。

基础代数的认识与运算代数是数学的一个重要分支，它以符号和数的关系为研究对象，通过符号代替实际数值进行推理和计算。

基础代数是学习代数的第一步，它包括代数中的基本概念、运算规则和常见方法等内容。

本文将介绍基础代数的认识与运算，并探索其在数学和现实生活中的应用。

一、代数的基本概念代数中的基本概念包括变量、常数、系数、项、多项式等。

1. 变量：代数中的变量通常用字母表示，它代表一个未知数或一个可变的数值。

2. 常数：代数中的常数是不变的数值，例如常见的整数、分数、小数等。

3. 系数：多项式中每个项都有一个系数，表示该项的权重或倍数。

4. 项：代数表达式中的项是由系数和变量的乘积组成的，例如3x、-2xy等。

5. 多项式：多项式是由多个项的和组成的表达式，例如2x² + 3xy - 4。

二、代数运算法则代数运算包括加法、减法、乘法、除法等，它们有一些基本的法则和性质。

1. 加法法则：- 同类项相加时，保持其变量和指数不变，只需将系数相加。

- 式子中的常数可以一起相加。

2. 减法法则：- 减法可以看作加法的逆运算，因此减法法则与加法法则类似。

3. 乘法法则：- 乘法法则中，变量与变量相乘时，指数相加；系数与系数相乘。

- 乘法分配律： a × (b + c) = a × b + a × c。

4. 除法法则：- 除法法则中，变量与变量相除时，指数相减；系数与系数相除。

- 除数不能为0。

三、代数的实际应用基础代数不仅是数学学科的重要基础，也广泛应用于科学、工程和日常生活中。

1. 科学研究：代数通过符号推理和计算，为科学研究提供了有力的工具，如物理学中的运动方程。

2. 经济学：代数可以用来描述和分析经济问题，如成本、收入、供求等经济关系。

3. 工程应用：代数被广泛应用于工程设计和控制，如电路设计和控制系统的建模与分析。

4. 日常生活：代数在日常生活中的运用也层出不穷，例如计算购物打折、调整食谱的比例、理财规划等。

第一章 代数大体概念习题解答与提示(P54)1. 若是群 G 中,对任意元素 a,b 有(ab)2=a2b2,那么 G 为互换 群.证明: 对任意 a,b∈G,由结合律咱们可取得 (ab)2=a(ba)b, a2b2=a(ab)b再由已知条件和消去律取得 ba=ab,由此可见群 G 为互换群.2. 若是群 G 中,每一个元素 a 都适合 a2=e, 那么 G 为互换群.证明: [方式 1]对任意 a,b∈G, ba=bae=ba(ab)2=ba(ab)(ab)=ba2b(ab)=beb(ab)=b2(ab)=e(ab)=ab因此 G 为互换群.[方式 2]对任意 a,b∈G,a2b2=e=(ab)2,由上一题的结论可知 G 为互换群.3. 设 G 是一非空的有限集合,其中概念了一个乘法 ab,适合 条件: (1) a(bc)=(ab)c; (2) 由 ab=ac 推出 a=c; (3) 由 ac=bc 推出 a=b;证明 G 在该乘法下成一群. 证明:[方式 1]设 G={a1,a2,…,an},k 是 1,2,…,n 中某一个数字,由(2) 可知假设 i≠j(I,j=1,2,…,n),有akai≠ak aj------------<1> aiak≠aj ak------------<2> 再由乘法的封锁性可知 G={a1,a2,…,an}={aka1, aka2,…, akan}------------<3> G={a1,a2,…,an}={a1ak, a2ak,…, anak}------------<4> 由<1>和<3>知对任意 at∈G, 存在 am∈G,使得akam=at. 由<2>和<4>知对任意 at∈G, 存在 as∈G,使得asak=at. 由下一题的结论可知 G 在该乘法下成一群.下面用另一种方式证明,这种方式看起来有些长但思 路比较清楚。

如何轻松学会基础代数学习基础代数是数学学习的重要一步，也是建立数学思维的基础。

掌握基础代数知识可以帮助我们更好地理解和解决数学问题，提高数学运算能力。

下面将介绍如何轻松学会基础代数知识。

一、认识基础代数基础代数是数学中的一个重要分支，主要包括整数、有理数、方程、不等式、多项式等内容。

在学习基础代数之前，首先要了解代数的基本概念和符号表示方法，例如加减乘除、方程式的表示、多项式的展开等。

二、掌握基础代数运算规则1. 整数运算：掌握整数的加减乘除运算规则，包括同号相加、异号相减、乘法法则和除法法则等。

2. 有理数运算：有理数包括整数、分数和小数，学会有理数的加减乘除运算方法，尤其是分数的运算规则。

3. 方程与不等式：学会解一元一次方程和不等式，掌握方程和不等式的基本性质和解题方法。

4. 多项式运算：了解多项式的定义和基本性质，学会多项式的加减乘除、因式分解和求根等操作。

三、练习基础代数题目通过大量的练习来巩固基础代数知识，提高解题能力。

可以选择不同难度的代数题目进行练习，逐步提高解题水平。

四、理解代数知识的应用基础代数知识在实际生活和其他学科中有着广泛的应用，例如物理、化学、经济等领域。

通过理解代数知识的应用，可以更好地掌握代数知识。

五、寻求帮助和指导在学习基础代数过程中，遇到问题可以向老师、同学或者专业人士寻求帮助和指导。

及时解决问题可以更好地提高学习效率。

六、总结与复习学习基础代数是一个渐进的过程，需要不断地总结和复习。

定期回顾所学知识，及时发现问题并加以改正，可以更好地巩固代数知识。

通过以上方法，相信大家可以轻松学会基础代数知识，提高数学学习的效率和水平。

希望大家在学习代数的过程中能够保持耐心和信心，不断提升自己的数学能力。

祝大家学习进步！。

数学中的代数学在数学这个广泛的领域中，代数学是一个不可或缺的重要分支。

代数学研究的是关于数和符号之间的关系，研究代数结构如何推广和抽象，它是一种广泛应用于计算机科学、物理学、统计学、工程学、经济学和金融学等多个领域的数学方法和技术。

一、基础代数学代数学最基础的领域是初等代数学。

初等代数学的主要经典问题是求解多项式方程。

一个n次方程可以写成下列形式：a0xn + a1xn-1 + … + an = 0其中ai为常数，n为整数。

这样的方程称为代数方程。

最简单的是一次方程，其形式为ax + b = 0，其中a、b为常数，x为未知数。

求解一次方程只需要进行简单的代数运算即可得到方程的解。

但是，对于高于一次的方程，就不存在一般的解法了。

因为n次方程有n个解，但是这些解不能由有限次代数运算构造出来。

换句话说，我们通常需要使用复数才能准确地表示算术根。

二、线性代数线性代数是代数学的一个分支，它主要研究向量、矩阵和线性变换。

线性代数广泛应用于科学和工程中，如计算机图形学、物理学、金融学、工程学等领域。

在线性代数中，向量是一种基本的抽象对象。

向量通常被写成一个列或行矩阵。

矩阵是一种形式化的数学对象，它是由数字按照一个矩形排列而成。

两个向量之间的内积特别重要，它是向量空间中两个向量之间的一种度量，可以帮助我们计算向量之间的角度和长度。

三、抽象代数抽象代数是代数学的另一种形式化和抽象的分支，它主要研究代数关系和抽象代数结构。

它通常更加抽象和一般化，研究算术结构本身而不是它的特定表示。

抽象代数的研究可以追溯到19世纪，它带来了一种全新的思考方式和符号体系，其中一些概念如群、环和域等也成为了其他科学领域的重要工具。

四、数学物理中的代数学在物理学中，代数结构通常作为一种用于研究物理中对称性的工具。

对称性是物理学中一个关键的概念，它可以通过一个或多个操作在一个物理系统中进行保留。

代数学可以帮助物理学家描述和实现这些操作和对称性。

《基础代数学》教学大纲(2018年)一、概况1．开课学院（系）和学科：数学科学学院2．课程代码：3．课程名称：《基础代数学》4．学时/学分：64学时/4学分(每周4学时,第1周-第16周)5. 开课时间：第1学期6．预修课程：数学分析、解析几何、初等数论、线性代数、近世代数、群表示论、拓扑学7. 教材和主要参考书：(1)基础代数学讲义, 章璞,吴泉水(2)Basic Algebra II, Nathan Jacobson, W.H.Freman and Company, 1982(3) A course in Homological Algebras, P. J. Hilton and U. Stammbach, GTM 4, Springer, Printed in Beijing, China,(4) 群与代数表示引论，冯克勤、章璞、李尚志，中国科学技术大学出版社，2006二、课程内容简介本课程是数学学院研究生的公共基础课。

它不是为代数方向研究生设置专业课程，更不是本科生课程“抽象代数”的重复或补充。

它为数学科学学院各方向研究生提供基本的公共的现代代数学的理论、思想、方法、和工具。

因此选择的内容兼顾普适性、基础性和重要性。

过于专门化的理论或细节不是这门课的任务。

因为本科阶段已开设“群表示论”课程，研究生阶段也会开设“表示论”和“交换代数”，本课程主要内容包括环与代数上的模论，范畴论，和同调代数。

三、课程的教学内容第1章模论(28学时)以模范畴为载体，强调强调代数学研究的一般观点和思路1 环和代数上的模（4）根据学生的情况，回顾一下环. 定义域上代数，给出域上代数的基本例子：多项式代数，矩阵代数，四元数代数等. 有限域上有限维可除代数是域（Wedderburn定理）；实数域上有限维可除代数的Frobenius定理. 说明域上代数的平行于环的基本性质.模的定义与例子；强调作用的思想和意义；几类研究对象在模概念下的统一：域上向量空间，Abel群，带有线性变换的向量空间，环和代数本身作成的正则模等.指出环上模和代数上模的区别及平行性；指出左模和右模的区别及平行性；指出模和表示这两个概念的等价性。

大学基础代数知识点总结1. 方程与不等式代数学中的方程是指含有未知数的等式，其一般形式可以表示为：f(x)=0。

其中，f(x)是未知数的多项式函数，而方程的解即是能使等式成立的未知数的值。

例如，一元一次方程的一般形式为ax+b=0，其中a和b是已知实数，而x是未知数。

解一元一次方程的方法有直接代入法、消元法、等价变形法等。

不等式是代数学中另一个重要的概念，它表达了两个数之间的大小关系。

例如，a>b表示a大于b，而a≥b表示a大于或等于b。

求解不等式可通过类似于解方程的方法，但需要注意到不等式的不等性质。

2. 函数在代数学中，函数是指有序对(x, f(x))的集合，其中x为定义域中的自变量，f(x)为与x对应的函数值。

函数可以通过公式、图表、表格等多种方式表示，它们是研究数量关系的重要工具。

常见函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

线性函数的一般形式为y=ax+b，其中a和b是常数。

二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c 是已知实数且a≠0。

函数的概念还包括函数的性质、函数的图像、函数的增减性、函数的周期性等。

这些性质对于理解函数的行为和性质非常重要。

3. 集合集合是代数学中另一个基础概念。

集合是由一些确定的对象组成的整体，可以用大括号{}来表示，其中的元素可以是数字、字母、词语、符号等。

例如，集合{1,2,3}表示由1、2、3这三个元素组成的集合。

在代数学中，常见的集合包括自然数集、整数集、有理数集、实数集等。

这些集合的性质和运算规则对于解决代数学中的问题非常重要。

此外，集合的概念还包括集合的运算、集合的关系、集合的分类等内容，这些知识点对于解决实际问题和进一步学习高等代数领域的知识至关重要。

4. 多项式与因式分解多项式是代数学中的重要内容，它是由一系列变量和常数通过加法和乘法运算组成的代数表达式。

例如，x^2+3x+2就是一个二次多项式，其中x^2、3x和2分别是该多项式的各项。