(完整)中考数学压轴题精选及答案

中考数学专题复习——压轴题1.已知:如图,抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴、y 轴分别相交于点A （-1，0）、B （0，3）两点，其顶点为D.（1） 求该抛物线的解析式；（2） 若该抛物线与x 轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积；（3） △AOB 与△BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.（注：抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的顶点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a bac a b 44,22）2. 如图，在Rt ABC △中，90A ∠=，6AB =，8AC =，D E ，分别是边AB AC ，的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于Q ，过点Q 作QR BA ∥交AC 于R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ x =，QR y =．（1）求点D 到BC 的距离DH 的长；（2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P ，使PQR △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．3在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AMA BC D ER P H Q＝x ．（1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ； （2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？（3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？4.如图1，在平面直角坐标系中，己知ΔAOB 是等边三角形，点A 的坐标是(0，4)，点B 在第一象限，点P 是x 轴上的一个动点，连结AP ，并把ΔAOP 绕着点A 按逆时针方向旋转.使边AO 与AB 重合.得到ΔABD.（1）求直线AB 的解析式；（2）当点P 运动到点（3，0）时，求此时DP 的长及点D 的坐标；（3）是否存在点P ，使ΔOPD 的面积等于43，若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.5如图，菱形ABCD 的边长为2，BD=2，E 、F 分别是边AD ，CD 上的两个动点，且满足AE+CF=2.（1）求证：△BDE ≌△BCF ；（2）判断△BEF 的形状，并说明理由；（3）设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围.ABMNP图 1O ABMND 图 2 OABCMN P图 3O6如图，抛物线21:23L y x x =--+交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于M 点.抛物线1L 向右平移2个单位后得到抛物线2L ，2L 交x 轴于C 、D 两点. （1）求抛物线2L 对应的函数表达式；（2）抛物线1L 或2L 在x 轴上方的部分是否存在点N ，使以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 是抛物线1L 上的一个动点（P 不与点A 、B 重合），那么点P 关于原点的对称点Q 是否在抛物线2L 上，请说明理由.7.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝7，CD ＝1，AD ＝BC ＝5．点M ，N 分别在边AD ，BC 上运动，并保持MN ∥AB ，ME ⊥AB ，NF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ．（1）求梯形ABCD 的面积；（2）求四边形MEFN 面积的最大值．（3）试判断四边形MEFN 能否为正方形，若能， 求出正方形MEFN 的面积；若不能，请说明理由．8.如图，点A （m ，m ＋1），B （m ＋3，m －1）都在反比例函数xky =的图象上． C D A BE F NM（1）求m ，k 的值；（2）如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点， 以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN 的函数表达式．（3）选做题：在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（5，0），点Q 的坐标为（0，3），把线段PQ 向右平 移4个单位，然后再向上平移2个单位，得到线段P 1Q 1， 则点P 1的坐标为 ，点Q 1的坐标为．9.如图16，在平面直角坐标系中，直线y =x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线2(0)y ax x c a =+≠经过A B C ，，三点． （1）求过A B C ，，三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标；（2）在抛物线上是否存在点P ，使ABP △为直角三角形，若存在，直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由； （3）试探究在直线AC 上是否存在一点M ，使得MBF △的周长最小，若存在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．10.如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴的负半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，且1AB =，OB =ABOC 绕点O 按顺时针方向旋转60后得到矩形EFOD ．点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ，抛物x图16友情提示：本大题第（1）小题4分，第（2）小题7分．对完成第（2）小题有困难的同学可以做下面的（3）选做题．选做题2分，所得分数计入总分．但第（2）、（3）小题都做的，第（3）小题的得分不重复计入总分．线2y ax bx c =++过点A E D ，，． （1）判断点E 是否在y 轴上，并说明理由； （2）求抛物线的函数表达式；（3）在x 轴的上方是否存在点P ，点Q ，使以点O B P Q ，，，为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍，且点P 在抛物线上，若存在，请求出点P ，点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．11.已知：如图14，抛物线2334y x =-+与x 轴交于点A ，点B ，与直线34y x b =-+相交于点B ，点C ，直线34y x b =-+与y 轴交于点E ． （1）写出直线BC 的解析式． （2）求ABC △的面积．（3）若点M 在线段AB 上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动（不与A B ，重合），同时，点N 在射线BC 上以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动．设运动时间为t 秒，请写出MNB △的面积S 与t 的函数关系式，并求出点M 运动多少时间时，MNB △的面积最大，最大面积是多少？12.在平面直角坐标系中△ABC 的边AB 在x 轴上，且OA>OB,以AB 为直径的圆过点C 若y ODEC FA BC 的坐标为(0,2),AB=5, A,B 两点的横坐标X A ,X B 是关于X 的方程2(2)10x m x n -++-=的两根:(1) 求m ，n 的值(2) 若∠ACB 的平分线所在的直线l 交x 轴于点D ，试求直线l 对应的一次函数的解析式 (3) 过点D 任作一直线`l 分别交射线CA ，CB （点C 除外）于点M ，N ，则11CMCN+的值是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由13.已知:如图,抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴、y 轴分别相交于点A （-1，0）、B （0，3）两点，其顶点为D.(1)求该抛物线的解析式；(2)若该抛物线与x 轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积；(3)△AOB 与△BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.（注：抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的顶点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a bac a b 44,22）14.已知抛物线c bx ax y ++=232，ACO BNDML`（Ⅰ）若1==b a ，1-=c ，求该抛物线与x 轴公共点的坐标；（Ⅱ）若1==b a ，且当11<<-x 时，抛物线与x 轴有且只有一个公共点，求c 的取值范围；（Ⅲ）若0=++c b a ，且01=x 时，对应的01>y ；12=x 时，对应的02>y ，试判断当10<<x 时，抛物线与x 轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．15.已知：如图①，在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝4cm ，BC ＝3cm ，点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm/s ；点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2cm/s ；连接PQ ．若设运动的时间为t （s ）（0＜t ＜2），解答下列问题： （1）当t 为何值时，PQ ∥BC ？（2）设△AQP 的面积为y （2cm ），求y 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把Rt △ACB 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；（4）如图②，连接PC ，并把△PQC 沿QC 翻折，得到四边形PQP ′C ，那么是否存在某一时刻t ，使四边形PQP ′C 为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．P '图①16.已知双曲线kyx=与直线14y x=相交于A、B两点.第一象限上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线kyx=上的动点.过点B作BD∥y轴于点D.过N（0，－n）作NC∥x轴交双曲线kyx=于点E，交BD于点C.（1）若点D坐标是（－8，0），求A、B两点坐标及k的值.（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式.（3）设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA＝pMP，MB＝qMQ，求p－q的值.压轴题答案1. 解：（1）由已知得：310cb c=⎧⎨--+=⎩解得c=3,b=2∴抛物线的线的解析式为223y x x =-++ (2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）所以对称轴为x=1,A,E 关于x=1对称，所以设对称轴与x 轴的交点为F所以四边形ABDE 的面积=ABO BOFD S S S ∆++梯形=111()222AO BO BO DF OF EF DF ⋅++⋅+⋅=11113(34)124222⨯⨯++⨯+⨯⨯ =9（3）相似如图，=== ==所以2220BD BE +=, 220DE =即： 222BD BE DE +=,所以BDE ∆是直角三角形 所以90AOB DBE ∠=∠=︒,且2AO BO BD BE ==, 所以AOB DBE ∆∆.2 解：（1）Rt A ∠=∠，6AB =，8AC =，10BC ∴=． 点D 为AB 中点，132BD AB ∴==． 90DHB A ∠=∠=，B B ∠=∠．BHD BAC ∴△∽△， DH BD AC BC ∴=，3128105BD DH AC BC ∴==⨯=．（2）QR AB ∥，90QRC A ∴∠=∠=．C C ∠=∠，RQC ABC ∴△∽△，RQ QC AB BC ∴=，10610y x-∴=， 即y 关于x 的函数关系式为：365y x =-+． （3）存在，分三种情况：①当PQ PR =时，过点P 作PM QR ⊥于M ，则QM RM =．A BCD ER P H QM 2 11290∠+∠=，290C ∠+∠=，1C ∴∠=∠．84cos 1cos 105C ∴∠===，45QM QP ∴=， 1364251255x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴=，185x ∴=． ②当PQ RQ =时，312655x -+=， 6x ∴=．③当PR QR =时，则R 为PQ 中垂线上的点，于是点R 为EC 的中点，11224CR CE AC ∴===．tan QR BAC CR CA ==， 366528x -+∴=，152x ∴=．综上所述，当x 为185或6或152时，PQR △为等腰三角形．3解：（1）∵MN ∥BC ，∴∠AMN =∠B ，∠ANM ＝∠C ．∴ △AMN ∽ △ABC ． ∴ AM AN AB AC=，即43x AN=．∴ AN ＝43x ． ……………2分∴ S =2133248MNP AMN S S x x x ∆∆==⋅⋅=．（0＜x ＜4） ……………3分 （2）如图2，设直线BC 与⊙O 相切于点D ，连结AO ，OD ，则AO =OD =21MN ． 在Rt △ABC 中，BC． 由（1）知 △AMN ∽ △ABC ．∴ AM MN AB BC=，即45x MN=．∴ 54MN x =，HQA B CD E R PHQB图 1BD 图 2Q∴ 58OD x =． …………………5分 过M 点作MQ ⊥BC 于Q ，则58MQ OD x ==． 在Rt △BMQ 与Rt △BCA 中，∠B 是公共角， ∴ △BMQ ∽△BCA ． ∴ BM QM BC AC=．∴ 55258324xBM x ⨯==，25424AB BM MA x x =+=+=． ∴ x ＝4996． ∴ 当x ＝4996时，⊙O 与直线BC 相切．…………………………………7分（3）随点M 的运动，当P 点落在直线BC 上时，连结AP ，则O 点为AP 的中点．∵ MN ∥BC ，∴ ∠AMN =∠B ，∠AOM ＝∠APC∴ △AMO ∽ △ABP ．∴ 12AM AO AB AP ==． AM ＝MB ＝2． 故以下分两种情况讨论：① 当0＜x ≤2时，2Δ83x S y PMN ==．∴ 当x ＝2时，2332.82y =⨯=最大 ……………………………………8分 ② 当2＜x ＜4时，设PM ，PN 分别交BC 于E ，F ．∵ 四边形AMPN 是矩形， ∴ PN ∥AM ，PN ＝AM ＝x ． 又∵ MN ∥BC ，∴ 四边形MBFN 是平行四边形． ∴ FN ＝BM ＝4－x ． ∴ ()424PF x x x =--=-．又△PEF ∽ △ACB ．∴ 2PEF ABCS PF AB S ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭． ∴ ()2322PEF S x ∆=-． ……………………………………………… 9分 MNP PEF y S S ∆∆=-＝()222339266828x x x x --=-+-．……………………10分当2＜x ＜4时，29668y x x =-+-298283x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．P图 4BP 图 3∴当83x=时，满足2＜x＜4，2y=最大．……………………11分综上所述，当83x=时，y值最大，最大值是2．…………………………12分4 解：（1）作BE⊥OA，∴ΔAOB是等边三角形∴BE=OB·sin60o=23，∴B(23,2)∵A(0,4),设AB的解析式为4y kx=+,所以2342k+=,解得33k=-,以直线AB的解析式为34y x=-+（2）由旋转知，AP=AD,∠PAD=60o,∴ΔAPD是等边三角形，PD=PA=2219AO OP+=如图，作B E⊥AO,DH⊥OA,GB⊥DH,显然ΔGBD中∠GBD=30°∴GD=12BD=32,DH=GH+GD=32+23=532,∴GB=3BD=32,OH=OE+HE=OE+BG=37222+=∴D(53,72)(3)设OP=x,则由（2）可得D(323,2x x++)若ΔOPD的面积为：133(2)2x x+=解得：23213x-±=所以P(23213-±,0)5yxHGEDBAO P67解：（1）分别过D ，C 两点作DG ⊥AB 于点G ，CH ⊥AB 于点H ． ……………1分 ∵ AB ∥CD ，∴ DG ＝CH ，DG ∥CH ．∴ 四边形DGHC 为矩形，GH ＝CD ＝1．∵ DG ＝CH ，AD ＝BC ，∠AGD ＝∠BHC ＝90°，∴ △AGD ≌△BHC （HL ）．∴ AG ＝BH ＝2172-=-GH AB ＝3． ………2分 ∵ 在Rt △AGD 中，AG ＝3，AD ＝5， ∴ DG ＝4．∴ ()174162ABCD S +⨯==梯形． ………………………………………………3分 （2）∵ MN ∥AB ，ME ⊥AB ，NF ⊥AB ，∴ ME ＝NF ，ME ∥NF ．∴ 四边形MEFN 为矩形．∵ AB ∥CD ，AD ＝BC ， ∴ ∠A ＝∠B ．∵ ME ＝NF ，∠MEA ＝∠NFB ＝90°， ∴ △MEA ≌△NFB （AAS ）．∴ AE ＝BF ． ……………………4分 设AE ＝x ，则EF ＝7－2x ． ……………5分 ∵ ∠A ＝∠A ，∠MEA ＝∠DGA ＝90°， ∴ △MEA ∽△DGA ．∴ DGME AG AE =． ∴ ME ＝x 34． …………………………………………………………6分∴ 6494738)2(7342+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=⋅=x x x EF ME S MEFN 矩形． ……………………8分 当x ＝47时，ME ＝37＜4，∴四边形MEFN 面积的最大值为649．……………9分 （3）能． ……………………………………………………………………10分由（2）可知，设AE ＝x ，则EF ＝7－2x ，ME ＝x 34．若四边形MEFN 为正方形，则ME ＝EF ．即 =34x 7－2x ．解，得 1021=x ． ……………………………………………11分C D A B E FN M G H C DA B E F N M G H∴ EF ＝21147272105x -=-⨯=＜4． ∴ 四边形MEFN 能为正方形，其面积为251965142=⎪⎭⎫⎝⎛=MEFNS 正方形．8解：（1）由题意可知，()()()131-+=+m m m m ．解，得 m ＝3． ………………………………3分∴ A （3，4），B （6，2）； ∴ k ＝4×3=12． ……………………………4分 （2）存在两种情况，如图： ①当M 点在x 轴的正半轴上，N 点在y 轴的正半轴上时，设M 1点坐标为（x 1，0），N 1点坐标为（0，y 1）．∵ 四边形AN 1M 1B 为平行四边形，∴ 线段N 1M 1可看作由线段AB 向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的（也可看作向下平移2个单位，再向左平移3个单位得到的）．由（1）知A 点坐标为（3，4），B 点坐标为（6，2），∴ N 1点坐标为（0，4－2），即N 1（0，2）； ………………………………5分 M 1点坐标为（6－3，0），即M 1（3，0）． ………………………………6分设直线M 1N 1的函数表达式为21+=x k y ，把x ＝3，y ＝0代入，解得321-=k ．∴ 直线M 1N 1的函数表达式为232+-=x y ． ……………………………………8分②当M 点在x 轴的负半轴上，N 点在y 轴的负半轴上时，设M 2点坐标为（x 2，0），N 2点坐标为（0，y 2）．∵ AB ∥N 1M 1，AB ∥M 2N 2，AB ＝N 1M 1，AB ＝M 2N 2， ∴ N 1M 1∥M 2N 2，N 1M 1＝M 2N 2．∴ 线段M 2N 2与线段N 1M 1关于原点O 成中心对称．∴ M 2点坐标为（-3，0），N 2点坐标为（0，-2）． ………………………9分设直线M 2N 2的函数表达式为22-=x k y ，把x ＝-3，y ＝0代入，解得322-=k ，∴ 直线M 2N 2的函数表达式为232--=x y ．所以，直线MN 的函数表达式为232+-=x y 或232--=x y ． ………………11分（3）选做题：（9，2），（4，5）． ………………………………………………2分9解：（1）直线y =-x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．(10)A ∴-，，(0C -，·················································································· 1分 点A C ，都在抛物线上，0a c c ⎧=++⎪∴⎨⎪=⎩a c ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩∴抛物线的解析式为2y x =······················································ 3分 ∴顶点13F ⎛- ⎝⎭， ······················································································· 4分 （2）存在 ····································································································· 5分1(0P ··································································································· 7分2(2P ·································································································· 9分 （3）存在 ··································································································· 10分 理由： 解法一：延长BC 到点B '，使B C BC '=，连接B F '交直线AC 于点M ，则点M 就是所求的点． ·············································································· 11分 过点B '作B H AB '⊥于点H ．B点在抛物线2y x x =(30)B ∴， 在Rt BOC △中，tan OBC ∠=，30OBC ∴∠=，BC =，在Rt BB H '△中，12B H BB ''==6BH H '==，3OH ∴=，(3B '∴--， ············································· 12分设直线B F '的解析式为y kx b =+3k b k b ⎧-=-+⎪∴⎨=+⎪⎩解得2k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩62y x ∴=- ······················································································· 13分62y y x ⎧=⎪∴⎨=-⎪⎩解得37x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩37M ⎛∴ ⎝⎭x图9∴在直线AC 上存在点M ，使得MBF △的周长最小，此时377M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，． ······· 14分解法二：过点F 作AC 的垂线交y 轴于点H ，则点H 为点F 关于直线AC 的对称点．连接BH 交AC 于点M ，则点M 即为所求． ································ 11分 过点F 作FG y ⊥轴于点G ，则OB FG ∥，BC FH ∥．90BOC FGH ∴∠=∠=，BCO FHG ∠=∠HFG CBO ∴∠=∠同方法一可求得(30)B ，．在Rt BOC △中，tan OBC ∠=，30OBC ∴∠=，可求得GH GC ==， GF ∴为线段CH 的垂直平分线，可证得CFH △为等边三角形，AC ∴垂直平分FH ．即点H 为点F 关于AC的对称点．0H ⎛∴ ⎝⎭， ··········································· 12分设直线BH 的解析式为y kx b =+，由题意得03k b b =+⎧⎪⎨=⎪⎩解得k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩y ∴=······················································································ 13分y y ⎧=-⎪∴⎨⎪=-⎩解得377x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩377M ⎛⎫∴- ⎪ ⎪⎝⎭， ∴在直线AC 上存在点M ，使得MBF △的周长最小，此时37M ⎛ ⎝⎭，． 1 10解：（1）点E 在y 轴上 ··············································································· 1分 理由如下：连接AO ，如图所示，在Rt ABO △中，1AB =，BO =2AO ∴=x1sin 2AOB ∴∠=，30AOB ∴∠= 由题意可知：60AOE ∠=306090BOE AOB AOE ∴∠=∠+∠=+=点B 在x 轴上，∴点E 在y 轴上． ································································· 3分 （2）过点D 作DM x ⊥轴于点M1OD =，30DOM ∠=∴在Rt DOM △中，12DM =，2OM =点D 在第一象限，∴点D的坐标为122⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， ················································································ 5分 由（1）知2EO AO ==，点E 在y 轴的正半轴上∴点E 的坐标为(02)，∴点A的坐标为( ·················································································· 6分抛物线2y ax bx c =++经过点E ，2c ∴=由题意，将(A，12D ⎫⎪⎪⎝⎭，代入22y ax bx =++中得32131242a a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得89a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴所求抛物线表达式为：2829y x x =-+ ·················································· 9分（3）存在符合条件的点P ，点Q ． ································································· 10分 理由如下：矩形ABOC 的面积3AB BO ==∴以O B P Q ，，，为顶点的平行四边形面积为由题意可知OB 为此平行四边形一边， 又3OB =OB ∴边上的高为2 ······················································································· 11分 依题意设点P 的坐标为(2)m ，点P在抛物线28299y x x =--+上28229m m ∴--+=解得，10m =，2m =1(02)P ∴，，228P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭以O B P Q ，，，为顶点的四边形是平行四边形，PQ OB ∴∥，PQ OB == ∴当点1P 的坐标为(02)，时，点Q的坐标分别为1(2)Q，2Q ； 当点2P的坐标为2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭时，点Q的坐标分别为32Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，42Q ⎫⎪⎪⎝⎭． ··········································· 14分 （以上答案仅供参考，如有其它做法，可参照给分） 11解：（1）在2334y x =-+中，令0y = 23304x ∴-+=12x ∴=，22x =-(20)A ∴-，，(20)B ， (1)又点B 在34y x b =-+上302b ∴=-+32b =BC ∴的解析式为3342y x =-+ ········································································ 2分 （2）由23343342y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，得11194x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩222x y =⎧⎨=⎩ ·················································· 4分 914C ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，，(20)B ，4AB ∴=，94CD =······················································································· 5分 1994242ABC S ∴=⨯⨯=△ ·················································································· 6分 （3）过点N 作NP MB ⊥于点P EO MB ⊥ NP EO ∴∥BNP BEO ∴△∽△ ······················································································· 7分 BN NPBE EO∴=································································································· 8分 由直线3342y x =-+可得：302E ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴在BEO △中，2BO =，32EO =，则52BE = 25322t NP∴=，65NP t ∴= ················································································ 9分 16(4)25S t t ∴=-2312(04)55S t t t =-+<< ············································································· 10分 2312(2)55S t =--+ ····················································································· 11分 此抛物线开口向下，∴当2t =时，125S =最大∴当点M 运动2秒时，MNB △的面积达到最大，最大为125．12解：(1)m=-5,n=-3 (2)y=43x+2 (3)是定值.因为点D 为∠ACB 的平分线，所以可设点D 到边AC,BC 的距离均为h ， 设△ABC AB 边上的高为H, 则利用面积法可得：222CM h CN h MN H⋅⋅⋅+=（CM+CN ）h=MN ﹒HCM CN MNH h +=又 H=CM CN MN⋅化简可得 (CM+CN)﹒1MN CM CN h=⋅故 111CM CN h+=13解：（ 1）由已知得：310c b c =⎧⎨--+=⎩解得c=3,b =2∴抛物线的线的解析式为223y x x =-++ (2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）所以对称轴为x=1,A,E 关于x=1对称，所以E(3,0) 设对称轴与x 轴的交点为F所以四边形ABDE 的面积=ABO DFE BOFD S S S ∆∆++梯形=111()222AO BO BO DF OF EF DF ⋅++⋅+⋅ =11113(34)124222⨯⨯++⨯+⨯⨯ =9（3）相似如图，=====所以2220BD BE +=, 220DE =即： 222BD BE DE +=,所以BDE ∆是直角三角形所以90AOB DBE ∠=∠=︒,且AO BO BD BE ==所以AOBDBE ∆∆.14解（Ⅰ）当1==b a ，1-=c 时，抛物线为1232-+=x x y ， 方程01232=-+x x 的两个根为11-=x ，312=x ． ∴该抛物线与x 轴公共点的坐标是()10-，和103⎛⎫ ⎪⎝⎭，． ········································· 2分 （Ⅱ）当1==b a 时，抛物线为c x x y ++=232，且与x 轴有公共点．对于方程0232=++c x x ，判别式c 124-=∆≥0，有c ≤31． ·································· 3分①当31=c 时，由方程031232=++x x ，解得3121-==x x ． 此时抛物线为31232++=x x y 与x 轴只有一个公共点103⎛⎫- ⎪⎝⎭，． ···························· 4分②当31<c 时， 11-=x 时，c c y +=+-=1231， 12=x 时，c c y +=++=5232．由已知11<<-x 时，该抛物线与x 轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为31-=x ，应有1200.y y ⎧⎨>⎩≤， 即1050.c c +⎧⎨+>⎩≤，解得51c -<-≤．综上，31=c 或51c -<-≤． ····································································· 6分（Ⅲ）对于二次函数c bx ax y ++=232，由已知01=x 时，01>=c y ；12=x 时，0232>++=c b a y ， 又0=++c b a ，∴b a b a c b a c b a +=++++=++22)(23． 于是02>+b a ．而c a b --=，∴02>--c a a ，即0>-c a ．∴0>>c a ． ···························································································· 7分 ∵关于x 的一元二次方程0232=++c bx ax 的判别式。

中考数学压轴题100题精选【001】如图，已知抛物线2(1)y a x =-+a ≠0）经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ． （1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．【C=90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB-BC-CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）． （1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ； （2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与 t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成 为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由； （4）当DE 经过点C 时，请直接写出t 的值．【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B （4，0）、C （8，0）、D （8，8）.抛物线y=ax2+bx 过A 、C 两点.(1)直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；A P 图16(2)动点P 从点A 出发．沿线段AB 向终点B 运动，同时点Q 从点C 出发，沿线段CD 向终点D 运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒.过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E ，①过点E 作EF ⊥AD 于点F ，交抛物线于点G.当t 为何值时，线段EG 最长? ②连接EQ ．在点P 、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形? 请直接写出相应的t 值。

一、中考数学压轴题1．已知AM//CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系；（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD=∠C；（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=5∠DBE，求∠EBC的度数．2．综合与实践A纸是我们学习工作最常用的纸张之一，其长宽之比是2:1，我们定义：长宽之比是42:1的矩形纸片称为“标准纸”．操作判断：()1如图1所示，矩形纸片2=是一张“标准纸”，将纸片折叠一次，使点()ABCD AD ABAB=求CF的B与D重合，再展开，折痕EF交AD边于点,E交BC边于点F，若1,长，()2如图2，在()1的基础上，连接,BD折痕EF交BD于点O，连接,BE判断四边形BFDE的形状，并说明理由．探究发现：()3如图3所示，在(1)和(2)的基础上，展开纸片后，将纸片再折叠一次，使点A 与点C 重合，再展开，痕MN 交AD 边于点M ，BC 交边于点,N 交BD 也是点O .然后将四边形ENFM 剪下，探究纸片ENFM 是否为“标准纸”，说明理由．3．如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的一半，则称这样的方程为“半等分根方程”．（1）①方程2280x x --= 半等分根方程（填“是”或“不是”）；②若(1)()0x mx n -+=是半等分根方程，则代数式2252m mn n ++= ； （2）若点(,)p q 在反比例函数8x y =的图象上，则关于x 的方程260px x q -+=是半等分根方程吗？并说明理由； （3）如果方程20ax bx c ++=是半等分根方程，且相异两点(1,)M t s +，(4,)N t s -都在抛物线2y ax bx c =++上，试说明方程20ax bx c ++=的一个根为53． 4．如图，在平面直角坐标中，点O 为坐标原点，ABC ∆的三个顶点坐标分别为()A O m ,，(),B m O -，(),C n O ，5AC =且OBA OAB ∠=∠，其中m ，n 满足725m n m n +=⎧⎨-=⎩．（1）求点A ，C 的坐标；（2）点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿y 轴负方向运动，设点P 的运动时间为t 秒.连接BP 、CP ，用含有t 的式子表示BPC ∆的面积为S （直接写出t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，是否存在t 的值，使得ΔΔ32PAB POC S S =，若存在，请求出t 的值，并直接写出BP 中点Q 的坐标；若不存，请说明理由．5．如图一，矩形ABCD 中，AB=m ，BC=n ，将此矩形绕点B 顺时针方向旋转θ（0°＜θ＜90°）得到矩形A 1BC 1D 1，点A 1在边CD 上．（1）若m=2，n=1，求在旋转过程中，点D 到点D 1所经过路径的长度；（2）将矩形A 1BC 1D 1继续绕点B 顺时针方向旋转得到矩形A 2BC 2D 2，点D 2在BC 的延长线上，设边A 2B 与CD 交于点E ，若161A E EC=-，求n m 的值． （3）如图二，在（2）的条件下，直线AB 上有一点P ，BP=2，点E 是直线DC 上一动点，在BE 左侧作矩形BEFG 且始终保持BE n BG m =，设AB=33，试探究点E 移动过程中，PF 是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．6．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，且点B 与点C 的坐标分别为()3,0B ，()0,3C ，点M 是抛物线的顶点．（1）求二次函数的关系式．（2）点P 为线段MB 上一个动点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ．若OD m =，PCD 的面积为S ．①求S 与m 的函数关系式，写出自变量m 的取值范围．②当S 取得最值时，求点P 的坐标．（3）在MB 上是否存在点P ，使PCD 为直角三角形？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．7．平面直角坐标系中，点A 、B 分别在x 轴正半轴、y 轴正半轴上，AO =BO ，△ABO 的面积为8.（1）求点A 的坐标；（2）点C 、D 分别在x 轴负半轴、y 轴正半轴上（D 在B 点上方），AB ⊥CD 于E ，设点D 纵坐标为t ，△BCE 的面积为S ，求S 与t 的函数关系；（3）在（2）的条件下，点F 为BE 中点，连接OF 交BC 于G ，当∠FOB +∠DAE =45°时，求点E 坐标.8．对于平面内的点M 和点N ，给出如下定义：点P 为平面内的一点，若点P 使得PMN 是以M ∠为顶角且M ∠小于90°的等腰三角形，则称点P 是点M 关于点N 的锐角等腰点P ．如图，点P 是点M 关于点N 的锐角等腰点．在平面直角坐标系xOy 中，点O 是坐标原点．（1）已知点(2,0)A ，在点123(0,2),(1,3),(1,3)P P P -，4(2,2)P -中，是点O 关于点A 的锐角等腰点的是___________．（2）已知点(3,0)A ，点C 在直线2y x b =+上，若点C 是点O 关于点A 的锐角等腰点，求实数b 的取值范围．（3）点D 是x 轴上的动点，(,0),(2,0)D t E t -，点(,)F m n 是以D 为圆心，2为半径的圆上一个动点，且满足0n ≥．直线24y x =-+与x 轴和y 轴分别交于点H K ，，若线段HK 上存在点E 关于点F 的锐角等腰点，请直接写出t 的取值范围．9．小明研究了这样一道几何题：如图1，在ABC 中，把AB 绕点A 顺时针旋转()0180a a ︒<<︒得到AB '，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC '，连接B C ''．当180a β+=︒时，请问AB C ''△边B C ''上的中线AD 与BC 的数量关系是什么？以下是他的研究过程：特例验证：（1）①如图2，当ABC 为等边三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系为AD =_______BC ；②如图3，当90BAC ∠=︒，8BC =时，则AD 长为________． 猜想论证：（2）在图1中，当ABC 为任意三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系，并给予证明．拓展应用：（3）如图4，在四边形ABCD ，90C ∠=︒，120A B ∠+∠=︒，3BC =6CD =，3DA =P ，使PDC △与PAB △之间满足小明探究的问题中的边角关系？若存在，请画出点P 的位置（保留作图痕迹，不需要说明）并直接写出PDC △的边DC 上的中线PQ 的长度；若不存在，说明理由．10．已知：菱形 ABCD ，点 E 在线段 BC 上，连接 DE ，点 F 在线段 AB 上，连接 CF 、DF ， CF 与 DE 交于点 G ，将菱形 ABCD 沿 DF 翻折，点 A 恰好落在点 G 上．（1）求证：CD=CF ；（2）设∠CED = x ，∠DCF = y ，求 y 与 x 的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） （3）在（2）的条件下，当 x =45°时，以 CD 为底边作等腰△CDK ，顶角顶点 K 在菱形 ABCD 的内部，连接 GK ，若 GK ∥CD ，CD =4 时，求线段 KG 的长．11．如图，抛物线214y x bx c =++与x 轴交于点A （-2，0），交y 轴于点B （0，52-）．直线32y kx =+过点A 与y 轴交于点C ，与抛物线的另一个交点是D ．(1) 求抛物线214y x bx c =++与直线32y kx =+的解析式； (2)点P 是抛物线上A 、D 间的一个动点，过P 点作PM ∥CE 交线段AD 于M 点.①过D 点作DE ⊥y 轴于点E ，问是否存在P 点使得四边形PMEC 为平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由;②作PN ⊥AD 于点N ，设△PMN 的周长为m ，点P 的横坐标为x ，求m 关于x 的函数关系式，并求出m 的最大值．12．如图，已知抛物线y ＝2ax bx c ++与x 轴交于A 3,0-（），B 33,0（）两点，与y 轴交于点C 0,3（）．（1）求抛物线的解析式及顶点M 坐标；（2）在抛物线的对称轴上找到点P ，使得PAC 的周长最小，并求出点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、C 重合）．过点D 作DE //PC 交x 轴于点E ．设CD 的长为m ，问当m 取何值时，PDE ABMC 1S S 9=四边形． 13．在平面直角坐标系中，直线4(0)3y x b b =-+>交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，10AB =．（1）如图1，求b 的值；（2）如图2，经过点B 的直线(4)(40)y n x b n =++-<<与直线y nx =交于点C ，与x 轴交于点R ，//CD OA ，交AB 于点D ，设线段CD 长为d ，求d 与n 的函数关系式； （3）如图3，在（2）的条件下，点F 在第四象限，CF 交OA 于点E ，45AEF ∠=︒,点P 在第一象限，PH OA ⊥，点N 在x 轴上，点M 在PH 上，MN 交PE 于点G ，PH EN =，过点E 作EQ CF ⊥，交PH 于点Q ， 32==EQ EF PM ，∠=∠OBR HNM ，BC CR =，点G 的坐标为1927,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，连接FN ，求EFN 的面积．14．在ABC ∆中，若存在一个内角角度，是另外一个内角角度的n 倍（n 为大于1的正整数），则称ABC ∆为n 倍角三角形．例如，在ABC ∆中，80A ∠=︒，75B ∠=︒，25C ∠=︒，可知3∠=∠B C ，所以ABC ∆为3倍角三角形．（1）在ABC ∆中，55A ∠=︒，25B ∠=︒，则ABC ∆为________倍角三角形；（2）若DEF ∆是3倍角三角形，且其中一个内角的度数是另外一个内角的余角的度数的13，求DEF ∆的最小内角． （3）若MNP ∆是2倍角三角形，且90M N P ∠<∠<∠<︒，请直接写出MNP ∆的最小内角的取值范围．15．在菱形ABCD 中，P 为直线DA 上的点，Q 为直线CD 上的点，分别连接PC ，PQ ，且PC PQ =．（1）若60B ∠=︒，点P 在线段DA 上，点Q 在线段CD 的延长线上，如图①，易证：DQ PD AB +=（不需证明）；（2）如图②，若∠B ＝120°，点P 在线段DA 上，点Q 在线段CD 的延长线上，如图③，猜想线段DQ ，PD 和AB 之间有怎样的数量关系？请直接写出对图②，图③的猜想，并选择其中一种情况给予证明．16．如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC △的斜边在AB 在x 轴上，点C 在y 轴上90ACB ∠=︒，OC 、OB 的长分别是一元二次方程2680x x -+=的两个根，且OC OB <．（1）求点A 的坐标；（2）D 是线段AB 上的一个动点（点D 不与点A ，B 重合），过点D 的直线l 与y 轴平行，直线l 交边AC 或边BC 于点P ，设点D 的横坐标为t ，线段DP 的长为d ，求d 关于t 的函数解析式；（3）在（2）的条件下，当12d =时，请你直接写出点P 的坐标．17．已知抛物线y=﹣x 2﹣2x+3交x 轴于点A 、C （点A 在点C 左侧），交y 轴于点B ．（1）求A ，B ，C 三点坐标；（2）如图1，点D 为AC 中点，点E 在线段BD 上，且BE=2DE ，连接CE 并延长交抛物线于点M ，求点M 坐标；（3）如图2，将直线AB 绕点A 按逆时针方向旋转15°后交y 轴于点G ，连接CG ，点P 为△ACG 内一点，连接PA 、PC 、PG ，分别以AP 、AG 为边，在它们的左侧作等边△APR 和等边△AGQ ，求PA+PC+PG 的最小值，并求当PA+PC+PG 取得最小值时点P 的坐标（直接写出结果即可）．18．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点,A D 在坐标轴上，两点的坐标分别是点()0,,A m 点(),0,D m 且m 322m m -62=AB 与x 轴交于点,E 点F 是边AD 上一动点，连接FB ，分别与x 轴，y 轴交于点,P 点,H 且FD BE =．（1）求m 的值；（2）若45,APF ∠=︒求证：AHF HFA ∠=∠；（3）若点F 的纵坐标为,n 则线段HF 的长为 ．(用含n 的代数式表示)19．在Rt ABC ∆中，6AB =，90B ∠=︒，8BC =，点P 从A 出发沿AC 方向在运动速度为3个单位/秒，点Q 从C 出发向点B 运动，速度为1个单位/秒，P 、Q 同时出发，点Q 到点B 时两点同时停止运动．（1）点P 在线段AC 上运动，过P 作DP PQ ⊥交边AB 于D ，2t =时，求PD PQ的值； （2）运动t 秒后，90BPQ ∠=︒，求此时t 的值；（3）t =________时，AQ QP =． 20． 在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线y ＝﹣x+4与x 轴交于点A ，过点A 的抛物线y ＝ax 2+bx 与直线y ＝﹣x+4交于另一点B ，且点B 的横坐标为1．（1）该抛物线的解析式为；（2）如图1，Q为抛物线上位于直线AB上方的一动点（不与B、A重合），过Q作QP⊥x 轴，交x轴于P，连接AQ，M为AQ中点，连接PM，过M作MN⊥PM交直线AB于N，若点P的横坐标为t，点N的横坐标为n，求n与t的函数关系式；在此条件下，如图2，连接QN并延长，交y轴于E，连接AE，求t为何值时，MN∥AE．（3）如图3，将直线AB绕点A顺时针旋转15度交抛物线对称轴于点C，点T为线段OA 上的一动点（不与O、A重合），以点O为圆心、以OT为半径的圆弧与线段OC交于点D，以点A为圆心、以AT为半径的圆弧与线段AC交于点F，连接DF．在点T运动的过程中，四边形ODFA的面积有最大值还是有最小值？请求出该值．21．如图，四边形AOBC是正方形，点C的坐标是(82,0)．（1）正方形AOBC的边长为，点A的坐标是；（2）将正方形AOBC绕点O顺时针旋转45︒，点A，B，C旋转后的对应点为A'，B'，C'，求点A'的坐标及旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积；（3）动点P从点O出发，沿折线OACB方向以1个单位/秒的速度匀速运动，同时，另一动点Q从点O出发，沿折线OBCA方向以2个单位/秒的速度匀速运动，运动时间为t△为等腰三角形时，求出t的值（直接写出结果秒，当它们相遇时同时停止运动，当OPQ即可）．22．如图，在▱ABCD中，对角线AC⊥BC，∠BAC＝30°，BC＝23，在AB边的下方作射线AG，使得∠BAG＝30°，E为线段DC上一个动点，在射线AG上取一点P，连接BP，使得∠EBP＝60°，连接EP交AC于点F，在点E的运动过程中，当∠BPE＝60°时，则AF＝_____．23．已知四边形ABCD为矩形，对角线AC、BD相交于点O，AD＝AO．点E、F为矩形边上的两个动点，且∠EOF＝60°．（1）如图1，当点E、F分别位于AB、AD边上时，若∠OEB＝75°，求证：DF＝AE；（2）如图2，当点E、F同时位于AB边上时，若∠OFB＝75°，试说明AF与BE的数量关系；（3）如图3，当点E 、F 同时在AB 边上运动时，将△OEF 沿OE 所在直线翻折至△OEP ，取线段CB 的中点Q ．连接PQ ，若AD ＝2a （a ＞0），则当PQ 最短时，求PF 之长．24．如图，在ABC 中，35,7,tan 4AB BC B ===，动点P 从点A 出发，沿AB 以每秒53个单位长度的速度向终点B 运动，过P 作PQ BC ，交AC 于点Q ，以PQ PB 、为邻边作平行四边形PQDB ，同时以PQ 为边向下作正方形PQEF ，设点P 的运动时间为t 秒()0t >．（1）点A 到直线EF 的距离______________；（用含t 的代数式表示）（2）当点D 落在落在PF 上时，求t 的值；（3）设平行四边形PQDB 与正方形PQEF 重叠部分的面积为()0S S >，求S 与t 之间的函数关系式，并求出S 的最大值．（4）设:PDE APE S S m =△△，当112m 时，直接写出t 的取值范围．25．如图，在等边△ABC 中，AB =BC =AC =6cm ，点P 从点B 出发，沿B →C 方向以1．5cm/s 的速度运动到点C 停止，同时点Q 从点A 出发，沿A →B 方向以1cm/s 的速度运动，当点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动，连接PQ ，过点P 作BC 的垂线，过点Q 作BC 的平行线，两直线相交于点M ．设点P 的运动时间为x （s ），△MPQ 与△ABC 重叠部分的面积为y （cm 2）（规定：线段是面积为0的图形）．（1）当x = （s ）时，PQ ⊥BC ；（2）当点M 落在AC 边上时，x = （s ）；（3）求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、中考数学压轴题1．A解析：（1）∠A+∠C=90°；（2）证明见解析；（3）99°．【解析】【分析】（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；（2）先过点B作BG∥DM，根据同角的余角相等，得出∠ABD=∠CBG，再根据平行线的性质，得出∠C=∠CBG，即可得到∠ABD=∠C；（3）先过点B作BG∥DM，根据角平分线的定义，得出∠ABF=∠GBF，再设∠DBE=a，∠ABF=b，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得(2a+b)+5a+(5a+b)=180°，根据AB⊥BC，可得b+b+2a=90°，最后解方程组即可得到∠ABE=9°，即可得出∠EBC的度数．【详解】解：（1）如图1，设AM与BC的交点为O，AM//CN，∴∠C=∠AOB，∵AB⊥BC，∴∠ABO=90°，∴∠A+∠AOB=90°，即∠A+∠C=90°，故答案为：∠A+∠C=90°；（2）证明：如图2，过点B作BG//DM，∵BD AM，∴∠BDM=90°，∵BG//DM，BDM DBG，∴∠+∠=︒180∴90∠=︒DBG ，即∠ABD +∠ABG =90°，∵AB BC ⊥，∴∠ABC =90°，∴∠CBG +∠ABG =90°，∴∠ABD =∠CBG ，∵AM //CN ，BG //DM ，∴BG //CN ，∴∠C =∠CBG ，∴∠ABD =∠C ；（3）如图3，过点B 作BG //DM ，∵BF 平分∠DBC ，BE 平分∠ABD ，∴∠DBF =∠CBF ，∠DBE =∠ABE ，由（2）可得∠ABD =∠CBG ，∴∠-∠=∠-∠DBF ABD CBF CBG ，即∠ABF =∠GBF ，设∠DBE =a ，∠ABF =b ，则∠ABE =a ，∠ABD =∠CBG =2a ，∠GBF =∠ABF =b ，∠BFC =5∠DBE =5a ，∴∠CBF =∠CBG +∠GBF =2a +b ，∵BG //DM ，∴∠AFB =∠GBF =b ，∴∠AFC =∠BFC +∠AFB =5a +b ，∵AM //CN ，∴∠AFC +∠NCF =180°，∵∠FCB +∠NCF =180°，∴∠FCB =∠AFC =5a +b ，在△BCF 中，由∠CBF +∠BFC +∠BCF =180°可得：(2a +b )+5a +(5a +b )=180°，化简得：6=90+︒a b ，由AB BC ，可得：b +b +2a =90°，化简得：=45+︒a b ，联立6=9045a b a b +︒⎧⎨+=︒⎩，解得：=936a b ︒⎧⎨=︒⎩， ∴∠ABE =9°，∴∠EBC =∠ABE +∠ABC =9°+90°=99°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角（补角）相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用．2．(1) CF ；(2) 四边形BFDE 是菱形，理由见解析；(3) 纸片ENFM 是“标准纸"，理由见解析【解析】【分析】（1）1AB =，则AD =ABCD 是矩形，得到1,CD AB BC AD ==-=FB FD =，设CF x =，则FB FD x ==，在Rt DCF △中，222+=CD CF DF ，可得)2221x x +=即可求解．（2）当顶点B 与点D 重合时，折痕EF 垂直平分BD ，可得OB OD =，90BOF DOE ∠=∠=，在矩形ABCD 中，//AD BC ，得到OBF ODE ∠=∠，在BOF 和DOE △中，,OBF ODE OB OD BOF DOE ∠=∠=∠=∠,，可得BOF DOE ≅，OE OF =，再根据OB OD =，可得四边形BFDE 是平行四边形，最后根据EF BD ⊥，即可求证平行四边形BFDE 是菱形．（3）由()2可知，OE OF =，同理可知，OM ON =，可得四边形ENFM 是平行四边形，根据90DOE DAB ∠=∠=︒，得到DOE DAB ，再根据AD =，可得2OE AB OD AD ===，进而得到2OE OD =，2EF BD =，同理可得，2MN AC =，根据四边形ABCD 是矩形，可得AC BD =，EF MN =，四边形ENFM是矩形，90EMF ∠=，MF OD tan FEM ME OE ∠===MF =，即可求证纸片ENFM 是“标准纸"．【详解】解：()11,AB =则AD AB ==四边形ABCD 是矩形1,CD AB BC AD ∴==-=由折叠得FB FD =设CF x =，则FB FD x ==在Rt DCF △中，222+=CD CF DF)2221x x +=24x = 答：CF 长为24()2四边形BFDE 是菱形.理由：当顶点B 与点D 重合时，折痕EF 垂直平分,BDOB OD ∴=，90BOF DOE ∠=∠=在矩形ABCD 中，//,AD BCOBF ODE ∴∠=∠在BOF 和DOE △中，,OBF ODE OB OD BOF DOE ∠=∠=∠=∠,BOF DOE ∴≅OE OF ∴=OB OD =∴四边形BFDE 是平行四边形EF BD ⊥平行四边形BFDE 是菱形.()3纸片ENFM 是“标准纸”理由如下：由()2可知，,OE OF =同理可知，,OM ON =∴四边形ENFM 是平行四边形90DOE DAB ∠=∠=︒DOE DAB ∴2AD =2OE AB OD AD ∴===OE ∴=2EF BD ∴=同理可得，2MN AC = 四边形ABCD 是矩形，AC BD ∴=，EF MN ∴=∴四边形ENFM 是矩形.90EMF ∴∠=.MF OD tan FEM ME OE∴∠===MF ∴=.∴纸片ENFM 是“标准纸".【点睛】此题主要考查矩形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、菱形的判定及三角函数，灵活运用判定和性质是解题关键．3．（1）①不是；②0；（2）若点(,)p q 在反比例函数8y x=的图象上，则关于x 的方程260px x q -+=是半等分根方程，理由详见解析；（3）详见解析【解析】【分析】（1）①解方程2280x x --=，根据“半等分根方程”定义作出判断即可；②解方程(1)()0x mx n -+=得11x =，2n x m =-，所以12n m -=或2n m -=，即：n =-2m 或m =-2n ，分别代入代数式2252m mn n ++=结果均为0 （2）根据点(,)p q 在反比例函数8y x =的图象上，得到8q p =，代入260px x q -+=，得到关于x 的方程2860px x p-+=，解方程，用含p 的式子表示x ，根据“半等分根方程”定义判断即可； （3）根据两点(1,)M t s +，(4,)N t s -都在抛物线上，且纵坐标相等，可以求出对称轴为52x =，根据方程20ax bx c ++=是半等分根方程，得到两根关系，根据抛物线对称轴为 12522x x +=，即可求出两个根，问题得证． 【详解】解：（1）①解方程2280x x --=得124,2x x ==-，不符合“半等分根方程”定义， 故答案为：不是；②解方程(1)()0x mx n -+=得11x =，2n x m =-，所以12n m -=或2n m-=，即：n =-2m 或m =-2n ， 当n =-2m 时，()()22225522022m mn n m m n m ++=+-+-=； 当m =-2n 时，()()22225522022m mn n n n n n ++=-+-+=； 故答案为：0；（2）若点(,)p q 在反比例函数8y x=的图象上，则关于x 的方程260px x q -+=是半等分根方程理由：∵点(,)p q 在反比例函数8y x=的图象上 ∴8q p =代入方程260px x q -+=得： 2860px x p -+= 解得：12x p =，24x p = ∵1212x x = ∴方程260px x q -+=是半等分根方程（3）∵相异两点(1,)M t s +，(4,)N t s -都在抛物线2y ax bx c =++上， ∴抛物线的对称轴为：(1)(4)522t t x ++-== 又∵方程20ax bx c ++=是半等分根方程∴设20ax bx c ++=的两个根分别为1x 和2x 令1212x x =则有：12522x x += 所以153x =，2103x =所以方程20ax bx c ++=的一个根为53得证． 【点睛】本题为“新定义问题”，考查了学生自主学习的能力，解决此题关键是理解新定义概念，并结合所学数学知识进行解答．4．A 解析：（1）A （0，4），C （3，0）；（2）S=()()51004251042t t t t ⎧-+<<⎪⎪⎨⎪->⎪⎩；（3）存在，满足条件的t 的值为3617或36，点Q 的坐标为162,17⎛⎫- ⎪⎝⎭或()2,16--． 【解析】【分析】（1）解方程组求出m ，n 即可解决问题．（2）分两种情形：如图1中，当0＜t ＜4时，如图2中，当t ＞4时，根据S=12•BC•OP 求解即可．（3）分两种情形分别构建方程求解即可．【详解】 解：（1）由725m n m n +=⎧⎨-=⎩， 解得：43m n =⎧⎨=⎩， ∴A （0，4），C （3，0）；（2）如图1中，当0＜t ＜4时，S=12•BC•OP=12×5×（4-t ）=-52t+10． 如图2中，当t ＞4时，S=12•BC•OP=12×5×（t-4）=52t-10． 综上所述，S=()()51004251042t t t t ⎧-+<<⎪⎪⎨⎪->⎪⎩， （3）当04t <<时，由题意，1314(4)3222t t ⨯⨯=⨯⨯-⨯， 解得3617t =， 此时，363241717OP =-=， 32(0,)17P ∴， (4,0)B -，BQ ∴的中点Q 的坐标为162,17⎛⎫- ⎪⎝⎭， 当4t >时，由题意，1314(4)3222t t ⨯⨯=⨯⨯-⨯， 解得36t =，此时36432OP =-=，(0,32)P ∴-，(4,0)B -，BP ∴的中点Q 的坐标为(2,16)--．综上所述，满足条件的t 的值为3617或36．点Q 的坐标为16(2,)17-或(2,16)--． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了解方程组，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 5．A解析：（15；（233）存在，63【解析】【分析】（1）作A 1H ⊥AB 于H ，连接BD ，BD 1，则四边形ADA 1H 是矩形．解直角三角形，求出∠ABA 1，得到旋转角即可解决问题；（2）由△BCE ∽△BA 2D 2，推出222A D CE n CB A B m ==，可得CE=2n m，由161A E EC =-推出16A C EC =，推出A 1C=26n m •，推出BH=A 1C=26n m•，然后由勾股定理建立方程，解方程即可解决问题；（3）当A 、P 、F ，D ，四点共圆，作PF ⊥DF ，PF 与CD 相交于点M ，作MN ⊥AB ，此时PF 的长度为最小值；先证明△FDG ∽△FME ，得到3FG F FM FE D ==，再结合已知条件和解直角三角形求出PM 和FM 的长度，即可得到PF 的最小值.【详解】解：（1）作A 1H ⊥AB 于H ，连接BD ，BD 1，则四边形ADA 1H 是矩形．∴AD=HA 1=n=1，在Rt △A 1HB 中，∵BA 1=BA=m=2，∴BA 1=2HA 1，∴∠ABA 1=30°，∴旋转角为30°，∵22125+=∴D 到点D 1所经过路径的长度3055π⋅⋅=； （2）∵△BCE ∽△BA 2D 2， ∴222A D CE n CB A B m==， ∴2n CE m=， ∵161EA EC=，∴16A C EC =， ∴A 1C=26n m⋅， ∴BH=A 1C=2226n m n m -=⋅， ∴42226n m n m-=⋅， ∴m 4﹣m 2n 2=6n 4， ∴242416n n m m-=•， ∴3n m =（负根已舍去）． （3）当A 、P 、F ，D ，四点共圆，作PF ⊥DF ，PF 与CD 相交于点M ，作MN ⊥AB ，此时PF 的长度为最小值；由（2）可知，3BE n BG m ==， ∵四边形BEFG 是矩形，∴3FG FE = ∵∠DFG+∠GFM=∠GFM+∠MFE=90°，∴∠DFG=∠MFE ，∵DF ⊥PF ，即∠DFM=90°，∴∠FDM+∠GDM=∠FDM+∠DFM=∠FDM+90°，∴∠FDG=∠FME ，∴△FDG ∽△FME ，∴3FG F FM FE D ==， ∵∠DFM=90°，tan 3FD FMD FM ∠==，∴∠FDM=60°，∠FMD=30°，∴FM DM =；在矩形ABCD 中，有AD AB =3=，则3AD =， ∵MN ⊥AB ，∴四边形ANMD 是矩形，∴MN=AD=3，∵∠NPM=∠DMF=30°，∴PM=2MN=6，∴NP=AB =，∴DM=AN=BP=2，∴2FM DM ===∴6PF PM MF =+=【点睛】本题考查点的运动轨迹，旋转变换、解直角三角形、弧长公式、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于压轴题，中考常考题型．正确作出辅助线，正确确定动点的位置，注意利用数形结合的思想进行解题.6．B解析：（1）2y x 2x 3=-++；（2）①23S m m =-+，13m ≤≤；②P （32，3）；（3）3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭或(3-+-【解析】【分析】（1）将点B 、C 的坐标代入2y x bx c =-++即可； （2）①求出顶点坐标，直线MB 的解析式等，由PD ⊥x 轴且OD=m 知P （m ，-2m+6），即可用含m 的代数式表示出S ；②在和①的情况下，将S 和m 的关系式化为顶点式，由二次函数的图象和性质即可写出点P 的坐标；（3）分情况讨论，当∠CPD=90°时，推出PD=CO=3，则点P 的纵坐标为3，即可求出点P 的坐标；当∠PCD=90°时，证∠PDC=∠OCD ，由锐角三角函数可求出m 的值，即可写出点P 的坐标；当∠PDC=90°时，不存在点P ．【详解】解：（1）将()3,0B ，()0,3C 代入2y x bx c =-++，得0=-9+3b 33c +⎧⎨=⎩， 解得23b c =⎧⎨=⎩， ∴二次函数的解析式为2y x 2x 3=-++； （2）①∵()222314y x x x =-++=--+∴顶点M （1，4），将直线BM 的解析式设为y kx b =+，将点()3,0B ，M （1，4）代入，可得304k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得26k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线BM 的解析式为26y x =-+，如图∵PD ⊥x 轴且OD=m ，∴P （m ，-2m+6）， ∴211(26)322PCD S S PD OD m m m m ==⋅=-+=-+， 即23S m m =-+，∵点P 为线段MB 上一个动点且()3,0B ，M （1，4），∴13m ≤≤； ②22393()24S m m m =-+=--+， ∴当32m =时，S 取最大值94，∴P （32，3）； （3）存在，理由如下：如图，当∠CPD=90°时，90COD ODP CPD ,∴四边形CODP 为矩形， ∵PD=CO=3,将3y =代入直线26y x =-+，得32x =， ∴P 3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭；如图，当∠PCD=90°时，∵OC=3，OD=m ，22229CD OC OD m ， //PD OC PDCOCD , cos cos PDC OCD ,DC OC PD DC∴=, 2DC PD OC ∴=⋅,293(26)m m ，解得1332m（舍去），13m =-+∴(3P -+-；当∠PDC=90°时，∵PD ⊥x 轴，∴不存在点P ； 综上所述，点P 的坐标为3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭或(3-+-．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，函数的思乡曲求极值以及直角三角形的存在性与动点结合等，解题的关键是注意分类讨论思想在解题过程中的运用． 7．A解析：（1）A （4，0）；（2）2144S t =-；（3）(4,8)E - 【解析】【分析】（1）利用三角形的面积公式构建方程即可解决问题．（2）证明△CEA 和△COD 是等腰直角三角形，由EN ⊥AC ，推出42t CN NE NA +===，AC=4+t ，根据S=S △AEC -S △ABC 计算即可．（3）过点F 作FM ⊥AC 于点M ，由（2）求出点F 的坐标为(1,3)44t t -+，从而得到 1144t t OM =-=-，34t FM =+，由∠ABO=∠BDA+∠BAD=45°，∠FOB +∠DAE =45°，得出∠FOB=∠BDA ，进而得出∠MFO=∠ODA ，tan ∠MFO =tan ∠ODA ，故而OA OM OD MF =， 即14434t t t -=+，解出t 的值，再求点E 的坐标即可. 【详解】 （1）由题意可得：211•••822AOB S OA OB OA ==＝， ∴OA 2=16，∵OA ＞0，∴OA=OB=4，∴A （4，0），B （0，4）．（2）如图，过点E 作EN ⊥AC 于点N ．∵∠AOB=90°，OA=OB ，∴∠OAB=45°，∵AB ⊥CD ，∴∠CEA=90°，∴∠ECA=45°，∴△CEA 是等腰直角三角形，∵∠ECA=45°，∠COD=90°，∴∠CDO=45°，∴△CDO 是等腰直角三角形.∵点D 纵坐标为t ，∴CO=DO=t.∵OA=OB=4,∴AC=t+4. ∴42t CN NE NA +===， ∴()()2141144442224AEC ABC t S S S t t t +⎛⎫=-=⨯+⨯-⨯+⨯=- ⎪⎝⎭； ∴S 与t 的函数关系是：2144S t =-. （3）如图，过点F 作FM ⊥AC 于点M ，由（2）可知，42t CN NE +==，∴22t ON OC CN =-=-， ∴点E 的坐标为(2,2)22t t -+， ∵点B （0,4），点F 为BE 中点，∴点F 的坐标为(1,3)44t t -+， ∴1144t t OM =-=-，34t FM =+， ∵∠ABO=∠BDA+∠BAD=45°，∠FOB +∠DAE =45°，∴∠FOB=∠BDA ，∴OF ∥AD ，∵FM ⊥AC ，∴FM ∥DO ，∴∠MFO=∠ODA ，∴tan ∠MFO =tan ∠ODA ， ∴OA OM OD MF=， 即14434t t t -=+， 解得t=12或4=-4（不合题意，舍去）∴点E 的坐标为(4,8)-.【点睛】本题考查三角形综合题，解题的关键是正确作出辅助线，灵活运用所学知识，利用参数构建方程解决问题．8．E解析：（1）24P P ，；（2）3b -≤<；（3）64t >≥-【解析】【分析】（1）根据等腰锐角点的定义即得；（2）先确定极限位置：直线与圆相切于第四象限及直线过（0,3）时b 的值，进而确定范围；（3）分类讨论：E 点和F 点位于线段HK 左侧；E 点和F 点位于线段HK 右侧；利用一线三垂直模型及相似三角形的性质确定极限位置t 的值，进而确定范围．【详解】（1）∵点P 是点O 关于点A 的锐角等腰点，(2,0)A∴OA=OP=2如下图：当1(0,2)P 时，OP 1=2，OP 1⊥OA ，不成立； 当(23P 时，过P 2作P 2M ⊥x 轴 ∴OM=1，P 23∴在2Rt P MO 中，22222OP OM P M =+= ∵290P OA ∠<︒ ∴点(23P 是点O 关于点A 的锐角等腰点； 当(33P -时，390POA >︒∠ ∴点(33P -不是点O 关于点A 的锐角等腰点； 当42,2P 时，过P 4作P 4N ⊥x 轴 ∴2，P 42∴在4Rt P NO 中，22442OP ON P N =+=，445P ON =︒∠ ∴点42,2P 是点O 关于点A 的锐角等腰点． ∴点O 关于点A 的锐角等腰点有(23P ，42,2P 故答案为：24P P ， （2）以O 为圆心，OA=3为半径作圆，当直线2y x b =+与圆O 相切与第四象限时，切点即为点O 关于点A 的锐角等腰点，如下图点C ．由题意，得：OB=-b ，OD=2b ∴在Rt DOB 中，225DB OD OB =+= ∵11122OD OB DB OC = ∴21532b =⨯ 解得：35b =-如上图：当直线2y x b =+过点E ()03，时，3b =，OE ⊥OA ∴要使在直线2y x b =+上存在点C 是点O 关于点A 的锐角等腰点，3b <综上所述：353b -≤<时，直线2y x b =+上存在点C 是点O 关于点A 的锐角等腰点 ．（3）如下图：当E F ，在直线左侧，4EF =时，过E 作EG HK ⊥∵90KOH EGH KHO GHE ==︒∠=∠∠∠，∴H EGH KO ∽∴KO KH EG EH= ∵()()()()0420020K H D t E t -，，，，，，， ∴KO=4，KH=5EH=4-t∴EG=8525425t -= ∵要使线段HK 上存在点E 关于点F 的锐角等腰点，则4EG ≤ ∴85545t ≤∴425t ≥-当E 点和F 点位于线段HK 右侧时，即：4t ≥时，如下图，过E 作EB ⊥EF ，过B 作BM ⊥x 轴，过点F 作FL ⊥x 轴当BE EF =时，F BME EL ≌∴BM EL =，ME FL =∵()F m n ，，()(),020D t E t -，，∴ME FL n ==，2BM EL m t ==-+∴2OM t n =--∴()22B t n m t ---+，将点()22B t n m t ---+，代入直线24y x =-+得：()2224m t t n -+=---+解得：62t n m =+-∴当62t n m <+-时，线段HK 上存在点E 关于点F 的锐角等腰点．∵2m t ≥-，20n ≥≥∴62622212t n m t t <+-≤+⨯-+=-，即6t <综上所述：64t >≥-HK 上存在点E 关于点F 的锐角等腰点【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，全等三角形的判定及性质，切线的性质，相似三角形的判定及性质，圆的定义及一次函数，解题关键是将动点问题转化问各个状态，进而应用等量关系列出方程求解，得出极限状态的未知量的值，进而得出取值范围．9．（1）①12；②4，（2）12AD BC =；理由见解析，（3）存在； 【解析】【分析】 （1）①首先证明ADB '∆是含有30的直角三角形，可得1122AD AB BC '==，即可解决问题；②首先证明BAC B AC ''∆∆≌，根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题． （2）AD 与BC 的数量关系为12AD BC =，如图5，延长AD 到M ，使AD DM =，连接B M '、C M '，先证四边形AC MB ''是平行四边形，再证明BAC AB M '∆∆≌，即可解决问题．（3）存在，如图6，延长AD 交BC 的延长线于M ，作BE AD ⊥于E ，做直线BC 的垂直平分线交BE 于P ，交BC 于F ，连接PA 、PD 、PC ，作PDC ∆的中线PQ ，连接DF 交PC 于O ，先证明PA PD =，PB PC =，再证明+180APD BPC ∠∠=︒，即可得出结论，再在Rt PDQ ∆中，根据勾股定理，即可求出PQ 的长．【详解】（1）①如图2，∵ABC ∆是等边三角形，把AB 绕点A 顺时针旋转α得到AB '，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC '，∴===AB AC BC AB AC ''=，又∵AD 是AB C ''△边B C ''上的中线，∴=DB DC ''，∴AD B C ''⊥，即90ADB '∠=︒，∵60BAC ∠=︒，180BAC B AC ''∠+∠=︒，∴120B AC ''∠=︒，∴=30B C ''∠∠=︒，∴在ADB '∆中，90ADB '∠=︒，30B '∠=︒， ∴1122AD AB BC '==． 故答案为：12． ②如图3，∵90BAC ∠=︒，+=180BAC B AC ''∠∠︒，∴==90BAC B AC ''∠∠︒，即ABC ∆和AB C ''∆为直角三角形，∵把AB 绕点A 顺时针旋转α得到AB '，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC '，∴=AB AB '，=AC AC '，∴在ABC ∆和AB C ''∆中，===AB AB BAC B AC AC AC '''∠'⎧⎪∠⎨⎪⎩∴BAC B AC ''∆∆≌，∴=BC B C ''，∵AD 是AB C ''△边B C ''上的中线，AB C ''∆为直角三角形， ∴1122AD B B C C ''==， 又∵8BC =， ∴11=8=422AD BC =⨯． 故答案为：4． （2）12AD BC =， 如图5，延长AD 到M ，使AD DM =，连接B M '、C M '，图5∵=B D DC ''，AD DM =，∴四边形AC MB ''是平行四边形，∴AC B M AC ''==，∵+=180BAC B AC ''∠∠︒，+=180B AC AB M '''∠∠︒，∴=BAC AB M '∠∠，∵=AB AB '，∴在BAC ∆和AB M '∆中，==AC B M BAC AB M AB AB ''=⎧'⎪∠∠⎨⎪⎩∴BAC AB M '∆∆≌，∴BC AM =，∴12AD BC =．（3）存在，如图6，延长AD 交BC 的延长线于M ，作BE AD ⊥于E ，作直线BC 的垂直平分线交BE 于P ，交BC 于F ，连接PA 、PD 、PC ，作PDC ∆的中线PQ ，连接DF 交PC 于O ，图6∵+=120A B ∠∠︒，∴=180=60M A B ∠︒-∠-∠︒，∵=90C ∠︒，∴=180=30MDC M MCD ∠︒-∠-∠︒，在Rt DCM ∆中，∵=6CD ，=90DCM ∠︒，=30MDC ∠︒， ∴=23CM =43DM =60M ∠︒，在Rt BEM ∆中，∵=90BEM ∠︒，143BM BC CM =+==30MDC ∠︒， ∴1732EM BM ==， ∴33DE EM DM =-=， ∵=63AD =AE DE ，∵BE AD ⊥，∴PA PD =，PB PC =，在Rt CDF ∆中，∵=6CD ，=63CF ∴tan 3CDF ∠=∴60CDF CPF =︒=∠∠，∴FCP CFD ∆∆≌，∴CD PF =，∵//CD PF ，∴四边形CDPF 是矩形，∴=90CDP ∠︒，∴=60ADP ADC CDP ∠∠-∠=︒，∴ADP ∆是等边三角形， ∴==63PA PD AD =∵=60BPF CPF ∠∠=︒，∴120BPC ∠=︒，∴+180APD BPC ∠∠=︒，∴PDC ∆与PAB ∆之间满足小明探究的问题中的边角关系，在Rt PDQ ∆中，∵=90PDQ ∠︒，PD PA AD ===132DQ CD ==，∴PQ ==【点睛】本题考查了三角形的综合问题．掌握全等三角形的性质以及判定定理、直角三角形斜边中线定理、解直角三角形、勾股定理、中线的性质是解题的关键．在处理三角形的边旋转问题时，旋转前后边长不变，根据已知角度变化，求得线段之间关系．在证明某点是否存在问题时，先假设这点存在，能求出相关线段或坐标，即证实存在性． 10．D解析：（1）见解析；（2）y=1603x +；（2）2 【解析】【分析】（1）根据翻折的性质得△DFG ≌△DFA ，从而推导得出∠FDC=∠DFG ，进而得到CF=DC ； （2）在等腰△DGC 和等腰△CFD 中，可用y 表示出∠GDC 、∠FDC 的值，从而求出∠ADF ，根据∠ADE=∠DEC ，得出y 与x 的关系式；（3）先证△KCD 是等腰直角三角形，根据CD 的长得到KC 的值，然后再△KGC 中求得KG 的值.【详解】（1）∵将菱形ABCD 沿DF 翻折，点A 恰好落在点G 上∴△DFG ≌△DFA ，∠AFD=∠FDC∴∠AFD=∠DFG∴∠FDC=∠DFG∴CF=DC ；（2）∵AD=DG=DC=FC ，∠DCF=y∴在△DGC 中，∠DGC=y ，∠GDC=180－2y在△CFD 中，∠CFD=∠CDF=902y -∴∠FDG=∠FDC －∠GDC=3902y - ∴∠ADF=∠FDG=3902y -，∴∠ADE=3y －180 ∵AD ∥BC∴∠ADE=∠DEC ，即3y －180=x。

全国各地中考数学压轴题精选1、（黄石市2011年）（本小题满分9分）已知⊙1O 与⊙2O 相交于A 、B 两点，点1O 在⊙2O 上，C 为⊙2O 上一点（不与A ，B ，1O 重合），直线CB 与⊙1O 交于另一点D 。

（1）如图（8），若AC 是⊙2O 的直径，求证：AC CD =；（2）如图(9)，若C 是⊙1O 外一点，求证：1O CAD ⊥；（3）如图（10），若C 是⊙1O 内一点，判断（2）中的结论是否成立。

2、（黄石市2011年）（本小题满分10分）已知二次函数2248y x mx m =-+-（1）当2x ≤时，函数值y 随x 的增大而减小，求m 的取值范围。

（2）以抛物线2248y x mx m =-+-的顶点A 为一个顶点作该抛物线的内接正三角形AMN （M ，N 两点在抛物线上），请问：△AMN 的面积是与m 无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。

（3）若抛物线2248y x mx m =-+-与x轴交点的横坐标均为整数，求整数m 的值。

AOCBDxy26题备用图AOCBDxy26题图3、（2011年广东茂名市）如图，⊙P 与y 轴相切于坐标原点O （0，0），与x 轴相交于点A （5，0），过点A 的直线AB 与y 轴的正半轴交于点B ，与⊙P 交于点C ．（1）已知AC=3，求点Ｂ的坐标； （４分）（2）若AC=a , D 是O Ｂ的中点．问：点O 、P 、C 、D 四点是否在同一圆上？请说明理由．如果这四点在同一圆上，记这个圆的圆心为1O ，函数xky =的图象经过点1O ，求k 的值（用含a 的代数式表示）．4、庆市潼南县2011年）如图,在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形,∠ACB =90,AC =BC ,OA =1，OC =4，抛物线2y x bx c =++经过A ，B 两点，抛物线的顶点为D ． （1）求b ,c 的值；（2）点E 是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点(点A 、B 除外)，过点E 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，当线段EF 的长度最大时，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P ，使△EFP 是以EF 为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，说明理由.第3题图χyGFE DCBA（第6题）5、苏省宿迁市2011年）（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，P 是反比例函数y ＝x 6（x ＞0）图象上的任意一点，以P 为圆心，PO 为半径的圆与x 、y 轴分别交于点A 、B ．（1）判断P 是否在线段AB 上，并说明理由； （2）求△AOB 的面积； （3）Q 是反比例函数y ＝x6（x ＞0）图象上异于点P 的另一点，请以Q 为圆心，QO 半径画圆与x 、y 轴分别交于点M 、N ，连接AN 、MB ．求证：AN ∥MB ．6、苏省宿迁市2011年）（本题满分12分）如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝1，BC ＝21，以点C 为圆心，CB 为半径的弧交CA 于点D ；以点A 为圆心，AD 为半径的弧交AB 于点E ． （1）求AE 的长度；（2）分别以点A 、E 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于 点F （F 与C 在AB 两侧），连接AF 、EF ，设EF 交弧DE 所 在的圆于点G ，连接AG ，试猜想∠EAG 的大小，并说明理由．题7图（1）E题7图（2）题7图（3）题8图(1)BHFA （D ）GC EC （E ）B FA （D ）题8图(2)7、（11年广东省）10．如图(1)，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE ，它的面积为1；取△ABC 和△DEF 各边中点，连接成正六角星形A 1F 1B 1D 1C 1E 1，如图(2)中阴影部分；取△A 1B 1C 1和△D 1E 1F 1各边中点，连接成正六角星形A 2F 2B 2D 2C 2E 2，如图(3)中阴影部分；如此下去…，则正六角星形A 4F 4B 4D 4C 4E 4的面积为_________________．8、{1年广东省）21．如图（1），△ABC 与△EFD 为等腰直角三角形，AC 与DE 重合，AB =AC =EF =9，∠BAC =∠DEF =90º，固定△ABC ，将△DEF 绕点A 顺时针旋转，当DF 边与AB 边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE ，DF (或它们的延长线)分别交BC (或它的延长线) 于G ，H 点，如图(2) （1）问：始终与△AGC 相似的三角形有 及 ；（2）设CG =x ，BH =y ，求y 关于x 的函数关系式（只要求根据图(2)的情形说明理由） （3）问：当x 为何值时，△AGH 是等腰三角形.AEFPQ 图1 图2C'A'B A DCABCDBCD A (A')C'9、11年凉山州）如图，抛物线与x 轴交于A （1x ，0）、B （2x ，0）两点，且12x x <，与y 轴交于点()0,4C -，其中12x x ，是方程24120x x --=的两个根。

中考数学压轴题100题精选【001】如图，已知抛物线2(1)y a x =-+a ≠0）经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ． （1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．【C=90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB-BC-CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）． （1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ； （2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与 t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成 为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由； （4）当DE 经过点C 时，请直接写出t 的值．【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B （4，0）、C （8，0）、D （8，8）.抛物线y=ax2+bx 过A 、C 两点. (1)直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；A P 图16(2)动点P 从点A 出发．沿线段AB 向终点B 运动，同时点Q 从点C 出发，沿线段CD 向终点D 运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒.过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E ，①过点E 作EF ⊥AD 于点F ，交抛物线于点G .当t 为何值时，线段EG 最长? ②连接EQ ．在点P 、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形? 请直接写出相应的t 值。

中考数学压轴题复习20题1．在平面直角坐标系xO y 中，抛物线y ＝－41 m x2＋45mx ＋m2－3m ＋2与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B （2，n ）在这条抛物线上．（1）求点B 的坐标；（2）点P 在线段OA 上，从O 点出发向A 点运动，过P 点作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E ，延长PE 到点D ，使得ED ＝PE ，以PD 为斜边，在PD 右侧作等腰直角三角形PCD （当P 点运动时，C 点、D 点也随之运动）．①当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；②若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一个点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当Q 点到达O 点时停止运动，P 点也同时停止运动）．过Q 点作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F ，延长QF 到点M ，使得FM ＝QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN （当Q 点运动时，M 点、N 点也随之运动）．若P 点运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值．2．在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA ＝3，OB ＝4，D 为边OB 的中点．（Ⅰ）若E 为边OA 上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E 的坐标；（Ⅱ）若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF ＝2，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标．3．在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝－x2＋bx ＋c 与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为E ．（Ⅰ）若b ＝2，c ＝3，求此时抛物线顶点E 的坐标；（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形ABEC 中满足S △BCE＝S △ABC，求此时直线BC的解析式；（Ⅲ）将（Ⅰ）中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形ABEC 中满足S △BCE＝2S △AOC，且顶点E 恰好落在直线y ＝－4x ＋3上，求此时抛物线的解析式．4．如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，半径为1的圆A 与边AB 相交于点D ，与边AC 相交于点E ，连结DE 并延长，与线段BC 的延长线交于点P ． （1）当∠B ＝30°时，连结AP ，若△AEP 与△BDP 相似，求CE 的长； （2）若CE ＝2，BD ＝BC ，求∠BPD 的正切值；（3）若tan ∠BPD ＝31，设CE ＝x ，△ABC 的周长为y ，求y 关于x 的函数关系式．5．已知：如图①，在平面直角坐标系xO y 中，边长为2的等边△OAB 的顶点B 在第一象限，顶点A 在x 轴的正半轴上．另一等腰△OCA 的顶点C 在第四象限，OC ＝AC ，∠C ＝120°．现有两动点P ，Q 分别从A ，O 两点同时出发，点Q 以每秒1个单位的速度沿OC 向点C 运动，点P 以每秒3个单位的速度沿A →O →B 运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止. （1）求在运动过程中形成的△OPQ 的面积S 与运动的时间t 之间的函数关系，并写出自变量t 的取值范围； （2）在等边△OAB 的边上（点A 除外）存在点D ，使得△OCD 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D 的坐标；（3）如图②，现有∠MCN ＝60°，其两边分别与OB ，AB 交于点M ，N ，连接MN ．将∠MCN 绕着C 点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M ，N 始终在边OB 和边AB 上．试判断在这一过程中，△BMN 的周长是否发生变化？若没变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．6．已知抛物线y ＝ax2＋bx ＋c （a ＞0）的图象经过点B （12，0）和C （0，－6），对称轴为x ＝2． （1）求该抛物线的解析式：（2）点D 在线段AB 上且AD ＝AC ，若动点P 从A 出发沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q 以某一速度从C 出发沿线段CB 匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ 被直线CD 垂直平分？若存在，请求出此时的时间t （秒）和点Q 的运动速度；若不存在，请说明理由；AE C B P D 图2（备用） B PE C D A 图3（备用） A B C P E D 图1图②图①（3）在（2）的结论下，直线x ＝1上是否存在点M ，使△MPQ 为等腰三角形？若存在，请求出所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，抛物线y ＝ax2＋bx ＋1与x 轴交于两点A （－1，0），B （1，0），与y 轴交于点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）过点B 作BD ∥CA 与抛物线交于点D ，求四边形ACBD 的面积；（3）在x 轴下方的抛物线上是否存在点M ，过M 作MN ⊥x 轴于点N ，使以A 、M 、N 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，已知抛物线y ＝21x2＋bx ＋c 与y 轴相交于C ，与x 轴相交于A 、B ，点A 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，－1）．（1）求抛物线的解析式；（2）点E 是线段AC 上一动点，过点E 作DE ⊥x 轴于点D ，连结DC ，当△DCE 的面积最大时，求点D 的坐标；（3）在直线BC 上是否存在一点P ，使△ACP 为等腰三角形，若存在，求点P 的坐标，若不存在，说明理由．9．如图，已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，相似比为k （k ＞1），且△ABC 的三边长分别为a 、b 、c （a ＞b ＞c ），△A 1B 1C 1的三边长分别为a 1、b 1、c 1． （1）若c ＝a 1，求证：a ＝kc ；（2）若c ＝a 1，试给出符合条件的一对△ABC 和△A 1B 1C 1，使得a 、b 、c 和a 1、b 1、c 1都是正整数，并加以说明；（3）若b ＝a 1，c ＝b 1，是否存在△ABC 和△A 1B 1C 1，使得k ＝2？请说明理由．10．如图，Rt △ABC 内接于⊙O ，AC ＝BC ，∠BAC 的平分线AD 与⊙O 交于点D ，与BC 交于点E ，延长BD ，与AC 的延长线交于点F ，连结CD ，G 是CD 的中点，连结OG ． （1）判断OG 与CD 的位置关系，写出你的结论并证明； （2）求证：AE ＝BF ； （3）若OG ·DE ＝3(2－2)，求⊙O 的面积．11．已知：抛物线y ＝ax2＋bx ＋c （a ≠0）的对称轴为x ＝－1，与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中A （－3，0）、C （0，－2）． （1）求这条抛物线的函数表达式．（2）已知在对称轴上存在一点P ，使得△PBC 的周长最小．请求出点P 的坐标．（3）若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、点C 重合）．过点D 作DE ∥PC 交x 轴于点E ，连接PD 、PE ．设CD 的长为m ，△PDE 的面积为S ．求S 与m 之间的函数关系式．试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．12．（本小题满分12分）如图，BD 是⊙O 的直径，OA ⊥OB ，M 是劣弧上一点，过M 点作⊙O 的切线MP 交OA 的延长线于P 点，MD 与OA 交于N 点． （1）求证：PM ＝PN ； （2）若BD ＝4，P A ＝23AO ，过B 点作BC ∥MP 交⊙O 于C 点，求BC 的长． B C AA 1 a b cB 1C 1 a 1b 1c 1 A C B F D EO G13．如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO ，其顶点为A （0，1）、B （－33，1）、C （－33，0）、O （0，0）．将此矩形沿着过E （－3，1）、F （－334，0）的直线EF 向右下方翻折，B 、C 的对应点分别为B ′、C ′．（1）求折痕所在直线EF 的解析式；（2）一抛物线经过B 、E 、B ′三点，求此二次函数解析式；（3）能否在直线EF 上求一点P ，使得△PBC 周长最小？如能，求出点P 的坐标；若不能，说明理由．14．已知：甲、乙两车分别从相距300（km ）的M 、N回，图1、图2分别是它们离各自出发地的距离y （km ）与行驶时间x （h ）之间的函数图象． （1）试求线段AB所对应的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）当它们行驶到与各自出发地的距离相等时，用了29h ，求乙车的速度； （3）在（2）的条件下，求它们在行驶的过程中相遇的时间．y h图1y h图215．如图1，在△ABC 中，AB ＝BC ，且BC ≠AC ，在△ABC 上画一条直线，若这条直线．．既平分△ABC 的面积，又平分△ABC 的周长，我们称这条线为△ABC 的“等分积周线”． （1）请你在图1中用尺规作图作出一条△ABC 的“等分积周线”；（2）在图1中过点C 能否画出一条“等分积周线”？若能，说出确定的方法；若不能，请说明理由； （3）如图2，若AB ＝BC ＝5cm ，AC ＝6cm ，请你找出△ABC 的所有“等分积周线”，并简要说明确定的方法．16．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3cm ，BC ＝4cm ，点P 以一定的速度沿AC 边由A 向C 运动，点Q 以1cm/s 的速度沿CB 边由C 向B 运动，设P 、Q 同时运动，且当一点运动到终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t （s ）． （1）若点P 以43cm/s 的速度运动 ①当PQ ∥AB 时，求t 的值；②在①的条件下，试判断以PQ 为直径的圆与直线AB 的位置关系，并说明理由．（2）若点P 以1cm/s 的速度运动，在整个运动过程中，以PQ 为直径的圆能否与直线AB 相切？若能，请求出运动时间t ；若不能，请说明理由．17．青海玉树发生7.1级强震后，为使人民的生命财产损失降到最低，部队官兵发扬了连续作战的作风。

一、解答题1．将矩形ABCD 绕着点C 按顺时针方向旋转得到矩形FECG ，其中点E 与点B ，点G 与点D 分别是对应点，连接BG ．(1)如图，若点A ，E ，D 第一次在同一直线上，BG 与CE 交于点H ，连接BE ． ①求证：BE 平分∠AEC ．②取BC 的中点P ，连接PH ，求证：PH ∥CG ． ③若BC ＝2AB ＝2，求BG 的长．(2)若点A ，E ，D 第二次在同一直线上，BC ＝2AB ＝4，直接写出点D 到BG 的距离． 2．四边形ABCD 中，DA DC =，连接BD ．（1）如图1，若BD 平分ABC ∠，求证：180A C ∠+∠=︒． （2）如图2，若BD BC =，150=︒∠BAD ，求证：2DBC ABD ∠=∠．（3）如图3，在（2）的条件下，作AE BC ⊥于点E ，连接DE ，若DA DC ⊥，2BC =，求DE 的长度．3．如图，抛物线顶点(1,4)P ，与y 轴交于点(0,3)C ，与x 轴交于点A ，B ．（1）求抛物线的解析式；（2）Q 是抛物线上除点P 外一点，BCQ △与BCP 的面积相等，求点Q 的坐标：（3）M 是线段BC 上方抛物线上一个动点，过点M 作x 轴的垂线，交线段BC 于点D ，再过点M 做MN //x 轴交抛物线于点N ，连结DN ，请问是否存在点M 使MDN △为等腰直角三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．4．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：观察与猜想（1）①如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，AD 上的两点，连接DE ，CF ，DE CF ⊥，则DECF的值为 ； ②如图2，在矩形ABCD 中，7AD =，4CD =，点E 是AD 上的一点，连接CE ，BD ，且CE BD ⊥，则CEBD的值为 ； 类比探究（2）如图3，在四边形ABCD 中，90A B ∠=∠=︒，点E 为AB 上一点，连接DE ，过点C 作DE 的垂线交ED 的延长线于点G ，交AD 的延长线于点F ，求证：DE AB CF AD ⋅=⋅；拓展延伸（3）如图4，在Rt ABD △中，90BAD ∠=︒，3AB =，9AD =，将Rt ABD △沿BD 翻折，点A 落在点C 处得CBD ，点E ，F 分别在边AB ，AD 上，连接DE ，CF ，DE CF ⊥．请问DECF是定值吗？若是求出其值，若不是说明理由； 5．如图，在平面直角坐标系中，ABC 的边AB 在x 轴上，且OB OA >，以AB 为直径的圆过点C ．若点C 的坐标为()0,4，10AB =，（1）求抛物线的解析式；（2）点P为该函数在第一象限内的图象上一点（不与BC重合)，过点P作PQ BC⊥，垂足为点Q，连接PC．若以点P、C、Q为顶点的三角形与COA相似，求点P的坐标；（3）若ACB∠平分线所在的直线l交x轴与点E，过点E任作一直线l'分别交射线CA，CB（点C除外）于点M，N．则11CM CN+的是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．6．在平面直角坐标系xOy中，规定：抛物线y＝a（x﹣h）2+k的“伴随直线”为y＝a（x﹣h）+k．例如：抛物线y＝2（x+1）2﹣3的“伴随直线”为y＝2（x+1）﹣3，即y＝2x﹣1．（1）在上面规定下，抛物线y＝（x+1）2﹣5的顶点坐标为_____，“伴随直线”为_____．（2）如图，顶点在第一象限的抛物线y＝a（x﹣1）2﹣4a（a≠0）与其“伴随直线”相交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴交于点C，D．①若△ABC为等腰三角形时，求a的值；②如果点P（x，y）是直线BC上方抛物线上的一个动点，△PBC的面积记为S，当S取得最大值274时，求a的值．7．如图1，抛物线y＝ax2﹣94x+c与x轴交于A（﹣1，0）和B两点，与y轴交于C（0，﹣3），E为抛物线顶点，抛物线的对称轴交x轴于点H．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点3(0,2)2F，点P在对称轴右侧的抛物线上运动，连接PO，PO与对称轴交于点D，连接DF．当DF平分∠ODE时，求点P的坐标；（3）如图2，平移对称轴EH交抛物线于M，交直线BC于N．以N为圆心，NM为半径作⊙N．当⊙N与坐标轴相切时，请直接写出⊙N的半径长．8．等腰Rt△ABC，CA＝CB，D在AB上，CD＝CE，CD⊥CE．（1）如图1，连接BE，求证：AD＝BE．（2）如图2，连接AE，CF⊥AE交AB于F，T为垂足，①求证：FD＝FB；②如图3，若AE交BC于N，O为AB中点，连接OC，交AN于M，连FM、FN，当S OF2+BF2的最小值．52FMN9．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙是△ABC的外接圆，连接BO并延长交边AC于点D．（1）如图1，求证：∠BAC＝2∠ABD；（2）如图2，过点B作BH⊥AC于点H，延长BH交⊙O于点G，连接OC，CG，OC交BG于点F，求证：BF＝2HG；（3）如图3，在（2）的条件下，若AD＝2，CD＝3，求线段BF的长．10．问题背景如图（1），△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，直线l 绕着点A 顺时针旋转，过B ，C 两点分别向直线l 作垂线BD ，CE ，垂足为D ，E ，此时△ABD 可以由△CAE 通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小（取最小旋转角度）． 尝试应用如图（2），△ABC 为等边三角形，直线l 绕着点A 顺时针旋转，D 、E 为直线l 上两点，∠BDA ＝∠AEC ＝60°．△ABD 可以由△CAE 通过旋转变换得到吗？若可以，请指出旋转中心O 的位置并说明理由；拓展创新如图（3）在问题背景的条件下，若AB ＝2，连接DC ，直接写出CD 的长的取值范围．11．如图1，菱形ABCD 绕点A 顺时针旋转()0180αα︒<<︒，得到菱形AEFG ，连接AC ，AF 、分别与BD ，EG 相交于点O ，O '．射线BD ，GE 交于点P ，BPG β∠=．（1）当90α=︒时，四边形AOPO '的形状为 ． （2）求α与β的数量关系．（3）如图2．连接PA ，若42BAD ∠=°，PA PB =，求α的值．（4）如图3，连接PC ，PF ，若5AB =，4BD =，四边形AFPC 能否为菱形？若能，直接写出α的值和AP 的长；若不能，请说明理由．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AP交x轴于点P（p，0），与y轴交于点A （0，a），且a、p满足+（p﹣1）2＝0．(1)求直线AP的解析式；(2)如图1，直线x＝﹣2与x轴交于点N，点M在x轴上方且在直线x＝﹣2上，若△MAP 的面积等于6，请求出点M的坐标；(3)如图2，已知点C（﹣2，4），若点B为射线AP上一动点，连接BC，在坐标轴上是否存在点Q，使△BCQ是以BC为底边的等腰直角三角形，直角顶点为Q，若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．13．我们把方程（x﹣m）2＋（y﹣n）2＝r2称为圆心为（m，n）、半径长为r的圆的标准方程．例如，圆心为（1，﹣2）、半径长为3的圆的标准方程是（x﹣1）2＋（y＋2）2＝9．如图，在平面直角坐标系中，⊙C与x轴交于A，B两点，且点B的坐标为（8，0），与y轴相切于点D（0，4），过点A，B，D的抛物线的顶点为E．(1)求⊙C的标准方程；(2)试判断直线AE 与⊙C 的位置关系，并说明理由； (3)连接CE ，求sin∠AEC 的值．14．如图，ABC 为O 的内接三角形，AB 为O 的直径，过点A 作O 的切线交BC 的延长线干点D ．(1)求证：ABC ∽；(2)若E 为AD 上一点，使得，连接OE ，求证：OE 平分；(3)若点F 为直径AB 下方半圆的中点，连接CF 交AB 于点G ，且，2AB =，求CG的长．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2与直线y ＝x ﹣2交于点A （m ，0）和点B （﹣2，n ），与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；(2)若向下平移抛物线，使顶点D 落在x 轴上，原来的抛物线上的点P 平移后的对应点为P '，若，求点P 的坐标；(3)在抛物线上是否存在点Q ，使△QAB 的面积是△ABC 面积的一半？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．16．已知抛物线24y ax bx =++（a ≠0）与x 轴交于点A （3-，0）、B （2，0），与y 轴交于点C ，直线y mx n =+经过两点A 、C ．(1)求a，b的值；(2)如图1，点Р在已知抛物线上，且位于第二象限，当四边形PABC的面积最大时，求点P的坐标．(3)如图2，将已知抛物线向左平移12个单位，再向下平移2个单位．记平移后的抛物线为'y，若抛物线'y与原抛物线的对称轴交于点Q．点E是新抛物线'y的对称轴上一动点，在（2）的条件下，当△PQE是等腰三角形时，请直接写出点E的坐标．17．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，直径DF交BC于点G．(1)如图1，求证：∠BAD－∠BCF＝90°；(2)如图2，连接AC，当∠BAC＝∠CFD＋∠ACD时，求证：CA＝CB；(3)如图3，在（2）的条件下，AC交DF于点H，∠BAC＝∠DGB，45CGBG，AC＝9，求△CDH的面积．18．设抛物线y=ax2+bx-2与x轴交于两个不同的点A（-1，0）、B（m，0），与y轴交于点C．且∠ACB=90度．(1)求m 的值；(2)求抛物线的解析式，并验证点D （1，﹣3）是否在抛物线上；(3)已知过点A 的直线y =x +1交抛物线于另一点E ．问：在x 轴上是否存在点P ，使以点P 、B 、D 为顶点的三角形与△AEB 相似？若存在，请求出所有符合要求的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．19．图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，在研究三角形的旋转过程中，发现下列问题：如图1，在ABC 中，AB AC =，BAC α∠=，MN 分别为AB 、BC 边上一点，连接MN ，且MN AC ∥，将ABC 绕点B 在平面内旋转．(1)观察猜想ABC 绕点B 旋转到如图2所示的位置，若60α=︒，则AMCN的值为______． (2)类比探究若90α=︒，将ABC 绕点B 旋转到如图3所示的位置，求AMCN的值． (3)拓展应用若90α=︒，M 为AB 的中点，4AB =，当AM BN ⊥时，请直接写出CN 的值． 20．如图1，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC ＝16，BD ＝12． （1）求菱形ABCD 的面积及周长；（2）点M 是射线DA 上一个动点，作射线BM ，交射线CA 于点E ．将射线BM 绕点B 逆时针旋转后交射线CA 于点N ，旋转角为∠MBN ，且∠MBN ＝12BAD ∠，连接MN ．①如图2，当点N 与点O 重合时，求△AMN 的周长；②当AE ＝BE 时，请直接写出AM 的长为 ； ③BN ＝35时，请直接写出AM 的长为 ．【参考答案】**科目模拟测试一、解答题1．(1)7 57221【解析】 【分析】（1）①根据旋转的性质得到CB CE =，求得EBC BEC ∠=∠，根据平行线的性质得到EBC BEA ∠=∠，于是得到结论；②如图1，过点B 作CE 的垂线BQ ，根据角平分线的性质得到AB BQ =，求得=CG BQ ，根据全等三角形的性质得到BH GH =，根据三角形的中位线定理即可得到结论； ③如图2，过点G 作BC 的垂线GM ，解直角三角形即可得到结论．（2）如图3，连接DB ，DG ，过G 作GP BC ⊥交BC 的延长线于P ，GN DC ⊥交DC 的延长线于N ，根据旋转的性质得到4==CE BC ，2CD AB ==，解直角三角形得到1NG =，3PG =(1)解：①证明：矩形ABCD 绕着点C 按顺时针方向旋转得到矩形FECG ，CB CE ∴=，EBC BEC ∴∠=∠，又//AD BC ，EBC BEA ∴∠=∠，BEA BEC ∴∠=∠，BE ∴平分AEC ∠；②证明：如图1，过点B 作CE 的垂线BQ ，BE 平分AEC ∠，BA AE ⊥，BQ CE ⊥，AB BQ ∴=，CG BQ ∴=，90BQH GCH ∠=∠=︒，BQ AB CG ==，BHQ GHC ∠=∠，()BHQ GHC AAS ∴∆≅∆，BH GH ∴=，即点H 是BG 中点， 又点P 是BC 中点，//PH CG ∴；③解：如图2，过点G 作BC 的垂线GM ，22BC AB ==，1BQ ∴=，30BCQ ∴∠=︒，90ECG ∠=︒，60GCM ∴∠=︒，1CG AB CD ===，3GM ∴12CM =，222253()()722BG BM MG ∴=+=+=； (2)解：如图3，连接DB ，DG ，过G 作GP BC ⊥交BC 的延长线于P ，GN DC ⊥交DC 的延长线于N ，24BC AB ==，2AB ∴=，将矩形ABCD 绕着点C 按顺时针方向旋转得到矩形FECG ，4CE BC ∴==，2CD AB ==，点A ，E ，D 第二次在同一直线上，90CDE ，12CD CE ∴=， 30DEC ∴∠=︒，60DCE ∴∠=︒，30NCG ∴∠=︒，2CG =，1NG ∴=，3PG =523DBG DBC DCG BCG S S S S ∆∆∆∆∴=++=+2227BG BP PG +257221DBG S DM BG ∆∴= 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，解直角三角形，解题的关键是正确地作出辅助线．2．（1）见解析；（2）见解析；（32【解析】【分析】（1）过点D 分别作DF BC ⊥于点F ，DE BA ⊥交BA 的延长线于点E ，根据角平分线的性质可得ED FD =，结合已知条件HL 证明Rt DAE ≌Rt DCF △，继而可得C EAD ∠=∠，根据平角的定义以及等量代换即可证明180BAD BCD ∠+∠=︒；（2）过点D 分别作DF BC ⊥于点F ，DE BA ⊥交BA 的延长线于点E ，过点B 作BG DC ⊥，根据含30度角的直角三角形的性质可得12ED AD =，根据三线合一，可得12DG DC =，进而可得DE DG =，根据角平分线的判定定理可推出12ABD DBG DBC ∠=∠=∠，进而即可证明2DBC ABD ∠=∠； （3）先证明四边形DMEF 是矩形，证明△MAD ≌FCD ，进而证明四边形DMEF 是正方形，设ABD α∠=，根据（2）的结论以及三角形内角和定理，求得15α=︒，进而求得30DBC ∠=︒，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求得EF ，进而在Rt DEF △中，勾股定理即可求得DE 的长．【详解】（1）如图，过点D 分别作DF BC ⊥于点F ，DE BA ⊥交BA 的延长线于点E ，BD 平分ABC ∠，ED FD ∴=DA DC =，在Rt DAE 与Rt DCF △中AD DC ED FD =⎧⎨=⎩∴Rt DAE ≌Rt DCF △（HL ）C EAD ∴∠=∠180DAB EAD DAB C ∴∠+∠=∠+∠=︒即180BAD BCD ∠+∠=︒（2）如图，过点D 作DE BA ⊥交BA 的延长线于点E ，过点B 作BG DC ⊥，BD BC = 11,22DG GC DC DBG CBG DBC ∴==∠=∠=∠ 150=︒∠BAD ，18015030EAD ∴∠=︒-︒=︒12ED AD ∴= DA DC =ED DG ∴=,ED BE DG BG ⊥⊥EBD GBD ∴∠=∠12ABD DBC ∴∠=∠ 即2DBC ABD ∠=∠（3）如图，过点D 分别作DF BC ⊥于点F ，DM EA ⊥交EA 的延长线于点M ，AE BC ⊥，,DM ME DF FE ⊥⊥∴四边形DMEF 是矩形90MDF ∴∠=︒90MDA ADF ∴∠+∠=︒DA DC⊥90ADC∴∠=︒90ADF FDC∴∠+∠=︒FDC MDA∴∠=∠在△MAD与FCD中MDA FDCDMA DFCDA DC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△MAD≌FCDDM DF∴=，MDA FDC∠=∠∴四边形DMEF是正方形DF EF∴=设ABDα∠=∴22DBC ABDα∠=∠=BD BC=()11802902BDC BCDαα∴∠=∠=︒-=-90MDA FDC BCDα∴∠=∠=︒-∠=90DAE M MDAα∴∠=∠+∠=︒+150BAD∠=︒60BAEα∴∠=-在BAE中9030ABE BAEα∠=︒-∠=︒+23ABE ABD DBCααα∠=∠+∠=+=15α∴=︒230DBCα∴∠==︒2BD =112122DF BD∴==⨯=在Rt DEF△中，1EF DF==DE∴==【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，角平分线的性质与判定，三角形内角和定理，三角形的外角性质，勾股定理，正方形的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键．3．（1）2y x 2x 3=-++；（2）1(2,3)Q ，2317117(,)22Q +--，3317117(,)22Q --+；（3）存在，(2,3)M 或5175317(,)22--+ 【解析】【分析】 （1）设2(1)4(0)y a x a =-+≠，把C(0,3)代入求出a ，即可得出答案；（2）①过P 作PQ //BC ，交抛物线于点Q ，如图1所示；②求出点G 坐标，可得2PG GH ==，过H 作直线23Q Q //BC ，交x 轴于点H ，分别求出Q 的坐标即可；（3）MDN △为等腰直角三角形，则MN MD =，求出MN 、MD 的长度即可列出等量关系式，从而得出答案．【详解】（1）设2(1)4(0)y a x a =-+≠，把C(0,3)代入抛物线解析式得：43a +=，即1a =-，则抛物线解析式为22(1)423 y x x x =--+=-++；（2）由(3,0)B ，C(0,3)，得到直线BC 解析式为3y x =-+，①过P 作1PQ //BC ，交抛物线于点1Q ，如图1所示，(1,4)P ，∴直线PQ 解析式为5y x =-+，联立得：2235y x x y x ⎧=-++⎨=-+⎩， 解得：14x y =⎧⎨=⎩或23x y =⎧⎨=⎩， 即1(2,3)Q ；②过P 作PH x ⊥轴，交BC 于点G ，交x 轴于点H ，令1x =，代入3y x =-+，得2y =，(1,2)G ∴，2PG GH ∴==，过H 作直线23Q Q //BC ，则直线23Q Q 解析式为1y x =-+，联立得：2231y x x y x ⎧=-++⎨=-+⎩，解得：x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2Q ∴，3Q ， 综上所述：点Q 的坐标为1(2,3)Q，2Q，3Q ； （3）MDN △为等腰直角三角形，则MN MD =，点()2,23M m m m -++，令x m =，代入3y x =-+得：3y m =-+，(,3)D m m ∴-+，函数的对称轴为：1x =，则点N 的横坐标为：2m -，则|22|MN m =-，2223(3)3MD m m m m m =-++--+=-+，2223m m m ∴-=-+，2223m m m -=-+或2223m m m -+=-+，解得：12m =或21m =-（舍）或3m =4m = 当2m =时，2233m m -++=，当m =223m m -++= 故点M 的坐标为：(2,3)或． 【点睛】 本题考查了二次函数综合题，设计知识有：用待定系数法求函数解析式、同底等高的面积计算、等腰直角三角形的性质，一次函数与二次函数交点问题，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．4．（1）①1；②47；②见解析；（3）是定值，53 【解析】【分析】（1）①如图1，设DE 与CF 交于点G ，由正方形的性质得出∠A =∠FDC =90°，AD =CD ，可证明△AED ≌△DFC （AAS ），由全等三角形的性质得出DE =CF ，则可得出结论；②如图2，设DB 与CE 交于点G ，根据矩形性质得出∠A =∠EDC =90°，由直角三角形的性质证出∠ECD =∠ADB ，由相似三角形的判定定理证出△DEC ∽△ABD 即可；（2）如图3，过点C 作CH ⊥AF 交AF 的延长线于点H ，证明△DEA ∽△CFH ，由相似三角形的性质得出DE AD CF CH =，则可得出结论； （3）过点C 作CG ⊥AD 于点G ，连接AC 交BD 于点H ，CG 与DE 相交于点O ，根据等积关系可得AH 、DH 和CG 的长，，再证明△DEA ∽△CFG ，得出比例线段DE AD CF CG=则可求出答案．【详解】解：（1）①如图1，设DE 与CF 交于点G ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A =∠FDC =90°，AD =CD ，∵DE ⊥CF ，∴∠DGF =90°，∴∠ADE +∠CFD =90°，∠ADE +∠AED =90°，∴∠CFD =∠AED ，在△AED 和△DFC 中，A FDC CFD AED AD CD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△AED ≌△DFC （AAS ），∴DE =CF ，∴DE CF=1 故答案为：1；②如图2，设DB 与CE 交于点G ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A=∠EDC=90°，∵CE⊥BD，∴∠DGC=90°，∴∠CDG+∠ECD=90°，∠ADB+∠CDG=90°，∴∠ECD=∠ADB，∵∠CDE=∠A，∴△DEC∽△ABD，∴4,7 CE DCBD AD==，故答案为：47．（2）证明：如图3，过点C作CH⊥AF交AF的延长线于点H，∵CG⊥EG，∴∠G=∠H=∠A=∠B=90°，∴四边形ABCH为矩形，∴AB=CH，∠FCH+∠CFH=∠DFG+∠FDG=90°，∴∠FCH=∠FDG=∠ADE，∠A=∠H=90°，∴△DEA∽△CFH，∴DE AD CF CH=，∴DE AD CF AB=，∴DE•AB=CF•AD；（3）是定值，如图4，过点C作CG⊥AD于点G，连接AC交BD于点H，CG与DE相交于点O，则AC BD ⊥于H∵CF ⊥DE ，GC ⊥AD ，∴∠FCG +∠CFG =∠CFG +∠ADE =90°，∴∠FCG =∠ADE ，∠BAD =∠CGF =90°，∴△DEA ∽△CFG ， ∴DE AD CF CG=， 在Rt △ABD 中，AD =9，AB =3， ∴222293310BD AB AD ++ 又1122AD AB BD AH = ∴93910310AD AB AH BD ⨯=== ∴AC =2AH 91052222910279()101010DH AD AH =-=- ∵1122ADC S AC DH AD CG ∆=⋅=⋅， ∴192711010925102CG =⨯， ∴CG =275，由（1）可得，ADE GCF ∆∆∴952735DE AD CF CG ===【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判断和性质，三角形的面积，解本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．5．（1）213442y x x =-++；（2）点P 的坐标为：（6，4171，2172）；（3）11NC MC += 【解析】【分析】（1）根据题意，先证明AOC ∆∽COB ∆，得到AO OC CO OB=，求出点A 、B 的坐标，然后利用待定系数法，即可求出抛物线解析式；（2）根据题意，可分为两种情况：AOC ∆∽PQC ∆或AOC ∆∽CQP ∆，结合解一元二次方程，相似三角形的判定和性质，分别求出点P 的坐标，即可得到答案；（3）过点E 作EI ⊥AC 于I ，EJ ⊥CN 于J ，然后由角平分线的性质定理，得到EI =EJ ，再证明△MEI ∽△MNC ，△NEJ ∽△NMC ，得到111NC MC EI +=，然后求出EI 一个定值，即可进行判断．【详解】解：（1）∵以AB 为直径的圆过点C ，∴∠ACB =90°，∵点C 的坐标为()0,4，∴CO ⊥AB ，∴∠AOC =∠COB =90°，∴∠ACO +∠OCB =∠ACO +∠OAC =90°，∴∠OCB =∠OAC ,∴AOC ∆∽COB ∆， ∴AO OC CO OB =， ∵4CO =，10AO BO AB +==，∴10AO OB =-， ∴1044OB OB-=， 解得：2OB =或8OB =，经检验，满足题意，∵OB OA >，∴8OB =，∴点A 为（2-，0），点B 为（8，0）．设抛物线的解析式为2y ax bx c =++，把点A 、B 、C 三点的坐标代入，有44206480c a b c a b c =⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩，解得：14324a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，∴抛物线的解析式为213442y x x =-++； （2）根据题意，如图：当AOC ∆∽PQC ∆时，∴ACO PCQ ∠=∠，∵90ACO OCB ∠+∠=︒，∴90PCQ OCB ∠+∠=︒， ∴PC ⊥OC ，∴点P 的纵坐标为4，当4y =时，有2134442x x -++=， 解得：16x =或20x =（舍去）；∴点P 的坐标为（6，4）；当AOC ∆∽CQP ∆时，则此时BC 垂直平分OP ，作PG ⊥y 轴，垂足为G ，如上图， ∴90CQP AOC ∠=∠=︒，∴AC ∥OP ，∴∠ACO =∠POG ，∵90PGO AOC ∠=∠=︒，∴AOC ∆∽PGO ∆，∴AO OC PG GO=， 设点P 为（x ，213442x x -++）， ∴PG x =，213442GO x x =-++， ∴22413442x x x =-++， 解得：171x =， ∵点P 在第一象限， ∴171x =，∴2134217242x x -++=，∴点P 的坐标为（171-，2172-）；综合上述，点P 的坐标为：（6，4）或（171-，2172-）；（3）过点E 作EI ⊥AC 于I ，EJ ⊥CN 于J ，如图：∵CE 是∠ACB 的角平分线，∴EI =EJ ， ∵EI ∥CN ，EJ ∥CM ，∴△MEI ∽△MNC ，△NEJ ∽△NMC ，∴EI ME NC MN =，EJ NE MC MN =， ∴1EI EJ ME NE NC MC MN MN +=+=， ∴1EI EI NC MC +=， ∴111NC MC EI+=， ∵△ACO ∽△AEI ， ∴12AI AO EI CO ==， ∵222425AC =+∵AC AI IC AI EI =+=+，2512EI -=， 解得：45EI =∴11135NC MC EI +== ∴11NC MC+是一个定值． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，求二次函数的解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是熟练掌握题意，正确的作出辅助线，运用数形结合的思想进行解题．6．（1）（﹣1，﹣5），y ＝x ﹣4；（2）①a 的值为a ＝﹣2． 【解析】【分析】（1）由“伴随直线”的定义即可求解； （2）①先求y ＝a （x −1）2−4a 的伴随直线为y ＝ax −5a ，再联立方程组2(1)45y a x a y ax a ⎧=--⎨=-⎩，求出A （1，−4a ），B （2，−3a ），C （−1，0），D （3，0），由于当△ABC 为等腰三角形时，只存在一种可能为AC ＝BC ，即可求a 的值；②先求直线BC 解析式为y ＝−ax −a ，过P 作x 轴的垂线交BC 于点Q ，设点P 的横坐标为x ，则P [x ，a （x −1）2−4a ]，Q （x ，−ax −a ），23127()228PBC S a x a ∆=--，即可求面积的最大值，进而求a 的值．【详解】（1）∵抛物线y ＝（x +1）2﹣5，∴顶点坐标为（﹣1，﹣5），“伴随直线”为y ＝x ﹣4，故答案为：（﹣1，﹣5），y ＝x ﹣4；（2）①由“伴随直线”定义可得：y ＝a （x ﹣1）2﹣4a 的伴随直线为y ＝ax ﹣5a ， 联立2(1)45y a x a y ax a ⎧=--⎨=-⎩， 解得14x y a =⎧⎨=-⎩或23x y a =⎧⎨=-⎩， ∴A （1，﹣4a ），B （2，﹣3a ），在y ＝a （x ﹣1）2﹣4a 中，令y ＝0可解得x ＝﹣1或x ＝3，∴C （﹣1，0），D （3，0），∴AC 2＝4+16a 2，BC 2＝9+9a 2，∵当△ABC 为等腰三角形时，只存在一种可能为AC ＝BC ，∴AC 2＝BC 2，即4+16a 2＝9+9a 2，解得=a ∵抛物线开口向下，∴a =∴若△ABC 为等腰三角形时，a 的值为 ②设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ，∵B （2，﹣3a ），C （﹣1，0），∴200k b k b +=⎧⎨-+=⎩，解得k a b a =-⎧⎨=-⎩，∴直线BC 解析式为y ＝﹣ax ﹣a ，如图，过P 作x 轴的垂线交BC 于点Q ，设点P 的横坐标为x ，∴P [x ，a （x ﹣1）2﹣4a ]，Q （x ，﹣ax ﹣a ），∵P 是直线BC 上方抛物线上的一个动点， ∴22219(1)4(2)()24PQ a x a ax a a x x a x ⎡⎤=--++=--=--⎢⎥⎣⎦， ∴23127()228PBC S a x a ∆=--， ∴当12x =时，△PBC 的面积有最大值278-a ， ∴S 取得最大值274时，即272784-=a ，解得a ＝﹣2．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解新定义，将所求问题转化为直线与抛物线的知识是解题的关键．7．（1）y ＝239344x x --；（2）点P 的坐标为：13313-13313-或(3，3)；（3）⊙N 的半径为163或83或1． 【解析】【分析】（1）代入点A 、C 的坐标求出解析式；（2）先求出直线OD 的解析式，再和二次函数为的解析式y ＝239344x x -+联立即可求解；（3）先求出直线BC 的解析式，设N (m ，3m 34-)，则M (m ，239344m m --)，求出MN 的距离，最后利用“当⊙N 与y 轴相切时，MN =m ”，得出结果．【详解】解：（1）将点A （-1，0），C （0，3）代入抛物线的解析式得，9043a c c ⎧++=⎪⎨⎪=-⎩， 解得343a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， 故二次函数的解析式为y ＝239344x x --； （2）∵抛物线y ＝239344x x --=23325()423x --， ∴抛物线的顶点E 的坐标为(325,23-)， ∵DF 平分∠ODE ，∴∠ODF =∠FDE ，∵EH ∥y 轴，∴∠FDE =∠OFD ，∴OD =OF ，∵(0,F ， ∴OD =OF设D (32，m )，则OD ²=223()2m +，即2(=223()2m +，解得：m =-32或32， ∴D (32，32-)或(32，32)， 设直线OD 的解析式为y =kx ， ∴32-=32k 或32=32k ，解得：k =-1或k =1， ∴直线OD 的解析式为：y =x 或y =－x ， 联立239344y x y x x =⎧⎪⎨=--⎪⎩或239344y x y x x =-⎧⎪⎨=--⎪⎩， 解得：x舍去)；或x =3或43-(舍去)； ∴y3， ∴点P 的坐标为：或(3，3)；（3）由（1）得二次函数为：y ＝239344x x --， 当y =0时，239344x x --=0，解得：121,4x x =-=， ∴B (4，0)，设直线BC 为：y =kx +b ，经过点C (0，-3)，则有043k b b =+⎧⎨=-⎩， 解得：343k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ， ∴直线BC 为：y=334x -， 设N (m ，3m 34-)，则M (m ，239344m m --)， ∴MN =M N y y -=239333444m m m ---+=2334m m - 当⊙N 与y 轴相切时，MN =m ， ∴2334m m -=m ， 解2334m m -=m ，得m =163或0(舍去)， 解2334m m -=-m ，得m =83或0(舍去)， ∴⊙N 的半径为163或83； 当⊙N 与x 轴相切时，MN =334m -+， ∴2334m m -=334m -+，解2334m m -=334m -+，得m =4(舍去)或-1(舍去)， 解2334m m -=3m 34-，得m =4(舍去)或1， ∴⊙N 的半径为1；综上，⊙N 的半径为163或83或1．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数及一次函数的解析式，两点之间的距离公式，圆的切线的性质，解本题的关键用方程的思想解决问题．8．（1）见解析；（2）①见解析；②202【解析】【分析】（1）利用SAS 证明△ACD ≌△BCE ，从而利用全等三角形的性质即可得出结论；（2）①过点D 作DH ⊥CF 于H ，过点B 作BG ⊥CF ，交CF 的延长线于G ，首先证明△ACT ≌△BCG 及△DCH ≌△ECT ，得到CT ＝BG ，CT ＝DH ，通过等量代换得出DH ＝BG ，再证明△DHF ≌△BGF ，则可证明结论；②首先利用等腰三角形的性质和ASA 证明△AOM ≌△COF ，则有OM ＝OF ，然后利用等腰直角三角形的性质得出FK 2，然后利用三角形的面积得出OF×BF ＝2，最后利用平方的非负性和完全平方公式求解即可．【详解】证明：（1）∵△ABC 是等腰直角三角形，AC =BC ，∴∠ACB =90°，∵CD ⊥CE ，∴∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∴∠ACD +∠BCD =∠BCE +∠BCD ，即∠ACD ＝∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴AD ＝BE ；（2）①如图2，过点D 作DH ⊥CF 于H ，过点B 作BG ⊥CF ，交CF 的延长线于G ，∵CF ⊥AE ，∴∠ATC =∠ATF =90°，∴∠ACT +∠CAT ＝90°，又∵∠ACT +∠BCG ＝90°，∴∠CAT ＝∠BCG ，在△ACT 和△CBG 中，90CAT BCG ATC CGB AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ∴△ACT ≌△CBG （AAS ），∴CT ＝BG ，同理可证△DCH ≌△ECT ，∴CT ＝DH ，∴DH ＝BG ，在△DHF 和△BGF 中，90DFH BFG DHF BGF DH BG ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ∴△DHF ≌△BGF （AAS ），∴DF ＝BF ；②如图3，过点F 作FK ⊥BC 于K ， ∵等腰Rt △ABC ，CA ＝CB ，点O 是AB 的中点， ∴AO ＝CO ＝BO ，CO ⊥AB ，∠ABC ＝45°， ∴∠OCF +∠OFC ＝90°，∵AT ⊥CF ，∴∠ATF =90°，∴∠OFC +∠FAT ＝90°，∴∠FAT ＝∠OCF ，在△AOM 和△COF 中，90MAO FCO OA OCAOM COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴△AOM ≌△COF （ASA ），∴OM ＝OF ，又∵CO ⊥AO ，∴∠OFM ＝∠OMF ＝45°，222MF OF OM =+， ∴∠OFM ＝∠ABC ，MF， ∴MF //BC ，∴∠MFK =∠BKF =90°，∵∠ABC ＝45°，FK ⊥BC ，∴∠ABC ＝∠BFK ＝45°，∴FK ＝BK ，∵222BF FK BK =+，∴FK＝22BF，∵S△FMN＝52，∴12×MF×FK＝52，∴2OF×22BF＝102，∴OF×BF＝102，∵（BF﹣OF）2≥0，∴BF2+OF2﹣2BF×OF≥0，∴BF2+OF22＝2∴BF2+OF2的最小值为2．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，三角形面积，完全平方公式等等，掌握等腰直角三角形的性质与判定和全等三角形的判定方法及性质是解题的关键．9．（1）证明见解析；（2）证明见解析，（3）157 BF=【解析】【分析】（1）连接OA并延长AO交BC于E，证明∠BAC=2∠BAE和∠ABD=∠BAE即可得结论，（2）利用直角三角形两锐角互余、圆周角定理进行导角，得出MCG△和△FCG是等腰三角形，得出BM=MC=FG=CG，MH=HG，进而由BF=BM+MH-FH=FG-FH+HG，得出结论；（3）过O点作OP⊥AC，由垂径定理得出12PD=，再由52ABOADOS AB BOS AD OD===和平行线分线段成比例定理求出7724DH DP==，由勾股定理进而可求BH，再利用相似三角形对应边成比例求出HG，即可得BF长．【详解】解：（1）连接OA并延长AO交BC于E，∵AB=AC，∴AB AC=，∵AE过圆心O，∴AE BC⊥，BE EC=，∴∠BAC=2∠BAE，∵OA=OB，∴∠ABD=∠BAE，∴∠BAC=2∠ABD；（2）如解图（2），连接OA并延长AO交BC于E，AE交BF于M，连接MC，设2BACα∠=，则ABD BAE EACα∠=∠=∠=∵AE=EC，AE⊥BC，∴BM=MC，∴∠MBC=∠MCB，∵BG⊥AC，AE⊥BC，∴∠EAC+∠ACE=90°，∠HBC+∠ACE=90°，∴EAC HBC MCBα∠=∠=∠=，∴2CMG MBC MCBα∠=∠+∠=，∵BC BC=，∴2G BACα∠=∠=，∴∠G=∠CMG，∴CG =CM =BM ，∵AC ⊥BG ，∴MH =HG ，∵OA =OC ，∴ACO EAC α∠=∠=∴9090CFG ACO α∠=︒-∠=︒-，∵180FCG CFG G ∠=︒-∠-∠，即180(90)290FCG ααα∠=︒-︒--=︒-，∴FCG CFG ∠=∠，∴FG =CG ，∴BM =MC =FG =CG ，又∵MH =HG ，∴BF =BM +MH -FH =FG -FH +HG ，∴BF =2HG ．（3）过O 点作OP ⊥AC ，如解图（3）∵AO 是∠BAC 的角平分线，∴点O 到AB 、AC 的距离相等， ∴ABO ADO SAB BO S AD OD==， ∵AD =2，CD =3，∴AB =AC =5， ∴5=2BO OD ，即：2=7OD BD ， ∵OP ⊥AC ， ∴52AP PC ==，12PD =， ∵BH AC ⊥， ∴OP //BH ，∴27DP OP OD DH BH BD ===， ∴7724DH DP ==， ∴154AH AD DH =+=，5-4HC DC DH ==，∵在Rt ABH中，BH==∵BAH G∠=∠，AHB GHC∠=∠，∴AHB GHC△△，∴AH BHHG CH=即：AH HC BH HG=，51544=⨯，∴HG=，由（2）得BF=2HG，∴BF=【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，涉及了相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识点，解题关键是利用同弧或等弧所对圆周角相等、直角三角形的两锐角相等找出图中角之间的关系，从而利用相似或勾股定理解题．10．（1）旋转中心为BC边的中点O，旋转方向为逆时针，旋转角度为90°；（2）可以，旋转中心为为等边△ABC三边垂直平分线的交点O，理由见解析；（3）11CD≤≤【解析】【分析】问题背景（1）根据等腰直角三角形的性质，以及旋转的性质确定即可；尝试应用（2）首先通过证明△ABD和△CAE全等说明点A和点B对应，点C和点A对应，从而作AB和AC的垂直平分线，其交点即为旋转中点；拓展创新（3）首先确定出D点的运动轨迹，然后结合点与圆的位置关系，分别讨论出CD 最长和最短时的情况，并结合勾股定理进行求解即可．【详解】解：问题背景（1）如图所示，作AO⊥BC，交BC于点O，由等腰直角三角形的性质可知：∠AOC=90°，OA=OC，∴点A是由点C绕点O逆时针旋转90°得到，同理可得，点B是由点A绕点O逆时针旋转90°得到，点D是由点E绕点O逆时针旋转90°得到，∴△ABD可以由△CAE通过旋转变换得到，旋转中心为BC边的中点O，旋转方向为逆时针，旋转角度为90°；尝试应用（2）∵△ABC 为等边三角形，∴AB =AC ，∠BAC =60°，∵∠DAC =∠DAB +∠BAC =∠AEC +∠EAC ，∠BAC =∠AEC =60°，∴∠DAB =∠ECA ，在△ABD 和△CAE 中，BDA AEC DAB ECA AB CA ∠⎪∠⎧=∠∠=⎪⎨⎩= ∴△ABD ≌△CAE (AAS )，∴△ABD 的A 、B 、D 三点的对应点分别为△CAE 的C 、A 、E 三点，则AC 、AB 分别视作两组对应点的连线，此时，如图所示，作AC 和AB 的垂直平分线交于点O ，∵△ABC 为等边三角形，∴由等边三角形的性质可知，OC =OA =OB ，∠AOC =120°，∴△ABD 可以由△CAE 通过旋转变换得到，旋转中心为为等边△ABC 三边垂直平分线的交点O ；拓展创新（3）由（1）知，在直线l 旋转的过程中，总有∠ADB =90°，∴点D 的运动轨迹为以AB 为直径的圆，如图，取AB 的中点P ，连接CP ，交⊙P 于点Q ，则当点D 在CP 的延长线时，CD 的长度最大，当点D 与Q 点重合时，CD 的长度最小，即CQ 的长度，∵AB =AC ，AB =2，∴AP =1，AC =2，在Rt △APC 中，225CP AP AC =+=，由圆的性质，PD =AP =1，∴PD =PQ =1，∴51CD CP PD =+=+，51CQ CP PQ =-=-，∴CD 的长的取值范围为：5151CD -≤≤+．【点睛】本题主要考查旋转三要素的确定，以及旋转的性质，主要涉及等腰直角三角形和等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及动点最值问题，掌握旋转的性质，确定出动点的轨迹，熟练运用圆的相关知识点是解题关键．11．（1）正方形；（2）α+β=180°；（3）α=96°；（4）能，α的值为120°，AP 的长为221．【解析】【分析】（1）由旋转的性质得到AO =AO ′，∠OAO ′=90°，由菱形的性质得到∠POA =∠AO ′P =90°，可以推出四边形AOPO ′为正方形；（2）利用旋转的性质推出∠AEP +∠AEG =∠AEP +∠ABD =180°，再结合四边形的内角和即可推出结论；（3）结合已知条件可分别先求出各部分角度，然后结合旋转的性质推出∠BPG 的度数，再结合（2）的结论求解即可；（4）利用勾股定理即可求得AO 的长，根据菱形的性质推出BD 是AC 的垂直平分线，证明△PAC 是等边三角形，即可求解．【详解】：（1）当α=90°时，四边形AOPO ′的形状为正方形．∵菱形AEFG 是菱形ABCD 旋转得到的，且点O ，O ′是对角线的交点，∴AO=AO′，∠OAO′=90°，∠POA=∠AO′P=90°，∴四边形AOPO′为正方形，故答案为：正方形；（2）由题意△BAD≌△EAG，∴∠ABD=∠AEG，∵射线BD，GE交于点P，∴∠AEP+∠AEG=∠AEP+∠ABD=180°，在四边形ABPE中，∠BAE+∠BPG=360°-（∠AEP+∠ABD）=180°，∴∠BAE=a，∠BPG=β，∴α+β=180°；（3）由菱形的性质知，AB=AD，△ABD为等腰三角形，∴当∠BAD=42°时，∠ABD=∠ADB=69°，∵PA=PB，∴∠ABP=∠BAP=69°，∴∠BPA=42°，∵AO=AO′，∴PA平分∠BPG，即：∠BPA=∠GPA=42°，∴∠BPG=84°，即：β=84°，由①知：α +β=180°，∴α=180°-84°=96°；（4）能，理由如下：连接PA，∵四边形ABCD 是菱形，且对角线交点为O ，AB =5，BD =4，∴BO =DO =2，AO =CO ，∠BOA =90°，∴AO =CO 2221AB BO -=∴AC 21 同理：21,AF 由旋转对称性可得,PC PF =∴ 当30CPB ∠=︒时，2221,PC CO PF ===∴ 四边形AFPC 是菱形，∵四边形ABCD 是菱形，∴BD 是AC 的垂直平分线，∴PC =PA ，∴△PAC 是等边三角形，∴PA =PC 21PAC =60°，∴∠CAF =120°，即α的值为120°，AP 的长为21【点睛】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质等，解答时灵活运用菱形的性质和旋转变化的性质是解题关键．12．(1)y =3x -3；(2)（-2，3）；(3)Q 的坐标为（-72，0）或（0，74）或（0，132） 【解析】【分析】（1）根据算术平方根的非负性及偶次方的非负性得到a +3=0，p -1=0，求出a ，p ，得到点P ，A 的坐标，设直线AP 的解析式为y=kx+b ，利用待定系数法求出函数解析式；（2）过M 作MD交x 轴于D ，连接AD ，由MD ，△MAP 的面积等于6，顶点△DAP 的面积等于6，求出DP ，得到点D 坐标，求出直线DM 的解析式，即可求出M 的坐标；（3）设B （t ，3t -3），分三种情况，①当点Q 在轴负半轴时，过B 作BE ⊥x 轴于E ，证明△BEQ ≌△QNC （AAS ），得到O Q=QE-OE=ON+QN ，即4-t =2+3-3t ，求出t 值即可；②当Q在y轴正半轴上时，过C作CF⊥y轴于F，过B作BG⊥y轴于G，证明△CQF≌△QBG（AAS），得到O Q=OG-QG=OF-QF，即3t-3-2=4-t，求出t即可；③当Q在y轴正半轴上时，过点C作CF⊥y轴于F，过B作BT⊥y轴于T，同②可证△CFQ≌△QTB（AAS），得到OQ=OT+QT=OF+QF，即3t-3+2=4+t，求出t值即可．(1)解：∵+（p﹣1）2＝0．∴a+3=0，p-1=0，解得a=-3，p=1，∴P(1,0)，A(0,-3)，设直线AP的解析式为y=kx+b，∴，解得，∴直线AP的解析式为y=3x-3；(2)解：过M作MD交x轴于D，连接AD，∵MD，△MAP的面积等于6，∴△DAP的面积等于6，∴，即，∴DP=4，∴D（-3，0）设直线DM的解析式为y=3x+c，则，∴c=9，∴直线DM的解析式为y=3x+9，令x=-2，得y=3，∴M（-2，3）；(3)解：存在设B（t，3t-3），。

一、中考数学压轴题1．附加题：在平面直角坐标系中，抛物线21y ax a =-与y 轴交于点A ，点A 关于x 轴的对称点为点B ，（1）求抛物线的对称轴；（2）求点B 坐标（用含a 的式子表示）；（3）已知点11,P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(3,0)Q ，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图像，求a 的取值范围． 2．已知：如图，AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥垂足为E ，点H 为弧AC 上一点．连接DH 交AB 于点F ，连接HA 、BD ，点G 为DH 上一点，连接AG ，HAG BDC ∠=∠． （1）如图1，求证：AG HD ⊥；（2）如图2，连接HC ，若HC HF =，求证：HC HA =；（3）如图3，连接HO 交AG 于点K ，若点F 为DG 的中点，HC 2HG =，求KG AK的值．3．如图，已知抛物线()2y ax bx 2a 0=+-≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，直线BD 交抛物线于点D ，并且()D 2,3，()B 4,0-．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M 为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B 、M 、C ，求BMC 面积的最大值；（3）在（2）中BMC 面积最大的条件下，过点M 作直线平行于y 轴，在这条直线上是否存在一个以Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线AC 相切的圆？若存在，求出圆心Q 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，已知正方形ABCD 中，4,BC AC BD =、相交于点O ，过点A 作射线AM AC ⊥，点E 是射线AM 上一动点，连接OE 交AB 于点F ，以OE 为一边，作正方形OEGH ，且点A 在正方形OEGH 的内部，连接DH ．（1）求证：EDO EAO ∆≅∆；（2）设BF x =，正方形OEGH 的边长为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（3）连接AG ，当AEG ∆是等腰三角形时，求BF 的长．5．如图①，四边形ABCD 中，//,90AB CD ADC ∠=︒．（1）动点M 从A 出发，以每秒1个单位的速度沿路线A B C D →→→运动到点D 停止，设运动时间为a ，AMD ∆的面积为,S S 关于a 的函数图象如图②所示，求AD CD 、的长．（2）如图③动点P 从点A 出发，以每秒2个单位的速度沿路线A D C →→运动到点C 停止，同时，动点Q 从点C 出发，以每秒5个单位的速度沿路线C D A →→运动到点A 停止，设运动时间为t ，当Q 点运动到AD 边上时，连接CP CQ PQ 、、，当CPQ ∆的面积为8时，求t 的值．6．在平面直角坐标系xOy 中，对于点A 和图形M ，若图形M 上存在两点P ，Q ，使得3AP AQ =，则称点A 是图形M 的“倍增点”．（1）若图形M 为线段BC ，其中点()2,0B -，点()2,0C ，则下列三个点()1,2D -，()1,1E -，()0,2F 是线段BC 的倍增点的是_____________；（2）若O 的半径为4，直线l ：2y x =-+，求直线l 上O 倍增点的横坐标的取值范围；（3）设直线1y x =-+与两坐标轴分别交于G ，H ，OT 的半径为4，圆心T 是x 轴上的动点，若线段GH 上存在T 的倍增点，直接写出圆心T 的横坐标的取值范围．7．∠MON=90°，点A ，B 分别在OM 、ON 上运动（不与点O 重合）．（1）如图①，AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 的平分线，随着点A 、点B 的运动，∠AEB= °（2）如图②，若BC 是∠ABN 的平分线，BC 的反向延长线与∠OAB 的平分线交于点D ①若∠BAO=60°，则∠D= °．②随着点A ，B 的运动，∠D 的大小会变吗？如果不会，求∠D 的度数；如果会，请说明理由．（3）如图③，延长MO 至Q ，延长BA 至G ，已知∠BAO ，∠OAG 的平分线与∠BOQ 的平分线及其延长线相交于点E 、F ，在△AEF 中，如果有一个角是另一个角的3倍，求∠ABO 的度数．8．对于平面直角坐标系xOy 中的任意点()P x y ，，如果满足x y a += (x ≥0，a 为常数)，那么我们称这样的点叫做“特征点”．（1）当2≤a ≤3时，①在点(1,2),(1,3),(2.5,0)A B C 中，满足此条件的特征点为__________________；②⊙W 的圆心为(,0)W m ，半径为1，如果⊙W 上始终存在满足条件的特征点，请画出示意图，并直接写出m 的取值范围；（2）已知函数()10Z x x x=+>，请利用特征点求出该函数的最小值．9．如图，平面上存在点P 、点M 与线段AB ．若线段AB 上存在一点Q ，使得点M 在以PQ 为直径的圆上，则称点M 为点P 与线段AB 的共圆点．已知点P （0，1），点A （﹣2，﹣1），点B （2，﹣1）．（1）在点O （0，0），C （﹣2，1），D （3，0）中，可以成为点P 与线段AB 的共圆点的是 ；（2）点K 为x 轴上一点，若点K 为点P 与线段AB 的共圆点，请求出点K 横坐标x K 的取值范围；（3）已知点M （m ，﹣1），若直线y ＝12x +3上存在点P 与线段AM 的共圆点，请直接写出m 的取值范围．10．如图一，矩形ABCD 中，AB=m ，BC=n ，将此矩形绕点B 顺时针方向旋转θ（0°＜θ＜90°）得到矩形A 1BC 1D 1，点A 1在边CD 上．（1）若m=2，n=1，求在旋转过程中，点D 到点D 1所经过路径的长度；（2）将矩形A 1BC 1D 1继续绕点B 顺时针方向旋转得到矩形A 2BC 2D 2，点D 2在BC 的延长线上，设边A 2B 与CD 交于点E ，若161A E EC=-，求n m 的值． （3）如图二，在（2）的条件下，直线AB 上有一点P ，BP=2，点E 是直线DC 上一动点，在BE 左侧作矩形BEFG 且始终保持BE n BG m =，设AB=33，试探究点E 移动过程中，PF 是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，且点B 与点C 的坐标分别为()3,0B ，()0,3C ，点M 是抛物线的顶点．（1）求二次函数的关系式．（2）点P 为线段MB 上一个动点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ．若OD m =，PCD 的面积为S ．①求S 与m 的函数关系式，写出自变量m 的取值范围．②当S 取得最值时，求点P 的坐标．（3）在MB 上是否存在点P ，使PCD 为直角三角形？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．12．如图1，平面直角坐标系xoy 中，A (－4，3)，反比例函数(0)k y k x=<的图象分别交矩形ABOC 的两边AC ，BC 于E ，F （E ，F 不与A 重合），沿着EF 将矩形ABOC 折叠使A ，D 重合．（1）①如图2，当点D 恰好在矩形ABOC 的对角线BC 上时，求CE 的长；②若折叠后点D 落在矩形ABOC 内（不包括边界），求线段CE 长度的取值范围． （2）若折叠后，△ABD 是等腰三角形，请直接写出此时点D 的坐标．13．综合与探究:如图1,在平面直角坐标系xOy 中,四边形OABC 是边长为4的菱形，60C ︒∠=（1）把菱形OABC 先向右平移4个单位后，再向下平移()03m m <<个单位，得到菱形''''O A B C ,在向下平移的过程中，易知菱形''''O A B C 与菱形OABC 重叠部分的四边形'AEC F 为平行四边形，如图2.试探究:当m 为何值时，平行四边形'AEC F 为菱形:（2）如图，在()1的条件下，连接''',AC B O G 、为CE 的中点J 为EB 的中点，H 为AC 上一动点，I 为''B O 上一动点，连接,,,GH HI IJ 求GH HI IJ ++的最小值，并直接写出此时,H I 点的坐标.14．（1）探究发现数学活动课上，小明说“若直线21y x =-向左平移3个单位，你能求平移后所得直线所对应函数表达式吗？”经过一番讨论，小组成员展示了他们的解答过程：在直线21y x =-上任取点()01A -，， 向左平移3个单位得到点()31，'--A 设向左平移3个单位后所得直线所对应的函数表达式为2y x n =+．因为2y x n =+过点()31，'--A ， 所以61n -+=-，所以5n =，填空：所以平移后所得直线所对应函数表达式为（2）类比运用已知直线21y x =-，求它关于x 轴对称的直线所对应的函数表达式；（3）拓展运用将直线21y x =-绕原点顺时针旋转90°，请直接写出：旋转后所得直线所对应的函数表达式 ．15．已知：菱形 ABCD ，点 E 在线段 BC 上，连接 DE ，点 F 在线段 AB 上，连接 CF 、DF ， CF 与 DE 交于点 G ，将菱形 ABCD 沿 DF 翻折，点 A 恰好落在点 G 上．（1）求证：CD=CF ；（2）设∠CED = x ，∠DCF = y ，求 y 与 x 的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） （3）在（2）的条件下，当 x =45°时，以 CD 为底边作等腰△CDK ，顶角顶点 K 在菱形 ABCD 的内部，连接 GK ，若 GK ∥CD ，CD =4 时，求线段 KG 的长．16．如图，抛物线214y x bx c =++与x 轴交于点A （-2，0），交y 轴于点B （0，52-）．直线32y kx =+过点A 与y 轴交于点C ，与抛物线的另一个交点是D ．(1) 求抛物线214y x bx c =++与直线32y kx =+的解析式； (2)点P 是抛物线上A 、D 间的一个动点，过P 点作PM ∥CE 交线段AD 于M 点.①过D 点作DE ⊥y 轴于点E ，问是否存在P 点使得四边形PMEC 为平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由;②作PN ⊥AD 于点N ，设△PMN 的周长为m ，点P 的横坐标为x ，求m 关于x 的函数关系式，并求出m 的最大值．17．如图，在等边△ABC 中，AB =BC =AC =6cm ，点P 从点B 出发，沿B →C 方向以1．5cm/s 的速度运动到点C 停止，同时点Q 从点A 出发，沿A →B 方向以1cm/s 的速度运动，当点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动，连接PQ ，过点P 作BC 的垂线，过点Q 作BC 的平行线，两直线相交于点M ．设点P 的运动时间为x （s ），△MPQ 与△ABC 重叠部分的面积为y （cm 2）（规定：线段是面积为0的图形）．（1）当x = （s ）时，PQ ⊥BC ；（2）当点M 落在AC 边上时，x = （s ）；（3）求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．18．在平行四边形ABCD 中，60B ∠=︒，点E ，F 分别在边AB ，AD 上，且60ECF ∠=︒．（1）如图1，若AB BC =，求证：AE AF BC +=；（2）如图2，若4AB BC ==，且点E 为AB 的中点，连接BF 交CE 于点M ，求FM ；（3）如图3，若AB kBC =，探究线段BE 、DF 、BC 三之间的数量关系，说明理由．19．ABC 内接于O ，AB BC =，连接BO ；（1）如图1，连接CO 并延长交O 于点M ，连接AM ，求证：//AM BO ；（2）如图2，延长BO 交AC 于点H ，点F 为BH 上一点，连接AF ，若AH HF AB BF =，求证：BAF HAF ∠=∠；（3）在（2）的条件下，如图3，点E 为AB 上一点，点D 为O 上一点，连接ED 、OE ，若CBD 3ABH 90∠+∠=︒，若OF 3=，FH 4=，13623EBD S ∆=，连接OE ，求线段OE 的长．20．如图①，△ABC 是等腰直角三角形，在两腰AB 、AC 外侧作两个等边三角形ABD 和ACE ，AM 和AN 分别是等边三角形ABD 和ACE 的角平分线，连接CM 、BN ，CM 与AB 交于点P ．（1）求证：CM ＝BN ；（2）如图②，点F 为角平分线AN 上一点，且∠CPF ＝30°，求证：△APF ∽△AMC ； （3）在（2）的条件下，求PF BN的值． 21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知Rt ABC 的直角顶点()0,12C ，斜边AB 在x 轴上，且点A 的坐标为()9,0-，点D 是AC 的中点，点E 是BC 边上的一个动点，抛物线212y ax bx =++过D ，C ，E 三点．（1）当//DE AB 时，①求抛物线的解析式；②平行于对称轴的直线x m =与x 轴，DE ，BC 分别交于点F ，H ，G ，若以点D ，H ，F 为顶点的三角形与GHE △相似，求点m 的值．（2）以E 为等腰三角形顶角顶点，ED 为腰构造等腰EDG △，且G 点落在x 轴上.若在x 轴上满足条件的G 点有且只有一个时，请直接写出．．．．点E 的坐标． 22．如图，直角梯形ABCD 中，1//,90,60,3,9,AD BC A C AD cm BC cm O ︒︒∠∠＝＝＝＝的圆心1O 从点A 开始沿折线——A D C 以1/cm s 的速度向点C 运动，2O 的圆心2O 从点B 开始沿BA 边以3/cm s 的速度向点A 运动，1O 半径为22,cm O 的半径为4cm ，若12,O O 分别从点A 、点B 同时出发，运动的时间为ts（1）请求出2O 与腰CD 相切时t 的值； （2）在03s t s ≤＜范围内，当t 为何值时，1O 与2O 外切？23．在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 为反比例函数()4x 0xy =>的图像上两点，A 点的横坐标与B 点的纵坐标均为1，将()4x 0xy =>的图像绕原点O 顺时针旋转90°，A 点的对应点为A’，B 点的对应点为B’．（1）点A’的坐标是 ，点B’的坐标是 ；（2）在x 轴上取一点P ，使得PA+PB 的值最小，直接写出点P 的坐标． 此时在反比例函数()4x 0xy =>的图像上是否存在一点Q ，使△A’B’Q 的面积与△PAB 的面积相等，若存在，求出点Q 的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AB’，动点M 从A 点出发沿线段AB’以每秒1个单位长度的速度向终点B’运动；动点N 同时从B’点出发沿线段B’A’以每秒1个单位长度的速度向终点A’运动．当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t 秒，试探究：是否存在使△MNB’为等腰直角三角形的t 值．若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．24．（操作发现）如图1，ABC ∆为等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，先将三角板的90︒角与ACB ∠重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0︒且小于45︒），旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D ．在三角板另一直角边上取一点F ，使CF CD =，线段AB 上取点E ，使45DCE ∠=︒，连接AF ，EF ．（1）请求出EAF ∠的度数？ （2）DE 与EF 相等吗？请说明理由；（类比探究）如图2，ABC ∆为等边三角形，先将三角板中的60︒角与ACB ∠重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0︒且小于30）.旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D .在三角板斜边上取一点F ，使CF CD =，线段AB 上取点E ，使30DCE ∠=︒，连接AF ，EF .（3）直接写出EAF∠=_________度；（4）若1AE =，2BD =，求线段DE 的长度.25．问题背景：如图（1），ABC 内接于O ，过点A 作O 的切线l ，在l 上任取一个不同于点A 的点P ，连接PB PC 、，比较BPC ∠与BAC ∠的大小，并说明理由．问题解决：如图（2），A （0，2）、B （0，4），在x 轴正半轴上是否存在一点P ，使得cos APB ∠最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．拓展应用：如图（3），四边形ABCD 中，//AB CD ，AD CD ⊥于D ，E 是AB 上一点，AE AD =，P 是DE 右侧四边形ABCD 内一点，若8AB =，11CD =，tan 2C =，9DEPS=，求sin APB ∠的最大值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、中考数学压轴题 1．B解析：（1）直线x=0；（2）B （0，1a ）；（3）2-≤a ≤13-或13≤a 2 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的表达式直接得出对称轴即可；（2）根据题意得出点A 的坐标，再利用关于x 轴对称的点的坐标规律得出点B 坐标； （3）分a ＞0和a ＜0两种情况分别讨论，画图图像，求出a 的范围. 【详解】解：（1）在抛物线21y ax a=-中， 002a-=， ∴对称轴为直线x=0，即y 轴； （2）∵抛物线与y 轴交于点A ，∴A （0，1a-）， ∵点A 关于x 轴的对称点为点B ，∴B （0，1a）； （3）当a ＞0时，点A （0，1a-）在y 轴负半轴上， 当点P 恰好在抛物线上时，代入得：11a a a-=，解得：2a=或2-（舍），当点Q恰好在抛物线上时，代入得：190 aa-=，解得：13a=或13-（舍），∴当13≤a≤2时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点；当a＜0时，点A（0，1a-）在y轴正半轴上，同理可知：当点P恰好在抛物线上时，代入得：11aa a -=，解得：2a=（舍）或2-，当点Q恰好在抛物线上时，代入得：190 aa-=，解得：13a=（舍）或13-，∴当2-≤a≤13-时，抛物线与线段PQ只有一个公共点；综上：若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，a的取值范围是2-≤a≤13 -或13≤a2.【点睛】本题是一道二次函数的综合题目，主要考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，利用分类讨论的方法和数形结合的思想解答．2．A解析：（1）详见解析；（2）详见解析；（3）15KG AK = 【解析】 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等，进行角度计算，得90AHG HAG ∠+∠=︒，进而得到90AGH ∠=︒，即可证明AG HD ⊥；（2）连接AC 、AD 、CF ，根据同弧所对的圆周角相等，进行角度计算，得HFA HAF ∠=∠，进而得到HF HA =，再根据已知HC HF =，得到HC HA =； （3）在DH 上截取DT HC =，过点C 作CM HD ⊥于点M ，通过证明AHC ≌ATD 得到AH AT =，进而得到HG CH GD +=，再根据F 为DG 中点，得到GF DF =，通过勾股定理逆用，证明90HCF ∠=︒，再通过解ACE △得1tan 3CAB ∠=，解△CDH 得1tan 2CDF ∠=，求得OF 、OH ，逆用勾股定理证明90HOF ∠=︒，易求1tan 2KHG ∠=，1tan 3HAG ∠=，最后求得KGAK的值． 【详解】（1）证明：如图，设HAG ∠为α，∵HAG BDC ∠=∠， ∴HAG BDC α∠=∠=， ∵CD AB ⊥，∴90BDC DBE ∠+∠=︒ ∴90DBE α∠=︒-，∵AHG ∠与ABD ∠为同对弧AD 所对的圆周角， ∴90AHG ABD α∠=∠=︒-， ∴90AHG HAG ∠+∠=︒，∴18090AGH AHG HAG ∠=︒-∠-∠=︒ ∴AG HD ⊥（2）如图，连接AC 、AD 、CF ，∵AB 为直径，AB CD ⊥， ∴CE DE =， ∴AB 垂直平分CD ， ∴AC AD =，FC FD =，∴ACD ADC ∠=∠，FCD FDC ∠=∠，∴ACD FCD ADC FDC ∠-∠=∠-∠，即ACF ADF ∠=∠， 设FCD FDC α∠=∠=，ACF ADF β∠=∠=， ∵ADH ∠与ACH ∠为同对弧AH 所对的圆周角， ∴ADH ACH β∠=∠=， ∴2HCF HCA ACF β∠=∠+∠=， ∵HFC FCD FDC ∠=∠+∠， ∴2HFC α∠=， ∵HC HF =， ∴HCF HFC ∠=∠， ∴22αβ=， ∴αβ=， ∵AB 为直径， ∴90ADB ∠=︒， ∴90HDB β∠=︒-，∵HAB ∠与为HDB ∠同对弧BH 所对的圆周角， ∴90HAB HDB β∠=∠=︒-， ∵AB CD ⊥，∴9090BFD αβ∠=︒-=︒-， ∵9090HFA BFD αβ∠=∠=︒-=︒-， ∴HFA HAF ∠=∠， ∴HF HA =， ∴HC HA =；（3）如图，在DH 上截取DT HC =，∵ADH ∠与ACH ∠同对弧AH 所对的圆周角， ∴ADH ACH ∠=∠， ∵AB 为直径，且AB CD ⊥ ∴AC =AD ， ∴AC AD =， ∴AHC ≌ATD ， ∴AH AT =， ∵AG HT ⊥， ∴HG TG =，∴HG CH GT DT GD +=+=， 设2HG k =，则4CH k =，GD 6k =， ∵F 为DG 中点， ∴3GF DF k ==，∴5HF HG GF k =+=，FD =CF =3k ，在HCF 中，由勾股定理逆定理得90HCF ∠=︒， 过点C 作CM HD ⊥于点M ， 由△HCF 面积，可求CM =125k ， ∴229=5MF CF CM k -=， ∴1tan 2CM CM CDF MD MF FD ∠===+， 解ACE △得1tan 3CAB ∠=， 易求OF ，OH ，由勾股定理逆定理得90HOF ∠=︒， 易求1tan 2KHG ∠=，1tan 3HAG ∠=， ∴15KG AK =． 【点睛】本题考查圆与三角形综合，主要考查知识点有同弧所对的圆周角相等，垂径定理，三角形全等的判定与性质，勾股定理的逆用，解直角三角形，锐角三角函数等，知识点跨度大，计算量多；熟练掌握圆的性质和三角形相关知识是解决本题的关键．3．B解析：（1）213y x x 222=+-；（2）4；（3）存在，Q 的坐标为()2,4-或()2,1-- 【解析】 【分析】()1根据题意将()D 2,3、()B 4,0-的坐标代入抛物线表达式，即可求解；()2由题意设点M 的坐标为213x,x x 222⎛⎫+- ⎪⎝⎭，则点1K x,x 22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，BMC1SMK OB 2=⋅⋅，即可求解； ()3由题意和如图所示可知，1tan QHN 2∠=，在RtQNH 中，QH m 6=+，222QN OQ (2)m m 4==-+=+，2QN m 4sin QHN QH5∠+===，进行分析计算即可求解． 【详解】解：()1将()D 2,3、()B 4,0-的坐标代入抛物线表达式得：422316420a b a b +-=⎧⎨--=⎩，解得：1232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 则抛物线的解析式为：213y x x 222=+-； ()2过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点K ，将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式：y k'x b'=+得：04'''2k b b =-+⎧⎨=-⎩，解得：1'2'2k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， 则直线BC 的表达式为：1y x 22=--， 设点M 的坐标为213x,x x 222⎛⎫+- ⎪⎝⎭，则点1K x,x 22⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 22BMC1113SMK OB 2x 2x x 2x 4x 2222⎛⎫=⋅⋅=----+=-- ⎪⎝⎭， a 10=-<，BMC S∴有最大值，当bx 22a=-=-时， BMCS最大值为4，点M 的坐标为()2,3--；()3如图所示，存在一个以Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线AC 相切的圆，切点为N ，过点M 作直线平行于y 轴，交直线AC 于点H ，点M 坐标为()2,3--，设：点Q 坐标为()2,m -， 点A 、C 的坐标为()1,0、()0,2-，OA 1tan OCA OC 2∠==， QH //y 轴， QHN OCA ∠∠∴=， 1tan QHN 2∠∴=，则sin QHN 5∠=将点A 、C 的坐标代入一次函数表达式：y mx n =+得：02m n n +=⎧⎨=-⎩，则直线AC 的表达式为：y 2x 2=-， 则点()H 2,6--，在Rt QNH 中，QH m 6=+，QN OQ ===QN sin QHNQHm 6∠===+， 解得：m 4=或1-，即点Q 的坐标为()2,4-或()2,1--． 【点睛】本题考查的是二次函数知识的综合运用，涉及到解直角三角形、圆的基本知识，本题难点是()3，核心是通过画图确定圆的位置，本题综合性较强．4．A解析：（1）详见解析；（2）y =（04x <<）；（3）当AEG ∆是等腰三角形时，2BF =或43【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得到∠AOD=90°，AO=OD ，∠EOH=90°，OE=OH ，由全等三角形的性质即可得到结论；（2）如图1，过O 作ON ⊥AB 于N ，根据等腰直角三角形的性质得到122AN BN ON AB ====，根据勾股定理得到OF ===线段成比例定理即可得到结论；（3）①当AE=EG 时，△AEG 是等腰三角形，②当AE=AG 时，△AEG 是等腰三角形，如图2，过A 作AP ⊥EG 于P ③当GE=AG 时，△AEG 是等腰三角形，如图3，过G 作GQ ⊥AE 于Q ，根据相似三角形的性质或全等三角形的性质健即可得到结论． 【详解】（1）∵四边形ABCD 是正方形，,OA OD AC BD ∴=⊥，90AOD ∴∠=︒，∵四边形OEGH 是正方形，,90OE OH EOH ∴=∠=︒，AOD EOH ∴∠=∠，AOD AOH EOH AOH ∴∠-∠=∠-∠， 即HOD EOA ∠=∠， HDO EAO ∴∆≅∆．（2）如图1，过O 作ON⊥AB 于N ，则122AN BN ON AB ====， ∵BF=x， ∴AF=4-x ， ∴FN=2-x ， ∴()222222248OF FN ON x x x =+=-+=-+，∴248EF y x x =--+， ∵AM⊥A C ， ∴AE∥OB， ∴BF OF AF EF＝， ∴2248448x x x x y x x -+=---+， ∴()244804x x y x -+≤＝＜；（3）①当AE=EG 时，△AEG 是等腰三角形，则AE=OE ， ∵∠EAO=90°， ∴这种情况不存在；②当AE=AG 时，△AEG 是等腰三角形， 如图2，过A 作AP⊥EG 于P ，则AP∥OE，∴∠PAE=∠AEO，∴△APE∽△EAO，∴PE AE OA OE=，∵AE=AG，∴241482x xPE y-+==，()22248xAE yx-=-=，∴()22222224448448xx xxx xxx---+=+，解得：x=2，②当GE=AG时，△AEG是等腰三角形，如图3，过G作GQ⊥AE于Q，∴∠GQE=∠EAO=90°，∴∠GEQ+∠EGQ=∠GEQ+∠AEO=90°，∴∠EGQ=∠AEO，∵GE=OE，∴△EGQ≌△OEA（AAS），∴22EQ AO==∴24242()xAE ExQ-===，∴43x=，∴BF=2或43．【点睛】本题考查了四边形的综合题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．5．C解析：（1）12,16AD CD ==；（2）277和297. 【解析】 【分析】（1）根据题意由函数图象可知动点M 从A 出发，以每秒1个单位的速度从C 到D 耗时16秒求出CD ，再利用三角形面积公式求得AD 即可；（2）由题意可知只能有P 和Q 点都在AD 边上，此时分当P 在Q 上方时以及当P 在Q 下方时两种情况运用数形结合思维进行分析得出答案. 【详解】解：（1）由函数图象可知动点M 从A 出发，以每秒1个单位的速度从C 到D 耗时36-20=16秒，即CD=16，而此时AMD ∆的面积为96，又因为90ADC ∠=︒，即有11169622CD AD AD =⨯=,解得12AD =. 所以12,16AD CD ==.（2）由题意可知Q 运动到点A 停止的时间为285，而P 运动到点D 停止的时间为6， 所以只能有P 和Q 点都在AD 边上，此时以PQ 为底边，CD 为高，设运动时间为t ，则AP=2t ，QD=5t-16，（162855t ≤<）， ①当P 在Q 上方时，则有PQ=AD-AP-QD= 122516287t t t --+=-，可知CPQ ∆的面积为8时即11(287)16822PQ CD t =⨯-⨯=，解得277t =（满足条件）；②当P 在Q 下方时，则有PQ=QD-（AD-AP ）= 516(122)728t t t ---=-， 可知CPQ ∆的面积为8时即11(728)16822PQ CD t =⨯-⨯=，解得297t =（满足条件）. 所以当CPQ ∆的面积为8时，t 的值为277和297. 【点睛】本题考查四边形动点问题和一次函数结合，熟练掌握四边形动点问题的解决办法和一次函数图象的相关性质，运用数形结合思维分析是解题的关键.6．A解析：（1）()1,1E -；（2）12m -≤≤-或01m ≤≤3）9t ≤≤. 【解析】 【分析】（1）首先要理解点A 是图形M 的“倍增点”的定义，将三个点逐一代入验证即可； （2）分两种情况:①点"倍增点”在O 的外部，分别求得“倍增点”横坐标的最大值和最小值，②点"倍增点"在O 的内部，依次求得“倍增点"横坐标的最大值和最小值，即可确定“倍增点”横坐标的范围；（3）分别求得线段GH 两端点为T "倍增点”时横坐标的最大值和最小值即可． 【详解】（1）()1,2D -到线段BC 的距离为2，22(12)(20)1332DC =--+-=<⨯ ∴()1,2D -不是线段BC 的倍增点；()1,1E -到线段BC 的距离为1，22(12)(10)103EC =--+-=>,∴在线段BC 上必存在一点P 使EP=3，∴()1,1E -是线段BC 的倍增点；()0,2F 到线段BC 的距离为2，22(02)(20)2232FC =-+-=<⨯ ∴()0,2F 不是线段BC 的倍增点；综上，()1,1E -是线段BC 的倍增点； （2）设直线l 上“倍增点”的横坐标为m ， 当点在O 外时，222(2)8,m m +-+≤解方程222(2)8m m +-+=， 得1131m =+，2131m =- 当点在O 内部时，22224(2)3(44(2))m m m m ++-+≥--+-+解得：m≥0或m≤-2∴直线l 上“倍增点”的橫坐标的取值范围为1312m -≤≤-或0131m ≤≤+；（3）如图所示，当点G(1,0)为T "倍增点"时， T(9,0)，此时T 的横坐标为最大值， 当点H(0,1)为T “倍增点”时，则T(63-,0)，此时T 的横坐标为最小值；∴圆心T(t, 0)的横坐标的取值范围为：639t -≤≤．【点睛】在正确理解点A 是图形M 的“倍增点”定义的基础上，利用（1）判断是否是倍增点的不等关系式，即可列不等式组求解范围．7．A解析：（1）135°；（2）①45°，②不发生变化，45°；（3）60°或45° 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和定理、两角互余、角平分线性质即可求解； （2）①利用对顶角相等、两角互余、两角互补、角平分线性质即可求解； ②证明和推理过程同①的求解过程；（3）由（2）的证明求解思路，不难得出EAF ∠=90°，如果有一个角是另一个角的3倍，所以不确定是哪个角是哪个角的三倍，所以需要分情况讨论；值得注意的是，∠MON=90°，所以求解出的∠ABO 一定要小于90°，注意解得取舍. 【详解】（1）()11801802118090180451352AEB EBA BAE OBA BAO ∠=︒-∠-∠=︒-∠+∠=︒-⨯︒=︒-︒=︒（2）①如图所示AD 与BO 交于点E ，()9060301180307521909030602180180756045OBA DBO NBC DEB OEA OAB D DBE DEB ∠=︒-︒=︒∠=∠=︒-︒=︒∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒②∠D 的度数不随A 、B 的移动而发生变化设BAD α∠=，因为AD 平分∠BAO ，所以2BAO α∠=，因为∠AOB=90°，所以180902ABN ABO AOB BAO α∠=︒-∠=∠+∠=+。