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直线和平面所成的角（一）学习目标：（1）知道直线和平面所成的角定义生成过程及其合理性.（2）明确定义法求直线和平面所成角的方法和步骤.了解三余弦定理推导过程，并记忆定理内容（3）会在具体几何体中求直线与平面所成的角； 自学指导：1、直线和平面的位置关系有哪几种？（1）直线在平面内 （2）直线和平面平行 （3）直线和平面相交2、平面的斜线及斜线在平面内的射影的定义：3线所成的角的关系如何？4、如图，怎样刻画不同斜线1l 与2l 相对同一平面α角的概念是什么？ 5、重要结论：（1）平面的斜线和它在平面内的 所成的角，是这条斜线和这个平面内任一直线所成的角中 .(2)一个平面的斜线和它在这个平面内的 的夹角叫做斜线和平面所成的角 6、规定：（1）如果直线和平面垂直，就说直线和平面所成的角是 .（2）如果直线和平面平行或在平面内，就说直线和平面所成角是 . （3）直线和平面所成的角的范围是 . （4）三余弦公式是自学检测：1、在单位正方体1111ABCD A BC D -中，（1）试求直线1BD 与平面ABCD 所成的角. （2）试求直线1BA 与平面1BC 所成的角.2、在长方体1111ABCD A BC D -中，a AD AA ==1，1与长方体各面所成角的余弦.3、已知平面内的一条直线与平面的一条斜线的夹角是︒60，这条直线与斜线在平面内的射影的夹角是︒45，求斜线与平面所成角的大小。
合作探究：在单位正方体1111ABCD A BC D -中，求直线11AC 与截面11ABC D 所成的角.小结：定义法就是根据斜线与平面所成角的定义，直接作出斜线在平面内的射影，则斜线与射影所成角就是斜线与平面所成角，这是解题时首先要考虑的方法 （1）求直线和平面所成的角的步骤是先作再证后求.（2）求直线和平面所成的角的关键是作（找）斜线在平面内的射影.A（3）下列结论常作为找斜线在平面内射影的依据。
①定理：一条直线与一个平面内的 直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
案例（二）----精析精练课堂 合作 探究重点难点突被知识点一 公式cos θ=cos θ1·cos θ 2如右图,已知OA 是平面a 的一条斜线,AB⊥a,则OB 是OA 在平面a 内的射影,设OM 是a 内通过点O的任意一条直线,OA 与OB 所成的角为θ1,OB 与OM 所成的角为θ2,OA 与OM 所成的角为θ,则有cos θ=cos θ1·cos θ2,我们简称此公式为三余弦公式,它反映了三个角的余弦值之间的关系.在上述公式中,因为0≤cos θ2≤1，所以cos θ<cos θ1,因为θ1和θ都是锐角,所以θ1≤0,由此我们可以得到最小角定理:斜线和它在平面内的射影所成的角,是斜线和这个平面内所有直线所成的角中最小的角.知识点二 斜线和平面所成的角(1)定义:斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角).(2)斜线和平面所成角的范围:(0,2π). (3)直线和平面所成角的范围:[O,2π],其中当一条直线与一个平面垂直时,这条直线与平面的夹角为,当一条直线与个平面平行或在平面内时,这条直线与平面的夹角为0.(4)直线和平面所成角的求法:①几何法:用几何法求直线和平面所成角的步骤:i)找(或作)出直线和平面所成的角；ii)计算,即解三角形；iii)结论,即点明直线和平面所成角的大小.②向量法:若直线AB 与平面a 所成的角为θ,平面a 的法向量为n,直线与向量n 所成的角为ϕ，则θ+ϕ=2π,利用向量的夹角公式求出cos ϕ再根据sin θ=|cos ϕ|求出θ③利用公式cos θ=cos θ1cos 2求解.典型例题分析题型1 几何法求直线和平面的夹角【例1】 如下图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=4,BC=3,AA 1=5,试求B 1D 1与面A 1BCD 1所成角的正弦值解析 作出B 1点在平面A 1BCD 1上的射C 影,从而得到B 1D 1在平面上的射影.又因为平面 A 1B 1D⊥面A 1BCD 1,故只要过B 1作A 1B 的垂线,垂足就是B 1的射影.答案 作B 1E⊥A 1B,又因为A 1D 1⊥平面ABB 1A 1,∴A 1D 1⊥B 1E.由B 1E⊥A 1B 及B 1E⊥A 1D 1得知B 1E⊥面A 1BCD 1,所以,D 1E 就是D 1B 1在平面A 1BCD 1上的射影,从而∠B 1D 1E 就是D 1B 1与面A 1BCD 1所成的角.在Rt△B 1D 1E 中,有sin∠B 1D 1E=111B D EB 上的射影. 但D1B1=211211D A B A +=915+=5,又11BB A S ∆=21A 1B 1·EB 1=21A 1B 1·BB 1,A 1B=1625+=14,∴EB 1=4154⨯=420,∴sin∠B 1D 1E=54120=41414. 方法指导 如果随意地在直线B 1D 1上取一点,然后过这一点向平面A 1BCD 1作垂线,虽然也可以找出直线B 1D 1和平面A 1BCD 1所成的角,但面临的一个问题是如何求出这个角,因此“作、证、求”三者是紧密联系在一起的,必须系统地统筹考虑.【变式训练1】 已知直角三角形ABC 的斜边BC 在平面a 内,直角边AB,AC 分别和a 成30°和45°角.求斜边BC 上的高AD 与平面a 所成角的大小.答案 如下图,作AO⊥a,O 为垂足,连结OB,OC,OD,则∠ABO,∠ACO,∠ADO 分别为AB,AC,AD 与a 所成的角,则∠ABO=30°,∠ACO=45°.设AO=h,则AC=2h,AB=2h.∴BC=6h,∴AB=32=∙BC AB AC h. ∴Rt△AOD 中,sin∠ADO=23=AD AO ,∠ADO=60°. ∴AD 与平面a 所成的角的大小为60°.【例2】 如下图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,求直线AA 1与平面A 1BD 所成的角.解析 在确定A 在平面上的射影时,既可以利用线面垂直,也可以分析四面体A 1-ABD 的性质.答案 解法一:连结AC,设AC∩BD=O,连结A 1O,在△A 1AO 内作AH⊥A 1O,H 为垂足. ∵A 1A⊥平面ABCD,BD ⊂平面ABCD,∴A 1A⊥BD .又BD⊥AC,AC∩A 1A=A,∴BD⊥平面A 1AD,∴BD⊥AH .又AH⊥A 1O,A 1O∩BD=O,∴AH⊥平面A 1BD,∴∠AA 1H 为斜线A 1A 与平面A 1BD 所成的角.在Rt △A 1AO 中,A 1A=1,AO=22,∴A 1O=26. ∵:A 1A·AO=A 1O·AH,∴AH=332622111=⨯=∙O A AO A A . ∴sin∠A A 1H=331=A A AH .∠AA 1H=arc sin 33. ∴A 1A 平面A 1BD 所成角的大小为arc sin33. 解法二:∵AA 1=AD=AB,∴点A 在平面A 1BD 上的射影H 为△A 1BD 中心,连结A 1H,则A 1H 为正△A 1BD 外接圆半径, ∵正△A 1BD 边长为2,∴A 1H=33·2=36. Rt△AHA 1中,cos∠AA 1H=A A H A 11=36. ∵∠AA 1H 为AA 1与平面A 1BD 所成的角,∴A 1A 与平面A 1BD 所成角的大小为 arc sin 33. 解法三:同解法二分析,A 1H 为∠BA 1D 的平分线,∴∠BA 1H=30°,又∠AA 1B=45°,∴由最小角原理公式cos∠AA 1B=cos∠AA 1H·cos∠BA 1H,得cos∠AA 1H=︒︒=∠∠30cos 45cos cos cos 11H BA B AA =36 ∴∠AA 1H=arc cos 36方法指导 在研究空间图形时,基本元素的位置关系和数量关系是密不可分、相互转化的.解法二在数量关系AA 1=AD=AB 的基础上,得到A 在平面A 1BD 上的射影的性质,解法三在找到基本图形-----三棱锥A 1-ABD 后,利用最小角原理公式,最小角原理公式是立体几何的重要公式之一,解法三利用该公式,解法简捷明了.【变式训练2】 如下图,在四棱锥P 一ABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD⊥DC,E 是PC 的中点.(1) 证明PA∥平面EDB ；(2) 求EB 与底面ABCD 所成的角的正切值.答案 (1)连结AC,AC 交BD 于O.连结EO.∵底面ABCD 是正方形,∴点O 是AC 的中点.在△PAC 中,EO 是中位线,∴PA∥EO .而EOC ⊂平面EDB 且PA ⊄平面EDB,所以PA∥平面EDB.(3) 作EF⊥DC 交DC 于F,连结BF,设正方形ABCD 的边长为a.∵PD⊥底面ABCD,∴PD⊥DC .∴EF∥PD,F 为DC 的中点∴EF⊥底面ABCD,BF 为BE 在底面ABCD 内的射影,故∠EBF 为直线EB 与底面ABCD 所成的 角.在Rt △BCF 中,BF=a a a CF BC 25)2(2222=+=+. ∴EF=21PD=2a ,∴在Rt △EFB 中,tan ∠EBF=55252==a aBF EF . 所以EB 与底面ABCD 所成的角的正切值为题型2 向量法求直线与平面的夹角【例3】 在以边长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 和F 分别是BC 和C 1D 1上的点,BE=C 1F= 31，试求EF 与平面A 1BD 所成的角的余弦值. 解析 如下图建立恰当的空间直角坐标系,用坐标向量及平面的法向量求解. 答案 以A 为原点,分别以AB ,AD ,1AA 方向为x轴,y 轴,z 轴的正方向而建立坐标系,如上图所示,则A 1(0,0,1),B(1,0,0),D(0,1,0),C(1,1,1),E(1,31,0),F(32,1,1). 1AC =(1,1,1),B A 1=(1,0,-1),D A 1(0,1,-1).由于1AC ·B A 1=(1,1,1)·(1,0,-1)=1-1=0,∴1AC ⊥B A 1,1AC .D A 1=(1,1,1)·(0,1,-1)=1-1=0,∴1AC ⊥D A 1,∴1AC ⊥平面A 1BD,故1AC 是平面A 1BD 的法向量.又EF =(-31,32,1),EF ·1AC =(-31,32,1)·(1,1,1)=34,|EF |=314,|1AC |=3. 记ϕ为EF 与1AC 之间所成之角则cos ϕ=11AC EF =424331443=∙.以θ记EF 与平面A 1BD 所成之角,则θ=ϕπ-2,∴cos=θ=cos(2π-ϕ)=sin ϕ=21273211342161cos 12==-=-ϕ. 规律总结 利用向量法求直线与平面所成角的解题步粟可以分解为:①根据题设条件,图形特征建立适当的空间直角坐标系；②得到相关点的坐标,进而求出相关向量的坐标；③利用分式cos<a,b>=b a b a ∙,进行计算,其中向量a 是直线的方向向量,b 可以是平面的法向量,可以是直线在平面内射影的方向向量；④将(a,b)转化为所求的线面角.这里要注意的是:平面的斜线的方向向量与平面法向量所成的锐角是平面的斜线与平面所成角的余角.【变式训练3】 如下图所示,已知直角梯形ABCD,其中AB=BC=2AD,AS⊥平面ABCD,AD∥BC,AB⊥BC 且AS=AB.求直线SC 与底面ABCD 的夹角的余弦值.答案 由题设条件知,可建立以AD 为x 轴,AB 为y 轴,AS 为z 轴的空间直角坐标系,如下图所示,设AB=1,则A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D(21,0,0),S(0,0,1).∴AS =(0,0,1),CS =(-1,-1,1).显然AS 是底面的法向量,它与已知向量CS 的夹角β=90°-θ,故有sin θ=cos β33311=⨯=,于是 cos θ=36sin 12=-θ. 【例4】 如下图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,侧棱AA 1=2,D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点,点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G.求A 1B 与平面ABD 所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)解析 求线面角关键在于找到平面的一个法向量,法向量与直线所在的向量夹角的互余的角,即为所求的角,因此结合图形的特征,可以先建立空间直角坐标系,求出平面ABD 的法向量,再按公式求解.答案 以C 为原点,CA 所在直线为x 轴建立空间直角坐标系,设AC 的长为a,则A(a,0,0),B(0,a,0)D(0,0,1)A1(a,0,2,)则点G(3a ,3a ,31),E(2a ,2a ,1).由于E 在面ABD 内的射影为G 点,所以GE⊥面ABD.又DA =(a,0,-1),AB =(-a,a,0)=(6a ,6a ,32),,由AB ·=0及 ·=0可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-,066,0326222a a a 解得a=2. 取=(6a ,6a ,32)=(31,31,32,)为平面ABD 的法向量,B A 1=(-2,2,-2).设A 1B 和平面ABD 所成的角为θ,则sin θ=32222949191|343232|222=++++-+-. 故所求A1B 和平面ABD 所成的角为arin2方法指导 本题也可以不用向量方法求解,而用传统的几何方法求解,但处理的过程不像向量法简单直接.请读者用传统方法试着处理一下.规律 方法 总结(1)利用平面a 的法向量n 求斜线AB 与平面a 的夹角θ时,应注意关系,sin θ=|cos<AB ,n>),其中θ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π，不要认为<AB ,n>或<BA ,n>就是θ角； (2)求直线与平面夹角的常见方法:①当直线与平面垂直时,直线与平面所成的角为90°,当直线与平面平行或在平面内时,直线与平面所成的角为0°；②当直线与平面斜交时,用以下三种方法求角：方法一:定义法:在直线上任取不同于斜足的一点作面的垂线,确定射影,找出斜线与平面所成的角,通过解三角形求得；方法二:向量法:建立空间直角坐标系,求出平面的法向量,由向量夹角公式,求出法向量n 与斜线对应向量的夹角θ(锐角),则所求线面角为2π-θ； 方法三:由公式cos θ=cos θ1·cos θ2,求斜线与平面所成的角.定时 巩固 检测基础训练1.平面的一条斜线和这个平面所成角θ的范围是 （ ）A.0°<θ<90°B.0°≤θ≤90°C.0°<θ≤90D.0°<θ<180°【答案】 A(点拨:由与平面相交但不垂直的直线为平面的斜线知0°<θ<90°.)2.一条直线与平面a 所成的角为30°,则它和平面a 内所有直线所成的角中最小的角是 （ ）A.30°B.60°C.90°D.150°【答案】 A(点拨:本题考查最小角定理,斜线与平面所成的角是斜线与平面内直线所成角中最小的角.)3.如下图,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中BC 1与对角面BB 1D 1D 所成的角是 （ ）A.∠C 1BB 1 B∠C 1BD C.∠C 1BD 1 D.∠C 1BO【答案】 D(点拨:∵O 是点C 1在平面BB 1D 1D 上的射影,∴BO 为BC 1在平面BB 1D 1D 内的射影.∵∠C1BO 为所求.)4.PA,PB,PC 是从P 点引出的三条射线,每两条夹角都为60°,则直线PC 与平面APB 所成角的余弦值为 （ ）A. 21 B.36 C.33 D.23 【答案】 C(点拨,设PC 与平面APB 所成角为θ,则由cos60°=cos θ·cos30°得cos θ=33.) 5.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,O 为侧面BCC 1B 1的中心,则AO 与平面ABCD 所成角的正弦值为( ) A.33 B.21 C.66 D.23 【答案】 C(点拨:取BC 中点M,连AM,OM,易知∠OAM 即为AO 与平面ABCD 所成的角,可求得sin∠OAM=66.) 能力提升 6.如右图所示,点P 是△ABC 所在平面外的一点,若PA 、PB 、PC 与平面a 所成的角均相等,则点P 在平面a 上的射影P′是△ABC 的 （ ）A.内心B.外心C.重心D.垂心【答案】 B(点拨:由于PA 、PB 、PC 与平面a 所成的角均相等,所以这三条由点P 出发的平面ABC 的斜线段相等,故它们在平面ABC 内的射影P ′A 、P ′B 、P ′C 也都相等,故点P 是 △ABC 的外心,因此,应选B.)7.从同一点O 引出不共面的三条射线OA,OB,OC 且两两成60°角,OA 与平面BOC 的夹角为 .【答案】 arc cos 33(点拨:设OA 与平面BOC 的夹角为θ,由上述分析可得co s60°=c os θ·c o s30°,即cos θ=33,所以OA 与.平面BOC 的夹角为arc cos 33.) 8.已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M 、N 分别是AB 、C 1D 1的中点,求A 1B 1与平面A 1MCN 所成角的大小.【答案】 法一:分别以DA,DC,DD 1所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系如上图,设正方体的棱长为1,则A 1(1,0,1),M(1,21,1),N(0,21,1),B 1(1,1,1),所以11B A =(0,1,0),M A 1=(0,21,-1),N A 1=(-1,21,0).设平面A 1MCN 的一个法向量为n=(x,y,z),则有⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥,,11M A n A n 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+-.021,021z y y x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y z y x 2121， 令y=2,则x=z=1,所以n=(1,2,1).cos<11B A ,n)=6121111⨯=∙∙n B A n B A =36. 所以直线A 1B 1与平面A 1MCN 所成的角为arc cos 36. 法二:连接MN,B 1C,A 1D,A 1C,如右图、所示,由三垂线定理可得MN⊥A 1B 1,MN⊥B 1C,所以MN⊥平面A 1B 1CD,又MN ⊂平面A 1MCN,所以平面A 1MCN⊥平面A 1B 1CD,又平面A 1MCN 与平面A 1B 1CD 的交线是A 1C,故点B 1在平面A 1MCN 内的射影在直线A 1C 上,所以∠B 1A 1C 就是A 1B 1与平面A 1MCN 所成的角,在Rt△B 1A 1C 中,tan∠B 1A 1C=111B A C B =2,即A 1B 1与平面A 1MCN 所成的角的大小是arc tan 2.9.如右图在矩形ABCD 中,2AB=BC,沿对角线AC 将△ACB 折起到ACB ′的位置,使平面ADB ′⊥平面ACD.(1)求证:平面ACB ′⊥平面CBD ；(2)求AD 与平面ACB ′所成角的大小. 【答案】 (1) ⎪⎭⎪⎬⎫='⊥'⊥AD ACD B AD ACD B AD ADCD 平面平面平面平面 ⇒CD ⊥平面ADB ′⎪⎭⎪⎬⎫=''⊥'⇒⊥'C C B CD C B B A CD B A ⇒⎭⎬⎫'⊂''⊥'B AC B A D B C B A 平面平面 ⇒平面ACB ′⊥平面CB ′D.(2) 作DE ⊥B ′C 于E,连接AE.如图,由(1)知平面ACB ′⊥平面CB ′D,所以DE ⊥平面ACB ′.所以∠DAE 为AD 与平面ACB ′所成的角.设CD=1,则BC=2,在Rt △B ′DC 中,∠CDB ′=90°,B ′C=BC=2,CD=1,所以B ′D=3,所以DE=′CD BD ′CB ∙=23所以在R △AED 中,sin ∠DAE=AD DE =223=43,故直线AD 与平面ACB ′所成的角为 arcsin=43. 10.P 是△ABC 所在平面外一点,PA,PB,PC 两两互相垂直,且PA=10,PB=8,PC=6,求PA 与平面ABC 所成的角.【答案】∵AP ⊥PB,PA ⊥PC,∴PA ⊥平面PBC,PA ⊥BC,过A 作AD⊥BC 于D,连接PD,那么BC ⊥平面PAD,过P 作PO ⊥AD 于O.∴PO ⊥AD;BC ⊥PO,∴PO ⊥面ABC,∠PAO 就是PA 与面ABC 所成的角,∵PB=8,PC=6,∴BC=10,PD=BC PC PB ∙=524,tan ∠PAD=10524=2512, 因此PA 与面ABC 所成的角为arctan 2512. 11.如下图,在四棱锥P 一ABCD 中,底面为直角梯形,AD ∥BC,∠BAD=90°,PA ⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M 、N 分别为PC 、PB 的中点.求:CD 与平面ADMN 所成的角.【答案】建立如下图所示的空间直角坐标系Axyz,设PA=2,则P(0,0,2),B(2,0,0),D(0,2,0),C(2,1,0),则=(2,0,-2),=(0,2,0),=(2,-1,0).因为PB ·AD =(2,0,-2)·(0,2,0)=0,所以PB ⊥AD.又因为由三垂线定理可得PB ⊥DM,所以PB ⊥平面ADMN.因此<,>的余角即是CD 与平面ADMN 所成的角.因为cos(,=510,所以CD 与平面ADMN 所成的角为arcsin 510.。
【课 题】直线和平面所成的角与二面角（1） 【教学目标】1、理解并掌握斜线在平面内的射影、直线和平面所成角的概念2、学会作斜线在平面上的射影,正确找出直线和平面所成的角；3、正确理解最小角定理的含义，会灵活运用公式12cos cos cos θθθ=⋅；【教学重点】 【教学难点】 【教学过程】一、复习引入1、斜线,垂线,射影⑴垂线：自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面上的射影。
这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段。
⑵斜线：一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线。
斜线和平面的交点叫斜足；斜线上一点与斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段。
⑶射影：过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影。
垂足和斜足间线段叫这点到这个平面的斜线段在这个平面内的射影。
直线与平面平行，直线在平面由射影是一条直线。
直线与平面垂直射影是点。
斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上。
二、讲解新课（一）最小角定理如图，AO 是平面α的斜线，A 是斜足，OB 垂直于平面α，B 为垂足，则直线AB 是斜线在平面α内的射影。
设AC 是平面α内的任意一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为1θ，AB 与AC 所成的角为2θ，AO 与AC 所成的角为θ。
下面我们来研究12,,θθθ之间的关系。
不妨设AO 为单位长，则11||||cos cos AB AO θθ==， 212||||cos cos cos AC AB θθθ==但||||cos cos AC AB θθ==，所以在上述公式中，由于20cos 1θ<<，所以1cos cos θθ<，而余弦函数在()0,π内为减函数，所以1θθ<。
最小角定理：平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成的角中最小的角；（二）直线和平面所成的角定义：一个平面的斜线和它在平面内的射影的夹角，叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）如果直线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是直角；如果直线和平面平行或在平面内，就说直线和平面所成的角是0︒的角。
3．6直线与平面、平面与平面所成的角[读教材·填要点]1．直线与平面所成的角(1)定义：如果直线l 与平面α垂直，l 与平面α所成的角θ为直角，θ＝π2.如果直线l 与平面α不垂直，则l 在α内的射影是一条直线l ′，将l 与l ′所成的角θ定义为l 与平面α所成的角．(2)范围：θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (3)计算：作直线l 的方向向量v 和平面α的法向量n ，并且可选v 与n 所成的角θ1∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则l 与平面α所成的角 θ＝π2－θ1，sin θ＝cos_θ1＝|v ·n ||v |·|n |.2．二面角(1)定义：从一条直线l 出发的两个半平面α，β组成的图形叫作二面角，记作α-l -β. (2)二面角的平面角过二面角α-l -β的棱l 上任意一点O 作垂直于棱l 的平面，分别与两个面α，β相交得到两条射线OA ，OB ，则∠AOB 称为二面角α-l -β的平面角．(3)二面角的范围二面角的平面角的度数在0°～180°范围内，特别当二面角α-l -β是90°时称它为直二面角，此时称两个面α，β相互垂直．3．两个平面所成的角两个相交平面，以交线为棱可以构成四个二面角，其中最小的一个二面角称为这两个平面所成的角，取值范围是⎝⎛⎭⎫0，π2.两个平行平面所成的角为0°. [小问题·大思维]1．当一条直线l 与一个平面α的夹角为0时，这条直线一定在平面内吗？ 提示：不一定，这条直线可能与平面平行．2．设直线l 与平面α所成的角为θ，l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，如何用a 和n 求角θ？提示：sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a ·n ||a |·|n |.3．二面角的法向量的夹角与二面角的平面角的大小有什么关系？ 提示：相等或互补．求直线与平面所成的角如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝AB ＝2BC ，M ，N 分别为PC ，PB 的中点．求BD与平面ADMN 所成的角θ.[自主解答] 如图所示，建立空间直角坐标系，设BC ＝1， 则A (0,0,0)，B (2,0,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)， 则N (1,0,1)，∴BD ―→＝(－2,2,0)，AD ―→＝(0,2,0)，AN ―→＝(1,0,1)． 设平面ADMN 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD ―→＝0，n ·AN ―→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x ＋z ＝0，取x ＝1，则z ＝－1， ∴n ＝(1,0，－1)．∵cos 〈BD ―→，n 〉＝BD ―→·n |BD ―→|·|n |＝－28·2＝－12，∴sin θ＝|cos 〈BD ―→，n 〉|＝12.又0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.利用向量法求直线与平面所成角的步骤为： (1)确定直线的方向向量和平面的法向量； (2)求两个向量夹角的余弦值； (3)确定向量夹角的范围；(4)确定线面角与向量夹角的关系：向量夹角为锐角时，线面角与这个夹角互余；向量夹角为钝角时，线面角等于这个夹角减去90°.1.如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，D ，E ，F 分别是棱AB ，BC ，CP 的中点，AB ＝AC ＝1，PA ＝2.求直线PA 与平面DEF 所成角的正弦值．解：如图，以点A 为原点，AB ，AC ，AP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A -xyz .由AB ＝AC ＝1，PA ＝2，得A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0,1,0)，P (0,0,2)，D ⎝⎛⎭⎫12，0，0，E ⎝⎛⎭⎫12，12，0，F ⎝⎛⎭⎫0，12，1. ∴PA ―→＝(0,0，－2)，DE ―→＝⎝⎛⎭⎫0，12，0，DF ―→＝⎝⎛⎭⎫－12，12，1. 设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE ―→＝0，n ·DF ―→＝0，即⎩⎨⎧(x ，y ，z )·⎝⎛⎭⎫0，12，0＝0，(x ，y ，z )·⎝⎛⎭⎫－12，12，1＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2z ，y ＝0.取z ＝1，则平面DEF 的一个法向量为n ＝(2,0,1)． 设PA 与平面DEF 所成的角为θ，则 sin θ＝|cos 〈PA ―→，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪PA ―→·n | PA ―→|·|n |＝55， 故直线PA 与平面DEF 所成角的正弦值为55.求二面角如图，四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，AC ∩BD ＝O ，A 1C 1∩B 1D 1＝O 1，四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形．(1)证明：O 1O ⊥底面ABCD .(2)若∠CBA ＝60°，求二面角C 1-OB 1-D 的余弦值．[自主解答] (1)证明：因为四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形，所以CC 1⊥AC ，DD 1⊥BD ，又CC 1∥DD 1∥OO 1，所以OO 1⊥AC ，OO 1⊥BD ， 因为AC ∩BD ＝O ，所以O 1O ⊥底面ABCD .(2)因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD 为菱形，AC ⊥BD .又O 1O ⊥底面ABCD ，所以OB ，OC ，OO 1两两垂直．如图，以O 为原点，OB ，OC ，OO 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．设棱长为2，因为∠CBA ＝60°，所以OB ＝3，OC ＝1， 所以O (0,0,0)，B 1(3，0,2)，C 1(0,1,2)， 平面BDD 1B 1的一个法向量为n ＝(0,1,0)， 设平面OC 1B 1的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则由m ⊥OB 1―→，m ⊥OC 1―→，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2z ＝0，y ＋2z ＝0.取z ＝－3，则x ＝2，y ＝23， 所以m ＝(2,23，－3)，所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m ||n |＝2319＝25719.由图形可知二面角C 1-OB 1-D 的大小为锐角， 所以二面角C 1-OB 1-D 的余弦值为25719.利用法向量求二面角的步骤为： (1)确定两平面的法向量； (2)求两法向量的夹角的余弦值； (3)确定二面角的范围；(4)确定二面角与面面角的关系：二面角范围的确定要通过图形观察，法向量一般不能体现出来．2．(2016·全国卷Ⅰ)如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF ＝2FD ，∠AFD ＝90°，且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60°.(1)证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； (2)求二面角E -BC -A 的余弦值．解：(1)证明：由已知可得AF ⊥DF ，AF ⊥FE ， 所以AF ⊥平面EFDC . 又AF ⊂平面ABEF ， 故平面ABEF ⊥平面EFDC .(2)过D 作DG ⊥EF ，垂足为G .由(1)知DG ⊥平面ABEF .以G 为坐标原点，GF ―→的方向为x 轴正方向，|GF ―→|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G -xyz .由(1)知∠DFE 为二面角D -AF -E 的平面角，故∠DFE ＝60°，则DF ＝2，DG ＝3，可得A (1,4,0)，B (－3,4,0)，E (－3,0,0)，D (0,0，3)．由已知得AB ∥EF ，所以AB ∥平面EFDC . 又平面ABCD ∩平面EFDC ＝CD ， 故AB ∥CD ，CD ∥EF .由BE ∥AF ，可得BE ⊥平面EFDC ，所以∠CEF 为二面角C -BE -F 的平面角，∠CEF ＝60°. 从而可得C (－2,0，3)．所以EC ―→＝(1,0，3)，EB ―→＝(0,4,0)，AC ―→＝(－3，－4，3)，AB ―→＝(－4,0,0)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面BCE 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·EC ―→＝0，n ·EB ―→＝0，即⎩⎨⎧x ＋3z ＝0，4y ＝0，所以可取n ＝(3,0，－3)．设m 是平面ABCD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AC ―→＝0，m ·AB ―→＝0，同理可取m ＝(0，3，4)． 则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝－21919. 由图知，二面角E -BC -A 为钝角， 故二面角E -BC -A 的余弦值为－21919.解题高手 多解题 条条大路通罗马，换一个思路试一试已知PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，PA ＝AC ＝1，BC ＝2，求二面角A -PB -C 的余弦值． [解] 法一：如图所示，取PB 的中点D ，连接CD . ∵PC ＝BC ＝2， ∴CD ⊥PB .∴作AE ⊥PB 于E ，那么二面角A -PB -C 的大小就等于异面直线DC 与EA 所成的角θ的大小．∵PD ＝1，PE ＝PA 2PB ＝12，∴DE ＝PD －PE ＝12.又∵AE ＝AP ·AB PB ＝32，CD ＝1，AC ＝1，AC ―→＝AE ―→＋ED ―→＋DC ―→，且AE ―→⊥ED ―→，ED ―→⊥DC ―→，∴|AC ―→|2＝|AE ―→|2＋|ED ―→|2＋|DC ―→|2＋2|AE ―→|·|DC ―→|cos(π－θ)，即1＝34＋14＋1－2·32·1·cos θ，解得cos θ＝33. 故二面角A -PB -C 的余弦值为33. 法二：由法一可知，向量DC ―→与EA ―→的夹角的大小就是二面角A -PB -C 的大小，如图，建立空间直角坐标系Cxyz ，则A (1,0,0)，B (0，2，0)，C (0,0,0)，P (1,0,1)，D 为PB 的中点，D ⎝⎛⎭⎫12，22，12. 又PE EB ＝AP 2AB 2＝13，即E 分PB ―→的比为13.∴E ⎝⎛⎭⎫34，24，34，EA ―→＝⎝⎛⎭⎫14，－24，－34，DC ―→＝⎝⎛⎭⎫－12，－22，－12，|EA ―→|＝32，|DC ―→|＝1，EA ―→·DC ―→＝14×⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫－24×⎝⎛⎭⎫－22＋⎝⎛⎭⎫－34×⎝⎛⎭⎫－12＝12. ∴cos 〈EA ―→，DC ―→〉＝EA ―→·DC ―→| EA ―→|·|DC ―→|＝33.故二面角A -PB -C 的余弦值为33. 法三：如图所示建立空间直角坐标系，则A (0，0,0)，B (2，1,0)，C (0,1,0)，P (0,0,1)，AP ―→＝(0,0,1)，AB ―→＝(2，1,0)，CB ―→＝(2，0,0)， CP ―→＝(0，－1,1)，设平面PAB 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AP ―→＝0，m ·AB ―→＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ (x ，y ，z )·(0，0，1)＝0，(x ，y ，z )·(2，1，0)＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ，z ＝0.令x ＝1，则m ＝(1，－2，0)．设平面PBC 的法向量为n ＝(x ′，y ′，z ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CB ―→＝0，n ·CP ―→＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ (x ′，y ′，z ′)·(2，0，0)＝0，(x ′，y ′，z ′)·(0，－1，1)＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝0，y ′＝z ′. 令y ′＝－1，则n ＝(0，－1，－1)， ∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝33.∴二面角A -PB -C 的余弦值为33.1．若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l 与平面α所成的角等于( )A ．120°B ．60°C ．30°D ．以上均错解析：设直线l 与平面α所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 120°|＝12，又∵0＜θ≤90°，∴θ＝30°. 答案：C2．若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成的二面角的余弦值为( ) A.63B.33C.23 D.13解析：设正三棱锥P -ABC ，PA ，PB ，PC 两两互相垂直，设PA ＝PB＝PC ＝a .取AB 的中点D ，连接PD ，CD ，易知∠PDC 为侧面PAB 与底面ABC 所成的角．易求PD ＝22a ，CD ＝62a ， 故cos ∠PDC ＝PD DC ＝33.答案：B3．在边长为a 的正△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，沿AD 折成二面角B -AD -C 后，BC ＝12a ，这时二面角B -AD -C 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：由定义知，∠BDC 为所求二面角的平面角， 又BC ＝BD ＝DC ＝12a ，∴△BDC 为等边三角形，∴∠BDC ＝60°. 答案：C4．若一个二面角的两个面的法向量分别为m ＝(0,0,3)，n ＝(8,9,2)，则这个锐二面角的余弦值为________．解析：cos 〈m ，n 〉＝(0，0，3)·(8，9，2)382＋92＋22＝2149＝2149149.答案：21491495．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成的角的正弦值是________． 解析：如图，以DA ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，取正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C 1(0,1,1)，易证AC 1―→是平面A 1BD 的一个法向量．又AC 1―→＝(－1,1,1)， BC 1―→＝(－1,0,1)．所以cos 〈AC 1―→，BC 1―→〉＝1＋13×2＝63.所以BC 1与平面A 1BD 所成角的正弦值为63. 答案：636．(2017·江苏高考)如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ，且AB ＝AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝120°.(1)求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值； (2)求二面角B -A 1D -A 的正弦值．解：在平面ABCD 内，过点A 作AE ⊥AD ，交BC 于点E . 因为AA 1⊥平面ABCD ， 所以AA 1⊥AE ，AA 1⊥AD .如图，以{AE ―→，AD ―→，AA 1―→}为正交基底，建立空间直角坐标系A -xyz . 因为AB ＝AD ＝2， AA 1＝3，∠BAD ＝120°，则A (0,0,0)，B (3，－1,0)，D (0,2,0)，E (3，0,0)，A 1(0，0，3)，C 1(3，1，3)． (1)A 1B ―→＝(3，－1，－3)，AC 1―→＝(3，1，3)． 则cos 〈A 1B ―→，AC 1―→〉＝A 1B ―→·AC 1―→|A 1B ―→||AC 1―→|＝3－1－37×7＝－17. 因此异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值为17.(2)可知平面A 1DA 的一个法向量为AE ―→＝(3，0,0)． 设m ＝(x ，y ，z )为平面BA 1D 的一个法向量， 又A 1B ―→＝(3，－1，－3)，BD ―→＝(－3，3,0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1B ―→＝0，m ·BD ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3z ＝0，－3x ＋3y ＝0.不妨取x ＝3，则y ＝3，z ＝2，所以m ＝(3，3，2)为平面BA 1D 的一个法向量，从而cos 〈AE ―→，m 〉＝AE ―→·m | AE ―→||m |＝333×4＝34. 设二面角B -A 1D -A 的大小为θ，则|cos θ|＝34.因为θ∈[0，π]，所以sin θ＝1－cos 2θ＝74. 因此二面角B -A 1D -A 的正弦值为74.一、选择题1．若平面α的一个法向量n ＝(2,1,1)，直线l 的一个方向向量为a ＝(1,2,3)，则l 与α所成角的正弦值为( )A.176B.216 C ．－216D.213解析：∵cos 〈a ，n 〉＝a ·n|a |·|n |＝(1，2，3)·(2，1，1)1＋4＋9·22＋1＋1＝2＋2＋314×6＝216.∴l 与α所成角的正弦值为216. 答案：B2.如图，过边长为1的正方形ABCD 的顶点A 作线段EA ⊥平面AC ，若EA＝1，则平面ADE 与平面BCE 所成的二面角的大小是( )A ．120°B ．45°C ．135°D ．60°解析：以A 为原点，分别以AB ，AD ，AE 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则E (0,0,1)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，EB ―→＝(1,0，－1)，EC ―→＝(1,1，－1)．设平面BCE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x －z ＝0，x ＋y －z ＝0，可取n ＝(1,0,1)，又平面EAD 的法向量为AB ―→＝(1,0,0)，所以cos 〈n ，AB ―→〉＝12×1＝22，故平面ADE 与平面BCE 所成的二面角为45°.答案：B3．在直角坐标系中，已知A (2,3)，B (－2，－3)，沿x 轴把直角坐标系折成平面角为θ的二面角A -Ox -B ，使∠AOB ＝90°，则cos θ为( )A ．－19B.19C.49D ．－49解析： 过A ，B 分别作x 轴垂线，垂足分别为A ′，B ′.则AA ′＝3，BB ′＝3，A ′B ′＝4，OA ＝OB ＝13，折后，∠AOB ＝90°，∴AB ＝OA 2＋OB 2＝26.由AB ―→＝AA ′―→＋A ′B ′―→＋B ′B ―→，得|AB ―→|2＝|AA ′―→|2＋|A ′B ′―→|2＋|B ′B ―→|2＋2|AA ′―→|·|B ′B ―→|·cos(π－θ)． ∴26＝9＋16＋9＋2×3×3×cos(π－θ)， ∴cos θ＝49.答案：C4.已知平面α内有一个以AB 为直径的圆，PA ⊥α，点C 在圆周上(异于点A ，B )，点D ，E 分别是点A 在PC ，PB 上的射影，则( )A ．∠ADE 是二面角A -PC -B 的平面角 B ．∠AED 是二面角A -PB -C 的平面角 C ．∠DAE 是二面角B -PA -C 的平面角D ．∠ACB 是二面角A -PC -B 的平面角解析：选项A 错误，若DE ⊥PC ，则PC ⊥平面ADE ，所以PC ⊥AE ，又AE ⊥PB ，所以AE ⊥平面PBC ，同理可证：AD ⊥平面PBC ，这是不可能的．选项B 正确，因为PA ⊥BC ，AC ⊥BC ，所以BC ⊥平面PAC ，所以AD ⊥BC ，又AD ⊥PC ，且PC ∩BC ＝C ，所以AD ⊥平面PBC ，又因为AE ⊥PB ，所以DE ⊥PB ，所以∠AED 为二面角A -PB -C 的平面角．选项C 错误，因为PA ⊥平面α，所以PA ⊥AC 且PA ⊥AB ，所以∠CAB 为二面角B -PA -C 的平面角，因此，∠DAE 不是二面角B -PA -C 的平面角．选项D 错误，在△PAC 中，∠PAC ＝90°，所以AC 与PC 不垂直，因此，∠ACB 不是二面角A -PC -B 的平面角．答案：B 二、填空题5．如图所示，已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则直线AD 与平面B 1DC 夹角的正弦值为________．解析：不妨设正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (3，－1,0)，B 1(3，1,2)，D⎝⎛⎭⎫32，－12，2，则CD ―→＝⎝⎛⎭⎫32，－12，2， CB 1―→＝(3，1,2)，设平面B 1DC 的法向量为 n ＝(x ，y,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD ―→＝0，n ·CB 1―→＝0，解得n ＝(－3，1,1)． 又∵DA ―→＝⎝⎛⎭⎫32，－12，－2， ∴sin θ＝|cos 〈DA ―→，n 〉|＝45.答案：456．正△ABC 与正△BCD 所在平面垂直，则二面角A -BD -C 的正弦值为________．解析：取BC 中点O ，连接AO ，DO .建立如图所示空间直角坐标系，设BC＝1，则A ⎝⎛⎭⎫0，0，32，B ⎝⎛⎭⎫0，－12，0， D⎝⎛⎭⎫32，0，0.∴OA ―→＝⎝⎛⎭⎫0，0，32，BA ―→＝⎝⎛⎭⎫0，12，32，BD ―→＝⎝⎛⎭⎫32，12，0.由于OA ―→＝⎝⎛⎭⎫0，0，32为平面BCD 的法向量，可进一步求出平面ABD 的一个法向量n ＝()1，－3，1，∴cos 〈n ，OA ―→〉＝55，sin 〈n ，OA ―→〉＝255.∴二面角A -BD -C 的正弦值为255. 答案：2557．已知三棱锥S -ABC 中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA ＝3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为________．解析：建立如图所示空间直角坐标系，则S (0,0,3)，A (0,0,0)，B (3，1,0)，C (0,2,0)．∴AB ―→＝(3，1,0)， SB ―→＝(3，1，－3)，SC ―→＝(0,2，－3)． 设平面SBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·SB ―→＝3x ＋y －3z ＝0，n ·SC ―→＝2y －3z ＝0.令y ＝3，则z ＝2，x ＝3，∴n ＝(3，3,2)． 设AB 与平面SBC 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，AB ―→〉|＝|n ·AB ―→||n |·|AB ―→|＝3＋34×2＝34.答案：348．在体积为1的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝1，求直线A 1B 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为________．解析：由题意，可得体积V ＝CC 1·S △ABC ＝CC 1·12·AC ·BC ＝12CC 1＝1，∴CC 1＝2.A 1(1，0，2).建立如图所示空间直角坐标系，得点B (0,1,0)，则A 1B ―→＝(－1,1，－2)，又平面BB 1C 1C 的法向量为n ＝(1,0,0)．设直线A 1B 与平面BB 1C 1C 所成的角为θ，A 1B ―→与n 的夹角为φ， 则cos φ＝A 1B ―→·n |A 1B ―→|·|n |＝－66，∴sin θ＝|cos φ|＝66， 即直线A 1B 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为66. 答案：66三、解答题9.如图，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求直线AF 与平面α所成角的正弦值． 解：(1)交线围成的正方形EHGF 如图所示． (2)作EM ⊥AB ，垂足为M ， 则AM ＝A 1E ＝4，EM ＝AA 1＝8. 因为四边形EHGF 为正方形， 所以EH ＝EF ＝BC ＝10. 于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，所以AH ＝10.以D 为坐标原点，DA ―→的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，则A (10,0,0)，H (10,10,0)，E (10,4,8)，F (0,4,8)， FE ―→＝(10,0,0)， HE ―→＝(0，－6，8)．设n ＝(x ，y ，z )是平面EHGF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·FE ―→＝0，n ·HE ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧10x ＝0，－6y ＋8z ＝0，所以可取n ＝(0,4,3)． 又AF ―→＝(－10,4,8)，故|cos 〈n ，AF ―→〉|＝|n ·AF ―→||n ||AF ―→|＝4515.所以AF 与平面EHGF 所成角的正弦值为4515.10．(2017·全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB ＝BC ＝12AD ，∠BAD ＝∠ABC ＝90°，E 是PD 的中点．(1)证明：直线CE ∥平面PAB ；(2)点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45°，求二面角M -AB -D 的余弦值． 解：(1)证明：取PA 的中点F ，连接EF ，BF . 因为E 是PD 的中点，所以EF ∥AD ，EF ＝12AD .由∠BAD ＝∠ABC ＝90°，得BC ∥AD ， 又BC ＝12AD ，所以EF 綊BC ，所以四边形BCEF 是平行四边形，CE ∥BF ， 又BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ， 故CE ∥平面PAB .(2)由已知得BA ⊥AD ，以A 为坐标原点，AB ―→的方向为x 轴正方向，|AB ―→|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则A (0,0,0)，B (1，0,0)，C (1,1,0)，P (0，1，3)，PC ―→＝(1,0，－3)，AB ―→＝(1,0,0)．设M (x ，y ，z )(0<x <1)，则BM ―→＝(x －1，y ，z )，PM ―→＝(x ，y －1，z －3)． 因为BM 与底面ABCD 所成的角为45°， 而n ＝(0,0,1)是底面ABCD 的法向量， 所以|cos 〈BM ―→，n 〉|＝sin 45°，|z |(x －1)2＋y 2＋z 2＝22， 即(x －1)2＋y 2－z 2＝0. ① 又M 在棱PC 上，设PM ―→＝λPC ―→， 则x ＝λ，y ＝1，z ＝3－3λ. ②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋22，y ＝1，z ＝－62(舍去)，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22，y ＝1，z ＝62，所以M ⎝⎛⎭⎫1－22，1，62，从而AM ―→＝⎝⎛⎭⎫1－22，1，62. 设m ＝(x 0，y 0，z 0)是平面ABM 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AM ―→＝0，m ·AB ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧(2－2)x 0＋2y 0＋6z 0＝0，x 0＝0，所以可取m ＝(0，－6，2)． 于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝105.由图知二面角M -AB -D 为锐角， 因此二面角M -AB -D 的余弦值为105.。
用空间向量求解二面角，点面距考向一 用坐标法求二面角1、如图，三棱锥V ABC -的侧棱长都相等，底面ABC 与侧面VAC 都是以AC 为斜边的等腰直角三角形，E 为线段AC 的中点，F 为直线AB 上的动点，若平面VEF 与平面VBC 所成锐二面角的平面角为θ，则cos θ的最大值是（ ）A ．3B ．23C ．3D ．3【答案】D【解析】底面ABC 与侧面VAC 都是以AC 为斜边的等腰直角三角形， 则Rt ABC Rt VAC ≅，所以VA VC BA BC === 设2VA VC BA BC VB =====， 由E 为线段AC 的中点，由222VE BE VB +=， 所以VE EB ⊥，以E 为原点，EB 为x 轴，EC 为y 轴，EV 为z 轴， 建立空间直角坐标系，如图所示：(0,VC =-，(2,0,VB =，(0,0,EV =，(,VF x x =设平面VBC 的一个法向量()111,,m x y z =，00m VC m VB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即112020z z ==，令11x =，则11y =，11z =， 所以()1,1,1m =.设平面VEF 的一个法向量()222,,n x y z =，00n EV n VF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即解得20z =，令所以21,1,0n x ⎛=-平面VEF 与平面VBC 所成锐二面角的平面角为θ，则22cos 22232m n x m n x xθ⋅==-+， 将分子、分母同除以1x，可得 2222322226626x xx x =-+-+令()2226626632f x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭， 当22x =时，()min 3f x =，则cos θ的最大值为：2633=.故选：D2、如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＝5，AC ＝6，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ＝54，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 位置，OD ′＝10.(1)证明：D ′H ⊥平面ABCD ； (2)求二面角B D ′A C 的余弦值．[解] (1)证明：由四边形ABCD 为菱形，得AC ⊥BD . 由AE ＝CF ＝54，得AE AD ＝CFCD ，所以EF ∥AC .因此EF ⊥DH ，从而EF ⊥D ′H .由AB ＝5，AC ＝6，得DO ＝BO ＝AB 2－AO 2＝4. 由EF ∥AC 得OH DO ＝AE AD ＝14，所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3，则OD ′2＝OH 2＋D ′H 2，所以D ′H ⊥OH . 又OH ∩EF ＝H ，所以D ′H ⊥平面ABCD .(2)以H 为坐标原点，HB ，HF ，HD ′分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系H xyz ，如图所示．则B (5,0,0)，C (1,3,0)，D ′(0,0,3)，A (1，－3,0)， (由口诀“起点同”，我们先求出起点相同的3个向量．) 所以AB ―→＝(4,3,0)， AD ′―→＝(－1,3,3)，AC ―→＝(0,6,0)． (由口诀“棱排前”，我们用行列式求出两个平面的法向量．) 由⎩⎪⎨⎪⎧ AD ′―→＝(－1，3，3)， AB ―→＝(4，3，0)，可得平面ABD ′的法向量n 1＝(－3,4，－5)，由⎩⎪⎨⎪⎧AD ′―→＝(－1，3，3)， AC ―→＝(0，6，0)，可得平面AD ′C 的法向量n 2＝(－3,0，－1)． 于是cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝7525.所以二面角B D ′A C 的余弦值为7525.3、如图所示，四棱锥P ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，△DAB ≌△DCB ，E 为线段BD 上的一点，且EB ＝ED ＝EC ＝BC ，连接CE 并延长交AD 于F .(1)若G 为PD 的中点，求证：平面P AD ⊥平面CGF ；(2)若BC ＝2，P A ＝3，求二面角B CP D 的余弦值． 解：(1)证明：在△BCD 中，EB ＝ED ＝EC ＝BC ， 故∠BCD ＝90°，∠CBE ＝∠BEC ＝60°.∵△DAB ≌△DCB ，∴∠BAD ＝∠BCD ＝90°，∠ABE ＝∠CBE ＝60°，∴∠FED ＝∠BEC ＝∠ABE ＝60°.∴AB ∥EF ，∴∠EFD ＝∠BAD ＝90°， ∴EF ⊥AD ，AF ＝FD . 又PG ＝GD ，∴GF ∥P A .又P A ⊥平面ABCD ，∴GF ⊥平面ABCD ， ∵AD ⊂平面ABCD ，∴GF ⊥AD . 又GF ∩EF ＝F ，∴AD ⊥平面CGF . 又AD ⊂平面P AD ，∴平面P AD ⊥平面CGF .(2)以A 为坐标原点，射线AB ，AD ，AP 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (3，3，0)，D (0,23，0)，P (0,0,3)，故CB ―→＝(－1，－3，0)， CP ―→＝(－3，－3，3)，CD ―→＝(－3，3，0)．设平面BCP 的一个法向量为n 1＝(1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·CB ―→＝0，n 1·CP ―→＝0，即⎩⎨⎧－1－3y 1＝0，－3－3y 1＋3z 1＝0，解得⎩⎨⎧y 1＝－33，z 1＝23，即n 1＝⎝⎛⎭⎫1，－33，23. 设平面DCP 的一个法向量为n 2＝(1，y 2，z 2)，由图知二面角B CP D 为钝角，4、如图所示，多面体是由底面为ABCD 的直四棱柱被截面AEFG 所截而得到的，该直四棱柱的底面为菱形，其中2AB =，5CF =，1BE =，60BAD ∠=．(1)求BG 的长；(2)求平面AEFG 与底面ABCD 所成锐二面角的余弦值．【解析】因为多面体是由底面为ABCD 的直四棱柱被截面AEFG 所截而得到的， 所以平面ADG //平面BCFE ，又平面ADG平面AEFG AG =,平面BCFE ⋂平面AEFG EF =,所以//AG EF ，同理//AE GF ，所以四边形AEFG 是平行四边形，连结AC ,BD 交于O ，以O 为原点，,OB OC 所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则所以(1,AG EF ==-，(1,AB =所以(2,0,BG AG AB =-=-||(BG =-(2)根据题意可取平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)m =，知(1,AG =-，(1,AE =的法向量为(,,)n x y z =00n AE n AG ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得23=，则，所以(33,n =-,||||1m n m n m n ⋅〈〉==⋅⨯5、如图，四棱锥P ABCD -中，60,BAD AC ∠=︒平分BAD ∠.AB BC ⊥.AC CD ⊥.（1）设E 是PD 的中点，求证：//CE 平面PAB ；（2）设PA ⊥平面ABCD ，若PD 与平面ABCD 所成的角为45°，求二面角A PC B --的余弦值.）证明：111()CE CA AE CF FA AP AD AB AP =+=+++=-+，即CE 能被平面//CE ∴平面PAB ；（2）因为PA ⊥平面ABCD ，且PD ⋂平面ABCD D =，故PDA ∠为PD 与平面ABCD 所成的角，故45PDA ︒∠=，从而PA AD =.示.∵PA⊥平面ABCD，∴PA CD⊥，又∵CD AC⊥，∴CD⊥平面PAC∴(3,CD=设平面PCB的一个法向量为(,,)n x y z=，0,0,n PBn BC⎧⋅=⎨⋅=⎩得即得(0,4,3)n=设所求的角为θ，则||42||||CD nCD n⋅=⨯⋅6、如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D –AE –C 的余弦值.【答案】（1）由题设可得，，从而 又是直角三角形，所以 取的中点，连结， 则又由于是正三角形，故 所以为二面角的平面角在中， 又，所以，故所以平面平面（2）由题设及（1）知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，则由题设知，四面体的体积为四面体ABD CBD ∆≅∆AD DC =ACD ∆90ADC ∠=AC O ,DO BO ,DO AC DO AO ⊥=ABC ∆BO AC ⊥DOB ∠D AC B --Rt AOB ∆222BO AO AB +=AB BD =222222BO DO BO AO AB BD +=+==90DOB ∠=ACD ⊥ABC ,,OA OB OD O OA x ||OA O xyz -ABCEODABCE同理可取 的余弦值为考向二 用坐标法求点面距1、在棱长为2的正方体中，，分别为棱、的中点，为棱上的一点，且，设点为的中点，则点到平面的距离为（ ）AB ．C．D【答案】D【解析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 则M （2，λ，2），D 1（0，0，2），E （2，0，1），F （2，2，1），(1,0,1),(2,0,0),(1,AD AC AE =-=-=-0,AC AE ⋅=⋅=7|||7n m n m =C -1111ABCD A B C D -E F 1AA 1BB M 11A B 1(02)A M λλ=<<N ME N 1D EF23λ＝（﹣，＝（0，1），设平面D 1EF 的法向量＝（x ，y ，z ），则 ，取x ＝1，得＝（1，0，2），∴点M 到平面D 1EF 的距离为：2、在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bienao ）.已知在鳖臑中，平面，，为的中点，则点到平面的距离为_____．1ED EF n 1·20·20n ED x z n EF y ⎧=-+=⎨==⎩n 25EM n n==P ABC -PA ⊥ABC 2PA AB BC ===M PC P MAB【解析】以B 为坐标原点，BA,BC 所在直线分别为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系，如图，则 ,由为的中点可得;, .设为平面的一个法向量，则,即，的距离为3、边长为1的等边三角形ABC 中，沿BC 边高线AD 折起，使得折后二面角B －AD －C 为60°，点D 到平面ABC 的距离为________． ()()()()0,0,0,2,0,0,2,0,2,0,2,0B A P C M PC ()1,1,1M ()()1,1,1,2,0,0BM BA ==()2,0,2BP =(),,x y z =n ABM 00n BA n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩200x x y z =⎧⎨++=⎩BP d ⋅=BD ＝CD ＝BC ＝12，⊥V A －BCD ＝13×AD ×S ⊥BCD .又⊥V A －BCD ＝V D －ABC ＝13×h ×S ⊥ABC ，∴由等积法可解得h ＝1510. 4、如图所示，在长方体中，，，点在棱上移动．（1）证明：；（2）当为的中点时，求点到平面的距离；【答案】如图所示，以为坐标原点，直线、、分别为，轴，建立空间直角坐标系．设，则，，，．⑴ 证明：因，则，即．⑵； 5、如图：正三棱柱的底面边长为，是延长线上一点，且，二面角的大小为；1111ABCD A B C D -11AD AA ==2AB =E AB 11D E A D ⊥E AB E 1ACD EAB CDA 1B 1D 1C 1D DA DC 1DD x y z ，AE x =()1101A ，，()1001D ，，()10E x ，，()()100020A C ，，，，，()()11101110A D D E x ⋅=--⋅-=，，，，11A D D E ⊥11D E A D ⊥13111ABC A B C -3D CB BD BC =1B AD B--60︒z yC 1D 1B 1A 1DCBA E（1）求点到平面的距离；（2）若是线段上的一点 ，且，在线段上是否存在一点，使直线平面？ 若存在，请指出这一点的位置；若不存在，请说明理由．【解析】（1）设为的中点，则，在正三棱柱中，平面,而平面，所以，而,因此平面，而平面，所以有 为二面角的平面角， 如下图所示：1C 1B AD P AD 12DP AA =1DC Q //PQ 1ABC E AD BE AD ⊥111ABC A B C -1BB ⊥ABC AD ⊂ABC 1BB AD ⊥1BB EB B =AD ⊥1BB E 1B E ⊂1BB E 1B E AD ⊥1BEB ∴∠1B AD B --又时，有 成立，而 平面 ，所以 平面，故存在，ABD ∠=13BB BE =∴1//PQ AC 1AC ⊂1ABC //PQ 1ABC。
3.6直线与平面、平面与平面所成的角学习目标1. 掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题；2. 掌握向量运算在几何中求两点间距离和求空间图形中的角度的计算方法. 学习过程 一、课前准备复习1：已知1a b ∙=，1,2a b ==，且2m a b =+，求m .复习2：什么叫二面角？二面角的大小如何度量？二面角的范围是什么？二、新课导学探究任务一：用向量求空间线段的长度 问题：如何用向量方法求空间线段的长度？新知：用空间向量表示空间线段，然后利用公式2a a =求出线段长度. 试试：在长方体''''ABCD A B C D -中，已知'1,2,1AB BC CC ===,求'AC 的长.反思：用向量方法求线段的长度，关键在于把未知量用已知条件中的向量表示. 典型例题例1 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？变式1：上题中平行六面体的对角线1BD 的长与棱长有什么关系？变式2：如果一个平行六面体的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于α, 那么由这个平行六面体的对角线的长可以确定棱长吗?探究任务二：用向量求空间图形中的角度()()()1////()2(10]23()a b O a a b b a b a b a b πθ''''∈定义：直线、是异面直线，经过空间一点，分别作，，相交直线，所成的锐角或直角叫做异面直线，所成的角．范围：，．方法：①平移法：在图中选一个恰当的点通．常是线段端点或中点作，的平行线，构造一个三角形两条异面直线所，并解三成的角角形求角．()()—2.12P ABC PC ABC PC AC AB BC D PB CD PAB AB PCB AP BC ⊥===⊥⊥如图，三棱锥中，平面，，，是上一点，且平面求证：平面；求异面直线与所成角的大小．2.直线与平面所成的角斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面内的射影的夹角。
