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第二节 等差数列2019考纲考题考情1．等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示，定义表达式为a n －a n －1＝d (常数)(n ∈N *，n ≥2)或a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)。
(2)等差中项若三个数a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且有A ＝a ＋b2。
2．等差数列的有关公式 (1)等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d 。
(2)等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝na 1＋n (n －1)2d 或S n ＝n (a 1＋a n )2。
3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)。
(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n 。
(等和性) (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d 。
(4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列。
(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列。
(6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列。
(7)S 2n －1＝(2n －1)a n 。
(8)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd2；若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)。
1．用等差数列的定义判断数列是否为等差数列，要注意定义中的三个关键词：“从第2项起”“每一项与它的前一项的差”“同一个常数”。
第五章数列、推理与证明第 1 讲数列的观点与简单表示法1．设数列 { a n n2)} 的前n项和S＝ n ，则 a8的值为(A．15 B ．16 C ．49 D ．64≥2时，·2· · n＝2，则＋5＝()2．在数列 {a n}中，已知1＝ 1，且当n1n3a a a a a a7613111A.3B.16C. 15D.43．古希腊人常用小石子在沙岸上摆成各样形状来研究数，如图X5-1-1.图 X5-1-1他们研究过图 X5-1-1(1)中的1,3,6,10 ，，因为这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；近似地，称图 X5-1-1(2)中的 1,4,9,16 ，，这样的数为正方形数．以下数中既是三角形数又是正方形数的是()A． 289 B ． 1024 C ． 1225 D ．1378a n＋1－14．已知数列 { a n} 知足a1＝ 2，a n＝a n＋1＋1，其前 n 项积为 T n，则 T2017＝() 11A.2B．－2C．2D．－25． (2015年辽宁大连模拟 ) 在数列 { a } 中，a＝2，a＝ a ＋ln1＋n，则 a ＝()n1n＋ 1n1n A． 2＋ln n B ．2＋(－1)ln nnC． 2＋n ln n D．1＋ n＋ln n6． (2014年新课标Ⅱ ) 若数列 {} 知足n＋ 1＝11＝________.n， 8＝2，则a a1－ana a7．已知数列 { a n} 知足：a4n－3＝ 1，a4n－1＝ 0，a2n＝a n，n∈ N*，则a2009＝________，a2014＝________.8．已知递加数列{ a n} 的通项公式为a n＝ n2＋ kn＋2，则实数 k 的取值范围为________．9． (201321年新课标Ⅰ ) 若数列 { a n} 的前n项和S n＝a n＋，则数列 { a n} 的通项公式是a n33＝________.10．(2016年上海 ) 无量数列 { a n} 由k个不一样的数构成，S n为 { a n} 的前n项和．若对随意*n∈N， S n∈{2,3}，则 k 的最大值为________．n n10n*n 11．已知数列 { a } 的通项公式为 a ＝( n＋1)11( n∈ N ) ，则当n为多大时，a最大？12． (2012 年纲领 ) 已知数列 { a } 中，a1＝ 1，前n项和S＝＋ 2a.3n nn n(1)求 a2， a3；(2)n求 { a } 的通项公式．第2讲等差数列1．(2017 年江西南昌二模) 已知数列 { a n} 为等差数列，其前n项和为S n，2a7－a8＝ 5，则S11＝()A．110 B ．55C． 50 D ．不可以确立2．设 { a n} 是首项为a1，公差为－1的等差数列， S n为其前 n 项和，若 S1， S2，S4成等比数列，则 a1＝()A．2 B ．－211C.2D．－23．已知S n为等差数列 { a n} 的前n项和，若a1＋a7＋a13的值是一个确立的常数，则以下各式：①a21；② a7；③ S13；④ S14；⑤ S8－ S5.其结果为确立常数的是()A．②③⑤ B ．①②⑤C．②③④D ．③④⑤4．(2017 年新课标Ⅲ ) 等差数列 { a n} 的首项为1，公差不为0. 若a2，a3，a6成等比数列，则数列 { a n} 前 6 项的和为 ()A．－24 B ．－3 C ．3 D．85．(2017 年湖北七市 4 月联考 ) 在我国古代有名的数学专著《九章算术》里有一段表达：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相遇，问：几天相逢？()A．9日 B ．8日 C ．16日 D ．12 日d 2 a －d，6．已知等差数列 { } 的公差为，对于的不等式 2＋ 2 x＋ c≥0的解集是[0,22]1则使得数列 { a n} 的前n项和最大的正整数n 的值是()A． 11B ．11或12C． 12D ．12或13，7．(2017 年广东揭阳一模 ) 已知数列 { a } 对随意的n∈N都有 a ＋1＝ a －2a ＋1 a ，若 a1＝2n*nn nn1则 a8＝__________.8．已知数列 { a n} 的通项公式为a n＝2n－10( n∈N*)，则| a1|＋| a2|＋＋| a15|＝________.9． (2016 年新课标Ⅱ ) 在等差数列 { a n} 中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝ 6.(1)求数列 { a n} 的通项公式；(2)设 b n＝[ a n]，求数列{ b n}的前10项和，此中[ x]表示不超出 x 的最大整数，如[0.9]＝0， [2.6] ＝ 2.10． (2014 年纲领 ) 数列 { a n} 知足a1＝ 1，a2＝ 2，a n＋2＝ 2a n＋1－a n＋2.(1)设 b n＝ a n＋1－a n，证明{ b n}是等差数列；(2)求 { a n} 的通项公式．11．(2014 年新课标Ⅰ ) 已知数列 { a n} 的前n项和为S n，a1＝ 1，a n≠0，a n a n＋1＝λS n－ 1，此中λ 为常数．(1)证明： a n＋2－ a n＝λ；(2)能否存在λ，使得 { a n} 为等差数列？并说明原因．第3讲等比数列1．对随意的等比数列 { a n} ，以下说法必定正确的选项是()A．a1，a3，a9成等比数列 B ．a2，a3，a6成等比数列C．2，4，8 成等比数列D．3，6，9 成等比数列a a a a a a{ a n} 的前n项和为S n，若S n＝ 2，S3n 2．(2016 年河北衡水模拟 ) 各项均为正数的等比数列＝14，则S4n＝ ()A．80 B ．30 C ．26 D ．163．(2013年新课标Ⅰ ) 设首项为 1，公比为2的等比数列 {n}的前n项和为n，则() 3a SA．n＝2n－1 B．n＝3a n－2S a SC．S n＝ 4－ 3a n D ．S n＝ 3－ 2a n4．(2017年广东深圳一模 ) 已知等比数列 { a } 的前n n－ 1a)项和为 S＝ a·3＋b，则b＝n nA．－3 B ．－1 C．1 D．35． (2016年河南模拟 ) 已知等比数列 {a3，公比为－1n项和为n，则n}的首项为，其前22Sn 的最大值为()S3243A.4B.3C.3D.2年北京 ) 若等差数列 { a n } 和等比数列{b n}知足a1＝ b1＝－1，a4＝ b4a26．(2017＝ 8，则b2＝__________.年江西南昌二模 ) 在等比数列 { a n} 中，a1＝ 1，前n项和为S n，知足S7－ 4S6 7． (2017＋3 5＝0，则4＝________.S S8．(2017 年广东深圳第二次调研 )《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相遇，各穿几何？”题意是“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，此后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，此后每天减半．”假如墙足够厚，S 为前 nn天两只老鼠打洞长度之和，则n＝__________尺．S19． (2016年新课标Ⅰ ) 已知 { a n} 是公差为 3 的等差数列，数列{ b n} 知足b1＝ 1，b2＝3，a nb n＋1＋ b n＋1＝ nb n.(1)求 { a n} 的通项公式；(2)求 { b n} 的前n项和．10． (2016 年新课标Ⅲ ) 已知数列 { a n} 的前n项和S n＝ 1＋λa n，此中λ ≠0.(1)证明 { a n} 是等比数列，并求其通项公式；31(2)若 S5＝32，求λ.11． (2017 年广东广州一模) 已知数列 { a n} 的前n项和为S n，且S n＝2a n－ 2( n∈ N* ) ．(1)求数列 { a n} 的通项公式；(2)求数列 { S n} 的前n项和T n.第 4 讲数列的乞降1． (2017 年辽宁鞍山一中统测) 数列 { a } 的通项公式为 a ＝14n － 1，则数列 { a } 的前 nnn2n项和 S ＝()n2nA.2n ＋ 1 B.2n ＋ 12nnC.4 ＋1 D.4＋1nnn ·(3 n － 2) ，则 a 1＋ a 2＋ ＋ a 10＝ (2．若数列 { a n } 的通项公式是 a n ＝ ( － 1) ) A ．15 B ．12 C ．－ 12 D ．－ 153．已知等差数列 { a n } 知足 a 1 >0， 5 a 8＝ 8a 13，则目前 A ．20 B ．21 C ．22D ．23 2nn 项和 n4．已知数列 { a } 的前S ＝ n － 6n ，则数列 {|A ． 6n － n 2B ． n 2－ 6n ＋ 186n － n 2，1≤ n ≤3，6n － n 2，1≤ n ≤3，n 项和 S n 取最大值时， n ＝ ()a n |} 的前 n 项和 T n 等于 ()C.n 2－ 6n ＋ 18， n ＞ 3D.n 2－ 6n ，n ＞ 35．(2016 年湖北七校 2 月联考 ) 中国古代数学著作 《算法统宗》 中有这样一个问题： “三百七十八里关，初行健步不犯难，次日脚痛减一半，六朝才获得其关，要见次日行里数，请 公认真算相还． ”其意思为：有一个人走 378 里路，第一天健步行走， 从次日起脚痛每天 走的行程为前一天的一半，走了 6 天后抵达目的地，请问次日走了 ( )A ．192里B ．96里C ．48里D ．24里6． (2015 年江苏 ) 已知数列 { a } 知足 a ＝ 1，且 a－ a*1的前n ＋1＝ n ＋ 1( n ∈ N ) ，则数列a nn1n10 项和为 ________．7．如图 X5-4-1 ，它知足： ①第 n 行首尾两数均为 n ；②图中的递推关系近似杨辉三角， 则第 ( ≥2) 行的第 2 个数是 ______________．n n12 234 34 7 7 45 11 14 11 5图 X5-4-18． (2017 年安徽合肥第二次质检 ) 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，若 S n ＝ 2a n －2n ，则 S n＝ __________.9． (2016 年浙江金华模拟 ) 设数列 { a n } 的前 n 项和 S n 知足 6S n ＋ 1＝ 9a n ( n ∈ N * ) ． (1) 求数列 { a n } 的通项公式；1(2) 若数列 { b n } 知足 b n ＝ ，求数列 { b n } 的前 n 项和 T n . a n10． (2017年广东佛山二模) 已知 { a n} 是等差数列，{ b n} 是各项均为正数的等比数列，且 b1＝ a1＝1， b3＝ a4， b1＋ b2＋ b3＝ a3＋ a4.(1)求数列 { a n} ，{b n}的通项公式；(2)设 c n＝ a n b n，求数列{ c n}的前 n 项和 T n.11． (2017 年广东湛江二模 ) 察看以下三角形数表，数表 (1) 是杨辉三角数表，数表 (2) 是与数表 (1) 有相同构成规律 ( 除每行首末两头的数外 ) 的一个数表．对于数表 (2)，设第 n 行第二个数为 a n.( n∈N*)( 如1＝2，2＝4，3＝7)a a an n－ 1*不用证明 ) ，并由概括的递推公式求出n(1) 概括出a与 a ( n≥2，n∈N)的递推公式({ a }的通项公式a n；(2) 数列 { b n} 知足： ( a n－1) ·b n＝ 1，求证：b1＋b2＋＋b n<2.第 5 讲合情推理和演绎推理S 11．在平面几何中有以下结论： 正三角形 ABC 的内切圆面积为 S 1，外接圆面积为 S 2，则 S 211＝ 4，推行到空间能够获得近似结论；已知正四周体P - ABC 的内切球体积为 V ，外接球体积2V1为 V ，则 V 2 ＝ ( )1 111A. 8B. 9C. 64D.272． (2017 年广东惠州三模 ) 我国南北朝期间的数学家祖暅提出体积的计算原理 ( 祖暅原理) ：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：假如两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等． 类比祖暅原理， 如图 X5-5-1 ，在平面直角坐标系中， 图 X5-5-1(1) 是一个形状不规则的关闭图形， 图 X5-5-1(2) 是一个上底为 1 的梯形，且当实数 t 取 [0,3] 上的随意值时，直线 y ＝ t 被图 X5-5-1(1) 和图 X5-5-1(2) 所截得的两线段长一直相等，则图(1) 的面积为 __________.(1) (2)图 X5-5-13． (2017 年北京 ) 某学习小组由学生和教师构成，人员构成同时知足以下三个条件： ①男学生人数多于女学生人数； ②女学生人数多于教师人数；③教师人数的两倍多于男学生人数．(1) 若教师人数为 4，则女学生人数的最大值为 _____________；(2) 该小组人数的最小值为 __________ ． 4．察看以下等式： 12＝ 112－ 22＝－ 3 12－ 22＋ 32＝612－ 22＋ 32－42＝－ 10照此规律，第 n 个等式为 _____________________________________ ．5．如图 X5-5-2 ，在平面上，用一条直线截正方形的一个角，则截下的一个直角三角形按如图 X5-5-2(1) 所标边长，由勾股定理，得 c 2＝ a 2＋ b 2. 假想把正方形换成正方体，把截线 换成如图 X5-5-2(2) 所示的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 O - ABC ，若用 S 1，S 2，S 3表示三个侧面面积，S 4表示截面面积，则能够类比获得的结论是 __________________ ．(1)(2)图 X5-5-26．已知 cos π＝1， cosπ·cos2π＝1，cosπ·cos2π·cos3π＝1，，依据以上等325547778式，可猜想出的一般结论是___________________________________ ．7．(2017 年东北三省四市一联) 在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优异．当他们被问到谁获得了优异时，丙说“甲没有得优异”，乙说“我得了优异”，甲说“丙说的是实话”．事实证明，在这三名同学中，只有一人说的是谎话，那么得优异的同学是 __________ ．*－nb ma8．已知数列 { a n} 为等差数列，若a m＝a，a n＝b( n－m≥1，m，n∈ N ) ，则a m＋n＝n－m .n nn*m n类比等差数列 { a } 的上述结论，对于等比数列{ b }( b >0， n∈N ) ，若 b ＝ c，b ＝ d( n－m≥2，*＝________.m， n∈N )，则能够获得 bm＋ n9．某同学在一次研究性学习中发现，以下 5 个式子的值都等于同一个常数．①sin 213°＋ cos 217°－ sin13 °cos17°；22②sin 15°＋ cos 15°－ sin15 °cos15°；③ sin 218°＋ cos 212°－ sin18 °cos12°；22④ sin ( －18°) ＋ cos 48°－ sin( －18°)cos48 °；22⑤ sin ( －25°) ＋ cos 55°－ sin( －25°)cos55 °.(1)试从上述 5 个式子中选择一个，求出这个常数；(2)依据 (1) 的计算结果，将该同学的发现推行为三角恒等式，并证明你的结论．10．在等差数列 { a n} 中，a1＋a2＝ 5，a3＝ 7，记数列1的前 n 项和为 S n.a n a n＋1(1)求数列 { a n} 的通项公式；(2)能否存在正整数 m， n，且1<m<n，使得 S1， S m， S n成等比数列？若存在，求出全部切合条件的 m， n 的值；若不存在，请说明原因．第 6 讲直接证明与间接证明1．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x2＋ax ＋ ＝0 起码有一个实根”时，b要作的假定是 ( )A ．方程 2 ＋ ax ＋ ＝ 0 没有实根x bB ．方程 x 2 ＋ ax ＋ b ＝ 0 至多有一个实根C ．方程 x 2 ＋ ax ＋ b ＝ 0 至多有两个实根D ．方程 x 2 ＋ ax ＋ b ＝ 0 恰巧有两个实根2．剖析法又称执果索因法， 若用剖析法证明： “设 a >b >c ，且 a ＋ b ＋ c ＝ 0，求证 b 2－ ac< 3a ”索的因应是 () A ． － >0B ．－>0aba cC ． ( a － b )( a － c )>0D ．( a － b )( a － c )<0 3．在△ 中，三个内角 ， ， C 的对边分别为 a ， ， ，且 ， ， 成等差数列，，ABCA Bb cA B Cab ，c 成等比数列，则△ ABC 的形状为 __________三角形．4．用反证法证明命题： 若整系数一元二次方程 ax 2＋ bx ＋c ＝ 0( a ≠0) 存在有理数根， 则 a ， b ， c 中起码有一个是偶数．以下假定正确的选项是 ________．①假定 a ， b ， c 都是偶数； ②假定 a ， b ， c 都不是偶数； ③假定 a ， b ， c 至多有一个偶数； ④假定 a ， b ， c 至多有两个偶数．5．凸函数的性质定理：假如函数 f ( x ) 在区间 D 上是凸函数，那么对于区间D 内的随意 f x 1 ＋f x 2 ＋ ＋ f x n ≤ f x 1＋ x 2＋ ＋ x nx x 1，x 2， ， x n ，有 n n. 已知函数 y ＝sin在区间 (0 ，π ) 上是凸函数，则在△中， sin＋ sin＋ sin C 的最大值为 ________．ABCAB6．α ，β 是两个不一样的平面， m ，n 是平面 α 及 β 以外的两条不一样的直线，给出以下 四个论断：① m ⊥ n ；② α ⊥ β ；③ n ⊥ β ；④ m ⊥ α . 以此中的三个论断作为条件，余下一个论 断 作 为 结 论 ， 写 出 你 认 为 正 确 的 一 个 命 题 ： _________________________________________________________________________________________________________________________.7．下表中的对数值有且仅有一个是错误的：x3 5 89 15lg x2 － b＋3－3 －3 c4 a － 23 －＋ ＋ 1aa c aba bc请将错误的一个更正为________________ ．8．已知会合 { a ，b ， c } ＝ {0,1,2} ，且以下三个关系：① a ≠2；② b ＝ 2；③ c ≠0有且只有一个正确，则 100 ＋ 10 b ＋ ＝ __________.a c9．已知等差数列 { a n } 的公差 d >0，设 { a n } 的前 n 项和为 S n ，a 1＝ 1， S 2·S 3＝ 36.(1) 求 d 及 S n ；(2) 求 m ， k ( m ，k ∈ N * ) 的值，使得 a m ＋ a m ＋ 1＋ a m ＋ 2＋ ＋ a m ＋ k ＝ 65 建立．10． (2016 年湖北武汉调研 ) 已知等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ， a 3＝5， S 8＝ 64.(1) 求数列 { a n } 的通项公式；(2) 求证： 1 ＋ 1 > 2( n ≥2， n ∈ N * ) ．S n －1 S n ＋1 S n第 7 讲 数学概括法1．用数学概括法证明： ( n ＋ 1)( n ＋2) · ·( n ＋ n ) ＝ 2n ×1×3× × (2n －1)( n ∈ N * ) ，从“ ＝ ”到“ n ＝ k ＋1”左端需乘的代数式是 ( )n kA ． 2k ＋ 1B ． 2(2 k ＋ 1)2 ＋ 12 k ＋ 3C.k ＋ 1 D. k ＋ 12．用数学概括法证明：22222n n 2＋，第二步证明由“ k1＋2 ＋ ＋ n ＋ ＋ 2 ＋ 1 ＝3到 k ＋1”时，左侧应加 () A ． k 2B ． ( k ＋ 1) 2C ． k 2＋ ( k ＋ 1) 2＋ k 2D ． ( k ＋ 1) 2＋ k 2n 1－a n ＋12*3．用数学概括法证明1＋ a ＋a ＋ ＋ a ＝1－a ( a ≠1， n ∈N ) 时，当考证 n ＝ 1时，左侧计算所得的式子是 ()A ． 1B ． 1＋ aC ． 1＋a ＋ a 2D ．1＋ a ＋ a 2＋a 4n 4＋ n 24．用数学概括法证明等式： 1＋ 2＋ 3＋ ＋n 2＝*＝ 到＝ ＋ 1(∈N )，则从2nn kn k时，左侧应增添的项为 ()A ． k 2＋ 1B ． ( k ＋ 1) 2k ＋ 4＋k ＋2C.2D． ( k2＋1) ＋ ( k2＋ 2) ＋ ( k2＋ 3) ＋＋ ( k＋ 1)25．用数学概括法证明1＋2＋ 22＋＋ 25n－1是 31 的整数倍时，当n＝ 1 时，上式等于 () A．1＋2 B ． 1＋2＋22C． 1＋2＋ 22＋ 23 D ． 1＋ 2＋22＋ 23＋ 246．用数学概括法证明n n－ 12n－ 1∈ N＋ ) 时，假定当＝k时命题成1＋ 2＋3＋＋ 2 ＝2＋ 2(n n立，则当 n＝ k＋1时，左端增添的项数是()A． 1 项 B ．k－ 1 项 C ．k项 D ． 2k项7．用数学概括法证明“n3＋( n＋ 1) 3＋ ( n＋ 2) 3( n∈N*) 能被 9 整除”，利用概括法假定证明当 n＝ k＋1时，只要睁开()A． ( k＋ 3) 3B ． ( k＋ 2) 3C． ( k＋ 1) 3D ． ( k＋ 1) 3＋ ( k＋ 2) 3111138．用数学概括法证明不等式n＋1＋n＋2＋＋n＋n>24的过程中，由k推导到k＋ 1 时，不等式左侧增添的式子是________________ ．9．能否存在常数a，b，c，使等式222n n＋21×2＋2×3＋＋n( n＋ 1) ＝12( an＋bn＋c)对全部正整数n 都建立？证明你的结论．10． (2017n1n＝ x n＋1＋ ln (1＋x n＋ 1*年浙江 ) 已知数列 { x } 知足： x ＝ 1，x)( n∈ N ) ．证明：当 n∈N*时，(1)0 ＜x n＋ 1n；＜ xx n x n＋1(2)2 x n＋1－x n≤；211(3)2n＋ 1≤x n≤2n＋ 2.第五章数列、推理与证明第 1 讲 数列的观点与简单表示法1． A 分析： a 8＝S 8－ S 7＝ 228 － 7 ＝ 64－49＝15. 2． B3．C 分析：第n 个三角形数可表示为1( ＋1)，第 n 个四边形数可表示为 2. 应选 C.2n nn4． C 分析：由 a n ＝ a n ＋1 －11＋ a n，得 a n ＋ 1＝，而 a 1＝ 2，a n ＋ 1＋ 11－ a n则有115＝2. 故数列 {n1234a＝－，＝－，＝，a 是以 4 为周期的周期数列，且a2a3 aa a a a＝ 1.所以 T 2017＝ ( a 1 a 2a 3a 4) 504a 1＝ 1504×2＝ 2.n ＋1) － lnn .5． A分析：由已知，得an ＋ － a ＝ ln(所以2－ 1＝ ln 2－ ln 11n－ ln 2 ，4－3＝ ln 4 －ln 3 ， ，n－ n － 1＝a，a 3－2＝ ln 3ln n － ln(aaaaaan － 1) ，以上 ( n － 1) 个式子左、 右分别相加， 得 a － a ＝ lnn ．所以 a ＝ 2＋ lnn ．故n1n选 A.1分析：由已知，得n186.a ＝－， a ＝ 2，2a ＋1n1 1a11∴7＝1－＝，6＝1－＝－ 1， 5＝1－ ＝ 2.aa 82 a 7aa 611同理， a ＝ 2， a ＝－ 1， a ＝ 2， a ＝ 2.43217． 1 0 分析： a 2009＝a 4×503－ 3＝ 1， a 2014＝ a 2×1007 ＝ a 1007＝ a 4×252－ 1＝0.8． ( －3，＋∞) 分析：由 { } 为递加数列，得 － ＝( 2＋ ( ＋1)＋2－2－a a a n ＋ 1) nnn ＋1nkn － 2＝ 2n ＋ 1＋ k >0 恒建立，即 k >－ (2 n ＋ 1) 恒建立，即 k >[ － (2 n ＋ 1)] max ＝－ 3.9． ( －2) n －1 分析：当 n ＝ 1 时， a 1＝ 1；22当 n ≥2时， a n ＝ S n －S n － 1＝ 3a n － 3a n －1，故 a n＝－ 2，故 a n ＝ ( －2) n －1.a n －1当 n ＝1 时，也切合 a n ＝ ( －2) n －1.综上所述， a n ＝ ( －2) n －1.10．4 分析：从研究 S n 与 a n 的关系下手， 推测数列的构成特色， 解题时应特别注意“数列{ a n } 由 k 个不一样的数构成”的“不一样”和“ k 的最大值”．此题主要考察考生的逻辑推理能力、 基本运算求解能力等． 当 n ＝ 1 时， a 1＝ 2 或 a 1＝ 3；当 n ≥2时，若 S n ＝ 2，则 S n － 1＝ 2，*此中数 于是 a n ＝ 0，若 S n ＝ 3，则 S n － 1＝3，于是 a n ＝ 0. 进而存在 k ∈ N ，当 n ≥ k 时， a k ＝ 0. 列{ a n } ： 2,1 ，－ 1， 0,0,0 ， 知足条件，所以 k max ＝ 4.11．解：∵a n ＋ 1－ n ＝ ( ＋ 2) 10 n ＋ 1－ ( ＋1) 10 na n 11n 11n9－ n 10 n＝11 · 11 ，而 11 >0，10∴当 n <9 时， a n ＋ 1－ a n >0，即 a n ＋1 >a n ；当 n ＝9 时， a n ＋1－ a n ＝ 0，即 a 10＝ a 9；当 n >9 时， a n ＋ 1－ a n <0，即 a n ＋ 1<a n . 所以 a 1<a 2 < <a 9＝ a 10>a 11>a 12> .∴当 n ＝ 9 或 n ＝ 10 时，数列 { a n } 有最大项，最大项为a 9 或 a 10.12．解： (1) 由 a 1＝1 与 S n ＝ n ＋ 2 a n 可得322＋2 21 2 21 S ＝ 3 a ＝ a ＋ a ? a ＝ 3a ＝ 3，S ＝a ＝ a ＋ a ＋ a ?a ＝ a ＋ a ＝ 4? a ＝ 6.33＋2 3123 2 3 12333故所求 a 2， a 3 的值分别为 3,6.n ＋ 2(2) 当 n ≥2时， S n ＝ 3 a n ，①n ＋ 1S n － 1＝ 3 a n －1，②＋ 2 n ＋ 1①－②，可得 S －Sa，即＝ 3a － 3n －nn － 1n1nn ＋ 2 n n ＋ 1 n － 1 n －1 n n ＋ 1 n － 1 ? a nn ＋1a ＝a －a ? a ＝ a＝3333－1n －1n故有 a n ＝ a na n － 1a 2n ＋ 1 × n3n 2＋ n×× ×× a 1＝n － 1 n － × × ×1＝.a n － 1 a n － 2a 1 21212＋ 1 1nnn 2＋ n而2 ＝1＝ a ，所以 { a } 的通项公式为 a ＝2.第2讲等差数列1． B 分析：设公差为d ，则 2 7－ 8＝ 2( a 1＋ 6 d ) － (a 1＋7 )＝ 1＋ 5 ＝6＝ 5， 11＝11× a 1＋ a 11a ad ad aS＝ 11a 6＝55. 应选 B.2222．D 分析：因为 S 1，S 2， S 4 成等比数列，有－6) ，解得S 2＝S 1S 4，即 (2 a 1－ 1) ＝ a 1(4 a 1 11 a ＝－ 2.3． A 分析：由 a 1＋ a 7＋ a 13 是一个确立的常数，得3a 7 是确立的常数，故②正确；S 13＝aa1＋ 13＝13a 7 是确立的常数，故③正确； S 8－ S 5＝ a 6＋ a 7＋ a 8＝ 3a 7 是确立的常数，故⑤2正确．24． A 分析：设等差数列的公差为d ，由 a 2， a 3， a 6 成等比数列，可得a 3＝ a 2a 6，即 (1＋2d )2 ＋d )(1 ＋ 5d ) ．整理，可得2＝ (1d ＋2d ＝ 0. ∵d ≠0，∴ d ＝－ 2. 则 { a } 前 6 项的和为 Sn6＝66×56×5a 1＋d ＝6×1＋×( － 2) ＝－ 24.2 25．A 分析：依据题意，明显良马每天行程构成一个首项a 1＝ 103，公差1＝ 13 的等差dn n －132数列．前 n 天共跑的里程为 S ′＝ na 1＋2d 1＝ 103n ＋ 2 n ( n － 1) ＝ 6.5 n ＋ 96.5 n ；驽马每天行程也构成一个首项b ＝ 97，公差 d ＝－ 0.5的等差数列，前 n 天共跑的里程为S ′12n n －0.52＝ nb 1＋ 2d 2＝ 97n － 2 n ( n － 1) ＝－ 0.25 n ＋ 97.25 n . 两马相遇时，共跑了一个来 回．设其第 n 天相遇， 则有 6.5 n 2＋ 96.5 n － 0.25 n 2＋97.25 n ＝1125×2，解得 n ＝ 9. 即它们第 9 天相遇．应选 A.d 2 a 1－ d6 ． A 解 析 ： ∵ 关 于 x 的 不 等 式 2 x ＋ 2 x ＋ c ≥0 的 解 集 是 [0,22] ， ∴d <0，1d解得 a 1＝－21da － 22.－d＝ 22，2n121d－ 23∴ a ＝ a＋( n － 1) d ＝－ 2 ＋( n － 1) d ＝ n2 d .1111－ 23 11212－ 231可得 a ＝ 2 d ＝－ 2d >0，a ＝ 2 d ＝ 2d <0.故使得数列 { a n } 的前 n 项和最大的正整数 n 的值是 11.7. 1 分析： 由 a n ＋ 1＝ a n － 2a n ＋1a n ，得 1 － 1＝2，故数列16 n ＋1 na a 的等差数列，则 1 ＝ 2＋2( n－1)＝2 .故a 8＝ 1 .a nn16{ 1 } 是首项 1＝ 2，公差 d ＝ 2 a n a 18．130 分析：由n－ 10(*n 为首项， 2 为公差的等差数列． 令a ＝ 2∈N ) ，知a 是以－nna n ＝2n －10≥0，得 n ≥5. 所以当 n <5 时，a n <0；当 n ≥5时，a n ≥0. 所以 | a 1| ＋ | a 2| ＋ ＋ | a 15| ＝－ ( a 1＋ a 2＋ a 3＋ a 4) ＋ ( a 5＋ a 6＋ ＋ a 15) ＝ S 15－2( a 1＋ a 2＋ a 3＋ a 4) ＝ 90＋ 40＝ 130.9．解： (1) 设 { a n } 的公差为 d ，由题意，得 2a 1＋ 5d ＝4， a 1＋ 5d ＝ 3.2 2n ＋ 3解得 a 1＝1， d ＝ 5. 所以 a n ＝5 .(2) 由 (1) 知， b n ＝ 2n ＋ 3 .52n ＋ 3当 n ＝1,2,3时， 1≤<2， b n ＝ 1；52n ＋ 3当 n ＝4,5 时， 2<<3， b n ＝ 2；5当 n ＝6,7,8 当 n ＝9,10 时， 4<5 <5， b n ＝ 4.所以数列 { b n } 的前 10 项和为 1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝ 24.10． (1) 证明：由 a n ＋ 2＝2a n ＋ 1－a n ＋ 2，得 a n ＋ 2－a n ＋ 1＝a n ＋ 1－ a n ＋2，即 b n ＋ 1＝ b n ＋2. 又 b 1＝ a 2－a 1＝ 1，所以 { b n } 是以首项为 1，公差为 2 的等差数列． (2) 解：由 (1) ，得 b n ＝ 1＋2( n － 1) ，即 a n ＋1－ a n ＝ 2n －1.nn于是( a k ＋ 1－ a k ) ＝ ( 2k － 1) ，k 1k 1所以 a22n ＋ － a ＝ n ，即 a ＝ n ＋ a .11n ＋ 11又 a 1＝ 1，所以 { a n } 的通项公式为 a n ＝ n 2－ 2n ＋ 2.11． (1) 证明：由题意，得 a n a n ＋ 1＝λ S n － 1， a n ＋1a n ＋ 2＝ λ S n ＋ 1－ 1. 两式相减，得 a n ＋1( a n ＋ 2－ a n ) ＝ λ a n ＋ 1. 因为 a n ＋ 1≠0，所以 a n ＋ 2－ a n ＝ λ .(2) 解：由题意，得 a 1＝ 1，a 1a 2＝ λ S 1－ 1，可得 a 2＝ λ－ 1. 由 (1) 知， a 3＝ λ ＋1.令 2a 2＝ a 1＋ a 3，解得 λ ＝ 4.2n ＋ 32n ＋ 3时， 3≤ <4， b n ＝ 3； 5故 a n ＋2－ a n ＝ 4，由此可得{ a 2n － 1} 是首项为 1，公差为 4 的等差数列， a 2 n － 1＝ 4n －3；{ a 2n } 是首项为 3，公差为 4 的等差数列， a 2n ＝ 4n － 1. 所以 a n ＝2n － 1， a n ＋ 1－ a n ＝2.所以存在 λ ＝ 4，使得数列 { a n } 为等差数列．第3讲 等比数列1． D 分析：因为数列 { n2 ，所以3，6， 9 成等比数列．a是等比数列，a＝ aa aa a2． B 分析：由等比数列性质，得 S n ， S 2n － S n ， S 3n － S 2n ， S 4n －S 3n 成等比数列，则 ( S 2n －S ) ＝ ·( － S )．所以( S － 2) ＝2×(14 － S ) ．又 S >0，得 S ＝6. 又( S － S ) ＝ ( S n 2 n 3n 2n 2n 2 2n 2n 2n 3n 2n22n－S n )( S 4n － S 3n ) ，所以 (14 － 6) 2＝ (6 － 2)( S 4n －14) ，解得 S 4n ＝ 30.3． D分析：方法一，在等比数列{ a } 中，n1－ n21－ a · 3naa qn2nS ＝ 1－ q ＝＝3－ 2a .1－32方法二，在等比数列 { a n } 中， a 1＝ 1， q ＝ ，3∴ a n ＝1× 2 n － 1＝ 2 n － 1.3 32 n∴ S n ＝ 1×1－3＝3 1－2 n1－2332 2n － 1n＝3 1－3 3＝ 3－ 2a .4． A 分析：因为 a 1＝ S 1＝ a ＋ b ， a 2＝ S 2－ S 1＝2a ， a 3＝ S 3－ S 2＝6a ，由等比数列，得公 比 q ＝a 3 a＝－ 3.＝ 3. 又 a 2＝ a 1q ，所以 2a ＝ 3( a ＋ b ) ，解得ba 25． D 分析：∵等比数列 { a n } 的首项为3，公比为－1，2231－ － 1n2 21 n1 nn＝1－ －nn∴ S ＝12. 当 n 取偶数时， S ＝ 1－ 2<1；当 n 取奇数时， S ＝ 11－ －21 n 1 3n3＋ 2 ≤1＋ 2＝ 2. ∴ S 的最大值为2. 应选 D.6． 1 分析：设等差数列{ a n } 的公差为 d ，等比数列 { b n } 的公比为 q ，由 a 4＝ b 4＝8，得－1＋ 3d ＝－ q 3＝ 8，解得 q ＝－ 2， d ＝ 3. 则 a＝ － 1＋ 3＝ 1.22 2分析：设 { a } 的公比为ba7． 408，由 S － 4S ＋3S ＝0，可得 S －S －3( S － S ) ＝0?n76 57 6 657a 1－ q 41－ 34－3a 6＝ 0，所以 q ＝ 3. 所以 S 4＝1－ q＝ 1－ 3＝40.n18． 2 －2n － 1＋1 分析：依题意，得大老鼠每天打洞的距离构成以1 为首项，2 为公比的等比数列，所从前 n 天大老鼠打洞的距离共为 － 2n n＝2 －1；1－ 21 n1×1－2＝ 2－2 1同理可得前 n 天小老鼠打洞的距离共为1.n － 11－ 2n1 n1所以 S n ＝2 － 1＋ 2－ n －1＝ 2 － n － 1＋ 1.229．解： (1) 由 a b ＋b ＝ b ， b ＝ 1，b ＝ 13，得 a ＝ 2.1 221121所以数列 { a n } 是首项为 2，公差为 3 的等差数列，通项公式为a n ＝ 3n － 1.(2) 由 (1) 和 n n ＋ 1＋ b n ＋ 1＝ n ，得b b n＋ 1＝ a bnb31 n11－ 33所以 { b n } 是首项为 1，公比为 3的等比数列． 记 { b n } 的前 n 项和为 S n ，则 S n＝1－ 1＝ 2－31n － 1.2×310．解： (1) 由题意，得 a 1＝ S 1＝ 1＋λ a 1.1故 λ≠1， a 1＝ 1－λ ， a 1≠0.由 S n ＝ 1＋ λ a n ， S n ＋1＝ 1＋ λ a n ＋ 1，得 a n ＋ 1＝λ a n ＋ 1－ λ a n ，即 a n ＋ 1( λ－ 1) ＝ λa n .由 a ≠0， λ ≠0，得 a ≠0，所以 a n ＋ 1 λ a n＝λ －1.1n所以 { a n } 是首项为1，公比为 λ 的等比数列，于是 a n ＝1λ n － 1.1－ λ λ － 11－ λ λ － 1λ n(2) 由 (1) ，得 S n ＝1－ λ －1 .31λ 5 31 λ51由 S 5＝ ，得 1－λ － 1 ＝ ，即λ － 1 ＝ ，32 32 32解得 λ ＝－ 1.11. 解： (1) 当 n ＝ 1 时， S 1＝ 2a 1－ 2，即 a 1＝ 2a 1－ 2. 解得 a 1＝2.当 n ≥2时， a n ＝ S n －S n － 1＝(2 a n － 2) －(2 a n － 1－2) ＝ 2a n － 2a n －1，即 a n ＝ 2a n －1.所以数列 { a n } 是首项为 2，公比为 2 的等比数列．n －1n*所以 a n ＝2×2 ＝ 2 ( n ∈ N ) ．(2) 因为 S n ＝ 2a n － 2＝2n ＋1－2,所以 T n ＝S 1＋ S 2＋ ＋ S n ＝ 22＋ 23＋ ＋ 2n ＋1－ 2n－ 2 n n ＋2－ 4－ 2n . ＝－2n ＝ 2 1－ 2第 4 讲 数列的乞降1． B 分析：由题意，得数列{ a } 的通项公式为nn1＋1－1 1 －1a ＝ 42－ 1＝＝2 2n － 12n ＋1 ，nnnnn1 1－ 1所以数列 { a } 的前 n 项和 S ＝ 23 ＋1 11 1 113－5 ＋ 5－7＋ ＋ 2 －1－ 2 ＋ 1n n11n＝2 1－2n ＋ 1 ＝2n ＋ 1.应选B.2． A3． B 分析：设公差为 d . 由 5a 8＝ 8a 13，得 5( a 1＋ 7d ) ＝ 8( a 1＋12d ) ．解得 d ＝－ 613a 1. 由n11－ 3a 1641a ＝a ＋ ( n － 1) d ＝ a ＋ ( n －1) · 61≥0? n ≤ 3 ＝ 213. ∴数列 { a n } 的前 21 项都是正数，此后各项都是负数．故 S n 取最大值时， n 的值为 21. 应选 B.24． C 分析：由 S n ＝ n － 6n ，得 { a n } 是等差数列， ∴ a n ＝－ 5＋ ( n －1) ×2＝ 2n － 7. ∴当 n ≤3时， a n <0；当 n >3 时， a n >0.6n － n 2∴ T n ＝ 1≤ n ≤3，n 2－ 6n ＋ 18， n ＞ 3.11a 1 1－ 65．Ba 1 为首项， 公比为 2分析：由题意， 知每天所走行程形成以2的等比列， 则11－ 2＝378. 解得 a 1＝ 192，则 a 2＝ 96，即次日走了96 里路．应选 B.6. 20分析：由题意， 得 a n ＝ ( a n － a n －1) ＋ ( a n －1－ a n －2) ＋ ( a n －2－ a n －3) ＋ ＋ ( a 2－ a 1) ＋ a 1 11 ＝ ＋ － 1＋－2＋ ＋ 1＝nn ＋.nnn21＝211所以 nn ＋＝2× n －n ＋ 1 .a n1 1 1 1 ＋ ＋1 1 ＝2×1－ 12010－ ＋ － － 11 S ＝2× 1 2 2 3 10 11 ＝ 11.7. 2－ ＋2 n ( n ≥2) 行的第 2 个数构成数列 { a } ，则有 a － a ＝2， a － a nn分析：设第n 32 4322＋ n －1＝ 4， ， a n － a n － 1＝ n －1，相加，得a n －a 2＝ 2＋ 3＋ ＋ ( n － 1) ＝ ×(n 2＋－n ＋－2－ ＋2－2) ＝＝， a ＝2＋.2n22n *n nnnn8．n ·2( n ∈ N )分析：由 S ＝ 2a－2，适当 n ＝1 时，S 1＝ a 1＝ 2；当 n ≥2时，S ＝ 2( Sn － 1n，－S) －2S nS n － 1nS n即 2n － 2n － 1 ＝ 1. 所以数列S是首项为1 ，公差为1的等差数列，则2n ＝ n ， S ＝2nnnn ＝ 1 时，也切合上式，所以n *n ·2( n ≥2) ．当 S n ＝ n ·2( n ∈ N ) ．9．解： (1) 当 ＝1 时，由 6 1＋1＝91，得a 11＝ .n a a 3当≥2时，由 6n ＋ 1＝ 9 n ，得 6 n － 1＋ 1＝ 9nn － 1，S a S a两式相减，得 6( S n － S n －1 )＝9( a n － a n － 1) ，即 6a n ＝ 9( a n － a n －1) ．∴ a n ＝ 3a n － 1.1∴数列 { a n } 是首项为 3，公比为 3 的等比数列，其通项公式为a n ＝ 1 n － 1n －23×3＝ 3 .(2) ∵ b n ＝ 1＝1 n － 2， a n3∴ { b n } 是首项为13，公比为 3的等比数列．1 n∴ T n ＝ b 1＋b 2＋ ＋ b n ＝31－39 1 n1＝ 2 1－ 3 .1－ 310．解： (1) 设数列 { a n } 的公差为 d ，{ b n } 的公比为1＋ 3d ＝ q 2，依题意，得 1＋ q ＋ q 2＝ 2＋ 5d ，d ＝ 1，解得q ＝ 2.所以 a n ＝1＋ ( n － 1) ＝ n ， b n ＝1×2n －1＝ 2n －1 .(2) 由 (1) 知， c n ＝a n b n ＝ nn ·2－1，则：0 1 2n －1 ， ①T n ＝1×2 ＋2×2＋3×2＋ ＋ n ×21 2n － 1n2 n ＝1×2＋2×2 ＋ ＋ ( －1)×2 ＋×2，②Tnn12n －1n①－②，得－ T n ＝ 2 ＋ 2 ＋2 ＋ ＋ 2 － n ·2＝q ，－2n1－2n n－ n ·2＝ (1 － n ) ·2－ 1.所以 T n ＝( n －1) ·2n ＋ 1.11． (1) 解：依题意，当 ≥2，可概括出n＝ n － 1＋ .naan所以 a n ＝( a n － a n －1) ＋ ( a n －1－ a n －2) ＋ ＋ ( a 2－ a 1) ＋ a 1.＋ －1 a n ＝ n ＋ ( n － 1) ＋ ＋ 2＋ 2＝ n2 n＋ 2＝ 2( n 2＋ n ) ＋ 1.查验当 n ＝ 1 时，上式也建立．12所以通项公式为 a n ＝ ( n ＋ n ) ＋ 1. (2) 证明：∵ ( a n －1) · b n ＝ 1，1 2＝ 2 1 1 n－ ∴ b ＝ a n － 1＝nn ＋ n n ＋ 1 . ∴ b 1 ＋ b 2 ＋ ＋ b n1 1 1 1 1 1 ＝2 1－ 2 ＋ 2－3 ＋ ＋ n －n ＋ 11＝ 2 1－ n ＋ 1 .1又 1－ n ＋1<1，∴ b 1＋ b 2＋ ＋ b n <2.第 5 讲 合情推理和演绎推理V11． D1∶3. 故 1.分析：正四周体的内切球与外接球的半径之比为＝ 27V 29192. 2 分析：类比祖暅原理， 可得两个图形的面积相等， 梯形面积为 S ＝2(1 ＋2) ×3＝ 2，9 所以图 X5-5-1(1) 的面积为2.3． (1)6 (2)124． 12－ 22＋32－ ＋ ( － 1)n ＋1n 2＝ ( － 1) n ＋1nn ＋2 2 2 225． S 4＝ S 1＋ S 2＋ S 3π2π n π1*6． cos 2n ＋ 1·cos 2n ＋ 1· · cos 2n ＋ 1＝ 2n ， n ∈ N 7．丙 分析：假如丙说的是谎话，则“甲得优异”是实话，又乙说“我得了优异”是 实话，所以矛盾； 若甲说的是谎话， 即“丙说的是实话”是假的， 则说明“丙说的是假的”， 即“甲没有得优异”是假的， 也就是说“甲得了优异”是真的， 这与乙说“我得了优异”是 实话矛盾； 若乙说的是谎话，即“乙没得优异”是真的， 而丙说“甲没得优异”为真， 则说 明“丙得优异”， 这与甲说“丙说的是实话”切合． 所以三人中说谎话的是乙， 得优异的同 学是丙．8.n m d n 分析：方法一，设数列 { a } 的公差为d ，则 d ＝ a n －a m b － a . 所以 a ＝ a m＝cn1 1 － m n －m m ＋n mn＋nd 1＝ a ＋ n ·b － a bn － am＝.n － m n － m类比推导方法可知：设数列{ b n } 的公比为 q ，由 b n ＝ b m qn －m，可知 d ＝ cqn －m. 所以 q ＝ n m d. cnn所以 b m ＋ n ＝ b m q n ＝c · n md＝n mdm .c c方法二， ( 直接类比 ) 设数列 { a n } 的公差为 d 1，数列 { b n } 的公比为 q ，则 a n ＝ a 1＋ ( n － 1) d 1，b ＝b qn － 1＝ nb － ma＝ n m d n. 因为 a，所以 bm.n1m ＋ n－m ＋ ncn m9．解： (1) 选择②，由sin 215°＋ cos 215°－ sin15 °cos15°＝ 1－ 1 s in30 °＝ 3 . 故这2 43个常数是 4.(2) 推行，获得三角恒等式2α ＋cos23sin (30 °－ α ) － sin α cos(30 °－ α) ＝ .4证明： sin 2α ＋ cos 2(30 °－ α ) － sin αcos(30 °－ α )＝ sin 2 α＋ (cos30 ° cos α＋ sin30 ° sin α ) 2－ sin α (cos30 °cos α ＋sin30 °sin α ) ＝ sin 2323 1 23 123 2αα＋cosα ＋sin α cos α＋ sinα －sin α cos α － sinα＝ sin42422423＋ 4cos α ＝ 4.310．解： (1) 设等差数列 { a n } 的公差为 d ，a 1＋ a 2＝ 5， 2a 1＋ d ＝ 5， a 1＝1，因为 即 解得a ＝ 7，a ＋ 2d ＝ 7，d ＝3.31所以 a ＝a ＋ ( n － 1) d ＝ 1＋ 3( n － 1) ＝ 3n － 2.n1所以数列 { a n } 的通项公式为 a n ＝ 3n － 2( n ∈ N * ) ．(2) 因为 1 ＝ 1 ＝ 1 1 1，n － n ＋ 3 － ＋ 1n n ＋ 13 － 2 3a a n n所以数列1的前 n 项和a n a n ＋ 1n＝1 ＋ 1 ＋1＋ ＋ 1＋ 1Sa 1a 2 a 2a 3 a 3a 4a n － 1a n a n a n ＋ 111 1 1 1 1 1 1 111111 ＝ 3 1－ 4 ＋3 4－ 7 ＋ 3 7－10 ＋ ＋ 3 3 －5－3 －2＋3 3 n － 2－3 ＋ 1nnn＝ 1 1－ 3 1 ＝ n .3 ＋ 1 3n ＋ 1n假定存在正整数m ， n ，且 1<m <n ，使 S ， S ， S 成等比数列，则2S ＝SS ，1m nm1n即m2＝ 1×n .3m ＋ 1n ＋1432所以 ＝－ 4m2.n 3m － 6m －1因为 n >0，所以 23m － 6m －1<0.2 3 因为 m >1，所以 1<m <1＋ 3 <3.因为 m ∈ N * ，所以 m ＝ 2.2－ 4m此时 n ＝ 3 2－ 6－1＝ 16.m m故存在知足题意的正整数 m ， n ，且只有一组值，即 m ＝2， n ＝ 16.第 6 讲 直接证明与间接证明1．A 分析：反证法的步骤第一步是假定命题的反面建立，而“起码有一个实根”的否定是“没有实根”．应选 A.2． C 分析：由题意，知 b 2－ ac < 3a ? b 2－ ac <3a 2? ( a ＋ c ) 2－ ac <3a 2? a 2＋ 2ac ＋c 2－ ac－ 3a 2<0? － 2a 2＋ ac ＋c 2<0? 2a 2－ ac － c 2>0? ( a － c )(2 a ＋ c )>0 ? ( a － c )( a － b )>0.3．等边 分析：由题意，得 2B ＝ A ＋C ，又 A ＋ B ＋ C ＝ π ，∴ B ＝π3 . 又 b 2＝ ac ，由余弦定理，得 b 2＝ a 2＋c 2－ 2ac cos B ＝ a 2＋ c 2－ac . ∴ a 2＋ c 2－2ac ＝ 0，即 ( a － c ) 2 ＝0. ∴ a ＝c . ∴ A＝C . ∴ A ＝ B ＝ C ＝π3. ∴△ ABC 为等边三角形．4．②3 3 x 在区间 (0 ， π ) 上是凸函数，且 A ， B ，C ∈ (0 ， π) ．5. 分析：∵ f ( x ) ＝ sin 2 f A ＋ f B ＋ f C A ＋ B ＋C π ∴3≤ f3＝ f 3 .A ＋ sinB ＋ sinC ≤3sinπ3 3即 sin 3 ＝2 .3 3∴ sin A ＋ sin B ＋ sin C 的最大值为 2 .6．若①③④，则② ( 或若②③④，则① )分析：依题意可得以下四个命题：(1) m ⊥n ， α ⊥β ， n ⊥ β? m ⊥ α ； (2) m ⊥ n ， α ⊥ β ，m ⊥ α ? n ⊥ β ；(3) m ⊥n ， n ⊥ β， m ⊥ α? α ⊥ β； (4) α ⊥β ， n ⊥ β ， m ⊥ α ? m ⊥ n .不难发现，命题 (3)(4) 为真命题，而命题 (1)(2) 为假命题．7． lg 15 ＝ 3 － ＋分析：假如 lg 3 ＝ 2 a － b 是正确的，那么lg 9 ＝ 2lg 3 ＝2(2 a －a b c。
§5.2 平面向量基本定理及坐标表示考试要求 1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．知识梳理1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.若e 1，e 2不共线，我们把{e 1，e 2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．2．平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．3．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB → ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.4．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.常用结论已知P 为线段AB 的中点，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则点P 的坐标为(x 1＋x 22，y 1＋y 22)；已知△ABC 的顶点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心G 的坐标为(x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33).思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内的任意两个向量都可以作为一个基底．( × )(2)设{a ，b }是平面内的一个基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( √ )(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可以表示成x 1x 2＝y 1y 2.( × )(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．( √ )教材改编题1．(多选)下列各组向量中，可以作为基底的是( )A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2)B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2,3)，e 2＝(12，－34)答案 BD2．若P 1(1,3)，P 2(4,0)，且P 是线段P 1P 2的一个三等分点(靠近点P 1)，则点P 的坐标为( )A ．(2,2)B ．(3，－1)C ．(2,2)或(3，－1)D ．(2,2)或(3,1)答案 A解析 设P (x ，y )，由题意知P 1P —→ ＝13P 1P 2—→，∴(x －1，y －3)＝13(4－1,0－3)＝(1，－1)，即Error!∴Error!3．已知向量a ＝(x ,1)，b ＝(2，x －1)，若(2a －b )∥a ，则x 为________．答案 2或－1解析 2a －b ＝(2x －2,3－x )，∵(2a －b )∥a ，∴2x －2＝x (3－x )，即x 2－x －2＝0，解得x ＝2或x ＝－1.题型一 平面向量基本定理的应用例1 (1)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →等于( )A.34AB → －14AC →B.14AB → －34AC →C.34AB → ＋14AC →D.14AB → ＋34AC →答案 A(2)如图，已知平面内有三个向量OA → ，OB → ，OC → ，其中OA → 与OB → 的夹角为120°，OA → 与OC →的夹角为30°，且|OA → |＝|OB → |＝1，|OC → |＝23.若OC → ＝λOA → ＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝______.答案 6解析 方法一 如图，作平行四边形OB 1CA 1，则OC → ＝OB 1—→ ＋OA 1—→，因为OA → 与OB → 的夹角为120°，OA → 与OC →的夹角为30°，所以∠B 1OC ＝90°.在Rt △OB 1C 中，∠OCB 1＝30°，|OC →|＝23，所以|OB 1—→ |＝2，|B 1C —→|＝4，所以|OA 1—→ |＝|B 1C —→|＝4，所以OC → ＝4OA → ＋2OB → ，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.方法二 以O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (1,0)，B (－12，32)，C (3，3)．由OC → ＝λOA → ＋μOB → ，得Error!解得Error!所以λ＋μ＝6.教师备选1.(2022·山东省实验中学等四校联考)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝π2，AC ＝2AB ，∠BAC的平分线交△ABC 的外接圆于点D ，设AB → ＝a ，AC → ＝b ，则向量AD →等于( )A ．a ＋b B.12a ＋b C ．a ＋12bD ．a ＋23b答案 C解析 设圆的半径为r ，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝π2，AC ＝2AB ，所以∠BAC ＝π3，∠ACB ＝π6，又∠BAC 的平分线交△ABC 的外接圆于点D ，所以∠ACB ＝∠BAD ＝∠CAD ＝π6，则根据圆的性质得BD ＝AB ，又因为在Rt △ABC 中，AB ＝12AC ＝r ＝OD ，所以四边形ABDO 为菱形，所以AD → ＝AB → ＋AO →＝a ＋12b .2.(2022·苏州质检)如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，BC 的中点，连接CE ，DF ，交于点G .若CG → ＝λCD → ＋μCB →(λ，μ∈R )，则λμ＝________.答案 12解析 由题图可设CG → ＝xCE →(0<x <1)，则CG → ＝x (CB → ＋BE → )＝x (CB → ＋12CD →)＝x 2CD →＋xCB → .因为CG → ＝λCD → ＋μCB → ，CD → 与CB →不共线，所以λ＝x 2，μ＝x ，所以λμ＝12.思维升华 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．跟踪训练1 (1)如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE → ＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2等于( )A.58B.14C ．1 D.516答案 A解析 DE → ＝12DA → ＋12DO→＝12DA → ＋14DB →＝12DA → ＋14(DA → ＋AB → )＝14AB → －34AD →，所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58.(2)如图，以向量OA → ＝a ，OB → ＝b 为邻边作平行四边形OADB ，BM → ＝13BC → ，CN → ＝13CD → ，则MN →＝________.(用a ，b 表示)答案 12a －16b解析 ∵BA → ＝OA → －OB →＝a －b ，BM → ＝16BA → ＝16a －16b ，∴OM → ＝OB → ＋BM →＝b ＋(16a －16b )＝16a ＋56b .∵OD →＝a ＋b ，∴ON → ＝OC → ＋13CD → ＝12OD → ＋16OD → ＝23OD → ＝23a ＋23b .∴MN → ＝ON → －OM → ＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b .题型二 平面向量的坐标运算例2 (1)已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c 等于( )A.(133，83) B.(－133，－83)C.(133，43)D.(－133，－43)答案 D解析 ∵a －2b ＋3c ＝0，∴c ＝－13(a －2b )．∵a －2b ＝(5，－2)－(－8，－6)＝(13,4)，∴c ＝－13(a －2b )＝(－133，－43).(2)如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD ＝DC ＝2AB ，E 为AD 的中点，若CA→＝λCE → ＋μDB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为( )A.65B.85 C ．2 D.83答案 B解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则D (0,0)．不妨设AB ＝1，则CD ＝AD ＝2，∴C (2,0)，A (0,2)，B (1,2)，E (0,1)，∴CA → ＝(－2,2)，CE → ＝(－2,1)，DB →＝(1,2)，∵CA → ＝λCE → ＋μDB → ，∴(－2,2)＝λ(－2,1)＋μ(1,2)，∴Error!解得Error!故λ＋μ＝85.教师备选已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC → ＝2AD →，则顶点D 的坐标为( )A.(2，72)B.(2，－12)C ．(3,2)D ．(1,3)答案 A解析 设D (x ，y )，则AD → ＝(x ，y －2)，BC →＝(4,3)，又BC → ＝2AD →，所以Error!解得Error!所以顶点D 的坐标为(2，72).思维升华 向量的坐标表示把点与数联系起来，引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化，成为数与形结合的载体．跟踪训练2 (1)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 D解析 以向量a 和b 的交点O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A (1，－1)，B (6,2)，C (5，－1)，∴a ＝AO → ＝(－1,1)，b ＝OB →＝(6,2)，c ＝BC →＝(－1，－3)，∵c ＝λa ＋μb ，∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，则Error!解得Error!∴λμ＝－2－12＝4.(2)在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP → ＝2PC → ，点Q 是AC 的中点，若PA → ＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则AQ → ＝________，BC →＝________.答案 (－3,2) (－6,21)解析 AQ → ＝PQ → －PA →＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，PC → ＝PA → ＋AC → ＝PA → ＋2AQ →＝(4,3)＋2(－3,2)＝(－2,7)，BC → ＝3PC →＝3(－2,7)＝(－6,21)．题型三 向量共线的坐标表示例3 (1)已知a ＝(1,2＋sin x )，b ＝(2，cos x )，c ＝(－1,2)，若(a －b )∥c ，则锐角x 等于( )A ．15° B ．30°C ．45° D ．60°答案 C(2)已知在平面直角坐标系Oxy 中，P 1(3,1)，P 2(－1,3)，P 1，P 2，P 3三点共线且向量OP 3—→与向量a ＝(1，－1)共线，若OP 3—→ ＝λOP 1—→ ＋(1－λ)OP 2—→，则λ等于( )A ．－3B ．3C ．1D ．－1答案 D解析 设OP 3—→＝(x ，y )，则由OP 3—→∥a 知x ＋y ＝0，所以OP 3—→＝(x ，－x )．若OP 3—→ ＝λOP 1—→ ＋(1－λ)OP 2—→，则(x ，－x )＝λ(3,1)＋(1－λ)·(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)，即Error!所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1.教师备选1．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________.答案 12解析 由题意得2a ＋b ＝(4,2)，因为c ＝(1，λ)，c ∥(2a ＋b )，所以4λ－2＝0，解得λ＝12.2．已知O 为坐标原点，点A (6,3)，若点P 在直线OA 上，且|OP → |＝12|PA →|，P 是OB 的中点，则点B 的坐标为________________________．答案 (4,2)或(－12，－6)解析 ∵点P 在直线OA 上，∴OP → ∥PA →，又∵|OP → |＝12|PA → |，∴OP →＝±12PA → ，设点P (m ，n )，则OP → ＝(m ，n )，PA →＝(6－m ,3－n )．①若OP → ＝12PA →，则(m ，n )＝12(6－m ,3－n )，∴Error!解得Error!∴P (2,1)，∵P 是OB 的中点，∴B (4,2)．②若OP →＝－12PA →，则(m ，n )＝－12(6－m ,3－n )，∴Error!解得Error!∴P (－6，－3)，∵P 是OB 的中点，∴B (－12，－6)．综上所述，点B 的坐标为(4,2)或(－12，－6)．思维升华 平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1.(2)在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )．跟踪训练3 平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．(1)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ；(2)若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d 的坐标．解 (1)a ＋k c ＝(3＋4k ,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0，解得k ＝－1613.(2)设d ＝(x ，y )，则d －c ＝(x －4，y －1)，又a ＋b ＝(2,4)，|d －c|＝5，∴Error!解得Error!或Error!∴d 的坐标为(3，－1)或(5,3)．课时精练1．(2022·泉州模拟)若向量AB → ＝(2,3)，AC → ＝(4,7)，则BC →等于( )A ．(－2，－4)B ．(2,4)C ．(6,10)D ．(－6，－10)答案 B2．(2022·TOP300尖子生联考)已知A (－1,2)，B (2，－1)，若点C 满足AC → ＋AB →＝0，则点C 的坐标为( )A.(12，12) B ．(－3,3)C ．(3，－3)D ．(－4,5)答案 D3．下列向量组中，能表示它们所在平面内所有向量的一个基底是( )A ．a ＝(1,2)，b ＝(0,0)B ．a ＝(1，－2)，b ＝(3,5)C ．a ＝(3,2)，b ＝(9,6)D ．a ＝(－34，12)，b ＝(3，－2)答案 B4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，m ＝(a ，b )，n ＝(cos B ，cos A )，则“m ∥n ”是“△ABC 是等腰三角形”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 D解析 由m ∥n ，得b cos B －a cos A ＝0，即sin B cos B ＝sin A cos A ，所以sin 2B ＝sin 2A ，所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形；反之，△ABC 是等腰三角形，若a ＝c ≠b ，则不能得到m ∥n ，所以“m ∥n ”是“△ABC 是等腰三角形”的既不充分也不必要条件．5．(多选)(2022·聊城一中模拟)在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F 分别是AB ，CD的中点，AC 与BD 交于点M ，设AB → ＝a ，AD →＝b ，则下列结论正确的是( )A.AC → ＝12a ＋b B.BC → ＝－12a ＋b C.BM → ＝－13a ＋23b D.EF → ＝－14a ＋b 答案 ABD解析 AC → ＝AD → ＋DC → ＝AD → ＋12AB → ＝12a ＋b ，故A 正确；BC → ＝BA → ＋AD → ＋DC → ＝－AB → ＋AD → ＋12AB →＝－12a ＋b ，故B 正确；BM → ＝BA → ＋AM → ＝－AB → ＋23AC → ＝－23a ＋23b ，故C 错误；EF → ＝EA → ＋AD → ＋DF → ＝－12AB → ＋AD → ＋14AB → ＝－14a ＋b ，故D 正确．6．(多选)已知向量OA → ＝(1，－3)，OB → ＝(2，－1)，OC →＝(m ＋1，m －2)，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 可以是( )A ．－2 B.12C ．1D ．－1答案 ABD解析 各选项代入验证，若A ，B ，C 三点不共线即可构成三角形．因为AB → ＝OB → －OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC → ＝OC → －OA →＝(m ＋1，m －2)－(1，－3)＝(m ，m ＋1)．假设A ，B ，C 三点共线，则1×(m ＋1)－2m ＝0，即m ＝1.所以只要m ≠1，A ，B ，C 三点就可构成三角形．7．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，若点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．答案 (2,4)解析 ∵在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，AB ∥CD ，∴DC → ＝2AB →，设点D 的坐标为(x ，y )，则DC → ＝(4－x ,2－y )，又AB →＝(1，－1)，∴(4－x ,2－y )＝2(1，－1)，即Error!∴Error!∴点D 的坐标为(2,4)．8．(2022·开封模拟)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)．若(2m ＋n )∥(m －2n )，则λ＝________.答案 0解析 由题意得，2m ＋n ＝(3λ＋4,4)，m －2n ＝(－λ－3，－3)，∵(2m ＋n )∥(m －2n )，∴－3(3λ＋4)－4(－λ－3)＝0，解得λ＝0.9．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB → ＝a ，BC → ＝b ，CA → ＝c ，且CM → ＝3c ，CN →＝－2b .(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ；(3)求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标．解 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)方法一 ∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴Error!解得Error!方法二 ∵a ＋b ＋c ＝0，∴a ＝－b －c ，又a ＝m b ＋n c ，∴m b ＋n c ＝－b －c ，∴Error!(3)设O 为坐标原点，∵CM → ＝OM → －OC →＝3c ，∴OM → ＝3c ＋OC →＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．∴M (0,20)．又∵CN → ＝ON → －OC →＝－2b ，∴ON → ＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N (9,2)，∴MN →＝(9，－18)．10．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线；(2)若AB → ＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．解 (1)k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．∵k a －b 与a ＋2b 共线，∴2(k －2)－(－1)×5＝0，即2k －4＋5＝0，解得k ＝－12.(2)方法一 ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB → ＝λBC →，即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，∴Error!解得m ＝32.方法二 AB →＝2a ＋3b ＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，BC →＝a ＋m b ＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB → ∥BC →，∴8m －3(2m ＋1)＝0，即2m －3＝0，∴m ＝32.11．(2022·金华模拟)已知△ABC 的三边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(sin B －sin A ，3a ＋c )，n ＝(sin C ，a ＋b )，且m ∥n ，则B 的大小是( )A.π6B.5π6C.π3D.2π3答案 B解析 因为m ∥n ，所以(a ＋b )(sin B －sin A )＝sin C (3a ＋c )．由正弦定理得(a ＋b )(b －a )＝c (3a ＋c )，整理得a 2＋c 2－b 2＝－3ac ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－3ac 2ac ＝－32.又0<B <π，所以B ＝5π6.12．(多选)如图，B 是AC 的中点，BE → ＝2OB → ，P 是平行四边形BCDE 内(含边界)的一点，且OP →＝xOA → ＋yOB → (x ，y ∈R )，则下列结论中正确的是( )A ．当x ＝0时，y ∈[2,3]B ．当P 是线段CE 的中点时，x ＝－12，y ＝52C ．若x ＋y 为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段D ．当P 在C 点时，x ＝1，y ＝2答案 BC解析 当OP → ＝y OB →时，点P 在线段BE 上，故1≤y ≤3，故A 中结论错误；当P 是线段CE 的中点时，OP → ＝OE → ＋EP → ＝3OB → ＋12(EB →＋BC → )＝3OB → ＋12(－2OB → ＋AB → )＝3OB → ＋12(－2OB → ＋OB → －OA → )＝－12OA → ＋52OB →，故B 中结论正确；当x ＋y 为定值1时，A ，B ，P 三点共线，又P 是平行四边形BCDE 内(含边界)的一点，故P 的轨迹是一条线段，故C 中结论正确；因为OB → ＝12(OC →＋OA → )，所以OC → ＝2OB → －OA →，则OP → ＝－OA → ＋2OB →，所以x ＝－1，y ＝2，D 错误．13．已知|OA → |＝1，|OB → |＝3，OA → ·OB → ＝0，点C 在∠AOB 内，且OC → 与OA → 的夹角为30°，设OC →＝mOA → ＋nOB → (m ，n ∈R )，则m n的值为______．答案 3解析 ∵OA → ·OB →＝0，∴OA → ⊥OB →，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则OA → ＝(1,0)，OB →＝(0，3)，OC →＝mOA → ＋nOB → ＝(m ，3n )．∵tan 30°＝3nm ＝33，∴m ＝3n ，即m n＝3.14．若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足AM → ＝34AB → ＋14AC →.则△ABM 与△ABC 的面积之比为________；若N 为AB 的中点，AM 与CN 交于点O ，设BO → ＝xBM → ＋yBN →，则x ＋y ＝________.答案 1∶4 107解析 由AM → ＝34AB → ＋14AC →，可知点M ，B ，C 三点共线，令BM → ＝λBC →(λ∈R )，则AM → ＝AB → ＋BM → ＝AB → ＋λBC → ＝AB → ＋λ(AC → －AB → )＝(1－λ)AB → ＋λAC →，所以λ＝14，即点M 在边BC 上，如图所示，所以S△ABM S △ABC ＝BM BC ＝14.由BO → ＝xBM → ＋yBN →，得BO → ＝xBM → ＋y 2BA →，BO → ＝x 4BC →＋yBN → ，由O ，M ，A 三点共线及O ，N ，C 三点共线得Error!解得Error!所以x ＋y ＝107.15．若{α，β}是一个基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底{α，β}下的坐标，现已知向量a 在基底{p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)}下的坐标为(－2,2)，则a 在基底{m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)}下的坐标为______．答案 (0,2)解析 因为a 在基底{p ，q }下的坐标为(－2,2)，所以a ＝－2p ＋2q ＝(2,4)，令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )，所以Error!即Error!所以a 在基底{m ，n }下的坐标为(0,2)．16．如图，G 是△OAB 的重心，P ，Q 分别是边OA ，OB 上的动点，且P ，G ，Q 三点共线．(1)设PG → ＝λPQ → ，将OG → 用λ，OP → ，OQ →表示；(2)设OP → ＝xOA → ，OQ → ＝yOB → ，求证：1x ＋1y是定值．(1)解 OG → ＝OP → ＋PG →＝OP → ＋λPQ →＝OP → ＋λ(OQ → －OP →)＝(1－λ)OP → ＋λOQ →.(2)证明 由(1)得OG → ＝(1－λ)OP → ＋λOQ →＝(1－λ)xOA → ＋λy OB →，因为G 是△OAB 的重心，所以OG → ＝23OM → ＝23×12(OA →＋OB → )＝13OA → ＋13OB → .又OA → ，OB →不共线，所以Error!解得Error!所以1x ＋1y ＝3，即1x ＋1y 为定值．。
