2019版一轮创新思维文数(人教版A版)练习：第二章 第三节 函数的奇偶性与周期性 含解析

课时规范练 A 组 基础对点练1．设a ＝log 37、b ＝21.1、c ＝0.83.1、则( ) A ．b ＜a ＜c B ．c ＜a ＜b C ．c ＜b ＜aD ．a ＜c ＜b解析：因为2＞a ＝log 37＞1、b ＝21.1＞2、c ＝0.83.1＜1、所以c ＜a ＜b . 答案：B2．设a ＝0. 60.6、b ＝0.61.5、c ＝1.50.6、则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a解析：由指数函数y ＝0.6x 在(0、＋∞)上单调递减、可知0.61.5<0.60.6、由幂函数y ＝x 0.6在(0、＋∞)上单调递增、可知0.60.6<1.50.6、所以b <a <c 、故选C. 答案：C 3．设a >0、将a 2a ·3a 2表示成分数指数幂的形式、其结果是( )A ．a 12B ．a 56C ．a 76D ．a 32解析：a 2a ·3a 2＝a 2a ·a23＝a 2a53＝a 2a56＝a526-＝a 76.故选C.答案：C4．设x >0、且1<b x <a x 、则( ) A ．0<b <a <1 B ．0<a <b <1 C ．1<b <aD ．1<a <b解析：∵1<b x 、∴b 0<b x 、∵x >0、∴b >1、∵b x <a x 、∴⎝⎛⎭⎫a b x >1、∵x >0、∴ab >1⇒a >b 、∴1<b <a .故选C. 答案：C5．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0、且a ≠1)满足f (1)＝19、则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞、2]B ．[2、＋∞)C ．[－2、＋∞)D ．(－∞、－2] 解析：由f (1)＝19得a 2＝19、又a >0、所以a ＝13、因此f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|2x －4|. 因为g (x )＝|2x －4|在[2、＋∞)上单调递增、 所以f (x )的单调递减区间是[2、＋∞)． 答案：B6．已知函数f (x )＝a x 、其中a >0、且a ≠1、如果以P (x 1、f (x 1))、Q (x 2、f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上、那么f (x 1)·f (x 2)等于( ) A ．1 B ．a C ．2D ．a 2解析：∵以P (x 1、f (x 1))、Q (x 2、f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上、 ∴x 1＋x 2＝0. 又∵f (x )＝a x 、 ∴f (x 1)·f (x 2)＝ax 1·ax 2＝a 12x x ＋＝a 0＝1、故选A.答案：A7．已知a ＝⎝⎛⎭⎫3525、b ＝⎝⎛⎭⎫2535、c ＝⎝⎛⎭⎫2525、则( ) A ．a <b <c B ．c <b <a C ．c <a <bD ．b <c <a解析：∵y ＝⎝⎛⎭⎫25x 为减函数、35>25、∴b <c . 又∵y ＝x 25在(0、＋∞)上为增函数、35>25、∴a >c 、∴b <c <a 、故选D. 答案：D8．(2018·茂名模拟)已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )的图象如图所示、则函数g (x )＝a x ＋b 的图象是( )解析：由函数f (x )的图象可知、－1<b <0、a >1、则g (x )＝a x ＋b 为增函数、当x ＝0时、g (0)＝1＋b >0、故选C. 答案：C9．已知一元二次不等式f (x )＜0的解集为{x |x ＜－1或x ＞12}、则f (10x )＞0的解集为( )A ．{x |x ＜－1或x ＞－lg 2}B ．{x |－1＜x ＜－lg 2}C ．{x |x ＞－lg 2}D ．{x |x ＜－lg 2}解析：因为一元二次不等式f (x )＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜－1或x ＞12、所以可设f (x )＝a (x ＋1)·⎝⎛⎭⎫x －12(a ＜0)、由f (10x )＞0可得(10x ＋1)·⎝⎛⎭⎫10x －12＜0、即10x ＜12、x ＜－lg 2、故选D. 答案：D10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x ，x ≥02－x ，x ＜0(a ∈R)、若f [f (－1)]＝1、则a ＝( )A.14 B.12 C ．1D ．2解析：因为－1＜0、所以f (－1)＝2－(－1)＝2、又2＞0、所以f [f (－1)]＝f (2)＝a ·22＝1、解得a＝14. 答案：A11．(2018·哈尔滨模拟)函数f (x )＝e 2x ＋1e x 的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称解析：f (x )＝e 2x ＋1e x ＝e x ＋1e x 、∵f (－x )＝e －x ＋1e －x ＝e x ＋1e x ＝f (x )、∴f (x )是偶函数、∴函数f (x )的图象关于y 轴对称． 答案：D12．(2018·北京丰台模拟)已知奇函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ＞0，g (x )，x <0.如果f (x )＝a x (a ＞0、且a ≠1)对应的图象如图所示、那么g (x )＝( )A.⎝⎛⎭⎫12－x B ．－⎝⎛⎭⎫12xC ．2－xD ．－2x解析：由题图知f (1)＝12、∴a ＝12、f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 、 由题意得g (x )＝－f (－x )＝－⎝⎛⎭⎫12－x ＝－2x 、故选D. 答案：D13．关于x 的方程⎝⎛⎭⎫32x ＝2＋3a 5－a 有负数根、则实数a 的取值范围为________． 解析：由题意、得x ＜0、所以0＜⎝⎛⎭⎫32x ＜1、 从而0＜2＋3a 5－a ＜1、解得－23＜a ＜34.答案：⎝⎛⎭⎫－23，34 14．已知0≤x ≤2、则y ＝412x -－3·2x ＋5的最大值为________．解析：令t ＝2x 、∵0≤x ≤2、∴1≤t ≤4、 又y ＝22x －1－3·2x ＋5、∴y ＝12t 2－3t ＋5＝12(t －3)2＋12、∵1≤t ≤4、∴t ＝1时、y max ＝52.答案：5215．不等式2x 2－x ＜4的解集为________．解析：不等式2x 2－x ＜4可转化为2x 2－x ＜22、利用指数函数y ＝2x 的性质可得、x 2－x ＜2、解得－1＜x ＜2、故所求解集为{x |－1＜x ＜2}． 答案：{x |－1＜x ＜2}16．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数、且当x ≥0时、f (x )＝－14x ＋12x 、则此函数的值域为________．解析：设t ＝12x 、当x ≥0时、2x ≥1、∴0＜t ≤1、f (t )＝－t 2＋t ＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋14、∴0≤f (t )≤14、故当x ≥0时、f (x )∈⎣⎡⎦⎤0，14.∵y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数、∴当x ≤0时、f (x )∈⎣⎡⎦⎤－14，0.故函数的值域为⎣⎡⎦⎤－14，14. 答案：⎣⎡⎦⎤－14，14B 组 能力提升练1．设函数f (x )定义在实数集上、它的图象关于直线x ＝1对称、且当x ≥1时、f (x )＝3x －1、则有( )A ．f ⎝⎛⎭⎫13＜f ⎝⎛⎭⎫32＜f ⎝⎛⎭⎫23B ．f ⎝⎛⎭⎫23＜f ⎝⎛⎭⎫32＜f ⎝⎛⎭⎫13C ．f ⎝⎛⎭⎫32＜f ⎝⎛⎭⎫13＜f ⎝⎛⎭⎫32D ．f ⎝⎛⎭⎫32＜f ⎝⎛⎭⎫23＜f ⎝⎛⎭⎫13解析：∵函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称、∴f (x )＝f (2－x )、∴f ⎝⎛⎭⎫13＝f ⎝⎛⎭⎫2－13＝f ⎝⎛⎭⎫53、f ⎝⎛⎭⎫23＝f ⎝⎛⎭⎫2－23＝f ⎝⎛⎭⎫43、又∵x ≥1时、f (x )＝3x －1为单调递增函数、且43＜32＜53、∴f ⎝⎛⎭⎫43＜f ⎝⎛⎭⎫32＜f ⎝⎛⎭⎫53、 即f ⎝⎛⎭⎫23＜f ⎝⎛⎭⎫32＜f ⎝⎛⎭⎫13.选B. 答案：B2．已知实数a 、b 满足等式2 017a ＝2 018b 、下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：设2 017a ＝2 018b ＝t 、如图所示、由函数图象、可得若t >1、则有a >b >0；若t ＝1、则有a ＝b ＝0；若0<t <1、则有a <b <0.故①②⑤可能成立、而③④不可能成立． 答案：B3．(2018·莱西一中模拟)函数y ＝a x －a －1(a >0、且a ≠1)的图象可能是( )解析：函数y ＝a x －1a 是由函数y ＝a x 的图象向下平移1a 个单位长度得到、A 项显然错误；当a >1时、0<1a <1、平移距离小于1、所以B 项错误；当0<a <1时、1a >1、平移距离大于1、所以C 项错误、故选D. 答案：D4．(2018·日照模拟)若x ∈(2,4)、a ＝22x 、b ＝(2x )2、c ＝22x、则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．b >a >c解析：∵b ＝(2x )2＝22x、∴要比较a 、b 、c 的大小、只要比较当x ∈(2,4)时x 2,2x,2x 的大小即可．用特殊值法、取x ＝3、容易知x 2>2x >2x 、则a >c >b . 答案：B5．(2018·许昌四校联考)已知a ＞0、且a ≠1、f (x )＝x 2－a x .当x ∈(－1,1)时、均有f (x )＜12、则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，12∪[2、＋∞) B.⎣⎡⎭⎫12，1∪(1,2] C.⎝⎛⎦⎤0，14∪[4、＋∞) D.⎣⎡⎭⎫14，1∪(1,4]解析：当x ∈(－1,1)时、均有f (x )＜12、即a x ＞x 2－12在(－1,1)上恒成立、令g (x )＝a x 、m (x )＝x 2－12、当0＜a ＜1时、g (1)≥m (1)、即a ≥1－12＝12、此时12≤a ＜1；当a ＞1时、g (－1)≥m (1)、即a －1≥1－12＝12、此时1＜a ≤2.综上、12≤a ＜1或1＜a ≤2.故选B.答案：B6．(2018·菏泽模拟)若函数f (x )＝1＋2x ＋12x ＋1＋sin x 在区间[－k 、k ](k ＞0)上的值域为[m 、n ]、则m ＋n 的值是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．4解析：∵f (x )＝1＋2·2x2x ＋1＋sin x＝1＋2·2x ＋1－12x ＋1＋sin x＝2＋1－22x ＋1＋sin x＝2＋2x －12x ＋1＋sin x .记g (x )＝2x －12x ＋1＋sin x 、则f (x )＝g (x )＋2、易知g (x )为奇函数、则g (x )在[－k 、k ]上的最大值与最小值互为相反数、∴m ＋n ＝4. 答案：D7．若x log 52≥－1、则函数f (x )＝4x －2x ＋1－3的最小值为( )A ．－4B ．－3C ．－1D ．0解析：∵x log 52≥－1、∴2x ≥15、则f (x )＝4x －2x ＋1－3＝(2x )2－2×2x －3＝(2x －1)2－4.当2x ＝1时、f (x )取得最小值－4. 答案：A8．函数f (x )＝⎩⎨⎧2x，x ≥0，－x ，x <0，则a ＝2是f (a )＝4成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为a ＝2、所以f (a )＝22＝4、即a ＝2⇒f (a )＝4；反之、若f (a )＝4、则2a ＝4、a ＝2或－a ＝4、a ＝－16、因此f (a )＝4⇒a ＝2或者a ＝－16、故a ＝2是f (a )＝4的充分不必要条件、选A. 答案：A9．已知实数a 、b 满足12＞⎝⎛⎭⎫12a ＞⎝⎛⎭⎫22b ＞14、则( )A ．b ＜2b －aB ．b ＞2b －aC ．a ＜b －aD ．a ＞b －a解析：由12＞⎝⎛⎭⎫12a、得a ＞1；由⎝⎛⎭⎫12a ＞⎝⎛⎭⎫22b 、得⎝⎛⎭⎫222a ＞⎝⎛⎭⎫22b 、进而2a ＜b ； 由⎝⎛⎭⎫22b ＞14、得⎝⎛⎭⎫22b ＞⎝⎛⎭⎫224、进而b ＜4. ∴1＜a ＜2,2＜b ＜4. 取a ＝32、b ＝72、得b －a ＝72－32＝2、有a ＞b －a 、排除C ； b ＞2b －a 、排除A ；取a ＝1110、b ＝3910、得b －a ＝3910－1110＝145、有a ＜b －a 、排除D.故选B. 答案：B10．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫2x －12x ·x 13、m 、n 为实数、则下列结论中正确的是( ) A ．若－3≤m ＜n 、则f (m )＜f (n ) B ．若m ＜n ≤0、则f (m )＜f (n ) C ．若f (m )＜f (n )、则m 2＜n 2 D ．若f (m )＜f (n )、则m 3＜n 3解析：∵f (x )的定义域为R 、其定义域关于原点对称、f (－x )＝⎝⎛⎭⎫2－x －12－x ·(－x )13＝⎝⎛⎭⎫2x －12x ·x 13＝f (x )、∴函数f (x )是一个偶函数、又x ＞0时、2x －12x 与x 13是增函数、且函数值为正、∴函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫2x －12x ·x 13在(0、＋∞)上是一个增函数、由偶函数的性质知、函数f (x )在(－∞、0)上是一个减函数、此类函数的规律是：自变量离原点越近、函数值越小、即自变量的绝对值越小、函数值就越小、反之也成立．对于选项A 、无法判断m 、n 离原点的远近、故A 错误；对于选项B 、|m |＞|n |、∴f (m )＞f (n )、故B 错误；对于选项C 、由f (m )＜f (n )、一定可得出m 2＜n 2、故C 是正确的；对于选项D 、由f (m )＜f (n )、可得出|m |＜|n |、但不能得出m 3＜n 3、故D 错误．综上可知、选C. 答案：C11．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)有唯一零点、则a ＝( )A ．－12B.13C.12D ．1解析：由f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)、得f (2－x )＝(2－x )2－2(2－x )＋a [e 2－x －1＋e－(2－x )＋1]＝x 2－4x ＋4－4＋2x ＋a (e 1－x ＋e x －1)＝x 2－2x＋a (e x －1＋e－x ＋1)、所以f (2－x )＝f (x )、即x ＝1为f (x )图象的对称轴．由题意、f (x )有唯一零点、所以f (x )的零点只能为x ＝1、即f (1)＝12－2×1＋a (e 1－1＋e －1＋1)＝0、解得a ＝12.故选C.答案：C12．若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R)满足f (1＋x )＝f (1－x )、且f (x )在[m 、＋∞)上单调递增、则实数m 的最小值等于________．解析：因为f (1＋x )＝f (1－x )、所以函数f (x )关于直线x ＝1对称、所以a ＝1、所以函数f (x )＝2|x －1|的图象如图所示、因为函数f (x )在[m 、＋∞)上单调递增、所以m ≥1、所以实数m 的最小值为1.答案：113．(2018·眉山模拟)已知定义在R 上的函数g (x )＝2x ＋2－x ＋|x |、则满足g (2x －1)＜g (3)的x的取值范围是________．解析：∵g (x )＝2x ＋2－x ＋|x |、∴g (－x )＝2x ＋2－x ＋|－x |,2x ＋2－x ＋|x |＝g (x )、则函数g (x )为偶函数、当x ≥0时、g (x )＝2x ＋2－x ＋x 、则g ′(x )＝(2x －2－x )·ln 2＋1＞0、则函数g (x )在[0、＋∞)上为增函数、而不等式g (2x －1)＜g (3)等价于g (|2x －1|)＜g (3)、∴|2x －1|＜3、即－3＜2x －1＜3、解得－1＜x ＜2、即x 的取值范围是(－1,2)． 答案：(－1,2)14．(2018·信阳质检)若不等式(m 2－m )2x －⎝⎛⎭⎫12x ＜1对一切x ∈(－∞、－1]恒成立、则实数m 的取值范围是________．解析：(m 2－m )2x －⎝⎛⎭⎫12x ＜1可变形为m 2－m ＜⎝⎛⎭⎫12x ＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12x 2、设t ＝⎝⎛⎭⎫12x 、则原条件等价于不等式m 2－m ＜t ＋t 2在t ≥2时恒成立、显然t ＋t 2在t ≥2时的最小值为6、所以m 2－m ＜6、解得－2＜m ＜3. 答案：(－2,3)15．(2018·皖南八校联考)对于给定的函数f (x )＝a x －a －x (x ∈R 、a ＞0、a ≠1)、下面给出五个命题、其中真命题是______．(只需写出所有真命题的编号) ①函数f (x )的图象关于原点对称； ②函数f (x )在R 上不具有单调性； ③函数f (|x |)的图象关于y 轴对称； ④当0＜a ＜1时、函数f (|x |)的最大值是0； ⑤当a ＞1时、函数f (|x |)的最大值是0.解析：∵f (－x )＝－f (x )、∴f (x )为奇函数、f (x )的图象关于原点对称、①真；当a ＞1时、f (x )在R 上为增函数、②假；y ＝f (|x |)是偶函数、其图象关于y 轴对称、③真；当0＜a ＜1时、y ＝f (|x |)在(－∞、0)上为增函数、在[0、＋∞)上为减函数、∴当x ＝0时、y ＝f (|x |)的最大值为0、④真；当a ＞1时、f (x )在(－∞、0)上为减函数、在[0、＋∞)上为增函数、∴当x ＝0时、y ＝f (x )的最小值为0、⑤假、综上、真命题是①③④.答案：①③④。

课时规范练 A 组 基础对点练1．函数y ＝lg (x ＋1)x －2的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1,2)∪(2，＋∞)D ．[－1,2)∪(2，＋∞)解析：由题意知，要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x －2≠0x ＋1＞0，即－1＜x ＜2或x ＞2，所以函数的定义域为(－1,2)∪(2，＋∞)．故选C. 答案：C 2．函数f (x )＝1log 2x －1的定义域为( )A ．(0,2)B ．(0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：由题意可知x 满足log 2x －1＞0，即log 2x ＞log 22，根据对数函数的性质得x ＞2，即函数f (x )的定义域是(2，＋∞)． 答案：C3．设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x ＜0，则f (f (－2))＝( )A ．－1 B.14 C.12D.32解析：∵f (－2)＝2－2＝14，∴f (f (－2))＝f ⎝⎛⎭⎫14＝1－14＝12，故选C. 答案：C4．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫13x (x ≤0)，log 3x (x ＞0)，则f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫19＝( ) A ．－2 B ．－3 C ．9D ．－9解析：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫13x (x ≤0)，log 3x (x ＞0)，∴f ⎝⎛⎭⎫19＝log 319＝－2，∴f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫19＝f (－2)＝⎝⎛⎭⎫13－2＝9.故选C.答案：C5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ＞0，π，x ＝0，π2＋1，x ＜0，则f (f (f (－1)))的值等于( )A ．π2－1B ．π2＋1C ．πD ．0解析：由函数的解析式可得f (f (f (－1)))＝f (f (π2＋1))＝f (0)＝π.故选C. 答案：C6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x <1，2x ，x ≥1.若f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫56＝4，则b ＝( ) A ．1 B.78 C.34D.12解析：f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫56＝f ⎝⎛⎭⎫3×56－b ＝f ⎝⎛⎭⎫52－b .当52－b <1，即b >32时，3×⎝⎛⎭⎫52－b －b ＝4，解得b ＝78(舍)．当52－b ≥1，即b ≤32时，252b -＝4，解得b ＝12.故选D. 答案：D7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＞0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：由题意知f (1)＝21＝2.∵f (a )＋f (1)＝0， ∴f (a )＋2＝0.①当a ＞0时，f (a )＝2a,2a ＋2＝0无解； ②当a ≤0时，f (a )＝a ＋1，∴a ＋1＋2＝0， ∴a ＝－3. 答案：A8．函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为( ) A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1]解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－2x≥0x ＋3＞0，所以－3＜x ≤0.答案：A9．已知函数f (x )＝2x ＋1(1≤x ≤3)，则( ) A ．f (x －1)＝2x ＋2(0≤x ≤2) B ．f (x －1)＝2x －1(2≤x ≤4) C ．f (x －1)＝2x －2(0≤x ≤2) D ．f (x －1)＝－2x ＋1(2≤x ≤4)解析：因为f (x )＝2x ＋1，所以f (x －1)＝2x －1.因为函数f (x )的定义域为[1,3]，所以1≤x －1≤3，即2≤x ≤4，故f (x －1)＝2x －1(2≤x ≤4)． 答案：B10．设x ∈R ，则f (x )与g (x )表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝x 2，g (x )＝x 2 B ．f (x )＝(x )2x ，g (x )＝x(x )2C ．f (x )＝1，g (x )＝(x －1)0D ．f (x )＝x 2－9x ＋3，g (x )＝x －3解析：对于A ，f (x )＝x 2(x ∈R)，与g (x )＝x 2＝|x |(x ∈R)的对应关系不同，所以不是同一函数；对于B ，f (x )＝(x )2x ＝1(x ＞0)，与g (x )＝x(x )2＝1(x ＞0)的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数；对于C ，f (x )＝1(x ∈R)，与g (x )＝(x －1)0＝1(x ≠1)的定义域不同，所以不是同一函数；对于D ，f (x )＝x 2－9x ＋3＝x －3(x ≠－3)，与g (x )＝x －3(x ∈R)的定义域不同，所以不是同一函数．故选B. 答案：B11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x －1，x >0，f (2－x )，x ≤0，则f (0)＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．3解析：f (0)＝f (2－0)＝f (2)＝log 22－1＝0. 答案：B12．已知实数a <0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2a ，x <1，－x ，x ≥1，若f (1－a )≥f (1＋a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．[－2，－1]C ．[－1,0)D ．(－∞，0)解析：当a <0时，1－a >1,1＋a <1，所以f (1－a )＝－(1－a )＝a －1，f (1＋a )＝(1＋a )2＋2a ＝a 2＋4a ＋1， 由f (1－a )≥f (1＋a )得a 2＋3a ＋2≤0，解得－2≤a ≤－1，所以a ∈[－2，－1]．故选B. 答案：B13．若函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则函数g (x )的表达式为________．解析：令x ＋2＝t ，则x ＝t －2.因为f (x )＝2x ＋3，所以g (x ＋2)＝f (x )＝2x ＋3，所以g (t )＝2(t －2)＋3＝2t －1.故函数g (x )的表达式为g (x )＝2x －1. 答案：g (x )＝2x －114．(2018·唐山一中测试)已知函数f (x )＝ax 5－bx ＋|x |－1，若f (－2)＝2，则f (2)＝________. 解析：因为f (－2)＝2，所以－32a ＋2b ＋2－1＝2，即32a －2b ＝－1，则f (2)＝32a －2b ＋2－1＝0. 答案：015．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ＋1，x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫14的值是__________． 解析：由题意可得f ⎝⎛⎭⎫14＝log 214＝－2， ∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫14＝f (－2)＝3－2＋1＝109. 答案：10916．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 13，x ≥8，2e x －8，x <8，则使得f (x )≤3成立的x 的取值范围是__________．解析：当x ≥8时，x 13≤3，x ≤27，即8≤x ≤27；当x <8时，2e x －8≤3恒成立． 综上，x ∈(－∞，27]． 答案：(－∞，27]B 组 能力提升练1．(2018·郑州教学质量监测)若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2 016]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是( ) A ．[－1,2 015] B ．[－1,1)∪(1,2 015] C ．[0,2 016]D ．[－1,1)∪(1,2 016]解析：要使函数f (x ＋1)有意义，则0≤x ＋1≤2 016，解得－1≤x ≤2 015，故函数f (x ＋1)的定义域为[－1,2 015]，所以函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2 015x －1≠0，故函数g (x )的定义域为[－1,1)∪(1,2 015]． 答案：B2．(2018·大同质检)已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝x ＋2，则f (x )＝( ) A ．x ＋1 B ．2x －1 C ．－x ＋1D ．x ＋1或－x －1解析：设f (x )＝kx ＋b ，则由f [f (x )]＝x ＋2，可得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2，即k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2，∴k 2＝1，kb ＋b ＝2.解得k ＝1，b ＝1，则f (x )＝x ＋1.故选A. 答案：A3．(2018·天津模拟)设函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1＋x ，则f (x )的表达式为( )A.21＋x B.21＋x 2 C.1－x 21＋x 2D.1－x 1＋x解析：令1－x 1＋x ＝t ，则x ＝1－t 1＋t ，代入f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1＋x ，得f (t )＝1＋1－t 1＋t ＝21＋t ，故选A. 答案：A4．(2018·郑州质检)设函数f ：R →R 满足f (0)＝1，且对任意 x ，y ∈R 都有f (xy ＋1)＝f (x )f (y )－f (y )－x ＋2，则f (2 017)＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 017D ．2 018解析：令x ＝y ＝0，则f (1)＝f (0)f (0)－f (0)＋2＝1×1－1＋2＝2；令y ＝0，则f (1)＝f (x )f (0)－f (0)－x ＋2，将f (0)＝1，f (1)＝2代入，可得f (x )＝1＋x ，所以f (2 017)＝2 018.故选D.答案：D5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x －4)，x >2e x，－2≤x ≤2f (－x )，x <－2，则f (－2 017)＝( )A ．1B ．e C.1eD ．e 2解析：由已知可得，当x >2时，f (x )＝f (x －4)，故其周期为4，f (－2 017)＝f (2 017)＝f (2 016＋1)＝f (1)＝e. 答案：B6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <2，log 3(x 2－1)，x ≥2，则不等式f (x )>2的解集为( ) A ．(－2,4)B ．(－4，－2)∪(－1,2)C ．(1,2)∪(10，＋∞)D ．(10，＋∞)解析：令2e x －1>2(x <2)，解得1<x <2；令log 3(x 2－1)>2(x ≥2)，解得x >10，故选C. 答案：C7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x ＋2)，x ＜2，⎝⎛⎭⎫13x ，x ≥2，则f (－1＋log 35)的值为( )A.115 B.53 C ．15D.23解析：∵－1＋log 35＜2，∴f (－1＋log 35)＝f (－1＋log 35＋2)＝f (1＋log 35)＝f (log 315)＝⎝⎛⎭⎫133log 15＝115，故选A. 答案：A8．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x2－1，x ≥0，1x ，x <0，若f (f (a ))＝－12，则实数a ＝( )A ． 4B ．－2C ．4或－12D ．4或－2答案：C9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <1x 3＋x ，x ≥1，则f (f (x ))<2的解集为( )A ．(1－ln 2，＋∞)B ．(－∞，1－ln 2)C ．(1－ln 2,1)D ．(1,1＋ln 2)解析：因为当x ≥1时，f (x )＝x 3＋x ≥2，当x <1时，f (x )＝2e x －1<2，所以f (f (x ))<2等价于f (x )<1，即2e x －1<1，解得x <1－ln 2，所以f (f (x ))<2的解集为(－∞，1－ln 2)，故选B. 答案：B10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ln (1＋x )＋x 2，x ≥0－x ln (1－x )＋x 2，x <0，若f (－a )＋f (a )≤2f (1)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B ．[－1,0]C ．[0,1]D ．[－1,1]解析：若x >0，则－x <0，f (－x )＝x ln(1＋x )＋x 2＝f (x )，同理可得x <0时，f (－x )＝f (x )，且x ＝0时，f (0)＝f (0)，所以f (x )为偶函数．当x ≥0时，易知f (x )＝x ln(1＋x )＋x 2为增函数，所以不等式f (－a )＋f (a )≤2f (1)等价于2f (a )≤2f (1)，即f (a )≤f (1)，亦即f (|a |)≤f (1)，则|a |≤1，解得－1≤a ≤1，故选D. 答案：D11．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为( )A ．－32B ．－34C ．－32或－34D.32或－34解析：当a >0时，1－a <1,1＋a >1.由f (1－a )＝f (1＋a )得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a <0时，1－a >1,1＋a <1，由f (1－a )＝f (1＋a )得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34，所以a 的值为－34，故选B. 答案：B12．给出定义：若m －12＜x ≤m ＋12(其中m 为整数)，则m 叫作离实数x 最近的整数，记作{x }，即{x }＝m .现给出下列关于函数f (x )＝|x －{x }|的四个命题： ①f ⎝⎛⎭⎫－12＝12； ②f (3.4)＝－0.4； ③f ⎝⎛⎭⎫－14＝f ⎝⎛⎭⎫14； ④y ＝f (x )的定义域为R ，值域是⎣⎡⎦⎤－12，12. 其中真命题的序号是( ) A ．①② B ．①③ C ．②④D ．③④解析：①∵－1－12＜－12≤－1＋12，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12＝－1， ∴f ⎝⎛⎭⎫－12＝⎪⎪⎪⎪－12－⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12＝⎪⎪⎪⎪－12＋1＝12，∴①正确． ②∵3－12＜3.4≤3＋12，∴{3,4}＝3，∴f (3.4)＝|3.4－{3.4}|＝|3.4－3|＝0.4， ∴②错误．③∵0－12＜－14≤0＋12，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫－14＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫－14＝⎪⎪⎪⎪－14－0＝14.∵0－12＜14≤0＋12，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫14＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫14＝⎪⎪⎪⎪14－0＝14， ∴f ⎝⎛⎭⎫－14＝f ⎝⎛⎭⎫14， ∴③正确．④y ＝f (x )的定义域为R ，值域是⎣⎡⎦⎤0，12，∴④错误．故选B. 答案：B13．若函数f (2x )的定义域是[－1,1]，则函数f (2x －1)＋f (2x ＋1)的定义域是________． 解析：因为函数f (2x )的定义域是[－1,1]，所以－2≤2x ≤2，所以函数f (x )的定义域为[－2,2]，所以f (2x －1)＋f (2x ＋1)的定义域应满足的条件为－2≤2x －1≤2且－2≤2x ＋1≤2，即－12≤x ≤32且－32≤x ≤12，所以－12≤x ≤12，所以函数f (2x －1)＋f (2x ＋1)的定义域是⎣⎡⎦⎤－12，12. 答案：⎣⎡⎦⎤－12，1214．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1， x ≤0，－(x －1)2， x ＞0，则不等式f (x )≥－1的解集是________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－(x －1)2≥－1，解得－4≤x ≤0或0＜x ≤2，即－4≤x ≤2，即不等式的解集为[－4,2]． 答案：[－4,2]15．已知函数f (x )的定义域为实数集R ，∀x ∈R ，f (x －90)＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，－x ，x ≤0，则f (10)－f (－100)的值为__________．解析：令t ＝x －90，得x ＝t ＋90，则f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg (t ＋90)，t >－90，－(t ＋90)，t ≤－90，f (10)＝lg 100＝2，f (－100)＝－(－100＋90)＝10，所以f (10)－f (－100)＝－8. 答案：－816．(2018·郑州质检)若函数f (x )满足：∀a ，b ∈R ，都有3f ⎝⎛⎭⎫a ＋2b 3＝f (a )＋2f (b )，且f (1)＝1，f (4)＝7，则f (2 017)＝__________. 解析：由已知得f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋2b 3＝f (a )＋2f (b )3. 取f (x )＝kx ＋m ，易验证f (x )＝kx ＋m 满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 3＝f (a )＋2f (b )3.由f (1)＝1，f (4)＝7得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋m ＝14k ＋m ＝7，由此解得k ＝2，m ＝－1，故f (x )＝2x －1，f (2 017)＝2×2017－1＝4 033. 答案：4 033。

课时规范练 A 组 基础对点练1．已知命题p ：存在n ∈R ，使得f (x )＝nx22n n＋是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增；命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2>3x 0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2<3x ”．则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．綈p ∧qC ．p ∧綈qD ．綈p ∧綈q解析：当n ＝1时，f (x )＝x 3为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故p 是真命题，则綈p 是假命题；“∃x 0∈R ，x 20＋2>3x 0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2≤3x ”，故q 是假命题，綈q 是真命题．所以p ∧q ，綈p ∧q ，綈p ∧綈q 均为假命题，p ∧綈q 为真命题，选C. 答案：C2．已知幂函数f (x )＝x n，n ∈{－2，－1,1,3}的图象关于y 轴对称，则下列选项正确的是( )A ．f (－2)>f (1)B ．f (－2)<f (1)C ．f (2)＝f (1)D ．f (－2)>f (－1)解析：由于幂函数f (x )＝x n 的图象关于y 轴对称，可知f (x )＝x n为偶函数，所以n ＝－2，即f (x )＝x －2，则有f (－2)＝f (2)＝14，f (－1)＝f (1)＝1，所以f (－2)<f (－1)，故选B.答案：B3．已知0<m <n <1，且1<a <b ，下列各式中一定成立的是( ) A ．b m>a nB ．b m <a nC ．m b>n aD ．m b<n a解析：∵f (x )＝x a(a >1)在(0，＋∞)上为单调递增函数，且0<m <n <1，∴m a<n a，又∵g (x )＝m x (0<m <1)在R 上为单调递减函数，且1<a <b ，∴m b <m a. 综上，m b <n a，故选D. 答案：D4．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象是( )解析：∵a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0， ∴a ＞0，c ＜0，∴y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向上，且与y 轴的交点(0，c )在负半轴上．选D.答案：D5．设函数f (x )＝x 2－x ＋a (a ＞0)．若f (m )＜0，则f (m －1)的值为( ) A ．正数 B ．负数 C ．非负数D ．正数、负数和零都有可能解析：函数f (x )＝x 2－x ＋a 图象的对称轴为直线x ＝12，图象开口向上，且f (0)＝f (1)＝a ＞0.所以当f (m )＜0时，必有0＜m ＜1，而－1＜m －1＜0，所以f (m －1)＞0.答案：A6．已知函数f (x )＝x 2－m是定义在区间[－3－m ，m 2－m ]上的奇函数，则下列成立的是( )A ．f (m )＜f (0)B ．f (m )＝f (0)C ．f (m )＞f (0)D ．f (m )与f (0)大小不确定解析：因为函数f (x )是奇函数，所以－3－m ＋m 2－m ＝0，解得m ＝3或－1.当m ＝3时，函数f (x )＝x －1，定义域不是[－6,6]，不合题意；当m ＝－1时，函数f (x )＝x 3在定义域[－2,2]上单调递增，又m ＜0，所以f (m )＜f (0)． 答案：A7．(2018·资阳模拟)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋4在区间[0，m ](m ＞0)上的最大值为4，最小值为3，则实数m 的取值范围是( ) A ．[1,2] B ．(0,1] C ．(0,2]D ．[1，＋∞)解析：作出函数的图象如图所示，从图中可以看出当1≤m ≤2时，函数f (x )＝x 2－2x ＋4在区间[0，m ](m ＞0)上的最大值为4，最小值为3.故选A.答案：A8．在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a(x >0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )解析：因为a >0，所以f (x )＝x a在(0，＋∞)上为增函数，故A 错．在B 中，由f (x )的图象知a >1，由g (x )的图象知0<a <1，矛盾，故B 错．在C 中，由f (x )的图象知0<a <1，由g (x )的图象知a >1，矛盾，故C 错．在D 中，由f (x )的图象知0<a <1，由g (x )的图象知0<a <1，相符，故选D. 答案：D 9.－aa ＋(－6≤a ≤3)的最大值为( )A ．9 B.92 C ．3D.322解析：易知函数y ＝(3－a )(a ＋6)的两个零点是3，－6，其图象的对称轴为a ＝－32，y ＝(3－a )(a ＋6)的最大值为⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫922，则－a＋a 的最大值为92，选B. 答案：B10．已知g (x )是R 上的奇函数，当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g x ，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(1,2)D ．(－2,1)解析：设x >0，则－x <0，所以g (x )＝－g (－x )＝ln(1＋x )，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，＋x ，x >0，并且函数f (x )是R 上的单调递增函数，所以当f (2－x 2)>f (x )时，满足2－x 2>x ，解得－2<x <1，故选D. 答案：D11．已知y ＝f (x )是奇函数，且满足f (x ＋2)＋3f (－x )＝0，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x 2－2x ，则当x ∈[－4，－2]时，f (x )的最小值为( ) A ．－1 B ．－13C ．－19D.19解析：设x ∈[－4，－2]，则x ＋4∈[0,2]．∵y ＝f (x )是奇函数，∴由f (x ＋2)＋3f (－x )＝0，可得f (x ＋2)＝－3f (－x )＝3f (x )，∴f (x ＋4)＝3f (x ＋2)，故有f (x )＝13f (x ＋2)＝f x ＋9.故f (x )＝19f (x ＋4)＝19[(x ＋4)2－2(x ＋4)]＝19[x 2＋6x ＋8]＝x ＋2－19.∴当x ＝－3时，函数f (x )取得最小值为－19.故选C.答案：C12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ＜1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤4成立的x 的取值范围是________．解析：f (x )的图象如图所示，要使f (x )≤4，只需x 13≤4，∴x ≤64. 答案：(－∞，64]13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ，x ≥0，x 2－2x ，x <0，若f (3－a 2)<f (2a )，则实数a 的取值范围是__________．解析：如图，画出f (x )的图象，由图象易得f (x )在R 上单调递减，∵f (3－a 2)<f (2a )，∴3－a 2>2a ，解得－3<a <1. 答案：(－3,1)14．已知函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为增函数，那么f (2)的取值范围是__________．解析：函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为增函数，由于其图象(抛物线)开口向上，所以其对称轴x ＝a －12或与直线x ＝12重合或位于直线x ＝12的左侧，即应有a －12≤12，解得a ≤2，∴f (2)＝4－(a －1)×2＋5≥7，即f (2)≥7. 答案：[7，＋∞) 15．若x ＞1，xa －1＜1，则a 的取值范围是________．解析：因为x ＞1，x a －1＜1，所以a －1＜0，解得a ＜1.答案：a ＜1B 组 能力提升练1．若幂函数f (x )＝mx α的图象经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12，则它在点A 处的切线方程是( )A ．2x －y ＝0B ．2x ＋y ＝0C ．4x －4y ＋1＝0D ．4x ＋4y ＋1＝0解析：因为f (x )＝mx α为幂函数，所以m ＝1，因为函数f (x )的图象经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫14α＝12，解得α＝12，所以f (x )＝x 12，f ′(x )＝12x，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1，所以所求切线的方程是y －12＝x －14，即4x －4y ＋1＝0，故选C.答案：C2．(2018·衡阳模拟)已知a 为正实数，函数f (x )＝x 2－2x ＋a ，且对任意的x ∈[0，a ]，都有f (x )∈[－a ，a ]，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1,2) B ．[1,2] C ．(0，＋∞)D ．(0,2]解析：当0<a <1时，f (0)＝a ，f (a )≥－a ，即a 2－2a ＋a ≥－a ，因此0<a <1；当a ≥1时，f (0)＝a ，f (1)≥－a ，f (a )≤a ，即1－2＋a ≥－a ，a 2－2a ＋a ≤a ，因此1≤a ≤2.综上，实数a 的取值范围为0<a ≤2.故选D. 答案：D3．下面四个图象中有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R)的导函数y ＝f ′(x )的图象，则f (－1)等于( )A.13B ．－13C.53D ．－13或53解析：∵f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1，∴f ′(x )的图象开口向上．根据导函数图象分析，若图象不过原点，则a ＝0，f (－1)＝53；若图象过原点，则a 2－1＝0，又对称轴x ＝－a ＞0，∴a ＝－1，∴f (－1)＝－13.答案：D4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x >a ，x 2＋6x ＋3，x ≤a ，函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－1,3) B ．[－3，－1] C ．[－3,3) D ．[－1,1)解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x >a ，x 2＋6x ＋3，x ≤a ，所以g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x ，x >a ，x 2＋4x ＋3，x ≤a .又g (x )有三个不同的零点，则方程3－x ＝0，x >a 有一个解，解得x ＝3，所以a <3，方程x 2＋4x ＋3＝0，x ≤a 有两个不同的解，解得x ＝－1或x ＝－3，又因为x ≤a ，所以a ≥－1.故a 的取值范围为[－1,3)． 答案：A5．(2018·江西九江地区七校联考)幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)·x 268m m －＋在(0，＋∞)上为增函数，则m 的值为( ) A ．1或3 B ．1 C ．3D ．2解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4m ＋4＝1，m 2－6m ＋8>0，解得m ＝1.故选B.答案：B6．(2018·安阳模拟)下列选项正确的是( ) A ．0.20.2>0.30.2B ．213-<313-C ．0.8－0.1>1.250.2D ．1.70.3>0.93.1解析：A 中，∵函数y ＝x 0.2在(0，＋∞)上为增函数，0.2<0.3，∴0.20.2<0.30.2； B 中，∵函数y ＝x13-在(0，＋∞)上为减函数，∴213->313-；C 中，∵0.8－1＝1.25，y ＝1.25x在R 上是增函数，0.1<0.2， ∴1.250.1<1.250.2， 即0.8－0.1<1.250.2；D 中，1.70.3>1,0.93.1<1， ∴1.70.3>0.93.1.故选D. 答案：D7．(2018·湖北四校联考)已知二次函数f (x )＝ax 2－bx ＋c ，f ′(0)<0，且f (x )∈[0，＋∞)，则f －f的最大值为( )A ．－3B ．－2C ．－52D ．－32解析：由题意得f ′(x )＝2ax －b ，因为f ′(0)<0，所以b >0.由f (x )∈[0，＋∞)得⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝b 2－4ac ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >04acb2≥1，所以c >0，a ＋cb >0，f －f＝－⎝⎛⎭⎪⎫1＋a ＋cb ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c b 2＝a 2＋c 2＋2ac b 2≥4ac b 2≥1，所以a ＋c b ≥1，当且仅当a ＝c ＝b 2时，等号成立，所以f －f＝－⎝⎛⎭⎪⎫1＋a ＋cb ≤－2. 答案：B8．函数f (x )＝(m 2－m －1)x 9541m m －－是幂函数，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，满足f x 1－f x 2x 1－x 2＞0，若a ，b ∈R ，且a ＋b ＞0，ab ＜0，则f (a )＋f (b )的值( )A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断解析：∵f (x )＝(m 2－m －1)x9541m m －－是幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，指数4×29－25－1＝2 015＞0，满足题意．当m ＝－1时，指数4×(－1)9－(－1)5－1＝－4＜0，不满足题意． ∴f (x )＝x2 015.∴幂函数f (x )＝x 2 015是定义域R 上的奇函数，且是增函数．又∵a ，b ∈R ，且a ＋b ＞0，∴a ＞－b ， 又ab ＜0，不妨设b ＜0，则a ＞－b ＞0，∴f (a )＞f (－b )＞0，又f (－b )＝－f (b )，∴f (a )＞－f (b )，∴f (a )＋f (b )＞0.故选A. 答案：A9．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R)的定义域和值域分别为A ，B ，若集合{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }对应的平面区域是正方形区域，则实数a ，b ，c 满足( )A ．|a |＝4B ．a ＝－4且b 2＋16c ＞0 C ．a ＜0且b 2＋4ac ≤0 D ．以上说法都不对解析：由题意可知a ＜0，且ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝b 2－4ac ＞0.设y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴相交于两点(x 1,0)，(x 2,0)， 则x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a，f (x )的定义域为[x 1，x 2]， ∴|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a 2－4c a＝b 2－4ac －a . 由题意可知4ac －b 24a ＝b 2－4ac－a，解得a ＝－4. ∴实数a ，b ，c 满足a ＝－4，b 2＋16c ＞0，故选B. 答案：B10．(2018·安徽皖北联考)已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,1]上的最大值为2，则a 的值为( ) A ．2 B ．－1或－3 C ．2或－3D ．－1或2解析：函数f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1图象的对称轴为x ＝a ，且开口向下，分三种情况讨论如下：①当a ≤0时，函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,1]上是减函数，∴f (x )max ＝f (0)＝1－a ，由1－a ＝2，得a ＝－1.②当0<a ≤1时，函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0，a ]上是增函数，在(a,1]上是减函数，∴f (x )max ＝f (a )＝－a 2＋2a 2＋1－a ＝a 2－a ＋1，由a 2－a ＋1＝2，解得a ＝1＋52或a ＝1－52，∵0<a ≤1，∴两个值都不满足，舍去． ③当a >1时，函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,1]上是增函数，∴f (x )max ＝f (1)＝－1＋2a ＋1－a ＝2，∴a ＝2.综上可知，a ＝－1或a ＝2. 答案：D11．对二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a 为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是( ) A ．－1是f (x )的零点 B ．1是f (x )的极值点 C ．3是f (x )的极值D ．点(2,8)在曲线y ＝f (x )上解析：由已知得，f ′(x )＝2ax ＋b ，则f (x )只有一个极值点，若A 、B 正确，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，2a ＋b ＝0，解得b ＝－2a ，c ＝－3a ，则f (x )＝ax 2－2ax －3a .由于a 为非零整数，所以f (1)＝－4a ≠3，则C 错．而f (2)＝－3a ≠8，则D 也错，与题意不符，故A 、B 中有一个错误，C 、D 都正确．若A 、C 、D 正确，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0， ①4a ＋2b ＋c ＝8， ②4ac －b 24a ＝3， ③由①②得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝83－a ，c ＝83－2a ，代入③中并整理得9a 2－4a ＋649＝0， 又a 为非零整数，则9a 2－4a 为整数，故方程9a 2－4a ＋649＝0无整数解，故A 错．若B 、C 、D 正确，则有⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0，a ＋b ＋c ＝3，4a ＋2b ＋c ＝8，解得a ＝5，b ＝－10，c ＝8，则f (x )＝5x 2－10x ＋8， 此时f (－1)＝23≠0，符合题意．故选A. 答案：A12．已知幂函数f (x )＝x223m m －－＋ (m ∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数，则f (2)的值为__________．解析：因为幂函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调增函数，所以－m 2－2m ＋3>0，解得－3<m <1.因为m ∈Z ，所以m ＝－2或－1或0.因为幂函数f (x )为偶函数，所以－m 2－2m ＋3是偶数．当m ＝－2时，－m 2－2m ＋3＝3，不符合，舍去；当m ＝－1时，－m 2－2m ＋3＝4；当m ＝0时，－m 2－2m ＋3＝3，不符合，舍去．所以f (x )＝x 4，故f (2)＝24＝16. 答案：1613．若方程x 2＋ax ＋2b ＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，则b －2a －1的取值范围是__________．解析：令f (x )＝x 2＋ax ＋2b ，∵方程x 2＋ax ＋2b ＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ，f ，f∴⎩⎪⎨⎪⎧b >0，a ＋2b <－1，a ＋b >－2.根据约束条件作出可行域，可知14<b －2a －1<1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 14．在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1x(x ＞0)图象上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为________．解析：设P ⎝⎛⎭⎪⎫x ，1x ，x ＞0，则|PA |2＝(x －a )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－a 2＝x 2＋1x2－2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋2a 2－2.令t ＝x ＋1x，则由x ＞0，得t ≥2.所以|PA |2＝t 2－2at ＋2a 2－2＝(t －a )2＋a 2－2， 由|PA |取得最小值得⎩⎨⎧a ≤222－4a ＋2a 2－2＝22或⎩⎨⎧a ＞2a 2－2＝22，解得a ＝－1或a ＝10. 答案：－1，1015．对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a ＞b .设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R)恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是________．解析：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－x ，x ≤0，－x 2＋x ，x ＞0的图象如图所示．11设y ＝m 与y ＝f (x )图象交点的横坐标从小到大分别为x 1、x 2、x 3. 由y ＝－x 2＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14，得顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.当y ＝14时，代入y ＝2x 2－x ，得14＝2x 2－x ，解得x ＝1－34(舍去正值)，∴x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34，0. 又∵y ＝－x 2＋x 图象的对称轴为x ＝12，∴x 2＋x 3＝1，又x 2，x 3＞0，∴0＜x 2x 3＜⎝ ⎛⎭⎪⎫x2＋x 322＝14. 又∵0＜－x 1<3－14，∴0＜－x 1x 2x 3＜3－116，∴1－316＜x 1x 2x 3＜0.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－316，0。

课时规范练A 组 基础对点练1．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x解析：y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，最小正周期T ＝2π2＝π，且为奇函数，其图象关于原点对称，故A 正确；y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ，最小正周期为π，且为偶函数，其图象关于y 轴对称，故B 不正确；C ，D 均为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，故C ，D 不正确． 答案：A2．已知函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上为增函数，且图象关于点(3π，0)对称，则ω的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，23，1 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫16，13 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，23 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫16，23 解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧π2ω≥π2，3ωπ＝k π，即⎩⎪⎨⎪⎧0<ω≤1，ω＝k 3，其中k ∈Z ，则ω＝13，ω＝23或ω＝1，即ω的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，23，1.答案：A3．(2018·西安八校联考)若函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)，∴ω＝6k ＋2(k ∈Z)，∴ωmin ＝2，故选B. 答案：B4．(2018·长春调研)函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2图象的一条对称轴方程是( ) A ．x ＝π4B ．x ＝π3C ． x ＝π2D ．x ＝π解析：f (x )＝(sin x ＋cos x )2＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sin x cos x ＝1＋sin 2x ，将各选项代入验证可知，当x ＝π4时，f (x )取得最值，故选A.答案：A5．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) B.⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)D ⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z) 解析：由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z)，得k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)．答案：B6．函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：f (x )＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，因为sin x ∈[－1,1]，所以当sin x ＝1时，f (x )取得最大值，且f (x )max ＝5. 答案：B7．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋512π，k ∈ZB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋512π，k π＋1112π，k ∈ZC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋23π，k ∈Z 解析：y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，令π2＋2k π≤2x －π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得k π＋512π≤x ≤k π＋1112π，k ∈Z.答案：B8．函数y ＝(sin x ＋cos x )2－1是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数解析：y ＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x －1＝sin 2x ，故选C. 答案：C9．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6等于( ) A ．2或0 B ．－2或2 C ．0D ．－2或0解析：因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，所以该函数图象关于直线x ＝π6对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B.答案：B10．已知命题p ：函数f (x )＝sin x cos x 的最小正周期为π；命题q ：函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2的图象关于原点对称．则下列命题中为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p ∨q C ．綈pD ．(綈p )∨q解析：函数f (x )＝sin x cos x ＝12sin 2x ，其最小正周期为T ＝2π2＝π，故命题p 为真命题；函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x ，其图象关于y 轴对称，故命题q 为假命题，所以p ∨q 为真命题． 答案：B11.(2018·长沙模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为π12和7π12，图象在y 轴上的截距为3，给出下列四个结论：①f (x )的最小正周期为π；②f (x )的最大值为2；③f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1；④f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6为奇函数．其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：由图知，周期T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π12＝π，则ω＝2，由2×π12＋φ＝π2，得φ＝π3.由f (0)＝3，得A sin π3＝3，即A ＝2.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝2cos π3＝1，f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝2sin 2x 为奇函数．所以四个结论都正确．答案：D12．已知x ∈(0，π]，关于x 的方程2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝a 有两个不同的实数解，则实数a 的取值范围为__________．解析：令y 1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈(0，π]，y 2＝a ，作出y 1的图象如图所示．若2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝a 在(0，π]上有两个不同的实数解，则y 1与y 2应有两个不同的交点，所以3<a <2. 答案：(3，2)13．若函数f (x )＝sin(x ＋φ)＋cos(x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2为偶函数，则φ＝__________.解析：由题意可知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋φ＋π4⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2为偶函数，所以φ＋π4＝π2＋k π(k ∈Z)．又由|φ|<π2，得φ＝π4.答案：π414．当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x ＜2π)取得最大值时，x ＝________.解析：由已知条件可得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，又由0≤x ＜2π得－π3≤x －π3＜5π3，当x －π3＝π2时y 取得最大值，此时x ＝5π6. 答案：5π6B 组 能力提升练1．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π2内的图象是( )解析：y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2tan x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，2sin x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，对比选项，可知选D. 答案：D2．已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝－2，则f (x )的一个单调递增区间可以是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π8，9π8C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8，π8 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π8 解析：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝－2，∴－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝－2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1.∴π4＋φ＝π2＋2k π，又∵|φ|<π，∴φ＝π4，∴f (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.由2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z.当k ＝0时，得π8≤x ≤5π8.即f (x )的一个单调递增区间可以是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π8.答案：D3．若函数y ＝tan ωx (ω∈N *)的图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．6D ．9解析：因为正切函数f (x )＝tan x 图象的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z)，且函数y ＝tanωx (ω∈N *)的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，所以πω6＝k π2(k ∈Z)，因此ω＝3k (k ∈Z)．因为ω∈N *，所以当k ＝1时，ω取得最小值3，故选B. 答案：B4．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象与直线y ＝b (0<b <A )相交，其中一个交点P 的横坐标为4，若与P 相邻的两个交点的横坐标为2,8，则f (x )的单调递减区间为( )A ．[6k π，6k π＋3]，k ∈ZB ．[6k －3,6k ]，k ∈ZC ．[6k,6k ＋3]，k ∈ZD ．[6k π－3,6k π]，k ∈Z解析：根据题设中提供的数据信息可知周期T ＝6，结合f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象可知f (x )在区间[6k －3,6k ]，k ∈Z 上是单调递减的，故选B. 答案：B5．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且该函数图象关于点(x 0,0)成中心对称，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则x 0＝( )A.5π12 B.π4 C.π3D.π6解析：由题意得T 2＝π2，T ＝π，则ω＝2.由2x 0＋π6＝k π(k ∈Z)，得x 0＝k π2－π12(k ∈Z)，又x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以x 0＝5π12. 答案：A6．下列函数中最小正周期为π且图象关于直线x ＝π3对称的是( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 解析：由函数的最小正周期为π，可排除C.由函数图象关于直线x ＝π3对称知，该直线过函数图象的最高点或最低点，对于A ，因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3＋π3＝sin π＝0，所以选项A不正确．对于B ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3－π6＝sin π2＝1，所以选项B 正确，故选B.答案：B7．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R)，则f (x )( ) A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上是减函数 B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6上是增函数 C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π4上是增函数 D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6上是减函数解析：由f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3可知，f (x )的最小正周期为π.由k π≤x ＋π3≤π2＋k π(k∈Z)，得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π(k ∈Z)，即f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z)上单调递增；由π2＋k π≤x ＋π3≤π＋k π(k ∈Z)，得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z)，即f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z)上单调递减．将各选项逐项代入验证，可知B 正确．答案：B8．若函数f (x )同时具有以下两个性质：①f (x )是偶函数；②对任意实数x ，都有f ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x .则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝cos xB ．f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π2D ．f (x )＝cos 6x解析：由题意可得，函数f (x )是偶函数，且它的图象关于直线x ＝π4对称．因为f (x )＝cos x 是偶函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝22，不是最值，故不满足图象关于直线x ＝π4对称，故排除A.因为函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x 是奇函数，不满足条件①，故排除B.因为函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π2＝cos 4x 是偶函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－1，是最小值，故满足图象关于直线x ＝π4对称，故C 满足条件．因为函数f (x )＝cos 6x 是偶函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，不是最值，故不满足图象关于直线x ＝π4对称，故排除D.答案：C9．已知f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2图象相邻对称轴间的距离为π2，f (0)＝12，则g (x )＝2cos(ωx ＋φ)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A ．－ 3B ．－2C ．－1D ．1解析：由题意得函数f (x )的最小正周期为π，则ω＝2，由f (0)＝12，可得φ＝π6，所以g (x )＝2cos(ωx ＋φ)即为g (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，76π，得－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤32，则g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为－2.答案：B10．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3解析：由题图可知A ＝2，T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，则T ＝π，所以ω＝2， 则y ＝2sin(2x ＋φ)，因为题图经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2， 所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝2， 所以2π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝2k π－π6，k ∈Z ，当k ＝0时，φ＝－π6，所以y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，故选A. 答案：A11．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是__________．解析：由2x ＋π4＝k π(k ∈Z)得，x ＝k π2－π8(k ∈Z)．∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x轴交点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z.答案：⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z12．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为__________．解析：由f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6知，f (x )有对称中心⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π知f (x )有对称轴x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋23π＝712π.记f (x )的最小正周期为T ，则12T ≥π2－π6，即T ≥23π.故712π－π3＝π4＝T4，解得T ＝π. 答案：π13．函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |≤π4的值域为________．解析：函数变为y ＝1－sin 2x ＋sin x . 设t ＝sin x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |≤π4，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22.函数变为f (t )＝－t 2＋t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54，∴当t ＝12，即sin x ＝12，x ＝π6时，y max ＝54；当t ＝－22，即x ＝－π4时，y min ＝1－22. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，54 14．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是__________．解析：由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，故f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3。

课时规范练A 组 基础对点练1．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x解析：y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，最小正周期T ＝2π2＝π，且为奇函数，其图象关于原点对称，故A 正确；y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ，最小正周期为π，且为偶函数，其图象关于y 轴对称，故B 不正确；C ，D 均为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，故C ，D 不正确． 答案：A2．已知函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上为增函数，且图象关于点(3π，0)对称，则ω的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，23，1 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫16，13 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，23 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫16，23 解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧π2ω≥π2，3ωπ＝k π，即⎩⎪⎨⎪⎧0<ω≤1，ω＝k 3，其中k ∈Z ，则ω＝13，ω＝23或ω＝1，即ω的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，23，1.答案：A3．(2018·西安八校联考)若函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)，∴ω＝6k ＋2(k ∈Z)，∴ωmin ＝2，故选B. 答案：B4．(2018·长春调研)函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2图象的一条对称轴方程是( ) A ．x ＝π4B ．x ＝π3C ． x ＝π2D ．x ＝π解析：f (x )＝(sin x ＋cos x )2＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sin x cos x ＝1＋sin 2x ，将各选项代入验证可知，当x ＝π4时，f (x )取得最值，故选A.答案：A5．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) B.⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)D ⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z) 解析：由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z)，得k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)．答案：B6．函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：f (x )＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，因为sin x ∈[－1,1]，所以当sin x ＝1时，f (x )取得最大值，且f (x )max ＝5. 答案：B7．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋512π，k ∈ZB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋512π，k π＋1112π，k ∈ZC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋23π，k ∈Z 解析：y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，令π2＋2k π≤2x －π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得k π＋512π≤x ≤k π＋1112π，k ∈Z.答案：B8．函数y ＝(sin x ＋cos x )2－1是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数解析：y ＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x －1＝sin 2x ，故选C. 答案：C9．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6等于( ) A ．2或0 B ．－2或2 C ．0D ．－2或0解析：因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，所以该函数图象关于直线x ＝π6对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B.答案：B10．已知命题p ：函数f (x )＝sin x cos x 的最小正周期为π；命题q ：函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2的图象关于原点对称．则下列命题中为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p ∨q C ．綈pD ．(綈p )∨q解析：函数f (x )＝sin x cos x ＝12sin 2x ，其最小正周期为T ＝2π2＝π，故命题p 为真命题；函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x ，其图象关于y 轴对称，故命题q 为假命题，所以p ∨q 为真命题． 答案：B11.(2018·长沙模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为π12和7π12，图象在y 轴上的截距为3，给出下列四个结论：①f (x )的最小正周期为π；②f (x )的最大值为2；③f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1；④f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6为奇函数．其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：由图知，周期T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π12＝π，则ω＝2，由2×π12＋φ＝π2，得φ＝π3.由f (0)＝3，得A sin π3＝3，即A ＝2.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝2cos π3＝1，f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝2sin 2x 为奇函数．所以四个结论都正确．答案：D12．已知x ∈(0，π]，关于x 的方程2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝a 有两个不同的实数解，则实数a 的取值范围为__________．解析：令y 1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈(0，π]，y 2＝a ，作出y 1的图象如图所示．若2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝a 在(0，π]上有两个不同的实数解，则y 1与y 2应有两个不同的交点，所以3<a <2. 答案：(3，2)13．若函数f (x )＝sin(x ＋φ)＋cos(x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2为偶函数，则φ＝__________.解析：由题意可知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋φ＋π4⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2为偶函数，所以φ＋π4＝π2＋k π(k ∈Z)．又由|φ|<π2，得φ＝π4.答案：π414．当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x ＜2π)取得最大值时，x ＝________.解析：由已知条件可得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，又由0≤x ＜2π得－π3≤x －π3＜5π3，当x －π3＝π2时y 取得最大值，此时x ＝5π6. 答案：5π6B 组 能力提升练1．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π2内的图象是( )解析：y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2tan x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，2sin x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，对比选项，可知选D. 答案：D2．已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝－2，则f (x )的一个单调递增区间可以是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π8，9π8C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8，π8 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π8 解析：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝－2，∴－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝－2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1.∴π4＋φ＝π2＋2k π，又∵|φ|<π，∴φ＝π4，∴f (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.由2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z.当k ＝0时，得π8≤x ≤5π8.即f (x )的一个单调递增区间可以是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π8.答案：D3．若函数y ＝tan ωx (ω∈N *)的图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．6D ．9解析：因为正切函数f (x )＝tan x 图象的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z)，且函数y ＝tanωx (ω∈N *)的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，所以πω6＝k π2(k ∈Z)，因此ω＝3k (k ∈Z)．因为ω∈N *，所以当k ＝1时，ω取得最小值3，故选B. 答案：B4．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象与直线y ＝b (0<b <A )相交，其中一个交点P 的横坐标为4，若与P 相邻的两个交点的横坐标为2,8，则f (x )的单调递减区间为( )A ．[6k π，6k π＋3]，k ∈ZB ．[6k －3,6k ]，k ∈ZC ．[6k,6k ＋3]，k ∈ZD ．[6k π－3,6k π]，k ∈Z解析：根据题设中提供的数据信息可知周期T ＝6，结合f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象可知f (x )在区间[6k －3,6k ]，k ∈Z 上是单调递减的，故选B. 答案：B5．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且该函数图象关于点(x 0,0)成中心对称，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则x 0＝( )A.5π12 B.π4 C.π3D.π6解析：由题意得T 2＝π2，T ＝π，则ω＝2.由2x 0＋π6＝k π(k ∈Z)，得x 0＝k π2－π12(k ∈Z)，又x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以x 0＝5π12. 答案：A6．下列函数中最小正周期为π且图象关于直线x ＝π3对称的是( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 解析：由函数的最小正周期为π，可排除C.由函数图象关于直线x ＝π3对称知，该直线过函数图象的最高点或最低点，对于A ，因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3＋π3＝sin π＝0，所以选项A不正确．对于B ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3－π6＝sin π2＝1，所以选项B 正确，故选B.答案：B7．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R)，则f (x )( ) A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上是减函数 B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6上是增函数 C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π4上是增函数 D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6上是减函数解析：由f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3可知，f (x )的最小正周期为π.由k π≤x ＋π3≤π2＋k π(k∈Z)，得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π(k ∈Z)，即f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z)上单调递增；由π2＋k π≤x ＋π3≤π＋k π(k ∈Z)，得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z)，即f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z)上单调递减．将各选项逐项代入验证，可知B 正确．答案：B8．若函数f (x )同时具有以下两个性质：①f (x )是偶函数；②对任意实数x ，都有f ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x .则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝cos xB ．f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π2D ．f (x )＝cos 6x解析：由题意可得，函数f (x )是偶函数，且它的图象关于直线x ＝π4对称．因为f (x )＝cos x 是偶函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝22，不是最值，故不满足图象关于直线x ＝π4对称，故排除A.因为函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x 是奇函数，不满足条件①，故排除B.因为函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π2＝cos 4x 是偶函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－1，是最小值，故满足图象关于直线x ＝π4对称，故C 满足条件．因为函数f (x )＝cos 6x 是偶函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，不是最值，故不满足图象关于直线x ＝π4对称，故排除D.答案：C9．已知f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2图象相邻对称轴间的距离为π2，f (0)＝12，则g (x )＝2cos(ωx ＋φ)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A ．－ 3B ．－2C ．－1D ．1解析：由题意得函数f (x )的最小正周期为π，则ω＝2，由f (0)＝12，可得φ＝π6，所以g (x )＝2cos(ωx ＋φ)即为g (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，76π，得－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤32，则g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为－2.答案：B10．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3解析：由题图可知A ＝2，T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，则T ＝π，所以ω＝2， 则y ＝2sin(2x ＋φ)，因为题图经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2， 所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝2， 所以2π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝2k π－π6，k ∈Z ，当k ＝0时，φ＝－π6，所以y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，故选A. 答案：A11．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是__________．解析：由2x ＋π4＝k π(k ∈Z)得，x ＝k π2－π8(k ∈Z)．∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x轴交点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z.答案：⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z12．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为__________．解析：由f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6知，f (x )有对称中心⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π知f (x )有对称轴x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋23π＝712π.记f (x )的最小正周期为T ，则12T ≥π2－π6，即T ≥23π.故712π－π3＝π4＝T4，解得T ＝π. 答案：π13．函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |≤π4的值域为________．解析：函数变为y ＝1－sin 2x ＋sin x . 设t ＝sin x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |≤π4，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22.函数变为f (t )＝－t 2＋t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54，∴当t ＝12，即sin x ＝12，x ＝π6时，y max ＝54；当t ＝－22，即x ＝－π4时，y min ＝1－22. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，54 14．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是__________．解析：由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，故f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3。

第 3 讲 函数的奇偶性与周期性A 级 基础操练 (时间： 30 分钟满分： 55 分)一、选择题 (每题 5 分，共 20 分 )1．f(x)是定义在 R 上的奇函数，且知足 f(x ＋2)＝f(x)，又当 x ∈(0,1)时， f(x)＝ 2x－ 1，则 f(log 126)等于()．A ．－ 5B ．－6C ．－ 5D ．－ 16 21分析f(log 26)＝－ f(log 26)＝－ f(log 26－2)．3 3 1∵log 26－2＝log 22∈(0,1) ，∴ f log 22 ＝2，∴f(log 1 126) ＝－ 2.答案 D2．(2011 ·安徽 )设 f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≤ 0 时， f(x)＝2x 2－x ，则f(1)等于()．A ．－ 3B ．－1C ．1D ．3分析∵f(x)是定义在R 上的奇函数，且x ≤0 时，f(x)＝2x 2－x ，∴f(1)＝－ f(－21)＝－ 2×(－1) ＋(－1)＝－ 3.3．定义在 R 上的函数 f(x)知足 f(x)＝f(x ＋2)，当 x ∈[3,5] 时， f(x)＝2－|x －4|，则以下不等式必定建立的是()．A ．f cos2π 3 >f sin2π3B ． f(sin 1)<f(cos 1)C ．f sinπ 6 <f cosπ6D ．f(cos 2)>f(sin 2)分析 当 x ∈ [－1,1]时， x ＋4∈[3,5]，由 f(x)＝f(x ＋2)＝ f(x ＋4)＝ 2－ |x ＋ 4－ 4| ＝2－|x|，2π明显当 x ∈[ －1,0]时， f(x)为增函数；当 x ∈[0,1] 时， f(x)为减函数， cos 3 ＝－1 2π 3 1 1 1 3 2π 2π2，sin 3 ＝ 2 >2，又 f －2 ＝f 2 >f 2 ，所以 f cos 3 >f sin3 .答案 A－x，x ≥0，．·连云港一模 ) 已知函数 f(x) 1－2()．＝则该函数是4 (20132 x－1，x<0，A ．偶函数，且单一递加B ．偶函数，且单一递减C ．奇函数，且单一递加D ．奇函数，且单一递减分析当 x>0 时， f(－ x)＝2－x －1＝－ f(x)；当 x<0 时， f(－x)＝1－2－ (－ x)＝ 1－2x＝－ f(x)．当 x ＝0 时，f(0)＝ 0，故 f(x)为奇函数，且 f(x)＝1－2－x在[0，＋∞)上为增函数， f(x)＝2x －1 在 (－∞ ，0)上为增函数，又 x ≥0 时 1－ 2－x ≥0，x<0时 2x－1<0，故 f(x)为 R 上的增函数．答案 C二、填空题 (每题 5 分，共 10 分 )5．(2011 ·浙江 )若函数 f(x)＝x 2－|x ＋ a|为偶函数，则实数 a ＝________.分析由题意知，函数 f(x)＝ x 2－ |x ＋a|为偶函数，则 f(1)＝ f(－ 1)，∴ 1－|1＋a|＝1－|－ 1＋ a|，∴ a ＝0.答案6．(2012 ·上海 )已知 y ＝ f(x)＋ x 2是奇函数，且 f(1)＝1.若 g(x)＝f(x)＋ 2，则 g(－ 1)＝ ________.分析 由于 y ＝f(x)＋ x 2 是奇函数，且 x ＝1 时， y ＝ 2，所以当 x ＝－ 1 时， y ＝－2，即 f(－1)＋(－1)2＝－ 2，得 f(－1)＝－ 3，所以 g(－1)＝f(－ 1)＋2＝－ 1.答案－1三、解答题 (共 25 分 )7．(12 分 )已知 f(x)是定义在f(xy)＝yf(x)＋ xf(y)．R 上的不恒为零的函数，且对随意x ，y ，f(x)都知足(1)求 f(1)，f(－1)的值；(2)判断函数f(x)的奇偶性．解 (1)由于对定义域内随意 x ，y ，f(x)知足 f(xy)＝yf(x)＋xf(y)，所以令 x ＝y＝1，得 f(1)＝0，令 x＝ y＝－ 1，得 f(－ 1)＝0.(2)令 y＝－ 1，有 f(－x)＝－ f(x)＋ xf(－1)，代入 f(－ 1)＝0 得 f(－ x)＝－ f(x)，所以 f(x)是 (－∞，＋∞ )上的奇函数．8．(13 分)设定义在 [－ 2,2]上的偶函数f(x)在区间 [ － 2,0]上单一递减，若 f(1－m)<f(m)，务实数 m 的取值范围．解由偶函数性质知f(x) 在[0,2] 上单一递加，且f(1－ m)＝f(|1－ m|)，f(m)＝f(|m|)，－2≤1－m≤2，所以 f(1－ m)<f(m)等价于－2≤m≤2，|1－m|<|m|.1解得：2<m≤ 2.1所以实数 m 的取值范围是2，2 .B 级能力打破(时间：30 分钟满分： 45 分)一、选择题 (每题 5 分，共 10 分 )()．1．函数 f(x)的定义域为R，若 f(x＋1)与 f(x－1)都是奇函数，则A ．f(x)是偶函数B． f(x)是奇函数C．f(x)＝f(x＋2)D． f(x＋3)是奇函数分析由已知条件，得f(－ x＋ 1)＝－ f(x＋1)，f(－x－1)＝－ f(x－ 1)．由 f(－x ＋1)＝－ f(x＋ 1)，得 f(－x＋ 2)＝－ f(x)；由 f(－x－1)＝－ f(x－ 1)，得 f(－ x－ 2)＝－ f(x)．则 f(－x＋2)＝ f(－x－2)，即 f(x＋ 2)＝f(x－ 2)，由此可得 f(x＋ 4)＝f(x)，即函数 f(x)是以 4 为周期的周期函数，所以 f(x＋3)＝f(x－1)，即函数 f(x＋ 3) 也是奇函数．答案D．·福建设函数1，x为有理数，D(x)＝则以下结论错误的选项是()．2 (2012)0，x为无理数，A ．D(x)的值域为 {0,1}B． D(x)是偶函数C．D(x)不是周期函数D．D(x)不是单一函数分析明显 D(x)不但一，且D(x)的值域为 {0,1} ，所以选项 A 、D 正确．若 x是无理数，－ x， x＋ 1 是无理数；若 x 是有理数，－ x， x＋1 也是有理数．∴D(－ x)＝D(x)， D(x＋1)＝D(x)．则 D(x)是偶函数， D(x)为周期函数， B 正确，C错误．答案 C二、填空题 (每题 5 分，共 10 分 )3．f(x)＝2x＋ sin x 为定义在 (－ 1,1)上的函数，则不等式f(1－a)＋ f(1－ 2a)<0 的解集是 ________.分析f(x)在(－1,1)上是增函数，且 f(x)为奇函数．于是原不等式为f(1－ a)<f(2a －1<1－a<1，－1)等价于－ 1<2a－ 1<1，1－a<2a－1.2解得3<a<1.2答案3，14．若定义域为R的奇函数 f(x)知足 f(1＋x)＝－ f(x)，则以下结论：① f(x)的图象对于点1， 0对称；②f(x)的图象对于直线x＝1对称；③f(x)是周期函数，且 2 22是它的一个周期；④f(x)在区间 (－ 1,1)上是单一函数．此中全部正确的序是________．分析由函数为奇函数且知足 f(1＋x)＝－ f(x)，得 f(x＋2)＝f(x)，又 f 1＋ x－1 2＝－ f x－1，f1＋ x ＝f1－x ，所以②③正确．222答案②③三、解答题 (共 25 分 )2a5．(12 分 )已知函数 f(x)＝ x＋x(x≠0，常数 a∈R)．(1)议论函数 f(x)的奇偶性，并说明原因；(2)若函数 f(x)在 x∈[2，＋∞ )上为增函数．务实数 a 的取值范围．解 (1)函数 f(x)的定义域为 {x|x≠0} ，当a＝ 0 时， f(x)＝x2， (x≠0)明显为偶函数；当 a ≠0 时， f(1)＝ 1＋ a ， f(－ 1)＝1－a ，所以 f(1)≠f(－1)，且 f(－1)≠－ f(1)，所以函数 f(x)＝ x 2＋ax 既不是奇函数，也不是偶函数．a 2x 3－a(2) f ′(x)＝2x － x 2＝ x 2 ，当 a ≤ 0 时， f ′(x)>0，则 f(x)在[2，＋∞ )上是增函数，当 a>0 时，由 f ′(x)＝ 2x 3－ ax 2 >0，解得 x>3 a，＋∞ )上是增函数，，由 f(x)在[223 a可知≤2.解得 0<a ≤16.2综上可知实数 a 的取值范围是 (－∞， 16]．6．(13 分 )已知函数 f(x)的定义域为 R ，且知足 f(x ＋ 2)＝－ f(x)．(1)求证： f(x)是周期函数；1 1(2)若 f(x)为奇函数，且当 0≤ x ≤1 时， f(x)＝2x ，求使 f(x)＝－ 2在[0,2 014]上的全部 x 的个数．(1)证明∵ f(x ＋2)＝－ f(x)，∴ f (x ＋4)＝－ f(x ＋2)＝－ [ －f(x)] ＝f(x)，∴ f (x)是以 4 为周期的周期函数．1(2)解 当 0≤ x ≤ 1 时， f(x)＝2x ，设－ 1≤ x ≤0，则 0≤－ x ≤1，11∴ f (－x)＝ 2(－x)＝－ 2x.∵ f (x)是奇函数，∴ f(－x)＝－ f(x)，∴－ f(x)＝－1，即f(x)＝12x2x.1故 f(x)＝ 2x(－ 1≤ x ≤ 1)．又设 1<x<3，则－ 1<x － 2<1，1∴f(x－2)＝2(x－2)．又∵ f(x)是以 4 为周期的周期函数1∴f(x－2)＝f(x＋2)＝－ f(x)，∴－ f(x)＝2(x－ 2)，1∴f(x)＝－2(x－ 2)(1<x<3)．12x，－ 1≤x≤1，∴f(x)＝1－2 x－ 2 ，1<x<3.1由 f(x)＝－2，解得 x＝－ 1.∵f(x)是以 4 为周期的周期函数，1∴f(x)＝－2的全部 x＝ 4n－1(n∈Z)．1 2 015令 0≤ 4n－1≤2 014，则4≤ n≤ 4 .又∵ n∈Z，∴ 1≤n≤503(n∈Z )，1∴在 [0,2 014]上共有 503 个 x 使 f(x)＝－2.特别提示：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各样电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.。

课时规范练 A 组 基础对点练1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：当x ＞0时，f (x )＝3－x 为减函数； 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数， 当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．故选C. 答案：C2．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) A ．y ＝e －xB ．y ＝x 3C ．y ＝ln xD ．y ＝|x |解析：因为对数函数y ＝ln x 的定义域不是R ，故首先排除选项C ；因为指数函数y ＝e －x ，即y ＝⎝⎛⎭⎫1e x，在定义域内单调递减，故排除选项A ；对于函数y ＝|x |，当x ∈(－∞，0)时，函数变为y ＝－x ，在其定义域内单调递减，因此排除选项D ；而函数y ＝x 3在定义域R 上为增函数．故选B. 答案：B3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝lg|x |解析：A 中y ＝1x 是奇函数，A 不正确；B 中y ＝e －x ＝⎝⎛⎭⎫1e x 是非奇非偶函数，B 不正确；C 中y ＝－x 2＋1是偶函数且在(0，＋∞)上是单调递减的，C 正确；D 中y ＝lg|x |在(0，＋∞)上是增函数，D 不正确．故选C. 答案：C4．设f (x )＝x －sin x ，则f (x )( )A ．既是奇函数又是减函数B ．既是奇函数又是增函数C ．是有零点的减函数D ．是没有零点的奇函数解析：∵f (－x )＝－x －sin(－x )＝－(x －sin x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．又f ′(x )＝1－cos x ≥0， ∴f (x )单调递增，选B. 答案：B5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ＞0，cos x ，x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)解析：因为f (π)＝π2＋1，f (－π)＝－1，所以f (－π)≠f (π)，所以函数f (x )不是偶函数，排除A ；因为函数f (x )在(－2π，－π)上单调递减，排除B ；函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )不是周期函数，排除C ；因为x ＞0时，f (x )＞1，x ≤0时，－1≤f (x )≤1，所以函数f (x )的值域为[－1，＋∞)，故选D. 答案：D6．(2018·天津模拟)若函数f (x )满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)”，则f (x )的解析式可以是( ) A ．f (x )＝(x －1)2 B ．f (x )＝e x C ．f (x )＝1xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：根据条件知，f (x )在(0，＋∞)上单调递减． 对于A ，f (x )＝(x －1)2在(1，＋∞)上单调递增，排除A ； 对于B ，f (x )＝e x 在(0，＋∞)上单调递增，排除B ； 对于C ，f (x )＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，C 正确；对于D ，f (x )＝ln(x ＋1)在(0，＋∞)上单调递增，排除D. 答案：C7．设a ＞0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若函数f (x )＝a x 在R 上为减函数，则有0＜a ＜1；若函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上为增函数，则有2－a ＞0，即a ＜2，所以“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件，选A. 答案：A8．(2018·福州模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x <0a x ，x ≥0，(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B.⎣⎡⎭⎫13，1 C.⎝⎛⎦⎤0，13 D.⎝⎛⎦⎤0，23 解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧0<a <13a ≥1，∴13≤a <1.答案：B9．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2 C ．y ＝2－xD ．y ＝log 0.5(x ＋1)解析：A 项，y ＝x ＋1为(－1，＋∞)上的增函数，故在(0，＋∞)上递增；B 项，y ＝(x －1)2在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增；C 项，y ＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x为R 上的减函数；D 项，y ＝log 0.5(x ＋1)为(－1，＋∞)上的减函数．故选A. 答案：A10．已知f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )单调递减，设a ＝－21.2，b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.8，c ＝2log 5 2，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为( ) A ．f (c )<f (b )<f (a ) B ．f (c )<f (a )<f (b ) C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (a )>f (b )解析：依题意，注意到21.2>20.8＝⎝⎛⎭⎫12－0.8>20＝1＝log 55>log 54＝2log 52>0，又函数f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，于是有f (21.2)<f (20.8)<f (2log 52)，由函数f (x )是偶函数得f (a )＝f (21.2)，因此f (a )<f (b )<f (c )，选C. 答案：C11．(2018·长沙统考)已知函数f (x )＝x 12，则( )A ．∃x 0∈R ，f (x 0)<0B ．∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≥0C ．∃x 1，x 2∈[0，＋∞)，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0D ．∀x 1∈[0，＋∞)，∃x 2∈[0，＋∞)，f (x 1)>f (x 2)解析：幂函数f (x )＝x 12的值域为[0，＋∞)，且在定义域上单调递增，故A 错误，B 正确，C错误，D 选项中当x 1＝0时，结论不成立，选B. 答案：B12．对于函数f (x )，在使f (x )≥M 成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值叫作函数f (x )的下确界．现已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝－3x 2＋2，则f (x )的下确界为( ) A ．2 B ．1 C ．0D ．－1解析：函数f (x )在R 上的部分图象如图所示，易得下确界为－1.故选D.答案：D13．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x ＜1的值域为________．解析：当x ≥1时，log 12x ≤0，当x ＜1时，0＜2x ＜2，故值域为(0,2)∪(－∞，0]＝(－∞，2)．答案：(－∞，2)14．(2018·江西赣中南五校联考)函数f (x )＝x ＋2x －1的值域为________． 解析：由2x －1≥0可得x ≥12，∴函数的定义域为⎣⎡⎭⎫12，＋∞， 又函数f (x )＝x ＋2x －1在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上单调递增， ∴当x ＝12时，函数取最小值f ⎝⎛⎭⎫12＝12， ∴函数f (x )的值域为⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 答案：⎣⎡⎭⎫12，＋∞15．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.解析：由f (x )＝⎩⎨⎧－2x －a ，x ＜－a22x ＋a ，x ≥－a2，可得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫－a2，＋∞，故3＝－a2，解得a ＝－6.答案：－616．已知函数f (x )＝x ＋ax (x ≠0，a ∈R)，若函数f (x )在(－∞，－2]上单调递增，则实数a 的取值范围是__________．解析：设x 1<x 2≤－2，则Δy ＝f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋a x 1－x 2－ax 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1－a x 1x 2 ＝(x 1－x 2)(x 1x 2－a )x 1x 2.因为x 1－x 2<0，x 1x 2>0，所以要使Δy ＝(x 1－x 2)(x 1x 2－a )x 1x 2<0恒成立，只需使x 1x 2－a >0恒成立，即a <x 1x 2恒成立．因为x 1<x 2≤－2，所以x 1x 2>4，所以a ≤4，故函数f (x )在(－∞，－2]上单调递增时，实数a 的取值范围是(－∞，4]． 答案：(－∞，4]B 组 能力提升练1．已知f (x )是定义域为(－1,1)的奇函数，而且f (x )是减函数，如果f (m －2)＋f (2m －3)>0，那么实数m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫1，53 B.⎝⎛⎭⎫－∞，53C ．(1,3)D.⎝⎛⎭⎫53，＋∞ 解析：∵f (x )是定义域为(－1,1)的奇函数， ∴－1<x <1，f (－x )＝－f (x )．∵f (m －2)＋f (2m －3)>0可转化为f (m －2)>－f (2m －3)，∴f (m －2)>f (－2m ＋3)， ∵f (x )是减函数，∴m －2<－2m ＋3， ∵⎩⎪⎨⎪⎧－1<m －2<1，－1<2m －3<1，m －2<－2m ＋3，∴1<m <53.故选A. 答案：A2．(2018·陕西西安一中模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln (x ＋1)，x ＞0，若f (2－x 2)＞f (x )，则实数x的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C ．(－1,2) D ．(－2,1)解析：∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，∴函数的图象是一条连续的曲线．∵当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数，当x ＞0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数，∴函数f (x )是定义在R 上的增函数．因此，不等式f (2－x 2)＞f (x )等价于2－x 2＞x ，即x 2＋x －2＜0，解得－2＜x ＜1.故选D. 答案：D3．若f (x )＝e x －a e －x 为奇函数，则f (x －1)＜e －1e 的解集为( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，1)C ．(2，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：因为f (x )＝e x －a e －x 为奇函数，所以f (0)＝1－a ＝0，即a ＝1，则f (x )＝e x －e －x 在R 上单调递增，且f (1)＝e －1e .则由f (x －1)＜e －1e，得f (x －1)＜f (1)，即x －1＜1，解得x ＜2，所以不等式f (x －1)＜e －1e 的解集为(－∞，2)．故选A.答案：A4．若函数f (x )＝x 2－12ln x ＋1在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B.⎣⎡⎭⎫1，32 C ．[1,2)D.⎣⎡⎭⎫32，2解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，所以k －1≥0，即k ≥1.令f ′(x )＝4x 2－12x ＝0，解得x＝12⎝⎛⎭⎫x ＝－12舍.因为函数f (x )在区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，所以k －1＜12＜k ＋1，得－12＜k ＜32.综上得1≤k ＜32. 答案：B5．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[1,2] B.⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎣⎡⎦⎤12，2D ．(0,2]解析：由已知条件得f (－x )＝f (x )，则f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)⇒f (log 2a )＋f (－log 2a )≤2f (1)⇒f (log 2a )≤f (1)，又f (log 2a )＝f (|log 2a |)且f (x )在[0，＋∞)上单调递增，∴|log 2a |≤1⇒－1≤log 2a ≤1，解得12≤a ≤2，选C.答案：C6．设函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，则( ) A ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是增函数 B ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是减函数 C ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是增函数 D ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是减函数解析：因为函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12，则(m －1)ln 3＝0，即m ＝1，则f (x )＝ln(1＋x )＋ln(1－x )＝ln(1－x 2)，在(0,1)上，当x 增大时，1－x 2减小，ln(1－x 2)减小，即f (x )在(0,1)上是减函数，故选B. 答案：B7．已知函数f (x )＝lg(a x －b x )＋x 中，常数a ，b 满足a ＞1＞b ＞0，且a ＝b ＋1，那么f (x )＞1的解集为( ) A ．(0,1) B ．(1，＋∞) C ．(1,10)D ．(10，＋∞)解析：由a x －b x ＞0，即⎝⎛⎭⎫a b x＞1，解得x ＞0，所以函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．因为a ＞1＞b ＞0，所以y ＝a x 单调递增，y ＝－b x 单调递增，所以t ＝a x －b x 单调递增．又y ＝lg t 单调递增，所以f (x )＝lg(a x －b x )＋x 为增函数．而f (1)＝lg(a －b )＋1＝lg 1＋1＝1，所以x ＞1时f (x )＞1，故f (x )＞1的解集为(1，＋∞)．故选B. 答案：B8．已知函数f (x )是定义在R 上的单调递增函数，且满足对任意的实数x 都有f (f (x )－3x )＝4，则f (x )＋f (－x )的最小值等于( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．12解析：由f (x )的单调性知存在唯一实数K 使f (K )＝4，即f (x )＝3x ＋K ，令x ＝K 得f (K )＝3K ＋K ＝4，所以K ＝1，从而f (x )＝3x ＋1，即f (x )＋f (－x )＝3x ＋13x ＋2≥23x ·13x ＋2＝4，当且仅当x ＝0时取等号．故选B. 答案：B9．“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：充分性：当a <0时，f (x )＝|(ax －1)·x |＝－ax 2＋x 为图象开口向上的二次函数，且图象的对称轴为直线x ＝12a ⎝⎛⎭⎫12a <0，故f (x )在(0，＋∞)上为增函数；当a ＝0时，f (x )＝x ，为增函数．必要性：f (0)＝0，当a ≠0时，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝0，若f (x )在(0，＋∞)上为增函数，则1a<0，即a <0.f (x )＝x 时，f (x )为增函数，此时a ＝0.综上，a ≤0为f (x )在(0，＋∞)上为增函数的充分必要条件． 答案：C10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －1)x ＋4－2a ，x <11＋log 2x ，x ≥1.若f (x )的值域为R ，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(－∞，2]C ．(0,2]D ．[2，＋∞)解析：依题意，当x ≥1时，f (x )＝1＋log 2x 单调递增，f (x )＝1＋log 2x 在区间[1，＋∞)上的值域是[1，＋∞)．因此，要使函数f (x )的值域是R ，则需函数f (x )在(－∞，1)上的值域M ⊇(－∞，1)．①当a －1<0，即a <1时，函数f (x )在(－∞，1)上单调递减，函数f (x )在(－∞，1)上的值域M ＝(－a ＋3，＋∞)，显然此时不能满足M ⊇(－∞，1)，因此a <1不满足题意；②当a －1＝0，即a ＝1时，f (x )在(－∞，1)上的值域M ＝{2}，此时不能满足M ⊇(－∞，1)，因此a ＝1不满足题意；③当a －1>0，即a >1时，函数f (x )在(－∞，1)上单调递增，函数f (x )在(－∞，1)上的值域M ＝(－∞，－a ＋3)，由M ⊇(－∞，1)得⎩⎨⎧a >13－a ≥1，解得1<a ≤2.综上所述，满足题意的实数a 的取值范围是(1,2]，选A. 答案：A11．(2018·重庆模拟)若函数f (x )在[a ，b ]上的值域为⎣⎡⎦⎤a 2，b 2，则称函数f (x )为“和谐函数”．给出下列4个函数：①g (x )＝x －1＋14；②p (x )＝1x ；③q (x )＝ln x ；④h (x )＝x 2.其中“和谐函数”的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：由题意知，若f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，需满足f (a )＝a 2，f (b )＝b2，若f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，需满足f (b )＝a 2，f (a )＝b2.①g (x )＝x －1＋14在[1，＋∞)上为增函数，则g (a )＝a 2，g (b )＝b 2，即a ，b 是函数g (x )＝x2的两个根，即x －1＋14＝x2，则x －1＝－14＋x2，作出函数y ＝x －1和y ＝－14＋x2的图象如图：则这两个函数的图象有两个交点，满足条件．②p (x )＝1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数，则p (b )＝a 2，p (a )＝b2，即⎩⎨⎧1a ＝b 21b ＝a2，即ab ＝2，当a ＝12，b ＝4时，满足条件．③q (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，则q (a )＝a 2，q (b )＝b 2，即a ，b 是函数q (x )＝x2的两个根，即ln x ＝x 2，作出y ＝ln x 和y ＝x2的图象如图：则这两个函数的图象没有交点，不满足条件．④当x ≥0时，h (x )＝x 2为增函数，则h (a )＝a 2，h (b )＝b 2，即a ，b 是函数h (x )＝x2的两个根，作出y ＝x 2和y ＝x2的图象如图：则这两个函数的图象有两个交点，满足条件．故选C. 答案：C12．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋4x ，x >0，－x 2－2x ，x ≤0的值域为__________． 解析：当x >0时，f (x )＝x 2－2x ＋4x ＝x ＋4x－2， 由基本不等式可得x ＋4x ≥2x ·4x ＝4(当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时等号成立)， 所以f (x )＝x ＋4x－2≥4－2＝2，即函数f (x )的取值范围为[2，＋∞)； 当x ≤0时，f (x )＝－x 2－2x ＝－(x ＋1)2＋1，因为当x ＝－1时，f (x )取得最大值1， 所以函数f (x )的取值范围为(－∞，1]．综上，函数f (x )的值域为(－∞，1]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x ≤1，x ＋6x －6，x ＞1，则f (f (－2))＝__________，f (x )的最小值是__________．解析：因为f (－2)＝4，f (4)＝－12，所以f (f (－2))＝－12；x ≤1时，f (x )min ＝0，x ＞1时，f (x )min ＝26－6，又26－6＜0，所以f (x )min ＝26－6.答案：－1226－6 14．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是________．解析：因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减．又f (2|a －1|)＞f (－2)，f (－2)＝f (2)，故－2＜2|a －1|＜2，则|a －1|＜12，所以12＜a ＜32. 答案：⎝⎛⎭⎫12，3215．(2018·北京模拟)已知函数f (x )＝x x 2＋1，关于f (x )的性质，有下列四个结论： ①f (x )的定义域是(－∞，＋∞)；②f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，12；③f (x )是奇函数；④f (x )是区间(0,2)上的增函数．其中正确结论的个数是________．解析：对于①，∵函数f (x )＝x x 2＋1，∴f (x )的定义域是(－∞，＋∞)，故①正确； 对于②，当x ≠0时，f (x )＝1x ＋1x ，若x ＞0，则0＜f (x )≤12，若x ＜0，则－12≤f (x )＜0；当x ＝0时，f (x )＝0，故f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，12，故②正确； 对于③，f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，故③正确；对于④，f ′(x )＝1－x 2(x 2＋1)2，令f ′(x )＞0，解得－1＜x ＜1，令f ′(x )＜0，解得x ＞1或x ＜－1， ∴f (x )在区间(0,2)上先增后减，故④错误．综上可知，正确结论的个数是3.答案：3。