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第2讲 抛体运动知识点一 平抛运动1.定义：将物体以一定的初速度沿 抛出，物体只在 作用下(不考虑空气阻力)的运动.2.性质：平抛运动是加速度为g 的 运动，运动轨迹是 .3.研究方法：用运动的合成与分解方法研究平抛运动. (1)水平方向： 运动. (2)竖直方向： 运动.4.基本规律 (1)速度关系：(2)位移关系：(3)轨迹方程：y ＝ .答案：1.水平方向 重力 2.匀变速曲线 抛物线 3.(1)匀速直线 (2)自由落体 4.(1)gt v 2x ＋v 2ygtv 0(2)v 0t 12gt 2x 2＋y 2gt 2v 0 (3)g 2v 20x 2知识点二 斜抛运动1.定义：将物体以初速度v 0 或 抛出，物体只在 作用下的运动.2.性质：斜抛运动是加速度为g 的 运动，运动轨迹是 .3.研究方法：用运动的合成与分解方法研究斜抛运动. (1)水平方向： 运动. (2)竖直方向： 运动.答案：1.斜向上方 斜向下方 重力 2.匀变速曲线 抛物线 3.(1)匀速直线 (2)匀变速直线(1)平抛运动的轨迹是抛物线，速度方向时刻变化，加速度方向也可能时刻变化.( ) (2)无论初速度是斜向上方还是斜向下方的斜抛运动都是匀变速曲线运动.( ) (3)做平抛运动的物体质量越大，水平位移越大.( )(4)做平抛运动的物体初速度越大，落地时竖直方向的速度越大.( ) (5)从同一高度水平抛出的物体，不计空气阻力，初速度大的落地速度大.( ) (6)做平抛运动的物体，在任意相等的时间内速度的变化是相同的.( ) 答案：(1) (2)√ (3) (4) (5) (6)√恒力作用下物体的轨迹1.如果恒力的方向和速度同向，则物体匀加速；恒力方向和速度相反，则物体匀减速.2.如果恒力的方向和速度不在同一条直线上，则物体的轨迹是抛物线.证明：类比斜上抛，把恒力作用时的初速度垂直恒力、平行恒力分解，如图建立坐标系，则在x 方向，x ＝v 0x t 在y 方向，y ＝v 0y t ＋12at 2其中a ＝F m消去时间t 得，y ＝v 0y v 0x x ＋F 2mv 0xx 2 注意到初速度的两个分量及质量都是常量，可见上式的图象是抛物线，即恒力作用下的曲线运动是抛物线.考点平抛运动的基本规律1.飞行时间：由t ＝2hg知，飞行时间取决于下落高度h ，与初速度v 0无关.2.水平射程：x ＝v 0t ＝v 02hg，即水平射程由初速度v 0和下落高度h 共同决定.3.落地速度：v ＝v 20＋v 2y ＝v 20＋2gh ，落地时速度与水平方向夹角为θ，有tan θ＝v y v x＝2ghv 0.故落地速度只与初速度v 0和下落高度h 有关. 4.两个重要推论(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图所示，B 是OC 的中点.(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α.考向1 落点在水平面上的平抛运动[典例1] (多选)如图所示，从某高度处水平抛出一小球，经过时间t 到达地面时，速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g .下列说法正确的是( )A.小球水平抛出时的初速度大小为gttan θB.小球在t 时间内的位移方向与水平方向的夹角为θ2C.若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长D.若小球初速度增大，则θ减小[解析] 由tan θ＝gt v 0可得小球平抛的初速度大小v 0＝gttan θ，A 正确；由tan α＝h x＝12gt 2v 0t＝gt 2v 0＝12tan θ 可知，α≠θ2，B 错误；小球做平抛运动的时间t ＝2hg，与小球初速度无关，C 错误；由tan θ＝gtv 0可知，v 0越大，θ越小，D 正确.[答案] AD考向2 落点在竖直面上的平抛运动[典例2] (2017·山东潍坊模拟)(多选)从竖直墙的前方A 处，沿AO 方向水平发射三颗弹丸a 、b 、c ，在墙上留下的弹痕如图所示，已知Oa ＝ab ＝bc ，则a 、b 、c 三颗弹丸( )A.初速度之比是6∶3∶ 2B.初速度之比是1∶2∶ 3C.从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶2∶ 3D.从射出至打到墙上过程速度增量之比是6∶3∶ 2[解析] 水平发射的弹丸做平抛运动，竖直方向上是自由落体运动，水平方向上是匀速直线运动.又因为竖直方向上Oa ＝ab ＝bc ，即Oa ∶Ob ∶Oc ＝1∶2∶3，由h ＝12gt 2可知：t a ∶t b ∶t c ＝1∶2∶3，由水平方向x ＝v 0t 可知：v a ∶v b ∶v c ＝1∶12∶13＝6∶3∶2，故选项A 正确，B 错误；由Δv ＝gt 可知：从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶2∶3，故选项C 正确，D 错误.[答案] AC考向3 落点在曲面上的平抛运动[典例3] (2017·江淮十校联考)如图所示，AB 为半圆环ACB 的水平直径，C 为环上的最低点，环半径为R .一个小球从A 点以速度v 0水平抛出，不计空气阻力，则下列判断正确的是( )A.v 0越大，小球落在圆环时的时间越长B.即使v 0取值不同，小球掉到环上时的速度方向和水平方向之间的夹角也相同C.若v 0取值适当，可以使小球垂直撞击半圆环D.无论v 0取何值，小球都不可能垂直撞击半圆环[解析] 小球落在环上的最低点C 时时间最长，所以选项A 错误.v 0取值不同，小球掉到环上时的速度方向和水平方向之间的夹角不相同，选项B 错误.要使小球垂直撞击半圆环，设小球落点与圆心的连线与水平方向夹角为θ，根据平抛运动规律，v 0t ＝R (1＋cos θ)，R sinθ＝12gt 2，tan θ＝gtv 0，联立解得，cos θ＝1，即垂直撞击到B 点，这是不可能的，所以选项D 正确，C 错误.[答案]D“化曲为直”思想在平抛运动中的应用(1)根据运动效果的等效性，利用运动分解的方法，将其转化为我们所熟悉的两个方向上的直线运动：①水平方向的匀速直线运动； ②竖直方向的自由落体运动.(2)运用运动合成的方法求出平抛运动的速度、位移等. 考点与斜面有关的平抛运动1.与斜面有关的平抛运动有两种模型 (1)物体从空中抛出落在斜面上. (2)物体从斜面上抛出落在斜面上.解答时要充分运用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度与水平方向夹角的关系是解题的关键.2.两种模型对比考向1 从斜面上平抛[典例4] 如图所示，在斜面顶端的A 点以速度v 0平抛一小球，经t 1时间落到斜面上B点处，若在A 点将此小球以速度0.5v 0水平抛出，经t 2时间落到斜面上的C 点处，以下判断正确的是( )A.AB ∶AC ＝2∶1B.AB ∶AC ＝4∶1C.t 1∶t 2＝4∶1D.t 1∶t 2＝2∶1[解析] 由平抛运动规律有：x ＝v 0t ，y ＝12gt 2，则tan θ＝y x ＝gt2v 0，将两次实验数据均代入上式，联立解得t 1∶t 2＝2∶1，C 、D 均错误；它们的竖直位移之比y B ∶y C ＝12gt 21∶12gt 22＝4∶1，所以AB ∶AC ＝y B sin θ∶y Csin θ＝4∶1，故A 错误，B 正确.[答案] B[变式1] (多选)如图所示，倾角为θ的斜面上有A 、B 、C 三点，现从这三点分别以不同的初速度水平抛出一小球，三个小球均落在斜面上的D 点，今测得AB ∶BC ∶CD ＝5∶3∶1.由此可判断( )A.A 、B 、C 处三个小球运动时间之比为1∶2∶3B.A 、B 、C 处三个小球落在斜面上时速度与初速度间的夹角之比为1∶1∶1C.A 、B 、C 处三个小球的初速度大小之比为3∶2∶1D.A 、B 、C 处三个小球的运动轨迹可能在空中相交答案：BC 解析：由于沿斜面AB ∶BC ∶CD ＝5∶3∶1，故三个小球竖直方向运动的位移之比为9∶4∶1，运动时间之比为3∶2∶1，A 项错误；斜面上平抛的小球落在斜面上时，速度与初速度之间的夹角α满足tan α＝2tan θ，与小球抛出时的初速度大小和位置无关，因此B 项正确；同时tan α＝gtv 0，所以三个小球的初速度之比等于运动时间之比，为3∶2∶1，C 项正确；三个小球的运动轨迹(抛物线)在D 点相交，因此不会在空中相交，D 项错误.考向2 对着斜面平抛[典例5] (多选)如图所示，斜面倾角为θ，位于斜面底端A 正上方的小球以初速度v 0正对斜面顶点B 水平抛出，小球到达斜面经过的时间为t ，重力加速度为g ，则下列说法中正确的是( )A.若小球以最小位移到达斜面，则t ＝2v 0cot θgB.若小球垂直击中斜面，则t ＝v 0cot θgC.若小球能击中斜面中点，则t ＝2v 0cot θgD.无论小球到达斜面何处，运动时间均为t ＝2v 0tan θg[解题指导] (1)以最小位移到达斜面，小球的位移与斜面垂直，则需分解位移. (2)小球垂直击中斜面，则需分解末速度.[解析] 小球以最小位移到达斜面时即位移与斜面垂直，位移与水平方向的夹角为π2－θ，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝y x ＝gt2v 0，即t ＝2v 0cot θg ，A 正确，D 错误；小球垂直击中斜面时，速度与水平方向的夹角为π2－θ，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝gt v，即t ＝v 0cot θg ，B 正确；小球击中斜面中点时，令斜面长为2L ，则水平射程为L cos θ＝v 0t ，下落高度为L sin θ＝12gt 2，联立两式得t ＝2v 0tan θg，C 错误.[答案] AB[变式2] (2017·黑龙江哈尔滨第一中学期中)如图所示，斜面AC 与水平方向的夹角为α，在A 点正上方与C 等高处水平抛出一小球，其速度垂直落到斜面上D 点，则CD 与DA 的比值为( )A.1tan α B.12tan αC.1tan 2αD.12tan 2α答案：D 解析：设小球水平方向的速度为v 0，将D 点的速度进行分解，水平方向的速度等于平抛运动的初速度，通过角度关系求得竖直方向的末速度为v 2＝v 0tan α，设该过程用时为t ，则D 、A 间水平距离为x ＝v 0t ，故DA ＝x cos α＝v 0t cos α；C 、D 间竖直距离为h ＝v 2t2，故CD ＝hsin α＝v 2t 2sin α，得CD DA ＝12tan 2α，故选项D 正确. 考点生活中的抛体运动考向1 生活中的平抛运动[典例6] (2015·新课标全国卷Ⅰ)一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示.水平台面的长和宽分别为L 1和L 2，中间球网高度为h .发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h .不计空气的作用，重力加速度大小为g .若乒乓球的发射速率v 在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v 的最大取值范围是( )A.L 12g6h <v <L 1g 6hB.L 14g h <v < 4L 21＋L 22）g6hC.L 12g 6h <v <12 4L 21＋L 22）g6hD.L 14g h <v <124L 21＋L 22）g6h[解题指导] 求解本题的关键是确定两个临界状态：(1)发射速率较小时，乒乓球刚好沿中心线擦着球网的边缘落到球网右侧台面上； (2)发射速率较大时，乒乓球刚好能落在球网右侧台面上且落点是两台角处(而非中心线处).[解析] 当发射机正对右侧台面发射，乒乓球恰好过网时，发射速度最小.由平抛运动规律，L 12＝v 1t,2h ＝12gt 2，联立解得v 1＝L 14gh.当发射机正对右侧台面的某个角发射，乒乓球恰好到达角上时，发射速度最大.由平抛运动规律，L 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫L 222＝v 2t ′，3h ＝12gt ′2，联立解得v 2＝12 4L 21＋L 22）g 6h .即速度v 的最大取值范围为L 14g h <v <12 4L 21＋L 22）g6h，选项D正确.[答案] D考向2 生活中的斜抛运动[典例7] 如图所示，将一篮球从地面上方B 点斜向上抛出，刚好垂直击中篮板上A 点，不计空气阻力，若抛射点B 向篮板方向水平移动一小段距离，仍使抛出的篮球垂直击中A 点，则可行的是( )A.增大抛射速度v 0，同时减小抛射角θB.减小抛射速度v 0，同时减小抛射角θC.增大抛射角θ，同时减小抛射速度v 0D.增大抛射角θ，同时增大抛射速度v 0[解析] 由于篮球始终垂直击中A 点，可应用逆向思维，把篮球的运动看做从A 点开始的平抛运动.当B 点水平向左移动一小段距离时，A 点抛出的篮球仍落在B 点，则竖直高度不变，水平位移减小，球到B 点的时间t ＝2hg不变，竖直分速度v y ＝2gh 不变，水平方向由x ＝v x t 知x 减小，v x 减小，合速度v 0＝v 2x ＋v 2y 变小，与水平方向的夹角tan θ＝v y v x变大，综合可知选项C 正确.[答案] C[变式3] 如图所示，水平地面上不同位置的三个小球斜上抛，沿三条不同的路径运动最终落在同一点，三条路径的最高点是等高的，若忽略空气阻力的影响，下列说法正确的是( )A.沿路径1抛出的小球落地的速率最小B.沿路径3抛出的小球在空中运动时间最长C.三个小球抛出的初速度竖直分量相等D.三个小球抛出的初速度水平分量相等答案：C 解析：根据运动的合成与分解，将初速度分解为竖直方向和水平方向的分速度，设初速度方向与竖直方向的夹角为θ，故有小球沿竖直方向的速度分量v竖直＝v 0cos θ，根据小球的运动轨迹可知，三个小球沿竖直方向的分速度相同，根据竖直上抛运动特点可知，三个小球在空中运动时间相同，所以B 错误，C 正确；而θ1>θ2>θ3，故得知v 01>v 02>v 03，落地时重力做功为零，所以落地时的速率与初速度的大小相同，所以A 错误；小球沿水平方向的速度分量v 水平＝v 0sin θ，可知沿路径1抛出的小球水平速度分量最大，所以D 错误.1.斜抛运动的物体只受重力，运动性质为匀变速曲线运动.2.解决斜上抛运动的基本方法仍然是分解法，其水平分运动为匀速直线运动，竖直分运动为竖直上抛运动.3.斜上抛运动在最高点的速度水平，若从最高点考虑可按平抛运动处理.1.[水平面上的平抛运动]“套圈圈”是老少皆宜的游戏，如图所示，大人和小孩在同一竖直线上的不同高度处分别以水平速度v 1、v 2抛出铁圈，都能套中地面上同一目标，设铁圈在空中运动的时间分别为t 1、t 2，则( )A.v 1＝v 2B.v 1>v 2C.t 1＝t 2D.t 1>t 2答案：D 解析：根据平抛运动的规律h ＝12gt 2知，运动的时间由下落的高度决定，故t 1>t 2，所以C 错误，D 正确；由题图知，两铁圈水平位移相同，再根据x ＝vt ，可得：v 1<v 2，故A 、B 错误.2.[平抛运动的计算]以v 0的速度水平抛出一物体，当其水平分位移与竖直分位移大小相等时，下列说法错误的是( )A.此时速度的大小是5v 0B.运动时间是2v 0gC.竖直分速度大小等于水平分速度大小D.运动的位移是22v 2g答案：C 解析：物体做平抛运动，根据平抛运动的规律可得 水平方向上：x ＝v 0t竖直方向上：h ＝12gt 2当其水平分位移与竖直分位移大小相等时，即x ＝h 所以v 0t ＝12gt 2解得t ＝2v 0g，所以B 正确；平抛运动竖直方向上的速度为v y ＝gt ＝g ·2v 0g＝2v 0，所以C 错误；此时合速度的大小为v 20＋v 2y ＝5v 0，所以A 正确；由于此时的水平分位移与竖直分位移相等，所以x ＝h ＝v 0t ＝v 0·2v 0g ＝2v 2g所以此时运动的合位移的大小为x 2＋h 2＝2x ＝22v 2g，所以D 正确.3.[斜面上的平抛运动]一个小球从一斜面顶端分别以v 10、v 20、v 30水平抛出，分别落在斜面上1、2、3点，如图所示，落到斜面时竖直分速度分别是v 1y 、v 2y 、v 3y ，则( )A.v 1y v 10>v 2y v 20>v 3yv 30 B.v 1y v 10<v 2y v 20<v 3yv 30C.v 1y v 10＝v 2y v 20＝v 3yv 30D.条件不足，无法比较答案：C 解析：设小球落到斜面上时速度方向与水平方向的夹角为α，由tan α＝v yv 0＝gt v 0＝gt 2v 0t ＝2y x ＝2tan θ，所以v 1y v 10＝v 2y v 20＝v 3yv 30，选项C 正确. 4.[平抛运动中的相遇问题](多选)如图所示，a 、b 两个小球从不同高度同时沿相反方向水平抛出，其平抛运动轨迹的交点为P ，则以下说法正确的是( )A.a 、b 两球同时落地B.b 球先落地C.a 、b 两球在P 点相遇D.无论两球初速度大小多大，两球总不能相遇答案：BD 解析：由h ＝12gt 2可得t ＝2hg，因h a >h b ，故b 球先落地，B 正确，A 错误；两球的运动轨迹相交于P 点，但两球不会同时到达P 点，故无论两球初速度大小多大，两球总不能相遇，C 错误，D 正确.5.[生活中的平抛运动]如图所示，窗子上、下沿间的高度H ＝1.6 m ，墙的厚度d ＝0.4 m ，某人在离墙壁距离L ＝1.4 m 、距窗子上沿h ＝0.2 m 处的P 点，将可视为质点的小物件以v 的速度水平抛出，小物件直接穿过窗口并落在水平地面上，取g ＝10 m/s 2.则v 的取值范围是( )A.v >7 m/sB.v <2.3 m/sC.3 m/s<v <7 m/sD.2.3 m/s<v <3 m/s答案：C 解析：小物件做平抛运动，可根据平抛运动规律解题.若小物件恰好经窗子上沿，则有h ＝12gt 21，L ＝v 1t 1，得v 1＝7 m/s ；若小物件恰好经窗子下沿，则有h ＋H ＝12gt 22，L ＋d ＝v 2t 2，得v 2＝3 m/s ，所以3 m/s<v <7 m/s ，故只有C 项正确.。
第四章曲线运动万有引力与航天第1讲曲线运动运动的合成与分解考纲下载：运动的合成与分解(Ⅱ)主干知识·练中回扣——忆教材夯基提能1．曲线运动(1)速度的方向：沿曲线上该点的切线方向。
(2)运动性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻改变，故曲线运动一定是变速运动。
(3)曲线运动的条件：①运动学角度：物体的加速度方向跟速度方向不在同一条直线上。
②动力学角度：物体所受合力的方向跟速度方向不在同一条直线上。
2．运动的合成与分解(1)分运动和合运动：一个物体同时参与几个运动，参与的这几个运动即分运动，物体的实际运动即合运动。
(2)运动的合成：已知分运动求合运动的过程。
(3)运动的分解：已知合运动求分运动的过程。
(4)运算法则：平行四边形定则或三角形定则。
巩固小练1．判断正误(1)做曲线运动的物体的速度大小一定发生变化。
(×)(2)做曲线运动的物体的加速度一定是变化的。
(×)(3)曲线运动是变速运动。
(√)(4)曲线运动可能是匀变速运动。
(√)(5)两个分运动的时间一定与它们合运动的时间相等。
(√)(6)合运动的速度一定比分运动的速度大。
(×)(7)两个直线运动的合运动一定是直线运动。
(×)[曲线运动的条件与轨迹]2．质点做曲线运动从A到B速率逐渐增加，如图所示，有四位同学用示意图表示A到B的轨迹及速度方向和加速度的方向，其中正确的是( )解析：选D 质点做曲线运动时速度方向一定沿曲线在该点的切线方向，而加速度方向一定指向轨迹凹侧，故B、C均错误；因质点从A到B的过程中速率逐渐增加，故加速度与速度方向间的夹角为锐角，D正确，A错误。
[合运动与分运动关系的理解]3．下列说法正确的是( )A．各分运动互相影响，不能独立进行B．合运动的时间一定比分运动的时间长C．合运动和分运动具有等时性，即同时开始、同时结束D．合运动的位移大小等于两个分运动位移大小之和解析：选C 各分运动具有独立性，A错误；合运动与分运动具有等时性，B错误，C正确；合运动的位移与分运动的位移满足矢量合成的法则，D错误。
第2讲抛体运动的规律及应用一、平抛运动1．定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在________作用下的运动．2．性质：平抛运动是加速度为g的________曲线运动，运动轨迹是抛物线．3．研究方法：运动的合成与分解．(1)水平方向：________直线运动；(2)竖直方向：________运动．4．基本规律：如图所示，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向．(1)位移关系(2)速度关系(3)常用推论：①图中C点为水平位移中点；②tan θ＝2tan α.注意θ与α不是2倍关系．二、斜抛运动1．定义：将物体以初速度v0________或斜向下方抛出，物体只在________作用下的运动．如图所示．2．性质：斜抛运动是加速度为g的________曲线运动，运动轨迹是________．3．研究方法：运动的合成与分解(1)水平方向：________直线运动；(2)竖直方向：________直线运动．,生活情境1.一架投放救灾物资的飞机在受灾区域的上空水平地匀速飞行，从飞机上投放的救灾物资在落地前的运动中(不计空气阻力)(1)速度和加速度都在不断改变．( )(2)速度和加速度方向之间的夹角一直减小．( )(3)在相等的时间内速度的改变量相等．( )(4)在相等的时间内速率的改变量相等．( )(5)在相等的时间内动能的改变量相等．( )教材拓展2.(多选)为了验证平抛运动的小球在竖直方向上做自由落体运动，用如图所示的装置进行实验．小锤打击弹性金属片，A球水平抛出，同时B球被松开，自由下落，关于该实验，下列说法中正确的有( )A．两球的质量应相等B．两球应同时落地C．应改变装置的高度，多次实验D．实验也能说明A球在水平方向上做匀速直线运动考点一平抛运动规律的应用用“化曲为直”的思想处理平抛运动中落点在水平面上的问题时，将研究对象抽象为质点平抛运动模型，处理平抛运动的基本方法是运动的分解(化曲为直)．即同时又要注意合运动与分运动的独立性、等时性．例1.[2021·河北卷，2]铯原子钟是精确的计时仪器．图1中铯原子从O点以100 m/s 的初速度在真空中做平抛运动，到达竖直平面MN所用时间为t1；图2中铯原子在真空中从P点做竖直上抛运动，到达最高点Q再返回P点，整个过程所用时间为t2.O点到竖直平面MN、P点到Q点的距离均为0.2 m．重力加速度取g＝10m.则t1∶t2为( )s2A．100∶1 B．1∶100跟进训练1.在高空中匀速飞行的轰炸机，每隔时间t投放一颗炸弹，若不计空气阻力，则投放的炸弹在空中的位置是选项中的(图中竖直的虚线将各图隔离)( )2．[2022·陕西五校联考]墙网球又叫壁球，场地类似于半个网球场，如图所示，在场地一侧立有一竖直墙壁，墙壁上离地面一定高度的位置画了水平线(发球线)，在发球区发出的球必须击中发球线以上位置才有效，假设运动员在某个固定位置将球发出，发球速度(球离开球拍时的速度)方向与水平面的夹角为θ，球击中墙壁位置离地面的高度为h，球每次都以垂直墙壁的速度撞击墙壁，设球撞击墙壁的速度大小为v，球在与墙壁极短时间的撞击过程中无机械能损失，球撞到墙壁反弹后落地点到墙壁的水平距离为x，不计空气阻力，球始终在与墙壁垂直的平面内运动，则下列说法正确的是( )A．h越大，x越大B．v越小，x越大C．h越大，θ越大 D．v越大，h越大考点二平抛运动与各种面结合问题角度1落点在斜面上分解位移，构建位移三例2. [2022·江西八校联考](多选)如图所示，小球A从斜面顶端水平抛出，落在斜面上的Q点，在斜面底端P点正上方水平抛出小球B，小球B也刚好落在斜面上的Q点，B球，A、B 抛出点离斜面底边的高度是斜面高度的一半，Q点到斜面顶端的距离是斜面长度的23两球均可视为质点，不计空气阻力，则A、B两球( )A．平抛运动的时间之比为2∶1B．平抛运动的时间之比为3∶1C．平抛运动的初速度之比为1∶2D．平抛运动的初速度之比为1∶1角度2落点在曲面上例3. [2022·浙江温州一模]如图所示为某种水轮机的示意图，水平管出水口的水流速度恒定为v 0，当水流冲击到水轮机上某挡板时，水流的速度方向刚好与该挡板垂直，该档板的延长线过水轮机的转轴O ，且与水平方向的夹角为30°.当水轮机圆盘稳定转动后，挡板的线速度恰为冲击该挡板的水流速度的一半．忽略挡板的大小，不计空气阻力，若水轮机圆盘的半径为R ，则水轮机圆盘稳定转动的角速度大小为( )A.v 02R B ．v0RC ．√3v 0RD ．2v 0R跟进训练.3 [2022·浙江名校统测]如图所示，水平地面有一个坑，其竖直截面为y ＝kx 2的抛物线(k ＝1，单位为m －1)，ab 沿水平方向，a 点横坐标为－3s2，在a 点分别以初速度v 0、2v 0(v 0未知)沿ab 方向抛出两个石子并击中坑壁，且以v 0、2v 0抛出的石子做平抛运动的时间相等．设以v 0和2v 0抛出的石子做平抛运动的时间为t ，击中坑壁瞬间的速度分别为v 1和v 2，下落高度为H ，仅s 和重力加速度g 为已知量，不计空气阻力，则(选项中只考虑数值大小，不考虑单位)( )A ．不可以求出tB ．可求出t 的大小为 √4sg C ．可以求出v 1的大小为 √3g+16gs 24D ．可求出H 的大小为2s 2考点三 生活中的平抛运动(STSE 问题)素养提升情境1投篮游戏[2021·新疆第二次联考]如图甲所示，投篮游戏是小朋友们最喜欢的项目之一，小朋友站立在水平地面上双手将皮球水平抛出，皮球进入篮筐且不擦到篮筐就能获得一枚小红旗．如图乙所示，篮筐的半径为R，皮球的半径为r，篮筐中心和出手处皮球的中心高度为h1和h2，两中心在水平地面上的投影点O1、O2之间的距离为d.忽略空气的阻力，已知重力加速度为g.设出手速度为v，要使皮球能入筐，则下列说法中正确的是( )A．出手速度大的皮球进筐前运动的时间也长B．速度v只能沿与O1O2连线平行的方向C．速度v的最大值为(d＋R－r)√g2(h2−h1)D．速度v的最小值为(d－R＋r)√2gh2−h1[思维方法]1．处理平抛运动中的临界问题要抓住两点(1)找出临界状态对应的临界条件；(2)用分解速度或者分解位移的思想分析平抛运动的临界问题．2．平抛运动临界极值问题的分析方法(1)确定研究对象的运动性质；(2)根据题意确定临界状态；(3)确定临界轨迹，画出轨迹示意图；(4)应用平抛运动的规律结合临界条件列方程求解．情境2农林灌溉农林灌溉需要扩大灌溉面积，通常在水管的末端加上一段尖管，示意图如图所示，尖管，尖管水平，不考虑空气阻力的影响，下列说法正确的是( )的直径是水管直径的13A．由于增加尖管，单位时间的出水量增加2倍B．由于增加尖管，水平射程增加3倍C．增加尖管前后，空中水的质量不变D．由于增加尖管，水落地时的速度大小增加8倍情境3海鸥捕食[2021·山东卷，16] 海鸥捕到外壳坚硬的鸟蛤(贝类动物)后，有时会飞到空中将它丢下，利用地面的冲击打碎硬壳．一只海鸥叼着质量m＝0.1 kg的鸟蛤，在H＝20 m的高度、，以v0＝15 m/s的水平速度飞行时，松开嘴巴让鸟蛤落到水平地面上．取重力加速度g＝10ms2忽略空气阻力．(1)若鸟蛤与地面的碰撞时间Δt ＝0.005 s ，弹起速度可忽略，求碰撞过程中鸟蛤受到的平均作用力的大小F ；(碰撞过程中不计重力)(2)在海鸥飞行方向正下方的地面上，有一与地面平齐、长度L ＝6 m 的岩石，以岩石左端为坐标原点，建立如图所示坐标系．若海鸥水平飞行的高度仍为20 m ，速度大小在15～17 m/s 之间，为保证鸟蛤一定能落到岩石上，求释放鸟蛤位置的x 坐标范围．第2讲 抛体运动的规律及应用必备知识·自主排查一、 1．重力 2．匀变速3．(1)匀速 (2)自由落体 4．(1)12gt 2√x 2+y 2yx(2)√v x 2+v y 2 v y v x二、1．斜向上方 重力 2．匀变速 抛物线 3．(1)匀速 (2)匀变速生活情境1．(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)× 教材拓展2．解析：根据合运动与分运动的等时性和独立性特点可知，两球应同时落地，为减小实验误差，应改变装置的高度，多次做实验，选项B 、C 正确；平抛运动的实验与小球的质量无关，选项A 错误；此实验只能说明A 球在竖直方向做自由落体运动，选项D 错误．答案：BC关键能力·分层突破例1 解析：设距离d ＝0.2 m ，铯原子做平抛运动时有d ＝v 0t 1，做竖直上抛运动时有d ＝12g (t 22)2，解得t 1t 2＝1200.故A 、B 、D 错误，C 正确．答案：C1．解析：由题意可知，炸弹被投放后做平抛运动，它在水平方向上做匀速直线运动，与飞机速度相等，所以所有离开飞机的炸弹与飞机应在同一条竖直线上，故A 、C 错误；炸弹在竖直方向上做自由落体运动，从上至下，炸弹间的距离越来越大．故B 正确，D 错误．答案：B 2．解析：将球离开球拍后撞向墙壁的运动反向视为平抛运动，该平抛运动的初速度大小为v ，反弹后球做平抛运动的初速度大小也为v ，两运动的轨迹有一部分重合，运动员在某个固定位置发球，因此不同的发球速度对应击中墙壁的不同高度h ，但所有轨迹均经过发球点，如图所示，h 越大，球从发球点运动到击墙位置的运动时间越长，墙壁到发球点的水平位移x ′相同，则v 越小，由图可知，反弹后球做平抛运动的水平位移x 越小，选项A 、B 、D 错误；设球击中墙壁的位置到发球点的高度为h ′，由平抛运动的推论可知2h ′x ′＝tan θ，则h ′越大，即h 越大，θ越大，选项C 正确．答案：C例2 解析：依题意及几何关系可知，小球A 下落的高度为斜面高度的23，小球B 下落高度为斜面高度的12再减去斜面高度的13，则根据公式h ＝12gt 2，可知A 、B 两球平抛运动时间之比为tA tB ＝2，选项A 正确，B 错误；两小球在水平方向做匀速直线运动，有x ＝v 0t ，小球A水平分位移为斜面宽度的23，小球B 水平分位移为斜面宽度的13，代入上式联立可得v 0A v 0B＝1，选项C 错误，D 正确．答案：AD 例3 解析：由几何关系可知，水流冲击挡板时，水流的速度方向与水平方向成60°角，则有vy v 0＝tan 60°，所以水流速度为v ＝√v 02+v y2 ＝2v 0，根据题意知被冲击后的挡板的线速度为v ′＝12v ＝v 0，所以水轮机圆盘稳定转动的角速度大小为ω＝v ′R＝v0R，选项B 正确．答案：B3．解析：由题可知，两个石子做平抛运动，运动时间一样，则下落的高度H 一样，又因为落在抛物线上，a 、b 是关于y 轴对称的点，可得如下关系3s 2－v 0t ＝2v 0t －3s2，可得v 0t ＝s ，可分别得出落在坑壁上两个石子的横坐标分别为－s 2和s2，由y ＝kx 2，可得初始高度为9s 24，可求得此时高度为s 24，所以利用高度值差可求得H ＝2s 2，由H ＝12gt 2可求出平抛运动的运动时间t ＝ √2Hg ＝2s √1g ，故选项D 正确，A 、B 错误；由前面可求出v 0＝st ＝√g2，竖直方向上的速度v y ＝gt ＝2s √g ，由运动的合成可得v 1＝√v 02+v y2 ＝√g+16gs 24，故选项C 错误．答案：D情境1 解析：本题考查平抛，属于应用性题．平抛运动的时间由下落的高度决定，则进筐的皮球运动时间相同，A 错误；与O 1O 2连线方向成一个合适的角度投出的皮球也可能进筐，B 错误；皮球沿与O 1O 2连线平行的方向投出，下落的高度为h 2－h 1，水平射程临界分别为d ＋R －r 和d ＋r －R ，则投射的最大速度为v max ＝√2(h 2−h 1)g＝(d ＋R －r ) √g2(h 2−h 1)最小速度为v min ＝√2(h 2−h 1)g＝(d －R ＋r ) √g2(h 2−h 1)C 正确，D 错误． 答案：C情境2 解析：单位时间的出水量与单位时间输入水管的量有关，与是否增加尖管无关，选项A 错误；设尖管中水的流速为v 0，水管中水的流速为v ，水管的半径为r ，根据相同时间Δt 内水的流量相同可得，π(r3)2v 0Δt ＝πr 2v Δt ，得水管、尖管中水的流速之比为v v 0＝19，根据平抛运动规律，有h ＝12gt 2，增加尖管后水平射程x 0＝v 0t ＝v 0√2hg ，不加尖管时水平射程x ＝vt ＝v √2hg，可得xx 0＝19，Δx ＝x 0－x ＝8x ，故由于增加尖管，水平射程增加8倍，选项B 错误；不加尖管时，空中水的质量m ＝ρπr 2x ，加尖管时空中水的质量为m 0＝ρ·π(r 3)2·x 0＝πρr 2x ，则m ＝m 0，选项C 正确；由动能定理有mgh ＝12mv 12－12mv 2、m 0gh ＝12m 0v −2212m 0v 02，解得增加尖管前后水落地时的速度分别为v1＝√2g ℎ+v 2、v2＝√2g ℎ+v 02 ，v 2−v 1v 1≠8，选项D 错误．答案：C情境3 解析：(1)设平抛运动的时间为t，鸟蛤落地前瞬间的速度大小为v.竖直方向gt2，v y＝gt，v＝√v02+v y2.分速度大小为v y，根据运动的合成与分解得H＝12在碰撞过程中，以鸟蛤为研究对象，取速度v的方向为正方向，由动量定理得－FΔt ＝0－mv联立并代入数据得F＝500 N(2)若释放鸟蛤的初速度为v1＝15 m/s，设击中岩石左端时，释放点的x坐标为x1，击中岩石右端时，释放点的x坐标为x2，则有x1＝v1t，x2＝x1＋L联立并代入数据得x1＝30 m，x2＝36 m若释放鸟蛤时的初速度为v2＝17 m/s，设击中岩石左端时，释放点的x坐标为x′1，击中岩石右端时，释放点的x坐标为x′2，则有x′1＝v2t，x′2＝x′1＋L联立并代入数据得x′1＝34 m，x′2＝40 m综上得x坐标范围为[34 m，36 m].。
第四章曲线运动万有引力与航天第2讲抛体运动过好双基关————回扣基础知识训练基础题目一、平抛运动1．定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动．2．性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．3．研究方法：运动的合成与分解(1)水平方向：匀速直线运动；(2)竖直方向：自由落体运动．4．基本规律如图，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向．(1)位移关系(2)速度关系二、斜抛运动1．定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动．2．性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．3．研究方法：运动的合成与分解(1)水平方向：匀速直线运动；(2)竖直方向：匀变速直线运动．4．基本规律(以斜上抛运动为例，如图所示)(1)水平方向：v0x＝v0cos_θ，F合x＝0；(2)竖直方向：v0y＝v0sin_θ，F合y＝mg.研透命题点————细研考纲和真题分析突破命题点命题点一平抛运动基本规律的应用1．飞行时间由t ＝2h g知，时间取决于下落高度h ，与初速度v 0无关．2．水平射程x ＝v 0t ＝v 02h g，即水平射程由初速度v 0和下落高度h 共同决定，与其他因素无关．3．落地速度v ＝v 2x ＋v 2y ＝v 20＋2gh ，以θ表示落地速度与水平正方向的夹角，有tan θ＝v y v x ＝2gh v 0，落地速度与初速度v 0和下落高度h 有关．4．速度改变量因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g ，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt 内的速度改变量Δv ＝g Δt 是相同的，方向恒为竖直向下，如图所示．5．两个重要推论(1)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图所示，即x B ＝x A 2.(2)做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，有tanθ＝2tanα.◆类型1单个物体的平抛运动【例1】发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球(忽略空气的影响)．速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网．其原因是()A．速度较小的球下降相同距离所用的时间较多B．速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大C．速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少D．速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大答案C解析由题意知，两个乒乓球均做平抛运动，则根据h＝1gt2及v2y＝2gh可2知，乒乓球的运动时间、下降的高度及竖直方向速度的大小均与水平速度大小无关，故选项A、B、D均错误；由发出点到球网的水平位移相同时，速度较大的球运动时间短，在竖直方向下落的距离较小，可以越过球网，故C 正确．【例2】(多选)以v0的速度水平抛出一物体，当其水平分位移与竖直分位移大小相等时，下列说法正确的是()A．此时速度的大小是5v0B．运动时间是2v0gC．竖直分速度大小等于水平分速度大小D．运动的位移是22v20g答案ABD解析物体做平抛运动，根据平抛运动的规律可得水平方向上：x＝v0t，竖直方向上：h＝12gt2，当其水平分位移与竖直分位移大小相等时，即x＝h，所以v0t＝12gt2解得t＝2v0g，故B正确；平抛运动竖直方向上的速度为v y＝gt＝g·2v0g＝2v0，故C错误；此时合速度的大小为v20＋v2y＝5v0，故A正确；由于此时的水平分位移与竖直分位移相等，所以x＝h＝v0t＝v0·2v0g ＝2v20g，所以此时运动的合位移的大小为x2＋h2＝2x＝22v20g，故D正确．【变式1】如图所示，某一小球以v0＝10m/s的速度水平抛出，在落地之前经过空中A、B两点，在A点小球速度方向与水平方向的夹角为45°，在B点小球速度方向与水平方向的夹角为60°(空气阻力忽略不计，g取10 m/s2)．以下判断正确的是()A．小球经过A、B两点间的时间间隔t＝3sB．小球经过A、B两点间的时间间隔t＝1sC．A、B两点间的高度差h＝10mD．A、B两点间的高度差h＝15m答案C解析根据平行四边形定则知，v yA＝v0＝10m/s，v yB＝v0tan60°＝3v0＝103m/s，则小球由A到B的时间间隔t＝v yB－v yAg＝103－1010s＝(3－1)s，故A、B错误；A、B的高度差h＝v2yB－v2yA2g＝300－10020m＝10m，故C正确，D错误．◆类型2多个物体的平抛运动1．若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出，则两物体始终在同一高度，二者间距只取决于两物体的水平分运动．2．若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同，二者间距由物体的水平分运动和竖直高度差决定．3．若两物体从同一点先后抛出，两物体竖直高度差随时间均匀增大，二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动．4．两条平抛运动轨迹的相交处只是两物体的可能相遇处，两物体必须同时到达此处才会相遇．【例3】(2020·江苏卷)(多选)如图所示，小球A 、B 分别从2l 和l 的高度水平抛出后落地，上述过程中A 、B 的水平位移分别为l 和2l .忽略空气阻力，则()A ．A 和B 的位移大小相等B ．A 的运动时间是B 的2倍C ．A 的初速度是B 的12D ．A 的末速度比B 的大答案AD 解析位移为初位置到末位置的有向线段，如图所示可得s A ＝l 2＋2l 2＝5l ，s B ＝l 2＋2l 2＝5l ，A 和B 的位移大小相等，A 正确；平抛运动运动的时间由高度决定，即t A ＝2×2l g ＝2×2l g ，t B ＝2×l g ＝2l g 则A 的运动时间是B 的2倍，B 错误；平抛运动，在水平方向上做匀速直线运动，则v xA ＝l t A ＝gl 2，v xB ＝2l t B ＝2gl ，即A 的初速度是B 的122，C 错误；小球A 、B 在竖直方向上的速度分别为v yA ＝2gl ，v yB ＝2gl ，所以可得v A ＝17gl 2，v B ＝2gl ＝16gl 2，即v A >v B ，D 正确．故选AD.【变式2】在水平路面上做匀速直线运动的小车上有一固定的竖直杆，车上的三个水平支架上有三个完全相同的小球A 、B 、C ，它们离地面的高度分别为3h 、2h 和h ，当小车遇到障碍物P 时，立即停下来，三个小球同时从支架上水平抛出，先后落到水平路面上，如图所示，不计空气阻力，则下列说法正确的是()A ．三个小球落地时间差与车速有关B ．三个小球落地点的间隔距离L 1＝L 2C ．三个小球落地点的间隔距离L 1<L 2D ．三个小球落地点的间隔距离L 1>L 2答案C 解析落地时间只与下落的高度有关，故A 项错误；三个小球在竖直方向上做自由落体运动，由公式t ＝2h g 可得下落时间之比为t A ∶t B ∶t C ＝3∶2∶1，故水平位移之比x A ∶x B ∶x C ＝3∶2∶1，则L 1∶L 2＝(3－2)∶(2－1)，故L1<L2，故C正确，B、D错误．◆模型1对着竖直墙壁平抛.如图所示，水平初速度v0不同时，虽然落点不同，但水平位移d相同，t＝dv0【例4】(多选)从竖直墙的前方A处，沿AO方向水平发射三颗弹丸a、b、c，在墙上留下的弹痕如图所示，已知Oa＝ab＝bc，则a、b、c三颗弹丸(不计空气阻力)()A．初速度之比是6∶3∶2B．初速度之比是1∶2∶3C．从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶2∶3D．从射出至打到墙上过程速度增量之比是6∶3∶2答案AC解析水平发射的弹丸做平抛运动，竖直方向上是自由落体运动，水平方向上是匀速直线运动，又因为竖直方向上Oa ＝ab ＝bc ，即Oa ∶Ob ∶Oc ＝1∶2∶3，由h ＝12gt 2可知t a ∶t b ∶t c ＝1∶2∶3，由水平方向x ＝v 0t 可得v a ∶v b ∶v c ＝1∶12∶13＝6∶3∶2，故选项A 正确，B 错误；由Δv ＝gt ，可知从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶2∶3，故选项C 正确，D 错误．◆模型2斜面上的平抛问题1．顺着斜面平抛(如图)方法：分解位移．x ＝v 0t ，y ＝12gt 2，tan θ＝y x ，可求得t ＝2v 0tan θg.2．对着斜面平抛(垂直打到斜面，如图)方法：分解速度．v x＝v0，v y＝gt，tanθ＝v0v y ＝v0 gt，可求得t＝v0g tanθ.【例5】在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v和v2的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上．甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的()A．2倍B．4倍C．6倍D．8倍答案A解析如图所示，可知：x＝vt，x·tanθ＝12gt2，v y＝gt＝2tanθ·v则落至斜面的速率v落＝v2＋v2y＝v1＋4tan2θ，即v落∝v，甲、乙两球抛出速度为v和v2，则可得落至斜面时速率之比为2∶1.【变式3】如图所示，在坡度一定的斜面顶点以大小相同的速度v0同时水平向左与水平向右抛出两个小球A和B，两侧斜坡的倾角分别为37°和53°，小球均落在坡面上．若不计空气阻力，则A和B两小球的运动时间之比为()A ．16∶9B ．9∶16C ．3∶4D ．4∶3答案B 解析对于A 落到坡面上时，有12gt 2A v 0t A ＝tan 37°，即12gt A v 0＝tan 37°，对于B 落到坡面上时，有12gt 2B v 0t B ＝tan 53°，即12gt B v 0＝tan 53°，所以t A t B ＝tan 37°tan 53°＝916，B 正确．【变式4】甲、乙两个同学打乒乓球，某次动作中，甲同学持拍的拍面与水平方向成45°角，乙同学持拍的拍面与水平方向成30°角，如图所示．设乒乓球击打拍面时速度方向与拍面垂直，且乒乓球每次击打球拍前、后的速度大小相等，不计空气阻力，则乒乓球击打甲的球拍的速度v 1与乒乓球击打乙的球拍的速度v 2之比为()A ．63B ．2C ．22D ．33答案C 解析由题可知，乒乓球在甲与乙之间做斜上抛运动，根据斜上抛运动的特点可知，乒乓球在水平方向的分速度大小保持不变，竖直方向的分速度是不断变化的，由于乒乓球击打拍面时速度与拍面垂直，在甲处：v x ＝v 1sin 45°，在乙处：v x ＝v 2sin 30°；所以：v 1v 2＝v x sin 45°v x sin 30°＝22，故C 正确，A 、B 、D 错误．◆模型3半圆内的平抛问题如图所示，半径和几何关系制约平抛运动时间t ：h＝12gt 2，R ±R 2－h 2＝v 0t ，联立两方程可求t .【例6】如图，从O 点以水平初速度v 1、v 2抛出两个小球(可视为质点)，最终它们分别落在圆弧上的A 点和B 点，已知OA 与OB 互相垂直，且OA 与竖直方向成α角，不计空气阻力，则两小球初速度之比v 1∶v 2为()A ．tan αB ．cos αC ．tan αtan αD ．cos αtan α答案C 解析设圆弧半径为R ，两小球运动时间分别为t 1、t 2.对球1：R sin α＝v 1t 1，R cos α＝12gt 21，对球2：R cos α＝v 2t 2，R sin α＝12gt 22，解四式可得：v 1v 2＝tan αtan α，C 正确．【变式5】如图所示，半径为R 的竖直半球形碗固定于水平面上，碗口水平且AB 为直径，O 点为碗的球心．将一弹性小球(可视为质点)从AO 连线上的某点C 沿CO 方向以某初速度水平抛出，经历时间t ＝R g(重力加速度为g )小球与碗内壁第一次碰撞，之后可以恰好返回C 点．假设小球与碗内壁碰撞前后瞬间小球的切向速度不变，法向速度等大反向．不计空气阻力，则C 、O 两点间的距离为()A ．2R 3B ．3R 3C ．3R 2D ．2R 2答案C 解析小球在竖直方向的位移为h ＝12gt 2＝12R ，设小球与半球形碗碰撞点为D ，则DO 与水平方向的夹角为30°，过D 点作CO 的垂线交OB 于E 点，则OE ＝R 2－R 22＝32R ，小球下落h 时竖直方向的速度为v y ＝gt ＝gR ，由题意可知小球垂直打在碗上，则水平方向的速度v 0＝v y tan 60°＝3gR ，所以水平方向的位移为x ＝v 0t ＝3R ，由几何关系可知，CO ＝3R －32R ＝32R ，故C 正确．【例7】抛体运动在各类体育运动项目中很常见，如乒乓球运动．现讨论乒乓球发球问题，设球台长2L 、网高h ，乒乓球反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力．(设重力加速度为g)(1)若球在球台边缘O 点正上方高度为h 1处以速度v 1水平发出，落在球台上的P 1点(如图中实线所示)，求P 1点距O 点的距离x 1.(2)若球从O 点正上方某高度处以速度v 2水平发出，恰好在最高点时越过球网落在球台上的P 2点(如图中虚线所示)，求v 2的大小．(3)若球从O 点正上方水平发出后，球经反弹恰好越过球网且刚好落在对方球台边缘P 3点，求发球点距O 点的高度h 3.答案(1)v 12h 1g (2)L 2g 2h (3)43h 解析(1)如图甲所示，根据平抛规律得甲h 1＝12gt 21，x 1＝v 1t 1，联立解得：x 1＝v 12h 1g.(2)设球从高度h 2处以速度v 2水平抛出，根据平抛规律得：h 2＝12gt 22，x 2＝v 2t 2且h 2＝h,2x 2＝L ，联立解得v 2＝L 2g 2h.(3)如图乙所示，得：h 3＝12gt 23，x 3＝v 3t 3乙且3x 3＝2L 设球从恰好越过球网到达到最高点时所用的时间为t ，水平距离为s ，有h 3－h ＝12gt 2s ＝v 3t由几何关系得：x 3＋s ＝L ，解得：h 3＝43h .。
第2讲 抛体运动教材知识梳理一、平抛运动1．定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，不考虑空气阻力，物体只在________作用下的运动．2．性质：属于匀变速曲线运动，其运动轨迹为________．3．研究方法：分解成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的________两个分运动． 4．规律(1)水平方向：________运动，v x ＝v 0，x ＝v 0t ，a x ＝0. (2)竖直方向：________运动，v y ＝gt ，y ＝12gt 2，a y ＝g .(3)实际运动：v ＝v 2x ＋v 2y ，s ＝x 2＋y 2，a ＝________． 二、类平抛运动1．定义：加速度恒定、加速度方向与初速度方向________的运动． 2．性质：属于匀变速曲线运动，其运动轨迹为________．3．研究方法：一般将类平抛运动沿________和加速度两个方向分解． 4．运动规律：与平抛运动类似．答案：一、1.重力 2.抛物线 3.自由落体运动 4．(1)匀速直线 (2)自由落体 (3)g 二、1.垂直 2.抛物线 3.初速度【思维辨析】(1)平抛运动是匀变速曲线运动．( ) (2)平抛运动的加速度方向时刻在变化．( ) (3)平抛运动的竖直分运动是自由落体运动．( )(4)做平抛运动的物体在任意时刻的速度方向与水平方向的夹角保持不变．( ) (5)做平抛运动的物体在任意相等的两段时间内的速度变化相同．( )(6)对于在相同高度以相同速度平抛的物体，在月球上水平位移与在地球上水平位移相等．( ) 答案：(1)(√) (2)(×) (3)(√) (4)(×) (5)(√) (6)(×)考点互动探究考点一 平抛运动规律和推论的应用1.水平射程和飞行时间 (1)飞行时间：由t ＝2hg可知，飞行时间只与h 、g 有关，与v 0无关．(2)水平射程：由x ＝v 0t ＝v 02hg可知，水平射程由v 0、h 、g 共同决定．2．落地速度：v ＝v 2x ＋v 2y ＝v 20＋2gh ，与水平方向的夹角的正切tan α＝v y v x＝2ghv 0，所以落地速度与v 0、g 和h 有关．3．速度改变量：物体在任意相等时间内的速度改变量Δv ＝g Δt 相同，方向恒为竖直向下，如图4101所示．图41014．平抛运动的两个重要推论：推论一：做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为β，则tan α＝2tan β.推论二：做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻的瞬时速度方向的反向延长线一定过此时水平位移的中点，即图中B 点为OC 的中点．图4102[2016·贵阳质量检测] 如图4103所示，在同一平台上的O 点水平抛出的三个物体，分别落到a 、b 、c 三点，则三个物体运动的初速度v a 、v b 、v c 的关系和三个物体运动的时间t a 、t b 、t c 的关系分别是( )图4103A ．v a >v b >v c ，t a >t b >t cB ．v a <v b <v c ，t a ＝t b ＝t cC ．v a <v b <v c ，t a >t b >t cD ．v a >v b >v c ，t a <t b <t c 答案：C[解析] 三个物体下落的高度h a >h b >h c ，根据h ＝12gt 2知，t a >t b >t c .又知x a <x b <x c ，根据x ＝vt 知，a 的水平位移最短，时间最长，则速度最小；c 的水平位移最长，时间最短，则速度最大，所以有v a <v b <v c ，故C 正确，A 、B 、D 错误．1 [2016·福建质量检测] 如图4104所示，将a 、b 两小球以不同的初速度同时水平抛出，它们均落在水平地面上的P 点，a 球抛出时的高度比b 球的高，P 点到两球起抛点的水平距离相等，不计空气阻力．与b 球相比，a 球( )图4104A ．初速度较大B ．速度变化率较大C ．落地时速度一定较大D ．落地时速度方向与其初速度方向的夹角较大答案：D [解析] 根据题述，两球水平位移相等．由于a 球抛出时的高度比b 球的高，由h ＝12gt 2可知，a 球飞行时间长，由x ＝v 0t 可知，a 球的初速度一定较小，选项A 错误．两球都只受重力作用，加速度都是g ，即速度变化率相同，ΔvΔt＝g ，选项B 错误．小球落地时速度v 是水平速度与竖直速度的合速度，a 球的初速度(水平速度)小，竖直速度大，所以不能判断哪个小球落地时速度较大，a 球落地时速度方向与其初速度方向的夹角较大，选项C 错误，选项D 正确．2 如图4105所示，将一小球从坐标原点沿着水平轴Ox以v0＝2 m/s的速度抛出，经过一段时间小球到达P点，M为P点在Ox轴上的投影，作小球轨迹在P点的切线并反向延长，与Ox轴相交于Q 点，已知QM＝3 m，则小球运动的时间为()图4105A．1 s B．2 s C．3 s D．4 s答案：C [解析] 由平抛运动的推论可知，Q为OM的中点，则从O点运动到P点的过程中，小球发生的水平位移s水平＝OM＝2QM＝6 m．由于水平方向做匀速直线运动，则小球在这段过程中运动的时间为t＝3 s.考点二考向一平抛与斜面体结合(多选)[2016·广州模拟] 如图4106所示，不计空气阻力，从O点水平抛出的小球抵达光滑斜面上端P处时，速度方向恰好沿着斜面方向，然后紧贴斜面PQ做匀加速直线运动．下列说法正确的是( )图4106A．小球在斜面上运动的加速度大小比平抛运动时的大B．小球在斜面上运动的加速度大小比平抛运动时的小C．撤去斜面，小球仍从O点以相同速度水平抛出，落地速率将不变D．撤去斜面，小球仍从O点以相同速度水平抛出，落地时间将不变答案：BC[解析] 小球做平抛运动时，加速度为重力加速度g，在斜面上运动时，加速度为a＝g sin α(α为斜面的倾角)，选项A错误，选项B正确；小球平抛后又紧贴斜面PQ做匀加速直线运动，小球在斜面上所受的弹力对小球不做功，整个过程只有重力做功，而撤去斜面，小球仍从O点以相同速度水平抛出，整个过程也只有重力做功，两种方式小球机械能守恒，所以小球落地速率将不变，选项C正确；当在斜面上运动时，由运动的合成与分解知，小球在竖直方向的加速度小于重力加速度g，所以撤去斜面后，小球落地时间变短，选项D错误．(多选)[2016·石家庄调研检测] 如图4107所示，一固定斜面倾角为θ，将小球A从斜面顶端以速率v0水平向右抛出，小球击中了斜面上的P点；将小球B从空中某点以相同速率v0水平向左抛出，小球恰好垂直斜面击中Q点．不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是( )图4107A．若小球A在击中P点时速度方向与水平方向所夹锐角为φ，则tan θ＝2tan φB．若小球A在击中P点时速度方向与水平方向所夹锐角为φ，则tan φ＝2tan θC．小球A、B在空中运动的时间之比为2tan2θ∶1D．小球A、B在空中运动的时间之比为tan2θ∶1答案：BC [解析] 由题图可知，斜面的倾角θ等于小球A落在斜面上时的位移与水平方向的夹角，由平抛运动的推论可知，tan φ＝2tan θ，选项A错误，选项B正确；设小球A在空中运动的时间为t1，小球B 在空中运动的时间为t 2，则由平抛运动的规律可得tan θ＝12gt 21v 0t 1，tan θ＝v 0gt 2，故t 1t 2＝2tan 2 θ1，选项C 正确，选项D 错误．考向二 平抛运动与弧面结合] 如图4108所示，竖直平面内有一段圆弧MN ，小球从圆心O 处水平抛出．若初速度为v a ，小球将落在圆弧上的a 点；若初速度为v b ，小球将落在圆弧上的b 点．已知Oa 、Ob 与竖直方向的夹角分别为α、β，不计空气阻力，则()图4108A.v a v b ＝sin αsin β B.v a v b ＝cos βcos α C.v a v b ＝cos βcos α·sin αsin β D.v a v b ＝sin αsin β·cos βcos α答案：D[解析] 小球水平抛出，做平抛运动，若落到a 点，则有R sin α＝v a t a ，R cos α＝12gt 2a ，解得v a ＝gR 2cos α·sin α；若落到b 点，则有R sin β＝v b t b ，R cos β＝12gt 2b ，解得v b ＝gR2cos β·sin β，故v a v b ＝sin αsin β·cos βcos α如图4109所示，水平路面出现了一个地坑，其竖直截面为半圆．AB 为沿水平方向的直径．一辆行驶的汽车发现情况后紧急刹车安全停下，但两颗石子分别以速度v 1、v 2从A 点沿AB 方向水平飞出，分别落于C 、D 两点，C 、D 两点距水平路面的高度分别为圆弧半径的0.6倍和1倍，则v 1∶v 2的值为()图4109A. 3B.35 C.3155 D.335答案：C [解析] 设圆弧的半径为R ，根据平抛运动规律得x 1＝v 1t 1，x 2＝v 2t 2，联立得v 1v 2＝x 1t 2x 2t 1＝（R ＋0.8R ）t 2Rt 1＝1.8t 2t 1.小球竖直方向上做自由落体运动，有y 1＝12gt 21，y 2＝12gt 22，解得t 1t 2＝y 1y 2，其中y 2＝R ，y 1＝0.6R ，则有t 1t 2＝y 1y 2＝0.6，故v 1v 2＝3155，选项C 正确．■ 模型点拨解答此类问题要注意以下几方面工作：(1)做好运动模型的确定，例如本题为平抛运动；(2)及时应用合成与分解的思想进行定量的分析和计算；(3)准确分析平抛运动的轨迹(抛物线)与题目背景相关的空间几何关系，必要时可以通过辅助线或转换观察方向的思想灵活求解．考点三 平抛运动综合问题关于平抛运动与其他运动形式(如匀速直线运动、竖直上抛运动、自由落体运动、圆周运动等)综合的题目，在这类问题的分析中要注意平抛运动与其他运动在时间上、位移上、速度上的相关分析．如图41010所示，离地面高h 处有甲、乙两个小球，甲以初速度v 0水平射出，同时乙以初速度v 0沿倾角为45°的光滑斜面滑下．若甲、乙同时到达地面，则v 0的大小是( )图41010A.gh2B.ghC.2gh2D ．2gh 答案：A[解析] 甲做平抛运动，水平方向上为匀速运动，竖直方向上为自由落体运动，根据h ＝12gt 2得t ＝2hg，根据几何关系可知x 乙＝2h ，乙做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律得a ＝F 合m ＝mg sin 45m ＝22g ，根据位移公式得x 乙＝v 0t ＋12at 2，联立解得v 0＝gh2，选项A 正确．1 [2016·沈阳质检] 如图41011所示，斜面固定在水平面上，两个小球分别从斜面底端O 点正上方A 、B 两点向右水平抛出，B 为AO 连线的中点，最后两球都垂直落在斜面上，则A 、B 两球击中斜面位置到O 点的距离之比为( )图41011A.2∶1 B ．2∶1 C ．4∶ 2 D ．4∶1答案：B [解析] 设落到斜面上的位置分别为P 、Q ，由题意知，落到斜面上时两小球的速度与水平面的夹角相等，根据平抛运动的推论知，位移AP 、BQ 与水平面的夹角也相等，则△POA 与△QOB 相似，对应边成比例，B 正确．2 如图41012所示，倾角为37°的粗糙斜面的底端有一质量m ＝1 kg 的凹形小滑块，小滑块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.25.现小滑块以某一初速度v 从斜面底端上滑，同时在斜面底端正上方有一小球以速度v 0水平抛出，经过0.4 s ，小球恰好垂直斜面落入凹槽，此时，小滑块还在上滑过程中．已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g 取10 m/s 2，求：(1)小球水平抛出的速度v 0的大小； (2)小滑块的初速度v 的大小．图41012答案：(1)3 m/s (2)5.35 m/s[解析] (1)设小球落入凹槽时竖直速度为v y ，则v y ＝gt ＝10×0.4 m/s ＝4 m/s v 0＝v y tan 37°＝3 m/s.(2)小球落入凹槽时的水平位移x ＝v 0t ＝3×0.4 m ＝1.2 m则小滑块的位移为s ＝ 1.2cos 37° m ＝1.5 m小滑块上滑时，由牛顿第二定律有mg sin 37°＋μmg cos 37°＝ma解得a ＝8 m/s 2根据公式s ＝vt －12at 2解得v ＝5.35 m/s.■ 方法技巧对于多体运动问题的相关分析，要注意以下几点：(1)做好每一个单个物体的运动分析；(2)找好物体运动在时间上的关系，是同时开始运动还是有时间差；(3)找好物体运动在空间上的关系．考点四 平抛临界范围问题[2016·浙江卷] 在真空环境内探测微粒在重力场中能量的简化装置如图41013所示．P 是一个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒．高度为h 的探测屏AB 竖直放置，离P 点的水平距离为L ，上端A 与P 点的高度差也为h .(重力加速度为g )(1)若微粒打在探测屏AB 的中点，求微粒在空中飞行的时间； (2)求能被屏探测到的微粒的初速度范围；(3)若打在探测屏A 、B 两点的微粒的动能相等，求L 与h 的关系．图41013[解析] (1)对于打在中点的微粒，有 32h ＝12gt 2 解得t ＝3hg(2)对于打在B 点的微粒，有v 1＝L t 12h ＝12gt 21解得v 1＝Lg 4h同理，打在A 点的微粒初速度v 2＝L g 2h 故微粒初速度范围为L g4h≤v ≤L g 2h(3)由能量关系得 12mv 22＋mgh ＝12mv 21＋2mgh联立解得L ＝22h[2015·全国卷Ⅰ] 一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图41014所示．水平台面的长和宽分别为L 1和L 2，中间球网高度为h .发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h .不计空气的作用，重力加速度大小为g .若乒乓球的发射速率v 在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v 的最大取值范围是( )图41014A.L 12g6h <v <L 1g 6hB.L 14g h <v <（4L 21＋L 22）g6hC.L 12g 6h <v <12（4L 21＋L 22）g6hD.L 14g h <v <12（4L 21＋L 22）g6h答案：D [解析] 当球落到右侧角上的时候，设飞行时间为t 1，有3h ＝12gt 21，得t 1＝6hg，t 1时间内的水平位移为x 1＝L 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫L 222＝L 21＋L 224，发射速度为v 1＝x 1t 1＝12（4L 21＋L 22）g6h；当球刚好擦网落到台面中间线上的时候，设飞行时间为t 2，有3h －h ＝12gt 22，得t 2＝2h g ，t 2时间内的水平位移为x 2＝L 12，发射速度为v 2＝x 2t 2＝L 14gh，则v 2<v <v 1，所以D 正确． 考点五 斜抛运动关于斜抛物体的运动问题，可利用运动的对称性和可逆性进行转化，通过平抛运动的知识求解，例如斜抛运动可以分成式从最高点开始的两个对称的平抛运动进行处理，应注意对整个物理过程进行分析，形成清晰的物理情景．] 有A 、B 两小球，B 的质量为A 的两倍．现将它们以相同速率沿同一方向抛出，不计空气阻力．图41015中①为A 的运动轨迹，则B 的运动轨迹是( )图41015A．① B．② C．③ D．④答案：A[解析] 抛体运动的加速度始终为g，与物体的质量无关．当将它们以相同速率沿同一方向抛出时，运动轨迹应该相同，故选项A正确．如图41016所示，从水平地面上不同位置斜抛出的三个小球沿三条不同的路径运动最终落在同一点，三条路径的最高点是等高的．若忽略空气阻力的影响，下列说法正确的是( )图41016A．沿路径1抛出的小球落地的速率最小B．沿路径3抛出的小球在空中运动时间最长C．三个小球抛出的初速度的竖直分量相等D．三个小球抛出的初速度的水平分量相等答案：C [解析] 根据运动的合成与分解，将初速度分解为竖直方向和水平方向的分速度，设初速度方向与竖直方向的夹角为θ，则小球初速度的竖直分量v竖＝v0cos θ，根据小球的运动轨迹可知，三个小球沿竖直方向的分运动相同，根据竖直上抛运动特点可知，三个小球在空中运动时间相同，B错误，C 正确；由于θ1＞θ2＞θ3，故v01＞v02＞v03，落地时重力做功为零，所以落地时的速率与初速度的大小相同，A错误；小球初速度的分量v水平＝v0sin θ，可知沿路径1抛出的小球初速度的水平分量最大，D错误．■ 规律总结通过运动的合成与分解研究斜抛运动，这是研究斜抛运动的基本方法，通过这样定量的分析可以有效提高对斜抛运动的认识，所以必须了解斜抛运动的基本规律(以斜上抛为例)．(1)水平方向：v0x＝v0cos θ，a x＝0；(2)竖直方向：v0y＝v0sin θ，a y＝g.图41017【教师备用习题】1．[2015·山东卷] 距地面高5 m的水平直轨道上A、B两点相距2 m，在B点用细线悬挂一小球，离地高度为h，如图所示．小车始终以4 m/s的速度沿轨道匀速运动，经过A点时将随车携带的小球由轨道高度自由卸下，小车运动至B点时细线被轧断，最后两球同时落地．不计空气阻力，重力加速度的大小g 取10 m/s2.可求得h等于( )A．1.25 m B．2.25 m C．3.75 m D．4.75 m[解析] A 从A点“自由卸下”的小球做平抛运动，下落时间t A＝2Hg＝2×510s＝1 s．小车从A点运动到B点所用时间t AB＝x ABv＝ 0.5 s．悬挂在B点的小球做自由落体运动，下落时间t B＝2hg，根据t B＝t A－t AB，可解得h＝1.25 m，选项A正确．2．如图所示，轰炸机沿水平方向匀速飞行，到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，炸弹垂直击中山坡上的目标A.已知A点高度为h，山坡倾角为θ，由以上条件不能算出( )A．轰炸机的飞行高度B．轰炸机的飞行速度C．炸弹的飞行时间D．炸弹被投出时的动能[解析] D 根据题述，有tan θ＝vgt ，x＝vt，tan θ＝hx，H＝h＋y，y＝12gt2，由此可算出轰炸机的飞行高度H、轰炸机的飞行速度v、炸弹的飞行时间t.由于题中没有给出炸弹质量，所以不能算出炸弹被投出时的动能，故D正确．3．[2014·浙江卷] 如图所示，装甲车在水平地面上以速度v0＝20 m/s沿直线前进，车上机枪的枪管水平，距地面高为h ＝1.8 m ．在车正前方竖直立一块高为两米的长方形靶，其底边与地面接触．枪口与靶距离为L 时，机枪手正对靶射出第一发子弹，子弹相对于枪口的初速度为v ＝800 m/s.在子弹射出的同时，装甲车开始匀减速运动，行进s ＝90 m 后停下．装甲车停下后，机枪手以相同方式射出第二发子弹．(不计空气阻力，子弹看成质点，重力加速度g 取10 m/s 2)(1)求装甲车匀减速运动时的加速度大小；(2)当L ＝410 m 时，求第一发子弹的弹孔离地的高度，并计算靶上两个弹孔之间的距离；(3)若靶上只有一个弹孔，求L 的范围．[答案] (1)209 m/s 2 (2)0.55 m 0.45 m (3)492 m<L ≤570 m[解析] (1)装甲车加速度a ＝v 202s ＝209 m/s 2.(2)第一发子弹飞行时间t 1＝Lv ＋v 0＝0.5 s弹孔离地高度h 1＝h －12gt 21＝0.55 m第二发子弹的弹孔离地的高度h 2＝h －12g ⎝ ⎛⎭⎪⎫L －s v 2＝1.0 m两弹孔之间的距离Δh ＝h 2－h 1＝0.45 m.(3)第一发子弹打到靶的下沿时，装甲车离靶的距离为L 1＝(v 0＋v )2hg ＝492 m第二发子弹打到靶的下沿时，装甲车离靶的距离为L 2＝v 2hg ＋s ＝570 mL 的范围是492 m<L ≤570 m.。
高考物理一轮复习第四章曲线运动万有引力与航天第2讲平抛运动学拼十年寒窗挑灯苦读不畏难；携双亲期盼背水勇战定夺魁。
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第2讲平抛运动一、平抛运动1.定义：以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在重力作用下的运动.2.性质：平抛运动是加速度为g的匀加速曲线运动，其运动轨迹是抛物线. 3.平抛运动的条件(1)v0≠0，沿水平方向；(2)只受重力作用. 4.研究方法平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动. 5.基本规律(如图1所示)图1水平方向竖直方向大小合速度方向大小合位移方向轨迹方程[深度思考] 从离水平地面某一高度的地方平抛的物体，其落地的时间由哪些因素决定？其vx＝v0，x＝v0t vy＝gt，y＝gt2 222v＝v2x＋vy＝v0＋?gt? 12与水平方向夹角的正切tanθ＝＝ vygtvxv0s＝x2＋y2 与水平方向夹角的正切tanα＝＝ x2v0ygty＝g22x2v0 1水平射程由哪些因素决定？平抛的初速度越大，水平射程越大吗？答案运动时间t＝2h，取决于高度h和当地的重力加速度g.水平射程x＝v0t＝v0g2h，g取决于初速度v0、高度h和当地的重力加速度g.当高度、重力加速度一定时，初速度越大，水平射程越大.二、斜抛运动(说明：斜抛运动只作定性要求) 1.定义将物体以初速度v0沿斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动. 2.性质加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线. 3.研究方法斜抛运动可以看做水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动的合运动.1.判断下列说法是否正确.(1)平抛运动的轨迹是抛物线，速度方向时刻变化，加速度方向也可能时刻变化.(×)(2)无论初速度是斜向上方还是斜向下方的斜抛运动都是匀变速曲线运动.(√) (3)做平抛运动的物体质量越大，水平位移越大.(×)(4)做平抛运动的物体初速度越大，落地时竖直方向的速度越大.(×) (5)从同一高度水平抛出的物体，不计空气阻力，初速度大的落地速度大.(√)2.(人教版必修2P10做一做改编)(多选)为了验证平抛运动的小球在竖直方向上做自由落体运动，用如图2所示的装置进行实验.小锤打击弹性金属片后，A球水平抛出，同时B球被松开，自由下落，关于该实验，下列说法中正确的有( )图22A.两球的质量应相等B.两球应同时落地C.应改变装置的高度，多次实验D.实验也能说明A球在水平方向上做匀速直线运动答案 BC解析小锤打击弹性金属片后，A球做平抛运动，B球做自由落体运动.A球在竖直方向上的运动情况与B球相同，做自由落体运动，因此两球同时落地.实验时，需A、B两球从同一高度开始运动，对质量没有要求，但两球的初始高度及击打力度应该有变化，实验时要进行3～5次得出结论.本实验不能说明A球在水平方向上的运动性质，故选项B、C正确，选项A、D错误.3.(教科版必修2P18第2题)一架投放救援物资的飞机在某个受援区域的上空水平地匀速飞行，从飞机上每隔1s投下1包救援物资，先后共投下4包，若不计空气阻力，则4包物资落地前( )A.在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点是等间距的B.在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点不是等间距的C.在空中任何时刻总在飞机正下方排成竖直的直线，它们的落地点是等间距的D.在空中任何时刻总在飞机正下方排成竖直的直线，它们的落地点不是等间距的答案 C4.如图3所示，在水平路面上一运动员驾驶摩托车跨越壕沟，壕沟两侧的高度差为0.8m，水平距离为8m，则运动员跨过壕沟的初速度至少为(g取10m/s)( )图3A.0.5m/sB.2 m/sC.10m/sD.20 m/s 答案 D命题点一平抛运动的基本规律31.飞行时间：由t＝无关.2h知，时间取决于下落高度h和当地的重力加速度g，与初速度v0g2.水平射程：x＝v0t＝v02h，即水平射程由初速度v0、下落高度h和当地的重力加速度gg共同决定，与其他因素无关.3.落地速度：v＝vx＋vy＝v0＋2gh，以θ表示落地速度与x轴正方向间的夹角，有tanθ＝＝222vyvxv02gh，所以落地速度只与初速度v0、下落高度h以及当地重力加速度g有关.4.两个重要推论(1)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图4所示，即xB＝.2推导：xA??x?x＝?2v2ytanθ＝＝?vx?tanθ＝yAxA－xBy0ABAA图4(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移方向与水平方向的夹角为α，则tanθ＝2tanα.如图4所示. 推导：vy2yAtanθ＝＝vxxAyAxAtanα＝????tanθ＝2tanα ??例1 如图5所示，A、B两质点从同一点O分别以相同的水平速度v0沿x轴正方向抛出，A在竖直平面内运动，落地点为P1；B沿光滑斜面运动，落地点为P2，P1和P2在同一水平面上，不计阻力，则下列说法正确的是( )4图5A.A、B的运动时间相同B.A、B沿x轴方向的位移相同C.A、B运动过程中的加速度大小相同 D.A、B落地时速度大小相同A在竖直平面内运动，B沿光滑斜面运动.答案 D12h12解析设O点与水平面的高度差为h，由h＝gt1，＝gsinθ・t2可得：t1＝2sinθ22hg，t2＝感谢您的阅读，祝您生活愉快。
第四单元 曲线运动 万有引力与航天§2 抛体运动一．知识点1．平抛运动 （定义、条件、性质、方法、规律） （1）时间（2）位移（水平射程，竖直高度——可拓展到偏移量） （3）速度（大小与方向）（4）变量（相同时间内的△v 的大小与方向）（5）推论（tan α=2tan β，瞬时速度反向延长线过此刻水平位移的中点）2．类平抛运动 （定义、性质、方法、规律）（与平抛运动类似） 3．斜抛运动（高考只作定性要求，但培优班要适当超越） （1）水平方向以v 0cos θ做匀速直线运动；（2）竖直方向先做上抛运动，再做自由落体运动； （3）时间：2sin v t gθ=； （4）射程：22sin cos sin 2v v v x g gθθθ==（45度仰角时，射程最大） （5）高程：H=（6）对称性：上下时间相等，左右速度对称，轨迹对称，初末速度关于竖直轴对称…… （7）逆向性：一是运动可逆，二是可看成两个平抛二．典例解析 1．平抛运动 （1）基本规律【例1】从某高度水平抛出一小球，经过t 时间到达地面时，速度方向与水平方向的夹角为θ．不计空气阻力，重力加速度为g ，下列结论中正确的是A ．小球初速度大小为gt tan θB ．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长C ．小球着地速度大小为cos gtθD ．小球的速度增量为gt ，方向竖直向下E ．小球在t 时间内的位移方向与水平方向的夹角为2θ变式：（2012年新课标）如图，x 轴在水平地面内，y 轴沿竖直方向。
图中画出了从y 轴上沿x 轴正向抛出的三个小球a 、b 和c 的运动轨迹，其中b 和c 是从同一点抛出的，不计空气阻力，则 A ．a 的飞行时间比b 的长 B ．b 和c 的飞行时间相同 C ．a 的水平速度比b 的小α αβv 0 v 0v yvD．b的初速度比c的大（2）斜面上的平抛 【例2】（2010全国理综1）一水平抛出的小球落到一倾角为θ 的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图中虚线所示。
