01 集合与函数

第一章集合与函数概念知识网络第一讲集合★知识梳理一：集合的含义及其关系1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性;2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图；3.集合中元素与集合的关系：三：集合的基本运算①两个集合的交集:A B = {}x x A x B ∈∈且; ②两个集合的并集: A B ={}x x A x B ∈∈或; ③设全集是U,集合A U ⊆,则U C A ={}x x U x A ∈∉且方法:常用数轴或韦恩图进行集合的交、并、补三种运算.★重、难点突破重点：集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。

难点：正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化，准确进行集合的交、并、补三种运算。

重难点： 1.集合的概念掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，要特别注意集合中元素的互异性， 在解题过程中最易被忽视，因此要对结果进行检验； 2．集合的表示法（1）列举法要注意元素的三个特性；（2）描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质，如{})(x f y x =、{})(x f y y =、{})(),(x f y y x =等的差别，如果对集合中代表元素认识不清，将导致求解错误：问题：已知集合221,1,9432x y x y M x N y ⎧⎫⎧⎫=+==+=⋂⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭则M N=（ ）A. Φ；B. {})2,0(),0,3(；C. []3,3-；D. {}3,2[错解]误以为集合M 表示椭圆14922=+y x ，集合N 表示直线123=+y x ，由于这直线过椭圆的两个顶点，于是错选B[正解] C ； 显然{}33≤≤-=x x M ，R N =，故]3,3[-=N M(3)Venn 图是直观展示集合的很好方法，在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用Venn 图。

3．集合间的关系的几个重要结论 （1）空集是任何集合的子集，即A ⊆φ （2）任何集合都是它本身的子集，即A A ⊆（3）子集、真子集都有传递性，即若B A ⊆，C B ⊆，则C A ⊆ 4．集合的运算性质（1）交集：①A B B A =；②A A A = ；③φφ= A ；④A B A ⊆ ，B B A ⊆ ⑤B A A B A ⊆⇔= ；（2）并集：①A B B A =；②A A A = ；③A A =φ ；④A B A ⊇ ，B B A ⊇ ⑤A B A B A ⊆⇔= ； （3）交、并、补集的关系 ①φ=A C A U ；U A C A U =②)()()(B C A C B A C U U U =；)()()(B C A C B A C U U U =★热点考点题型探析考点一：集合的定义及其关系 题型1：集合元素的基本特征[例1]（2008年江西理）定义集合运算：{}|,,A B z z xy x A y B *==∈∈．设{}{}1,2,0,2A B ==，则集合A B *的所有元素之和为（ ）A ．0；B ．2；C ．3；D ．6[解题思路]根据A B *的定义，让x 在A 中逐一取值，让y 在B 中逐一取值，xy 在值就是A B *的元素[解析]：正确解答本题,必需清楚集合A B *中的元素，显然，根据题中定义的集合运算知A B *={}4,2,0，故应选择D【名师指引】这类将新定义的运算引入集合的问题因为背景公平，所以成为高考的一个热点，这时要充分理解所定义的运算即可，但要特别注意集合元素的互异性。

第1课时函数及其表示基础过关一、映射（1）设A，B是两个非空集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么，就称对应f：A→B为从集合A到集合B的映射，记作：f：A→B。

（2）像与原像：如果给定一个集合A到集合B的映射，那么，和集合A中的a对应的集合B中的b叫做a的像，a叫做b的原像。

二、函数2、函数：（1）定义（传统）：如果在某变化过程中有两个变量x，y并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

（2）函数的集合定义：设A，B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：x→y为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中，x叫做自变量，x 的取值范围A叫做函数f（x）的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{ f（x）|x∈A}叫做函数f（x）的值域。

显然值域是集合B的子集。

2．函数的三要素为定义域，值域，对应法则。

值域可由定义域唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，值域一定相同，它们可以视为同一函数。

3．函数的表示法有（1）解析法：如果在函数y=f（x）（x∈A）中，f（x）是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析式法；（2）列表法：用表格的形式表示两个量之间函数关系的方法，称为列表法；（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。

注意：函数的图象可以是一个点，或一群孤立的点，或直线，或直线的一部分，或若干曲线组成。

例1.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）.A. 1,x y y x ==B. 211,1y x x y x =-+=-C. 33,y x y x ==D. 2||,()y x y x ==解：C变式训练1：下列函数中，与函数y=x 相同的函数是 （ ）A.y=x x 2B.y=(x )2C.y=lg10xD.y=x 2log 2 解：C例2.给出下列两个条件：（1）f(x +1)=x+2x ; (2)f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试分别求出f(x)的解析式.解：（1）令t=x +1,∴t≥1，x=（t-1）2.则f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t 2-1,即f(x)=x 2-1,x∈［1，+∞).（2）设f(x)=ax 2+bx+c (a≠0),∴f(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c, 则f(x+2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2. ∴⎩⎨⎧=+=22444b a a ， ∴⎩⎨⎧-==11b a ，又f(0)=3⇒c=3,∴f(x)=x 2-x+3.变式训练2：（1）已知f （12+x）=lgx ，求f （x ）； （2）已知f （x ）是一次函数，且满足3f （x+1）-2f （x-1）=2x+17，求f （x ）；（3）已知f （x ）满足2f （x ）+f （x 1）=3x ，求f （x ）. 解：(1)令x2+1=t ，则x=12-t ， ∴f（t ）=lg12-t ，∴f（x ）=lg 12-x ,x∈(1,+∞). （2）设f （x ）=ax+b ，则3f （x+1）-2f （x-1）=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17，∴a=2，b=7，故f （x ）=2x+7.（3）2f （x ）+f （x1）=3x ， ① 把①中的x 换成x 1，得2f （x 1）+f （x ）=x 3 ② 典型例题①×2-②得3f （x ）=6x-x 3，∴f（x ）=2x-x1. 例3. 等腰梯形ABCD 的两底分别为AD=2a ，BC=a ，∠BAD=45°，作直线MN⊥AD 交AD 于M ，交折线ABCD 于N ，记AM=x ，试将梯形ABCD 位于直线MN 左侧的面积y 表示为x 的函数，并写出函数的定义域. 解：作BH⊥AD，H 为垂足，CG⊥AD，G 为垂足，依题意，则有AH=2a ，AG=23a. （1）当M 位于点H 的左侧时，N∈AB，由于AM=x ，∠BAD=45°. ∴MN=x. ∴y=S △AMN =21x 2（0≤x≤2a ）. （2）当M 位于HG 之间时，由于AM=x ， ∴MN=2a ，BN=x-2a . ∴y=S AMNB =2·21a ［x+（x-2a ）］=21ax-).232(82a x a a ≤< （3）当M 位于点G 的右侧时，由于AM=x ，MN=MD=2a-x.∴y=S ABCD -S △MDN =).223(45221)44(2143)2(21)2(2·21222222a x a a ax x x ax a a x a a a a ≤<-+-=+--=--+ 综上：y=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤ ⎝⎛∈-+-⎥⎦⎤ ⎝⎛∈-⎢⎣⎡⎥⎦⎤∈a a x a ax x a a x a ax a x x 2,2345221.23,28212,0212222 变式训练3：已知函数f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>.0,1,0,1,0,2x x x x x（1）画出函数的图象；（2）求f(1)，f(-1),f [])1(-f 的值.解：（1）分别作出f(x)在x ＞0,x=0,x ＜0段上的图象，如图所示，作法略.（2）f(1)=12=1,f(-1)=-,111=-f [])1(-f =f(1)=1.1．了解映射的概念，应紧扣定义，抓住任意性和唯一性．2．函数的解析式常用求法有：待定系数法、换元法（或凑配法）、解方程组法．使用换元法时，要注意研究定义域的变化．3．在简单实际问题中建立函数式，首先要选定变量，然后寻找等量关系，求得函数的解析式，还要注意定义域．若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同，可用分段函数来表示． 小结归纳。

01第⼀章：集合与函数概念知识点总结第⼀章：集合与函数概念本章知识结构图：本章知识点梳理：1、集合①空集：不含有任何元素的集合，记作Φ（1）集合的分类⑤有限集：含有有限个元素的集合；⽆限集：含有⽆穷多个元素的集合（2）集合元素的特性②有：确定性、互异性、⽆序性。

（3）常⽤数集的专⽤符号⑥：⾃然数集：N ，正整数集：N +或N*，整数集：Z ，有理数集：Q ，实数集：R 。

（4）集合的表⽰⽅法④：①列举法：把集合中的元素⼀⼀列举出来，写在⼤括号内表⽰集合的⽅法；②描述法：把集合中元素的公共属性描述出来，写在⼤括号内表⽰集合的⽅法。

2、⼦集、交集、并集、补集（1）⼦集⑧定义：设集合A 与B ，如果集合A 中的任何⼀个元素都是集合B 的元素，那么集合A 叫做集合B 的⼦集记作B A ?（或A B ）；如果A 是B 的⼦集，并且B 中⾄少有⼀个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合B 的真⼦集，记作B A≠（或A B ≠）（2）交集○14定义：由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 、B 的交集，记作B A （如右图），即A x xB A ∈=|{ 且}B x ∈（3）并集○13定义：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 、B 的并集，记作A B ，即A a B A ∈={ 或}B a ∈（4）补集○15定义：设I 是⼀个集合，A 是I 的⼀个⼦集，由I 中所有不属于A的元素组成的集合，叫做I 中⼦集A 的补集（或余集），记作A C I ，即I x x A C I ∈=|{，且}A x ?如右图所⽰。

3、（1）函数的概念○16①设A 、B 是两个⾮空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何⼀个数x ，在集合B 中都有唯⼀确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的⼀个函数，记作:f A B →．②函数的三要素○17:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同⼀函数．（2）区间的概念○19及表⽰法①设,a b 是两个实数，且a b <，满⾜a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满⾜a x b<<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满⾜a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满⾜,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以⼤于或等于b ，⽽后者必须a b <．（3）函数的表⽰⽅法○20表⽰函数的⽅法，常⽤的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是⽤数学表达式表⽰两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表⽰两个变量之间的对应关系．图象法：就是⽤图象表⽰两个变量之间的对应关系．（4）映射的概念○23①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何⼀个元素，在集合B 中都有唯⼀的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定⼀个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象． 4、函数的基本性质（1）函数的单调性○25函数为增函数，减函数减去⼀个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）函数的最⼤（⼩）值定义○26①⼀般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满⾜：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最⼤值，记作m ax ()f x M =．②⼀般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满⾜：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最⼩值，记作m a x ()f x m=．（3）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，⼀个偶函数与⼀个奇函数的积（或商）是奇函数． 5、函数的图象的作法（1）利⽤描点法作图：①确定函数的定义域；②化解函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；④画出函数的图象．（2）利⽤基本函数图象的变换作图：要准确记忆⼀次函数、⼆次函数、反⽐例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三⾓函数等各种基本初等函数的图象．①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k><=→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=→=伸缩 01,1,()()A A y f x y Af x <<>=→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =→=-轴()()y y f x y f x =→=-轴()()y f x y f x =→=--原点 1()()y xy f x y f x -==→=直线()(||)y y y y f x y f x =→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象()|()|x x y f x y f x =→=保留轴上⽅图象将轴下⽅图象翻折上去知识点1：集合与元素知识点2：集合中元素的三个特性知识点3：元素与集合的两种关系知识点4：集合的三种表⽰法知识点5：有限集和⽆限集知识点6：特定集合的表⽰知识点7：Venn 图与数轴法表⽰集合知识点8：⼦集知识点9：集合相等知识点10：真⼦集知识点11：空集知识点12：集合的⼦集的数⽬知识点13：并集知识点14：交集知识点15：补集知识点16：函数的概念知识点17：函数的两个要素知识点18：函数的值域及其求法知识点19：区间的概念知识点20：函数的三种表达⽅法知识点21：函数图象知识点22、分段函数知识点23：映射的定义知识点24：增函数与减函数的定义知识点25：单调性与单调区间知识点26：函数的最⼤（⼩）值知识点27：奇函数与偶函数的概念知识点28：利⽤定义判断函数奇偶性的⼀般步骤知识点29：奇偶函数的图象的性质知识点30：奇偶函数的单调性部分知识点详细解释：知识点1：集合与元素1、元素：⼀般地，我们把研究对象统称为元素（element ），元素常⽤⼩写字母 c b a ,,表⽰。

专题01 集合的概念与运算【名师预测】江苏高考对集合知识的考查比较低，以填空题的形式进行考查，主要考查集合与集合、元素与集合间的关系以及集合的交集、并集、补集的运算，同时注重对Venn图、数轴等数形结合思想的考查。

集合的基本运算有时会以集合知识为载体，往往与函数、方程、不等式等知识结合考查，体现出小题目综合化的命题趋势。

集合的学习要有弹性，要有所取舍．比如我们不必在集合间的关系上过于深究，也不必在集合的概念等内容上过于钻研。

【知识精讲】1．集合的相关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．(2)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．(4)五个特定的集合：2．集合间的基本关系3．集合的基本运算4.集合关系与运算的常用结论(1)若集合A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有12n-个，非空子集有12n-个．(2)集合的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.(3)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.(考虑A是空集和不是空集两种情况)(4)C U(A∩B)＝(C U A)∪(C U B)，C U(A∪B)＝(C U A)∩(C U B)．【典例精练】考点一集合的基本概念例1． A＝{1,2,4}，则集合B＝{(x，y)|x∈A，y∈A}中元素的个数为________．【解析】集合B中元素有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共9个．故答案为9.例2．若－1∈{a－1,2a＋1，a2－1}，则实数a的取值集合是________．【解析】若a－1＝－1，解得a＝0，此时集合中的元素为－1,1，－1，不符合元素的互异性；若2a＋1＝－1，解得a＝－1，此时集合中的元素为－2，－1，0，符合题意；若a2－1＝－1，解得a＝0，不符合题意，综上所述，a＝－1．故答案为{－1}.例3．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________.【解析】若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．①当a＝0时，x＝23，符合题意；②当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0，得a ＝98. ∴a 的值为0或98故答案为0或98.例4．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{1，m }，若3－m ∈A ，则非零实数m 的值是________． 【解析】由题意知，若3－m ＝1，则m ＝2，符合题意；若3－m ＝2，则m ＝1，此时集合B 不符合元素的互异性，故m ≠1； 若3－m ＝3，则m ＝0，不符合题意． 故m ＝2. 故答案为2.【方法点睛】与集合中元素有关问题的求解策略 (1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集； (2)看这些元素满足什么限制条件；(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素的互异性相矛盾． 考点二 集合间的基本关系例5．已知集合{}1,2,3,4,5A =，{}(,),,,B x y x A y A x y x y A =∈∈<+∈，则集合B 的子集的个数是 . 【解析】∵集合{}1,2,3,4,5A =，{}(,),,,B x y x A y A x y x y A =∈∈<+∈ ∴{}(1,2),(2,3),(1,3),(1,4)B = ∴集合B 的子集个数是4216=. 故答案为16.例6．设集合{}2,4A =，{}2,2B a =，(其中0a <)，若A B =，则实数a =________. 【解析】∵集合{}2,4A =，{}2,2B a =，且A B = ∴24a = 又0a < ∴2a =- 故答案为－2.例7．已知集合{}1,2a A =，集合{}1,1,4B =-，且A B ⊆，则正实数a =________.【解析】∵集合{}1,2a A =，集合{}1,1,4B =-，且A B ⊆ ∴24a = ∴2a = 故答案为2.例8．已知集合{}15A x x =≤<，{}3B x a x a =-<≤+，若()B A B ⊆，则实数a 的取值范围为________．【解析】∵()B A B ⊆∴B A ⊆①当B =∅时，满足B A ⊆，此时3a a -≥+，即32a ≤-. ②当B ≠∅时，要使B A ⊆，则3135a a a a -<+⎧⎪-≥⎨⎪+<⎩，解得312a -<≤-由①②可知，实数a 的取值范围为(,1]-∞-． 故答案为(,1]-∞-.【方法点睛】判断集合间关系的3种方法①列举法：根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系；②结构法：从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断； ③数轴法：在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系，运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.注意：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解． 考点三 集合的基本运算例9．设全集{}*5,U x x x N =<∈，集合{}1,2A =，{}2,4B =，则()U C AB = .【解析】∵集合{}{}*5,1,2,3,4U x x x N =<∈=，且集合{}1,2A =，{}2,4B = ∴{}1,2,4AB =∴{}()3U C AB =故答案为{}3.例10．已知全集{}22,3,23U a a =+-，{}21,2A a =-，{}5U C A =，则实数a ＝________. 【解析】由题意知，2235a a +-=，解得a ＝－4或a ＝2.① 当a ＝－4时，|2a －1|＝9，而9U ∉，所以a ＝－4不满足题意，舍去； ② 当a ＝2时，|2a －1|＝3，3U ∈，满足题意． 故实数a 的值为2. 故答案为2.例11．设集合{}(,)1A x y y ax ==+，集合{}(,)B x y y x b ==+，且{}(2,5)A B =，则a b +=____.【解析】∵集合{}(,)1A x y y ax ==+，{}(,)B x y y x b ==+，且{}(2,5)A B =∴521a =+，且52b =+ ∴2a =，3b = ∴5a b += 故答案为5.例12．设A ，B 是非空集合，定义{}()()A B x x A B x A B ⊗=∈∉且．已知集合{}02A x x =<<，{}0B y y =≥，则A B ⊗=________.【解析】∵{}02A x x =<<，{}0B y y =≥ ∴{}0AB x x =≥，{}02A B x x =<<∴{}02A B x x x ⊗==≥或 故答案为{}02x x x =≥或.【方法点睛】解集合运算问题4个技巧① 看元素构成：集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键； ② 对集合化简：有些集合是可以化简的，先化简集合再研究其关系并进行运算，可使问题简单明 了、易于解决；③ 数形结合：常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图；④新定义型问题：以集合为依托，对集合的定义、运算、性质加以深入的创新，但最终化为原来的集合知识和相应数学知识来解决.【名校新题】一、填空题1．（2019·江苏徐州第一次质量检测）已知集合{}0,1,2,3A =，{}|02B x x =<…，则A B =_________．【解析】取集合,A B 的公共部分即可，所以，{1,2}A B ⋂= 故答案为：{}1,22．（2019·苏北七市第二次质量检测）已知集合{}13A a =，，，{45}B =，．若A B ={4}，则实数a 的值为____．【解析】∵A B ⋂= {}4，∴a=4 故答案为43．（2019·江苏金陵中学高考第四次模拟）设全集U ＝{}5N x x x *<∈，，集合A ＝{1，2}，B ＝{2，4}，则∁U (A ⋃B)＝_______．【解析】集合U ＝{}5N x x x *<∈，＝{}1,2,3,4，且A ＝{1，2}，B ＝{2，4}，得A ⋃B ＝{1，2，4}，所以∁U (A ⋃B)＝｛3｝ 故答案为：｛3｝4．（2019·江苏南通四月质量检测）已知集合 ，B ，则A B _____．【解析】∵由题意可知A∩B 中的元素是2的整数倍，且在(-2,3)内， ∴A∩B ＝{0，2}． 故答案为：{0，2}．5．（2019·江苏徐州高考考前模拟）集合{}1,0,1A =-，{}|20B x x =-<<，则A B 中元素的个数是______．【解析】A 中仅有1B -∈，故AB 中元素的个数为1，填1 .6．（2019·江苏宿迁调研测试）已知集合[)1,4,(,)A B a ==-∞，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是 。

高一数学必修一知识点梳理与总结鹏博教育高一数学必修1各章知识点总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念集合是由一些元素组成的整体。

元素具有确定性、互异性和无序性。

例如，{a,b,c}和{a,c,b}表示同一集合。

集合可以用列举法和描述法表示。

例如，集合A可以表示为A={我校的篮球队员}，或者用描述法表示为A={x R|x-3>2}。

常用的数集有非负整数集N、正整数集N*或N+、整数集Z、有理数集Q和实数集R。

二、集合间的基本关系集合间有包含关系和相等关系。

如果集合A包含于集合B，则称A为B的子集，记作A B。

如果A与B是同一集合，则记作A=B。

空集是不含任何元素的集合，记为Φ。

空集是任何集合的子集，也是任何非空集合的真子集。

三、集合的运算集合的运算有交集、并集和补集。

交集是由所有属于A且属于B的元素所组成的集合，记作A B。

并集是由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，记作A B。

补集是由S中所有不属于A的元素组成的集合，记作A的补集。

1.定义集合B为由集合A和集合B'中的元素组成的集合，即B={x|x∈A或x∈B'}。

如图1所示。

2.定义集合CSA为由集合S中属于A的元素和不属于A但属于S的元素组成的集合，即CSA={x|x∈S且(x∈A或x∉A)}。

如图2所示。

3.关于集合A的性质：A与自身的交集等于A本身，即A∩A=A。

A与空集的交集等于空集，即A∩Φ=Φ。

A与集合B的交集包含于A和B中元素共有的部分，即A∩B⊆A且A∩B⊆B。

A与集合B的并集包含于A和B中所有元素的集合，即A∪B包含于A和B的并集。

A与集合B的并集等于A和B中所有元素的集合加上A和B中共有的元素的集合，即A∪B=(A∖B)∪(B∖A)∪(A∩B)。

A与集合B的并集等于集合B与A的补集的补集的并集，即A∪B=(CuA')∩(CuB')。

4.选择题答案：A。

5.集合{a,b,c}的真子集共有7个。

高中高一数学必修1各章知识点总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。

(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。

(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}2．集合的表示方法：列举法与描述法。

注意啊：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a∈A ，相反，a不属于集合A 记作aÏA列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。

描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。

用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{xÎR| x-3>2}或{x| x-3>2}4、集合的分类：1．有限集含有有限个元素的集合2．无限集含有无限个元素的集合3．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。

精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！集合考试内容：集合、子集、补集、交集、并集．逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件． 考试要求：（1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． （2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义．§01. 集合与简易逻辑 知识要点一、知识结构:本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：二、知识回顾：（一） 集合1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ⊆； ②空集是任何集合的子集，记为A ⊆φ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ⊆，同时A B ⊆，那么A = B. 如果C A C B B A ⊆⊆⊆，那么，.[注]：①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×）②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例：S=N ； A=+N ，则C s A= {0}） ③ 空集的补集是全集.④若集合A =集合B ，则C B A = ∅， C A B = ∅ C S （C A B ）= D （ 注 ：C A B = ∅）. 3. ①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集.②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R}二、四象限的点集.③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R } 一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集. 例： ⎩⎨⎧=-=+1323y x y x 解的集合{(2，1)}.②点集与数集的交集是φ. （例：A ={(x ，y )| y =x +1} B={y |y =x 2+1} 则A ∩B =∅） 4. ①n 个元素的子集有2n个. ②n 个元素的真子集有2n－1个. ③n 个元素的非空真子集有2n－2个.5. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题⇔逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题⇔逆否命题. 例：①若325≠≠≠+b a b a 或，则应是真命题.解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真. ②且21≠≠y x 3≠+y . 解：逆否：x + y =3x = 1或y = 2.21≠≠∴y x 且3≠+y x ,故3≠+y x 是21≠≠y x 且的既不是充分，又不是必要条件.⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围. 3. 例：若255 x x x 或，⇒. 4. 集合运算：交、并、补.{|,}{|}{,}A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ⇔∈∈⇔∈∈⇔∈∉U 交：且并：或补：且C 5. 主要性质和运算律 （1） 包含关系：,,,,,;,;,.U A A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B ⊆Φ⊆⊆⊆⊆⊆⇒⊆⊆⊆⊇⊇C（2） 等价关系：U A B A B A A B B AB U ⊆⇔=⇔=⇔=C （3） 集合的运算律：交换律：.;A B B A A B B A ==结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A == 分配律:.)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A == 0-1律：,,,A A A U A A U A U Φ=ΦΦ===等幂律：.,A A A A A A ==求补律：A ∩C U A =φ A ∪C U A =U C U U =φ C U φ=U反演律：C U (A ∩B)= (C U A )∪(C U B ) C U (A ∪B)= (C U A )∩(C U B )6. 有限集的元素个数定义：有限集A 的元素的个数叫做集合A 的基数，记为card( A)规定 card(φ) =0.基本公式：(1)()()()()(2)()()()()()()()()card A B card A card B card A B card A B C card A card B card C card A B card B C card C A card A B C =+-=++---+(3) card ( U A )= card(U)- card(A)(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式的解法 根轴法（零点分段法）①将不等式化为a 0(x-x 1)(x-x 2)…(x-x m )>0(<0)形式，并将各因式x 的系数化“+”；(为了统一方便)②求根，并在数轴上表示出来；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；④若不等式（x 的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x 轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x 轴下方的区间.+-+-x 1x 2x 3x m-3x m-2xm-1x mx（自右向左正负相间） 则不等式)0)(0(0022110><>++++--a a x a xa x a n n n n的解可以根据各区间的符号确定.特例① 一元一次不等式ax>b 解的讨论；②一元二次不等式ax 2+box>0(a>0)解的讨论.0>∆0=∆0<∆二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根 )(,2121x x x x <有两相等实根ab x x 221-==无实根原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互2.分式不等式的解法 （1）标准化：移项通分化为)()(x g x f >0(或)()(x g x f <0)；)()(x g x f ≥0(或)()(x g x f ≤0)的形式， （2）转化为整式不等式（组）⎩⎨⎧≠≥⇔≥>⇔>0)(0)()(0)()(;0)()(0)()(x g x g x f x g x f x g x f x g x f3.含绝对值不等式的解法（1）公式法：c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法.（2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. 4.一元二次方程根的分布一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)（1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.（2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之. （三）简易逻辑1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。

高一数学必修一第一章知识总结高一数学必修一第一章知识总结人教版高一数学第一章集合与函数概念概念元素：一般的，我们把研究对象统称为元素集合：把一些元素组成的总体叫做集合如果a是集合元素与集合的关系A的元素，则a属于集合A，记作aAA的元素，则a不属于集合A，记作aA如果a不是集合集合与元素集合的表示方法列举法：如2到8之间的偶数{2,4,6,8}描述法：如图示法集合中元素的特性：确定性，互异性，无序性常用的数集及其记法：非负整数集或自然数集，N；正整数集，N*或N+；整数集，Z；有理数集，Q；实数集，R。

xx10子集：若集合A的每一个元素都是集合B的元素，则称集合A是集合B的子集，即若xAxB，则ABA是集合B的子集，且B中至少有一个元素不在A中，则称A是B的真子集，即若AB且A≠B，则AB真子集：若集合集合与集合的基本关系空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为相等：若集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A 的子集，则称A与B相等。

即若若AB且BA，则A=B交集：一般的，由属于集合集合与集合性质：AA且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B交集，记作AB；即ABxxA,且xB＝；AB＝BA并集：一般的，由属于集合集合的运算关系性质：AA 或属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B并集，记作AB；即ABxxA,或xB＝A；AB＝BA补集：对于一个集合合CUAxxU,且xA这个集合为全集，通常记为UA，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集A相对于集合U的补集，简称集合A的补集，记为CUA，即全集：一般的，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称子集的性质：1.空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集；2任何一个集合都是它本身的子集；3.任何非空集合的真子集的个数比子集少两个。

4.传递性，即若AB，BC，则AC。

传统定义：设在某变化过程中有两个变量x，定义y，如果对与x在某范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫自变量。