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最新北师大八年级上7.5三角形内角和定理(2)课件(共16张PPT)

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新北师大版八年级数学上7.5三角形内角和定理PPT课件

新北师大版八年级数学上7.5三角形内角和定理PPT课件

∠A+∠B+∠C=1800的几种变形:
∠A=1800 – (∠B+∠C).
∠B=1800 – (∠A+∠C).
∠C=1800 – (∠A+∠B).
∠A+∠B=1800－∠C.
∠B+∠C=1800－∠A.
B
∠A+∠C=1800－∠B.
A C
这里的结论,以后可以直接运用.
.
6
例1
如图，△ABC在中，∠B=38°，∠C=62°，AD是 △ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
.
7
1.直角三角形的两锐角之和是多少度?等边三角形的一个
内角是多少度?请证明你的结论.
A
A B
D
E
C
A B
C
B
C
已知:如图在△ABC中，DE∥BC,∠A=600, ∠C=700. 求证： ∠ADE=500..
结论: 直角三角形的两个锐角互余.以后可以直接运用.
.
8
说说你的收获……
.
9
P 178
所作的辅助 线是证明的 一个重要组 成部分,要 在证明时首 先叙述出来.
.
4
根据下面的图形,写出相应的证明.
A
A
Q
R
B
P
C
(1)
S
Q
PN
S
Q
PN
R
BM T C
(2)
A
R

MT
B
C
(3)
你还能想出其它证法吗?
.
5
三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800. △ABC中,∠A+∠B+∠C=1800.

北师大版初二数学上册7.5三角形内角和定理第二课时.2三角形内角和定理(第2课时)

北师大版初二数学上册7.5三角形内角和定理第二课时.2三角形内角和定理(第2课时)

第七章平行线的证明7.5三角形内角和定理（第2课时）锦州市实验学校韩丽一、学生知识状况分析学生技能基础：学生在前面的几何学习中，已经学习过平行线的判定定理与平行线的性质定理以及它们的严格证明，学习了三角形内角和定理的证明以及相关应用，有相关知识的基础，并具有一定的逻辑思维能力和推理能力，为今天的学习奠定了良好的基础。

二、教学任务分析本节课的主要内容是引入三角形外角的概念，探索并证明与三角形外角有关的几个定理，并利用它们解决一些简单的问题。

重点是运用外角的性质解决问题，在解决问题中发展学生的推理能力。

难点是运用三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角证明和计算。

本节课的教学目标是：1. 了解三角形的外角的定义。

掌握三角形外角的性质，并能运用这些定理解决问题。

2. 经历探索与证明的过程，进一步培养学生的逻辑思维能力和推理能力。

3. 在一题多解，一题多变中，积累解决几何问题的经验，提升解决问题的能力。

三、教学过程分析本节课的设计分为四个环节：复习引入一一探索新知一一运用新知，一题多变一一课堂反思与小结第一环节：情境引入教师在黑板上画出三角形，复习三角形内角和定理，利用与三角形不一样的内角引出外角，通过作图，用到了把△ ABC的一边BC延长得到/ ACD这个角叫做什么角呢？引入课题，在黑板上板书课题。

活动目的：通过知识迁移，在学生已经掌握内角的性质基础上，引出三角形外角的概念，并对其进行研究，激发学生学习兴趣。

第二环节：探索新知活动内容：（一）三角形的外角定义：三角形内角的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角，教师通过问题串提出问题，/ 1有什么位置特征，从角的顶点，角的边看出有什么特征？D B C BC（1） 顶点在三角形的一个顶点上. （2） —条边是三角形内角的一边.（3） 另一条边是三角形内角的另一条边的反向延长线.画出一个三角形，画出它的所有外角。

思考：三角形共有多少个外角？每个顶点处有几个外角，它对顶角相等。

7.5 三角形内角和定理 知识考点梳理(课件)北师大版数学八年级上册

7.5 三角形内角和定理 知识考点梳理(课件)北师大版数学八年级上册

巧 点
又 ∵∠C=90°，
拨 ∴∠D=180°-90°-55°=35°.
［答案］ A
返回目录
混
分 析
领悟提能 三角形的外角是由三角形的一边与另一边的
反向延长线组成的，由外角的性质可以把不在同一个三角
形中的几个内角联系起来．
7.5 三角形内角和定理
返回目录
方 ■方法：转化法求角度
法 技
用已知角的度数求未知角的度数时，若几个角的位置分
巧 点
布比较分散，那么我们利用平行线的性质、对顶角的性质
拨 等将所求角与已知角“转移”到一个图形中求解.
7.5 三角形内角和定理
● 考点清单解读 ● 重难题型突破 ● 易错易混分析 ● 方法技巧点拨
7.5 三角形内角和定理
返回目录
考 ■考点一 三角形内角和定理
点
清 三角形内角和
单 解
定理
三角形的内角和等于 180°
读 如图，在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°
数学语言描述
7.5 三角形内角和定理
7.5 三角形内角和定理
返回目录
方 例 如图，已知∠A=35°，∠B=∠C=90°，则∠D 的度
法
技 数是 （
）
巧 点
A. 35° B. 45°
C. 55°
D. 65°
拨
7.5 三角形内角和定理
方 ［解析］ ∵∠A=35 ° ，∠B=90°，
法 技 ∴∠COD=∠AOB=180°-90°-35°=55°.
________（选填“增加”或“减少”）_______°.
7.5 三角形内角和定理
返回目录
重 ［解析］如解析图，延长 EF，交 CD 于点 G.

北师大版八年级数学上册《7.5 三角形内角和定理》课件

北师大版八年级数学上册《7.5 三角形内角和定理》课件

F A
1
B 2 3C E
D
想一想
已知：D是直线AB上一点，E是直线AC上一点， 直线BE与直线CD相交于F，∠A=62°,若 ∠ACD=35°,∠ABE=20°.
求： （1）∠BDC度数； （2）∠BFD度数．
C
F E
D
A
B
练一练
已知：如图,在三角形ABC中,AD平分外角∠EAC, ∠B=∠C.
第七章 平行线的证明 学科网
5. 三角形内角和定理（第2课时）
教学目标：
灵活运用三角形的外角和两条性质解决 相关问题。
教学重点：
三角形外角和定理。
教学难点：
三角形外角和定理的应用，推论。
三角形的外角
定义： 三角形的一边与另一边的延长线所组成的角， 叫做三角形的外角。
特征：
(1) 顶点在三角形的一个顶点上． (2) 一条边是三角形的一边． (3) 另一条边是三角形某条边的延长线．
证明：∵ ∠1 +∠BAF=180°(1平角= 180°) ∠2 +∠CBD=180° ∠3 +∠ACE=180°
又∵ ∠1+ ∠2 + ∠3= 180° (三角形内角和定理)
∴ ∠1+ ∠2 + ∠3 +∠BAF +∠CBD +∠ACE=3× 180° ∴ ∠BAF +∠CBD +∠ACE=540 ° - 180°= 360°
求证：AD∥BC
E
A
D
B
C
练一练
已知：如图，在三角形ABC中，∠1是它的一个外角， E为边AC上一点，延长BC到D，连接DE.
求证：∠1>∠2
D

八年级数学上册第7章平行线的证明5三角形内角和定理第2课时三角形的外角课件新版北师大版

八年级数学上册第7章平行线的证明5三角形内角和定理第2课时三角形的外角课件新版北师大版

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知识点3 三角形内角和定理推论2
7. 如图，点 D 为△ ABC 的边 BC 延长线上一点，关于∠ B 与
∠ ACD 的大小关系，下列选项正确的是(
A. ∠ B ＞∠ ACD
B. ∠ B ＝∠ ACD
C. ∠ B ＜∠ ACD
D. 无法确定
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内角和与内外角的关系得出结论.如图①，想要找到∠
BDC 与∠ BAC ＋∠ B ＋∠ C 之间的关系，通过连接 AD
并延长到点 E ，得到△ ABD 和△ ADC ，进而得出∠
BDC ＝∠ BAC ＋∠ B ＋∠ C 的结论.
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请你应用上述材料中的方法，探究图②中∠ A ＋∠ B ＋
∠ C ＋∠ D ＋∠ E 的度数.
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解：连接 AF 并延长至点 M .
因为∠ BAC ＝∠ BAM ＋∠ CAM ，∠BFM ＝∠B ＋∠BAM ，
∠ CFM ＝∠ C ＋∠ CAM ，
所以∠ BFC ＝∠ BFM ＋∠ CFM ＝∠ B ＋∠ BAM ＋∠CAM
1
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北师大版八年级数学上册三角形内角和定理教学课件

北师大版八年级数学上册三角形内角和定理教学课件
角形的内角和等于180°，但这些三角形只是所有三角
形中有限的几个，而形状不同的三角形有无数多个，我
们如何能得出“所有的三角形的三个内角的和都等于
180°”这个结论呢？
根据前面给出的基本事实和定理去证明
A
已知：如图，△ABC.
求证：∠A +∠B +∠C=180°.
C
B
分析：延长BC到D，过点C作射线CE//BA
求证：AD//BC.
E
A
分析：要证明AD//BC，只需证明“同位角相等”
D
或“内错角相等”或“同旁内角互补”.
B
C
证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻
的两个内角的和），
∠B=∠C（已知），
∴
∵


∠C= ∠EAC（等式的性质）.
E
AD平分∠EAC（已知），
A

∠EAC

∴
∠DAC=
∵ ∠B=38°，∠C=62°（已知），
B
D
∴ ∠BAC=180°-38°-62°=80°（等式的性质）.
∵ AD平分∠BAC（已知），




∴ ∠BAD=∠CAD= ∠BAC= ×80°=40°（角平分线的定义）.
C
在△ADB中，
∠B+∠BAD+∠ADB=180°（三角形内角和定理）.
∵∠B=38°（已知），∠BAD=40°（已证），
向延长线组成的角，称为△ABC的外角.
2
如右图，∠1是△ABC的∠ABC的外角.
1
D
∠1与其他角有什么关系？能证明你的结论吗？
4
B
3

新北师大版八年级数学上册《三角形内角和定理》课件

北师大版八年级上§7.5
三角形内角和定理
三角形的内角和等于180°
已知：如图，∠A, ∠B ,∠C是△ABC的三个内角.
求证：∠A + ∠B +∠C = 180°
B A E
C
证明：延长BC到D，过点C作射线CE//BA， 则 ∠ACE =∠A(两直线平行，内错角相等)， ∠ECD =∠B(两直线平行，同位角相等) ∵∠ACE +∠ECD +∠ACB =180°(平角定义) ∴∠A + ∠B +∠ACB = 180°(等量代换)
————
；
2、在△ABC中，∠A=105°，∠B - ∠C=15°，
，∠C=
————
A D E C
3、已知:如图在△ABC中 DE∥BC,∠A=60°, ∠C=70° B 则∠ADE= .
4、已知:如图在△ABC中， ∠B=38°, ∠C=62°. AD是△ABC的角平分线， 求∠ADB的度数.
(1)求∠BAC
(2)求∠BAD (3)求∠ADB
A
B
D
C
（三角形内角和定理）
（角平分线定义） （三角形内角和定理）
1、三角形内角和定理的不同证明方法；
2、巧做辅助线进行角的转换；
3、三角形内角和定理的应用。
巧做辅助线
A E C
E A
F A
E C
B
D
B
C
B
D
A S Q B M P R T C M N Q
S P
N
A R
E
1 2 B D
A 3
F 4 C
B T
C
……
1、课本习题4.1 2、学案
1、2、3

八年级数学上册 7.5 三角形内角和定理(第2课时)教学课件 (新版)北师大版.pptx


的五个角度数的总和是多少吗?其他几个五角星的五
个角度数的总和也和它一样吗?和五角星的
“胖”“瘦”有关吗?怎样计算我们一起进入本课时的学习吧!
3
1.请回答“问题导引”中的问题。 五角星的五个角的度数和都是180°,与五角星的“胖”“瘦” 无关。
2.如图,已知平面内有两条直线AB,CD,且AB∥CD,P为一动点. 当点P移动到AB的外侧时,请你写出∠P,∠C,∠A之间的关系。
5
第七章 平行线的证明
7.5 三角形内角和定理 第2课时
1
• 1.知道三角形外角的定义和三角形内角和的推论; • 2.能推导三角形内角和定理的推论,能灵活运用三角形内
角和 • 的推论解决相关问题。(重点)
2
•
下面这些漂亮的五角星你一定见过吧!你看它们
有的“胖”,有的“瘦”。最左边的五角星,你知道它
解:∵AB∥CD,
∴∠PEB=∠C.
又∵∠PEB=∠A+∠P,
∴∠P=∠C-∠A.
4
1.三角形的内角和是180°,外角和是360°。 2.根据这节课中的例2、例3的证明过程,我们发现,在解决“求 角的度数,证角相等”这些问题时,常三用角到形_内_角__和__定__理__及___ _其_第__一__条__推__论_________;在解决“证角的大小关系时”,常用到 __三_角__形__内__角__和_定__理__的__第__二_条__推__论_____,并且常作辅_助__线_____,构 造新的三角形。

北师大版数学八年级上册 课件：7.5《三角形的内角和》(共26张PPT)

证明：过点A作EF∥BC 则∠B=∠2（两直线平行,内错角相等）
B C E A F
同理∠C=∠1
因为∠2+∠1+∠BAC=1800（平角定义） 所以∠B+∠C+∠BAC=1800（等量代换）
结论：三角形的内角和等于1800.
L A
B
C
已知：△ABC. 求证： (两直线平行,内错角相等) ∠A +∠B +∠C =180° 因为∠1+∠BAC+∠C=180°
三角形的内角和定理
学习目标
1、通过拼图验证三角形内角和。 2、能理解和掌握三角形内角和定理 的证明过程。
3、能灵活应用三角形内角和定理进行
简单的计算和推理证明。
创设情境激发情趣：
内角三兄弟 之争
在一个直角三角形里住着三 个内角，平时，它们三兄弟非常 团结可是有一天，老二突然不高 兴，发起脾气来，它指着老大说： “你凭什么度数最大，我也要和 你一样大！”“不行啊！”老大 说：“这是不可能的，否则，我 们这个家就再也围不起 了……”“为什么？” 老二很纳闷。
作业
1.课本P76：1题（1）（2）（4） 小题、 2题（1）（2）小题、3题、4题； 2.《配套练习》P31:练习三
在这里，为了证明的需要，在原来的 图形上自己加上的线叫做辅助线。在平面 几何里，辅助线通常画成虚线。注意要说 明所加辅助线的位置、名称和性质。
思路总结：
为了证明三角形三个内角的和为 180°,通常应用转化思想。转化为： 平角或两直线平行，同旁内角互补
A
C
这里的结论,以后可以直接运用.
三角形按角的大小分类如下：
直角三角形：有一个角是直角的三角形。
三角形

北师大版数学八年级上册7.5三角形内角和定理(第2课时)课件(共32张PPT)

=∠BCE； 在三角形每个顶点处都有两个外角.
探究新知 画一画 画出△ABC的所有外角，共有几个呢?
A
每一个三角形都
有6个外角．
每一个顶点相对
应的外角都有2个，
B
C
且这2个角为对顶角.
探究新知
归纳总结 三角形的外角应具备的条件：
①角的顶点是三角形的顶点； ②角的一边是三角形的一边； ③另一边是三角形中一边的延长线.
∴ ∠BFC=88°.
E
A
D
如图,P是△ABC内一点，连接PB，PC.
分析:要证明AD∥BC,只需要证明“同位角相等” ∴∠DAC=∠C(等量代换).
因为三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
B
C
或“内错角相等”或“同旁内角互补”. 问太题狼则发直现接懒在羊A羊处独拦自截在懒O羊处羊游，玩已后知，∠灰BA太C狼=4打0算° ，用迂∠A回B的C=方70式°.，先从A前进到C处，然后再折回到B处截住懒羊羊返例回题羊村是的运去路用，红
解：∵∠2=∠1+∠B,
证明：延长BO交AC于点D,
∠3=∠2+∠D, 将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则 ∴∠2＞∠1. ∠α的度数是（ ）
∴∠3＞∠2＞∠1.
探究新知
例 如图,P是△ABC内一点，连接PB，PC.∠B=∠C. 求
还有其他 证明方法
吗？
∴ ∠BPC>∠A .（不等式的性质）
巩固练习
如图，∠A，∠1，∠2的大小关系是( B ) A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠A C．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠1
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三角形内角和定理 ：
三角形三个内角的和等于180°。
推论1:
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内
角的和.
推论2:
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻
的内角.
∠A=45°(已知), ∴ ∠B=100°－45°=55°.
B
C
D
(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).Байду номын сангаас
又 ∵ ∠DCA+∠BCA=180°(平角意义).
∴ ∠ACB=80°(等式的性质).
2.已知:如图, ∠BAF, ∠CBD, ∠ACE是△ABC的三个外角。 求证: ∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°. 证明:∵ ∠BAF是△ABC的一个外角（已知） ∴ ∠BAF=∠2+∠3 B 2
7.5 三角形内角和定理 （2）
01
学习目标
02
旧知回顾
03
新知探究
04
例题精讲
05
06
随堂练习
课堂小结
1.掌握三角形内角和定理的推论及简单应
用。
2.灵活运用三角形内角和定理的推论解决
相关问题。
1.三角形的内角和定理是什么?
三角形的内角和等于180°. 2.直角三角形两锐角互余.
外角定义：
△ABC内角的一条边与另一
3
F
1
A
(三角形的一个外角等于和它不相邻的两
个内角的和).
同理，∠CBD=∠1+∠3 ， ∠ACE= ∠1+∠2.
D
C E
∴
∵ ∴
∠BAF+∠CBD+∠ACE=2(∠1+∠2+∠3)(等式的性质)
(∠1+∠2 + ∠3)=180°(三角形内角和定理) ∠BAF+∠CBD+∠ACE=2×180°= 360°(等量代换)
例2 已知:如图,在△ABC中，∠B=∠C，
E
A
AD平分外角∠EAC.
求证:AD∥BC.
B
·D
C
·
方 法 二
证明:∵ ∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和), ∠B=∠C (已知), 方法2 1 是运用了公 ∴ ∠B= ∠EAC(等式性质). 2 理“同位角 ∵ AD平分∠EAC(已知). 相等,两直 1 线平行”进 ∴ ∠DAE= ∠EAC(角平分线的定义). 行证实. 2 ∴∠DAE=∠B(等量代换). ∴ AD∥BC(同位角相等,两直线平行).
定理1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的
两个内角的和.
定理2: 三角形的一个外角大于任何一个和它
A 2
不相邻的内角.
△ABC中: ∠1=∠2+∠3; ∠1>∠2,∠1>∠3.
B
3
4 1 C
D
这个结论以后可以直接运用.
例2 已知:如图,在△ABC中，∠B=∠C，
E
A
AD平分外角∠EAC.
求证:AD∥BC.
B
· C ·
D
证明:∵ ∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和), ∠B=∠C (已知), 方法1 方 1 是运用了 ∴ ∠ C= ∠ EAC( 等式性质 ). 法 2 定理“内 一 错角相等, ∵ AD平分∠EAC(已知). 两直线平 1 ∴ ∠DAC= ∠EAC(角平分线的定义). 行”进行 2 证实. ∴ ∠DAC=∠C(等量代换). ∴ AD∥BC(内错角相等,两直线平行).还有其它方法吗？
例2 已知:如图,在△ABC中，∠B=∠C，
E
AD平分外角∠EAC.
求证:AD∥BC.
证明:由证法1可得: ∠DAC=∠C (已证),
B
A
· ·C
D
方 ∵ ∠BAC+∠B+∠C =180° (三角形内角和定理). 法 三
∴ ∠BAC+∠B+∠DAC =180° (等量代换).
∴ a∥b(同旁内角互补,两直线平行).
C
∵ ∠PDC是△ABD的一个外角 (外角定义). ∴ ∠PDC>∠A (三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角).
还有其它方法吗？
1.已知:如图所示,在△ABC中,外角∠DCA=100°,∠A=45°. 求:∠B和∠ACB的大小. A 解:∵ ∠DCA是△ABC的一个外角(已知), ∠DCA=100°(已知),
条边的反向延长线组成的角，称 为△ABC的外角. ∠1是△ABC的∠ ACB的外 角. . .
你能在图中画出△ABC的其他外角吗？
加油！
如图，∠1是△ABC的一个外角, ∠1与图中的其它 A 角有什么关系? 2 能证明你的结论吗? ∠1+∠4=180° ; ∠1>∠2; ∠1>∠3; ∠1=∠2+∠3. 3 4 1 C
B
D
证明:∵∠2+∠3+∠4=180°(三角形内角和定理), ∠1+∠4=180° (平角的意义), ∴∠1= ∠2+∠3.(等量代换). ∴ ∠1>∠2,∠1>∠3(和大于部分).
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
推论：
三角形内角和定理的推论:
方法3是运用了定理“同旁内角互补,两直线平行”进行 证实.
例3 已知:如图,P是△ABC内一点，连接PB,PC. 求证:∠BPC>∠A.
证明:如图，延长BP,交AC于点D. ∵ ∠BPC是△PDC的一个外角 (外角定义).
p A
D
B ∴ ∠BPC>∠PDC (三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角).