- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
y
（0.5 , 1.5) x＝1 lgx=0的一个根.
1
.
1.
0.
2
x
y
.
0 a.
bx
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续
不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函
数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c∈(a,b)， 使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。
2(1)解：作出函数的图象，如下：
因为f(1)=1>0,f(1.5)=－2.875<0, 所以f(x)= －x3－3x+5在区间(1, 1.5) 上有零点。又因为f(x)是(－∞,＋∞） 上的减函数，所以在区间(1, 1.5)上有 且只有一个零点。
.y .
5
.4
3
2.
1
0 1 23 x
－1
.
2(2) f(x)=2x ·ln(x－2)－3
2x2 ＋2x－5＝0，令f(x)=2x2＋
2x－5 , 作出函数f(x)的图象，
y
如下：
4
3
它与x轴有两个交点，所以
.
2 1
.
方程5x2 +2x＝3x2 +5有两个不 相等的实数根。
. . －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 －1 －2
x
－3
－4
.－5
－6
2(1) f(x)= －x3－3x+5
（2x)=ex－1+4x－4; （4）f(x)=3(x+2)(x－3)(x+4)+x.
(1) －x2＋3x＋5＝0
1(1)解：令f(x)=－x2＋3x＋5, y 作出函数f(x)的图象，如下： 8
6
它与x轴有两个交点，所以方程 4 .
－x2＋3x＋5＝0有两个不相等
.
.
2(3) f(x)=ex－1+4x－4
2(3)解：作出函数的图象， 如下：
因为f(0)≈－3.63<0,f(1) ＝1>0,所以f(x)= ex－1+4x－4 在区间(0,1)上有零点。又因 为f(x) = ex－1+4x－4是(－∞ ， ＋∞）上的增函数，所以在 区间(0,1)上有且只有一个零 点。
(x1,0) , (x2,0)
(x1,0)
没有交点
函数零点的定义： 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)的零点。
等价关系 方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
函数y=f(x)有零点
观察二次函数f(x)=x2－2x－3的图象:
y
.
.
2
[－2,1] f(－2)>0 f(1)<0 f(－2)·f(1)<0
y.
2
1.
－2 －1 0
12
. －1
－2
. －3
－4
3 4x
2(4) f(x)=3(x+2)(x－3)(x+4)+x
2(4)解：作出函数的图象，如下：
因为f(－4)＝－4<0,f(－ 3)＝15>0,
f(－2)＝－2<0,f(2)＝－70<0, f(3)＝3>0,
所以f(x)= 3(x+2)(x － 3)(x+4)+x 在区间
(3) x2＝4x－4
1(3)解：x2＝4x－4可化为x2－4x
＋4＝0，令f(x)= x2－4x＋4，作出
函数f(x)的图象，如下：
y
它与x轴只有一个交点，所以方
.6
5
.
程x2＝4x－4有两个相等的实数根。 . 4 .
3
2
1
. －1 0 1 2 3 4 x
(4) 5 x2＋2x＝3 x2＋5
1(4)解：5x2 +2x＝3x2 +5可化为
.
x
3
－6
练习：
1.利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：
（1）－x2＋3x＋5＝0； 有 没有
y
（2）2x(x－2)＝－3； 有 没有
0
x
（3） x2＝4x－4；
有 没有
（4）5 x2＋2x＝3 x2＋5. 有 没有
2.利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：
（1）f(x)= －x3－3x+5；
x1=x2=1 (1,0)
无实数根 无交点
判别式△ = b2－4ac
△＞0
△=0
方程ax2 +bx+c=0 两个不相等
(a≠0)的根
的实数根x1 、x2
y
函数y= ax2 +bx
+c(a≠0)的图象
x1 0
x2 x
有两个相等的 实数根x1 = x2
y
0 x1 x
△＜0 没有实数根
y
0
x
函数的图象 与 x 轴的交点
2(2)解：作出函数的图象，如下：
因为f(3)＝－3<0,f(4)≈2.545>0,所以f(x)=
2x ·ln(x－2)－3在区间(3,4)上有零点。又因为
f(x) =2x ·ln(x－2)－3是(2，＋∞）上的增函数，
所以在区间(3,4)上有且只有一个零点。
.
y
.
2
1
0 1 2 34 5 x
－1
-2 -3
高中数学课件
精心整理 欢迎使用
3.1.1方程的根与函数的零点
等价关系 判断函数零点或相 应方程的根的存在性 例题分析 课堂练习 小结 布置作业
思考：一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？
方程 函数
函 数 的 图 象
x2－2x－3=0 x2－2x+1=0 x2－2x+3=0
2
..
的实数根。
－2 －1 0 1 2 3 4 x
.
.
(2) 2x(x－2)＝－3
1(2)解：2x(x－2)＝－3可化为 2x2－4x＋3＝0，令f(x)= 2x2－4x ＋3 , 作出函数f(x)的图象,如下：
它与x轴没有交点，所以方程2x(x －2)＝－3无实数根。
y
5
.4 .
3.
2
.
1.
－1 0 1 2 3 x
.1
.
－2 －1 0 1 2 3 4 x
－1
－2 －3
. －4
（－2,1）x＝－1 x2－2x－3＝0的一个根
[2,4] f(2)<0 f(4)>0 f(2)·f(4)<0 （2,4）x＝3 x2－2x－3＝0的另一个根
观察对数函数f(x)=lgx的图象:
[0.5 , 1.5] f(0.5)<0 f(1.5)>0 f(0.5)·f(1.5)<0
由表3-1和图3.1—3可知 y
f(2)<0,f(3)>0，即f(2)·f(3)<0，14
说明这个函数在区间(2,3)内
12 10
有零点。
8
由于函数f(x)在定义域
6 4
(0,+∞)内是增函数，所以 2
它仅有一个零点。
0 －2
－4
. . . .2 . .. .
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
(－4,－3 )、 (－3，－2,)、 (2,3 )上各有
一个零点。
y
40
.
20
. . －4 －2
－5
－3 －1 0
. .
1 2 34 5
x
－20
. －40
.
.
.－60 .
. －80
小结与思考
函数零点的定义 等价关系 函数的零点或相应方程的 根的存在性以及个数的判断
布置作业：
P103习题3.1 第2题
y= x2－2x－3 y= x2－2x+1 y= x2－2x+3
y
.
2
.
.y
.
.1
.
－1 0 1 2 3
－1
－2 －3
. －4
2
x 1. . . －1 0 1 2 x
y
.5 .4
. .
3 2
.
1
－1 0 1 2 3 x
方程的实数根 x1=－1,x2=3
函数的图象 与x轴的交点
(－1,0)、(3,0)
注:只要满足上述两个条件,就能判断函数在指定区间
内存在零点。
y
y
..
. .
a0 b x
a0 b x
例题1 求函数f(x)=lnx+2x－6的零点个数。
解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表（表3-1） 和图象（图3.1—3）
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
f（x） －4 －1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972
