2008年新知杯上海市高中数学竞赛
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一道赛题的求解、应用及探究
龚新平
【期刊名称】《中学数学研究》
【年(卷),期】2009(000)001
【摘要】在刚结束的2008年上海市高中数学竞赛(新知杯)中出现了一道关于集合计数的问题,笔者发现此类问题也经常出现在其他各类竞赛中,下面呈现的是笔者对该问题的求解和应用及几点简单探究.
【总页数】0页(P44-45)
【作者】龚新平
【作者单位】上海市育才中学,201801
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.探寻求解通法呈现最优解法r——一道不规则四边形赛题的解法探究 [J], 张宁
2.一道有序集组计数赛题的求解与变式 [J], 龚新平
3.一道集合计数竞赛题的求解、应用及探究 [J], 龚新平
4.从两道智力赛题中得到的启示——一道特殊的一次方程组趣题的求解 [J], 周士藩
5.从一道赛题的解谈“数列”类题的求解方法 [J], 赵小平
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新 知 杯 模 拟 试 题一、填空题(第1-5小题每题8分,第6-10题每题10分,共90分)1. 对于任意实数b a ,,定义b a *=b b a a ++)(,已知5.285.2=*a ,则实数a 的值是_________。
2. 在三角形ABC 中,,其中,,a CA a BC b AB 2122==-=b a ,是大于1的整数,则=-a b 。
3. 一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形,它的周长可能是 。
4. 已知关于x 的方程02)2()3(2234=++++++k x k x k x x 有实根,并且所有实根的乘积为-2,则所有实根的平方和为 。
5. 如图,直角三角形ABC 中1=AC ,2=BC ,P 为斜边AB 上一动点。
BC PE ⊥,CA PF ⊥,则线段EF 长的最小值为 。
6. 设b a ,是方程01682=++x x 的两个根,d c ,是方程01862=+-x x 的两个根,则()()()()d b d a c b c a --++的值为 。
7. 在平面直角坐标系中有两点()1,1-P ,()2,2Q ,函数1-=kx y 的图像与线段PQ 延长线相交(交点不包括Q ),则实数k 的取值范围是 。
8. 方程2009=xyz 的所有整数解有 组。
9. 如图,四边形ABCD 中CD BC AB ==,78=∠ABC ,162=∠BCD 。
设BC AD ,延长线交于E ,则=∠AEB _________________.EEC10. 如图,在直角梯形ABCD 中,90=∠=∠BCD ABC ,10==BC AB ,点M 在BC上,使得ADM ∆是正三角形,则ABM ∆与DCM ∆的面积和是________________。
二、(本题15分)如图,ABC ∆中,90=∠ACB ,点D 在CA 上,使得,,31==AD CD 并且,BAC BDC ∠=∠3求BC 的长。
2008年全国高中数学联合竞赛加试(A 卷)试题参考答案及评分标准说明:1.评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分;2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,10分为一个档次,不要增加其他中间档次.一、(本题满分50分)如题一图,给定凸四边形ABCD ,180B D ∠+∠<,P 是平面上的动点,令()f P PA BC PD CA PC AB =⋅+⋅+⋅.(Ⅰ)求证:当()f P 达到最小值时,P A B C ,,,四点共圆; (Ⅱ)设E 是ABC ∆外接圆O 的AB 上一点,满足:AE AB =,1BC EC =,12ECB ECA ∠=∠,又,DA DC 是O的切线,AC =,求()f P 的最小值. [解法一] (Ⅰ)如答一图1,由托勒密不等式,对平面上的任意点P ,有PA BC PC AB PB AC ⋅+⋅≥⋅. 因此 ()f P PA BC PC AB PD CA =⋅+⋅+⋅PB CA PD CA ≥⋅+⋅()PB PD CA =+⋅.因为上面不等式当且仅当,,,P A B C 顺次共圆时取等号,因此当且仅当P 在ABC ∆的外接圆且在AC 上时,()()f P PB PD CA =+⋅.又因PB PD BD +≥,此不等式当且仅当,,B P D 共线且P 在BD 上时取等号.因此当且仅当P 为ABC ∆的外接圆与BD 的交点时,()f P 取最小值min ()f P AC BD =⋅.故当()f P 达最小值时,,,,P A B C 四点共圆.(Ⅱ)记ECB α∠=,则2E C Aα∠=,由正弦定理有sin 2sin 3AE AB αα==,从而s i n 32s i n 2αα=34sin )4sin cos αααα-=,所以2cos )4cos 0αα--=,整理得24cos 0αα-=,解得cos αcos α=, 故30α=,60ACE ∠=. 答一图1由已知1BCEC ==()0sin 30sin EAC EAC∠-∠,有sin(30)(1)sin EAC EAC ∠-=∠,即1cos 1)sin 2EAC EAC EAC∠-∠=∠,整理得1cos 2EACEAC ∠=∠,故tan 2EAC ∠==75EAC ∠=, 从而45E ∠=,45DAC DCA E ∠=∠=∠=,ADC ∆为等腰直角三角形.因AC 1CD =.又ABC ∆也是等腰直角三角形,故BC =,212215BD=+-⋅=,BD =故min ()f P BD AC =⋅= [解法二] (Ⅰ)如答一图2,连接BD 交ABC ∆的外接圆O 于0P 点(因为D 在O 外,故0P 在BD 上). 过,,A C D 分别作000,,P A PC P D的垂线,两两相交得111A B C ∆,易知0P 在ACD ∆内,从而在111A B C ∆内,记ABC∆之三内角分别为x y z ,,,则0180APC y z x ∠=︒-=+,又因110B C P A ⊥,110B A PC ⊥,得1B y ∠=,同理有1A x ∠=,1C z ∠=, 所以111A B C ∆∽ABC ∆.设11B C BC λ=,11C A CA λ=,11A B AB λ=,则对平面上任意点M ,有 0000()()f P P A BC P D CA PC AB λλ=⋅+⋅+⋅ 011011011P A B C P D C A PC A B =⋅+⋅+⋅ 1112A B C S ∆=111111MA BC MD C A MC A B ≤⋅+⋅+⋅ ()MA BC MD CA MC AB λ=⋅+⋅+⋅ ()f M λ=, 从而 0()()f P f M ≤. 由M 点的任意性,知0P 点是使()f P 达最小值的点. 由点0P 在O 上,故0,,,P A B C 四点共圆. (Ⅱ)由(Ⅰ),()f P 的最小值 11102()A B C f P S λ∆=答一图22ABC S λ∆=,记ECB α∠=,则2ECA α∠=,由正弦定理有sin 2sin 3AE AB αα==2sin 2αα=,34sin )4sin cos αααα-=,所以2cos )4cos 0αα--=,整理得24cos 0αα-=,解得cosαcos α=,故30α=,60ACE ∠=.由已知1BCEC ==()sin 30sin EAC EAC∠-∠,有sin(30)(1)sin EAC EAC ∠-=∠,即1cos 1)sin 2EAC EAC EAC ∠-∠=∠,整理得1cos 2EAC EAC ∠=∠,故tan 2EAC ∠==75EAC ∠=,所以45E ∠=︒,ABC ∆为等腰直角三角形,AC =,1ABC S ∆=,因为145AB C ∠=︒,1B 点在O 上,190AB B ∠=︒,所以11B BDC 为矩形,11B C BD ==故λ=min ()21f P =[解法三] (Ⅰ)引进复平面,仍用,,A B C 等代表,,A B C 所对应的复数.由三角形不等式,对于复数12,z z ,有 1212z z z z +≥+,当且仅当1z 与2z (复向量)同向时取等号.有 P A B C P C A B P A B C P C A B⋅+⋅≥⋅+⋅, 所以 ()()()()A P CBC P B A --+-- ()()()()A P C B C P B A ≥--+-- (1) P C A B C B P A =-⋅-⋅+⋅+⋅ ()()B P C A P B A C =--=⋅, 从而 P A B C P C A B PD C A⋅+⋅+⋅ PB AC PD AC ≥⋅+⋅()PB PD AC =+⋅BD AC ≥⋅. (2)(1)式取等号的条件是复数 ()()A P C B --与()()C P B A -- 同向,故存在实数0λ>,使得()()()()A P C B C P B A λ--=--,A PB AC P C Bλ--=--, 所以 a r g ()a r g ()A PB AC PC B--=--, 向量PC 旋转到PA 所成的角等于BC 旋转到AB 所成的角, 从而,,,P A B C 四点共圆.(2)式取等号的条件显然为,,B P D 共线且P 在BD 上.故当()f P 达最小值时P 点在ABC ∆之外接圆上,,,,P A B C 四点共圆. (Ⅱ)由(Ⅰ)知min ()f P BD AC =⋅. 以下同解法一.二、(本题满分50分)设()f x 是周期函数,T 和1是()f x 的周期且01T <<.证明: (Ⅰ)若T 为有理数,则存在素数p ,使1p是()f x 的周期; (Ⅱ)若T 为无理数,则存在各项均为无理数的数列{}n a 满足110n n a a +>>>(1,2,)n =⋅⋅⋅,且每个(1,2,)n a n =⋅⋅⋅都是()f x 的周期.[证] (Ⅰ)若T 是有理数,则存在正整数,m n 使得nT m=且(,)1m n =,从而存在整数,a b ,使得1ma nb +=. 于是11ma nb a bT a b T m m+==+=⋅+⋅ 是()f x 的周期. 又因01T <<,从而2m ≥.设p 是m 的素因子,则m pm '=,m *'∈N ,从而11m p m'=⋅ 是()f x 的周期.(Ⅱ)若T 是无理数,令111a T T ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦, 则101a <<,且1a 是无理数,令21111a a a ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦,……111n n n a a a +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦,…….由数学归纳法易知n a 均为无理数且01n a <<.又111n n a a ⎡⎤-<⎢⎥⎣⎦,故11n n n a a a ⎡⎤<+⎢⎥⎣⎦,即111n n n n a a a a +⎡⎤=-<⎢⎥⎣⎦.因此{}n a 是递减数列. 最后证:每个n a 是()f x 的周期.事实上,因1和T 是()f x 的周期,故111a T T ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦亦是()f x 的周期.假设k a 是()f x 的周期,则111k k k a a a +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦也是()f x 的周期.由数学归纳法,已证得n a 均是()f x 的周期.三、(本题满分50分)设0k a >,1,2,,2008k =.证明:当且仅当200811k k a =>∑时,存在数列{}n x 满足以下条件:(ⅰ)010n n x x x +=<<,1,2,3,n =;(ⅱ)lim n n x →∞存在;(ⅲ)20082007111n n k n k k n k k k x x a x a x -+++==-=-∑∑,1,2,3,n =.[证] 必要性:假设存在{}n x 满足(ⅰ),(ⅱ),(iii ).注意到(ⅲ)中式子可化为 2008111()n n k n k n k k x x a x x -++-=-=-∑,n ∈*N ,其中00x =.将上式从第1项加到第n 项,并注意到00x =得 111222200820082008()()()n n n n x a x x a x x a x x +++=-+-++-.由(ⅱ)可设lim n n b x →∞=,将上式取极限得 112220082008()()()b a b x a b x a b x =-+-++- 20081122200820081()k k b a a x a x a x ==⋅-+++∑20081k k b a =<⋅∑,因此200811k k a =>∑.充分性:假设200811k k a =>∑.定义多项式函数如下:20081()1k k k f s a s ==-+∑,[0,1]s ∈,则()f s 在[0,1]上是递增函数,且(0)10f =-<,20081(1)10k k f a ==-+>∑.因此方程()0f s =在[0,1]内有唯一的根0s s =,且001s <<,即0()0f s =.下取数列{}n x 为01nkn k x s ==∑,1,2,n =,则明显地{}n x 满足题设条件(ⅰ),且1000101n nkn k s s x s s +=-==-∑. 因001s <<,故10lim 0n n s+→∞=,因此100000lim lim 11n n n n s s s x s s +→∞→∞-==--,即{}n x 的极限存在,满足(ⅱ).最后验证{}n x 满足(ⅲ),因0()0f s =,即2008011kk k a s ==∑,从而200820082008101111()()nk n n k n n k k k n k n k k k k x x s a s s a sa x x +-++-===-====-∑∑∑.综上,存在数列{}n x 满足(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ). 出师表两汉:诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂,今天下三分,益州疲弊,此诚危急存亡之秋也。
上海市部分要点中学 2008 届高三第二次联考数学(理科)试卷 ()题 号1~1213~ 16 1718 19 20 2122 总分 应得 4816121214141618150分 实得 分考生注意:考试时间 120 分钟,试卷总分 150 分。
一、填空题:(12×4’= 48’)1、会合 A { x | | x | 2 } 的一个非空真子集是 __________2、若 (a 2 i ) i b i ,此中 a , b R , i 是虚数单位,则 a b __________3、在等差数列 { a n } 中, a 5 ,2 ,则 a3 a4 a 8 __________ 3 a 6 4、若 sin() 1 , (, 0 ) ,则 tan __________225、设函数 f ( x)x21 ( x 0),那么 f 1(10)_________2 x ( x 0)6、已知圆的半径为 2,圆心在 x 轴的正半轴上,且圆与直线 3 x + 4 y +4 = 0 相 切,则圆的标准方程是 _______________________7、已知 a,b, c 是锐角 ABC 中 A,B, C 的对边,若 a 3,b 4, ABC 的面积为3 3 ,则 c8、某机关的 2008 年新对联欢会原定 10 个节目已排成节目单,开演前又增添了两个反应军民携手抗击雪灾的节目, 将这两个节目随机地排入原节目单, 则这两个新节目恰巧排在一同的概率是 _______________9、在极坐标系中, O 是极点,设点 A(4, ) , B(3, 2) ,则 O 点到 AB 所在直线的6 3距离是10 、设 定义 在 R 的函 数 f (x) 同 时 满 足 以下 条件 : ① f (x)f ( x) 0 ; ②f ( x) f ( x2) ;③当 0 x 1时, f ( x) 2 x1 。
则 f ( 1 ) f (1) f ( 3 ) f (2) f ( 5 ) _____________2 2 211、在平面直角坐标系中,横、纵坐标均为整数的点叫做格点.若函y=f(x) 的图像恰巧经过 k 个格点,则称函数 y=f(x) 为 k 阶格点函数.已知函数:①y=2sinx ; ② y=cos(x+) ; ③ y e x1 ; ④ y x2 . 此中 为一阶 格点 函数的序号为6(注:把你以为正确论断的序号都填上)12、已知 AB是椭圆x2y2 1(a b0) 的长轴,若把该长轴 n 平分,过每个等a2 b2分点作 AB的垂线,挨次交椭圆的上半部分于点P1, P2, , P n 1,设左焦点为 F1,则lim 1 ( F1A F1P1 F1Pn 1 F1B ) ________n n二、选择题( 4×4’=16’)13、假如 a,b,c 知足 c<b<a 且 ac<0,那么以下选项中不必定成立的是---------- ()A . ab>ac B. c(b-a)>0 C .cb2 ab2 D . ac(a-c)<014、设 a,b,c 表示三条直线,,表示两个平面,以下命题中不正确的选项是---------()a a bA. aB. b在内 b c// c是 a在内的射影b // ca //C. b在内 c //D. bb ac不在内15、若a、b、c是常数,则“ a 0 且 b2 4 a c 0 ”是“对任意 x R ,有 a x 2 b x c 0 ”的--------------------------- ( )A .充足不用要条件B .必需不充足条件C .充要条件D .既不充足也不用要条件16 、由方程x | x | y | y | 1 确定的函数 y f (x) 在 ( , ) 上是--------- ()A.增函数 B .减函数 C .先增后减 D .先减后增三、解答题:r r r r17、(8+4)已知向量a =( - cosx , sinx ), b =(cosx , 3 cos x ),函数f(x)= a b x [0, ](1)求函数 f(x) 的最大值r r(2)当函数 f(x) 获得最大值时,求向量 a与b 夹角的大小.[ 解 ]18、( 6+6)在长方体ABCD A1B1C1 D1中(如图),AD = AA1=1,AB 2 ,点上的E是 AB动点(1)若直线 D1 E与EC垂直,请你确立点E的地点,并求出此时异面直线 AD1与EC所成的角(2)在( 1)的条件下求二面角D1EC D的大小3 / 12[ 解 ]4 / 125 / 1219、(7+7)已知等比数列a n 的首项 a 1 1 ,公比为 x ( x 0) ,其前 n 项和为 S n (1)求函数 f ( x) lim S n的分析式;( )解不等式 10 3xnS n2 f (x) .18[ 解 ]20、( 4+6+4)电信局依据市场客户的不一样需求,对某地域的手机套餐通话费提出两种优惠方案,则两种方案付电话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系如下图(实线部分)(MN 平行 CD ) ( 1) 若通话时间为两小时,按方案 A ,B 各付话费多少元? ( 2) 方案 B 从 500 分钟此后,每分钟收费多少元?( 3) 通话时间在什么范围内, 方案 B 比方案 A 优惠?[ 解 ]6 / 1221、(4+6+6)设F1, F2 分别是椭圆 C:x 2y22 2 1 ( a b 0)的左右焦点a b(1) 设椭圆 C 上的点( 3 到F1 , F2 两点距离之和等于,写出椭圆 C 的方程和3, ) 42焦点坐标(2)设 K 是( 1)中所得椭圆上的动点,求线段KF1的中点 B 的轨迹方程(3)设点 P 是椭圆 C 上的随意一点,过原点的直线 L 与椭圆订交于 M,N 两点,当直线 PM ,PN的斜率都存在,并记为k PM, K PN 尝试究 k PM K PN的值能否与点P 及直线 L 相关,并证明你的结论。
2013上海市初中数学竞赛(新知杯)(2013年12月8日上午9:00~11:00)一、填空题(每题10分) 1.已知721,721-=+=b a ,则.________33=-+-b b a a2.已知43214321//////,//////m m m m l l l l ,._______,20,100===EFGH ILKJABCD S S S 则3.已知F E AC AB A 、,,8,690==︒=∠在AB 上且3,2==BF AE 过点E 作AC 的平行线交BC 于D ,FD 的延长线交AC 的延长线于G ,则.__________=GF4.已知凸五边形的边长为)(,,,,,54321x f a a a a a 为二次三项式;当1a x =或者5432a a a a x +++=时,5)(=x f ,当21a a x +=时,,)(p x f =当543a a a x ++=时,q x f =)(,则.________=-q p 5.已知一个三位数是35的倍数且各个数位上数字之和为15,则这个三位数为___________.6.已知关于x 的一元二次方程0)2)(1(2=++++m m ax x 对于任意的实数a 都有实数根,则m 的取值范围是_________________.7.已知四边形ABCD 的面积为2013,E 为AD 上一点,CDE ABE BCE ∆∆∆,,的重心分别为321,,G G G ,那么321G G G ∆的面积为________________. 8.直角三角形斜边AB 上的高3=CD ,延长DC 到P 使得2=CP ,过B 作AP BF ⊥交CD 于E ,交AP 于F ,则._________=DE二、解答题(第9题、第10题15分,第11题、第12题20分) 9.已知︒=∠90BAC ,四边形ADEF 是正方形且边长为1,求CABC AB 111++的最大值.10.已知a 是不为0的实数,求解方程组:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-ax y xy a yxxy 1 11.已知:,1>n n a a a a ,,,,321 为整数且2013321321=⋅⋅⋅⋅=++++n n a a a a a a a a ,求n 的最小值.12.已知正整数d c a 、、、b 满足),13(),13(22-=+=d c b d c a 求所有满足条件的d 的值. 答案: 1.27102- 2.603.2654.05.7356.12-≤≤-m 7.36718.599.CA BC AB 111++4221+≤10.经检验原方程组的解为:⎪⎩⎪⎨⎧+=+=1122a y a a x ,⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=1122a y a a x . 11.【解析】2013,1,1,554321===-===a a a a a n 当满足题设等式,下证当4≤n 时,不存在满足等式要求的整数,不妨设n a a a a ≤≤≤≤ 321, (1)当4=n 时,611132013⨯⨯=,当4321,,,a a a a 中有负整数时,必为⎩⎨⎧==+⇒-==20132015,1434321a a a a a a ,若2013,143==a a 不满足条件,当20152671,344343<≤+⇒≤⇒≥a a a a a 无解.不可能,当4321,,,a a a a 中无负整数时,显然20134≠a ,6714≤a ,容易验证等式不可能成立.(2)当3=n 时,当321,,a a a 中有负整数时,必为,121-==a a 显然等式不成立,当321,,a a a 中无负整数时,同上容易验证等式不可能成立. (3)当2=n 时,21,a a 均为正整数,同上易验证等式不可能成立. 综上所述,n 的最小值为5. 12.85=d2013上海新知杯初中数学竞赛答案2012年(新知杯)上海市初中数学竞赛试卷(2012年12月9日上午9:00~11:00)一、填空题(每题10分,共80分)1.已知的边上的高为,与边平行的两条直线将的面积三等分,则直线与之间的距离为_____________。
上海市中学生数学知识应用竞赛获奖名单(高中组)团体奖第一名:嘉定一中第二名:上外附中第三名:上师大附中第四名:位育中学第五名:育才中学第六名:市西中学第七名:民立中学第八名:闵行中学一等奖姚烨嘉定一中谢恺上海中学朱嘉珉格致中学郭浩民立中学陈濡青育才中学郑钢上外附中二等奖朱远骋大同中学吴源旻市西中学屠天惟交大附中陈俊彦格致中学顾文强南汇中学沈仁豪格致中学李亦承上师大附中倪庆洋上外附中韩笑纯上师大附中王明圣育才中学张尚骏位育中学宋晨华师大二附中张灏上师大附中吴源昊民立中学黄海上师大附中付博上师大附中邓彦桢上外附中李庚上师大附中胡嘉裕杨浦高级中学朱弘邑市西中学邵禹铭大境中学周斯桐交大附中李梅昕嘉定一中祁祺上师大附中陆冰嘉定一中钱昊向明中学李景上外附中孙彦潇嘉定一中顾理一上外附中姜宇龙上师大附中桑佳骏上外附中吴洁琼位育中学三等奖陆瑶崇明中学陈政晓杨浦高级中学陈天蛟交大附中李萌嘉定一中黄龙隆民立中学杨伟宁南模中学曹睿闵行中学郑龙七宝中学陈杰上外附中王辰杰七宝中学黄天怿上外附中樊菁华上师大附中李尔盛市西中学唐梦上外附中赵旖漪向明中学林佳昀上外附中姜凌霄育才中学王能市西中学汪杰华师大二附中潘力萌位育中学曹超阳上师大附中刘竹珺位育中学吴维阳位育中学陈鲁君育才中学王朱辰杨浦高级中学张钱奉贤中学金哲凡育才中学叶畋宇华师大二附中陈阵上外附中顾侃华师大二附中周天厦建平中学林玮嘉定一中盛浙湘交大附中刘紫辉嘉定一中林云翔七宝中学吕敏之建平中学江鋆晨上海中学王超建平中学龚鸣上外附中莫品西交大附中王幸一嘉定一中杨念禾进才中学强文华嘉定一中张天进才中学钱浩祺七宝中学朱惠进才中学董全位育中学程一舟晋元中学韩楚育才中学李赟闵行中学昌利圆华师大二附中丁晓峰南汇中学张琦嘉定一中周笛南汇中学万祎杰敬业中学陆风峰青浦高级中学应思缘位育中学杨威上大附中王睿博新中中学徐萍萍上南中学吴笑萦大同中学明捷上外附中李意天嘉定一中丁梦婕上外附中徐晨交大附中李天原市北中学武亦文上海中学徐楚市三女中刘晓勇上师大附中田纪原松江二中沈俊彦市西中学唐伊纳位育中学李佩易位育中学王云程吴淞中学盛文钦南模中学孙正弘西南位育丁霄云上师大附中吕睿杨浦高级中学林航向明中学王易育才中学严国辰中国中学2006年上海市中学生数学知识应用竞赛夏令营获奖名单最佳论文奖交大附中唐晓瞳孙峥诸玄麟华师大二附中毛亦鸥尤逸之昌利圆上外附中王骏旻张卓骏邓彦桢优秀论文奖晋元中学张颖斐程一舟江凌冰大境中学邵禹铭曹阳沈博文交大附中徐晨隋少龙唐希凡上师大附中付博王庶张灏南模中学刘翊杨伟宁盛文钦闵行中学曹睿陈枭扬赵辰新中中学华伟栋王睿博陈晓华民立中学黄龙隆王子卿顾远上外附中过昕怡林澍坤吕舒婷进才中学张鑫冯汇杰陈妍盼嘉定一中姚烨宋伟华杭炎菲论文奖中国中学严国辰李华蔡悯恺南汇中学顾文强曹纯灵金丽丽上师大附中祁祺薛雨辰邹天一上师大附中竺斌全庄咏文姚璐上师大附中吴梦佳蔡霖腾暴一鸣上大附中徐晓承杨威成磊育才中学姜凌霄刘家瑞黄文莹闵行中学李赟钱威邵已航市西中学黄永兴宋坤骏吴源旻杨浦高级中学陈政晓胡嘉裕张英华新中中学庄旭邹亚光吴磊七宝中学林云翔郑龙王辰杰民立中学周桢郭浩胡怡童位育中学唐伊纳张茜茜沈忱忱位育中学董全吴洁琼刘竹珺上外附中丁梦婕明捷郑敏峰上外附中唐梦陈维扬进才中学袁野倪崇智李睿哲嘉定一中马陆郁悦朱晓燕2006年上海市中学生数学知识应用小论文竞赛获奖名单优秀论文奖关于小区探头安装的最优化研究(嘉定一中:姚烨)(指导教师:谢锡林、方云萍)何时服药问题(闵行中学:李赟、王敏)数学与金鱼(嘉定一中:王云嘉、林玮)(指导教师:方云萍、曹慧莉)关于再生纸的废纸回收率的研究(上外附中:丁梦婕、明捷)大型停车规划的研究(嘉定一中:孙彦潇)(指导教师:徐李叶)公交车线路重复循环(进才中学:朱惠)信息传播与市场预测(上海中学:谢恺)(指导教师:柯新立)化学中的多面体结构(大同中学:郁飞、周嘉琳)论文奖随机儿童歌曲旋律生成器的研究(上师大附中:祁祺)(指导教师:胡志敏)电梯对重最优质量与节能问题(嘉定一中:姚雍飞)应用数学解析太空移民的可行性(市北中学:李天原)(指导教师:周晓东)客运铁路沿线设站的讨论(育才中学:王易)斐波那契和鲁卡斯数列(华师大二附中:顾侃)关于季节性商品问题的研究(建平中学:吕敏之)(指导教师:杨建华)关于控制疾病与安排措施的简单研究(上师大附中:姜宇龙)(指导教师:胡志敏)空调+电扇=价廉物美度过夏季(闵行中学:徐若愚)世博地图(闵行中学:杨霄)便利店选址问题(位育中学:唐伊纳)(指导教师:左双奇)关于电脑组装机最省时的组装顺序(市西中学:吴源旻、胡宇航、黄永兴)(指导教师:李文璋、苏华)上海市中学生数学知识应用竞赛获奖名单(初中组)市区组一等奖阮史玮市西初级刘章章位育初级中学李泱市西初级张宸元立达陈浩进华中学奚方舟立达赵冠澜卢湾中学赵玮泽延安初中吴圣融进华中学田子俊位育初级中学王恺上海市实验学校张扬上外附中二等奖姜贇烨市西初级严箴劼立达卫佳文立达朱建坤兰生复旦谈平平立达丁淑艳华初赵沛舟立达曹晋其华初陈明悦上海市实验学校吴殷哲华育中学邓予安建平西校戴碧玥世外中学陆昕清进华中学徐乾炜华育中学管扬明珠黄粟立达吴天齐中远实验学校程智浩进华中学朱元明向明中学柯雨田立达乐嘉文晋元附校李韵青华初沈怡昕进华中学周士杰西延安何笑添华初何立博进华中学卢金原进华中学汪之洲格致初级虞博雅东格致吴翔宇华初姚磊东格致三等奖张易文市西初级陈秉杰曹杨二中附校王祖元市西初级陶威华初胡家唯曹杨中学樊上华中远实验学校郭婧怡位育初级中学张思嫄复兴初级中学徐昊鹏风华初级中学周旖旎新北郊学校陈前进才实验李志强建平实验吴佳俊延安初中朱震华上海市实验学校罗亦文中远实验学校葛彦彬卢湾中学王云占上外附中邵朕君向明中学乔桑羽上海市实验学校杨晨凯复旦初中金冲复旦初中何译民办梅陇中学林之雨延安初中余俊豪久隆模范中学顾昱昊进华中学王佳玮久隆模范中学夏嘉程明珠蒋书奇闸北实验中学钱瀛卿明珠王逸宁东光明中学许翔华初何润泽复旦二附中方颖依华初胡冰吟沪东外国语施展翔位育初级中学顾佳琦教科院附中分校黄梦元位育初级中学傅天叶上外双语学校包一川浦华中学刘音翔华初陆逸波立达陈志炜世外中学郑俊洋华初李柯岑位育初级中学桑容延安初中卫毅超西南模(汇成)阮丰延安初中姚克成西南位育中学徐慧文民办梅陇中学高毅安建平西校严奕立达邬欣雷上海市实验学校洪文琍华初施天健竹园中学房屹东位育初级中学姜浩建平西校张泽宇位育初级中学赵思轶建平实验卢涛位育初级中学王斯捷建平实验冯仕立培佳双语奚晓君华夏西校董轶婷存志中学王翔凯慧中学程霖上外双语学校罗嘉玺五四中学郊区组一等奖王昊伟行知二中蔡怡磊行知二中高云天第一少年宫王朱彦桃李园实验唐卓开南汇二中谈静金盟中学顾申尧大公中学韩方航上宝中学二等奖王睿和衷中学郭伟健宝山实验学校张硕平行知二中石恺师大实验中学赵震行知二中杨钦元第一少年宫胡英杰行知二中徐佳豪和衷中学王渊上宝中学张立诚和衷中学柴逸飞金盟中学罗冠骅七宝二中王利博上宝中学王袆桃李园实验张任佶文绮中学钟容南汇二中黄逸凌文来中学成启昀金盟中学孙彬平乐中学龚驿梨民一中学三等奖寿时通和衷中学沈冠华怀少学校俞嘉卿和衷中学严天吉南汇二中沙朦和衷中学韩硕南汇一中徐灏金盟中学金唯一罗星中学谢超培师大实验中学袁陆罗星中学董杨交大二附中沈佚斐罗星中学张逸峰文来中学顾敏杰金盟中学王纬臻文来中学张忆玲平乐中学冯云平文来中学王瑜琼东门中学徐珂昂宝山实验学校蔡龚丹民一中学马丞砾凇谊中学茅宇杰民一中学沈依伟金盟中学顾明源复旦万科魏智勇航华中学高文庆闵行三中王家欣和衷中学施维舟七宝二中胡安妮虎林中学黄呈昱文来中学汪立健金盟中学朱鹏雄万祥学校程聪磊嘉一联中郁彦青南汇二中王珏和衷中学黄美凤亭新中学许昊文师大实验中学张皓枫泾中学黄佳宸堡镇中学沈欣颖中华中学冯家乐实验中学范嘉伟东门中学徐靓上宝中学倪春桦新河中学陆佳琦上宝中学陆秋宇民一中学刘心华师大实验中学金少也中华中学钱思瑶桃李园实验余欢莘松中学优秀组织奖黄浦区青少年活动中心宝山区青少年科技指导站闵行区青少年科技指导站五四中学优秀组织教师奖徐汇区青少年活动中心周平普陀区青少年中心叶仪琳浦东新区中小学科技指导站杨卫红宝山区青少年科技指导站周卫平崇明县青少年活动中心刘建平闵行区青少年科技指导站胡艳杨浦区青少年科技指导站周建军。
2008年全国高中数学联赛受中国数学会委托,2008年全国高中数学联赛由重庆市数学会承办。
中国数学会普及工作委员会和重庆市数学会负责命题工作。
2008年全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容,但在方法的要求上有所提高。
主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况,以及综合和灵活运用的能力。
全卷包括6道选择题、6道填空题和3道大题,满分150分。
答卷时间为100分钟。
全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨,在知识方面有所扩展,适当增加一些竞赛教学大纲的内容。
全卷包括3道大题,其中一道平面几何题,试卷满分150分。
答卷时问为120分钟。
一 试一、选择题(每小题6分,共36分)1.函数254()2x x f x x-+=-在(,2)-∞上的最小值是 ( )。
(A )0 (B )1 (C )2 (D )3 2.设[2,4)A =-,2{40}B x x ax =--≤,若B A ⊆,则实数a 的取值范围为( )。
(A )[1,2)- (B )[1,2]- (C )[0,3] (D )[0,3) 3.甲、乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为23,乙在每局中获胜的概率为13,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为 ( )。
(A )24181 (B )26681 (C )27481(D ) 6702434.若三个棱长均为整数(单位:cm )的正方体的表面积之和为564 cm 2,则这三个正方体的体积之和为 ( )。
(A )764 cm 3或586 cm 3 (B ) 764 cm 3 (C )586 cm 3或564 cm 3 (D ) 586 cm 35.方程组0,0,0x y z xyz z xy yz xz y ++=⎧⎪+=⎨⎪+++=⎩的有理数解(,,)x y z 的个数为 ( )。