配套K122019高考物理一轮复习 第四章《曲线运动与万有引力》微专题5 圆周运动的临界问题课时冲关
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⊳迁移变通能力的培养⊳严谨思维能力的培养⊳实验数据处理能力的培养类平抛运动的处理1.受力特点物体所受合力为恒力,且与初速度的方向垂直.2.运动特点在初速度v 0方向做匀速直线运动,在合外力方向做初速度为零的匀加速直线运动,加速度a =F 合m. 3.求解方法(1)常规分解法:将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力的方向)的匀加速直线运动,两分运动彼此独立,互不影响,且与合运动具有等时性.(2)特殊分解法:对于有些问题,可以过抛出点建立适当的直角坐标系,将加速度分解为a x 、a y ,初速度v 0分解为v x 、v y ,然后分别在x 、y 方向列方程求解.4.考查特点(1)类平抛运动是对平抛运动研究方法的迁移,是高考(2)高考考查该类问题常综合机械能守恒、动能定理等知识,以电场或复合场为背景考查学生运用所学知识处理综合问题的能力.例1 如图1所示的光滑斜面长为l ,宽为b ,倾角为θ,一物块(可看成质点)沿斜面左上方顶点P 水平射入,恰好从底端Q 点离开斜面,试求:图1(1)物块由P 运动到Q 所用的时间t ;(2)物块由P 点水平射入时的初速度v 0;(3)物块离开Q 点时速度的大小v.答案 (1)2l gsin θ (2)b gsin θ2l (3) 2+4l 2θ2l解析 (1)沿斜面向下有mgsin θ=ma ,l =12at 2 联立解得t = 2l gsin θ. (2)沿水平方向有b =v 0t ,v 0=b t=b gsin θ2l (3)物块离开Q 点时的速度大小v =v 20+2= 2+4l 2θ2l.对于周期性运动的问题,注意要把问题考虑全面,思维要严谨.例2 两颗卫星在同一轨道平面内绕地球做匀速圆周运动.地球半径为R ,a 卫星离地面的高度等于R ,b 卫星离地面的高度等于3R.则:(1)a 、b 两卫星周期之比T a ∶T b 是多少?(2)若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点的正上方,且a 卫星运行周期已知为T a ,则a 经多长时间两卫星相距最远? 答案 (1)122 (2)4+27(2n -1)T a ,n =1,2,3,… 解析 (1)由牛顿第二定律和万有引力定律,得G Mm r 2=m(2πT)2r ,则T =4π2r 3GM ,得T a =2π3GM ,T b =2π3GM ,所以T a T b =122. (2)设经过时间t 两卫星相距最远,则t T a -t T b =12(2n -1),n =1,2,3,… 所以t =4+27(2n -1)T a ,n =1,2,3,…. 易错诊断 本题的易错点在于找不准何时相距最远,以及相距最远时应满足什么条件.两卫星相距最近是指两 卫星位于地心的同侧,且与地心在同一直线上.当两卫星相距最远时,两卫星转过的弧度之差最小为π.若考虑周期性,两卫星转过的弧度之差最小为k π,k =1,3,5,…拓展延伸 若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点的正上方,则经多长时间两卫星相距最近?提示 两卫星相距最近是指两卫星位于地心的同侧,且与地心在同一直线上.当两卫星再次相距最近时,两卫星转过的弧度之差最小为2π.若考虑周期性,两卫星转过的弧度之差最小为2n π,n =1,2,3,….利用平抛运动的轨迹解题.例3 如图2所示是某同学根据实验画出的平抛小球的运动轨迹,O 为平抛的起点,在轨迹上任取三点A 、B 、C ,测得A 、B 两点竖直坐标y 1为5.0 cm 、y 2为45.0 cm ,A 、B 两点水平间距Δx 为40.0 cm.则平抛小球的初速度v 0为________m/s ,若C 点的竖直坐标y 3为60.0 cm ,则小球在C 点的速度v C 为________m/s.(结果保留两位有效数字,g 取10 m/s 2)图2答案 2.0 4.0解析 由y =12gt 2得,t 1= 2y 1g =0.10 s ,t 2= 2y 2g =0.30 s ,因此小球平抛运动的初速度为v 0=Δx t 2-t 1=0.400.20m/s =2.0 m/s.小球在C 点时竖直方向的分速度v y3=2gy 3=2×10×0.60 m/s =2 3 m/s ,因此C 点速度v C =v 2y3+v 20=4.0 m/s.。
(新课标)2019届高考物理一轮复习第4章曲线运动万有引力与航天第五节人造卫星宇宙速度达标诊断高效训练编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望((新课标)2019届高考物理一轮复习第4章曲线运动万有引力与航天第五节人造卫星宇宙速度达标诊断高效训练)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第五节人造卫星宇宙速度(建议用时:60分钟)一、单项选择题1.如图所示,a是地球赤道上的一点,t=0时刻在a的正上空有b、c、d三颗轨道均位于赤道平面的地球卫星,这些卫星绕地球做匀速圆周运动的运行方向均与地球自转方向(顺时针方向)相同,其中c是地球同步卫星.设卫星b绕地球运行的周期为T,则在t=错误!T时刻这些卫星相对a的位置最接近实际的是( )解析:选C。
a是地球赤道上的一点,c是地球同步卫星,则c始终在a的正上方;由G错误!=m错误!r,得T=错误!,故r越大,T越大,则b比d超前.2.(2016·高考北京卷)如图所示,一颗人造卫星原来在椭圆轨道1绕地球E运行,在P点变轨后进入轨道2做匀速圆周运动.下列说法正确的是()A.不论在轨道1还是轨道2运行,卫星在P点的速度都相同B.不论在轨道1还是轨道2运行,卫星在P点的加速度都相同C.卫星在轨道1的任何位置都具有相同加速度D.卫星在轨道2的任何位置都具有相同动量解析:选B。
在轨道1运行的人造卫星在P点加速做离心运动才能变轨到轨道2,所以在轨道1经过P点的速度小于在轨道2经过P点的速度,A错误;在P点,加速度a=错误!,而F=错误!,所以不论沿轨道1还是轨道2运行,卫星经过P点的加速度相同,B正确;在轨道1上不同的位置,卫星受到的万有引力不相同,所以加速度大小也不相同,C错误;动量p=mv,是矢量,在轨道2上不同的位置,卫星的速度大小相等,方向不同,所以动量不同,D错误.3.(2018·沧州一中高三月考)有a、b、c、d四颗地球卫星,a还未发射,在赤道表面上随地球一起转动;b是近地轨道地球卫星;c是地球的同步卫星;d是高空探测卫星;它们均做匀速圆周运动,各卫星排列位置如图所示,则( )A.a的向心加速度等于重力加速度gB.b在相同时间内转过的弧长最长C.c在4 h内转过的圆心角是错误!D.d的运动周期可能是20 h解析:选B。
(新课标)2019届高考物理一轮复习第4章曲线运动万有引力与航天第一节曲线运动运动的合成与分解达标诊断高效训练编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望((新课标)2019届高考物理一轮复习第4章曲线运动万有引力与航天第一节曲线运动运动的合成与分解达标诊断高效训练)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第一节曲线运动运动的合成与分解,(建议用时:60分钟)一、单项选择题1.(2018·四川资阳诊断)下列说法正确的是()A.做曲线运动的物体的合力一定是变化的B.两匀变速直线运动的合运动一定是曲线运动C.做匀速圆周运动的物体的加速度大小恒定,方向始终指向圆心D.做平抛运动的物体在相同的时间内速度的变化不同解析:选C.做曲线运动的物体的合力不一定是变化的,例如平抛运动,选项A错误;两个匀变速直线运动的合运动可能是匀变速曲线运动,选项B错误;做匀速圆周运动的物体的加速度大小恒定,方向始终指向圆心,选项C正确;做平抛运动的物体在相同的时间内速度的变化相同,均等于gt,选项D错误.2.(2018·牡丹江市一中月考)双人滑冰运动员在光滑的水平冰面上做表演,甲运动员给乙运动员一个水平恒力F,乙运动员在冰面上完成了一段优美的弧线MN.v M与v N正好成90°角,则此过程中,乙运动员受到甲运动员的恒力可能是图中的( )A.F1B.F2C.F3D.F4解析:选C.根据图示乙运动员由M向N做曲线运动,乙运动员向前的速度减小,同时向右的速度增大,故合外力的方向指向图F2水平线下方,故F3的方向可能是正确的,C正确,A、B、D错误.3.如图所示,一块橡皮用细线悬挂于O点,用钉子靠着线的左侧,沿与水平方向成30°的斜面向右以速度v匀速运动,运动中始终保持悬线竖直,则橡皮运动的速度( )A.大小为v,方向不变,与水平方向成60°角B.大小为3v,方向不变,与水平方向成60°角C.大小为2v,方向不变,与水平方向成60°角D.大小和方向都会改变解析:选B。
2019届高考物理一轮复习第4章曲线运动、万有引力与航天第5讲开普勒定律万有引力定律课时作业(含解析)编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(2019届高考物理一轮复习第4章曲线运动、万有引力与航天第5讲开普勒定律万有引力定律课时作业(含解析))的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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5、开普勒定律万有引力定律[基础训练]1.(2018·湖北武昌实验中学检测)万有引力的发现实现了物理学史上第一次大统一:“地上物理学”和“天上物理学”的统一,它表明天体运动和地面上物体的运动遵从相同的规律.牛顿发现万有引力定律的过程中将行星的椭圆轨道简化为圆轨道,还应用到了其他的规律和结论.下面的规律和结论没有被用到的是( )A.开普勒的研究成果B.卡文迪许通过扭秤实验得出的引力常量C.牛顿第二定律D.牛顿第三定律答案:B 解析:牛顿在发现万有引力定律的过程中将行星的椭圆轨道简化为圆轨道就是利用开普勒第一定律,由牛顿第二定律可知万有引力提供向心力,再借助于牛顿第三定律来推算物体对地球的作用力与什么有关系,同时运用开普勒第三定律来导出万有引力定律.而卡文迪许通过扭秤实验得出的引力常量是在牛顿发现万有引力定律之后,故选B.2.(2018·湖南岳阳一模)地球公转轨道的半径在天文学上常用来作为长度单位,叫做天文单位,用来量度太阳系内天体与太阳的距离.已知木星公转的轨道半径约5.0天文单位,请估算木星公转的周期约为()A.3年 B.5年 C.11年 D.25年答案:C 解析:根据开普勒第三定律,木星与地球的轨道半径的三次方与公转周期的平方的比值相等,据此列式分析即可.根据开普勒第三定律,有:错误!=错误!,故T木=错误!T地=错误!×1年≈11年,选项A、B、D错误,C正确.3.(多选)GPS全球定位系统有24颗卫星在轨运行,每个卫星的环绕周期为12小时.GPS系统的卫星与地球同步卫星相比较,下面说法正确的是( )A.GPS系统的卫星轨道半径是地球同步卫星的错误!倍B.GPS系统的卫星轨道半径是地球同步卫星的错误!倍C.GPS系统的卫星线速度是地球同步卫星的错误!倍D.GPS系统的卫星线速度是地球同步卫星的错误!倍答案:BD 解析:万有引力是卫星围绕地球转动的向心力,由G错误!=m错误!2r得卫星运动的周期T=2π错误!,设GPS系统的卫星半径为r1,周期为T1,地球同步卫星半径为r2,周期为T2,根据周期公式解得错误!=错误!=错误!,A错误,B正确;错误!=错误!=错误!·错误!=错误!,C错误,D正确.4.(2018·河北省三市联考)如图所示,冥王星绕太阳公转的轨道是椭圆,公转周期为T0,其近日点到太阳的距离为a,远日点到太阳的距离为b,半短轴的长度为c。
专题强化五天体运动的“四类热点”问题专题解读1.本专题是万有引力定律在天体运行中的特殊运用,同步卫星是与地球(中心)相对静止的卫星;而双星或多星模型有可能没有中心天体,近年来常以选择题形式在高考题中出现.2.学好本专题有助于学生加深万有引力定律的灵活应用,加深力和运动关系的理解.3.需要用到的知识:牛顿第二定律、万有引力定律、圆周运动规律等.一、卫星的轨道1.赤道轨道:卫星的轨道在赤道平面内,同步卫星就是其中的一种.2.极地轨道:卫星的轨道过南、北两极,即在垂直于赤道的平面内,如极地气象卫星.3.其他轨道:除以上两种轨道外的卫星轨道.所有卫星的轨道平面一定通过地球的球心.自测1(多选)可以发射一颗这样的人造地球卫星,使其圆轨道( )A.与地球表面上某一纬线(非赤道)是共面同心圆B.与地球表面上某一经线所决定的圆是共面同心圆C.与地球表面上的赤道线是共面同心圆,且卫星相对地球表面是静止的D.与地球表面上的赤道线是共面同心圆,但卫星相对地球表面是运动的答案CD解析人造地球卫星运行时,由于地球对卫星的引力提供它做圆周运动的向心力,而这个力的方向必定指向圆心,即指向地心,也就是说人造地球卫星所在轨道圆的圆心一定要和地球的中心重合,不可能是地轴上(除地心外)的某一点,故A错误;由于地球同时绕着地轴在自转,所以卫星的轨道平面也不可能和经线所决定的平面共面,所以B错误;相对地球表面静止的卫星就是地球的同步卫星,它必须在赤道平面内,且距地面有确定的高度,这个高度约为三万六千千米,而低于或高于这个轨道的卫星也可以在赤道平面内运动,不过由于它们公转的周期和地球自转周期不同,就会相对于地面运动,C、D正确.二、地球同步卫星的特点相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星叫地球同步卫星.同步卫星有以下“七个一定”的特点:(1)轨道平面一定:轨道平面与赤道平面共面.(2)周期一定:与地球自转周期相同,即T=24h.(3)角速度一定:与地球自转的角速度相同.(4)高度一定:由GMmR +h 2=m4π2T 2(R +h )得地球同步卫星离地面的高度h R ≈3.6×107m.(5)速率一定:v 3m/s. (6)向心加速度一定:由G Mm R +h2=ma n 得a n =GM R +h2=g h =0.23m/s 2,即同步卫星的向心加速度等于轨道处的重力加速度.(7)绕行方向一定:运行方向与地球自转方向一致.自测2 (多选)北斗卫星导航系统是我国自行研制开发的区域性三维卫星定位与通信系统(CNSS),建立后的北斗卫星导航系统包括5颗同步卫星和30颗一般轨道卫星.关于这些卫星,以下说法正确的是( ) A.5颗同步卫星的轨道半径都相同B.5颗同步卫星的运行轨道必定在同一平面内C.导航系统所有卫星的运行速度一定大于第一宇宙速度D.导航系统所有卫星中,运行轨道半径越大的,周期越小 答案 AB解析 所有同步卫星的轨道都位于赤道平面,轨道半径和运行周期都相同,选项A 、B 正确;卫星绕地球做匀速圆周运动,有G Mm r 2=m v 2r ,v =GMr,故卫星运行轨道半径越大,运行速度越小,只有在地球表面附近运行的卫星速度最大,称为第一宇宙速度,其他卫星运行速度都小于第一宇宙速度,选项C 错误;由G Mm r 2=m 4π2T 2r 得T 2=4π2r 3GM,则轨道半径r 越大,周期越大,选项D 错误. 三、卫星变轨1.当卫星的速度突然增大时,G Mm r 2<m v 2r,即万有引力不足以提供向心力,卫星将做离心运动,脱离原来的圆轨道,轨道半径变大.当卫星进入新的轨道稳定运行时,由v =GMr可知其运行速度比原轨道时减小,但重力势能、机械能均增加.2.当卫星的速度突然减小时,G Mm r 2>m v 2r,即万有引力大于所需要的向心力,卫星将做近心运动,脱离原来的圆轨道,轨道半径变小.当卫星进入新的轨道稳定运行时,由v =GM r可知其运行速度比原轨道时增大,但重力势能、机械能均减小.自测3 “嫦娥三号”探测器由“长征三号乙”运载火箭从西昌卫星发射中心发射,首次实现月球软着陆和月面巡视勘察.如图1所示,假设“嫦娥三号”在环月圆轨道和椭圆轨道上运动时,只受到月球的万有引力,则( )图1A.若已知“嫦娥三号”环月圆轨道的半径、运动周期和引力常量,则可以算出月球的密度B.“嫦娥三号”由环月圆轨道变轨进入环月椭圆轨道时,应让发动机点火使其加速C.“嫦娥三号”在环月椭圆轨道上P 点的速度大于Q 点的速度D.“嫦娥三号”在环月圆轨道上的运行速率比月球的第一宇宙速度小 答案 D解析 由G Mm r 2=m 4π2T 2r ,可得月球的质量M =4π2r3GT 2,由于月球的半径未知,无法求得月球的体积,故无法计算月球的密度,A 错误;“嫦娥三号”在环月圆轨道上P 点减速,使万有引力大于运行所需向心力,做近心运动,才能进入环月椭圆轨道,B 错误;“嫦娥三号”在环月椭圆轨道上P 点向Q 点运动过程中,距离月球越来越近,月球对其引力做正功,故速度增大,即P 点的速度小于Q 点的速度,C 错误;卫星离月球表面越高其速度越小,第一宇宙速度是星球表面附近卫星的环绕速度,故“嫦娥三号”在环月圆轨道上的运行速率比月球的第一宇宙速度小,D 正确.命题点一 近地卫星、同步卫星和赤道上物体的运行问题1.解决同步卫星问题的“四点”注意(1)基本关系:要抓住G Mm r 2=ma =m v 2r =mr ω2=m 4π2T2r .(2)重要手段:构建物理模型,绘制草图辅助分析. (3)物理规律:①不快不慢:具有特定的运行线速度、角速度和周期. ②不高不低:具有特定的位置高度和轨道半径.③不偏不倚:同步卫星的运行轨道平面必须处于地球赤道平面上,只能静止在赤道上方的特定的点上.(4)重要条件:①地球的公转周期为1年,其自转周期为1天(24小时),地球表面半径约为6.4×103km,表面重力加速度g约为9.8m/s2.②月球的公转周期约27.3天,在一般估算中常取27天.③人造地球卫星的运行半径最小为r=6.4×103km,运行周期最小为T=84.8min,运行速度最大为v=7.9km/s.2.两个向心加速度3.两种周期(1)自转周期是天体绕自身某轴线转动一周所需的时间,取决于天体自身转动的快慢.(2)公转周期是运行天体绕中心天体做圆周运动一周所需的时间,T=2πr3GM,取决于中心天体的质量和运行天体到中心天体的距离.例1(2017·江西鹰潭模拟)有a、b、c、d四颗卫星,a还未发射,在地球赤道上随地球一起转动,b在地面附近近地轨道上正常运行,c是地球同步卫星,d是高空探测卫星,设地球自转周期为24h,所有卫星的运动均视为匀速圆周运动,各卫星排列位置如图2所示,则下列关于卫星的说法中正确的是( )图2A.a的向心加速度等于重力加速度gB.c在4h内转过的圆心角为π6C.b在相同的时间内转过的弧长最长D.d的运动周期可能是23h答案 C解析 同步卫星的运行周期与地球自转周期相同,角速度相同,则a 和c 的角速度相同,根据a =ω2r 知,c 的向心加速度大,由GMmr =ma 知,c 的向心加速度小于b 的向心加速度,而b 的向心加速度约为g ,故a 的向心加速度小于重力加速度g ,选项A 错误;由于c 为同步卫星,所以c 的周期为24h ,因此4h 内转过的圆心角为θ=π3,选项B 错误;由四颗卫星的运行情况可知,b 运行的线速度是最大的,所以其在相同的时间内转过的弧长最长,选项C 正确;d 的运行周期比c 要长,所以其周期应大于24h ,选项D 错误.例2 (2016·全国卷Ⅰ·17)利用三颗位置适当的地球同步卫星,可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯.目前,地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍.假设地球的自转周期变小,若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的,则地球自转周期的最小值约为( )A.1hB.4hC.8hD.16h 答案 B解析 地球自转周期变小,卫星要与地球保持同步,则卫星的公转周期也应随之变小,由开普勒第三定律r 3T2=k 可知卫星离地球的高度应变小,要实现三颗卫星覆盖全球的目的,则卫星周期最小时,由数学几何关系可作出它们间的位置关系如图所示.卫星的轨道半径为r =Rsin30°=2R由r 31T 21=r 32T 22得R3242=R 3T 22.解得T 2≈4h.变式1 (2016·四川理综·3)国务院批复,自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”.如图3所示,1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号,目前仍然在椭圆轨道上运行,其轨道近地点高度约为440km ,远地点高度约为2060km ;1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35786km 的地球同步轨道上.设东方红一号在远地点的加速度为a 1,东方红二号的加速度为a 2,固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a 3,则a 1、a 2、a 3的大小关系为( )图3A.a 2>a 1>a 3B.a 3>a 2>a 1C.a 3>a 1>a 2D.a 1>a 2>a 3答案 D解析 由于东方红二号卫星是同步卫星,则其角速度和赤道上的物体角速度相等,根据a =ω2r ,r 2>r 3,则a 2>a 3;由万有引力定律和牛顿第二定律得,G Mm r=ma ,由题目中数据可以得出,r 1<r 2,则a 2<a 1;综合以上分析有,a 1>a 2>a 3,选项D 正确. 命题点二 卫星变轨问题1.变轨原理及过程(1)为了节省能量,在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上.如图4所示.图4(2)在A 点(近地点)点火加速,由于速度变大,万有引力不足以提供在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力,卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ. (3)在B 点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ. 2.变轨过程各物理量分析(1)速度:设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v 1、v 3,在轨道Ⅱ上过A 点和B 点时速率分别为v A 、v B .在A 点加速,则v A >v 1,在B 点加速,则v 3>v B ,又因v 1>v 3,故有v A >v 1>v 3>v B . (2)加速度:因为在A 点,卫星只受到万有引力作用,故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A 点,卫星的加速度都相同,同理,经过B 点加速度也相同.(3)周期:设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T 1、T 2、T 3,轨道半径分别为r 1、r 2(半长轴)、r 3,由开普勒第三定律r 3T2=k 可知T 1<T 2<T 3.(4)机械能:在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒.若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E 1、E 2、E 3,则E 1<E 2<E 3.例3 (多选)如图5是“嫦娥三号”飞行轨道示意图.假设“嫦娥三号”运行经过P 点第一次通过近月制动使“嫦娥三号”在距离月面高度为100km 的圆轨道Ⅰ上运动,再次经过P点时第二次通过近月制动使“嫦娥三号”在距离月面近地点为Q、高度为15km,远地点为P、高度为100km的椭圆轨道Ⅱ上运动,下列说法正确的是( )图5A.“嫦娥三号”在距离月面高度为100km的圆轨道Ⅰ上运动时速度大小可能变化B.“嫦娥三号”在距离月面高度100km的圆轨道Ⅰ上运动的周期一定大于在椭圆轨道Ⅱ上运动的圆期C.“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的加速度一定大于经过P点时的加速度D.“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的速率可能小于经过P点时的速率答案BC解析“嫦娥三号”在距离月面高度为100km的圆轨道Ⅰ上的运动是匀速圆周运动,速度大小不变,选项A错误;由于圆轨道Ⅰ的轨道半径大于椭圆轨道Ⅱ的半长轴,根据开普勒第三定律,“嫦娥三号”在距离月面高度100km的圆轨道Ⅰ上运动的周期一定大于在椭圆轨道Ⅱ上运动的周期,选项B正确;由于在Q点“嫦娥三号”所受万有引力大,所以“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的加速度一定大于经过P点时的加速度,选项C正确;根据开普勒第二定律可知“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的速率一定大于经过P 点时的速率,选项D错误.变式2(多选)2020年左右我国将进行第一次火星探测,美国已发射了“凤凰号”着陆器降落在火星北极勘察是否有水的存在.如图6为“凤凰号”着陆器经过多次变轨后登陆火星的轨迹图,轨道上的P、S、Q三点与火星中心在同一直线上,P、Q两点分别是椭圆轨道的远火星点和近火星点,且PQ=2QS,(已知轨道Ⅱ为圆轨道)下列说法正确的是( )图6A.着陆器在P点由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需要点火加速B.着陆器在轨道Ⅱ上S点的速度小于在轨道Ⅲ上Q点的速度C.着陆器在轨道Ⅱ上S点与在轨道Ⅲ上P点的加速度大小相等D.着陆器在轨道Ⅱ上由P 点运动到S 点的时间是着陆器在轨道Ⅲ上由P 点运动到Q 点的时间的2倍 答案 BC解析 着陆器在P 点由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需要点火减速,A 项错误;着陆器在轨道Ⅲ上Q 点的速度大于着陆器在过Q 点的圆轨道上运行的速度,而在过Q 点的圆轨道上运行的速度大于在轨道Ⅱ上做圆周运动的速度,B 项正确;着陆器在轨道Ⅱ上S 点与在轨道Ⅲ上P 点离火星中心的距离相等,因此在这两点受到的火星的引力相等,由牛顿第二定律可知,在这两点的加速度大小相等,C 项正确;设着陆器在轨道Ⅱ上运行的周期为T 1,在轨道Ⅲ上运行的周期为T 2,由开普勒第三定律有T 21T 22=⎝ ⎛⎭⎪⎫3QS 23⎝ ⎛⎭⎪⎫2QS 23=278,则T 1T 2=364,D 项错误.命题点三 双星或多星模型1.双星模型(1)定义:绕公共圆心转动的两个星体组成的系统,我们称之为双星系统,如图7所示.图7(2)特点:①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供,即Gm 1m 2L 2=m 1ω21r 1,Gm 1m 2L2=m 2ω22r 2 ②两颗星的周期及角速度都相同,即T 1=T 2,ω1=ω2③两颗星的半径与它们之间的距离关系为:r 1+r 2=L ④两颗星到圆心的距离r 1、r 2与星体质量成反比,即m 1m 2=r 2r 1. ⑤双星的运动周期T =2πL 3G m1+m 2⑥双星的总质量 m 1+m 2=4π2L3T G2.多星模型(1)定义:所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力,除中央星体外,各星体的角速度或周期相同. (2)三星模型:①三颗星位于同一直线上,两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R 的圆形轨道上运行(如图8甲所示).②三颗质量均为m 的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示).图8(3)四星模型:①其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上,沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示).②另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上,另一颗位于中心O ,外围三颗星绕O 做匀速圆周运动(如图丁所示).例4 (2017·河北冀州2月模拟)2016年2月11日,美国科学家宣布探测到引力波.双星的运动是产生引力波的来源之一,假设宇宙中有一双星系统由a 、b 两颗星体组成,这两颗星绕它们连线的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动,测得a 星的周期为T ,a 、b 两颗星的距离为l ,a 、b 两颗星的轨道半径之差为Δr (a 星的轨道半径大于b 星的),则( ) A.b 星的周期为l -Δrl +ΔrT B.a 星的线速度大小为πl +ΔrTC.a 、b 两颗星的半径之比为l l -ΔrD.a 、b 两颗星的质量之比为l +Δrl -Δr答案 B解析 由双星系统的运动规律可知,两星的周期相等,均为T ,则A 错.由r a +r b =l ,r a -r b =Δr ,得r a =12(l +Δr ),r b =12(l -Δr ),则a 星的线速度大小v a =2πr a T=πl +ΔrT,则B 正确.r a r b =l +Δr l -Δr ,则C 错.双星运动中满足m a m b =r b r a =l -Δrl +Δr,则D 错.变式3 (多选)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统,其中有一种三星系统如图9所示,三颗质量均为m 的星位于等边三角形的三个顶点,三角形边长为R ,忽略其他星体对它们的引力作用,三星在同一平面内绕三角形中心O 做匀速圆周运动,万有引力常量为G ,则()图9A.每颗星做圆周运动的线速度为GmRB.每颗星做圆周运动的角速度为3GmR 3C.每颗星做圆周运动的周期为2πR 33GmD.每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关 答案 ABC解析 由图可知,每颗星做匀速圆周运动的半径r =R2cos30°=33R .由牛顿第二定律得Gm 2R 2·2cos30°=m v 2r =m ω2r =m 4π2T2r =ma ,解得v =GmR,ω=3GmR 3,T =2πR 33Gm,a =3GmR2,故A 、B 、C 均正确,D 错误.变式4 (多选)(2017·河北衡水模拟)宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统,通常可忽略其他星体对它们的引力作用.设四星系统中每个星体的质量均为m ,半径均为R ,四颗星稳定分布在边长为L 的正方形的四个顶点上,其中L 远大于R .已知万有引力常量为G ,忽略星体的自转,则关于四星系统,下列说法正确的是( ) A.四颗星做圆周运动的轨道半径为L2B.四颗星做圆周运动的线速度均为Gm L ⎝ ⎛⎭⎪⎫2+24 C.四颗星做圆周运动的周期均为2π2L3+2GmD.四颗星表面的重力加速度均为G m R2 答案 CD解析 如图所示,四颗星均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动,轨道半径r =22L .取任一顶点上的星体为研究对象,它受到其他三个星体的万有引力的合力为F 合=2G m 2L +Gm 22L2.由F 合=F 向=m v 2r =m 4π2rT2,解得v =Gm L ⎝ ⎛⎭⎪⎫1+24,T =2π2L3+2Gm,故A 、B 项错误,C 项正确;对于在星体表面质量为m 0的物体,受到的重力等于万有引力,则有m 0g =Gmm 0R 2,故g =G mR2,D 项正确.命题点四 天体的追及相遇问题1.相距最近:两卫星的运转方向相同,且位于和中心连线的半径上同侧时,两卫星相距最近,从运动关系上,两卫星运动关系应满足(ωA -ωB )t =2n π(n =1,2,3,…). 2.相距最远:当两卫星位于和中心连线的半径上两侧时,两卫星相距最远,从运动关系上,两卫星运动关系应满足(ωA -ωB )t ′=(2n -1)π(n =1,2,3…).例5 (多选)如图10,三个质点a 、b 、c 的质量分别为m 1、m 2、M (M 远大于m 1及m 2),在万有引力作用下,a 、b 在同一平面内绕c 沿逆时针方向做匀速圆周运动,已知轨道半径之比为r a ∶r b =1∶4,则下列说法中正确的有( )图10A.a 、b 运动的周期之比为T a ∶T b =1∶8B.a 、b 运动的周期之比为T a ∶T b =1∶4C.从图示位置开始,在b 转动一周的过程中,a 、b 、c 共线12次D.从图示位置开始,在b 转动一周的过程中,a 、b 、c 共线14次 答案 AD解析 根据开普勒第三定律:周期的平方与半径的三次方成正比,则a 、b 运动的周期之比为1∶8,A 对;设图示位置夹角为θ<π2,b 转动一周(圆心角为2π)的时间为t =T b ,则a 、b 相距最远时:2πT aT b -2πT bT b =(π-θ)+n ·2π(n =0,1,2,3,…),可知n <6.75,n 可取7个值;a 、b 相距最近时:2πT a T b -2πT bT b =(2π-θ)+m ·2π(m =0,1,2,3,…),可知m <6.25,m 可取7个值,故在b 转动一周的过程中,a 、b 、c 共线14次,D 对. 变式5 如图11所示,有A 、B 两颗卫星绕地心O 做圆周运动,旋转方向相同.A 卫星的周期为T 1,B 卫星的周期为T 2,在某一时刻两卫星相距最近,则(引力常量为G )( )图11A.两卫星经过时间t =T 1+T 2再次相距最近B.两颗卫星的轨道半径之比为231T ∶232TC.若已知两颗卫星相距最近时的距离,可求出地球的密度D.若已知两颗卫星相距最近时的距离,可求出地球表面的重力加速度 答案 B解析 两卫星相距最近时,两卫星应该在同一半径方向上,A 多转动一圈时,第二次追上,转动的角度相差2π,即2πT 1t -2πT 2t =2π,得出t =T 1T 2T 2-T 1,故A 错误;根据万有引力提供向心力得GMm r 2=m 4π2T2r ,A 卫星的周期为T 1,B 卫星的周期为T 2,所以两颗卫星的轨道半径之比为231T ∶232T ,故B 正确;若已知两颗卫星相距最近时的距离,结合两颗卫星的轨道半径之比可以求得两颗卫星的轨道半径,根据万有引力提供向心力得GMm r 2=m 4π2T2r ,可求出地球的质量,但不知道地球的半径,所以不可求出地球的密度和地球表面的重力加速度,故C 、D 错误.1.如图1所示,某极地轨道卫星的运行轨道平面通过地球的南北两极,已知该卫星从北纬60°的正上方按图示方向第一次运行到南纬60°的正上方时所用时间为1 h ,则下列说法正确的是( )图1A.该卫星与同步卫星的运行半径之比为1∶4B.该卫星与同步卫星的运行速度之比为1∶2C.该卫星的运行速度一定大于7.9km/sD.该卫星的机械能一定大于同步卫星的机械能 答案 A解析 由题意知卫星运行的轨迹所对圆心角为120°,即运行了三分之一周期,用时1h ,因此卫星的周期T =3h ,由G Mm r 2=m 4π2T 2r 可得T ∝r 3,又同步卫星的周期T 同=24h ,则极地轨道卫星与同步卫星的运行半径之比为1∶4,A 正确;由G Mm r 2=m v 2r,可得v ∝1r,故极地轨道卫星与同步卫星的运行速度之比为2∶1,B 错误;第一宇宙速度v =7.9km/s ,是近地卫星的运行速度,所以该卫星的运行速度要小于7.9 km/s ,故C 错误;因卫星的质量未知,则机械能无法比较,D 错误.2.(多选)地球同步卫星离地心的距离为r ,运行速率为v 1,加速度为a 1,地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a 2,地球的第一宇宙速度为v 2,半径为R ,则下列比例关系中正确的是( ) A.a 1a 2=r R B.a 1a 2=(r R)2C.v 1v 2=r RD.v 1v 2=R r答案 AD解析 设地球的质量为M ,同步卫星的质量为m 1,地球赤道上的物体的质量为m 2,近地卫星的质量为m 2′,根据向心加速度和角速度的关系有a 1=ω21r ,a 2=ω22R ,又ω1=ω2,故a 1a 2=r R ,选项A 正确;由万有引力定律和牛顿第二定律得G Mm 1r 2=m 1v 21r ,G Mm 2′R 2=m 2′v 22R ,解得v 1v 2=Rr,选项D 正确.3.(2014·天津理综·3)研究表明,地球自转在逐渐变慢,3亿年前地球自转的周期约为22小时.假设这种趋势会持续下去,地球的其他条件都不变,未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比( ) A.距地面的高度变大 B.向心加速度变大 C.线速度变大 D.角速度变大答案 A解析 地球自转的周期变大,则地球同步卫星的公转周期变大.由GMmR +h2=m4π2T 2(R +h ),得h =3GMT 24π2-R ,T 变大,h 变大,A 正确.由GMm r 2=ma ,得a =GMr2,r 增大,a 减小,B 错误. 由GMm r 2=mv 2r,得v =GMr,r 增大,v 减小,C 错误. 由ω=2πT可知,角速度减小,D 错误.4.(多选)(2017·广东华南三校联考)石墨烯是目前世界上已知的强度最高的材料,它的发现使“太空电梯”的制造成为可能,人类将有望通过“太空电梯”进入太空.设想在地球赤道平面内有一垂直于地面延伸到太空的轻质电梯,电梯顶端可超过地球的同步卫星A 的高度延伸到太空深处,这种所谓的太空电梯可用于降低成本发射绕地人造卫星.如图2所示,假设某物体B 乘坐太空电梯到达了图示的位置并停在此处,与同高度运行的卫星C 相比较( )图2A.B 的线速度大于C 的线速度B.B 的线速度小于C 的线速度C.若B 突然脱离电梯,B 将做离心运动D.若B 突然脱离电梯,B 将做近心运动 答案 BD解析 A 和C 两卫星相比,ωC >ωA ,而ωB =ωA ,则ωC >ωB ,又根据v =ωr ,r C =r B ,得v C >v B ,故B 项正确,A 项错误.对卫星C 有GMm C r C 2=m C ωC 2r C ,又ωC >ωB ,对物体B 有G Mm B r B2>m B ωB 2r B ,若B 突然脱离电梯,B 将做近心运动,D 项正确,C 项错误.5.(多选)如图3所示,A 表示地球同步卫星,B 为运行轨道比A 低的一颗卫星,C 为地球赤道上某一高山山顶上的一个物体,两颗卫星及物体C 的质量都相同,关于它们的线速度、角速度、运行周期和所受到的万有引力的比较,下列关系式正确的是( )图3A.v B >v A >v CB.ωA >ωB >ωCC.F A >F B >F CD.T A =T C >T B答案 AD解析 A 为地球同步卫星,故ωA =ωC ,根据v =ωr 可知,v A >v C ,再根据G Mm r 2=m v 2r得到v=GMr,可见v B >v A ,所以三者的线速度关系为v B >v A >v C ,故选项A 正确;由同步卫星的含义可知T A =T C ,再由G Mm r2=m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r ,可知T A >T B ,因此它们的周期关系为T A =T C >T B,由ω=2πT可知它们的角速度关系为ωB >ωA =ωC ,所以选项D 正确,B 错误;由F =G Mm r2可知F A <F B <F C ,所以选项C 错误.6.(多选)“嫦娥三号”探月卫星于2013年12月2日顺利发射升空,已知“嫦娥三号”探月卫星绕月球表面做匀速圆周运动,飞行N 圈用时为t ;地球的质量为M ,半径为R ,表面重力加速度为g ;月球半径为r ,地球和月球间的距离为L ,则( ) A.“嫦娥三号”绕月球表面匀速飞行的速率为2πNr tB.月球的平均密度为3πMN 2gr 2t2C.“嫦娥三号”的质量为4π2r 3N2gR 2t2D.月球受地球的引力为4π2Mr 3N 2L 2t2答案 AD解析 由题知“嫦娥三号”绕月球表面运行的周期为T =t N,由v =2πr T得v =2πNr t,A 对;由G mm ′r 2=m ′⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r ,m =ρ·43πr 3,GM =gR 2得月球的平均密度为3πMN 2gR 2t 2,B 错;卫星运行中只能估算中心天体的质量,无法估算卫星的质量,C 错;由万有引力公式F =G MmL 2,G mm ′r 2=m ′⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r 得月球受到地球的引力为4π2Mr 3N 2L 2t 2,D 对.7.(多选)在发射一颗质量为m 的地球同步卫星时,先将其发射到贴近地球表面运行的圆轨道Ⅰ上(离地面高度忽略不计),再通过一椭圆轨道Ⅱ变轨后到达距地面高度为h 的预定圆轨道Ⅲ上.已知它在圆轨道Ⅰ上运行时的加速度为g ,地球半径为R ,图4中PQ 长约为8R ,卫星在变轨过程中质量不变,则( )图4A.卫星在轨道Ⅲ上运行的加速度为⎝⎛⎭⎪⎫h R +h 2gB.卫星在轨道Ⅲ上运行的线速度为v =gR 2R +hC.卫星在轨道Ⅲ上运行时经过P 点的速率大于在轨道Ⅱ上运行时经过P 点的速率D.卫星在轨道Ⅲ上的动能大于在轨道Ⅰ上的动能 答案 BC解析 设地球质量为M ,由万有引力提供向心力得卫星在轨道Ⅰ上有G Mm R2=mg ,在轨道Ⅲ上有GMmR +h2=ma ,所以a =⎝ ⎛⎭⎪⎫R R +h 2g ,A 错;又因a =v 2R +h ,所以v =gR 2R +h,B 对;卫星由轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅲ需要加速做离心运动,即满足GMm r 2<mv 2r,所以卫星在轨道Ⅲ上运行时经过P 点的速率大于在轨道Ⅱ上运行时经过P 点的速率,C 对;尽管卫星从轨道Ⅰ变轨到轨。
(全国通用版)2019版高考物理大一轮复习第四章曲线运动万有引力与航天课时达标12 圆周运动的规律及应用编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望((全国通用版)2019版高考物理大一轮复习第四章曲线运动万有引力与航天课时达标12 圆周运动的规律及应用)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第12讲圆周运动的规律及应用[解密考纲]考查圆周运动的参量之间的关系、匀速圆周运动的周期性问题、水平面内圆周运动临界问题、竖直平面内圆周运动的绳模型和杆模型问题.1.明代出版的《天工开物》一书中就有牛力齿轮翻车的图画(如图),记录了我们祖先的劳动智慧.若A、B、C三齿轮半径的大小关系如图,则(D)A.齿轮A的角速度比C的大B.齿轮A与B角速度大小相等C.齿轮B与C边缘的线速度大小相等D.齿轮A边缘的线速度比C边缘的大解析由图可知r A>r B>r C,A齿轮边缘与B齿轮边缘线速度大小是相等的,即v A=v B,由v=ωr,可得ωAωB=错误!,则ωA〈ωB;B齿轮与C齿轮共轴,则B齿轮与C齿轮角速度大小相等,即ωB=ωC,由v=ωr,可得齿轮B与齿轮C边缘的线速度之比错误!=错误!,则v B>v C,综上所述可知v A=v B〉v C,ωB=ωC>ωA,故选项A、B、C错误,D正确.2.如图所示,在倾角为α=30°的光滑斜面上,有一根长为L=0.8 m的细绳,一端固定在O点,另一端系一质量为m=0。
第3讲 圆周运动及其应用板块三限时规范特训时间:45分钟100分一、选择题(本题共10小题,每小题7分,共70分。
其中1~6为单选,7~10为多选)1.如图为某一皮带传动装置。
主动轮的半径为r 1,从动轮的半径为r 2。
已知主动轮做顺时针转动,转速为n 1,转动过程中皮带不打滑。
下列说法正确的是( )A .从动轮做顺时针转动B .从动轮做逆时针转动C .从动轮边缘线速度大小为r 22r 1n 1D .从动轮的转速为r 2r 1n 1 答案 B解析 主动轮沿顺时针方向转动时,传送带沿M →N 方向运动,故从动轮沿逆时针方向转动,故A 错误,B 正确;由ω=2πn 、v =ωr 可知,2πn 1r 1=2πn 2r 2,解得n 2=r 1r 2n 1,故C 、D 错误。
2.[2018·山东烟台一模]两粗细相同内壁光滑的半圆形圆管ab 和bc 连接在一起,且在b 处相切,固定于水平面上。
一小球从a 端以某一初速度进入圆管,并从c 端离开圆管。
则小球由圆管ab 进入圆管bc 后( )A .线速度变小B .角速度变大C .向心加速度变小D .小球对管壁的压力变大答案 C解析 由于管道光滑,小球到达b 点后,重力做功为零,速度大小保持不变,根据v =ωR 可知角速度ω减小,根据a =v 2R可知向心加速度减小,根据F =ma 可知小球对管道的压力减小,故C 正确。
3.质量分别为M 和m 的两个小球,分别用长2l 和l 的轻绳拴在同一转轴上,当转轴稳定转动时,拴质量为M 和m 的小球悬线与竖直方向夹角分别为α和β,如图所示,则( )A .cos α=cos β2B .cos α=2cos βC .tan α=tan β2D .tan α=tan β答案 A解析 以M 为研究对象受力分析,由牛顿第二定律得Mg tan α=M ω21·2l sin α,解得ω21=g tan α2l sin α。
2019届高考物理一轮复习第四章曲线运动万有引力与航天第5讲天体运动与人造卫星作业新人教版编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(2019届高考物理一轮复习第四章曲线运动万有引力与航天第5讲天体运动与人造卫星作业新人教版)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第5讲天体运动与人造卫星[课时作业]单独成册方便使用[基础题组]一、单项选择题1.牛顿时代的科学家们围绕引力的研究,经历了大量曲折顽强而又闪烁智慧的科学实践.在万有引力定律的发现历程中,下列叙述不符合史实的是() A.开普勒研究了第谷的行星观测记录,得出了开普勒行星运动定律B.牛顿将行星与太阳、地球与月球、地球与地面物体之间的引力规律推广到宇宙中的一切物体,得出了万有引力定律C.卡文迪许首次在实验室中比较准确地得出了引力常量G的数值D.根据天王星的观测资料,哈雷利用万有引力定律计算出了海王星的轨道解析:开普勒研究了第谷的行星观测记录,得出了开普勒行星运动定律,选项A正确;牛顿将行星与太阳、地球与月球、地球与地面物体之间的引力规律推广到宇宙中的一切物体,得出了万有引力定律,选项B正确;卡文迪许首次在实验室中比较准确地得出了引力常量G的数值,选项C正确;英国人亚当斯和法国人勒维耶根据万有引力推测出“新”行星的轨道和位置,柏林天文台年轻的天文学家伽勒和他的助手根据勒维耶计算出来的“新”行星的位置,发现了海王星,故D错误.答案:D2.若有一颗“宜居"行星,其质量为地球的p倍,半径为地球的q倍,则该行星卫星的环绕速度是地球卫星环绕速度的()A。
周测四曲线运动万有引力与航天)点同时将甲、乙两块小石头斜向上抛出,甲、乙在同一竖直面内点是两轨迹在空中的交点,甲、乙运动的最大高度相同.若不计)的水平直径为AB,C为最低点,半径为水平抛出,不计空气阻力.则下列判断正确的是(足够大,小球可以击中B点错误、D正确.如图所示,abcd是倾角为θ点,将甲球以速度v0沿ab点将乙球由静止释放,则以下判断正确的是( )叠放在一起,随圆盘一起做匀速圆周运动,则下列说法正确的是都有沿切线方向且向后滑动的趋势运动所需的向心力的摩擦力的2倍B<μA,故D错误.如图所示,一根细线下端拴一个金属小球小孔光滑)的水平桌面上,小球在某一水平面内做匀速现使小球在一个更高的水平面上做匀速圆周运动,桌面上细线可视为沿水平方向,则改变高度后与原来相比较,,细线的拉力大小为做匀速圆周运动时,由重力和细线的拉力的合力提供向心力,如图所示,则有,细线的拉力减小,则细线拉力)宇宙空间有一些星系与其他星体的距离非常遥远,如图所示,今有四颗星体组成一稳定星系,位于边长为a的正三角形的三个顶点上,以外接圆为轨道位于三角形外接圆圆心,四颗星体的质量均为+33Gm+3Gm每颗星做匀速圆周运动,靠另外三颗星的万有引力的合力提供向心力,故星体2×3 2,+3GmC、D错误.(2018·山东枣庄期末联考它的运动轨道有些“古怪”:英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶相信在天王星轨道外.将球的位置记录在纸上后,取下纸,用直尺将点连成折线.实验中,记录小球位置的白纸不能移动如图为研究小球的平抛运动时拍摄的闪光照片的一部分,由图可知:照相机的闪光频率为点竖直方向的分速度为________m/s.(与半径为R的圆形转台B之间的动摩擦因数,小宇设计了如图所示实验,并进行如下操作:的质量m;,伸出转台的长度为L(d≪L);放在水平转台上,并让电动机带动转台匀速转动,调节光电门的位置,dt R+L(3分d rt2R+L2·g本题考查了测定动摩擦因数的实验.设小物块的质量为μmg=v d,又角速度dt R+L,则d rt2R+L2·g.(15分)(2018·陕西西安八校联考如图甲所示为车站使用的水平传送带的模型,水平传送带的长度L=,传送带的上部距地面的,现有一个旅行包带,已知旅行包与传送带之间的动摩擦因数为μ=0.6,g=10 m/s若传送带静止,旅行包滑到B端时,人没有及时取下,旅行包将从端的水平距离;设皮带轮顺时针匀速转动,并设水平传送带长度仍为8 m,当皮带轮的角速度ω值在什么范围内,旅行包落地点与中所求的距离?若皮带轮的角速度ω1=40 rad/s,旅行包落地点与v =v 20-2aL =v 20-2μgL =100-96 m/s =2 m/s 旅行包的落地点与B 端水平距离为s =vt =v 2h g=0.6 m (2)要使旅行包落地点始终为(1)中所求的位置,旅行包在传送带上需做匀减速运动,则皮带轮的临界角速度为ω=v R =10 rad/s则ω值的范围是ω≤10 rad/s当ω1=40 rad/s 时,传送带速度为v 1=ω1R =8 m/s当旅行包速度也为v 1=8 m/s 时,在传送带上运动的距离为s =v 20-v 212a=3 m<8 m 以后旅行包做匀速直线运动,所以旅行包到达B 端的速度也为v 1=8 m/s旅行包的落地点与B 端的水平距离为s 1=v 1t =v 12h g=2.4 m (3)如图所示12.(14分)中国首个月球探测计划“嫦娥工程”预计在2017年实现月面无人采样返回,为载人登月及月球基地选址做准备.在某次登月任务中,飞船上备有以下实验仪器:A.计时表一只;B.弹簧秤一把;C.已知质量为m 的钩码一个;D.天平一只(附砝码一盒).“嫦娥”号飞船在接近月球表面时,先绕月球做匀速圆周运动,宇航员测量出绕行N 圈所用的时间为t .飞船的登月舱在月球上着陆后,宇航员利用所携带的仪器又进行了第二次测量.已知万有引力常量为G ,把月球看作球体.利用上述两次测量所得的物理量可求出月球的密度和半径.(1)宇航员进行第二次测量的内容是什么?(2)试推导月球的平均密度和半径的表达式(用上述测量的物理量表示).答案:(1)用弹簧秤称量砝码的重力F(2)3πN 2Gt 2,Ft 24π2N 2m解析:(1)宇航员在月球上用弹簧测力计竖直悬挂物体,静止时读出弹簧测力计的读数F ,即为物体在月球上所受重力的大小.(或F /m 即为月球表面重力加速度的大小)(2分)(2)对飞船靠近月球表面做圆周运动有GMm 0R 2=m 04π2T2R (3分) 月球的平均密度ρ=3M 4πR3(2分) 在月球上忽略月球的自转时F =G Mm R 2(2分)又T =t N(1分)由以上各式可得,月球的密度ρ=3πN 2Gt2(2分) 月球的半径R =Ft 24π2N 2m(2分)周测四 曲线运动 万有引力与航天(B 卷)(本试卷满分95分)一、选择题(本题包括8小题,每小题6分,共48分.在每小题给出的四个选项中,有的小题只有一个选项是正确的,有的小题有多个选项是正确的.全部选对的得6分,选不全的得3分,有选错或不答的得0分)1.(多选)空气对运动物体的阻力与物体相对于空气速度大小有关,在无风的情况下,跳伞运动员从水平飞行的飞机上跳伞,考虑到空气阻力的因素,则下列描绘某段下落过程中运动员速度的水平分量大小v x 、竖直分量大小v y 与时间t 的关系图象中可能正确的是( )答案:BC解析:通常情况下,空气阻力随速度的增大而增大.跳伞运动员从水平飞行的飞机上跳伞,在水平方向由于受到空气阻力,运动员做加速度减小的减速运动,故A 错误,B 正确;竖直方向,运动员受到重力和空气阻力两个力作用,竖直方向的速度逐渐增大,空气阻力增大,根据牛顿第二定律,有mg -f =ma ,故运动员做加速度不断减小的加速运动,故C 正确、D 错误.2.(2018·江苏徐州模拟)如图所示为河的横截面示意图.小明先后两次用脚从河岸边同一位置将石子水平踢出,石子两次的初速度分别为v 0、2v 0,石子分别落在A 点和B 点,在空中运动的时间分别是t A 、t B ,则t A 、t B 的比可能是( )A .:1B .:2C .:4D .:5答案:C解析:假设河中没有水,斜坡足够长,斜坡倾角为θ,可知落在B 点的石子将会落在斜坡上,下落的高度更大,根据tan θ=12gt 2v 0t 得,t =2v 0tan αg,初速度之比为:2,则运动的时间之比为:2,由于落在B 点的石子下降的高度没有这么大,可知运动的时间的比值大于12,因为落在A 点的高度小于落在B 点的高度,根据t =2h g知,下落的时间的比值小于1,故C 正确,A 、B 、D 错误.六合等七校联考)如图所示,面上,细线的一端固定于墙面,另一端跨过斜面顶端的小滑轮与质量为滑轮左端的细线水平,右侧的细线与斜面平行.撤去固定-cosB受重力、支持力和细线的拉力,还可能受到摩擦力,由平B支持力的大小N=mg cosα,选项均做直线运动,根据运动的合成与分解,当A运动的位移为,依据几何关系,有s=x(1-cosα),s=x sinα-cos,选项-cos可知,B的速度大小为v-cos,选项D正确.4.OO1以恒定的角速度壁内有一小物体与圆筒始终保持相对静止,小物体与圆筒间的动摩擦因数为,转动轴与水平面间的夹角为60°,重力加速度的最小值是10 rad/sr的水平转盘上质量为水平系于竖直杆上,物块与盘面间的动摩擦因数为正确.多选)美国国家科学基金会2010家发现一颗迄今为止与地球最类似的太阳系外行星,如图所示,这颗行星距离地球约,公转周期约为37天,这颗名叫Gliese倍,重力加速度与地球相近.则下列说法正确的是表面附近运行时的速度小于7.9 km/s1.该行星的平均密度约是地球平均密度的:1们的密度之比为:2平方成正比,故该行星与地球的质量之比为:1外,所以航天器的发射速度至少要达到第三宇宙速度,选项.(2018·河北石家庄二中联考某颗地球同步卫星正下方的地球表面有一观察者,他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星,春分那天 万有引力提供向心力,根据公式G Mmr 2=m 4π2T 2r ,结合黄金代换公式错误;由于同步卫星的运行周期和地球自转周期相同,解析:伴随卫星做匀速圆周运动时,万有引力提供向心力,当伴随卫星加速时,在原轨道运行所需要的向心力变大,但万有引力大小不变,故万有引力不足以提供向心力,伴随卫星会做离心运动,飞到较高的轨道;轨道半径越大,线速度越小,故伴随卫星不能追上“天宫二号”,故需要减速到较低轨道,再加速上升到较高轨道才能追上前方的“天宫二号”,故A错误,B正确.根据开普勒第三定律可知,绕地球飞行的伴随卫星与“天宫二号”的周期相同,则二者运行时具有相同的半长轴,故C正确、D错误.为了验证摆锤在运动中机械能守恒,必须求出摆锤在最低点的速度.若测得摆锤遇和竖直下落高度h,则根据测得的物理量可知摆锤在最低点的根据已知的和测得的物理量,写出摆锤在运动中机械能守恒的关系式为的大小,测出对应摆锤遇到挡板之后铁片的水平位移求小球落到地面上的速度大小;求要使小球做平抛运动后能直接落到水平地面上,x应满足的条件;的条件下,求小球运动的最长时间.x<h(3)2H gg H -x 小球做平抛运动的时间为h -xg小球做平抛运动的水平位移为H -x h -xx ,由以上式子可解得h -45H 由以上可得小球在接触斜面前运动的时间为H -xh -xgt 总=t +t 1=h -xg +H -xH -xh -xgh -H2时,小球运动时间最长,且符合器上就会显示相应的读数F .试通过计算在图乙的坐标系中作出F -ω的图象,物体将发生滑动时的角速度为2 rad/s=0图象如图所示.24日到11月1日,我国探月工程首次实施了再入返回飞行试1.2万千米的近月点,系统启动多台相机对月球、月球和地月合影图象,卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球.设地球和月球的质量分别为M和m,地球和月球的半径分别为轨道半径和卫星绕月球的轨道半径分别为r和r,月球绕地球转动的周期为弧上运动时发出的信号被遮挡.,万有引力常量为G,根据万有引力定律有:。
第四章 曲线运动 万有引力与航天综合过关规范限时检测 满分:100分 考试时间:60分钟一、选择题(本题共8小题,每小题6分,共计48分。
1~4题为单选,5~8题为多选,全部选对的得6分,选对但不全的得3分,错选或不选的得0分)1.(2018·武汉市部分学校调研测试)如图是对着竖直墙壁沿水平方向抛出的小球a 、b 、c 的运动轨迹,三个小球到墙壁的水平距离均相同,且a 和b 从同一点抛出。
不计空气阻力,则导学号 21993434( D )A .a 和b 的飞行时间相同B .b 的飞行时间比c 的短C .a 的初速度比b 的小D .c 的初速度比a 的大[解析] 三个小球与墙壁的水平距离相同,b 下落的高度比a 大,根据t =2hg可知,b 飞行的时间较长,根据v 0=xt,则a 的初速度比b 的大,选项A 、C 错误;b 下落的竖直高度比c 大,则b 飞行的时间比c 长,选项B 错误;a 下落的竖直高度比c 大,则a 飞行的时间比c 长,根据v 0=x t,则a 的初速度比c 的小,选项D 正确。
2.(2018·南昌市摸底调研)如图所示,光滑水平桌面上,一小球以速度v 向右匀速运动,当它经过靠近桌边的竖直木板的ad 边正前方时,木板开始做自由落体运动。
若木板开始运动时,cd 边与桌面相齐,则小球在木板上的正投影轨迹是导学号 21993435( B )[解析] 小球在木板上的投影轨迹是小球对地的运动和地对木板的运动合成的结果。
球相对于地是做匀速运动,地相对于木板是做初速度为零、加速度为g 且方向向上的匀加速直线运动,B 正确。
3.(2018·南昌市摸底调研)如图所示,木质支架两端通过长度相等的轻绳悬挂两质量和大小均相同的A 球和B 球,A 球到中心轴的水平距离比B 球到中心轴的水平距离小,不考虑空气阻力的影响,当旋转支架让其绕中心轴匀速转动时,下列说法中正确的是导学号 21993436( C )A.A、B两球的向心力方向始终保持不变B.A、B两球的向心加速度大小不可能相等C.A球对轻绳的拉力比B球的小D.增大角速度,两轻绳最终可能转动到水平位置[解析]A、B两球做圆周运动的向心力时刻指向运动轨迹圆心,方向时刻在变化,故A错误;对A球或B球受力分析如图,轻绳的拉力与重力的合力提供向心力,则得mg tanθ=mω2r,a=ω2r,A球运动半径小,向心力小,A球的向心加速度小,故B错误;由以上分析可知A 球受到的向心力小,轻绳对A球的拉力小,则A球对轻绳的拉力小,故C正确;因为两球均受其自身重力的作用,无论角速度多大,轻绳都不可能转动到水平位置,故D错误。
微专题5 圆周运动的临界问题一、单项选择题(本题共6小题,每小题6分,共36分)1.在高速公路的拐弯处,通常路面都是外高内低.如图所示,在某路段汽车向左拐弯,司机左侧的路面比右侧的路面低一些.汽车的运动可看做是做半径为R 的圆周运动.设内外路面高度差为h ,路基的水平宽度为d ,路面的宽度为L .已知重力加速度为g .要使车轮与路面之间的横向摩擦力(即垂直于前进方向)等于零,则汽车转弯时的车速应等于( )A.gRh L B. gRh d C. gRL h D. gRd h解析:B [考查向心力公式.汽车做匀速圆周运动,向心力由重力与斜面对汽车的支持力的合力提供,且向心力方向水平,大小F 向=mg tan θ,根据牛顿第二定律:F 向=m v 2R ,tan θ=h d,解得汽车转弯时的车速v = gRh d,B 对.] 2.如图,长为L 的轻杆一端固定质量为m 的小球,另一端有固定转轴O .现使小球在竖直平面内做圆周运动.P 为圆周轨道的最高点.若小球通过圆周轨道最低点时的速度大小为92gL ,则以下判断正确的是( ) A .小球不能到达P 点B .小球到达P 点时的速度小于gLC .小球能到达P 点,但在P 点不会受到轻杆的弹力D .小球能到达P 点,且在P 点受到轻杆向下的弹力解析:B [根据机械能守恒定律2mgL =12mv 2-12mv 2P ,可求出小球在P 点的速度为 12gL <gL ,故B 正确,A 错误.小球在P 点所需要的向心力F =mv 2P L =12mg ,故小球在P 点受到轻杆向上的弹力,故C 、D 均错误.]3.(2016·湛江质检)半径为R 的光滑半圆球固定在水平面上如图所示,顶部有一个物体A ,今给A 一个水平初速度v 0=gR ,则A 将( )A .沿球面下滑至M 点B .沿球面下滑至某一点N ,便离开球面做斜下抛运动C .按半径大于R 的新圆弧轨道做圆周运动D .立即离开半圆球做平抛运动解析:D [给A 一个水平初速度v 0=gR ,则F 向=mv 20R=mg ,即重力恰好提供向心力,物体与半圆球无相互作用.A 将不沿半圆球表面运动,而是脱离球表面做平抛运动.]4.雨天野外骑车时,在自行车的后轮轮胎上常会粘附一些泥巴,行驶时感觉很“沉重”.如果将自行车后轮撑起,使后轮离开地面而悬空,然后用手匀速摇脚踏板,使后轮飞速转动,泥巴就被甩下来.如图所示,图中a 、b 、c 、d 为后轮轮胎边缘上的四个特殊位置,则( )A .泥巴在图中a 、c 位置的向心加速度大于b 、d 位置的向心加速度B .泥巴在图中的b 、d 位置时最容易被甩下来C .泥巴在图中的c 位置时最容易被甩下来D .泥巴在图中的a 位置时最容易被甩下来解析:C [当后轮匀速转动时,由a =R ω2知a 、b 、c 、d 四个位置的向心加速度大小相等,A 错误.在角速度ω相同的情况下,泥巴在a 点有F a +mg =m ω2R ,在b 、d 两点有F b =F d =m ω2R ,在c 点有F c -mg =m ω2R .所以泥巴与轮胎在c 位置的相互作用力最大,最容易被甩下来,故B 、D 错误,C 正确.]5.如图所示,一个固定在竖直平面上的光滑半圆形管道,管道里有一个直径略小于管道内径的小球,小球在管道内做圆周运动,从B 点脱离后做平抛运动,经过0.3 s 后又恰好垂直与倾角为45°的斜面相碰.已知半圆形管道的半径为R =1 m ,小球可看做质点且其质量为m =1 kg ,g 取10 m/s 2.则( )A .小球在斜面上的相碰点C 与B 点的水平距离是1.0 mB .小球在斜面上的相碰点C 与B 点的水平距离是1.9 mC .小球经过管道的B 点时,受到管道的作用力F N B 的大小是1 ND .小球经过管道的B 点时,受到管道的作用力F N B 的大小是2 N解析:C [根据平抛运动的规律,小球在C 点的竖直分速度v y =gt =3 m/s ,水平分速度v x=v y tan 45°=3 m/s ,则B 点与C 点的水平距离为x =v x t =0.9 m ,选项A 、B 错误;在B 点设管道对小球的作用力方向向下,根据牛顿第二定律,有F N B +mg =m v 2B R,v B =v x =3 m/s ,解得F N B =-1 N ,负号表示管道对小球的作用力方向向上,选项C 正确,D 错误.]6.(2017·湖南株洲二中月考)用一根细线一端系一小球(可视为质点),另一端固定在一光滑圆锥顶上,如图甲所示,设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω,线的张力为T ,则T 随ω2变化的图象是图乙中的( )解析:B [设绳长为L ,锥面与竖直方向夹角为θ,当ω=0时,小球静止,受重力mg 、支持力N 和绳的拉力T 而平衡,T =mg cos θ≠0,A 错误;ω增大时,T 增大,N 减小,当N =0时,角速度为ω0,当ω<ω0时,由牛顿第二定律得T sin θ-N cos θ=m ω2L sin θ,T cos θ+N sin θ=mg ,解得T =m ω2L sin 2θ+mg cos θ,当ω>ω0时,小球离开锥面,绳与竖直方向夹角变大,设为β,由牛顿第二定律得T sin β=m ω2L sin β,所以T =mL ω2,可知T ω2图线的斜率变大,所以B 正确,C 、D 错误.]二、多项选择题(本题共4小题,每小题6分,共24分.全部选对的得6分,部分选对的得3分,有选错或不答的得0分)7.(68520107)(2017·江苏扬州中学月考)如图所示,叠放在水平转台上的小物体A 、B 、C 能随转台一起以角速度ω匀速转动,A 、B 、C 的质量分别为3m 、2m 、m ,A 与B 、B 与转台、C 与转台间的动摩擦因数都为μ,B 、C 离转台中心的距离分别为r 、1.5r .设本题中的最大静摩擦力等于滑动摩擦力.以下说法中不正确的是( )A .B 对A 的摩擦力一定为3μmgB .C 与转台间的摩擦力大于A 与B 间的摩擦力C .转台的角速度一定满足ω≤2μg 3r D .转台的角速度一定满足ω≤ μg 3r解析:ABD [对A 受力分析,受重力、支持力以及B 对A 的静摩擦力,静摩擦力提供向心力,有f BA =3m ω2r ≤3μmg ,故A 错误;由于A 与C 转动的角速度相同,由摩擦力提供向心力有f C =m·1.5rω2<f BA=3m·rω2,即C与转台间的摩擦力小于A与B间的摩擦力,故B错误;对A、B 整体有(3m+2m)ω2r≤μ(3m+2m)g,对物体C有mω2·1.5r≤μmg,对物体A有3mω2r≤μ·3mg,联立解得ω≤ 2μg3r,故C正确,D错误.本题选错误的,故选A、B、D.]8.(2017·山东临沂质检)质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点,如图所示,绳a与水平方向成θ角,绳b 沿水平方向且长为l,当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时,a、b两绳均伸直,小球在水平面内做匀速圆周运动,则下列说法正确的是( )A.a绳张力不可能为零B.a绳的张力随角速度的增大而增大C.当角速度ω> g cos θl,b绳将出现弹力D.若b绳突然被剪断,a绳的弹力可能不变解析:AD [小球做匀速圆周运动,在竖直方向上的合力为零,水平方向上的合力提供向心力,所以a绳张力在竖直方向上的分力与重力相等,可知a绳的张力不可能为零,故A正确.根据竖直方向上小球受力平衡得,F a sin θ=mg,解得F a=mgsin θ,可知a绳的张力不变,故B错误.当b绳拉力为零时,有mgtan θ=mlω2,解得ω=gl tan θ,可知当角速度ω>gl tan θ时,b绳出现弹力,故C错误.由于b绳可能没有弹力,故b绳突然被剪断,a绳的弹力可能不变,故D正确.]9.(2016·浙江理综)如图所示为赛车场的一个水平“梨形”赛道,两个弯道分别为半径R=90 m的大圆弧和r=40 m的小圆弧,直道与弯道相切.大、小圆弧圆心O、O′距离L=100 m.赛车沿弯道路线行驶时,路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的2.25倍.假设赛车在直道上做匀变速直线运动,在弯道上做匀速圆周运动.要使赛车不打滑,绕赛道一圈时间最短(发动机功率足够大,重力加速度g=10 m/s2,π=3.14),则赛车( )A.在绕过小圆弧弯道后加速B.在大圆弧弯道上的速率为45 m/sC.在直道上的加速度大小为5.63 m/s2D .通过小圆弧弯道的时间为5.58 s解析:AB [在弯道上做匀速圆周运动时,根据牛顿第二定律kmg =m v 2m r,故当弯道半径一定时,在弯道上的最大速度是一定的,且在大弯道上的最大速度大于小弯道上的最大速度,故要想时间最短,故可在绕过小圆弧弯道后加速,选项A 正确;在大圆弧弯道上的最大速率为v m R =kgR = 2.25×10×90 m/s =45 m/s ,选项B 正确;直道的长度为x =L 2-R -r 2=50 3 m ,在小弯道上的最大速度:v m r =kgr = 2.25×10×40 m/s =30 m/s ,故在直道上的加速度大小为a=v 2m R -v 2m r 2x =452-3022×503m/s 2≈6.50 m/s 2,选项C 错误;由几何关系可知,小圆弧轨道的长度为2πr 3,通过小圆弧弯道的时间为t =2πr3vm r =2×3.14×403×30s≈2.80 s,选项D 错误.]10.(2017·辽宁抚顺一中一模)如图所示,两物块A 、B 套在水平粗糙的CD 杆上,并用不可伸长的轻绳连接,整个装置能绕过CD 中点的轴转动,已知两物块质量相等,杆CD 对物块A 、B 的最大静摩擦力大小相等,开始时绳子处于自然长度(绳子恰好伸直但无弹力),物块B 到轴的距离为物块A 到轴距离的两倍,现让该装置从静止开始转动,使转速逐渐慢慢增大,在从绳子处于自然长度到两物块A 、B 即将滑动的过程中,下列说法正确的是( )A .A 受到的静摩擦力一直增大B .B 受到的静摩擦力先增大后保持不变C .A 受到的静摩擦力先增大后减小再增大D .B 受到的合外力先增大后保持不变解析:BC [根据f m =mr ω2得ω= f m mr,知当角速度逐渐增大时,B 物块先达到最大静摩擦力,角速度增大,B 物块所受绳子的拉力和最大静摩擦力的合力提供向心力;角速度继续增大,拉力增大,则A 物块所受静摩擦力减小,当拉力增大到一定程度,A 物块所受的摩擦力减小到零后反向;角速度继续增大,A 物块的摩擦力反向增大.所以A 物块所受的摩擦力先增大后减小,又反向增大,B 物块所受的静摩擦力一直增大,达到最大静摩擦力后不变,A 错误,B 、C 正确;在转动过程中,B 物块运动需要向心力来维持,一开始是静摩擦力作为向心力,当摩擦力不足以提供向心力时,绳子的拉力作为补充,速度再增大,当这两个力的合力不足以提供向心力时,物块将会发生相对滑动,根据向心力公式,F 向=m v 2R可知,在发生相对滑动前B 物块运动的半径是不变的,质量也不变,随着速度的增大,向心力增大,而向心力等于物块所受的合外力,故D 错误.故选B 、C.]三、非选择题(本题共2小题,共40分.写出必要的文字说明和重要的演算步骤,有数值计算的要注明单位)11.(68520108)(20分)如图所示,细绳一端系着质量M =8 kg 的物体,静止在水平桌面上,另一端通过光滑小孔吊着质量m =2 kg 的物体,M 与圆孔的距离r =0.5 m ,已知M 与桌面间的动摩擦因数为0.2(设物体受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力),现使物体M 随转台绕中心轴转动,问转台角速度ω在什么范围时m 会处于静止状态(g =10 m/s 2).解析:设角速度的最小值为ω1,此时M 有向着圆心运动的趋势,其受到的最大静摩擦力沿半径向外,由牛顿第二定律得:F T -μMg =M ω21r ,设角速度的最大值为ω2,此时M 有背离圆心运动的趋势,其受到的最大静摩擦力沿半径指向圆心,由牛顿第二定律得:F T +μMg =M ω22r ,要使m 静止,应有F T =mg ,联立得ω1=1 rad/s ,ω2=3 rad/s ,则1 rad/s≤ω≤3 rad/s.答案:1 rad/s≤ω≤3 rad/s12.(68520109)(20分)(2017·豫东、豫北十校测试)如图所示,半径为l 4、质量为m 的小球用两根不可伸长的轻绳a 、b 连接,两轻绳的另一端系在一根竖直杆的A 、B 两点上,A 、B 两点相距为l ,当两轻绳伸直后,A 、B 两点到球心的距离均为l .当竖直杆以自己为轴转动并达到稳定时(轻绳a 、b 与杆在同一竖直平面内).求:(1)竖直杆角速度ω为多大时,小球恰好离开竖直杆.(2)轻绳a 的张力F a 与竖直杆转动的角速度ω之间的关系.解析:(1)小球恰好离开竖直杆时,小球与竖直杆间的作用力为零,设此时轻绳a 与竖直杆间的夹角为α,由题意可知sin α=14,r =l 4, 沿半径:F a sin α=m ω2r ,垂直半径:F a cos α=mg ,联立解得ω=2g15l . (2)由(1)可知0≤ω≤2g15l 时,F a =415mg .若角速度ω再增大,小球将离开竖直杆,在轻绳b 恰伸直前,设轻绳a 与竖直杆的夹角为β,此时小球做圆周运动的半径为r =l sin β.沿半径:F a sin β=m ω2r ,垂直半径:F a cos β=mg .联立解得F a =m ω2l当轻绳b 恰伸直时,β=60°,此时ω=2g l 故有F a =m ω2l ,此时2g15l <ω≤ 2g l若角速度ω再增大,轻绳b 拉直后,小球做圆周运动的半径为r =l sin 60°沿半径:F a sin 60°+F b sin 60°=m ω2r ,垂直半径:F a cos 60°=F b cos 60°+mg , 联立解得F a =12ml ω2+mg .此时ω≥ 2g l .答案:见解析。