二阶矩阵与二元一次方程组1.能用变换与映射的观点认识线性方程组的意义.2.会通过具体的系数矩阵，从几何上说明线性方程组解的存在性、惟一性.3.了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求解矩阵.[基础·初探]1.二阶行列式 将矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd 两边的“[ ]”改为“| |”，把⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd 称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值(或多项式)，记为det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc .2.二阶行列式与二元一次方程组关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n ，将⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d 记为D ，将⎪⎪⎪⎪⎪⎪m b n d 记为D x，将⎪⎪⎪⎪⎪⎪a m c n 记为D y，则当D ≠0时方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝DxD y ＝D yD. 3.二元一次方程组与逆矩阵及几何变换关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n .(1)逆矩阵与二元一次方程组 令A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 为系数矩阵，X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 为待求向量，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n 是经A 将X 变换后的向量，则上述二元一次方程组可记为以下矩阵方程：AX ＝B ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n .当A 是可逆矩阵时，上式两边同时左乘A －1，则有X ＝A －1B ，其中A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤dad －bc－bad －bc－c ad －bc a ad －bc . (2)二元一次方程组与几何变换从几何变换的角度看，解这个方程组实际上就是已知变换矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 和变换后的象⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n ，去求在这个变换的作用下的原象.[思考·探究]1.二阶矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 与二阶行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd 的主要区别是什么？【提示】 二阶矩阵对应的是变换，是4个数构成的数的方阵，而行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab c d ＝ad－bc 则是一个数.写法上也不同，二阶矩阵是用括号，二阶行列式用绝对值号或两竖线表示.二阶矩阵反应的是变换，二阶行列式是用来判断矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 是否可逆的.2.二元一次方程组的系数矩阵满足什么条件时，方程组有惟一解？【提示】 当关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝m cx ＋dy ＝n 的系数矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d 是可逆的，则方程组有惟一解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n . 3.结合上一节试总结求逆矩阵的常用方法有哪几种？【提示】 (1)待定矩阵法：利用AA －1＝E 得到方程组，再用行列式法解方程组即可. (2)行列式法：若A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，且det(A )≠0，则A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d det （A ） －bdet （A ）－c det （A ） a det （A ）.[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑：疑问3： 解惑：利用行列式解方程组⎩⎪⎨⎪3x ＋4y －1＝0.【导学号：30650040】【精彩点拨】将方程化成一般形式→求出D ，D x 、D y →求解【自主解答】 先将方程组改写成一般形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝－1，3x ＋4y ＝1. 因为D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 23 4＝－2≠0，此方程组存在惟一解.又D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1 2 14＝－6，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －13 1＝4， 所以x ＝D x D＝3，y ＝D yD＝－2.故该方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.利用行列式解方程组的一般思路：先将方程组化成一般形式⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n .再分别求出D ，D x，D y然后用求解公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝DxDy ＝D yD求解.利用行列式解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －3y －1＝0，－x ＋4y －3＝0.【解】 先将方程组写成一般形式⎩⎪⎨⎪⎧3x －3y ＝1，－x ＋4y ＝3.因为D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 －3－1 4＝3×4－(－3)×(－1)＝9≠0，此方程组有惟一解.又D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －33 4＝1×4－(－3)×3＝13，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 1－1 3＝3×3－1×(－1)＝10.所以x ＝D x D ＝139，y ＝D y D ＝109. 故该方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝139，y ＝109.利用行列式知识求矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2的逆矩阵A －1.【精彩点拨】 法一：(待定矩阵法)设待求矩阵→利用→用行列式解方程组→A －1法二：(用行列式法)计算det （A ）→A －1【自主解答】 法一 (待定矩阵法)设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －11 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤4a －c 4b －d a ＋2c b ＋2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，故⎩⎪⎨⎪⎧4a －c ＝1，a ＋2c ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧4b －d ＝0，b ＋2d ＝1. 先将a ，c 看成未知数，则D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4 －11 2＝9≠0. D a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －10 2＝2，D c ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4 110＝－1，所以a ＝29，c ＝－19，同理可得：b ＝19，d ＝49，故A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2919－19 49.法二 (用行列式法求逆矩阵)∵det(A )＝4×2－1×(－1)＝9≠0，∴A 可逆，∴A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2919－19 49.利用行列式知识求逆矩阵，有两种情况，其一，是利用待定矩阵法时，对构建的方程组求解时用行列式知识；其二是计算det(A )时用.判断下列矩阵是否有逆矩阵，若有，求出逆矩阵.【导学号：30650041】(1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 14 3；(2)B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a311.【解】 (1)∵det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2143＝2×3－4×1＝2，∴A 存在逆矩阵，且A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 －12－42 22＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 32 －12－2 1. (2)∵det(B )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a311＝a －3，当a ＝3时，B 不存在逆矩阵； 当a ≠3时，B 存在逆矩阵，其逆矩阵 B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1a －3 －3a －3－1a －3 a a －3.【精彩点拨】A－1→得解【自主解答】 令A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234，X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1，AX ＝B ，因为： A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4－2 －2－2－3－2 1－2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 132－12，所以X ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 132－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2. 故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.利用逆矩阵的知识解方程组一般思路；先由方程组找到A ，X ，B ，找到其对应的矩阵方程AX ＝B ，再求出A －1然后由X ＝A －1B ，求出x ，y 即可.利用逆矩阵知识解变式1中的方程组. 【解】 令A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 －3－1 4，X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，AX ＝B ，因为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤49 1319 13， 所以X ＝A－1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤49 1319 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤139109. 故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝139，y ＝109.已知二元一次方程组AX ＝B ，A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤y ，试从几何变换的角度研究方程组解的情况.【精彩点拨】 找到矩阵A 对应的几何变换→ 判断几何变换的逆变换情况→方程组解的存在情况【自主解答】 对方程AX ＝B ，由于A 对应的是将平面上的点(向量)保持纵坐标不变，而将横坐标依纵坐标的比例增加，且(x ，y )→(x ＋2y ，y )的切变变换，因此，它存在惟一的逆变换：将平面上的点(向量)保持纵坐标不变，横坐标依纵坐标的比例减少，且(x ，y )→(x －2y ，y )的切变变换，即A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1，于是原方程组的解X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 为向量B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32在变换矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1对应的变换作用之后的向量，即X ＝A －1B .由于矩阵A －1是惟一存在的，因此⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 也是惟一存在的，且A －1B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2，故原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.从几何变换的角度研究方程组解的情况，关键是找到系数矩阵A 对应的几何变换，将方程组解的情况转化为判断几何变换的逆变换的存在情况研究.若将本例中A 变为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1212 12，情况如何？ 【解】 矩阵A 对应的是投影变换，它把平面上的点垂直投影到直线y ＝x 上.于是，该方程组的求解就转化为已知投影变换的象B ，试求它的原象，注意到当B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32时，它不在直线y ＝x 上，故它没有原象，也即方程组无解.[真题链接赏析](教材第61页例7)利用逆矩阵的知识解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －1＝0，4x ＋5y －6＝0.利用矩阵解二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝2，4x ＋2y ＝3.【命题意图】 本题主要考查逆矩阵的求法及运算求解能力.【解】 方程组可写为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3142⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23， 系数行列式为3×2－4×1＝2≠0，方程组有惟一解.利用矩阵求逆公式得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 142－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －12－2 32， 因此原方程组的解为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －12－2 32 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1212即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝12.1.已知⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x －13x 1＝－5，则x 的值为________.【导学号：30650042】【解析】 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x －13x 1＝2x －(－3x )＝5x ＝－5， ∴x ＝－1. 【答案】 －12.二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＝32x －y ＝1的解是________.【解析】 二元一次方程组改写为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －32 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －32 －1.则det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －32 －1＝5， ∴A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1535－25 15. ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝A－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－15 35－25 15⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－1.∴方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＝3，2x －y ＝1的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1.【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝－13.若二阶矩阵X ，满足⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 1X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 2－1 1则X ＝________.【解析】 因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 1X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 2－1 1，⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －23 1＝7≠0，所以X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 1－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 2－1 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 17 27－37 17⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 2－1 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 17 47－107 －57. 【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1747－107 －57 4.已知某点在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002对应的变换作用下得到点(2，1)，则该点坐标为________.【导学号：30650043】【解析】 设该点的坐标为(x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 00 2＝2≠0，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2可逆，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2 12，所以所求点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)学业分层测评(七)[学业达标]1.利用行列式解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，2x ＋3y －4＝0.【解】 先将方程组改写成一般形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1，2x ＋3y ＝4.因为D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1223＝1×3－2×2＝－1，D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 243＝1×3－2×4＝－5， D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 124＝1×4－2×1＝2，所以x ＝D x D ＝－5－1＝5，y ＝D y D ＝2－1＝－2，故该方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－2.2.利用行列式解方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋4y ＝4.x ＋my ＝7.【解】 ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪m41 m ＝m 2－4 D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4 47m ＝4m －28 D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m 417＝7m －4①当m 2－4＝0时，即m ＝±2，方程组无解；②当m 2－4≠0时，即m ≠±2时，得x ＝D x D ＝4m －28m －4，y ＝D y D ＝7m －4m －4.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4m －28m 2－4，y ＝7m －4m 2－4.3.若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋my ＝x －2x ＋4y ＝y 有惟一解，求m 的取值范围.【解】 该二元一次方程组的一般形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋my ＝0，2x －3y ＝0，其用矩阵形式表示为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 m 2 －3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00.因为该方程组有惟一解，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 m 2 －3≠0，解得m ≠－32.4.利用逆矩阵解下列方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1，3x ＋4y ＝1；(2)⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，2x ＋3y ＝5. 【解】 (1)原方程组用矩阵可表示为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. 令A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4，Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11， 因为|A |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 234＝4－6＝－2≠0，则矩阵A 存在逆矩阵A －1，且 A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4－2 －2－2－3－2 1－2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1 32 －12，这样，Z ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1 32－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1，即原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1. (2)原方程组用矩阵可表示为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－11 2 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤05. 同(1)，可以计算⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 2 3的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－35 15 25 15， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－3515 25 15⎣⎢⎡⎦⎥⎤05＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11， 即原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.5.设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 －2－1 4，Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，试解方程组AZ ＝B . 【导学号：30650044】【解】 ∵det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 －2－1 4＝12－(－1)×(－2)＝10≠0，所以矩阵A 存在逆矩阵A－1，且A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤410 210110 310＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 15110 310， ∴Z ＝A－1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 15110 310⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. 6.已知二元一次方程组AZ ＝B ，其中A 是可逆矩阵，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，试证明该方程组的解只能是⎣⎢⎡⎦⎥⎤00. 【证明】 因为A 是可逆矩阵，则原方程组的解为Z ＝A －1B ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，因A －1是惟一存在的，所以Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00是原方程组的解且是惟一的.7.试从几何变换的角度分析方程组AZ ＝B 解的情况，这里A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1011，Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35. 【解】 由于A 对应的是沿y 轴的切变变换，它有逆变换，且其对应的矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0－1 1，即A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－1 1，于是原方程组的解Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 为向量B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35在A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－1 1作用之后的向量，即Z ＝A －1B .因为A －1是惟一存在的，因此⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 也是惟一存在的，且有Z ＝A －1B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－1 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤35＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.故原方程组有惟一解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2.[能力提升]8.试从几何变换的角度说明方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12y ＝3，y ＝2，解的存在性和惟一性.【解】 设A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 120 1，X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，则AX ＝B .因为矩阵A 对应的变换是切变变换，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －120 1，所以方程组的解X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 为向量B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32在变换矩阵A －1作用之后的向量，即X ＝A －1B .由于矩阵A －1是惟一存在的，因此，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 也是惟一存在的，且A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －120 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22， 故方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.。
