第1讲：计算综合(答案)

四年级奥数第 1 讲：多位数计算多位数的运算在奥数体系里面一般扮演难题角色，多位数运算不仅体现普通数字四则运算的一切考法，还要靠观察数字结构发现数字规律的方式掌握多位数的整体结构，确定方法解题。

主要方法：1.利用999 99进行变形，变成1000 00 1，有333 尽量转化成 999 进行计算n个9 n个 02. 经常使用的方法有凑整法、提取公因式法、平方差公式、乘法的性质3. 多位数 M× 999 99的数字和为 9n（注意 M要小于999 99）n个 9 n个9题型一：求算式结果某数位上的数码常用方法： 1.提取公因数； 2.利用999 99进行变形，变成1000 00 1n个9 n个 0例 1（）在将 10000000000中减去 1101011后所得的答案中，数码8 出现了次？分析： 10000000000－1101011=9998898989，数码 8 共出现了 4 次例 2( )求 6+66+666+6666+66666+666666+6666666的和的万位数字是分析：方法一：提取公因数6+66+666+6666+66666+666666+6666666=6×( 1+11+111+1111+11111+111111+111111)1=6×1234567=7407402方法二：利用加法的计算方法个位和为： 6×7=42，个位数字为 2十位和为： 6×6+4=40，十位数字为 0千位和为： 6×5+4=34，千位数字为 4万位和为： 6×4+3=27，万位数字为 7例 3（）111 11 999 99 的乘积中含有个偶数数码。

2005个1 2005个 9分析：利用999 99 进行变形，变成1000 00 1n个 9 n个 0111 11 999 992005 个1 2005个9111 11 1000 00 12005个1 2005个 0111 11000 00 111 112005个1 2005个 0 2005 个1111 110888 8892004个1 2004个 8因此含有2004 1 2005个偶数数码.＜训练巩固＞1. 把8,88 ,888 ，，888 88 这 1992个数相加，所得和的个位数是1992 个 8十位数字是，百位数字是 .2. 222 22 减去777 77 ，得数的个位数字是2006 个 2 100 个 7（提示：多个 2 相乘，多个 7 相乘，尾数有周期现象）题型二：求算式结果有几位数（或末尾有几个 0）常用方法： 1.提取公因数； 2.因数末尾有 0 的计算方法例 4（）将 10002009=1000 1000 1000 的数值写下，它有位数？2009个1000分析：利用因数末尾有 0 计算方法200910002009=1000 1000 1000=1000 0002009个1000 2009 3 6027个 0因此总共有 6027+1=6028位数 .例 5（）已知N 2 2 2 2 2 5 5 5 5 5 ，问 N 为几位数？99个 2 88个 5分析： 1.利用 2 ×5=10；2.利用因数末尾有 0计算方法N 2 2 2 2 2 5 5 5 5 599个 2 88个52 2 2 2 2 2 5 2 5 2 5 2 5 2 511个2 88个 2 52048000 0088个0因此 N为 4+88=92 位数.例 6（）999 99 999 99 999 99 的得数末尾有个零 .2001个9 2001个9 2001个 9分析：提取公因数999 99 999 99 999 992001个 9 2001个9 2001个 9999 99 999 99 12001个9 2001个 9999 991000 002001个 9 2001个 0因此得数末尾有 2001个 0.＜训练巩固＞1. 999 99 999 99 1999 99 的得数末尾有几个 0？2001个 9 2001个 9 2001个 9题型三：求算式结果各个数位上数字之和常用方法： 1. 提取公因数； 2.多位数M×999 99的数字和为 9n（注意 M要小于n个 9999 99）；3.利用999 99进行变形，变成1000 00 1n个9 n个 9 n个0例 7（）求 222222×9999999 的得数各个数位上数字之和分析：方法一：利用凑整法把 9999999 变成 10000000—1222222×9999999 =222222×( 10000000— 1)=2222220000000—222222 =2222219777778 各个数位上数字之和为2×5+1+9+7×5+8=63方法二：利用结论多位数M× 999 99 的数字和为 9n（注意 M要小于999 99）n个9 n个 9各个数位上数字之和为 9×7=63.例 8（）9 333 33 555 55 的各位数字平方之和为 .2001个 3 2001个 5分析：看见333 尽量转化成 999 进行计算9 333 33 555 552001个3 2001个 53 999 99 555 552001个9 2001个 53 1000 00 1 555 552001个 0 2001个53 555 55000 00 555 552001个5 2001个0 2001个 53 555 55444 452000个 5 2001个41666 66333 352000 个6 2001个 3各位数字平方之和为 12+62×2000+32× 2001+52=90035例 8（）若x 1212 1212 333 33 的各位数字之和是 .36个12 72个 3根据算是式特点看出可以从1212 1212提出一个 3，变成404040404 ，使36个 1235个 043 333 33可凑成999 99 ，所以72个3 72个 91212 1212 333 3336个12 72个 340404 0404 3 333 3335个 04 72个340404 0404 999 9935个 04 72个 940404 0404 1000 00 — 135个04 72个 040404 0404000 00— 40404 040435个04 72个 0 35个0440404 040395959 59635个40 35个 59所以各位数字之和为 4× 35+3+9+5× 35+9×35+6=648＜训练巩固＞1.求 111111×999999 的乘积各个数位上数字之和是多少？2.有一个 2005 位的整数，其每个数位上的数字这个数字与它自身相乘，都是 9，所得乘积各个数位上数字之和是多少？3. 若x 1515 1515 333 33 的各位数字之和是.24个15 48个 3题型四：计算出算式结果常用方法： 1. 利用999 99进行变形，变成1000 00 1 ，n个 9 n个 0333 尽量转化成 999 进行计算2. 经常使用的方法有凑整法、提取公因式法、平方差公式3.乘法的性质、因数末尾有 0 的计算方法例 9( )计算 888 882 —111 112 .2000个 8 2000个1 分析：利用平方差公式 a 2-b 2=(a+b)(a-b) ；利用 999 99进行变形，变成1000 00 1，n 个 9n 个 0则有：888 882 —111 1122000个 8 2000个1999 99 777 772000个 9 2000个 7777 77 1000 00 — 1777 77000 00— 777 772000个 7 2000个0 2000个7777 776222 2231999个 7 1999个 2例 10（ ）计算 8 88 888 8888 88888 888888 8888888 88888888 888888888. 分析：利用提取公因数 8 来进行求解8 88 888 8888 88888 888888 8888888 88888888 8888888888 1 11 111 1111 11111 111111 1111111 11111111 1111111118 123456789987654312例 11（ ）计算 999 99 888 88 666 66.2008个9 2008个8 2008个 6分析：利用乘法的性质来求解999 99 888 88 666 662008个9 2008个8 2008个 63 333 33 2 444 44 666 662008个3 2008个4 2008个 63 444 44 666 66 666 662008个 4 2008个6 2008个 63 444 442008个41333 3322007个3 888 88 111 11 888 88— 111 112000个1 2000个8 2000个8 2000个12000个7 2000个0例 12( )计算 12345678987654321×9.分析：利用 12345678987654321=1111111112 12345678987654321×9. =1111111112×9=999999999×111111111=111111111×( 1000000000-1) =111111111000000000-111111111=111111110888888889＜训练巩固＞1. 计算555 552—444 442 .2000个5 2000个 42. 计算 99999×22222+33333×33334.3. 计算555 55 333 33.2008个5 2008个 3。

第1讲小数乘法巧算中运算规律与类型梳理-五年级数学上册数学思想方法系列（人教版）（含解析）第1讲小数乘法巧算中运算规律与类型梳理-五年级数学上册数学思想方法系列（人教版）第1讲小数乘巧算中的运算律及方法总结小数乘法的简便计算和整数乘法一脉相承，主要的借助是运用乘法的运算定律和积的变化规律，通过对算式进行适当变形，将其中的数化成整数、整十数、整百数……或者使这道题中的一些数变得容易口算，从而使计算简便，以下是小数乘法巧算的一些常见类型梳理：乘法交换律例：25×8.5×4 12.5×0.9876×0.8乘法结合律例：4.36×12.5×8 0.95×0.25×4乘法分配律例：（1.25－0.125）×8 （2＋0.4）×5乘法分配律逆应用例：3.72×3.5＋6.28×3.5 7.09×10.8－0.8×7.09把其中一个因数分成两个数的和或差，再按乘法分配律例：0.8×100.1 89.89×99.9例：1.25×2.5×32 3.2×0.25×12.5添加因数“1”例：9.7×99＋9.74.2×99＋4.2 56.5×99＋56.5更改因数的小数点位置，创造提取公因数的条件例：6.66×3.3＋66.6×67 4.8×7.8＋78×0.52【例题1】1．计算：3.56×34.5＋0.7×356＋9.15×35.6－1.96×256＝( )。

思路分析：乘法分配律和积不变规律的运用。

规范解答：【例题2】2．算式20.19×95＋2.019×50的计算结果是( )。

思路分析：可以将写成，然后运用乘法分配律逆运算提取20.19，最后进行简便计算即可。

第1讲四则运算（一）四则混合运算法则：先乘除，后加减；有括号先算括号；同级运算，从左到右。

【1】计算：28+72=100【2】计算：123+177=300【3】计算：220+780=100【4】计算：15+21+25+1915+25=21+19=4015+21+25+19=15+25+19+21=40+40=80【5】计算：70+63+81+37+30+19简便运算原则：凑整——凑成整十、整百、整千、整万的数。

凑整：两数相加凑整；两数相减凑整。

70+30=100，63+37=100，81+19=10070+63+81+37+30+19=70+30+63+37+81+19=100+100+100=300【6】计算：17+19+234+21+183+2617+183=200,19+21=40，234+26=260，40+260=30017+19+234+21+183+26=17+183+19+21+234+26=200+40+260=200+300=500【7】计算：（1+11+21+31）+（9+19+29+39）1+39=40，11+29=40，21+19=40，31+9=40（1+11+21+31）+（9+19+29+39）=1+11+21+31+9+19+29+39=1+39+11+29+21+19+31+9=40+40+40+40=160【8】计算：35+121-35-2135-35=0，121-21=10035+121-35-21=35-35+121-21=0+100=100【9】计算：152-19-13+19+223-32152-32=120，19-19=0，223-13=210152-19-13+19+223-32=152-32+19-19+223-13=120+0+210=330【10】计算：20-（11-7）减去两个数的差，等于减去第一个数，再加上其次个数。

20-（11-7）=20-11+7=9+7=16【11】计算：20-（11+7）减去两个数的和，等于连续减去这两个数；减去几个数的和，等于连续减去这几个数。

第一讲计算问题在历届的小升初选拔、迎春杯和希望杯中，考察学生的计算能力是必不可少的。

这部分的题目难度不大，但是方法很巧妙，目的是考察大家的基本运算和巧算的能力。

要做好这些题目，就需要同学们在掌握好最基本的计算知识和方法的基础上多做题，从而锻炼自己的运算能力。

在计算的过程中也有许多巧方法可以帮助我们加快计算速度、提高正确率。

知识说明：计算中的提取公因数法是近几年来迎春杯、希望杯和小升初中经常考的题目，但是通过分析我们发现在考试中不仅仅是只考提取公因数这样简单的题，这类题目往往是同积不变的规律、商不变的规律等结合着出的综合题。

和不变的规律：如果一个加数增加另一个加数减少同一个数，它们的和不变.积不变的规律：如果一个因数扩大几倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变.商不变的规律：如果除数和被除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变.【例1】（05 年希望杯 2 试）计算（1）2.005×390＋20.05×41＋200。

5×2（2）2000×1999－1999×1998 ＋ 1998×1997－1997×1996＋1996×1995－1995×1994分析： （1）根据提取公因数的方法和积不变的规律知道，原式＝200.5×3.9＋200.5×4.1＋2＝200.5×（3.9＋4.1＋2）＝200.5×10＝2005 （2）题目是六项乘积的和差运算 , 其中 , 每两项中都有公因数 , 于是 , 我们先分组简算 .原式 =1999×（2000－1998）＋1997×（1998－1996）＋1995×（1996－1994）=1999×2＋1997×2＋1995×2 =2× (1999＋1997＋1995) =2×(2000＋2000＋2000－9) =2× (6000－9) =2×6000－2×9 =12000－18 =11982【例2】计算（1）（04 年希望杯 2 试）12.5 ÷ 3.6 - 7 ÷ 9 + 8.3 ÷ 3.6（2）2003×2001÷111+2003×73÷37分析：（1）原式＝125÷36－28÷36＋83÷36＝（125－28＋83）÷36＝5125 7 83 125 - 28 + 83 180 或12.5 ÷ 3.6 - 7 ÷ 9 + 8.3 ÷ 3.6 = - + = = = 536 9 36 36 36（2）原式＝2003×2001÷111+2003×73×3÷（37×3）＝2003×（2001+73×3）÷111＝2003×2220÷111＝40060知识说明提取公因数[前铺]（05 年希望杯 1 试）计算 78.16×1.45＋3.14×21.84＋169×0.7816 分析：不难看出式子中 7816 出现过两次：78.16 和 0.7816，由此可以联想到提取公因数原式＝78.16×1.45＋3.14×21.84＋1.69×78.16＝78.16×（1.45＋1.69）＋3.14×21.84＝78.16×3.14 ＋3.14×21.84＝3.14×100＝314[巩固]（06 年希望杯 2 试）8.1×1.3－8÷1.3＋1.9×1.3＋11.9÷1.3 分析：原式＝（8.1＋1.9）×1.3＋（11.9－8）÷1.3＝13＋3＝16【例3】 计算 412×0.81＋11× 9 1＋53.7×1.94分析：原式＝41.2×8.1＋11×（9＋0.25）＋（41.2＋12.5）×1.9＝41.2×8.1＋41.2×1.9＋12.5×1.9＋11×9＋11×0.25 ＝41.2×（8.1＋1.9）＋（10＋2.5）×1.9＋99＋11×0.25＝412＋10×1.9＋2.5×1.9＋99＋11×0.25＝412＋19＋99＋（11＋19）×0.25＝410＋2＋20－1＋100－1＋7.5＝537.5[前铺]计算 31.4×36＋64×43.9 分析：观察发现题中有 36 和 64，试想如果出现 64×31.4，就太完美了，所以我们可以构造出 64×31.4这就是提取公因数的构造法。

1．综合复习小学阶段的各种计算及巧算方法；2．适度拓展，了解更多的巧算方法．（此环节设计时间在10－15分钟）小学阶段，我们学习了整数、小数和简单的分数的计算方法，这些知识会一直影响之后的学习，同时还有一些巧算方法也很有学习的价值。

计算最基本的要求是正确，无论方法是否简便，过程是否复杂，能较快地做出正确的解答才是最关键的。

当然，往往巧算要比死算更快更不容易出错，巧算的主要方法是“凑整”，有加法的凑整、乘法的凑整、通过提取公因数的凑整、拆数补数的抽正等等。

但是不论哪种计算，目前一定要注意的是添/去括号时是否要变号的问题。

教法说明：以提问方式很快地过一下各种运算法则，如果学生有问题，临时增加几个小问来巩固基本运算法则。

加减法凑整：加法：末位凑十，前面凑九；减法：末尾一串都相同乘除法凑整：乘法：2×5、4×25、8×125等；熟悉5、25、125的倍数除法：熟悉简单的倍数关系。

四则运算简算：添/脱括号：注意是否可以添/脱，注意变号。

乘法分配律与提取公因数：注意观察算式中相同或有倍数关系的部分。

练一练：直接写出答案1.5×4＝________ 5.8＋1.2＝________ 45×0.2＝________4.08÷8＝________ 0.54÷0.6＝________ 3.1－2.9＝________0.12÷3＝________ 0.4×0.7＝________ 0.32×1000＝________7÷100＝________ 0.8＋0.02＝________ 0.84÷0.3＝________3.68÷0.01＝________ 9＋1.5＝________ 0.4×0.5＝________0.44＋0.6＝________ 2.5×0.4＝________ 0.125×8＝________3.6÷0.4＝________ 3.92＋7.2＝________ 1.5÷0.3＝________教法说明：建议固定时间让学生做，可以根据程度不同灵活掌握，一般5分钟左右。

知识总结典型例题1计算：2已知3若4当5已知6解答下列问题．7设8知识总结典型例题9若10已知：11已知12已知13阅读下列材料，并利用材料中使用的方法解决问题．这样的“走马灯” 性质实在是让人啧啧称奇．于是我们开始好奇，142857 为什么会具有这样神奇的性质？是否还会有其他数具有这样的性质呢？先回答第一个问题．数学系的人也许会高冷地回答你：因为 10 是模 7 的一个原根．但这个回答，一定是令 99 % 的人懵逼的．大部分普通人恐怕会问：“原根” 是什么？当然，也许还有些连初中数学都还给老师的人，会问：“模” 是什么，哈这个问题，其实正是让数学小白们叩开初等数论大门的伟大机会啊！我相信，要完整地理解这个问题的来龙去脉，对于初中数学水平的人，大概也就需要半个小时而已~当然，需要 3 个很简单的前提条件：你知道质数（素数）的概念：只能被 1 和自身整除的数；也知道互质的含义（最大公约数为1）；你会竖式计算；你已经知道：142857*7=999999；那么，下面我们开始吧~一、竖式计算的奥秘既然你已经知道了 142857*7=999999，那么你一定很容易联想到 1/7 会有 142857 的循环节．毕竟1000000 除以 7 余 1 嘛！竖式计算告诉我们，产生循环几乎是显然的：仔细观察一下竖式计算，你会发现一个很有趣的现象：前 6 次相减，余数分别 3、2、6、4、5、1，恰好遍历了比 7 小的 1~6，这就意味着，下一个余数无论是几，都必然会和前面的重复，从而必须产生循环．这个现象揭示了一个简单的定理：定理 1.1：1/n 的小数展开，其循环节长度不超过 n-1．如果循环节恰好为 n-1 ，在竖式计算的每一步中，余数一定遍历了 1，2，…，n-1，那么显然，1/n, 2/ n,…， (n-1)/n 的竖式计算，一定能和 1/n 的竖式计算中的某一步衔接起来，循环节会形成 “走马灯” 的效果．反之，对于任意一个“走马灯数”，我们可以把它当做循环小数的循环节，而循环小数必然可以表示成分数 k/n，若循环节小于 n-1，那么余数必然不能遍历 1，2，…，n-1，那么 “走马灯” 的效果则不会出现．于是我们得到了另一个定理：定理 1.2：对每一个 “走马灯数” ，都存在自然数 n，走马灯数为 1/n 的小数展开后的循环节，且这个循环节恰好有 n-1 位．接下来，我们需要寻找满足条件的 n，初等数论的大门将缓缓打开．14如图，在边长为15已知16若17已知18如果多项式19关于多项式20若21已知22已知。

第1讲混合运算（思维导图+知识梳理+例题精讲+易错专练）一、思维导图二、知识点梳理知识点一：小熊购物（乘加、乘减混合运算的顺序）在一个没有括号的算式中，既有乘法又有加、减法，应该先算乘法，再算加、减法。

知识点二：买文具（除加、除减的运算顺序和解决实际问题）在一个没有括号的算式中，既有除法又有加、减法，应该先算除法，再算加、减法。

知识点三：过河（带有小括号的两步混合运算的运算顺序和小括号的应用）1、解决问题时要认真分析题意，如果要先算加、减法，再算乘、除法，就要用小括号来帮忙。

2、在含有小括号的算式中，计算时要先算小括号里面的，再算小括号外面的。

3、加法、减法、乘法和除法统称四则运算。

三、例题精讲考点一：乘加、乘减混合运算【典型一】9与6的积减去32得多少？【分析】9与6的积表示有6个9相加，写成乘法算式是9×6，再减去32，列式为9×6﹣32，计算即可．【解答】解：9×6﹣32，＝54﹣32，＝22；答：9与6的积减去32得22．【典型二】9+9+9+5可以改写成算式（）A．4×9﹣5 B．3×9+5 C．3×5+9【分析】9+9+9+5是3个9的和加上1个5，3个9可以改成乘法算式3×9或者9×3，再加上5即可。

【解答】解：9+9+9+5可以改写成算式3×9+5或者9×3+5。

故选：B。

【典型三】小丽有5套明信片，每套5张。

【分析】每套明信片5张，5套明信片就是5个5张，即5套明信片一共有25张，把其中的13张送给好朋友，求还剩下多少张，就用一共的25张减去送给好朋友的13张即可解答。

【解答】解：5×5﹣13＝25﹣13＝12（张）答：还剩下12张。

考点二：除加、除减混合运算【典型一】毛巾原来10元一条，现在优惠促销，团购4条，只要36元，促销的毛巾每条多少元？每条比原来便宜多少元？【分析】团购4条，只要36元，用36元除以4条，即可求出促销的毛巾每条多少元；再用原来每条的价格减去促销每条的价格即可求解。

第1讲有理数的巧算——例题一、第1讲有理数的巧算(例题部分)1.计算:【答案】解:原式===0+0+0=0【解析】【分析】在有理数加减运算中，应注意利用交换律与结合律，将其中的数适当改变顺序，重新组合、尽可能“凑整”或“抵消”．“抵消”，即两个相反的数相加，和为0(两个相同的数相减，差为0)，如上面的与-,-与,但要注意符号，不要搞错，如上面的-与不能抵消，它们的和与可以抵消．2.计算【答案】解:原式===【解析】【分析】在进行有理数的乘除运算时，要注意确定结果的符号：奇数个负数相乘除，结果为负；偶数个负数相乘除，结果为正．通常将小数化为分数，带分数化为假分数，把除法转化为乘法，能约分的先约分，尽量化简。

3.计算【答案】解:原式==【解析】【分析】在进行有理数的四则运算时，还应注意应用分配律．若有公因数，一般可将公因数提出，然后进行运算．如本例中，分子有公因数1×2×3，分母有公因数1×3×5，就可以将它们提出，然后约分，以简化运算．应注意，当提出的公因数带负号时，提取后各项的符号都要改变．4.计算【答案】解：原式====……==1-=【解析】【分析】经过观察发现算式的特点：后一项是前一项的一半．如果我们把后一项加上它本身，就可以得到前一项的值．因此，我们巧添了一个辅助数，使问题得以顺利解决．当然，根据代数式的值得不变性可知，在添加上后不要忘了还应减。

5.计算（1）1+2+3+4+ +2007+2008（2）1-2+3-4+ +2007-2008【答案】（1）解:令S=1+2+3+4+ +2007+2008则S=2008+2007 +2+1两式相加,得2S===2009 2008所以S=即原式=（2）原式===-1004【解析】【分析】(1)由题意知，本小题的特点是：后一项减去前一项的差都相等．这样的一列数是等差数列．即若一列数，有(常数)(i=12，…，n一1)，则这列数称为等差数列，其中称为首项，称为末项，n为项数，d为公差．等差数列的和a，的计算公式为：所以，本题也可用这个计算公式计算．有时，项数不能直接看出，可用下面的公式计算：(2)由题意知，相邻的项两两结合求差为-1，可以简化运算．这是由本题的特点所决定的．所以，在做题时，应先观察一下题目的特点，根据特点下手，往往有事半功倍的效果．6.计算【答案】解：原式==1-= =【解析】【分析】在做加减法运算时，根据数的特点，将其中一些数适当拆开，变成两个数的差并且拆开后有一些数可以相互抵消，达到简化运算的目的，这种方法叫拆项法．本例中，我们把拆成，即可求解。