实验六：二叉树及其应用
一、实验目的
树是数据结构中应用极为广泛的非线性结构，本单元的实验达到熟悉二叉树的存储结构的特性，以及如何应用树结构解决具体问题。
二、问题描述
首先，掌握二叉树的各种存储结构和熟悉对二叉树的基本操作。其次，以二叉树表示算术表达式的基础上，设计一个十进制的四则运算的计算器。
如算术表达式：a+b*(c-d)-e/f
三、实验要求
如果利用完全二叉树的性质和二叉链表结构建立一棵二叉树，分别计算统计叶子结点的个数。求二叉树的深度。十进制的四则运算的计算器可以接收用户来自键盘的输入。由输入的表达式字符串动态生成算术表达式所对应的二叉树。自动完成求值运算和输出结果。四、实验环境
PC微机
DOS操作系统或 Windows 操作系统
Turbo C 程序集成环境或 Visual C++ 程序集成环境
五、实验步骤
1、根据二叉树的各种存储结构建立二叉树；
2、设计求叶子结点个数算法和树的深度算法；
3、根据表达式建立相应的二叉树，生成表达式树的模块；
4、根据表达式树，求出表达式值，生成求值模块；
5、程序运行效果，测试数据分析算法。
六、测试数据
1、输入数据：*（+）3
正确结果：
2、输入数据：(1+2)*3+(5+6*7);
正确输出：56
七、表达式求值
由于表达式求值算法较为复杂，所以单独列出来加以分析：
1、主要思路：由于操作数是任意的实数，所以必须将原始的中缀表达式中的操作数、操作符以及括号分解出来，并以字符串的形式保存；然后再将其转换为后缀表达式的顺序，后缀表达式可以很容易地利用堆栈计算出表达式的值。
例如有如下的中缀表达式：
a+b-c
转换成后缀表达式为：
ab+c-
然后分别按从左到右放入栈中，如果碰到操作符就从栈中弹出两个操作数进行运算，最后再将运算结果放入栈中，依次进行直到表达式结束。如上述的后缀表达式先将a 和b 放入栈中，然后碰到操作符“+”，则从栈中弹出a 和b 进行a+b 的运算，并将其结果d（假设为d）放入栈中，然后再将c 放入栈中，最后是操作符“-”，所以再弹出d和c 进行d-c 运算，并将其结果再次放入栈中，此时表达式结束，则栈中的元素值就是该表达式最后的运算结果。当然将原始的中缀表达式转换为后缀表达式比较关键，要同时考虑操作符的优先级以及对有括号的情况下的处理，相关内容会在算法具体实现中详细讨论。
2、求值过程
一、将原始的中缀表达式中的操作数、操作符以及括号按顺序分解出来，并以字符串的
形式保存。
二、将分解的中缀表达式转换为后缀表达式的形式，即调整各项字符串的顺序，并将括
号处理掉。
三、计算后缀表达式的值。
3、中缀表达式分解
DivideExpressionToItem()函数。分解出原始中缀表达式中的操作数、操作符以及括号，保存在队列中，以本实验中的数据为例，分解完成后队列中的保存顺序如下图所示：
其算法思想是：从左往右按一个字节依次扫描原始中缀表达式m_string，碰到连续的数字或小数点就加到string 变量str 中；如果碰到括号或操作符就将原先的str 推入队列，然后将括号或操作符赋予str，再将str 推入队列，并将str 赋予空值，依次循环进行直到扫描m_string 完成。
4、转化为后缀表达式
ChangeToSuffix()函数。将保存在队列中的中缀表达式转换为后缀表达式，并保存在栈中。这个函数也是整个表达式算法的关键，这里需要两个栈stack_A 和stack_B，分别在转换过程中临时存放后缀表达式的操作数与操作符。依次从中缀表达式队列que 中出列一个元素，并保存在一个string 变量str 中，然后按以下几方面进行处理：
①如果str 是“(”，则将str 推入栈stack_B。
②如果str 是“)”，则要考虑stack_B 的栈顶是不是“(”，是的话就将“(”出栈stack_B；如果不是，则将stack_B 出栈一个元素（操作符），然后将其推入栈stack_A。
③如果str 是“+”或“-”，则要考虑有括号和优先级的情况，如果栈stack_B 为空或者栈顶为“(”，则将str 推入栈stack_B；因为操作符“+”和“-”优先级相同（谁先出现就先处理谁进栈stack_A），并且低于“*”和“/”，所以当栈stack_B 不为空并且栈顶不为“(”，则依次循环取出stack_B 的栈顶元素并依次推入栈stack_A，循环结束后再将str 推入栈stack_B。
④如果str 是“*”或“/”，因为它们的优先级相同并且高于“+”和“-”，所以如果栈stack_B 为空或者栈顶为“+”、“-”或“(”就直接将str 推入栈stack_B；否则就将stack_B 弹出一个元素并将其推入栈stack_A 中，然后再将str 推入栈stack_B 中。
⑤除了上述情况外就只剩下操作数了，操作数就可以直接推入栈stack_A 中。注意整个过程中栈stack_B 中的元素只能是如下几种：“(”、“+”、“-”、“*”、“/”，而最终栈stack_A 保存的是后缀表达式。
只有操作数和操作符，如下图所示：
表达式二叉树
栈底
栈顶
栈示意图
注意到最后返回的是stack_B 而不是stack_A，因为考虑到为了后面的计算方便，所以将其倒序保存在stack_B 中（最后一个while循环）。
5、后缀表达式求值
Calculate()函数。剩下的计算后缀表达式就显得非常简单了，依次将倒序的后缀表达式stack_B 弹出一个元素推入保存结果的double 类型的栈stack 中，如果遇到操作符就从栈stack 中弹出两元素进行该操作符的运算并将其结果推入到栈stack 中，依次循环进行直到栈stack_B 为空，最后栈stack 只有一个元素即为表达式的结果。
八、实验报告要求
实验报告应包括以下几个部分：
1、设计算术表达式树的存储结构；
实验中采用的是二叉树的的链接存储。结点格式如下：
其严格类的定义如下：
template
