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组合数学——组合数问题（四类汇总）组合数问题⼀：给定n解决⽅法：杨辉三⾓ 因为a,b范围⾮常⼩，直接利⽤杨辉三⾓打表即可。
代码实现：#include <cstdio>#include <algorithm>#include <iostream>using namespace std;const int N = 2010, mod = 1e9+7;int s[N][N];void start(){s[0][0]=1;for(int i=1;i<=N-5;i++)for(int j=1;j<=i;j++)s[i][j]=(s[i-1][j]+s[i-1][j-1])%mod;}int main(){start();int n;scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++){int a,b;scanf("%d%d",&a,&b);printf("%d\n",s[a+1][b+1]);}return0;}组合数问题⼆给定n 模板题链接：问题特点：数据组数较多，a,b范围较⼤，且要求对⼀个定值取模。
解决⽅法：乘法逆元 利⽤乘法逆元将a/b mod p转化成a*b-1 mod p。
然后将阶乘与阶乘的逆元分别打表即可。
递推式：① n! = (n-1)! * n② n!-1 = (n-1)!-1 * n p-2②的证明： (n-1)!-1 = (n-1)!p-2 (n-1)!p-2 * n p-2 = n!p-2代码实现：#include <iostream>#include <cstdio>using namespace std;typedef long long ll;const int N = 100000+10, mod = 1e9 + 7;int jc[N],ny[N];int qmi(int a,int k,int p){int res=1%p;while(k){if(k&1)res=(ll)res*a%p;a=(ll)a*a%p;k>>=1;}return res;}void start(){jc[0]=1;ny[0]=1;for(int i=1;i<=N-5;i++){jc[i]=(ll)jc[i-1]*i%mod;ny[i]=(ll)ny[i-1]*qmi(i,mod-2,mod)%mod;}}int main(){start();int n;scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++){int a,b;scanf("%d%d",&a,&b);int ans=(ll)jc[a]*ny[b]%mod*ny[a-b]%mod;printf("%d\n",ans%mod);}return0;}组合数问题三给定 模板题链接：问题特点：数据组数较少，a,b范围很⼤，p的值⾮定值。
C++ 二维四节点四边形等参元刚度矩阵在计算机辅助工程领域，C++语言被广泛应用于有限元分析（FEA）和计算力学等方面。
而在有限元分析中，等参元（Isoparametric Element）是一种常用的元素类型，用于对复杂的结构和材料进行建模和分析。
本文将围绕C++语言下的二维四节点四边形等参元刚度矩阵展开讨论。
1. 了解四节点四边形等参元在开始讨论C++下的四节点四边形等参元刚度矩阵之前，首先应该对四节点四边形等参元有所了解。
四节点四边形等参元是指在二维空间中，以四个节点构成的四边形元素，同时该元素的几何形状和内部分布的自由度均由相同的形函数进行描述的元素。
在有限元分析中，等参元的应用可以大大简化模型建立的复杂度，并提高计算的精度。
2. 实现C++中的四节点四边形等参元在C++语言中，实现四节点四边形等参元需要考虑节点的坐标、材料属性、边界条件等因素，并结合有限元理论中的导出公式进行编码。
通过C++语言的面向对象特性，可以将节点、单元、材料等抽象为对象，以便更好地管理和组织相关数据和函数。
3. 深入分析四节点四边形等参元的刚度矩阵四节点四边形等参元的刚度矩阵是描述该元素对外加载的响应性能，是有限元分析中至关重要的一部分。
通过推导理论公式，并结合C++语言进行具体实现，我们可以得到该元素的刚度矩阵。
在这一过程中，需要考虑矩阵装配的方法、高效的数据结构、数值计算的稳定性等因素。
4. 个人观点和总结通过对C++下的二维四节点四边形等参元刚度矩阵的探讨，我深刻地意识到了有限元分析与计算力学领域的复杂性和重要性。
C++语言作为一种高效、灵活的编程语言，为工程领域的数值计算提供了强大的支持。
对于工程师和研究人员来说，深入理解和掌握有限元分析的原理和实现方法，将有助于提升对复杂结构和材料行为的认识和预测能力。
对于C++语言下的四节点四边形等参元刚度矩阵，需要我们不仅要掌握有限元分析的理论知识，还需要熟练掌握C++语言的编程技巧和工程应用。
