06 几类非紧性测度之间的比较性质_史红波

第22卷第1期大　学　数　学V ol.22,№.1 2006年2月COLLEGE M A TH EM A TICS Feb.2006几类非紧性测度之间的比较性质史红波1,　朱　江2(1.淮阴师范学院数学系,江苏淮安223001;　2.徐州师范大学数学系,江苏徐州221116) [摘　要]首先列举了几类不同意义下的非紧性测度,并对这几种非紧性测度作了比较,得到了两个重要的比较性质.[关键词]非紧性测度;局部凸空间;比较性质[中图分类号]O177.91 [文献标识码]A [文章编号]1672-1454(2006)01-0049-041　引 言非紧性测度是非线性泛函分析理论中一个重要的概念,例如Banach空间中的严格集压缩映像以及凝聚映像是借助Kurato w ski非紧性测度提出的[1-2];著名的Darbo不动点定理及Sado vski不动点定理也是借助Kurato w ski非紧性测度得到的.因而非紧性测度为解决抽象空间微分方程解的存在性问题提供了一个强有力的工具.半个世纪以来,关于这方面的工作主要都集中在Banach空间这一框架下,并且有了许多较为丰富和完备的结果.但是,在更一般的局部凸空间中对这些问题的研究相对较少[3-6],建立的理论也不够完备.例如就非紧性测度在局部凸空间的推广而言,方法很多,不够统一,就各种不同意义的非紧性测度之间的关系,目前没有系统的研究结果.本文第2节简要列举了常见的几类不同意义下的非紧性测度;第3节着重对文献[3]所给出的非紧性测度的性质进行了讨论,得到了两个重要的比较性质,即定理3.1,定理3.2,是新的结果.2　非紧性测度文献[1-2]介绍了Banach空间中有界集上的Kuratow ski非紧性测度.定义2.1　设E是Banach空间,S是E中的有界集,称α(S)=inf{δ>0S可表为有限个集的并:S=∪nS i,使diam(S i)≤δ}(2.1)i=1为S的Kuratow ski非紧性测度,简称为非紧性测度,其中diam(S i)表示S i的直径.显然,0≤α(S) <+∞.文献[5]介绍了Banach空间中有界集在弱拓扑结构下的Deblasi弱非紧性测度.定义2.2　设E是Banach空间,S是E中的有界集,称ω(S)=inf{t>0存在Y∈K w,使得S Y+tB E}(2.2)为S的弱非紧性测度,其中K w表示E中的所有弱紧集组成的集合,B E表示E中的闭单位球.显然,　[收稿日期]2004-11-080≤ω(S )<+∞.文献[4]介绍了局部凸空间中由半范所确定的Kuratow ski 非紧性测度.定义2.3　设X 是局部凸空间,其拓扑由半范族{p α}α∈Γ生成,记作(X ,{p α}α∈Γ),Ψ是X 中的有界集,称μp α(Ψ)=inf d >0Ψ可表为有限个集合的并:Ψ=∪nj =1Ψj ,使diam p α(Ψj )≤d ,j =1,2,…,n(2.3)为Ψ的关于半范p α的Kuratow ski 非紧性测度,简称为非紧性测度.这里diam p α(Ψj )表示由半范p α所确定的Ψj 的直径.显然,0≤μp α(Ψ)<∞.注　关于局部凸空间理论可参见文献[3].在文献[6]中,Reich 给出了局部凸空间中关于有界集的一种非相对紧性测度及其性质.设X 是局部凸空间,F 表示X 的由闭凸原点邻域所构成的原点邻域基,A 是X 中的有界集.定义2.4　称Q (A )={V ∈F 存在X 中的相对紧集K ,使得A K +V }(2.4)为A 关于F 的非相对紧性测度.文献[3]对定义2.4作了修改,给出了下面的非相对紧性测度定义.定义2.5　称Q (A )=V ∈F对任意的ε>0,存在相对紧集K X ,使得A K +(1+ε)V(2.5)为A 关于F 的非相对紧性测度.注　关于上述几类非紧性测度的基本性质可在文后的参考文献中查阅.3　主要结果关于上述几种非紧性测度之间的关系,我们有下面的两个结论.定理3.1　设E 是Banach 空间,S 是E 中的有界集,令B ＊={f ∈E ＊:‖f ‖≤12},其中E ＊是E的对偶空间,则(i )μ f (S )≤w (S );(ii )w (S )≤α(S ),(3.1)其中μ f (S )表示由半范 f 确定的S 的非紧性测度.证　(i )首先,E 上的弱拓扑可以由B ＊确定.设 t >0, Y ∈K w ,使得S Y +tB E ,则S Y +t∩f ∈B ＊ {θ}{x ∈E : f (x ) ≤‖f ‖}.记A =∩f ∈B ＊ {θ}{x ∈E : f (x ) ≤‖f ‖},则μ f (S )≤μ f (Y )+t μ f (A )≤2t ‖f ‖≤t ,从而μ f (S )≤w (S ).(ii )对 ε>0,取S 的一个分解S =∪ni =1S i ,使得diam (S i )<α(S )+ε,　i =1,2,…,n .令t =α(S )+ε,取x i ∈S i ,i =1,2,…,n ,则S i x i +(S i -x i ) x i +tB E ,　i =1,2,…,n .故50大　学　数　学 第22卷w (S )=w (∪ni =1S i )≤w (∪ni =1(x i +tB E ))≤t =α(S )+ε.再由ε的任意性,得w (S )≤α(S ).定理3.2　设S 是局部凸空间(X ,(p α)α∈Γ)中的有界集.令Q α(S )=V ∈F存在x i ∈S ,i =1,2,…,m ,及ε>0,使得S ∪mi =1(x i +V ),且diam p α(V )<μp α(S )+ε,(3.2)则对任意的α∈Γ,有(i )Q α(S ) Q (S ),∪α∈ΓQ α(S ) Q (S );(ii )inf V ∈Q (S )sup y ∈V p α(y )≤μp α(S )≤inf V ∈Q (S )diam p α(V )≤2inf V ∈Q (S )sup y ∈V p α(y ).(3.3)证　(i )的结论是显然的.下证(ii ).对任给α∈Γ,及 ε>0,存在S 的一个分解S =∪ni =1S i ,使得diam p α(S i )<μp α(S )+ε,　i =1,2,…,n .令V ={y ∈X :p α(y )<μp α(S )+ε}.取x i ∈S i ,i =1,2,…,n ,则对 y ∈S i ,有p α(y -x i )≤diam p α(S i )<μp α(S )+ε,故y -x i ∈V ,即y ∈x i +V ,从而S i x i +V ,进一步有,S ∪ni =1(x i +V ).于是,V ∈Q (S ),且sup y ∈Vp α(y )≤μp α(S )+ε.从而inf V ∈Q (S )sup y ∈Vp α(y )≤μp α(S ).对 V ∈Q (S ),存在x i ∈X ,i =1,2,…,m ,使得S ∪mi =1(x i +V ),则S =∪mi =1((x i +V )∩S ),且diam p α((x i +V )∩S )≤diam p α(x i +V )=diam p α(V ),则μp α(S )≤inf V ∈Q (S )diam p α(V ),显然,inf V ∈Q (S )diam p α(V )≤2inf V ∈Q (S )sup y ∈Vp α(y ).[参　考　文　献][1]　郭大钧.非线性泛函分析(第二版)[M ].济南:山东科学技术出版社,2001.[2]　郭大钧.非线性分析中的半序方法[M ].济南:山东科学技术出版社,2000.[3]　T o shio Y uasa .Differential equatio ns in a lo cally co nve x space v ia the measure o f nonprecompactness [J ].J .M a th .A na l .Appl .,1981,84:534-554.[4]　Jacek P olewczak .Or dinar y differential equatio ns on closed subsets of locally co nv ex space with applications to fixedpoint theo rems [J ].J .M ath .A nal .A ppl .,1990,151:208-225.[5]　D onal O Regan and M aria M eehan .Existence theor y for nonlinear integ ral and integ rodiffer ential equations [M ].Ho lla nd :K luw er A cademic P ublisher s ,1998.[6]　Reich S .F ix ed points in locally convex spaces [J ].M ath .Z .1972,125:17-31.51第1期 史红波,等:几类非紧性测度之间的比较性质52大　学　数　学 第22卷The Comparison Properties among Some DifferentMeasures of NoncompactnessS H I Hong-bo1,　Z H U J iang2(1.Depa rtment o f M athematics,H uaiyin Teacher's Co llege,Huaian223001,China;2.Depa rtment o f M athematics,Xuzho u No rmal U niver sity,Xuzhou221116,China)A bstract:Some different definitions o f mea sure of noncompactness a re listed;then w e get tw o compariso n pro per ties among these diffe rent mea sures of noncompactness which are new results.Key words:mea sure o f no ncom pactne ss;locally co nv ex spaces;compariso n pro pe rty。