5.2.1平面向量加法1

平面向量的加法和减法在数学学科中，平面向量是一个非常重要的概念。

它不仅在几何学中有广泛的应用，而且在物理学、工程学等领域也扮演着重要的角色。

平面向量的加法和减法是其中最基本的运算，本文将对这两个运算进行详细的解析和说明。

一、平面向量的加法平面向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。

在平面直角坐标系中，向量可以用有序数对表示，即(x, y)。

假设有两个向量a和b，它们的坐标分别为(a₁, a₂)和(b₁, b₂)，则它们的和向量c的坐标为(a₁+b₁, a₂+b₂)。

例如，有向量a(2, 3)和向量b(4, -1)，它们的和向量c的坐标为(2+4, 3+(-1))，即c(6, 2)。

这意味着向量a和向量b的和向量c的起点与a的起点相同，终点与b的终点相同。

通过向量的加法，我们可以得到两个向量的合力向量。

合力向量的起点与第一个向量的起点相同，终点与第二个向量的终点相同。

这在物理学中有着重要的应用，例如计算物体在斜面上的合力。

二、平面向量的减法平面向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。

在平面直角坐标系中，向量的减法可以通过向量的加法和取负得到。

假设有两个向量a和b，它们的坐标分别为(a₁, a₂)和(b₁, b₂)，则它们的差向量d可以表示为d = a - b = a+ (-b)，其中(-b)表示向量b的负向量，即(-b) = (-b₁, -b₂)。

例如，有向量a(2, 3)和向量b(4, -1)，它们的差向量d可以表示为d = a - b = (2, 3) + (-4, 1) = (-2, 4)。

这意味着向量d的起点与a的起点相同，终点与b的终点相同。

通过向量的减法，我们可以计算两个向量之间的距离和方向。

例如，若向量a表示一个物体的位移，向量b表示一个参考点的位置，那么向量d就表示物体相对于参考点的位移。

三、应用举例1. 平面向量的加法应用举例假设有一个飞机从A地飞往B地，然后从B地飞往C地。

人教版初三数学平面向量与向量运算平面向量是数学中的重要概念，对于初中数学的学习来说，平面向量与向量运算是其中的关键内容。

本文将详细介绍人教版初三数学中关于平面向量与向量运算的知识点。

1. 平面向量的定义与表示方法平面向量是有大小和方向的量，可以用有向线段表示。

在坐标系中，平面向量a可以表示为(a, a)，其中a和a分别表示向量在a轴和a轴上的分量。

平面向量的起点是坐标原点，终点由分量确定。

2. 平面向量的运算2.1 向量的加法向量的加法定义为，对于向量a(a₁, a₁)和向量a(a₂, a₂)，它们的和可以表示为(a₁ + a₂, a₁ + a₂)。

具体而言就是将两个向量的分量进行相加即可。

2.2 向量的数乘向量的数乘定义为，对于向量a(a, a)和实数a，它的数乘可以表示为(aa, aa)。

即将向量的分量乘以实数即可。

3. 平面向量的表示方法3.1 分点表示法平面向量的终点a可以由起点a加上平面向量的表示得到。

例如，向量a的起点是a，终点是a，则a=aa。

3.2 坐标表示法在坐标系中，平面向量的起点是原点，终点由分量确定。

根据平面向量的定义，向量a(a, a)的起点是原点，终点是(a, a)。

4. 平面向量的运算性质4.1 交换律向量的加法满足交换律，即a + a = a + a。

这意味着向量的加法不依赖于顺序。

4.2 结合律向量的加法满足结合律，即(a + a) + a = a + (a + a)。

这意味着向量的加法不依赖于加法的分组方式。

4.3 数乘结合律向量的数乘满足结合律，即a(a + a) = aa + aa。

这意味着数乘与向量加法可以互相结合。

5. 平面向量的模与方向角5.1 平面向量的模平面向量的模表示了向量的大小，可以通过勾股定理计算得到。

对于平面向量a(a, a)，它的模表示为|a| = √(a² + a²)。

5.2 平面向量的方向角平面向量的方向角表示了向量与正a轴的夹角。

平面向量的加法与减法运算在平面向量的运算中，加法与减法是最基本的运算法则。

平面向量加法与减法的定义及运算规则如下：一、平面向量的定义在平面上，向量是由大小和方向确定的箭头表示，具有大小和方向的量。

平面向量用字母加箭头表示，如AB→，表示从点A指向点B的向量。

二、平面向量的加法运算1. 定义：对于两个平面向量AB→和CD→，可以将CD→放置在平面上的A点，使得它们有相同的起点，然后从A点指向D点，得到一个新的向量AD→。

AD→就是AB→与CD→的和，表示为AB→+CD→。

2. 运算规则：a) 加法的交换律：AB→ + CD→ = CD→ + AB→b) 加法的结合律：(AB→ + CD→) + EF→ = AB→ + (CD→ + EF→)c) 零向量的定义：零向量是指大小为0的向量，用0→表示，对于任意向量AB→，有AB→ + 0→ = AB→d) 反向向量的定义：对于任意向量AB→，存在一个与之方向相反但大小相等的向量，称为其反向向量，用-AB→表示，有AB→ + (-AB→) = 0→三、平面向量的减法运算1. 定义：对于两个平面向量AB→和CD→，可以将CD→取反，然后按照向量加法的规则，得到AB→ + (-CD→)，表示为AB→ - CD→。

2. 减法的运算规则：a) 减法的定义：AB→ - CD→ = AB→ + (-CD→)b) 减法的性质：AB→ - CD→ ≠ CD→ - AB→，减法不满足交换律。

四、示例分析1. 平面向量加法示例：设有向量AB→ = 3i + 4j和向量CD→ = -2i + 5j，其中i和j是单位向量。

AB→ + CD→ = (3i + 4j) + (-2i + 5j) = (3 - 2)i + (4 + 5)j = i + 9j2. 平面向量减法示例：设有向量AB→ = 3i + 4j和向量CD→ = -2i + 5j，其中i和j是单位向量。

AB→ - CD→ = (3i + 4j) - (-2i + 5j) = (3 + 2)i + (4 - 5)j = 5i - j五、平面向量的运算性质1. 平面向量加法满足交换律和结合律，即满足整个群论的要求。

注意：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a r 与b r 不共线时，a r +b r 的方向不同向，且|a r +b r |<|a r |+|b r |;（3）当a r 与b r 同向时，则a r +b r 、a r 、b r 同向，且|a r +b r |=|a r |+|b r |；当a r 与b r 反向时，若|a r |>|b r |,则a r +b r 的方向与a r 相同，且|a r +b r |=|a r |-|b r |，若|a r |<|b r |,则a r +b r 的方向与b r 相同，且|a r +b r |=|b r |-|a r |.2、向量加法的交换律：a r +b r =b r +a r3．向量加法的结合律：(a r +b r ) +c r =a r + (b r +c r )证：知识点二 向量的减法1．用“相反向量”定义向量的减法：“相反向量”的定义： 记作 规定：零向量的相反向量仍是零向量-(-a r ) = a r任一向量与它的相反向量的和是零向量a r + (-a r ) =0r如果a r 、b r 互为相反向量，则a r = -b r , b r = -a r , a r + b r = 0r向量减法的定义：向量a r 加上的b r 相反向量，叫做a r 与b r 的差，即：a r - b r = a r + (-b r )2．用加法的逆运算定义向量的减法：3．求作差向量：已知向量a r 、b r ，求作向量∵(a r -b r ) + b r = a r + (-b r ) + b r = a r +0r = a r减法的三角形法则作法：在平面内取一点O ， 作OA u u u r = a r , OB uuu r = b r , 则BA u u u r = a r - b r即a r - b r 可以表示为从向量b r 的终点指向向量a r 的终点向量知识点三 向量的数乘运算 1、定义：实数λ与向量a ρ的积是一个 ，这种运算叫做向量的数乘，记作： ，其长度与方向规定如下：（1）|λa ρ|=|λ||a ρ| （2）λ>0时λa ρ与a ρ方向相同；λ<0时λa ρ与a ρ方向相反；λ=0时λa ρ=02、运算定律 结合律：λ(μa ρ)=第一分配律：(λ+μ)a ρ= 第二分配律：λ(a ρ+b ρ)=3、向量共线定理。

平面向量的加减运算平面向量是数学中的重要概念，它在几何学和物理学等领域中有着广泛的应用。

本文将介绍平面向量的加减运算，以及相关的性质和应用。

一、平面向量的表示方法平面向量的表示方法有多种，如AB、(AB)、A B⃗等。

其中，AB 表示由点A指向点B的有向线段，(AB)表示线段的名字，A B⃗表示向量的名字。

在本文中，我们将使用A B⃗来表示平面向量。

二、平面向量的加法平面向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。

假设有向量A B⃗和向量C D⃗，它们的加法运算可以表示为A B⃗+C D⃗=E F⃗。

其中，E F⃗是向量A B⃗和向量C D⃗的和向量。

平面向量的加法运算有以下几个性质：1. 交换律：A B⃗+C D⃗=C D⃗+A B⃗，即向量的加法满足顺序交换的性质。

2. 结合律：(A B⃗+C D⃗)+E F⃗=A B⃗+(C D⃗+E F⃗)，即向量的加法满足结合的性质。

3. 对于向量A B⃗，存在一个特殊向量0⃗，使得A B⃗+0⃗=A B⃗。

其中，0⃗表示零向量，它的长度为0且方向任意。

三、平面向量的减法平面向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。

假设有向量A B⃗和向量C D⃗，它们的减法运算可以表示为A B⃗-C D⃗=G H⃗。

其中，G H⃗是向量A B⃗减去向量C D⃗的差向量。

平面向量的减法运算可以通过加法运算来实现：A B⃗-C D⃗=A B⃗+(-C D⃗)，其中，-C D⃗表示向量C D⃗的相反向量，它的长度与方向与向量C D⃗相同，但方向相反。

平面向量的减法运算有以下几个性质：1. 减法的定义：A B⃗-C D⃗=A B⃗+(-C D⃗)。

2. A B⃗-A B⃗=0⃗，即一个向量减去它本身得到零向量。

四、平面向量的加减运算的应用平面向量的加减运算在几何学和物理学等领域有着广泛的应用。

以下是一些典型的应用案例：1. 平移变换：可以通过向量的加法实现平面上的点的平移变换。

平面向量的加减运算平面向量是表示平面上的有向线段的数学工具，常用于描述位移、速度、力等物理量。

在平面向量的运算中，加法和减法是最基本的操作。

1. 加法运算平面向量的加法运算是指将两个向量相加得到一个新的向量的操作。

设有向量A(A₁, A₂)和向量A(A₁, A₂)，则它们的和为向量A(A₁,A₂)，即：A = A + A = (A₁ + A₁, A₂ + A₂)2. 减法运算平面向量的减法运算是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量的操作。

设有向量A(A₁, A₂)和向量A(A₁, A₂)，则它们的差为向量A(A₁, A₂)，即：A = A - A = (A₁ - A₁, A₂ - A₂)在进行平面向量的加减运算时，我们可以利用向量的坐标表示进行计算。

具体操作如下：1. 给出需要进行加减运算的向量A和向量A的坐标表示。

2. 将两个向量的对应坐标进行相加（或相减），得到新的坐标。

3. 根据得到的新坐标，构造新的向量A（加法运算）或向量A（减法运算）。

4. 最后，将新的向量A（加法运算）或向量A（减法运算）的坐标表示写出，即完成了平面向量的加减运算。

补充说明：1. 在计算过程中，要注意坐标的顺序，确保符号对应正确。

2. 加法运算和减法运算可以通过相互转化来进行，即：A + A = A - ( - A)3. 若有多个向量进行加减运算，可以采用逐步进行的方法，先进行第一对向量的运算，然后将得到的结果与下一个向量进行运算，依次类推。

4. 在实际问题中，应用到向量加减运算时，可以结合图像进行解释和计算，更直观地理解向量的运算规律。

通过以上步骤，我们可以完成平面向量的加减运算。

在实际应用中，平面向量的加减运算常常用于解决平面几何和物理学中的问题，如位移、速度、力的合成分解等。

总结：平面向量的加减运算是指将两个向量相加或相减得到一个新的向量。

通过计算向量的各个坐标，然后进行相应的加减操作，我们可以得到最终的结果。