三角函数线的解题功能(教师版)

【考点预测】知识点一：三角函数基本概念1．角的概念(1)任意角：①高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇专题17三角函数概念与诱导公式定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是{}Z k k S ∈+︒⋅==，αββ360．(3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．(4)象限角的集合表示方法：2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．(2)角度制和弧度制的互化：rad 180π=︒,rad 1801π=︒,π︒=180rad 1．(3)扇形的弧长公式：r l ⋅=α，扇形的面积公式：22121r lr S ⋅==α．3．任意角的三角函数(1)定义：任意角α的终边与单位圆交于点)(y x P ，时，则y =αsin ，x =αcos ，)0(tan ≠=x xyα．(2)推广：三角函数坐标法定义中，若取点P )(y x P ，是角α终边上异于顶点的任一点，设点P 到原点O 的距离为r ，则r y =αsin ，r x =αcos ，)0(tan ≠=x xyα三角函数的性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号αsin R ＋＋－－αcos R＋－－＋αtan }2|{Z k k ∈+≠，ππαα＋－＋－记忆口诀:三角函数值在各象限的符号规律:一全正、二正弦、三正切、四余弦．4．三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T ．三角函数线有向线段MP 为正弦线；有向线段OM 为余弦线；有向线段AT 为正切线知识点二：同角三角函数基本关系1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：1cos sin 22=+αα．(2)商数关系：)2(tan cos sin ππααααk +≠=；知识点三：三角函数诱导公式公式一二三四五六角)(2Z k k ∈+απαπ+α-απ-απ-2απ+2正弦αsin αsin -αsin -αsin αcos αcos 余弦αcos αcos -αcos αcos -αsin αsin -正切αtan αtan αtan -αtan -口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作2n πα⋅±；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断2n πα⋅±所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当n 为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当n 为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可．【方法技巧与总结】1．利用1cos sin 22=+αα可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用αααtan cos sin =可以实现角α的弦切互化．2．“ααααααcos sin cos sin cos sin -+，，”方程思想知一求二．222(sin cos )sin cos 2sin cos 1sin 2ααααααα+=++=+222(sin cos )sin cos 2sin cos 1sin 2ααααααα-=+-=-22(sin cos )(sin cos )2αααα++-=【题型归纳目录】题型一：终边相同的角的集合的表示与区别题型二：等分角的象限问题题型三：弧长与扇形面积公式的计算题型四：三角函数定义题题型五：象限符号与坐标轴角的三角函数值题型六：同角求值—条件中出现的角和结论中出现的角是相同的题型七：诱导求值与变形【典例例题】题型一：终边相同的角的集合的表示与区别例1．（2022·全国·高三专题练习）与角94π的终边相同的角的表达式中，正确的是（）A ．245k π+ ，k Z ∈B ．93604k π⋅+，k Z ∈C ．360315k ⋅- ，k Z ∈D ．54k ππ+，k Z ∈【答案】C 【解析】【分析】要写出与94π的终边相同的角，只要在该角上加2π的整数倍即可．【详解】首先角度制与弧度制不能混用，所以选项AB 错误；又与94π的终边相同的角可以写成92()4k k Z ππ+∈，所以C 正确．故选：C ．例2．（2022·全国·高三专题练习）若角α的终边在直线y x =-上，则角α的取值集合为（）A ．2,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z B ．32,4k k πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z C ．3,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z D ．,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z 【答案】D 【解析】【分析】根据若,αβ终边相同，则2,k k Z βπα=+∈求解.【详解】解：，由图知，角α的取值集合为:()32,2,4421,2,44,4k k Z k k Z k k Z k k Z k k Z ππααπααπππααπααππααπ⎧⎫⎧⎫=+∈⋃=-∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎧⎫⎧⎫==+-∈⋃=-∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭故选：D.【点睛】本题主要考查终边相同的角，还考查了集合的运算能力，属于基础题.例3．（2022·上海市嘉定区第二中学高一阶段练习）设集合{}{}|45180,|135180,A k k Z k k Z αααα==︒+⋅︒∈⋃=︒+⋅︒∈，集合{}|4590,B k k Z ββ==︒+⋅︒∈，则（）A ．AB =∅ B ．A BC ．B AD ．A B=【答案】D 【解析】【分析】考虑A 中角的终边的位置，再考虑B 中角的终边的位置，从而可得两个集合的关系.【详解】.45180,k k Z α=︒+⋅︒∈表示终边在直线y x =上的角，135180,k k Z α=︒+⋅︒∈表示终边在直线y x =-上的角，而4590,k k Z β=︒+⋅︒∈表示终边在四条射线上的角，四条射线分别是射线,0;,0;,0;,0y x x y x x y x x y x x =≥=-≤=≤=-≥，它们构成直线y x =、直线y x =-，故A B =.故选：D.【点睛】本题考查终边相同的角，注意180k α⋅︒+的终边与α的终边的关系是重合或互为反向延长线，而90k α⋅︒+的终边与α的终边的关系是重合或互为反向延长线或相互垂直，本题属于中档题.（多选题）例4．（2022·全国·高三专题练习）如果角α与角45γ+︒的终边相同，角β与45γ-︒的终边相同，那么αβ-的可能值为（）A ．90︒B ．360︒C ．450︒D ．2330︒【答案】AC 【解析】根据终边相同可得角与角之间的关系，从而可得αβ-的代数形式，故可得正确的选项.【详解】因为角α与角45γ+︒的终边相同，故45360k γα ，其中k Z ∈，同理145360k βγ=-︒+⋅︒，其中1k Z ∈，故90360n αβ-=︒+⋅︒，其中n Z ∈，当0n =或1n =时，90αβ-=︒或450αβ-=︒，故AC 正确，令36090360n ︒=︒+⋅︒，此方程无整数解n ；令903060233n =︒+⋅︒︒即569n =，此方程无整数解n ；故BD 错误.故选：AC.（多选题）例5．（2022·全国·高三专题练习）下列条件中，能使α和β的终边关于y 轴对称的是（）A ．90αβ+=︒B ．180αβ+=︒C ．()36090k k αβ+=⋅︒+︒∈ZD ．()()21180k k αβ+=+⋅︒∈Z 【答案】BD 【解析】【分析】根据α和β的终边关于y 轴对称时()180360k k αβ+=︒+︒∈Z ，逐一判断正误即可.【详解】根据α和β的终边关于y 轴对称时()180360k k αβ+=︒+︒∈Z 可知，选项B 中，180αβ+=︒符合题意；选项D 中，()()21180k k αβ+=+⋅︒∈Z 符合题意；选项AC 中，可取0,90αβ=︒=︒时显然可见α和β的终边不关于y 轴对称.故选：BD.例6．（2022·全国·高三专题练习）写出两个与113π-终边相同的角___________．【答案】3π，53π-(其他正确答案也可)【解析】【分析】利用终边相同的角的定义求解.【详解】设α是与113π-终边相同的角，则112,3k k Z παπ=-∈，令1k =，得53πα=-，令2k =，得3πα=，故答案为：3π，53π-(其他正确答案也可)【方法技巧与总结】（1）终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方法解决．（2）注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标轴角．题型二：等分角的象限问题例7．（2022·浙江·高三专题练习）若18045,k k Z α=⋅+∈ ，则α的终边在（）A ．第一、三象限B ．第一、二象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限【答案】A 【解析】【分析】分21,k n n Z =+∈和2,k n n =∈Z 讨论可得角的终边所在的象限.【详解】解：因为18045,k k Z α=⋅+∈ ，所以当21,k n n Z =+∈时，218018045360225,n n n Z α=⋅++=⋅+∈ ，其终边在第三象限；当2,k n n =∈Z 时，21804536045,n n n Z α=⋅+=⋅+∈ ，其终边在第一象限.综上，α的终边在第一、三象限.故选：A.例8．（2022·全国·高三专题练习（理））角α的终边属于第一象限，那么3α的终边不可能属于的象限是（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】【分析】由题意知，222k k ππαπ<<+，k Z ∈，即可得3α的范围，讨论3k n =、31k n =+、32k n =+()n Z ∈对应3α的终边位置即可.【详解】∵角α的终边在第一象限，∴222k k ππαπ<<+，k Z ∈，则223363k k παππ<<+，k Z ∈，当3()k n n Z =∈时，此时3α的终边落在第一象限，当31()k n n Z =+∈时，此时3α的终边落在第二象限，当32()k n n Z =+∈时，此时3α的终边落在第三象限，综上，角α的终边不可能落在第四象限，故选：D.例9．（2022·全国·高三专题练习）θ是第二象限角，则下列选项中一定为负值的是（）A ．sin2θB ．cos2θC ．sin 2θD ．cos 2θ【答案】C 【解析】表示出第二象限角的范围，求出2θ和2θ所在象限，确定函数值的符号．【详解】因为θ是第二象限角，所以22,2k k k Z ππθππ+<<+∈，则4242,k k k Z ππθππ+<<+∈，所以2θ为第三或第四象限角或终边在y 轴负半轴上，，所以sin 2θ<0.而,422k k k Z πθπππ+<<+∈，2θ是第一象限或第三象限角，正弦余弦值不一定是负数．故选：C ．例10．（2022·全国·高三专题练习）已知角α第二象限角，且cos cos22αα=-，则角2α是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】C 【解析】【分析】由α是第二象限角，知2α在第一象限或在第三象限，再由coscos22αα=-，知cos02α≤，由此能判断出2α所在象限．【详解】因为角α第二象限角,所以()90360180360Z k k k α+⋅<<+⋅∈，所以()4518090180Z 2k k k α+⋅<<+⋅∈，当k 是偶数时，设()2Z k n n =∈，则()4536090360Z 2n n n α+⋅<<+⋅∈，此时2α为第一象限角；当k 是奇数时，设()21Z k n n =+∈，则()225360270360Z 2n n n α+⋅<<+⋅∈，此时2α为第三象限角.；综上所述：2α为第一象限角或第三象限角，因为coscos22αα=-，所以cos02α≤，所以2α为第三象限角．故选：C ．【方法技巧与总结】先从α的范围出发，利用不等式性质，具体有：（1）双向等差数列法；（2）nα的象限分布图示．题型三：弧长与扇形面积公式的计算例11．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB 及其所对弦AB 围成的图形．若弧田的弦AB 长是2，弧所在圆心角的弧度数也是2，则弧田的弧AB 长为_______，弧田的面积为_________．【答案】2sin1;211sin 1tan1-.【解析】【分析】（1）利用弧长公式解决，那么需要算出半径和圆心角；（2）用扇形的面积减去三角形的面积即可.【详解】由题意可知：111,,sin1sin1tan1tan1======AC BC BC AC AO OC ，所以弧AB 长122sin1sin1=⨯=，弧田的面积22111111222sin12tan1sin 1tan1⎛⎫=-=⨯⨯-⨯⨯=- ⎪⎝⎭扇形AOB AOB S S ，故答案为：2sin1；211sin 1tan1-.例12．（2022·全国·高考真题（理））沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图， AB 是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在 AB 上，CD AB ⊥．“会圆术”给出 AB 的弧长的近似值s 的计算公式：2CDs AB OA=+．当2,60OA AOB =∠=︒时，s =（）A B C D 【答案】B 【解析】【分析】连接OC ，分别求出,,AB OC CD ，再根据题中公式即可得出答案.【详解】解：如图，连接OC ，因为C 是AB 的中点，所以OC AB ⊥，又CD AB ⊥，所以,,O C D 三点共线，即2OD OA OB ===，又60AOB ∠=︒，所以2AB OA OB ===，则OC =2CD =所以()22222CD s AB OA =+=+=故选：B.例13．（2022·全国·高三专题练习）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.按如下方法剪裁，扇面形状较为美观.从半径为r 的圆面中剪下扇形OAB ，使剪下扇形OAB，再从扇形OAB 中剪下扇环形ABDC 制作扇面，使扇环形ABDC 的面积与扇形OAB.则一个按上述方法制作的扇环形装饰品（如图）的面积与圆面积的比值为（）ABCD2-【答案】D 【解析】【分析】记扇形OAB 的圆心角为α，扇形OAB 的面积为1S ，扇环形ABDC 的面积为2S ，圆的面积为S ，根据扇形面积公式，弧长公式，以及题中条件，即可计算出结果.【详解】记扇形OAB 的圆心角为α，扇形OAB 的面积为1S ，扇环形ABDC 的面积为2S ，圆的面积为S ，由题意可得，2112S r α=，21S S =2S r π=，所以()122124S Srαππ==，因为剪下扇形OAB ，所以22r r r παπ-=(3απ=，所以()()()2113244S S απππ====.故选：D.例14．（2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）“圆材埋壁”是我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”的模型，其截面如图所示，若圆柱形材料的底面半径为1，截面圆圆心为O ，墙壁截面ABCD 为矩形，且1AD =，则扇形OAD 的面积是__________.【答案】6π##16π【解析】【分析】计算AOD ∠，再利用扇形的面积公式求解.【详解】由题意可知，圆O 的半径为1，即1OA OD ==，又1AD =，所以OAD △为正三角形，∴3AOD π∠=，所以扇形OAD 的面积是221112236S r AOD ππ=⨯⨯∠=⨯⨯=.故答案为：6π例15．（2022·全国·模拟预测）炎炎夏日，在古代人们乘凉时习惯用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图，扇形纸叠扇完全展开后，扇形ABC 的面积S 为22225cm π，若2BD DA =，则当该纸叠扇的周长C 最小时，BD 的长度为___________cm .【答案】10π【解析】【分析】设扇形ABC 的半径为r cm ，弧长为l cm ，根据扇形ABC 的面积S 为22225cm π，由212252rl π=得到rl ，然后由纸叠扇的周长2C r l =+，利用基本不等式求解.【详解】解：设扇形ABC 的半径为r cm ，弧长为l cm ，则扇形面积12S rl =.由题意得212252rl π=，所以2450rl π=.所以纸叠扇的周长260C r l π=+≥==，当且仅当22,450,r l rl π=⎧⎨=⎩即15r π=，30l π=时，等号成立，所以()15BD DA cm π+=.又2BD DA =，所以()1152BD BD cm π+=，所以()3152BD cm π=，故()10BD cm π=.故答案为：10π例16．（2022·全国·高三专题练习）已知扇形的周长为4cm ，当它的半径为________cm 和圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________cm 2.【答案】121【解析】【详解】24l r +=，则()21142222S lr r r r r ==-=-+，则1,2r l ==时，面积最大为1，此时圆心角2lrα ，所以答案为1；2；1.【方法技巧与总结】（1）熟记弧长公式：l ＝|α|r ，扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2（弧度制(0,2]απ∈）（2）掌握简单三角形，特别是直角三角形的解法题型四：三角函数定义题例17．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）已知角θ的终边过点()1,1A -，则sin()6πθ-=（）ABCD【答案】D 【解析】【分析】由任意三角形的定义求出sin ,cos θθ，由两角差的正弦公式代入即可求出sin()6πθ-.【详解】因为角θ的终边过点()1,1A -，由任意三角形的定义知：sin θθ==sin()sin cos cos sin 666πππθθθ-=-=故选：D.例18．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知角α的终边经过点(-，则()tan sin 232πααπ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭（）A ．32B ．34-C．D【答案】D 【解析】【分析】利用三角函数的定义、诱导公式、二倍角公式以及弦化切可求得所求代数式的值.【详解】依题意，由三角函数的定义可知tan α=()22sin cos 2sin cos 2tan sin 23sin 22sin sin cos cos 2παπαααααπαπαααα⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭++-=-=-- ⎪+⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭22212sin cos 2tan tan sin cos tan 1ααααααα=--===++故选：D.例19．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知角α的始边与x 轴非负半轴重合，终边上一点()sin 3,cos3P ，若02απ≤≤，则α=（）A ．3B ．32π-C ．532π-D ．32π-【答案】C【分析】根据三角函数的定义求出tan α，结合诱导公式即可得解，注意角所在的象限.【详解】解：因为角α的终边上一点()sin 3,cos3P ，所以cos31tan 0sin 3tan 3α==<，又cos 30,sin 30<>，所以α为第四象限角，所以23,Z 2k k παπ=+-∈，又因02απ≤≤，所以532πα=-.故选：C.例20．（2022·北京·二模）已知角α的终边经过点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin 2α=（）A ．2425-B ．725-C ．725D ．2425【答案】A 【解析】【分析】根据终边上的点确定角的正余弦值，再由二倍角正弦公式求sin 2α.【详解】由题设43sin ,cos 55αα==-，而4324sin 22sin cos 2()5525ααα==⨯⨯-=-.故选：A【方法技巧与总结】（1）任意角的正弦、余弦、正切的定义；题型五：象限符号与坐标轴角的三角函数值例21．（2022·全国·高三专题练习）如果cos 0θ<，且tan 0θ<，则sin cos cos θθθ-+的化简为_____.【答案】sin θ【解析】【分析】由cos 0θ<，且tan 0θ<，得到θ是第二象限角，由此能化简sin cos cos θθθ-+．解：∵cos 0θ<，且tan 0θ<，∴θ是第二象限角，∴sin cos cos sin cos cos sin θθθθθθθ-+=-+=．故答案为：sin θ．例22．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）若角α满足sin cos 0αα⋅<，cos sin 0αα-<，则α在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】【分析】根据sin cos 0αα⋅<可知α是第二或第四象限角；根据第二或第四象限角正余弦的符号可确定结果.【详解】sin cos 0αα⋅< ，α 是第二或第四象限角；当α是第二象限角时，cos 0α<，sin 0α>，满足cos sin 0αα-<；当α是第四象限角时，cos 0α>，sin 0α<，则cos sin 0αα->，不合题意；综上所述：α是第二象限角.故选：B.例23．（2022·浙江·模拟预测）已知R θ∈，则“cos 0θ>”是“角θ为第一或第四象限角”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要【答案】B 【解析】【分析】利用定义法进行判断.【详解】充分性：当cos 0θ>时，不妨取cos 1,0θθ==时轴线角不成立.故充分性不满足；必要性：角θ为第一或第四象限角，则cos 0θ>，显然成立.故选：B.例24．（2022·重庆·高三开学考试）若tan 0θ>，则下列三角函数值为正值的是（）A ．sin θB ．cos θC ．sin 2θD ．cos 2θ【答案】C 【解析】【分析】结合诱导公式、二倍角公式判断出正确选项.【详解】sin tan 0sin cos 0sin 22sin cos 0cos θθθθθθθθ=>⇒⋅>⇒=>，所以C 选项正确.当5π4θ=时，5ππtan 0,sin 0,cos 0,cos 2coscos 022θθθθ><<===，所以ABD 选项错误.故选：C例25．（2022·全国·高三专题练习（理））我们知道，在直角坐标系中，角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角．已知点()cos ,tan P αα在第三象限，则角α的终边在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】【分析】本题首先可以根据题意得出cos 0α<、tan 0α<，然后得出sin 0α>，即可得出结果.【详解】因为点()cos ,tan P αα在第三象限，所以cos 0α<，tan 0α<，则sin 0α>，角α的终边在第二象限，故选：B.例26．（2022·全国·高三专题练习（理））已知sin 0,cos 0αα><，则（）A ．sin 20α>B ．cos20α<C ．tan02α>D ．sin2α<【答案】C 【解析】【分析】由条件得到角α所在的象限，从而得到2α所在的象限，这样就可以得到答案.【详解】由sin 0,cos 0αα><知，α为第二象限角，所以2α为第一或第三象限角，所以tan02α>．故选：C.例27．（2022·江西南昌·三模（文））若角α的终边不在坐标轴上，且sin 2cos 2αα+=，则tan α=()A ．43B ．34C ．23D ．32【答案】A 【解析】【分析】结合易知条件和同角三角函数的平方关系即可求出cos α，从而求出sin α，根据sin tan cos ααα=即可求得结果．【详解】22sin cos 13cos 5sin 2cos 2ααααα⎧+=⇒=⎨+=⎩或cos 1α=，∵α的终边不在坐标轴上，∴3cos 5α=，∴34sin 2255α=-⨯=，∴sin 4tan cos 3ααα==．故选：A ．例28．（2022·全国·高三专题练习（理））若α是第二象限角，则下列不等式正确的是（）A ．()cos 0α->B ．tan02α>C ．sin 20α>D ．()sin 0α->【答案】B 【解析】【分析】根据α是第二象限角，分别求出四个选项中角所在的象限，再判断三角函数的符号，即可求解.【详解】对于A ：因为()π2ππ2πZ 2k k k α+<<+∈，所以()ππ2π2πZ 2k k k α--<-<--∈，所以α-是第三象限角，所以()cos 0α-<，故选项A 不正确；对于B ：因为()π2ππ2πZ 2k k k α+<<+∈，所以()ππππZ 422k k k α+<<+∈，当()2Z k n n =∈时，()ππ2π2πZ 422n n n α+<<+∈，此时2α是第一象限角，当()21Z k n n =+∈时，()5π3π2π2πZ 422n n n α+<<+∈，此时2α是第三象限角，所以2α是第一或第三象限角，所以tan02α>，故选项B 正确；对于C ：因为()π2ππ2πZ 2k k k α+<<+∈，所以()π4π22π4πZ k k k α+<<+∈，所以2α是第三或第四象限角或终边落在y 轴非正半轴，所以sin 20α<，故选项C 不正确；对于D ：因为()π2ππ2πZ 2k k k α+<<+∈，所以()ππ2π2πZ 2k k k α--<-<--∈，所以α-是第三象限角，所以()sin 0α-<，故选项D 不正确；故选：B.【方法技巧与总结】正弦函数值在第一、二象限为正，第三、四象限为负；．余弦函数值在第一、四象限为正，第二、三象限为负；．正切函数值在第一、三象限为正，第二、四象限为负．题型六：同角求值—条件中出现的角和结论中出现的角是相同的例29．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））若tan 2θ=-，则2sin 2cos 1θθ+的值为___________.【答案】23-【解析】【分析】利用二倍角公式和同角三角函数平方关系可构造正余弦齐次式，分子分母同除2cos θ，代入tan θ即可得到结果.【详解】2222sin 22sin cos 2tan 42cos 12cos sin 2tan 243θθθθθθθθ===-=-++++.故答案为：23-.例30．（2022·河北·沧县中学模拟预测）已知tan 3α=，则22sin 22sin cos2cos -=-αααα___________．【答案】43【解析】【分析】根据二倍角公式，结合同角三角函数齐次式关系求解即可.【详解】解：22222222sin 22sin 2sin cos 2sin 2tan 2tan 23234cos2cos sin tan 33---⨯-⨯====----ααααααααααα．故答案为：43例31．（2022·广东惠州·一模）已知tan 2α=，32παπ<<，则cos sin αα-=（）A B ．C D ．【答案】A 【解析】【分析】由sin tan 2cos ααα==及22sin cos 1αα+=解出sin α与cos α即可求解.【详解】因为sin tan 2cos ααα==，且22sin cos 1αα+=，32παπ<<，所以sin α=cos α=，所以cos sin αα⎛-== ⎝⎭.故选：A.例32．（2022·全国·模拟预测）已知0πA <<，1sin cos 5A A +=，则1sin 21cos 2AA-=+（）A ．132B ．118C ．4918D ．4932【答案】C 【解析】【分析】结合同角的平方关系以及二倍角公式即可求出结果.【详解】由1sin cos 5A A +=及22sin cos 1A A +=，解得4sin 5A =，3cos 5A =-或4cos 5A =，3sin 5A =-.因为sin 0A >，所以4sin 5A =，3cos 5A =-，所以24sin 22sin cos 25A A A ==-，227cos 2cos sin 25A A A =-=-，所以2411sin 2492571cos 218125A A +-==+-，故选：C.例33．（2022·海南·模拟预测）已知角α为第二象限角，tan 3α=-，则cos α=（）A．BC．D【答案】A 【解析】【分析】由角所在的象限及同角三角函数的平方关系、商数关系求cos α即可.【详解】因为α是第二象限角，所以sin 0α>，cos 0α<，由sin tan 3cos ααα==-，22sin cos 1αα+=，可得：cos α=故选：A.例34．（2022·全国·高三专题练习）已知(,22ππα∈-，且212sin 5cos 9αα-=，则cos 2=α（）A ．13B ．79-C ．34-D ．18【答案】B 【解析】【分析】利用同角公式化正弦为余弦，求出cos α的值，再利用二倍角的余弦公式求解即得.【详解】依题意，原等式化为：212(1cos )5cos 9αα--=，整理得：(4cos 3)(3cos 1)0αα+-=，因(,)22ππα∈-，则cos 0α>，解得：1cos 3α=，所以2217cos 22cos 12139αα⎛⎫=-=⨯-=- ⎪⎝⎭.故选：B例35．（2022·全国·高三阶段练习（理））若sin cos 2sin cos θθθθ+=-，则sin (1sin 2)sin cos θθθθ+=+（）A ．65-B ．25-C ．65D ．25【答案】C 【解析】【分析】由已知得sin 3cos θθ=，从而sin ,cos θθ同号，即sin cos 0>θθ，然后由平方关系求得22cos ,sin θθ，进而求得sin cos θθ，求值式应用二倍角公式和平方关系变形后可得结论．【详解】因为sin cos 2sin cos θθθθ+=-，所以sin 3cos θθ=，所以sin ,cos θθ同号，即sin cos 0>θθ，22222sin cos 9cos cos 10cos 1θθθθθ+=+==，21cos 10θ=，从而29sin 10θ=，229sin cos 100θθ=，所以3sin cos 10θθ=，22sin (1sin 2)sin (sin cos 2sin cos )sin (sin cos )sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθ+++==+++2936sin sin cos 10105θθθ=+=+=．故选：C ．例36．（2022·广东广州·三模）已知sin cos x x +=()0,πx ∈，则cos2x 的值为（）A ．12B C ．12-D ．【答案】D 【解析】【分析】将sin cos x x +=2sin x cos x =-12<0,结合sin cos x x +=求出x 的范围，再利用22cos 2sin 21x x +=求解即可.【详解】解：将sin cos x x +=2sin x cos x =-12<0,所以π(,π)2x ∈，又因为sin cos x x +=０，所以π3π(,24x ∈，2x 3π(π,)2∈,又因为sin2x =-12,所以cos2x 故选：D.例37．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知1sin cos 5θθ+=-，(0,)θπ∈，则sin cos θθ-=（）A ．15B ．15-C ．75D ．75-【答案】C 【解析】【分析】利用平方关系，结合同角三角函数关系式，即可求解.【详解】()21sin cos 12sin cos 25θθθθ+=+=，242sin cos 025θθ=-<，()0,θπ∈ ，,2πθπ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，sin cos θθ>，()249sin cos 12sin cos 25θθθθ-=-=，所以7sin cos 5θθ-=.故选：C例38．（2022·山西晋中·模拟预测（理））若tan 1θ=-，则()cos 1sin 2sin cos θθθθ--等于（）A ．12B ．2C ．1-D ．13-【答案】C 【解析】【分析】化简原式为2tan 1tan 1θθ-+即得解.【详解】解：原式()222cos sin 2sin cos cos cos (sin cos )=sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθ-⋅+-=--22cos (sin cos )sin cos θθθθθ-=+2tan 12=1tan 12θθ--==-+.故选：C例39．（2022·湖北·模拟预测）已知()cos 3cos 02πααπ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，则3sin sin sin 2ααπα-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（）A ．35B ．35C ．310D ．310-【答案】D 【解析】【分析】根据题意求出tan α，再将原式化简为：32sin sin tan tan 1sin 2αααπαα-=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，求解即可.【详解】因为()cos 3cos 02πααπ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，所以sin 3cos 0αα--=，所以tan 3α=-()232sin 1sin sin sin tan 3sin cos cos tan 110sin 2αααααααπααα--====-+⎛⎫+ ⎪⎝⎭.故选：D.【方法技巧与总结】（1）若已知角的象限条件，先确定所求三角函数的符号，再利用三角形三角函数定义求未知三角函数值．（2）若无象限条件，一般“弦化切”．题型七：诱导求值与变形例40．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））若π1sin 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．13B ．13-C ．79D ．79-【答案】D 【解析】【分析】由三角函数的二倍角的余弦公式，结合诱导公式，即可求得答案.【详解】由题意得：2222πππππ27cos 22cos 12cos 12sin 113326699αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=---=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：D ．例41．（2022·贵州·贵阳一中模拟预测（文））若1sin ,63a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭则2cos 3a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．13B ．13-C ．79D ．79-【答案】B 【解析】【分析】利用诱导公式计算可得；【详解】解：因为1sin 63a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以21cos cos sin 32663ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：B.例42．（2022·青海·海东市教育研究室一模（理））()tan 165-︒=（）A ．2-B ．2-+C ．2D ．2【答案】C 【解析】【分析】先利用诱导公式可得()tan 165tan15-︒=︒，在运用正切两角差公式()tan15tan 4530︒=︒-︒计算．【详解】()()()tan 165tan 18015tan15tan 4530-︒=-︒+︒=︒=︒-︒1tan 45tan 3021tan 45tan 30︒-︒===+︒︒故选：C ．例43．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））已知2cos sin 022a ππα⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()tan -=πα（）A ．2B ．—2C ．12D ．12-【答案】C 【解析】【分析】根据诱导公式五、六可得2sin cos 0αα+=，由同角三角函数的关系可得1tan 2α=-，结合诱导公式二计算即可.【详解】由已知得2sin cos 0αα+=，12sin cos tan 2ααα∴=-∴=-，，∴1tan()tan 2παα-=-=.故选：C【方法技巧与总结】（1）诱导公式用于角的变换，凡遇到与2π整数倍角的和差问题可用诱导公式，用诱导公式可以把任意角的三角函数化成锐角三角函数．（2）通过2,,2πππ±±±等诱导变形把所给三角函数化成所需三角函数．（3）2,,2παβππ±=±±±等可利用诱导公式把,αβ的三角函数化【过关测试】一、单选题1．（2022·宁夏·银川一中模拟预测（理））中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上､下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）现有一个如图所示的曲池，1AA 垂直于底面，13AA =，底面扇环所对的圆心角为2π，弧AD 长度是弧BC 长度的3倍，2CD =，则该曲池的体积为（）A ．92πB ．5πC ．112πD ．6π【答案】D 【解析】【分析】利用柱体体积公式求体积.【详解】不妨设弧AD 所在圆的半径为R ，弧BC 所在圆的半径为r ，由弧AD 长度为弧BC 长度的3倍可知3R r =，22CD R r r =-==，所以1r =，3R =.故该曲池的体积22()364V R r ππ=⨯-⨯=.故选：D.2．（2022·海南中学高三阶段练习）二十四节气是中华民族上古农耕文明的产物，是中国农历中表示李节变迁的24个特定节令．如图，每个节气对应地球在黄道上运动15︒所到达的一个位置．根据描述，从立冬到立春对应地球在黄道上运动所对圆心角的弧度数为（）A ．π3-B ．π2C ．5π12D ．π3【答案】B【解析】【分析】根据条件得到运行度数为6×15°，化为弧度即可得解.【详解】根据题意，立春是立冬后的第六个节气，故从立冬到立春相应于地球在黄道上逆时针运行了61590︒⨯=︒，所以从立冬到立春对应地球在黄道上运动所对圆心角的弧度数为π2.故选：B3．（2022·河北·模拟预测）已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是圆心角等于23π的扇形，则该圆锥的体积为（）A B ．1627πC D ．1681π【答案】C 【解析】【分析】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则由题意可得2223r ππ=⨯，从而可求出半径r ，再求出h ，进而可求出其体积【详解】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则由题意可得2223r ππ=⨯，解得23r =，所以h ===所以圆锥的体积为22112333V r h ππ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭故选：C4．（2022·福建省福州格致中学模拟预测）已知角θ的大小如图所示，则1sin 2cos 2θθ+=（）A ．5-B ．5C ．15-D ．15【答案】A 【解析】【分析】由图中的信息可知tan 54πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，化简1sin 2cos 2θθ+即可.【详解】由图可知，tan 54πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，()()()22222cos sin 1sin 2sin cos 2sin cos cos sin cos 2cos sin cos sin cos sin cos sin θθθθθθθθθθθθθθθθθθ+++++===--+-tantan 1tan 4tan 51tan 41tan tan 4πθθπθπθθ++⎛⎫===+=- ⎪-⎝⎭-；故选：A.5．（2022·江西·临川一中模拟预测（文））tan195︒=（）A．2-B．2-+C ．2D ．2【答案】C 【解析】【分析】利用诱导公式及两角差的正切公式计算可得；【详解】解：()()tan195tan 18015tan15tan 4530︒=︒+︒=︒=︒-︒tan 45tan 301tan 45tan 30︒-︒=+︒︒12==故选：C6．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）若21sin2512sin αα+=-，则tan α=（）A ．23-B ．32-C ．23D ．32【答案】C 【解析】【分析】通过“1”的替换，齐次化，然后得到关于tan α的方程，解方程即可【详解】22221sin 2(cos sin )cos sin 1tan 512sin cos sin cos sin 1tan αααααααααααα++++====----,解得2tan 3α=故选：C7．（2022·四川成都·模拟预测（文））已知向量(3cos 2,sin )a αα= ，(2,cos 5sin )b αα=+ ，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若a b ⊥ ，则tan α=（）A ．2B ．-2C ．3D ．34【答案】C 【解析】【分析】由a b ⊥可得向量的数量积等于0，化简可得6cos 2sin (cos 5sin )0αααα++=，结合二倍角公式以及同角的三角函数关系式化为226tan tan n 10ta ααα-++=，可求得答案.【详解】由题意a b ⊥可得0a b ⋅= ，即6cos 2sin (cos 5sin )0αααα++=，即2226(cos sin )sin cos 5sin 0ααααα-++=，故22226cos sin sin c sin os 0cos αααααα-++=，即226tan tan n 10ta ααα-++=，由于π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故tan 3,tan 2αα==-（舍去），故选：C8．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（文））数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛，0.618就是黄金分割比m =2sin18︒）．A ．4B 1+C ．2D 1【答案】A 【解析】【分析】根据2sin18m ︒=，结合三角函数的基本关系式，诱导公式和倍角公式，即可求解.【详解】根据题意，可得2sin182cos72m =︒=︒，4sin144cos54︒==︒()4sin 90544cos544cos54cos54︒+︒︒===︒︒.故选：A ．二、多选题9．（2022·全国·高三专题练习）下列说法正确的有（）A ．经过30分钟，钟表的分针转过π弧度B ．1801radπ︒=C ．若sin 0θ>，cos 0θ<，则θ为第二象限角D ．若θ为第二象限角，则2θ为第一或第三象限角【答案】CD 【解析】【分析】对于A ，利用正负角的定义判断；对于B ，利用角度与弧度的互化公式判断；对于C ，由sin 0θ>求出θ的范围，由cos 0θ<求出θ的范围，然后求交集即可；对于D ，由θ是第二象限角，可得222k k ππθππ+<<+，k Z ∈，然后求2θ的范围可得答案【详解】对于A ，经过30分钟，钟表的分针转过π-弧度，不是π弧度，所以A 错；对于B ，1︒化成弧度是rad 180π，所以B 错误；对于C ，由sin 0θ>，可得θ为第一、第二及y 轴正半轴上的角；由cos 0θ<，可得θ为第二、第三及x 轴负半轴上的角.取交集可得θ是第二象限角，故C 正确；对于D ：若θ是第二象限角，所以222k k ππθππ+<<+，则()422k k k Z πθπππ+<<+∈，当2()k n n Z 时，则22()422n n n Z πθπππ+<<+∈，所以2θ为第一象限的角，当21()k n n Z =+∈时，5322()422n n n Z πθπππ+<<+∈，所以2θ为第三象限的角，综上，2θ为第一或第三象限角，故选项D 正确.故选：CD.10．（2022·全国·高三专题练习）中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形（如图）的面积为1S ，圆心角为1α，圆面中剩余部分的面积为2S ，圆心角为2α，当1S 与2S0.618≈（黄金分割比）时，折扇看上去较为美观，那么（）A ．1127.5α=︒B ．1137.5α=︒C．21)απ=D．12αα=【答案】BCD 【解析】【分析】利用扇形的面积公式以及角度制与弧度制的互化即可求解.【详解】设扇形的半径为R，由211122221212R S S R αααα===，故D 正确；由122ααπ+=，。

2024三角函数线(说课稿)范文今天我说课的内容是《三角函数线》，下面我将就这个内容从以下几个方面进行阐述。

一、说教材1、《三角函数线》是高中数学选修2（上）第4单元的内容。

它是在学生已经学习了三角函数基本概念和性质并掌握了一些常见的三角函数图像的基础上进行教学的，是高中数学中的重要知识点，而且三角函数线在解决实际问题中有着广泛的应用。

2、教学目标根据新课程标准的要求以及教材的特点，结合学生现有的认知结构，我制定了以下三点教学目标：①认知目标：理解三角函数线的基本性质，掌握正弦曲线和余弦曲线的图像特点。

②能力目标：能够根据给定函数式画出相应的正弦曲线和余弦曲线，能够根据图像判断函数式。

③情感目标：在学习过程中培养学生对数学的兴趣和探索精神，激发学生的创新意识。

三、说教法学法有这样一句话：听见了，忘记了；看见了，记住了；做了，理解了。

可见让学生亲自动手操作、实践是学生学习数学的最佳方式。

因此，这节课我采用的教法：导入法，示范法；学法是：观察比较法，实践探究法。

四、说教学准备在教学过程中，我准备了三种工具来辅助教学，以直观呈现教学素材，从而更好地激发学生的学习兴趣，增加教学容量，提高教学效率。

首先是三角函数线的图像展示，可以通过投影仪将相关图像呈现给学生观看。

其次是白板和彩笔，用于教师的板书和学生的互动操作。

最后是练习册和作业本，可以用来评估学生的学习效果和巩固知识点。

五、说教学过程新课标指出：“教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程”。

本着这个教学理念，我设计了如下教学环节。

环节一、引入新课在课堂伊始，我会让学生回忆一下已经学过的正弦函数和余弦函数的基本概念和性质。

然后，我会以一个有趣的例子引入新知。

比如，我会告诉学生我们要制作一支歌曲，而且要让这首歌曲的声音以特定的频率震动，产生特定的音调。

这时，我会问学生，你们知道如何确定这个频率吗？学生可能会回答使用正弦函数和余弦函数来描述音调变化的规律。

谈谈三角函数线的解题功能与单位圆有关的三角函数线是对任意角三角函数定义的一种补充.其中，正弦线、正切线的正向与y轴的正向相同，向上为正，向下为负；余弦线的正向与x轴的正向一致，向右为正，向左为负；当α终边与y轴重合时，角α的正切线不存在.三角函数线是数形结合的有效工具，借助它，不但可以画出准确的三角函数图象，还可以讨论三角函数性质．三角函数线是有向线段，字母顺序不能随意调换，当角α的终边与x轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，此时角α的正弦值和正切值都为0；当角α的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在．三角函数线可以用来求出满足形如f (α) >m或f (α)<m.的角α的范围．三角函数线可以用来求三角函数的定义域、求解三角方程、比较大小等．下面举例探讨三角函数线在解题中的应用.一.求三角函数的定义域例1.求下列函数的定义域：分析: 首先作出单位圆，然后根据各问题的约束条件利用三角函数线画出角x满足条件的终边范围.解: （1）如图1，(2）如图2，点评: 三角函数线的主要作用是解三角不等式，比较大小及求函数定义域.二.解三角不等式例2.已知|cosθ|≤|sinθ|，求θ的取值范围.分析: 我们可以在单位圆中作出正弦线和余弦线绝对值相等的角，再找出满足|cosθ|≤|sinθ|的θ角范围.解：如图3所示，根据|cosθ|＝|sinθ|，即θ角正弦线的绝对值和θ角余弦线的绝对值相等，则θ角的终边落在y=x和y=-x上，满足|cosθ|≤|sinθ|的θ角的终边落在阴影部分，点评:本题主要考查根据正弦线和余弦线作出角θ的范围，再写出角θ的集合.图1 x=21图2三. 比较大小例3.比较下列各组数的大小：分析:我们可以考虑利用三角函数线，根据正弦线、余弦线、正切线来比较它们的大小.解：（1）如下图所示，在单位圆中作出的余弦线OM2和OM1，∵OM1<OM2，（2）如下图所示，sin＝MP，tan＝AT，∵MP<AT，∴sin<tan.点评: 本题主要考查正弦线、余弦线、正切线的应用比较大小的.四.证明三角不等式例4.利用三角函数线证明：|sinα|＋|cosα|≥1．分析：找出角α的正余弦线，数形结合易证．证明：当角α的终边在坐标轴上时，正弦线（余弦线）变成一个点，而余弦线（正弦线）的长等于r(r=1）．所以|sinα|＋|cosα|＝1.当角α的终边落在一个象限时，如图所示，利用三角形两边之和大于第三边有:|sinα|＋|cosα| =|MP|十|OM|＞1.综上有|sinα|＋|cosα|≥1．点评:本题利用三角函数定义,把三角问题转化为代数问题而获解决,这种方法,值得重视.对于sinθ+cosθ>1,也可以利用三角函数线来证明,此外该结论还可推广,若θ为任意角,则有|sinθ|+| cosθ|≥1.。

教学案例：三角函数线的应用一、案例过程在必修4第一章三角函数的复习课上，当复习到三角函数线的时候，我和以前一样，复习完定义之后，接下来就要复习三角函数的同角关系式和诱导公式了。

就在这时候，有个学生提问说：“老师，三角函数线有哪些应用呢？”我接着问：“那么大家想一想，三角函数线有哪些应用呢？能够相互讨论。

”学生开始思考，互相讨论，也有同学讲课本打开……讨论结果整理如下：1、在讲解三角函数线的时候，学习了如何利用三角函数线解不等式，例如解不等式21sin >x 。

2、同时有些学生发现利用三角函数线记忆特殊角ππππ2,23,,2,0的正弦值和余弦值更加深刻。

3、利用三角不等线能够画三角函数的图像，和分析三角函数的性质。

4、在利用三角不等线证明同角关系式1cos sin 22=+αα二、案例分析看到同学们讨论结果，我们了解了三角函数线应用很广泛，我们还应用它，多次作为基本工具，讲解公式和函数图像性质，但我发现在证明诱导公式的时候，我们是利用三角函数的定义证明的。

这时候我就想能不能利用三角函数线证明诱导公式呢？如图，角α的终边与单位圆的交点为P ,过P 作x PM ⊥轴于M ，则角απ+，απ-，α-的终边如图所示。

我们以ααπsin )sin(-=+，ααπcos )cos(-=+为例。

如图，角απ+的终边与单位圆的交点为Q ,过Q 作x QN ⊥轴于N ，则ON OM =+=)cos(,cos απα，由图可知，NQ MP ,长度相等，方向相反，所以ααπcos )cos(-=+同理可证其他的诱导公式。

三、案例反思这节课给我的触动很大，通过三角函数线的应用的研究，我发现课本中某些内容存有相互联系，但在讲课过程中，我仅仅利用它，而没分析和总结他们之间的联系，在以后的教学中，我要善于总结知识点之间的联系，而不能将它们孤立，作为教师要善于思考和总结。

x。

2014届高考数学二轮复习资料 专题三：三角函数（教师版）【考纲解读】1.了解任意角的概念,了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化;理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切）的定义.2.能利用单位圆中的三角函数线推导出2πα±,πα±的正弦、余弦、正切的诱导公式;理解同角的三角函数的基本关系式:sin 2x+cos 2x=1,sin tan cos xx x=. 3.能画出y=sinx, y=cosx, y=tanx 的图象,了解三角函数的周期性;2.理解正弦函数,余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性,最大值和最小值以及与x 轴的交点等),理解正切函数在区间(-2π,2π)内的单调性.4.了解函数sin()y A x ωϕ=+的物理意义；能画出sin()y A x ωϕ=+的图象，了解,,A ωϕ对函数图象变化的影响.5.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式;能利用两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式,了解它们的内在联系.6.能利用两角差的余弦公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).【考点预测】从近几年高考试题来看，对三角函数的考查：一是以选择填空的形式考查三角函数的性质及公式的应用，一般占两个小题；二是以解答题的形式综合考查三角恒等变换、sin()y A x ωϕ=+的性质、三角函数与向量等其他知识综合及三角函数为背景的实际问题等.预测明年，考查形式不变，选择、填空题以考查三角函数性质及公式应用为主，解答题将会以向量为载体，考查三角函数的图象与性质或者与函数奇偶性、周期性、最值等相结合，以小型综合题形式出现.【要点梳理】1.知识点:弧度制、象限角、终边相同的角、任意角三角函数的定义、同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角函数线、三角函数图象和性质；和、差、倍角公式，正、余弦定理及其变形公式.2.三角函数中常用的转化思想及方法技巧:(1)方程思想:sin cos αα+, sin cos αα-,sin cos αα三者中,知一可求二; (2)“1”的替换: 22sin cos 1αα+=; (3)切弦互化:弦的齐次式可化为切；(4)角的替换:2()()ααβαβ=++-,()22αβαβααββ+-=+-=+;(5)公式变形:21cos 2cos 2αα+=, 21cos 2sin 2αα-=, tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ+=+-;(6)构造辅助角(以特殊角为主):sin cos )(tan )ba b aαααϕϕ+=+=.3.函数sin()y A x ωϕ=+的问题: (1)“五点法”画图:分别令0x ωϕ+=、2π、π、32π、2π，求出五个特殊点； (2)给出sin()y A x ωϕ=+的部分图象,求函数表达式时,比较难求的是ϕ,一般从“五点法”中取靠近y 轴较近的已知点代入突破;(3)求对称轴方程:令x ωϕ+=2k ππ+()k Z ∈, 求对称中心: 令x ωϕ+=k π()k Z ∈; (4)求单调区间:分别令22k x ππωϕ-≤+≤22k ππ+()k Z ∈;22k x ππωϕ+≤+≤322k ππ+()k Z ∈,同时注意A 、ω符号. 4.解三角形:(1)基本公式:正弦、余弦定理及其变形公式；三角形面积公式； (2)判断三角形形状时，注意边角之间的互化. 【考点在线】考点1 三角函数的求值与化简此类题目主要有以下几种题型：⑴考查运用诱导公式和逆用两角和的正弦、余弦公式化简三角函数式能力，以及求三角函数的值的基本方法. ⑵考查运用诱导公式、倍角公式，两角和的正弦公式，以及利用三角函数的有界性来求的值故f (x )的定义域为.Z ,2|R ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-≠∈k k x x ππ （Ⅱ）由已知条件得.54531cos 1sin 22-⎪⎭⎫⎝⎛-=-=a a从而)2sin()42cos(21)(ππ+-+=a a a f ＝aa a cos 4sin 2sin 4cos cos 21⎪⎭⎫ ⎝⎛++ππ ＝a a a a a a a cos cos sin 2cos 2cos sin 2cos 12+=++ ＝.514)sin (cos 2=+a a【名师点睛】本小题主要考查三角函数的定义域和两角差的公式，同角三角函数的关系等基本知识，考查运算和推理能力，以及求角的基本知识..【备考提示】：熟练掌握三角函数公式与性质是解答好本类题的关键. 练习1: （2011年高考福建卷文科9)若α∈（0，2π），且2sin α+1cos 24α=，则tan α的值等于( )A.B.C.D.【答案】D【解析】因为α∈（0， 2π），且2sin α+1cos 24α=，所以2sin α+221cos sin 4αα-=, 即21cos 4α=,所以cos α=12或12-(舍去),所以3πα=,即tan α=选D.考点2 考查sin()y A x ωϕ=+的图象与性质考查三角函数的图象和性质的题目，是高考的重点题型.此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用，会用数形结合的思想来解题.【备考提示】：三角函数的图象及性质是高考考查的热点内容之一,熟练其基础知识是解答好本类题的关键.练习2.(2011年高考江苏卷9)函数ϕϕ,,(),sin()(w A wx A x f +=是常数，)0,0>>w A 的部分图象如图所示，则____)0(=f【解析】由图象知：函数()sin()f x A wx φ=+的周期为74()123πππ-=，而周期2T wπ=，所以2w =，由五点作图法知：23πφπ⨯+=，解得3πφ=，又A=，所以函数()s i n (2)3f x x π=+，所以(0)f =3π=考点3 三角函数与向量等知识的综合三角函数与平面向量的综合,解答过程中,向量的运算往往为三角函数提供等量条件. 例3.（2009年高考江苏卷第15题）设向量(4cos ,sin ),(sin ,4cos ),(cos ,4sin )a b c ααββββ===-（1）若a 与2b c -垂直，求tan()αβ+的值；（2）求||b c +的最大值;（3）若tan tan 16αβ=，求证：a ∥b.【解析】【名师点睛】本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力.【备考提示】：熟练三角公式与平面向量的基础知识是解决此类问题的关键. 练习3.（天津市十二区县重点中学2011年高三联考二理）（本小题满分13分）已知向量2,1),(cos ,cos )444x x x m n == ，()f x m n =⋅ ．（I ）若()1f x =,求cos()3x π+值；（II ）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=，求函数()f A 的取值范围.【解析】（I ）()f x m n =⋅= 2cos cos 444x x x + ----------------1分11cos 2222x x ++ ----------------3分 =1sin()262x π++----------------4分∵()1f x = ∴1sin()262x π+=∴2cos()12sin ()326x x ππ+=-+=12-------6分 （II ）∵(2)cos cos a c B b C -=，由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos A C B B C -= -----------------8分 ∴2sin sin cos sin cos AcosB C B B C -=∴2sin cos sin()A B B C =+- ----------------9分 ∵A B C π++=∴sin()sin B C A +=，且sin 0A ≠∴1cos ,2B =∵0B <<π∴3B π= ----------------10分∴203A π<< ----------------11分∴1,sin()16262226A A ππππ<+<<+< ----------------12分∴131sin()2622A π<++<∴()f A =1sin()262A π++3(1,)2∈ ---13分考点4. 解三角形解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化.例4. (2011年高考安徽卷文科16) 在 ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，12cos()0B C ++=，求边BC 上的高.【解析】∵A ＋B ＋C ＝180°，所以B ＋C ＝A ，又12cos()0B C ++=，∴12cos(180)0A +-=， 即12cos 0A -=，1cos 2A =，又0°<A<180°，所以A ＝60°.在△ABC 中，由正弦定理sin sin a b A B=得sin sin b A B a ===， 又∵b a <，所以B ＜A ，B ＝45°，C ＝75°，∴BC 边上的高AD ＝AC ·sinC 30)=+45cos30cos45sin30)+ 112()22222=+=.【名师点睛】本题考察两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，利用内角和定理、正弦定理、余弦定理以及三角形边与角之间的大小对应关系解三角形的能力，考察综合运算求解能力.【备考提示】：解三角形问题所必备的知识点是三大定理“内角和定理、正弦定理、余弦定理”具体的思路是化统一的思想“统一成纯边或纯角问题”即可.练习4. （2011年高考山东卷文科17)在 ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知cos A-2cos C 2c-a=cos B b.（I ） 求sin sin CA的值； （II ）若cosB=14，5b ABC 的周长为，求的长.【解析】(1)由正弦定理得2sin ,a R A =2sin ,b R B =2sin ,c R C =所以cos A-2cos C 2c-a =cos B b=2sin sin sin C AB -,即sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos B A B C C B A B -=-,即有sin()2sin()A B B C +=+,即sin 2sin C A =,所以sin sin CA=2. (2)由(1)知sin sin CA=2,所以有2c a =,即c=2a,又因为ABC ∆的周长为5,所以b=5-3a,由余弦定理得：2222cos b c a ac B =+-，即22221(53)(2)44a a a a -=+-⨯，解得a=1，所以b=2.【易错专区】问题：三角函数的图象变换例. (2011年高考全国卷理科5)设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于( ) （A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9【答案】C 【解析】()cos[()]cos 33f x x x ππωω-=-=即cos()cos 3x x ωπωω-=, 22()663k k Z k ωπππω∴-=+∈⇒=--z 则1k =-时min 6ω=故选C.【名师点睛】本题考查三角函数的图象平移,在平移时,应注意x 的系数. 【备考提示】：三角函数的图象变换是高考的热点,必须熟练此类问题的解法. 【考题回放】1. (2011年高考山东卷理科3)若点（a,9）在函数3xy =的图象上，则tan=6a π的值为( )（A ）0 (B) 3【答案】D【解析】由题意知:9=3a,解得a =2,所以2tantan tan 663a πππ===故选D.2. (2011年高考山东卷理科6)若函数()s i n f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在【答案】C.【解析】若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，则()sin()163f ππϕ=+=，所以,32k k Z ππϕπ+=+∈，,6k k Z πϕπ=+∈.由()()2f f ππ>，（k Z ∈），可知sin()sin(2)πϕπϕ+>+，即s i n 0ϕ<，所以72,6k k Z πϕπ=+∈，代入()sin(2)f x x ϕ=+，得7()sin(2)6f x x π=+，由7222262k x k πππππ-++剟，得563k x k ππππ--剟，故选C.4.(2011年高考辽宁卷理科4)△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，asin AsinB+bcos 2则ba=（ ）(A) (B) (C) 【答案】 D【解析】由正弦定理得，sin 2AsinB+sinBcos 2，即sinB （sin 2A+cos 2A ），故，所以ba=； 5.(2011年高考辽宁卷理科7)设sin1+=43πθ（），则sin 2θ=（ ） (A) 79- (B) 19- (C) 19 (D)79【答案】A【解析】217sin 2cos 22sin 121.2499ππθθθ⎛⎫⎛⎫=-+=+-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6.(2011年高考浙江卷理科6)若02πα＜＜，02πβ-＜＜，1cos()43πα+=，cos()42πβ-=，则c o s ()2βα+=（ ）（A （B ）（C （D ）-【答案】 C 【解析】()()2442βππβαα+=+-- cos()cos[()()]2442βππβαα∴+=+--sin()sin()442ππβα+++ 13===, 故选C. 7. (2011年高考全国新课标卷理科5)已知角θ的顶点与原点重合，始边与横轴的正半轴重合，终边在直线x y 2=上，则，=θ2cos （ ） A 54-B 53- C 32 D 43【答案】B【解析】因为该直线的斜率是θtan 2==k ，所以，53tan 1tan 1cos 22-=+-=θθθ.8. (2011年高考全国新课标卷理科11)设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（ ）（A ）()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 （B ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 （C ）()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 （D ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 【答案】A【解析】函数解析式可化为)4sin(2)(πϕω++=x x f ，2,2=∴=ωπωπT又因为该函数是偶函数，所以，x x f 2cos 2)(4=∴=πϕ，所以，该函数在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π上是减函数。

三角函数的图像考点回顾： 三角函数图象：y ＝tanx y ＝cotx函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的物理意义：振幅|A|，周期2||Tπω=，频率1||2f T ωπ==，相位;x ωϕ+初相ϕ（即当x ＝0时的相位）．（当A ＞0，ω＞0 时以上公式可去绝对值符号）， 三角函数图象的作法：1.几何法（利用三角函数线）2. 描点法：五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.3.利用图象变换作三角函数图象．三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等，重点掌握函数 y ＝Asin （ωx ＋φ）+b （0,0>>ωA ）的作法．（1）振幅变换或叫沿y 轴的伸缩变换．（用y/A （A>0）替换y ）由y ＝sinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当A ＞1）或缩短（当0＜A ＜1）到原来的A 倍，得到y ＝Asinx 的图象.（2）周期变换或叫做沿x 轴的伸缩变换．(用ωx （0>ω）替换x)由y ＝sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜ω＜1）或缩短（ω＞1）到原来的ω1倍，得到y ＝sin ω x 的图象.（3）相位变换或叫做左右平移．(用x ＋φ替换x)由y ＝sinx 的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到y ＝sin （x ＋φ）的图象.（4）上下平移（用y+(-b)替换y ）由y ＝sinx 的图象上所有的点向上（当b ＞0）或向下（当b ＜0）平行移动｜b ｜个单位，得到y ＝sinx ＋b 的图象.注意：由y ＝sinx 的图象利用图象变换作函数y ＝Asin （ωx ＋φ）+B （A ＞0，ω＞0）（x ∈R ）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x 轴的伸缩量的区别。

y=cosxy=sinx-11-11ooy xy x例1：函数),2,0)(sin(R x x A y ∈π<ϕ>ωϕ+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ）A ．)48sin(4π+π-=x yB ．)48sin(4π-π=x yC ．)48sin(4π-π-=x yD ．)48sin(4π+π=x y 答案：A变式1：函数),,0)(sin(R x x A y ∈<>+=πϕωϕω的部分图象如图所示，则函数表达式为_______________ 答案：)23sin(3π-=x y变式2：函数),,0)(sin(R x x A y ∈<>+=πϕωϕω图象如图所示，则函数表达式为_______________ 答案：)62sin(2π+=x y变式3：函数),,0)(sin(R x x A y ∈<>+=πϕωϕω的部分图象如图所示，则函数表达式为_______________ 答案：)32sin(3π+=x y说明：主要从振幅、周期、某点的函数值三个方面考虑，其中变式3要注意1.5不是最高点。

高一数学组 刘华泉在三角函数的教学中，三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）一直是与三角函数图像并驾齐驱的两大解题法宝，是数形结合思想的完美体现。

但学生往往重后者而疏前者，因此老师们在“三角函数线的解题功能”方面有较多的探讨。

如今，随着新课程改革三角函数定义的单位圆化，给了三角函数线更宽的舞台，在三角函数这一章节知识的展开中，三角函数线起到了前所未有的作用。

本文旨在挖掘“单位圆——三角函数线”在教学中的功能。

教学作用一．三角函数“单位圆定义法”与原教材“终边定义法”之比较：“终边定义法（ry=αsin 等）”源于锐角三角函数，“终边定义法”需要经过“取点──求距离──求比值”等步骤，对应关系不够简洁；“比值”作为三角函数值，其意义（几何含义）不够清晰； “从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系不一致，而且“比值”需要通过运算才能得到，任意一个角所对应的比值的唯一性（即与点的选取无关）也需要证明；“比值”的周期性变化规律也需要经过推理才能得到．以往的教学实践表明，许多学生在结束了三角函数的学习后还对三角函数的对应关系不甚了了，与“终边定义法”的这些问题不无关系．用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数有许多优点．（1）简单、清楚，突出三角函数最重要的性质──周期性．采用“单位圆定义法”，对于任意角，它的终边与单位圆交点P(x ，y)唯一确定，这样，正弦、余弦函数中自变量与函数值之间的对应关系，即角（弧度）对应于点P 的纵坐标y ──正弦， 角（弧度）对应于点P 的横坐标x ──余弦，可以得到非常清楚、明确的表示，而且这种表示也是简单的．另外，“x= cos ，y= sin是单位圆的自然的动态（解析）描述，其中，单位圆上点的坐标随着角每隔2π（圆周长）而重复出现（点绕圆周一圈而回到原来的位置），非常直观地显示了这两个函数的周期性．所以作为任意角三角函数的定义，当然是选择能够表现周期性的单位圆更为恰当。

三角函数线在解题中的应用
前言：三角函数线是研究三角函数的几何工具，是数形结合思想在三角函数中的体现．它的重要作用除了直观、形象地表示一个角的各三角函数值，刻画三角函数的性质，反映三角函数值的变化规律外，还可以确定角的范围、证明三角不等式．本文将例谈三角函数线在这两方面中的应用．
一、确定角的范围
三角函数线是一个角的三角函数值的体现，由三角函数线的方向可以确定三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值．因此，借助三角函数线可以确定角的范围．如：
例１在内，使成立的的取值范围是（）．
Ａ．Ｂ．
Ｃ．Ｄ．
解析：如图１所示，在直角坐标系中，作第
一、三象限的角平分线，由阴影部分可知，答案为
（Ｃ）．
二、证明三角不等式
数形结合的“形”不仅仅是指三角函数图象，也
可指三角函数线，有时三角函数线比图象能更好的解
决问题．
例２设为锐角，求证：
．
解析：如图2，在直角坐标系中作出单位圆．
设角α的终边为，过作轴于，
轴于，则，．
∵α是锐角，在中，，
∴．①
而，
，．
又四边形被扇形所覆盖，
∴
， 即．② 由①、②，得1sin cos ααπ<+<2
．
内容总结。

三角函数线及其应用教学目标1．使学生理解并掌握三角函数线的作法，能利用三角函数线解决一些简单问题．2．培养学生分析、探索、归纳和类比的能力，以及形象思维能力．3．强化数形结合思想，发展学生思维的灵活性．教学重点与难点三角函数线的作法与应用．教学过程设计一、复习师：我们学过任意角的三角函数，角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是如何定义的？生：在α的终边上任取一点P（x，y），P和原点O的距离是r（r＞0），那么角α的六个三角函数分别是（教师板书）师：如果α是象限角，能不能根据定义说出α的各个三角函数的符号规律？生：由定义可知，sinα和cscα的符号由y决定，所以当α是第一、二象限角时，sinα＞0，cscα＞0；当α是第三、四象限角时，sinα＜0，cscα＜0．cos α和secα的符号由x决定，所以当α是第一、四象限角时，cosα＞0，secα＞0；当α是第二、三象限角时，cosα＜0，secα＜0．而tanα，cotα的符号由x，y共同决定，当x，y同号时，tanα，cotα为正；当x，y异号时，tan α，cotα为负．也就是说当α是第一、三象限角时，tanα＞0，cotα＞0；当α是第二、四象限角时，tanα＜0，cotα＜0．师：可以看到，正弦值的正负取决于P点纵坐标y，余弦值的正负取决于P 点的横坐标x，而正切值的正负取决于x和y是否同号，那么正弦、余弦、正切的值的大小与P点的位置是否有关？生：三角函数值的大小与P的位置无关，只与角α的终边的位置有关．师：既然三角函数值与P点在角α的终边上的位置无关，我们就设法让P点点位于一个特殊位置，使得三角函数值的表示变为简单．二、新课师：P点位于什么位置，角α的正弦值表示最简单？生：如果r=1，sinα的值就等于y了．师：那么对于余弦又该怎么处理呢？生：还是取r=1．师：如果r=1，那么P点在什么位置？生：P点在以原点为圆心，半径为1的圆上．师：这个圆我们会经常用到，给它起个名字，叫单位圆，单位圆是以原点为圆心，以单位长度为半径的圆．（板书）1．单位圆师：设角α的终边与单位圆的交点是P（x，y），那么有sinα=y，cosα=x．师：我们前面说的都是三角函数的代数定义，能不能将正弦值、余弦值等量几何化，也就是用图形来表示呢？因为数形结合会给我们的研究带来极大的方便，请同学们想想，哪些图形与这些数值有关呢？（同学可能答不上来，教师给出更明确的提示．）师：sinα=y，cosα=x，而x，y是点P的坐标，根据坐标的意义再想一想．师：对点来说，是它的位置代表了数，点本身并不代表数．能不能找到一个图形，自身的度量就代表数？生：可以用面积，比如一个正数可以对应着一个多边形的面积，每一个多边形的面积对应着唯一一个正数．师：很好．但这是一个二维的图形，而且多边形的边数也不确定，我们还应遵循求简的原则．有没有简单的图形呢？生：是不是能用线段的长度来表示？师：说说你的理由．生：线段的长度与正数是一一对应的，所以每一个正数可以用一条线段来作几何形式．师：正数可以这样去做，零怎么办呢？能用线段来表示吗？生：（非常活跃）当然行了，让线段两个端点重合，线段长就是零了．师：可以画这样一个示意图，线段一个端点是A，另一个端点是B，当A，B 重合时，我们说AB是0；当A，B不重合时，我们说AB是一个正实数．那么负数怎么办呢？能不能想办法也用线段AB表示？生：线段的长度没有负数．生：我能不能这样看，A点在直线l上，B点在l上运动，如果B在A的右侧，我就说线段AB代表正数；如果B和A重合，就说线段AB代表0；如果B在A的左侧，就说线段AB代表负数．（教师不必理会学生用词及表述的漏洞．主要是把学生的注意力吸引到对知识、概念的发现上来．）师：正数与正数不都相等，负数和负数也不都相等，你只是规定了正负还不够吧？！生：可以再加上线段AB的长度．这样所有的实数都能对应一条线段AB，以A为分界点，正数对应的点B在A的右侧，而且加上长度，B点就唯一了．师：他的意见是对线段也给了方向．与直线规定方向是类似的．那么如何建立有向线段与数的对应关系？（板书）2．有向线段师：顾名思义，有方向的线段（即规定了起点与终点的线段）叫做有向线段，那么如何建立有向线段与数的对应关系呢？这需要借助坐标轴．平行于坐标轴的线段可以规定两种方向．如图2，线段AB可以规定从点A（起点）到点B（终点）的方向，或从点B（起点）到点A（终点）的方向，当线段的方向与坐标轴的正方向一致时，就规定这条线段是正的；当线段的方向与坐标轴的正方向相反时，就规定这条线段是负的．如图中AB=3（长度单位）（A为起点，B为终点），BA=-3（长度单位）（B为起点，A为终点），类似地有CD=-4（长度单位），DC=4（长度单位）．师：现在我们回到刚才的问题，角α与单位圆的交点P（x，y）的纵坐标恰是α的正弦值，但sinα是可正、可负、可为零的实数，能不能找一条有向线段表示sinα？生：找一条有向线段跟y一致就行了，y是正的，线段方向向上，y是负的，线段方向向下，然后让线段的长度为｜y｜．师：理论上很对，到底选择哪条线段呢？我们不妨分象限来看看．生：如果α是第一象限的角，过P点向x轴引垂线，垂足叫M（无论学生用什么字母，教师都要将其改为M），有向线段MP为正，y也是正的，而且MP的长度等于y，所以用有向线段MP表示sinα=y．（图中的线段随教学过程逐渐添加．）生：如果α是第二象限角，sinα=y是正数，也得找一条正的线段．因为α的终边在x轴上方，与第一象限一样，作PM垂直x轴于M，MP=sinα．师：第一、二象限角的正弦值几何表示都是MP，那么第三、四象限呢？注意此时sinα是负值．生：这时角α的终边在x轴下方，P到x轴的距离是｜y｜=-y．所以还是作PM垂直x轴于M，MP方向向下，长度等于-y，所以sinα=y．师：归纳起来，无论α是第几象限角，过α的终边与单位圆的交点P作x 轴的垂线，交x轴于M，有向线段MP的符号与点P的纵坐标y的符号一致，长度等于｜y｜．所以有MP=y=sinα．我们把有向线段MP叫做角α的正弦线，正弦线是角α的正弦值的几何形式．（板书）3．三角函数线（1）正弦线——MP师：刚才讨论的是四个象限的象限角的正弦线，轴上角有正弦线吗？生：当角α的终边在x轴上时，P与M重合，正弦线退缩成一点，该角正弦值为0；当角α终边与y轴正半轴重合时，M点坐标为（0，0），P（0，1），MP=1，角α的正弦值为1；当α终边与y轴负半轴重合时，MP=-1，sinα=-1，与象限角情况完全一致．师：现在来找余弦线．生：因为cosα=x（x是点P的横坐标），所以把x表现出来就行了．过P 点向y轴引垂线，垂足为N，那么有向线段NP=cosα，NP是余弦线．师：具体地分析一下，为什么NP=cosα？生：当α是第一、四象限角时，cosα＞0，NP的方向与x轴正方向一致，也是正的，长度为x，有cosα=NP；当α是第二、三象限角时，cosα＜0，NP 也是负的，也有cosα=NP．师：这位同学用的是类比的思想，由正弦线的作法类比得出了余弦线的作法，其他同学有没有别的想法？生：其实有向线段OM和他作的有向线段NP方向一样，而且长度也一样，也可以当作余弦线．师：从作法的简洁及图形的简洁这个角度看，大家愿意选哪条有向线段作为余弦线？生：OM．（板书）（2）余弦线——OM师：对轴上角这个结论还成立吗？（学生经过思考，答案肯定．）师：我们已经得到了角α的正弦线、余弦线，它们都是与单位圆的弦有关的线段，能不能找到单位圆中的线段表示角α的正切呢？生：肯定和圆的切线有关系（这里有极大的猜的成分，但也应鼓励学生．）坐标等于1的点，这点的纵坐标就是α的正切值．师：那么横坐标得1的点在什么位置呢？生：在过点（1，0），且与x轴垂直的直线上．生：这条直线正好是圆的切线．（在图3-（1）中作出这条切线，令点（1，0）为A．）师：那么哪条有向线段叫正切线呢？不妨先找某一个象限角的正切线．生：设α是第一象限角，α的终边与过A的圆的切线交于点T，T的横坐标是1，纵坐标设为y′，有向线段AT=y′，AT可以叫做正切线．师：大家看可以这样做吧？！但第二象限角的终边与这条切线没有交点，也就是α的终边上没有横坐标为1的点．生：可以令x=-1，也就是可以过（-1，0）再找一条切线，在这条切线上找一条有向线段表示tanα．师：我相信这条线段肯定可以找到，那么其他两个象限呢？生：第三象限角的正切线在过（-1，0）的切线上找，第四象限角的正切线在过（1，0）的切线上找．师：这样做完全可以，大家可以课下去试，但我们还是要求简单，最好只要一条切线，我们当然喜欢过A点的切线（因为这条直线上每个点的横坐标都是1），第一、四象限角与这条直线能相交，AT是正切值的反映，关键是第二、三象限的角．（如果学生答不出来，由教师讲授即可．）师（或生）：象限角α的终边如果和过A点的切线不相交，那么它的反向延长线一定能和这条切线相交．因为△OMP∽△OAT，OM与MP同号时，OA与AT也同号；OM与MP异号时，OA与AT也异号，（板书）（3）正切线——AT师：的确像刚才同学们说的，正切线确实是单位圆的切线的一部分，那么轴上角的正切线又如何呢？注意正切值不是每个角都有．生：当角α终边在x轴上时，T和A重合，正切线退缩成了一个点，正切值为0；当角α终边在y轴上时，α的终边与其反向延长线和过A的切线平行，没有交点，正切线不存在，这与y轴上角的正切值不存在是一致的．师：可以看到正切线的一个应用——帮助我们记忆正切函数的定义域．现在我们归纳一下任意角α的正弦线、余弦线、正切线的作法．设α的终边与单位圆的交点为P，过P点作x轴的垂线，垂足为M，过A（1，0）点作单位圆的切线（x轴的垂线），设α的终边或其反向延长线与这条切线交于T点，那么有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．利用三角函数线，我们可以解决一些简单的有关三角函数的问题．（板书）4．三角函数线的应用例1 比较下列各组数的大小：分析：三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值．比较两个三角函数值的大小，可以借助三角函数线．（由学生自己画图，从图中的三角函数线加以判断．）（画出同一个角的两种三角函数线）．师：例1要求我们根据角作出角的三角函数线，反过来我们要根据三角函数值去找角的终边，从而找到角的取值范围．（板书）例2 根据下列三角函数值，求作角α的终边，然后求角的取值集合．分析：P 1，P2两点，则OP1，OP2是角α的终边，因而角α的取值集合为（3）在单位圆过点A（1，0）的切线上取AT=-1，连续OT，（4）这是一个三角不等式，所求的不是一个确定的角，而是适合三、小结及作业单位圆和三角函数线是研究三角函数的几何工具，它是数形结合思想在三角函数中的体现．我们应掌握三角函数线的作法，并能运用它们解决一些有关三角函数的问题，注意在用字母表示有向线段时，要分清起点和终点，书写顺序要正确．作业（1）复习课本“用单位圆中的线段表示三角函数”一节．（2）课本习题P178练习第7题；P192练习十四第9题；P194练习十四第22题；P201总复习参考题二第20题．课堂教学设计说明关于三角函数线的教学，曾有过两个设想：一是三种函数线在同一节课交待，第二节课再讲应用；另一个设想是，第一节课只出正弦线、余弦线及它们的应用，__________________________________________________第二节课引入正切线，及三线综合运用，如比较函数值的大小、给值求角、解简单的三角不等式，证明一些三角关系式．本教案选择了前者，原因是利于学生类比思维．在实际教学中，由于教师水平不同，学生的水平也不相同，教案中的例题可能讲不完，或根本不讲，但是宁可不讲例题，也要让学生去猜、去找三角函数的几何形式，我希望把三角函数线的发现过程展现给学生，教师不能包办代替．数形结合思想是中学数学中的重要数学思想，在教学中应不失时机地加以渗透．通过三角函数线的学习，使学生了解数形结合的“形”不单有函数图象，还有其他的表现形式．至于在解决有关三角函数的问题时用函数图象还是用三角函数线，则要具体情况具体分析，如证明等式sin2α+cos2α=1，研究同一个角的正余弦值的大小关系，都以三角函数线为好．教案中的三角函数线应用不够全面，应在第二节课加以补充使其完整．11__________________________________________________。

第２课时三角函数线及其应用学习目标核心素养１．了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切．（重点）２．能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．（难点）通过三角函数线的学习，培养学生数学抽象，直观想象和数学建模素养.１．有向线段（１）定义：带有方向的线段．（２）表示：用大写字母表示，如有向线段OM，MP.２．三角函数线（１）作图：１α的终边与单位圆交于P，过P作PM垂直于x轴，垂足为M.２过A（１,0）作x轴的垂线，交α的终边或其反向延长线于点T.（２）图示：（３）结论：有向线段MP、OM、AT，分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线．思考：当角的终边落在坐标轴上时，正弦线、余弦线、正切线变得怎样？提示：当角的终边落在x轴上时，正弦线、正切线分别变成了一个点；终边落在y轴上时，余弦线变成了一个点，正切线不存在．１．角错误!和角错误!有相同的（）Ａ．正弦线Ｂ．余弦线Ｃ．正切线Ｄ．不能确定C[角错误!和角错误!的终边互为反向延长线，所以正切线相同．]２．如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是（）Ａ．正弦线OM，正切线A′T′Ｂ．正弦线OM，正切线A′T′Ｃ．正弦线MP，正切线ATＤ．正弦线MP，正切线A′T′C[α为第三象限角，故正弦线为MP，正切线为AT，C正确．]３．若角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为________．１[若角α的余弦线长度为0时，α的终边落在y轴上，正弦线与单位圆的交点为（0,１）或（0，—１），所以正弦线长度为１．]作已知角的三角函数线【例１】（１）—错误!；（２）错误!；（３）错误!.[解] 如图．其中MP为正弦线，OM为余弦线，AT为正切线．三角函数线的画法１作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线.２作正切线时，应从A１，0点引x轴的垂线，交α的终边α为第一或第四象限角或α终边的反向延长线α为第二或第三象限角于点T，即可得到正切线AT.错误!１．作出—错误!的正弦线、余弦线和正切线．[解] 如图：sin错误!＝MP，cos错误!＝OM，tan错误!＝AT.利用三角函数线比较大小【例２】Ａ．若α、β是第一象限角，则sin α＞sin βＢ．若α、β是第二象限角，则tan α＞tan βＣ．若α、β是第三象限角，则sin α＞sin βＤ．若α、β是第四象限角，则tan α＞tan β（２）利用三角函数线比较sin错误!和sin错误!，cos错误!和cos错误!，tan错误!和tan错误!的大小．思路点拨：（１）（２）（１）D[由图（１）可知，cos α＞cos β时，sin α＜sin β，故A错误；图（１）由图（２）可知，cos α＞cos β时，tan α＜tan β，故B错误；图（２）由图（３）可知，cos α＞cos β时，sin α＜sin β，C错误；图（３）由图（４）可知，cos α＞cos β时，tan α＞tan β，D正确．]图（４）（２）解：如图，sin错误!＝MP，cos错误!＝OM，tan错误!＝AT，sin错误!＝M′P′，cos错误!＝OM′，tan错误!＝AT′.显然|MP|＞|M′P′|，符号皆正，∴sin错误!＞sin错误!；|OM|＜|OM′|，符号皆负，∴cos错误!＞cos错误!；|AT|＞|AT′|，符号皆负，∴tan错误!＜tan错误!.１利用三角函数线比较大小的步骤：１角的位置要“对号入座”；２比较三角函数线的长度；３确定有向线段的正负.２利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点：１关键：在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线.,２注意点：比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方向.错误!２．已知a＝sin错误!，b＝cos错误!，c＝tan错误!，则（）Ａ．a＜b＜cＢ．a＜c＜bＣ．b＜c＜aＤ．b＜a＜cD[由如图的三角函数线知：MP＜AT，因为错误!＞错误!＝错误!，所以MP＞OM，所以cos错误!＜sin错误!＜tan错误!，所以b＜a＜c.]３．设错误!＜α＜错误!，试比较角α的正弦线、余弦线和正切线的长度．如果错误!＜α＜错误!，上述长度关系又如何？[解] 如图所示，当错误!＜α＜错误!时，角α的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT，显然在长度上，AT＞MP＞OM；当错误!＜α＜错误!时，角α的正弦线为M′P′，余弦线为OM′，正切线为AT′，显然在长度上，AT′＞M′P′＞OM′.利用三角函数线解三角不等式[探究问题]１．利用三角函数线如何解答形如sin α≥a，sin α≤a（|a|≤１）的不等式？提示：对形如sin α≥a，sin α≤a（|a|≤１）的不等式：图１画出如图１所示的单位圆；在y轴上截取OM＝a，过点（0，a）作y轴的垂线交单位圆于两点P和P′，并作射线OP和OP′；写出终边在OP和OP′上的角的集合；图中阴影部分即为满足不等式sin α≤a 的角α的范围，其余部分即为满足不等式sin α≥a的角α的范围．２．利用三角函数线如何解答形如cos α≥a，cos α≤a（|a|≤１）的不等式？提示：对形如cos α≥a，cos α≤a（|a|≤１）的不等式：图２画出如图２所示的单位圆；在x轴上截取OM＝a，过点（a,0）作x轴的垂线交单位圆于两点P和P′，作射线OP和OP′；写出终边在OP和OP′上的角的集合；图中阴影部分即为满足不等式cos α≤a的角α的范围，其余部分即为满足不等式cos α≥a的角α的范围．【例３】利用三角函数线确定满足下列条件的角α的取值范围．（１）cos α＞—错误!；（２）tan α≤错误!；（３）|sin α|≤错误!.思路点拨：[解] （１）如图，由余弦线知角α的取值范围是错误!.（２）如图，由正切线知角α的取值范围是错误!.（３）由|sin α|≤错误!，得—错误!≤sin α≤错误!.如图，由正弦线知角α的取值范围是错误!错误!.１．将本例（１）的不等式改为“cos α＜错误!”，求α的取值范围．[解] 如图，由余弦线知角α的取值范围是错误!.２．将本例（３）的不等式改为“—错误!≤sin α＜错误!”，求α的取值范围．[解] 由三角函数线可知sin错误!＝sin错误!＝错误!，sin错误!＝sin错误!＝—错误!，且—错误!≤sin θ＜错误!，故θ的取值集合是错误!∪错误!（k∈Z）．３．利用本例的方法，求函数y＝错误!的定义域．[解] 要使函数有意义，只需２sin x—１≥0，即sin x≥错误!.由正弦线可知定义域为错误!（k∈Z）．利用单位圆中的三角函数线解不等式的方法１首先作出单位圆，然后根据各问题的约束条件，利用三角函数线画出角α满足条件的终边的位置.２角的终边与单位圆交点的横坐标是该角的余弦值，与单位圆交点的纵坐标是该角的正弦值.３写角的范围时，抓住边界值，然后再注意角的范围的写法要求.提醒：在一定范围内先找出符合条件的角，再用终边相同的角的表达式写出符合条件的所有角的集合.１．本节课应重点掌握三角函数线的以下三个问题（１）三角函数线的画法，见类型１；（２）利用三角函数线比较大小，见类型２；（３）利用三角函数线解简单不等式，见类型３．２．三角函数线是三角函数的几何表示，它们都是有向线段，线段的方向表示三角函数值的正负，与坐标轴同向为正，异向为负，线段的长度是三角函数的绝对值，这是本节重中之重．３．利用三角函数线解三角不等式的方法正弦、余弦型不等式的解法对于sin x≥b，cos x≥a（sin x≤b，cos x≤a），求解关键是寻求恰当的点，只需作直线y＝b或x＝a与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的范围正切型不等式的解对于tan x≥c，取点（１，c），连接该点和原点并反向延长，即得角的终边所在的法位置，结合图象可确定相应的范围１．下列判断中错误的是（）Ａ．α一定时，单位圆中的正弦线一定Ｂ．在单位圆中，有相同正弦线的角相等Ｃ．α和α＋π有相同的正切线Ｄ．具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上B[A正确；B错误，如错误!与错误!有相同正弦线；C正确，因为α与π＋α的终边互为反向延长线；D正确．]２．如果OM，MP分别是角α＝错误!的余弦线和正弦线，那么下列结论正确的是（）Ａ．MP＜OM＜0 Ｂ．MP＜0＜OMＣ．MP＞OM＞0 Ｄ．OM＞MP＞0D[角β＝错误!的余弦线与正弦线相等，结合图象可知角α＝错误!的余弦线和正弦线满足OM＞MP＞0．]３．若a＝sin ４，b＝cos ４，则a，b的大小关系为________．a＜b[因为错误!＜４＜错误!，画出４弧度角的正弦线和余弦线（如图），观察可知sin ４＜cos ４，即a＜b.]４．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边范围，并由此写出角α的集合．（１）sin α≥错误!；（２）cos α≤—错误!.[解] （１）作直线y＝错误!交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则角α的终边在如图１所示的阴影区域内（含边界），角α的取值集合为错误!.图１图２（２）作直线x＝—错误!交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则角α的终边在如图２所示的阴影区域内（含边界），角α的取值集合为错误!.。