南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试卷(含答案)

绝密★启用前江苏省南京市、盐城市普通高中2020届高三毕业班第二次高考模拟联合考试语文试题2020年4月(满分160分，考试时间150分钟)一、语言文字运用(12分)阅读下面两组关于“文化”的文字，完成1～4题。

(一)作为一个长期从事中国传统文化研究的专家，他享有极高的学术________，其著作所显示的深厚的________和扎实的功力得到了学界的广泛好评。

他对民族文化抱有坚定的信念，当然，这并不是说他是一个________的国粹主义者。

他主张文化发展要有所超越，认为内在超越是中国传统价值系统的基本特征，而超越世界与现实世界并不是________的，中国人基本上不在这两个世界之间划上一道不可逾越的鸿沟。

他还认为,中国人的生死观仍是“人与天地万物为一体”观念的延伸。

________,________。

________,________。

________,________。

中国思想的最可贵之处则是能够不依赖灵魂不朽而积极地肯定人生。

1. 在第一段文字的横线处填入词语,最恰当的一组是(3分)()A. 声望素养墨守成规截然不同B. 威望学养墨守成规泾渭分明C. 声望学养抱残守缺泾渭分明D. 威望素养抱残守缺截然不同2. 在第二段文字的横线处填入语句,衔接最恰当的一项是(3分)()①宇宙和人类是一个生生不已的过程②张载强调“生”是“气之聚”,“死”是“气之散”③更无所谓死亡④自然不必为死亡而惶恐不安⑤既然是“聚亦吾体,散亦吾体”⑥庄子用“气”的聚、散说生死A. ①④②⑥⑤③B. ⑥②⑤④①③C. ⑥⑤④②③①D. ①③④⑤⑥②(二)据“百·度·百科”词条解释,亚文化是指与主文化相对应的非主流的、局部的文化现象。

亚文化不仅包含着与主文化相通的价值与观念,也有属于自己的独特的价值与观念,如粉·丝·文化、嘻哈文化、网络文学等等。

近期,由网络小说改编的《庆余年》为什么能火？在很大程度上是因为制作方力出新意,老·戏·骨·演技在线,小·鲜·肉·颜值担当。

南京市、盐城市2020届⾼三年级第⼆次模拟考试卷英语第⼆部分：英语知识运⽤（共两节，满分35分）第⼀节 单项填空（共15⼩题，每题1分，满分15分）请认真阅读下⾯各题，从题中所给的A, B, C, D四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂⿊。

21. Sometimes life is not about the destination but a journey ______ we enjoy beautiful sights.A. whyB. whichC. whereD. that22. Julie's success ______ the faith her teachers had put in her.A. clarifiedB. classifiedC. simplifiedD. justified23. Ann ______ English literature in college, but now she's one of the most famous designers.A. studiedB. had studiedC. has studiedD. was studying24. Only medical supply trucks were granted safe ______ through this virus-stricken area.A. positionB. passageC. practiceD. performance25. Lily believes she can control the outcomes of her life ______ her hard work.A. by virtue ofB. for the sake ofC. in the event ofD. on top of26. The boat whistled past, making the water in the river ______ open.A. slidB. splitC. sprayedD. slipped27. When studying at home, it's critical to ______ an inspirational studying environment.A. set upB. polish upC. back upD. fix up28. The demands for fresh water for drinking and agriculture exceed ______ is availableA. whichB. whereC. thatD. what29. "2020 will be a year of milestone significance, " President Xi said, ______ that the country will complete its task of building a power.A. notedB. notingC. having notedD. being noted30. --- Do you think the only way to truly know a person is to argue with him?--- I can't agree more. When the argument is ______ it reveals their character.A. in full swingB. in the airC. under the noseD. under the counter31. ______ you make peace with who you are, you'll never be content with what you have.A. IfB. SinceC. WhenD. Until32. Each new crew member ______ be provided with adequate health and safety protection, according to the Civil Aviation RegulationsA. mayB. willC. shallD. can33. The clerk ______ a rise in salary from the boss, but he proved a disappointment.A. expectedB. has been expectingC. had been expectingD. has expected34. There are many privacy concerns surrounding cybercrime when confidential information is revealed, lawfully or ______.- 1 -- 2 -A. regardlessB. insteadC. ratherD. otherwise 35. --- I feel really bad about all the mess.--- ______. I can clear it up later.A. Forgive meB. Don't worryC. Don't mention itD. You're telling me第二节 完型填空（共20小题：每小题1分，满分20分）When I was a kid, we were out and about all the time, playing with our friends, in and out of each other’s houses, sandwich in pocket, making our own___36___. Our parents ___37___ saw us from morning to night. We didn't have much stuff, but we came and went as we liked. ” This is roughly what you will ___38___ if you ask anyone over 30 about their ___39___ in a rich country.Today such children will spend most of their time ___40___ , often with parents rather than with friends, be supervised (监管) more closely, be driven everywhere ___41___walking or cycling, take part in many more ___42___ activities, and probably engage with a screen of some kind. All this is done with the best of ___43___. Parents intend to protect their offspring from traffic, crime and other dangers, and to give them every opportunity to ___44___.The children themselves seem fairly ___45___ with their lives. In a survey across the OECD, 15-year-olds were asked to ___46___ their satisfaction with their life on a scale from zero to ten. The ___47___ score was 7.3, with Finnish kids the ___48___, at nearly 7.9, and Turkish ones the gloomiest (灰暗的), at 6.1.___49___, that is not surprising. ___50___ parents these days, especially in America, invest a huge amount of time and money in their children to ensure that they will do ___51___ as well as the parents themselves have done, and preferably better. Those ___52___ and extra tutoring, music lessons and educational visits, together with lively discussions at home have proved effective at securing the good ___53___ that will open the doors to top universities and well-paid jobs. But working-class parents in America, for their part, ___54___ the means to engage in such intensive parenting. As a result, social divisions from one generation to the next are set to ___55___. A recent report by the World Bank showed that intergenerational social mobility in America is now among the lowest in all rich countries.36. A. plans B. schedule C. decisions D. entertainment37. A. often B. hardly C. willingly D. reluctantly38. A. say B. cite C. hear D. mention39. A. study B. hobby C. family D. childhood40. A. alone B. socially C. indoors D. outdoors41. A. instead of B. regardless of C. due to D. next to42. A. casual B. desired C. organized D. physical43. A. rewards B. intentions C. guidance D. discipline44. A. risk B. fail C. relax D. succeed45. A. happy B. bored C. familiar D. unsatisfied46. A. rate B. predict C. anticipate D. connect47. A. final B. average C. minimum D. maximum48. A. lowest B. poorest C. funniest D. sunniest49. A. However B. Therefore C. Unluckily D. Hopefully50. A. Rich B. Poor C. Kind D. Strict51. A. at most B. at last C. at firstD. at least- 3 -52.A. dullB. limitedC. endlessD. meaningless 53.A. fameB. gradesC. positionsD. identity 54.A. denyB. lackC. possessD. require 55. A. appear B. shorten C. disappear D. broaden第三部分 阅读理解（共15小题；每小题2分，满分30分）请认真阅读下列短文，从短文后各题所给的A 、B 、C 、D 四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑。

南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试卷化学本试卷分选择题和非选择题两部分。

共120分。

考试用对100分钟。

注意事项：答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题卡上。

考试结束后，交回答题卡。

可能用到的相对原子质量；H1C12Nl4O16Mg24S32Ca40Fe56选择题（共40分）单项选择题：本题包括10小题，每，J、题2分，共计20分。

每小题只有一个选项符合题意。

1．新型冠状病毒对人类健康构成严重威胁。

下列物质不能用作新型冠状病毒消毒剂的是A．75%酒精B．次氯酸钠溶液C生理盐水D过氧乙酸溶液2．用化学用语表示中的相关微粒，其中正确的是A．中子数为15的硅原子：B．氟原子的结构示意图：C.SiF4的电子式D．水分子的比例模型：3．下列有关物质的性质与用途具有对应关系的是A．Al2O3具有两性，可用作耐高温材料B．FeCI3溶液呈酸性，可用于腐蚀电路扳上的CuC．Na2O2.能吸收CO2产生O2，司用作呼吸面具供氧剂D．FeS难溶于水，可用于除去废水中的Cu2+4．常温下，下列各组离子在指定溶液中能大量共存的是A．澄清透明的酸性溶液中：B．能使酚酞变红的溶液中：C．的溶液中D．的溶液中：5．用下列实验操作或装置进行相应实验，正确的是A．用图甲所示操作测定NaOH溶液的浓度B．用图乙所示操作配制银氨溶液C．用图丙所示装置吸收尾气中的SO2D．用图丁所示装置检验产生的乙烯6．下列有关化学反应的叙述正确的是A．铝在稀硝酸中发生钝化B．过量铁粉在Cl中燃烧制取FeClC．N2与O2在放电条件F化合生成NO2D．新制Cu(OH)2悬浊液中加入葡萄糖并煮沸，生成Cu2O7.下列指定反应的离子方程式正确的是A.NO2溶予水：B.电解饱和食盐水：C.Fe(OH)3溶于氢碘酸：D.向氨水中通入过量CO2:8.短周期主族元素X.Y、Z、w原子序数依次增大。

X、Z同主族，Y、W同主族，且X的原子半径小于Y，Y是地壳中含量最高的元索。

南京市、盐城市2020届高三第二次模拟考试试卷数学(满分160分，考试时间120分钟)2020．4 参考公式：圆锥的侧面积公式：S＝πrl，其中r为圆锥底面圆的半径，l为圆锥的母线长．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|x(x－5)＜0}，则A∩B＝________．2. 已知复数z＝1＋2i，其中i为虚数单位，则z2的模为________．3. 如图是一个算法流程图，若输出的实数y的值为－1，则输入的实数x的值为________．(第3题)(第4题)4. 某校初三年级共有500名女生，为了了解初三女生1分钟“仰卧起坐”项目训练情况，统计了所有女生1分钟“仰卧起坐”测试数据(单位：个)，并绘制了如图频率分布直方图，则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生有________个．5. 从编号为1，2，3，4的4张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上数字能被第一次抽得的卡片上的数字整除的概率为________．6. 已知函敬f(x)是定义在R 上的奇函敷，且周期为2，当x ∈(0，1]时，f(x)＝x ＋，则f(a)的值为________．7. 若将函数f(x)＝sin(2x ＋π3)的图象沿x 轴向右平移φ(φ＞0)个单位长度后所得的图象与f(x)的图象关于x 轴对称，则φ的最小值为________．8. 在△ABC 中，AB ＝25，AC ＝5，∠BAC ＝90°，则△ABC 绕BC 所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为________．9. 已知数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列，满足{a 1，a 2，a 3}＝{b 1，b 2，b 3}＝{a ，b ，－2}，其中a ＞0，b ＞0，则a ＋b 的值为________．10. 已知点P 是抛物线x 2＝4y 上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为(0，－1)，则PFPA 的最小值为________．11. 已知x ，y 为正实数，且xy ＋2x ＋4y ＝41，则x ＋y 的最小值为________．12. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：(x －m)2＋y 2＝r 2(m ＞0)．已知过原点O 且相互垂直的两条直线l 1和l 2，其中l 1与圆C 相交于A ，B 两点，l 2与圆C 相切于点D.若AB ＝OD ，则直线l 1的斜率为________．13. 在△ABC 中，BC 为定长，|AB →＋2AC →|＝3|BC →|.若△ABC 面积的最大值为2，则边BC 的长为________．14. 已知函数f(x)＝e x －x －b(e 为自然对数的底数，b ∈R )．若函数g(x)＝f(f(x)－12)恰有4个零点，则实数b 的取值范围是________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在三棱锥PABC 中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE 上平面ABC. (1) 求证：AC ∥平面PDE ；(2) 若PD ＝AC ＝2，PE ＝3，求证：平面PBC ⊥平面ABC.16. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝bcos C ＋csin B. (1) 求B 的值；(2) 设∠BAC 的平分线AD 与边BC 交于点D.已知AD ＝177，cos A ＝－725，求b 的值．如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A 与小岛圆心C 相距3千米．为方便游人到小岛观光，从点A 向小岛建三段栈道AB ，BD ，BE ，湖面上的点B 在线段AC 上，且BD ，BE 均与圆C 相切，切点分别为D ，E ，其中栈道AB ，BD ，BE 和小岛在同一个平面上．沿圆C 的优弧(圆C 上实线部分)上再修建栈道DE ︵，记∠CBD 为θ.(1) 用θ表示栈道的总长度f(θ)，并确定sin θ的取值范围； (2) 求当θ为何值时，栈道总长度最短．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且过点(0，3)．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 已知△BMN 是椭圆C 的内接三角形．①若点B 为椭圆C 的上顶点，原点O 为△BMN 的垂心，求线段MN 的长； ②若原点O 为△BMN 的重心，求原点O 到直线MN 距离的最小值．已知函数f(x)＝x 3－x 2－(a －16)x ，g(x)＝aln x ，a ∈R .函数h(x)＝f （x ）x －g(x)的导函数h′(x)在[52，4]上存在零点． (1) 求实数a 的取值范围；(2) 若存在实数a ，当x ∈[0，b]时，函数f(x)在x ＝0时取得最大值，求正实数b 的最大值；(3) 若直线l 与曲线y ＝f(x)和y ＝g(x)都相切，且l 在y 轴上的截距为－12，求实数a 的值．已知无穷数列{a n}的各项均为正整数，其前n项和为S n.记T n为数列{a n}的前a n项和，即T n＝a1＋a2＋…＋a n.(1) 若数列{a n}为等比数列，且a1＝1，S4＝5S2，求T3的值；(2) 若数列{a n}为等差数列，且存在唯一的正整数n(n≥2)，使得T na n<2，求数列{a n}的通项公式；(3) 若数列{T n}的通项为T n＝n（n＋1）2，求证：数列{a n}为等差数列.2020届高三模拟考试试卷 数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵M ＝[1221]，MN ＝[1001]．(1) 求矩阵N ；(2) 求矩阵N 的特征值．B. (选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝12t 2(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ－π4)＝ 2.若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，求线段AB 的长．C. (选修45：不等式选讲)已知a ＞0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 某商场举行有奖促销活动，顾客购买每满400元的商品即可抽奖一次．抽奖规则如下：抽奖者掷各面标有1～6点数的正方体骰子1次，若掷得点数大于4，则可继续在抽奖箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖．已知抽奖箱中装有2个红球与m(m≥2，m∈N*)个白球，抽奖者从箱中任意摸出2个球，若2个球均为红球，则获得一等奖；若2个球为1个红球和1个白球，则获得二等奖；否则，获得三等奖(抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同)．(1) 若m＝4，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；(2) 若一等奖可获奖金400元，二等奖可获奖金300元，三等奖可获奖金100元，记顾客一次抽奖所获得的奖金为X，若商场希望X的数学期望不超过150元，求m的最小值．23.已知集合A n＝{1，2，…，n}，n∈N*，n≥2，将A n的所有子集任意排列，得到一个有序集合组(M1，M2，…，M m)，其中m＝2n.记集合M k中元素的个数为a k，k∈N*，k≤m，规定空集中元素的个数为0.(1) 当n＝2时，求a1＋a2＋…＋a m的值；(2) 利用数学归纳法证明：不论n(n≥2)为何值，总存在有序集合组(M1，M2，…，M m)，满足任意i∈N*，i≤m－1，都有|a i－a i＋1|＝1.2020届高三模拟考试试卷(南京、盐城)数学参考答案及评分标准1. {1，3}2. 53. －144. 3255. 126. 07. π28. 65π9. 5 10. 22 11. 8 12.±25513. 2 14. (1，12＋ln 2)15. 证明：(1) 因为点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以DE ∥AC.(2分) 因为AC ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ，所以AC ∥平面PDE.(4分) (2) 因为点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以DE ＝12AC.因为AC ＝2，所以DE ＝1.因为PD ＝2，PE ＝3，所以PD 2＝PE 2＋DE 2， 因此在△PDE 中，PE ⊥DE.(8分)又平面PDE ⊥平面ABC ，且平面PDE ∩平面ABC ＝DE ，PE ⊂平面PDE ， 所以PE ⊥平面ABC.(12分)因为PE ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面ABC.(14分) 16. 解：(1) 因为a ＝bcos C ＋csin B ， 由a sin A ＝b sin B ＝c sin C，得sin A ＝sin Bcos C ＋sin Csin B ．(2分) 因为sin A ＝sin[π－(B ＋C)]＝sin(B ＋C)＝sin Bcos C ＋cos Bsin C ， 所以sin Bcos C ＋cos Bsin C ＝sin Bcos C ＋sin Csin B ， 即cos Bsin C ＝sin Csin B ．(4分)因为0＜C ＜π，所以sin C ≠0，所以sin B ＝cos B.又0＜B ＜π，所以sin B ≠0，从而cos B ≠0，所以tan B ＝1，所以B ＝π4.(6分)(2) 因为AD 是∠BAC 的平分线，设∠BAD ＝θ，所以A ＝2θ.因为cos A ＝－725，所以cos 2θ＝cos A ＝－725，即2cos 2θ－1＝－725，所以cos 2θ＝925.因为0＜A ＜π，所以0＜θ＜π2，所以cos θ＝35，所以sin θ＝1－cos 2θ＝45.在△ABD 中，sin ∠ADB ＝sin(B ＋θ)＝sin(π4＋θ)＝sin π4cos θ＋cos π4sin θ＝22×(35＋45)＝7210.(8分) 由AD sin B ＝AB sin ∠ADB ，所以AB ＝ADsin ∠ADB sin B ＝177×7210×2＝175.(10分) 在△ABC 中，sin A ＝1－cos 2A ＝2425，所以sin C ＝sin(A ＋B)＝sin Acos B ＋cos Asin B ＝22×(2425－725)＝17250.(12分) 由b sin B ＝c sin C ，得b ＝csin B sin C ＝175×2217250＝5.(14分) 17. 解：(1) 连结CD ，因为BD 与圆C 相切，切点为D ，所以△BCD 为直角三角形． 因为∠CBD ＝θ，且圆形小岛的半径为1千米，所以DB ＝1tan θ，BC ＝1sin θ.因为岸边上的点A 与小岛圆心C 相距3千米，所以AB ＝AC －BC ＝3－1sin θ.(2分)因为BE 与圆C 相切，所以BE ＝DB ＝1tan θ，优弧DE ︵所对圆心角为2π－(π－2θ)＝π＋2θ，所以优弧DE ︵长l 为π＋2θ.(4分)所以f(θ)＝AB ＋BD ＋BE ＋l ＝3－1sin θ＋1tan θ＋1tan θ＋π＋2θ＝3＋π＋2θ＋2cos θ－1sin θ.(6分)因为0＜AB ＜2，所以0＜3－1sin θ＜2，解得13＜sin θ＜1，所以sin θ的取值范围是(13，1)．(8分)(2) 由f(θ)＝3＋π＋2θ＋2cos θ－1sin θ，得f′(θ)＝－2＋cos θsin 2θ＋2＝cos θ（1－2cos θ）sin 2θ.(10分)令f′(θ)＝0，解得cos θ＝12.因为θ为锐角，所以θ＝π3.(12分)设sin θ0＝13，θ0为锐角，则0＜θ0＜π3.当θ∈(θ0，π3)时，f ′(θ)＜0，则f(θ)在(θ0，π3)上单调递减；当θ∈(π3，π2)时，f ′(θ)＞0，则f(θ)在(π3，π2)上单调递增．所以f(θ)在θ＝π3时取得最小值．答：当θ＝π3时，栈道总长度最短．(14分)18. 解：(1) 记椭圆C 的焦距为2c ，因为椭圆C 的离心率为12，所以c a ＝12.因为椭圆C 过点(0，3)，所以b ＝ 3.因为a 2－c 2＝b 2，解得c ＝1，a ＝2，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2分)(2) ① 因为点B 为椭圆C 的上顶点，所以B 点坐标为(0，3)． 因为O 为△BMN 的垂心，所以BO ⊥MN ，即MN ⊥y 轴． 由椭圆的对称性可知M ，N 两点关于y 轴对称．(4分) 不妨设M(x 0，y 0)，则N(－x 0，y 0)，其中－3＜y 0＜ 3.因为MO ⊥BN ，所以MO →·BN →＝0，即(－x 0，－y 0)·(－x 0，y 0－3)＝0，得x 20－y 20＋3y 0＝0.(6分)又点M(x 0，y 0)在椭圆上，则x 204＋y 23＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 20－y 20＋3y 0＝0，x 204＋y 203＝1，解得y 0＝－437或y 0＝3(舍去)，此时|x 0|＝2337. 故MN ＝2|x 0|＝4337，即线段MN 的长为4337.(8分) ②(解法1)设B(m ，n)，记线段MN 中点为D.因为O 为△BMN 的重心，所以BO →＝2OD →，则点D 的坐标为(－m 2，－n 2)．(10分)若n ＝0，则|m|＝2，此时直线MN 与x 轴垂直，故原点O 到直线MN 的距离为⎪⎪⎪⎪m 2， 即为1.若n ≠0，此时直线MN 的斜率存在．设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－m ，y 1＋y 2＝－n.又x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）4＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）3＝0， 可得k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－3m 4n .(12分)故直线MN 的方程为y ＝－3m 4n (x ＋m 2)－n2，即6mx ＋8ny ＋3m 2＋4n 2＝0，则点O 到直线MN 的距离为d ＝|3m 2＋4n 2|36m 2＋64n 2.将m 24＋n 23＝1，代入得d ＝3n 2＋9.(14分) 因为0＜n 2≤3，所以d min ＝32. 又32＜1，故原点O 到直线MN 距离的最小值为32.(16分) (解法2)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，B(x 3，y 3)，因为O 为△BMN 的重心，所以x 1＋x 2＋x 3＝0，y 1＋y 2＋y 3＝0， 则x 3＝－(x 1＋x 2)，y 3＝－(y 1＋y 2)．(10分) 因为x 234＋y 233＝1，所以（x 1＋x 2）24＋（y 1＋y 2）23＝1.将x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，代入得x 1x 24＋y 1y 23＝－12.(12分) 若直线MN 的斜率不存在，则线段MN 的中点在x 轴上，从而B 点位于长轴的顶点处． 由于OB ＝2，所以此时原点O 到直线MN 的距离为1. 若直线MN 的斜率存在，设为k ，则其方程为y ＝kx ＋n. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋n ，x 24＋y 23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8knx ＋4n 2－12＝0 (*)． 则Δ＝(8kn)2－4(3＋4k 2)(4n 2－12)＞0，即3＋4k 2＞n 2. 由根与系数关系可得x 1＋x 2＝－8kn 3＋4k 2，x 1x 2＝4n 2－123＋4k 2，则y 1y 2＝(kx 1＋n)(kx 2＋n)＝k 2x1x 2＋kn(x 1＋x 2)＋n 2＝3n 2－12k 23＋4k 2，代入x 1x 24＋y 1y 23＝－12，得14×4n 2－123＋4k 2＋13×3n 2－12k 23＋4k 2＝－12，即n 2＝k 2＋34.(14分) 又3＋4k 2＞n 2，于是3＋4k 2＞k 2＋34，即3k 2＋94＞0恒成立，因此k ∈R .原点(0，0)到直线MN 的距离为d ＝|n|k 2＋1＝k 2＋34k 2＋1＝1－14（k 2＋1）.因为k 2≥0，所以当k ＝0时，d min ＝32. 又32＜1，故原点O 到直线MN 距离的最小值为32.(16分) 19. 解：(1) 因为h(x)＝f （x ）x －g(x)＝x 2－x －(a －16)－aln x ，所以h′(x)＝2x －1－a x ＝2x 2－x －ax .令h′(x)＝0，得2x 2－x －a ＝0.因为函数h′(x)在[52，4]上存在零点，即y ＝2x 2－x －a 在[52，4]上存在零点，又函数y ＝2x 2－x －a 在[52，4]上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧2×（52）2－52－a ≤0，2×42－4－a ≥0，解得10≤a ≤28.因此，实数a 的取值范围是[10，28]．(2分)(2) (解法1)因为当x ∈[0，b]时，函数f(x)在x ＝0处取得最大值， 即存在实数a ，当x ∈[0，b]时，f(0)≥f(x)恒成立， 即x 3－x 2－(a －16)x ≤0对任意x ∈[0，b]都成立．(4分) 当x ＝0时，上式恒成立；(6分)当x ∈(0，b]时，存在a ∈[10，28]，使得x 2－x ＋16≤a 成立，(8分) 所以x 2－x ＋16≤28，解得－3≤x ≤4，所以b ≤4.故当a ＝28时，b 的最大值为4.(10分)(解法2)由f(x)＝x 3－x 2－(a －16)x ，得f′(x)＝3x 2－2x －(a －16)． 设Δ＝4＋12(a －16)＝4(3a －47)．若Δ≤0，则f′(x)≥0恒成立，f(x)在[0，b]上单调递增，因此当x ∈[0，b]时，函数f(x)在x ＝0时不能取得最大值，于是Δ＞0，(4分) 故f′(x)＝0有两个不同的实数根，记为x 1，x 2(x 1＜x 2)．若x 1＞0，则当x ∈(0，x 1)时，f ′(x)＞0，f(x)在(0，x 1)上单调递增， 因此当x ∈[0，b]时，函数f(x)在x ＝0时不能取得最大值， 所以x 1≤0.(6分)又x 1＋x 2＝23＞0，因此x 2＞0，从而当x ∈(0，x 2)时，f ′(x)＜0，f(x)单调递减； 当x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x)＞0，f(x)单调递增，若存在实数a ，当x ∈[0，b]时，函数f(x)在x ＝0处取得最大值， 则存在实数a ，使得f(0)≥f(b)成立，即b 3－b 2－(a －16)b ≤0.(8分) 所以存在a ∈[10，28]，使得b 2－b ＋16≤a 成立， 所以b 2－b ＋16≤28，解得－3≤b ≤4， 故当a ＝28时，b 的最大值为4.(10分)(3) 设直线l 与曲线y ＝f(x)相切于点A(x 1，f(x 1))，与曲线y ＝g(x)相切于点B(x 2，g(x 2))，过点A(x 1，f(x 1))的切线方程为y －[x 31－x 21－(a －16)x 1]＝[3x 21－2x 1－(a －16)](x －x 1)，即y ＝[3x 21－2x 1－(a －16)]x －2x 31＋x 21.过点B(x 2，g(x 2))的切线方程为y －aln x 2＝a x 2(x －x 2)，即y ＝ax 2x ＋aln x 2－a.因为直线l 在y 上的截距为－12，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x 21－2x 1－（a －16）＝ax 2①，－2x 31＋x 21＝－12 ②，aln x 2－a ＝－12 ③.(12分) 由②解得x 1＝2，则⎩⎪⎨⎪⎧24－a ＝a x 2，aln x 2－a ＝－12，消去a ，得ln x 2＋1－x 22x 2＝0.(14分)由(1)知10≤a ≤28，且x 2＞0，则x 2≥57.令p(x)＝ln x ＋1－x 2x ，x ∈[57，＋∞)，则p′(x)＝1x －12x 2＝2x －12x 2.因为p′(x)＞0，所以函数p(x)在[57，＋∞)上为增函数．因为p(1)＝0，且函数p(x)的图象是不间断的， 所以函数p(x)在[57，＋∞)上有唯一零点1，所以方程ln x 2＋1－x 22x 2＝0的解为x 2＝1，所以a ＝12.所以实数a 的值为12.(16分)20. (1) 解：设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 4＝5S 2，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝5(a 1＋a 2)，即a 3＋a 4＝4(a 1＋a 2)， 所以a 1q 2(1＋q)＝4a 1(1＋q)．因为数列{a n }的各项均为正整数，所以a 1，q 均为正数，所以q 2＝4，解得q ＝2.又a 1＝1，所以a n ＝2n －1，从而a 3＝4， 所以T 3＝S 4＝1＋2＋22＋23＝15.(2分)(2) 解：设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d. 因为数列{a n }的各项均为正整数，所以d ∈Z .若d ＜0，令a n ＞0，得n ＜1－a 1d ，这与{a n }为无穷数列相矛盾，因此d ≥0，即d ∈N .(4分)因为S n ＝na 1＋n （n －1）d 2，所以T n ＝a 1a n ＋a n （a n －1）d 2，因此T na n ＝a 1＋（a n －1）d 2.由T na n ＜2，得a 1＋（a n －1）d 2＜2.(6分) 因为a 1∈N *，d ∈N ，所以2＞a 1＋（a n －1）d 2≥a 1≥1，因此a 1＝1.于是1＋（n －1）d 22＜2，即(n －1)d 2＜2.①若d ＝0，则存在无穷多个n(n ≥2)，使得上述不等式成立，所以d ＝0不合题意；(8分) ②若d ∈N *，则n ＜1＋2d2，因为存在唯一的正整数n(n ≥2)，使得该不等式成立， 所以2＜1＋2d2≤3，即1≤d 2＜2.又d ∈N *，所以d ＝1，因此a n ＝1＋(n －1)×1＝n.(10分)(3) 证明：因为S n ＋1－S n ＝a n ＋1＞0，所以S n ＋1＞S n ，即数列{S n }单调递增． 又T n ＋1－T n ＝（n ＋1）（n ＋2）2－n （n ＋1）2＝n ＋1＞0，所以T n ＋1＞T n ，即Sa n ＋1＞Sa n ，因为数列{S n }单调递增，所以a n ＋1＞a n .(12分) 又a n ∈N *，所以a n ＋1≥a n ＋1，即a n ＋1－a n ≥1，所以a n ＋1－a 1＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n ＋1－a n )≥n ， 因此a n ＋1≥a 1＋n ≥1＋n ，即a n ≥n(n ≥2)． 又a 1≥1，所以a n ≥n ①.(14分)由T n ＋1－T n ＝n ＋1，得aa n ＋1＋aa n ＋2＋…＋aa n ＋1＝n ＋1， 因此n ＋1≥aa n ＋1≥a n ＋1，即a n ≤n ②. 由①②知a n ＝n ，因此a n ＋1－a n ＝1， 所以数列{a n }为等差数列．(16分)2020届高三模拟考试试卷(南京、盐城) 数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：(1) 因为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221，MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，所以N ＝M －1.(2分)因为|M|＝1×1－2×2＝－3，(4分)所以N ＝M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13－2－3－2－3－13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－132323－13.(6分) (2) N 的特征多项式f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ＋13－23－23λ＋13＝(λ＋13)2－(－23)2＝(λ－13)(λ＋1)．(8分)令f(λ)＝0，解得λ＝13或－1，所以N 的特征值是13和1.(10分)B. 解：曲线C 的普通方程为y ＝12(x 2)2＝18x 2.(2分)由直线l 的极坐标方程ρcos(θ－π4)＝2，得ρ(cos θcos π4＋sin θsin π4)＝2， 即22x ＋22y ＝2，所以直线l 的方程为y ＝－x ＋2.(4分) 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝18x 2，y ＝－x ＋2，消去y ，得x 2＋8x －16＝0，(6分)则x 1＋x 2＝－8，x 1x 2＝－16，所以AB ＝1＋（－1）2|x 1－x 2|＝2×（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2×（－8）2－4×（－16）＝16.(10分)C. 证明：(证法1)因为a ＞0，所以a ＋1a ≥2，要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2，只需证a 2＋1a 2≥(a ＋1a)－(2－2)．因为(a ＋1a )－(2－2)＞0，所以只需证(a 2＋1a 2)2≥⎣⎡⎦⎤（a ＋1a ）－（2－2）2，(4分)即2(2－2)(a ＋1a )≥8－42，即证a ＋1a ≥2.(8分)因为a ＋1a ≥2成立，所以要证的不等式成立．(10分)(证法2)令t ＝a ＋1a ，因为a ＞0，所以a ＋1a ≥2，即t ≥2.要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2，即证t 2－2－2≥t －2，即证t －t 2－2≤2－2，(4分)即证2t ＋t 2－2≤2－ 2.(6分)由于f(t)＝t ＋t 2－2在[2，＋∞)上单调递增，则f(t)≥f(2)＝2＋2，故2t ＋t 2－2≤22＋2＝2－ 2. 所以要证的原不等式成立．(10分)22. 解：(1) 设“顾客参加一次抽奖活动获得三等奖”为事件A. 因为m ＝4，所以P(A)＝46＋26×C 24C 26＝23＋13×25＝45.答：顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率为45.(4分)(2) X 的所有可能取值为400，300，100.P(X ＝400)＝26×C 22C 22＋m ＝23（m ＋1）（m ＋2），P(X ＝300)＝26×C 12C 1mC 22＋m ＝4m 3（m ＋1）（m ＋2），P(X ＝100)＝46＋26×C 2mC 22＋m ＝23＋m （m －1）3（m ＋1）（m ＋2），(7分)则E(X)＝400×23（m ＋1）（m ＋2）＋300×4m 3（m ＋1）（m ＋2）＋100×[23＋m （m －1）3（m ＋1）（m ＋2）]≤150，化简得3m 2－7m －6≥0.因为m ≥2，m ∈N *，所以m ≥3， 所以m 的最小值为3.(10分)23. (1) 解：当n ＝2时，A 2的子集为∅，{1}，{2}，{1，2}，且m ＝4. 所以a 1＋a 2＋…＋a m ＝0＋1＋1＋2＝4.(2分)(2) 证明：① 当n ＝2时，取一个集合组(M 1，M 2，M 3，M 4)＝(∅，{1}，{1，2}，{2})， 此时a 1＝0，a 2＝1，a 3＝2，a 4＝1，满足任意i ∈N *，i ≤3，都有|a i －a i ＋1|＝1， 所以当n ＝2时命题成立．(4分)②假设n ＝k(k ∈N *，k ≥2)时，命题成立，即对于A k ＝{1，2，…，k}，存在一个集合组(M 1，M 2，…，M m )满足任意i ∈N *，i ≤m －1，都有|a i －a i ＋1|＝1，其中m ＝2k .当n ＝k ＋1时，则A k ＋1＝{1，2，…，k ，k ＋1}，集合A k ＋1的所有子集除去M 1，M 2，…，M m 外，其余的子集都含有k ＋1.令M m＋1＝M m∪{k＋1}，M m＋2＝M m－1∪{k＋1}，…，M2m＝M1∪{k＋1}，取集合组(M1，M2，…，M m，M m＋1，M m＋2，…，M2m)，其中2m＝2k＋1，(6分)根据归纳假设知|a i－a i＋1|＝1，其中i∈N*，m＋1≤i≤2m－1，(8分)所以此集合组满足|a i－a i＋1|＝1，其中i∈N*，i≤m－1或m＋1≤i≤2m－1.又M m＋1＝M m∪{c}，所以|a m－a m＋1|＝1，因此|a i－a i＋1|＝1，其中i∈N*，i≤2m－1，即当n＝k＋1时，命题也成立．综上，不论n为何值，总存在有序集合组(M1，M2，…，M m)，满足任意i∈N*，i≤m－1，都有|a i－a i＋1|＝1.(10分)。

南京市、盐城市 2020 届高三年级第二次模拟考试语文Ⅰ注意事项：1.本试卷共 160 分。

考试用时 150 分钟。

2.答题前，考生务必将学校、姓名写在答．题．卡．上。

答案写在答．题．卡．上的指定位置。

考试结束后，交回答．题．卡．。

一、语言文字运用(12 分)阅读下面两组关于“文化”的文字，完成 1～4 题。

（一）作为一个长期从事中国传统文化研究的专家，他享有极高的学术▲，其著作所显示的深厚的▲和扎实的功力得到了学界的广泛好评。

他对民族文化抱有坚定的信念，当然，这并不是说他是一个▲的国粹主义者。

他主张文化发展要有所超越，认为内在超越是中国传统价值系统的基本特征，而超越世界与现实世界并不是▲的，中国人基本上不在这两个世界之间划上一道不可逾越的鸿沟。

他还认为，中国人的生死观仍是“人与天地万物为一体”观念的延伸。

▲，▲。

▲，▲。

▲，▲。

中国思想的最可贵之处则是能够不依赖灵魂不朽而积极地肯定人生。

1.在第一段文字的横线处填入词语，最恰当的一组是（3 分）A．声望素养墨守成规截然不同B. 威望学养墨守成规泾渭分明C.声望学养抱残守缺泾渭分明D.威望素养抱残守缺截然不同2.在第二段文字的横线处填入语句，衔接最恰当的一项是（3 分）①宇宙和人类是一个生生不已的过程②张载强调“生”是“气之聚”，“死”是“气之散”③更无所谓死亡④自然不必为死亡而惶恐不安⑤既然是“聚亦吾体，散亦吾体”⑥庄子用“气”的聚、散说生死A．①④②⑥⑤③ B. ⑥②⑤④①③ C．⑥⑤④②③①D．①③④⑤⑥②（二）据“百．度．百科”词条解释，亚文化是指与主文化相对应的非主流的、局部的文化现象。

亚文化不仅包含着与主文化相通的价值与观念，也有属于自己的独特的价值与观念，如粉丝．．文化、嘻哈文化、网络文学等等。

近期，由网络小说改编的《庆余年》为什么能火？在很大程度上是因为制作方力出新意，老．戏．骨．演技在线，小．鲜．肉．颜值担当。

电视剧讲述了现实生活中的普通人范闲，穿越到一个架空的世界“庆国”后，利用“金．手．指．”一步步走上了人生巅峰的故事。

2020届高三模拟考试试卷数学(满分160分，考试时间120分钟)2020．4 参考公式：圆锥的侧面积公式：S＝πrl，其中r为圆锥底面圆的半径，l为圆锥的母线长．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|x(x－5)＜0}，则A∩B＝________．2. 已知复数z＝1＋2i，其中i为虚数单位，则z2的模为________．3. 如图是一个算法流程图，若输出的实数y的值为－1，则输入的实数x的值为________．(第3题)(第4题)4. 某校初三年级共有500名女生，为了了解初三女生1分钟“仰卧起坐”项目训练情况，统计了所有女生1分钟“仰卧起坐”测试数据(单位：个)，并绘制了如图频率分布直方图，则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生有________个．5. 从编号为1，2，3，4的4张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上数字能被第一次抽得的卡片上的数字整除的概率为________．6. 已知函敬f(x)是定义在R 上的奇函敷，且周期为2，当x ∈(0，1]时，f(x)＝x ＋，则f(a)的值为________．7. 若将函数f(x)＝sin(2x ＋π3)的图象沿x 轴向右平移φ(φ＞0)个单位长度后所得的图象与f(x)的图象关于x 轴对称，则φ的最小值为________．8. 在△ABC 中，AB ＝25，AC ＝5，∠BAC ＝90°，则△ABC 绕BC 所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为________．9. 已知数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列，满足{a 1，a 2，a 3}＝{b 1，b 2，b 3}＝{a ，b ，－2}，其中a ＞0，b ＞0，则a ＋b 的值为________．10. 已知点P 是抛物线x 2＝4y 上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为(0，－1)，则PFPA 的最小值为________．11. 已知x ，y 为正实数，且xy ＋2x ＋4y ＝41，则x ＋y 的最小值为________． 12. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：(x －m)2＋y 2＝r 2(m ＞0)．已知过原点O 且相互垂直的两条直线l 1和l 2，其中l 1与圆C 相交于A ，B 两点，l 2与圆C 相切于点D.若AB ＝OD ，则直线l 1的斜率为________．13. 在△ABC 中，BC 为定长，|AB →＋2AC →|＝3|BC →|.若△ABC 面积的最大值为2，则边BC 的长为________．14. 已知函数f(x)＝e x －x －b(e 为自然对数的底数，b ∈R )．若函数g(x)＝f(f(x)－12)恰有4个零点，则实数b 的取值范围是________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在三棱锥PABC 中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE 上平面ABC. (1) 求证：AC ∥平面PDE ；(2) 若PD ＝AC ＝2，PE ＝3，求证：平面PBC ⊥平面ABC.16. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝bcos C ＋csin B. (1) 求B 的值；177，cos A＝－725，求b的值．(2) 设∠BAC的平分线AD与边BC交于点D.已知AD＝如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A 与小岛圆心C 相距3千米．为方便游人到小岛观光，从点A 向小岛建三段栈道AB ，BD ，BE ，湖面上的点B 在线段AC 上，且BD ，BE 均与圆C 相切，切点分别为D ，E ，其中栈道AB ，BD ，BE 和小岛在同一个平面上．沿圆C 的优弧(圆C 上实线部分)上再修建栈道DE ︵，记∠CBD 为θ.(1) 用θ表示栈道的总长度f(θ)，并确定sin θ的取值范围； (2) 求当θ为何值时，栈道总长度最短．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且过点(0，3)．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 已知△BMN 是椭圆C 的内接三角形．① 若点B 为椭圆C 的上顶点，原点O 为△BMN 的垂心，求线段MN 的长； ② 若原点O 为△BMN 的重心，求原点O 到直线MN 距离的最小值．已知函数f(x)＝x 3－x 2－(a －16)x ，g(x)＝aln x ，a ∈R .函数h(x)＝f （x ）x －g(x)的导函数h′(x)在[52，4]上存在零点． (1) 求实数a 的取值范围；(2) 若存在实数a ，当x ∈[0，b]时，函数f(x)在x ＝0时取得最大值，求正实数b 的最大值；(3) 若直线l 与曲线y ＝f(x)和y ＝g(x)都相切，且l 在y 轴上的截距为－12，求实数a 的值．已知无穷数列{a n}的各项均为正整数，其前n项和为S n.记T n为数列{a n}的前a n项和，即T n＝a1＋a2＋…＋a n.(1) 若数列{a n}为等比数列，且a1＝1，S4＝5S2，求T3的值；(2) 若数列{a n}为等差数列，且存在唯一的正整数n(n≥2)，使得T na n<2，求数列{a n}的通项公式；(3) 若数列{T n}的通项为T n＝n（n＋1）2，求证：数列{a n}为等差数列.2020届高三模拟考试试卷数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换) 已知矩阵M ＝[1221]，MN ＝[1001]．(1) 求矩阵N ；(2) 求矩阵N 的特征值．B. (选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝12t 2(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos (θ－π4)＝ 2.若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，求线段AB 的长．C. (选修45：不等式选讲) 已知a ＞0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2.【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 某商场举行有奖促销活动，顾客购买每满400元的商品即可抽奖一次．抽奖规则如下：抽奖者掷各面标有1～6点数的正方体骰子1次，若掷得点数大于4，则可继续在抽奖箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖．已知抽奖箱中装有2个红球与m(m≥2，m∈N*)个白球，抽奖者从箱中任意摸出2个球，若2个球均为红球，则获得一等奖；若2个球为1个红球和1个白球，则获得二等奖；否则，获得三等奖(抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同)．(1) 若m＝4，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；(2) 若一等奖可获奖金400元，二等奖可获奖金300元，三等奖可获奖金100元，记顾客一次抽奖所获得的奖金为X，若商场希望X的数学期望不超过150元，求m的最小值．23.已知集合A n＝{1，2，…，n}，n∈N*，n≥2，将A n的所有子集任意排列，得到一个有序集合组(M1，M2，…，M m)，其中m＝2n.记集合M k中元素的个数为a k，k∈N*，k≤m，规定空集中元素的个数为0.(1) 当n＝2时，求a1＋a2＋…＋a m的值；(2) 利用数学归纳法证明：不论n(n≥2)为何值，总存在有序集合组(M1，M2，…，M m)，满足任意i∈N*，i≤m－1，都有|a i－a i＋1|＝1.2020届高三模拟考试试卷(南京、盐城)数学参考答案及评分标准1. {1，3}2. 53. －144. 3255. 126. 07. π28. 65π9. 5 10. 22 11. 8 12.±25513. 2 14. (1，12＋ln 2)15. 证明：(1) 因为点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以DE ∥AC.(2分) 因为AC ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ，所以AC ∥平面PDE.(4分) (2) 因为点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以DE ＝12AC.因为AC ＝2，所以DE ＝1.因为PD ＝2，PE ＝3，所以PD 2＝PE 2＋DE 2， 因此在△PDE 中，PE ⊥DE.(8分)又平面PDE ⊥平面ABC ，且平面PDE ∩平面ABC ＝DE ，PE ⊂平面PDE ， 所以PE ⊥平面ABC.(12分)因为PE ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面ABC.(14分) 16. 解：(1) 因为a ＝bcos C ＋csin B ， 由a sin A ＝b sin B ＝c sin C，得sin A ＝sin Bcos C ＋sin Csin B ．(2分) 因为sin A ＝sin[π－(B ＋C)]＝sin(B ＋C)＝sin Bcos C ＋cos Bsin C ， 所以sin Bcos C ＋cos Bsin C ＝sin Bcos C ＋sin Csin B ， 即cos Bsin C ＝sin Csin B ．(4分)因为0＜C ＜π，所以sin C ≠0，所以sin B ＝cos B.又0＜B ＜π，所以sin B ≠0，从而cos B ≠0，所以tan B ＝1，所以B ＝π4.(6分)(2) 因为AD 是∠BAC 的平分线，设∠BAD ＝θ，所以A ＝2θ.因为cos A ＝－725，所以cos 2θ＝cos A ＝－725，即2cos 2θ－1＝－725，所以cos 2θ＝925.因为0＜A ＜π，所以0＜θ＜π2，所以cos θ＝35，所以sin θ＝1－cos 2θ＝45.在△ABD 中，sin ∠ADB ＝sin(B ＋θ)＝sin(π4＋θ)＝sin π4cos θ＋cos π4sin θ＝22×(35＋45)＝7210.(8分) 由AD sin B ＝AB sin ∠ADB ，所以AB ＝ADsin ∠ADB sin B ＝177×7210×2＝175.(10分) 在△ABC 中，sin A ＝1－cos 2A ＝2425，所以sin C ＝sin(A ＋B)＝sin Acos B ＋cos Asin B ＝22×(2425－725)＝17250.(12分) 由b sin B ＝c sin C ，得b ＝csin B sin C ＝175×2217250＝5.(14分) 17. 解：(1) 连结CD ，因为BD 与圆C 相切，切点为D ，所以△BCD 为直角三角形． 因为∠CBD ＝θ，且圆形小岛的半径为1千米，所以DB ＝1tan θ，BC ＝1sin θ.因为岸边上的点A 与小岛圆心C 相距3千米，所以AB ＝AC －BC ＝3－1sin θ.(2分)因为BE 与圆C 相切，所以BE ＝DB ＝1tan θ，优弧DE ︵所对圆心角为2π－(π－2θ)＝π＋2θ，所以优弧DE ︵长l 为π＋2θ.(4分)所以f(θ)＝AB ＋BD ＋BE ＋l ＝3－1sin θ＋1tan θ＋1tan θ＋π＋2θ＝3＋π＋2θ＋2cos θ－1sin θ.(6分)因为0＜AB ＜2，所以0＜3－1sin θ＜2，解得13＜sin θ＜1，所以sin θ的取值范围是(13，1)．(8分)(2) 由f(θ)＝3＋π＋2θ＋2cos θ－1sin θ，得f′(θ)＝－2＋cos θsin 2θ＋2＝cos θ（1－2cos θ）sin 2θ.(10分)令f′(θ)＝0，解得cos θ＝12.因为θ为锐角，所以θ＝π3.(12分)设sin θ0＝13，θ0为锐角，则0＜θ0＜π3.当θ∈(θ0，π3)时，f ′(θ)＜0，则f(θ)在(θ0，π3)上单调递减；当θ∈(π3，π2)时，f ′(θ)＞0，则f(θ)在(π3，π2)上单调递增．所以f(θ)在θ＝π3时取得最小值．答：当θ＝π3时，栈道总长度最短．(14分)18. 解：(1) 记椭圆C 的焦距为2c ，因为椭圆C 的离心率为12，所以c a ＝12.因为椭圆C 过点(0，3)，所以b ＝ 3. 因为a 2－c 2＝b 2，解得c ＝1，a ＝2， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2分)(2) ① 因为点B 为椭圆C 的上顶点，所以B 点坐标为(0，3)． 因为O 为△BMN 的垂心，所以BO ⊥MN ，即MN ⊥y 轴． 由椭圆的对称性可知M ，N 两点关于y 轴对称．(4分) 不妨设M(x 0，y 0)，则N(－x 0，y 0)，其中－3＜y 0＜ 3.因为MO ⊥BN ，所以MO →·BN →＝0，即(－x 0，－y 0)·(－x 0，y 0－3)＝0，得x 20－y 20＋3y 0＝0.(6分)又点M(x 0，y 0)在椭圆上，则x 204＋y 23＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 20－y 20＋3y 0＝0，x 204＋y 203＝1，解得y 0＝－437或y 0＝3(舍去)，此时|x 0|＝2337.故MN ＝2|x 0|＝4337，即线段MN 的长为4337.(8分) ② (解法1)设B(m ，n)，记线段MN 中点为D.因为O 为△BMN 的重心，所以BO →＝2OD →，则点D 的坐标为(－m 2，－n 2)．(10分)若n ＝0，则|m|＝2，此时直线MN 与x 轴垂直，故原点O 到直线MN 的距离为⎪⎪⎪⎪m 2， 即为1.若n ≠0，此时直线MN 的斜率存在．设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－m ，y 1＋y 2＝－n.又x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）4＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）3＝0， 可得k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－3m 4n .(12分)故直线MN 的方程为y ＝－3m 4n (x ＋m 2)－n2，即6mx ＋8ny ＋3m 2＋4n 2＝0，则点O 到直线MN 的距离为d ＝|3m 2＋4n 2|36m 2＋64n 2.将m 24＋n 23＝1，代入得d ＝3n 2＋9.(14分) 因为0＜n 2≤3，所以d min ＝32. 又32＜1，故原点O 到直线MN 距离的最小值为32.(16分) (解法2)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，B(x 3，y 3)，因为O 为△BMN 的重心，所以x 1＋x 2＋x 3＝0，y 1＋y 2＋y 3＝0， 则x 3＝－(x 1＋x 2)，y 3＝－(y 1＋y 2)．(10分) 因为x 234＋y 233＝1，所以（x 1＋x 2）24＋（y 1＋y 2）23＝1.将x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，代入得x 1x 24＋y 1y 23＝－12.(12分) 若直线MN 的斜率不存在，则线段MN 的中点在x 轴上，从而B 点位于长轴的顶点处． 由于OB ＝2，所以此时原点O 到直线MN 的距离为1.若直线MN 的斜率存在，设为k ，则其方程为y ＝kx ＋n. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋n ，x 24＋y 23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8knx ＋4n 2－12＝0 (*)． 则Δ＝(8kn)2－4(3＋4k 2)(4n 2－12)＞0，即3＋4k 2＞n 2. 由根与系数关系可得x 1＋x 2＝－8kn 3＋4k 2，x 1x 2＝4n 2－123＋4k 2，则y 1y 2＝(kx 1＋n)(kx 2＋n)＝k 2x1x 2＋kn(x 1＋x 2)＋n 2＝3n 2－12k 23＋4k 2，代入x 1x 24＋y 1y 23＝－12，得14×4n 2－123＋4k 2＋13×3n 2－12k 23＋4k 2＝－12，即n 2＝k 2＋34.(14分) 又3＋4k 2＞n 2，于是3＋4k 2＞k 2＋34，即3k 2＋94＞0恒成立，因此k ∈R .原点(0，0)到直线MN 的距离为d ＝|n|k 2＋1＝k 2＋34k 2＋1＝1－14（k 2＋1）.因为k 2≥0，所以当k ＝0时，d min ＝32. 又32＜1，故原点O 到直线MN 距离的最小值为32.(16分) 19. 解：(1) 因为h(x)＝f （x ）x －g(x)＝x 2－x －(a －16)－aln x ，所以h′(x)＝2x －1－a x ＝2x 2－x －ax .令h′(x)＝0，得2x 2－x －a ＝0.因为函数h′(x)在[52，4]上存在零点，即y ＝2x 2－x －a 在[52，4]上存在零点，又函数y ＝2x 2－x －a 在[52，4]上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧2×（52）2－52－a ≤0，2×42－4－a ≥0，解得10≤a ≤28.因此，实数a 的取值范围是[10，28]．(2分)(2) (解法1)因为当x ∈[0，b]时，函数f(x)在x ＝0处取得最大值，即存在实数a ，当x ∈[0，b]时，f(0)≥f(x)恒成立， 即x 3－x 2－(a －16)x ≤0对任意x ∈[0，b]都成立．(4分) 当x ＝0时，上式恒成立；(6分)当x ∈(0，b]时，存在a ∈[10，28]，使得x 2－x ＋16≤a 成立，(8分) 所以x 2－x ＋16≤28，解得－3≤x ≤4，所以b ≤4. 故当a ＝28时，b 的最大值为4.(10分)(解法2)由f(x)＝x 3－x 2－(a －16)x ，得f′(x)＝3x 2－2x －(a －16)． 设Δ＝4＋12(a －16)＝4(3a －47)．若Δ≤0，则f′(x)≥0恒成立，f(x)在[0，b]上单调递增，因此当x ∈[0，b]时，函数f(x)在x ＝0时不能取得最大值，于是Δ＞0，(4分) 故f′(x)＝0有两个不同的实数根，记为x 1，x 2(x 1＜x 2)．若x 1＞0，则当x ∈(0，x 1)时，f ′(x)＞0，f(x)在(0，x 1)上单调递增， 因此当x ∈[0，b]时，函数f(x)在x ＝0时不能取得最大值， 所以x 1≤0.(6分)又x 1＋x 2＝23＞0，因此x 2＞0，从而当x ∈(0，x 2)时，f ′(x)＜0，f(x)单调递减； 当x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x)＞0，f(x)单调递增，若存在实数a ，当x ∈[0，b]时，函数f(x)在x ＝0处取得最大值， 则存在实数a ，使得f(0)≥f(b)成立，即b 3－b 2－(a －16)b ≤0.(8分) 所以存在a ∈[10，28]，使得b 2－b ＋16≤a 成立， 所以b 2－b ＋16≤28，解得－3≤b ≤4， 故当a ＝28时，b 的最大值为4.(10分)(3) 设直线l 与曲线y ＝f(x)相切于点A(x 1，f(x 1))，与曲线y ＝g(x)相切于点B(x 2，g(x 2))，过点A(x 1，f(x 1))的切线方程为y －[x 31－x 21－(a －16)x 1]＝[3x 21－2x 1－(a －16)](x －x 1)，即y ＝[3x 21－2x 1－(a －16)]x －2x 31＋x 21.过点B(x 2，g(x 2))的切线方程为y －aln x 2＝a x 2(x －x 2)，即y ＝ax 2x ＋aln x 2－a.因为直线l 在y 上的截距为－12，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x 21－2x 1－（a －16）＝ax 2①，－2x 31＋x 21＝－12 ②，aln x 2－a ＝－12 ③.(12分)由②解得x 1＝2，则⎩⎪⎨⎪⎧24－a ＝a x 2，aln x 2－a ＝－12，消去a ，得ln x 2＋1－x 22x 2＝0.(14分)由(1)知10≤a ≤28，且x 2＞0，则x 2≥57.令p(x)＝ln x ＋1－x 2x ，x ∈[57，＋∞)，则p′(x)＝1x －12x 2＝2x －12x 2.因为p′(x)＞0，所以函数p(x)在[57，＋∞)上为增函数．因为p(1)＝0，且函数p(x)的图象是不间断的， 所以函数p(x)在[57，＋∞)上有唯一零点1，所以方程ln x 2＋1－x 22x 2＝0的解为x 2＝1，所以a ＝12.所以实数a 的值为12.(16分)20. (1) 解：设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 4＝5S 2，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝5(a 1＋a 2)，即a 3＋a 4＝4(a 1＋a 2)， 所以a 1q 2(1＋q)＝4a 1(1＋q)．因为数列{a n }的各项均为正整数，所以a 1，q 均为正数，所以q 2＝4，解得q ＝2. 又a 1＝1，所以a n ＝2n －1，从而a 3＝4， 所以T 3＝S 4＝1＋2＋22＋23＝15.(2分)(2) 解：设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d. 因为数列{a n }的各项均为正整数，所以d ∈Z .若d ＜0，令a n ＞0，得n ＜1－a 1d ，这与{a n }为无穷数列相矛盾，因此d ≥0，即d ∈N .(4分)因为S n ＝na 1＋n （n －1）d 2，所以T n ＝a 1a n ＋a n （a n －1）d 2，因此T na n ＝a 1＋（a n －1）d 2.由T na n ＜2，得a 1＋（a n －1）d 2＜2.(6分) 因为a 1∈N *，d ∈N ，所以2＞a 1＋（a n －1）d 2≥a 1≥1，因此a 1＝1.于是1＋（n －1）d 22＜2，即(n －1)d 2＜2.① 若d ＝0，则存在无穷多个n(n ≥2)，使得上述不等式成立，所以d ＝0不合题意；(8分)② 若d ∈N *，则n ＜1＋2d2，因为存在唯一的正整数n(n ≥2)，使得该不等式成立， 所以2＜1＋2d2≤3，即1≤d 2＜2.又d ∈N *，所以d ＝1，因此a n ＝1＋(n －1)×1＝n.(10分)(3) 证明：因为S n ＋1－S n ＝a n ＋1＞0，所以S n ＋1＞S n ，即数列{S n }单调递增． 又T n ＋1－T n ＝（n ＋1）（n ＋2）2－n （n ＋1）2＝n ＋1＞0，所以T n ＋1＞T n ，即Sa n ＋1＞Sa n ，因为数列{S n }单调递增，所以a n ＋1＞a n .(12分) 又a n ∈N *，所以a n ＋1≥a n ＋1，即a n ＋1－a n ≥1， 所以a n ＋1－a 1＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n ＋1－a n )≥n ， 因此a n ＋1≥a 1＋n ≥1＋n ，即a n ≥n(n ≥2)． 又a 1≥1，所以a n ≥n ①.(14分)由T n ＋1－T n ＝n ＋1，得aa n ＋1＋aa n ＋2＋…＋aa n ＋1＝n ＋1， 因此n ＋1≥aa n ＋1≥a n ＋1，即a n ≤n ②. 由①②知a n ＝n ，因此a n ＋1－a n ＝1， 所以数列{a n }为等差数列．(16分)2020届高三模拟考试试卷(南京、盐城) 数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：(1) 因为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221，MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，所以N ＝M －1.(2分) 因为|M|＝1×1－2×2＝－3，(4分)所以N ＝M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13－2－3－2－3－13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－132323－13.(6分) (2) N 的特征多项式f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ＋13－23－23λ＋13＝(λ＋13)2－(－23)2＝(λ－13)(λ＋1)．(8分)令f(λ)＝0，解得λ＝13或－1，所以N 的特征值是13和1.(10分)B. 解：曲线C 的普通方程为y ＝12(x 2)2＝18x 2.(2分)由直线l 的极坐标方程ρcos (θ－π4)＝2，得ρ(cos θcos π4＋sin θsin π4)＝2， 即22x ＋22y ＝2，所以直线l 的方程为y ＝－x ＋2.(4分) 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝18x 2，y ＝－x ＋2，消去y ，得x 2＋8x －16＝0，(6分) 则x 1＋x 2＝－8，x 1x 2＝－16， 所以AB ＝1＋（－1）2|x 1－x 2|＝2×（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2×（－8）2－4×（－16）＝16.(10分)C. 证明：(证法1)因为a ＞0，所以a ＋1a≥2，要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2，只需证a 2＋1a 2≥(a ＋1a)－(2－2)．因为(a ＋1a )－(2－2)＞0，所以只需证(a 2＋1a 2)2≥⎣⎡⎦⎤（a ＋1a ）－（2－2）2，(4分)即2(2－2)(a ＋1a )≥8－42，即证a ＋1a ≥2.(8分)因为a ＋1a ≥2成立，所以要证的不等式成立．(10分)(证法2)令t ＝a ＋1a ，因为a ＞0，所以a ＋1a ≥2，即t ≥2.要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2，即证t 2－2－2≥t －2， 即证t －t 2－2≤2－2，(4分) 即证2t ＋t 2－2≤2－ 2.(6分)由于f(t)＝t ＋t 2－2在[2，＋∞)上单调递增，则f(t)≥f(2)＝2＋2， 故2t ＋t 2－2≤22＋2＝2－ 2.所以要证的原不等式成立．(10分)22. 解：(1) 设“顾客参加一次抽奖活动获得三等奖”为事件A. 因为m ＝4，所以P(A)＝46＋26×C 24C 26＝23＋13×25＝45.答：顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率为45.(4分)(2) X 的所有可能取值为400，300，100. P(X ＝400)＝26×C 22C 22＋m ＝23（m ＋1）（m ＋2），P(X ＝300)＝26×C 12C 1mC 22＋m ＝4m 3（m ＋1）（m ＋2），P(X ＝100)＝46＋26×C 2m C 22＋m ＝23＋m （m －1）3（m ＋1）（m ＋2），(7分) 则E(X)＝400×23（m ＋1）（m ＋2）＋300×4m 3（m ＋1）（m ＋2）＋100×[23＋m （m －1）3（m ＋1）（m ＋2）]≤150，化简得3m 2－7m －6≥0. 因为m ≥2，m ∈N *，所以m ≥3，所以m 的最小值为3.(10分)23. (1) 解：当n ＝2时，A 2的子集为∅，{1}，{2}，{1，2}，且m ＝4.所以a 1＋a 2＋…＋a m ＝0＋1＋1＋2＝4.(2分)(2) 证明：① 当n ＝2时，取一个集合组(M 1，M 2，M 3，M 4)＝(∅，{1}，{1，2}，{2})， 此时a 1＝0，a 2＝1，a 3＝2，a 4＝1，满足任意i ∈N *，i ≤3，都有|a i －a i ＋1|＝1， 所以当n ＝2时命题成立．(4分)② 假设n ＝k(k ∈N *，k ≥2)时，命题成立，即对于A k ＝{1，2，…，k}，存在一个集合组(M 1，M 2，…，M m )满足任意i ∈N *，i ≤m －1，都有|a i －a i ＋1|＝1，其中m ＝2k .当n ＝k ＋1时，则A k ＋1＝{1，2，…，k ，k ＋1}，集合A k ＋1的所有子集除去M 1，M 2，…，M m 外，其余的子集都含有k ＋1.令M m ＋1＝M m ∪{k ＋1}，M m ＋2＝M m －1∪{k ＋1}，…，M 2m ＝M 1∪{k ＋1}，取集合组(M 1，M 2，…，M m ，M m ＋1，M m ＋2，…，M 2m )，其中2m ＝2k ＋1，(6分) 根据归纳假设知|a i －a i ＋1|＝1，其中i ∈N *，m ＋1≤i ≤2m －1，(8分)所以此集合组满足|a i －a i ＋1|＝1，其中i ∈N *，i ≤m －1或m ＋1≤i ≤2m －1.又M m ＋1＝M m ∪{c}，所以|a m －a m ＋1|＝1，因此|a i －a i ＋1|＝1，其中i ∈N *，i ≤2m －1，即当n ＝k ＋1时，命题也成立．综上，不论n 为何值，总存在有序集合组(M 1，M 2，…，M m )，满足任意i ∈N *，i ≤m －1，都有|a i －a i ＋1|＝1.(10分)。

南京、盐城2020届高三模拟考试试卷数学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：圆锥的侧面积公式：S＝πrl，其中r为圆锥底面圆的半径，l为圆锥的母线长．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|x(x－5)＜0}，则A∩B＝________．2. 已知复数z＝1＋2i，其中i为虚数单位，则z2的模为________．3. 如图是一个算法流程图，若输出的实数y的值为－1，则输入的实数x的值为________．(第3题)(第4题)4. 某校初三年级共有500名女生，为了了解初三女生1分钟“仰卧起坐”项目训练情况，统计了所有女生1分钟“仰卧起坐”测试数据(单位：个)，并绘制了如图频率分布直方图，则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生有________个．5. 从编号为1，2，3，4的4张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上数字能被第一次抽得的卡片上的数字整除的概率为________．6. 已知函敬f(x)是定义在R 上的奇函敷，且周期为2，当x ∈(0，1]时，f(x)＝x ＋，则f(a)的值为________．7. 若将函数f(x)＝sin(2x ＋π3)的图象沿x 轴向右平移φ(φ＞0)个单位长度后所得的图象与f(x)的图象关于x 轴对称，则φ的最小值为________．8. 在△ABC 中，AB ＝25，AC ＝5，∠BAC ＝90°，则△ABC 绕BC 所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为________．9. 已知数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列，满足{a 1，a 2，a 3}＝{b 1，b 2，b 3}＝{a ，b ，－2}，其中a ＞0，b ＞0，则a ＋b 的值为________．10. 已知点P 是抛物线x 2＝4y 上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为(0，－1)，则PFPA 的最小值为________．11. 已知x ，y 为正实数，且xy ＋2x ＋4y ＝41，则x ＋y 的最小值为________．12. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：(x －m)2＋y 2＝r 2(m ＞0)．已知过原点O 且相互垂直的两条直线l 1和l 2，其中l 1与圆C 相交于A ，B 两点，l 2与圆C 相切于点D.若AB ＝OD ，则直线l 1的斜率为________．13. 在△ABC 中，BC 为定长，|AB →＋2AC →|＝3|BC →|.若△ABC 面积的最大值为2，则边BC 的长为________．14. 已知函数f(x)＝e x －x －b(e 为自然对数的底数，b ∈R )．若函数g(x)＝f(f(x)－12)恰有4个零点，则实数b 的取值范围是________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)如图，在三棱锥PABC 中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE 上平面ABC.(1) 求证：AC ∥平面PDE ；(2) 若PD ＝AC ＝2，PE ＝3，求证：平面PBC ⊥平面ABC.16. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝bcos C ＋csin B. (1) 求B 的值；(2) 设∠BAC 的平分线AD 与边BC 交于点D.已知AD ＝177，cos A ＝－725，求b 的值．如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A 与小岛圆心C 相距3千米．为方便游人到小岛观光，从点A 向小岛建三段栈道AB ，BD ，BE ，湖面上的点B 在线段AC 上，且BD ，BE 均与圆C 相切，切点分别为D ，E ，其中栈道AB ，BD ，BE 和小岛在同一个平面上．沿圆C 的优弧(圆C 上实线部分)上再修建栈道DE ︵，记∠CBD 为θ.(1) 用θ表示栈道的总长度f(θ)，并确定sin θ的取值范围； (2) 求当θ为何值时，栈道总长度最短．18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且过点(0，3)．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 已知△BMN 是椭圆C 的内接三角形．① 若点B 为椭圆C 的上顶点，原点O 为△BMN 的垂心，求线段MN 的长；② 若原点O 为△BMN 的重心，求原点O 到直线MN 距离的最小值．19. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝x 3－x 2－(a －16)x ，g(x)＝aln x ，a ∈R .函数h(x)＝f （x ）x －g(x)的导函数h′(x)在[52，4]上存在零点．(1) 求实数a 的取值范围；(2) 若存在实数a ，当x ∈[0，b]时，函数f(x)在x ＝0时取得最大值，求正实数b 的最大值； (3) 若直线l 与曲线y ＝f(x)和y ＝g(x)都相切，且l 在y 轴上的截距为－12，求实数a 的值．已知无穷数列{a n }的各项均为正整数，其前n 项和为S n .记T n 为数列{a n }的前a n 项和，即T n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .(1) 若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，S 4＝5S 2，求T 3的值；(2) 若数列{a n }为等差数列，且存在唯一的正整数n(n ≥2)，使得T na n<2，求数列{a n }的通项公式；(3) 若数列{T n }的通项为T n ＝n （n ＋1）2，求证：数列{a n }为等差数列.数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换) 已知矩阵M ＝[1221]，MN ＝[1001]．(1) 求矩阵N ；(2) 求矩阵N 的特征值．B. (选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝12t 2(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos (θ－π4)＝ 2.若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，求线段AB 的长．C. (选修45：不等式选讲) 已知a ＞0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2.【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 某商场举行有奖促销活动，顾客购买每满400元的商品即可抽奖一次．抽奖规则如下：抽奖者掷各面标有1～6点数的正方体骰子1次，若掷得点数大于4，则可继续在抽奖箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖．已知抽奖箱中装有2个红球与m(m≥2，m∈N*)个白球，抽奖者从箱中任意摸出2个球，若2个球均为红球，则获得一等奖；若2个球为1个红球和1个白球，则获得二等奖；否则，获得三等奖(抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同)．(1) 若m＝4，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；(2) 若一等奖可获奖金400元，二等奖可获奖金300元，三等奖可获奖金100元，记顾客一次抽奖所获得的奖金为X，若商场希望X的数学期望不超过150元，求m的最小值．23.已知集合A n＝{1，2，…，n}，n∈N*，n≥2，将A n的所有子集任意排列，得到一个有序集合组(M1，M2，…，M m)，其中m＝2n.记集合M k中元素的个数为a k，k∈N*，k≤m，规定空集中元素的个数为0.(1) 当n＝2时，求a1＋a2＋…＋a m的值；(2) 利用数学归纳法证明：不论n(n≥2)为何值，总存在有序集合组(M1，M2，…，M m)，满足任意i∈N*，i≤m－1，都有|a i－a i＋1|＝1.2020届高三模拟考试试卷(南京、盐城)数学参考答案及评分标准1. {1，3}2. 53. －144. 3255. 126. 07. π28. 65π9. 5 10. 22 11. 8 12. ±25513. 2 14. (1，12＋ln 2)15. 证明：(1) 因为点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以DE ∥AC.(2分) 因为AC ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ，所以AC ∥平面PDE.(4分) (2) 因为点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以DE ＝12AC.因为AC ＝2，所以DE ＝1.因为PD ＝2，PE ＝3，所以PD 2＝PE 2＋DE 2， 因此在△PDE 中，PE ⊥DE.(8分)又平面PDE ⊥平面ABC ，且平面PDE ∩平面ABC ＝DE ，PE ⊂平面PDE ， 所以PE ⊥平面ABC.(12分)因为PE ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面ABC.(14分) 16. 解：(1) 因为a ＝bcos C ＋csin B ， 由a sin A ＝b sin B ＝c sin C，得sin A ＝sin Bcos C ＋sin Csin B ．(2分) 因为sin A ＝sin[π－(B ＋C)]＝sin(B ＋C)＝sin Bcos C ＋cos Bsin C ， 所以sin Bcos C ＋cos Bsin C ＝sin Bcos C ＋sin Csin B ， 即cos Bsin C ＝sin Csin B ．(4分)因为0＜C ＜π，所以sin C ≠0，所以sin B ＝cos B.又0＜B ＜π，所以sin B ≠0，从而cos B ≠0，所以tan B ＝1，所以B ＝π4.(6分)(2) 因为AD 是∠BAC 的平分线，设∠BAD ＝θ，所以A ＝2θ.因为cos A ＝－725，所以cos 2θ＝cos A ＝－725，即2cos 2θ－1＝－725，所以cos 2θ＝925.因为0＜A ＜π，所以0＜θ＜π2，所以cos θ＝35，所以sin θ＝1－cos 2θ＝45.在△ABD 中，sin ∠ADB ＝sin(B ＋θ)＝sin(π4＋θ)＝sin π4cos θ＋cos π4sin θ＝22×(35＋45)＝7210.(8分)由AD sin B ＝AB sin ∠ADB ，所以AB ＝ADsin ∠ADB sin B ＝177×7210×2＝175.(10分) 在△ABC 中，sin A ＝1－cos 2A ＝2425，所以sin C ＝sin(A ＋B)＝sin Acos B ＋cos Asin B ＝22×(2425－725)＝17250.(12分) 由b sin B ＝c sin C ，得b ＝csin B sin C ＝175×2217250＝5.(14分) 17. 解：(1) 连结CD ，因为BD 与圆C 相切，切点为D ，所以△BCD 为直角三角形． 因为∠CBD ＝θ，且圆形小岛的半径为1千米，所以DB ＝1tan θ，BC ＝1sin θ.因为岸边上的点A 与小岛圆心C 相距3千米，所以AB ＝AC －BC ＝3－1sin θ.(2分)因为BE 与圆C 相切，所以BE ＝DB ＝1tan θ，优弧DE ︵所对圆心角为2π－(π－2θ)＝π＋2θ，所以优弧DE ︵长l 为π＋2θ.(4分)所以f(θ)＝AB ＋BD ＋BE ＋l ＝3－1sin θ＋1tan θ＋1tan θ＋π＋2θ＝3＋π＋2θ＋2cos θ－1sin θ.(6分)因为0＜AB ＜2，所以0＜3－1sin θ＜2，解得13＜sin θ＜1，所以sin θ的取值范围是(13，1)．(8分)(2) 由f(θ)＝3＋π＋2θ＋2cos θ－1sin θ，得f′(θ)＝－2＋cos θsin 2θ＋2＝cos θ（1－2cos θ）sin 2θ.(10分) 令f′(θ)＝0，解得cos θ＝12.因为θ为锐角，所以θ＝π3.(12分)设sin θ0＝13，θ0为锐角，则0＜θ0＜π3.当θ∈(θ0，π3)时，f ′(θ)＜0，则f(θ)在(θ0，π3)上单调递减；当θ∈(π3，π2)时，f ′(θ)＞0，则f(θ)在(π3，π2)上单调递增．所以f(θ)在θ＝π3时取得最小值．答：当θ＝π3时，栈道总长度最短．(14分)18. 解：(1) 记椭圆C 的焦距为2c ，因为椭圆C 的离心率为12，所以c a ＝12.因为椭圆C 过点(0，3)，所以b ＝ 3. 因为a 2－c 2＝b 2，解得c ＝1，a ＝2， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2分)(2) ① 因为点B 为椭圆C 的上顶点，所以B 点坐标为(0，3)． 因为O 为△BMN 的垂心，所以BO ⊥MN ，即MN ⊥y 轴． 由椭圆的对称性可知M ，N 两点关于y 轴对称．(4分) 不妨设M(x 0，y 0)，则N(－x 0，y 0)，其中－3＜y 0＜ 3.因为MO ⊥BN ，所以MO →·BN →＝0，即(－x 0，－y 0)·(－x 0，y 0－3)＝0，得x 20－y 20＋3y 0＝0.(6分)又点M(x 0，y 0)在椭圆上，则x 204＋y 203＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 20－y 20＋3y 0＝0，x 204＋y 203＝1，解得y 0＝－437或y 0＝3(舍去)，此时|x 0|＝2337. 故MN ＝2|x 0|＝4337，即线段MN 的长为4337.(8分)② (解法1)设B(m ，n)，记线段MN 中点为D.因为O 为△BMN 的重心，所以BO →＝2OD →，则点D 的坐标为(－m 2，－n 2)．(10分)若n ＝0，则|m|＝2，此时直线MN 与x 轴垂直，故原点O 到直线MN 的距离为⎪⎪⎪⎪m 2， 即为1. 若n ≠0，此时直线MN 的斜率存在．设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－m ，y 1＋y 2＝－n.又x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）4＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）3＝0， 可得k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－3m 4n .(12分)故直线MN 的方程为y ＝－3m 4n (x ＋m 2)－n2，即6mx ＋8ny ＋3m 2＋4n 2＝0， 则点O 到直线MN 的距离为d ＝|3m 2＋4n 2|36m 2＋64n 2.将m 24＋n 23＝1，代入得d ＝3n 2＋9.(14分) 因为0＜n 2≤3，所以d min ＝32. 又32＜1，故原点O 到直线MN 距离的最小值为32.(16分) (解法2)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，B(x 3，y 3)，因为O 为△BMN 的重心，所以x 1＋x 2＋x 3＝0，y 1＋y 2＋y 3＝0，则x 3＝－(x 1＋x 2)，y 3＝－(y 1＋y 2)．(10分)因为x 234＋y 233＝1，所以（x 1＋x 2）24＋（y 1＋y 2）23＝1. 将x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，代入得x 1x 24＋y 1y 23＝－12.(12分) 若直线MN 的斜率不存在，则线段MN 的中点在x 轴上，从而B 点位于长轴的顶点处． 由于OB ＝2，所以此时原点O 到直线MN 的距离为1.若直线MN 的斜率存在，设为k ，则其方程为y ＝kx ＋n.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋n ，x 24＋y 23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8knx ＋4n 2－12＝0 (*)． 则Δ＝(8kn)2－4(3＋4k 2)(4n 2－12)＞0，即3＋4k 2＞n 2.由根与系数关系可得x 1＋x 2＝－8kn 3＋4k 2，x 1x 2＝4n 2－123＋4k 2， 则y 1y 2＝(kx 1＋n)(kx 2＋n)＝k 2x 1x 2＋kn(x 1＋x 2)＋n 2＝3n 2－12k 23＋4k 2， 代入x 1x 24＋y 1y 23＝－12，得14×4n 2－123＋4k 2＋13×3n 2－12k 23＋4k 2＝－12，即n 2＝k 2＋34.(14分) 又3＋4k 2＞n 2，于是3＋4k 2＞k 2＋34，即3k 2＋94＞0恒成立，因此k ∈R . 原点(0，0)到直线MN 的距离为d ＝|n|k 2＋1＝k 2＋34k 2＋1＝1－14（k 2＋1）. 因为k 2≥0，所以当k ＝0时，d min ＝32. 又32＜1，故原点O 到直线MN 距离的最小值为32.(16分)19. 解：(1) 因为h(x)＝f （x ）x－g(x)＝x 2－x －(a －16)－aln x ， 所以h′(x)＝2x －1－a x ＝2x 2－x －a x. 令h′(x)＝0，得2x 2－x －a ＝0.因为函数h′(x)在[52，4]上存在零点，即y ＝2x 2－x －a 在[52，4]上存在零点， 又函数y ＝2x 2－x －a 在[52，4]上单调递增， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2×（52）2－52－a ≤0，2×42－4－a ≥0，解得10≤a ≤28. 因此，实数a 的取值范围是[10，28]．(2分)(2) (解法1)因为当x ∈[0，b]时，函数f(x)在x ＝0处取得最大值，即存在实数a ，当x ∈[0，b]时，f(0)≥f(x)恒成立，即x 3－x 2－(a －16)x ≤0对任意x ∈[0，b]都成立．(4分)当x ＝0时，上式恒成立；(6分)当x ∈(0，b]时，存在a ∈[10，28]，使得x 2－x ＋16≤a 成立，(8分)所以x 2－x ＋16≤28，解得－3≤x ≤4，所以b ≤4.故当a ＝28时，b 的最大值为4.(10分)(解法2)由f(x)＝x 3－x 2－(a －16)x ，得f′(x)＝3x 2－2x －(a －16)．设Δ＝4＋12(a －16)＝4(3a －47)．若Δ≤0，则f′(x)≥0恒成立，f(x)在[0，b]上单调递增，因此当x ∈[0，b]时，函数f(x)在x ＝0时不能取得最大值，于是Δ＞0，(4分)故f′(x)＝0有两个不同的实数根，记为x 1，x 2(x 1＜x 2)．若x 1＞0，则当x ∈(0，x 1)时，f ′(x)＞0，f(x)在(0，x 1)上单调递增，因此当x ∈[0，b]时，函数f(x)在x ＝0时不能取得最大值，所以x 1≤0.(6分)又x 1＋x 2＝23＞0，因此x 2＞0， 从而当x ∈(0，x 2)时，f ′(x)＜0，f(x)单调递减；当x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x)＞0，f(x)单调递增，若存在实数a ，当x ∈[0，b]时，函数f(x)在x ＝0处取得最大值，则存在实数a ，使得f(0)≥f(b)成立，即b 3－b 2－(a －16)b ≤0.(8分)所以存在a ∈[10，28]，使得b 2－b ＋16≤a 成立，所以b 2－b ＋16≤28，解得－3≤b ≤4，故当a ＝28时，b 的最大值为4.(10分)(3) 设直线l 与曲线y ＝f(x)相切于点A(x 1，f(x 1))，与曲线y ＝g(x)相切于点B(x 2，g(x 2))，过点A(x 1，f(x 1))的切线方程为y －[x 31－x 21－(a －16)x 1]＝[3x 21－2x 1－(a －16)](x －x 1)，即y ＝[3x 21－2x 1－(a －16)]x －2x 31＋x 21.过点B(x 2，g(x 2))的切线方程为y －aln x 2＝a x 2(x －x 2)，即y ＝a x 2x ＋aln x 2－a. 因为直线l 在y 上的截距为－12，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x 21－2x 1－（a －16）＝a x 2①，－2x 31＋x 21＝－12 ②，aln x 2－a ＝－12 ③.(12分) 由②解得x 1＝2，则⎩⎪⎨⎪⎧24－a ＝a x 2，aln x 2－a ＝－12，消去a ，得ln x 2＋1－x 22x 2＝0.(14分) 由(1)知10≤a ≤28，且x 2＞0，则x 2≥57. 令p(x)＝ln x ＋1－x 2x ，x ∈[57，＋∞)，则p′(x)＝1x －12x 2＝2x －12x 2. 因为p′(x)＞0，所以函数p(x)在[57，＋∞)上为增函数． 因为p(1)＝0，且函数p(x)的图象是不间断的，所以函数p(x)在[57，＋∞)上有唯一零点1， 所以方程ln x 2＋1－x 22x 2＝0的解为x 2＝1，所以a ＝12. 所以实数a 的值为12.(16分)20. (1) 解：设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 4＝5S 2，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝5(a 1＋a 2)，即a 3＋a 4＝4(a 1＋a 2)，所以a 1q 2(1＋q)＝4a 1(1＋q)．因为数列{a n }的各项均为正整数，所以a 1，q 均为正数，所以q 2＝4，解得q ＝2.又a 1＝1，所以a n ＝2n －1，从而a 3＝4，所以T 3＝S 4＝1＋2＋22＋23＝15.(2分)(2) 解：设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d.因为数列{a n }的各项均为正整数，所以d ∈Z .若d ＜0，令a n ＞0，得n ＜1－a 1d，这与{a n }为无穷数列相矛盾， 因此d ≥0，即d ∈N .(4分)因为S n ＝na 1＋n （n －1）d 2，所以T n ＝a 1a n ＋a n （a n －1）d 2，因此T n a n ＝a 1＋（a n －1）d 2. 由T n a n ＜2，得a 1＋（a n －1）d 2＜2.(6分) 因为a 1∈N *，d ∈N ，所以2＞a 1＋（a n －1）d 2≥a 1≥1，因此a 1＝1. 于是1＋（n －1）d 22＜2，即(n －1)d 2＜2. ① 若d ＝0，则存在无穷多个n(n ≥2)，使得上述不等式成立，所以d ＝0不合题意；(8分)② 若d ∈N *，则n ＜1＋2d 2， 因为存在唯一的正整数n(n ≥2)，使得该不等式成立，所以2＜1＋2d 2≤3，即1≤d 2＜2. 又d ∈N *，所以d ＝1，因此a n ＝1＋(n －1)×1＝n.(10分)(3) 证明：因为S n ＋1－S n ＝a n ＋1＞0，所以S n ＋1＞S n ，即数列{S n }单调递增．又T n ＋1－T n ＝（n ＋1）（n ＋2）2－n （n ＋1）2＝n ＋1＞0， 所以T n ＋1＞T n ，即Sa n ＋1＞Sa n ，因为数列{S n }单调递增，所以a n ＋1＞a n .(12分)又a n ∈N *，所以a n ＋1≥a n ＋1，即a n ＋1－a n ≥1，所以a n ＋1－a 1＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n ＋1－a n )≥n ，因此a n ＋1≥a 1＋n ≥1＋n ，即a n ≥n(n ≥2)．又a 1≥1，所以a n ≥n ①.(14分)由T n ＋1－T n ＝n ＋1，得aa n ＋1＋aa n ＋2＋…＋aa n ＋1＝n ＋1，因此n ＋1≥aa n ＋1≥a n ＋1，即a n ≤n ②.由①②知a n ＝n ，因此a n ＋1－a n ＝1，所以数列{a n }为等差数列．(16分)2020届高三模拟考试试卷(南京、盐城)数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：(1) 因为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221，MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，所以N ＝M －1.(2分) 因为|M|＝1×1－2×2＝－3，(4分) 所以N ＝M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13－2－3－2－3－13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13 23 23－13.(6分) (2) N 的特征多项式f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ＋13－23－23λ＋13＝(λ＋13)2－(－23)2＝(λ－13)(λ＋1)．(8分) 令f(λ)＝0，解得λ＝13或－1， 所以N 的特征值是13和1.(10分) B. 解：曲线C 的普通方程为y ＝12(x 2)2＝18x 2.(2分) 由直线l 的极坐标方程ρcos (θ－π4)＝2，得ρ(cos θcos π4＋sin θsin π4)＝2， 即22x ＋22y ＝2，所以直线l 的方程为y ＝－x ＋2.(4分) 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝18x 2，y ＝－x ＋2，消去y ，得x 2＋8x －16＝0，(6分)则x 1＋x 2＝－8，x 1x 2＝－16，所以AB ＝1＋（－1）2|x 1－x 2|＝2×（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2×（－8）2－4×（－16）＝16.(10分)C. 证明：(证法1)因为a ＞0，所以a ＋1a≥2， 要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2， 只需证a 2＋1a 2≥(a ＋1a)－(2－2)． 因为(a ＋1a)－(2－2)＞0，所以只需证(a 2＋1a2)2≥⎣⎡⎦⎤（a ＋1a ）－（2－2）2，(4分) 即2(2－2)(a ＋1a )≥8－42，即证a ＋1a≥2.(8分) 因为a ＋1a≥2成立，所以要证的不等式成立．(10分) (证法2)令t ＝a ＋1a ，因为a ＞0，所以a ＋1a≥2，即t ≥2. 要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2， 即证t 2－2－2≥t －2，即证t －t 2－2≤2－2，(4分) 即证2t ＋t 2－2≤2－ 2.(6分) 由于f(t)＝t ＋t 2－2在[2，＋∞)上单调递增，则f(t)≥f(2)＝2＋2， 故2t ＋t 2－2≤22＋2＝2－ 2. 所以要证的原不等式成立．(10分)22. 解：(1) 设“顾客参加一次抽奖活动获得三等奖”为事件A.因为m ＝4，所以P(A)＝46＋26×C 24C 26＝23＋13×25＝45. 答：顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率为45.(4分) (2) X 的所有可能取值为400，300，100.P(X ＝400)＝26×C 22C 22＋m ＝23（m ＋1）（m ＋2）， P(X ＝300)＝26×C 12C 1m C 22＋m ＝4m 3（m ＋1）（m ＋2）， P(X ＝100)＝46＋26×C 2m C 22＋m ＝23＋m （m －1）3（m ＋1）（m ＋2），(7分) 则E(X)＝400×23（m ＋1）（m ＋2）＋300×4m 3（m ＋1）（m ＋2）＋100×[23＋m （m －1）3（m ＋1）（m ＋2）]≤150，化简得3m 2－7m －6≥0. 因为m ≥2，m ∈N *，所以m ≥3，所以m 的最小值为3.(10分)23. (1) 解：当n ＝2时，A 2的子集为∅，{1}，{2}，{1，2}，且m ＝4.所以a1＋a2＋…＋a m＝0＋1＋1＋2＝4.(2分)(2) 证明：①当n＝2时，取一个集合组(M1，M2，M3，M4)＝(∅，{1}，{1，2}，{2})，此时a1＝0，a2＝1，a3＝2，a4＝1，满足任意i∈N*，i≤3，都有|a i－a i＋1|＝1，所以当n＝2时命题成立．(4分)②假设n＝k(k∈N*，k≥2)时，命题成立，即对于A k＝{1，2，…，k}，存在一个集合组(M1，M2，…，M m)满足任意i∈N*，i≤m－1，都有|a i－a i＋1|＝1，其中m＝2k.当n＝k＋1时，则A k＋1＝{1，2，…，k，k＋1}，集合A k＋1的所有子集除去M1，M2，…，M m外，其余的子集都含有k＋1.令M m＋1＝M m∪{k＋1}，M m＋2＝M m－1∪{k＋1}，…，M2m＝M1∪{k＋1}，取集合组(M1，M2，…，M m，M m＋1，M m＋2，…，M2m)，其中2m＝2k＋1，(6分)根据归纳假设知|a i－a i＋1|＝1，其中i∈N*，m＋1≤i≤2m－1，(8分)所以此集合组满足|a i－a i＋1|＝1，其中i∈N*，i≤m－1或m＋1≤i≤2m－1.又M m＋1＝M m∪{c}，所以|a m－a m＋1|＝1，因此|a i－a i＋1|＝1，其中i∈N*，i≤2m－1，即当n＝k＋1时，命题也成立．综上，不论n为何值，总存在有序集合组(M1，M2，…，M m)，满足任意i∈N*，i≤m－1，都有|a i－a i＋1|＝1.(10分)。

2020届江苏省南京市、盐城市高三下学期第二次模拟考试数学试题一、填空题1．已知集合{}|21,A x x k k Z ==+∈，(){}|50B x x x =-<，则A B =_____________.【答案】{}1,3【解析】由集合A 和集合B 求出交集即可. 【详解】 解：集合{}|21,A x x k k Z ==+∈，(){}|50B x x x =-<，∴{}13A B ⋂=，.故答案为：{}1,3. 【点睛】本题考查了交集及其运算，属于基础题.2．已知复数12z i =+，其中i 为虚数单位，则2z 的模为_______________. 【答案】5【解析】利用复数模的计算公式求解即可. 【详解】解：由12z i =+，得()221234z i i =+=-+，所以25z ==.故答案为：5. 【点睛】本题考查复数模的求法，属于基础题.3．如图是一个算法流程图，若输出的实数y 的值为1-，则输入的实数x 的值为______________.【答案】14-【解析】根据程序框图得到程序功能，结合分段函数进行计算即可. 【详解】解：程序的功能是计算()2log 21,02,0x x x y x ⎧+≤=⎨>⎩，若输出的实数y 的值为1-，则当0x ≤时，由()2log 211x +=-得14x =-，当0x >时，由21x =-，此时无解. 故答案为：14-. 【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断，理解程序功能是解决本题的关键，属于基础题. 4．某校初三年级共有500名女生，为了了解初三女生1分钟“仰卧起坐”项目训练情况，统计了所有女生1分钟“仰卧起坐”测试数据（单位：个），并绘制了如下频率分布直方图，则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生有_____________个．【答案】325【解析】根据数据先求出0.02x =，再求出1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生人数即可. 【详解】 解：()0.0150.0350.01101x x ++++⋅=，∴0.02x =.则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生人数为()10.0150.021*******-+⋅⋅=⎡⎤⎣⎦.故答案为：325. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图，属于基础题.5．从编号为1，2，3，4的张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为_____________. 【答案】12【解析】基本事件总数4416n =⨯=，第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字的基本事件有8个，由此能求出概率. 【详解】解：从编号为1，2，3，4的张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张， 基本事件总数4416n =⨯=，第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字的基本事件有8个，分别为：()1,1，()1,2，()1,3，()1,4，()2,2，()2,4，()3,3，()4,4.所以第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为81162P ==. 故答案为12.【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，属于基础题.6．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且周期为2，当(]0,1x ∈时，()3af x x =+，则()f a 的值为___________________． 【答案】0【解析】由题意可得：(),0130,0,103a x x f x x ax x ⎧+<≤⎪⎪==⎨⎪⎪--≤<⎩，周期为2，可得()()11f f =-，可求出0a =，最后再求()f a 的值即可. 【详解】 解：函数()f x 是定义在R 上的奇函数，∴(),0130,0,103a x x f x x ax x ⎧+<≤⎪⎪==⎨⎪⎪--≤<⎩.由周期为2，可知()()11f f =-，∴1133a a+=-，∴0a =. ∴()()00f a f ==.故答案为：0. 【点睛】本题主要考查函数的基本性质，属于基础题. 7．若将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象沿x 轴向右平移()0ϕϕ>个单位后所得的图象与()f x 的图象关于x 轴对称，则ϕ的最小值为________________. 【答案】2π 【解析】由题意利用函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，三角函数的图像的对称性，求得ϕ的最小值. 【详解】解：将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象沿x 轴向右平移()0ϕϕ>个单位长度，可得 ()sin 2sin 2233y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=-+=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象.根据图象与()f x 的图象关于x 轴对称，可得si s n in 22323x x πϕπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎭，∴()221k ϕπ-=+，k Z ∈，即1k =-时，ϕ的最小值为2π. 故答案为：2π. 【点睛】本题主要考查函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，正弦函数图像的对称性，属于基础题.8．在ABC 中，25AB =，5AC =，90BAC ∠=︒，则ABC 绕BC 所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为______________. 【答案】65π【解析】由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，根据圆锥侧面积S rl π=计算公式可得.【详解】解：由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起， 在ABC 中，25AB =，5AC =，90BAC ∠=︒，如下图所示，底面圆的半径为()()222552255r AD ⋅===+，则所形成的几何体的表面积为()()12225565S r l l πππ=+=⨯⨯+=.故答案为：65π. 【点睛】本题考查旋转体的表面积计算问题，属于基础题.9．已知数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，满足{}{}{}123123,,,,,,2a a a b b b a b ==-，其中0a >，0b >，则+a b 的值为_______________．【答案】5【解析】根据题意，判断出22b =-，根据等比数列的性质可得()2221324b b b ==-=，再令数列{}n a 中的12a =-，2a a =，3a b =，根据等差数列的性质，列出等式22a b =-+，求出a 和b 的值即可.【详解】解：由{}{}{}123123,,,,,,2a a a b b b a b ==-，其中0a >，0b >，可得22b =-，则()2221324b b b ==-=，令1b a =，3b b =，可得4ab =.①又令数列{}n a 中的12a =-，2a a =，3a b =， 根据等差数列的性质，可得2132a a a =+， 所以22a b =-+.② 根据①②得出1a =，4b =. 所以5a b +=. 故答案为5. 【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的性质，属于基础题.10．已知点P 是抛物线24x y =上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为()0,1-，则PFPA的最小值为______________．【答案】2【解析】过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足，则由抛物线的定义可得PM PF =，则sin PF PM PAM PA PA==∠，PAM ∠为锐角.故当PA 和抛物线相切时，PFPA 的值最小.再利用直线的斜率公式、导数的几何意义求得切点的坐标，从而求得PFPA的最小值.【详解】解：由题意可得，抛物线24x y =的焦点()0,1F ，准线方程为1y =-，过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足，则由抛物线的定义可得PM PF =， 则sin PF PMPAM PA PA==∠，PAM ∠为锐角.故当PAM ∠最小时，PFPA的值最小. 设切点()2,P a a ，由214y x =的导数为12y x '=，则PA 的斜率为1222a a a⋅==， 求得1a =，可得()2,1P ，∴2PM =，22PA =， ∴2sin PM PAM PA ∠==.2. 【点睛】本题考查抛物线的定义，性质的简单应用，直线的斜率公式，导数的几何意义，属于中档题.11．已知x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，则x y +的最小值为________________. 【答案】8【解析】由x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，可知4x ≠-，于是2414x y x -+=+，可得()241494644x x y x x x x -++=+=++-++，再利用基本不等式即可得出结果.【详解】 解：x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，可知4x ≠-，∴2414x y x -+=+，∴()()2414949462468444x x y x x x x x x -++=+=++-≥+⋅=+++.当且仅当3x =时取等号.∴x y +的最小值为8.故答案为：8. 【点睛】本题考查了基本不等式的性质应用，恰当变形是解题的关键，属于中档题.12．在平面直角坐标系xOy 中，圆()()222:0C x m y r m -+=>.已知过原点O 且相互垂直的两条直线1l 和2l ，其中1l 与圆C 相交于A ，B 两点，2l 与圆C 相切于点D .若AB OD =，则直线1l 的斜率为_____________.【答案】5±【解析】设1l ：0kx y ，2l ：0x ky +=，利用点到直线的距离，列出式子r =⎪=⎪⎩，求出k 的值即可. 【详解】解：由圆()()222:0C x m y r m -+=>，可知圆心(),0C m ，半径为r .设直线1l ：0kx y ，则2l ：0x ky +=，圆心(),0C m 到直线1l，OD =AB OD =∴AB =圆心(),0C m 到直线2lr =，并根据垂径定理的应用，可列式得到r =⎪=⎪⎩，解得k =.故答案为：5±. 【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的运用，并结合圆的方程，垂径定理的基本知识，属于中档题.13．在ABC 中，BC 为定长，23AB AC BC +=，若ABC 的面积的最大值为2，则边BC 的长为____________． 【答案】2【解析】设BC a =，以B 为原点，BC 为x 轴建系，则()0,0B ，(),0C a ，设(),A x y ，0y ≠，()223,33AB AC a x y a +=--=，利用求向量模的公式，可得22223a x y a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭()0y ≠，根据三角形面积公式进一步求出a 的值即为所求.【详解】解：设BC a =，以B 为原点，BC 为x 轴建系，则()0,0B ，(),0C a ，设(),A x y ，0y ≠，则()223,33AB AC a x y a +=--==，即22223a x y a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭()0y ≠，由12ABCSBC y =⋅，可得2222a a y ≤=. 则2BC a ==. 故答案为：2. 【点睛】本题考查向量模的计算，建系是关键，属于难题.14．函数()xf x e x b =--（e 为自然对数的底数，b R ∈），若函数()()12g x f f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭恰有4个零点，则实数b 的取值范围为__________________.【答案】11,ln 22⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】令()12f x t -=，则()0f t =，()12f x t =+恰有四个解.由()1x f x e '=-判断函数增减性，求出最小值，列出相应不等式求解得出b 的取值范围. 【详解】 解：令()12f x t -=，则()0f t =，()12f x t =+恰有四个解. ()0f t =有两个解，由()1x f x e '=-，可得()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，则()()min 010f x f b ==-<，可得1b >. 设()0f t =的负根为m ， 由题意知，112m b +>-，12m b >-， 102f b ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，则12102b e -->， ∴1ln 22b <+. ∴11,ln 22b ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭故答案为：11,ln 22⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查导数在函数当中的应用，属于难题.二、解答题15．如图，三棱锥P ABC -中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE ⊥平面ABC ．()1求证：//AC 平面PDE ； ()2若2PD AC ==，3PE =PBC ⊥平面ABC .【答案】()1证明见解析；()2证明见解析. 【解析】()1利用线面平行的判定定理求证即可；()2D 为AB 中点，E 为BC 中点，可得112DE AC ==，2PD =，3PE =222PD PE DE =+，故PDE △为直角三角形，PE DE ⊥，利用面面垂直的判定定理求证即可. 【详解】 解： ()1证明：D 为AB 中点，E 为BC 中点，∴//AC DE ，又AC ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ，∴//AC 平面PDE ；()2证明：D 为AB 中点，E 为BC 中点，∴112DE AC ==，又2PD =，3PE = 则222PD PE DE =+，故PDE △为直角三角形，PE DE ⊥， 平面PDE ⊥平面ABC ，平面PDE平面ABC DE =，PE DE ⊥，PE ⊂平面PDE ，∴PE ⊥平面ABC ，又∵PE ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面ABC .【点睛】本题考查线面平行和面面垂直的判定定理的应用，属于基础题.16．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a b C c B =+．()1求B 的值；()2设BAC ∠的平分线AD 与边BC 交于点D ，已知177AD =，7cos 25A =-，求b 的值.【答案】()14B π=；()2sin sin AD ADCb C∠=.【解析】()1利用正弦定理化简求值即可；()2利用两角和差的正弦函数的化简公式，结合正弦定理求出b 的值.【详解】解：()1cos sin a b C c B -=，由正弦定理得：sin sin cos sin sin A B C C B -=，()sin sin cos sin sin B C B C C B π---=， ()sin sin cos sin sin B C B C C B +-=，sin cos sin cos sin cos sin sin B C C B B C C B +-=， sinCcos sin sin B C B =，又B ，C 为三角形内角，故sin 0B >，sin 0C >， 则cos sin 0B B =>，故tan 1B =，4B π=；（2）AD 平分BAC ∠，设BAD CAD x ∠=∠=，则()20,A x π=∈,0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,27cos cos 22cos 125A x x ==-=-，3cos 5x =，则4sin 5x ==，24sin 25A ==，又4B π=，则333sin sin sin cos cos sin 44450C A A A πππ⎛⎫=---=⎪⎝⎭()sin sin sin sin cos cos sin 44410ADC B x x x x πππ⎛⎫∠=+=+=+=⎪⎝⎭ 在ACD 中，由正弦定理：sin sin b AD ADC C =∠，sin sin AD ADCb C∠=. 【点睛】本题考查正弦定理和两角和差的正弦函数的化简公式，二倍角公式，考查运算能力，属于基础题.17．如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A 与小岛圆心C 相距3千米，为方便游人到小岛观光，从点A 向小岛建三段栈道AB ，BD ，BE ，湖面上的点B 在线段AC 上，且BD ，BE 均与圆C 相切，切点分别为D ，E ，其中栈道AB ，BD ，BE 和小岛在同一个平面上.沿圆C 的优弧（圆C 上实线部分）上再修建栈道DE .记CBD ∠为θ.()1用θ表示栈道的总长度()f θ，并确定sin θ的取值范围； ()2求当θ为何值时，栈道总长度最短.【答案】()1()1232sin tan f θπθθθ=-+++，1sin ,13θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；()2当3πθ=时，栈道总长度最短.【解析】()1连CD ，CE ，由切线长定理知：1tan tan CD BE BD θθ===，1sin sin CD BC θθ==，130sin AB AC BC θ=-=-≥，1sin 3θ≥，即01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()1232sin tan fθπθθθ=-+++，0,2πθθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，进而确定sin θ的取值范围； ()2根据()12cos 23sin f θθθπθ-=-++求导得()()2cos 2cos 1sin f θθθθ--'=，利用增减性算出()min 533f πθ=+，进而求θ得取值. 【详解】解：()1连CD ，CE ，由切线长定理知：1tan tan CD BE BD θθ===，1sin sin CD BC θθ==， CBE CBD θ∠=∠=，又CD BD ⊥，CE BE ⊥，故2DCE πθ∠=-，则劣弧DE 的长为2πθ-，因此，优弧DE 的长为2πθ+， 又3AC =，故130sin AB AC BC θ=-=-≥，1sin 3θ≥，即01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以，()1232sin tan fθπθθθ=-+++，0,2πθθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则1sin ,13θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭； ()2()12cos 23sin f θθθπθ-=-++，0,2πθθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，其中01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()2cos 2cos 1sin f θθθθ--'=故3πθ=时，()min 533f πθ=+所以当3πθ=时，栈道总长度最短.【点睛】本题主要考查导数在函数当中的应用，属于中档题.18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，且过点()0,3.()1求椭圆C 的方程；()2已知BMN △是椭圆C 的内接三角形，①若点B 为椭圆C 的上顶点，原点O 为BMN △的垂心，求线段MN 的长； ②若原点O 为BMN △的重心，求原点O 到直线MN 距离的最小值.【答案】()122143x y +=；()24333【解析】()1根据题意列出方程组求解即可；()2①由原点O 为BMN △的垂心可得BO MN ⊥，//MN x 轴，设(),M x y ，则(),N x y -，22443x y =-，根据·=0BM ON 求出线段MN 的长；②设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，设MN ：y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，则()1212,A x x y y ++，当MN 斜率不存在时，则O 到直线MN 的距离为1，()()221212434460k x x mk x x m +++++=，由223412y kx mx y =+⎧⎨+=⎩，则()2224384120k x mkx m +++-=，122843mk x x k -+=+，212241243m x x k -=+，得出22443m k =+，根据d ===. 【详解】解：()1设焦距为2c，由题意知：22212b b ac c a ⎧⎪=⎪=-⎨⎪⎪=⎩，22431a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩因此，椭圆C 的方程为：22143x y +=；()2①由题意知：BO MN ⊥，故//MN x 轴，设(),M x y ，则(),N x y -，22443x y =-，2227·403BM ON x y y =-+=-=，解得：y =B ，M不重合，故7y =-213249x =，故27MN x ==；②设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，当MN 斜率不存在时，则O 到直线MN 的距离为1；设MN ：y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，则()1212,A x x y y ++()()222222121211221434343x x y y x y x y +++=+=+=，1212346x x y y +=- ()()1212346x x kx m kx m +++=-()()221212434460kx x mk x x m +++++=223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，则()2224384120k x mkx m +++-= ()2248430k m∆=+->，x =则：122843mk x x k -+=+，212241243m x x k -=+，代入式子得：22223286043m k m k --=+，22443m k =+设O 到直线MN 的距离为d，则d ===0k =时，min d =综上，原点O 到直线MN距离的最小值为2. 【点睛】本题考查椭圆的方程的知识点，结合运用向量，韦达定理和点到直线的距离的知识，属于难题.19．已知函数()()3216f x x x a x =---，()ln g x a x =，a R ∈.函数()()()f x h x g x x=-的导函数()h x '在5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在零点.()1求实数a 的取值范围；()2若存在实数a ，当[]0,x b ∈时，函数()f x 在0x =时取得最大值，求正实数b 的最大值；()3若直线l 与曲线()y f x =和()y g x =都相切，且l 在y 轴上的截距为12-，求实数a 的值.【答案】()1[]10,28；()24；()312.【解析】()1由题意可知，()2ln 16h x x x a x a =---+，求导函数()h x '，方程220x x a --=在区间5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有实数解，求出实数a 的取值范围；()2由()()3216f x x x a x =---，则()23216f x x x a =--+'，分步讨论，并利用导函数在函数的单调性的研究，得出正实数b 的最大值；()3设直线l 与曲线()y f x =的切点为()()321111,16x x x a x ---，因为()()23216f x x x a =---'，所以切线斜率()2113216k x x a =---，切线方程为()2412y a x =--，设直线l 与曲线()y g x =的切点为()22,ln x a x ，因为()ag x x'=，所以切线斜率2a k x =，即切线方程为()222ln ay x x a x x =-+， 整理得22ln a y x a x a x =+-.所以2224ln 12aa x a x a ⎧=-⎪⎨⎪-=-⎩，求得257x ≥，设()115ln 227G x x x x ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭，则()221121022x G x x x x-=-=>'， 所以()G x 在5,7⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，最后求出实数a 的值. 【详解】()1由题意可知，()2ln 16h x x x a x a =---+，则()2221a x x ah x x x x--'=--=， 即方程220x x a --=在区间5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有实数解，解得[]10,28a ∈；()2因为()()3216f x x x a x =---，则()23216f x x x a =--+'，①当()412160a ∆=--+≤，即47103a ≤≤时，()0f x '≥恒成立， 所以()f x 在[]0,b 上单调递增，不符题意； ②当47163a <<时，令()232160f x x x a =--+='， 解得：x ==当10,3x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增， 所以不存在0b >，使得()f x 在[]0,b 上的最大值为()0f ，不符题意； ③当1628a ≤≤时，()232160f x x x a =--+='，解得：10x =<，20x =>且当()20,x x ∈时，()0f x '<，当()2,x x ∈+∞时，()0f x '>， 所以()f x 在()20,x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，若20b x <≤，则()f x 在[]0,b 上单调递减，所以()()max 0f x f =， 若2b x >，则()()20,f x x 上单调递减，在()2,x b 上单调递增，由题意可知，()()0f b f ≤，即()32160b b a b ---≤，整理得216b b a -≤-，因为存在[]16,28a ∈，符合上式，所以212b b -≤，解得04b <≤， 综上，b 的最大值为4；()3设直线l 与曲线()y f x =的切点为()()321111,16x x x a x ---，因为()()23216f x x x a =---'，所以切线斜率()2113216k x x a =---，即切线方程()()()232111111321616y x x a x x x x a x ⎡⎤=----+---⎣⎦整理得：()232111132162y x x a x x x ⎡⎤=----+⎣⎦由题意可知，3211212x x -+=-，即32112120x x --=，即()()211122360x x x -++=，解得12x =所以切线方程为()2412y a x =--，设直线l 与曲线()y g x =的切点为()22,ln x a x ， 因为()ag x x'=，所以切线斜率2a k x =，即切线方程为()222ln a y x x a x x =-+， 整理得22ln ay x a x a x =+-. 所以2224ln 12aa x a x a ⎧=-⎪⎨⎪-=-⎩，消去a ，整理得2211ln 022x x +-=， 且因为[]()22410,28aa a x =-∈，解得257x ≥， 设()115ln 227G x x x x ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭，则()221121022x G x x x x-=-=>'， 所以()G x 在5,7⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，因为()10G =，所以21x =，所以24a a =-，即12a =. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的研究，导数的几何意义，属于难题.20．已知矩阵1221M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦MN .()1求矩阵N ； ()2求矩阵N 的特征值.【答案】()112332133N ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦；()2113λ=，21λ=-. 【解析】()1由题意，可得a b N c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，利用矩阵的知识求解即可.()2矩阵N 的特征多项式为()21439f λλ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令()0f λ=，求出矩阵N 的特征值. 【详解】()1设矩阵a b N c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则122210212201a b a c b d MN c d a c b d ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以21202021a c b d a c b d +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得13a =-，23b =，23c =，13d =-，所以矩阵12332133N ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦； ()2矩阵N 的特征多项式为()21439f λλ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令()0f λ=，解得113λ=，21λ=-， 即矩阵N 的两个特征值为113λ=，21λ=-.【点睛】本题考查矩阵的知识点，属于常考题.21．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2212x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，求线段AB 的长. 【答案】16【解析】由cos cos cos sin sin 444πππρθρθρθ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭cos sin 2ρθρθ+=，由cos ,sin x y ρθρθ==，所以直线l 的直角坐标方程为2x y +=，因为曲线C 的参数方程为2212x ty t =⎧⎪⎨=⎪⎩，整理得28x y =，直线l 的方程与曲线C 的方程联立，228x y x y+=⎧⎨=⎩，整理得28160x x +-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则1128,16x x x x +==-，根据弦长公式求解即可.【详解】由cos cos cos sin sin 444πππρθρθρθ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭，化简得cos sin 2ρθρθ+=，又因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以直线l 的直角坐标方程为2x y +=，因为曲线C 的参数方程为2212x ty t =⎧⎪⎨=⎪⎩，消去t ，整理得28x y =，将直线l 的方程与曲线C 的方程联立，228x y x y +=⎧⎨=⎩，消去y ，整理得28160x x +-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则1128,16x x x x +==-， 所以AB ===，将1128,16x x x x +==-，代入上式，整理得16AB =. 【点睛】本题考查参数方程，极坐标方程的应用，结合弦长公式的运用，属于中档题. 22．已知a ＞01a a+-2． 【答案】证明见解析【解析】利用分析法，证明a 132a +＞即可． 【详解】证明：∵a ＞0，∴a 1a+≥2， ∴a 1a+-2≥0，∴1a a+-2， 只要证明a 221a +＞（a 1a +）2﹣4（a 1a +）+4，只要证明：a 132a +＞，∵a 1a +≥232＞，∴原不等式成立． 【点睛】本题考查不等式的证明，着重考查分析法的运用，考查推理论证能力，属于中档题． 23．某商场举行有奖促销活动，顾客购买每满400元的商品即可抽奖一次.抽奖规则如下：抽奖者掷各面标有16-点数的正方体骰子1次，若掷得点数大于4，则可继续在抽奖箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖，已知抽奖箱中装有2个红球与()*2,m m m N ≥∈个白球，抽奖者从箱中任意摸出2个球，若2个球均为红球，则获得一等奖，若2个球为1个红球和1个白球，则获得二等奖，否则，获得三等奖（抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同）.()1若4m =，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；()2若一等奖可获奖金400元，二等奖可获奖金300元，三等奖可获奖金100元，记顾客一次抽奖所获得的奖金为X ，若商场希望X 的数学期望不超过150元，求m 的最小值. 【答案】()135；()29. 【解析】()1设顾客获得三等奖为事件A ，因为顾客掷得点数大于4的概率为13，顾客掷得点数小于4，然后抽将得三等奖的概率为415，求出()P A ； ()2由题意可知，随机变量X 的可能取值为100，300，400，相应求出概率，求出期望，化简得()()()2100200220016003321m m E X m m ++=+++，由题意可知，()150E X ≤，即()()2100200220016001503321m m m m +++≤++，求出m 的最小值. 【详解】()1设顾客获得三等奖为事件A ，因为顾客掷得点数大于4的概率为13， 顾客掷得点数小于4，然后抽将得三等奖的概率为24262264331515C C ⨯=⨯=， 所以()1433155P A =+=； ()2由题意可知，随机变量X 的可能取值为100，300，400，且()()()()22221121100333321m m m m C P X C m m +-==+⨯=+++，()()()11222283003321m m C C mP X C m m +==⨯=++，()()()2222244003321m C P X C m m +==⨯=++，所以随机变量X 的数学期望，()()()()()()()()211841003004003321321321m m m E X m m m m m m ⎛⎫-=⨯++⨯+⨯ ⎪ ⎪++++++⎝⎭，化简得()()()2100200220016003321m m E X m m ++=+++， 由题意可知，()150E X ≤，即()()2100200220016001503321m m m m +++≤++， 化简得2323180m m --≥，因为*m N ∈，解得9m ≥， 即m 的最小值为9. 【点睛】本题主要考查概率和期望的求法，属于常考题. 24．已知集合{}1,2,,n A n =，*n N ∈，2n ≥，将n A 的所有子集任意排列，得到一个有序集合组()12,,,m M M M ，其中2n m =.记集合k M 中元素的个数为k a ，*k N ∈，k m ≤，规定空集中元素的个数为0.()1当2n =时，求12m a a a +++的值；()2利用数学归纳法证明：不论()2n n ≥为何值，总存在有序集合组()12,,,m M M M ，满足任意*i N ∈，1i m ≤-，都有11i i a a +-=.【答案】()14；()2证明见解析.【解析】()1当2n =时，集合n A 共有224=个子集，即可求出结果；()2分类讨论，利用数学归纳法证明.【详解】()1当2n =时，集合n A 共有224=个子集，所以124m a a a +++=；()2①当2n =时，224m ==，由()1可知，1244a a a +++=，此时令11a =，22a =，31a =，40a =， 满足对任意()*3i i N≤∈，都有11ii a a+-=，且40a =；②假设当()2n k k =≥时，存在有序集合组()122,,,k M M M 满足题意，且20k a =，则当1n k =+时，集合n A 的子集个数为1222k k +=⋅个，因为22k ⋅是4的整数倍，所以令211k a +=，222k a +=，231k a +=，240k a +=， 且()224124k k kj j a a j +++=≤≤-恒成立，即满足对任意121k i +≤-，都有11i i a a +-=，且210k a +=， 综上，原命题得证. 【点睛】本题考查集合的自己个数的研究，结合数学归纳法的应用，属于难题.。

江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试数学试题2020．3一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知集合A ＝{}21Z x x k k =+∈，，B ＝{}(5)0x x x -<，则A I B ＝ ． 2．已知复数z ＝1＋2i ，其中i 为虚数单位，则z 2的模为 ．3．如图是一个算法流程图，若输出的实数y 的值为﹣1，则输入的实数x 的值为 ． 4．某校初三年级共有500名女生，为了了解初三女生1分钟“仰卧起坐”项目训练情况，统计了所有女生1分钟“仰卧起坐”测试数据(单位：个)，并绘制了如下频率分布直方图，则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生 个．5．从编号为1，2，3，4的4张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为 ． 6．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且周期为2，当x ∈(0，1]时，()3a f x x =+，则()f a 的值为 ．7．若将函数()sin(2)3f x x π=+的图象沿x 轴向右平移ϕ (ϕ＞0)个单位后所得的图象与()f x 的图象关于x 轴对称，则ϕ的最小值为 ．8．在△ABC 中，AB ＝AC BAC ＝90°，则△ABC 绕BC 所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为 ．9．已知数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，满足{1a ，2a ，3a }＝{1b ，2b ，3b }＝{a ，b ，﹣2}，其中a ＞0，b ＞0，则a ＋b 的值为 ．10．已知点P 是抛物线24x y =上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为(0，﹣1)，则PF PA的最小值为 ．11．已知x ，y 为正实数，且xy ＋2x ＋4y ＝41，则x ＋y 的最小值为 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：222()x m y r -+=(m ＞0)．已知过原点O 且相互垂直的两条直线l 1和l 2，其中l 1与圆C 相交于A ，B 两点，l 2与圆C 相切于点D ．若AB ＝OD ，则直线l 1的斜率为 ．13．在△ABC 中，BC 为定长，AB 2AC +u u u r u u u r ＝3BC u u u r．若△ABC 的面积的最大值为2，则边BC 的长为 ．14．函数()xf x e x b =--(e 为自然对数的底数，b ∈R)，若函数1()(())2g x f f x =-恰有4个零点，则实数b 的取值范围为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）如图，三棱锥P —ABC 中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE ⊥平面ABC ．（1）求证：AC ∥平面PDE ；（3）若PD ＝AC ＝2，PE ，求证：平面PBC ⊥平面ABC ．16．（本题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝b cosC ＋c sinB ．（1）求B 的值；（2）设∠BAC 的平分线AD 与边BC 交于点D ，已知AD ＝177，cosA ＝725-，求b 的值．17．（本题满分14分）如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A与小岛圆心C相距3千米．为方便游人到小岛观光，从点A向小岛建三段栈道AB，BD，BE．湖面上的点B在线段AC 上，且BD，BE均与圆C相切，切点分别为D，E，其中栈道AB，BD，BE和小岛在同一个平面上．沿圆C的优弧（圆C上实线部分）上再修建栈道»DE．记∠CBD为θ．（1）用θ表示栈道的总长度()fθ，并确定sinθ的取值范围；（2）求当θ为何值时，栈道总长度最短．18．（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：22221x ya b+=(a＞b＞0)的离心率为12，且过点(0．（1）求椭圆C的方程；（2）已知△BMN是椭圆C的内接三角形，①若点B为椭圆C的上顶点，原点O为△BMN 的垂心，求线段MN 的长；②若原点O 为△BMN 的重心，求原点O 到直线MN 距离的最小值．19．（本题满分16分）已知函数32()(16)f x x x a x =---，()ln g x a x =，a ∈R ．函数()()()f x h x g x x=-的导函数()h x '在[52，4]上存在零点． （1）求实数a 的取值范围；（2）若存在实数a ，当x ∈[0，b ]时，函数()f x 在x ＝0时取得最大值，求正实数b 的最大值；（3）若直线l 与曲线()y f x =和()y g x =都相切，且l 在y 轴上的截距为﹣12，求实数a 的值．20．（本题满分16分）已知无穷数列{}n a 的各项均为正整数，其前n 项和为n S ，记n T 为数列{}n a 的前n a 项和，即12n n a T a a a =+++L ．（1）若数列{}n a 为等比数列，且11a =，425S S =，求3T 的值； （2）若数列{}n a 为等差数列，且存在唯一的正整数n (n ≥2)，使得2nnT a <，求数列{}n a 的通项公式；（3）若数列{}n T 的通项为(1)2n n n T +=，求证：数列{}n a 为等差数列．江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试数学附加题本试卷共40分，考试时间30分钟． 21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵1221⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，10MN 01⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． （1）求矩阵N ；（2）求矩阵N 的特征值．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2212x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l极坐标方程为cos()4πρθ-=l交曲线C 于A ，B 两点，求线段AB 的长．C ．选修4—5：不等式选讲已知a ＞012a a+-．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买每满400元的商品即可抽奖一次．抽奖规则如下：抽奖者掷各面标有1~6点数的正方体骰子1次，若挪得点数大于4，则可继续在抽奖箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖．已知抽奖箱中装有2个红球与m (m ≥2，m ∈N *)个白球，抽奖者从箱中任意摸出2个球，若2个球均为红球，则获得一等奖，若2个球为1个红球和1个白球，则获得二等奖，否则，获得三等奖(抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同)．（1）若m ＝4，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；（2）若一等奖可获奖金400元，二等奖可获奖金300元，三等奖可获奖金100元，记顾客一次抽奖所获得的奖金为X ，若商场希望X 的数学期望不超过150元，求m 的最小值．23．（本小题满分10分）已知集合A n ＝{1，2，…，n }，n ∈N *，n ≥2，将A n 的所有子集任意排列，得到一个有序集合组(M 1，M 2，…，M m )，其中m ＝2n ．记集合M k 中元素的个数为a k ，k ∈N *，k ≤m ，规定空集中元素的个数为0．（1）当n ＝2时，求a 1＋a 2＋…＋a m 的值；（2）利用数学归纳法证明：不论n (n ≥2)为何值，总存在有序集合组(M 1，M 2，…，M m )，满足任意*1 i i m ∈-N ，…，都有11i i a a +-=．江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试数学试题2020．3一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知集合A ＝{}21Z x x k k =+∈，，B ＝{}(5)0x x x -<，则A I B ＝ ． 答案：{1，3}考点：集合交集运算解析：∵集合A ＝{}21Z x x k k =+∈，，B ＝{}(5)0x x x -<， ∴A I B ＝{1，3}．2．已知复数z ＝1＋2i ，其中i 为虚数单位，则z 2的模为 ． 答案：5 考点：复数解析：2214i 4i 34i z =++=-+，∴25z =．3．如图是一个算法流程图，若输出的实数y 的值为﹣1，则输入的实数x 的值为 ．答案：14-考点：算法与流程图解析：当0x ≤时，2log (21)1x +=-，解得14x =-符合题意， 当0x >时，21x =-，该等式无解．故14x =-． 4．某校初三年级共有500名女生，为了了解初三女生1分钟“仰卧起坐”项目训练情况，统计了所有女生1分钟“仰卧起坐”测试数据(单位：个)，并绘制了如下频率分布直方图，则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生 个．答案：325考点：频率分布直方图 解析：0.1(0.0350.0150.01)0.022x -++==，∴(0.035＋0.02＋0.01)×10×500＝325．5．从编号为1，2，3，4的4张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为 ． 答案：12考点：随机事件的概率解析：先后取两次共有16种取法，其中第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除有8种，故P ＝81162=． 6．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且周期为2，当x ∈(0，1]时，()3a f x x =+，则()f a 的值为 ． 答案：0考点：函数的奇偶性与周期性 解析：当x ∈(0，1]时，()3a f x x =+，∴(1)13a f =+，∵函数()f x 是定义在R 上的奇函数，∴(1)(1)13a f f -=-=--， ∵函数()f x 周期为2，∴(1)(1)f f -=，解得a ＝﹣3，∴(1)(1)0f f -==， ∴()(3)(32)(1)0f a f f f =-=-+=-=． 7．若将函数()sin(2)3f x x π=+的图象沿x 轴向右平移ϕ (ϕ＞0)个单位后所得的图象与()f x 的图象关于x 轴对称，则ϕ的最小值为 ．答案：2π考点：三角函数的图像与性质 解析：由题意知22T ππϕω===．8．在△ABC 中，AB ＝AC BAC ＝90°，则△ABC 绕BC 所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为 ．答案： 考点：圆锥的侧面积解析：有题意可知该几何体是由底面半径为2，母线长分别为的两个圆锥拼成的图形，故表面积＝π=．9．已知数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，满足{1a ，2a ，3a }＝{1b ，2b ，3b }＝{a ，b ，﹣2}，其中a ＞0，b ＞0，则a ＋b 的值为 ． 答案：5考点：等差、等比中项解析：不妨令a ＞b ，则4ab =，22b a =-，则b ＝1，a ＝4，∴a ＋b ＝5．10．已知点P 是抛物线24x y =上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为(0，﹣1)，则PFPA的最小值为 ．答案：2考点：抛物线的性质解析：令直线l 为：y ＝﹣1，作PG ⊥l 于点G ，则PF PG cos APG cos PAF PA PA==∠=∠， 当直线AP 且抛物线与点P 时，∠PAF 最大，此时cos ∠PAF 最小，即PFPA最小， 令直线AP ：y ＝kx ﹣1，与抛物线联立：241x y y kx ⎧=⎨=-⎩，2440x kx -+=，当2(4)440k --⨯=，解得k ＝±1，从而有∠PAF ＝45°，即cos PAF ∠＝2． 11．已知x ，y 为正实数，且xy ＋2x ＋4y ＝41，则x ＋y 的最小值为 ． 答案：8考点：基本不等式解析：∵xy ＋2x ＋4y ＝41，∴(4)(2)49x y ++=，∴(4)(2)14x y +++≥=，当且仅当x ＝3，y ＝5取“＝”， ∴x ＋y ≥8，即x ＋y 的最小值为8．12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：222()x m y r -+=(m ＞0)．已知过原点O 且相互垂直的两条直线l 1和l 2，其中l 1与圆C 相交于A ，B 两点，l 2与圆C 相切于点D ．若AB＝OD ，则直线l 1的斜率为 ．答案： 考点：直线与圆综合解析：作CE ⊥AB 于点E ，则222222211CE BC BE BC AB BC OD 44=-=-=- 2222215()44r m r m r -=--=，由OECD 是矩形，知CE 2＝OD 2，∴222254r mm r -=-，化简得r m =即cos ∠OCD ＝CD OC ＝rm=tan ∠COB ＝tan ∠OCD ，∴直线l 1的斜率为5±．13．在△ABC 中，BC 为定长，AB 2AC +u u u r u u u r ＝3BC u u u r．若△ABC 的面积的最大值为2，则边BC 的长为 ． 答案：2考点：平面向量与解三角形 解析：方法一：根据题意作图如下，且令在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中C 是AD 中点，E 是BD 中点，则AB 2AC 2AE +=u u u r u u u r u u u r，∴AB 2AC +u u u r u u u r ＝3BC u u u r可转化为33AE BC 22a ==u u u r u u u r ，根据三角形中线公式得，AE =BC =即32a =a =，消BD 2得， 2221163a b c =+，作AF ⊥BC 于点F ，设CF ＝x ，则BF ＝a x -，AF ＝h ， 2221163a b c =+可转化为22222116()3[]a x h h a x =+++-，化简得2229689x ax a h -++=，当3a x =时，2h 取最大值2a ，即h 的最大值为a ，∴max 122S a a =⋅⋅=，解得a ＝2，即BC 的长为2． 方法二：14．函数()xf x e x b =--(e 为自然对数的底数，b ∈R)，若函数1()(())2g x f f x =-恰有4个零点，则实数b 的取值范围为 ．答案：(1，1ln 22+) 考点：函数与方程解析：∵()xf x e x b =--，∴()1xf x e '=-，当x ＜0，()f x '＜0，则()f x 在(-∞，0)上单调递减， 当x ＞0，()f x '＞0，则()f x 在(0，+∞)上单调递增， ∴()f x 的最小值为(0)1f b =-，容易知道当10b ->，函数1()(())2g x f f x =-没有零点；当10b -=，函数1()(())2g x f f x =-有且仅有两个零点；要使函数1()(())2g x f f x =-恰有4个零点，必须10b -<，即b ＞1 此时()f x 恰有2个零点，令这两个零点为1t ，2t ，规定1t ＜0＜2t ， 则1()2f x -＝1t 或2t ，()f x ＝112t +或212t +，易知()f x ＝212t +有两个不相等的实根，则()f x ＝112t +必须满足有且仅有两个不相等的实根，故1112t b +>-，即112t b >-，因为函数()f x 在(12b -，1t )上单调递减， ∴11()()02f b f t ->=，即121()02b e b b ---->，解得1ln 22b <+，综上所述，11ln 22b <<+．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）如图，三棱锥P —ABC 中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE ⊥平面ABC ．（1）求证：AC ∥平面PDE ；（3）若PD ＝AC ＝2，PE ，求证：平面PBC ⊥平面ABC ．解：（1）∵D ，E 分别为AB ，BC 的中点， ∴DE ∥AC ，∵AC ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ， ∴AC ∥平面PDE（2）∵D ，E 分别为AB ，BC 的中点， ∴112DE AC == 在△PDE 中，2224DE PE PD +==，∴PE ⊥DE∵平面PDE ⊥平面ABC ，平面PDE I 平面ABC ＝DE ，PE ⊂平面PDE∴PE ⊥平面ABC ∵PE ⊂平面PBC∴平面PBC ⊥平面ABC16．（本题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝b cosC ＋c sinB ．（1）求B 的值；（2）设∠BAC 的平分线AD 与边BC 交于点D ，已知AD ＝177，cosA ＝725-，求b 的值． 解：（1）由正弦定理得sinA ＝sinBcosC ＋sinCsinBSin[π﹣(B ＋C)]＝sinBcosC ＋sinCsinB sin(B ＋C)＝sinBcosC ＋sinCsinBsinBcosC ＋sinCcosB ＝sinBcosC ＋sinCsinB sinCcosB ＝sinCsinB ∵B 、C ∈(0，π)， sinB ＞0，sinC ＞0，∴cosB ＝sinB ，tanB ＝1， 由B ∈(0，π)， 得B ＝4π． （2）记A ＝2α∵AD 是∠BAC 的角平分线 ∴∠BAD ＝∠CAD ＝α ∵cosA ＝725-，A ∈(0，π)，∴sinA 2425sinC ＝sin(A ＋B)＝50∵cosA ＝222cos 112sin αα-=-，A 2α=∈(0，2π)， ∴sin α＝45，cos α＝35∴sin ∠ADC ＝sin(B ＋α) 在△ADC 中， 由正弦定理得：ADsin ADC sin Cb =∠，∴ADsin ADC=5sin Cb =⋅∠ 17．（本题满分14分）如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A 与小岛圆心C 相距3千米．为方便游人到小岛观光，从点A 向小岛建三段栈道AB ，BD ，BE ．湖面上的点B 在线段AC 上，且BD ，BE 均与圆C 相切，切点分别为D ，E ，其中栈道AB ，BD ，BE 和小岛在同一个平面上．沿圆C 的优弧（圆C 上实线部分）上再修建栈道»DE．记∠CBD 为θ． （1）用θ表示栈道的总长度()f θ，并确定sin θ的取值范围；（2）求当θ为何值时，栈道总长度最短．解：（1）连接CD ，在Rt △CBD 中，CD ＝1，CB ＝1sin θ，BD ＝1tan θ，»DE (2)12πθπθ=+⋅=+ 12()32sin tan f θπθθθ=-+++ 当B 与A 重合时，sin 13θ=，∴sin θ∈[13，1)，（2）∵sin θ∈[13，1)，∴cos θ∈(0，3]，求得2cos (2cos 1)()sin f θθθθ--'=∴3πθ=时，即cos 12θ=，min 5()()333f f ππθ==+18．（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的离心率为12，且过点(0．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知△BMN 是椭圆C 的内接三角形，①若点B 为椭圆C 的上顶点，原点O 为△BMN 的垂心，求线段MN 的长；②若原点O 为△BMN 的重心，求原点O 到直线MN 距离的最小值．解：（1）由题意得12c a =，b =222b a c =-，解得a ＝2，23b = 椭圆方程为：22143x y += （2）①B(0)，O 是△ABC 的垂心，设M(0x ，0y )(0y ＜0)，则N(0x ，﹣0y )满足2200143x y +=，OM ⊥BN，则有00001y y x x -⋅=--，解得07x =±，07y =- 则MN＝7， 设M(1x ，1y )，N(2x ，2y )，B(0x ，0y )，O 是△ABC 的重心， 则120x x x +=-，120y y y +=-，则有221212()()143x x y y +++=，则1212121023x x y y ++=， I 若MN 斜率不存在，则M(﹣1，32)，N(﹣1，32-)，d ＝1， II 若MN 斜率存在，则223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，联立得222(43)84120k x mkx m +++-=， 2248(43)0k m ∆=-+>，则122843km x x k -+=+，21224243m x x k -=+，整理得22434k m +=， 则点O 到MN的距离d ==k ＝0时，取d = 综上，当k ＝0时，min d =．19．（本题满分16分）已知函数32()(16)f x x x a x =---，()ln g x a x =，a ∈R ．函数()()()f x h x g x x=-的导函数()h x '在[52，4]上存在零点． （1）求实数a 的取值范围；（2）若存在实数a ，当x ∈[0，b ]时，函数()f x 在x ＝0时取得最大值，求正实数b 的最大值；（3）若直线l 与曲线()y f x =和()y g x =都相切，且l 在y 轴上的截距为﹣12，求实数a 的值．解：（1）由题意，2()(16)ln h x x x a a x =----，()21a h x x x '=--在[52，4]上存在零点，即220x x a --=在[52，4]上有解，22a x x =-，22x x -∈[10，28]，所以a 的取值范围是[10，28]．（2）2()32(16)f x x x a '=---，(0)016f a '≤⇒≥令()f x '＝0，1x =，2x =，当0＜b ≤2x 时，显然()f x 在x ＝0时取最大值当2b x >时，()f x 在[0，2x ]上单调递减，在[2x ，b ]上单调递增， 所以只需()(0)0f b f ≤=，即322(16)016b b a b b b a ---≤⇒-≤-， ∵max 28a =， ∴b 的最大值为4，（3）设()f x 上切点为(1x ，1()f x )，2()32(16)f x x x a '=---，可得切线方程为322111111(16)[32(16)]()y x x a x x x a x x -++-=----，已知点(0，﹣12)在其上，可得 2111(2)(236)0x x x -++=，所以12x = 设()g x 上切点为(2x ，2()g x )，()a g x x'=， 可得切线方程为222ln ()ay a x x x x -=-，已知点(0，﹣12)在其上， 可得212ln a x a --=-，因为公切线，所以211232(16)a x x a x ---=，将12x =代入，可得224a a x -= 由2212ln 24a x aaa x --=-⎧⎪⎨-=⎪⎩，可得2112x a =⎧⎨=⎩，所以a 的值为12．20．（本题满分16分）已知无穷数列{}n a 的各项均为正整数，其前n 项和为n S ，记n T 为数列{}n a 的前n a 项和，即12n n a T a a a =+++L ．（1）若数列{}n a 为等比数列，且11a =，425S S =，求3T 的值； （2）若数列{}n a 为等差数列，且存在唯一的正整数n (n ≥2)，使得2nnT a <，求数列{}n a 的通项公式；（3）若数列{}n T 的通项为(1)2n n n T +=，求证：数列{}n a 为等差数列． 解：（1）1344212155a q T S S S =⎧⇒=⇒==⎨=⎩； （2）因为无穷等差数列，所以d ≥0，且1N a *∈，d N ∈，I 当d ＝0时，n a 和n T 均为常数，故不存在唯一的整数满足条件，舍去；II 当d ≥2时，21112(1)21213n in i n n na T a n n n a a -=≥+-=-⇒≥=-≥∑，舍去 故d ＝1，11111111(1)(1)2212(1)2(1)a n i n i n a T n n n n a a a a n a n a n +-=--≥=+<⇒<-+-+-+-∑若12a ≥，则没有满足条件的n ，所以12a =，此时(1)222n T n n n n -≥<⇒=， 故n a n =（3）11T =，23T =，3161T a =⇒=，22a =，33a =，又11n n n n T T a a -->⇒> 所以n a n ≥；若n a n >，1212(1)122n n a n n n T a a a a a a n +=+++>+++>+++=L L L 与原命题矛盾，∴n a n =，11n n a a --=为常数，所以数列{}n a 为等差数列．江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试数学附加题本试卷共40分，考试时间30分钟． 21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵1221⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，10MN 01⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． （1）求矩阵N ；（2）求矩阵N 的特征值． 解：（1）设矩阵N ＝ a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则MN ＝2 22 2a c b d a c b d ++⎡⎤⎢⎥++⎣⎦，所以可得21202021a cb d ac bd +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得13232313a b c d ⎧=-⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=-⎩，所以N ＝12 3321 33⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，（2）由12 3321 33A E λλλ⎡⎤--⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦，可得矩阵N 的特征多项式为214()()39f λλ=+-令()0f λ=解得113λ=，21λ=-，所以矩阵N 有两个特征值113λ=，21λ=-．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2212x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l极坐标方程为cos()4πρθ-=l交曲线C 于A ，B 两点，求线段AB 的长． 解：由可得，又因为，所以直线l 的直角坐标方程为x+y=2，由曲线C 的参数方程为 (t 为参 数)消去t 得曲线C 方程为x 2 =8y ，联立直线l 与曲线C 得：消去y 得方程设，可得所以．C ．选修4—5：不等式选讲已知a ＞012a a+-．证明：设12a ta+=≥，当且仅当a＝1时，等号成立，则22212a ta+=-，所以2t-=≤=t＝2时，等号成立，2 t-12aa+-，当且仅当a＝1时，等号成立．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买每满400元的商品即可抽奖一次．抽奖规则如下：抽奖者掷各面标有1~6点数的正方体骰子1次，若挪得点数大于4，则可继续在抽奖箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖．已知抽奖箱中装有2个红球与m(m≥2，m∈N*)个白球，抽奖者从箱中任意摸出2个球，若2个球均为红球，则获得一等奖，若2个球为1个红球和1个白球，则获得二等奖，否则，获得三等奖(抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同)．（1）若m＝4，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；（2）若一等奖可获奖金400元，二等奖可获奖金300元，三等奖可获奖金100元，记顾客一次抽奖所获得的奖金为X，若商场希望X的数学期望不超过150元，求m的最小值．解：（1）设顾客获得三等奖为时间A，因为顾客掷得点数大于4的概率为13，顾客掷得点数小于4，然后抽得三等奖的概率为242624 315CC⨯=，所以P(A)＝143 += 3155；（2）由题意可知，随机变量X的可能取值为100，300，400且P(X＝100)＝2221212(1)+3333(2)(1)mmC m mC m m+-⨯=+++，P(X＝300)＝112222833(2)(1)mmC C mC m m+⨯=++，P(X＝400)＝22222433(2)(1)mCC m m+⨯=++，所以随机变量X的数学期望12(1)8()100[]30033(2)(1)3(2)(1)m m mE X m m m m -=⨯++⨯++++44003(2)(1)m m +⨯++化简得：210020022001600()33(2)(1)m m E X m m ++=+++， 由题意可得E(X)≤150，即21002002200160033(2)(1)m m m m +++++≤150， 化简得2323180m m --≥，因为m N *∈，解得m ≥9， 即m 的最小值为9．23．（本小题满分10分）已知集合A n ＝{1，2，…，n }，n ∈N *，n ≥2，将A n 的所有子集任意排列，得到一个有序集合组(M 1，M 2，…，M m )，其中m ＝2n ．记集合M k 中元素的个数为a k ，k ∈N *，k ≤m ，规定空集中元素的个数为0．（1）当n ＝2时，求a 1＋a 2＋…＋a m 的值；（2）利用数学归纳法证明：不论n (n ≥2)为何值，总存在有序集合组(M 1，M 2，…，M m )，满足任意*1 i i m ∈-N ，…，都有11i i a a +-=．解：(1)当n=2时，m=22=4， 集合A n 共有4个子集，可得；(2)当n=2时，m=22=4, 此时令，满足对任意，都有成立；假设n ＝k 时，存在有序集合组满足对任意的都有成立.此时，0个元素的集合个数为，1个元素的集合个数为，……，k 个元素的集合个数为将对应集合的元素个数a ，按奇偶问隔排列，先偶后奇，从小到大排列后，可得到一个符合题意的排列当n ＝k ＋1时，0个元素的集合个数为，1个元素的集合个数为……，k 个元素的集合个数为.k+1个元素的集合个数为，此时相比于n＝k时的排列多出数字的个数为个，将多出的这些数字按n＝k时的排序方式插入原序列，依然成立；故n＝k＋1时，原命题成立。

南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试卷地理试题一、选择题（共60分）（一）单项选择题：本大题共18小题，每小题2分，共计36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

图 1、图 2 分别为某日同一时刻太阳高度沿某经线和某纬线分布图，读图回答 1～2 题。

图 1 沿某经线太阳高度分布图 2沿某纬线太阳高度分布1.此时A.北京时间为 2 时+c=90°C.图 1 经线为90°WD.图 2 纬线为23°26′N【答案】B【解析】a 点太阳高度最高，所以90°E 地方时为 12 时，北京（120°E）时间为 14 时，所以 A 选项错；由图 2 得知，90°W 此时太阳高度角为0°，正值夜半球，所以 C 选项错；图1中，太阳直射点位于北半球，此时不可能是春秋分，因为赤道上全年昼夜半球等分，所以图 2 中该纬线位置只能是在赤道上，所以 D 选项错；太阳高度角公式为：= 90° −纬度差，设此时太阳直射点的纬度为，由上述得知，a 点位于赤道上，则a = 90° −，c点位于90°N，则c = 90° −（90° −），所以a+c=90°，所以 B 选项正确。

2.以下叙述正确的是A.该日北极圈上出现极昼B.该日后太阳直射点将向南移C.次日图 2 纬线昼长夜短D.次日南京日出东北方向【答案】D【解析】读图得知，该日并不能判断出太阳的直射点的具体位置，所以不可以判断出北极圈上的昼夜现象，不可判断出太阳直射点的移动趋势，所以 A、B 选项错；由第 1 题得1知，图 2 纬线为0°，全年昼夜等分，所以 C 选项错；由图 1 得知，太阳直射点位于北半球，所以太阳东北升起，西北落下，所以 D 选项正确。

2020 年 1 月 6 日-7 日，全国迎来了冬至后的首次大范围降水，图 3 为“1 月 6 日-7 日全国降水量分布图”，读图回答 3～5 题。

绝密★启用前江苏省南京市、盐城市普通高中2020届高三毕业班第二次高考模拟联合考试英语试题2020年4月本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分120分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共85分)第一部分：听力(共两节，满分20分)第一节(共5小题；每小题1分，满分5分)听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

()1. Why is Mike so unhappy?A. He failed one of his exams.B. He is upset about others.C. He is worried about physics.()2. How does the man probably feel?A. Happy.B. Nervous.C. Disappointed.()3. Who is the woman speaking to?A. A bank clerk.B. A tour guideC. A customs officer.()4. What can we learn from the conversation?A. Ann left here two years ago.B. The woman has covered a long way.C. The man has lived here for two years.()5. What will the man probably do tomorrow?A. Stay at home.B. Do some shopping.C. Take an interview.第二节(共15小题；每小题1分，满分15分)听下面5段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试数 学参考公式：圆锥的侧面积公式：S ＝πrl ，其中r 为圆锥底面圆的半径，l 为圆锥的母线长． 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置．．．．上） 1．已知集合A ＝{ x | x ＝2k ＋1，k ∈Z }，B ＝{x | x (x －5)＜0}，则A ∩B ＝ ▲ ． 2．已知复数z ＝1＋2i ，其中i 为虚数单位，则z 2的模为 ▲ ．3．如图是一个算法流程图，若输出的实数y 的值为－1，则输入的实数x 的值为 ▲ ． 4．某校初三年级共有500名女生，为了了解初三女生1分钟“仰卧起坐”项目训练情况，统计了所有女生1分钟“仰卧起坐”测试数据(单位：个)，并绘制了如下频率分布直方图，则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生有 ▲ 个．5．从编号为1，2，3，4的4张卡片中随机抽取一张，放回．．后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为 ▲ ．6．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且周期为2，当x ∈(0，1]时，f (x )= x ＋a3，则f (a )的值为 ▲ ．7．若将函数f (x )＝sin ( 2x + π3 )的图象沿x 轴向右平移φ（φ>0）个单位后所得的图象与f (x )的图象关于x 轴对称，则φ的最小值为 ▲ ．8．在ΔABC 中，AB ＝25，AC ＝5，∠BAC ＝90º，则ΔABC 绕BC 所在直线旋转一周所形（第4题图）（第3题图）成的几何体的表面积为 ▲ ．9．已知数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列，满足{a 1，a 2，a 3}＝{b 1，b 2，b 3}＝{a ，b ，－2}，其中a ＞0，b ＞0，则a ＋b 的值为 ▲ ．10．已知点P 是抛物线x 2＝4y 上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为(0，－1)，则PFPA的最小值为 ▲ ．11．已知x ，y 为正实数，且xy ＋2x ＋4y ＝41，则x ＋y 的最小值为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：(x －m )2＋y 2＝r 2(m ＞0)．已知过原点O 且相互垂直的两条直线l 1和l 2，其中l 1与圆C 相交于A ，B 两点，l 2与圆C 相切于点D ．若AB ＝OD ，则直线l 1的斜率为 ▲ ．13．在△ABC 中，BC 为定长，且|→AB +2→AC |＝3|→BC |．若△ABC 的面积的最大值为2，则边BC 的长为 ▲ ．14．函数f (x )＝e x －x －b (e 为自然对数的底数，b ∈R )，若函数g (x )＝f (f (x )－12)恰有4个零点，则实数b 的取值范围为 ▲ ．二、解答题:本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域．．．．内． 15．(本小题满分14分)如图，三棱锥P －ABC 中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE ⊥平面ABC ． （1）求证：AC ∥平面PDE ；（2）若PD ＝AC ＝2，PE ＝3，求证：平面PBC ⊥平面ABC ．16．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝cos C ＋c sin B ． （1）求B 的值．（2）设∠BAC 的平分线AD 与边BC 交于点D ，已知AD ＝177，cos A ＝－725，求b 的值．（第15题图）PACDE17．(本小题满分14分)如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A 与小岛圆心C 相距3千米．为方便游人到小岛观光，从点A 向小岛建三段栈道AB ，BD ，BE ，湖面上的点B 在线段AC 上，且BD ，BE 均与圆C 相切，切点分别为D ，E ，其中栈道AB ，BD ，BE 和小岛在同一个平面上．沿圆C 的优弧（圆C 上实线部分）上再修建栈道︵DE ．记∠CBD 为θ． （1）用θ表示栈道的总长度f (θ)，并确定sin θ的取值范围； （2）求当θ为何值时，栈道总长度最短．18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且过点(0，3)．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知△BMN 是椭圆C 的内接三角形，①若点B 为椭圆C 的上顶点，原点O 为△BMN 的垂心，求线段MN 的长； ②若原点O 为△BMN 的重心，求原点O 到直线MN19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝x 3－x 2－(a －16)x ， g (x )＝a ln x ，a ∈R ．函数h (x )＝ f (x )x－g (x )的导函数h'(x )在[52，4]上存在零点．（1）求实数a 的取值范围；（2）若存在实数a ，当x ∈[0，b ]时，函数f (x )在x ＝0时取得最大值，求正实数b 的最大值；（3）若直线l 与曲线y ＝f (x )和y ＝g (x )都相切，且l 在y 轴上的截距为－12，求实数a 的值．20．(本小题满分16分)已知无穷数列{a n }的各项均为正整数，其前n 项和为S n ，记T n 为数列{a n }的前a n 项和， 即T n ＝a 1＋a 2＋…＋a a n ．（1）若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，S 4＝5S 2，求T 3的值；（2）若数列{a n }为等差数列，且存在唯一的正整数n (n ≥2)，使得T na n＜2，求数列{a n }的通项公式；（3）若数列{T n }的通项为T n ＝n (n ＋1)2，求证：数列{a n }为等差数列．南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试数学附加题21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷．．卡．指定区域内．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤122 1， MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 1．（1）求矩阵N ；（2）求矩阵N 的特征值．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x O y 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝12t 2，（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 极坐标方程为ρcos(θ－π4)＝2．若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，求线段AB 的长．C ．选修4—5：不等式选讲已知a ＞0，证明：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买每满400元的商品即可抽奖一次．抽奖规则如下：抽奖者掷各面标有1～6点数的正方体骰子1次，若掷得点数大于4，则可继续在抽奖箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖．已知抽奖箱中装有2个红球与m(m≥2，m∈N*)个白球，抽奖者从箱中任意摸出2个球，若2个球均为红球，则获得一等奖，若2个球为1个红球和1个白球，则获得二等奖，否则，获得三等奖(抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同)．（1）若m＝4，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；（2）若一等奖可获奖金400元，二等奖可获奖金300元，三等奖可获奖金100元，记顾客一次抽奖所获得的奖金为X，若商场希望X的数学期望不超过150元，求m的最小值．23．(本小题满分10分)已知集合A n＝{1，2，…，n}，n∈N*，n≥2，将A n的所有子集任意排列，得到一个有序集合组(M1，M2，…，M m)，其中m＝2n．记集合M k中元素的个数为a k，k∈N*，k≤m，规定空集中元素的个数为0．（1）当n＝2时，求a1＋a2＋…＋a m的值；（2）利用数学归纳法证明：不论n(n≥2)为何值，总存在有序集合组(M1，M2，…，M m)，满足任意i∈N*，i≤m－1，都有|a i－a i＋1|＝1．南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试数学参考答案和评分标准一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．{1，3} 2．5 3．－14 4．325 5．126．0 7．π2 8．65π 9．5 10． 2211．8 12．±2 5 5 13．2 14．(1，12＋ln2)二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)证明：（1）因为点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以DE ∥AC ． ············································································ 2分 因为AC ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ， 所以AC ∥平面PDE ． ··································································· 4分 （2）因为点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以DE ＝12AC ．又因为AC ＝2，所以DE ＝1，因为PD ＝2，PE ＝3， 所以PD 2＝PE 2＋DE 2，因此在△PDE 中，PE ⊥DE ． ·························································· 8分 又平面PDE ⊥平面ABC ，且平面PDE ∩平面ABC ＝DE ，PE ⊂平面PDE ， 所以PE ⊥平面ABC ， ································································ 12分 又因为PE ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面ABC ． ························································· 14分16．(本小题满分14分)解：（1）因为a ＝b cos C ＋c sin B ，由a sin A ＝b sin B ＝c sin C，得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ． ····································· 2分 又因为sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ， 所以sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin B cos C ＋sin C sin B ，即cos B sin C ＝sin C sin B ．·········································································· 4分 因为0＜C ＜π，所以sin C ≠0，所以sin B ＝cos B ．又0＜B ＜π，所以sin B ≠0，从而cos B ≠0，所以tan B ＝1，所以B ＝π4． ························································································· 6分（2）因为AD 是∠BAC 的平分线，设∠BAD ＝θ，所以A ＝2θ，因为cos A ＝－725，所以cos2θ＝cos A ＝－725，即2cos 2θ－1＝－725，所以cos 2θ＝925，因为0＜A ＜π，所以0＜θ＜π2，所以cos θ＝35，所以sin θ＝1－cos 2θ＝45．在△ABD 中，sin ∠ADB ＝sin(B ＋θ)＝sin(π4＋θ)＝sin π4cos θ＋cos π4sin θ＝22×(35＋45)＝7210． ············································· 8分 由AD sin B ＝AB sin ∠ADB ，所以AB ＝AD ·sin ∠ADB sin B ＝177×7210×2＝175． ················ 10分 在△ABC 中，sin A ＝1－cos 2A ＝2425，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝22×(2425－725)＝17250． ·············· 12分由b sin B ＝c sin C ，所以b ＝c ·sin B sin C ＝175×2217250＝5． ·············································· 14分 17．(本小题满分14分)解：（1）连接CD ，因为BD 与圆C 相切，切点为D ，所以△BCD 为直角三角形．因为∠CBD ＝θ，且圆形小岛的半径为1千米，所以DB ＝1tan θ ，BC ＝1sin θ ．因为岸边上的点A 与小岛圆心C 相距3千米，所以AB ＝AC －BC ＝3－1sin θ． ····· 2分又因为BE 与圆C 相切，所以BE ＝DB ＝1tan θ ，优弧︵DE 所对圆心角为2π－(π－2θ) ＝π＋2θ，所以优弧︵DE 长l 为π＋2θ， ····························································· 4分 所以f (θ)＝AB ＋BD ＋BE ＋l ＝3－1sin θ＋1tan θ＋1tan θ＋π＋2θ ＝3＋π＋2θ＋2cos θ－1sin θ． ······························································ 6分因为0＜AB ＜2，所以0＜3－1sin θ＜2，解得13＜sin θ＜1， 所以sin θ的取值范围为(13，1)． ································································ 8分（2）由f (θ)＝3＋π＋2θ＋2cos θ－1sin θ，得f '(θ)＝－2+cos θsin 2θ＋2＝cos θ(1－2cos θ)sin 2θ． · 10分令f '(θ)＝0 ，解得cos θ＝12，因为θ为锐角，所以θ＝π3． ···························· 12分设sin θ0＝13，θ0为锐角，则0＜θ0＜π3．当θ∈(θ0，π3)时，f '(θ)＜0，则f (θ)在(θ0，π3)单调递减；当θ∈(π3，π2)时，f '(θ)＞0，则f (θ)在(π3，π2)单调递增，所以f (θ)在θ＝π3时取得最小值．答：当θ＝π3时，栈道总长度最短． ·························································· 14分18．(本小题满分16分)解：（1）记椭圆C 的焦距为2c ．因为椭圆C 的离心率为12，所以c a ＝12．因为椭圆C 过点 (0，3)，所以b ＝3． 因为a 2－c 2＝b 2，解得c ＝1，a ＝2，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1． ·································································· 2分（2）①因为点B 为椭圆C 的上顶点，所心B 点坐标为(0，3)． 因为O 为△BMN 的垂心，所以BO ⊥MN ，即MN ⊥y 轴．由椭圆的对称性可知M ，N 两点关于y 轴对称． ·········································· 4分 不妨设M (x 0，y 0)，则N (－x 0，y 0)，其中－3＜y 0＜3．又因为MO ⊥BN ，所以→MO ·→BN ＝0，即(－x 0，－y 0)·(－x 0，y 0－3)＝0，得x 20－y 20＋3y 0＝0． ············································································· 6分 又点M (x 0，y 0)在椭圆上，则x 024＋y 023＝1．由⎩⎨⎧x 20－y 20＋3y 0＝0，x 024＋y 023＝1，解得y 0＝－473或y 0＝3(舍去)，此时|x 0|＝2733．故MN ＝2|x 0|＝4733，即线段MN 的长为4733． ··········································· 8分②方法1设B (m ，n )，记线段MN 中点为D ．因为O 为△BMN 的重心，所以→BO ＝2→OD ，则点D 的坐标为(－m 2，－n 2)． ······ 10分若n ＝0，则|m |＝2，此时直线MN 与x 轴垂直，故原点O 到直线MN 的距离为|m2|，即为1．若n ≠0，此时直线MN 的斜率存在．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－m ，y 1＋y 2＝－n ．又x 124＋y 123＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)3＝0， 可得k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－3m 4n ． ··································································· 12分故直线MN 的方程为y ＝－3m 4n (x ＋m 2)－n2，即6mx ＋8ny ＋3m 2＋4n 2＝0，则点O 到直线MN 的距离为d ＝|3m 2＋4n 2|36m 2＋64n 2．将m 24＋n 23＝1，代入得d ＝3n 2＋9． ························································ 14分 因为0＜n 2≤3，所以d min ＝32． 又32＜1，故原点O 到直线MN 距离的最小值为32． ································ 16分 方法2设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，B (x 3，y 3)．因为O 为△BMN 的重心，所以x 1＋x 2＋x 3＝0，y 1＋y 2＋y 3＝0，则x 3＝－(x 1＋x 2)，y 3＝－(y 1＋y 2)． ·························································· 10分 因为x 23 4＋y 23 3＝1，所以(x 1＋x 2)24＋(y 1＋y 2)23＝1．将x 124＋y 123＝1，x 224＋y 223＝1，代入得x 1x 24＋y 1y 23＝－12． ·································· 12分 若直线MN 的斜率不存在，则线段MN 的中点在x 轴上，从而B 点位于长轴的顶点处， 由于OB ＝2，所以此时原点O 到直线MN 的距离为1． 若直线MN 的斜率存在，设为k ，则其方程为y ＝kx ＋n ． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋n ，x 24＋y 23＝1，消去y 得，(3＋4k 2)x 2＋8knx ＋4n 2－12＝0．(*)则△＝(8kn )2－4(3＋4k 2) (4n 2－12)＞0，即3＋4k 2＞n 2， 由根与系数关系可得x 1＋x 2＝－8kn 3＋4k 2，x 1x 2＝4n 2－123＋4k 2，则y 1y 2＝(kx 1＋n )(kx 2＋n )＝k 2x 1x 2＋kn (x 1＋x 2)＋n 2＝3n 2－12k 23＋4k 2，代入x 1x 24＋y 1y 23＝－12，得14×4n 2－123＋4k 2＋13×3n 2－12k 23＋4k 2＝－12，即n 2＝k 2＋34． ······ 14分 又3＋4k 2＞n 2，于是3＋4k 2＞k 2＋34，即3k 2＋94＞0恒成立，因此k ∈R ． 原点(0，0)到直线MN 的距离为d ＝|n |k 2＋1＝k 2＋34k 2＋1＝1－14(k 2＋1) ． 因为k 2≥0，所以当k ＝0时，d min ＝32， 又32＜1，故原点O 到直线MN 距离的最小值为32． ································ 16分 19．(本小题满分16分)解：（1）因为h (x )＝f (x )x －g (x )＝x 2－x －(a －16)－a ln x ，所以h'(x )＝2x －1－a x ＝2x 2－x －a x， 令h'(x )＝0，得2x 2－x －a ＝0．因为函数h'(x )在[52，4]上存在零点，即y ＝2x 2－x －a 在[52，4]上存在零点， 又函数y ＝2x 2－x －a 在[52，4]上单调递增， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2×(52)2－52－a ≤0， 2×42－4－a ≥0．解得10≤a ≤28． 因此，实数a 的取值范围为[10，28]． ······················································· 2分（2）方法1因为当x ∈[0，b ]时，函数f (x )在x ＝0处取得最大值，即存在实数a ，当x ∈[0，b ]时，f (0)≥f (x )恒成立，即x 3－x 2－(a －16)x ≤0 对任意x ∈[0，b ]都成立． ········································· 4分 当x ＝0时，上式恒成立； ········································································ 6分 当x ∈(0，b ]时，存在a ∈[10，28] ，使得x 2－x ＋16≤a 成立， ······················· 8分 所以x 2－x ＋16≤28，解得－3≤x ≤4，所以b ≤4．故当a ＝28，b 的最大值为4． ································································ 10分 方法2由f (x )＝x 3－x 2－(a －16)x ，得f '(x )＝3x 2－2x －(a －16)．设△＝4＋12(a －16)＝4(3a －47)，若△≤0，则f '(x )≥0恒成立，f (x )在[0，b ]上单调递增，因此当x ∈[0，b ]时，函数f (x )在x ＝0时不能取得最大值，于是△＞0， ··········· 4分 故f '(x )＝0有两个不同的实数根，记为x 1，x 2(x 1＜x 2)，若x 1＞0，则当x ∈(0，x 1)时，f '(x )＞0，f (x )在(0，x 1)上单调递增，因此当x ∈[0，b ]时，函数f (x )在x ＝0时不能取得最大值，所以x 1≤0． ························································································· 6分又x 1＋x 2＝23＞0，因此x 2＞0， 从而当x ∈(0，x 2)时，f '(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈(x 2，＋∞)时，f '(x )＞0，f (x )单调递增，若存在实数a ，当x ∈[0，b ]时，函数f (x )在x ＝0处取得最大值，则存在实数a ，使得f (0)≥f (b )成立，即b 3－b 2－(a －16)b ≤0． ························ 8分 所以存在a ∈[10，28]，使得b 2－b ＋16≤a 成立，所以b 2－b ＋16≤28，解得－3≤b ≤4．故当a ＝28，b 的最大值为4． ································································ 10分（3）设直线l 与曲线y ＝f (x )相切于点A (x 1 ，f (x 1))，与曲线y ＝g (x )相切于点B (x 2 ，g (x 2))． 过A (x 1 ，f (x 1))点的切线方程为y －[x 13－x 12－(a －16)x 1]＝[3x 12－2x 1－(a －16)]( x －x 1)， 即y ＝[3x 12－2x 1－(a －16)]x －2x 13＋x 12．过B (x 2 ，g (x 2))点的切线方程为y －a ln x 2＝a x 2( x －x 2)，即y ＝a x 2x ＋a ln x 2－a ． 又因为直线l 在y 上的截距为－12，所以⎩⎨⎧3x 12－2x 1－(a －16)＝a x 2 ①，－2x 13＋x 12＝－12 ②，a ln x 2－a ＝－12 ③，························································· 12分 由②解得x 1＝2，则⎩⎪⎨⎪⎧24－a ＝a x 2， a ln x 2－a ＝－12，消去a ，得ln x 2＋ 1－x 2 2x 2＝0． ·············· 14分 则（1）知10≤a ≤28，且x 2＞0，则x 2≥57． 令p (x )＝ln x ＋ 1－x 2x ，x ∈[57，＋∞)，则p' (x )＝1 x －1 2x 2＝2x －1 2x 2， 因为p' (x )＞0，所以函数p (x )在[57，＋∞)上为增函数． 又因为p (1)＝0，且函数p (x )的图像是不间断的，所以函数p (x )在[57，＋∞)有唯一零点1， 所以方程ln x 2＋ 1－x 2 2x 2＝0的解为x 2＝1，所以a ＝12， 所以实数a 的值为12． ········································································· 16分20．(本小题满分16分)解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 4＝5S 2，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝5(a 1＋a 2)，即a 3＋a 4＝4(a 1＋a 2)，所以a 1q 2(1＋q )＝4 a 1(1＋q )．因为数列{a n }的各项均为正整数，所以a 1，q 均为正数，所以q 2＝4，解得q ＝2．又a 1＝1，所以a n ＝2n －1，从而a 3＝4，所以T 3＝S 4＝1＋2＋22＋23＝15． ···························································· 2分（2）设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ．因为数列{a n }的各项均为正整数，所以d ∈Z ．若d ＜0，令a n ＞0，得n ＜1－a 1d，这与{a n }为无穷数列相矛盾， 因此d ≥0，即d ∈N ． ··········································································· 4分因为S n ＝na 1＋n (n －1)d 2，所以T n ＝a 1a n ＋a n (a n －1)d 2，因此T n a n ＝a 1＋(a n －1)d 2． 由T n a n ＜2，得a 1＋(a n －1)d 2＜2． ································································ 6分 因为a 1∈N *，d ∈N ，所以2＞a 1＋(a n －1)d 2≥a 1≥1，因此a 1＝1． 于是1＋(n －1)d 22＜2，即(n －1)d 2＜2． ①若d ＝0时，则存在无穷多个n (n ≥2)使得上述不等式成立，所以d ＝0不合题意； ········································································· 8分②若d ∈N *时，则n ＜1＋2d 2． 因为存在唯一的正整数n (n ≥2)，使得该不等式成立，所以2＜1＋2d 2≤3，即1≤d 2＜2． 又d ∈N *，所以d ＝1，因此a n ＝1＋(n －1)×1＝n ． ······························· 10分（3）因为S n ＋1－S n ＝a n ＋1＞0，所以S n ＋1＞S n ，即数列{S n }单调递增．又T n ＋1－T n ＝(n ＋1)(n ＋2)2－n (n ＋1)2＝n ＋1＞0， 所以T n ＋1＞T n ，即S a n ＋1＞S a n ，因为数列{S n }单调递增，所以a n ＋1＞a n ． ················································· 12分 又a n ∈N *，所以a n ＋1≥a n ＋1，即a n ＋1－a n ≥1，所以a n ＋1－a 1＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n ＋1－a n )≥n ，因此a n ＋1≥a 1＋n ≥1＋n ，即a n ≥n （n ≥2），又a 1≥1，所以a n ≥n ． ① ····································· 14分 由T n ＋1－T n ＝n ＋1，得a a n ＋1＋a a n ＋2＋…＋a a n ＋1＝n ＋1，因此n ＋1≥a a n ＋1≥a n ＋1，即a n ≤n ． ②由①②知a n ＝n ，因此a n ＋1－a n ＝1，所以数列{a n }为等差数列． ································································· 16分南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试数学附加题参考答案和评分标准21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．题．卡指定区域内．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换解：（1）因为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤122 1，MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 1，N= M －1． ············································· 2分 因为|M |＝1×1－2×2＝－3， ·································································· 4分 所以N= M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13 －2 －3 －2 －3 －13＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13 2 3 2 3 －13． ············································ 6分 （2）N 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ + 13－2 3－2 3λ + 13＝(λ＋13)2－(－23)2＝( λ－13)(λ＋1)． ·· 8分 令f (λ)＝0，解得λ＝13或－1， 所以N 的特征值是13和1． ········································································ 10分 B ．选修4—4：坐标系与参数方程解：曲线C 的普通方程为y ＝12(x 2)2＝18x 2． ······················································· 2分 由直线l 极坐标方程ρcos(θ－π4)＝2，得ρ(cos θcos π4＋sin θsin π4)＝2， 即22x ＋22y ＝2，所以直线l 的方程为y ＝－x ＋2． ···································· 4分 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝18x 2，y ＝－x ＋2， 消去y ，得x 2＋8x －16＝0， ····································································· 6分 则x 1＋x 2＝－8，x 1x 2＝－16，所以AB ＝1＋(－1)2|x 1－x 2| ＝2×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2×(－8)2－4×(－16) ＝16． ···················································································· 10分C ．选修4—5：不等式选讲证明：方法1因为a ＞0，所以a ＋1a≥2，。