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直线与椭圆位置关系二（教师版）一．知识梳理：1.点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系：（1）点P 在椭圆上⇔x 02a 2＋y 02b2＝1；（2）点P 在椭圆内部⇔x 02a 2＋y 02b 2<1；（3）点P 在椭圆外部⇔x 02a 2＋y 02b2>12.直线与椭圆的位置关系：(1)直线与椭圆有三种位置关系：①相交——直线与椭圆有两个不同的公共点；②相切——直线与椭圆有且只有一个公共点； ③相离——直线与椭圆没有公共点． 3.直线与椭圆的位置关系的判断：我们把直线与椭圆的位置关系问题转化为直线和椭圆的公共点问题，而直线与椭圆的公共点问题，又可以转化为它们的方程所组成的方程组的解的问题，而它们的方程所组成的方程组的解的问题通常又可以转化为一元二次方程解的问题，一元二次方程解的问题可以通过判别式来判断，因此，直线和椭圆的位置关系，通常可由相应的一元二次方程的判别式来判断．4.弦长公式：设直线方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，直线与椭圆的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2，∴|AB |＝（x 1－x 2）2＋（kx 1－kx 2）2＝1＋k 2·（x 1－x 2）2＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2，或|AB |＝（1k y 1－1ky 2）2＋（y 1－y 2）2＝1＋1k2·（y 1－y 2）2＝1＋1k2×（y 1＋y 2）2－4y 1y 2.二、典例剖析例1： 已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．解：(1)设F (c ，0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3.又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.故E 的方程为x24＋y 2＝1.(2)当l ⊥x 轴时不合题意，故可设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0，当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时，x 1，2＝8k ±24k 2－34k 2＋1，从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1.，又点O 到直线l 的距离d ＝2k 2＋1. 所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1.设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t.因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，满足Δ>0，所以，当△OPQ 的面积最大时，k ＝±72，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2.例2 设F 1，F 2分别是椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，椭圆的离心率22，过F 1倾斜角为45°的直线l 与该椭圆相交于P ，Q 两点，点M (0，－1)满足|MP |＝|MQ |，求该椭圆的方程．解 (1)直线PQ 斜率为1，设直线l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝a 2－b 2，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则P ，Q 两点坐标满足方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y 2b2＝1，化简得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0，则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(c 2－b 2)a 2＋b 2.所以|PQ |＝2|x 2－x 1|＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝43a ，化简，得43a ＝4ab 2a 2＋b2，故a 2＝2b 2，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22.(2)设PQ 的中点为N (x 0，y 0)，由(1)知x 0＝x 1＋x 22＝－a 2c a 2＋b2＝－23c ，y 0＝x 0＋c ＝c3.由|MP |＝|MQ |，得k MN ＝－1，即y 0＋1x 0＝－1，得c ＝3，从而a ＝32，b ＝3.故椭圆的方程为x 218＋y 29＝1. 变式训练：设1F 、2F 分别是椭圆1422=+y x 的左、右焦点.设过定点)2,0(M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围.本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识， 以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力。
直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆的位置关系是数学几何学的一个重要问题。
在这篇
文档中，我们将讨论直线与椭圆的几种可能的位置关系。
直线位于椭圆内部
当一条直线完全位于椭圆内部时，我们可以得到以下几种情况：
1. 直线与椭圆没有交点：这意味着直线与椭圆没有任何交点，
且直线与椭圆的轴是平行的。
2. 直线与椭圆有两个交点：这说明直线与椭圆相交于两个点，
椭圆的两个焦点位于直线上。
直线与椭圆位于同一平面
当直线与椭圆位于同一平面时，我们可以得到以下几种情况：
1. 直线与椭圆相切：这种情况下，直线与椭圆只有一个交点，
并且交点是椭圆的一个焦点。
2. 直线与椭圆相交于两点：这意味着直线与椭圆相交于两个不同的点，并且这两个点分别位于椭圆的两个焦点的同侧。
3. 直线与椭圆相离：这种情况下，直线与椭圆没有任何交点，并且直线与椭圆的轴平行。
直线与椭圆相交于无穷多点
当直线与椭圆相交于无穷多点时，这种情况被称为直线与椭圆重叠。
直线与椭圆重叠意味着直线和椭圆重合，任意一点都同时位于直线和椭圆上。
结论
通过研究直线与椭圆的位置关系，我们可以得出结论：直线与椭圆的位置关系取决于直线与椭圆之间的交点数量和位置。
这个问题在计算机图形学、建筑设计等领域都有广泛的应用。
了解这些位置关系有助于我们更好地理解直线和椭圆之间的几何性质。
总之，直线与椭圆的位置关系是一个有趣且复杂的问题，通过分析直线与椭圆的交点情况，我们可以获得更多关于它们的几何特性的信息。
高三直线与椭圆知识点直线与椭圆是高中数学中的重要知识点，它们在几何形体的研究和解题过程中起着重要的作用。
本文将对直线与椭圆的相关知识进行介绍和讨论。
一、直线与椭圆的定义直线是由无限多个点组成的，它是两个不同点之间的最短路径。
直线可以用斜率和截距的形式来表示，也可以用两点式或一般式表示。
椭圆是平面上一组点的集合，这组点到两个定点的距离之和等于常数。
椭圆有两个焦点和一条长轴，将椭圆分为两部分，称为左、右焦点。
椭圆还有一个重要的参数——离心率，它决定了椭圆的形状。
二、直线与椭圆的关系直线与椭圆有多种关系，下面将讨论其中常见的两种情况。
1. 直线与椭圆的交点当一条直线与椭圆相交时，它们的交点可以有零个、一个或两个。
具体情况取决于直线与椭圆的位置关系。
如果直线与椭圆有且只有一个交点，那么这条直线称为切线。
切线与椭圆的切点处切线与该点处的椭圆曲线切于一点，并且切线的斜率等于该点椭圆曲线的切线斜率。
当直线与椭圆没有交点时，它们是相离的。
而如果直线与椭圆有两个交点，那么它们是相交的。
2. 直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系可以分为相离、相切和相交三种情况。
当直线与椭圆没有交点时，它们被称为相离。
直线与椭圆相切时，相切点即为相切直线上的点，直线与椭圆存在切点，但是切线与椭圆不再有其他交点。
直线与椭圆相交时，直线与椭圆存在两个交点。
三、直线与椭圆的性质直线与椭圆有一些重要的性质，下面将介绍其中几个。
1. 切线的性质椭圆上的切线垂直于椭圆的法线，即切线与法线的斜率乘积为-1。
此外，切线在切点处与椭圆的切线相切。
2. 焦点的性质椭圆的两个焦点是椭圆的特殊点，它们与椭圆的离心率有关。
焦点所在的直线称为准线，它与椭圆的中心重合。
3. 直线与椭圆的判别式判别直线与椭圆的位置关系时，可以利用判别式来求解。
判别式由直线的方程和椭圆的方程共同决定，通过判别式的正负值可以判断直线与椭圆的位置关系。
四、解题技巧与方法在解题过程中，我们可以根据所给条件和要求灵活运用直线与椭圆的知识点。
直线和椭圆位置关系总结大全1.直线不交于椭圆：当直线与椭圆不相交时，可以分为以下两种情况：(1)直线在椭圆外部：此时直线与椭圆没有交点；(2)直线在椭圆内部：此时直线与椭圆没有交点。
2.直线与椭圆外切：当一条直线与椭圆相切时，可以分为以下两种情况：(1)直线与椭圆外切于一个点：此时直线与椭圆有且仅有一个切点；(2)直线与椭圆外切于一条线段：此时直线与椭圆有且仅有两个切点。
3.直线与椭圆内切：当一条直线与椭圆相切时，可以分为以下两种情况：(1)直线与椭圆内切于一个点：此时直线与椭圆有且仅有一个切点；(2)直线与椭圆内切于一条线段：此时直线与椭圆有且仅有两个切点。
4.直线穿过椭圆：当一条直线穿过椭圆时，可以分为以下三种情况：(1)直线与椭圆有两个交点：此时直线与椭圆相交于两个不同的点；(2)直线与椭圆相交于椭圆的一个点：此时直线是椭圆的切线；(3)直线与椭圆没有交点：此时直线与椭圆相离。
5.直线包围椭圆：当一条直线将椭圆切割成两个部分时，可以分为以下两种情况：(1)直线穿过椭圆：此时直线将椭圆分成内外两个部分；(2)直线在椭圆外部：此时直线将椭圆分成两个不相交的部分。
6.直线与椭圆重合：当直线与椭圆方程相同或者参数相同时，直线与椭圆重合。
7.直线与椭圆相交：当直线与椭圆有交点时，可以分为以下几种情况：(1)直线与椭圆有两个交点：此时直线与椭圆相交于两个不同的点；(2)直线与椭圆相交于椭圆的一个点：此时直线是椭圆的切线；(3)直线与椭圆相交于两条线段：此时直线穿过椭圆。
总之，直线和椭圆之间的位置关系相当复杂，可以分为不交、外切、内切、相离、穿过、重合和相交等情况。
具体的位置关系可以通过解方程或者观察图形进行判断，同时利用相关的几何性质也可以得到更加精确的结论。
直线与椭圆的位置关系及判断方法直线与椭圆的位置关系是指确定一条直线和一个椭圆之间的相对位置关系，主要有以下几种情况：直线与椭圆相离、直线与椭圆相切、直线穿过椭圆两个交点、直线包含椭圆等情况。
判断直线与椭圆的位置关系可以通过研究直线方程和椭圆方程的解来实现。
一、直线与椭圆相离的情况：当直线方程与椭圆方程不存在实数解时，说明直线与椭圆相离。
直线方程通常采用一般式表示，即Ax+By+C=0，椭圆方程通常采用标准方程表示，即((x-h)^2)/(a^2)+((y-k)^2)/(b^2)=1、将直线方程的x、y分别带入椭圆方程，得到一个关于x的二次方程。
通过判别式B^2-4AC的值来确定二次方程是否有实数解，当判别式小于零时，直线与椭圆相离。
二、直线与椭圆相切的情况：当直线方程刚好与椭圆方程有一个实数解时，说明直线与椭圆相切。
判断方法是将直线方程的x、y分别带入椭圆方程，得到一个关于x的二次方程。
当判别式B^2-4AC等于零时，直线与椭圆相切。
三、直线穿过椭圆两个交点的情况：当直线方程与椭圆方程有两个实数解时，说明直线穿过椭圆的两个交点。
判断方法是将直线方程的x、y分别带入椭圆方程，得到一个关于x 的二次方程。
当判别式B^2-4AC大于零时，直线与椭圆有两个交点。
四、直线包含椭圆的情况：当直线方程将椭圆方程的所有解都包含时，说明直线包含椭圆。
判断方法是将直线方程的x、y分别带入椭圆方程，而不是代入x的解，得到一个关于y的二次方程。
如果这个二次方程对于任何实数x都有解，则直线包含椭圆。
需要注意的是，在判断直线与椭圆的位置关系时，需要先将椭圆方程化简为标准方程，即将h、k分别代表椭圆的中心坐标，a、b分别代表椭圆的长半轴和短半轴长度。
总结起来，判断直线与椭圆的位置关系，可以通过以下步骤实现：1.将椭圆方程化简为标准方程。
2.将直线方程写为一般式。
3.将直线方程的x、y带入椭圆方程，得到关于x的二次方程。
4.判断该二次方程的判别式B^2-4AC的值，确定直线是否与椭圆有交点、相切或相离。
直线与椭圆、双曲线、抛物线位置关系引言几何学是数学的一个重要分支，研究几何图形之间的关系和性质。
在几何学中，直线和曲线是两个基本概念，它们在空间中所处的位置关系对于几何图形的研究至关重要。
本文将探讨直线与椭圆、双曲线、抛物线之间的位置关系，并分析它们在几何学中的应用。
直线与椭圆的位置关系椭圆是一个几何图形，由平面上到两个定点的距离之和等于常数的点构成。
在直线与椭圆的位置关系中，有三种可能的情况：直线与椭圆相离当直线与椭圆相离时，它们没有任何交点。
这意味着直线与椭圆之间没有共享的点，它们在平面上相互独立并不相交。
这种情况可能出现在椭圆的外部或者与椭圆的某个分支平行的直线上。
直线与椭圆相切当直线与椭圆相切时，它们只有一个共享的点。
这个点同时位于直线和椭圆上，直线在这个点的切线方向与椭圆的切线方向一致。
这种情况在直线与椭圆相交的一些特殊位置上出现，例如直线与椭圆的焦点位置相对应的直线上。
直线与椭圆相交当直线与椭圆相交时，它们有两个共享的点。
这意味着直线与椭圆相交，并且在平面上有两个交点。
这种情况可能出现在直线穿过椭圆的两个分支，或者一个分支和椭圆的边界相交的位置上。
直线与双曲线的位置关系双曲线是平面上的一种几何图形，它具有两个分离的极限点，且其到两个极限点的距离之差等于一个常数。
在直线与双曲线的位置关系中，有三种可能的情况：直线与双曲线相离当直线与双曲线相离时，它们没有任何交点。
这意味着直线在双曲线的外部，它们不会相交或共享任何点。
直线与双曲线相切当直线与双曲线相切时，它们只有一个共享的点。
这个点同时位于直线和双曲线上，且直线在该点处与双曲线的切线方向一致。
这种情况可能出现在直线与双曲线的极限点位置相对应的直线上。
直线与双曲线相交当直线与双曲线相交时，它们有两个共享的点。
这意味着直线与双曲线相交，并且在平面上有两个交点。
这种情况发生在直线穿过双曲线的两个分支，或者一个分支和双曲线的边界相交的位置上。
直线与抛物线的位置关系抛物线是平面上的一种几何图形，具有对称轴和焦点。
第3课时 直线与椭圆的位置关系(二)题型一 弦长问题例1 已知动点P 与平面上两定点A (－2，0)，B (2，0)连线的斜率的积为定值－12.(1)试求动点P 的轨迹方程C ；(2)设直线l ：y ＝kx ＋1与曲线C 交于M ，N 两点，当|MN |＝423时，求直线l 的方程. 考点 题点解 (1)设动点P 的坐标是(x ，y )， 由题意得k P A ·k PB ＝－12.∴y x ＋2·y x －2＝－12，化简整理得x 22＋y 2＝1.故P 点的轨迹方程C 是x 22＋y 2＝1(x ≠±2)．(2)设直线l 与曲线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＋2y 2＝2，得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0. Δ＝16k 2－4(1＋2k 2)＝8k 2－4>0， ∴x 1＋x 2＝－4k1＋2k 2，x 1·x 2＝0.|MN |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2＝423，整理得k 4＋k 2－2＝0，解得k 2＝1或k 2＝－2(舍)． ∴k ＝±1，经检验符合题意． ∴直线l 的方程是y ＝±x ＋1， 即x －y ＋1＝0或x ＋y －1＝0.反思感悟 求弦长的两种方法(1)求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长．(2)联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程，利用弦长公式：|P 1P 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2⎝⎛⎭⎫或|P 1P 2|)＝1＋1k2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2，其中x 1，x 2(y 1，y 2)是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长．跟踪训练1 已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点F ，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长． 考点 题点解 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 由椭圆方程知a 2＝4，b 2＝1，∴c ＝a 2－b 2＝3，∴F (3，0)，∴直线l 的方程为y ＝x －3，将其代入椭圆方程，并化简、整理得5x 2－83x ＋8＝0， ∴x 1＋x 2＝835，x 1x 2＝85，∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·(83)2－4×5×85＝85.题型二 中点弦问题例2 已知椭圆x 216＋y 24＝1的弦AB 的中点M 的坐标为(2,1)，求直线AB 的方程．考点 题点解 方法一 根与系数的关系、中点坐标公式法 由椭圆的对称性，知直线AB 的斜率存在， 设直线AB 的方程为y －1＝k (x －2)．将其代入椭圆方程并整理，得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两根， 于是x 1＋x 2＝8(2k 2－k )4k 2＋1.又M 为线段AB 的中点，∴x 1＋x 22＝4(2k 2－k )4k 2＋1＝2，解得k ＝－12.故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. 方法二 点差法设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2. ∵M (2,1)为线段AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2. 又A ，B 两点在椭圆上，则x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16， 两式相减，得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0，于是(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2)＝－44×2＝－12，即k AB ＝－12.故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. 方法三 对称点法(或共线法)设所求直线与椭圆的一个交点为A (x ，y )， 由于点M (2,1)为线段AB 的中点， 则另一个交点为B (4－x,2－y )． ∵A ，B 两点都在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝16， ①(4－x )2＋4(2－y )2＝16. ②①－②，得x ＋2y －4＝0.即点A 的坐标满足这个方程，根据对称性，点B 的坐标也满足这个方程，而过A ，B 两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. 反思感悟 解决椭圆中点弦问题的两种方法①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．②点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的两个不同的点，M (x 0，y 0)是线段AB 的中点，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y22b 2＝1， ②由①－②，得1a 2(x 21－x 22)＋1b 2(y 21－y 22)＝0，变形得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·x 0y 0，即k AB ＝－b 2x 0a 2y 0.跟踪训练2 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 考点 题点 答案 D解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y22b 2＝1. ②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＝－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2.∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2). ∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，∴k AB ＝b 2a 2.而k AB ＝0－(－1)3－1＝12，∴b 2a 2＝12，∴a 2＝2b 2，∴c 2＝a 2－b 2＝b 2＝9，∴b ＝c ＝3，a ＝32， ∴E 的方程为x 218＋y 29＝1.题型三 与椭圆有关的最值或范围问题 例3 已知椭圆C ：4x 2＋y 2＝1.(1)P (m ，n )是椭圆C 上一点，求m 2＋n 2的取值范围；(2)设直线y ＝x ＋m 与椭圆C 相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，求△AOB 面积的最大值及△AOB 面积最大时的直线方程． 考点 直线与椭圆的位置关系题点 椭圆中的定点、定值、取值范围问题解 (1)m 2＋n 2表示原点O 到椭圆C 上点P 的距离的平方， 则m 2＋n 2∈⎣⎡⎦⎤14，1.(2)可求得O 到AB 的距离d ＝|m |2， 将y ＝x ＋m 代入4x 2＋y 2＝1， 消去y 得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0. 所以x 1＋x 2＝－2m5，x 1x 2＝m 2－15，|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋12·⎝⎛⎭⎫－2m 52－4·m 2－15＝2510－8m 2，Δ＝(2m )2－4×5(m 2－1)＝20－16m 2>0，－52<m <52， 所以S △AOB ＝12|AB |·d＝12×2510－8m 2·|m |2＝25⎝⎛⎭⎫54－m 2m 2 ≤25·⎝⎛⎭⎫54－m 2＋m 22＝14.当且仅当54－m 2＝m 2时，上式取“＝”．此时m ＝±104∈⎝⎛⎭⎫－52，52. 所以△AOB 面积的最大值为14，面积最大时直线方程为x －y ±104＝0. 反思感悟 求最值问题的基本策略(1)求解形如|P A |＋|PB |的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共线时|P A |＋|PB |取得最值．(2)求解形如|P A |的最值问题，一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意自变量的取值范围．(3)求解形如ax ＋by 的最值问题，一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决． (4)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．跟踪训练3 已知点A ，B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1长轴的左、右端点，点P 在椭圆上，直线AP 的斜率为33，设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值． 考点 题点解 直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0. 设点M 的坐标是(m,0)，则M 到直线AP 的距离是|m ＋6|2，于是|m ＋6|2＝|m －6|，又－6≤m ≤6，解得m ＝2，所以点M (2,0)．设椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离为d ，有 d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49⎝⎛⎭⎫x －922＋15， 由于－6≤x ≤6.所以当x ＝92时，d 取最小值15.运用“设而不求”法研究直线和椭圆位置关系问题典例 已知椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，过点A (－a,0)，B (0，b )的直线倾斜角为π6，原点到该直线的距离为32. (1)求椭圆的方程；(2)斜率大于零的直线过D (－1,0)与椭圆分别交于点E ，F ，若ED →＝2DF →，求直线EF 的方程； (3)对于D (－1,0)，是否存在实数k ，使得直线y ＝kx ＋2分别交椭圆于点P ，Q ，且|DP |＝|DQ |，若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由． 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 求椭圆中的直线方程 解 (1)由b a ＝33，12ab ＝12×32×a 2＋b 2，得a ＝3，b ＝1，所以椭圆的方程是x 23＋y 2＝1.(2)设EF ：x ＝my －1(m >0)代入x 23＋y 2＝1，得(m 2＋3)y 2－2my －2＝0. 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)． 由ED →＝2DF →，得y 1＝－2y 2，由y 1＋y 2＝－y 2＝2m m 2＋3，y 1y 2＝－2y 22＝－2m 2＋3得⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m m 2＋32＝1m 2＋3，∴m ＝1或m ＝－1(舍去)，直线EF 的方程为x ＝y －1，即x －y ＋1＝0. (3)记P (x 1′，y 1′)，Q (x 2′，y 2′)． 将y ＝kx ＋2代入x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋12kx ＋9＝0，(*) x 1′，x 2′是此方程的两个相异实根． 设PQ 的中点为M ，则x M ＝x 1′＋x 2′2＝－6k3k 2＋1， y M ＝kx M ＋2＝23k 2＋1，由|DP |＝|DQ |，得DM ⊥PQ ， ∴k DM ＝y M x M ＋1＝23k 2＋1－6k 3k 2＋1＋1＝－1k ，∴3k 2－4k ＋1＝0，得k ＝1或k ＝13.但k ＝1，k ＝13均使方程(*)没有两相异实根．故这样的k 不存在．[素养评析] 本例(2)(3)均采用了“设而不求”的数学运算策略，特别(3)利用定点D 与弦端点的几何关系，由设而不求的思想方法，转换成坐标关系，构造出关于k 的方程，减小了数学运算的难度，提高了解题效率.1．若直线l ：2x ＋by ＋3＝0过椭圆C ：10x 2＋y 2＝10的一个焦点，则b 等于( ) A ．1 B ．±1 C ．－1 D ．±2 考点 题点 答案 B 解析 因为椭圆x 2＋y 210＝1的焦点F 1(0，－3)，F 2(0,3)，所以b ＝1或－1.2．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得的弦的中点坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫23，53B.⎝⎛⎭⎫43，73 C.⎝⎛⎭⎫－23，13 D.⎝⎛⎭⎫－132，－172 考点 题点 答案 C解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 24＋y 22＝1，消去y ，得3x 2＋4x －2＝0，设直线与椭圆交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－43，故AB 的中点横坐标x 0＝x 1＋x 22＝－23.纵坐标y 0＝x 0＋1＝－23＋1＝13.3．已知椭圆的方程是x 2＋2y 2－4＝0，则以M (1,1)为中点的弦所在直线的方程是( ) A ．x ＋2y －3＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x －2y ＋3＝0D ．2x －y ＋3＝0考点 直线与椭圆的位置关系 题点 求椭圆中的直线方程 答案 A解析 由题意易知所求直线的斜率存在，设过点M (1,1)的直线方程为y ＝k (x －1)＋1，即y ＝kx ＋1－k .由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2－4＝0，y ＝kx ＋1－k ，消去y ， 得(1＋2k 2)x 2＋(4k －4k 2)x ＋2k 2－4k －2＝0， 所以x 1＋x 22＝12×4k 2－4k 1＋2k 2＝1，解得k ＝－12，所以所求直线方程为y ＝－12x ＋32，即x ＋2y －3＝0.4．过椭圆x 216＋y 29＝1的右焦点F 作与x 轴垂直的直线与椭圆交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆的面积是________． 考点 题点 答案81π16解析 由题意可知，在x 216＋y 29＝1中，c ＝16－9＝7，故F (7，0)． 当x ＝7时，y ＝±31－716＝±94， 所以|AB |＝92，所以以AB 为直径的圆的面积是π×⎝⎛⎭⎫942＝81π16.5．求过点(3,0)且斜率为45的直线被椭圆x 225＋y 216＝1所截得的线段的长度．考点 题点解 过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程代入椭圆方程得x 225＋(x －3)225＝1，即x 2－3x －8＝0. ∴x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝－8. ∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋1625·9＋32＝415.解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为： (1)设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)；(2)联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关于x 或y 的一元二次方程；(4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为x 1＋x 2，x 1·x 2或y 1＋y 2，y 1·y 2，进而求解．一、选择题1．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( ) A ．2 B.455 C.4105 D.8105答案 C解析 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t ，消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0， 则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4(t 2－1)5. ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·⎝⎛⎭⎫－85t 2－4×4(t 2－1)5＝425·5－t 2， 当t ＝0时，|AB |max ＝4105. 2．已知F 是椭圆x 225＋y 29＝1的一个焦点，AB 为过椭圆中心的一条弦，则△ABF 面积的最大值为( )A ．6B ．15C ．20D ．12考点题点答案 D解析 S ＝12|OF |·|y 1－y 2|≤12|OF |·2b ＝12. 3．已知F 1为椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点，直线l ：y ＝x －1与椭圆C 交于A ，B 两点，那么|F 1A |＋|F 1B |的值为( ) A.423 B.833 C.823 D.1623考点题点答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝2，y ＝x －1，联立得3x 2－4x ＝0， 可知A (0，－1)，B ⎝⎛⎭⎫43，13，又F 1(－1,0)，∴|F 1A |＋|F 1B |＝2＋523＝823. 4．椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M ，N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为22，则m n 的值是( ) A.22 B.233 C.922 D.2327考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆相交时弦中点问题答案 A解析 联立方程组可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1－x ，mx 2＋ny 2＝1， 即(m ＋n )x 2－2nx ＋n －1＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝n m ＋n ，y 0＝1－x 0＝1－n m ＋n ＝m m ＋n， 所以k OP ＝y 0x 0＝m n ＝22. 5．已知直线y ＝－x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若椭圆的离心率为22，焦距为2，则线段AB 的长是( ) A.223 B ．2 C. 2 D.423考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆相交求弦长与三角形面积答案 D 解析 由题意得椭圆方程为x 22＋y 2＝1， 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－x ＋1，化简得3x 2－4x ＝0， 得x ＝0或x ＝43，代入直线方程得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝1或⎩⎨⎧ x ＝43，y ＝－13，不妨设A (0,1)，B ⎝⎛⎭⎫43，－13， 所以|AB |＝⎝⎛⎭⎫43－02＋⎝⎛⎭⎫－13－12＝423. 6．经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点．设O 为坐标原点，则OA →·OB →等于( )A ．－3B ．－13C ．－13或－3 D ．±13 考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆相交的其他问题答案 B解析 由x 22＋y 2＝1，得a 2＝2，b 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝1，焦点为(±1,0)． 不妨设直线l 过右焦点，倾斜角为45°，直线l 的方程为y ＝x －1.代入x 22＋y 2＝1得x 2＋2(x －1)2－2＝0， 即3x 2－4x ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1·x 2＝0，x 1＋x 2＝43，y 1y 2＝(x 1－1)(x 2－1)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝1－43＝－13， 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0－13＝－13. 7．设斜率为22的直线l 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为( ) A.33 B.12 C.22 D.13考点题点答案 C解析 两个交点横坐标是－c ，c ，所以两个交点分别为⎝⎛⎭⎫－c ，－22c ，⎝⎛⎭⎫c ，22c ， 代入椭圆方程得c 2a 2＋c 22b2＝1， 两边乘以2a 2b 2，则c 2(2b 2＋a 2)＝2a 2b 2，∵b 2＝a 2－c 2，c 2(3a 2－2c 2)＝2a 4－2a 2c 2，2a 4－5a 2c 2＋2c 4＝0，(2a 2－c 2)(a 2－2c 2)＝0，c 2a 2＝2或12， ∵0<e <1，∴e ＝c a ＝22. 二、填空题8．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆相交求弦长与三角形面积答案 53解析 由已知可得直线方程为y ＝2x －2，|OF |＝1，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得A (0，－2)，B ⎝⎛⎭⎫53，43， 所以S △AOB ＝12·|OF |·|y A －y B |＝53. 9．已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是________．答案 3 解析 由题意知a ＝2，所以|BF 2|＋|AF 2|＋|AB |＝4a ＝8，因为|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，所以AB 的最小值为3，当且仅当AB ⊥x 轴时，取得最小值，此时A ⎝⎛⎭⎫－c ，32，B ⎝⎛⎭⎫－c ，－32，代入椭圆方程得c 24＋94b 2＝1，又c 2＝a 2－b 2＝4－b 2，所以4－b 24＋94b 2＝1，即1－b 24＋94b 2＝1，所以b 24＝94b 2，解得b 2＝3，所以b ＝ 3. 10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点是M (－4,1)，则椭圆的离心率是________．考点题点答案 32解析 设直线x －y ＋5＝0与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8，y 1＋y 2＝2，直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1. 由⎩⎨⎧ x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2×x 1＋x 2y 1＋y 2＝1，∴b 2a 2＝14，故椭圆的离心率e ＝c a ＝1－b 2a 2＝32. 11．已知P (1,1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为________________．答案 x ＋2y －3＝0解析 方法一 易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为y －1＝k (x －1)，弦所在的直线与椭圆相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x －1)，x 24＋y 22＝1，消去y 得，(2k 2＋1)x 2－4k (k －1)x ＋2(k 2－2k －1)＝0，∴x 1＋x 2＝4k (k －1)2k 2＋1，又∵x 1＋x 2＝2， ∴4k (k －1)2k 2＋1＝2，解得k ＝－12. 故此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)， 即x ＋2y －3＝0.方法二 易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k ，弦所在的直线与椭圆相交于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 212＝1，① x 224＋y 222＝1，② ①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)2＝0， ∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， ∴x 1－x 22＋y 1－y 2＝0，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12. ∴此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.三、解答题12．已知椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，经过点F 1的一条直线与椭圆交于A ，B 两点．(1)求△ABF 2的周长；(2)若直线AB 的倾斜角为π4，求弦长|AB |. 考点题点解 (1)椭圆x 24＋y 23＝1，a ＝2，b ＝3，c ＝1， 由椭圆的定义，得|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝4，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝4，又|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |，∴△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＝8.(2)由(1)可得F 1(－1,0)，∵AB 的倾斜角为π4，则AB 的斜率为1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 故直线AB 的方程为y ＝x ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋1，x 24＋y 23＝1，整理得7y 2－6y －9＝0， 由根与系数的关系得y 1＋y 2＝67，y 1y 2＝－97， 则由弦长公式|AB |＝1＋1k 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝1＋1·⎝⎛⎭⎫672－4×⎝⎛⎭⎫－97＝247. 13．椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是线段AB 的中点，O 为坐标原点，若|AB |＝22，直线OC 的斜率为22，求椭圆的方程． 考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆相交时弦中点问题解 易知a >0，b >0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由题意得ax 21＋by 21＝1，①ax 22＋by 22＝1，②②－①，得a (x 1＋x 2)(x 2－x 1)＋b (y 2＋y 1)(y 2－y 1)＝0.∵y 2－y 1x 2－x 1＝k AB ＝－1，y 2＋y 1x 2＋x 1＝k OC ＝22， ∴b ＝2a .又|AB |＝1＋k 2AB |x 2－x 1|＝2|x 2－x 1|＝22，∴|x 2－x 1|＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y ＝1，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0， ∴x 1＋x 2＝2b a ＋b ，x 1x 2＝b －1a ＋b， ∴|x 2－x 1|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b＝4， 将b ＝2a 代入上式，得a ＝13，b ＝23， ∴所求椭圆的方程为x 23＋23y 2＝1.14．已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若点A 的坐标为(3,0)，|AM →|＝1，且PM →·AM →＝0，则|PM →|的最小值是________．考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆相交的其他问题 答案 3解析 由|AM →|＝1，A (3,0)，知点M 在以A (3,0)为圆心，1为半径的圆上运动，∵PM →·AM →＝0且P 在椭圆上运动，∴PM ⊥AM ，即PM 为⊙A 的切线，连接P A (如图)，则|PM →|＝|P A →|2－|AM →|2 ＝|P A →|2－1 ，∴当|P A →|min ＝a －c ＝5－3＝2时，|PM →|min ＝ 3.15．已知点P 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q ，延长QP 到点M ，使QP →＝PM →.(1)求点M 的轨迹E 的方程；(2)过点C (m,0)作圆O 的切线l ，交(1)中的曲线E 于A ，B 两点，求△AOB 面积的最大值．解 (1)设M (x ，y )，∵QP →＝PM →，∴P 为QM 的中点，又有PQ ⊥y 轴，∴P ⎝⎛⎭⎫x 2，y ，∵点P 是圆O ：x 2＋y 2＝1上的点，∴⎝⎛⎭⎫x 22＋y 2＝1，即点M 的轨迹E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)由题意可知直线l 与y 轴不垂直，故可设l ：x ＝ty ＋m ，t ∈R ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵l 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切， ∴|m |t 2＋1＝1，即m 2＝t 2＋1，① 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，x ＝ty ＋m 消去x ，并整理得(t 2＋4)y 2＋2mty ＋m 2－4＝0，其中Δ＝4m 2t 2－4(t 2＋4)(m 2－4)＝48>0，∴y 1＋y 2＝－2mt t 2＋4，y 1y 2＝m 2－4t 2＋4.② ∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝t 2＋1(y 1＋y 2)2－4y 1y 2，将①②代入上式得|AB |＝t 2＋14m 2t 2(t 2＋4)2－4(m 2－4)t 2＋4＝43|m |m 2＋3，|m |≥1， ∴S △AOB ＝12|AB |·1＝12·43|m |m 2＋3＝23|m |＋3|m |≤2323＝1， 当且仅当|m |＝3|m |，即m ＝±3时，等号成立， ∴△AOB 面积的最大值为1.。
直线和椭圆的位置关系知识点直线和椭圆是两个基本的几何图形，它们在平面几何中经常出现，并且在许多应用中都发挥着重要的作用。
学习它们的位置关系是初学几何的基本知识之一，本文将从定义、基本性质和实例等方面探讨直线和椭圆的位置关系知识点。
1. 直线和椭圆的定义和基本性质1.1 直线的定义和基本性质在平面几何中，直线是最基本的几何图形之一。
直线的定义是，由无数个点构成的一条无限长的、无宽度的几何对象。
直线可以用线段表示，线段起点和终点可以看作是直线上的两个点，线段两端点之间的线段长度即为直线的长度。
直线有一些基本的性质，例如：(1) 直线上的任意两点可以唯一地确定一条直线；(2) 直线上的任意一点与直线外的任意一点可以唯一地确定一条直线；(3) 直线上的点可以任意延伸，即直线是无限长的；(4) 直线上每一点的左右两侧都有无限多个点。
1.2 椭圆的定义和基本性质椭圆是平面上一条固定点到平面上各点的距离之和等于常数的点的集合。
这个固定点叫做椭圆的焦点。
椭圆还有一个重要的参数，叫做离心率，表示椭圆的形状。
离心率越小，椭圆越矮胖，离心率越大，椭圆越扁平。
椭圆也有一些基本的性质，例如：(1) 椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和等于常数，称为椭圆的焦距；(2) 椭圆的长轴是椭圆上最远的两点之间的距离，短轴是两个焦点所在直线的中垂线上的两点之间的距离，长轴和短轴的长度之比即为椭圆的离心率；(3) 椭圆的对称轴分别是椭圆的长轴和短轴，对称轴相交于椭圆的中心点，椭圆上的任意一条直径的中点即为椭圆的中心点。
2. 直线和椭圆的位置关系2.1 直线与椭圆的位置关系在平面几何中，直线和椭圆的位置关系有以下三种情况：(1) 直线与椭圆相离；(2) 直线与椭圆相切；(3) 直线与椭圆相交。
2.1.1 直线与椭圆相离直线与椭圆相离是指这条直线没有和椭圆有任何交点。
这种情况下，直线与椭圆的距离是一个常数，被称为直线到椭圆的距离。
直线到椭圆的距离可以用以下公式计算：d = |Ax + By + C| / sqrt(A^2 + B^2)其中，Ax + By + C = 0 是直线的方程，A、B、C 是实数，且A^2 + B^2 ≠ 0 。
