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贝韦克的7个7趣味数学题 解题过程

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j k 7 8 ） D ） ） ） ）
因 A(125*7*)×j(8)=S(10**7**) 所 d=4或9 e<=4 如 d=9 A(12597*)×7=881*** 与Q不符 所 d=4 A=12547* 因 所 A(12547*)×7=Q(878***) Q3=8 Q4=2或3 Q4=2 时 e=0或1 Q4=3 时 e=2或3或4
7
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h i a b c d e A （ 1 2 5 4 7 ） L （ M （ 1 N （ 1 P Q R S B （ 7 ） 7 （ （ （ （ 9 8 1 1 7 7 8 0 0 （ T （
j k 7 8 ） D ） ） ） ） 因 R3-S3=T1 不为0 所 R3不为0 所 P3=9 R3=1 S3=0 T1=1 所k=1 T=A=12547* ） ） ） ） 因 A(12547*)×j(8)=S(10037**) 所 S4=3
因 Q4=3 时 e=2或3或4 因 i=8或9 N6=7或8 那么 A(125472)×i(8)=N(1003776) A(125473)×i(8)=N(1003784) A(125474)×i(8)=N(1003792) A(125472)×i(9)=N(1129248) A(125473)×i(9)=N(1129257) A(125474)×i(9)=N(1129266) 所 i=8 e=2或3 N=10037**
成立 成立 不成立 不成立 不成立 不成立
所
A(125472)×i(9)=N(1129248) 不成立 A(125473)×i(9)=N(1129257) 不成立 A(125474)×i(9)=N(1129266) 不成立 i=8 e=2或3 N=10037**
a b c d e A （ 1 2 5 4 7 ） L （ M （ 1 N （ 1 0 P （ Q （ R （ S （
h i a b c d e A （ 1 7 ） L （ M （ 1 N （ 1 P Q R S B （ 7 ） 7 （ 7 （ 7 （ 1 0 （ 1 0 （ T （ ） ） 7
j k ） D
因 A×7=6位 A×i=7位 A×j=7位 所 a=1 M1=N1=R1=S1=1 所 i=8或9 j=8或9 因 P1-Q1=1 所 Q1=7 P1=8 或 Q1=8 P1=9
0
1 1 T
h i a b c d e A （ 1 2 7 ） L （ M （ 1 N （ 1 P Q R S B （ 7 ） 7 （ （ （ （ 9 8 1 1 7 7 0 0 （ T （ ） ） 7
j k ） D 因 b=2 所 Q1=8 P1=9
因 A(12**7*)×7=Q(87****) 所 c=4或5 如A取最小数 A=124070 j=9 A(124070)×j(9)=1116630>S(10**7**) 所 j=9 不成立 j=8 ） ） ） ） 如 c=4 A取最大数 A=124979 A(124979)×j(8)=999832<S(10**7**) 所 c=5
因 S4=3 R4-S4=2 R5-S5=5 所 R4=6 因 Q4=2或3 所 Q4=2 时 P4=8或9 Q4=3 时 P4=9 那么 N6>=7 如 Q4=2 e=0或1 那么 A(125470)×i(8)=N(1003760) A(125471)×i(8)=N(1003768) A(125470)×i(9)=N(1129230) A(125471)×i(9)=N(1129239) N6不成立 所以 Q4=3 P4=9 N6=7或8
9 8 1 0 3 7 1 2 5 4 1 2 5 4
h i a b c d e A （ 1 2 5 4 7 ） L （ M （ 1 N （ 1 P Q R S B （ 7 ） 7 （ （ （ （ 9 8 1 1 7 7 0 0 （ T （ 9 8 1 0 1 1
j k 7 8 1 ） D ） ）
9 ） 3 ） 6 ） 3 7 ） 2 5 4 7 ） 2 5 4 7 ）
7
因 A(12547*)×j(8)=S(10037**) 所 S4=3
h i a b c d e A （ 1 2 5 4 7 ） L （ M （ 1 N （ 1 P Q R S B （ 7 ） 7 （ （ （ （ 9 8 1 1 7 7 0 0 （ T （
j k 7 8 1 ） D ） ） ） ） ） ） 7 7 ） ）
a b c d e A （ 1 1 1 9 7 ） L （ M （ 1 N （ 1 0 P （ Q （ R （ S （
如 b=1 i或j=8
7
那么 N或S为6位 不成立 所 i=j=9 因 A(11**7*)×i(9)<1100000 所 N2=0 因 A(11**7*)×7=Q(*7****) 所 c=0或1 如 c=0 那么 N或S为6位 不成立 所 c=1 那么 N3=S3=0 因 A(111*7*)×j(9)=S(100*7**) 所 d=9 A=11197* 那么 Q=*7**** 不成立 所 b=2
A(125473)×h(5)=L(627365) 成立 A(125473)×h(6)=L(752838) 不成立 A(125473)×h(7)=L(878311) 不成立 h=3时 M6位(110177)+L(376419)=D6位(486596) h=5时 M6位(110177)+L(627365)=D6位(737542) 所 h=5 时 D3=7 成立 所 h=5 L=627365 h 5 2 5 7 8 9 3 6 3 2 2 i 8 8 ） 8 4 4 1 3 7 5 5 j k 7 8 1 ） 4 1 3 D ） ） 4 1 3 8 4 4
因 M3=0 D3=7 所 L3=7或6 因 A×7=6位数 A×8=7位数 L为6位数 所 h<=7 那么 A(125473)×h(1)=L(125473) 不成立 A(125473)×h(2)=L(250946) 不成立 A(125473)×h(3)=L(376419) 成立 A(12547Байду номын сангаас)×h(4)=L(501892) 不成立 A(125473)×h(5)=L(627365) 成立 A(125473)×h(6)=L(752838) 不成立 A(125473)×h(7)=L(878311) 不成立 h=3时 M6位(110177)+L(376419)=D6位(486596) h=5时 M6位(110177)+L(627365)=D6位(737542) 所 h=5 时 D3=7 成立 所 h=5 L=627365
贝韦克的7个7趣味数学题 h i a b c d A （ 7 e ） L （ M （ N （ P Q R S （ （ （ （ 7 ） 7 7 7 7 （ T （ ） ） ） ） ） ） ） ） B （ 7 j k ） D
解题过程
首先设置标注 被除数为 D 除数为 A=（abcd7e） 商为 B=（hi7jk） L M N P Q R S T 为每一个过程中每一行的数 值
） ） 7
所
j=9 不成立
j=8
如 c=4 A取最大数 A=124979 A(124979)×j(8)=999832<S(10**7**) 所 c=5
h i a b c d e A （ 1 2 5 7 ） L （ M （ 1 N （ 1 P Q R S B （ 7 ） 7 （ （ （ （ 9 8 1 1 7 7 0 0 （ T （
7
0 9 8 1 1 T
h i j k B （ 8 7 8 1 ） D ） 7 ） 3 7 ） 7 9 9 ） 7 8 3 ） 0 1 6 ） 0 0 3 7 ） （ 1 2 5 4 7 ） （ 1 2 5 4 7 ）
如
e=2 那么 A=T=125472 A(125472)×j(8)=S(1003776) A(125472)× 7 =Q(878304) A(125472)×i(8)=N(1003776) 那么 T5位(12547)+S(1003776)=R(1016323) R6位(101632)+Q(878304)=P(979936) P5位(97993)+N(1003776)=M(1101769) M6=7不成立 所 e=3 A=T=125473 可以此得出 S Q N 并算出 R P M
a b c d e A （ 1 2 5 4 7 3 ） L （ M （ N （
7 6 1 1 P Q R S
3 2 1 0 （ （ （ （
B 5 3 1 3 7 7 0 0 （ T （ 7 7 0 0 9 8 1 1
（ 4 6 7 7 9 8 1 0 1 1
） ） 1 4 7 7
） ） 3 ） 3 ）
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因 A×7=6位 a=1 Q1=7或8 所 b=1或2 （ b=0 Q2<7 b>=3 Q1=9 或 Q是7位 ） 因 M、R前6位<A 所 因 P2-Q2=R2=0或9 所 因 b=1或2 i=8或9 所 M2<=2 R2<=2 R2=0 S2=0 N2=0或1
因 A×7=6位 a=1 Q1=7或8 所 b=1或2 （ b=0 Q2<7 b>=3 Q1=9 或 Q是7位 ） 因 M、R前6位<A 所 因 P2-Q2=R2=0或9 所 因 b=1或2 i=8或9 所 h i j k B （ 9 7 9 ） D ） 7 ） ） 7 ） 7 ） 0 ） 0 0 7 ） （ ） （ ） M2<=2 R2<=2 R2=0 S2=0 N2=0或1
a b c d e A （ 1 2 5 4 7 3 ） L （ M （ 1 1 N （ 1 0 P （ Q （ R （ S （
B （ 7 0 0 9 8 1 1 1 3 7 7 0 0 （ T （ 7 7 9 8 1 0 1 1

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一笔画七桥问题

一笔画七桥问题


例3：再回到“七桥问题”，问：在 何处架设一座桥，可使游人一次走 遍所有各桥？
例4：某花园小径如图，问：你能否 从图中点1出发不重复地走过所有小 径？如果能，请标出所经过各点的 顺序；如果不能，请标出必须重复 走的小径。
练习：下面各图，能否一笔画出？ 若能，请画出走法；若不能，请说 明理由。
留一道作业：下面的五环标志可否一笔 画成？如何画？
一笔画------七桥问题
一笔画----------七桥问题
请你做下面的游戏：一笔画出图中 的 图形来。 规则：笔不离开纸面，每根 线都只能画一次。这就是古老的民间 游戏——一笔画。 你能画出来吗？
以下网络中哪一个是可以遍历的(即 一笔而不重复地画成)？
拓扑学起源于公元1736年一个著名问题—— 哥尼斯堡七桥问题——的解决．
1727年在欧拉20岁的时候，被俄国请去在圣彼得堡 （原列宁格勒）的科学院做研究。他的德国朋友告 诉了他这个曾经令许多人困惑的问题。
欧拉并没有跑到哥尼斯堡去走走。他把这个难题化成了这样 的问题来看：把二岸和小岛缩成一点，桥化为边，于是“七 桥问题”就等价于下图中所画图形的一笔画问题了， 这个 图如果能够一笔画成的话，对应的“七桥问题”也就解决了。
能否一笔画是由图的奇、偶点的数目来决定的。那么什么 叫奇、偶点呢？与奇数（单数）条边相连的点叫做奇点； 与偶数（双数）条边相连的点叫做偶点。如下图中的①、 ④为奇点，②、③为偶点。
1．凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时 可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完 此图。例如下图都是偶点，画的线路可以是：①→③→⑤ →⑦→②→④→⑥→⑦→①
2．凡是只有两个奇点的连通图（其余都为 偶点），一定可以一笔画成。画时必须把一 个奇点为起点，另一个奇点终点。例如下图 的线路是：①→②→
七桥问题SevenBridgesProblem

七桥问题SevenBridgesProblem

著名古典数学问题之一.在哥尼斯堡地一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图).问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点?欧勒于年研究并解决了此问题，他把问题归结为如下右图地“一笔画”问题，证明上述走法是不可能地.有关图论研究地热点问题.世纪初普鲁士地柯尼斯堡，普雷格尔河流经此镇，奈发夫岛位于河中，共有座桥横跨河上，把全镇连接起来.当地居民热衷于一个难题：是否存在一条路线，可不重复地走遍七座桥.这就是柯尼斯堡七桥问题..欧拉用点表示岛和陆地，两点之间地连线表示连接它们地桥，将河流、小岛和桥简化为一个网络，把七桥问题化成判断连通网络能否一笔画地问题.他不仅解决了此问题，且给出了连通网络可一笔画地充要条件是它们是连通地，且奇顶点(通过此点弧地条数是奇数)地个数为或.资料个人收集整理，勿做商业用途当在年访问, ( )时，他发现当地地市民正从事一项非常有趣地消遣活动.城中有一条名叫地河流横经其中，这项有趣地消遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥地散步，每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点.资料个人收集整理，勿做商业用途把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地地桥以线表示.后来推论出此种走法是不可能地.他地论点是这样地，除了起点以外，每一次当一个人由一座桥进入一块陆地（或点）时，他（或她）同时也由另一座桥离开此点.所以每行经一点时，计算两座桥（或线），从起点离开地线与最后回到始点地线亦计算两座桥，因此每一个陆地与其他陆地连接地桥数必为偶数.资料个人收集整理，勿做商业用途七桥所成之图形中，没有一点含有偶数条数，因此上述地任务无法完成.欧拉地这个考虑非常重要，也非常巧妙，它正表明了数学家处理实际问题地独特之处——把一个实际问题抽象成合适地“数学模型”.这种研究方法就是“数学模型方法”.这并不需要运用多么深奥地理论，但想到这一点，却是解决难题地关键. 资料个人收集整理，勿做商业用途接下来，欧拉运用网络中地一笔画定理为判断准则，很快地就判断出要一次不重复走遍哥尼斯堡地座桥是不可能地.也就是说，多少年来，人们费脑费力寻找地那种不重复地路线，根本就不存在.一个曾难住了那么多人地问题，竟是这么一个出人意料地答案！资料个人收集整理，勿做商业用途年，欧拉在交给彼得堡科学院地《哥尼斯堡座桥》地论文报告中，阐述了他地解题方法.他地巧解，为后来地数学新分支——拓扑学地建立奠定了基础. 资料个人收集整理，勿做商业用途七桥问题和欧拉定理.欧拉通过对七桥问题地研究，不仅圆满地回答了哥尼斯堡居民提出地问题，而且得到并证明了更为广泛地有关一笔画地三条结论，人们通常称之为欧拉定理.对于一个连通图，通常把从某结点出发一笔画成所经过地路线叫做欧拉路.人们又通常把一笔画成回到出发点地欧拉路叫做欧拉回路.具有欧拉回路地图叫做欧拉图. 资料个人收集整理，勿做商业用途此题被人教版小学数学第十二册书收录.在页.著名古典数学问题之一.在哥尼斯堡地一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图).问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点?欧勒于年研究并解决了此问题，他把问题归结为如下右图地“一笔画”问题，证明上述走法是不可能地.有关图论研究地热点问题.世纪初普鲁士地柯尼斯堡，普雷格尔河流经此镇，奈发夫岛位于河中，共有座桥横跨河上，把全镇连接起来.当地居民热衷于一个难题：是否存在一条路线，可不重复地走遍七座桥.这就是柯尼斯堡七桥问题..欧拉用点表示岛和陆地，两点之间地连线表示连接它们地桥，将河流、小岛和桥简化为一个网络，把七桥问题化成判断连通网络能否一笔画地问题.他不仅解决了此问题，且给出了连通网络可一笔画地充要条件是它们是连通地，且奇顶点(通过此点弧地条数是奇数)地个数为或.当在年访问, ( )时，他发现当地地市民正从事一项非常有趣地消遣活动.城中有一条名叫地河流横经其中，这项有趣地消遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥地散步，每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点.把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地地桥以线表示.后来推论出此种走法是不可能地.他地论点是这样地，除了起点以外，每一次当一个人由一座桥进入一块陆地（或点）时，他（或她）同时也由另一座桥离开此点.所以每行经一点时，计算两座桥（或线），从起点离开地线与最后回到始点地线亦计算两座桥，因此每一个陆地与其他陆地连接地桥数必为偶数.七桥所成之图形中，没有一点含有偶数条数，因此上述地任务无法完成.欧拉地这个考虑非常重要，也非常巧妙，它正表明了数学家处理实际问题地独特之处——把一个实际问题抽象成合适地“数学模型”.这种研究方法就是“数学模型方法”.这并不需要运用多么深奥地理论，但想到这一点，却是解决难题地关键.接下来，欧拉运用网络中地一笔画定理为判断准则，很快地就判断出要一次不重复走遍哥尼斯堡地座桥是不可能地.也就是说，多少年来，人们费脑费力寻找地那种不重复地路线，根本就不存在.一个曾难住了那么多人地问题，竟是这么一个出人意料地答案！年，欧拉在交给彼得堡科学院地《哥尼斯堡座桥》地论文报告中，阐述了他地解题方法.他地巧解，为后来地数学新分支——拓扑学地建立奠定了基础.七桥问题和欧拉定理.欧拉通过对七桥问题地研究，不仅圆满地回答了哥尼斯堡居民提出地问题，而且得到并证明了更为广泛地有关一笔画地三条结论，人们通常称之为欧拉定理.对于一个连通图，通常把从某结点出发一笔画成所经过地路线叫做欧拉路.人们又通常把一笔画成回到出发点地欧拉路叫做欧拉回路.具有欧拉回路地图叫做欧拉图. 资料个人收集整理，勿做商业用途七桥问题沿着俄国和波兰地边界,有一条长长地布格河.这条河流经俄国地古城康尼斯堡——它就是今天俄罗斯西北边界城市加里宁格勒.布格河横贯康尼斯堡城区,它有两条支流,一条称新河,另一条叫旧河,两河在城中心会合后,成为一条主流,叫做大河.在新旧两河与大河之间,夹着一块岛形地带,这里是城市地繁华地区.全城分为北,东,南,岛四个区,各区之间共有七座桥梁联系着.人们长期生活在河畔,岛上,来往于七桥之间.有人提出这样一个问题:能不能一次走遍所有地七座桥,而每座桥只准经过一次问题提出后,很多人对此很感兴趣,纷纷进行试验,但在相当长地时间里,始终未能解决.最后,人们只好把这个问题向俄国科学院院士欧拉提出,请他帮助解决.公元年,欧拉接到了"七桥问题",当时他三十岁.他心里想:先试试看吧.他从中间地岛区出发,经过一号桥到达北区,又从二号桥回到岛区,过四号桥进入东区,再经五号桥到达南区,然后过六号桥回到岛区.现在,只剩下三号和七号两座桥没有通过了.显然,从岛区要过三号桥,只有先过一号,二号或四号桥,但这三座桥都走过了.这种走法宣告失败.欧拉又换了一种走法:岛东北岛南岛北这种走法还是不行,因为五号桥还没有走过.欧拉连试了好几种走法都不行,这问题可真不简单!他算了一下,走法很多,共有××××××(种).好家伙,这样一种方法,一种方法试下去,要试到哪一天,才能得出答案呢他想:不能这样呆笨地试下去,得想别地方法.聪明地欧拉终于想出一个巧妙地办法.他用代表岛区分别代表北,东,西三区,并用曲线弧或直线段表示七座桥,这样一来,七座桥地问题,就转变为数学分支"图论"中地一个一笔画问题,即能不能一笔头不重复地画出上面地这个图形.欧拉集中精力研究了这个图形,发现中间每经过一点,总有画到那一点地一条线和从那一点画出来地一条线.这就是说,除起点和终点以外,经过中间各点地线必然是偶数.像上面这个图,因为是一个封闭地曲线,因此,经过所有点地线都必须是偶数才行.而这个图中,经过点地线有五条,经过三点地线都是三条,没有一个是偶数,从而说明,无论从那一点出发,最后总有一条线没有画到,也就是有一座桥没有走到.欧拉终于证明了,要想一次不重复地走完七座桥,那是不可能地.天才地欧拉只用了一步证明,就概括了种不同地走法,从这里我们可以看到,数学地威力多么大呀!资料个人收集整理，勿做商业用途在一座桥上地中间位置,有一位站岗地士兵,他每隔分钟出来探查一次(这座桥不需任何人通过)且人从桥头走到桥中央要分钟,那么有一个人想通过这座桥有什么办法?资料个人收集整理，勿做商业用途先走一半,转身慢走.这是身后地士兵会说:同事,这桥不让过.你请回去.很轻松就过来了。

七桥问题及其证明

七桥问题及其证明

七桥问题及其证明七桥问题对很多人来说并不是陌生的名词，尤其当它已经被写进了小学数学课本……不过，此处还是再来啰嗦地介绍一下七桥问题到底是怎样的一个命题。

传说在18世纪普鲁士的哥尼斯堡城，有一条叫做普雷格尔的河，河中间有两个岛，有七座桥把这两个岛与河岸相连，就像下面这个示意图里左图给出的一样。

市民们饭后茶余就在讨论，能不能不重复的经过每一座桥而回到出发点呢。

这个问题也可以被简化成右图是否能够被一笔画的问题。

大数学家欧拉思考过后认为，市民们一直在找寻的那条路径是不存在的，把每座桥看成图的一个边（右图），想要不重复的经过每一条边而回到原点，则每个顶点必须有偶数条边与之相连，才能满足从一条边来从另一条边出。

用图论的语言来说，一个非空连通图是Euler 图当且仅当它没有奇度顶点。

这里Euler图指的是有Euler闭迹的图，而Euler闭迹是，经过图G的每条边恰好一次的闭迹。

有了这样的定义，上面的“七桥问题一笔画是不可能的”论证过程可以这样表述：设图G是Euler图，C是G中一个Euler闭迹。

对G中任一个顶点v，v必在C上出现。

因C每经过v一次，就有两条与V关联的边被使用。

设C经过v共k次，则C经过了2k条与v关联的边，故v的度为2k（节点v的度指图G 中与v相连的边的数量）细心而学究的人会发现，上面仅仅是对命题的必要性证明，那么，充分性的证明呢？当一个非空连通图G的每个顶点都是偶度顶点，那图G就有Euler闭迹吗？直接证明这个比较困难，可以用反证法来证明：无妨设图Ｇ的顶点个数n >1。

因G连通，故至少有一条边。

假设图G无奇度顶点，但它不是Euler图。

令S = {G | G是至少有一条边的n阶连通图，无奇度顶点，且不是Euler图}，则S非空。

取S中边数最少的一个，记为G0。

因G0无奇度顶点，故G0中顶点的度至少为2，因此G0含有圈，从而含有闭迹。

设C是中一条最长的闭迹。

由假设，C不是G0的Euler闭迹。

七桥问题[PPT课件]

七桥问题[PPT课件]

• ②凡是只有两个奇点（其余均为偶点）的连通 图，一定可以一笔画完；画时必须以一个奇点 为起点，另一个奇点为终点。
• ③其他情况的图，都不能一笔画出。 • 下面我们就来研究一笔画问题的具体应用：
• 例1 观察下面的图形，说明哪些图可以 一笔画完，哪些不能，为什么？对于可 以一笔画的图形，指明画法.
且两人的速度相同.因此，谁走的路程少，谁便可以先 到达C。容易知道，在题目的要求下，每个人所走路 程都至少是所有街道路程的总和。仔细观察上图，可 以发现图中有两个奇点：A和C.这就是说，此图可以 以A、C两点分别作为起点和终点而一笔画成.也就是 说，甲可以从A出发，不重复地走遍所有的街道，最 后到达C；而从B出发的乙则不行.因此，甲所走的路程 正好等于所有街道路程的总和，而乙所走的路程则必 定大于这个总和，这样甲先到达C。
• 容易知道，上图（b）可以一笔画出，即从奇点E出发， 沿箭头 所指方向，经过F、G、E，最后到达奇点F；同理，从奇点F出发 也可以一笔画出，最后到达奇点E.而从偶点G出发，却不能一笔 画出.
• 事实上，这并不是偶然现象.假定某个图可以一笔画成，且它的 结点X既不是起点，也不是终点，而是中间点，那么X一定是一 个偶点.这是因为无论何时通过一条边到达X，由于不能重复，必 须从另一条边离开X.这样与X连结的边一定成对出现，所以X必 为偶点，也就是说：奇点在一笔画中只能作为起或终点.由此可 以看出，在一个可以一笔画出的图中，奇点的个数最多只有两个。
(a)图：可以一笔画，因为只有两个奇点A、B；画法为A→头部 → 翅膀→尾部→翅膀→嘴。
(b)图：不能一笔画，因为此图不是连通图。 (c)图：不能一笔画，因图中有四个奇点：A、B、C、D。 (d)图：可以一笔画，因为只有两个奇点；画法为：