八年级数学上册第一章勾股定理3勾股定理的应用作业设计(新版)北师大版

北师大版八年级数学上册：1.3《勾股定理的应用》教案一. 教材分析《勾股定理的应用》是北师大版八年级数学上册第一章第三节的内容。

本节课主要让学生掌握勾股定理在实际问题中的应用，培养学生的解决问题的能力。

教材通过引入古希腊数学家毕达哥拉斯的故事，引导学生探索直角三角形斜边与两直角边的关系，从而引入勾股定理。

学生通过观察、实验、猜想、验证等过程，体验数学的探索乐趣，提高解决问题的能力。

二. 学情分析学生在七年级已经学习了直角三角形的性质，对直角三角形的边长关系有一定了解。

但勾股定理的应用涉及实际问题，对学生来说是一个新的挑战。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高解决问题的能力。

三. 教学目标1.理解勾股定理的含义，掌握勾股定理在直角三角形中的应用。

2.能够运用勾股定理解决实际问题，提高解决问题的能力。

3.培养学生的合作、交流、探究能力，体验数学探索的乐趣。

四. 教学重难点1.重难点：勾股定理的应用。

2.难点：如何将实际问题转化为勾股定理的形式，求解问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生探究勾股定理的应用。

2.运用合作学习法，让学生在小组内讨论、交流，共同解决问题。

3.采用启发式教学法，教师提问、学生回答，激发学生的思维。

4.利用多媒体辅助教学，展示勾股定理的应用实例。

六. 教学准备1.准备相关课件、教学素材。

2.设计好教学问题，准备好答案。

3.安排好教学过程中的各个环节。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示勾股定理的动画故事，引导学生了解勾股定理的背景。

同时，提问学生：“你们认为直角三角形的斜边与两直角边有什么关系？”2.呈现（10分钟）教师提出一组实际问题，如：“一个直角三角形的两条直角边分别为3cm和4cm，求斜边的长度。

”让学生尝试解决。

学生在解决过程中，发现无法直接运用已知的直角三角形性质解决问题，从而引出勾股定理。

3.操练（10分钟）教师提出多个关于勾股定理的应用问题，让学生在小组内讨论、交流，共同解决。

第一章勾股定理3 勾股定理的应用教学目标1.利用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题.2.通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念，在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.3.在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性.教学重难点重点：构建直角三角形，利用勾股定理及其逆定理解决实际问题.难点：从实际问题中合理抽象出数学模型.教学过程导入新课游乐场有一个圆柱形的大型玩具,如图所示,现要从点A开始环绕圆柱侧面修建梯子,正好到达A点的正上方B点,已知圆柱形玩具的底面周长是12米,高AB为5米,那么梯子的长度是多少米?探究新知一、合作探究【探究1】确定立体物体表面上两点之间的最短距离.【例1】如图，有一个圆柱，它的高等于12 cm，底面圆的周长为18 cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？(1)在你自己做的圆柱上，尝试从点A到点B沿圆柱侧面画几条路线，你觉得哪条路线最短？(2)如图，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，点A到点B的最短路线是什么？你画对了吗？(3)蚂蚁从点A出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？∵AB2 = 122+92，∴AB = 15(cm).答：蚂蚁从点A出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是15 cm.变式训练：如图,长方体的底面边长分别为2 cm和4 cm,高为5 cm.如果一根细线从点P开始经过四个侧面绕一圈到达点Q,那么所用细线最短需要_________cm.答案：13【探究2】应用勾股定理解决实际问题【例2】如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE = 3 m，CD = 1 m，试求滑道AC的长.【解】设滑道AC的长度为x m,则AB的长度为x m,AE的长度为（x-1）m.在Rt△ACE中，∠AEC = 90°，由勾股定理得AE2+CE2 = AC2，即(x-1)2+32 = x2，解得x = 5.故滑道AC的长度为5 m.变式训练：在一次消防演习中,消防员架起一架25米长的云梯,如图所示那样斜靠在一面墙上,梯子底端离墙7米.(1)这架云梯的顶端距地面有多高?(2)如果消防员接到命令,要把云梯的顶端下降4米(云梯长度不变),那么云梯的底部在水平方向应滑动多少米?解：(1)由题图可以看出云梯、墙、地面可围成一个直角三角形,即云梯为斜边,云梯底部到墙的线段为一条直角边,云梯顶端到地面的线段为另一条直角边.根据题意252-72 = 242，所以云梯顶端距地面有24米.(2)当云梯顶端下降4米后,云梯顶部到地面的距离为20米.因为252-202 = 152,且15-7 = 8(米)，所以云梯底部应水平滑动8米.课堂练习1.有一个高为1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，则问这根铁棒应有多长？2.如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它爬的最短距离为____.m=0.33m)的正方形.在水池正中央3.有一个水池，水面是一个边长为10尺(1尺=13有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问：这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？4.如图，台风过后，某小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8 m处，已知旗杆原长16 m，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂的吗？参考答案1.解：如图，由题意得当铁棒在B处：AC = 1.5米，BC = 2米.∵AB2 = AC2+CB2 = 2.52，∴AB = 2.5米.∵油桶外的部分是0.5米，∴AD = 2.5+0.5 = 3(米).当铁棒垂直进入，得出油桶中的长度1.5米+桶外的0.5米= 2米.答：这根铁棒的长度范围是2米到3米.2.253.解：设水池的深度为x尺，则芦苇的长度为（x+1）尺.根据题意得x²+5² =（x+1）².解得x =12.x+1=12+1=13（尺）.答：这个水池的深度和这根芦苇的长度各是12尺和13尺.4.解：设旗杆在离底部x米的位置断裂，由题意得x2+82 = (16-x)2,解得x = 6米.答：旗杆在离底部6米的位置断裂.课堂小结确定立体物体表面上两点之间的最短距离的方法：将其转化为平面上两点间的距离，利用两点之间，线段最短来求解.布置作业习题1.4第1，2，3，4题板书设计3 勾股定理的应用1.确定立体物体表面上两点之间的最短距离例1 如图，有一个圆柱，它的高等于12 cm，底面圆的周长为18 cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？2.应用勾股定理解决实际问题例2 如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE = 3 m，CD = 1 m，试求滑道AC的长.。

辽宁省铁岭市昌图县八年级数学上册第一章勾股定理1.3 勾股定理的应用学案（无答案）（新版）北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（辽宁省铁岭市昌图县八年级数学上册第一章勾股定理1.3 勾股定理的应用学案（无答案）（新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为辽宁省铁岭市昌图县八年级数学上册第一章勾股定理1.3 勾股定理的应用学案（无答案）（新版）北师大版的全部内容。

勾股定理的应用课题§1。

3勾股定理的应用主备审阅八年级数学组时间课型新授授课教师教师寄语：奋斗是人生过程中最宝贵的财富一、学习目标——目标明确、有的放矢1、能运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题；2、通过本节学习，使学生真正体会数学来源于生活，又应用于生活，增加如何在日常生活中用数学知识解决问题的经验和感受.课标要求：会运用勾股定理解决简单问题．二、温馨提示—-方法得当、事半功倍学习重点:能运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题；学习难点：能运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题．预习提示:阅读教材13-14页。

三、课前热身-—激发兴趣、温故知新1. 圆柱的侧面展开图是_____形，其中长方形的长为圆柱体的底面______,长方形的宽为圆柱体的____.2。

线段公理：_________________________ .3。

两点间的距离：连接两点的线段的_______，叫两点间的距离.四、课堂探究—-质疑解疑、合作探究探究点1：圆柱侧面上两点间的最短路线问题例题：有一个圆柱，它的高等于12cm,底面半径等于3cm，在圆柱下底面的顶点A点有一只蚂蚁,它想吃到上底面与A点相对的B点处的食物，沿圆柱爬行的最短路程是多少?（π的值取3）．（1）同学们可自己做一个圆柱,尝试从A 点到B 点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？（2）如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A 点到B 点的最短路线是什么?你画对了吗？(3）蚂蚁从A 点出发，想吃到B 点上的食物,它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少?练习:1．如图1,一圆柱高8cm ，底面半径2cm,一只蚂蚁从点沿圆柱的侧面爬到点B 处吃食，要爬行的最短路程(π取3)是________cm.2．如图2,圆柱形坡璃容器,高18cm,底面周长为60cm,在外侧距下底1cm 点S 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm 的点F 处有一苍蝇，则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度是________cm ．3．如图3，一圆柱高5cm,底面半径5cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程(π取3）是_______cm.探究点2：长方体(正方体)两点间的最短路线问题例题:一只蚂蚁从长、宽都是3cm ，高是8cm 的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是多少？AB图1图2AB图3练习：1。

第1章 勾股定理一．知识归纳 1．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五〞形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 2.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．cbaHG F EDCBA方法二：bacbac cabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a bccbaE D CBA3.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形4.勾股定理的应用①直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，那么22c a b =+22b c a -，22a c b - ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 5.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形〞来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比拟，假设它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；假设222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；假设222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如假设三角形三边长a ，b ，c 满足222a cb +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 6.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+〔2,n ≥n 为正整数〕； 2221,22,221n n n n n ++++〔n 为正整数〕 2222,2,m n mn m n -+〔,m n >m ，n 为正整数〕 7．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线〔通常作垂线〕，构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． 8．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比拟，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比拟而得到错误的结论． 9.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：ABC30°D CB A ADB CCB DA题型一：直接考查勾股定理 例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒． ⑴6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵17AB =，15AC =，求BC 的长 分析：直接应用勾股定理222a b c += 解：⑴2210AB AC BC =+⑵228BC AB AC =- 题型二：应用勾股定理建立方程 例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝ ⑵直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，那么这个三角形的面积为 ⑶直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，那么这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解 解：⑴224AC AB BC -， 2.4AC BCCD AB⋅== DBAC⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，54S =⑶设两直角边分别为a ，b ，那么17a b +=，22289a b +=，可得60ab =1302S ab ∴==2cm例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21DCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来 解：作DE AB ⊥于E ，12∠=∠，90C ∠=︒∴ 1.5DE CD == 在BDE ∆中2290,2BED BE BD DE ∠=︒-=Rt ACD Rt AED ∆≅∆ AC AE ∴=在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+，222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影局部面积BC答案：6题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 mABCD E分析：根据题意建立数学模型，如图8AB =m ，2CD =m ，8BC =m ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，那么6AE =m ，8DE =m在Rt ADE ∆中，由勾股定理得2210AD AE DE + 答案：10m题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ∆是否为Rt ∆ ① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23c = 解：①22221.52 6.25a b +=+=，222.5 6.25c ==∴ABC ∆是直角三角形且90C ∠=︒②22139b c +=，22516a =，222bc a +≠ABC ∴∆不是直角三角形 例7.三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？ 解：此三角形是直角三角形理由：222()264a b a b ab +=+-=，且264c = 222a b c ∴+= 所以此三角形是直角三角形题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =证明：DCBAAD 为中线，5BD DC ∴==cm在ABD ∆中，22169AD BD +=，2169AB =222AD BD AB ∴+=，90ADB ∴∠=︒，222169AC AD DC ∴=+=，13AC =cm ，AB AC ∴=一、 选择题1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，三边长分别为a 、b 、c ，那么以下结论中恒成立的是 ( )A 、2ab<c 2B 、2ab ≥c 2C 、2ab>c 2D 、2ab ≤c22、x 、y 为正数，且│x 2-4│+〔y 2-3〕2=0，如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为〔 〕A 、5B 、25C 、7D 、153、直角三角形的一直角边长为12，另外两边之长为自然数，那么满足要求的直角三角形共有〔 〕A 、4个B 、5个C 、6个D 、8个4、以下命题①如果a 、b 、c 为一组勾股数，那么4a 、4b 、4c 仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是3、4，那么斜边必是5；③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a 、b 、c ，〔a>b=c 〕，那么a 2∶b 2∶c 2=2∶1∶1。

3 勾股定理的应用1．长方体(或正方体)面上的两点间的最短距离长方体(或正方体)是立体图形，但它的每个面都是平面．假设计算同一个面上的两点之间的距离比较容易，假设计算不同面上的两点之间的距离，就必须把它们转化到同一个平面内，即把长方体(或正方体)设法展开成为一个平面，使计算距离的两个点处在同一个平面中，这样就可以利用勾股定理加以解决了．所以立体图形中求两点之间的最短距离，一定要审清题意，弄清楚到底是同一平面中两点间的距离问题还是异面上两点间的距离问题．谈重点 长方体外表上两点间最短距离因为长方体的展开图不止一种情况，故对长方体相邻的两个面展开时，考虑要全面，不要有所遗漏．不过要留意展开时的多种情况，虽然看似很多，但由于长方体的对面是相同的，所以归纳起来只需讨论三种情况——前面和右面展开，前面和上面展开，左面和上面展开，从而比较取其最小值即可．【例1－1】 如图①是一个棱长为3 cm 的正方体，它的6个外表都分别被分成了3×3的小正方形，其边长为1 cm.现在有一只爬行速度为2 cm/s 的蚂蚁，从下底面的A 点沿着正方体的外表爬行到右侧外表上的B 点，小明把蚂蚁爬行的时间记录了下来，是2.5 s ．经过简短的思考，小明先是脸上露出了惊讶的表情，然后又露出了欣赏的目光．你知道小明为什么会佩服这只蚂蚁的举动吗？解：如图②，在Rt△ABD 中，AD ＝4 cm ，BD ＝3 cm.由勾股定理，AB 2＝BD 2＋AD 2＝32＋42＝25，AB ＝5 cm ，∴蚂蚁的爬行距离为5 cm.又知道蚂蚁的爬行速度为2 cm/s ，∴它从点A 沿着正方体的外表爬行到点B 处，需要时间为52＝2.5 s. 小明通过思考、判断，发现蚂蚁爬行的时间恰恰就是选择了这种最优的方式，所以他感到惊讶和佩服．【例1－2】 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的外表爬到对角顶点C 1处(三条棱长如下列图)，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？解：蚂蚁由A点沿长方体的外表爬行到C1点，有三种方式，分别展成平面图形如下：如图①，在Rt△ABC1中，AC21＝AB2＋BC21＝42＋32＝52＝25.故AC1＝5.如图②，在Rt△ACC1中，AC21＝AC2＋CC21＝62＋12＝37.如图③，在Rt△AB1C1中，AC21＝AB21＋B1C21＝52＋22＝29.∵25＜29＜37，∴沿图①的方式爬行路线最短，最短的路线是5.点技巧巧展长方体求解此类问题时只需对长方体进行局部展开，画出局部的展开图，假设将长方体全部展开，不仅没有必要反而会扰乱视线．2．圆柱体(或圆锥体)面上的两点间的最短距离圆柱体(或圆锥体)是立体图形，从其外表看两点之间的连线绝大局部是曲线，那么怎样确定哪一条是最短的呢？解决问题的方法是将圆柱(或圆锥)的侧面展开，转化为平面图形，应用勾股定理解决，而不能盲目地凭感觉来确定．【例2】如图①所示，一只蚂蚁在底面半径为20 cm，高为30π cm的圆柱下底的点A 处，发现自己正上方圆柱上边缘的B处有一只小昆虫，便决定捕捉这只小昆虫，为了不引起这只小昆虫的注意，它成心不走直线，而绕着圆柱，沿一条螺旋路线，从背后对小昆虫进行突然袭击，结果蚂蚁偷袭成功，得到了一顿美餐．根据上述信息，请问蚂蚁至少爬行多少路程才能捕捉到小昆虫？分析：解此题的关键是把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短和勾股定理作答．解：假设将圆柱体的侧面沿AB剪开铺平如图②，那么对角线AB即为蚂蚁爬行的最短路线．在Rt△ACB中，AC＝40π cm，BC＝30π cm.由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝(40π)2＋(30π)2＝(50π)2，∴AB＝50π cm.∴蚂蚁至少爬行50π cm才能捕捉到小昆虫．谈重点圆柱体两点间的最短距离此题文字表达较多，要求在阅读的根底上提炼有用的信息，具体解题时先将圆柱沿AB 剪开，将侧面展开成一矩形，会发现对角线AB即为蚂蚁爬行的最短路线，再运用勾股定理即可求得．3．生活中两点间的最短距离用勾股定理解决实际问题的关键是从实际问题中构建数学模型——直角三角形，再正确利用两点之间线段最短解答．【例3】如图①是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为5 dm,3 dm和1 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点的最短路程是多少？分析：由于蚂蚁是沿台阶的外表由A爬行到B，故需把三个台阶展开成平面图形(如图②)．解：将台阶展开成平面图形后，可知AC＝5 dm，BC＝3×(3＋1)＝12 dm，∠C＝90°.在Rt△ABC中，∵AB2＝AC2＋BC2，∴AB2＝52＋122＝132，∴AB＝13 dm.故蚂蚁爬到B点的最短路程是13 dm.4．如何正确利用勾股定理及其逆定理解决生活中的问题利用勾股定理及其逆定理解决生活中的实际问题，重要的是将实际问题转化成数学模型(直角三角形模型)，将实际问题中的“数〞转化为定理中的“形〞，再转化为“数〞．解题的关键是深刻理解题意，并画出符合条件的图形．解决几何体外表上两点之间的最短距离问题的关键是要设法把立体图形转化为平面图形，具体步骤是：(1)把立体图形展成平面图形；(2)确定点的位置；(3)确定直角三角形；(4)分析直角三角形的边长，用勾股定理求解．【例4】 如图①，圆柱形玻璃容器的高为18 cm ，底面周长为60 cm ，在外侧距下底1 cm 的点S 处有一只蜘蛛，在与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口1 cm 的点F 处有一只苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛需要爬行的最短距离是__________cm.解析：将圆柱的侧面展开得到它的侧面展开图(如图②)，CD ∥AB ，且AD ＝BC ＝12底面周长，BS ＝DF ＝1 cm.那么蜘蛛所走的最短路线的长度即为线段SF 的长度．过S 点作SM ⊥CD ，垂足为M ，由条件知，SM ＝AD ＝12×60＝30 cm ，MC ＝SB ＝DF ＝1 cm ，所以MF ＝18－1－1＝16 cm ，在Rt△MFS 中，由勾股定理得SF 2＝162＋302＝342，所以SF ＝34 cm.故蜘蛛需要爬行的最短距离是34 cm.答案：345．勾股定理与方程相结合的应用方程思想是一种重要的数学思想．所谓方程思想是指从分析问题的数量关系入手，将问题中的量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立起方程(组)，然后通过解方程(组)使问题得到解决的思维方式．而勾股定理反映的直角三角形三边的关系正是构建方程的根底．故勾股定理的许多问题的解决都要跟方程相结合．方程思想是勾股定理中的重要思想．【例5】 如图，有一张直角三角形状纸片ABC ，两直角边AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？解：设CD＝x cm，由题意知DE＝x cm，BD＝(8－x) cm，AE＝AC＝6 cm，在Rt△ABC中，由勾股定理得AB＝AC2＋BC2＝10 cm.于是BE＝10－6＝4 cm.在Rt△BDE中，由勾股定理得42＋x2＝(8－x)2，解得x＝3.故CD的长为3 cm.。

北师大版八年级数学初二上册《勾股定理的应用》教案设计1.3勾股定理的应用一．教学目标：1．知识与技能（1）利用勾股定理及逆定理解决生活中的实际问题。

（2）通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念．2．过程与方法在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想．3．情感、态度与价值观在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学研究的实用性．二．教学重点：探索、发现事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用它们解决实际问题．三．教学难点:利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理解决实际问题。

XXX．学情分析：本节将利用勾股定理及其逆定理解决一些具体的实际问题，其中需要学生了解空间图形、对一些空间图形进行展开、折叠等活动．学生在研究七年级上第一章时对生活中的立体图形已经有了一定的认识，并从事过相应的实践活动，因而学生已经具备解决本课问题所需的知识基础和活动经验基础．五．教学方法：引导——探究——归纳XXX．教具准备：多媒体，矩形纸片做成的圆柱等模型XXX．教学过程：（一）情境引入德国天文学家XXX曾经说过“几何学中有两大宝藏”，一个是黄金分割，另一个就是勾股定理，并被无数人论证，由此可见勾股定理的重要性。

然后引导大家复勾股定理及逆定理的内容。

（学生回答，教师板书）我们还知道许多科学家为了探寻其他星球上的生命，向宇宙发射很多信号，我国数学家XXX曾提议向宇宙发射勾股定理的图形，并说如果宇宙中有文明人，他们一定会认识这种图形“语言”的，由此可见勾股定理非常重要。

那么，它在我们的实际生活中到底有什么广泛的应用呢？下面，就让我们漫步走进勾股定理的世界，一起来用这种大自然共同的“语言”来解决实际问题吧！（由此引入课题:勾股定理的应用。

教师板书）（二）协作探究下面，我们通过几个例题来探究勾股定理的应用。

例1.如图所示，有一个圆柱，它的高是12cm,底面上圆的周长等于18cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B 处的食品，沿圆柱侧面爬行到B点，求其爬行的最短路程是多少？析：学生活动：学生分为2人活动小组，合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后，汇总各小组的方案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，通过具体计算，总结出最短路线。

八年级数学上册1.3勾股定理的应用教学设计（新版北师大版）一. 教材分析勾股定理是数学中的重要定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系。

本节课的教学内容是北师大版八年级数学上册1.3勾股定理的应用，主要包括勾股定理的证明和应用。

教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生理解和掌握勾股定理，并能够运用勾股定理解决实际问题。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了直角三角形的性质、勾股定理的初步知识，对数学几何有一定的基础。

但部分学生可能对勾股定理的理解不够深入，难以将理论知识应用于实际问题中。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行引导和辅导。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生理解和掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、分析、推理等方法，培养学生解决几何问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。

四. 教学重难点1.重点：理解和掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决实际问题。

2.难点：将勾股定理应用于实际问题中，灵活运用定理解决复杂问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过丰富的实例，引导学生观察、分析和推理，让学生在实际问题中体验勾股定理的应用。

2.问题驱动法：教师提出问题，引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣。

3.合作学习法：分组讨论和解答问题，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作勾股定理的应用实例和练习题课件。

2.教学素材：准备一些实际的勾股定理应用问题，用于课堂练习和拓展。

3.教学工具：直尺、三角板等几何画图工具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个生活中的实例，如测量房间的面积，引出勾股定理的应用。

让学生思考如何利用勾股定理解决这个问题。

2.呈现（15分钟）介绍勾股定理的定义和证明方法。

通过多媒体课件展示勾股定理的证明过程，让学生直观地理解定理的意义。