2020年浙江省衢州二中高考数学一模试卷(有答案解析)

2020年浙江省衢州市高考数学模拟试卷(4月份)一、单项选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={1,2，3，4}，B={x∈Z||x|≤1}，则A∩(∁Z B)=()A. ⌀B. {4}C. {3,4}D. {2,3，4}2.椭圆x216+y28=1的离心率为()A. 13B. 12C. √33D. √223.下面三视图所表示的几何体是()．A. 三棱锥B. 四棱锥C. 五棱锥D. 六棱锥4.《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”(整数部分)及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能约简之分数进行约简，又用最下面的分母去遍乘诸(未通者)分子和已通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数．例如：n=2及n=3时，序列如图所示，记S n为每个序列中最后一列数之和，则S7为()A. 1089B. 680C. 840D. 25205.函数f(x)=−e−ln|x|+x的大致图象为()A.B.C.D.6. 已知实数x ，y 满足约束条件{x −3y −1≤0x −y −1≥0x +3y −3≤0，则z =x −2y 的最大值为( )A. 1B. 12C. 43D. 537. “a +b =0”的充分不必要条件是( )A. a =−bB. a 2=b 2C. 1a +1b =0D. e a ⋅e b =18. 设函数f(x)=|x|，g(x)=lg(ax 2−4x +1)，若对任意x 1∈R ，都存在在x 2∈R ，使f(x 1)=g(x 2)，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,4]B. (0,4]C. (−4,0]D. [0,+∞)9. 已知正方形ABCD 的边长为2，P 是正方形ABCD 的外接圆上的动点，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( ) A. 2 B. 1+√2 C. 4 D. 2+2√210. 函数f(x)满足f(2x −3)=4x −7，若f(a)=−3，则实数a 的值为( )A. 0B. 1C. −4D. −1二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 已知复数z =x +yi ，且|z −2|=√3，则yx 的最大值为________． 12. 已知数列{a n }为等比数列，且a 7=1，a 9=4，则a 8=______．13. 若(5x −3√x)n 的展开式中各项系数之和为32，则展开式中x 的系数为_____． 14. 直线l ：x −y =0被圆x 2+y 2=4截得的弦长为______ ．15.已知随机变量X的分布列如表：若EX=2，则a=_____．16.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线x212−y2b2=1(b>0)的焦点到渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为______．17.集合A={x|−2x2+x+1>0}，B={x|x−a<0}，若A⊆B，则实数a的取值范围是__________．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且√3c=asinB+√3bcosA．(1)求B；(2)若D为BC的中点，且AD=√7，BC=4，求△ABC的周长．19.如图，四棱锥P−ABCD底面为正方形，已知PD⊥平面ABCD，PD=AD，点M为线段PA上任意一点(不含端点)，点N在线段BD上，且PM=DN．(Ⅰ)求证：直线MN//平面PCD；(Ⅱ)若M为线段PA中点，求直线PB与平面AMN所成的角的正弦值．20.设等差数列{a n}前n项和为S n，满足S4=4S2，a9=17．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{b n}满足b1a1+b2a2+⋯+b na n=1−12n，求数列{b n}的通项公式．21.如图，设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|−1．(1)求p的值；(2)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围．22.已知函数．(1)讨论f(x)的单调性；<F(x0)<1．(2)当a>0时，证明：函数F(x)=xf(x)存在唯一的极值点x0，且1−1e【答案与解析】1.答案：D解析：根据交集与补集的定义，进行化简运算即可．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．解：∵集合A={1,2，3，4}，B={x∈Z||x|≤1}={−1,0，1}，∴A∩(∁Z B)={2,3，4}．故选D．2.答案：D解析：本题考查椭圆的离心率，属于基础题．解：由题意，a2=16，b2=8∴c2=a2−b2=16−8=8，∴e=ca =2√24=√22．故答案为：D．3.答案：D解析：本题的考点是由三视图还原几何体，需要仔细分析、认真观察三视图进行充分想象，然后综合三视图，从不同角度去还原，考查了观察能力和空间想象能力．由俯视图结合其它两个视图可以看出，此几何体是一个六棱锥．解：由正视图和侧视图知是一个锥体，再由俯视图知，这个几何体是六棱锥，故选D．4.答案：A解析：本题考查合情推理，解决问题的关键是由已知写出当n=7时的序列，然后各个数相加可得答案．解：由题意可得当n=7时，序列如图所示：∴S7=420+210+140+105+84+70+60=1089．故选A．5.答案：B解析：本题考查函数图象的应用，属于基础题．根据函数不是奇函数排除A、D，根据x>0时函数为增函数，排除C，即可得到答案．解：f(x)=−e−ln|x|+x=−1|x|+x，−x≠−f(x)，故f(x)不是奇函数，图象不关于原点对称，排除A和D，f(−x)=−1|x|+x在x>0为增函数，排除C，当x>0时，f(x)=−1x故选B．6.答案：C解析：本题考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划，考查数形结合思想，考查运算能力，属于基础题．作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z =x −2y 对应的直线进行平移并观察z 的变化，即可得到z =x −2y 的最大值．解：作出题中不等式组表示的平面区域，如图阴影所示，z =x −2y 即y =12x −z2，当直线y =12x −z2过A 时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 最大， 此时A 点坐标满足{x −3y −1=0x +3y −3=0 ，解得A(2,13)， 此时z 的最大值为：43． 故选：C ．7.答案：C解析：解：a +b =0⇔a =−b ．∴a =−b 是a +b =0的充要条件，故A 错误；由a =−b ，可得a 2=b 2，反之，由a 2=b 2，不一定有a =−b ， ∴a 2=b 2是a =−b ，即a +b =0的必要不充分条件，故B 错误；1a+1b =0⇔a+b ab=0⇒a +b =0，反之，由a +b =0，不一定有1a +1b =0，如a =b =0，∴1a +1b =0是a +b =0的充分不必要条件；故C 正确；e a ⋅e b =1⇔e a+b =1⇔a +b =0，∴e a ⋅e b =1是a +b =0的充要条件，故D 错误． 故选：C ．由必要条件、充分条件的判定方法逐一核对四个选项得答案．本题考查必要条件、充分条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.答案：D解析：解：∀x 1∈R ，f(x)=|x|∈[0,+∞)， ∵∃x 2∈R ，使f(x 1)=g(x 2)，∴g(x)=lg(ax 2−4x +1)的值域包含[0,+∞)， 当a =0时，g(x)=lg(−4x +1)，显然成立；当a ≠0时，要使g(x)=lg(ax 2−4x +1)的值域包含[0,+∞)， 则ax 2−4x +1的最小值小于等于1， ∴{a >04a−(−4)24a≤1，即a >0．综上，a ≥0．∴实数a 的取值范围是[0,+∞)． 故选：D ．由题意求出f(x)的值域，再把对任意x 1∈R ，都存在x 2∈R ，使f(x 1)=g(x 2)转化为函数g(x)的值域包含f(x)的值域，进一步转化为关于a 的不等式组求解．本题考查函数的值域，体现了数学转化思想方法，正确理解题意是解答该题的关键，是中档题．9.答案：D解析：解：如图所示， A(−1,−1)，B(1,−1)． 设P(√2cosθ,√2sinθ)．∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0)⋅(√2cosθ+1,√2sinθ+1) =2√2cosθ+2≤2√2+2． ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为2√2+2． 故选：D ．如图所示，A(−1,−1)，B(1,−1).设P(√2cosθ,√2sinθ).可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2√2cosθ+2，利用余弦函数的单调性即可得出．本题考查了向量的坐标运算、数量积运算、余弦函数的单调性，属于基础题．10.答案：D解析：本题考查函数的解析式，属于基础题．根据题意，求出f(x)=2x−1，即可得解．解：由题意，f(2x−3)=4x−7=2(2x−3)−1，∴f(x)=2x−1，∴f(a)=2a−1=−3，解得：a=−1故选D．11.答案：√3解析：∵|z−2|=√(x−2)2+y2=√3，∴(x−2)2+y2=3．由图可知(yx )max=√31=√3．12.答案：±2解析：解：在等比数列{a n}中，由a7=1，a9=4，得a82=a7⋅a9=1×4=4．∴a8=±2．故答案为：±2．由已知结合等比数列的性质得答案．本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础题．解析：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．根据系数之和为32，求得n=5，在二项展开式的通项中，令x的幂指数等于1，求出r的值，即可求得展开式中含x的项的系数．解：∵(5x−3√x)n展开式中各项系数之和为32，令x=1，得2n=32，n=5，故展开式的通项为T r+1=C5r(5x )5−r(−3√x)r=55−r(−3)r C5r x−5+32r，令−5+32r=1，解得r=4，则该展开式中含x的项的系数为5×(−3)4×5=2025．故答案为2025．14.答案：4解析：解：圆x2+y2=4的圆心为(0,0)，半径为2，直线x−y=0过圆心，∴直线l：x−y=0被圆x2+y2=4截得的弦长为4，故答案为：4．圆x2+y2=4的圆心为(0,0)，半径为2，直线x−y=0过圆心，即可求出结果．本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，弦长的求法，考查计算能力．15.答案：0解析：本题主要考查了离散型随机变量的分布列、数学期望等知识，属于基础题，先根据概率和=1求出b，然后根据EX=2，可求出a．解：根据题意可知13+b+16+14=1，解得b=14，所以EX=13a+14×2+16×3+14×4=2，解得a=0，16.答案：2√33解析：本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线的焦点到渐近线的距离就是b的值，是简单题．根据题意，由双曲线的几何性质分析可得b的值，进而求出半焦距c，由双曲线离心率的公式计算即可得答案．解：根据题意，双曲线x212−y2b2=1(b>0)的焦点到渐近线的距离为2，则b=2，又由双曲线的离心率e=ca =√a2+b2a=√12+4√12=2√33，故答案为2√33．17.答案：a≥1解析：∵A={x|−2x2+x+1>0}，，∵B={x|x−a<0}，∴B={x|x<a}，∵A⊆B∴a≥1．18.答案：解：(1)因为√3c=asinB+√3bcosA，所以√3sinC=sinAsinB+√3sinBcosA.因为A+B+C=π，所以sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B，所以√3sinAcosB+√3cosAsinB=sinAsinB+√3sinBcosA，则√3sinAcosB=sinAsinB，从而tanB=√3，因为0<B<π，所以B=π3；(2)因为D为BC的中点，且BC=4，所以BD=2，由余弦定理可得AD2=AB2+BD2−2AB·BDcosB，即c2+4−2c=7，解得c=3，由余弦定理可得b2=c2+a2−ac，即b2=9+16−12=13，则b=√13，故△ABC的周长为a+b+c=7+√13．解析：本题主要考查了余弦定理，同角三角函数的基本关系，两角和与差的三角函数公式， 属于中档题．(1)由√3c =asinB +√3bcosA ，可得√3sinC =sinAsinB +√3sinBcosA ，进而得√3sinAcosB =sinAsinB ，从而tanB =√3， 得出B 的大小；(2)结合余弦定理，可得b 和c 的值，进而得出△ABC 的周长．19.答案：(Ⅰ)证明：延长AN ，交CD 于点G ，由相似三角形知AN NG =BNND ,由题意AP =BD,又PM =DN,则AM =BN,故BNDN =AMPM ,故ANNG =AMPM , 可得：MN//PG ，MN ⊄平面PCD ，PG ⊂平面PCD ， 则直线MN//平面PCD ； (Ⅱ)解：由于PD ⊥平面ABCD ，DA ，DC ，DP 两两垂直，以DA ，DC ，DP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设A(1,0，0)，则B(1,1，0)，C(0,1，0)，P(0,0，1)， M(12,0,12)，N(12,12,0)，则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，−1)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,0,12),AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,12,0), 设平面AMN 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z ),则{m ⃗⃗⃗ ·AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ·AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{−12x +12z =0−12x +12y =0,取x =1,则x =y =z =1,平面AMN 的法向量为m⃗⃗⃗ =(1,1,1)， 设直线PB 与平面AMN 所成的角为θ，则．直线PB 与平面AMN 所成的角的正弦值为13.解析：本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查计算能力以及空间想象能力．(Ⅰ)延长AN ，交CD 于点G ，由题意知ANNG =BNND =AMMP ，推出MN//PG ，然后证明直线MN//平面PCD ； (Ⅱ)以DA ，DC ，DP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设A(1,0，0)，求出相关点的坐标， PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，−1)，平面AMN 的法向量，利用向量的数量积求解PB 与平面AMN 夹角的正弦值．20.答案：解：(1)设数列的公差为d ，因为等差数列{a n }前n 项和为S n ，满足S 4=4S 2，a 9=17． 所以{4a 1+4×32×d =4×(2a 1+d )a 1+8d =17，解得{d =2a 1=1, 所以数列{a n }的通项公式为a n =1+(n −1)×2=2n −1;(2)数列{b n }满足b 1a 1+b 2a 2+⋯+b na n=1−12n ，可得b 1a 1=1−12，解得b 1=12，n ≥2时，b 1a 1+b 2a 2+⋯+b n−1a n−1=1−12n−1，又b 1a 1+b 2a 2+⋯+b na n=1−12n ， 两式相减可得b na n=1−12n −1+12n−1=12n ，即有b n =2n−12．解析：本体考查数列的递推关系，数列的通项公式，等差数列的通项公式和求和公式，属于中档题． (1)设数列的公差为d ，根据已知条件得到{4a 1+4×32×d =4×(2a 1+d )a 1+8d =17，求出首项和公差，即可得到数列{a n }的通项公式；(2)由题可得b 1a 1=1−12，解得b 1=12，根据n ≥2时，b 1a 1+b 2a 2+⋯+b n−1a n−1=1−12n−1，结合已知条件，即可得到b na n=12n ，进而得到数列{b n }的通项公式．21.答案：解：(1)由题意可得，抛物线上点A 到焦点F 的距离等于A 到直线x =−1的距离，由抛物线定义得，p2=1，即p =2；(2)由(1)得，抛物线方程为y 2=4x ，F(1,0)，可设A(t 2,2t)，t ≠0，t ≠±1， ∵AF 不垂直y 轴，∴设直线AF ：x =sy +1(s ≠0)， 联立{y 2=4x x =sy +1，得y 2−4sy −4=0．y 1y 2=−4， ∴B (1t 2,−2t )，又直线AB 的斜率为2tt 2−1，故直线FN 的斜率为−t 2−12t ，从而得FN ：y =−t 2−12t (x −1)，直线BN ：y =−2t ，则N (t 2+3t 2−1,−2t )， 设M(m,0)，由A 、M 、N 三点共线，得2tt 2−m =2t+2t t 2−t 2+3t 2−1，于是m =2t 2t −1=21−1t 2，得m <0或m >2．经检验，m <0或m >2满足题意．∴点M 的横坐标的取值范围为(−∞,0)∪(2,+∞).解析：本题考查抛物线的简单性质，考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查数学转化思想方法，属难题．(1)利用抛物线的性质和已知条件求出抛物线方程，进一步求得p 值；(2)设出直线AF 的方程，与抛物线联立，求出B 的坐标，求出直线AB ，FN 的斜率，从而求出直线BN 的方程，根据A 、M 、N 三点共线，可求出M 的横坐标的表达式，从而求出m 的取值范围．22.答案：(1)解：函数的定义域为(0,+∞)，函数的导数f′(x )=1x +a −1x2=ax 2+x−1x 2，设g(x)=ax 2+x −1，Δ=4a +1，①当a ≤−14时，g(x)≤0恒成立，即f′(x)≤0恒成立，此时函数f(x)在(0,+∞)单调递减；②当−14<a <0时，由f′(x)=0，得x =−1±√4a+12a， 则当0<x <−1+√4a+12a时，f′(x)<0；当−1+√4a+12a<x <−1−√4a+12a时，f′(x)>0；当x >−1−√4a+12a时，f′(x)<0，所以当−14<a <0时，函数f(x)在(0,−1+√4a+12a)和(−1−√4a+12a,+∞)单调递减，在(−1+√4a+12a,−1−√4a+12a)单调递增；③当a =0时，由f′(x )>0，得x −1>0，即x >1， 所以函数f(x)在(1,+∞)单调递增，在(0,1)单调递减； ④当a >0时，由f′(x )>0，得x >−1+√4a+12a，所以函数f(x)在(−1+√4a+12a,+∞)单调递增，在(0,−1+√4a+12a)单调递减．(2)证明：由题意，则，设则g′(x )=1x +2a =2ax+1x，因为a >0,x >0，所以g′(x )>0， 所以g (x )在(0,+∞)上为增函数，又g (1e )=2a e >0，当x 趋近于0时，g (x )<0，故存在t ∈(0,1e )，使g (t )=0， 当0<x <t 时，F′(x )<0，x >t 时F′(x )>0，所以函数F(x)在(0,t )上单调递减，在(t,+∞)上单调递增， 所以函数F(x)的极小值点为x 0=t,x 0∈(0,1e ), 且， 所以，，所以， 令，x ∈(0,1e )， 所以，所以ℎ(x)在x ∈(0,1e )单调递减，ℎ(x )>1−1e ,所以F(x0)>1−1，e又所以，<F(x0)<1．综上所述，函数F(x)存在唯一的极值点x0，且1−1e解析：本题主要考查函数的单调性的判断，以及函数与不等式的综合，求函数的导数，利用导数的应用是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．(1)求出函数的定义域和导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可；(2)构造新函数，研究函数的单调性和极值即可得到结论．。

浙江省高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R，集合A={x|lgx≥0}，，则A∩B为（）A．{x|x≥1} B．C．{x|0＜x≤1} D．2．已知命题p：若a＜1，则a2＜1，下列说法正确的是（）A．命题p是真命题B．命题p的逆命题是真命题C．命题p的否命题是：若a＜1，则a2≥1D．命题p的逆否命题是：若a2≥1，则a＜13．函数的一条对称轴是（）A．B．C．D．4．设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且m⊂α，n⊂β（）A．若m，n是异面直线，则α与β相交B．若m∥β，n∥α则α∥βC．若m⊥n，则α⊥βD．若m⊥β，则α⊥β5．已知等差数列{a n}公差为d，前n项和{s n}，则下列描述不一定正确的是（）A．若a1＞0，d＞0，则n唯一确定时也唯一确定B．若a1＞0，d＜0，则n唯一确定时也唯一确定C．若a1＞0，d＞0，则唯一确定时n也唯一确定D．若a1＞0，d＜0，则唯一确定时n也唯一确定6．已知函数f（x）=（x﹣）•sinx，x∈[﹣π，π]且x≠0，下列描述正确的是（）A．函数f（x）为奇函数B．函数f（x）既无最大值也无最小值C．函数f（x）有4个零点D．函数f（x）在（0，π）单调递增7．如图，B、D是以AC为直径的圆上的两点，其中AB=，AD=，则•=（）A．1 B．2 C．t D．2t8．已知双曲线=1（a＞0，b＞0），若焦点F（c，0）关于渐近线y=x的对称点在另一条渐近线y=﹣x上，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．3二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）9．已知数列{a n}满足a2=2，且数列{3a n﹣2n}为公比为2的等比数列，则a1=______，数列{a n}通项公式a n=______．10．函数则f（﹣1）=______，若方程f（x）=m有两个不同的实数根，则m的取值范围为______．11．已知实数x，y满足x＞0，y＞0，x+2y=3，则的最小值为______，x2+4y2+xy的最小值为______．12．已知实数x，y满足．（1）当a=2时，则2x+y的最小值为______；（2）若满足上述条件的实数x，y围成的平面区域是三角形，则实数a的取值范围是______．13．是按先后顺序排列的一列向量，若，且，则其中模最小的一个向量的序号为______．14．如图，平面ABC⊥平面α，D为线段AB的中点，，∠CDB=45°，点P为面α内的动点，且P到直线CD的距离为，则∠APB的最大值为______．15．边长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1若将其对角线AC1与平面α垂直，则正方体ABCD﹣A1B1C1D1在平面α上的投影面积为______．三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=2C，且（Ⅰ）求cosC的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为，求sinB及边b．17．已知数列{a n}的前n项和s n，满足s n=n（n﹣6），数列{b n}满足（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）记数列{c n}满足，求数列{c n}的前n项和T n．18．已知几何体P﹣ABCD如图，面ABCD为矩形，面ABCD⊥面PAB，且面PAB为正三角形，若AB=2，AD=1，E、F分别为AC、BP中点，（Ⅰ）求证：EF∥面PCD；（Ⅱ）求直线BP与面PAC所成角的正弦值．19．已知抛物线C：x2=2py（p＞0），圆E：x2+（y+1）2=1，若直线L与抛物线C和圆E分别相切于点A，B（A，B不重合）（Ⅰ）当p=1时，求直线L的方程；（Ⅱ）点F是抛物线C的焦点，若对于任意的p＞0，记△ABF面积为S，求的最小值．20．已知函数f（x）=x2+ax+1，其中a∈R，且a≠0（Ⅰ）设h（x）=（2x﹣3）f（x），若函数y=h（x）图象与x轴恰有两个不同的交点，试求a的取值集合；（Ⅱ）求函数y=|f（x）|在[0，1]上最大值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R，集合A={x|lgx≥0}，，则A∩B为（）A．{x|x≥1} B．C．{x|0＜x≤1} D．【考点】交集及其运算．【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式lgx≥0=lg1，得到x≥1，即A={x|x≥1}，由B中不等式变形得：2x≥=2，即x≥，∴B={x|x≥}，则A∩B={x|x≥1}，故选：A．2．已知命题p：若a＜1，则a2＜1，下列说法正确的是（）A．命题p是真命题B．命题p的逆命题是真命题C．命题p的否命题是：若a＜1，则a2≥1D．命题p的逆否命题是：若a2≥1，则a＜1【考点】四种命题的真假关系．【分析】举例说明命题p为假命题，求出命题p的逆命题，否命题，逆否命题逐一判断即可得答案．【解答】解：已知命题p：若a＜1，则a2＜1，如a=﹣2，则（﹣2）2＞1，命题p为假命题，∴A 不正确；命题p的逆命题是：若a2＜1，则a＜1，为真命题，∴B正确；命题p的否命题是：若a≥1，则a2≥1，∴C不正确；命题p的逆否命题是：若a2≥1，则a＞1，∴D不正确．故选：B．3．函数的一条对称轴是（）A．B．C．D．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的对称性．【分析】由三角函数公式化简可得f（x）=2sin（x+），由三角函数的对称性可得．【解答】解：由三角函数公式化简可得f（x）=sinx+sin（+x）=sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+），由x+=kπ+可x=kπ+，k∈Z．结合选项可得当k=0时，函数的一条对称轴为x=．故选：B．4．设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且m⊂α，n⊂β（）A．若m，n是异面直线，则α与β相交B．若m∥β，n∥α则α∥βC．若m⊥n，则α⊥βD．若m⊥β，则α⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】在A中，α与β相交或平行；在B中，α与β相交或平行；在C中，α与β相交或平行；在D中，由面面垂直的判定定理得α⊥β．【解答】解：由α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且m⊂α，n⊂β，知：在A中，若m，n是异面直线，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，若m∥β，n∥α，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若m⊥n，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，若m⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．故选：D．5．已知等差数列{a n}公差为d，前n项和{s n}，则下列描述不一定正确的是（）A．若a1＞0，d＞0，则n唯一确定时也唯一确定B．若a1＞0，d＜0，则n唯一确定时也唯一确定C．若a1＞0，d＞0，则唯一确定时n也唯一确定D．若a1＞0，d＜0，则唯一确定时n也唯一确定【考点】等差数列的性质．【分析】S n=na1+=+，利用二次函数的性质即可得出．【解答】解：S n=na1+=+，可知：a1＞0，d＜0，则唯一确定时n不一定唯一确定，可能有两个值，故选：D．6．已知函数f（x）=（x﹣）•sinx，x∈[﹣π，π]且x≠0，下列描述正确的是（）A．函数f（x）为奇函数B．函数f（x）既无最大值也无最小值C．函数f（x）有4个零点D．函数f（x）在（0，π）单调递增【考点】函数的图象．【分析】判断函数的奇偶性，求出函数的零点，利用导数判断单调性．【解答】解：∵f（﹣x）=（﹣x+）sin（﹣x）=（x﹣）•sinx=f（x）．∴f（x）是偶函数．故A错误．令f（x）=0得x﹣=0或sinx=0，∵x∈[﹣π，π]，∴x=±1或x=±π．∴f（x）有4个零点．故C正确．故选：C．7．如图，B、D是以AC为直径的圆上的两点，其中AB=，AD=，则•=（）A．1 B．2 C．t D．2t【考点】平面向量数量积的运算．【分析】连结BC，CD，则=AB2，=AD2．于是•==．【解答】解：连结BC，CD．则AD⊥CD，AB⊥BC．∴=AB×AC×cos∠BAC=AB2=t+1．=AD×AC×cos∠CAD=AD2=t+2．∵，∴•===1．故选：A．8．已知双曲线=1（a＞0，b＞0），若焦点F（c，0）关于渐近线y=x的对称点在另一条渐近线y=﹣x上，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．3【考点】双曲线的简单性质．【分析】首先求出F1到渐近线的距离，利用焦点F（c，0）关于渐近线y=x的对称点在另一条渐近线y=﹣x上，可得直角三角形，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：由题意，F1（﹣c，0），F2（c，0），设一条渐近线方程为y=x，则F1到渐近线的距离为=b．设F1关于渐近线的对称点为M，F1M与渐近线交于A，∴|MF1|=2b，A为F1M的中点，又焦点F（c，0）关于渐近线y=x的对称点在另一条渐近线y=﹣x上，∴OA∥F2M，∴∠F1MF2为直角，∴△MF1F2为直角三角形，∴由勾股定理得4c2=c2+4b2∴3c2=4（c2﹣a2），∴c2=4a2，∴c=2a，∴e=2．故选：B．二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）9．已知数列{a n}满足a2=2，且数列{3a n﹣2n}为公比为2的等比数列，则a1= 1 ，数列{a n}通项公式a n= ．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由于3a2﹣4=2．利用等比数列的通项公式可得3a n﹣2n，即可得出．【解答】解：3a2﹣4=2．∴3a n﹣2n=2×2n﹣2=2n﹣1．∴3a1﹣2=1，解得a1=1．∴a n=．故答案分别为：1；．10．函数则f（﹣1）= 2﹣，若方程f（x）=m有两个不同的实数根，则m的取值范围为（0，2）．【考点】函数的零点与方程根的关系；函数的值．【分析】根据分段函数的表达式代入求解即可，作出函数f（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由分段函数的表达式得f（﹣1）=|﹣2|=2﹣，故答案为：2﹣，作出函数f（x）的图象如图：当x＜0时，f（x）=2﹣e x∈（1，2），∴当x≤1时，f（x）∈[0，2），当x≥1时，f（x）≥0，若方程f（x）=m有两个不同的实数根，则0＜m＜2，即实数m的取值范围是（0，2），故答案为：2﹣，（0，2）．11．已知实数x，y满足x＞0，y＞0，x+2y=3，则的最小值为，x2+4y2+xy的最小值为．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】根据基本不等式进行转化求解得的最小值，利用换元法转化为一元二次函数，利用一元二次函数的性质即可求x2+4y2+xy的最小值．【解答】解：由x+2y=3得+=1，则=+=（+）×1=（+）（+）=2+++≥+2=+=，当且仅当=，即3x2=2y2取等号，即的最小值为．由x+2y=3得x=3﹣2y，由x=3﹣2y＞0得0＜y＜，则x2+4y2+xy=（3﹣2y）2+4y2+（3﹣2y）y=6y2﹣9y+9=6（y﹣）2+，即当y=时，x2+4y2+xy的最小值为，故答案为：，．12．已知实数x，y满足．（1）当a=2时，则2x+y的最小值为 5 ；（2）若满足上述条件的实数x，y围成的平面区域是三角形，则实数a的取值范围是1＜a或a ＜．【考点】简单线性规划．【分析】（1）作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线过B （5，3）时，z最大，当直线过C时，z最小．（2）作出不等式组．表示的平面区域，从而解出．【解答】解：（1）画出不等式表示的平面区域：将目标函数变形为z=2x+y，作出目标函数对应的直线，，解得A（1，3），直线过A（1，3）时，直线的纵截距最大，z最小，最小值为5；则目标函数z=2x+y的最小值为：5．故答案为：5．（2）．如下图：y=a（x﹣3）恒过（3，0），则若不等式组表示的平面区域是一个三角形，K AB==﹣，则实数a的取值范围，1＜a或a＜，故答案为：1＜a或a＜．13．是按先后顺序排列的一列向量，若，且，则其中模最小的一个向量的序号为1002 ．【考点】数列与向量的综合；向量的模．【分析】根据题意，求出x n与y n的通项公式，计算的模长最小值即可．【解答】解：是按先后顺序排列的一列向量，且，，∴+（1，1），即（x n，y n）=（x n﹣1，y n﹣1）+（1，1）=（x n﹣1+1，y n﹣1+1）；∴，∴，∴||===；∴当n==1002，即n=1002时，其模最小．故答案为：1002．14．如图，平面ABC⊥平面α，D为线段AB的中点，，∠CDB=45°，点P为面α内的动点，且P到直线CD的距离为，则∠APB的最大值为90°．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】空间中到直线CD的距离为1的点构成一个圆柱面，它和面α相交得一椭圆，所以P在α内的轨迹为一个椭圆，D为椭圆的中心，且c=，b=，a=2．利用椭圆的性质：椭圆上点关于两焦点的张角在短轴的端点取得最大，即可得出．【解答】解：空间中到直线CD的距离为1的点构成一个圆柱面，它和面α相交得一椭圆，所以P在α内的轨迹为一个椭圆，D为椭圆的中心，c=，b=，a=2，于是A，B为椭圆的焦点，椭圆上点关于两焦点的张角在短轴的端点取得最大，∴∠APB=2∠APD=90°．故答案为：90°．15．边长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1若将其对角线AC1与平面α垂直，则正方体ABCD﹣A1B1C1D1在平面α上的投影面积为．【考点】平行投影及平行投影作图法．【分析】根据题意，画出图形，找出与AC1垂直的平面去截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面是什么，再求正方体在该平面上的投影面积．【解答】解：如图所示，连接BB1，DD1的中点MN，交AC1于点O，在对角面ACC1A1中，过点O作OP⊥AC，交AC1于点P，则平面MOP是对角线AC1的垂面；该平面截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面是六边形MGHNFE；则正方体在该平面上的投影面积是MN•2OR=××2×=．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=2C，且（Ⅰ）求cosC的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为，求sinB及边b．【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数．【分析】（I）使用二倍角公式得出关于cosC的方程解出；（II）使用和角公式计算sinB，利用正弦定理和面积公式计算b．【解答】解：（I）∵cosA=cos2C=2cos2C﹣1=，∴cosC=±．∵A=2C，∴C是锐角，∴cosC=．（II）∵cosA=，cosC=，∴sinA=，sinC=．∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=．由正弦定理得．∴a===5，∵S△ABC∴b=5．17．已知数列{a n}的前n项和s n，满足s n=n（n﹣6），数列{b n}满足（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）记数列{c n}满足，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．【分析】（Ⅰ）当n≥2时，利用a n=S n﹣S n﹣1计算，进而可知a n=2n﹣7；通过b n+1=3b n可知数列{b n}为等比数列，利用b n=b2•3n﹣2计算即得结论；（Ⅱ）通过（I）可知c n=，进而分n为奇数、偶数两种情况讨论即可．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=﹣5，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣7，又∵当n=1时满足上式，∴a n=2n﹣7；∵b n+1=3b n，b2=3，∴数列{b n}为等比数列，故其通项公式b n=b2•3n﹣2=3n﹣1；（Ⅱ）由（I）可知c n=，当n为偶数是，T n=+=+；当n为奇数时，T n=+=+；综上所述，T n=．18．已知几何体P﹣ABCD如图，面ABCD为矩形，面ABCD⊥面PAB，且面PAB为正三角形，若AB=2，AD=1，E、F分别为AC、BP中点，（Ⅰ）求证：EF∥面PCD；（Ⅱ）求直线BP与面PAC所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（I）连结BD，则E为BD的中点，利用中位线定理得出EF∥PD，故而EF∥面PCD；（II）取AP的中点H，连结HB，HC，过B作BO⊥HC于O，连结OP．则可证AP⊥平面BCH，于是AP⊥OB，结合OB⊥CH得出OB⊥平面PAC，于是∠BPO为PB与平面PAC所成的角．利用勾股定理计算BH，CH，OB，得出sin∠BPO=．【解答】证明：（I）连结BD，∵四边形ABCD是矩形，E是AC的中点，∴E是BD的中点．又F是BP的中点，∴EF∥PD，又EF⊄平面PCD，PD⊂平面PBD，∴EF∥平面PCD．（II）取AP的中点H，连结HB，HC，过B作BO⊥HC于O，连结OP．∵面ABCD⊥面PAB，面ABCD∩面PAB=AB，BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，∵AP⊂平面PAB，∴BC⊥AP，∵△PAB是等边三角形，∴AP⊥HB，又BC⊂平面BCH，BH⊂平面BCH，BC∩BH=B，∴AP⊥平面BCH，又OB⊂平面BCH，∴AP⊥OB，又OB⊥CH，CH⊂平面PAC，AP⊂平面PAC，CH∩AP=H，∴OB⊥平面PAC．∴∠BPO为PB与平面PAC所成的角．∵AB=2，BC=1，∴BH=，CH==2，∴BO==，∴sin∠BPO==．即直线BP与面PAC所成角的正弦值为．19．已知抛物线C：x2=2py（p＞0），圆E：x2+（y+1）2=1，若直线L与抛物线C和圆E分别相切于点A，B（A，B不重合）（Ⅰ）当p=1时，求直线L的方程；（Ⅱ）点F是抛物线C的焦点，若对于任意的p＞0，记△ABF面积为S，求的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线的一般式方程．【分析】（Ⅰ）设直线L的方程为y=kx+b，由点到直线距离公式和相切性质得k2+1=（1+b）2，联立，得x2﹣2kx﹣2b=0，由根的判别式得k2+2b=0，由此能求出直线L的方程．（Ⅱ）联立方程，得x2﹣2px﹣2pb=0，由此利用根的判别式、弦长公式、点到直线距离公式，结合已知能求出的最小值．【解答】解：（Ⅰ）当P=1时，抛物线x2=2y，由题意直线L的斜率存在，设直线L的方程为y=kx+b，即kx﹣y+b=0，由题意得=1，即k2+1=（1+b）2，①联立，得x2﹣2kx﹣2b=0，由△=0，得k2+2b=0，②由①②得k=±2，b=﹣4，故直线L的方程为y=，（Ⅱ）联立方程，得x2﹣2px﹣2pb=0，（*）由△=0，得pk2+2p=0，③∴b=﹣，代入（*）式，得x=pk，故点A（pk，），由①②得b=﹣，k2=，故A（pk，），∴|AB|===2•，点F到直线L的距离d==•=，∴S=|AB|•d==，∴==≥，当且仅当p=时，有最小值（2）．20．已知函数f（x）=x2+ax+1，其中a∈R，且a≠0（Ⅰ）设h（x）=（2x﹣3）f（x），若函数y=h（x）图象与x轴恰有两个不同的交点，试求a的取值集合；（Ⅱ）求函数y=|f（x）|在[0，1]上最大值．【考点】函数与方程的综合运用；函数的最值及其几何意义．【分析】（Ⅰ）分类讨论，从而由f（x）=0恰有一解及f（x）=0有两个不同的解求得；（Ⅱ）分类讨论，从而确定二次函数的单调性及最值，从而确定函数y=|f（x）|在[0，1]上的最大值．【解答】解：（Ⅰ）（1）若f（x）=0恰有一解，且解不为，即a2﹣4=0，解得a=±2；（2）若f（x）=0有两个不同的解，且其中一个解为，代入得+a+1=0，解得a=﹣，检验满足△＞0；综上所述，a的取值集合为{﹣，﹣2，2}．（Ⅱ）（1）若﹣≤0，即a≥0时，函数y=|f（x）|在[0，1]上单调递增，故y max=f（1）=2+a；（2）若0＜﹣＜1，即﹣2＜a＜0时，此时△=a2﹣4＜0，且f（x）的图象的对称轴在（0，1）上，且开口向上；故y max=max{f（0），f（1）}=max{1，a+2}=，（3）若﹣≥1，即a≤﹣2时，此时f（1）=2+a≤0，y max=max{f（0），﹣f（1）}=max{1，﹣a﹣2}=，综上所述，y max=．。

2020年浙江省高考数学模拟试卷（2月份）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）已知U＝R，集合，集合B＝{y|y＞1}，则∁U（A∩B）＝（）A．B．C．D．2．（4分）已知i是虚数单位，若，则z的共轭复数等于（）A．B．C．D．3．（4分）若双曲线的焦距为4，则其渐近线方程为（）A．B．C．D．4．（4分）已知α，β是两个相交平面，其中l⊂α，则（）A．β内一定能找到与l平行的直线B．β内一定能找到与l垂直的直线C．若β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行D．若β内有无数条直线与l垂直，则β与α垂直5．（4分）等差数列{a n}的公差为d，a1≠0，S n为数列{a n}的前n项和，则“d＝0”是“Z”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（4分）随机变量ξ的分布列如表：ξ﹣1012P a b c 其中a，b，c成等差数列，若，则D（ξ）＝（）A．B．C．D．7．（4分）若存在正实数y，使得，则实数x的最大值为（）A．B．C．1D．48．（4分）从集合{A，B，C，D，E，F}和{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．则每排中字母C和数字4，7至少出现两个的不同排法种数为（）A．85B．95C．2040D．22809．（4分）已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长为1．M是底面△ABC内部一个动点（包括边界），且M到三个侧面P AB，PBC，P AC的距离h1，h2，h3成单调递增的等差数列，记PM与AB，BC，AC所成的角分别为α，β，γ，则下列正确的是（）A．α＝βB．β＝γC．α＜βD．β＜γ10．（4分）已知，则的取值范围是（）A．[0，1]B．C．[1，2]D．[0，2]二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．（6分）若，，则cosα＝，tan2α＝．12．（6分）一个长方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则该几何体与原长方体的体积之比是，剩余部分表面积是．13．（4分）若实数x，y满足，若3x+y的最大值为7，则m＝．14．（4分）在二项式的展开式中x﹣5的系数与常数项相等，则a的值是．15．（6分）设数列{a n}的前n项和为S n．若S2＝6，a n+1＝3S n+2，n∈N*，则a2＝，S5＝．16．（6分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知a cos B＝b cos A，，边BC上的中线长为4．则c＝；＝．17．（4分）如图，过椭圆的左、右焦点F1，F2分别作斜率为的直线交椭圆C上半部分于A，B两点，记△AOF1，△BOF2的面积分别为S1，S2，若S1：S2＝7：5，则椭圆C离心率为．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．19．（15分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1．（1）求证：AB1⊥平面A1BC1；（2）若D在B1C1上，满足B1D＝2DC1，求AD与平面A1BC1所成的角的正弦值．20．（15分）已知等比数列{a n}（其中n∈N*），前n项和记为S n，满足：，log2a n+1＝﹣1+log2a n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n•log2a n}（n∈N*）的前n项和T n．21．（15分）已知抛物线与直线l：y＝kx﹣1无交点，设点P为直线l上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A，B为切点．（1）证明：直线AB恒过定点Q；（2）试求△P AB面积的最小值．22．（15分）已知a为常数，函数f（x）＝x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）．（1）求a的取值范围；（2）证明：．2020年浙江省高考数学模拟试卷（2月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）已知U＝R，集合，集合B＝{y|y＞1}，则∁U（A∩B）＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵U＝R，，B＝{y|y＞1}，∴，∴．故选：B．2．（4分）已知i是虚数单位，若，则z的共轭复数等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵＝，∴．故选：C．3．（4分）若双曲线的焦距为4，则其渐近线方程为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线的焦距为4，可得m+1＝4，所以m＝3，所以双曲线的渐近线方程为：y＝x．故选：A．4．（4分）已知α，β是两个相交平面，其中l⊂α，则（）A．β内一定能找到与l平行的直线B．β内一定能找到与l垂直的直线C．若β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行D．若β内有无数条直线与l垂直，则β与α垂直【解答】解：由α，β是两个相交平面，其中l⊂α，知：在A中，当l与α，β的交线相交时，β内不能找到与l平行的直线，故A错误；在B中，由直线与平面的位置关系知β内一定能找到与l垂直的直线，故B正确；在C中，β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行或该直线在α内，故C错误；在D中，β内有无数条直线与l垂直，则β与α不一定垂直，故D错误．故选：B．5．（4分）等差数列{a n}的公差为d，a1≠0，S n为数列{a n}的前n项和，则“d＝0”是“Z”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：等差数列{a n}的公差为d，a1≠0，S n为数列{a n}的前n项和，“d＝0”⇒“Z”，当Z时，d不一定为0，例如，数列1，3，5，7，9，11中，＝＝4，d＝2，故d＝0”是“Z”的充分不必要条件．故选：A．6．（4分）随机变量ξ的分布列如表：ξ﹣1012P a b c其中a，b，c成等差数列，若，则D（ξ）＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵a，b，c成等差数列，E（ξ）＝，∴由变量ξ的分布列，知：，解得a＝，b＝，c＝，∴D（ξ）＝（﹣1﹣）2×+（0﹣）2×+（1﹣）2×+（2﹣）2×＝．故选：D．7．（4分）若存在正实数y，使得，则实数x的最大值为（）A．B．C．1D．4【解答】解：∵＝，∴4xy2+（5x2﹣1）y+x＝0，∴y1•y2＝＞0，∴y1+y2＝﹣≥0，∴，或，∴0＜x≤或x≤﹣①，△＝（5x2﹣1）2﹣16x2≥0，∴5x2﹣1≥4x或5x2﹣1≤﹣4x，解得：﹣1≤x≤②，综上x的取值范围是：0＜x≤；x的最大值是，故选：A．8．（4分）从集合{A，B，C，D，E，F}和{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．则每排中字母C和数字4，7至少出现两个的不同排法种数为（）A．85B．95C．2040D．2280【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①，先在两个集合中选出4个元素，要求字母C和数字4，7至少出现两个，若字母C和数字4，7都出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，有5种选法，若字母C和数字4出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1个数字，有5×7＝35种选法，若字母C和数字7出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1个数字，有5×7＝35种选法，若数字4、7出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出2个字母，有C52＝10种选法，则有5+35+35+10＝85种选法，②，将选出的4个元素全排列，有A44＝24种情况，则一共有85×24＝2040种不同排法；故选：C．9．（4分）已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长为1．M是底面△ABC内部一个动点（包括边界），且M到三个侧面P AB，PBC，P AC的距离h1，h2，h3成单调递增的等差数列，记PM与AB，BC，AC所成的角分别为α，β，γ，则下列正确的是（）A．α＝βB．β＝γC．α＜βD．β＜γ【解答】解：依题意知正四面体P﹣ABC的顶点P在底面ABC的射影是正三角形ABC 的中心O，由余弦定理可知，cosα＝cos∠PMO•cos＜MO，AB＞，其中＜MO，AB＞表示直线MO与AB的夹角，同理可以将β，γ转化，cosβ＝cos∠PMO•cos＜MO，BC＞，其中＜MO，BC＞表示直线MO与BC的夹角，cosγ＝cos∠PMO•cos＜MO，AC＞，其中＜MO，AC＞表示直线MO与AC的夹角，由于∠PMO是公共的，因此题意即比较OM与AB，BC，AC夹角的大小，设M到AB，BC，AC的距离为d1，d2，d3则d1＝sin，其中θ是正四面体相邻两个面所成角，sinθ＝，所以d1，d2，d3成单调递增的等差数列，然后在△ABC中解决问题由于d1＜d2＜d3，可知M在如图阴影区域（不包括边界）从图中可以看出，OM与BC所成角小于OM与AC所成角，所以β＜γ，故选：D．10．（4分）已知，则的取值范围是（）A．[0，1]B．C．[1，2]D．[0，2]【解答】解：选择合适的基底．设，则，，∴（﹣）2＝﹣•+≤8+||2＝2＝4，所以可得：＝，配方可得，所以，则[0，2]．故选：D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．（6分）若，，则cosα＝，tan2α＝﹣2．【解答】解：∵，，∴cosα＝＝，tanα＝＝，∴tan2α＝＝＝﹣2．故答案为：，﹣2．12．（6分）一个长方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则该几何体与原长方体的体积之比是，剩余部分表面积是9．【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：如图所示：该几何体为长方体切去一个角．故：V＝＝．所以：．S＝2（1×2+1×2+1×1）﹣+＝9．故答案为：．13．（4分）若实数x，y满足，若3x+y的最大值为7，则m＝2．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．令z＝3x+y得y＝﹣3x+z，平移直线y＝﹣3x+z，由图象可知当3x+y＝7．由，解得，即B（1，4），同时A也在2x﹣y+m＝0上，解得m＝﹣2x+y＝﹣2×1+4＝2．故答案为：2．14．（4分）在二项式的展开式中x﹣5的系数与常数项相等，则a的值是．【解答】解：∵二项式的展开式的通项公式为T r+1＝••，令＝﹣5，求得r＝3，故展开式中x﹣5的系数为•；令＝0，求得r＝1，故展开式中的常数项为•＝，由为•＝5•，可得a＝，故答案为：．15．（6分）设数列{a n}的前n项和为S n．若S2＝6，a n+1＝3S n+2，n∈N*，则a2＝5，S5＝426．【解答】解：∵数列{a n}的前n项和为S n．S2＝6，a n+1＝3S n+2，n∈N*，∴a2＝3a1+2，且a1+a2＝6，解得a1＝1，a2＝5，a3＝3S2+2＝3（1+5）+2＝20，a4＝3S3+2＝3（1+5+20）+2＝80，a5＝3（1+5+20+80）+2＝320，∴S5＝1+5+20+80+320＝426．故答案为：5，426．16．（6分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知a cos B＝b cos A，，边BC上的中线长为4．则c＝；＝﹣．【解答】解：由a cos B＝b cos A，及正弦定理得sin A cos B＝sin B cos A，所以sin（A﹣B）＝0，故B＝A＝，所以由正弦定理可得c＝a，由余弦定理得16＝c2+（）2﹣2c••cos，解得c＝；可得a＝，可得＝﹣ac cos B＝﹣××＝﹣．故答案为：，﹣．17．（4分）如图，过椭圆的左、右焦点F1，F2分别作斜率为的直线交椭圆C上半部分于A，B两点，记△AOF1，△BOF2的面积分别为S1，S2，若S1：S2＝7：5，则椭圆C离心率为．【解答】解：作点B关于原点的对称点B1，可得S＝S，则有，所以．将直线AB1方程，代入椭圆方程后，，整理可得：（b2+8a2）y2﹣4b2cy+8b4＝0，由韦达定理解得，，三式联立，可解得离心率．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．【解答】解：（1）f（x）＝sin2x+cos2x+1＝所以最小正周期为π．因为当时，f（x）单调递减．所以单调递减区间是．（2）当时，，当2x+＝函数取得最大值为，当2x+＝﹣或时，函数取得最小值，最小值为+1＝0．19．（15分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1．（1）求证：AB1⊥平面A1BC1；（2）若D在B1C1上，满足B1D＝2DC1，求AD与平面A1BC1所成的角的正弦值．【解答】解：（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，根据已知条件易得AB1⊥A1B，由A1C1⊥面ABB1A1，得AB1⊥A1C1，A1B∩A1C1＝A1，以AB1⊥平面A1BC1；（2）以A1B1，A1C1，A1A为x，y，z轴建立直角坐标系，设AB＝a，则A（0，0，a），B（a，0，a），，所以，设平面A1BC1的法向量为，则，可计算得到，所以AD与平面A1BC1所成的角的正弦值为．20．（15分）已知等比数列{a n}（其中n∈N*），前n项和记为S n，满足：，log2a n+1＝﹣1+log2a n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n•log2a n}（n∈N*）的前n项和T n．【解答】解：（1）由题意，设等比数列{a n}的公比为q，∵log2a n+1＝﹣1+log2a n，∴，∴．由，得＝，解得．∴数列{a n}的通项公式为．（2）由题意，设b n＝a n•log2a n，则．∴T n＝b1+b2+…+b n＝故，＝．两式相减，可得＝．∴．21．（15分）已知抛物线与直线l：y＝kx﹣1无交点，设点P为直线l上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A，B为切点．（1）证明：直线AB恒过定点Q；（2）试求△P AB面积的最小值．【解答】解：（1）由求导得y′＝x，设A（x1，y1），B（x2，y2），其中则k P A＝x1，P A：y﹣y1＝x1（x﹣x1），设P（x0，kx0﹣1），代入P A直线方程得kx0﹣1+y1＝x1x0，PB直线方程同理，代入可得kx0﹣1+y2＝x2x0，所以直线AB：kx0﹣1+y＝xx0，即x0（k﹣x）﹣1+y＝0，所以过定点（k，1）；（2）直线l方程与抛物线方程联立，得到x2﹣2kx+2＝0，由于无交点解△可得k2＜2．将AB：y＝xx0﹣kx0+1代入，得，所以，，设点P到直线AB的距离是d，则，所以＝，所以面积最小值为．22．（15分）已知a为常数，函数f（x）＝x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）．（1）求a的取值范围；（2）证明：．【解答】解：（1）求导得f′（x）＝lnx+1﹣2ax（x＞0），由题意可得函数g（x）＝lnx+1﹣2ax有且只有两个零点．∵．当a≤0时，g′（x）＞0，f′（x）单调递增，因此g（x）＝f′（x）至多有一个零点，不符合题意，舍去；当a＞0时，令g′（x）＝0，解得，所以单调递增，单调递减．所以是g（x）的极大值点，则，解得；（2）g（x）＝0有两个根x1，x2，且，又g（1）＝1﹣2a＞0，所以，从而可知f（x）在区间（0，x1）上递减，在区间（x1，x2）上递增，在区间（x2，+∞）上递减．所以，所以．。

2020届浙江省衢州二中高三下学期第一次模拟考试数学试题一、单选题1．设{1,0,1,2}U =-，集合2{|1,}A x x x U =<∈，则U C A =（ ） A ．{0,1,2} B ．{1,1,2}-C ．{1,0,2}-D ．{1,0,1}-【答案】B【解析】先化简集合A,再求U C A . 【详解】由21x < 得： 11x -<< ，所以{}0A = ，因此{}1,1,2U A =-ð ，故答案为B 【点睛】本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.2．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ） A ．3πB ．3π-C ．23π D ．23π-【答案】B【解析】因为时针经过2小时相当于转了一圈的16，且按顺时针转所形成的角为负角，综合以上即可得到本题答案. 【详解】因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为2π，按顺时针转所形成的角为负角，所以经过2小时，时针所转过的弧度数为11263ππ-⨯=-. 故选：B 【点睛】本题主要考查正负角的定义以及弧度制，属于基础题.3．已知复数z 满足202020191z i i ⋅=+（其中i 为虚数单位），则复数z 的虚部是（ ） A ．1- B ．1C ．i -D ．i【答案】A【解析】由虚数单位i 的运算性质可得1z i =-，则答案可求.【详解】 解：∵41i =，∴202045051i i ⨯==，201945043i i i ⨯+==-， 则202020191z i i ⋅=+化为1z i =-， ∴z 的虚部为1-. 故选：A. 【点睛】本题考查了虚数单位i 的运算性质、复数的概念，属于基础题.4．已知直线1:240l ax y ++=，2:(1)20l x a y +-+=，则“1a =-”是“12l l P ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】先得出两直线平行的充要条件，根据小范围可推导出大范围，可得到答案. 【详解】直线1:240l ax y ++=，()2:120l x a y +-+=，12l l P 的充要条件是()1221a a a a -=⇒==-或，当a=2时，化简后发现两直线是重合的，故舍去，最终a=-1.因此得到“1a =-”是“12l l P ”的充分必要条件. 故答案为C. 【点睛】判断充要条件的方法是：①若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件；②若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件；③若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；④若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系．5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A．83B．3 C．113D．4【答案】C【解析】首先把三视图转换为几何体，该几何体为由一个三棱柱体，切去一个三棱锥体，由柱体、椎体的体积公式进一步求出几何体的体积.【详解】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为由一个三棱柱体，切去一个三棱锥体，如图所示：故：111112221122323 V=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=.故选：C.【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积、需熟记柱体、椎体的体积公式，考查了空间想象能力，属于基础题.6．函数()f x的图象如图所示,则它的解析式可能是( )A ．()212xx f x -=B ．()()21xf x x =-C ．()ln f x x =D ．()1xf x xe =-【答案】B【解析】根据定义域排除C ，求出()1f 的值，可以排除D ，考虑()100f -排除A . 【详解】根据函数图象得定义域为R ，所以C 不合题意；D 选项，计算()11f e =-，不符合函数图象；对于A 选项， ()10010099992f -=⨯与函数图象不一致；B 选项符合函数图象特征.故选：B 【点睛】此题考查根据函数图象选择合适的解析式，主要利用函数性质分析，常见方法为排除法. 7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =且对于任意1n >，*n N ∈满足()1121n n n S S S +-+=+，则（ ）A ．47a =B ．16240S =C ．1019a =D ．20381S =【答案】D【解析】利用数列的递推关系式判断求解数列的通项公式，然后求解数列的和，判断选项的正误即可． 【详解】当2n …时，111112(1)22n n n n n n n n n S S S S S S S a a +-+-++=+⇒-=-+⇒=+． 所以数列{}n a 从第2项起为等差数列，1,122,2n n a n n =⎧=⎨-⎩…， 所以，46a =，1018a =． 21()(1)(1)12n n a a n S a n n +-=+=-+，1616151241S =⨯+=，2020191381S =⨯+=．故选：D ． 【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用、数列求和以及数列的通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．8．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若点2F 关于双曲线渐近线的对称点A 满足11F AO AOF ∠=∠（O 为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．2y x =± B ．3y x =± C ．2y x =± D ．y x =±【答案】B【解析】先利用对称得2AF OM ⊥，根据11F AO AOF ∠=∠可得1AF c =，由几何性质可得160AFO ∠=o，即260MOF ∠=o ，从而解得渐近线方程. 【详解】 如图所示：由对称性可得：M 为2AF 的中点，且2AF OM ⊥， 所以12F A AF ⊥，因为11F AO AOF ∠=∠，所以11AF F O c ==，故而由几何性质可得160AFO ∠=o ，即260MOF ∠=o ， 故渐近线方程为3y x =， 故选B. 【点睛】本题考查了点关于直线对称点的知识，考查了双曲线渐近线方程，由题意得出260MOF ∠=o 是解题的关键，属于中档题.9．已知平面向量,,a b c r r r ，满足||2,||1,b a b c a b λμ=+==+r r r r r r且21λμ+=，若对每一个确定的向量a r ，记||c r 的最小值为m ，则当a r变化时，m 的最大值为（ ）A．14B．13C．12D．1【答案】B【解析】根据题意,建立平面直角坐标系.令,OP a OB b==u u u r r u u u r rOC c=u u u r r.E为OB中点.由1a b+=r r即可求得P点的轨迹方程.将c a bλμ=+r r r变形,结合21λμ+=及平面向量基本定理可知,,P C E三点共线.由圆切线的性质可知||cr的最小值m即为O到直线PE 的距离最小值,且当PE与圆M相切时,m有最大值.利用圆的切线性质及点到直线距离公式即可求得直线方程,进而求得原点到直线的距离,即为m的最大值.【详解】根据题意,||2,b=r设()(),,2,0OP a x y OB b====u u u r r u u u r r,(),1,0OC c E=u u u r r则2bOE=ru u u r由1a b+=r r代入可得()2221x y++=即P点的轨迹方程为()2221x y++=又因为c a bλμ=+r r r,变形可得22bc aλμ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭rr r,即2OC OP OEλμ=+uuu r uuu r uuu r,且21λμ+=所以由平面向量基本定理可知,,P C E三点共线,如下图所示:所以||cr的最小值m即为O到直线PE的距离最小值根据圆的切线性质可知,当PE与圆M相切时,m有最大值设切线PE的方程为()1y k x=-,化简可得kx y k0--=由切线性质及点M1=,化简可得281k =即4k =±0x y -=0x y +-= 所以当a r变化时, O 到直线PE 的最大值为13m ==即m 的最大值为13故选:B 【点睛】本题考查了平面向量的坐标应用,平面向量基本定理的应用, 圆的轨迹方程问题,圆的切线性质及点到直线距离公式的应用,综合性强,属于难题.10．已知函数()2121f x ax x ax =+++-（a R ∈）的最小值为0，则a =（ ）A ．12B ．1-C ．±1D ．12±【答案】C 【解析】设()()()()2121g x h x ax g x h x x ax ⎧+=+⎪⎨-=+-⎪⎩，计算可得()()()()()()()2,2,g x g x h x f x h x g x h x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，再结合图像即可求出答案. 【详解】设()()()()2121g x h x ax g x h x x ax ⎧+=+⎪⎨-=+-⎪⎩，则()()221g x x ax h x x⎧=+⎪⎨=-⎪⎩， 则()()()()()()()()()()()2,2,g x g x h x f x g x h x g x h x h x g x h x ⎧≥⎪=++-=⎨<⎪⎩，由于函数()f x 的最小值为0，作出函数()(),g x h x 的大致图像，结合图像，210x -=，得1x =±， 所以1a =±. 故选：C 【点睛】本题主要考查了分段函数的图像与性质，考查转化思想，考查数形结合思想，属于中档题.二、填空题11．若23log 3,log 2a b ==,则ab =______,lg lg a b +=______. 【答案】1 0【解析】①根据换底公式计算即可得解；②根据同底对数加法法则，结合①的结果即可求解. 【详解】①由题：23log 3,log 2a b ==, 则22322log 2log 3log 2log 31log 3ab =⋅=⋅=；②由①可得：lg lg lg lg10a b ab +===. 故答案为：①1，②0 【点睛】此题考查对数的基本运算，涉及换底公式和同底对数加法运算，属于基础题目. 12．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB 和其所对弦AB 围成的图形，若弧田的弧AB 长为4π，弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦AB 长是__________，弧田的面积是__________．【答案】63 12π﹣93【解析】过O 作OC AB ⊥，交AB 于D ，先求得圆心角AOB ∠的弧度数，然后解解三角形求得AB 的长.利用扇形面积减去三角形OAB 的面积，求得弧田的面积. 【详解】∵如图，弧田的弧AB 长为4π，弧所在的圆的半径为6，过O 作OC AB ⊥，交AB 于D ，根据圆的几何性质可知，OC 垂直平分AB .∴α＝∠AOB ＝46π＝23π，可得∠AOD ＝3π，OA ＝6，∴AB ＝2AD ＝2OA sin3π＝2×362⨯＝63， ∴弧田的面积S ＝S 扇形OAB ﹣S △OAB ＝12⨯4π×6﹣16332⨯⨯＝12π﹣93． 故答案为：63，12π﹣93．【点睛】本小题主要考查弓形弦长和弓形面积的计算，考查中国古代数学文化，属于中档题.13．已知实数x 、y 满足121y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，且可行域表示的区域为三角形，则实数m 的取值范围为______，若目标函数z x y =-的最小值为-1，则实数m 等于______. 【答案】2m > 5m =【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合目标函数z x y =-的最小值，利用数形结合即可得到结论.【详解】 作出可行域如图，则要为三角形需满足()1,1B 在直线x y m +=下方，即11m +<，2m >； 目标函数可视为y x z =-，则z 为斜率为1的直线纵截距的相反数， 该直线截距最大在过点A 时，此时min 1z =-，直线PA ：1y x =+，与AB ：21y x =-的交点为()2,3A ， 该点也在直线AC ：x y m +=上，故235m =+=， 故答案为：2m >；5m =. 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，属于基础题.14．有2名老师和3名同学，将他们随机地排成一行，用ξ表示两名老师之间的学生人数，则1ξ=对应的排法有______种；()E ξ= ______； 【答案】36 ；1.【解析】ξ的可能取值为0，1，2，3，1ξ=对应的排法有：123323C A A 36=.分别求出()0P ξ=，()1P ξ=，()2P ξ=，()3P ξ=，由此能求出()E ξ.【详解】解：有2名老师和3名同学，将他们随机地排成一行，用ξ表示两名老师之间的学生人数，则ξ的可能取值为0，1，2，3，1ξ=对应的排法有：123323C A A 36=.∴1ξ=对应的排法有36种；()242455A A 480A 120P ξ===，()12332355C A A 361A 120P ξ===，()22232255A A A 242A 120P ξ===， ()223255A A 123A 120P ξ===， ∴()4836241201231120120120120E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 故答案为：36；1. 【点睛】本题考查了排列、组合的应用，离散型随机变量的分布列以及数学期望，属于中档题.15．已知函数()2,4,x x mf x x x x m <⎧=⎨+≥⎩，且p m ∀<，q m ∃>，使得()()0f p f q +=，则实数m 的取值范围是______. 【答案】(],0-∞【解析】根据条件转化为函数()y f x =-在(),m -∞上的值域是函数()y f x =在[),m +∞上的值域的子集；分别求值域即可得到结论.【详解】解：依题意，()()f q f p =-，即函数()y f x =-在(),m -∞上的值域是函数()y f x =在[),m +∞上的值域的子集. 因为()y f x =在[),m +∞上的值域为[)4,-+∞（2m ≤-）或24,m m ⎡⎤++∞⎣⎦（2m >-），()y f x =-在(),m -∞上的值域为(),m -+∞， 故24m m ≤-⎧⎨-≥-⎩或224m m m m >-⎧⎨-≥+⎩， 解得0m ≤故答案为：(],0-∞. 【点睛】本题考查了分段函数的值域求参数的取值范围，属于中档题.16．已知实数a ，b ，c 满足22221a b c ++=，则ab c +的最小值是______. 【答案】916-【解析】先分离出22a b +，应用基本不等式转化为关于c 的二次函数，进而求出最小值. 【详解】解：若ab c +取最小值，则ab 异号，0c <， 根据题意得：22212c a b -=+，又由2222a b ab ab +≥=-，即有2122c ab -≥-，则221192416ab c c c c ⎛⎫+≥+-=+- ⎪⎝⎭，即2ab c +的最小值为916-， 故答案为：916- 【点睛】本题考查了基本不等式以及二次函数配方求最值，属于中档题.17．若四棱锥P ABCD -的侧面PAB 内有一动点Q ，已知Q 到底面ABCD 的距离与Q 到点P 的距离之比为正常数k ，且动点Q 的轨迹是抛物线，则当二面角P AB C--平面角的大小为30°时，k 的值为______. 【答案】12【解析】二面角P AB C --平面角为θ，点Q 到底面ABCD 的距离为QH ，点Q 到定直线AB 得距离为d ，则sin QHd θ=.再由点Q 到底面ABCD 的距离与到点P 的距离之比为正常数k ，可得QH PQ k =，由此可得sin k θ=，则由cos cos30θ=︒=可求k 值. 【详解】 解：如图，设二面角P AB C --平面角为θ，点Q 到底面ABCD 的距离为QH ，点Q 到定直线AB 的距离为d ，则sin QH d θ=，即sin QHd θ=. ∵点Q 到底面ABCD 的距离与到点P 的距离之比为正常数k ， ∴QH k PQ=，则QHPQ k=， ∵动点Q 的轨迹是抛物线， ∴PQ d =，即sin QH QHk θ=则sin k θ=. ∴二面角P AB C --的平面角的余弦值为223cos 1sin 1cos302k θθ=-=-=︒=解得：12k =（0k >）.故答案为：12. 【点睛】本题考查了四棱锥的结构特征，由四棱锥的侧面与底面的夹角求参数值，属于中档题.三、解答题18．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知2223,33A b c abc a π=+-=。

2020年高考模拟高考数学一模试卷一、选择题1．设U＝{﹣1，0，1，2}，集合A＝{x|x2＜1，x∈U}，则∁U A＝（）A．{0，1，2}B．{﹣1，1，2}C．{﹣1，0，2}D．{﹣1，0，1} 2．本场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（）A．B．C．D．3．已知复数z满足z•i2020＝1+i2019（其中i为虚数单位），则复数z的虚部是（）A．﹣1B．1C．﹣i D．i4．已知直线l1：ax+2y+4＝0，l2：x+（a﹣1）y+2＝0，则“a＝﹣1”是“l1∥l2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．3C．D．46．函数f（x）的图象如图所示，则它的解析式可能是（）A．f（x）＝2x（|x|﹣1）B．f（x）＝C．f（x）＝|ln|x||D．f（x）＝xe x﹣17．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a2＝2，且．则（）A．a4＝7B．S16＝240C．a10＝19D．S20＝3818．已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，若点F2关于双曲线渐近线的对称点A满足∠F1AO＝∠AOF1（O为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±2x B．C．D．y＝±x9．已知平面向量，满足且λ+2μ＝1，若对每一个确定的向量，记的最小值为m，则当变化时，m的最大值为（）A．B．C．D．110．已知函数f（x）＝ax+1+|2x2+ax﹣1|（a∈R）的最小值为0，则a＝（）A．B．﹣1C．±1D．±二、填空题11．若a＝log23，b＝log32，则a•b＝，lga+lgb＝．12．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧和其所对弦AB围成的图形，若弧田的弧长为4π，弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦AB长是，弧田的面积是．13．已知实数x、y满足，且可行域表示的区域为三角形，则实数m的取值范围为，若目标函数z＝x﹣y的最小值为﹣1，则实数m等于．14．有2名老师和3名同学，将他们随机地排成一行，用ξ表示两名老师之间的学生人数，则ξ＝1对应的排法有种；E（ξ）＝；15．已知函数f（x）＝，且∀p＜m，∃q≥m，使得f（p）+f（q）＝0，则实数m的取值范围是．16．已知实数a，b，c满足a2+b2+2c2＝1，则ab+c的最小值是．17．若四棱锥P﹣ABCD的侧面PAB内有一动点Q，已知Q到底面ABCD的距离与Q到点P的距离之比为正常数k，且动点Q的轨迹是抛物线，则当二面角P﹣AB﹣C平面角的大小为30°时，k的值为．三、解答题18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，．（1）求a的值；（2）若b＝1，求△ABC的面积．19．已知等腰梯形ABCD中（如图1），AB＝4，BC＝CD＝DA＝2，F为线段CD的中点，E，M为线段AB上的点，AE＝EM＝1，现将四边形AEFD沿EF折起（如图2）．（Ⅰ）求证：AM||平面BCD；（Ⅱ）在图2中，若，求直线CD与平面BCFE所成角的正弦值．20．已知数列{a n}的前n项和S n满足：．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，数列{c n}的前n项和为T n．求证：．21．已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的离心率为e＝，且短轴的一个端点B与两焦点A，C组成的三角形面积为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若点P为椭圆E上的一点，过点P作椭圆E的切线交圆O：x2+y2＝a2于不同的两点M，N（其中M在N的右侧），求四边形ACMN面积的最大值．22．已知函数f（x）＝ax+lnx（a∈R）有两个零点x1，x2．（1）求a的取值范围；（2）是否存在实数λ，对于符合题意的任意x1，x2，当x0＝λx1+（1﹣λ）x2＞0时均有f′（x0）＜0？若存在，求出所有λ的值；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设U＝{﹣1，0，1，2}，集合A＝{x|x2＜1，x∈U}，则∁U A＝（）A．{0，1，2}B．{﹣1，1，2}C．{﹣1，0，2}D．{﹣1，0，1}【分析】化简集合A，求出A的补集即可．解：设U＝{﹣1，0，1，2}，集合A＝{x|x2＜1，x∈U}＝{0}，∴∁U A＝{﹣1，1，2}，故选：B．2．本场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（）A．B．C．D．【分析】根据弧度制的定义，即可求解．解：由于时针是顺时针转动，形成的角是负角，又由于时针转动1小时，转动的弧度数为，因此时针转过2小时所形成的弧度数为，故选：B．3．已知复数z满足z•i2020＝1+i2019（其中i为虚数单位），则复数z的虚部是（）A．﹣1B．1C．﹣i D．i【分析】由虚数单位i的运算性质可得z＝1﹣i，则答案可求．解：∵i4＝1，∴i2020＝i4×505＝1，i2019＝i4×504+3＝﹣i，则z•i2020＝1+i2019化为z＝1﹣i，∴z的虚部为﹣1．故选：A．4．已知直线l1：ax+2y+4＝0，l2：x+（a﹣1）y+2＝0，则“a＝﹣1”是“l1∥l2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由两直线平行的充要条件得：“l1∥l2”的充要条件为：，即：a＝﹣1，即“a＝﹣1”是“l1∥l2”的充分必要条件，得解．解：已知直线l1：ax+2y+4＝0，l2：x+（a﹣1）y+2＝0，又“l1∥l2”的充要条件为：，解得：a＝﹣1，即“a＝﹣1”是“l1∥l2”的充分必要条件，故选：C．5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．3C．D．4【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积．解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为由一个三棱柱体，切去一个三棱锥体，如图所示：故：V＝＝．故选：C．6．函数f（x）的图象如图所示，则它的解析式可能是（）A．f（x）＝2x（|x|﹣1）B．f（x）＝C．f（x）＝|ln|x||D．f（x）＝xe x﹣1【分析】结合图象，运用排除法得解．解：当x＝﹣1时，函数值为0，由此排除D；当x＝0时，函数值为﹣1，由此排除C；当x→+∞时，函数值→+∞，由此排除B．故选：A．7．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a2＝2，且．则（）A．a4＝7B．S16＝240C．a10＝19D．S20＝381【分析】首先利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步求出数列的项和数列的和．解：数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a2＝2，且．当n≥2时，S n+2+S n＝2（S n+1+1），当n＝2时，解得a3＝4，所以a n+2+a n＝2a n+1，所以数列{a n}是以2为首项公差d＝4﹣2＝2的等差数列．所以a n＝2+2（n﹣2）＝2n﹣2，所以，故＝226．a4＝2×4﹣2＝6．a10＝2×10﹣2＝18．S20＝a1+a2+…+a20＝1+＝381．故选：D．8．已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，若点F2关于双曲线渐近线的对称点A满足∠F1AO＝∠AOF1（O为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±2x B．C．D．y＝±x【分析】设F1（﹣c，0），F2（c，0），渐近线方程为y＝x，对称点为A（m，n），运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求出对称点A的坐标，A满足∠F1AO＝∠AOF1，可得|AF1|＝|OF1|＝c，由两点的距离公式，可得所求渐近线方程．解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），渐近线方程为y＝x，F2的对称点为A（m，n），即有＝﹣，且•n＝•，解得m＝，n＝，A满足∠F1AO＝∠AOF1，可得|AF1|＝|OF1|＝c，即有（+c）2+＝c2，结合c2＝a2+b2，化为c＝2a，即b＝a，可得双曲线的渐近线方程为y＝±x．故选：B．9．已知平面向量，满足且λ+2μ＝1，若对每一个确定的向量，记的最小值为m，则当变化时，m的最大值为（）A．B．C．D．1【分析】先假设，＝，从而得到点A的轨迹是圆，再由计算，将其化简为关于λ的二次函数，因此得到的最小值为m 与x的关系，再利用导数求其最大值即可．解：设，＝，∵，∴（x+2）2+y2＝1即点A的轨迹是以（﹣2，0）为圆心，1为半径的圆，x∈[﹣3，﹣1]．∵λ+2μ＝1，∴＝（λx+1﹣λ，λy），∴+2（x﹣1）λ+1＝（﹣6x﹣2）λ2+2（x﹣1）λ+1，∵x∈[﹣3，﹣1]，∴﹣6x﹣2＞0，则关于λ的二次函数开口向上，当时，取得最小值，即＝，令（x∈[﹣3，﹣1]），则，∴函数f（x）在[﹣3，]上单调递增，在（，﹣1]上单调递减，∴，即，∴m的最大值为．故选：B．10．已知函数f（x）＝ax+1+|2x2+ax﹣1|（a∈R）的最小值为0，则a＝（）A．B．﹣1C．±1D．±【分析】设，解得g（x），h（x）的解析式，通过图象的特点，结合f（x）的最小值为0，可得所求值．解：设，所以，则f（x）＝g（x）+h（x）+|g（x）﹣h（x）|＝，由于g（x）＝x（x+a）的图象恒过（0，0），（﹣a，0），h（x）的图象为开口向下，且过（﹣1，0），（1，0）的抛物线，且f（x）的最小值为0，结合图象可得﹣a＝1或﹣a＝﹣1，即有a＝±1．故选：C．二、填空题：共7小题，多空每空格3分，单空每空格4分，共36分.11．若a＝log23，b＝log32，则a•b＝1，lga+lgb＝0．【分析】利用对数运算性质即可得出．解：∵a＝log23，b＝log32，则a•b＝•＝1，lga+lgb＝lgab＝lg1＝0．故答案为：1，0．12．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧和其所对弦AB围成的图形，若弧田的弧长为4π，弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦AB长是6，弧田的面积是12π﹣9．【分析】由已知利用弧长公式可求∠AOB，可得∠AOD＝，OA＝6，即可求解AB的值，由弧田的面积S＝S扇形OAB﹣S△OAB即可计算得解．解：∵如图，弧田的弧长为4π，弧所在的圆的半径为6，∴α＝∠AOB＝＝，可得∠AOD＝，OA＝6，∴AB＝2AD＝2OA sin＝2×＝6，∴弧田的面积S＝S扇形OAB﹣S△OAB＝4π×6﹣＝12π﹣9．故答案为：6，12π﹣9．13．已知实数x、y满足，且可行域表示的区域为三角形，则实数m的取值范围为m＞2，若目标函数z＝x﹣y的最小值为﹣1，则实数m等于5．【分析】作出平面区域，结合线性规划的知识及目标函数的几何意义即可求解．解：作出可行域如图，则要为三角形需满足B（1，1）在直线x+y＝m下方，即1+1＜m，m＞2；目标函数可视为y＝x﹣z，则z为斜率为1的直线纵截距的相反数，该直线截距最大在过点A时，此时z min＝﹣1，直线PA：y＝x+1，与AB：y＝2x﹣1的交点为A（2，3），该点也在直线AC：x+y＝m 上，故m＝2+3＝5，故答案为：m＞2；5．14．有2名老师和3名同学，将他们随机地排成一行，用ξ表示两名老师之间的学生人数，则ξ＝1对应的排法有36种；E（ξ）＝1；【分析】ξ的可能取值为0，1，2，3，ξ＝1对应的排法有：＝36．分别求出P （ξ＝0），P（ξ＝1），P（ξ＝2），P（ξ＝3），由此能求出E（ξ）．解：有2名老师和3名同学，将他们随机地排成一行，用ξ表示两名老师之间的学生人数，则ξ的可能取值为0，1，2，3，ξ＝1对应的排法有：＝36．∴ξ＝1对应的排法有36种；P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，∴E（ξ）＝＝1．故答案为：36，1．15．已知函数f（x）＝，且∀p＜m，∃q≥m，使得f（p）+f（q）＝0，则实数m的取值范围是（﹣∞，0]．【分析】根据条件转化为函数y＝﹣f（x）在（﹣∞，m）上的值域是函数y＝f（x）在[m，+∞）上的值域的子集；分别求值域即可得到结论．解：依题意，f（q）＝﹣f（p），即函数y＝﹣f（x）在（﹣∞，m）上的值域是函数y＝f（x）在[m，+∞）上的值域的子集．因为y＝f（x）在[m，+∞）上的值域为[﹣4，+∞）（m≤﹣2）或[m2+4m，+∞]（m＞﹣2），y＝﹣f（x）在（﹣∞，m）上的值域为（﹣m，+∞），故或，解得m≤0故答案为：（﹣∞，0]．16．已知实数a，b，c满足a2+b2+2c2＝1，则ab+c的最小值是﹣．【分析】先分离出a2+b2，应用基本不等式转化为关于c的二次函数，进而求出最小值．解：若ab+c取最小值，则ab异号，c＜0，根据题意得：1﹣2c2＝a2+b2，又由a2+b2≥2|ab|＝﹣2ab，即有1﹣2c2≥﹣2ab，则ab+c≥c2+c﹣＝（c+）2﹣，即2ab+c的最小值为﹣，故答案为：﹣．17．若四棱锥P﹣ABCD的侧面PAB内有一动点Q，已知Q到底面ABCD的距离与Q到点P的距离之比为正常数k，且动点Q的轨迹是抛物线，则当二面角P﹣AB﹣C平面角的大小为30°时，k的值为．【分析】二面角P﹣AB﹣C平面角为θ，点Q到底面ABCD的距离为|QH|，点Q到定直线AB得距离为d，则d＝．再由点Q到底面ABCD的距离与到点P的距离之比为正常数k，可得|PQ|＝，由此可得sinθ＝k，则由cosθ＝cos30°＝可求k值．解：如图，设二面角P﹣AB﹣C平面角为θ，点Q到底面ABCD的距离为|QH|，点Q到定直线AB得距离为d，则|QH|＝d sinθ，即d＝．∵点Q到底面ABCD的距离与到点P的距离之比为正常数k，∴＝k，则|PQ|＝，∵动点Q的轨迹是抛物线，∴|PQ|＝d，即＝．则sinθ＝k．∴二面角P﹣AB﹣C的平面角的余弦值为cosθ＝＝＝cos30°＝．解得：k＝（k＞0）．故答案为：．三、解答题：共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，．（1）求a的值；（2）若b＝1，求△ABC的面积．【分析】（1）由题意可得，，结合余弦定理可求（2）由正弦定理可求B，C，代入三角形面积公式可得解：（1）由题意可得，，由余弦定理可得，cos A＝即＝，∴a＝（2）∵a＝，b＝1，由正弦定理可得，sin B＝＝＝∵a＞b，∴B＝，C＝π﹣A﹣B＝∴S△ABC＝＝＝19．已知等腰梯形ABCD中（如图1），AB＝4，BC＝CD＝DA＝2，F为线段CD的中点，E，M为线段AB上的点，AE＝EM＝1，现将四边形AEFD沿EF折起（如图2）．（Ⅰ）求证：AM||平面BCD；（Ⅱ）在图2中，若，求直线CD与平面BCFE所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）证明四边形ADCM为平行四边形，可得AM∥CD，进而得证；（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，再根据已知条件求得点D的坐标以及平面BCEF 的一个法向量，利用向量公式即可得所求正弦值．解：（Ⅰ）证明：连接CM，由AD平行且等于EF，MC平行且等于EF可知，AD平行且等于MC，∴四边形ADCM为平行四边形，∴AM∥CD，又AM不在平面BCD内，CD在平面BCD内，∴AM||平面BCD；（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，则，设D（x，y，z），由，可得，∴，易知平面BCEF的一个法向量为，设直线CD与平面BCFE所成角为θ，则，即直线CD与平面BCFE所成角的正弦值为．20．已知数列{a n}的前n项和S n满足：．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，数列{c n}的前n项和为T n．求证：．【分析】（Ⅰ）运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，可得所求；（Ⅱ）运用数列的裂项相消求和和不等式的性质，可得证明．解：（Ⅰ）∵，∴，即，∴，当n≥2时，，得，即{a n}是等比数列；∴．（Ⅱ）证明：＝＝，由得，所以，从而＝＝．即．21．已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的离心率为e＝，且短轴的一个端点B与两焦点A，C组成的三角形面积为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若点P为椭圆E上的一点，过点P作椭圆E的切线交圆O：x2+y2＝a2于不同的两点M，N（其中M在N的右侧），求四边形ACMN面积的最大值．【分析】（Ⅰ）结合已知可得，bc＝求出a，b的值，即可得椭圆方程；（Ⅱ）由题意可知，直线的斜率存在，设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程，利用判别式等于0可得m2＝4k2+1，联立直线方程与圆的方程，结合根与系数的关系求得S△MCO+S△ANO，利用弦长公式及点到直线的距离公式，求出S△MON，得到S ACMN＝S△MON+S+S△ANO，整理后利用基本不等式求最值．△MCO解：（Ⅰ）可得，bc＝结合a2＝b2+c2，解得a＝2，c＝，b＝1．得椭圆方程；（Ⅱ）易知直线MN的斜率k存在，设MN：y＝kx+m，由，得（4k2+1）x2+8kmx+4（m2﹣1）＝0，由△＝64k2m2﹣16（4k2+1）（m2﹣1）＝0，得m2＝4k2+1，∵S ACMN＝S△MON+S△MCO+S△ANO，设点O到直线MN：kx﹣y+m＝0的距离为d，d＝，|MN＝2＝2．S△MON+＝＝d＝，由，得（k2+1）x2+2kmx+m2﹣4＝0，，，∴y1+y2＝kx1+m+kx2+m＝k（x1+x2）+2m＝k（﹣+2m＝．∴S△MCO+S△NAO＝×（|y1|+|y2|）＝（|y1+y2|＝，∴S ACMN＝S△MON+（S△NAO+S△MCO）＝+而m2＝4k2+1，k2＝，易知k2≥0，∴m2≥1，则|m|≥1，四边形ACMN的面积S＝＝当且仅当＝|m|，即m＝时取“＝”．∴四边形ACMN面积的最大值为4．22．已知函数f（x）＝ax+lnx（a∈R）有两个零点x1，x2．（1）求a的取值范围；（2）是否存在实数λ，对于符合题意的任意x1，x2，当x0＝λx1+（1﹣λ）x2＞0时均有f′（x0）＜0？若存在，求出所有λ的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）f′（x）＝a+（x＞0），求导讨论a以确定导数的正负，从而确定函数的单调区间，求得f（﹣）＞0，求得a的取值范围；（2）由于（1）可知：f′（x0）＜0，f′（x1）•f′（x2）＜0可知λ≠0，且λ≠1，x1，x2是f（x）＝0的两个根，求得a的表达式，λ+（1﹣λ）＞，t＝，构造辅助函数g（t）＝lnt﹣（t＞0），求导化简整理，令μ＝，利用μ的取值范围，即可判断g（t）的单调性，即可求得λ的值．解：（1）f′（x）＝a+（x＞0），当a≥0时，f′（x）＞0对x＞0恒成立，与题意不符，当a＜0，f′（x）＝a+＝，∴0＜x＜﹣时，f′（x）＞0；x＞﹣时f′（x）＜0，即函数f（x）在（0，﹣）单调递增，在（﹣，+∞）单调递减，∵x→0和x→+∞时均有f（x）→﹣∞，∴f（﹣）＝﹣1+ln（﹣）＞0，解得：﹣＜a＜0，综上可知：a的取值范围（﹣，0）；（2）由（1）可知f′（x0）＜0⇔x0＞﹣（﹣＜a＜0），由x1，x2的任意性及f′（x1）•f′（x2）＜0知，λ≠0，且λ≠1，∴a＝﹣，故x0＝λx1+（1﹣λ）x2＞，又∵λ+（1﹣λ）＞，令t＝，则t＞0，t≠1，且λ+（1﹣λ）t＞＞0恒成立，令g（t）＝lnt﹣（t＞0），而g（﹣1）＝0，∴t＞1时，g（t）＞0，0＜t＜1时，g（t）＜0．（*）∴g′（t）＝﹣＝，令μ＝，若μ＜1，则μ＜t＜1时，g′（t）＜0，即函数在（μ，1）单调递减，∴g（t）＞g（1）＝0，与（*）不符；若μ＞1，则1＜t＜μ时，g′（t）＜0，即函数g（t）在（1，μ）单调递减，∴g（t）＜g（1）＝0，与（*）式不符；若μ＝1，解得λ＝，此时g′（t）≥0恒成立，（g′（t）＝0⇔t＝1），即函数g（t）在（0，+∞）单调递增，又g（1）＝0，∴t＞1时，g（t）＞0；0＜t＜1时，g（t）＜0符合（•）式，综上，存在唯一实数λ＝符合题意．。

高考模拟数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}{}{22,4A x x B x x x =≤=<，则RA B =（ ）A ．(],0-∞B ．(),0-∞C ．[]1,1-D ．()0,2 2．已知(),0,a b ∈+∞，则“2ab >”是“22log log 0a b +>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．如图，这是计算111124620+++⋅⋅⋅+的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ） A ．19?i >B ．20?i >C ．20?i <D ．21?i <4．下列函数中既有奇函数，又在区间[]1,1-上单调递增的是（ ） A ．()sin 2f x x = B ．()tan f x x x =+ C ．()3f x x x =-D ．()22x x f x -=+5．甲、乙、丙、丁、戊共5人站成一排，其中甲、乙两人中间恰有1人的站法种数是（ ） A ．18B ．24C ．36D ．486．设1F 、2F 分别为双曲线22221(0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，若双曲线上存在点P ，使得122130,120PF F PF F ∠=∠=，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．31+D ．31+ 7．已知函数()23,11,0121,0x x f x x x x x ->⎧⎪=+≤≤⎨⎪+<⎩，若数列{}n a 的前n 项和为Sn ，且()111,3n n a a f a +==，则2014S =（ ）A ．895B ．896C ．897D ．8988．函数()f x 的图像如图，则()f x 的解析式可能是 （ ） A ．()cos 2f x x =B ．()sin 4f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭C ．()3cos 28f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()5sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭9．如图，梯形ABCD 中，AD//BC ，∠ABC=90，AD ：BC ：AB=234，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，将四边形ADFE 沿直线EF 进行翻折．给出四个结论：①DF ⊥BC ；②BD ⊥FC ；③平面DBF ⊥平面BFC ；④平面DCF ⊥平面BFC ．在翻折过程中，可能成立的结论是（ ）A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④10．若直线1ax by +=与不等式组1210210y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪++≥⎩表示的平面区域无公共点，则23a b +的取值范围是（ ）A ．()7,1--B ．()3,5-C ．()7,3-D ．R二、 填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．已知复数z 满足()21z i i -=+（i 是虚数单位），则z =__________． 12．等比数列{}n a 前n 项的乘积为n T ，且2342a a =，则9T =__________．13．若()()8880182121x x a a x a x ++-=++⋅⋅⋅+，则02468a a a a a ++++=__________．14．已知某几何体的三视图如图，则该几何体的体积是_________．15．如图在等腰直角三角形ABC 中，AB=AC=2，D 、E 是线段BC 上的两点，且13DE BC =，则AD AE ⋅的取值范围是___________．16．焦点为F 的抛物线24y x =上有三点A 、B 、C 满足：①△ABC 的重心是F ；②|FA|、|FB|、|FC|成等差数列．则直线AC 的方程是________________________． 17．已知集合()()()()}222,0,,1,2,32a A f x y f x y x a y a a ⎧⎪===-+--=±±±⎨⎪⎩，()(){},0,,1,2,3A g x y g x y x y b b ===+-=±±±，则A 中方程的曲线与B 中方程的曲线的交点个数是_________．三． 解答题 本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18． (本题满分14分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且sin 2sin b Ca A=（Ⅰ）若512C π=，求角B 的大小； （Ⅱ）若2,32b C ππ=≤<，求△ABC 面积的最小值．19． (本题满分14分)如图，四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD//BC ，PA=AB=AD=2BC=2，∠BAD=θ，E 是棱PD 的中点．（Ⅰ）若60θ=，求证：AE ⊥平面PCD ；（Ⅱ）求θ的值，使二面角P —CD —A 的平面角最小．20． (本题满分14分)有A 、B 、C 三个盒子，每个盒子中放有红、黄、蓝颜色的球各一个，所有的球仅有颜色上的区别． （Ⅰ）从每个盒子中任意取出一个球，记事件S 为“取得红色的三个球”，事件T 为“取得颜色互不相同的三个球”，求P （S ）和P （T ）；（Ⅱ）先从A 盒中任取一球放入B 盒，再从B 盒中任取一球放入C 盒，最后从C 盒中任取一球放入A 盒，设此时A 盒中红球的个数为ξ，求ξ的分布列与数学期望E ξ．21． (本题满分15分)如图，设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>长轴的右端点为A ，短轴端点分别为B 、C ，另有抛物线2y x b =+．（Ⅰ）若抛物线上存在点D ，使四边形ABCD 为菱形，求椭圆的方程；（Ⅱ）若2a =,过点B 作抛物线的切线，切点为P ，直线PB 与椭圆相交于另一点Ｑ，求PQ QB的取值范围．•BACEPD（第19题）21． (本题满分15分)已知a R ∈，函数()()()2,ln 2m x x n x a x ==+． （Ⅰ）令()()(),0,0m x x f x n x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，若函数()f x 的图像上存在两点Ａ、Ｂ满足OA ⊥OB （O 为坐标原点），且线段AB 的中点在y 轴上，求a 的取值范围；（Ⅱ）若函数()()()g x m x n x =+存在两个极值点1x 、2x ，求()()12g x g x +的取值范围．理科数学 参考答案一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分）1．A ； 2．A ； 3．D ； 4．B ； 5．C ； 6．D ；7．A ；8．D ；9．B ；10．C ．第9题提示：考虑①：因为AD BC //，AD 与DF 相交不垂直，所以BC 与DF 不垂直，则①不成立；考虑②：设点D 的在平面BCF 上的射 影为点P ，当CF BP ⊥时就有FC BD ⊥，而4:3:2::=AB BC AD 可使条件满足，所以②正确；考虑③：当点P 落在BF 上时，⊂DP 平面BDF ，从而平面⊥BDF 平面BCF ，所以③正确．考虑④：因为点D 的射影不可能在FC 上，所以④不成立.第10题提示：不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤--≤0120121y x y x y 表示的平面区域是由)1,0(),1,1(),1,1(--C B A 围成的三角形区域（包含边界）．因为直线1=+by ax 与⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤--≤0120121y x y x y 表示的平面区域无公共点, 所以b a ,满足：⎪⎩⎪⎨⎧>-->-+->-+010101b b a b a 或⎪⎩⎪⎨⎧<--<-+-<-+010101b b a b a ． ),(b a 在如图所示的三角形区域（除边界且除原点）．所以b a 32+的取值范围是)3,7(-． BAC DEFP二、填空题（本大题共7小题，每题4分，共28分） 11．10； 12．512；13．138+（或6562）； 14．38； 15．]38,916[； 16．012=-±y x ； 17．14． 第17题提示：集合A 中的方程表示圆心在直线x y =上的六个圆, 由对称性只需考虑第一象限. 记3,2,1=a 对应的圆分别为⊙1C , ⊙2C ,⊙3C ,易知⊙1C 与⊙3C 外切, ⊙2C 与⊙1C , ⊙3C 相交,且经过⊙1C 的圆心.3,2,1=b 对应的三条直线321,,l l l ，1l 与⊙1C 外切，2l 与⊙2C 外切且与⊙1C 相交，3l 与⊙1C 与⊙3C 的外公切线且与⊙2C 相交，由图知在第一象限共有7个交点，故共有14个交点.三、解答题（本大题共5小题，共72分） 18．（本题满分14分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且ACa b sin 2sin =． （Ⅰ）若π125=C ，求角B 的大小； （Ⅱ）若2=b ，23ππ<≤C ，求△ABC 面积的最小值．18．（Ⅰ）（本小题7分）由正弦定理，得ACA B a b sin 2sin sin sin ==． ∴ 2165sin 2sin sin ===πC B ．∴ 6π=B （65π=B 舍）．（Ⅱ）（本小题7分）由（Ⅰ）中C B 2sin sin =可得C B 2=或π=+C B 2． 又 C B 2=时，23ππ<≤C ，π32≥B ，即π≥+C B ，矛盾． 所以π=+C B 2，ππ=+--C C A 2，即C A =． 所以3tan 21≥==∆C hb S ABC ， 即当3π=C 时，ABC S ∆的最小值是3．19．（本题满分15分）如图，四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，BC AD //,22====BC AD AB PA ，θ=∠BAD ，E 是棱PD 的中点．（Ⅰ）若︒=60θ，求证：⊥AE 平面PCD ；（Ⅱ）求θ的值，使二面角A CD P --的平面角最小． 19．（Ⅰ）（本小题7分） 当︒=60θ时，∵BC AD //,22===BC AD AB ． ∴AD CD ⊥．又⊥PA 平面ABCD ，∴CD PA ⊥． ∴⊥CD 平面PAD ． 又⊂AE 平面PAD ， ∴AE CD ⊥．又AD PA =，E 是棱PD 的中点， ∴AE PD ⊥． ∴⊥AE 平面PCD ．（Ⅱ）（本小题8分）如图，建立空间直角坐标系xyz A -，则)2,0,0(P ，)0,cos 2,sin 2(θθB ， )0,1cos 2,sin 2(+θθC ，)0,2,0(D ．∴)2,2,0(-=DP 、)0,1cos 2,sin 2(-=θθDC ． 设平面PCD 的法向量为),,(z y x n =， 则⎩⎨⎧=-+=+-⎪⎩⎪⎨⎧⇒⊥⊥0)1cos 2()sin 2(022y x z y DC n DP n θθ 取1=y ，得)1,1,sin 21cos 2(θθ-=n ．又易知平面ABCD 的法向量为)1,0,0(=m ． 设二面角A CD P --的平面角为α， 则2)sin 21cos 2(1||||cos 2+-=⋅=θθαn m要使α最小，则αcos 最大，即0sin 21cos 2=-θθ，∴ 21cos =θ，得3πθ= 20．（本题满分14分）有A 、B 、C 三个盒子，每个盒子中放有红、黄、蓝颜色的球各一个，所有的球仅有颜色上的区别． （Ⅰ）从每个盒子中任意取出一个球，记事件S 为“取得红色的三个球”，事件T 为“取得颜色互不相同的三个球”，求)(S P 和)(T P ；（Ⅱ）先从A 盒中任取一球放入B 盒，再从B 盒中任取一球放入C 盒，最后从C 盒中任取一球放入A 盒，设此时A 盒中红球的个数为ξ，求ξ的分布列与数学期望ξE ．（第19题）20．（Ⅰ）（本小题6分）271313131)(=⨯⨯=S P ，92)(131313111213==C C C C C C T P ． （Ⅱ）（本小题8分）ξ的可能值为2,1,0．①考虑0=ξ的情形，首先A 盒中必须取一个红球放入B 盒，相应概率为31，此时B 盒中有2红2非红；若从B 盒中取一红球放入C 盒，相应概率为21，则C 盒中有2红2非红，从C 盒中只能取一个非红球放入A 盒，相应概率为21；若从B 盒中取一非红球放入C 盒，相应概率为21，则C 盒中有1红3非红，从C 盒中只能取一个非红球放入A 盒，相应概率为43．故2454321212131)0(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⨯⨯==ξP ．②考虑2=ξ的情形，首先A 盒中必须取一个非红球放入B 盒，相应概率为32，此时B 盒中有1红3非红；若从B 盒中取一红球放入C 盒，相应概率为41，则C 盒中有2红2非红，从C 盒中只能取一个红球放入A 盒，相应概率为21；若从B 盒中取一非红球放入C 盒，相应概率为43，则C 盒中有1红3非红，从C 盒中只能取一个红球放入A 盒，相应概率为41．故2454143214132)2(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⨯⨯==ξP ．③1272452451)1(=--==ξP ． 所以ξ的分布列为ξ0 1 2 P245127 245 ξ的数学期望1245212712450=⨯+⨯+⨯=ξE ． 21．（本题满分15分）如图，设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 长轴的右端点为A ，短轴端点分别为B 、C ，另有抛物线b x y +=2．（Ⅰ）若抛物线上存在点D ，使四边形ABCD 为菱形，求椭圆的方程；（Ⅱ）若2=a ，过点B 作抛物线的切线，切点为P ，直线PB 与椭圆相交于另一点Q ，求||||QB PQ 的取值范围．21．（Ⅰ）（本小题6分） 由四边形ABCD 是菱形， 得),(2b a a D +，且⎩⎨⎧=+=+b b a b b a 22222，解得33=a ，31=b ， 所以椭圆方程为19322=+yx ．（Ⅱ）（本小题9分） 不妨设),(2b t t P +（0≠t ）， 因为t x y t x t x 2|2|'====，所以PQ 的方程为b t t x t y ++-=2)(2，即b t tx y +-=22． 又因为直线PQ 过点B ，所以b b t -=+-2，即22t b =．所以PQ 的方程为222ttx y -=．联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=144224222t y x t tx y ，消去y ，得032)64(22=-+tx x t ． 所以点Q 的横坐标为64322+=t tx Q ， 所以132||||22+=--=t x x x x QB PQ B Q Q P ．又)4,0(22∈=b t ，所以||||QB PQ 的取值范围为)89,1(． 22．（本题满分14分）已知R ∈a ，函数2)(x x m =，)2ln()(+=x a x n ．（Ⅰ）令⎩⎨⎧>≤=0,)(0,)()(x x n x x m x f ，若函数)(x f 的图象上存在两点A 、B 满足OB OA ⊥（O 为坐标原点），且线段AB 的中点在y 轴上，求a 的取值集合；（Ⅱ）若函数)()()(x n x m x g +=存在两个极值点1x 、2x ，求)()(21x g x g +的取值范围． 22．（Ⅰ）（本小题6分）由题意，不妨设))2ln(,(+t a t A ，),(2t t B -，且0>t ， ∴0=⋅OB OA ，即0)2ln(22=++-t at t ，∴)2ln(1+=t a ．∵),2(ln )2ln(+∞∈+t ， ∴a 的取值集合是}2ln 10|{<<x x ． （Ⅱ）（本小题8分）)2ln()(2++=x a x x g ，242)('2+++=x ax x x g ． 要使)(x g 存在两个极值点，则0)('=x g 即0422=++a x x 在),2(+∞-上存在两不等的实根．令a x x x p ++=42)(2，∵)(x p 的图象的对称轴为1-，∴0816>-=∆a 且0)2(>-p ． ∴20<<a ．由上知⎪⎩⎪⎨⎧=⋅-=+222121a x x x x ． ∴)2ln()2ln()()(22212121+++++=+x a x x a x x g x g]4)(2ln[2)(212121221++++-+=x x x x a x x x x ]4)2(22ln[22)2(2+-⋅++⋅--=aa a 42ln+-=a aa ． 令42ln )(+-=x xx x q ，)2,0(∈x ， ∴02ln )('<=xx q ，)(x q 在)2,0(上单调递减， ∴ 442ln2<+-<a aa ． 故)()(21x g x g +的取值范围是)4,2(．高考模拟数学试卷第Ⅰ卷(共60分)一．选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合}0|{≥=x x A ，且B B A = ，则集合B 可能是 A.}2,1{B.}1|{≤x xC.}1,0,1{-D.R2.下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3π=x 对称的是A.)62sin(π+=x y B.)32sin(π+=x yC.)32sin(π-=x yD.)62sin(π-=x y3.已知110a b<<，则下列结论错误的是 A.22b a < B.2b aa b+> C.2b ab > D.2lg lg a ab <4.规定2,a b ab a b a b R +⊗=++∈　、，若14k ⊗=，则函数()f x k x =⊗的值域A.(2,)+∞ B ．),1(+∞ C ．7[,)8+∞ D ．7[,)4+∞ 5.设命题:p 函数xy 1=在定义域上为减函数；命题:q ,(0,)a b ∃∈+∞,当1a b +=时,113a b +=，以下说法正确的是A.p ∨q 为真B.p ∧q 为真C.p 真q 假D.p ，q 均假6.若向量a 、b 满足)1,2(-=+b a ，)2,1(=a，则向量a 与b 的夹角等于A.︒45 B ．︒60 C ．︒120 D ．︒135 7.某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的 函数是 A ．()x f x x=B ．()()2ln1f x x x =+-C ．()x x x xe ef x e e --+=- D ．|4||3|1)(2x x x x f -++-= 8.已知锐角α且α5的终边上有一点)130cos ),50(sin(0-P ，则α的值为 A ．08 B ．044 C ．026 D ．040 9．下列命题正确的个数是①“在三角形ABC 中，若sin sin A B >,则A B >”的否命题是真命题； ②命题:2p x ≠或3y ≠，命题:5q x y +≠则p 是q 的必要不充分条件；③“32,10x R x x ∀∈-+≤”的否定是“01,23>+-∈∃x x R x ”. A.0 B.1 C.2 D.3 10.已知锐角B A ,满足)tan(tan 2B A A +=,则B tan 的最大值为A ． 22B ．2 C ．22 D ．42 11.已知函数()2014sin (01)(),log 1x x f x x x π⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩若c b a 、、互不相等，且)()()(c f b f a f ==，则c b a ++的取值范围是A ．（1，2014）B ．（1，2015）C ．（2，2015）D ．[2，2015] 12.下列四个图中,函数10ln 11x y x +=+的图象可能是二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知2||=a，3||=b，b a,的夹角为60，则=-|2|b a___________.14.设420cos =a ,函数,0,()log ,0,x a a x f x x x ⎧<=⎨≥⎩,则211()(log )46f f +的值等于 ．15. 在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知6π=C ，1=a ，3=b ，则=B ____________.16.实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤->≤≥,0),1(,1y x a a y x 若目标函数y x z +=的最大值为4，则实数a 的值为.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）已知α为锐角，且tan()24πα+=．（Ⅰ）求tan α的值； （Ⅱ）求sin 2cos sin cos 2αααα-的值．18．（本小题满分12分）已知幂函数2242()(1)m m f x m x -+=-在(0,)+∞上单调递增，函数()2x g x k =-．（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）当[1,2]x ∈时，记()f x ，()g x 的值域分别为集合,A B ，若A B A ⋃=，求实数k 的取值范围．20.（本小题满分12分）已知函数]1)1()1lg[()(22+++-=x a x a x f ，设命题p ：“()f x 的定义域为R ”; 命题q “()f x 的值域为R ” ．（Ⅰ）分别求命题p 、q 为真时实数a 的取值范围； （Ⅱ）p ⌝是q 的什么条件?请说明理由.21.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且55sin ,43==A C π． （Ⅰ）求B sin 的值；（Ⅱ）若105-=-a c ，求ABC ∆的面积．22.（本小题满分12分）已知函数()()()22211xf x ax a x a a e ⎡⎤=+-+--⎣⎦(其中R a ∈).（Ⅰ）若0x =为()f x 的极值点,求a 的值； （Ⅱ）在(Ⅰ)的条件下,解不等式()()21112f x x x x ⎛⎫>-++ ⎪⎝⎭.因为1tan 3α=，所以cos 3sin αα=，又22sin cos 1αα+=， 所以21sin 10α=，…………………9分 又α为锐角，所以10sin α=所以sin 2cos sin 10cos 2αααα-=.…………………10分 18.解：（Ⅰ）依题意得：2(1)1,0m m -=⇒=或2m =当2m =时，2()f x x -=在(0,)+∞上单调递减，与题设矛盾，舍去∴0m =． ……………5分（Ⅱ）当[1,2]x ∈时，()f x ，()g x 单调递增，∴[1,4],[2,4]A B k k ==--，A B A ⋃=，∴B A ⊆，∴210144k k k -≥⎧⇒≤≤⎨-≤⎩． ……………12分 19. (Ⅰ) ()·f x =a b =)62sin(2cos 212sin 232cos 21sin 3cos π-=-=-⋅x x x x x x . ……………4分当226222πππππ+≤-≤-k x k 时，解得36ππππ+≤≤-k x k ，)62sin()(π-=∴x x f 的单调递增区间为)](3,6[Z k k k ∈+-ππππ. ……………8分(Ⅱ)上的图像知，在，由标准函数时，当]65,6-[sin ]65,6-[)62(]2,0[ππππππx y x x =∈-∈. ]1,21[)]2(),6-([)62sin()(-=∈-=πππf f x x f .所以,f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别为21,1-. ……………12分20.解(Ⅰ)命题p 为真,即)(x f 的定义域是R ,等价于01)1()1(22>+++-x a x a 恒成立,等价于1-=a 或⎩⎨⎧<--+=>-.0)1(4)1(Δ,01222a a a 解得1-≤a 或35>a .∴实数a 的取值范围为-∞(,35(]1 -,)∞+ ……………4分命题q 为真,即)(x f 的值域是R , 等价于1)1()1(22+++-=x a x a u 的值域),0(∞+⊇,等价于1=a 或⎩⎨⎧≥--+=>-.0)1(4)1(Δ,01222a a a 解得351≤≤a .∴实数a 的取值范围为1[,]35……………8分 (Ⅱ)由(Ⅰ)(Ⅱ)知,p ⌝]35,1(-∈a ;q ]35,1[∈a .而]35,1[]35,1(≠⊃-,∴p ⌝是q 的必要而不充分的条件 ……………12分 21. 解：（1）因为55sin ,43==A C π 所以552sin 1cos 2=-=A A 由已知得A B -=4π.所以A A A B sin 4coscos 4sin)4sin(sin πππ-=-=1010552225222=⋅-⋅=……………………………………………………6分 （2）由（1）知43π=C 所以22sin =C 且1010sin =B .由正弦定理得510sin sin ==C A c a .又因为105-=-a c ，所以10,5==a c .所以25101051021sin 21=⋅⋅==∆B ac S ABC ………………………………12分 22. (Ⅰ)因为()()()22211x f x ax a x a a e ⎡⎤=+-+--⎣⎦()()()()()22222221111x x x f x ax a e ax a x a a e ax a x a e ⎡⎤⎡⎤⎡⎤'∴=+-++-+--=+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦因为0x =为()f x 的极值点,所以由()000f ae '==,解得0a =检验,当0a =时,()xf x xe '=,当0x <时,()0f x '<,当0x >时,()0f x '>.所以0x =为()f x 的极值点,故0a =. ……………4分 (Ⅱ) 当0a =时,不等式()()21112f x x x x ⎛⎫>-++ ⎪⎝⎭()()211112x x e x x x ⎛⎫⇔-⋅>-++ ⎪⎝⎭, 整理得()211102x x e x x ⎡⎤⎛⎫--++>⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦, 即2101102x x e x x ->⎧⎪⎨⎛⎫-++> ⎪⎪⎝⎭⎩或2101102x x e x x -<⎧⎪⎨⎛⎫-++< ⎪⎪⎝⎭⎩令()2112x g x e x x ⎛⎫=-++⎪⎝⎭,()()()1x h x g x e x '==-+,()1x h x e '=-, 当0x >时,()10xh x e '=->；当0x <时,()10xh x e '=-<,所以()h x 在(),0-∞单调递减,在(0,)+∞单调递增,所以()()00h x h >=,即()0g x '>, 所以()g x 在R 上单调递增,而()00g =； 故211002x e x x x ⎛⎫-++>⇔>⎪⎝⎭；211002x e x x x ⎛⎫-++<⇔< ⎪⎝⎭, 所以原不等式的解集为{}01x x x <>或. ……………12分高考模拟数学试卷理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自已的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答题无效．3．考试结束后，监考员将答题卡收回． 参考公式：圆锥侧面积公式：S rl π=，其中r 为底面圆的半径，l 为母线长．第Ⅰ卷（选择题部分，共60分）一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知2(1)z m mi =-+在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是（ ） A ． (1,1)- B ．(1,0)- C ．(,1)-∞ D ． (0,1) 2．已知集合{|05}A x R x =∈<≤，2{|log 2}B x R x =∈<，则()A CB Z =（ ）A ．{4}B ．{5}C ．[45]，D ．{45}，3．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：发仓募粮，所募粒中秕不百三则收之(不超过3%)，现抽样取米一把，取得235粒米中夹秕n 粒，若这批米合格，则n 不超过（ ） A ．6粒 B ．7粒 C ．8粒 D ．9粒 4．已知332333233332612201+2=()1+2+3=()1+2+3+4=()222，，，，若333331+2+3+4++=3025n ，则n =（ ）A ．8B ． 9C ．10D ．11 5．221a b +=是sin cos 1a b θθ+≤恒成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．函数sin ()2xxf x e=的图象的大致形状是（ ）4226sin360°否结束输出ns ≥3.102nn=6开始7．已知直线:=-l y kx k 与抛物线C ：24=y x 及其准线分别交于,M N 两点，F 为抛物线的焦点，若2FM MN =，则实数k等于（ ）A ．B ．1±C ．D ．2±8．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且124F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为（ ） A ．12B ．2C ．1D9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（）A ．12B ．24C ．36D ．48 10．已知函数'()f x 是函数()f x 的导函数，1(1)f e=，对任意实数都有()()0f x f x '->，则不等式2()x f x e-<的解集为（ ）A. (,)e -∞ B ．(1,)+∞ C. (1,)e D ．(,)e +∞11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（ ） A ．72 B ．48 C ．24 D ．16 12．函数2231119()cos(2)4cos 2([,])331212f x x x x x ππππ=-+--∈--所有零点之和为（ ） A ．3π2 B ．43π C ． π2 D ． 83π第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）本卷包括必考题和选考题两个部分. 第13题～第21题为必考题，每个考生都必须作答. 第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.二．填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.13.已知6(1)(1)x ax -+展开式中含2x 项的系数为0，则正实数a = .14.已知向量(,),(1,2)a m n b ==-，若||25,(0)a a b λλ==<，则m n -= .15.对任意[1,5]k ∈，直线:1l y kx k =--都与平面区域620x a x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩有公共点，则实数a 的最大值是 .16.定义域为R 的函数()f x 满足(+3)=2()f x f x ，当[1,2)x ∈-时，2|1|,[1,0)()=1(),[0,2)2x x x x f x x -⎧+∈-⎪⎨-∈⎪⎩ ．若存在[4,1)x ∈--，使得不等式234()t t f x -≥成立，则实数t 的取值范围是 ． 三．解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本小题满分12分) 已知数列{}n a 满足2312232222nn a a a a n n ++++=+ （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若(1)2n nn a b -=，求数列{}n b 的前n 项和n S .18．(本小题满分12分) 为备战2018年瑞典乒乓球世界锦标赛，乒乓球队举行公开选拨赛，甲、乙、丙三名选手入围最终单打比赛名单.现甲、乙、丙三人进行队内单打对抗比赛，每两人比赛一场，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为35，丙胜甲的概率为34，乙胜丙的概率为p ，且各场比赛结果互不影响.若甲获第一名且乙获第三名的概率为110. （Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）设在该次对抗比赛中，丙得分为X ，求X 的分布列和数学期望.19．(本小题满分12分) 如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为平行四边形，平面⊥PAB 平面ABCD ，PC PB =,︒=∠45ABC ，点E 是线段PA 上靠近点A （Ⅰ）求证AB PC ⊥；（Ⅱ）若PAB ∆是边长为2的等边三角形， 求直线DE 与平面PBC 所成角的正弦值.20．(本小题满分12分) 如图，已知直线:1(0)l y kx k =+>关于直线1y x =+对称的直线为1l ，直线1,l l 与椭圆22:14x E y +=分别交于点A 、M 和A 、N ，记直线1l （Ⅰ）求1k k ⋅的值；（Ⅱ）当k 变化时，试问直线MN 是否恒过定点?若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由.21．（本小题满分12分）已知函数()axf x ebx =+(0)a <在点(0,(0))f 处的切线方程为51y x =+,且(1)(1)12f f '+=.（Ⅰ）求函数()y f x =的极值；（Ⅱ）若2()3f x x >+在[1,]x m ∈上恒成立，求正整数m 的最大值.请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩ （θ为参数）.（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）若曲线C 向左平移一个单位,再经过伸缩变换2xxy y'=⎧⎨'=⎩得到曲线C '，设(,)M x y 为曲线C '上任一点，求224x y --的最小值，并求相应点M 的直角坐标.23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()|23||1|.f x x x =++- （Ⅰ）解不等式()4f x >； （Ⅱ）若存在3[,1]2x ∈-使不等式1()a f x +>成立，求实数a 的取值范围．理科数学 参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题本大题共4小题,每小题5分，满分20分． 13．25; 14. 6-; 15. 2; 16. (,1][2,)-∞+∞ 三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤. 17.【解析】（Ⅰ）2312232222nn a a a a n n ++++=+……①， ∴当2n ≥时，23112231(1)12222n n a a a a n n --++++=-+-② ①②得2(2)2nn a n n =≥，∴12(2)n n a n n +=⋅≥. …………5分 又∵当1n =时，1112a =+， ∴14a =，∴12n n a n +=⋅. …………6分 （Ⅱ）(1)(2)2n n nn a b n -==-,1231(2)2(2)3(2)(2)n n S n =⨯-+⨯-+⨯-++⨯-……③2341(2)1(2)2(2)3(2)(1)(2)+(2)n n n S n n +-=⨯-+⨯-+⨯-++-⨯--……④∴234112[1(2)]3(2)+(2)(2)(2)(2)(2)(2)3n nn n n S n n ++---=--+-+-++---=--∴1(31)(2)29n n n S ++-+=-. …………12分18.【解析】（Ⅰ）由已知，甲获第一名且乙获第三名的概率为110. 即甲胜乙、甲胜丙且丙胜乙概率为110， …………2分 ∴311(1)5410p ⨯⨯-=， ∴13p =. …………6分 （Ⅱ）依题意丙得分X 可以为0,3,6,丙胜甲的概率为34，丙胜乙的概率为23…………7分 111(0)4312P X ==⨯=,31125(3)434312P X ==⨯+⨯=,326(6)4312P X ==⨯= …………10分∴ 1()0361212124E X =⨯+⨯+⨯=. (12)分 19.【解析】（Ⅰ）作PO AB ⊥于O ……①,连接OC ， ∵平面⊥PAB 平面ABCD ，且PABABCD AB =面面 ，∴PO ⊥面ABCD . ………2分∵PC PB =，∴POB POC ∆≅∆,∴OB OC =， 又∵︒=∠45ABC ，∴OC AB ⊥……② 又POCO O =,由①②，得AB ⊥面POC，又PC ⊂面POC ，∴AB PC ⊥. ………6分（Ⅱ）∵PAB ∆是边长为2的等边三角形，∴1PO OA OB OC ====如图建立空间坐标系，(1,0,0)P - 设面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，(1,0,3),(1,1,0)PB BC=-=-0n PB x n BC x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令x =(3,3,1)n = 11(1,0,3),(,0,33AP AE AP ===，(1,1,0)CB DA ==- 4(,1,33DE DA AE =+=-，设DE 与面PBC 所成角为θsin |cos ,|||||16n DE n DE n DE θ-⋅====∴直线DE 与平面PBC 所成角的正弦值7. …………12分 20.【解析】（Ⅰ）设直线l 上任意一点(,)P x y 关于直线1y x =+对称点为000(,)P x y 直线l 与直线1l 的交点为(0,1)，∴11:1,:1l y kx l y k x =+=+01011,y y k k x x --==，由00122y y x x ++=+ 得002y y x x +=++……..① 由1y y x x -=--得00y y x x -=-…….②， 由①②得 0011y x y x =+⎧⎨=+⎩0000100()1(1)(1)(2)11yy y y x x x x kk xx xx -++++-+++===. …………6分（Ⅱ）设点1122(,),(,)M x y N x y ，由12211114y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2211(41)80k x kx ++=， ∴2841M kx k -=+，∴221441M k y k -=+. 同理：122188414N k k x k k --==++，221221144414N k k y k k--==++ …………8分 224222222144881414888(33)3414M N MNM N k k y y k k k k k k k x x k k k k k-----+++====------++ …………9分 :()M MN M MN y y k x x -=-，∴22221418()41341k k ky x k k k -+--=--++即：22222218(1)141533(41)4133k k k k y x x k k k k ++-+=--+=--++ …………11分 ∴当k 变化时，直线MN 过定点5(0,)3-. …………12分21.【解析】（Ⅰ）()ax f x e bx =+，那么'()axf x ae b =+由'(0)5(1)'(1)12f f f =⎧⎨+=⎩，得512a aa b ae b b e +=⎧⎨+++=⎩，化简得(2)(1)0a e a -+= 由0a <得1,6a b =-=，∴()6xf x e x -=+ …………3分即'()60xf x e-=-+=，得ln6x =-，∴()f x 在(,ln 6)-∞-单调递减，在(ln 6,)-+∞单调递增，∴ln6()(ln6)6ln666ln6f x f e =-=-=-极小值，无极大值. …………5分（Ⅱ）2()3f x x >+在[]1,x m ∈上恒成立，等价于2630x e x x --+->在[]1,x m ∈上恒成立.设2()63xg x ex x -=-+-，则'()26x g x e x -=--+设()'()26xh x g x e x -==--+，则'()2x h x e -=-， …………6分∵1x m ≤≤，有'()0h x <， ∴()h x 在区间[]1,m 上是减函数， 又∵123(1)40,(2)20,(3)0h eh e h e ---=->=->=-<，∴存在0(2,3)x ∈，使得00()'()0h x g x ==，当01x x ≤<时，有'()0g x >，当0x x >时，有'()0g x <.∴()y g x =在区间[]01,x 上递增，在区间0(,)x m 上递减， 又∵123(1)20,(2)5>0,(3)6>0,g e g eg e ---=+>=+=+456(4)5>0,(5)20,(6)30.g e g e g e ---=+=+>=-<∴当15x ≤≤时，恒有()0g x >；当6x ≥时，恒有()0g x <；∴使命题成立的正整数m 的最大值为5. …………12分 22.【解析】（I ）由 1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）得曲线C 的普通方程为22(1)1x y -+=得曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=. …………4分（Ⅱ）22(1)1x y -+=，向左平移一个单位再经过伸缩变换2x xy y'=⎧⎨'=⎩得到曲线C '的直角坐标方程为2214x y +=，设(2cos ,sin )M αα，则2222cos cos sin 4x y a a αα-=--cos222cos(2)3a παα==+ …………7分当3k παπ=+时，224x y -的最小值为2-，此时点M的坐标为(1,2或(1,2--. …………10分 23.【解析】（Ⅰ）()|23||1|.f x x x =++-33223()412321x x f x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪∴=+-≤≤⎨⎪+>⎪⎪⎩，∴3311()42232432444x x x f x x x x ⎧⎧><--≤≤⎧⎪⎪>⇔⎨⎨⎨+>⎩⎪⎪-->+>⎩⎩或或211x x x ⇔<-<≤>或0或. 综上，不等式()4f x >的解集为(,2)(0,)-∞-+∞. …………5分（Ⅱ）存在3[,1]2x ∈-使不等式1()a f x +>成立min 1(())a f x ⇔+> 由（Ⅰ）得，3[,1]2x ∈-时，()4f x x =+，()4f x x =+时，min 5(())2f x = ∴512a +>， ∴32a >，∴实数a 的取值范围为3+2∞（，）. …………10分高考模拟数学试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第(22)- (23)题为选考题，其他题为必考题。

浙江省高三数学数学一模(带解析)一、选择题1.已知集合P={x|0≤x<1},Q={x|2≤x≤3} 记 M=PUQ ，则( )A. B. C. D.2.已知函数的定义域是( )A. B. C. D. R3.设不等式组，所表示的平面区域记为，则属于的点是( )A. B. C. D.4.已知函数则 ( )A. 1B.C. 3D.5.双曲线的渐近线是( )A. B.C. D.6.如图，在正方体中，直线与平面所成角的余弦值是( )A. B. C. D.7.若锐角满足，则 ( )A. B. C. D.8.在三棱锥中，若为的中点，则 ( )A. B.C. D.9.数列是公差不为零的等差数列，下列数列中，不构成等差数列的是( )A. B. C. D.解集是( )11.用列表法将函数A. 为奇函数B. 为偶函数C. 为奇函数D. 为偶函数12.如图， 在直角坐标系 中， 坐标轴将边长为 4 的正方形 分割成四个小正方形， 若大圆为正方形 的外接圆，四个小圆圆分别为四个小正方形的内切圆，则图中某个圆的方程是( ).. 13.设 为实数，则“ ”是 的 ( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C.D.14.在直角坐标系 中， 已知点 ， 过 的直线交 轴于点 ， 若直线 的倾斜角是直线 倾斜角的 2 倍，则 ( )A. B. C. D.( ) 为 .. ， 体积为 ，则A. B. B D B A C A 既不充分也不必要条件 10.不等式的，则( )充要条件 表示为 . .,, 15.甲、乙几何体的三视图分别如图•图所示，分别记它们的表面积C. 2D... 16.如图， 设 为椭圆 =1 ( )的右焦点，过 作分别为椭圆的右顶点和上顶点， 为坐标原点，若 的面积是心率( )A. 或B. 或C. 或D. 或17.设 a 为实数，若函数 f(x)=2x 2−x+a 有零点，则函数 y=f[f(x)]零点的个数是( )A. 1 或 3B. 2 或 3C. 2 或 4D. 3 或 4，则下面二面角的平面角大小为定值的是( )A. B. C. D.二、填空题21.若 中，已知 则 的取值范围是________.22.若不等式 对任意 恒成立，则实数 的最小值是________.三、解答题23.在等差数列( Ⅰ ) 求 的公差(Ⅱ) 记20.若平面向量 满足 ________.则 19.已知函数 ，则 的最小正周期是________ ，的最大值是________.所在的平面与梯形 18.如图，设矩形 所在平面交于 ，若D C 中， 已知 及通项 ； ，求数列的前 轴的垂线交椭圆于点 ， 点面积的 倍，则该椭圆的离项和.， ， , ,24.如图，已知抛物线与交于两点，是该抛物线上位于第一象限内的点 .( Ⅰ ) 记直线的斜率分别为，求证(Ⅱ) 过点作，垂足为，若关于25.如图，在直角坐标系中，已知点记左侧部分的多边形为，设各边的平方和为( Ⅰ )求分别求函数(Ⅱ)是否存在区间为定值；轴的对称点恰好在直线上直线，将，各边长的倒数和为，求的面积.分成两部分，和的解析式；，使得函数和在该区间上均单调递减？若存在，求的最大值；.若不存在，说明理由 .答案解析部分一、选择题1.【答案】C2.【答案】A3.【答案】 D4.【答案】C5.【答案】C6.【答案】 D7.【答案】 D8.【答案】 C9.【答案】A10. 【答案】 B11. 【答案】 A12. 【答案】 B13. 【答案】 A14. 【答案】 B15. 【答案】 B16. 【答案】 D17. 【答案】 C18. 【答案】 B二、 填空题19. 【答案】 ； 320. 【答案】 -221. 【答案】22. 【答案】三、 解答题差通项(Ⅱ)将( Ⅰ )中的通项 代入得是等比数列，其中首项 的前 n 项和 由此可知所以，数列 ，公比 q=2.，将 ， 代入，解得公差 d=1，解得数列 的公23. 【答案】 解：( Ⅰ )因为24. 【答案】解：( Ⅰ )由题意得点 A， B 的坐标分别为 A ( -1,0)， B (1,0)设点 P 是坐标为 P ，且，则所以 =2 为定值。

高考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.集合M={y∈N|y=-x2+5，x∈Z}的真子集个数是（）A. 5B. 6C. 7D. 82.设i是虚数单位，则复数=（）A. -4iB. -2iC. 2iD. 4i3.已知直线m，n和平面α，m⊂α，则“n⊄α”是“n与m异面”（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AB=2AD=2DC=4，AC与BD相交于O，过点A作AE⊥BD于E，则=（）A. B. C. 3 D.5.若实数x，y，对任意实数m，满足，则由不等式组确定的可行域的面积是（）A. B. C. π D.6.已知定义在R上的函数f（x）=3-|x+m|+2（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.23），b=f（log5e），c=f（π+m），则（）A. c＜b＜aB. c＜a＜bC. a＜c＜bD. a＜b＜c7.等比数列{a n}中，a1=1，a12=8，函数f（x）=x（x-a1）（x-a2）…（x-a12），f'（0）=（）A. 212B. 215C. 218D. 2218.已知双曲线的左，右顶点是A，B，P为双曲线右支上一点，且，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.9.已知函数，设1≤x1＜x2＜…＜x n≤16，若|f（x1）-f（x2）|+|f（x2）-f（x3）|+…+|f（x n-1）-f（x n）|≤M，则M的最小值为（）A. 3B. 4C. 5D. 610.设n∈N*，a n为（x+4）n-（x+1）n的展开式的各项系数之和，c=t-7，t∈R，（[x]表示不超过实数x的最大整数）．则的最小值为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.已知的最小正周期为2，则ω=______，函数f（x）在上的值域是______．12.直线mx+y-2=0（m∈）与圆C：x2+y2-2y-1=0相交于A，B两点，弦长|AB|的最小值为______，若三角形ABC的面积为，则m的值为______．13.袋子中装有若干个均匀的红球和白球，从中摸出一个红球的概率是，现从袋子中有放回地摸球，每次摸出一个，有2次摸到红球即停止，则恰好摸4次停止的概率p=______；若记4次之内（含4次）摸到红球的次数为ξ，则随机变量ξ的数学期望Eξ=______．14.如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，线段BC上的点Q，满足PD=DA，PB=BA，则四面体P-BCD的体积的最大值是______；当P-BCD体积取最大值时，|PQ|min=______．15.已知平面向量，，满足，，则对任意的t∈R，的最小值记为M，则M的最大值为______．16.在数列{a n}及{b n}中，a n+1=a n+b n+，b n+1=a n+b n-，a1=1，b1=1．设，则数列{c n}的前n项和为______．17.已知函数，若方程f（x）=a有且仅有两个实数解x1，x2（x1＜x2），且x1•x2＞6，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.在△ABC中，sin（A-B）=1，．（Ⅰ）求cos B的值；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．19.数列{a n}中，a1=1，．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}的前n项和为S n，且（k∈N*），求使S2n取最小值时n的值．20.如图，已知矩形BCDE所在平面与△ABE所在平面互相垂直，AB⊥AE，AB＞AE．（Ⅰ）若M为AC中点，N为BE中点，证明：MN∥平面ADE；（Ⅱ）若BE=2，DE=1，且DE与平面DAC所成角的正弦值为，求∠ABE的大小．21.已知抛物线L：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过点M（5，0）的动直线l与抛物线L交于A，B两点，直线AF交抛物线L于另一点C，直线|AC|的最小值为4．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）若过点A作y轴的垂线m，则x轴上是否存在一点P（x0，0），使得直线PB与直线m的交点恒在一条定直线上？若存在，求该点的坐标及该定直线的方程；若不存在，请说明理由．22.已知函数，其中a＞0，b∈R．（Ⅰ）当b=-3时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=3且b＜0时，①若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求证：；②若对任意的x1∈[1，t]，都有成立，求正实数t的最大值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：M={y∈N|y=-x2+5，x∈Z}，∵y∈N，x∈Z，∴y=-x2+5≥0，x∈Z∴，x∈Z，因此，当x=±2时，y=1；当x=±1时，y=4；当x=0时，y=5，∴M={1，4，5}，则M的真子集的个数是23-1=7个．故选：C．先确定集合M的元素个数，根据真子集的个数公式进行计算即可．本题主要考查集合真子集个数的判断，含有n个元素的集合，其子集的个数为2n个，真子集的个数为2n-1个，属基础题．2.【答案】D【解析】解：=．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.【答案】B【解析】解：若n⊄α，则n与m可能相交，可能异面，故充分性不成立若n与m异面，则n⊄α，即“n⊄α”是“n与m异面”的必要不充分条件，故选：B．根据空间直线位置关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合空间直线位置关系是解决本题的关键．4.【答案】C【解析】解：由梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AB=2AD=2DC=4，可得∠BDC=90°，∠ADC=120°，∠ADB=30°，∠DAC=30°，∠EAC=30°，由AD=2，在△ADC中，可得AC=2，在△AEO中，AE=1，所以=||||cos∠EAC=1×=3，故选：C．由解直角三角形得：∠BDC=90°，∠ADC=120°，∠ADB=30°，∠DAC=30°，∠EAC=30°，由AD=2，在△ADC中，可得AC=2，在△AEO中，AE=1，由平面向量数量积的运算得：=||||cos∠EAC=1×=3，得解．本题考查了解直角三角形及平面向量数量积的运算，属中档题．5.【答案】A【解析】解：实数x，y，对任意实数m，满足的可行域如图：可行域是扇形，个圆，面积为：=．故选：A．画出约束条件的可行域，然后求解可行域的面积．本题考查线性规划的应用，考查数形结合以及计算能力．6.【答案】B【解析】解：∵f（x）为偶函数，∴f（-x）=f（x），∴3-|-x+m|+2=3-|x+m|+2，∴|-x+m|=|x+m|；∴m=0；∴f（x）=3-|x|+2；∴f（x）在[0，+∞）上单调递减，并且a=f（|log0.23|）=f（log53），b=f（log5e），c=f（π+m）=f（π）∵0＜log5e＜log53＜π∴c＜a＜b．故选：B．根据f（x）为偶函数便可求出m=0，从而f（x）=3-|x|+2，这样便知道f（x）在[0，+∞）上单调递减，根据f（x）为偶函数，便可将自变量的值变到区间[0，+∞）上：a=f（|log0.23|），b=f（log5e），c=f（π），然后再比较自变量的值，根据f（x）在[0，+∞）上的单调性即可比较出a，b，c的大小．本题考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0，+∞）上，根据单调性去比较函数值大小．对数的换底公式的应用，对数函数的单调性，函数单调性定义的运用．7.【答案】C【解析】解：设g（x）=（x-a1）（x-a2）（x-a3）…（x-a12），∴f（x）=xg（x），∴f'（x）=g（x）+xg′（x），∴f'（0）=g（0）+0×g′（x）=g（0）=（-a1）（-a2）（-a3）…（-a12）=（a1a12）6=218故选：C．设g（x）=（x-a1）（x-a2）（x-a3）…（x-a12），对函数进行求导发现f′（0）中，含有x的项的值均为0，而常数项为a1a2a3…a12，由此求得f'（0）的值．本题考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，属于基本知识的考查．8.【答案】C【解析】解：∵（）=（）•（）=-=0，∴BP=BA=2a，过P作x轴的垂线PC，C为垂足，则S△ABP===，∴PC=，∴BC==，∴P（，），代入双曲线方程得：-=1，解得：=，∴e===．故选：C．由题意可知AB=BP，用表示出P点坐标，代入双曲线方程得出a，b的关系，从而可求出离心率．本题考查了双曲线的性质，属于中档题．9.【答案】A【解析】解：由，得f（1）=1，f（2）=0，f（16）=3．∵1≤x1＜x2＜…＜x n≤16，∴M≥|f（x1）-f（x2）|+|f（x2）-f（x3）|+…+|f（x n-1）-f（x n）|≥|f（x1）-f（x2）+f（x2）-f（x3）+…+f（x n-1）-f（x n）|=|f（x n）-f（x1）|≥|f（16）-f（2）|=|3-0|=3．则M的最小值为3．故选：A．由已知分段函数求得f（1）=1，f（2）=0，f（16）=3，再由M≥|f（x1）-f（x2）|+|f（x2）-f（x3）|+…+|f（x n-1）-f（x n）|≥|f（x1）-f（x2）+f（x2）-f（x3）+…+f（x n-1）-f（x n）|=|f （x n）-f（x1）|≥|f（16）-f（2）|=|3-0|=3，可得M的最小值．本题考查分段函数及其应用，考查绝对值不等式的解法，属中档题．10.【答案】B【解析】解：令x=1可得，a n=5n-2n，[]=[n-]=n-1，=1+2+…+（n-1）=，则（n-t）2+（b n+c）2的几何意义为点（n，）（n∈N*）到点（t，7-t）的距离的平方，最小值即（3，3）到y=7-t的距离d，∵d==，∴的最小值．故选：B．令x=1可得，a n=5n-2n，求出b n，则（n-t）2+（b n+c）2的几何意义为点（n，）（n∈N*）到点（t，7-t）的距离的平方，最小值即（3，3）到y=7-t的距离d的平方，然后由点到直线的距离公式求解即可得答案．本题考查了二项式定理的应用，考查了点到直线的距离公式，是中档题．11.【答案】π[-，]【解析】解：∵已知=2sin（ωx-）的最小正周期为=2，则ω=π．在上，ωx-=πx-∈[-，]，sin（ωx-）∈[-，]，f（x）=2sin（ωx-）∈[-，]，故答案为：π；[-，]．由题意利用两角和差的三角公式，正弦函数的周期性、定义域和值域，得出结论．本题主要考查两角和差的三角公式，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于基础题．12.【答案】2 ±1【解析】【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．根据点到直线的距离公式和勾股定理、面积公式可得．【解答】解：圆C：x2+（y-1）2=2的圆心为（0，1）半径为，圆心到直线的距离d==，弦长|AB|=2=2≥2，（当且仅当m=0时等号成立），S△ABC=d•2=•2=，即d4-2d2+=0，解得d2=或d2=，∴=或=，解得m=±1．故答案为：2，±1．13.【答案】；【解析】【分析】本题考查了n次独立重复试验概率、随机变量的数学期望、相互独立事件计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．①恰好摸4次停止的情况为：前3次有一次摸到红球，第4次摸到红球，利用相互独立事件计算公式即可得出．②由题意可得：ξ的取值为：0，1，2．由n次独立重复试验概率公式P n（k）=C n k p k（1-p）n-k，即可得出．【解答】解：①恰好摸4次停止的概率p=×=．②由题意可得：ξ的取值为：0，1，2．由n次独立重复试验概率公式P n（k）=C n k p k（1-p）n-k，得P（ξ=0）==；P（ξ=1）=×=；P（ξ=2）=++=．∴随机变量ξ的数学期望Eξ=0×+1×+2×=．故答案为：；．14.【答案】【解析】解：由题意可知△PBD是由△ABD绕BD旋转而得到的，故当四面体P-BCD的体积最大时，平面PBD⊥平面BCD．在△ABC中，由余弦定理可得AC==2，设AD=x（0＜x＜2），则S△BCD==-，S△ABD==x，BD=，∴A到BD的距离为d==，即P到平面BCD的距离为d=．∴四面体P-BCD的体积V=S△BCD•d=•，∴当x=时，V取得最大值=．当P-BCD体积取最大值时，D为AC的中点，PD⊥平面BCD，故PD=CD=，BD=1，∴PB=2，PC=，∴cos∠PBC==，∴∠PBC为锐角，∴P到BC的距离为PB•sin∠PBC=．∴|PQ|的最小值为．故答案为：，．设AD=x，用x表示出A到BD的距离和△BCD的面积，得出棱锥的体积V关于x的函数，利用二次函数的性质可得V的最大值，再计算P到BC的距离即可．本题考查了棱锥的体积计算，函数最值的计算，属于中档题．15.【答案】【解析】解：由平面向量，，满足，则与的夹角为，设=（1，0），=（，），=（x，y），由，得x2+y2-（x+y）+=0，化简得+=，它表示以点（，）为圆心，以为半径的圆；又=表示圆上的点M（x，y）到点（t，0）t∈R的距离，即到直线y=0的距离；距离的最小值为M，由圆心（，）到直线y=0的距离为d=，则M的最大值为d+r=．故答案为：．由题意设=（1，0），=（，），=（x，y），化为+=，它表示圆；由表示该圆上的点M到点（t，0）的距离，即到直线y=0的距离；得出距离的最小值M，求得M的最大值为d+r．本题考查了平面向量的数量积应用问题，也考查了转化思想与数形结合应用问题，是难题．16.【答案】2n+2-4【解析】解：∵a n+1=a n+b n+，b n+1=a n+b n-，a1=1，b1=1．∴a n+1+b n+1=2（a n+b n），a1+b1=2．∴a n+b n=2n．另一方面：a n+1b n+1=-=2a n b n，∴a n b n=2n-1．∴==2n•=2n+1，则数列{c n}的前n项和==2n+2-4．故答案为：2n+2-4．由a n+1=a n+b n+，b n+1=a n+b n-，a1=1，b1=1．可得a n+1+b n+1=2（a n+b n），a1+b1=2．a n+1b n+1=-=2a n b n，即a n b n=2n-1．分别利用等比数列的通项公式即可得出．本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】（1，3）【解析】解：x≥2时，f（x）=x+-4≥2-4=2-4，当且仅当x=时“=”成立；0＜x＜2时，f（x）=-2x+5∈（1，5）；画出函数的图象，如图所示；方程f（x）=a有且仅有两个实数解x1，x2，且x1＜x2，且x1•x2＞6，若a=1时，可得5-2x1=1，即x1=2；x2+-4=1，可得x2=3，满足x1x2=6，若a=3由5-2x1=3，即x1=1；x2+-4=3，可得x2=6，满足x1x2=6，结合图象可得当1＜a＜3时，x1•x2＞6，故答案为：（1，3）．作出函数f（x）的图象，求得x1•x2=6的两种情况a=1，a=3，结合图象可得所求a的范围．本题考查分段函数的图象和性质，考查化简运算能力和推理能力，数形结合思想，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）∵0＜A＜π，0＜B＜π，∴-π＜-B＜0，∴-π＜A-B＜π，又sin（A-B）=1，∴A-B=，∵A+B+C=π，∴A=π-B-C，∴B+=π-B-C，∴C=-2B，∴sin C=sin（-2B）=cos2B，∴cos2B=，∴2cos2B-1=，∴cos B=±，∴C=-2B＞0，∴0＜B＜，∴cos B=．，sin B=，（Ⅱ）由正弦定理可得=，即AC===3，∴△ABC的面积为AB×AC sinA=××3×sin（B+）=××3×=．【解析】（Ⅰ）根据-π＜A-B＜π，及sin（A-B）=1，∴A-B=，再根据内角和定理得C=-2B，再根据sin C=可得cos B；（Ⅱ）根据正弦定理求得AC，再根据面积公式可得．本题考查了正弦定理，属中档题．19.【答案】解：（I）数列{a n}中，a1=1，．∴a2•a1=2，解得a2=2，a n+2•a n+1=2n+1，可得：=2．∴数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为2．∴a2k-1=2k-1，a2k=2k．∴a n=，k∈N*．（II）由（k∈N*），n=2k-1时，b n=b2k-1==，n=2k时，b n=b2k=-，S2n=（+-+……+-）-（+……+）=（-）-=（-）-1+．∴S2n+2-S2n=（-）-1+-（-）+1-=-．n=1时，S4-S2=-＜0，n=2时，S6-S4=-＜0．……，n=11时，S22-S20=-＜0，n=12时，S24-S22=-＞0，n≥12时，S2n+2＞S2n．可得：n=12时，S2n取得最小值．【解析】（I）数列{a n}中，a1=1，．可得a2•a1=2，解得a2=2，a n+2•a n+1=2n+1，可得：=2．可得数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为2．即可得出a n．（II）由（k∈N*），n=2k-1时，b n=b2k-1==，n=2k-1时，b n=b2k=-，可得S2n．通过S2n+2-S2n，可得其单调性．本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、数列的单调性、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.【答案】（I）证明：取AD的中点P，连接PE，PM，∵P，M分别是AD，AC的中点，∴PM∥CD，PM=CD，∵四边形BCDE是矩形，N是BE的中点，∴EN∥CD，EN=CD，∴PM∥EN，PM=EN，∴四边形PMNE是平行四边形，∴MN∥PE，又MN⊄平面ADE，PE⊂平面ADE，∴MN∥平面ADE．（II）解：在平面ABE上作矩形EBGF，使得A在边FG上，过E作DF的垂线EH，垂足为H，则EB⊥EF，EB⊥DE，又DE∩EF=E，∴EB⊥平面DEF，∴EB⊥EH，又EB∥CD，故CD⊥EH，又EH⊥DF，DF∩CD=D，∴EH⊥平面CDF，即EH⊥平面ACD．∴∠EDH为DE与平面ACD所成的角，即sin∠EDH=，∴tan∠EDH=，∵DE=1，∴EF=．设AF=x，则AG=2-x，于是AE2=x2+，AB2=（2-x）2+，∵AB⊥AE，∴x2++（2-x）2+=4，解得x=1±，又AB＞AE，故x=1-，∴AG=1+，∴tan∠ABE=tan∠BAG==2-，∴∠ABE=15°．【解析】（I）取AD的中点P，证明四边形MNEP是平行四边形得出MN∥PE，故而结论得证；（II）在平面ABE上构造矩形EBGF，使得A在矩形边FG上，根据DE与平面DAC所成角的大小计算EF，再利用勾股定理或圆的性质计算∠ABE．本题考查了线面平行的判定，线面角的定义与作法，属于中档题．21.【答案】解：（I）显然当AF⊥x轴时，|AC|取得最小值，把x=代入y2=2px可得y=±p，故2p=4，p=2，可得抛物线的方程为：y2=4x．（II）假设x轴上存在一点P（x0，0），使得直线PB与直线m的交点恒在一条定直线上．设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为x=ty+5，联立抛物线方程y2=4x，可得y2-4ty-20=0，y1+y2=4t，y1y2=-20，直线PB的方程为y=（x-x0）即y=（x-x0），联立直线m：y=y1，可得x=x0+=x0+，由y1y2=-20，y1=y，可得y2=-，t=（y-），即有x=x0-5+（-）y2，由假设可得-=0，即x0=0，此时x=-5，可得存在定点P（0，0），定直线为x=-5．【解析】（I）显然当AF⊥x轴时，|AC|取得最小值，可得2p=4，即可得到所求抛物线方程；（II）假设x轴上存在一点P（x0，0），使得直线PB与直线m的交点恒在一条定直线上．设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为x=ty+5，联立抛物线方程，运用韦达定理，由PB的方程和直线m的方程，联立求得交点，化简可得所求定点和定直线．本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．22.【答案】解：（I）b=-3，f（x）=，a＞0，b∈R，x＞0，∴f′（x）==，x＞0，∴当a=3时，f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；当0＜a＜3时，f（x）的单调递增区间是（0，1），（，+∞），递减区间是（1，）；当a＞3时，f（x）的单调递增区间是（0，），（1，+∞），递减区间是（，1）；（Ⅱ）①证明：∵a=3，∴f（x）=x2+2bx+3ln x，∴f′（x）=，∵f（x）有两个极值点x1，x2，x1＜x2，∴△=4b2-36＞0，∵b＜0，∴b＜-3，∵，∴b=-（）＜-3，即，∵x1＜x2，∴0＜x1＜1＜x2，且f（x1）=x12+2bx1+3ln x1=-x12+3ln x1-3，构造函数F（x）=-x2+3ln x-3，0＜x＜1，F'（x）=-3x+=＞0，函数F（x）递增，；②当b＜-3，由①可知，f（x）的极大值为，又f（x）的极小值为，随着x2的增大而减少，故要使t取最大值，则需f（x）的极小值，又，所以，得；当b≥-3时，f（x）在[1，t]上是增函数，且，故t＜e．综上，实数t的最大值为e．【解析】（Ⅰ）将b=-3代入，求导后分类讨论即可求得单调区间；（Ⅱ）①将a=3代入，由题意可得b＜-3，0＜x1＜1＜x2，表示出f（x1），再构造新函数，利用导数即可得证；②分b＜-3，及b≥-3两种情况讨论得解．本题考查利用导数研究函数的单调性及在闭区间上的最值问题，考查转化思想及分类讨论思想，属于中档题．。

浙江衢州二中高三数学模拟卷(理)高三数学（理）一、选择题（每小题5分，共50分）1．已知集合A={1,2,3}，B={2,4,6}，C={|,,}x x a b a A b B =⋅∈∈，则集合C 的元素之和为（A ）84 （B ）50 （C ）38 （D ）18 2．0a =是复数(,)a bi a b R +∈为纯虚数的（ ）条件（A ）充分 （B ）必要 （C ）充要 （D ）既非充分又非必要3．正三棱锥V-ABC 的底面边长为2，那么侧棱VC 在平面V AB 上的射影长（A ）0 （B ）1 （C （D ）234．已知二次函数2()2(0)f x ax x a =->对任意[0,1],|()|1x f x ∈≤恒成立，则a 的取值范畴（A ）0a <≤ （B ）1a <≤（C ）1a << （D ）1a ≤≤ 5．已知数列11{},1,(2)2n n n a a a S n ==≥，则S 8= （ ）（S n 为数列的前n 项和） （A ）127 （B ）128 （C ）256 （D ）2576．已知,l P αα⊂∉，过点P 引与直线l 成60°角的直线交平面α于Q ，则Q 点的轨迹是（A ）两个点 （B ）抛物线 （C ）椭圆 （D ）双曲线 7．O 为∆ABC 内一点，且3OA OC OB O ++=，则:AOB AOC S S ∆∆=（A ）1:2 （B ）1:3 （C ）2:1 （D ）3:18．已知双曲线22221x y a b-=，F 为右焦点，右准线与一条渐近线的交点P ，且|OP|、|PF|、|OF|成等差数列，则双曲线的离心率（A （B （C ）53 （D ）549．矩形的边长为2和5，通过它的短边上的点作直线，使得所截得的直角三角形的周长为8，则矩形留下部分面积的最小值（A）6+ （B）38 （C ）223（D）48- 10．已知函数1()ln2f x x x =++有以下命题： ①方程()0f x =只有一个实根②(2,1]--上为减函数，[1,)-+∞上为增函数 ③有极小值1- ④21lim0()x f x →-= 其中正确的命题是（A ）①③④ （B ）②③④ （C ）②③ （D ）①②④二、填空题（每小题4分，共16分）11．一个平均的四面体，一个面上标0，两个面上标1，一个面上标2，连续抛掷两次，则面向下的数之和的数学期望________________12．已知实数,x y 满足220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则|1|z x y =+-取值范畴______________13．过抛物线214y x =的焦点F 作弦|AB|，若||2||FA FB =，则|AB|=_________ 14．已知函数()y f x =的反函数11(),(1)fx f x --+若的反函数(1)f x +，且(1)2,(2007)f f ==则_____________高三数学（理）模拟考试答题卷二、填空题（每题４分，共12分）11 12 13 14 三、解答题（每题14分，共84分） 15．已知向量2(sin,1),(2,sin )2xm n x ==. （1）当0x π≤≤时，求m n ⋅的取值范畴.（2）定义函数()|1|f x m n =⋅-，求函数的递增区间.16．正三角形ABC 的中心为O ，D 、E 、F 分别为各边的中点，三角形ABC 的面积为4.（1）以上述七个点为顶点的三角形全体记为集合M ，那么集合M 中共有几个元素？其中面积为1的三角形有几个？（2）从集合M 中，任取两个元素，面积均为1的概率是多少？（3）从M 中有放回地取三角形，若取出面积为1时停止，求恰好取3次后停止摸取的概率.班级________________ 姓名_______________ 准考证号___________________………………………………………………密………………………………封………………………………线………………………………………………17．已知M 68(,)55-关于直线2y x =的对称点N 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上，离心率2e =. （1）求椭圆方程.（2）过N 点引两条互相垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，求证直线AB 恒过定点，并求出定点坐标.18．如图，三棱锥P-ABC 中，ABC ∆为正三角形，D 为AC 的中点，E 为PD的中点，,36PB PBD BE PB AC =∠==⊥. （1）求证：平面PAC PBD ⊥平面. （2）求三棱锥P-ABC 的体积.AC19．已知函数()lg(1)f x x =+，当点M (,)x y 在()y f x =的图象上运动时. （1）求对应点1(,2)()2x a N y a R -+∈确定的函数关系()y g x =. （2）若[0,1]x ∈时，()(2)g x f x ->恒成立，求参数a 的取值范畴.20．数列11{},(1),n n n n a a S n+=-是数列的前n 项和，S n 具有以下性质： 11=11122-=111112323-+=+11111123434-+-=+111111112345345-+-+=++11111111123456456-+-+-=++（1）依照以上规律，写出n=9与n=10时，S n 满足的等式； （2）依照以上规律，归纳出S n 满足的等式关系，并加以证明．.高三理科模拟考试参考答案一、BBADB DBCCC 二、2 []0,4922004- 三、15. （1）2sin()4mn x π⋅=-1⎡⎤∈⎣⎦ （2）3,,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦16. （1）27629C -=，面积为1的三角形的个数有10个；（2） 21022945406C C = （3）23191036102924389⨯= 17. （1）2222(2,0),,4,1,124x N e a b y -===+= （2）设AN (2)y k x =+ BN 1(2)y x k=-+， 由22(2)440y k x x y =+⎧⎨+-=⎩得222284(,)4141k k A k k -++，因此222284(,)44k kB k k --++ 因此254(1)ABkk k -=-，AB 的方程为22224528()414(1)41k k k y x k k k --=--+-+ 令0y =，可得2224665(41)5k x k --==-+，即过定点（6,05-）18. （2）由题意2BD BP BE +=，两边平方得28280,0,233x x x x +-=>=13PBDV AC S =⋅⋅=19. （1）用代入法得()2lg(2)g x x a =+（2）由(),(2)g x f x -的定义域得122ax -<<，它包含[]0,1，因此2a >， ()(2)g x f x >得22211024a a x x +--+>，令22211()24a a h x x x +-=-+其对称轴为2114a x +=>（2a >），2min 41()(1)04a a h x h -+==>，2a >+20.(1) 11111111119,12348956789n =-+-+-+=++++ 1111111111110,12348910678910n =-+-+-+-=++++(2)n 为偶数时1111111112234112n n n n n-+-++-=++++--n 为奇数时1111111111234112n n n n n-+-++-=++++--用数学归纳法证，当1,2n =时由已知等式成立 假设n=2k 时等式成立，即1111111112342121212k k k k k-+-++-=+++-+-， 当n=2k+2时，111111112342122122111111212212211111()22211221111222122k k k k k k k k k k k k k k k k k k -+-++-+-=-+-++++-+--+=++++-+--+=+++++-+等式也成立因此，当n 为偶数时，1111111111234112n n nn n-+-++-=++++-- 成立。

2020年浙江省衢州市、丽水市、湖州市高考数学模拟试卷（4月份）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）已知集合[0A =，4]，{|||1}B x R x =∈„，则()(R A B =I ð ) A ．[1-，0)B ．[1-，0]C ．[0，1]D ．(1，4]2．（4分）椭圆2212x y +=的离心率是( )A ．12 B ．13C ．2 D ．2 3．（4分）已知某空间几何体的三视图如图所示（单位：)cm ，则该几何体的体积（单位：3)cm 是( )A ．323B ．163C ．4D ．84．（4分）明朝的程大位在《算法统宗》中(1592年），有这么个算法歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知．它的意思是说：求某个数（正整数）的最小正整数值，可以将某数除以3所得的余数乘以70，除以5所得的余数乘以21，除以7所得的余数乘以15，再将所得的三个积相加，并逐次减去105，减到差小于105为止，所得结果就是这个数的最小正整数值．《孙子算经》上有一道极其有名的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何．”用上面的算法歌诀来算，该物品最少是几件．( ) A ．21B ．22C ．23D ．245．（4分）函数()()||x x f x e e ln x -=+的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．6．（4分）若实数x ，y 满足约束条件2302300x y x y x y -+⎧⎪--⎨⎪+⎩…„…，则23x y +的取值范围是( )A ．[1-，15]B ．[1，15]C ．[1-，16]D ．[1，16]7．（4分）若0a >，0b >，则“4ab „”是“1aba b+„”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．（4分）已知任意[1a ∈-，2]，若存在实数b 使不等式2||x ax b -„对任意的[0x ∈，2]恒成立，则( ) A ．b 的最小值为4 B ．b 的最小值为6 C ．b 的最小值为8D ．b 的最小值为109．（4分）如图，正方形ABCD 的中心与圆O 的圆心重合，P 是圆O 上的动点，则下列叙述不正确的是( )A ．PA PC PB PD +u u u r u u u r u u u r u u u rg g 是定值B ．PA PB PB PC PC PD PD PA +++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g g g 是定值C ．||||||||PA PB PC PD +++u u u r u u u r u u u r u u u r是定值 D ．2222PA PB PC PD +++u u u r u u u r u u u r u u u r 是定值10．（4分）对任意0x >，不等式220x ae lnx lna -+…恒成立，则实数a 的最小值为( ) A ．eB ．2eC ．2eD ．12e二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分） 11．（4分）复数2(1z i i=+为虚数单位），则||z = ． 12．（6分）在数列{}n a 中，n S 为它的前n 项和，已知21a =，36a =，且数列{}n a n +是等比数列，则n a = n S = ．13．（6分）二项式61()2x x -的展开式的各项系数之和为 ，4x 的系数为 ．14．（6分）已知直线:1l mx y -=，若直线l 与直线10x my --=平行，则m 的值为 ，动直线l 被圆22280x y y +--=截得的弦长最短为 ． 15．（6分）已知随机变量X 的分布列如表：X 0 2 aP12 b14其中0a >，0b >．且()2E X =，则b = ，(21)D x -= ．16．（4分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点M 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上的异于顶点的任意一点，过点M 作双曲线的切线l ，若13OM l k k =g ，则双曲线离心率e 等于 ．17．（4分）已知函数2()f x x ax a =++，{|()}A x R f x x =∈„，{|[()]()}B x R f f x f x =∈„，A ≠∅，A B ⊆，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共5个题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.。

2020年浙江省衢州二中高考数学模拟试卷（6月份）一、单项选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.已知集合A={x|x2−x−2≤0}，B={x|log2x>1}，则A∩(∁R B)=()A. (0,2]B. (0,2)C. [−1,2]D. (−1,2]2.双曲线2x2−y2=1的实轴长为()A. √22B. 2√2C. √2D. 13.若实数x，y满足约束条件{x−y+1≥02x+3y≤6y+1≥0，则z=2|x|−y的最小值是()A. −25B. 5C. −1D. −24.已知a，b∈R+，则“a+1b >b+2a”是“a>b”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.将函数y=2cos(x−π6)cos(π3+x)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象对应的函数恰为偶函数，则φ的最小值为()A. π3B. π4C. π6D. π126.已知一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是一个边长为2的正方形，则该几何体的表面积为()A. 223B. 20C. 20+√6D. 20+√107.已知某7个数的期望为6，方差为4，现又加入一个新数据6，此时这8个数的期望为记为E(X)，方差记为D(X)，则()A. E(X)=6，D(X)>4B. E(X)=6，D(X)<4C. E(X)<6，D(X)>4D. E(X)<6，D(X)<48.将含有甲、乙、丙、丁等共8人的浙江援鄂医疗队平均分成两组安排到武汉的A、B两所医院，其中要求甲、乙、丙3人中至少有1人在A医院，且甲、丁不在同一所医院，则满足要求的不同安排方法共有()A. 36种B. 32种C. 24种D. 20种9.正三棱锥P−ABC中，PA=PB=PC，M为棱PA上的动点，令α为BM与AC所成的角，β为BM与底面ABC所成的角，γ为二面角M−AC−B所成的角，则()A. 2cosα>cosβB. 2cosα<cosβC. 2cosγ>cosβD. 2cosγ<cosβ10.若函数f(x)=x+e x−b−b(x+x2−xlnx)有零点，则b的取值范围是()A. (−∞,−1]B. [−1,0]C. (0,1]D. [1,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）11.设F1，F2是椭圆C：x2a2+y24=1(a>2)的左、右焦点，过F1的直线l与C交于A，B两点，若AB⊥AF2，|AB|：|AF2|=3：4，则椭圆的离心率为______．12.已知函数f(x)=√x2+tx2−1的值域为[0,+∞)，则实数t的取值范围是______．13.若a，b，c∈R且满足{a+b+c=0a2+3b2+6c2=6，令M=max{|a|,|b|,|c|}，则M的最大值为______．14.已知平面向量a⃗，b⃗ ，c⃗，d⃗满足|a⃗|=|a⃗+b⃗ |=|a⃗+b⃗ +c⃗|，d⃗⋅a⃗=a⃗2，|d⃗+a⃗|=3，则|a⃗+b⃗ +c⃗−d⃗|的最大值为______．三、多空题（本大题共3小题，共9.0分）15.洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源．在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，其各行各列及对角线点数之和皆为15.如图，则甲壳上所有阴阳数之和；若从五个阳数中随机抽取三个数，则能使得这三个数之和等于15概率是．16.设复数z满足(1−i)⋅z=2i(i为虚数单位)，则复数z的实部为；z−⋅z=．17.已知(2x+1x )(4x−1)7=tx+a0+a1x+a2x2+⋯+a8x8，则t=；a0+a12+a222+⋯+a828=．四、解答题（本大题共5小题，共63.0分）18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(sinA+sinB)(a−b)=(a−c)sinC．(Ⅰ)求角B的大小；(Ⅱ)设BC若中点为D，且AD=√3，求a+2c的取值范围．19.如图，矩形ABCD中，2BC=CD，E为CD的中点，以BE为折痕把四边形ABED折起，使A达到P的位置，且PC⊥BC，M，N，F分别为PB，BC，EC的中点．(Ⅰ)求证：PE⊥BF；(Ⅱ)求直线ND与平面MEC所成角的正弦值．20. 已知等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q.设{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若Sn n 2=T n +12n，n ∈N ∗．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n =b nb n2+1，数列{c n }的前n 项和为K n ，求证：K n <32．21. 已知抛物线Γ：y 2=4x ，焦点为F ，过Γ外一点Q(不在x 轴上)，作Γ的两条切线，切点分别为A ，B ，直线QA ，QB 分别交y 轴于C ，D 两点，记△QAB 的外心为M ，△FCD 的外心为T ． (1)若|AF|=5，求线段CF 的长度；(2)当点Q 在曲线y 24+x 22=1(x <0)上运动时，求TF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值．22.已知函数f(x)=e x−ax，g(x)=lnx−ax，a∈R．(1)当a<e时，讨论函数f(x)=e x−ax的零点个数．(2)F(x)=f(x)−g(x)的最小值为m，求G(x)=e x−e m lnx的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：由A 中不等式变形得：(x −2)(x +1)≤0， 解得：−1≤x ≤2，即A =[−1,2]，由B 中不等式变形得：log 2x >1=log 22，得到x >2， ∴B =(2,+∞)，∁R B =(−∞,2]， 则A ∩(∁R B)=[−1,2]， 故选：C ．求出A 与B 中不等式的解集分别确定出A 与B ，求出A 与B 补集的交集即可． 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 2.【答案】C【解析】解：双曲线2x 2−y 2=1的标准方程为：x 212−y 2=1，所以a =√22，所以双曲线的实轴长为：2a =√2．故选：C ．直接利用双曲线方程化为双曲线的标准方程，求解a ，即可得到结果． 本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查． 3.【答案】C【解析】解：由实数x ，y 满足约束条件{x −y +1≥02x +3y ≤6y +1≥0，作出可行域：由图形，解得A(92,−1)，B(35,85)，C(−2−1)，D(0,1)，当x ≥0时，z =2|x|−y 化为y =2x −z ，由图可知，当直线y =2x −z 过D 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值为−1． 当x <0时，z =2|x|−y 化为y =−2x −z ，由图可知，当直线y =−2x −z 过D 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值为−1． 故选：C ．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 4.【答案】A【解析】解：∵a ，b >0，由a +1b >b +2a ，化为：(a −1a )−(b −1b )>1a >0， ∵函数f(x)=x −1x 在x >0时单调递增，∴a >b ． 反之不成立，例如a =15，b =16，则a +1b >b +2a 不成立． ∴“a +1b >b +2a ”是“a >b ”的充分不必要条件．故选：A．由a，b>0，a+1b >b+2a，化为：(a−1a)−(b−1b)>1a>0，根据函数f(x)=x−1x在x>0时单调递增，可得a与b的大小关系．反之不成立，可以通过举例说明．本题考查了不等式的解法与性质、简易逻辑的判定方法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：将函数y=2cos(x−π6)cos(π3+x)=2cos(x−π6)sin(π6−x)=2cos(π6−x)sin(π6−x)=2sin(π3−2x)=−2sin(2x−π3)的图象，向右平移φ(φ>0)个单位长度，可得y=−2sin(2x−2φ−π3)图象对应的函数恰为偶函数，∴2φ+π3=kπ+π2，k∈Z，令k=0，可得φ=π12，故选：D．利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：该几何体是棱长为2的正方体削去一个角后得到的几何体(如图)，其表面积为S=3×2×2+2×(1+2)×22+12×2×2+12×2√2×√3=20+√6．故选：C．画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查数学期望、方差的求法，考查数学期望、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．利用数学期望和方差的性质直接求解．【解答】解：E(X)=18(7×6+6)=6，D(X)=18[7×4+(6−6)2]=72<4．故选：B．8.【答案】A【解析】解：根据题意，分2步进行分析：①将8人平均分成2组，要求甲丁不在同一组，有12C84−C62=20种分组方法，②将分好的2组安排到A、B两所医院，要求甲、乙、丙3人中至少有1人在A医院，将分好的2组安排到A、B两所医院，不考虑限制条件，有20×A22=40种安排方法，其中甲、乙、丙3人都不在A医院的情况有，C41=4种，则甲、乙、丙3人中至少有1人在A医院，有40−4=36种安排方法，故选：A．根据题意，分2步进行分析：①将8人平均分成2组，要求甲丁不在同一组，②将分好的2组安排到A、B两所医院，要求甲、乙、丙3人中至少有1人在A医院，由排除法分析即可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，注意用间接法分析，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：如图，cosα=BNBM ，cosβ=BHBM，∴cosαcosβ=BNBH<cos60°=12，∴2cosα<cosβ，故A错误，B正确．特别地，当P−ABC是正四面体时，2cosγ=23，√33≤cosβ<1，故C，D都错误．故选：B．推导出cosα=BNBM ，cosβ=BHBM，从而cosαcosβ=BNBH<cos60°=12，进而2cosα<cosβ．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．10.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了利用导数研究函数的零点问题，转化与化归的数学思想，主要考查学生分析问题解决问题的能力，属于难题．将函数的零点问题转化为函数g(x)与ℎ(x)的图象的交点问题，得出e1−b−b≤0，构造函数φ(b)=e1−b−b，b∈(0,+∞)，利用导数得出b的取值范围．解：f(x)=x[1+e x−bx−b(1+x−lnx)]函数f(x)=x+e x−b−b(x+x2−xlnx)有零点，则方程x[1+e x−bx−b(1+x−lnx)]=0有解，则方程e x−bx−b=−1+x+lnx有解，即函数g(x)=e1−bx−b与ℎ(x)=lnx+x−1的图象在(0,+∞)上有交点，g′(x)=(x−1)e x−bx2，所以在(1,+∞)上，g′(x)>0，g(x)单调递增，在(0,1)上，g′(x)<0，g(x)单调递减，因为ℎ′(x)=1x+1>0，所以ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，因为函数g(x)与ℎ(x)的图象在(0,+∞)上有交点，所以g(1)≤ℎ(1)，即e1−b−b≤0，当b<0时，e1−b−b>0，当b=0时，e1−b−b=e>0，则b>0，令φ(b)=e1−b−b，b∈(0,+∞)，φ′(b)=−e1−b<0，所以φ(b)在(0,+∞)上单调递减，且φ(1)=0，则φ(b)≤0时，b≥1，即b∈[1,+∞)．故选：D．11.【答案】√53【解析】解设|AF2|=4m，因为|AB|：|AF2|=3：4，所以|AB|=3m，由题意的定义可得|AF1|=2a−4m，所以|BF1|=3m−(2a−4m)=7m−2a，进而可得|BF2|=2a−(7m−2a)=4a−7m，因为AB⊥AF2，在△AF1F2中，|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2，即(2c)2=(2a−4m)2+(4m)2，整理可得c2=(a−2m)2+4m2①在△ABF2中，|BF2|2=|AB|2+|AF2|2，即(4a−7m)2=(3m)2+(4m)2，整理可得：2a2−7am+3m2=0，解得a=12m(舍)或a=3m即m=a3，将m=a3代入①可得c2=(a−2a3)2+4(a3)2=5a23，整理可得ca=√53，所以椭圆离心率为√53故答案为：√53．设|AF2|的值，由比例关系求出|AB|的值，再由椭圆的代入可得|AF1|，|BF1|，|BF2|的值，又有AB⊥AF2，在两个直角三角形中由勾股定理可得a，c的关系，进而求出椭圆的离心率．本题考查椭圆的性质及直角三角形的性质，属于中档题．12.【答案】(−∞,14]【解析】解：令y=x2+tx2−1，①当t<0时，y=x2+tx2−1，设m=x2>0，则y=m+tm−1在(0,+∞)上单调递增，∴y的值域为R，∵[0,+∞)⊆R，∴t<0符合题意；②当t=0时，y=x2+tx2−1=x2−1≥−1，∵[0,+∞)⊆[−1，+∞)，∴t=0符合题意；③当t>0时，y=x2+tx2−1≥2√x2⋅tx2−1=2√t−1，当且仅当|x|=√t4时，等号成立，∵[0,+∞)⊆[2√t −1，+∞)， ∴2√t −1≤0，解得0<t ≤14， 综上所述，实数t 的取值范围是(−∞,14]. 故答案为：(−∞,14].设y =x 2+tx 2−1，先分类求y =x 2+tx 2−1的值域A ，再根据[0,+∞)为A 的子集来求t 的取值范围． 本题考查函数的值域问题，将原问题转化为集合之间的关系是解题的关键，考查学生的分类讨论和转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．13.【答案】√32【解析】解：∵{a +b +c =0a 2+3b 2+6c 2=6，∴a 2+3b 2+6(a +b)2=6，整理得，9b 2+12ba +7a 2−6=0，∴△=(12a)2−4×9×(7a 2−6)≥0，即a 2≤34，则|a|≤√32；同理可求得b 2≤712，即|b|≤√216；c 2≤13，即|c|≤√33；∴max{|a|,|b|,|c|}的最大值为√32．故答案为：√32．通过消元，结合二次方程有解的条件即可求得a ，b ，c 的取值范围，进而得解．本题考查消元思想在解题中的运用，考查了一元二次方程有解的条件，考查转化与运算能力，难度不大．14.【答案】2√3【解析】解：令OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =d ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +b ⃗ +c ⃗ ，因为d ⃗ ⋅a ⃗ =a ⃗ 2，即a⃗ (d ⃗ −a ⃗ )=0，所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由于|a ⃗ |=|a ⃗ +b ⃗ +c ⃗ |，所以B 在以点O 为圆心，以|OA ⃗⃗⃗⃗⃗|为半径的圆上， 则当OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 反向时，|a ⃗ +b ⃗ +c ⃗ −d ⃗ |取到最大值|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|a ⃗ |+|d⃗ |， 又d ⃗ ⋅a ⃗ =a ⃗ 2，|d⃗ +a ⃗ |=3，所以|d ⃗ |2+3|a ⃗ |2=9， 所以(|a ⃗ |+|d ⃗ |)2=|a ⃗ |2+|d ⃗ |2+2|a ⃗ ||d ⃗ |≤4|a ⃗ |2+43|d ⃗ |2=12， 则，|a ⃗ +b ⃗ +c ⃗ −d⃗ |取到最大值为2√3， 故答案为：2√3．作图，令OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =d ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +b ⃗ +c ⃗ ，由条件可求得OA ⃗⃗⃗⃗⃗⊥AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，B 在以点O 为圆心，以|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |为半径的圆上，则当OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 反向时，|a ⃗ +b ⃗ +c ⃗ −d ⃗ |取到最大值|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|a ⃗ |+|d ⃗ |， 本题考查平面向量数量积的运算，考查数形结合思想，属于中档题．15.【答案】4515【解析】解：甲壳上所有阴阳数之和为：2+4+6+8+1+3+5+7+9=45． 从五个阳数：1，3，5，7，9中随机抽取三个数，基本事件总数n =C 53=10，能使得这三个数之和等于15的三个数为：(1,5，9)，(3,5，7)，共2个， 则能使得这三个数之和等于15的概率P =210=15． 故答案为：45，15．利用甲壳上所有阴阳数能求出甲壳上所有阴阳数之和；从五个阳数：1，3，5，7，9中随机抽取三个数，基本事件总数n =C 53=10，利用列举法求出能使得这三个数之和等于15的三个数共2个，由此能求出能使得这三个数之和等于15的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 16.【答案】−1 2【解析】解：∵(1−i)⋅z =2i ， ∴z =2i1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i ， ∴复数z 的实部为−1；z −⋅z =|z|2=(√2)2=2． 故答案为：−1；2．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用z −⋅z =|z|2求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题． 17.【答案】−1 5【解析】解：由题意(2x +1x )(4x −1)7=tx +a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 8x 8，原式左边=2x(4x −1)7+1x (4x −1)7，因为(4x −1)7展开式的通项为：T k+1=(−1)k ×47−k C 7k x 7−k， 当k =7时，可得1x ⋅(−1)7×C 77=tx ，解得t =−1． 令x =12，代入原式得(2×12+2)(4×12−1)7=−112+a 0+a 12+a 222+⋯…+a828，解得a 0+a 12+a 222+⋯+a 828=5．故答案为：−1，5．先将原式写成2x(4x −1)7+1x (4x −1)7，易知，后面式子1x 乘以展开式的常数项，得到tx 项，由此求出t ；令x =12，即可求出结果．本题考查二项式定理和赋值法的应用，同时考查学生的运算能力，属于基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)∵(sinA +sinB)(a −b)=(a −c)sinC ，∴由正弦定理可得：(a +b)(a −b)=(a −c)c ，可得a 2+c 2−b 2=ac ， ∴cosB =a 2+c 2−b 22ac=ac 2ac=12，∵B ∈(0,π)， ∴B =π3， (Ⅱ)设∠BAD =θ，则△ABD 中，由B =π3，可知θ∈(0,2π3)，由正弦定理及AD =√3， 可得BD sinθ=AB sin(2π3−θ)=AD sin π3=√3√32=2，所以a 2=2sinθ，c =2sin(2π3−θ)，∴a +2c =4sinθ+4sin(2π3−θ)=4sinθ+4(12sinθ+√32cosθ)=4√3sin(θ+π6). 由θ∈(0,2π3)，可知，θ+π6∈(π6,5π6)，∴sin(θ+π6)∈(12,1]，∴a +2c ∈(2√3,4√3].【解析】(Ⅰ)由正弦定理化简已知等式可得a 2+c 2−b 2=ac ，利用余弦定理可得cosB =12，结合范围B ∈(0,π)，可求B 的值．(Ⅱ)利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，正弦定理余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．19.【答案】解：(Ⅰ)证明：设BC =2，则BN =CN =1，CF =EF =1，以C 为原点，CB 为x 轴，CE 为y 轴，过C 作平面BCE 的垂直CQ 为z 轴，建立空间直角坐标系，则B(2,0，0)，E(0,2，0)，F(0,1，0)， 设P(x,y ，z)，PB =CD =2BC =4，则PE =√PD 2+DE 2=√22+22=2√2，PC =√PB 2−BC 2=√42−22=2√3， ∴{(x −2)2+y 2+z 2=16x 2+(y −2)2+z 2=8x 2+y 2+z 2=12，解得x =0，y =2，z =2√2， ∴P(0,2，2√2)，∴PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，−2√2)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1，0)， ∴PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴PF ⊥BF ．(Ⅱ)解：∵M 为BP 中点，∴M(1,1，√2)，则BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，√2)， ∵ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，√2)，∴D(−1,3，√2)，N(1,0，0)，∴DN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−3,−√2)，设面MEC 的法向量n ⃗ =(x,y ，z)， 由{n ⃗ ⋅MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y +√2z =0n ⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =y =0，取x =√2，得n ⃗ =(√2,0，−1)，设直线ND 与平面MEC 所成角为θ， 则sinθ=|n ⃗⃗ ⋅PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2√3×√15=√105． ∴直线ND 与平面MEC 所成角的正弦值为√105．【解析】(Ⅰ)以C 为原点，CB 为x 轴，CE 为y 轴，过C 作平面BCE 的垂直CQ 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PF ⊥BF ．(Ⅱ)求出面MEC 的法向量，利用向量法能求出直线ND 与平面MEC 所成角的正弦值．本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】(1)解：由Sn n 2=T n +12n，可知当n =1时，有a11=b 1+12…①；当n =2时，有2a 1+d4=b 1(1+q)+14…②；当n =3时，有3a 1+3d9=b 1(1+q+q 2)+18…③； 当n =4时，有4a 1+6d 16=b 1(1+q+q 2+q 3)+116…④．由①②③④解得，a 1=1，b 1=1，d =2，q =2，所以a n =1+2×(n −1)=2n −1，b n =1⋅2n−1=2n−1．(2)证明：c n =b nb n2+1<1b n=12n−1，当n =1时，K 1=c 1=12<32;当n ≥2时，K n =c 1+c 2+c 3+⋯+c n <12+12+122+⋯+12n−1=12+12[1−(12)n−1]1−12=32−(12)n−1<32． 所以K n <32．【解析】(1)在Sn n 2=T n +12n中，n 分别取1，2，3，4列式求解；(2)进行放缩c n =bnb n2+1<1b n=12n−1，验证K 1<32，再根据放缩证明当n ≥2时，不等式成立即可．本题考查了等差数列、等比数列的性质，考查了放缩求和，属于难题．21.【答案】解：(1)F(1,0)，由题意知，直线QA ，QB 的斜率均不为0，其斜率都存在且异号， 设直线AQ 的方程为y =kx +b ，不妨设k >0，将直线AQ 与抛物线Γ联立得：{y 2=4x y =kx +b⇒k 2x 2+(2kb −4)x +b 2=0， 于是△=(2kb −4)2−4k 2b 2=0⇒kb =1，设A(x 1,y 1)，根据抛物线的定义有|AF|=x 1+1=5⇒x 1=4， y 12=4x 1=4×4⇒y 1=±4，根据抛物线对称性，我们不妨令A(4,4)，则4=4k +b ，所以{kb =14=4k +b⇒k =12,b =2， 于是y =12x +2,C(0,2),|FC|=√1+22=√5， 因此线段CF 的长度为√5． (2)x 1=1k 2,A(1k 2,2k)，设B(x 2,y 2)， 设QB 的方程为y =mx +n ，m <0，同理mn =1，x 2=1m 2,B(1m 2,2m )， 所以AB 中点的中点坐标为(12k 2+12m 2,1k +1m )， 于是k AB =2k −2m 1k 2−1m 2=2kmm+k ，所以线段AB 的中垂线为y =−k+m2km x +14k 3+14k 2m +1k +14km 2+14m 3+1m ， {y =kx +b y =mx +n⇒Q(n−b k−m ,kn−mb k−m )，即Q(1km ,1m +1k )，那么线段QA 的中点坐标为(12k 2+12km ,32k +12m )， 所以线段QA 的中垂线方程为y =−1k x +12k 3+12k 2m +32k +12m ， 联立线段AB 的中垂线和线段QA 的中垂线有 {y =−k+m 2kon x +14k 3+14k 2m +1k +14km 2+14m 3+1my =−1k x +12k 3+12k 2m +32k +12m ， 解得{x =12k 2+12m 2+1km+1y =−12km 2−12k 2m +12k +12m，所以M 点的坐标为M(12k 2+12m 2+1km +1,−12km 2−12k 2m +12k +12m )， 因为C(0,1k ),D(0,1m )，所以线段CD 的中垂线方程为y =12k +12m ， FC 的中点坐标为(12,12k )，直线FC 的斜率记为k FC ，那么k FC =0−1k1−0=−1k，于是线段CF 的中垂线为y =kx −k 2+12k ， 联立线段CD 的中垂线和线段CF 的中垂线得 {y =12k +12m y =kx −k 2+12k⇒{x =12km +12y =12k +12m ， 因此T 点的坐标为T(12km +12,12k +12m )，那么TF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12−12km ,−12k −12m )，TM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12k 2+12m 2+12km +12,−12km 2−12k 2m )， 又因为点Q(1km ,1m +1k )在曲线y 24+x 22=1(x <0)上，所以−√2≤1km <0，令t =1km ,t ∈[−√2,0),(1m +1k)24+(1km)22=1⇒(1m +1k )2=4−2k 2m 2=4−2t 2，即1m 2+1k 2=4−2km −2k 2m 2=4−2t −2t 2，所以TF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12−12km ,−12k −12m )⋅(12k 2+12m 2+12km +12,−12km 2−12k 2m) =14(1−1km )(1k 2+1m 2+1km +1)+14(1k +1m )2⋅1km =14(1−t)(4−2t −2t 2+t +1)+14(4−2t 2)⋅t =−14t 2−12t +54，令g(t)=TF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−14t 2−12t +54，t =−1∈[−√2,0)，开口向下， 于是g(t)max =g(−1)=−14+12+54=32， 所以TF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为32．【解析】(1)由|AF|=5，确定切点A 的坐标，设AQ 的方程为y =kx +b ，由△=0和点A 在切线上求出切线的方程，则点C 坐标可求，从而线段CF 的长度可求；(2)设AQ 、QB 方程，联立抛物线方程，表示出A 、B 点坐标，求出线段AB 的中垂线方程，求出Q 点坐标，求出线段AQ 的中垂线方程，由两中垂线方程联立求出点M 的坐标，采用同样的方法确定△FDC 的外心T ，表示出TF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，用换元法可求最大值． 本题以直线、三角形的外心、抛物线和椭圆为载体，求向量数量积的最大值，综合考查学生的运算求解能力、逻辑思维能力以及换元的思想，运算量大，变量多，属于难题． 22.【答案】解：(1)函数f(x)的定义域为R ，f′(x)=e x −a ；①当a <0时，f′(x)>0，f(x)在R 上单调递增，且f(0)=1>0，f(1a )=e 1a −1<0，∴f(x)有且只有一个零点；②当a =0时，f(x)=e x >0恒成立，∴f(x)在R 上无零点； ③当0<a <e 时，令f′(x)=0，得x =lna ；由f′(x)>0，得f(x)的单调递减区间为(−∞,lna)； 由f′(x)<0，得f(x)的单调递增区间为(lna,+∞)；∴f(x)的最小值为f(lna)=a −alna =a(1−lna)>0； ∴f(x)无零点，综上，0≤a <e 时，f(x)无零点， 当a <0时，f(x)有一个零点．(2)F(x)=f(x)−g(x)=e x −lnx ，则F′(x)=e x −1x ，令ℎ(x)=e x −1x ，则ℎ′(x)=e x +1x 2>0．所以ℎ(x)在(0,+∞)递增，即F′(x)在(0,+∞)单调递增．又F′(1)=e −1>0，F′(12)=√e −2<0，∴F′(x)在(12,1)上存在零点x 0， F′(x 0)=e x 0−1x 0=0.即x 0=−lnx 0．当x ∈(0,x 0))时，F′(x)<0，F(x)单调递减； x ∈(x 0,+∞)时，F′(x)>0，F(x)单调递增；∴函数F(x)的最小值值为m =F(x 0)=e x 0−lnx 0=1x 0+x 0>2，G(x)=e x −e m lnx ，G′(x)=e x −me ，可得G′(x)在(0,+∞)递增， 因为m >2，所以G′(1)=e −e m <0，G′(m)=e m −e m m>0，所以G′(x)在(1,m)上存在零点x 1，当x ∈(0,x 1))时，G′(x)<0，G(x)单调递减； x ∈(x 1,+∞)时，G′(x)>0，G(x)单调递增； ∴G(x(的最小值为G(x 1)=e x 1−e m lnx 1 ∵e x 1=e m x 1，∴m =x 1+lnx 1．又∵m =1x 0+ln 1x 0，∴x 1=1x 0．所以G(x 1)=e x 1−e mlnx 1=e1x 0−e m⋅ln 1x 0=e1x 0−e1x 0+ln 1x 0⋅ln 1x 0=e1x 0−1x 0⋅e1x 0⋅ln 1x 0=1x 0⋅e 1x 0(x 0−ln 1x 0)=1x 0⋅e 1x 0(x 0+lnx 0).∵x 0+lnx 0=0，所以G(x)=e x −e m lnx 的最小值为G(x 1)=0．【解析】(1)求函数f(x)的导数，利用导数判断函数的单调性和极值，从而得出函数零点的个数； (2)F(x)=f(x)−g(x)=e x −lnx ，则F′(x)=e x −1x ，可得x)在(12,1)上存在零点x 0，从而得到函数F(x)的最小值值为m =F(x 0)=e x 0−lnx 0=1x 0+x 0>2，G(x)=e x −e m lnx ，G′(x)=e x −me x ，可得所以G′(x)在(1,m)上存在零点x 1，G(x(的最小值为G(x 1)=e x 1−e m lnx 1，结合m =x 1+lnx 1.m =1x 0+ln 1x 0，可得G(x)的最小值为G(x 1)=0．本题考查了利用导数求函数的单调性与函数零点问题，也考查了不等式恒成立应用问题，是难题．。

浙江省衢州市数学2020届高中毕业班文数第一次模拟试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高二下·廊坊期末) 已知复数z= ，则复数z的虚部为（）A .B . ﹣C .D .2. （2分） (2016高一上·宁县期中) 设集合A={a，b}，集合B={a+1，5}，若A∩B={2}，则A∪B等于（）A . {1，2}B . {1，5}C . {2，5}D . {1，2，5}3. （2分）(2020高一下·滨海期中) 如图，在平面四边形ABCD中，若点E为边CD上的动点，则的最小值为（）A .C .D .4. （2分） (2017高二下·雅安期末) 已知命题P：∃x∈R，x2+2ax+a≤0．若命题P是假命题，则实数a的取值范围是（）A . （0，1）B . （﹣∞，0）∪（1，+∞）C . [0，1]D . （﹣∞，0）∪[1，+∞）5. （2分） (2016高二上·衡水开学考) 执行如图的程序框图，若输入a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A .B .C .6. （2分） (2016高二上·温州期末) 某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（）A . 90cm2B . 129cm2C . 132cm2D . 138cm27. （2分） (2019高一上·田阳月考) 把函数y＝sin x(x∈R)的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是（）．A .B .C .D .8. （2分）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f(n)个小正方形．则f(5)等于（）A . 39B . 40C . 41D . 429. （2分） (2019高一上·菏泽期中) 已知函数，若，则实数a等于A . 4B . 0C .D . 210. （2分） (2020高三上·贵阳期末) 已知非零向量满足，则与的夹角为（）A .B .C .D .11. （2分）已知数列{an}中,an=-4n+5,等比数列{bn}的公比q满足q=an-an-1（）,且b1=a2,则|b1|+|b2|+...+|bn|=（）A .B .C .D .12. （2分）已知函数对任意都存在使得则的最大值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）(2020·池州模拟) 设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最小值是________．14. （2分） (2018高二上·浙江期中) 已知直线和互相平行，则实数________，两直线之间的距离是________．15. （1分）(2020·合肥模拟) 设为数列的前项和，若，则 ________16. （1分）(2018·郑州模拟) 已知双曲线的右焦点为，过点向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于，若，则双曲线的渐近线方程为________.三、解答题 (共7题；共60分)17. （5分） (2017高一下·武汉期中) 己知在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tanC=．（Ⅰ）求角C大小；（Ⅱ）当c=1时，求ab的取值范围．18. （10分）为调查人们在购物时的支付习惯，某超市对随机抽取的600名顾客的支付方式进行了统计，数据如下表所示：支付方式微信支付宝购物卡现金人数200150150100现有甲、乙、丙三人将进入该超市购物，各人支付方式相互独立，假设以频率近似代替概率.（1）求三人中使用微信支付的人数多于现金支付人数的概率；（2）记X为三人中使用支付宝支付的人数，求X的分布列及数学期望.19. （10分）(2019·浙江模拟) 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1 ．（1）求证：AB1⊥平面A1BC1；（2）若D在B1C1上，满足B1D＝2DC1 ，求AD与平面A1BC1所成的角的正弦值．20. （10分）(2018·汉中模拟) 已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为，过轴正半轴一点且斜率为的直线交椭圆于两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在实数使，若存在求出实数的值；若不存在需说明理由.21. （10分）(2020·嘉祥模拟) 已知函数（1）若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围；（2）若函数对恒成立，求实数的取值范围.22. （10分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+ ）=﹣1．（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P是圆C上任一点，求A，B两点的极坐标和△PAB面积的最小值．23. （5分） (2017高二下·武汉期中) 已知函数f（x）= ，g（x）=af（x）﹣|x﹣1|．（Ⅰ）当a=0时，若g（x）≤|x﹣2|+b对任意x∈（0，+∞）恒成立，求实数b的取值范围；（Ⅱ）当a=1时，求g（x）的最大值．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共60分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、。

2020年浙江省衢州二中高考6月模拟数学试题一、单选题1．若当0x >时，函数2()2x f x e mx =-+有两个极值点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．,2e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(0,2)eD ．(2,)e +∞2．设01p <<，随机变量ξ的分布列是则当p 在(0,1)内增大时（ ） A ．()E ξ减小，()D ξ减小 B ．()E ξ减小，()D ξ增大 C ．()E ξ增大，()D ξ减小D ．()E ξ增大，()D ξ增大3．下图是某实心机械零件的三视图，则该机械零件的表面积为（ ）A ．662π+B ．664π+C ．662π-D ．664π-4．已知集合{}{}1,2,3,4,1,3,5,M N M N ==⋂集合则等于 （ ） A ．{2}B ．{2，3}C ．{1,,3 }D ．{1,2,3,4,5}5．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝cos(2x ＋32π)(x ∈[0,2π])的图象和直线y ＝12的交点个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．46．设变量x ，y 满足约束条件250{200x y x y x +-≤--≤≥则目标函数z ＝2x ＋3y 的最大值是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．117．2013年第12届全国运动会举行期间，某校4名大学生申请当A ，B ，C 三个比赛项目的志愿者，组委会接受了他们的申请，每个比赛项目至少分配一人，每人只能服务一个比赛项目，若甲要求不去服务A 比赛项目，则不同的安排方案共有（ ） A ．20种B ．24种C ．30种D ．36种8．已知条件1:p k =，条件:q 直线1y kx =+与圆2212x y +=相切，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．直三棱柱111ABC A B C -底面是等腰直角三角形，AB AC ⊥，1BC BB =，则直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ） AB ．23CD ．1210．双曲线221x my -=的实轴长是虚轴长的14，则实数m = A ．116B ．14C ．4D ．16二、填空题11．函数222231x x y x x ++=+-的值域为________． 12．已知O 是椭圆E 的对称中心，1F ，2F 是E 的焦点，以O 为圆心，1OF 为半径的圆与E 的一个交点为A .若1AF 与2AF 的长度之比为2:1，则E 的离心率等于______.13．在平面直角坐标系中，已知向量(2,1)a =，O 是坐标原点，M 是曲线||2||2x y +=上的动点，则a OM --→⋅的取值范围为__________. 14．函数arcsin tan()4y x x π=+的值域是________三、解答题15．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若21cos cos cos c a B b A C=+，4c =.（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）当ABC ∆的面积取最大值时，求b 的值． 16．已知212ln ()xf x x+=. （1）求()f x 的最大值；（2）存在()12,1,x x ∈+∞且12x x ≠，使1212()()ln ln f x f x k x x -≥-成立，求k 的取值范围. 17．已知抛物线()2:20C y px p =>上两点()11,A x y 、()()2212,B x y x x ≠，焦点F 满足10AF BF +=，线段AB 的垂直平分线过()6,0Q .（1）求抛物线C 的方程；（2）过点F 作直线l ，使得抛物线C 上恰有三个点到直线l 的距离都为2，求直线l 的方程. 18．如图，四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，2PD AB ==，E 为PC 上一点，当F 为DC 的中点时，EF 平行于平面P AD .（Ⅰ）求证：DE ⊥平面PCB ； （Ⅱ）求二面角E BD P --的余弦值.19．首项为O 的无穷数列{}n a 同时满足下面两个条件： ①1n n a a n +-=；②12n n a -≤(1)请直接写出4a 的所有可能值；(2)记2n n b a =，若1n n b b +<对任意*n N ∈成立，求{}n b 的通项公式； (3)对于给定的正整数k ，求12...k a a a +++的最大值． 四、双空题20．袋中有2个红球，2个白球，2个黑球共6个球，现有一个游戏：从袋中任取3个球，恰好三种颜色各取到1个则获奖，否则不获奖.则获奖的概率是______，有3个人参与这个游戏，则恰好有1人获奖的概率是______.21．已知()()()()2*012111nn n x a a x a x a x n N =++++++∈…+对任意x ∈R 恒成立，则0a=__________；若450a a +=，则n =_________________．22．已知复数z ：满足1)3i z i +=+（（i 为虚数单位），则复数z 的实部为①________，z =②________.【答案与解析】1．A求出()'f x ，使()0f x '=在()0,x ∈+∞上有两个根，然后利用参变分离思想处理.因为函数2()2x f x e mx =-+，则()2xf x e mx '=-+， 若当0x >时，函数2()2xf x e mx =-+有两个极值点，则()20xf x e mx '=-+=在()0,x ∈+∞上有两根，即2xe m x=在()0,x ∈+∞上有两解，令()2=x e g x x ，则()()22122xx x x exe e g x x x--'==， 当1x >时，()0g x '>，则()g x 在()1,x ∈+∞上递增， 当01x <<时，()0g x '<，则()g x 在()0,1x ∈上递减，所以函数()2=xe g x x在1x =处取得最小值，即()12e g =，故2e m >.故选：A.本题考查利用函数的极值点个数求参数的取值范围问题，难度一般，解答时注意灵活转化，注意参变分离思想的运用. 2．A根据随机变量的期望，方差公式计算出()E ξ，()D ξ后根据函数的单调性可得． 由题意得11()01212222p p pE ξ-=⨯+⨯+⨯=-，所以当p 在(0,1)内增大时，()E ξ减少； 221()[0(1)][1(1)]2222p p p D ξ=--⨯+--⨯22132[2(1)]222p p p p --++--⨯=231()242p --=， 所以当p 在(0,1)内增大时，()D ξ减少． 故选A ．本题考查了离散型随机变量的期望与方差的计算问题，也考查了运算求解能力，属中档题． 3．B由三视图可知该机械零件是一个长方体中间穿一个圆柱，结合题中所给的数据求解组合体的表面积即可.由三视图可知该机械零件是一个长方体中间穿一个圆柱，其中长方体的长宽高分别为为3,3,4，圆柱的底面半径为1r =，圆柱的高为5， 据此可得，组合体的表面积2(333434)212664S ππ=⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯=+. 本题选择A 选项.(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和． 4．C因为{}13M N ⋂=， ,所以选C. 5．C试题分析：因为y ＝cos(2x ＋32π)(x ∈[0,2π]),即sin 2xy =(x ∈[0,2π])的图像是半个周期的图像，所以它与直线y ＝12的交点有两个. 考点：三角函数的诱导公式及正弦函数的图像. 点评：本小题关键是利用诱导公式3cos()sin 2παα+=把y ＝cos(2x ＋32π)(x ∈[0,2π])转化为sin 2xy =(x ∈[0,2π])然后画出它的图像从图像上观察它与直线y ＝12的交点个数.6．B试题分析：约束条件对应的可行域为直线250,20,0x y x y x +-=--==围成的三角形及其内部；三顶点为()()50,,0,2,3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，当23z x y =+过点()3,1时取得最大值9考点：线性规划问题 7．B分两种情况，①其中有一个人与甲在同一个项目，有11232212C C A =种情况，②没有人与甲在同一个项目，则有12C C 32•A 22=12种情况；则若甲要求不去A 项目，则不同的分配方案有12+12=24种； 故选B ．考点：本题主要考查排列、组合的应用，计数原理．点评：易错题，注意题意中“每个比赛项目至少分配一人”这一条件，再分配甲之后，需要对其余的三人分情况讨论． 8．A先求出直线1y kx =+与圆2212x y +=相切时k 的值，再由充分必要条件的定义判定，即可得出结论.设圆心(0,0)O 到直线1y kx =+距离为d ， 由直线1y kx =+与圆2212x y +=相切，则2d ==，解得1k =±， ∴p 成立则q 成立，q 成立p 不一定成立，所以p 是q 的充分不必要条件. 故选：A .本题考查充分不必要条件的判定以及直线与圆的位置关系，属于基础题. 9．A建立空间直角坐标系，用空间向量法求异面直线所成的角． 因为直三棱柱111ABC A B C -底面是等腰直角三角形，AB AC ⊥， 故以AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴建立空间直角坐标系，如图， 设1AB =，则1BB =(1,0,0)B ，(0,1,0)C，1(1B，1(0,1C ，1(1AB =，1(1,1BC =-，111111cos ,63AB BC ABBC AB BC ⋅<>===． ∴直线1AB 与1BC ． 故选：A ．。

C.—3C . i2020年浙江省衢州二中高考数学一模试卷、选择题：本大题共 10小题，每小题4分，共40分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. (4 分)设 U { 1, 20, 1, 2}，集合 A {x|x 1 , x U}，则 QA ( 2.A . {0 , 1, 2}B . { 1 , 1, 2}C . { 1 , 0, 2}1 , 0, 1}(4分) 本场考试需要 2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为 3. (4分) 已知复数 z 满足 zgi 2020 1 i 2019 （其中i 为虚数单位） ，则复数z 的虚部是（ 4. (4分)已知直线 11 : ax2y 4l 2 : x (a 1)y 2 0,则“ a 1 ”是 “ h //b ”的A .充分不必要条件B •必要不充分条件C .充分必要D .既不充分也不必要条件（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为f （x ）的图象如图所示，则它的解析式可能5xf(x) x 2 1 A . f(x) 2 (|x| 1)B . 2xC .f(x) |ln|x||D . f(x)xe x 17 .( 4分）已知数列{a n }的前n 项 和为Sn,a11,a22,且Si S n 12（S n 1）（n 1,n N *）.则（）A . a 4 7B . S 6240C . a w19D . S 2g 3812 28. （4分）已知F 1 , F 2是双曲线 笃 爲 1（a 0,b 0）的左、右焦点，若点 F 2关于双曲线a b渐近线的对称点 A 满足 FAO AOF'O 为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）C . y .2x个确定的向量a ，记|c |的最小值为m ，则当a 变化时，m 的最大值为（）A . 1B . 1C 1D .143210 . (4分) 已知函数 f(x)2ax 1 |2x ax1|(a R ）的最小值为0,则 a ()A . 1B .1 C1D122 二、填空题: 本大题共 7小题，多空每空格3 分，单空每空格4分，共36分.11 . (6 分)若 a log23, b log s 2，则 agb,lga lgb12. （6分）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式.如图所示，弧田是由圆弧A B 和其所对弦AB 围成的图形，若弧田的弧 A B 长为4弧所在的圆的半径为 6,则弧田的弦 AB 长是 ________ ，弧田的面积是 ____ .y..・113. （6分）已知实数x 、y 满足y, 2x 1，且可行域表示的区域为三角形，则实数 m 的取x y, m9. （4分）已知平面向量 r ra,b,C ，满足 |b| 2,|araA . y 2x14. (6 分)有2名老师和3名同学，将他们随机地排成一行，用表示两名老师之间的学生人数，则1对应的排法有种；E（）15.(4 分) 已知函数f（x）x,x m2，且p m , q-m，使得f(p) f (q) 0，则x 4x,x・・m实数m的取值范围是16. （4分）已知实数c满足a2 b2 2c21，则ab c的最小值是17. （4分）若四棱锥P ABCD的侧面PAB内有一动点Q ,已知Q到底面ABCD的距离与Q 到点P的距离之比为正常数k，且动点Q的轨迹是抛物线，则当二面角P AB C平面角的大小为30时，k的值为三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18. （14分）在ABC中，内角A , B , C所对的边分别为 a , b , c，已知A -,3.2 2 3 2b c abc a .3（2）若b 1，求ABC的面积.19. （15分）已知等腰梯形ABCD中（如图1）, AB 4 , BCCD DA 2 , F为线段CD的中点，E , M为线段AB上的点，AE EM 1，现将四边形AEFD沿EF折起（如图2）. （I）求证：AM ||平面BCD ;（H）在图2值范围为___ ，若目标函数z x y的最小值为1，则实数m等于两焦点A , C 组成的三角形面积为20. （15分）已知数列｛a .｝的前n 项和S n 满足：S n1(a n 1).2 （I ）求｛a n ｝的通项公式; (D)设& — —，数列1 a n 1 a n 12 2x y 21. (15分)已知椭圆E:二 2a bCna n 1 a n ｛C n ｝的前n 项和为T n .1（a b 0）的离心率为 求证：T n 2ne，且短轴的一个端点 B 与2(I)求椭圆E的方程;(H)若点P为椭圆E上的一点，过点P作椭圆E的切线交圆0:x2 M ，N (其中M 在N 的右侧)，求四边形ACMN 面积的最大值．22. (15分)已知函数f(x) ax Inx(a R)有两个零点x , x?.(1 )求a的取值范围；(2)是否存在实数，对于符合题意的任意\ , x2，当x0石(1若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由.22y 2a2于不同的两点)x2 0时均有f (x0) 0 ？。

2019-2020学年高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．定义在R 上的函数()f x 满足(4)1f =，()f x '为()f x 的导函数，已知()y f x '=的图象如图所示，若两个正数,a b 满足(2)1f a b +<，11b a ++则的取值范围是（ ）A ．(11,53)B ．1(,)(5,)3-∞⋃+∞C ．(1,53)D ．(,3)-∞2．函数f x x 2()cos(2)3π=+的对称轴不可能为（ ） A ．65x π=-B ．3x π=-C ．6x π=D ．3x π=3．若点(3,4)P -是角α的终边上一点，则sin 2α=（ ） A ．2425-B ．725-C ．1625D ．854．已知命题:p 若1a <，则21a <，则下列说法正确的是（ ） A ．命题p 是真命题 B ．命题p 的逆命题是真命题C ．命题p 的否命题是“若1a <，则21a ≥”D ．命题p 的逆否命题是“若21a ≥，则1a <”5．已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点(3,4)P --，则tan 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．247-B ．1731-C ．247D ．17316．已知命题P ：x R ∀∈，sin 1x ≤，则p ⌝为( ) A ．0x R ∃∈，0sin 1x ≥ B ．x R ∀∈，sin 1x ≥ C ．0x R ∃∈，0sin 1x > D ．x R ∀∈，sin 1x >7．函数2()1cos 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭图象的大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知向量a 与a b +的夹角为60︒，1a =，3b =，则a b ⋅=( ) A ．3-B ．0C ．0或32-D ．32-9．已知F 为抛物线2:8C y x =的焦点，点()1,A m 在C 上，若直线AF 与C 的另一个交点为B ，则AB =( )A ．12B ．10C ．9D ．810．为了进一步提升驾驶人交通安全文明意识，驾考新规要求驾校学员必须到街道路口执勤站岗，协助交警劝导交通.现有甲、乙等5名驾校学员按要求分配到三个不同的路口站岗，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( ) A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种11．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()()2224m f m f f n n ⎛⎫⎪⎝⎭⋅=，当01x <<时，()0f x <.若()42f =，则函数()f x 在[]1,16上的最大值为（ ） A ．4B ．6C ．3D ．812．如图，在ABC ∆中，点M ，N 分别为CA ，CB 的中点，若5AB =，1CB =，且满足223AG MB CA CB ⋅=+，则AG AC ⋅等于（ ）A ．2B 5C ．23D ．83二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。