背包问题

背包问题的算法研究及应用背包问题是一种经典的组合优化问题，常常被用来研究在有限的空间下如何使价值最大化。

背包问题可以分为 01 背包问题、完全背包问题、多重背包问题和混合背包问题等多种类型。

这些问题的求解方法也各有特点，需要根据具体问题进行选择。

本文主要介绍 01 背包问题和完全背包问题的求解算法及应用。

一、01 背包问题01 背包问题指的是在一个容量为 V 的背包中装入物品，每件物品都有自己的体积 vi 和价值 wi，问怎样装能使背包价值最大化，且物品不能重复使用。

01 背包问题可以用贪心算法或动态规划算法进行求解。

贪心算法的思想是每次选择当前最优的物品，直到背包无法继续装下为止。

但是贪心算法不能保证一定能获得最优解。

动态规划算法则是将问题分解为子问题，并通过递推关系式来求解。

具体来说，我们定义一个 dp[i][j] 表示将前 i 件物品放入容量为 j 的背包中所能获得的最大价值，则有：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-vi]+wi)其中 max 表示取两者中的最大值，dp[i-1][j] 表示不选择第 i 件物品，dp[i-1][j-vi]+wi 表示选择第 i 件物品放入背包中。

根据递推关系式，我们可以得到目标值为dp[n][V]，其中 n 表示物品个数。

二、完全背包问题完全背包问题指的是在一个容量为 V 的背包中装入物品，每件物品都有自己的体积 vi 和价值 wi，问怎样装能使背包价值最大化，且每件物品可以无限使用。

完全背包问题和 01 背包问题类似，也可以用贪心算法或动态规划算法进行求解。

贪心算法的思想是每次选择当前最优的物品，并一直选择直到不能再在背包中装入为止。

但是贪心算法仍然不能保证获得最优解。

动态规划算法则是将问题分解为子问题，并通过递推关系式来求解。

与 01 背包问题相比，完全背包问题的递推关系式与之略有不同，具体来说，我们定义一个 dp[i][j] 表示将前 i 件物品放入容量为 j 的背包中所能获得的最大价值，则有：dp[i][j] = max(dp[i-1][j-k*vi]+k*wi)其中 max 表示取两者中的最大值，k 表示第 i 件物品中的物品数量。

背包问题全类型背包问题给定⼀组物品，每种物品都有⾃⼰的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最⾼。

背包问题⼤体都可以⽤上述⽅式进⾏描述，但在具体的问题上有了不同的限制条件，于是便有了各种类型的背包问题。

背包问题可基本分为0-1背包问题、部分背包问题、多重背包问题、完全背包问题四⼤类。

接下从四种问题的解决的核⼼算法可以把部分背包问题单独化为⼀类，其核⼼算法为贪⼼。

其余的三种背包问题都可以⽤动态规划解决。

造成部分背包问题与其他的背包问题最⼤不同的原因是其限定条件的不同，部分1. 部分背包问题限定条件：每件物品可以只选取⼀部分完整问题描述：有 n 件物品，第i件物品重 w[i]，价值为 v[i]，且每件物品可以进⾏分割，分割后的价值按取⾛重量占该物品总重量的⽐值计算。

在不超过最⼤承载量 C 的范围内，问最⼤可以取⾛的价值为多少？( 其中 i ∈ {1,2,3,···,n} )算法：贪⼼分析：根据本题的特殊性，我们可以任意地对某⼀部品进⾏分割，所以我们优先选择性价⽐⾼的物品，即单位重量下物品的价值。

解题代码//C++#include<cstdio>#include<algorithm>#include<iostream>using namespace std;struct bag { int w,v; //w表⽰重量 v表⽰价值 double p; //⽤来储存v/w 性价⽐}a[10005];bool cmp(bag x,bag y) { return x.p > y.p; //性价⽐⾼的物品排在前⾯}int main() {剩余 } } printf('%.2f\n', ans); //输出答案 return 0;}注意计算时注意数据类型在计算“性价⽐”的时候要注意，在C/C++等⼀部分语⾔中存在以下机制 int/int = int ，这样是⽆法计算出⼩数的，需要将其中任意⼀项浮点化即可。

完全背包问题的解决方案背包问题是计算机科学中的一个重要问题，其基本思想是给定一组物品和一个背包，每个物品都有自己的重量和价值，目标是找到一种最佳的方式将物品放入背包中，使得背包中物品的总价值最大。

背包问题分为0-1背包问题、多重背包问题和完全背包问题，本文将着重介绍完全背包问题的解决方案。

完全背包问题定义如下：给定一组物品，每个物品的重量为w[i]，价值为v[i]，背包的容量为C，每个物品可选择任意次数放入背包。

求解背包能够容纳的物品的最大总价值。

为了解决完全背包问题，我们可以使用动态规划算法。

我们定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示前i个物品在背包容量为j时的最大总价值。

根据动态规划的思想，我们可以得到递推公式：dp[i][j] = max(dp[i-1][j-k*w[i]] + k*v[i])，其中0 ≤ k ≤ j/w[i]根据上述递推公式，我们可以按照以下步骤解决完全背包问题：Step 1: 初始化dp数组。

dp数组的大小为(n+1)×(C+1)，其中n表示物品的数量，C表示背包的容量。

将dp数组的所有元素初始化为0。

Step 2: 遍历背包容量。

外层循环从1到C，表示背包的容量。

Step 3: 遍历物品。

内层循环从1到n，表示物品的数量。

Step 4: 更新dp数组。

根据递推公式，计算dp[i][j]的值，并更新dp数组中的元素。

Step 5: 输出结果。

输出dp[n][C]，即背包能够容纳的物品的最大总价值。

下面是一个具体的示例来说明完全背包问题的解决方案：假设背包容量为10，共有3个物品：物品1的重量和价值分别为2和3；物品2的重量和价值分别为4和5；物品3的重量和价值分别为6和8。

根据上述解决方案的步骤，我们可以得到如下的动态规划求解过程：Step 1: 初始化dp数组。

dp[0][0] = 0dp[0][1] = 0...dp[0][10] = 0Step 2: 遍历背包容量。

背包问题背包问题(Knapsack problem)是一种组合优化的NP 完全问题。

问题可以描述为：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高。

问题的名称来源于如何选择最合适的物品放置于给定背包中。

相似问题经常出现在商业、组合数学，计算复杂性理论、密码学和应用数学等领域中。

也可以将背包问题描述为决定性问题，即在总重量不超过W 的前提下，总价值是否能达到V ？它是在1978年由Merkel 和Hellman 提出的一、定义：背包问题属于组合优化问题，一般的最优化问题由目标函数和约束条件两部部分组成：我们有n 种物品，物品i 的重量为w i ，价格为p i 。

我们假定所有物品的重量和价格都是非负的。

背包所能承受的最大重量为W 。

如果限定每种物品只能选择0个或1个，则问题称为0-1背包问题。

可以用公式表示为：1max ni i i p x =∑1..,ni i i S T w x W =≤∑ {}0,1i x ∈如果限定物品i 最多只能选择b i 个，则问题称为有界背包问题。

可以用公式表示为：1max ni i i p x =∑1..,n i i i S T w xW =≤∑ {}0,1,,i i x b ∈⋅⋅⋅如果不限定每种物品的数量，则问题称为无界背包问题。

各类复杂的背包问题总可以变换为简单的0-1背包问题进行求解。

二、基本模型的建立方法1、0-1背包问题的数学模型（最基础的背包问题）分类：0-1背包问题简单分为一维背包和二维背包问题。

特点：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

1.1 一维背包问题问题：一个旅行者准备进行徒步旅行，为此他必须决定携带若干物品。

设有n 件物品可供他选择，编号为1,2,...,n 第i 件物品重量为i w 千克，价值为i p 元，他能携带的最大重量为w 千克。

他应该装入哪几件物品价值最大。

解：引入变量i x ，且设1,(1,2,,)0,i i x i n i ⎧==⎨⎩表示将第种物品装入包中表示不将第种物品装入包于是此问题的数学模型为：1max ni i i f p x ==∑1122.....01,1,2,...,.n n iw x w x w x W S T x i n +++≤⎧⎨==⎩或 1.2 二维背包问题一维背包问题只考虑了背包重量的限制，如果再增加背包体积的限制为V ，并设第i 件物品的体积i v ，问如何携带可使总价值最大。

背包问题是一种经典的优化问题，通常用于解决在给定一组物品和它们的重量、价值等信息的情况下，如何选择一些物品放入一个容量有限的背包中，使得背包中物品的总价值最大或总重量最小等问题。

以下是背包问题的一种经典算法——动态规划法：
1. 定义状态：设f[i][j]表示前i个物品中选择若干个物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值或最小重量。

2. 状态转移方程：对于第i个物品，有两种情况：
- 不放入背包中，此时f[i][j]=f[i-1][j]；
- 放入背包中，此时f[i][j]=max(f[i-1][j], f[i-1][j-w[i]]+v[i])，其中w[i]和v[i]分别表示第i 个物品的重量和价值。

3. 初始化：f[0][0]=0。

4. 计算最优解：根据状态转移方程，从上到下依次计算每个物品的状态值，最终得到f[n][m]即为所求的最优解。

时间复杂度：O(n*m)，其中n为物品数量，m为背包容量。

空间复杂度：O(n*m)。

01背包问题（01knapsackproblem）0 / 1 背包问题(0 / 1 knapsack problem)背包问题（Knapsack problem）是⼀种组合优化的问题。

问题可以描述为：给定⼀组物品，每种物品都有⾃⼰的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最⾼。

问题的名称来源于如何选择最合适的物品放置于给定背包中。

相似问题经常出现在商业、[组合数学]，[计算复杂性理论]、[密码学]和[应⽤数学]等领域中。

也可以将背包问题描述为，即在总重量不超过W的前提下，总价值是否能达到V。

1、题⽬描述假设商店中有如下3个商品，他们的重量和价格如下：索引重量价值011500143000232000假如你是⼀个⼩偷，你有⼀个重量为4的包，每个商品只能偷⼀次，请问你怎么偷才会使得最后的价值最⼤？2、分析这种问题⼀般可以⽤动态规划很好地解决。

但是如果我不⽤动态规划，⽽是⽤搜索所有情况来解决也可以，每个商品都有偷或不偷的选项，所以n个商品就有n^2种情况，所以⽤遍历的⽅法时间复杂度为O(n^2) n为商品的数量现在我们假设B(k, w)表⽰的是前k个商品，在背包容量为w的情况下能偷的最⾼价值当现在⾯对的第k个物品重量太重时：B(k, w) = B(k-1, w)，代表我在多了⼀个物品的选择的情况下，仍然和没有这件物品时的选择⼀样，所以结果也⼀样（因为我偷不了或者我不偷的情况）当第k个物品的重量我可以接受时：B(k, w) = B(k-1, w - 这件物品的重量) + 这件物品的价值代表我如果偷了这件物品，那剩下的w - 这件物品重量的空间可以容纳的最⼤价值就是在上⼀次选择时B(k-1, w - 这件物品的重量)的值。

再加上这件物品的价值就是我偷了这件物品的最⼤值。

所以，在衡量⼀个B(k, w)时，⾸先看⼀下能不能偷，能得话看⼀下偷还是不偷两个的最⼤值，就是B(k, w)的值，所以我们回到上⾯的问题，问题的解就是B(2，4)的值我们⽤⼆维数组 dp[][]来表⽰整个的过程可选商品 \ 背包容量012340号商品（1，1500）015001500150015000 ~ 1号商品（4，3000）015001500150030000 ~ 2号商品（3，2000）01500150020003500如图中加粗数字1500代表的是在有前两个商品，背包容量为2时可以偷的最⼤价值为1500图中加粗数字3000，即在有前2个商品，背包重量为4时，可以偷的最⼤价值为3000，这个数是这样算的：第⼆个商品（1号）重量为4，正好满⾜，如果偷的话所以价值为3000 + 0 = 3000如果不偷的话价值和只有1个商品，背包容量为4的价值⼀样，1500取最⼤值为3000所以问题的关键就在构建这个⼆维数组3、实现/*** 时间复杂度：O(n * capacity) n为商品数量，capacity为包的⼤⼩* 空间复杂度：O(n * capacity) 可以优化为capacity*/public class Main{/*** 0/1 背包问题* @param w w[i]代表i号物品的重量（从0开始）* @param v v[i]代表i号物品的价值（从0开始）* @param capacity 代表包的最⼤容量* @return 可以偷的商品的最⼤值*/public static int knapsack(int[] w, int[] v, int capacity){int goods = w.length; // 商品数int[][] dp = new int[goods][capacity + 1];// 初始化第⼀⾏,因为第⼀⾏上层没有元素了，即只有第⼀个商品时for(int j = 1; j <= capacity; j++){if(j >= w[0]) dp[0][j] = v[0];}// 前i个商品, 背包容量为j时偷得最⼤价值for(int i = 1; i < goods; i++) {for(int j = 1; j < capacity + 1; j++) {// 如果容量不够放下第i个商品if(w[i] > j) {dp[i][j] = dp[i-1][j];} else { // 如果可以放下这件商品dp[i][j] =Math.max(dp[i-1][j], v[i] + dp[i-1][j-w[i]]);}}}// System.out.println(Arrays.deepToString(dp));return dp[goods - 1][capacity];}}⽤滚动数组优化空间复杂度：因为如果我们从后往前构建每⼀⾏，那上⼀⾏保留的就可以在构建时候⽤/*** 时间复杂度：O(n * capacity) n为商品数量，capacity为包的⼤⼩* 空间复杂度：O(capacity)*/public class Main{/*** 0/1 背包问题* @param w w[i]代表i号物品的重量（从0开始）* @param v v[i]代表i号物品的价值（从0开始）* @param capacity 代表包的最⼤容量* @return 可以偷的商品的最⼤值*/public static int knapsack(int[] w, int[] v, int capacity){int goods = w.length; // 商品数int[] dp = new int[capacity + 1];// 前i个商品, 背包容量为j时偷得最⼤价值for(int i = 0; i < goods; i++) {for(int j = capacity; j > 0; j--) {// 如果能装下就更新，装不下就不更新(上⼀⾏的值)if(j - w[i] >= 0) {dp[j] = Math.max(dp[j], v[i] + dp[j - w[i]]);}}}return dp[capacity];}}。