2018年中考数学专题：例谈“双勾模型图”的提炼及其应用

初中几何绝对经典必须学会的“K”字模型的提炼及应用相似三角形是初中几何中的核心模块，也是考查学生分析和解决问题能力的重要载体.本文从探究的一个基本模型——“K”字模型入手，尝试从复杂的图形中分离和构造基本形图，从而将三角形问题“模块”化，以拓展解题思路，提高解题效率.一、探索模型起源，树立模型意识下面以大家熟知的勾股定理证明为例，对“K”字模型进行深入探究和有意识构建，以培养我们的模型使用意识.勾股定理的证明方法有很多，用四个全等的直角三角形来验证，除了赵爽的经典弦图之外，还有著名的“毕达哥拉斯证法”.我们在“毕达哥拉斯证法”的基础上，将图1中的图形截取一半，使他成为直角梯形，由两个全等的直角三角形和等腰直角三角形构成，重新设置顶点字母后，如图2所示.这种验证勾股定理的方法通常称为“总统证法”.因此，勾股定理的“总统证法”与“毕达哥拉斯证法”的本质相同，利用面积关系均可证明勾股定理.“总统证法”中构造的几何图形是一个非常重要的几何模型，它在解题中有着广泛的应用.利用这一几何模型，可简解与之相关的试题.观察图形便知，模型图为直角梯形，其中含有两个全等的直角三角形、一个等腰直角三角形，隐藏着正方形;蕴含着角相等、角互余、角互补、线垂直、线平行等多种特殊关系，即在Rt△ABC和Rt△CDE中(如图2)，有AC=CE,∠B=∠D=∠ACE=90°，点B,C,D在同一直线上，则Rt△ABC≌Rt△CDE.现将条件作适当改变而基本图形不变，对“总统证法”作进一步探索研究如下:注本题图形书从数量看是一线三直角，从结构特征看是夹角为90°的“K”字形，则有两三角形相似.由此可见，通过对勾股定理的多种证法及其对应模型的进一步剖析，可以发现其内在的基本模型' K'，字形图的存在依据，从而使我们对“K”字形的模型有了深刻的认识，为巧妙利用基本模型来解题打好基础.二、认知提炼模型，灵活解决问题在上述模型意识的基础上，如何在多样的变化中识别问题特征，灵活解决问题?具体来说，应不断深化对模型的认知层次:初级认知是在不同情境中举一反三，直接运用基本图形来解决问题;中级认知是基于模型的关键点建立知识联系，在添加辅助线构造基本图形，再运用基本图形解决问题;高级认知是在解题人心中具备成熟模型意识，只需根据条件进行调用，拓展基本图形，分析它们的联系即可.下面，举例进行说明.1.直接运用基本图形例1如图4，在边长为9的正方形ABCD中，F为AB上一点，连结CF.过点F作FE⊥，交AD于点E,AF=3，则AE等于( )(A) 1 (B) 1.5 (C)2 (D) 2. 5注本题是直接利用“K”字形图的基本图形来解决问题.通过条件确定基本模型，得出两个三角形相似，根据对应边得出比例关系，即可举一反三得出答案.2.添加辅助线后运用基本图形当无法直接发现“K”字形图，欲利用基本模型来解决问题，可以通过添加辅助线的形式，构造出我们熟悉的模型.注不同类型的问题有着相同的内在规律，我们通过识图可发现图形的本质，以添加辅助线方法构造基本的解题模型，就能迅速找到这类问题的切入口.比如本题求比值时，可以通过距离，联想作垂直辅助线，建立基本模型“K”字形图，再根据其性质可立即解决问题.3.弱化条件“直角”，拓展基本图形在利用基本模型解题时，我们还要进行一题多问的发散、一题多变的尝试，从而实现思维的提升，知识的迁移.上述通过分析研究“总统证法”发现，将线段相等的条件弱化，得到的“K”字形图(一线三垂直)，仍有三角形相似.下面再将垂直条件弱化.拓展二如图6，如果弱化条件“直角”，仍有点B,O,C三点共线，∠B=∠C=∠AOD，那么△BOA∽△CDO成立吗?分析按照基本图形的证明方法，结论仍然成立.如图7，在△ABC中，O是BC上一点，点E,F分别在AB,AC上，∠B=∠C=∠EOF=α，则△BOE∽△CFO.(证明略)综上，我们得到了“K”字形图(一线三等角)，必有相似形.分析如下:当点E与A重合时，如图8，则△BOA∽△CFO(证明略).当点O为BC中点时，如图9，则△BOE∽△CFO∽△OFE (证明略).以上通过对“K”字形模型在“一线三垂直”的基础上，进行有效扩充，完成了“一线三等角”的验证，使得“K”字形模型的运用领域更加广泛.您给我转评赞，有一样就谢谢您了！。

“双勾函数”的性质及应用问题引入：求函数2y =的最小值．问题分析：将问题采用分离常数法处理得，2y ==，此时如果利用均值不等式，即2y =，等式成立的条件为==显然无实数解，所以“=”不成立，因而最小值不是2，遇到这种问题应如何处理呢？这种形式的函数又具有何特征呢？是否与我们所熟知的函数具有相似的性质呢?带着种种疑问，我们来探究一下这种特殊类型函数的相关性质．一、利用“二次函数”的性质研究“双勾函数”的性质 1．“双勾函数”的定义我们把形如()kf x x x=+（k 为常数，0k >）的函数称为“双勾函数”．因为函数()kf x x x=+（k 为常数，0k >）在第一象限的图像如“√”，而该函数为奇函数，其图像关于原点成中心对称，故此而得名．2．类比“二次函数”与“双勾函数”的图像3．类比“二次函数”的性质探究“双勾函数”的性质 （1）“二次函数”的性质①当0a >时，在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随着x二次函数图像“双勾函数”图像的增大而增大；当2bx a=-时，函数y 有最小值244ac b a - ．②当0a <时，在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随着x的增大而减小．当2bx a=-时，函数y 有最大值244ac b a -．（2）“双勾函数”性质的探究 ①当0x >时，在x =y 随着x的增大而减小；在x =y 随着x的增大而增大；当x =y有最小值．②当0x <时，在x =y 随着x 的增大而增大；在x =y 随着x的增大而减小．当x =y有最大值-综上知，函数()f x在(,-∞和)+∞上单调递增，在[和上单调递减．下面对“双勾函数”的性质作一证明．证明：定义法．设12,x x ∈R ，且12x x <，则1212121212121212()()()()()(1)x x x x k a k k f x f x x x x x x xx x x x ---=+--==--．以下我们怎样找到增减区间的分界点呢？首先0x ≠，∴0x =就是一个分界点，另外我们用“相等分界法”，令120x x x ==，2010kx -=可得到x =因此又找到两个分界点．这样就把()f x 的定义域分为(,-∞，[，，)+∞四个区间，再讨论它的单调性．设120x x <<120x x -<，120x x >，120x x k <<， ∴120x x k -<． ∴121212121212()()()()0x x x x k k k f x f xx x x x x x ---=+--=>，即12()()f x f x >． ∴()f x 在上单调递减．同理可得，()f x 在)+∞上单调递增；在(,-∞上单调递增；在[上单调递减．故函数()f x在(,-∞和)+∞上单调递增，在[和上单调递减．性质启发：由函数()(0)kf x x k x=+>的单调性及()f x 在其单调区间的端点处取值的趋势，可作出函数()y f x =的图像，反过来利用图像可形象地记忆该函数的单调性及有关性质．此性质是求解函数最值的强有力工具，特别是利用均值不等式而等号不成立时，更彰显其单调性的强大功能．4．“二次函数”与“双勾函数”在处理区间最值问题上的类比 （1）“二次函数”的区间最值设f x ax bx c a ()()=++≠20，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值． 分析：将f x ()配方，得对称轴方程x ba=-2， ①当a >0时，抛物线开口向上．若-∈ba m n 2[]，必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值； 若-∉b a m n 2[]，，此时函数在[]m n ，上具有单调性，故在离对称轴x b a=-2较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值． ②当0a <时，抛物线开口向下．若-∈ba m n 2[]，必在顶点取得最大值，离对称轴较远端点处取得最小值； 若-∉b a m n 2[]，，此时函数在[]m n ，上具有单调性，故在离对称轴x b a=-2较远端点处取得最小值，较近端点处取得最大值． 以上，作图可得结论． ①当a >0时，max121()()()22()1()()()22b f m m n a f x b f n m n a ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-<+⎪⎩如图如图，≥，；min345()()2()()()22()()2b f n n a b b f x f m n a a b f m m a ⎧->⎪⎪⎪=--⎨⎪⎪-<⎪⎩如图如图如图，，≤≤，．图1 图2 图3 图4 图5②当a <0时，max678()()2()()()22()()2b f n n a b b f x f m n a a b f m m a ⎧->⎪⎪⎪=--⎨⎪⎪-<⎪⎩如图如图如图，，≤≤，；min9101()()()22()1()()()22b f m m n a f x b f n m n a ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-<+⎪⎩如图如图，≥，．（2）“双勾函数”的区间最值 设()(0)kf x x k x=+>，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值． 分析：①当0x >时，其图像为第一象限部分．[]m n ，，则函数必在界点x =函数值；[]m n ，，此时函数在[]m n ，上具有单调性，故在离直线x =得最大值，较近端点处取得最小值．②当0x <时，其图像为第三象限部分．若[]m n ，，则函数必在界点x =最小值需比较两个端点处的函数值；若[]m n ，，此时函数在[]m n ，上具有单调性，故在离直线x =处取得最小值，较近端点处取得最大值．以上，作图可得结论． ①当0x >时，图7 图9图10max()(,()max{(),([,](,()(.f m n f x f m f n m n f n m ⎧>⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩如图11)如图12)如图13)min()(,()[,](,()(.f n n f x f m n f m m ⎧>⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩如图11)如图12)如图13)②当0x <时，max()(,()([,](,()(.f n n f x f m n f m m ⎧>⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩，如图14)如图15)，如图16)min()(,()min{(),()},[,](,()(.f m n f x f m f n m n f n m ⎧>⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩，如图14)如图15)，如图16)二、实践平台例1某化工厂生产的某种化工产品，当年产量在150吨至250吨之间时，其生产的总成本y （万元）与年产量x （吨）之间的函数关系式近似地表示为230400010x y x =-+．问：（1）年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？并求出最低成本；图11 图12图13图14图15图16（2）每吨平均出厂价为16万元，年产量为多少吨时，可获得最大利润？并求出最大利润．分析：将问题归结为“双勾函数”问题，利用“双勾函数”的性质，可使问题轻松获解．解：（1）由题意可知，每吨平均成本为yS x=万元． 即400014000030()301010y x S x x x x==+-=+-，因为函数在区间(0,200]上为减函数，在区间[200,)+∞上为增函数．所以当200x =时，函数400014000030()301010y x S x x x x==+-=+-有最小值为140000(200)301010200S =+-=最小（万元）， 所以当年产量为200吨时，每吨的平均成本最低，最低成本为10万元．（2）设年获得总利润为Q 万元，则2211616304000(230)12901010x Q x y x x x =-=-+-=-+， 当230(150,250)x =∈，1290Q =最大，故当年产量为230吨时，可获得最大利润1290万元．评注：本题的关键是用年产量x 吨把每吨平均成本及利润表示出来，然后再求其最值，在求解最值时我们要用到“双勾函数”的单调性，记住这个结论可以简化计算过程．函数的单调性除一些理论上的应用外，它还可以灵活有效地解决现实生活中与之相关的实际问题．例2甲、乙两地相距s km ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c km/h ，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位），由可变部分和固定部分组成；可变部分与速度v (km/h)的平方成正比，比例系数为b ，固定部分为a 元．（1）把全程运输成本y （元）表示为v (km/h)的函数，并指出这个函数的定义域．（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶． 分析：要计算全程的运输成本s bv vabv a v s y )()(2+=+=(v <0≤c )，而已知每小时的运输成本，只需计算全程的时间，由题意不难得到全程运输成本s bv v a bv a v s y )()(2+=+=(v <0≤c )，所要解决的问题是求bv va+何时取最小值，显然要对c 的大小进行讨论，讨论的标准也就是c 与ba的大小． 解：（1）依题意知：汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为sv，因此全程运输成本为s bv vabv a v s y ⋅+=+⋅=)()(2，又据题意v <0≤c ，故所求函数及其定义域分别为： )(bv vas y +⋅=，],0(c v ∈．（2）设()()aab u f v bv b v v v==+=+，∴u 在],0(b a上是减函数，在)+∞上是增函数． ①若ba≤c ，结合“双勾函数”的性质知， 当bav =时运输成本y 最小． ②若c ba>，函数在],0(c 上单调递减，所以当c v =时，全程运输成本最小． 评注：解应用题时，首先要训练读题能力，成功地完成对数学文字语言、符号语言、图形语言的理解、接受和转换，继而对题中各元素的数量关系进行加工和提炼，分清主次，并建立数学模型解决实际问题．例3（2006安徽高考）已知函数()f x 在R 上有定义，对任意实数0a >和任意实数x ，都有()()f ax af x =．（Ⅰ）证明(0)0f =；（Ⅱ）证明0()0.kx x f x hx x ⎧=⎨<⎩，≥，，其中k 和h 均为常数；（Ⅲ）当（Ⅱ）中的0k >，设1()()(0)()g x f x x f x =+>，讨论()g x 在(0)+∞，内的单调性并求最值．分析：承接第（Ⅱ）问的结论，将问题归结为“双勾函数”的单调性与函数最值的求解问题．证明：（Ⅰ）令0x =，则()()00f af =，∵0a >，∴()00f =． （Ⅱ）①令x a =，∵0a >，∴0x >，则()()2f x xf x =．假设0x ≥时，()f x kx =(k ∈R ），则()22f x kx =，而()2xf x x kx kx =⋅=，∴()()2f x xf x =，即()f x kx =成立．②令x a =-，∵0a >，∴0x <，()()2f xxf x -=-假设0x <时，()f x hx =()h R ∈，则()22f x hx -=-，而()2xf x x hx hx-=-⋅=-，∴()()2f xxf x -=-，即()f x hx =成立．∴(),0,0kx x f x hx x ≥⎧=⎨<⎩成立．（Ⅲ）当0x >时，()()()2111()k g x f x kx k x f x kx x=+=+=+， 由“双勾函数”性质知在1(0,]k 上为减函数，在1[,)k+∞上为增函数， 所以当1x k=时，min [()]2g x =． 评注：数学高考试题注重“考基础、考能力、考思想”．所以熟悉数学化归的思想，有意识地运用数学变换的方法去灵活解决有关的数学问题，将有利于强化在解决数学问题中的应变能力，有利于提高解决数学问题的思维能力和技能、技巧． 适当进行化归、转化能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口，是分析问题中思维过程的主要组成部分． 本题就是转化思想应用的一个典型，通过转化将本来抽象的问题归结到“双勾函数”区间最值的求解，让我们有一种豁然开朗的感觉．例4（2001广东高考）设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm 2，画面的宽与高的比为(1)λλ<，画面的上、下各留8cm 空白，左、右各留5cm 空白．怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小?如果要求23[,]34λ∈，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小?分析：设定变元x ，寻找它们之间的内在联系(等量关系)，选用恰当的代数式表示问题中的这种联系，建立函数模型，将问题归结为“双勾函数”区间最值问题，并运用“双勾函数”性质进行求解．解：设画面高为x cm ，宽为x λcm ，则24840x λ= 设纸张面积为S cm 2，则有2(16)(10)(1610)160S x x x x λλλ=++=+++,将2210x λ=代入上式得,58500035210(S λλ=+,(0)t t λ=>，则58()500035210()(0)S t t t t=++>，函数S 在5]8上为减函数，在5[,)8+∞上为增函数， 所以当58t =S 取最小值， 此时55(1)88λ=<，高：484088x λ==cm ，宽：588558x λ=⨯=cm ．如果23[,]34λ∈，则)t ∈⊆+∞，所以函数S 在上为增函数，故当t =S 取最小值，此时23λ=． 评注：函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种动态刻画． 要充分重视解题过程中的推理，注意运用推理来简化运算．充分利用题目给出的信息，抽象其数学特征，建立函数关系．很明显，只有在对问题的观察、分析、判断等一系列的思维过程中，具备有标新立异、独树一帜的深刻性、独创性思维，才能构造出函数原型，达到解决问题的目的．在高考中可以利用“双勾函数”考查均值不等式、函数的单调性、函数最值等问题，其应用相当广泛，应用效果相当明显．因此也是高考中的热点和难点，倍受命题者的青睐．但只要我们能熟知“双勾函数”的性质，便不难使此类问题获解．。

研究形如()0b y ax ab x =+≠函数的图像及其性质 一﹑形如()0b y ax ab x=+≠函数的分类与命名 形如()0b y ax ab x =+≠的函数可分成四类1 (0,0)()F a b b x ax x >>=+、2()F b x ax x =+ (0,0)a b ><、3 (0,0)()F a b b x ax x <<=+、4(0,0)()F a b b x ax x <>=+， ❖ 当y =ax+b/x （a>0)时，这种函数称为双勾函数（双曲线函数），也被称为“勾函数”“耐克函数”或“耐克曲线” “对号函数”。

①对勾函数实际是一种类似于反比例函数的一般函数。

它的形式有b/x 的成分（即反比例函数的成分），所以函数y=ax+b/x 的图象也是双曲线 ②这个函数的名字就是由函数y=ax+b/x 的图象在第一象限形状就是个像耐克的品牌徽标一样﹑也像个对号，因而得名。

二﹑y=ax+b/x(a ≠0,b ≠0)函数的图像①当a=0，b ≠0时为y=b/x ，是初中学习过的，是双曲线 ②当a ＝0,b ＝0时,函数y ＝ax ＋b ／x 即为X 轴 ③当a ≠0,b ＝0时,函数y ＝ax ＋b ／x 即为直线 ④当a ≠0，b ≠0时，y=a[x+(b/a)/x]，故只需考虑y=x+c/x 的图象，c>0时的图像如图高一17班 陈思维C＜0时的图像如图三、耐克函数的定义域与值域函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), 值域为(-∞,0)∪(0,+∞)。

四、函数单调性•a、b同正，在单调递增，在单调递减，在单调递减，在单调递增。

•a、b同负，在单调递减，在单调递增，在单调递增，在单调递减。

在我们高中数学解题中，形如()0b y ax ab x =+≠函数的考察屡见不鲜，往往会难倒学生，通过这次的讨论与研究，大家会掌握它的图像与基本性质，了解方法，从而达到解题方便。

2018年数学全国中考真题二次函数几何方面的应用（试题一）解析版一、选择题1.（2018广西省桂林市，12，3分）如图，在平面直角坐标系中，M、N、C三点的坐标分别为（12，1），（3，1），（3，0），点A为线段MN上的一个一动点，连接AC，过点A作AB⊥AC交y轴于点B，当点A 从M运动到N时，点B随之运动，设点B的坐标为（0，b），则b的取值范围是( )A．14-≤b≤1 B．54-≤b≤1 C．94-≤b≤12D．94-≤b≤1【答案】B．【思路分析】．如下图（1），连接CN，延长NM，交y轴于点D，设AN＝x，则AD＝3－x，DB＝1b+，证明△BDA∽△ANC，可得b＝23523124x x x-+-=--+⎛⎫⎪⎝⎭≤54，从而得到b的取值范围．【解题过程】解：如下图（1），连接CN，延长NM，交y轴于点D，设AN＝x，则AD＝3－x，∵点B的坐标为（0，b），∴DB＝1b+，∵N、C两点的坐标分别为（3，1），（3，0），∴NC＝1，AN⊥NC，∴∠ACN＋∠CAN ＝90°，∵AB⊥AC，∴∠BAD＋∠CAN＝90°，∴∠ACN＝∠CAN，又∵∠BDA＝∠CNA＝90°，∴△BDA∽△ANC，∴AD BDCN AN=，即131bxx+-=，213b x x+=-+，解得b＝23523124x x x-+-=--+⎛⎫⎪⎝⎭≤54，又∵当点A与点N重合时，点B与点D重合，（如下图（2）），此时b＝1，∴54-≤b≤1．，故选B．【知识点】二次函数；相似三角形的性质和判定；动点问题二、填空题1.（2018吉林长春，14，3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2 + mx 交x轴的负半轴于点A. 点B是y轴正半轴上一点，点A关于点B的对称点A' 恰好落在抛物线上. 过点A' 作x轴的平行线交抛物线于另一点C.若点A' 的横坐标为1，则A'C 的长为 .(第14题)【答案】3【思路分析】如下图，A'C 与y 轴交于点D. 因为点A 与点A' 关于点B 对称，则AB=A'B ；又因A'C// x 轴，则ΔABO ≌ ΔA'BD ，AO=A'D. 点A' 的横坐标为1，即A'D=AO=1.所以点A 坐标为(-1，0)，把点A (-1，0)代入函数解析式可求得m 值，进而可知A' 坐标，由A'C// x 轴，可求出点C 横坐标，即可求出A'C 的长.【解题过程】解：如图，A'C 与y 轴交于点D. ∵点A 与点A' 关于点B 对称 ∴AB=A'B 又A'C// x 轴∴∠A'DB =∠AOB =90°,∠DA'B =∠OAB ∴ΔABO ≌ ΔA'BD ∴AO=A'D∵点A' 的横坐标为1 ∴A'D=AO=1∴A 坐标为(-1，0)把(-1,0) 代入抛物线解析式y =x 2 + mx 得m=1 ∴抛物线解析式为y =x 2 + x ∴ A' 坐标为（1，2） 令y =2得，x 1 = -2 , x 2=1 ∴A'C =1-(-2)=3.【知识点】待定系数法求抛物线解析式，对称的性质，平行线的性质，三角形全等，直角坐标系中求线段长度2. （2018广西贵港，12，3分）如图，抛物线y ＝14（x ＋2）（x －8）与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，顶点为M ，以AB 为直径作⊙D ，下列结论：①抛物线的对称轴是直线x ＝3；②⊙D 的面积是16π；③抛物线上存在点E ，使四边形ACED 为平行四边形；④直线CM 与⊙D 相切．其中正确结论的个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】抛物线y ＝14（x＋2）（x－8）与x轴交于A，B两点，可知A（－2，0），B（8，0）所以D（3，0），所以抛物线的对称轴是直线x＝3，即①正确；由于⊙D的半径为5，所以它的面积为25π，所以②不正确；过C作CF∥AD，则F（6，0），此时CF＝6＞5＝AD，因此在抛物线上不可能存在点E，使四边形ACED为平行四边形，故③错误；当x＝0时，y＝－4，所以C点的坐标为（0，－4），因此DC＝42＋32＝5，即C在⊙D上，又M（3，－254），所以DM＝254，CM＝32＋⎝⎛⎭⎫254－42＝154所以DC2＋CM2＝62516＝DM2，所以DC⊥CM，所以直线CM与⊙D相切，故④正确；综上，有两项正确，故选B．3.（2018江苏苏州，18，3分）如图，已知AB＝8，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP＝60°．M，N分别是对角线AC，BE 的中点．当点P在线段AB上移动时，点M，N之问的距离最短为（结果保留根号）．【答案】23【解析】本题解答时要连接MP，PN，利用菱形的性质，得出△PMN为直角三角形，然后利用勾股定理，求出用PA的长来表示的MN的长，最后利用二次函数的性质求出MN的最小值.连接PM，PN，∵四边形APCD，PBFE是菱形，∴P A=PC，∵AM=MC，∴PM⊥AC，同理PN⊥BE.∴∠CPM+∠CPN=119022APC BPE∠+∠=゜，∵∠DAP=60゜，∴∠CAP==∠NPB=30゜，xyOACMBDE设AP =x ，则PB =8-x ， ∴PM =12x ，PN)x -∴=∴当x =6时，MN有最小值，最小值为三、解答题1. （2018广西柳州市，26，10分）如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于0)，B 两点(点B 在点A 的左侧)，与y 轴交于点C ，且OB ＝3OAOC ，∠OAC 的平分线AD 交y 轴于点D ，过点A 且垂直于AD 的直线l 交y 轴于点E ，点P 是x 轴下方抛物线的一个动点，过点P 作PF ⊥x 轴垂足为F ，交直线AD 于点H. (1)求抛物线的解析式；(2)设点P 的横坐标为m ，当FH ＝HP 时，求m 的值；(3)当直线PF 为抛物线的对称轴时，以点H 为圆心，12HC 为半径作⊙H ，点Q 为⊙H 上的一个动点，求14AQ ＋EQ 的最小值.【思路分析】(1)根据题意，先求出点B 、C 的坐标，运用待定系数求出抛物线的解析式； (2)用点m 表示出FH 和PF 的长，再由FH ＝HP 列关于m 的方程求解；FAP(3)连接AH ，以AH 为边构造相似三角形，将14AQ 转化为某一个固定点的线段，再由三点共线计算出14AQ ＋EQ 的最小值. 【解题过程】(1)∵OB ＝3OA ＝OC ，0)，∴点B 、C 的坐标分别为(－，0)，(－3，0).设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋x )，代入点C 的坐标，得：－3＝a ··(，解得：a ＝13.故该抛物线的解析式为y ＝13(x ＋)(x ＝13x 2x －3. ………………3分(2)在Rt △AOC 中，由tan ∠OAC ＝OCOA，∴∠OAC ＝60°.又∵AH 是∠FAC 的平分线，∴∠FAH ＝30°，则AF由点P 的横坐标为m ，则它的纵坐标为13m 2－3.∴AF m ，PF ＝3－13m 2.∴FH AF m ). ∵FH ＝HP ，则PF ＝2FH ，m )＝13m 2－3.解得：m 舍去)或m故m ………………6分 (3)连接CH.∵AF ＝AC ＝，∠FAH ＝∠CAH ，AF ＝AF ， ∴△AHF ≌△AHC(SAS)， ∴FH ＝CH ＝2. 故⊙H 的半径为1.在HA 上截取HM ＝14，则AM ＝4－14＝154. ∵HM HQ ＝14，HQ HA ＝14， ∴HM HQ ＝HQHA，且∠QHM ＝∠AHQ ， ∴△QHM ∽△AHQ ，∴AQMQ＝14，则14AQ＝MQ,∴14AQ＋QE＝QM＋QE. ………………9分∵点E、M是定点，故当点M、Q、E共线时，QM＋QE的值最小，即最小值为线段ME的长.在Rt△AEM中，由勾股定理可知：ME………………10分2.（2018海南省，24，15分）如图12-1，抛物线32++=bxaxy交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0）．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）如图12-2，该抛物线与y轴交于点C，顶点为F，点D（2，3）在该抛物线上．①求四边形ACFD的面积；②点P是线段AB上的动点(点P不与点A，B重合)，过点P作PQ⊥x轴交该抛物线于点Q，连接AQ，DQ，当△AQD是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q的坐标．【思路分析】将A（﹣1，0）和点B（3，0）代入32++=bxaxy，求解关于a，b的二元一次方程组即可；（2）①分别求出点C、F的坐标，S四边形ACFD=S△CDF+S△CDA；②当∠ADQ=90°时，如图24-2，设PQ交CD于点G，则PQ⊥CD，G点坐标为（t，3），作DH⊥x轴于H，则H（2，0），在Rt∠DHA中，DH=AH=3，∠DGQ为等腰三角形，GQ =GD ，()t t t -=-++-23322，求得t 的值并验证；当∠AQD =90°时，过点D 作DK ⊥PQ 于点K ，易证得∠PQA ∽△KDQ ， KQ PA KD PQ =，()323123222++--+=-++-t t t t t t ，求得t 的值并验证． 【解题过程】（1）将A （﹣1，0）和点B （3，0）代入32++=bx ax y 得，⎩⎨⎧=++=+-033903b a b a ，解得⎩⎨⎧=-=21b a ，∴该抛物线的解析式为322++-=x x y ．（2）①连接CD ，∵()413222+--=++-=x x x y ，F （1，4），当x =0时，y =3，∠C （0，3）又D （2，3），∠CD ∥x 轴，且CD =2，S 四边形ACFD =S △CDF +S △CDA =21CD ·（A F y y -）=44221=⨯⨯． ②设P （t ，0），则Q （t ，322++-t t ）．Ⅰ：若∠DAQ =90°，如图24-1，此时点Q 必在第四象限，所对应的点P 在AB 的延长线上，此种情况不符合题意，故舍去．Ⅱ：若∠ADQ =90°，如图24-2，设PQ 交CD 于点G ，则PQ ⊥CD ，G 点坐标为（t ，3），作DH ⊥x 轴于H ，则H（2，0），∴在Rt∠DHA 中，DH =AH =3，∠∠DAH =45°，又CD ∥x 轴，∠∠ADC =∠DAH =45°，∠∠QDG =∠ADQ﹣∠ADC =45°，∠∠DGQ 为等腰三角形，∴GQ =GD ，()t t t -=-++-23322，整理得：0232=+-t t ，解得：11=t ，22=t ，当t=2时，D 与Q 重合，故舍去．当t =1时，4322=++-t t ，∠Q （1，4）． Ⅲ：若∠AQD =90°，如图24-3过点D 作DK ⊥PQ 于点K ，∠∠APQ =∠QKD =90°，∠∠DQK +∠PQA =90°，又∠DQK +∠KDQ =90°，∴∠PQA =∠KDQ ，∠∠PQA ∽△KDQ ，∴KQ PA KD PQ =，∴()323123222++--+=-++-t t t t t t ，∴()()()21213-+=-+--t t t t t t ，∵1-≠t ，2≠t （即Q 不与A 、D 重合），∴()tt 13=--，整理得：0132=+-t t ，解得2531+=t ，2532-=t ，经验证，1t 、2t 均符合题意，其中：321<<t ，符合图24-3的情况，212<<-t ，符合图24-4的情况． 当2531+=t 时，255322-=++-t t ；当2532-=t 时，255322+=++-t t ， ∴Q （253+，255-）或（253-，255+）． 综上所述，当∠AQD 为直角三角形时，点Q 坐标为：（1，4）或（253+，255-）或（253-，255+）． 【知识点】二次函数综合题，二次函数图象上点的存在性，相似三角形的性质与判定3. （2018黑龙江省龙东地区，23，6分） 如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与y 轴交于点A （0，2），对称轴为直线x ＝－2，平行于x 轴的直线与抛物线交于B 、C 两点，点B 在对称轴左侧，BC ＝6． （1）求此抛物线的解析式；（2）点P 在x 轴上，直线CP 将△ABC 面积分成2:3的两部分，请直接写出P 点坐标．【思路分析】对于（1），根据点A 坐标可求c 的值，根据对称轴直线可求b 的值；对于（2），先确定点C 和点B 的坐标，计算出△ABC 的面积，再根据直线CP 分△ABC 面积之比确定点P 存在的可能性有两种，结合两种情况，分别确定点P 的位置即可． 【解题过程】解：（1）∵点A （0，2）在抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 上，∴c ＝2，∵抛物线对称轴为直线x ＝－2，∴221b-=-⨯，∴b ＝4，∴抛物线的解析式为y ＝x 2＋4x ＋2． （2）点P 的坐标为（－5，0）或（－13，0），理由如下：∵抛物线对称轴为直线x ＝－2，BC ∥x 轴，且BC ＝6，∴点C 的横坐标为6÷2－2＝1，把x ＝1代入y ＝x 2＋4x ＋2得y ＝7，∴C （1，7），∴△ABC 中BC 边上的高为7－2＝5，∴S △ABC ＝12×6×5＝15．令y ＝7，得x 2＋4x ＋2＝7，解得x 1＝1，x 2＝－5，∴B （－5，7），∴AB＝CP 交AB 于点Q ，∵直线CP 将△ABC 面积分成2:3的两部分，∴符合题意的点P 有两个，对应的点Q 也有两个．①当AQ 1：BQ 1＝2:3时，作Q 1M 1⊥y 轴，Q 1N 1⊥BC ，则AQ 1＝Q 1M 1＝2，BQ 1＝Q 1N 1＝3，Q 1(－2，4)，∵C （1，7），∴直线CQ 1的解析式为y ＝x ＋5，令y ＝0，则x ＝－5，∴P 1（－5，0）； ②当BQ 2：AQ 2＝2:3时，作Q 2M 2⊥y 轴，Q 2N 2⊥BC ，则AQ 2＝Q 2M 2＝3，BQ 2＝，Q 2N 2＝2，Q 2(－3，5)，∵C （1，7），∴直线CQ 2的解析式为y ＝12x ＋132，令y ＝0，则x ＝－13，∴P 2（－13，0） 综上，点P 的坐标为（－5，0）或（－13，0）．【知识点】待定系数法；二次函数的性质；一次函数的性质；三角形的面积公式；平行线分线段成比例25．4. （2018山东省东营市，25，12分） 如图，抛物线13()()y a x x =--（0a >）与x 轴交于A 、B 两P 的坐解得：x 1=1，x 2=3则A （1,0），B （3,0）于是OA =1，OB =3∵△OCA ∽△OBC ∴OC ∶OB =OA ∶OC ∴OC 2=OA •OB =3即OC =（2）因为C 是BM 的中点 ∴OC =BC 从而点C 的横坐标为23又OC =，点C 在x 轴下方∴C ），（2323-设直线BM 的解析式为y =kx +b ， 因其过点B （3，0），C ），（2323-，则有⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+.232303b k b k ，∴， ∴ 又点C 在抛物线上,代入抛物线解析式，P 作PQ x 轴交直线BM 于点Q ， 则Q （x ,）,PQ = 当△BCP 面积最大时，四边形ABPC 的面积最大33=k 333-=x y ），（2323-32333-x 33333322-+-x x ）（）（△2321321-+-=x PQ x PQ S BCP ）（23321-+-=x x PQ PQ 43=∴当时，有最大值，四边形ABPC 的面积最大， 此时点P 的坐标为（3）点P 存在. 设点P 坐标为（x ，），过点P 作PQ x 轴交直线BM 于点Q ， 则Q （x ,）,PQ = 当△BCP 面积最大时，四边形ABPC 的面积最大∴当时，有最大值，四边形ABPC 的面积最大， 此时点P 的坐标为43943923 2-+-=x x 492=-=a b x BCP S △）385-，49（323383322+-x x 333-x 33333322-+-x x ）（）（△2321321-+-=x PQ x PQ S BCP ）（23321-+-=x x PQ PQ 43=43943923 2-+-=x x 492=-=a b x BCP S △）385-，49（【知识点】一元二次方程与二次函数的关系，中点坐标公式，相似三角形性质，待定系数法求直线与抛物线的解5. （2018四川乐山，1，3） 在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C（0，43-），OA =1，OB =4，直线l 过点A ，交y 轴于点D ，交抛物线于点E ，且满足tan ∠OAD =34. （1）求抛物线的解析式；（2）动点P 从点B 出发，沿x 轴正方向以每秒2个单位长度的速度向点A 运动，动点Q 从点A 出发，沿射线AE 以每秒1个单位长度的速度向点E 运动，当点P 运动到点A 时，点Q 也停止运动，设运动为t 秒. ①在P 、Q 的运动过程中，是否存在某一时刻t ，使得△ADC 与△PQA 相似，若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；②在P 、Q 的运动过程中，是否存在某一时刻t ，使得△APQ 与△CAQ 的面积之和最大？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.【思路分析】本题是代数几何综合题，以平面直角坐标系为背景，考查了求二次函数解析式，二次函数的性质，，方程组的解法，几何图形面积的表示，相似三角形的判定与性质，分类讨论思想，三角形的面积的最值问题，综合性强，难度大，解题的关键是需要学生有良好的运算能力及分析问题和解决问题的能力，还得富有耐心．（1）利用A 、B 、C 三点的坐标确定二次函数的解析式．（2）利用题目的已知条件表示出相关线段的长，①中利用三角函数值探索出∠P AQ =∠ACD ，再根据题目中的要求使得△ADC 与△PQA 相似，进行分类讨论得到对应线段成xyQ PEDCBAOyxQMC BA O P(第25题答案图2)比例，列出关于t 的方程求解即可；②直接利用三角形的面积公式列出△APQ 与△CAQ 的面积之和与时间t 之间的函数关系式，再将所得的二次函数的解析式配方确定最值即可得到答案. 【解题过程】解：（1）∵OA =1，OB =4，∴A （1，0），B （-4，0）， -------------------- 1分 设所示抛物线的解析式为()()41y a x x =+-， ∵C （0，43-）在抛物线上， ∴()4413a -=⨯⨯-， 解得13a =， ∴抛物线的解析式为()()1413y x x =+-或21433y x x =+- ----------------------------- 3分 （2）存在t ，使得△ADC 与△PQA 相似，其理由如下： ①在Rt △AOC 中，OA =1，43OC =， 则3tan 4OA ACO OC ∠==， 又∵3tan 4OAD ∠=， ∴∠OAD =∠ACO ， ------------------------------------------------------------------------------------- 4分 ∵直线l 的解析式为()314y x =- ，∴D （0，34-）， 又∵C （0，43-）， ∴CD =4373412-= 由AC 2=OC 2+OA 2，得53AC =. ---------------------------------------------------------------------- 5分 在△AQP 中，AP =AB -PB =5-2t ，AQ =t ， 由∠P AQ =∠ACD ，要使△ADC 与△PQA 相似，只需AP CD AQ AC =或AP ACAQ CD=， ------------------------------------------------------------------- 6分 则有7521253t t -=或5523712t t -=， ----------------------------------------------------------------- 7分 解得110047t =，23534t =， ∵t 1＜2.5，t 2＜2.5， ∴存在10047t =或3534t =， 使得△APQ 与△PQA 相似 -------------------------------------- 9分 ②存在t ，使得△APQ 与△CAQ 的面积之和最大，其理由如下：作PF ⊥AQ 于点F ，CN ⊥AQ 于点N ， 如图6所示，在△APF 中，()3sin 525PF AP PAF t =⋅∠=-， 在△AOD 中，由AD 2=OD 2+OA 2，得54AD =------------------------------------------------- 10分 在△ADC 中，由1122ADC S AD CN CD OA ∆=⋅=⋅， ∴717125154CD OA CN AD ⨯⋅=== ------------------------------------------------------------------- 11分∴()()11375222515APQ CAQS S AQ PF CN t t ∆∆⎡⎤+=+=-+⎢⎥⎣⎦231316959135t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ ∴当139t =时，△APQ 与△CAQ 的面积之和最大. ------------------------------------------- 12分图6【知识点】二次函数 ；勾股定理；三角形相似的判定与性质；三角形面积；待定系数法；转化思想；数形结合思想；分类讨论思想6.(2018甘肃省兰州市,28,12分)如图,抛物线42-+=bx ax y 经过A (-3,0),B (5,-4)两点,与y 轴交于点C ,连接AB ,AC ,BC .(1)求抛物线的表达式; (2)求证:AB 平分CAO ∠;(3)抛物线的对称轴上是否存在点M ,使得ABM ∆是以AB 为直角边的直角三角形.若存在,求出点M 的坐标;若不存在,说明理由.【思路分析】(1)根据A ,B 两点的坐标利用待定系数法求解即可.(2)通过证明点B 到直线AC 的距离等于点B 到x 轴的距离即可证明结论.(3)分AM 为该直角边的斜边和BM 为该直角三角形的斜边两种情况,分别计算即可.【解题过程】(1)将A ,B 两点的坐标分别代入42-+=bx ax y ,得⎩⎨⎧-=-+=--，44525,0439b a b a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==,65,61b a故抛物线的表达式为y =465612--=x x y . xyN F Q PED CBAOACBxyO第28题图(2)证明:设直线AB 的表达式为y =kx +b ′,则3'0,5'4,k b k b -+=⎧⎨+=-⎩解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=,23',21b k 故直线AB 的表达式为y =2321--x .设直线AB 与y 轴的交点为点D ,则点D 的坐标为(0,23-).易得点C 的坐标为(0,-4),则由勾股定理,可得AC =5)04(]30[22=--+--）（. 设点B 到直线AC 的距离为h , 则52132121⨯⨯+⨯⨯=⨯CD CD AC h , 解得h =4.易得点B 到x 轴的距离为4, 故AB 平分∠CAO . (3)存在.易得抛物线的对称轴为直线25=x , 设点M 的坐标为(m ，25).由勾股定理,得AB 2=[5-(-3)]2+(-4-0)2=80,AM 2=[25-(-3)]2+(m -0)2=4121+m 2,BM 2=(25-5)2+[m -(-4)]2=m 2+8m +489. 当AM 为该直角三角形的斜边时, 有AM 2=AB 2+BM 2,即4121+m 2=80+m 2+8m +489, 解得m =-9,故此时点M 的坐标为(25,-9).当BM 为该直角三角形的斜边时, 有BM 2=AB 2+AM 2,即m 2+8m +489=80+4121+m 2, 解得m =11,故此时点M 的坐标为(25,11). 综上所述,点M 的坐标为(25,-9)或(25,11). 【知识点】二次函数的图象和性质 角平分线的判定与性质 勾股定理 分类讨论7. （2018黑龙江省齐齐哈尔市，题号24，分值14）如图1所示，直线y=x+c 与x 轴交于点A （-4,0），与y 轴交于点C ，抛物线y=-x ²+bx+c 经过点A ，C. （1）求抛物线的解析式；（2）点E 在抛物线的对称轴上，求CE+OE 的最小值；（3）如图2所示，M 是线段OA 上的一个动点，过点M 垂直于x 轴的直线与直线AC 和抛物线分别交于点P 、N.①若以C ，P ，N 为顶点的三角形与△APM 相似，则△CPN 的面积为_________;②若点P 恰好是线段MN 的中点，点F 是直线AC 上一个动点，在坐标平面内是否存在点D ，使以点D ，F ，P ，M 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D 的坐标；若不存在，请说明理由.注：二次函数y=ax ²+bx+c （a ≠0）的顶点坐标为（24,24b ac b aa --）【思路分析】(1)根据一次函数求出c 的值，再将A （-4,0）和c 值代入抛物线解析式求得b 值，进而得出抛物线解析式;(2)先作对称确定最小值的情况，进而求出答案.（3）①根据直角与对顶角找出两种相似的情况，进而得出△CPN 的面积；②根据菱形的判定定理作出菱形，进而得出D 点坐标. 【解题过程】解：（1）将A （-4,0）代入y=x+c ，得c=4.将A （-4,0）和c=4代入y=-x²+bx+c，得b=-3. ∴抛物线的解析式为y=-x ²-3x+4.（2）如图所示，作点C 关于抛物线的对称轴直线l 的对称点C ’，连接OC 交直线l 于点E ，连接CE ，此时CE+OE 的值最小.∵抛物线额对称轴为x=332(1)2--=-⨯-，则C ’C=3，在Rt △C ’CO 中，由勾股定理，得OC ’22(')CC OC +∴CE+OE 的最小值为5.（3）①∵抛物线解析式为y=-x ²-3x+4，∴A （-4,0），B （1,0），C （0,4），△APM 为等腰直角三角形. 设M 为（a ，0），则N （a ，-a ²-3a+4），P(a ，a+4).当△AMP ∽△CNP 时，则AM MP CN NP=，得24434(4)a a a a a a ++=---+-+，解得a=-4（舍）或a=-3或a=0（舍）. ∴CN=3,PN=3. ∴△CPN 的面积为12CN PN =92. 当△AMP∽△NCP时，则AM APNC NP=,得22222(4)34(4)(344)()a a a a a a a +=--+-+--+-+-，解得a=0（舍）或a=-2.∴.∴△CPN 的面积为12CN PC =4. 故答案为92或4.②存在. 1D (22-+,2),2D (22--,-2), 3D （-4,3）,4D （12，32）. 理由如下：当点P 是线段MN 的中点，则-a ²-3a+4=2（a+4）， 解得a=-4（舍），或a=-1. ∴M （-1,0），P （-1,3），N （-1,6）.设F(f ，f+4)，过点M 作AC 的平行线，则此直线的解析式为 y=x+1.∵PM=3，当PM 为菱形的边时，作PF=PM ，过F 作FD 平行PM ，交AC 平行线于点D ， ∴D （f ，f+1）.∴3²=2（f+1）²，解得f=22-±.则1D 2D ). ∵PM=AM=3,∴当点F 与点A 重合时，过点F 在x 轴上方作DF ∥PM ，且DF=PM ，连接DP ，可得出四边形DPMF 为菱形.∴点D 的坐标为（-4,3）.当PM 为菱形的对角线时，作PM 的垂直平分线，交直线AC 于点F ，作点F 关于PM 的对称点D ，连接MF,MD,PD,此时四边形DMFP 为菱形. ∴将32代入直线AC 的解析式可得，点F 的坐标为（-52，32）. ∵直线PM 为x=-1， ∴点D 的坐标为（12，32）.综上所述， 1D (22-+,2),2D (22--,-2), 3D （-4,3）,4D （12，32）.【知识点】待定系数法，二次函数图象的性质，两点之间线段最短，对称图形的性质，勾股定理.8. （2018湖北省江汉油田潜江天门仙桃市，26，12分）抛物线y =137322-+-x x 与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，其顶点为D ．将抛物线位于直线l ：y =t （2524t <）上方的部分沿直线l 向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M ”形的新图象．（1）点A ，B ，D 的坐标分别为 ， ， ；（2）如图①，抛物线翻折后，点D 落在点E 处．当点E 在△ABC 内（含边界）时，求t 的取值范围；（3）如图②，当t =0时，若Q 是“M ”形新图象上一动点，是否存在以CQ 为直径的圆与x 轴相切于点P ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【思路分析】（1）点A ，B 的坐标可以令y ＝0，解一元二次方程求出，点D 的坐标利用公式可求；（2）点E 可能在边界上也可能在边界内，∴要分情况讨论；（3）点Q 可能在原抛物线上也可能在翻折下来的部分抛物线上，∴要分情况讨论．要证明点Q 在圆上，只需证明QA 与QB 垂直即可． 【解题过程】（1）令y =137322-+-x x ＝0，解得x 1＝21，x 1＝3．∴A （21，0），B （3，0）．根据抛物线顶点公式可得D （47，2425）． 3分 （2）如图①，作直线DE ，交x 轴于点M ，交BC 于点N ． ∵直线BC 经过B （3，0），C （0，－1）两点， ∴直线BC 的解析式为：y ＝31x －1． 又∵抛物线对称轴DE 为：x ＝47， ∴点N 的坐标为（47，－125）． 4分 讨论：①当点D 与点M 重合时，此时点E 落在x 轴上的点M 处，图①lE yA B O D C· ·图②第25题图O ACBxy· D x∴t ＝21DM ＝21×2425＝4825． 5分 ②当点D 与点N 重合时，此时点E 落在BC 边上的点N 处． ∵DN ＝DM ＋MN ＝丨2425丨＋丨－125丨＝2435． ∴21DN ＝4835＞MN ． ∴t ＝21DN －MN ＝4835－125＝165． ∴t 的取值范围是：165≤t ≤4825． 7分（3）存在以CQ 为直径的圆与x 轴相切于点P ．如图②，设以CQ 为直径的⊙G 与x 轴相切于点P ，连接PC ，PG ，PQ ． 并作QH ⊥x 轴于点H ，则GC ＝GP ＝GQ ，且GP ⊥x 轴． ∴OC ∥PG ∥HQ ．∴OP ＝PH ． ∵CQ 为直径，∴∠CPQ ＝90°． ∴∠OPC ＝∠HQP ． ∵tan ∠OPC ＝OPOC ，tan ∠HQP ＝HQ HP．∴OPOC ＝HQ HP． 即OC ·HQ ＝OP ·HP ． 9分 讨论：①当点Q 在抛物线y =137322-+-x x 上时， 依题意有x ≤21或x ＞3． 设点Q 的坐标为（x ，137322-+-x x ）． 第25题答图①lE yA B O DC· ·x则OH ＝|x |，HQ ＝|137322-+-x x |，OP ＝PH ＝21|x |．∵OC ＝1，∴|137322-+-x x |＝21|x |·21|x |，即|137322-+-x x |＝41x 2．∵点Q 位于x 轴下方，∴137322-+-x x ≤0．∴137322-+-x x ＝－41x 2．解得x 1＝534214+，x 2＝534214-． 10分 ②当点Q 在抛物线y ＝137322+-x x 上时，依题意有21＜x ≤3．同理可得：|137322+-x x |＝41x 2．∵点Q 位于x 轴下方，∴137322+-x x ＝－41x 2．解得x 3＝116，x 4＝2． 11分 ∴满足条件的x 的值有x 1＝534214+，x 2＝534214-，x 3＝116，x 4＝2． ∵OP ＝21OH ＝21|x |， ∴符合条件的点P 的坐标有4个，即： P 1（5347+，0），P 2（5347-，0），P 3（113，0），P 4（1，0）． 12分【知识点】二次函数压轴题，存在性问题第25题答图②O ACBxy· D PQG9.（湖北省咸宁市，24，12）如图，直线343+-=x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ,抛物线c bx x y ++-=283。

2018年中考常见几何模型分析(总19页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除中考直通车·数学广州分册第八章专题拓展第24讲常见几何模型【考点解读】A常见几何模型是广州市中考的压轴题常考题型，主要以考察选择、填空最后一题和几何压轴题为主。

几何模型类型较多，综合性强，属于中考中重点但同样是难点的一个考点。

【考点分析】2011年 考查三角形全等和三角形中位线性质，标准的手拉手模型。

2014年 考查三角形全等的判断和性质，根据手拉手模型找出全等三角形，再应用其性质2016年 本年度模型思想明显，分值占比大，主要考查三角形全等的判定及其性质、图像的旋转，利用模型思想作为解题突破口顺利完成辅助线。

【模型介绍】 手拉手模型：1、 【条件】 如图两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，【结论】（1）DBC ABE ∆≅∆（2）DC AE =（3）AE 与DC 之间的夹角为︒60（4）AE 与DC 的交点设为H , BH 平分AHC ∠2、 【条件】如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连结CE AG ,,二者相交于点H 。

【结论】 （1）CDE ADG ∆≅∆是否成立？（2）AG =CE（3）AG 与CE 之间的夹角为 90（4）HD 是否平分AHE ∠旋转模型：一、邻角相等对角互补模型【条件】如图，四边形ABCD 中，AB =AD ，90BAD BCD ︒∠=∠= 【结论】452ACB ACD BC CD AC︒∠=∠=+=① ②FECDBA二、角含半角模型：全等角含半角要旋转：构造两次全等FED CBAG FED CBAABC D E ABCD E F【条件】：如图，点E F 、分别是正方形ABCD 的边BC CD 、上的点，45EAF ∠=︒，连接EF ；【结论】（1）AFE AGE △△≅ （2）EF BE FD =+ ；一线三等角模型:【条件】 一条直线同一侧三个相等的角（如图）； 【结论】CDE ABC ∽△△1、锐角形一线三等角2、直角形一线三等角3、钝角形一线三等角【真题拾遗】1．（2014•广州）如图，四边形ABCD、CEFG都是正方形，点G在线段CD上，连接BG、DE，DE和FG相交于点O，设AB=a，CG=b（a＞b）．下列结论：①△BCG≌△DCE；②BG⊥DE；③=；④（a﹣b）2•S△EFO=b2•S△DGO．其中结论正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个2．（2016•广州）如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线．将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．则下列结论：①四边形AEGF是菱形②△AED≌△GED ③∠DFG=°④BC+FG=其中正确的结论是．三、解答题3．（2011广州中考）如图1，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC=45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，点D在线段AC上．（1）证明：B、C、E三点共线；（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN=OM；（3）将△DCE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）后，记为△D1CE1（图2），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1=OM1是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由．4．（2016广州中考）如图，点C为△ABD的外接圆上的一动点（点C不在上，且不与点B，D重合），∠ACB=∠ABD=45°（1）求证：BD是该外接圆的直径；（2）连结CD，求证： AC=BC+CD；（3）若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM，连接DM，试探究DM2，AM2，BM2三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．参考答案一、选择题1、C考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．分析：由四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，根据正方形的性质，即可得BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，则可根据SAS证得①△BCG≌△DCE；然后根据全等三角形的对应角相等，求得∠CDE+∠DGH=90°，则可得②BH⊥DE．由△DGF与△DCE相似即可判定③错误，由△GOD与△FOE相似即可求得④．解答：证明：①∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCG=∠DCE，在△BCG和△DCE中，，∴△BCG≌△DCE（SAS），②∵△BCG≌△DCE，∴∠CBG=∠CDE，又∠CBG+∠BGC=90°，∴∠CDE+∠DGH=90°，∴∠DHG=90°，∴BH⊥DE；③∵四边形GCEF是正方形，∴GF∥CE，∴=，∴=是错误的．④∵DC∥EF，∴∠GDO=∠OEF，∵∠GOD=∠FOE，∴△OGD∽△OFE，∴=（）2=（）2=，∴（a﹣b）2•S△EFO=b2•S△DGO．故应选B点评：此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质．二、填空题2、①②③考点：三角形全等、三角形内角和、菱形分析：首先证明△ADE≌△GDE，再求出∠AEF、∠AFE、∠GEF、∠GFE的度数，推出AE=EG=FG=AF，由此可以一一判断．解答：证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC=BC=AB，∠DAB=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，∠ADB=∠BDC=∠CAD=∠CAB=45°，∵△DHG是由△DBC旋转得到，∴DG=DC=AD，∠DGE=∠DCB=∠DAE=90°，在RT△ADE和RT△GDE中，，∴AED≌△GED，故②正确，∴∠ADE=∠EDG=°，AE=EG，∴∠AED=∠AFE=°，∴AE=AF，同理EG=GF，∴AE=EG=GF=FA，∴四边形AEGF是菱形，故①正确，∵∠DFG=∠GFC+∠DFC=∠BAC+∠DAC+∠ADF=°，故③正确．∵AE=FG=EG=BG，BE=AE，∴BE＞AE，∴AE＜，∴CB+FG＜，故④错误故答案为①②③．点评：本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是通过计算发现角相等，学会这种证明角相等的方法，属于中考常考题型．三、解答题3、考点：（1）三点共线（2）中位线、全等三角形（手拉手性质）（3）同（2）分析：（1）根据直径所对的圆周角为直角得到∠BCA=90°，∠DCE是直角，即可得到∠BCA+∠DCE=90°+90°=180°；（2）连接BD，AE，ON，延长BD交AE于F，先证明Rt△BCD≌Rt△ACE，得到BD=AE，∠EBD=∠CAE，则∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°，即BD⊥AE，再利用三角形的中位线的性质得到ON=BD，OM=AE，ON∥BD，AE∥OM，于是有ON=OM，ON⊥OM，即△ONM为等腰直角三角形，即可得到结论；（3）证明的方法和（2）一样．解答：（1）证明：∵AB是直径，∴∠BCA=90°，而等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，∴∠BCA+∠DCE=90°+90°=180°，∴B、C、E三点共线；（2）连接BD，AE，ON，延长BD交AE于F，如图1，∵CB=CA，CD=CE，∴Rt△BCD≌Rt△ACE，∴BD=AE，∠EBD=∠CAE，∴∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°，即BF⊥AE，又∵M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，而O为AB的中点，∴BD21=ON，AE21=OM，ON∥BD，AE∥OM；∴ON=OM，ON⊥OM，即△ONM为等腰直角三角形，∴MN=OM；（3）成立．理由如下：如图2，连接BD1，AE1，ON1，∵∠ACB﹣∠ACD1=∠D1CE1﹣∠ACD1，∴∠BCD1=∠ACE1，又∵CB=CA，CD1=CE1，∴△BCD1≌△ACE1，与（2）同理可证BD1⊥AE1，△ON1M1为等腰直角三角形，从而有M1N1=OM1．点评：本题考查主要三角形全等的判定和中位线的性质，熟练掌握手拉手模型，作为本题切入点，可以非常顺利的解决本题。

“双勾函数”的性质及应用问题引入：求函数2y =的最小值．问题分析：将问题采用分离常数法处理得，2y ==，此时如果利用均值不等式，即2y =，等式成立的条件为==显然无实数解，所以“=”不成立，因而最小值不是2，遇到这种问题应如何处理呢？这种形式的函数又具有何特征呢？是否与我们所熟知的函数具有相似的性质呢?带着种种疑问，我们来探究一下这种特殊类型函数的相关性质．一、利用“二次函数”的性质研究“双勾函数”的性质 1．“双勾函数”的定义我们把形如()kf x x x=+（k 为常数，0k >）的函数称为“双勾函数”．因为函数()kf x x x=+（k 为常数，0k >）在第一象限的图像如“√”，而该函数为奇函数，其图像关于原点成中心对称，故此而得名．2．类比“二次函数”与“双勾函数”的图像3．类比“二次函数”的性质探究“双勾函数”的性质 （1）“二次函数”的性质①当0a >时，在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随着x二次函数图像“双勾函数”图像的增大而增大；当2bx a=-时，函数y 有最小值244ac b a - ．②当0a <时，在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随着x的增大而减小．当2bx a=-时，函数y 有最大值244ac b a -．（2）“双勾函数”性质的探究 ①当0x >时，在x =y 随着x的增大而减小；在x =y 随着x的增大而增大；当x =y有最小值．②当0x <时，在x =y 随着x 的增大而增大；在x =y 随着x的增大而减小．当x =y有最大值-综上知，函数()f x在(,-∞和)+∞上单调递增，在[和上单调递减．下面对“双勾函数”的性质作一证明．证明：定义法．设12,x x ∈R ，且12x x <，则1212121212121212()()()()()(1)x x x x k a k k f x f x x x x x x xx x x x ---=+--==--．以下我们怎样找到增减区间的分界点呢？首先0x ≠，∴0x =就是一个分界点，另外我们用“相等分界法”，令120x x x ==，2010kx -=可得到x =因此又找到两个分界点．这样就把()f x 的定义域分为(,-∞，[，，)+∞四个区间，再讨论它的单调性．设120x x <<120x x -<，120x x >，120x x k <<， ∴120x x k -<． ∴121212121212()()()()0x x x x k k k f x f xx x x x x x ---=+--=>，即12()()f x f x >． ∴()f x 在上单调递减．同理可得，()f x 在)+∞上单调递增；在(,-∞上单调递增；在[上单调递减．故函数()f x在(,-∞和)+∞上单调递增，在[和上单调递减．性质启发：由函数()(0)kf x x k x=+>的单调性及()f x 在其单调区间的端点处取值的趋势，可作出函数()y f x =的图像，反过来利用图像可形象地记忆该函数的单调性及有关性质．此性质是求解函数最值的强有力工具，特别是利用均值不等式而等号不成立时，更彰显其单调性的强大功能．4．“二次函数”与“双勾函数”在处理区间最值问题上的类比 （1）“二次函数”的区间最值设f x ax bx c a ()()=++≠20，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值． 分析：将f x ()配方，得对称轴方程x ba=-2， ①当a >0时，抛物线开口向上．若-∈ba m n 2[]，必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值； 若-∉b a m n 2[]，，此时函数在[]m n ，上具有单调性，故在离对称轴x b a=-2较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值． ②当0a <时，抛物线开口向下．若-∈ba m n 2[]，必在顶点取得最大值，离对称轴较远端点处取得最小值； 若-∉b a m n 2[]，，此时函数在[]m n ，上具有单调性，故在离对称轴x b a=-2较远端点处取得最小值，较近端点处取得最大值． 以上，作图可得结论． ①当a >0时，max121()()()22()1()()()22b f m m n a f x b f n m n a ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-<+⎪⎩如图如图，≥，；min345()()2()()()22()()2b f n n a b b f x f m n a a b f m m a ⎧->⎪⎪⎪=--⎨⎪⎪-<⎪⎩如图如图如图，，≤≤，．图1 图2 图3 图4 图5②当a <0时，max678()()2()()()22()()2b f n n a b b f x f m n a a b f m m a ⎧->⎪⎪⎪=--⎨⎪⎪-<⎪⎩如图如图如图，，≤≤，；min9101()()()22()1()()()22b f m m n a f x b f n m n a ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-<+⎪⎩如图如图，≥，．（2）“双勾函数”的区间最值 设()(0)kf x x k x=+>，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值． 分析：①当0x >时，其图像为第一象限部分．[]m n ，，则函数必在界点x =函数值；[]m n ，，此时函数在[]m n ，上具有单调性，故在离直线x =得最大值，较近端点处取得最小值．②当0x <时，其图像为第三象限部分．若[]m n ，，则函数必在界点x =最小值需比较两个端点处的函数值；若[]m n ，，此时函数在[]m n ，上具有单调性，故在离直线x =处取得最小值，较近端点处取得最大值．以上，作图可得结论． ①当0x >时，图7 图9图10max()(,()max{(),([,](,()(.f m n f x f m f n m n f n m ⎧>⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩如图11)如图12)如图13)min()(,()[,](,()(.f n n f x f m n f m m ⎧>⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩如图11)如图12)如图13)②当0x <时，max()(,()([,](,()(.f n n f x f m n f m m ⎧>⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩，如图14)如图15)，如图16)min()(,()min{(),()},[,](,()(.f m n f x f m f n m n f n m ⎧>⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩，如图14)如图15)，如图16)二、实践平台例1某化工厂生产的某种化工产品，当年产量在150吨至250吨之间时，其生产的总成本y （万元）与年产量x （吨）之间的函数关系式近似地表示为230400010x y x =-+．问：（1）年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？并求出最低成本；图11 图12图13图14图15图16（2）每吨平均出厂价为16万元，年产量为多少吨时，可获得最大利润？并求出最大利润．分析：将问题归结为“双勾函数”问题，利用“双勾函数”的性质，可使问题轻松获解．解：（1）由题意可知，每吨平均成本为yS x=万元． 即400014000030()301010y x S x x x x==+-=+-，因为函数在区间(0,200]上为减函数，在区间[200,)+∞上为增函数．所以当200x =时，函数400014000030()301010y x S x x x x==+-=+-有最小值为140000(200)301010200S =+-=最小（万元）， 所以当年产量为200吨时，每吨的平均成本最低，最低成本为10万元．（2）设年获得总利润为Q 万元，则2211616304000(230)12901010x Q x y x x x =-=-+-=-+， 当230(150,250)x =∈，1290Q =最大，故当年产量为230吨时，可获得最大利润1290万元．评注：本题的关键是用年产量x 吨把每吨平均成本及利润表示出来，然后再求其最值，在求解最值时我们要用到“双勾函数”的单调性，记住这个结论可以简化计算过程．函数的单调性除一些理论上的应用外，它还可以灵活有效地解决现实生活中与之相关的实际问题．例2甲、乙两地相距s km ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c km/h ，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位），由可变部分和固定部分组成；可变部分与速度v (km/h)的平方成正比，比例系数为b ，固定部分为a 元．（1）把全程运输成本y （元）表示为v (km/h)的函数，并指出这个函数的定义域．（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶． 分析：要计算全程的运输成本s bv vabv a v s y )()(2+=+=(v <0≤c )，而已知每小时的运输成本，只需计算全程的时间，由题意不难得到全程运输成本s bv v a bv a v s y )()(2+=+=(v <0≤c )，所要解决的问题是求bv va+何时取最小值，显然要对c 的大小进行讨论，讨论的标准也就是c 与ba的大小． 解：（1）依题意知：汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为sv，因此全程运输成本为s bv vabv a v s y ⋅+=+⋅=)()(2，又据题意v <0≤c ，故所求函数及其定义域分别为： )(bv vas y +⋅=，],0(c v ∈．（2）设()()aab u f v bv b v v v==+=+，∴u 在],0(b a上是减函数，在)+∞上是增函数． ①若ba≤c ，结合“双勾函数”的性质知， 当bav =时运输成本y 最小． ②若c ba>，函数在],0(c 上单调递减，所以当c v =时，全程运输成本最小． 评注：解应用题时，首先要训练读题能力，成功地完成对数学文字语言、符号语言、图形语言的理解、接受和转换，继而对题中各元素的数量关系进行加工和提炼，分清主次，并建立数学模型解决实际问题．例3（2006安徽高考）已知函数()f x 在R 上有定义，对任意实数0a >和任意实数x ，都有()()f ax af x =．（Ⅰ）证明(0)0f =；（Ⅱ）证明0()0.kx x f x hx x ⎧=⎨<⎩，≥，，其中k 和h 均为常数；（Ⅲ）当（Ⅱ）中的0k >，设1()()(0)()g x f x x f x =+>，讨论()g x 在(0)+∞，内的单调性并求最值．分析：承接第（Ⅱ）问的结论，将问题归结为“双勾函数”的单调性与函数最值的求解问题．证明：（Ⅰ）令0x =，则()()00f af =，∵0a >，∴()00f =． （Ⅱ）①令x a =，∵0a >，∴0x >，则()()2f x xf x =．假设0x ≥时，()f x kx =(k ∈R ），则()22f x kx =，而()2xf x x kx kx =⋅=，∴()()2f x xf x =，即()f x kx =成立．②令x a =-，∵0a >，∴0x <，()()2f xxf x -=-假设0x <时，()f x hx =()h R ∈，则()22f x hx -=-，而()2xf x x hx hx-=-⋅=-，∴()()2f xxf x -=-，即()f x hx =成立．∴(),0,0kx x f x hx x ≥⎧=⎨<⎩成立．（Ⅲ）当0x >时，()()()2111()k g x f x kx k x f x kx x=+=+=+， 由“双勾函数”性质知在1(0,]k 上为减函数，在1[,)k+∞上为增函数， 所以当1x k=时，min [()]2g x =． 评注：数学高考试题注重“考基础、考能力、考思想”．所以熟悉数学化归的思想，有意识地运用数学变换的方法去灵活解决有关的数学问题，将有利于强化在解决数学问题中的应变能力，有利于提高解决数学问题的思维能力和技能、技巧． 适当进行化归、转化能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口，是分析问题中思维过程的主要组成部分． 本题就是转化思想应用的一个典型，通过转化将本来抽象的问题归结到“双勾函数”区间最值的求解，让我们有一种豁然开朗的感觉．例4（2001广东高考）设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm 2，画面的宽与高的比为(1)λλ<，画面的上、下各留8cm 空白，左、右各留5cm 空白．怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小?如果要求23[,]34λ∈，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小?分析：设定变元x ，寻找它们之间的内在联系(等量关系)，选用恰当的代数式表示问题中的这种联系，建立函数模型，将问题归结为“双勾函数”区间最值问题，并运用“双勾函数”性质进行求解．解：设画面高为x cm ，宽为x λcm ，则24840x λ= 设纸张面积为S cm 2，则有2(16)(10)(1610)160S x x x x λλλ=++=+++,将2210x λ=代入上式得,58500035210(S λλ=+,(0)t t λ=>，则58()500035210()(0)S t t t t=++>，函数S 在5]8上为减函数，在5[,)8+∞上为增函数， 所以当58t =S 取最小值， 此时55(1)88λ=<，高：484088x λ==cm ，宽：588558x λ=⨯=cm ．如果23[,]34λ∈，则)t ∈⊆+∞，所以函数S 在上为增函数，故当t =S 取最小值，此时23λ=． 评注：函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种动态刻画． 要充分重视解题过程中的推理，注意运用推理来简化运算．充分利用题目给出的信息，抽象其数学特征，建立函数关系．很明显，只有在对问题的观察、分析、判断等一系列的思维过程中，具备有标新立异、独树一帜的深刻性、独创性思维，才能构造出函数原型，达到解决问题的目的．在高考中可以利用“双勾函数”考查均值不等式、函数的单调性、函数最值等问题，其应用相当广泛，应用效果相当明显．因此也是高考中的热点和难点，倍受命题者的青睐．但只要我们能熟知“双勾函数”的性质，便不难使此类问题获解．。

例谈“双勾模型图”的提炼及其应用数学教学中，适时地对课本的定理进行适当的延伸与提炼，形成模型，再利用模型去分析和解决问题，能缩短思考时间，提高解题效率.下面举例说明.1.题目笔者在教学勾股定理内容时，为帮助学生形成新的模型图，给出下面这道题: 在ABC ∆中，AD BC ⊥于D ，求证: 22222AB BD AC CD AD -=-=. 这是一道无图题，蕴含分类图，图有两种可能，如图1、图2.题中有垂直且有线段的平方之间的关系，自然想到勾股定理.将图形看成两个直角三角形，利用勾股定理及两个直角三角形的公共边，便能得证.即由AD BC ⊥，得 222222,AB BD AD AC CD AD -=-=，所以22222AB BD AC CD AD -=-=.这个模型图在初中数学中应用广泛，我们把这两个图形形象地称之为“双勾模型图”.2.双勾模型图的应用例1 (2016年益阳中考题)如图3，在ABC ∆中，15,14,13AB BC AC ===，求ABC ∆的面积.某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程.1.作AD BC ⊥于D ，设BD x =，用含BD x =的代数式表示CD .2.根据勾股定理，利用AD 作为“桥梁”，建立方程模型求出x .3.利用勾股定理，求出AD 的长，再计算三角形面积.解析 由双勾模型图3，得2222AB BD AC CD -=-.设BD x =，则14CD x =-,即22221513(14)x x -=-,解得9x =. 2212AD AB BD ∴=-=, 即12ABC S BC AD ∆=⋅ 11412842=⨯⨯=. 评析 本题求面积实际上是求一边上的高.利用双勾模型图1求出BD 的长，然后利用勾股定理即可求出高AD 的长.例2 如图4，四边形ABCD 中，BD AC ⊥.求证: 2222AD BC AB CD +=+. 解析 由双勾模型图1得:2222AD AE CD CE -=-，2222AB AE BC CE -=-.将两式相减，得2222AD AB CD BC -=-，即2222AD BC AB CD +=+.评析本题把图形看成两个双勾模型图(1)，利用双勾模型图的结沦很容易解决，这也体现了利用模型图给解题带来的简便.例3 如图5，在ABCD Y 中，求证：222222AC BD AB BC +=+.解析 作DE BA ⊥于点E ，CF AB ⊥交AB 的延长线于点F ，则90AED BFC ∠=∠=︒CD EF =，. 由三ABCD Y ，得,AB DC EF AB CD ===.由双勾模型图1，得2222BD BE AD AE -=-，由双勾模型图2，得2222AC AF BC BF -=-.两式相加，得22222222BD BE AC AF AD AE BC BF -+-=-+-，整理得，22222222AC BD AF BF BE AE AD BC +=-+-++，即2222()()()()AC BD AF BF AF BF BE AE BE AE AD BC +=+-++-++2()()2AF BF AB AB BE AE BC =++-+g g2()2AF AE BF BE AB BC =-+++g2()2EF EF AB BC =++g222EF AB BC =+g2222AB BC =+评析 题中出现了线段之间的平方关系，易联想到勾股定理，为此作高构造直角三角形，形成了双勾模型图，利用这个模型图即可完成证明.例4 如图6，正方形ABCD 和正方形BEFG ，AG 、CE 相交于点H .若24AE CG ==，求正方形ABCD 和正方形BEFG 的面积之和.解析 连结,,,AC EG AE CG .由正方形ABCD 和正方形BEFG ，得,AB CB BG BE ==，90ABC GBE ∠=∠=︒，∴ABG CBE ∠=∠，可得ABG CBE ∆≅∆，∴BAG BCE ∠=∠.从而CAH ACH ∠+∠CAH ACB BCE =∠+∠+∠CAH ACB BAG =∠+∠+∠90=︒，即AG CE ⊥.由双勾模型图1及例2，易推得2222CG AE AC EG +=+，由24AE CG ==，得2CG =，∴22222420AC EG +=+=.因此，正方形ABCD 和正方形BEFG 的面积之和为 222211()201022AB BE AC EG +=+=⨯=. 评析 题中“正方形的母子图”中有一个重要的结论:AG 与CE 既相等，又垂直.由垂直，联想到双勾模型图，便能顺利解答.当然，解本题时，若有例2的模型图在心中，就更易解答.。

对号函数在数学解题中的应用在求函数的最值或值域时，有些函数不能用均值不等式，主要是由于等号不成立，而用单调性又难以判断与证明。

掌握对号函数的性质，使这类题目在解题中显得简便而准确。

函数模型：双钩函数---对号函数---耐克函数---均值函数xb ax y +=（a>0,b>0）叫做对号 函数，图像为双曲线，分两支。

中心对称图形。

以y=ax 和x=0为渐近线。

图象形如耐克商标，由此得名耐克函数位于第一、三象限，因其在（0，+∞）的图象似符号“√”而得名，利用对号函数的图象及均值不等式，当x>0时，a b x b ax 2≥+（当且仅当x b ax =即a b x =时取等号），由此可得函数xb ax y +=（a>0,b>0,x ∈R +）的性质: 当a b x =时，函数x b ax y +=（a>0,b>0,x ∈R +）有最小值a b 2，特别地，当a=b=1时函数有最小值2。

函数xb ax y +=（a>0,b>0）在区间（0，a b ）上是减函数，在区间（ab ，+∞）上是增函数。

因为函数x b ax y +=（a>0,b>0）是奇函数，所以可得函数x b ax y +=（a>0,b>0,x ∈R -）的性质：当a b x -=时，函数xb ax y +=（a>0,b>0,x ∈R -）有最大值-a b 2，特别地，当a=b=1时函数有最大值-2。

函数x b ax y +=（a>0,b>0）在区间（-∞，-a b ）上是增函数，在区间（-ab ，0）上是减函数。

利用对号函数以上性质，在解某些数学题时很简便，下面举例说明： 例1、求函数324222++++=x x x x y 的最小值。

解：令322++=x x t ，则22)1(2≥++=x ttt t t y 112+=+= 根据对号函数tt y 1+=在（1，+∞）上是增函数及t 的取值范围， 当2=t 时 y 有最小值223。

中考直通车·数学广州分册第八章专题拓展第24讲常见几何模型【考点解读】常见几何模型是广州市中考的压轴题常考题型，主要以考察选择、填空最后一题和几何压轴题为主。

几何模型类型较多，综合性强，属于中考中重点但同样是难点的一个考点。

【考点分析】2011年 考查三角形全等和三角形中位线性质，标准的手拉手模型。

2014年 考查三角形全等的判断和性质，根据手拉手模型找出全等三角形，再应用其性质 2016年 本年度模型思想明显，分值占比大，主要考查三角形全等的判定及其性质、图像的旋转，利用模型思想作为解题突破口顺利完成辅助线。

【模型介绍】 手拉手模型：1、 【条件】 如图两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，【结论】（1）DBC ABE ∆≅∆（2）DC AE =（3）AE 与DC 之间的夹角为︒60 （4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠CDABFECD2、 【条件】如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连结CE AG ,,二者相交于点H 。

【结论】 （1）CDE ADG ∆≅∆是否成立？（2）AG =CE（3）AG 与CE 之间的夹角为 90 （4）HD 是否平分AHE ∠？旋转模型：一、邻角相等对角互补模型【条件】如图，四边形ABCD 中，AB =AD ，90BAD BCD ︒∠=∠=【结论】45ACB ACD BC CD ︒∠=∠=+=① ②二、角含半角模型：全等 角含半角要旋转：构造两次全等FED CBAG FED CBA AC D E ACD EF【条件】：如图，点分别是正方形的边上的点，，连接；【结论】（1）AFE AGE △△≅ （2） ；一线三等角模型:【条件】 一条直线同一侧三个相等的角（如图）； 【结论】CDE ABC ∽△△1、锐角形一线三等角2、直角形一线三等角3、钝角形一线三等角【真题拾遗】1．（2014•广州）如图，四边形ABCD 、CEFG 都是正方形，点G 在线段CD 上，连接BG 、DE ，DE 和FG 相交于点O ，设AB=a ，CG=b （a ＞b ）．下列结论：①△BCG ≌△DCE ；②BG ⊥DE ；③=；④（a ﹣b ）2•S △EFO =b 2•S △DGO ．其中结论正确的个数是（ ）E F 、ABCD BC CD 、45EAF ∠=︒EFEF BE FD =+A．4个B．3个C．2个D．1个2．（2016•广州）如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线．将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．则下列结论：①四边形AEGF是菱形②△AED≌△GED ③∠DFG=112.5°④BC+FG=1.5其中正确的结论是．三、解答题3．（2011广州中考）如图1，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC=45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，点D在线段AC上．（1）证明：B、C、E三点共线；（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN=OM；（3）将△DCE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）后，记为△D1CE1（图2），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1=OM1是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由．4．（2016广州中考）如图，点C为△ABD的外接圆上的一动点（点C不在上，且不与点B，D重合），∠ACB=∠ABD=45°（1）求证：BD是该外接圆的直径；（2）连结CD，求证：AC=BC+CD；（3）若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM，连接DM，试探究DM2，AM2，BM2三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．参考答案一、选择题1、C考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．分析：由四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，根据正方形的性质，即可得BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，则可根据SAS证得①△BCG≌△DCE；然后根据全等三角形的对应角相等，求得∠CDE+∠DGH=90°，则可得②BH⊥DE．由△DGF与△DCE 相似即可判定③错误，由△GOD与△FOE相似即可求得④．解答：证明：①∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCG=∠DCE，在△BCG和△DCE中，，∴△BCG≌△DCE（SAS），②∵△BCG≌△DCE，∴∠CBG=∠CDE，又∠CBG+∠BGC=90°，∴∠CDE+∠DGH=90°，∴∠DHG=90°，∴BH⊥DE；③∵四边形GCEF是正方形，∴GF∥CE，∴=，∴=是错误的．④∵DC∥EF，∴∠GDO=∠OEF，∵∠GOD=∠FOE，∴△OGD∽△OFE，∴=（）2=（）2=，∴（a﹣b）2•S△EFO=b2•S△DGO．故应选B点评：此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质．二、填空题2、①②③考点：三角形全等、三角形内角和、菱形分析：首先证明△ADE≌△GDE，再求出∠AEF、∠AFE、∠GEF、∠GFE的度数，推出AE=EG=FG=AF，由此可以一一判断．解答：证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC=BC=AB，∠DAB=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，∠ADB=∠BDC=∠CAD=∠CAB=45°，∵△DHG是由△DBC旋转得到，∴DG=DC=AD，∠DGE=∠DCB=∠DAE=90°，在RT△ADE和RT△GDE中，，∴AED≌△GED，故②正确，∴∠ADE=∠EDG=22.5°，AE=EG，∴∠AED=∠AFE=67.5°，∴AE=AF，同理EG=GF，∴AE=EG=GF=FA，∴四边形AEGF是菱形，故①正确，∵∠DFG=∠GFC+∠DFC=∠BAC+∠DAC+∠ADF=112.5°，故③正确．∵AE=FG=EG=BG，BE=AE，∴BE＞AE，∴AE＜，∴CB+FG＜1.5，故④错误故答案为①②③．点评：本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是通过计算发现角相等，学会这种证明角相等的方法，属于中考常考题型．三、解答题3、考点：（1）三点共线（2）中位线、全等三角形（手拉手性质）（3）同（2）分析：（1）根据直径所对的圆周角为直角得到∠BCA=90°，∠DCE是直角，即可得到∠BCA+∠DCE=90°+90°=180°；（2）连接BD，AE，ON，延长BD交AE于F，先证明Rt△BCD≌Rt△ACE，得到BD=AE，∠EBD=∠CAE，则∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°，即BD⊥AE，再利用三角形的中位线的性质得到ON=BD，OM=AE，ON∥BD，AE∥OM，于是有ON=OM，ON⊥OM，即△ONM为等腰直角三角形，即可得到结论；（3）证明的方法和（2）一样．解答：（1）证明：∵AB是直径，∴∠BCA=90°，而等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，∴∠BCA+∠DCE=90°+90°=180°，∴B、C、E三点共线；（2）连接BD ，AE ，ON ，延长BD 交AE 于F ，如图1，∵CB=CA ，CD=CE ，∴Rt △BCD ≌Rt △ACE ，∴BD=AE ，∠EBD=∠CAE ， ∴∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°，即BF ⊥AE ，又∵M 是线段BE 的中点，N 是线段AD 的中点，而O 为AB 的中点， ∴BD 21 =ON ，AE 21=OM ，ON ∥BD ，AE ∥OM ； ∴ON=OM ，ON ⊥OM ，即△ONM 为等腰直角三角形， ∴MN=OM ；（3）成立．理由如下：如图2，连接BD1，AE1，ON1，∵∠ACB ﹣∠ACD1=∠D1CE1﹣∠ACD1， ∴∠BCD1=∠ACE1，又∵CB=CA ，CD1=CE1，∴△BCD1≌△ACE1， 与（2）同理可证BD1⊥AE1，△ON1M1为等腰直角三角形， 从而有M1N1=OM1．点评：本题考查主要三角形全等的判定和中位线的性质，熟练掌握手拉手模型，作为本题切入点，可以非常顺利的解决本题。

模型回顾类型一：A,B 是笔直的公路l 同侧的两个村庄，现要在公路l 上修建一个公共车站P ，若AP+BP 的和最小，则公共车站P 应建在什么地方？（A,B 固定点）图1 图2 图3变式：A,B 是笔直的公路同侧的两个村庄，现要在公路上修建一个公共车站P 、Q ，且两个公交车站相距200米，若AP+PQ+BQ 的和最小，则公共汽车站P 应建在什么地方？（A,B 固定点） （1）A,B 在异侧图4 图5(2)A,B 在同侧图6 图7类型二：A,B 是直线l 同侧的两个定点，试在直线l 上确定一点P ，使AP BP -的值最大. （A,B 固定点）（1） A,B 在同侧时图8图9（2） A,B 在异侧时图10 图11 图12类型三：已知AOB ∠内有两定点P 、Q ，试在OA 、OB 上各找一点M 、N,使四边形PMNQ 的周长最小(P,Q 固定点，∠AOB 固定)图13 图14变式：已知AOB∠两边上有P、Q，试在OA、OB上各找一点M、N,使PM+MN+QN长度之和最小(P,Q固定点，∠AOB 固定)图15 图16类型四：点A、B在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥修在何处才能使从A到B的路径最短？（假设河的两岸是平行的，河的宽度是已知的，桥要与河岸垂直）(A,B固定点)图17 图18变式：已知平行线a，b，点A,B分别在如图位置，在直线a，b上分别找点M,N且满足MN⊥a，若AM+MN+NB最小，求点N的位置(A,B固定点)图19 图20类型五：已知∠AOB，OB上有一点M,在射线OA,OB上分别找点P,Q使得MP+PQ最小，求点P的位置（点M固定点，∠AOB固定）图21 图22类型六：直线l上有一点A，点B为直线外一点，在直线上找点P使得12BP AP+最小（A,B固定点图23 图24类型七：三角形ABC,在三角形内部找一点P，使得点P到三角形三个顶点距离之和最小，求这个最小值（费马点）图25 图26类型八：圆O，圆外一点P,在圆上找一点Q使得PQ最小或最大图27 图28变式：在平行四边形ABCD中，AB中点M,在BC上取点N,将△BMN沿MN折叠成MNM’，连接DM’,求N在何时时，M’D最小图29 图30 图31二次函数双最值应用篇（说明：此次二次函数只补充1，2问题，2问作详细解答）1.（2018江北区九下）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x=-x轴交于点A,C（A在C的左侧），点B在抛物线上，其横坐标为1，连接BC,BO，点F为OB中点（1）求直线BC的函数解析式；（2）点D为抛物线第四象限上的一动点，连接BD,CD,点E为x轴上一动点，当△BCD的面积为最大时，求点D的坐标，以及FE DE-的最大值；温馨提示：参考类型二辅助线针对练习：如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++的图象与x 轴交于点A 和点B （5,0），与y 轴交于点C ，点D （1,8）是抛物线上一点. （1）求抛物线和直线AD 的解析式；（2）点Q 事抛物线一象限内一动点，过点Q 作QN ∥AD 交BC 于N ，QG ⊥AB 交BC 于点M.交AB 于点G （如图1），当△QNM 的周长最大时，求△QNM 周长的最大值；此时，在直线BC 上有两动点P 、H ，且PH=P 在H 的右边），K （2,0），当|PQ-HK|最大时求点P 的坐标;温馨提示：参考类型二辅助线2. 如图1，抛物线与x 轴交于点A.B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接BC ，（1）求直线BC 的解析式；（2）如图2，点D 时CB 上方抛物线上一动点，连接DC ，DB 过点A 作CB 的平行线，交对称轴于点E,交DB 的延长线于点F,连接CF ，当△CDF 的面积为最大时，在对称轴上找一点R,求出此时点R的坐标；温馨提示：参考类型六辅助线与x轴交于点B,C两点（点B在点C的左侧）与y轴交于点A,抛物线的顶点为D,B（-3，0），A（0（1）求抛物线的解析式与点D的坐标；（2）如图1，P为线段OB上（不与O,B重合）一动点，过点P作y轴的平行线交线段AB于点M，交抛物线于点N,点N作NK⊥BA交BA于点K,当△MNK与△MPB的面积相等时，在x轴上找一动点Q,使得最小时，求点Q的坐标及最小值；温馨提示：参考类型六辅助线3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接BC，过点A作AD∥BC交y轴于点D.（1）求平行线AD、BC之间的距离；（2）如图1，点P为线段BA上方抛物线上的一动点，当△PCB的面积最大时，Q从P点出发，先沿适当的路径运动到直线BC上点M处，再沿垂直于直线BC的方向运动到直线AD上的点N处，最后沿适当的路径运动到点B出停止，当点Q的运动路径最短时，求点Q经过的最短路径的长；温馨提示：参考类型四辅助线针对练习：如图1，已知抛物线x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,顶点为D,点C’是点C关于对称轴的对称点，过点D作DG⊥x轴于点G,交线段AC于点E,（1）连接DC,求△DCE的周长；（2）如图2，点P是线段AC上方抛物线上的一点，过点P作PH⊥x轴交x轴于点H,交线段AC于点Q,当四边形PCQC’的面积最大时，在线段PH上有一动点M，在线段DG上有一动点N，在y轴上有一动点E,且满足MN⊥PH，连接AM,MN,NE,DE，求AM+MN+NE+DE的最小值；温馨提示：参考类型四辅助线4.已知如图1，抛物线343832+--=xxy与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，点D的坐标是（0，-1），连接BC、AC.（1）求出直线AD的解析式；（2）如图2，若在直线AC上方的抛物线上有一点F，当AD F∆的面积最大时，有一线段MN=M 在点N的左侧）在直线BD上移动，首尾顺次连接点A、M、N、F构成四边形AMNF，请求出四边形AMNF 的周长最小时点N的横坐标；温馨提示：参考类型一辅助线5. 如图1，抛物线542+--=x x y 与x 轴交于点A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点。

浙教版中考数学辅助线典型作法三角形中常见辅助线的作法1. 与角平分线有关的（1）可向两边作垂线。

（2）可作平行线，构造等腰三角形（角平分线与平行线，等腰三角形会出现，即双平等腰）（3）在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形2. 与线段长度相关的（1）截长：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取一段，使得它和其中的一条相等，再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可（2）补短：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，也可以在较短的线段上延长一段，使得延长的部分等于另外一条较短的线段，再利用全等或相似证明延长后的线段等于那一条长线段即可（3）倍长中线：题目中如果出现了三角形的中线，方法是将中线延长一倍，再将端点连结，便可得到全等三角形。

（4）遇到中点，考虑中位线或等腰等边中的三线合一。

（5）遇到直角，可构造直角三角形，利用勾股定理来计算或斜边上的中线等于斜边的一半。

3. 与等腰等边三角形相关的（1）考虑三线合一（2）旋转一定的度数，构造全等三角形或相似三角形，一般旋转顶角的度数，等边旋转60 °四边形中常见辅助线的作法特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形。

在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线。

1. 和平行四边形有关的辅助线作法（1）利用一组对边平行且相等构造平行四边形（2）利用两组对边平行构造平行四边形（3）利用对角线互相平分构造平行四边形2. 与矩形有辅助线作法（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题。

和矩形有关的试题的辅助线的作法较少.3. 和菱形有关的辅助线的作法和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.（1）作菱形的高（2）连结菱形的对角线4. 与正方形有关辅助线的作法正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多.解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线圆中常见辅助线的作法1. 遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。

图形探究模型一：手拉手模型 全等形---等边三角形条件：△OAB 、△OCD 均为等边三角形 结论：①△OAC ≌△OBD ②AC=BD ③∠AEB=60° ④OE 平分∠AED 全等形---等腰直角三角形条件：△OAB 、△OCD 均为等腰直角三角形 结论：①△OAC ≌△OBD ②AC=BD ③∠AEB=90° ④OE 平分∠AED全等形---任意等腰三角形条件：△OAB 、△OCD 均为直角三角形，且∠AOB=∠COD=α 结论：①△OAC ≌△OBD ②AC=BD ③∠AEB=α ④OE 平分∠AED 手拉手相似条件：∠AOB=∠COD= α k ODOCOB OA == 结论： ①△AOC ∽△BOD ③∠AMB=α图形探究模型二：对角互补模型 全等形--90°条件：①∠AOB=∠DCE=90°② OC 平分∠AOB 结论：① CD=CE② OD+OE=2OC③ S 四边形ODCE =S △OCE +S △OCD =21OC 2变式一：当∠DCE 一边交AO 的延长线上于D 点时 条件：①∠AOB=∠DCE=90° ② OC 平分∠AOB 结论：① CD=CE(不变）② OE-OD=2OC （重点）③S △OCE -S △OCD =21OC 2（难点） 变式二：细节变化：若将条件“OC 平分∠AOB ”与结论“CD=CE ”互换 条件：①∠AOB=∠DCE=90° ②CD=CE结论：①OC 平分∠AOB② OD+OE=2OC （ OE-OD=2OC ）③ S 四边形ODCE =S △OCE +S △OCD =21OC 2（S △OCE -S △OCD =21OC 2） 变式三：对角互补模型（相似型）条件：∠AOB=∠DCE=90° ∠COB=α结论：①CE=CD ·tan α②(OD ·tan α+OE)cos α=OCCFCO EFC DOC ECF DCO ==∠=∠∠=∠ 45CCC③S △OCD ·tan 2α+S △OCe =21OC 2·tan α 全等形--120°条件：①∠AOB=2∠DCE=120° ② OC 平分∠AOB 结论：① CD=CE② OD+OE=OC③ S 四边形ODCE =S △OCE +S △OCD =43OC 2变式一：当∠DCE 一边交AO 的延长线上于D 点时 结论：① CD=CE （不变） ② OE-OD=OC(重点）③S △OCE +S △OCD =43OC 2（难点） 全等形--任意角α条件：①∠AOB=2α，∠DCE=180°-2α ②CD=CE结论：①OC 平分∠AOB ② OD+OE=2OC ·cos α③ S 四边形ODCE =S △OCE +S △OCD =OC 2·sin α·cos α 变式一：当∠DCE 一边交AO 的延长线上于D 点时 条件：①∠AOB=2α，∠DCE=180°-2α结论：① CD=CE （不变） ② OE-OD=2OC ·cos α(重点）③S △OCE -S △OCD =OC 2·sin α·cos α（难点）变式二：细节变化：若将条件“OC 平分∠AOB ”与结论“CD=CE ”互换 条件：①∠AOB=∠DCE=90° ②CD=CE结论：①OC 平分∠AOB② OD+OE=2OC ·cos α(OE-OD=2OC ·cos α)③S 四边形ODCE =S △OCE +S △OCD =OC 2·sin α·cos α（S △OCE -S △OCD =OC 2·sin α·cos α） 图形探究模型三：角含半角模型 正方形--90°条件：①正方形；②∠EAF=45° 结论：①EF=DF+BE②△CEF 周长为正方形周长一半 变式一：条件：①正方形；②EF=DF+BE 结论：①∠EAF=45°②△CEF 周长为正方形周长一半变式二：当∠EAF 的两边交边CB 和DC 的延长线于E 、F 条件：①正方形；②∠EAF=45° 结论：①EF=DF-BE②△CEF 周长为正方形周长一半 ABCD ABCD ABCD ABCD ABCDABCD条件：①正方形；②∠EAF=45° 结论：①EF=DF+BE ; EF=BE-DF②△CEF 周长为正方形周长一半③△AHE 为等腰直角三角形（延伸） 等腰直角三角形--90°条件：①等腰直角△ABC ；②∠DAE=45° 结论：BD 2+CE 2=DE 2变式：若∠DAE 旋转到△ABC 外部时条件：①等腰直角△ABC ；②∠DAE=45°结论：BD 2+CE 2=DE 2（不变)120°条件：①四边形ABCD,AB=AD,∠BAD=α∠ABC+∠ADC=180° 结论：EF=DF+BE变式：当∠EAF 的两边交边CB 和DC 的延长线于E 、F ED C B AFAB CDEFEDCBAABCDEDA ACAH AE=条件：①四边形ABCD,AB=AD,∠BAD=α∠ABC+∠ADC=180°；图形探究模型四：倍长中线模型条件：①矩形ABCD ②BD=BE③DF=EF结论：AF⊥CF条件：①平行四边形ABCD ②BC=2AB③AM=DM ④CE⊥CD结论：∠EMD=3∠MEA。

2018年全国中考数学真题分类投影、三视图与展开图（二）一、选择题1. （2018广东省，3，3）如图，由5个相同正方体组合而成的几何体，它的主视图是A．B．C．D．【答案】B【解析】主视图从正面看立体图形得到的平面图形，从正面看，图形上层有1个正方形，底层有3个正方形，故选B.【知识点】三视图2. （2018广西省桂林市，4，3分）如右图所示的几何体的主视图是（）【答案】C．【解析】从正面看是个长方形，故选B．【知识点】视图与投影；视图；画三视图3. （2018广西省柳州市，2，3分）如图，这是一个机械模具，则它的主视图是( )第2题图A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】从正面观察该组合几何所得到的平面图形，含有三个小正方形，左上角含有一个圆，故选C.【知识点】三视图4. （2018海南省，5，3分）下列四个几何体中，主视图为圆的是（ ）【答案】C【解析】∵左视图表示从左边看到的图形，∴A 、B 、C 、D 选项中的几何体三视图分别为矩形、等腰三角形、圆、正方形，故选择C ． 【知识点】几何体的三视图5. （2018黑龙江省龙东地区，13，3分） 右图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则组成这个几何体的小正方体的个数不可能是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】D【解析】通过画俯视图，可以清晰地反映出这个几何体的组成情况：由此可知，组成这个几何体的小正方体的个数可能是5个或4个或3个，不可能是6个．故选D ． 【知识点】三视图主视图左视图1211211112211126.（2018四川乐山，2，3）图1是由长方体和圆柱组成的几何体，它的俯视图是（）.【答案】A【解析】本题考查的是画出立体图形的三视图的知识，解题的关键是准确掌握三视图的概念来求解，要画出图中几何体的俯视图，首先由俯视图的概念：几何体的俯视图是从上面看到的图形，观察得出这个几何体的俯视图是正方形中间有一个圆，圆与正方形并不相切，故选答案A.几何体的三视图：主视图是从物体正面看所得到的图形，左视图是从物体左面看所得到的图形，俯视图是从物体的上面看所得的图形.2、画三视图的口诀为：长对正，高平齐，宽相等.轮廓内看见的棱线用实线画出，看不见的棱线用虚线画出.【知识点】三视图7.下图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：画出从正面看到的图形即可得到它的主视图．详解：这个几何体的主视图为：故选：A．点睛：本题考查了简单组合体的三视图：画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．8. (2018甘肃省兰州市,2,4分)如图是有5个完全相同的小正方形组成的几何体,则该几何体的主视图是( ).A. B. C. D.【答案】A【解析】从正面看第一列有2个正方体,第二列有1个正方体,第三列有1个正方体.故选A.【知识点】三视图9.（2018黑龙江绥化，2，3分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有（）A.4个B.3个C.2个D.1个【答案】A.【解析】解：A选项既是中心对称图形，又是轴对称图形，故符合；B选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合；C选项是中心对称图形，不是轴对称图形，故不符合；D选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合.故选A.【知识点】中心对称图形，轴对称图形10. （2018黑龙江绥化，3，3分）已知某物体的三视图如图所示，那么与它对应的物体是（）【答案】B.【解析】解：A选项的俯视图不符合题意，故错误；B选项的三视图都符合题意，故正确；C选项俯视图不符合题意，故错误；D选项俯视图不符合题意，故错误.故选B.【知识点】三视图11. （2018湖北省江汉油田潜江天门仙桃市，2，3分）如图是某个几何体的展开图，该几何体是（）A．三棱柱B．三棱锥 C．圆柱 D．圆锥【答案】A【解析】本题主要考察几何体的平面展开图．根据侧面都是矩形可知，该根据侧面都是矩形可知，该几何体是柱体，根据上下底都是三角形可知，该柱体是三棱柱．故选A．【知识点】几何体的展开图12. （湖北省咸宁市，4，3）用4个完全相同的小正方体搭成如图所示的几何体，该几何体的( ) A．主视图和左视图相同 B．主视图和俯视图相同C．左视图和俯视图相同 D．各种视图都相同【答案】A【解析】从正面看，其主视图有两层小正方体，其中底下一层有2个小正方体，上面一层左侧部分有1个小正方体；从左面看，其左视图两层小正方体，其中底下一层有2个小正方体，上面一层左侧部分有1个小正方体；从上面看，其俯视图两层小正方体，其中底下一层有1个小正方体，上面一层有2个小正方体，所以主视图和左视图相同，故选A．【知识点】三视图13. （2018湖南省怀化市，4，4分）下列几何体中，其主视图为三角形的是（）【答案】D【解析】从正面看，A、B是矩形，C是圆形，D是三角形，故选D．【知识点】几何体的主视图14. （2018年江苏省南京市，6，2分）用一个平面去截正方体（如图），下列关于截面（截出的面）的形状的结论：①可能是锐角三角形；②可能；④可能是平行四边形.其中所有正确结论的序号是（）A．①② B．①④ C. ①②④ D．①②③④【答案】B【解析】用一个平面去截正方体，截面可能是锐角三角形、平行四边边形、五边形、六边形，不可能是直角三角形；和钝角三角形，故选B.【知识点】几何体的截面15. （2018浙江嘉兴，1，3）下列几何体中，俯视图．．．为三角形的是（）【答案】C 【解析】A选项的俯视图是圆，B选项的俯视图是矩形，C选项的俯视图是三角形，D选项的俯视图是四边形，故正确答案是C．16.（2018贵州省毕节市，4，3分）如图所示的几何体是由一个圆柱体挖去一个长方体后得到的,它的主视图是( )A B C D【答案】B．【解析】从正面看是个长方形，且有2条看不见的竖线，故选B．【知识点】视图与投影；视图；画三视图17.（2018年黔三州，2,4）右边的几何体是由四个大小相同的正方体组成，它的俯视图是（）【答案】C【解析】根据三视图的定义知，结合图形位置，从上往下看，看到的形状图前一排由两个小正方形，后一排有一个小正方形，且靠左位置.【知识点】简单组合体的三视图18. （2018湖南娄底，7，3）下图所示立体图形的俯视图是（）A B C D【答案】B【解析】A选项是主视图或者左视图；B是俯视图；C和D都不是三视图中的任何一种，故选B 【知识点】三视图19.（2018吉林省长春市，3，3）下列立体图形中，主视图是圆的是（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】空间几何体的三视图首先是要确定主视图的位置，然后要时刻遵循“长对正，高平齐，宽相等”的规律，即是空间几何体的长对正视图的长，高对侧视图的高，宽对俯视图的宽. 轮廓内看见的棱线用实线画出，看不见的棱线用虚线画出.主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．A. 圆锥的主视图为三角形，不符合题意；B. 圆柱的主视图为长方形，不符合题意；C.圆台的主视图为梯形，不符合题意；D.球的三视图都是圆，符合题意；故选D.【知识点】立体图形三视图——主视图.20.（2018吉林省，2, 2分）如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】从正面看易得第一层有3个正方形，第二层最右边有一个正方形．故选：B．【知识点】三视图21. （2018江苏扬州，3，3）如图所示的几何体的主视图是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】几何体的主视图是从正面看到图形．主视图由三层小正方形组成，下层有三个小正方形，第二、三层各有一个小正方形，故选B．【知识点】三视图，几何体的主视图22. （2018辽宁省沈阳市，3，2分）左下图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图是（）第3题图 A B C D【答案】D【解析】左视图即为从左边看到的图形.观察可知：从左向右的小正方形的个数依次为2，1. 故选D.【知识点】左视图.23. （2018青海，17，3分）图8是由一些相同小立方体搭成的几何体的三视图，则搭成该几何体的小立方体有（）A. 3块B.4块C.6块D.9块【答案】B【解析】由俯视图易得最底层有3个立方体，第二层有1个立方体，那么组成该几何体的小立方体有3+1=4个．故选：B．【知识点】三视图24.(2018湖南湘西州，10，4分)如图所示的几何体的主视图是( )第10题图A B C D【答案】：C25. （2018江苏常州，3，2）下列图形中，哪一个是圆锥的侧面展开图?( )A ．B .C .D .【答案】C 【解析】正比例函数解析式为y =kx （k ≠0），过（2，－1），代入，解得k =21-， 因而解析式为x y 21-=，故选C .26.（2018江苏徐州，4，3分）右图是由5个相同的正方体搭成的几何体，其左视图是A ．B ．C ．D ．【答案】D27. （2018江苏镇江，14，3分）如图是由3个大小相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是································· （ ）【答案】D ．【解析】从左侧向右看几何体，只有一列，一共有两个正方形．28. (2018辽宁葫芦岛，2，3分)下列几何体中，俯视图为矩形的是( )从正面看（第14题图）A ．B ．C ．D ．A B C D【答案】C【解析】俯视图是从上往下看几何体得到的平面图形，A 的俯视图是含圆心的圆；B 的俯视图是无圆心的圆；C 的俯视图是长方形；D 的俯视图是三角形，故选C ．29.（2018内蒙古包头，2，3分）如图1，是由几个大小相同的小立方块所搭几何体的俯视图，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是( )【答案】C【解析】主视图是指从正面看到的图形，由已知条件可知，主视图有两列，每列小正方形数目分别是2、2，故选择C. 【知识点】几何体的三视图30. （2018山东莱芜，7，3分）已知圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面展开图的面积为（ ）A ．60πcm 2B ．65πcm 2C ．120πcm 2D ．130πcm 2【答案】B【解析】因为圆锥的侧面展开图是扇形，先求得圆锥的母线l ＝122＋52＝13(cm)，再根据扇形的面积公式S 扇形＝1/2×10π×13＝65π(cm 2)；故答案为B ． 【知识点】圆锥的侧面垂径定理；圆锥的三视图俯视图左视图主视图31.（2018四川巴中，2，4分）右边的几何体是由四个大小相同的正方体组成的，它的俯视图是A． B. C. D.【答案】C.【解析】根据三视图的要求，结合右边的几何体的特征，A是它的主视图，B、D不是它的三视图，只有C是它的俯视图（从上向下看所得到的图形）.32. （2018云南省昆明市，7，4分）下列几何体的左视图为长方形的是（）【答案】C．【解析】从左面看A选项为圆，B选项为梯形，C选项为长方形，D选项为等腰三角形．故选C．【知识点】视图与投影；三视图33.（2018贵州贵阳，3，3分）如图是一个几何体的主视图和俯视图，则这个几何体是（）A．三棱柱B．正方体C．三棱锥D．长方体【答案】A【解析】综合主视图、俯视图和选项可以判定此几何体为三棱柱.34.(2018黑龙江大庆，6，3)将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与“创”字所在面相对的面的上标的字是( )A．庆 B．力C．大D．魅【答案】A，【解析】“141”型上下两个为相对面，正其余的相对的面之间一定相隔一个正方形．35. （2018黑龙江哈尔滨，4，3）六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是( )【答案】B，【解析】根据俯视图定义选择B36.（2018湖北恩施州，9，3分）由若干个完全相同的小正方体组成一个立体图形，它的左视图和俯视图如图2 所示，则小正方体的个数不可能．．．是（）A．5 B．6 C．7 D．89．【答案】A【解析】本题考查的是由立方体组合成的不同的组合体的视图，解题的关键是就在于知晓俯视图的第一行对应左视图的第一列，俯视图的第二行对应左视图的第二列，所以，在俯视图中，第一行至少有一个标注数字2，最多有三个标注数字2，第二行标注1，所以小正方体的个数为1＋1＋1＋1＋2＝6或＋1＋1＋2＋2＝7，1＋1＋2＋2＋2＝8，不可能是5，故选A．37. (2018湖北黄石，5，3分)如图，该几何体的俯视图是( )第5题图A ．B．C．D．【答案】A【解析】从上方观察该几何体所得到平面图形是一个矩形，且靠右侧有一条竖直的棱边，故用实线表示这条棱边.38. （2018湖北十堰，3，3分）今年“父亲节”佳佳送给父亲一个礼盒，该礼盒的主视图是（）A． B． C．D．【答案】C【解析】由图可得，该礼盒的主视图是左边一个矩形，右面一个小正方形，故选C．39. （2018湖北随州2，3分）如图是一个由4个相同正方体组成的立体图形，它的左视图是（）【答案】D．【解析】根据左视图是从左面看到的图形判定，左视图有两列，第一列有2个正方形，第二列有1个正方形，故选项D正确．40. （2018辽宁省抚顺市，题号2，分值3）下列物体的左视图是圆的是【答案】AC．D．B．A．【解析】选项A，足球是球，它的左视图是圆，故此选项正确；选项B，水杯是圆台，它的左视图是梯形，故此选项错误；选项C，圣诞帽是圆锥，它的左视图是三角形，故此答案错误；选项D，鱼缸是长方体，它的左视图是长方形，故此选项错误.故选A.【知识点】三视图的定义.41.42.（2018云南曲靖，2，4分）如图所示的支架（一种小零件）的两个台阶的高度和宽度相等，则它的左视图为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】左视图看到中间的横线，是实线，且以矩形竖直一对边的中点为端点.43.（2018云南，8，4分）下列图形是某几何体的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图）。

问题5 深化点 对号函数的应用一、问题的提出在不等式恒成立和有解问题中会涉及到利用对号函数求最值问题，所以掌握对号函数图象和性质至关重要，本文列举了对号函数的应用，以飨读者.二、问题的探源（1）对勾函数的定义 形如)0,0(>>+=b a xb ax y 的函数，叫做对勾函数. （2）对勾函数)0,0()(>>+=b a x b ax x f 的图象与性质 1.定义域 0}{≠∈x R x2.值域当0>x 时，ab xb ax x b ax 22=⋅≥+（当且仅当x b ax =，即a b x =时取等号）. 当0<x 时，ab xb ax x b ax x b ax 2))((2)]()[(-=---≤-+--=+（当且仅当x b ax -=-，即ab x -=时取等号）. 函数)0,0()(>>+=b a xb ax x f 的值域为,2[]2,(ab ab ⋃--∞）∞+. 3.奇偶性 由于双勾函数定义域关于原点对称，)()(x b ax x b ax x f +-=--=-)(x f -=，则对勾函数为奇函数.4.单调性由于2)(x b a x f -='，令0)(>'x f ，解得a b x -<或ab x >，令0)(>'x f ，解得0<<-x a b 或ab x <<0，所以函数)(x f 在),(a b -∞上为增函数，在)0,(a b -上为减函数，在),0(a b 上为减函数，在),(+∞a b 上为增函数. 5.渐近线当0>x 时，0>+x b ax ，当0<x 时，0<+xb ax ，说明函数的的图象在第一、第三象限. 当0>x 时，x b x b ax x f >+=)(，说明函数在第一象限的图象在直线ax y =的上方，当0<x 时，ax xb ax x f <+=)(，说明函数在第三象限的图象在直线ax y =的下方. 双勾函数就是以y 轴和直线x y =为渐近线的双曲线. 特别1,1==b a 时，x x x f 1)(+=，函数图象如下图所示：三、问题的佐证(一)恒成立问题中的对号函数问题例1. 若函数32()3f x x tx x =-+在区间[1,4]上单调递减，则实数t 的取值范围是（ ）A ．51(,]8-∞B ．(,3]-∞C ．51[,)8+∞ D ．[3,)+∞ 【答案】C(二)有解问题中的对号函数问题例2. 若二次不等式230x ax +->在区间[2,5]上有解，则a 的取值范围是 A. 225a >- B. 12a <- C. 225a ≥- D. 12a ≤- 【答案】A【解析】 关于不等式230x ax +->在[]2,5上有解， 所以23ax x >-在[]2,5上有解，即233x a x x x ->=-在[]2,5上有解， 设()[]3,2,5f x x x x =-∈，所以()2310f x x'=--<恒成立， 所以函数()3f x x x =-在[]2,5x ∈上单调递减函数， 所以函数()f x 的值域为22,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，所以225a >-，故选A. (三)对号函数在数列最值问题中的应用数列{}n a 满足1133,2n n a a a n +=-=，则2n a n的最小值为__________． 【答案】21四、问题的解决1. 已知1()1f x x x=+-，()2f a =，则()f a -=（ ） A ．4- B ．2- C ．1- D ．3-【答案】A2. 已知52x ≥，则()2452x x f x x -+=-有（ ） A. 最大值52 B. 最小值52C. 最大值2D. 最小值2 【答案】D 【解析】依题意()122f x x x =-+-，类比对钩函数1y x x =+的性质可知，当122x x -=-，即3x =时，函数取得最小值为2.3. 已知x >0，则的最大值为________． 【答案】【解析】∵x >0 ∴当且仅当即x =2时取等号 故的最大值为 故答案为：.4. 已知函数，，则的最小值是__________． 【答案】 【解析】∵，∴，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值是，故答案为.5．要制作一个容积为4 m 3,高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米200元,侧面造价是每平方米100元,则该容器的最低总造价是________元.【答案】1600 6．已知函数()2f x x bx c =++， ()19f =， ()213f =. （1）求实数,b c 的值；（2）若函数()()(0)f x g x x x =>，求()g x 的最小值并指出此时x 的取值.【解析】（1）()()119,24213f b c f b c =++==++= 得到b=1,c =7；（2）()711g x x x=++≥，当且仅当x = 7．函数224log ([2,4])log y x x x=+∈的最大值为______ 【答案】5 【解析】设2log ,[1,2]t x t =∈ 即求函数4y t t=+在[1,2]上的最大值 函数为对勾函数，在(0,2)上单调递减。

双勾股模型及其应用如果两个直角三角形，它们有一条直角边重合，另一条直角边共线，我们把这样的两个直角三角形叫做双直角三角形，也称为 “双勾股模型”．这个模型图应用广泛，下面通过两例一起看看．例1 如图1，某风景管理区，为提高游客到某景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，把倾角由α减至β（如图2），已知台阶高为8米，原台阶坡面AB 的长为10米（BC 所在地面为水平面）．改善后的台阶坡面AD 与改善后的台阶多占的一段水平地面BD 的长满足：AD +BD ＝26（米），求改善后的台阶多占多长一段水平地面？分析：不妨设DB ＝x ，则AD ＝26－x ，在Rt△ADC 和Rt△ABC 中利用勾股定理列出关于x 的方程求解． 解：在Rt△ABC 中，BC 2＝AB 2－AC 2＝102－82＝36.所以BC ＝6米．设DB ＝x ，则AD ＝26－x ，DC ＝6+x ．在Rt△ADC 中，AC 2+DC 2＝AD 2，即82+（6+x ）2＝（26－x ）2．解得x ＝9．所以改善后的台阶多占了9米长的一段水平地面．例2 为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度．一天，我两艘海监船刚好在我某岛东西海岸线上的B ，C 两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在A 处海域．如图3所示，在B 处测得点A 在北偏东37°方向上，在C 处测得点A 在北偏西53°方向上．测得AB ＝12海里，BC ＝20海里，在C 处我海监船沿CA 前往A 处盘查.试确定AC 的长及点A 到BC 的距离．分析：由已知条件，易判定△ABC 为直角三角形，利用勾股定理不难求出AC ，利用面积法求点A 到BC 的距离． 解：如图3，过点A 作AD △BC 于点D .根据题意，得△ABC ＝90°－37°＝53°，△ACD ＝90°－57°＝37°.所以△BAC ＝90°.在Rt△ABC 中，AC 2＝BC 2－AB 2＝202－122＝256.所以AC ＝16海里.由S △ABC=21BC ·AD ＝21AB ·AC ，得AD ＝AB AC BC ⋅=201612⨯＝9.6． 即点A 到BC 的距离为9.6米．小试牛刀：如图4，在△ABC 中，AB ＝15 cm ，AC ＝13 cm ，BC ＝14 cm ，求△ABC 的面积.α β BC A图1 AC B 图2 D图4参考答案：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则∠ADB ＝∠ADC ＝90°. 设BD ＝x cm ，则CD ＝（14—x ）cm. 在Rt △ABD 中，由勾股定理，得AD 2＝AB 2-BD 2＝152—x 2；在Rt △ACD 中，由勾股定理，得AD 2＝AC 2-CD 2＝132-（14-x ）2.所以152-x 2＝132-（14-x ）2，解得x ＝9.所以AD 2＝152-92＝144.所以AD ＝12 cm.所以S △ABC ＝21BC•AD ＝21×14×12＝84（cm 2）.。

第十周 对勾函数模型重点知识梳理1．对勾函数定义对勾函数是指形如：y ＝ax ＋b x (ab >0)的一类函数，因其图象形态极像对勾，因此被称为“对勾函数”，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“耐克函数”或“耐克曲线”．2．对勾函数y ＝ax ＋b x (a >0，b >0)的性质(1)定义域：(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)值域：(－∞， ]∪[，＋∞)．(3)奇偶性：在定义域内为奇函数．(4)单调性：(－∞，－b a )，(b a ，＋∞)上是增函数；(－b a ，0)，(0，b a )上是减函数． (5)渐近线：y 轴与y=ax(或y=-ax)3．y ＝ax ＋b x(a >0，b >0)的单调区间的分界点：±b a. 求分界点方法：令ax ＝b x ⇒x ＝±b a . 特殊的，a >0时，y ＝x ＋a x的单调区间的分界点：±a .4．对勾函数应用时主要是利用对勾函数单调性求其最值，解题时要先找出对应的单调区间，然后求解．5．利用对勾函数求最值，常常用到如下的重要不等式：若a >0，b >0，则x >0时，ax ＋b x ≥2ab . 当且仅当ax ＝b x ，x ＝b a时取等号． 在应用这个不等式时，要注意使用的前提条件是“一正、二定、三相等”，即加号两边的项ax 和b x 都是正项，且二者乘积为定值，同时ax ＝b x中等号可取到．若等号取不到，则应根据对勾函数单调性求解．典型例题剖析例1 已知f (x )＝x ＋5x，求f (x )在下列区间的最小值． (1)[1,2]; (2)[3,4]; (3)[－3，－1]．【解析】如图，f (x )在 (－∞，－5)，(5，＋∞)上是增函数，在(－5，0)，(0，5)上是减函数．(1)由对勾函数性质可知f (x )在[1,2]上单调递减，∴f (x )min ＝f (2)＝412. (2)因为f (x )在[3,4]上单调递增，所以f (x )min ＝f (3)＝423.(3)因为f (x )在[－3，－ 5 ]上单调递增，在(－5，－1]上单调递减，且f (－3)＝－423， f (－1)＝－6，所以f (x )min ＝－6.变式训练 已知函数f (x )＝x 2＋5x 2＋4，求f (x )的最小值，并求此时x 的值．【解析】f (x )＝x 2＋5x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4令t ＝x 2＋4，则t ≥2，y ＝t ＋1t. ∵y ＝t ＋1t在[2，＋∞)单调递增， ∴当t ＝2时，y min ＝2＋12＝52， 此时，x 2＋4＝2，x ＝0.综上，f (x )的最小值为52，此时x 的值为0. 例2 求函数f (x )＝x 2－2x －1x ＋2(0≤x ≤3)的值域． 【解析】令t ＝x ＋2，则x ＝t －2, 2≤t ≤5，y ＝(t －2)2－2(t －2)－1t＝t 2－6t ＋7t ＝t ＋7t－6,2≤t ≤5. ∵y ＝t ＋7t－6在[2，7 ]上单调递减，在[7， 5]上单调递增， ∴当t ＝7时，y min ＝27－6，且当t ＝2时，y ＝2＋72－6＝－12，当t ＝5时，y ＝5＋75－6＝25，∴y max ＝25. 综上，f (x )的值域为[27－6，25]． 变式训练 求函数f (x )＝x 2－4x ＋12x －1，x ∈[]2，5的值域． 【解析】f (x )＝x 2－4x ＋12x －1＝(x －1)2－2(x －1)＋9x －1＝x －1＋9x －1－2， 令t ＝x －1，则f (t )＝t ＋9t－2，t ∈[1,4]． 结合y ＝t ＋9t的图象与性质， 可知当t ∈[1,3]时，函数单调递减，当t ∈[3,4]时，函数单调递增，又f (1)＝8，f (3)＝4，f (4)＝174， 所以f (x )∈[4,8]．例3 某工厂去年的某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元(科技成本)，并计划以后每年比上一年多投入100万元(科技成本)，预计产量年递增10万只，第n 次投入后，每只产品的固定成本为g (n )＝kn ＋1(k >0，k 为常数，n ∈Z 且n ≥0)，若产品销售价保持不变，第n 次投入后的年利润为f (n )万元．(1)求k 的值，并求出f (n )的表达式；(2)问从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？【解析】(1)由g (n )＝k n ＋1，当n ＝0时，由题意， 可得k ＝8，所以f (n )＝(100＋10n )(10－8n ＋1)－100n (n ∈Z 且n ≥0)．(2)由f (n )＝(100＋10n )(10－8n ＋1)－100n ＝1 000－80(n ＋1＋9n ＋1) ≤1 000－80×29＝520，当且仅当n ＋1＝9n ＋1，即n ＝8时取等号， 所以第8年工厂的利润最高，最高为520万元．变式训练 建筑一个容积为800米3，深8米的长方体水池(无盖)．池壁，池底造价分别为a 元/米2和2a 元/ 米2.底面一边长为x 米，总造价为y .写出y 与x 的函数式，问底面边长x 为何值时总造价y 最低，是多少？【解析】长方体底面积S ＝8008＝100米2，地面一边长为x 米， 因此另一边长为100x米， 池壁总面积为8·(2x ＋200x)米2， ∴ 总造价y ＝100×2a ＋(2x ＋200x )·8·a ＝200a ＋16a (x ＋100x)(x >0)． ∵函数y ＝200a ＋16a (x ＋100x)在(0,10]上是减函数，在(10，＋∞)上是增函数， ∴ 当x ＝10时，总造价最低，且y min ＝520a (元)．跟踪训练1．下列函数中最小值是4的是( )A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝x ＋2xC ．y ＝21＋x ＋21－xD ．y ＝x 2＋1x 2＋1＋3，(x ≠0) 2．函数y ＝x ＋4x，x ∈(1,3]的值域为( ) A ．[133，5) B ．[4,5) C ．[133，4) D ．(4,5)3．函数y ＝－x ＋41－x＋3，x ∈[)－1，0的值域为____________． 4．y ＝2x 2＋31＋x 2的最小值是________． 5．已知x >0，则2＋x ＋4x的最小值是________． 6．函数y ＝x ＋3x在区间[1,2]上的最小值为____________． 7．若函数y ＝x ＋a x(a ＞0)在区间(5，＋∞)上单调递增，则a ∈________________. 8．建造一个容积为8m 3，深为2 m 的无盖水池，如果池底与池壁的造价每平方米分别是120元和80元，则水池的最低造价为____________元．9．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由长方形休闲区A 1B 1C 1D 1和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000 m 2，人行道的宽分别为4 m 和10 m(如图所示)．(1)若设休闲区的长和宽的比A 1B 1B 1C 1＝x ，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数解析式； (2)要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽应如何设计？10．如图，某单位准备修建一个面积为600平方米的矩形场地(图中ABCD)的围墙，且要求中间用围墙EF隔开，使得ABEF为矩形，EFDC为正方形，设AB＝x米，已知围墙(包括EF)的修建费用均为800元每米，设围墙(包括EF)的修建总费用为y元．(1)求出y关于x的函数解析式；(2)当x为何值时，设围墙(包括EF)的的修建总费用y最小？并求出y的最小值．11．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋3x(x ∈[2，＋∞))． (1)求f (x )的最小值；(2)若f (x )>a 恒成立，求a 的取值范围．12．已知函数f (x )＝x ＋a x，x ∈[1，＋∞)，a >0. (1) 当a ＝12时，求函数f (x )的最小值； (2) 若函数f (x )的最小值为4，求实数a .13．为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层．体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k 3x ＋5(0≤x ≤10，k 为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小？并求出最小值．参考答案1．C A 选项，由于x 可取负值，显然最小值不是4，排除A ；B 选项，由于x 可取负值，显然最小值也不是4，排除B ；C 选项，由于y ＝2·2x ＋22x ＝2(2x ＋12x )， 换元，令t ＝2x ，t >0，则y ＝2(t ＋1t)≥4， 当且仅当t ＝1即x ＝0时，函数有最小值4，D 选项，由于y ＝x 2＋1x 2＋1＋3＝x 2＋1＋1x 2＋1＋2，换元，令t ＝x 2＋1，t >1，则y ＝t ＋1t＋2，函数在(1，＋∞)上单调递增，因此y >4，排除D 选项． 综上，答案为C.2．B 由对勾函数性质可知，当x ＝4x，即x ＝2时，表达式有最小值4，又函数在(1,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增， f (1)＝5，f (3)＝3＋43＝133，所以值域为[4,5)，答案为B. 3．[6,7)解析 y ＝－x ＋41－x ＋3＝1－x ＋41－x＋2， 换元，令t ＝1－x ，则x ∈[)－1，0时t ∈(1,2]，y ＝t ＋4t＋2，函数在(1,2]上单调递减， 若t ＝1，则y ＝1＋41＋2＝7， 若t ＝2，则y ＝2＋42＋2＝6， 故函数值域为[6,7)．4．26－2解析 换元，令t ＝1＋x 2，则t ≥1，x 2＝t －1，y ＝2(t －1)＋3t ＝2t ＋3t－2， 函数在[1，32]上单调递减，在[32，＋∞)上单调递增， 所以当t ＝32时，函数有最小值26－2. 5．6 解析 由对勾函数性质可知，当x ＝4x，即x ＝2时，表达式有最小值6. 6．2 3解析 因为y ＝x ＋3x在区间[1, 3 ]上单调递减，在[3，2]上单调递增，所以当x ＝3时函数有最小值2 3.7．(0,5]8．1 760解析 池底面积为82＝4 cm 2，设池底宽为x cm ，则长为4x cm ，则水池的造价为4×120＋2(4x×2＋x ×2)×80＝480＋1 280x ＋320x ≥480＋2 1 280x×320x ＝1 760. 9．解析 (1)设休闲区的宽为a 米，则其长为ax 米．由a 2x ＝4 000，得a ＝2010x， 则S ＝(a ＋8)(ax ＋20)＝a 2x ＋(8x ＋20)a ＋160＝4 000＋(8x ＋20)·2010x ＋160 ＝8010(2x ＋5x)＋4 160， 即S ＝8010(2x ＋5x )＋4 160. (2)S ＝8010(2x ＋5x )＋4 160≥16010·10＋4 160＝5 760， 当且仅当2x ＝5x，即x ＝2.5时取等号，此时a ＝40， ax ＝100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1应设计为长100米，宽40米．10．解析 (1)设AD ＝t 米，则由题意得xt ＝600，且t >x ，故t ＝600x>x ，可得0<x <106， 则y ＝800(3x ＋2t )＝800(3x ＋2×600x)＝2 400(x ＋400x)， 所以y 关于x 的函数解析式为y ＝2 400(x ＋400x)(0<x <106)． (2)y ＝2400(x ＋400x )≥2 400×2x ·400x＝96 000， 当且仅当x ＝400x，即x ＝20时等号成立． 故当x 为20米时，y 最小．y 的最小值为96 000元．11．解析 (1)任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1<x 2，f (x )＝x ＋3x＋2. 则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2) (1－3x 1x 2)， ∵x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，又∵x 1≥2，x 2>2，∴x 1x 2>4,1－3x 1x 2>0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．故f (x )在[2，＋∞)上是增函数，∴当x ＝2时，f (x )有最小值f (2)＝112. (2)∵f (x )>a 恒成立，∴只需f (x )min >a .又∵f (x )min ＝112，∴a <112. 12．解析 (1) a ＝12时， f (x )＝x ＋12x， x ∈[1，＋∞)． 令x ＝12x (x >0)，得x ＝22∉[1，＋∞)， ∴不能用不等式求最值．设1≤x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)＋(12x 1－12x 2) ＝(x 1－x 2)(1－12x 1x 2)<0， ∴函数 f (x ) 在[1，＋∞)上是单调递增函数，∴f min (x )＝f (1)＝32. (2)当0<a <1时，令x ＝a x，得x ＝a <1, ∵a ∉[1，＋∞) ，∴类似于(1)可知函数f (x )在[1，＋∞)上是单调递增函数， ∴f min (x )＝f (1)＝1＋a ＝4，得a ＝3，与0<a <1不符(舍)；当a ≥1时，a ≥1，∴由不等式知x ＋a x ≥2a ， 当x ＝a x，即x ＝a 时， f min (x )＝2a ＝4， 解得a ＝4.综上所述，函数f (x )的最小值为4时，a ＝4.13．解析 (1)依题意，当x ＝0 时，C ＝8，∴k ＝40 ，∴C (x )＝403x ＋5， ∴f (x )＝6x ＋20×403x ＋5＝6x ＋8003x ＋5(0≤x ≤10)． (2)f (x )＝2(3x ＋5)＋8003x ＋5－10， 设3x ＋5＝t ，t ∈[5,35]，∴y ＝2t ＋800t －10≥22t ·800t－10＝70， 当且仅当2t ＝800t，即t ＝20时等号成立． 这时x ＝5 ，因此f (x )的最小值为70.即隔热层修建5 cm 厚时，总费用f (x )达到最小，最小值为70万元．特殊对勾函数f (x )＝x ＋ x1 2 3 4 f (x ) 4 3 2 2 2 3 4‘’(1)定义域：(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)值域：(－∞，-2 ]∪[2，＋∞)．(3)奇偶性：在定义域内为奇函数．(4)单调性：(－∞，－1)，(1，＋∞)上↗；(－1，0)，(0，1)上↘．(5)分界点(拐点)坐标P(1,2) ; Q(-1,-2)(6)渐近线(7)Y=x和x=0。