人教版高中数学必修二平面与平面垂直的性质公开课优质教案

课时41 平面与平面垂直的性质一、选择题1. 二面角α－l －β是直二面角，a ∈ α，b ∈β，且a 、b 与l 都是斜交，那么 ( D )A. a 与b 可能垂直，但不可能平行．B. a 与b 可能垂直，也可能平行．C.a 与b 不可能垂直，但可能平行．D. a 与b 不可能平行，也不可能垂直．2. 在下列关于直线l 、m 与平面α、β的命题中,真命题是 ( B )A.若l ⊂β且α⊥β,则l ⊥α.B. 若l ⊥β且α∥β,则l ⊥α.C.若l ⊥β且α⊥β,则l ∥α.D. 若α∩β=m 且l ∥m,则l ∥α.3. 在互相垂直的两个平面中，下列命题中①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；③一个平面内的任意一直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；④过一个平面内的任意一点作垂直于另一个平面的直线必在第一个平面内；正确的个数是 （ C ）A ．1B ．2C ．3D ．44.下列四个命题中错误的一个是 （ D ）A ．空间存在不共面的四个点A 、B 、C 、D ，如果AB ⊥CD ，AD ⊥BC ，则AC ⊥BD ；B ．若lβ，且l ⊥α，则α⊥β；C ．若α，β，γ是三个不同的平面，a 表示直线，如果α∩β=a,α⊥γ,β⊥γ，则a ⊥γ；D ．与两条异面直线都垂直的直线是这两条异面直线的公垂线5. 关于直线l ，m ，n 以及平面βα,，下列命题中正确的是 （ D ）A ．若n m n m //,//,//则ααB ．若αα⊥⊥n m n m 则,,//C ．若ααα⊥⊥⊥⊂⊂l n l m l n m 则且,,,,D ．若βαβα⊥⊥则,//,m m 二、填空题6. 设有不同的直线a 、b 和不同的平面a 、β、γ，给出下列三个命题：（1）若a a //，a b //，则b a //．（2）若a a //，β//a ，则β//a ．（3）若γ⊥a ，γβ⊥，则β//a ． 其中正确的个数是7. 设P 是60的二面角l αβ--内一点，,PA PB αβ⊥⊥平面平面,A,B 为垂足，4,2,PA PB ==则AB 的长为 .8. α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α、β之外的两条不同的直线，给出四个论断： ①m ⊥n ，②α⊥β，③n ⊥β，④m ⊥α，以其中三个论断作为条件，余下一个论断 作为结论，写出你认为正确的一个命题 ．9. 已知m 、n 是直线，γβα,,是平面，给出下列命题（1）若γα⊥，γβ⊥，则βα//（2）若,,βα⊥⊥n n 则βα//（3）若α内不共线三点 A ，B ，C 到β的距离都相等，则βα//（4）若,,αα⊂⊂m n 且βαββ//,//,//则m n （5）若m,n 为异面直线，且βααββα//,//,,//,则m m n n ⊂⊂. 则其中正确的是 .10. 已知平面α和平面交于直线l ，P 是空间一点，PA ⊥α，垂足为A ，PB ⊥β，垂足为B ，且PA=1，PB=2，若点A 在β内的射影与点B 在α内的射影重合，则点P 到l 的距离为 .三、解答题11. 如图，点P 为斜三棱柱111C B A ABC -的侧棱1BB 上一点，1BB PM ⊥交1AA 于点M ，1BB PN ⊥交1CC 于点N .(1) 求证：MN CC ⊥1；(2) 在任意DEF ∆中有余弦定理：DFE EF DF EF DF DE ∠⋅-+=cos 2222. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.12. 三棱锥P ─ABC 中,侧面PAC 与底面ABC 垂直,PA=PB=PC 求证AB ⊥BC;P BC A13. 如图，一副三角板拼放，现沿拼接处将它们折成一个直二面角，(1)求证AB ⊥平面ACD ；(2)求平面ABD 与平面BCD 所成的角；(3)求AD 与BC 所成角的正切值．14. 已知直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，且160AA AD ,DAB =︒=∠，F 为棱BB 1的中点，M 为线段AC 1的中点.（1）求证：直线MF//平面ABCD ；（2）求证：平面AFC 1⊥平面ACC 1A 1；（3）求平面AFC 1与平面ABCD 所成二面角的大小.A A 1B 1B C 1C M N P【课时41答案】1.D2.B3.C4.D5. D6.0.7. 设平面PAB 交棱l 于点Q ，则由PA ⊥平面α，PB ⊥平面β知：l ⊥PA ，l ⊥PB ．于是∠AQB 为二面角α－l —β的平面角，从而∠AQB=60°，故∠APB=1 20°．在△APB 中，AB 2=PA 2 ＋PB 2—2 PA·PB cos 1 20°=28．72=AB ．8. ②、③、④ ① 或 ①、③、④ ② 9. （2）（5） 10.511. (1) 证：MN CC PMN CC PN CC PM CC BB CC ⊥⇒⊥∴⊥⊥⇒111111,,//平面 ；(2) 解：在斜三棱柱111C B A ABC -中，有αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+=，其中α为 平面B B CC 11与平面A A CC 11所组成的二面角.∴⊥,1PMN CC 平面 上述的二面角为MNP ∠,在PMN ∆中， cos 2222⇒∠⋅-+=MNP MN PN MN PN PMMNP CC MN CC PN CC MN CC PN CC PM ∠⋅⋅⋅-+=cos )()(211111222222， 由于111111111,,BB PM S CC MN S CC PN S A ABB A ACC B BCC ⋅=⋅=⋅=， ∴有αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+=. 12. 如图,取AC 中点D,连结PD 、BD.因为PA=PC,所以PD ⊥AC,又已知面PAC ⊥面ABC.所以PD ⊥面ABC,D 为垂足.因为PA=PB=PC,所以DA =DB=DC,可知AC 为ΔABC 的外接圆直径,因此AB ⊥BC.13. (1)∵CD ⊥BC ，平面ABC ⊥平面BCD,CD ⊥平面ABC ，CD ⊥AB, 又∵AB⊥AC,AB ⊥平面ACD ． (2)过A 作AE ⊥BC 于E ．∵平面ABC ⊥平面BCD ．∴AE ⊥平面BCD ．过E 作EF ⊥BD 于F ，连结AF ．得AF ⊥ BD ∴∠AFE 就是平面ABD 与平面BCD 所成二面角的平面D P B C A14.（Ⅰ）延长C 1F 交CB 的延长线于点N ，连结AN.因为F 是BB 1的中点，所以F 为C 1N 的中点，B 为CN 的中点.又M 是线段AC 1的中点，故MF//AN..,ABCD AN ABCD MF 平面平面又⊂⊄.//ABCD MF 平面∴（Ⅱ）证明：连BD ，由直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1可知：⊥A A 1平面ABCD,又∵BD ⊂平面ABCD ，.1BD A A ⊥∴四边形ABCD 为菱形，.BD AC ⊥∴,,,1111A ACC A A AC A A A AC 平面又⊂=⋂ .11A ACC BD 平面⊥∴在四边形DANB 中，DA ∥BN 且DA=BN ，所以四边形DANB 为平行四边形.故NA ∥BD ，⊥∴NA 平面ACC 1A 1. 1AFC NA 平面又⊂平面平面⊥∴1AFC ACC 1A 1.（Ⅲ）由（Ⅱ）知BD ⊥ACC 1A 1，又AC 1⊂ ACC 1A 1，∴BD ⊥AC 1，∵BD//NA ，∴AC 1⊥NA.又由BD ⊥AC 可知NA ⊥AC ，∴∠C 1AC 就是平面AFC 1与平面ABCD 所成二面角的平面角或补角.在Rt △C 1AC 中，31tan 11==CA C C AC C ， 故∠C 1AC=30°. ∴平面AFC 1与平面ABCD 所成二面角的大小为30°或150°.下课啦，咱们来听个小故事吧:活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。

平面与平面垂直的性质教学设计(一)知识与技能让学生理解和掌握面面垂直性质定理,能运用性质定理证明一些简单命题. (二)过程与方法1) 由“直观感知、操作确认、推理证明”理解和掌握面面垂直性质定理; 2) 由证明一些空间位置关系的简单命题,体会性质定理的初步运用. (三)情感、态度与价值观1) 由面面垂直性质定理的引入与证明,发展学生空间想象力,培养学生逻辑推理能力; 2) 由线面垂直和面面垂直的相互转化,体会转化思想在立几中重要性,进一步帮助学生树立辨证统一思想;3) 由实际问题与数学模型间的转化,让学生体会到数学学习的重要性,激发学生数学学习的主观能动性.(一)教学重点平面与平面垂直性质定理 (二)教学难点平面与平面垂直性质定理应用 (三)教学模式,学生自主探究（一）情境创设、引入课题复习回顾 两个平面互相垂直定义、判定定理.生活感知 教室里就有许多平面与平面垂直的例子.问 题1 黑板所在面与地面垂直,能否在黑板上画一条直线与地面垂直? 直观感知 在黑板面内画地面垂线 板书课题 平面与平面垂直的性质 （二）合作探究、形成知识(1)合作探究,证明定理抽象概括 实际问题化归为数学模型 动手操作 小组合作例1 如图,已知平面α⊥平面β,CD αβ=, 直线,AB AB CD α⊂⊥于点B ,求证:AB ⊥β. 展示操作 几何画板演示学生思路,CD B =β.则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直黑板地面βBDACα符号描述 ,,CD AB AB AB CD αβαββα⊥=⎫⇒⊥⎬⊂⊥⎭图形描述(2)小题竞答,夯实基础想一想: 判断下列语句是否正确,并说明理由:①两个平面不垂直,则一个平面内一定不存在直线与另一个平面垂直.( ) ②两个平面垂直,则一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面.( )③两个平面垂直,则过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面( ) 展示操作 由几何画板展示命题3的示意图.强调条件 由此我们也认识到,性质定理的成立,必须具备哪几个条件? 习惯引导 我们在学习定义、法则或定理时,要紧扣其关键词.变式引入 现在我们把问题3的条件改变一下,看看又有什么样的结论?(3)类比迁移,发展思维问 题2 面α⊥面β,过一个平面α内任意一点P 作平面β的垂线a ,则直线a 与面α具有板书推论 两个平面垂直,经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内. （三）小试牛刀、应用巩固过渡引入 性质定理的结论是线面垂直,它还能解决其它空间位置关系问题吗? 问题展示 例2 如图,已知平面α⊥平面β,且l αβ=,直线a ,a βα⊥⊄,试判断直线a 与平面α的位置关系. 逻辑推理 l β=,所以所以//a b 所以//a α. βBDACααalβαalβ变式练习 改变条件,结论如何?如图,已知平面α⊥平面β,且l αβ=,直线//a α,且a l ⊥,试判断直线a 与平面β的位置关系.学生交流 小组合作b γ=,由又因为a l ⊥,所以⊥β,且l αβ=,所以a β⊥,即直线a 与平面激发学习兴趣! 课后延展 作业意图 (四)归纳总结、提升认识1、我们主要学习了:性质定理2、我们还了解了: 转化思想 线线垂直↔线面垂直↔面面垂直(五)布置作业、板书设计 教材P 73页A 组练习第5题,CD AB CDαβ=⎫⎬⊥符号描述。

2.3.2平面和平面垂直的判定和性质一、教学目标（一）核心素养（1）通过本节教学，提高学生空间想象能力．（2）通过问题解决，提高等价转化思想渗透的意识．（3）进一步提高学生分析问题、解决问题的能力．（二）学习目标（1）两个平面互相垂直的判定．（2）两个平面互相垂直的性质．（三）学习重点两个平面垂直的判定、性质．（四）学习难点（1）两个平面垂直的判定定理、性质定理运用．（2）正确作出符合题意的空间图形．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第67页到第69页，填空：二面角的定义：平面内的一条直线把平面分为两部分,其中的每一部分都叫做半平面,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．（2）平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．（3）判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直⎭⎬⎫l⊥αl⊂β⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面⎭⎬⎫α⊥βα∩β＝al⊥al⊂β⇒l⊥α1．直线a⊥直线b，a⊥平面β，则b与β的位置关系是（）A．b⊥βB．b∥βC．b⊂βD．b⊂β或b∥β【解题过程】由垂直和平行的有关性质可知b⊂β或b∥β，故选D.【答案】D2.设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解题过程】若α⊥β，因为α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又a⊂α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，且a，m共面，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.故选A.【答案】A3．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面（）A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α.B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α.C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α.D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α.【解题过程】A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误．【答案】C(二)课堂设计1．知识回顾（1）直线和平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊥al⊥ba∩b＝Oa⊂αb⊂α⇒l⊥α（2）直线和平面垂直的判定的另外一种判定方法文字语言图形语言符号语言判定方法如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．ba//，α⊥a．则α⊥b（3）直线和平面垂直的性质定理性质定理如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行⎭⎬⎫a⊥αb⊥α⇒a∥b2．问题探究探究一实例引领，认识平面和平面垂直的概念★●活动①简单类比，引出定义两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情形．教室的墙面与地面、一个正方体中每相邻的两个面、课桌的侧面与地面都是互相垂直的．两个平面互相垂直的概念和平面几何里两条直线互相垂直的概念类似，也是用它们所成的角为直角来定义的．请同学思考两个平面互相垂直的定义.两个平面互相垂直的定义可表述为：如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直．那么两个互相垂直的平面画其直观图时，应把直立平面的边画成和水平平面的横边垂直，如下图．平面α和β垂直，记作α⊥β．●活动②实例引领，思维激活实例：如图,检查工件的相邻两个平面是否垂直时,只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上,另一边在工件的另一个面上转动,观察尺边是否和这个面密合就可以了,这是为什么?曲尺的一边在一面内转动即为形成一个平面,而另一边与此平面垂直,且又紧靠在另一平面上,即垂线在另一平面内．所以我们得到面面垂直的判定定理．如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．）下面我们一起给出分析，证明：已知：AB⊥β，AB∩β＝B，AB⊂α．【解题过程】要证α⊥β，需证α 和β 构成的二面角是直二面角，而要证明一个二面角是直二面角，需找到其一个平面角，并证明这个二面角的平面角是直角．证明：设α∩β＝CD，则由AB⊂α知，AB、CD共面．∵AB⊥β，CD⊂β，∴AB⊥CD，垂足为点B．在平面β内过点B作直线BE⊥CD．则∠ABE是二面角α-CD-β的平面角．又AB⊥BE，即二面角α-CD-β是直二面角．∴α⊥β．现在同学们明确了面面垂直的判定定理，请思考：建筑工人在砌墙时，常用一段系有铅锤的线来检查所砌墙面是否和水平面垂直，依据是什么？［学生］依据是两个平面垂直的判定定理，一面经过另一面的一条垂线．［老师］从转化的角度来看，两个平面垂直的判定定理可简述为：线面垂直⇒面面垂直请同学们接着思考如下问题：在所给正方体中，下式是否正确：①平面ADD1A1⊥平面ABCD；②D1A⊥AB；③D1A⊥面ABCD．［学生］①∵AB⊥面ADD1A1，AB⊂面ABCD．∴平面ABCD⊥平面ADD1A1．②∵AB⊥面ADD1A1，D1A⊂面ADD1A1∴AB⊥D1A③∵AA1⊥面ABCD，∴AD1与平面ABCD不垂直．平面ADD1A1⊥面ABCD，平面ADD1A1∩平面ABCD＝AD，A是平面ADD1A1内一点．过点A可以在平面ADD1A1内作无数条直线，而这些直线满足什么条件就可以使之与平面垂直？判定定理解决两个平面如何垂直，性质定理可以解决上述线面垂直．从转化的角度可表述为：面面垂直，则线面垂直．也给了我们以后证明问题的一种思想方法．下面我们一起来完成证明.证明过程如下：已知：α⊥β、α∩β＝a，AB⊂α，AB⊥a于B．【解题过程】：在平面β内作BE⊥a垂足为B，则∠ABE就是二面角α-a-β的平面角．由α⊥β可知，AB⊥BE．又AB⊥a，BE与a是β内两条相交直线，∴AB⊥β．证明的难点在于“作BE⊥a”．为什么要做这一步？主要是由两面垂直的关系，去找其二面角的平面角来决定的.【设计意图】构造二面角的平面角过程可以体现学生的创新精神、转化能力．【答案】见解题过程.探究二层层深化，掌握平面和平面垂直的判定定理和性质定理．●活动①互动交流，初步实践例1 求证：（1）如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直；（2）如果一个平面与另一个平面的垂面平行，那么这两个平面互相垂直．【知识点】平面和平面垂直的判定.【数学思想】化归思想.【解题过程】（1）已知：l∥α，l⊥β，求证：α⊥β.证明：在平面α内任取一点P．∵l ∥α，∴P ∉l ．P 、l 可确定一平面γ．设α∩γ＝l ′则l ∥l ′．⎪⎭⎪⎬⎫⊂'⊥'⇒⎭⎬⎫'⊥αββl l l l l //⇒α⊥β［该题目难在构造既符合题，又能使问题得证的立体图形．］ (2)已知：α⊥β，β∥γ．求证：α⊥γ证明：过β 内一点P 作直线l ，使l ⊥α则l ⊂β． l 与γ内任一点Q 确定平面δ，设δ∩γ＝l ′，则l ∥l ′． l ′⊥α，因此γ⊥α．【思路点拨】题目较抽象，构造图形，创造条件，使问题转化为可利用已有定理来解决．由此我们又多了两个判断面面垂直的结论. 【答案】见解题过程. ●活动②巩固基础，检查反馈例2 如图，AB 是⊙O 的直径，P A 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上异于A 、B 的任意一点，求证：平面P AC ⊥平面PBC ．【知识点】平面和平面垂直的判定 【数学思想】化归思想【解题过程】证明：因为AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上的点，所以有BC ⊥AC ①．因为P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，则P A ⊥BC ②． 由①②及AC ∩PA ＝A ，得BC ⊥平面P AC ．因为BC⊂平面PBC，有平面P AC⊥平面PBC．【思路点拨】低一级的垂直关系是判定高一级垂直关系的依据，根据条件，由线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直．通过这个例题展示了空间直线与平面的位置关系的内在联系，垂直关系的判定和性质共同构成了一个完整的知识体系．【答案】见解题过程.例3 如图，P是△ABC所在平面外的一点，且P A⊥平面ABC，平面P AC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC．【知识点】平面和平面垂直的判断和性质.【数学思想】转化思想.【解题过程】证明：在平面P AC内作AD⊥PC，交PC于D．因为平面P AC⊥平面PBC于PC，AD⊂平面P AC，且AD⊥PC，所以AD⊥平面PBC．又因为BC⊂平面PBC，于是有AD⊥BC①．另外P A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以P A ⊥BC．由①②及AC∩PA＝A，可知BC⊥平面P AC．因为AC⊂平面P AC，所以BC⊥AC．【思路点拨】在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直．本题是利用直线和平面垂直的定义及判定定理等知识来解答的问题．解答此类问题必须作到：概念清楚、问题理解透彻、相关知识能灵活运用．【答案】见解题过程.例4 P为120°角α-a-β内一点，P到α和β的距离均为10，求点P到棱a的距离．【知识点】二面角的概念，距离.【数学思想】化归思想.【解题过程】如图，过点P 作P A ⊥α于A ，PB ⊥β于B ，设相交直线P A 、PB 确定的平面为γ，a ∩γ＝O ，则α∩γ＝OA ，β∩γ＝OB 连结PO ，则AP =BP =10∵P A ⊥α，PB ⊥β，∴a ⊥γ，而PO ⊂平面γ，∴a ⊥PO ， ∴PO 的长即为点P 到直线a 的距离． 又∵a ⊥γ，γ⊂OA ，γ⊂OB∴∠AOB 是二面角α-a -β的平面角，即∠AOB =120°．而四边形AOBP 为一圆内接四边形，且PO 为该四边形的外接圆直径． ∵四边形AOBP 的外接圆半径等于由A 、B 、O 、P 中任意三点确定的三角形的外接圆半径，因此求PO 的长可利用△APB ． 在△APB 中，AP =BP =10，∠APB =60°，∴AB =10． 由正弦定理：332060sin 2=︒==AB R PO ． 【思路点拨】(1)该题寻找120°的二面角的平面角，所采取的方法即为垂面法，由此可见，若题目可找到与棱垂直的平面，用“垂面法”确定二面角的平面角也是一种可取的方法．（2）充分借助于四边形P AOB 为一圆内接四边形，∵P A ⊥OA ，PB ⊥OB ，∵PO 即为其外接圆直径，然后借助于四边形的外接圆直径等于其中任一三角形的外接圆直径进行转移，由正弦定理帮助解决了问题．【答案】.3320活动③ 强化提升，灵活应用例5.过点S 引三条不共面的直线SA 、SB 、SC ，如图，∠BSC =90°，∠ASC =∠ASB =60°，若截取SA =SB =SC =a .(1)求证：平面ABC ⊥平面BSC ； (2)求S 到平面ABC 的距离．【知识点】面面垂直的证明，距离. 【数学思想】化归思想【解题过程】(1)证明：∵SA =SB =SC =a ， 又∠ASC =∠ASB =60°，∴△ASB 和△ASC 都是等边三角形，∴AB =AC =a ， 取BC 的中点H ，连结AH ，∴AH ⊥BC ． 在Rt △BSC 中，BS =CS =a ， ∴SH ⊥BC ，a BC 2=，∴2)22(222222a a a CH AC AH =-=-=，∴222a SH =． 在△SHA 中，∴222a AH =，222a SH =，22a SA =， ∴222HA SH SA +=，∴AH ⊥SH ，∴AH ⊥平面SBC ．∵AH ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC ． 或：∵SA =AC =AB ，∴顶点A 在平面BSC 内的射影H 为△BSC 的外心， 又△BSC 为Rt △，∴H 在斜边BC 上，又△BSC 为等腰直角三角形，∴H 为BC 的中点，∴AH ⊥平面BSC ． ∵AH ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC ．(2)由前所证：SH ⊥AH ，SH ⊥BC ，∴SH ⊥平面ABC ，∴SH 的长即为点S 到平面ABC 的距离，a BC SH 222==，∴点S到平面ABC的距离为a22．【思路点拨】（1）要证明平面ABC⊥平面BSC，根据面面垂直的判定定理，须在平面ABC或平面BSC内找到一条与另一个平面垂直的直线；（2）外心为三角形外接圆的圆心，即三条中垂线的交点.【答案】（1）见解题过程；（2）a22．同类训练如图，在三棱台ABC－DEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥B C.(1)设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：DF∥a；(2)若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在，请确定G点的位置；若不存在，请说明理由．【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】(1)证明：在三棱台ABC－DEF中，AC∥DF，AC⊂平面ACE，DF 平面ACE，∴DF∥平面ACE.又∵DF⊂平面DEF，平面ACE∩平面DEF＝a，∴DF∥a.(2)线段BE上存在点G，且BG＝13BE，使得平面DFG⊥平面CDE.证明如下：取CE的中点O，连接FO并延长交BE于点G，连接GD、GF，∵CF＝EF，∴GF⊥CE.在三棱台ABC－DEF中，AB⊥BC⇒DE⊥EF.由CF⊥平面DEF⇒CF⊥DE.又CF ∩EF ＝F ，∴DE ⊥平面BEF ，∴DE ⊥GF .GF CE GF DE GF CDE CE DE E ⎫⎪⇒⎬⎪⎭⊥⊥⊥平面＝.又GF ⊂平面DFG ，∴平面DFG ⊥平面CDE .此时，如平面图所示，∵O 为CE 的中点，EF ＝CF ＝2BC ，由平面几何知识易证△HOC ≌△FOE ，∴HB ＝BC ＝12EF .由△HGB ∽△FGE 可知12BG GE =，即13BG BE =. 【思路点拨】“探索性问题”的规律方法：一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明．【答案】（1）见解题过程；（2）线段BE 上存在点G ，且13BG BE =，使得平面DFG ⊥平面CDE .3. 课堂总结知识梳理（1）证明面面垂直的方法（2）重难点归纳空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直三者之间可以相互转化，每一种垂直的判定都是从某种垂直开始转向另一种垂直最终达到目的，其转化关系为在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．（三）课后作业基础型 自主突破一、选择题1．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（）A．AB∥mB．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】如图所示，AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β，只有D不一定成立，故选D.【思路点拨】由题意，画出满足条件的图形，依据面面垂直的性质以及线面平行的性质等知识解答.【答案】D.2．设a是空间中的一条直线，α是空间中的一个平面，则下列说法正确的是（）A．过a一定存在平面β，使得β∥αB．过a一定存在平面β，使得β⊥αC．在平面α内一定不存在直线b，使得a⊥bD．在平面α内一定不存在直线b，使得a∥b【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】当a与α相交时，不存在过a的平面β，使得β∥α，故A错误；直线a与其在平面α内的投影所确定的平面β满足β⊥α，故选B；平面α内的直线b只要垂直于直线a在平面α内的投影，则就必然垂直于直线a，故C错误；当a与α平行时，在平面α内存在直线b，使得a∥b，故D错误．【思路点拨】A.根据面面平行的定义和性质判断；B.利用面面垂直的性质和定义判断；C.根据线面垂直的性质判断；D.根据线面平行的性质判断.【答案】B．3.设直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，（）A．若m∥α，则l∥m B．若α∥β，则l⊥mC．若l⊥m，则α∥β D．若α⊥β，则l∥m【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】A中直线l与m互相垂直，不正确；B中根据两个平面平行的性质知是正确的；C中的α与β也可能相交；D中l与m也可能异面，也可能相交，故选B.【思路点拨】通过线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理即可判断A；由一直线垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个，结合线面垂直的性质定理即可判断B；举反例，由线面垂直的性质定理即可判断C；举反例，结合线面垂直和面面垂直的性质定理即可判断D.【答案】B.4．设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是() A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】A中，两直线可以平行、相交或异面，故不正确；B中，两直线平行，故不正确；C中，由α∥β，a⊂α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b，故正确；D 中，两直线可以平行，相交或异面，故不正确．【思路点拨】通过线面垂直的性质定理判断A；通过面面平行的性质和线面垂直的性质判断B；通过面面平行的性质和线面垂直的定义判断C；由线面平行的性质和面面垂直的性质判断D.【答案】C.5.如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列正确的是（）A ．平面ABC ⊥平面ABDB ．平面ABD ⊥平面BDCC ．平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDED ．平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE【知识点】面面垂直的判定.【解题过程】因为AB ＝CB ，且E 是AC 的中点，所以BE ⊥AC ，同理有DE ⊥AC ，于是AC ⊥平面BDE .因为AC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BDE .又由于AC ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BDE ，所以选C.【思路点拨】缺少【答案】C.6.在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则AB 2＋AC 2＝BC 2．”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确结论是：“设三棱锥A -BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂直”，则______．【解题过程】此题是突破以往高考命题模式的又一典范，丰富的想象和联想是增强创新意识的利器，本题如果能联想构造一长方体，用一平面去截长方体易得满足条件的棱锥A -BCD ，进而易证结论：“2222ABC ACD ADB BCD SS S S ++=．” 【答案】2222ABC ACD ADB BCD S S S S ++=．7.如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD (只要填写一个你认为正确的条件即可)．【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】∵PC在底面ABCD上的射影为AC，且AC⊥BD，∴BD⊥P C.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD ⊥平面PC D.【答案】DM⊥PC(或BM⊥PC)8.如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD ＝DE＝2AB，F为CD的中点．求证：(1)AF∥平面BCE；(2)平面BCE⊥平面CDE.【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明。

无为县高中数学平面与平面垂直的性质新课程商讨活动观摩课授课方案一、授课目的1、知识与技术（1）使学生掌握平面与平面垂直的性质定理及证明；（2）认识性质定理的作用并能运用性质定理解决一些简单问题。

2、过程与方法（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识；（2）性质定理的推理论证。

3、神情与价值经过“直观感知、操作确认，推理证明” ，培养学生空间看法、空间想象能力以及逻辑推理能力。

二、授课重点对性质定理的理解三、授课难点性质定理的引入和证明四、学法与用具（1）学法：直观感知、操作确认，猜想与证明；（2）用具：两个互相垂直的平面，一根直的细棍；（3）多媒体课件。

五、授课方案（一）复习回顾1、面面垂直的定义；2、面面垂直的判断。

（二）研究新知面面垂直的定义既供给了两个平面垂直的判断方法，又指出了两个平面互相垂直的性质。

应用判判定理的重点是在其中一个平面中搜寻另一个平面的垂线，由线面垂直推出头面垂直。

那么现在从面面垂直出发，能否获得线面垂直呢？面面垂直拥有哪些性质呢？这就是我们这节课所要研究的内容。

问题：教室的黑板所在的平面与地面是什么关系？能否在黑板上画一条直线与地面垂直？1、研究拿出平面与平面垂直的模型，并拿细棍在其中一个面上搬动。

让学生观察模型，研究细棍搬动时，细棍与另一个平面的地址关系。

2、猜想在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

3、推理证明下面我们一起来完成这个命题的证明 . 先分析命题的条件和结论，尔后画出图形，再结合图形，用符号语言表达已知、求证。

已知：α⊥β，α∩β=AB， CD α，CD⊥ AB.求证： CD⊥β.引导：这个命题的结论是线面垂直 . 考虑已学过的判断线面垂直的方法有哪些，由此题的已知看看哪一种方法最适合 .证明：在平面β内，过 D 作 DE⊥AB，因为 CD ⊥AB，CD α，所以∠ CDE是α-AB- β的平面角，又α⊥β，所以∠CDE=90°即CD⊥DE.又AB β，DE β，故 CD ⊥β.此命题就是面面垂直的性质定理。

§2.3.4 平面与平面垂直的性质一、教材分析空间中平面与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中平面与平面垂直的性质定理具备以下两个特点：（1）它是立体几何中最难、最“高级”的定理.(2)它往往又是一个复杂问题的开端，即先由面面垂直转化为线面垂直，否则无法解决问题.因此，面面垂直的性质定理是立体几何中最重要的定理.二、教学目标1．知识与技能（1）使学生掌握平面与平面垂直的性质定理；（2）能运用性质定理解决一些简单问题；（3）了解平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互关系.2．过程与方法（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识；3．情感、态度与价值观通过“直观感知、操作确认、推理证明”，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力.三、教学重点与难点教学重点:平面与平面垂直的性质定理.教学难点:平面与平面性质定理的应用.四、课时安排1课时五、教学设计（一）复习（1）面面垂直的定义.如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直.（2）面面垂直的判定定理.两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.两个平面垂直的判定定理符号表述为：⇒⎭⎬⎫⊂⊥αβAB AB α⊥β.两个平面垂直的判定定理图形表述为：图1（二）导入新课思路1.(情境导入)黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？思路2.(事例导入)如图2，长方体ABCD—A′B′C′D′中，平面A′ADD′与平面ABCD垂直,直线A′A垂直于其交线AD.平面A′ADD′内的直线A′A与平面ABCD垂直吗？图2（二）推进新课、新知探究、提出问题①如图3,若α⊥β,α∩β=CD,AB α,AB⊥CD,AB∩CD=B.请同学们讨论直线AB与平面β的位置关系.图3②用三种语言描述平面与平面垂直的性质定理，并给出证明.③设平面α⊥平面β,点P∈α,P∈a,a⊥β,请同学们讨论直线a与平面α的关系.④分析平面与平面垂直的性质定理的特点，讨论应用定理的难点.⑤总结应用面面垂直的性质定理的口诀.活动:问题①引导学生作图或借助模型探究得出直线AB与平面β的关系.问题②引导学生进行语言转换.问题③引导学生作图或借助模型探究得出直线a与平面α的关系.问题④引导学生回忆立体几何的核心，以及平面与平面垂直的性质定理的特点.问题⑤引导学生找出应用平面与平面垂直的性质定理的口诀.讨论结果：①通过学生作图或借助模型探究得出直线AB 与平面β垂直,如图3.②两个平面垂直的性质定理用文字语言描述为：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一平面.两个平面垂直的性质定理用图形语言描述为：如图4.图4两个平面垂直的性质定理用符号语言描述为：⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=⋂⊥=⋂⊂⊥B CD AB CD AB CD AB βααβαAB ⊥β.两个平面垂直的性质定理证明过程如下：图5如图5，已知α⊥β,α∩β=a,AB ⊂α，AB ⊥a 于B.求证：AB ⊥β.证明：在平面β内作BE ⊥CD 垂足为B,则∠ABE 就是二面角αCDβ的平面角.由α⊥β,可知AB ⊥BE.又AB ⊥CD ，BE 与CD 是β内两条相交直线,∴AB ⊥β.③问题③也是阐述面面垂直的性质，变为文字叙述为：求证：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内.下面给出证明.如图6,已知α⊥β，P ∈α，P ∈a ，a ⊥β.求证：a ⊂α.图6证明：设α∩β=c ，过点P 在平面α内作直线b ⊥c ，∵α⊥β,∴b⊥β.而a⊥β，P∈a,∵经过一点只能有一条直线与平面β垂直,∴直线a应与直线b重合.那么a⊂α.利用“同一法”证明问题，主要是在按一般途径不易完成问题的情形下所采用的一种数学方法，这里要求做到两点.一是作出符合题意的直线b，不易想到，二是证明直线b和直线a 重合，相对容易些.点P的位置由投影所给的图及证明过程可知，可以在交线上，也可以不在交线上.④我认为立体几何的核心是：直线与平面垂直，因为立体几何的几乎所有问题都是围绕它展开的，例如它不仅是线线垂直与面面垂直相互转化的桥梁，而且由它还可以转化为线线平行，即使作线面角和二面角的平面角也离不开它.两个平面垂直的性质定理的特点就是帮我们找平面的垂线，因此它是立体几何中最重要的定理.⑤应用面面垂直的性质定理口诀是：“见到面面垂直，立即在一个平面内作交线的垂线”.（四）应用示例思路1例1 如图7，已知α⊥β，a⊥β,a⊄α,试判断直线a与平面α的位置关系.图7解:在α内作垂直于α与β交线的垂线b,∵α⊥β,∴b⊥β.∵a⊥β,∴a∥b.∵a⊄α,∴a∥α.变式训练如图8,已知平面α交平面β于直线a.α、β同垂直于平面γ，又同平行于直线b.求证：(1)a⊥γ；(2)b⊥γ.图8 图9证明：如图9,(1)设α∩γ=AB，β∩γ=AC.在γ内任取一点P并在γ内作直线PM⊥AB，PN⊥AC.∵γ⊥α，∴PM⊥α.而a⊂α，∴PM⊥a.同理,PN⊥a.又PM⊂γ，PN⊂γ，∴a⊥γ.(2)在a上任取点Q，过b与Q作一平面交α于直线a1，交β于直线a2.∵b∥α，∴b∥a1.同理,b∥a2.∵a1、a2同过Q且平行于b，∴a1、a2重合.又a1⊂α，a2⊂β，∴a1、a2都是α、β的交线，即都重合于a.∵b∥a1，∴b∥a.而a⊥γ，∴b⊥γ.点评：面面垂直的性质定理作用是把面面垂直转化为线面垂直，见到面面垂直首先考虑利用性质定理，其口诀是：“见到面面垂直，立即在一个平面内作交线的垂线”.例2 如图10，四棱锥P—ABCD的底面是AB=2，BC=2的矩形，侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD.图10 图11（1）证明侧面PAB⊥侧面PBC；（2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角；（3）求直线AB与平面PCD的距离.（1）证明：在矩形ABCD中，BC⊥AB,又∵面PAB⊥底面ABCD,侧面PAB∩底面ABCD=AB,∴BC⊥侧面PAB.又∵BC⊂侧面PBC,∴侧面PAB⊥侧面PBC.（2）解：如图11,取AB中点E，连接PE、CE,又∵△PAB是等边三角形,∴PE⊥AB.又∵侧面PAB ⊥底面ABCD ，∴PE ⊥面ABCD.∴∠PCE 为侧棱PC 与底面ABCD 所成角. PE=23BA=3,CE=22BC BE +=3, 在Rt △PEC 中，∠PCE=45°为所求.（3）解：在矩形ABCD 中，AB ∥CD,∵CD ⊂侧面PCD ，AB ⊄侧面PCD ，∴AB ∥侧面PCD.取CD 中点F ，连接EF 、PF ，则EF ⊥AB.又∵PE ⊥AB,∴AB ⊥平面PEF.又∵AB ∥CD,∴CD ⊥平面PEF.∴平面PCD ⊥平面PEF.作EG ⊥PF ，垂足为G ，则EG ⊥平面PCD.在Rt △PEF 中，EG=530=•PF EC PE 为所求. 变式训练如图12，斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长都是a ，侧棱与底面成60°角，侧面BCC 1B 1⊥面ABC.求平面AB 1C 1与底面ABC 所成二面角的大小.图12活动:请同学考虑面BB 1C 1C ⊥面ABC 及棱长相等两个条件，师生共同完成表述过程，并作出相应辅助线.解：∵面ABC ∥面A 1B 1C 1，则面BB 1C 1C∩面ABC=BC,面BB 1C 1C∩面A 1B 1C 1=B 1C 1,∴BC ∥B 1C 1，则B 1C 1∥面ABC.设所求两面交线为AE ，即二面角的棱为AE,则B 1C 1∥AE ，即BC ∥AE.过C 1作C 1D ⊥BC 于D ，∵面BB 1C 1C ⊥面ABC,∴C 1D ⊥面ABC ，C 1D ⊥BC.又∠C 1CD=60°,CC 1=a,故CD=2a ,即D 为BC 的中点. 又△ABC 是等边三角形,∴BC ⊥AD.那么有BC ⊥面DAC 1,即AE ⊥面DAC 1.故AE ⊥AD ，AE ⊥AC 1,∠C 1AD 就是所求二面角的平面角.∵C 1D=23a ，AD=23a ，C 1D ⊥AD,故∠C 1AD=45°. 点评:利用平面与平面垂直的性质定理,找出平面的垂线是解决问题的关键.思路2例1 如图13，把等腰直角三角形ABC 沿斜边AB 旋转至△ABD 的位置，使CD=AC,图13（1）求证：平面ABD ⊥平面ABC ；（2）求二面角CBDA 的余弦值.（1）证明：(证法一):由题设,知AD=CD=BD,作DO ⊥平面ABC ，O 为垂足，则OA=OB=OC. ∴O 是△ABC 的外心，即AB 的中点. ∴O ∈AB ，即O ∈平面ABD.∴OD ⊂平面ABD.∴平面ABD ⊥平面ABC.(证法二):取AB 中点O ，连接OD 、OC,则有OD ⊥AB ，OC ⊥AB ，即∠COD 是二面角CABD 的平面角.设AC=a ，则OC=OD=a 22, 又CD=AD=AC,∴CD=a.∴△COD 是直角三角形，即∠COD=90°.∴二面角是直二面角，即平面ABD ⊥平面ABC.（2）解:取BD 的中点E ，连接CE 、OE 、OC,∵△BCD 为正三角形，∴CE ⊥BD.又△BOD 为等腰直角三角形,∴OE ⊥BD.∴∠OEC 为二面角CBDA 的平面角.同（1）可证OC ⊥平面ABD,∴OC ⊥OE.∴△COE 为直角三角形.设BC=a ，则CE=23a ，OE=21a,∴cos ∠OEC=33=CE OE 即为所求.变式训练如图14，在矩形ABCD 中，AB=33,BC=3，沿对角线BD 把△BCD 折起，使C 移到C′，且C′在面ABC 内的射影O 恰好落在AB 上.图14（1）求证：AC′⊥BC′；（2）求AB 与平面BC′D 所成的角的正弦值；（3）求二面角C′BDA 的正切值.（1）证明：由题意,知C′O ⊥面ABD,∵C′O ⊂ABC′,∴面ABC′⊥面ABD.又∵AD ⊥AB,面ABC′∩面ABD=AB,∴AD ⊥面ABC′.∴AD ⊥BC′.∵BC′⊥C′D,∴BC′⊥面AC′D.∴BC′⊥AC′.(2)解:∵BC′⊥面AC′D,BC′⊂面BC′D,∴面AC′D ⊥面BC′D.作AH ⊥C′D 于H,则AH ⊥面BC′D,连接BH,则BH 为AB 在面BC′D 上的射影,∴∠ABH 为AB 与面BC′D 所成的角.又在Rt △AC′D 中,C′D=33,AD=3,∴AC′=32.∴AH=6.∴sin ∠ABH=32=AB AH ,即AB 与平面BC′D 所成角的正弦值为32. (3)解:过O 作OG ⊥BD 于G ,连接C′G ,则C′G ⊥BD,则∠C′GO 为二面角C′BDA 的平面角. 在Rt △AC′B 中,C′O=6''=•AB BC AC , 在Rt △BC′D 中,C′G=233''=•BD D C BC . ∴OG=22C G C '-'=23.∴tan ∠C′GO=22'=OG O C , 即二面角C′BDA 的正切值为22.点评:直线与平面垂直是立体几何的核心,它是证明垂直问题和求二面角的基础,因此利用平面与平面垂直的性质定理找出平面的垂线,就显得非常重要了.例2 如图15,三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AB=BB 1=1，直线B 1C 与平面ABC 成30°角，求二面角BB 1CA 的正弦值.图15活动:可以知道，平面ABC 与平面BCC 1B 1垂直，故可由面面垂直的性质来寻找从一个半平面到另一个半平面的垂线.解：由直三棱柱性质得平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，过A 作AN ⊥平面BCC 1B 1，垂足为N ，则AN ⊥平面BCC 1B 1（AN 即为我们要找的垂线）,在平面BCB 1内过N 作NQ ⊥棱B 1C ，垂足为Q ，连接QA ，则∠NQA 即为二面角的平面角.∵AB 1在平面ABC 内的射影为AB ，CA ⊥AB ，∴CA ⊥B 1A.AB=BB 1=1，得AB 1=2.∵直线B 1C 与平面ABC 成30°角，∴∠B 1CB=30°，B 1C=2.在Rt △B 1AC 中，由勾股定理,得AC=2.∴AQ=1.在Rt △BAC 中，AB=1，AC=2，得AN=36. sin ∠AQN=AQ AN =36, 即二面角BB 1CA 的正弦值为36. 变式训练 如图16，边长为2的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面，BC=22，M 为BC 的中点.(1)证明：AM ⊥PM ；(2)求二面角PAMD 的大小.图16 图17(1)证明：如图17,取CD 的中点E ，连接PE 、EM 、EA,∵△PCD 为正三角形,∴PE ⊥CD ，PE=PDsin ∠PDE=2sin60°=3.∵平面PCD ⊥平面ABCD,∴PE ⊥平面ABCD.∵四边形ABCD 是矩形,∴△ADE 、△ECM 、△ABM 均为直角三角形.由勾股定理可求得EM=3，AM=6，AE=3,∴EM 2+AM 2=AE 2.∴AM ⊥EM. 又EM 是PM 在平面ABCD 上的射影,∴∠AME=90°.∴AM ⊥PM.(2)解:由(1)可知EM ⊥AM ，PM ⊥AM,∴∠PME 是二面角PAMD 的平面角.∴tan ∠PME=33 EM PE =1.∴∠PME=45°. ∴二面角PAMD 为45°.（五）知能训练课本本节练习.（六）拓展提升(2007全国高考,理18)如图18,在三棱锥S —ABC 中,侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形,∠BAC=90°,O 为BC 中点.(1)证明SO ⊥平面ABC;(2)求二面角ASCB 的余弦值.图18 图19 (1)证明：如图19,由题设,知AB=AC=SB=SC=SA.连接OA,△ABC 为等腰直角三角形,所以OA=OB=OC=22SA,且AO ⊥BC.又△SBC 为等腰三角形,故SO ⊥BC,且SO=22SA. 从而OA 2+SO 2=SA 2.所以△SOA 为直角三角形,SO ⊥AO.又AO∩BC=O,所以SO ⊥平面ABC.(2)解:如图19,取SC 中点M,连接AM 、OM,由(1),知SO=OC,SA=AC,得OM ⊥SC,AM ⊥SC.所以∠OMA 为二面角ASCB 的平面角.由AO ⊥BC,AO ⊥SO,SO∩BC=O,得AO ⊥平面SBC.所以AO ⊥OM.又AM=23SA,故 sin ∠AMO=3632==AM AO . 所以二面角ASCB 的余弦值为33.（七）课堂小结知识总结：利用面面垂直的性质定理找出平面的垂线，然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等.思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题.（八）作业课本习题2.3 B 组3、4.。

课题:平面与平面垂直的判定(新授课)
1.教学任务分析：通过教学活动，
(1)使学生了解、感受二面角的概念，感受到生活中处处有数学、数学用途广泛,增强学数学的兴趣.
(2)在二面角的概念教学中，让学生体会以下几点：
a.二面角的大小是用平面角来度量的.
b.二面角的平面角的大小由二面角的两个面的位置唯一确定.
c.平面角的两边分别在二面角的两个平面内，且两边都与二面角的棱垂直，由这个角所
确定的平面和二面角的棱垂直.
(3)了解平面与平面垂直的定义,通过探究掌握平面与平面垂直的判定定理.
(4)通过例题教学,探究确定二面角的平面角的方法,会求特殊二面角的大小.
2.教学难点、重点：
(1)重点：
确定二面角，面面垂直判定定理的应用.
(2)难点：
各种情景下确定二面角的平面角.
3.教学方式与手段：
采用“启发式”、“探究式”、“讲练结合”法.
借助多媒体电脑平台.
4.教学基本流程(总体设计)：
从生活实例让学生感性认识二面角
↓
二面角的概念
↓
二面角的平面角
↓
定义两平面垂直
↓
面面垂直的判定
↓
应用、探究
↓
课堂小结、作业
5.页面设计(相应内容逐步演示):
课题:平面与平面垂直的判定
1.二面角概念
2.确定二面角的平面角的方法
3.平面与平面垂直的定义
4.平面与平面垂直的判定定理
5.应用举例
6.小结与作业。

高中数学234平面与平面垂直的性质教案新人教A版必修2教案教学内容：高中数学《平面与平面垂直的性质》教学设计教学目标：1.理解平面与平面垂直的定义；2.掌握平面与平面垂直的判定方法；3.运用平面与平面垂直的性质解决实际问题。

教学重点：1.平面与平面垂直的定义；2.平面与平面垂直的判定方法。

教学难点：1.运用平面与平面垂直的性质解决实际问题。

教学准备：1.多媒体设备；2.教学课件；3.板书工具。

教学过程：Step 1：导入新知以两面相交直线的垂直为例，复习垂直线段的定义与判定方法，并引入本节课的主要内容：平面与平面垂直。

Step 2：引入新知1.解释平面与平面垂直的定义：当两个平面的交线与其中一个平面的一条直线垂直时，称这两个平面垂直。

2.图示两个平面垂直的情况，强调交线与直线垂直的关系。

Step 3：判定平面与平面垂直的方法1.利用平面与直线垂直的性质，结合两个平面所包含的直线，判定两个平面垂直。

2.指导学生通过观察图形，判定哪些平面是垂直的。

Step 4：例题讲解结合具体示例，讲解平面与平面垂直的判定方法。

例题：已知平面P与平面Q的交线与直线l垂直，l与平面Q的交线与平面R的交线垂直。

问平面P与平面R是否垂直？解题思路：由已知条件可知，平面P与平面Q的交线与直线l垂直，说明平面P与平面Q垂直；同时l与平面Q的交线与平面R的交线垂直，说明平面R与平面Q垂直。

因此，根据垂直的传递性推论，可以得出平面P与平面R垂直。

Step 5：解决实际问题给学生提供一些有关平面与平面垂直的实际问题，引导学生用所学知识解决问题。

Step 6：归纳总结总结平面与平面垂直的定义与判定方法。

Step 7：课堂练习布置一些练习题，让学生进行巩固练习。

Step 8：作业布置布置课后作业，要求学生进一步巩固所学知识。

教学反思：通过本节课的教学，学生能够理解平面与平面垂直的定义，并能够熟练运用判定方法解决问题。

同时，通过解决实际问题的训练，提高了学生的应用能力。

第九届全国高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动《平面与平面垂直的判定》（人教A版高中课标教材数学必修2）平面与平面垂直的判定教学设计一、教学内容解析：1.教材的地位与作用：本节课是人教A版必修2第2章第3节的第2课时，它是在直线与平面垂直的基础上，介绍二面角、二面角的平面角、面面垂直的定义及判定定理，本节课既是前面知识的巩固升华，又是后面研究线面、面面垂直性质的基础，在面面垂直的判定定理探究中有利于培养学生的空间想象能力、直观感知能力和逻辑推理能力，培养学生直观想象、数学抽象、逻辑推理等数学核心素养，同时本节课体现了转化化归、类比归纳等数学思想，是高中立体几何课程中的重点课题之一。

2.教学重点、难点：重点：平面与平面垂直的判定定理及应用难点：二面角大小的度量二、教学目标设置：1.通过直观感受生活中的二面角实物图，抽象出二面角的概念，提高学生观察、分析、类比、化归能力，培养学生数学抽象核心素养。

2.通过分组合作探究作二面角的平面角的过程，达到利用平面角刻画二面角的目标，深化刻画空间角的唯一性思想方法，体验数学的严谨性，培养学生严谨的数学思维习惯和自我反思纠错习惯。

3.通过动手操作实验探究过程，归纳猜想出面面垂直的关键，再通过推理论证得出判定定理，提升学生归纳分析，猜想论证能力，培养学生逻辑推理、抽象概括数学核心素养。

4. 通过运用定理的过程，达到巩固理解所学知识的目标，提高学生类比化归能力，培养学生降低空间维数的化归与转化的数学思想。

三、学生学情分析：1.学生前面已经学习了面面平行以及线面垂直，有了知识储备，课前也已经预习了课本内容.2.大部分同学已经具备了一定的空间想象能力、基本的逻辑推理思维、书写的规范性等.但是，本节课的教学难点在于探究二面角的平面角，学生不容易理解，通过小组合作探究，给出不同的解决方案，分析利弊，最终解决问题、加深理解，让学生体会数学的严谨性.3.经过高一一年的学习，绝大多数同学能够积极主动地参与到课堂探究、讨论活动中.在知识建构的过程中，各小组能够很快形成自己的看法并主动推选出代表发言.小组间既有竞争又有合作，能够实现“生本愉悦课堂”，保证课堂的高效.四、教学策略分析：我采用启发引导、分组合作、讲练结合的教学方法，使学生形成“直观感知—操作确认—数学抽象—归纳猜想—严谨证明—灵活应用”的探究式学习方法，从而达到以学生为主体，教师为主导，师生共同发展的课堂教学效果.为此我采用如下形式：1.实物投影——现场投影学生作品，及时发现问题、解决问题，充分体现问题来自于学生、解决于学生，最终提高学生的能力.2.教具——自制教具、现场演示门、打开着的书，尊重学生由直观感知到数学抽象的认知规律，充分体现数学源于生活又高于生活的基本理念.3.各种制图软件的综合利用——巧妙地将几何画板及录屏软件结合使用，实现二面角的动态转动效果，既满足了学生直观感知的需要，又为培养学生数学抽象思维提供了帮助.五、教学基本流程(总体设计)从人类生产实践的需要引入二面角的有关概念↓构建二面角的的平面角↓直二面角↓平面与平面垂直↓平面与平面垂直的判定↓平面与平面垂直的应用↓课堂梳理↓布置作业六、教学过程设计（一）直观感知，形成概念前面讨论了两个平面平行的问题，下面将要研究两个相交平面的位置关系．在生产实践中，有许多问题涉及到两个平面相交成一定角的情形，例如修筑水坝时，为了使水坝坚固，必须使水坝面和水平面成适当的角度；发射人造地球卫星时，也要根据需要，使卫星的轨道平面和地球赤道平面成一定的角度．（教师用多媒体显示模型）师：生活中，你还能举出哪些问题涉及到两个平面相交呢？生：打开的门，门面与墙面成一定角度；翻开着的书，两个书页面成一定角度；打开着的笔记本电脑两个面也成一定角度．课件展示实物图，将其命名为二面角，我们应该怎么理解二面角呢？（设计意图：从学生所熟悉的实际问题引入，使学生了解数学来源于实际生活；同时引导学生体会知识的形成过程，使学生从直观感知到理论抽象生成概念做铺垫，培养学生数学抽象核心素养．）引导学生思考：一条直线上的一个点把这条直线分成两个部分，其中的每一部分都叫做射线．那么一个平面被平面中的一条直线分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面．射线-点-射线半平面-棱-半平面师：初中已经学过平面中的“角”是怎样定义的？(教师用多媒体演示角的形成)生：从平面内一点出发的两条射线所组成的图形叫做角．类比得出概念：师：你能根据平面中"角"的定义类比归纳得出平面与平面所成角的概念吗？生：从空间一条直线出发的两个半平面所组成的图形．(教师用自制教具演示二面角的形成)（设计意图：创设问题情境，引导学生充分思考，在结合教具演示，启发学生通过角的定义类比得出二面角的定义）（二）动手操作，归纳确认1．二面角的概念：从空间一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．（课件展示）（1）二面角的画法课件展示二面角实物图（打开着的笔记本电脑），让学生按照实物图作出直观图。

《平面与平面垂直的性质》教案教学目标：1．掌握平面与平面垂直的性质定理及证明；了解平面与平面垂直的性质定理的作用并能运用平面与平面垂直的性质定理解决一些简单问题；2．通过对定理的探究和证明，向学生渗透从特殊到一般、类比与转化等数学思想，培养学生观察、比较、想象、概括等逻辑推理能力；通过实验提出自己的猜想并能进行论证，提高灵活运用知识分析问题、解决问题的能力；3．进一步丰富数学学习的成功体验，激发对空间图形研究的兴趣，形成积极参与数学活动，主动与他人合作交流的意识．教学重点难点：1．重点：理解并掌握面面垂直的性质定理和内容和推导．2．难点：运用平面与平面垂直的性质定理解决实际问题．教法与学法：1．教法选择：采用“启发－探究”的教学方法．2．学法指导：通过实验、分析、猜想、归纳、论证等活动过程，从中了解和体验空间线面、面面之间的垂直关系，在实验、猜想和论证中发展学生的逻辑推理能力、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力．教学过程：一、设置情境，激发探索平面与平面垂直的性质定理的探究1．将上述情景抽象成数学问题： ,,,AB l AB l αββαβ⊥⊂⋂=⊥则AB 与α的位置关系怎样？(让学生思考怎样证明)分析：要证明直线垂直于平面，需证明直线垂直于平面内两条相交直线，而题中条件已有一条，故可过该直线作辅助线．引导学生归纳为文字语言.面面垂直的性质定理．二、变式演练，提高能力例 1 如图，已知α⊥β，a⊥β,a⊄α,试判断直线a与平面α的位置关系．图分析：面面垂直的性质定理作用是把面面垂直转化为线面垂直．解:在α内作垂直于α与β交线的垂线b,∵α⊥β,∴b⊥β．∵a⊥β,∴a∥b．∵a⊄α,∴a∥α．例2将两块三角板（有一块30o角和一块45o角）拼成如图形状提炼出的数学知识，需要经过严格的证明才能成为规律，通过证明培养学生严密的数学思维与知识应用能力．三、归纳小结，课堂延展巩固作业:课本对应习题提升练习：如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=BB1=1，直线B1C与平面ABC成30°角，求二面角BB1CA的正弦值．延展作业:谈谈你对本节的学习的心得体会？体学生的巩固应用，又兼顾学有余力的学生，同时将探究的空间由课堂延伸到课外．教学设计说明1．教材地位分析：空间中平面与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用广泛，而且是空间问题平面化的典范，面面垂直的性质定理是立体几何中最重要的定理，也是高考考查的重点，其中所涉及的观点、思想和能力方法是学生今后学习和工作中必备的数学素养．2．学生现实状况分析：在学习本课之前，学生已具备了对空间几何图形的一定水平层次的想象能力，已具备一定的逻辑推理能力和分析问题的能力．这个阶段的学生还以抽象逻辑思维为主要发展趋势，他们的思维正在从经验性的逻辑思维向抽象的逻辑思维发展，仍需依赖一定的具体形象的材料来理解抽象的逻辑关系．3．以学生的经验为基础，通过教学初步培养学生分析问题的能力和解决实际问题的能力；在与位置有关的推理、想象与描述等数学活动感知和体验空间与图形的现实意义．在探索空间线线、线面、面面关系过程中逐步建立空间观念．逐步培养抽象的逻辑思维，使学生学会提出问题，培养学生解决问题的能力．。

《平面与平面垂直的判定》教案教学目标：1．理解二面角的概念，会画二面角，能够求出两个平面夹角大小；掌握两平面垂直的有关概念，以及两个平面垂直的判定定理，能运用概念和定理进行有关计算与证明．2．通过二面角的概念的探索过程，渗透类比迁移的思想；通过归纳两个平面垂直的判定定理内容，提高学生抽象概括能力；3．通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生体会教学存在于现实生活中，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力，培养学生认真参与、积极交流的主体意识和乐于探索、勇于创新的科学精神．教学重点难点：1．重点：二面角的画法和求法；两个平面垂直的判定定理及应用；2．难点：二面角角的概念及度量方法，两个平面垂直的判定定理的归纳概括．教法与学法：1．教法选择：启发诱导式——启动学生主动学习，启发引导学生实践思维过程，自得知识，自觅规律，自悟原理，主动发展思维和能力．2．学法指导：直观感知，操作确认数学定理，揭示概念的形成、发展和应用过程．教学过程：一、设置情境，激发探索1．二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．二面角常用直立式和平卧式两种画法：如图（教师和学生共同动手）．直立式：平卧式：二面角的表示方法：如图，棱为AB，面为α、β的二面角，记作二面角α-AB-β．有时为了方便也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作二面角P-AB-Q．为平面与平面垂直的判定．二、方法总结，变式演练例1 如图7，⊙O在平面α内，AB是⊙O的直径，PA⊥α，C为圆周上不同于A、B的任意一点．图7求证：平面PAC⊥平面PBC．分析：欲证面面垂直关键在于在一个平面内找到另一个平面的垂线．注意板书证明过程规范、完整，同时引导学生注意证明过程的规范性和严谨性，帮助学平定定理，加深理解，进一步提高学解的能力．生养成良好的学习习惯．证明：设⊙O所在平面为α，由已知条件，角的综合应用．PA⊥α，BC⊂α，∴PA⊥BC．∵C为圆周上不同于A、B的任意一点，AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC．又∵PA与AC是△PAC所在平面内的两条相交直线，∴BC⊥平面PAC．∵BC⊂平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC．例2已知二面角α-AB-β等于45°，CD⊂α，D∈AB，∠CDB=45°．求CD与平面-β所成的角．分析：二面角是本节的另一个重点，作二面角的平面角最常用的方法是：在一个半平面α内找一点C，作另一个半平面β的垂线，垂足为O，然后通过垂足O作棱AB的垂线，垂足为E，连接AE，则∠CEO为二面角α-AB-β的平面角．这一过程要求学生熟记．解：如图10，作CO⊥β交β于点O，连接DO，则∠CDO为DC与β所成的角．图10过点O作OE⊥AB于E，连接CE，则CE⊥AB．∴∠CEO为二面角α—AB—β的平面角，三、实际应用，课堂交流如图9所示，河堤斜面与水平面所成二面角为60°，堤面上有一条直道CD，它与堤角的水平线AB的夹角为30°，沿这条直道从堤脚向上行走到10 m时人升高了多少？（精确到0．1 m）图9解：取CD上一点E，设CE=10 m，过点E作直线AB所在的水平面的垂线EG，垂足为G，则线段EG的长就是所求的高度．在河堤斜面内，作EF⊥AB，垂足为F，并连接FG，则FG⊥AB，即∠EFG就是河堤斜面与水平面ABG所成二面角的平面角，的学习的目的就是为了解决实际应用问题，这也是学数学的终极目的，为了培养这种能力，就需要习，进而培养学生所需的思想方法和能力．四、归纳小结，课堂延展巩固作业:课本对应习题提升练习：如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD 是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD=60°，N是PB中点，过A、D、N三点的平面交PC于M，E为AD的中点．（1）求证：EN∥平面PCD；（2）求证：平面PBC⊥平面ADMN；（3）求平面PAB与平面ABCD所成二面角的正切值．教学设计说明1．教材地位分析：本节课在前面已经学习了直线与平面垂直的基础上，介绍了面面垂直的定义及判定定理，是前面知识的巩固升华，又是后面研究线面、面面垂直性质的基础．所以，本节课的内容及思想方法，在整个立体几何里，具有非常重要的作用．2．学生现实状况分析：学生已掌握了空间线面、面面的平行和线面的垂直关系等一些知识和方法，对空间线线、线面、面面三者之间的转化关系也已比较了解．但是对于如何找二面角是学生的难点．3．通过例题让学生尝试运用定理，引导学生分析问题思路，探究解决问题的策略与途径，归纳解题方法，从而巩固所学知识，提升学生分析、解决问题的能力．同时通过范例书写，规范学生答题格式，提高学生解题的正确率．4．教师要改变教学观念，以生为本，以学定教．在师生双边活动中，教师不是作为一个权威来告诉学生结果是什么，而是尊重学生的主体地位，使学生学会学习，获得知识，掌握方法．不仅要为当前的学习，而且要为今后的终身学习和终身发展奠定良好的基础，这正是新课程标准的基本理念，也是素质教育的要求．。

示范教案整体设计教学分析教材通过实例操作，归纳出了两个平面互相垂直的定义，进一步归纳出了平面与平面垂直的判定定理和性质定理．值得注意的是在教学中要留给学生适当的思考时间，避免出现直接给出定义和定理，那样做会不符合新课标的精神的．三维目标1．掌握两个平面互相垂直的定义，提高学生的归纳能力．2．掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理，以及应用定理解决有关问题，提高学生抽象思维能力，培养空间想象能力．重点难点教学重点：两个平面垂直的判定和性质．教学难点：归纳判定定理和性质定理．课时安排1课时教学过程导入新课设计1.回顾直线与平面垂直的定义，是用线线垂直来定义的，那么如何定义平面与平面垂直呢？用什么来定义？教师点出课题．设计2.如下图所示，在长方体AC′中，棱AA′垂直平面AC，那么过AA′的平面AB′和平面AD′垂直于平面AC吗？教师点出课题．推进新课新知探究提出问题(1)如右下图，两个平面α，β相交，交线为CD，在CD上任取一点B，过点B分别在α，β内作直线BA和BE，使BA⊥CD，BE⊥CD.于是，直线CD⊥平面ABE.容易看到，当∠ABE为直角时，给我们两平面互相垂直的印象．由此归纳出两平面垂直的一个定义？(2)在下图中，由于∠ABE为直角，可知BA⊥BE.又BA⊥CD，所以BA⊥β.这就是说平面α过平面β的垂线BA.现在要问，如果平面α过平面β的垂线BA，那么这两个平面是否相互垂直呢？归纳平面与平面垂直的判定定理．(3)下面我们再来研究两平面垂直的性质．再观察右上图，设平面α与平面β垂直，α∩β＝CD，如果平面α内的直线BA⊥CD，这时，BA是否垂直平面β？归纳平面与平面垂直的性质定理，并加以证明．讨论结果：(1)如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．平面α，β互相垂直，记作α⊥β.(2)答案是肯定的．事实上，只要在平面β内作BE⊥CD，由于BA⊥β，所以BA⊥BE，因此∠ABE为直角依两个平面垂直的定义，就可以推出α⊥β.由以上观察和分析，我们可以得到平面与平面垂直的判定定理：定理如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直．建筑工人在砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙是否和水平面垂直(如下图)，实际上就是依据这个定理．(3)定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．已知：(如下图)平面α⊥平面β，α∩β＝CD，BA α，BA⊥CD，B为垂足．求证：BA⊥β.证明：在平面β内过点B作BE⊥CD.因为α⊥β，所以BA⊥BE.又因为BA⊥CD，CD∩BE＝B，所以BA⊥β.应用示例思路1例1 已知：如下图，平面α⊥平面β，在α与β的交线上取线段AB＝4 cm，AC，BD 分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线AB，并且AC＝3 cm，BD＝12 cm，求CD的长．解：连结BC.因为BD⊥AB，直线AB是两个互相垂直的平面α和β的交线，所以BD⊥α，BD⊥BC.所以△CBD是直角三角形．在直角△BAC中，BC＝32＋42＝5.在直角△CBD中，CD＝52＋122＝13.所以CD长为13 cm.变式训练如下图，长方体ABCD—A′B′C′D′中，MN在平面BCC′B′内，MN⊥BC于M.判断MN与AB是否垂直？并说明理由．解：显然，平面BCC′B′⊥平面ABCD，交线为BC.因为MN在平面BCC′B′内，且MN⊥BC，所以MN⊥平面ABCD.从而MN⊥AB.例2 已知Rt△ABC中，AB＝AC＝a，AD是斜边BC上的高，以AD为折痕使∠BDC 成直角(如下图)．(1)(2)求证：(1)平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC；(2)∠BAC＝60°.证明：(1)如上图(2)，因为AD⊥BD，AD⊥DC，所以AD⊥平面BDC.因为平面ABD和平面ACD都过AD，所以平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC.(2)如上图(1)，在直角三角形BAC中，因为AB＝AC＝a，所以BC＝2a，BD＝DC＝2 2a.如上图(2)，△BDC是等腰直角三角形，所以BC＝2BD＝2×22a＝a.所以AB＝AC＝BC. 因此∠BAC＝60°.点评：证明面面垂直转化为证明线面垂直．变式训练如下图，四边形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，∠BAD＝60°.求证：平面PBD⊥平面PAC.证明：设AC与BD交于点O，连结PO，∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC.∵PA⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD.又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.又∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC.思路2例3 如下图，已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB＝60°，AD＝AA1，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点．求证：(1)直线MF∥平面ABCD；(2)平面AFC1⊥平面ACC1A1.证明：如下图，(1)延长C1F交CB的延长线于点N，连结AN.∵F是BB1的中点，∴F为C1N的中点，B为CN的中点．又M是线段AC1的中点，故MF∥AN.又∵MF平面ABCD，AN⊂平面ABCD，∴MF∥平面ABCD.(2)连结BD，由直四棱柱ABCD—A1B1C1D1，可知AA1⊥平面ABCD，又∵BD⊂平面ABCD，∴A1A⊥BD.∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD.又∵AC∩A1A＝A，AC、A1A⊂平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A1.在四边形DANB中，DA∥BN且DA＝BN，∴四边形DANB为平行四边形．故NA∥BD.∴NA⊥平面ACC1A1.又∵NA⊂平面AFC1，∴平面AFC1⊥平面ACC1A1.变式训练如左下图，已知平面α交平面β于直线a.α、β同垂直于平面γ.求证：a⊥γ.证明：如右上图，设α∩γ＝AB，β∩γ＝AC.在γ内任取一点P并在γ内作直线PM⊥AB，PN⊥AC.∵γ⊥α，∴PM⊥α.而a⊂α，∴PM⊥a.同理，PN⊥a.又PM⊂γ，PN⊂γ，且PN∩PM＝P，∴a⊥γ.知能训练如下图所示，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，且AB＝2，SC＝SD＝ 2.求证：平面SAD⊥平面SBC.证明：在△SDC中，∵SC＝SD＝2，CD＝AB＝2，∴∠DSC＝90°，即DS⊥SC.∵底面ABCD是矩形，∴BC⊥CD.又∵平面SDC⊥平面ABCD，∴BC⊥面SDC.∴DS⊥BC.∴DS⊥平面SBC.∵DS ⊂平面SAD，∴平面SAD⊥平面SBC.拓展提升如下图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB中点，过A、D、N三点的平面交PC于M，E为AD的中点．(1)求证：EN∥平面PCD；(2)求证：平面PBC⊥平面ADMN.(1)证明：∵AD∥BC，BC 面PBC，AD面PBC，∴AD∥面PBC.又面ADN∩面PBC＝MN，∴AD∥MN.∴MN∥BC.∴点M为PC的中点．∴MN 12BC.又E为AD的中点，∴四边形DENM为平行四边形．∴EN∥DM.∴EN∥面PDC.(2)证明：连结PE、BE，∵四边形ABCD为边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，∴BE⊥AD.又∵PE⊥AD，∴AD⊥面PBE.∴AD⊥PB.又∵PA＝AB且N为PB的中点，∴AN⊥PB.而AN∩AD＝A，∴PB⊥面ADMN.∴平面PBC⊥平面ADMN.课堂小结知识总结：利用垂直的判定定理找出平面的垂线，然后解决证明垂直问题、平行问题等．思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题．作业本节练习A4题；练习B3题．设计感想本节教学设计体现了学生的主体地位，充分调动了学生的积极性．在实际应用时，尽量借助于信息技术．备课资料备选习题1.如下图，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．求证：AB1⊥平面A1BD；证明：如下图，取BC中点O，连结AO.∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC.∵在正三棱柱ABC—A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1.∴AO⊥BD.连结B1O，在正方形BB1C1C中，O、D分别为BC、CC1的中点，∴B1O⊥BD.又AO∩B1O＝O，∴BD⊥面AOB1.AB1⊂面AOB1，∴AB1⊥BD.在正方形ABB1A1中，AB1⊥A1B，∴AB1⊥平面A1BD.2.如下图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝BB1，AC1⊥平面A1BD，D为AC的中点．(1)求证：B1C∥平面A1BD；(2)求证：B1C1⊥平面ABB1A1；(3)设E是CC1上一点，试确定E的位置使平面A1BD⊥平面BDE，并说明理由．分析：(1)转化为证明B1C∥MD；(2)转化为证明A1B⊥B1C1，BB1⊥B1C1；(3)可猜测点E为C1C的中点．证明：(1)如下图，连结AB1与A1B相交于M.则M为A1B的中点，连结MD，又D为AC的中点，∴B1C∥MD，又B1C平面A1BD，MD⊂平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD.(2)∵AB＝B1B，∴四边形ABB1A1为正方形，∴A1B⊥AB1，又∵AC1⊥面A1BD，∴AC1⊥A1B，∴A1B⊥面AB1C1，∴A1B⊥B1C1，又在直棱柱ABC—A1B1C1中BB1⊥B1C1，BB1∩A1B＝B，∴B1C1⊥平面ABB1A1.(3)解：当点E为C1C的中点时，平面A1BD⊥平面BDE，∵D、E分别为AC、C1C的中点，∴DE∥AC1，∵AC1⊥平面A1BD，∴DE⊥平面A1BD.又DE 平面BDE，∴平面A1BD⊥平面BDE.。

2.3.3 直线与平面垂直的性质一、教材分析空间中直线与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中直线与平面垂直的性质定理不仅是由线面关系转化为线线关系，而且将垂直关系转化为平行关系，因此直线与平面垂直的性质定理在立体几何中有着特殊的地位和作用.本节重点是在巩固线线垂直和面面垂直的基础上，讨论直线与平面垂直的性质定理的应用.二、教学目标1．知识与技能（1）使学生掌握直线与平面垂直的性质定理；（2）能运用性质定理解决一些简单问题；（ 3 ）了解直线与平面的判定定理和性质定理间的相互关系.2．过程与方法（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识；3．情感、态度与价值观通过“直观感知、操作确认、推理证明” ，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力.三、教学重点与难点直线与平面垂直的性质定理及其应用.四、课时安排1 课时五、教学设计（一）复习直线与平面垂直的定义：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相如图 1，表示方法为： a ⊥ α.a 由直线与平面垂直的定义不难得出：b ⊥ a.b （二）导入新课思路 1.（情境导入 ）大家都读过茅盾先生的《白杨礼赞》 ，在广阔的西北平原上，矗立着一排排白杨树，它们像哨兵 守卫着祖国疆土 .一排排的白杨树，它们都垂直地面，那么它们之间的位置关系如何呢？思路 2.（事例导入 ）如图 2，长方体 ABCD —A ′B ′C ′中D ，′棱 AA ′、BB ′、CC ′、DD ′所在直线都垂直所在的平面们之间具有什么位置关系？三）推进新课、新知探究、提出问题① 回忆空间两直线平行的定义② 判断同垂直于一条直线的两条直线的位置关系？③ 找出恰当空间模型探究同垂直于一个平面的两条直线的位置关系ABCD ，它图1图2④用三种语言描述直线与平面垂直的性质定理.⑤如何理解直线与平面垂直的性质定理的地位与作用？讨论结果：①如果两条直线没有公共点，我们说这两条直线平行.它的定义是以否定形式给出的，其证明方法多用反证法③如图4，长方体ABCD —A′B′C′中D，′棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直于所在的平面ABCD ，它们之间具有什么位置关系？棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直所在的平面ABCD ，它们之间互相平行④直线和平面垂直的性质定理用文字语言表示为：垂直于同一个平面的两条直线平行，也可简记为线面垂直、线线平行a直线和平面垂直的性质定理用符号语言表示为：b∥ a.b直线和平面垂直的性质定理用图形语言表示为：如图 5.⑤直线与平面垂直的性质定理不仅揭示了线面之间的关系，而且揭示了平行与垂直之间的内在联系四）应用示例思路1例 1 证明垂直于同一个平面的两条直线平行解:已知a⊥α,b⊥α.求证：a∥ b.②如图3，同垂直于图6证明：（反证法）如图6，假定a与b不平行，且b∩α=O作,直线b′，使O∈b′,∥a b′ 直线b′与直线 b 确定平面β，设α∩β=则c, O∈ c.∵a⊥α,b⊥α∴,a⊥c,b⊥c.∵b′∥a,∴b′⊥c.又∵O∈b,O∈b′,b β,b ′β,a∥ b′显然不可能，因此b∥ a.例 2 如图7，已知α∩β =l,E⊥A α于点A,EB ⊥β于点B,a α,a⊥AB.求证:a∥ l.EA ,EB l EA证明：l ⊥平面EAB.l l EB又∵ a α,EA⊥α∴,a⊥EA.又∵ a⊥AB, ∴ a⊥平面EAB.∴a∥l.思路2例 1 如图8,已知直线a⊥b，b⊥ α，a α.求证：a∥ α.证明：在直线 a 上取一点 A ，过 A 作b′∥ b，则b′必与α相交，设交点为B，过相交直线a、b′作平面β，设 α∩β =a ′,∵ b ′∥b ， a ⊥b,∴ a ⊥ b ′∵.b ⊥ α，b ′∥ b,∴ b ′⊥ α.又∵ a ′ α∴,b ′⊥ a ′.由 a ，b ′，a ′都在平面 β内，且 b ′⊥ a ， b ′⊥ a ′知 a ∥ a ′∴.a ∥ α.例 2 如图 9，已知 PA ⊥矩形 ABCD 所在平面， M 、N 分别是 AB 、PC 的中点 .（ 1）求证： MN ⊥CD ；（2）若∠ PDA=45° ，求证 :MN ⊥面 PCD.图91 证明： (1)取 PD 中点 E,又 N 为PC 中点 ,连接 NE,则 NE ∥CD,NE= CD. 21 又∵ AM ∥ CD,AM= CD, 2∴ AM NE.∴四边形 AMNE 为平行四边形 .∴MN ∥AE. PA 平面 ABCD CD PACD 平面 ADP ∵ CD 平面 ABCD CD AD CD ⊥AE.AE 平面 ADP(2)当∠ PDA=45°时 ,Rt △PAD 为等腰直角三角形 ,则 AE ⊥ PD.又 MN ∥AE,∴MN ⊥PD,PD ∩CD=D.∴MN ⊥平面 PCD.变式训练已知 a 、b 、c 是平面 α内相交于一点 O 的三条直线，而直线 l 和平面 α相交，并且和 a 、b 、c 三条直 线成等角 .求证： l ⊥ α.证明：分别在a、b、c上取点A、B、C并使AO=BO=CO. 设l 经过O，在l 上取一点P，在△POA、△ POB、△POC 中，∵PO=PO=PO，AO=BO=CO ，∠ POA= ∠POB=∠POC，∴△ POA ≌△ POB≌△ POC.∴ PA=PB=PC.取AB 的中点D,连接OD 、PD，则OD⊥AB ，PD⊥ AB.∵ PD∩OD=D, ∴AB ⊥平面POD.∵PO 平面POD, ∴PO⊥AB.同理,可证PO⊥ BC.∵AB α，BC α，AB∩BC=B, ∴PO⊥α，即l⊥α.若l 不经过点O时，可经过点O作l ∥′l.用上述方法证明l ′⊥α，∴l⊥α.（五）知能训练如图10，已知正方体ABCD —A1B1C1D1 的棱长为a,（1）求证：BD 1⊥平面B1AC;（2）求 B 到平面B1AC 的距离.1）证明：∵AB ⊥B1C，BC1⊥B1C,∴B1C⊥面ABC 1D 1.又BD 1 面ABC 1D1,∴B1C⊥ BD1.∵OF ∥BE ，BE ⊥α.∵B 1B ⊥AC ，BD ⊥ AC,∴AC ⊥面 BB 1D 1D.又 BD 1 面 BB 1D 1D,∴AC ⊥BD 1.∴BD 1⊥平面 B 1AC.（2）解:∵O ∈BD,∴连接 OB 1交 BD 1于 E.又 O ∈AC ，∴ OB 1 面 B 1AC.∴ BE ⊥OE ，且 BE 即为所求距离 .BE BD BD 2a 2 3 ∵ ,∴ BE= ·OB= a a .OB BD 1 BD 1 3a 2 3（六）拓展提升已知在梯形 ABCD 中， AB ∥ CD ， CD 在平面 α内， AB∶CD=4 ∶ 6， AB 到 α的距离为 10 cm ，求梯 形对角线的交点 O 到 α的距离 .解：如图所示，过 B 作 BE ⊥α交 α于点 E ，连接 DE,过 O 作 OF ⊥DE 交 DE 于点 F,∵AB ∥CD ，AB α，CD α，∴ AB ∥α又. BE ⊥α,∴BE 即为 AB 到 α的距离， BE=10 cm 且∠ BED=90°∵ OF ⊥DE, ∴OF ∥ BE,得 OF ODBE BD∵AB ∥CD, ∴△ AOB ∽△ COD.CD 6OD，得AB 4 BD3∴ OF= ×10=65OD OB OF BE OD BD BE=10 cm,10cm ）∴OF⊥α，即OF 即为所求距离为 6 cm.（七）课堂小结知识总结：利用线面垂直的性质定理将线面垂直问题转化为线线平行，然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等.思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题.（八）作业课本习题 2.3 B 组1、 2.。

§2.3.2平面与平面垂直的判定一、教学目标1、知识与技能（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。

2、过程与方法（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。

3、情态与价值通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力。

二、教学重点、难点。

重点：平面与平面垂直的判定；难点：如何度量二面角的大小。

三、学法与教学用具。

1、学法：实物观察，类比归纳，语言表达。

2、教学用具：二面角模型（两块硬纸板）四、教学设计（一）创设情景，揭示课题问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？以上问题让学生自由发言，教师再作小结，并顺势抛出问题：在生产实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子吗？如修水坝、发射人造卫星等，而这样的角有何特点，该如何表示呢？下面我们共同来观察,研探。

（二）研探新知1、二面角的有关概念老师展示一张纸面，并对折让学生观察其状，然后引导学生用数学思维思考，并对以上问题类比，归纳出二面角的概念及记法表示（如下表所示）2、二面角的度量二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二两角的大小呢？师生活动：师生共同做一个小实验（预先准备好的二面角的模型）在其棱上位取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线（如图2.3-3），通过实验操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。

第二课时平面与平面垂直的判定（一）教学目标1．知识与技能（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（3）使学生理会“类比归纳”思想在教学问题解决上的作用.2．过程与方法（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理.3．情态、态度与价值观通过揭示概念的形成、发展和应有和过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力.（二）教学重点、难点重点：平面与平面垂直的判定；难点：如何度量二面角的大小.（三）教学方法实物观察、类比归纳、语言表达，讲练结合.教学过程教学内容师生互动设计意图新课导入问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？学生自由发言，教师小结，并投影两个平面所成角的实际例子：公路上的表面与水平面，打开的门与门椎所在平面等，怎样定义两个平面所成的角呢？复习巩固，以旧导新探索新知一、二面角1．二面角（1）半平面平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.（2）二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角（dihedral angle）.教师结合二面角模型，类比以上几个问题，归纳出二面角的概念及记法表示（可将角与二面角从图形、定义、构成、表示进行列表对比）.师生共同实验(折纸)思考二面角的大小与哪一个角的大小相同？这个角的边与二面角的棱有什么通过模型教学，培养学生几何直观能力，通过类比教学，加深学生对知识的理解.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.（3）二面角的求法与画法棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角ABαβ--. 有时为了方便，也可在,αβ内(棱以外的半平面部分)分别取点P、Q，将这个二面角记作二面角P–AB –Q.如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角lαβ--或P–l–Q.2．二面角的平面角如图关系？生：过二面角棱上一点O在二面角的面上分别作射线与二面角的棱垂直，得到的角与二面角大小相等.师：改变O的位置，这个角的大小变不变.生：由等角定理知不变.通过实验，培养学生学习兴趣和探索意识，加深对知识的理解与掌握.（1）在二面角cαβ--的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB 叫做二面角的平面角.（2）二面角的平面角的大小与O点位置无关.（3）二面角的平面角的范围是[0，180°] （4）平面角为直角的二面角叫做直二面角.探索新知二、平面与平面垂直1．平面与平面垂直的定义，记法与画法.一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就学生自学，教师点拔一下注意事项.师：以教室的门为例，由于门框木柱与地面垂直，那么经过木柱的门无论转到什么位置都有门面垂培养学生自学能力,通过实验，培养学生观察能力，归纳说这两个平面互相垂直.两个互相垂直的平面通常画成此图的样子，此时，把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.平面α与β垂直，记作α⊥β.2．两个平面互相垂直的判定定理，一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 直于地面，即αβ⊥，请同学给出面面垂直的判定定理.能力，语言表达能力.典例分析例3 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.师：平面与平面垂直的判定方法有面面垂直的定义和面面垂直的判定定理，而本题二面角A –PC–B的平面角不好找，故应选择判定定理，而应用判定定理正面面垂直的关键是在其中巩固所学知识，培养学生观察能力，空间想象能力，书写表达能力.证明：设⊙O所在平面为α，由已知条件，PA⊥α，BC在α内，所以PA⊥BC.因为点C是圆周上不同于A、B的任意一点，AB是⊙O的直径，所以，∠BCA是直角，即BC⊥AC.又因为PA与AC是△PAC所在平面内的两条直线.所以BC⊥平面PAC.又因为BC在平面PBC内，所以，平面PAC⊥平面PBC. 一个平面内找(作)一条直线与另一平面垂直，在已有图形中BC符合解题要求，为什么？学生分析，教师板书随堂练习1．如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是学生独立完成巩固知识提升能力G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，则在四面体S –EFG中必有（ A ）A．SG⊥EFG所在平面B．SD⊥EFG所在平面C．GF⊥SEF所在平面D．GD⊥SEF所在平面2．如图，已知AB ⊥平面BCD，BC⊥CD，你能发现哪些平面互相垂直，为什么？答：面ABC ⊥面BCD 面ABD ⊥面BCD 面ACD ⊥面ABC . 归纳总结1．二面角的定义画法与记法.2．二面角的平面角定义与范围.3．面面垂直的判定方法.4．转化思想.学生总结、教师补充完善回顾、反思、归纳知训提高自我整合知识的能力课后作业 2.3 第二课时 习案学生独立完成固化知识 提升能力备选例题例1 如图，平面角为锐角的二面角EF αβ--，A ∈EF ，AG α⊂，∠GAE = 45°若AG 与β所成角为30°，求二面角EF αβ--的平面角.【分析】首先在图形中作出有关的量，AG 与β所成的角(过G 到β的垂线段GH ，连AH ，∠GAH = 30°)，二面角EF αβ--的平面角，注意在作平面角是要试图与GAH 建立联系，抓住GH ⊥β这一特殊条件，作HB ⊥EF ，连接GB ，利用相关关系即可解决问题.【解析】作GH ⊥β于H ，作HB ⊥EF 于B ，连结GB ， 则CB ⊥EF ，∠GBH 是二面角的平面角. 又∠GAH 是AG 与β所成的角， 设AG = a ，则21,22GB a GH a ==，2sin 2GH GBH GB ∠==.所以∠GBH = 45°反思研究：本题的成功之处在于作图时注意建立各量之间的有效联系.例2 如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，直线SC ⊥平面ABCD ，E 是S A 的中点，求证：平面EDB ⊥平面ABCD ．【分析】要证面面垂直，需证线面垂直．这里需 要寻找已知条件“SC ⊥平面ABCD ”与需证结论“平面EDB ⊥平面ABCD ”之间的桥梁． 【证明】连结AC 、BD ，交点为F ，连结EF ， ∴EF 是△SAC 的中位线，∴EF ∥SC ． ∵SC ⊥平面ABCD ，∴EF ⊥平面ABCD ． 又EF ⊂平面BDE ， ∴平面BDE ⊥平面ABCD ．【评析】将面面垂直转化为线面垂直是证明此类题的关键． 例3 如图，四棱锥P – ABCD 的底面是边长为a 的正方形，PB ⊥面ABCD ．证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD 与面PCD 所成的二面角恒大于90°．BSC【分析】由△PAD ≌ △PCD ，可利用定义法构造二面角的平面角，证明所成角的余弦值恒小于零即可．【解析】不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD 与PCD 恒为全等三角形．作AE ⊥DP ,垂足为E ，连接EC ，则△ADE ≌△CDE ．∴AE = CE ，∠CED = 90°．故∠CEA 是面PAD 与面PCD 所成的二面角的平面角．设AC 与BD 相交于点O ．连接EO ，则EO ⊥AC ．∴22a OA AE AD a =<<=， 在△AEC 中，222(2)cos 2AE EC OA AEC AE EC+-∠=⋅=2(2)(2)0AE OA AE OA AE +-<，∴∠AEC ＞ 90°．所以面PAD 与面PCD 所成的二面角恒大于90°． 【评析】求二面角的大小应注意作（找）、证、求、答．。

2. 3.4 平面与平面垂直的性质【教学目标】（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理的正确认识；（2）能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生空间观念.（3）了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系，掌握等价转化思想在解决问题中的运用.【教学重难点】重点：理解掌握面面垂直的性质定理和内容和推导。

难点：运用性质定理解决实际问题。

【教学过程】(一) 复习提问1.线面垂直判定定理：如果一条直线和一个平面内两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面.2.面面垂直判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.(二)引入新课已知黑板面与地面垂直，你能在黑板面内找到一条直线与地面平行、相交或垂直吗这样的直线分别有什么性质？试说明理由！（三）探求新知已知：面α⊥面β，α∩β= a, AB α, AB⊥a于 B，求证：AB⊥β(让学生思考怎样证明)分析：要证明直线垂直于平面，须证明直线垂直于平面内两条相交直线，而题中条件已有一条，故可过该直线作辅助线.证明：在平面β内过B作BE⊥a，又∵AB⊥a，∴∠ABE为α﹣a﹣β的二面角，又∵α⊥β，∴∠ABE = 90° , ∴AB⊥BE又∵AB⊥a, BE∩a = B,∴AB⊥β面面垂直的性质定理：两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.（用符号语言表述） 若α⊥β，α∩β=a, AB ⊂α, AB⊥a 于 B ，则 AB ⊥β师：从面面垂直的性质定理可知，要证明线垂直于面可通过面面垂直来证明，而前面我们知道，面面垂直也可通过线面垂直来证明。

这种互相转换的证明方法是常用的数学思想方法。

同学们在学习中要认真理解和体会。

（四）拓展应用例1.求证:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内.例2．如图，已知平面α 、β，α⊥β，α∩β =AB, 直线a ⊥β, a ⊄α,试判断直线a 与平面α的位置关系（求证：a ∥α ）(引导学生思考)分析：因为直线与平面有在平面内、相交、平行三种关系)解：在α内作垂直于α 、β交线AB 的直线b ，∵ α⊥β ∴b ⊥β∵ a ⊥β ∴ a ∥b ,又∵a ⊄α ∴ a ∥α课堂练习：73P 练习 第1、2题73P A 组 第1题（四）当堂检测1.如图，长方体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′中，判断下面结论的正误。