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小学三年级下册奥数题拔高版附答案详解文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]三年级奥数下册：第一讲从数表中找规律习题三年级奥数下册：第二讲从哥尼斯堡七桥问题谈起习题三年级奥数下册：第三讲多笔画及应用问题习题三年级奥数下册：第四讲最短路线问题习题三年级奥数下册：第五讲归一问题习题三年级奥数下册：第六讲平均数问题习题三年级奥数下册：第七讲和倍问题习题三年级奥数下册：第八讲差倍问题习题三年级奥数下册：第九讲和差问题习题三年级奥数下册：第十讲年龄问题习题三年级奥数下册：第十一讲鸡兔同笼问题习题三年级奥数下册：第十二讲盈亏问题习题三年级奥数下册：第十三讲巧求周长习题三年级奥数下册：第十五讲综合练习---------------------------------以下部分答案---------------------------------------三年级奥数下册：第一讲从数表中找规律习题解答三年级奥数下册：第二讲从哥尼斯堡七桥问题谈起习题解答三年级奥数下册：第三讲多笔画及应用问题习题解答三年级奥数下册：第四讲最短路线问题习题解答三年级奥数下册：第五讲归一问题习题解答三年级奥数下册：第六讲平均数问题习题解答三年级奥数下册：第七讲和倍问题习题解答三年级奥数下册：第八讲差倍问题习题解答三年级奥数下册：第九讲和差问题习题解答三年级奥数下册：第十讲年龄问题习题解答三年级奥数下册：第十一讲鸡兔同笼问题习题解答三年级奥数下册：第十二讲盈亏问题习题解答三年级奥数下册：第十三讲巧求周长习题解答三年级奥数下册：第十四讲从数的二进制谈起习题三年级奥数下册：第十四讲从数的二进制谈起习题解答三年级奥数下册：第十五讲综合练习习题解答。
小学三年级奥数精品讲义目录第一讲加减法的巧算（一）第二讲加减法的巧算（二）第三讲乘法的巧算第四讲配对求和第五讲找简单的数列规律第六讲图形的排列规律第七讲数图形第八讲分类枚举第九讲填符号组算式第十讲填数游戏第十一讲算式谜（一）第十二讲算式谜（二）第十三讲火柴棒游戏（一）第十四讲火柴棒游戏（二）第十五讲从数量的变化中找规律第十六讲数阵中的规律第十七讲时间与日期第十八讲推理第十九讲循环第二十讲最大和最小第二十一讲最短路线第二十二讲图形的分与合第二十三讲格点与面积第二十四讲一笔画第二十五讲移多补少与求平均数第二十六讲上楼梯与植树第二十七讲简单的倍数问题第二十八讲年龄问题第二十九讲鸡兔同笼问题第三十讲盈亏问题第三十一讲还原问题第三十二讲周长的计算第三十三讲等量代换第三十四讲一题多解第三十五讲总复习第一讲加减法的巧算森林王国的歌舞比赛进行得既紧张又激烈。
选手们为争夺冠军，都在舞台上发挥着自己的最好水平。
台下的工作人员小熊和小白兔正在统计着最后的得分。
由于他们对每个选手分数的及时通报，台下的观众频频为选手取得的好成绩而热烈鼓掌，同时，观众也带着更浓厚的兴趣边看边猜测谁能拿到冠军。
观众的情绪也影响着两位分数统计者。
只见分数一到小白兔手中，就像变魔术般地得出了答案。
等小熊满头大汗地算出来时，小白兔已欣赏了一阵比赛，结果每次小熊算得结果和小白兔是一样的。
小熊不禁问：“白兔弟弟，你这么快就算出了答案，有什么决窍吗？”小白兔说：“比如2号选手是93、95、98、96、88、89、87、91、93、91，去掉最高分98，去掉最低分87，剩下的都接近90为基准数，超过90的表示成90+‘零头数’，不足90的表示成90－‘零头数’。
于是（93+95+96+88+89+91+93+91）÷8=90+（3+5+6―2―1+1+3+1）÷8=90+2=92。
你可以试一试。
”小熊照着小白兔说的去做，果然既快又对。
三年级奥数等差数列求和习题及答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：计算（三）等差数列求和知识精讲一、定义：一个数列的前n 项的和为这个数列的和。
二、表达方式：常用n S 来表示 。
三：求和公式：和=(首项+末项)⨯项数2÷，1()2n n s a a n =+⨯÷。
对于这个公式的得到可以从两个方面入手：(思路1)1239899100++++++11002993985051=++++++++共50个101（）（）（）（） 101505050=⨯= (思路2)这道题目，还可以这样理解：23498991001009998973212101101101101101101101+++++++=+++++++=+++++++和=1+和倍和 即，和 (1001)100 2 10150 5050=+⨯÷=⨯=。
四、中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。
譬如：① 48123236436922091800+++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209⨯；② 65636153116533233331089++++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333⨯。
例题精讲：例1：求和：（1）1+2+3+4+5+6 = （2）1+4+7+11+13=（3）1+4+7+11+13＋ (85)分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。
例如（3）式项数=（85-1）÷3+1=29和=（1+85）×29÷2=1247答案：（1）21 （2）36 （3）1247例2：求下列各等差数列的和。
知识概述在等差数列中：1、通项公式：第n项=首项+（n-1）×公差。
2、项数公式：项数=（末项-首项）÷公差＋1。
3、求和公式：和=（首项＋末项）×项数÷2。
4、中项定理：若某个等差数列的项数为奇数，则有中间数，中间数=（首项+末项）÷2，数列的和=中间数×项数。
5、常见结论：1+3+5+…+（2n+1）=n²1+3+5+…+n+…+3+2+1=n²经过观察与归纳找出数与图的规律。
观察是寻找规律不可少的手段，是发现本质、归纳规律的先导，有些问题解答不出来，究其原因，与其说是“想不出”，不如说是“看不出”。
在寻找规律的过程中，必须要高度重视对数、形、式等现象的观察，善于抓住问题的本质特征进行归纳，从而得出规律。
只有经过观察、思考和试算，发现数与数、图形与图形相互之间的关系，才能得到题目的答案。
同学们，通过学习，希望你在平时多积累，多归纳，善于发现、总结一些规律，因为学会发现往往比学会几道题目重要得多。
名师点题整数与数列例1观察下列各题，找到规律填空（1）1，5，11，19，29，________，55（2）1，3，4，7，11，18，_________，_________，76（3）11，22，43，84，165，________【解析】数列问题的求解关键是通过观察已知的项，找出数列的规律.（1）是递增的数列，相邻两项的差分别为4、6、8、10.容易看出相邻两项的差每次增加2，因此下一个差应该是10+2=12，补填的数应该是29+12=41.（2）每一项都等于前两项的和.所以空格里面应该填11+18= 29 ，29+18= 47.（3）观察会发现每个数的个位数字是很有规律的，分别是1，2，3，4，5，那么可大胆猜测空里的数个位是6，那么除了个位之外其它数位的规律在哪里呢？我们不妨把个位数字去掉，数列变成了1，2，4，8，16，…，相信同学们做到这里就豁然开朗了，没错，这个数列就是用两个很简单的数列拼合起来的，所以，空里的数字前几位应该是16×2=32，和6拼在一起，就是这道题的正确答案是326.例2利用求和公式求解下列3题：（1）11＋12＋13＋…＋31（2）1＋3＋5＋7＋…＋41（3）5＋8＋11＋14＋ (50)【解析】（1）这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）利用求和公式得到：原式=（11+31）×21÷2=441。
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三年级奥数下册：第六讲平均数问题习题三年级奥数下册：第七讲和倍问题习题
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三年级奥数下册：第十一讲鸡兔同笼问题习题三年级奥数下册：第十二讲盈亏问题习题
三年级奥数下册：第十三讲巧求周长习题
三年级奥数下册：第十五讲综合练习
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三年级奥数下册：第一讲从数表中找规律习题解答
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三年级奥数下册：第十四讲从数的二进制谈起习题
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第二讲 速算与巧算（二）本节课学习根据数的某些特点及运算定律、性质、公式等，把常规的计算转化为简便的计算． 在秋季的学习中，学生已经会正确地熟练地运用加减法的运算规律和性质，选用合理的、灵活的计算方法进行速算．本节课在以前学习的基础上对加减法的速算进行拓展，并初步介绍乘法速算方法．分析：365×9＝365×（10－1）＝3650－365＝3285（天）之前我们已经学习过了一些速算巧算的方法，首先我们对这些知识进行复习巩固．（1） 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变．（2） 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加， 再与第一个数相加，它们的和不变．（3） 在连减或者加减混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时要带数字前面的运算符号“搬家”．（4） 在加减法混合运算中，去括号时：如果括号前面是“＋”号，那么去掉括 号后，括号内的数的运算符号不变；如果括号前面是“－”号，那么去掉你还记得吗？教学目标小亮过九岁生日那天收到了很多礼物，妈妈问小亮： “如果按一年 365 天算，小亮你算算从你出生到现在一共度过了多少天？”小亮很快就口算出来了，同学们你们知道他是怎么算的吗？ 想 挑 战 吗 ？亲爱的同学们，你想一见到算式就能张口说出得数吗？你想让自己变得更聪明吗？你想拥有更多的时间去做自己喜欢的事吗？那么学习了一些速算技巧后你就可以把这些变成现实.来吧，让我们一起试试吧！括号后，括号内的数的运算符号“＋”变为“－”，“－”变为“＋”．（5）在加、减法混合运算中，添括号时：如果添加的括号前面是“＋”，那么括号内的数的原运算符号不变；如果添加的括号前面是“－”，那么括号内的数的原运算符号“＋”变为“－”，“－”变为“＋”．1．（1）358＋127＋142＋73（2）（1250＋49＋78）＋（51＋22＋1750）分析：（1）原式＝（358＋142）＋（127＋73）＝500＋200＝700（2）原式＝1250＋49＋78＋51＋22＋1750＝（1250＋1750）＋（49＋51）＋（78＋22）＝3000＋100＋100＝32002．（1）268－56－82－44－18（2）98－53＋102＋63分析：（1）原式＝268－（56＋44）－（82＋18）＝268－100－100＝68（2）原式＝（98＋102）＋（63－53）＝200＋10＝2103．（1）195＋196＋197＋198＋199＋15（2）196＋198－102－97分析：（1）原式＝（195＋5）＋（196＋4）＋（197＋3）＋（198＋2）＋（199＋1）＝200＋200＋200＋200＋200＝1000（2）原式＝（200－4）＋（200－2）－（100＋2）－（100－3）＝200＋200－100－100－4－2－2 ＋3＝195专题精讲（一）加、减法中的速算与巧算一、凑整法：凑整法就是将算式中的数分成若干组，使每组的运算结果都是整十、整百、整千……的数，再将各组的结果相加．1．移位凑整法．先把加在一起为整十、整百、整千……的数相加，然后再与其它的数相加．2．借数凑整法．有些算式中直接凑整不明显，这时可“借数”或“拆数”凑整．3．分组凑整法．把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去，或先减去那些与被减数有相同尾数的减数．“补数”就是两个数相加，如果恰好凑成整十、整百、整千……，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”．二、找“基准数”法：当几个数比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数”（要注意把多加的数减去，把少加的数加上）例1 （全国少年数学夏令营计算竞赛题）计算 376＋385＋391＋380＋377＋389＋383＋374＋366＋378分析：当许多大小不同，但彼此又比较接近的相加时，可以选择一个合适的数，最好是整十、整百、整千的数作为基准数，再找出每个加数与基准数的差，大于基准数的差要加上，小于基准数的差要减去， 使计算简便．本题中的数都接近或等于 380，所以取 380 为基准数，可得下面解法．原式＝(380－4)＋(380＋5)＋(380＋11)＋(380＋0)＋(380－3)＋(380＋9)＋(380＋3)＋(380－6)＋ (380－14)＋（380－2)＝380×10＋(5＋11＋9＋3)－(4＋3＋6＋14＋2)＝3800＋28－29＝3799[巩固]计算 78＋76＋83＋82＋77＋80＋79＋85分析：同学们要注意，当我们把几个比较接近的数相加时，可以先选一个与这些数都比较接近的数作为 “基准数”，把加法转化成乘法，以达到简化运算的目的，然后再把原来每个数与基准数的差距“多退少补”，修正过来．原式＝80×8－2－4＋3＋2－3＋0－1＋5＝640(全国小学数学奥赛计算竞赛题)计算：1234＋2341＋3412＋4123分析：观察所有的加数，可以发现本题中的每一个加数都是由 1，2，3，4 四个数字组成的数，并且每个数位上的数字都是由 1，2，3，4 四个不同的数字组成，这样四个数位上的数字之和都相等，都是 10， 所以，可得下面解法．原式＝(1＋2＋3＋4)×1000＋(1＋2＋3＋4)×100＋(1＋2＋3＋4)×10＋ (1＋2＋3＋4)×1＝10×1000＋10×100＋10×10＋10×1＝10000＋1000＋100＋10＝11110[拓展]计算 1＋22＋333＋4444＋5555＋666＋77＋8．分析： 原式＝(1＋4444＋5555)＋(333＋666＋1)＋(22＋77＋1)＋(8－1－1)＝10000＋1000＋100＋6＝11106．[小结]以上两道例题都是通过观察数，运用数的特征来进行速算与巧算的．加减运算要熟练和准确，不但要会笔算，还要会心算．心算是一种思维能力．心算好，脑子里能盘算的问题就多．这就要求同学们要熟练运用运算性质，并锻炼观察分辨数字特征的本领．(“我爱数学”夏令营计算竞赛试题)计算：(1＋11＋21＋31＋41)＋(9＋19＋29＋39＋49)分析：把第一个括号内的加数与第二个括号内的加数适当配对，1＋49＝50，11＋39＝50，21＋29＝50……每对数的和为 50，共 5 对．原式＝(1＋49)＋(11＋39)＋(21＋29)＋(31＋19)＋(41＋9)＝50×5＝250例 2 例3传说大数学家卡尔·弗里得利希·高斯(1777－1855)在很小的时候，就表现出非凡的数学才能．他 10 岁那一年，还是一个小学生．在一次算术课上，老师给所有的学生出一道题目：1＋2＋3＋…＋100一共等于多少？看谁算得快．老师刚把题目说完，小高斯就举起了手发言：这一百个数的和是 5050．同学们听到小高斯这样快得出结果，都用惊异与怀疑的目光看着他．只有老师心中明白，这个答案 是对的，是 5050．但是小高斯是怎样算出来的呢？连老师也有些惊异和怀疑了．小高斯告诉大家，他发现从 1～100 这一百个数，有一个奇妙的特性，那就是依次把头尾两个加起来都等于 101，而这样的数刚好有 50 对，那么，也就是在 1 到 100 这一百个数中共有 50 对 101，因此，这一百个数的总和就是50×101＝5050．那就让我们看看这一百个数吧：不正是小高斯所发现的情形吗？很多有名的数学家和科学家，他们都是从小就非常细心地观察和注意周围发生的各种现象，从这些现象里得到启示，因而后来有了重大的发现和发明．计 算 ： 1000－91－1－92－2－93－3－94－4－95－5－96－6－97－7－98－8－99－9分析：这道题用“移位凑整”的方法来速算就简单多了．把题目的 18 个减数移位后凑成 9 个 100，从而达到巧算的目的．1000－91－1－92－2－93－3－94－4－95－5－96－6－97－7－98－8－99－9＝1000－(91＋1＋92＋2＋93＋3＋94＋4＋95＋5＋96＋6＋97＋7＋98＋8＋99＋9)＝1000－[(91＋9)＋(92＋8)＋(93＋7)＋(94＋6)＋(95＋5)＋(96＋4)＋(97＋3)＋(98＋2)＋(99＋1)] ＝1000－(100×9)＝1000－900＝100在加减法混合算式与连减算式中，将减数先结合起来，集中一次相减，可简化运算．[小结]以上两道例题都是通过用移位凑整的方法来计算的．在秋季我们已经系统全面的学习过凑整的数学方法，当遇到数字比较多的计算题时，千万不要慌张，仔细审题，选择合适的方法进行巧算．计算：1＋2＋3＋…＋18＋19＋20分析：通过观察这道题我们会发现，所有的加数是一些连续的数按顺序排列着，每相邻两数的差都相等，求这列连续数的和．可采用“移位分组”的方法解．我们把 1 和 20，2 和 19，3 和 18……两个数一组；每组两个数的和都是 21；有 20 个数，每两个数一组，共有 10 组．因此，解法有二．（方法一）原式＝(1＋20)＋(2＋19)＋(3＋18)＋…＋(9＋12)＋(10＋11)＝21×10＝210一般地，像这样一类题，一列数的第一个数称为首项，最后一个数称为末项，这列数的个数称为项数．可归纳为一列连续数的和＝(首项＋末项)×项数÷2（方法二）原式＝(1＋20)×20÷2＝21×20÷2＝210[小故事]例4 例5计算：177－2－5－8－11－14－17－20分析：从 177 中连续减去几个数，可以先把所有的减数相加，再从被减数中减去它们的和．而这连续的几个减数，由于相邻两个数相差 3，所以可以把求这几个减数的和看成是求相邻差为 3 的连续数的和， 首项为 2，末项为 20，项数为 7，因此，可以这样解：原式＝177－(2＋5＋8＋11＋14＋17＋20)＝177－(2＋20)×7÷2＝177－77＝100[巩固]计算：4＋6＋8＋10＋…＋32＋34＋36(《小学生数学报》第一届数学竞赛计算试题)分析：这列数的首项是 4，末项是 36．每相邻两数的差都是 2，这列数一共有 17 个数，故项数是 17．这道题是求相邻差为 2 的 17 个连续自然数的和，可以这样解．原式＝(4＋36)×17÷2＝40×17÷2＝340[小结]以上两道例题都是求连续数的和，如果同学们掌握公式，则会给计算带来很大的方便．（二）乘法中的速算与巧算例6在一个晚会上，萧伯纳正在专心地想他的心事．坐在旁边的一个富翁不禁感到好奇，就问道：“萧伯纳先生，我愿出一美元，来打听你在想些什么．”“真抱歉，”萧伯纳回答说：“我想的东西真的不值一块钱．”富翁更加好奇了：“那么，你究竟在想什么呢？”萧伯纳不动声色地回答道：“我正在想着您啊！”乘法的运算律1. 乘法交换律：两个数相乘，交换两个数的位置，其积不变，即：a×b＝b×a2. 乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个数相乘后，再与后一个数相乘；或先把后两个数相 乘后，再与前一个数相乘，积不变．即a×b×c＝（a×b）×c＝a×（b×c）3. 乘法分配律：两个数之和（或差）与数相乘，可用此数先分别乘和（或差）中的各数，然后再把这两个积相加（或减）．即（a ＋b ）×c＝a×c＋b×c（a －b ）×c＝a×c－b×c计算下列各题： (1)17×4×25；(2)125×19×8； (3)125×72；(4)25×125×16．分析：由于 25×4＝100，125×8＝1000，125×4＝500，运用乘法交换律和结合律，在计算中尽量先把 25 与 4、把 125 与 8 或 4 结合起来相乘后，再与其它数相乘，以简化计算．(1)17×4×25＝17×（4×25）＝1700(2)125×19×8＝（125×8）×19＝19000(3)125×72＝125×8×9（这一步是把 72 分成 8×9，目的是把 125 与 8 结合）＝1000×9＝9000(4)25×125×16＝25×125×2×8＝(25×2)×(125×8)＝50×1000＝50000或 25×125×16＝25×125×4×4＝(25×4)×(125×4)＝100×500＝50000计算下列各题： (1)125×(40＋8)；(2)(100－4)×25； (3)2004×25；(4)125×792．分析：什么时候运用乘法分配律巧算呢？一般来说，两个数之和（或差）与一个数相乘，如果两数与这 个数相乘都便于计算，这时往往运用乘法分配律计算．(1)125×(40＋8)＝125×40＋125×8＝5000＋1000＝6000(2)(100－4)×25＝100×25－4×25＝2500－100＝2400(3)2004×25＝(2000＋4)×25＝2000×25＋4×25＝50100(4)125×792＝125×(800－8)＝125×800－125×8＝1000×100－1000＝1000×(100－1)＝99000例8 例7计算：156＋78×1994＋22×1996分析：把 156 拆成 78×2，这样，156＋78×1994＝78×2＋78×1994，可运用乘法分配律巧算了． 原式＝156＋78×1994＋22×1996＝78×2＋78×1994＋22×1996＝78×（2＋1994）＋22×1996＝78×1996＋22×1996＝1996×（78＋22）＝199600[拓展]80×1995－3990＋1995×22分析：把 3990 分解为 1995×2，这样，80×1995、2×1995、22×1995 中都有相同的乘数 1995，可以利用乘法分配律进行巧算原式＝80×1995－2×1995＋1995×22＝1995×（80－2＋22）＝199500计算：99999×22222＋33333×33334分析：把前一个加数中的 99999 分解成 33333×3，然后应用乘法分配律巧算． 原式＝33333×3×22222＋33333×33334＝33333×（66666＋33334）＝33333×100000＝3333300000[巩固]计算：99999×77778＋33333×66666分析：把 66666 分解为 2×33333，然后应用乘法分配律巧算． 原式＝99999×77778＋33333×3×22222＝99999×（77778＋22222）＝9999900000正确、迅速、合理的进行数的运算是同学们学习数学所必需达到的要求．怎样才能达到这个要求呢？ 首先要掌握好运算的性质和定律，才能在实际运算中运用的灵活自如；另外，还要养成“一看、二想、三选择”的良好习惯．“一看”就是仔细观察整个题目的运算符号、数据特点及它们之间的内在联系“二想”就是根据观察结果，联想与此相关的运算定律和性质，想能否运用运算定律和性质进行简便运算“三选择”就是在看和想的基础上，选择最佳的算法，从而达到灵活、合理的目的例9 例10专题展望计算是数学的“地基”，只有打牢这个“地基”，我们的数学大厦才能建高、建好！在数学计算中有许多好的方法技巧和规律，我们如果能理解掌握、灵活运用，“数学大厦”的地基就会为你的成长提供最好的帮助！关于速算与巧算在春季班还会有更精彩的内容，请继续关注吧！练习二1.计算下面各题(1) 1997＋1998＋19999＋2000＋2001＋2002＋2003(2)599996＋49997＋3998＋407＋89分析：（1）原式＝2000×7＝14000（2）原式＝600000－4＋50000－3＋4000－2＋400＋7＋90－1＝654490－3＝6544872.计算下面各题(1) 9998＋998＋99＋9＋6 (2)19＋299＋3999＋49999分析：（1）原式＝（10000－2）＋（1000－2）＋（100－1）＋（10－1）＋6＝10000＋1000＋100＋10＋（6－2－2－1－1）＝11110（2）原式＝（20－1）＋（300－1）＋（4000－1）＋（50000－1）＝54320－4＝543163.计算下面各题(1)1＋2＋3＋…＋29＋30 (2)1＋3＋5＋…＋47＋49＋51分析：（1）原式＝（1＋30）×30÷2＝465（2）原式＝（1＋51）×26÷2＝6764.用简便方法计算（1）12×4×25（2）125×13×8（3）125×56分析：（1）原式＝12×（4×25）＝12×100＝1200（2）原式＝（125×8）×13＝1000×13＝13000（3）原式＝125×8×7＝1000×7＝70005.用简便方法计算（1）125×（80＋4）（2）（100－8）×25（3）18×125分析：（1）原式＝125×80＋125×4＝10000＋500＝10500（2）原式＝100×25－8×25＝2500－200＝2300（3）原式＝（10＋8）×125＝10×125＋8×125＝1250＋1000＝2250推理小故事智破宝石案夏季的一天，女盗梅姑乔装改扮，混进珠宝拍卖会场，盗出 2 颗大钻石．一回到家，她马上将钻石放在水里做成冰块放在了冰箱里．因钻石是透明无色的，所以藏到冰块里，万一有警察来搜查也不易被发现．第二天，矶川侦探来了．“还是把你偷来的钻石交出来吧．珠宝拍卖现场的闭路电视已将化妆后的你偷盗时的情景拍了下来，虽然警察没看出是你化的妆，但你瞒不了我的眼睛，一看就知道是你．”矶川侦探说．“如果你怀疑是我干的，就在我的家搜好了，直到你满意为止．”梅姑若无其事地说．“今天真热呀，来杯冰镇可乐怎么样？”梅姑说着从冰箱里拿出冰块，每个杯子放了 4 块，再倒上可乐，递给矶川侦探一杯．将藏有钻石的冰块放到了自己的杯子里，即使冰块化了，钻石露出来，在喝了半杯的可乐下面是看不出来的，矶川侦探怎么会想到在他眼前喝的可乐中会藏有钻石呢，梅姑暗自盘算着．“那么，我就不客气了．”矶川侦探接过杯子喝了一口，下意识地看了一眼梅姑的杯子．“对不起，能换一下杯子吗？” “怎么！难道怀疑我往你的杯子里投毒了吗？”“不，不是毒．我想尝尝放了钻石的可乐是什么味道．”矶川侦探一下子从梅姑手里夺过杯子．冰块还没融化，那么矶川侦探是怎么看穿梅姑的可乐杯子里藏有钻石呢？答案见第三讲．第一讲“聪明的阿凡提”答案：在现实生活中，任何事情都遵循一个规律，要么是这，要么是那，不可能两者都是，这一规律叫排中律．如果珍珠在红盒子中，自然珍珠便不在黄盒子中，那么红盒子上的话和黄盒子上的话都是真话，这与“只有一句是真话”相矛盾，所以这是不可能的．如果珍珠在蓝盒子中，自然珍珠就不在红盒子和黄盒子中，那么蓝盒子和黄盒子上的话也都是真话．因此，这也是不可能的．因为珍珠在三个盒子中的一个盒子里，既然不在红盒子和蓝盒子里，那么一定在黄盒子里．同学们，你答对了吗？。
教学内容和要求：1、要求学生了解按一定次序排列的数都是数列，配对求和就是适用于数列求和法2、要求学生掌握配对求和公式：中间数×项数教学过程：1、准备题1+2+3= 4+5+6+7+8=24+25+26= 60+70+80+90+100=2.“项数”是单数的配对求和：例：68+69+70+71+72+73+74+75+76练习：①94+95+96+97+98②45+46+47+48+49+50+51③18+21+24+27+30+33+36+39+41④5+10+15+20+25+30+35⑤16+18+20+22+24+26+28+30+32例：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=（1+10）÷2×10=11÷2×10中间数项数18+19+20+……+42+43+44=（18+44）÷2×（44-18+1）中间数项数= 62÷2×27=31×27=837练习：①37+38+……+95②3+6+9+12+15+18+21+24+27+30③2+4+6+8+10+12+14+16+18+20+22+24④17+18+19+20+……+40例：800-1-9-2-8-3-7-4-6-5-5-6-4-7-3-8-2-9-1（1995+1993+1991+1989）-（1994+1992+1990+1988）练习：①460-33-61-67-39②496-24-65-35-76③274-68+126-14-18④（2+4+6+8......+100）-（1+3+5+7+ (99)例：明明用棋子摆了一个五层圈，每两层棋子的个数相差5个，最内层用了18个棋子，一共用了多少个棋子？练习：①小明练大字，第一次写10个，以后每天比前一天多写3个，那么他一周共写多少个大字？②小军看一本书，第一天看2页，以后每天比前一天多看2页，10天正好看完，这本书共有多少页？③有10个盒子，44个乒乓球，能不能将44个乒乓球放入盒中去，使各盒中乒乓球的数目不相等。
经典奥数题一、还原问题1、工程问题绿化队4天种树200棵，还要种400棵，照这样的工作效率，完成任务共需多少天？解答：200÷4=50 （棵）（200+400）÷50=12（天）【小结】归一思想．先求出一天种多少棵树，再求共需几天完成任务．单一数：200÷4=50 （棵），总共的天数是：（200+400）÷50=12 （天）．2.还原问题3个笼子里共养了78只鹦鹉，如果从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里，再从第2个笼子里取出6只放到第3个笼子里，那么3个笼子里的鹦鹉一样多．求3个笼子里原来各养了多少只鹦鹉?解答：78÷3=26（只）第1个笼子：26+8=34（只）第2个笼子：26-8+6=24（只）第3个笼子：26-6=20（只）二、楼梯问题1、上楼梯问题某人要到一座高层楼的第8层办事，不巧停电，电梯停开，如从1层走到4层需要48秒，请问以同样的速度走到八层，还需要多少秒？解答：上一层楼梯需要：48÷（4-1）=16（秒）从4楼走到8楼共走：8-4=4（层）楼梯还需要的时间：16×4=64（秒）答：还需要64秒才能到达8层。
2.楼梯问题晶晶上楼，从1楼走到3楼需要走36级台阶，如果各层楼之间的台阶数相同，那么晶晶从第1层走到第6层需要走多少级台阶？解：每一层楼梯有：36÷（3-1）＝18（级台阶）晶晶从1层走到6层需要走：18×（6-1）=90（级）台阶。
答：晶晶从第1层走到第6层需要走90级台阶。
三、页码问题1.黑白棋子有黑白两种棋子共300枚，按每堆3枚分成100堆。
其中只有1枚白子的共27堆，有2枚或3枚黑子的共42堆，有3枚白子的与有3枚黑子的堆数相等。
那么在全部棋子中，白子共有多少枚？解答：只有1枚白子的共27堆，说明了在分成3枚一份中一白二黑的有27堆；有2枚或3枚黑子的共42堆，就是说有三枚黑子的有42-27=15堆；所以三枚白子的是15堆：还剩一黑二白的是 100-27-15-15=43堆：白子共有：43×2+15×3=158（枚）。
第二讲数列求和知识导航德国有一位世界著名的数学家叫高斯（公元1777年-1855年）。
他上小学的时候,老师出了一个题目,1+2+…+99+100＝？小高斯看了看,又想了想,很快说出结果是5050。
同学们,你们知道他是怎么算出来的吗？原来小高斯在认真审题的基础上,发现题目的特点。
像高斯的老师所出的题目那样,按一定次序排列的一列数叫做数列。
数列中的数称为项,第一个数叫第一项,又叫首项;第二个数叫第二项;……,最后一个数叫末项。
如果一个数列从第二项开始,每一项与它前一项的差都相等,就称这个数列为等差数列。
后项与前项的差叫做这个数列的公差。
如：1,2,3,4,…是等差数列,公差为1;2,4,6,8,…是等差数列,公差为2;5,10,15,20,…是等差数列,公差为5。
进一步,小高斯发现了这样的关系：1+100＝101,2＋99＝101,3＋98＝101,…,50＋51＝101。
一共有多少个101呢？100个数,每两个数是一对,共有50个101。
所以：1＋2＋3＋…＋98+99+100＝101×50即, 和= (100＋1)×(100÷2)＝101×50＝5050这道题目,我们还可以这样理解：即,和= (100＋1)×100÷2＝101×50＝5050由高斯的巧算可得出等差数列的求和公式：总和＝(首项+末项)×项数÷2这样,由于高斯发现了巧算的方法,所以他最先得出了正确的答案。
因此,同学们要想算得正确、迅速,方法合理、灵活,不仅要掌握数与运算的定律、性质,而且要善于观察,认真审题,注意发现题目的特点。
例题精讲【例1】找找下面的数列有多少项？（1）2、4、6、8、……、86、98、100（2）3、4、5、6、……、76、77、78（3）4、7、10、13、……、40、43、46（4）2、6、10、14、18、……、82、86分析：（1）我们都知道：1、2、3、4、5、6、7、8、……、95、96、97、98、99、100 这个数列是100项,现在不妨这样去看：（1、2）、（3、4）、（5、6）、（7、8）、……、（95、96）、（97、98）、（99、100）,让它们两两一结合,奇数在每一组的第1位,偶数在第2位,而且每组里偶数比奇数大,小朋友们一看就知道,共有100÷2=50组,每组把偶数找出来,那么原数列就有50项了。
第二讲数列求和小学数学三年级下册竞赛试题人教版试题下载试题预览基础班练习二1．求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。
解答：（93－5）÷4+1=23，（93+5）×23÷2=11272．求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。
解答：13+5×（30－1）=158 ，（13+158）×30÷2=25653．某剧院有20排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排有70个座位，这个剧院一共有多少个座位？解答：1020个座。
4．某建筑工地堆放着一些钢管，最上面一层有3根，最下面一层有29根，而且下面的每一层比上面的一层多2根，这些钢管一共多少根？解答：224根。
5．巧算下题：5000-2-4-6-…-98-100解答：原式=5000-（2＋4＋6+…+98+100）=5000-（2＋100）×50÷2=5000-2550=24506．已知：a=1+3+5+……+99+101，b=2+4+6+……+98+100，则a、b两个数中，较大的数比较小的数大．解答：大51 。
精英班练习二1．求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。
解答：13+5×（30－1）=158 ，（13+158）×30÷2=25652．某剧院有20排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排有70个座位，这个剧院一共有多少个座位？解答：1020个座。
3．巧算下题：5000-2-4-6-…-98-100解答：原式=5000-（2＋4＋6+…+98+100）=5000-（2＋100）×50÷2=5000-2550=24504．时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟敲一下。
问：时钟一昼夜打多少？解答：（1+2+3+…+12）+12=90，90×2=180。
5．已知：a=1+3+5+……+99+101，b=2+4+6+……+98+100，则a、b两个数中，较大的数比较小的数大．解答：大51 。
第二讲数列求和知识导航德国有一位世界著名的数学家叫高斯（公元1777年-1855年）。
他上小学的时候，老师出了一个题目，1+2+…+99+100＝？小高斯看了看，又想了想，很快说出结果是5050。
同学们，你们知道他是怎么算出来的吗？原来小高斯在认真审题的基础上，发现题目的特点。
像高斯的老师所出的题目那样，按一定次序排列的一列数叫做数列。
数列中的数称为项，第一个数叫第一项，又叫首项；第二个数叫第二项；……，最后一个数叫末项。
如果一个数列从第二项开始，每一项与它前一项的差都相等，就称这个数列为等差数列。
后项与前项的差叫做这个数列的公差。
如：1，2，3，4，…是等差数列，公差为1；2，4，6，8，…是等差数列，公差为2；5，10，15，20，…是等差数列，公差为5。
进一步，小高斯发现了这样的关系：1+100＝101，2＋99＝101，3＋98＝101，…，50＋51＝101。
一共有多少个101呢？100个数，每两个数是一对，共有50个101。
所以：1＋2＋3＋…＋98+99+100＝101×50即，和= (100＋1)×(100÷2)＝101×50＝5050这道题目，我们还可以这样理解：即，和= (100＋1)×100÷2＝101×50＝5050由高斯的巧算可得出等差数列的求和公式：总和＝(首项+末项)×项数÷2这样，由于高斯发现了巧算的方法，所以他最先得出了正确的答案。
因此，同学们要想算得正确、迅速，方法合理、灵活，不仅要掌握数与运算的定律、性质，而且要善于观察，认真审题，注意发现题目的例题精讲【例1】找找下面的数列有多少项？（1）2、4、6、8、……、86、98、100（2）3、4、5、6、……、76、77、78（3）4、7、10、13、……、40、43、46（4）2、6、10、14、18、……、82、86分析：（1）我们都知道：1、2、3、4、5、6、7、8、……、95、96、97、98、99、100 这个数列是100项，现在不妨这样去看：（1、2）、（3、4）、（5、6）、（7、8）、……、（95、96）、（97、98）、（99、100），让它们两两一结合，奇数在每一组的第1位，偶数在第2位，而且每组里偶数比奇数大，小朋友们一看就知道，共有100÷2=50组，每组把偶数找出来，那么原数列就有50项了。
（2）连续的自然数列，3、4、5、6、7、8、9、10……，对应的是这个数列的第1、2、3、4、5、6、7、8、……，发现它的项数比对应数字小2，所以78是第76项，那么这个数列就有76项。
对于连续的自然数列，它们的项数是：末项—首项+ 1 。
（3）配组：（4、5、6）、（7、8、9）、（10、11、12）、（13、14、15）、……、（46、47、48），注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有48-4+1=45项，每组3个数，所以共45÷3=15组，原数列有15组。
当然，我们还可以有其他的配组方法。
（4）22项．对于一个等差数列的求和，在许多时候我们不知道的往往是这个数列的项数。
这种找项数的方法在学生学习了求项数公式后，也许稍显麻烦，但它的思路很重要，对于以后学习数论知识有较多的帮助。
希望教师能帮助孩子牢固掌握。
【例2】计算下列各题：（1）2＋4＋6＋…＋96＋98＋100（2）2＋5+8+…＋23+26＋29分析：（1）这是一个公差为2的等差数列，首项是2，末项是100，项数为50。
所以：2+4+6＋…+96＋98+100＝(2+100)×50÷2＝2550（2）这是一个公差为3，首项为2，末项为29，项数是10的等差数列。
所以：2＋5＋8＋…+23+26＋29＝(2+29)×10÷2＝155其实在这里，我们还有一个找项数的公式。
那么让我们一起从等差数列的特性来找找吧！【例3】你能找出几个等差数列的特征？从你的结果中，你能找到等差数列求项数的公式么？分析：我们都知道，所谓等差数列就是：从第二项开始，每一项与它前一项的差都相等，那么我们可以得第2项=首项+公差= 首项+公差×1第3项=第2项+公差= (首项+公差)+公差=首项+公差×2第4项=第3项+公差= (首项+公差×2)+公差=首项+公差×3第5项=第4项+公差= (首项+公差×3)+公差=首项+公差×4第6项=第5项+公差= (首项+公差×4)+公差=首项+公差×5……第n项=首项+公差×（n-1）……末项=首项+公差×(项数—1)末项—首项=公差×(项数—1)项数=(末项—首项)÷公差+1通过上面的分析，我们还可以发现：第4项－第3项=公差×1第5项－第3项=公差×2第6项－第3项=公差×3第6项－第2项=公差×4第n项－第3项=公差×（n-3）第n项－第m项=公差×（n－m），（n＞m）由此，我们便得到了，等差数列的求项数公式和其它一些公式关系，大家不要死记硬背，一定要理解运用。
【例4】利用上题得到的结论计算下面结果。
（1）3、5、7、9、11、13、15、……，这个数列有多少项？它的第102项是多少？（2）0、4、8、12、16、20、……，它的第43项是多少？（3）已知等差数列2、5、8、11、14 …，问47是其中第几项？（4）已知等差数列9、13、17、21、25、…，问93是其中第几项？分析：（1）它是一个无限数列，所以项数有无限多项。
第n项=首项+公差×（n-1），所以，第102项=3+2×（102-1）= 205 ；（2）第43项=0+4×（43-1）= 168 。
（3）首项=2 ，公差=3 ，我们可以这样看：2、5、8、11、14 …、47 ，那么这个数列有：n=（47-2）÷3+1=16 ，（熟练后，此步可省略），即47是第16项。
其实求项数公式，也就是求第几项的公式。
【例5】（1）如果一等差数列的第4项为21，第6项为33，求它的第8项.（2）如果一等差数列的第3项为16，第11项为72，求它的第6项.分析：要求第8项，必须知道首项和公差。
第6项－第4项=（6－4）×公差，所以，公差= 6 ；第4项=首项+3×公差，21=首项+3×6 ，所以，首项=3 ；第8项=首项+7×公差=45 。
（2）公差=7，首项=2，第6项=37。
【例6】（1）（第二届“迎春杯”刊赛）从401到1000的所有整数中，被8除余数为1的数有_____个？（2）（第五届迎春杯刊赛）1至100各数，所有不能被9整除的自然数的和是____？分析：在讲解此题之前，教师可先引入【附1】；因为被8除余数为1的整数组成公差是8的等差数列，最小的是401，最大的是993，于是项数=(993—401)÷8+1=75．（2）在1至100中，被9整除的数的和是：9+18+27+…+99=9×(1+2+3+…+11)=9×66=594；1至100各数之和是：1+2+3+…+100=5050；所以在1至100的各数中，所有不能被9整除的数的和是：5050—594=4456．【例7】计算各数列的和：（1）3＋4＋5＋…＋99＋100（2）4＋8＋12＋…＋32＋36（3）65＋63＋61＋…＋5＋3+1分析：（1）项数：（100－3）÷1＋1=98 ；和：（3+100）×98÷2=5047 ；（2）项数：（36－4）÷4＋1=9 ；和：（4+36）×9÷2=20×9=1800 ；（3）项数：（65－1）÷2＋1=33 ；和：（1+65）×33÷2=33×33=1089 。
题目做完以后，我们再来分析一下，（2）题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于20×9，（3）题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于33×33，其实，这并不是偶然的现象，关于中项有如下定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首相与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。
这个定理称为中项定理.每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少块？分析：如果我们把每层砖的块数依次记下来，2，6，10，14，…容易知道，是一个等差数列。
2106是第n=（2106-2）÷4+1=527层，中间一层是第（527+1）÷2=264层，那么中间一层有：2+（264-1）×4=1054块，这堆砖共有：1054×527=555458（块）。
【例9】计算：（1）（1+3+5+……+1997+1999）一（2+4+6+……1996+1998）（2）4000-5-10-15-…-95-100分析：（1）法1：第一个数列的项数1000，第二个数列的项数为999，利用求和公式得：（1+1999）×1000÷2-（2+1998）×999÷2=1000 。
方法2：第一个括号内共有1000个数，第二个括号内有999个数。
把1除外，第一个括号内的各数依次比第二个括号里相应的数大1，因此可简捷求和。
原式=1+(3-2)+(5-4)+……+(1999-1998)=l+1+1+……+1 (共1000个1)=1000（2）分析：通过观察可知，题目中的减数可以组成等差数列，所以，可先求这些减数的和，再从被减数中减去这个和。
4000-5-10-15-…-95-100＝4000-(5+10+15＋…＋95+100)＝4000-(5+100)×(20÷2)＝4000-1050＝2950。
当一个数连续减去几个数，这些减数能组成等差数列时，可以先求这些减数的和，再从被减数中减去这个和。
【例10】把自然数按下面形式排列，它的第一行是1、2、4、7、11……那么第一行的第100个数是几? 1，2，4，7，1l，……3，5，8，12，……6，9，13，……10，14，……15，…………分析：观察上面数的排列规律，从右上方到左下方看斜行，依次是1，(2，3)，(4，5，6)，(7，8，9，10)，……各斜行数的个数顺次是1，2，3，4，……所以第一行的第100个数，正好是第100个斜行的第一个数。
