量子物理a
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量子物理知识点总结
量子物理知识点总结一、量子物理的基本概念1. 量子的概念量子是指微观世界的基本粒子在能量、动量、角动量等物理量上的离散化。
按照量子理论的观点，能量、动量、角动量等物理量并不是连续的，而是以最小单位的量子数为单位进行变化，这个最小单位就称为量子。
在量子理论中，物质和辐射都具有波粒二象性，在某些场合下可以表现出波动性，在另一些场合下又可以表现出粒子性。
2. 波函数和波动方程在量子力学中，波函数是用来描述微观粒子的行为和性质的一种物理量。
波函数的数学表达形式是薛定谔方程，它描述了微观粒子在外场作用下的运动规律。
波函数不但可以给出微观粒子的位置、动量、能量等物理量，还可以用来解释微观世界中的诸多现象。
3. 不确定性原理不确定性原理是量子力学的基本原理之一，由海森堡提出。
它指出，对于一对共轭变量，如位置和动量、能量和时间等，不可能同时精确地确定它们的数值。
也就是说，我们不能同时确定一个微观粒子的位置和动量，或者同时确定它的能量和时间。
这一原理对于我们理解微观世界的自然规律有着深远的影响。
二、量子力学1. 粒子的波函数和哈密顿量在量子力学中，粒子的波函数是描述粒子状态的重要物理量。
它满足薛定谔方程，在外场作用下会发生演化。
哈密顿量则是用来描述物质在外场作用下的总能量，包括动能和势能等。
2. 角动量和自旋在量子力学中，角动量和自旋是微观粒子的两个重要性质。
它们满足一系列的代数关系，如角动量算符与角动量本征态的关系等，对于理解微观粒子的行为和性质有着重要的作用。
3. 平移不变性和动量平移不变性是指在空间中进行平移操作后，物理规律不发生改变。
在量子力学中，平移不变性导致了动量的守恒定律，即粒子在外场作用下的动量是守恒的。
4. 动力学和量子力学中的测量问题在量子力学中，测量是一个非常重要的问题。
在经典物理学中，我们可以通过测量来准确地确定物体的位置、速度等物理量，但在量子力学中，由于不确定性原理的存在，我们不能够同时确定一对共轭变量，因此在测量过程中会对微观粒子的状态产生影响。
量子物理概念的理解
量子物理概念的理解
量子物理是研究微观世界中微粒（如原子、分子）行为的物理学。
它与经典物理学不同，因为它考虑到了微观领域中的量子效应。
1、波粒二象性：根据量子物理，微观粒子既可以表现出粒子性质，也可以表现出波动性质。
例如，光既可以被看作粒子（光子），也可以被看作波动（电磁波）。
2、粒子叠加态：在量子物理中，微观粒子可以存在于多个状态的叠加态中，直到被测量。
例如，一个电子可以同时处于不同位置的叠加态，直到测量它的位置。
3、测量和量子不确定性原理：在量子物理中，测量一个微观粒子的某个属性会导致其他属性的不确定性增加。
例如，确定一个粒子的位置会增加其动量的不确定性，或者确定其动量会增加其位置的不确定性。
4、能级和量子行为：在原子和分子系统中，电子存在于能级中，而不是在特定位置。
这使得电子只能在这些能级之间跃迁，并只能吸收或放射特定能量的光子。
5、纠缠和量子纠缠：量子纠缠是一种特殊的量子现象，其中两个或更多个微观粒子之间存在一种非常强的关联，无论它们之间的距离有多远。
纠缠的粒子之间的状态是相关的，改变一个粒子的状态会瞬间影响另一个粒子的状态。
这些概念只是量子物理中一小部分的例子，但它们展示了量子物理的非经典性和微观领域的奇特行为。
尽管量子物理的理解仍然有很多未解之谜，但它已经在科学和技术领域的许多方面取得了重大突破，如量子计算、量子通信和量子传感器等。
什么是量子物理学？
什么是量子物理学？量子物理学是研究微观领域中量子力学的一门学科，它探究的物理现象通常在日常生活中很难直接感知到。
这个领域涉及到的东西是很有道理的，但是对很多人来说可能会有些难以理解。
下面我们来详细地解释一下量子物理学的一些基本概念，希望能让更多的人了解量子物理学。
1.说明量子物理学的概念。
量子物理学是研究微观领域中物体及其相互作用的科学。
它为其他任何领域的科学提供了基础，涉及到基本的粒子和力的互动方式，还探究了能量，动量和角动量的量子性质。
2.量子物理学的研究对象量子物理学的研究对象是微观领域中的物体，涉及到原子、分子及其中的基本粒子-电子、质子、中子等。
这些物体的尺寸非常小，无法用人眼直接观察到，其存在与性质都需要通过精密的仪器和复杂的数学模型进行推导和预测。
3.量子物理学的基本概念量子物理学涉及到一些基本概念，比如量子态、波粒二象性、量子纠缠等。
其中波粒二象性是很有趣的一种现象，说明物质既可以表现为粒子也可以表现为波动。
这种现象也解释了光的二象性，即它既具有粒子的特性，也具有波的特性。
量子态和量子纠缠则是更加复杂的概念，它们涉及到量子力学中相互作用的本质，能够影响到粒子的行为规律。
4.量子物理学的应用虽然量子物理学的研究对象在人类生活的尺度上很小，但是它的应用却是非常广泛的。
比如，量子物理学技术已经在半导体、光伏和探测等领域的创新和发展中发挥了关键作用，它对计算机、通信和安全领域的进展也有着深远的影响。
除此之外，在太空、能源和医疗等领域也有着诸多应用和前景。
5.量子物理学的未来量子物理学作为一门基础学科，其研究在未来将继续得到拓展和发展。
作为科技领域的前沿，量子计算、量子通信、量子模拟等领域的研究将带来更多前沿科技的变革。
此外，我们也期待更多跨学科的交流和合作，以便将技术转化，用于更广泛的应用，并创造出更大的价值。
总体而言，量子物理学虽然是一门比较复杂的学科，但是它的研究成果却在许多领域都发挥着积极的作用，涉及到科学、技术和社会等多个维度。
量子物理学的基础知识
量子物理学的基础知识量子物理学是一个全新的科学领域，它研究的是微观粒子的行为，如电子、质子、中子和光子等。
在这个领域，有很多有趣的现象和理论，如量子纠缠、量子隧道和双缝干涉等，它们都是我们理解这个世界的一部分。
接下来，让我们深入探讨量子物理学的基础知识。
1. 波粒二象性波粒二象性是指微观粒子既像波动又像粒子。
这种现象最早被德国物理学家德布罗意在1924年提出。
他认为，电子在某些情况下会表现出波动性，如经过双缝实验时，电子会在屏幕上形成干涉条纹，显示出波动性。
但是，在其他情况下，电子又会表现出粒子性，如在湮灭中，电子表现为一个点状物体，显示出粒子性。
这种波粒二象性是几乎所有微观粒子都具有的。
2. 不确定性原理不确定性原理是量子物理学中最著名的理论之一。
它由德国物理学家海森堡于1927年提出。
不确定性原理指出，在任何时候，我们都不能完全确定一个粒子的位置和动量。
粒子的位置可以测量出来，但是这会在一定程度上破坏粒子的动量。
而如果我们要测量粒子的动量，又会影响粒子的位置。
因此，不确定性原理告诉我们，在微观世界中，一切都是不确定的。
3. 纠缠态纠缠态是指两个微观粒子之间的一种特殊状态。
在这种状态下，两个粒子之间存在着一种神秘的联系。
当其中一个粒子发生变化时，另一个粒子也会立即发生相应的变化，即使它们之间的距离很远。
这种现象被称为“量子纠缠”。
纠缠态是量子通信和量子计算的关键。
在量子通信中，我们可以使用纠缠态来保证信息的安全性。
在量子计算中，我们可以利用纠缠态进行量子并行计算，加快计算速度。
4. 双缝干涉实验双缝干涉实验是理解波粒二象性的一个重要实验。
在这个实验中，光子或电子被射向一块屏幕，在屏幕上有两个狭缝。
当光子或电子通过这两个狭缝中的任意一个时，它们会在屏幕上形成两个互相干涉的波峰和波谷。
如果我们关闭其中一个狭缝，光子或电子就会像粒子一样在屏幕上形成单一的点状图案。
这表明，微观粒子具有波动性和粒子性两个不同的方面。
量子物理
量子物理（量子力学Quantum Physics），是研究物质世界微观粒子运动规律的物理学分支，主要研究原子、分子、凝聚态物质，以及原子核和基本粒子的结构、性质的基础理论它与相对论一起构成现代物理学的理论基础。
量子力学不仅是现代物理学的基础理论之一，而且在化学等学科和许多近代技术中得到广泛应用。
20世纪，量子力学给我们提供了一个物质和场的理论，它改变了我们的世界；展望21世纪，量子力学将继续为所有的科学提供基本的观念和重要的工具。
有一句打趣的话“遇事不决，量子力学。
”量子力学和相对论是20世纪物理学界的两大科学支柱，修正了牛顿的经典物理学只能使用了宏观低速物体的缺陷，深入物体的本质，解释了微观高速的原子以及原子核的理论，而20世纪以来，一直是哥本哈根学派所推崇的量子力学占据上风。
量子力学认为能量是解决一切反常现象的关键，整个宇宙就是一个能量的大合体，而难以解释的量子纠缠其实就是同一个粒子在不同宇宙的映射罢了，而不是一种简单的叠加状态，量子纠缠是分裂宇宙的证据。
微观粒子的运动具有波粒二象性和不确定性原理，应该利用波函数来解释粒子的存在和运动。
就像原子核外的电子云排布是随机有概率的，我们只能预测下一次原子在哪里出现的可能性大，却不能准确得出下一秒原子会去往哪里，每一个量子态的测量都有不同的结果。
量子不确定性原理使得你无法预知一个微观粒子未来的状态，正如爱因斯坦所说的：上帝不玩骰子，但是量子力学让我们不得不相信，上帝似乎是玩骰子的。
这些都暗示人类对量子的测量行为会破坏量子的叠加状态，但不能说物质是由于人类的意识而存在，而是因为不确定性原理，每一次的观测都存在偶然性，不能准确的预测出未来的发展状态，人类的意识是宇宙能量的一部分，每个人都与量子之间存在千丝万缕的联系，会影响今后的发展。
量子物理知识点总结
量子物理知识点总结量子物理是物理学中的一个重要分支，研究的是微观世界中微粒的行为和性质。
在量子物理的研究中，有许多重要的知识点。
本文将对量子物理的一些知识点进行总结和概述。
一、波粒二象性波粒二象性是指微粒既可以表现出波动性，又可以表现出粒子性。
这一概念是量子物理的基础，也是量子物理与经典物理的重要区别之一。
根据波粒二象性，微粒既可以像粒子一样具有确定的位置和动量，又可以像波一样具有干涉和衍射现象。
二、量子态和波函数在量子物理中，量子态描述了微粒的状态。
量子态可以用波函数来表示，波函数是描述微粒状态的数学函数。
波函数的平方表示了微粒在不同位置出现的概率。
波函数的演化遵循薛定谔方程，可以用来描述微粒随时间的变化。
三、不确定性原理不确定性原理是量子物理中的一个重要原理，由海森堡提出。
不确定性原理指出，在一些物理量的测量中，位置和动量、能量和时间等一对共轭变量无法同时精确确定。
不确定性原理揭示了微观世界的固有不确定性，限制了对微粒状态的完全确定。
四、量子纠缠量子纠缠是量子物理中的一个重要现象，描述了两个或多个微粒之间的特殊关系。
当两个微粒发生纠缠后，它们之间的状态是相互关联的，无论它们之间有多远的距离，改变其中一个微粒的状态都会立即影响到另一个微粒的状态。
量子纠缠被广泛应用于量子通信和量子计算等领域。
五、量子隧穿效应量子隧穿效应是量子物理中的一个重要现象，描述了微粒在势垒或势阱中具有穿透性的行为。
在经典物理中，微粒遇到高于其能量的势垒或势阱时会被完全反射或完全吸收。
但在量子物理中，微粒具有一定的概率穿越势垒或势阱，即使其能量低于势垒或势阱的高度。
六、量子态的量子叠加和量子重叠量子态的量子叠加是指一个量子系统可以处于多个状态的叠加态。
量子重叠是指两个或多个量子态之间的相互干涉现象。
量子叠加和量子重叠是量子物理的核心概念之一，也是量子计算和量子信息领域的基础。
七、量子计算和量子通信量子计算和量子通信是量子物理的两个重要应用领域。
量子物理简介
量子物理简介量子物理是一门研究微观领域物理现象的学科，它描述了微观粒子的行为和性质，如电子、质子和光子等。
量子物理的发展为我们理解自然界的基础原理提供了新的视角，深刻改变了人们对物质和能量的认识。
本文将简要介绍量子物理的基本概念，以及其对科学和现代技术的影响。
一、波粒二象性量子物理的基石是波粒二象性的概念。
根据波粒二象性，微观粒子可以同时呈现出粒子和波的性质，具有粒子特点时表现为实体物质，而具有波特点时表现为在空间中的传播波动。
这一概念的提出颠覆了经典物理学中关于粒子和波的划分，揭示了微观世界不可预测和模糊的本质。
二、不确定性原理不确定性原理是量子物理的重要原则之一，由德国物理学家海森堡在1927年提出。
不确定性原理指出，在对于某个微观粒子的测量中，无法同时确定它的位置和动量的精确值。
换言之，我们无法完全确定一个粒子的位置和速度，只能知道它们的概率分布。
这一原理揭示了自然界的不确定性和概率性特征。
三、量子力学量子力学是描述微观粒子行为和性质的理论框架。
它由一系列数学表达式和方程组成，能够对微观粒子的波函数进行描述和计算。
通过量子力学理论，我们可以精确描述和预测微观粒子在不同状态下的行为，如能级跃迁、粒子激发和相互作用等。
量子力学是现代物理学的基石，对于解释和理解微观世界中的各种现象具有重要意义。
四、量子纠缠量子纠缠是量子物理中的一个重要概念，描述了两个或多个微观粒子之间存在着非常特殊的联系。
当两个纠缠粒子中的一个发生改变时，另一个粒子也会瞬间发生相应的改变，无论它们之间的距离有多远。
这种非局域性的联系挑战了人们对于信息传递速度的常识，也成为了量子通信和量子计算领域的基础。
五、量子技术的应用量子物理的发展不仅仅在理论层面有重要贡献，也推动了现代科技的发展。
量子技术包括量子计算、量子通信、量子加密和量子测量等领域。
量子计算利用了量子的并行计算和叠加态的特性，能够在某些特定情况下解决传统计算机无法处理的问题。
量子物理学的基本原理和应用
量子物理学的基本原理和应用量子物理学是物理学的一个分支领域，主要研究微观粒子的行为和性质。
与经典物理学相比，量子物理学的概念和理论更加抽象和深奥。
本文将介绍量子物理学的基本原理和应用。
一、量子物理学的基本原理量子物理学的基本原理有三个：波粒二象性、不确定性原理和量子纠缠。
1. 波粒二象性波粒二象性是指微观粒子既具有粒子的实体性，又具有波动的波动性质，例如光既可以表现为电磁波，也可以表现为粒子。
在波粒二象性的概念下，物质的粒子特征和波特征是统一的整体，微观粒子本身没有固定的本质。
2. 不确定性原理不确定性原理是指在测量一个微观粒子的位置和动量时，这两个物理量是无法精确确定的，测量结果的不确定度是成正比例的。
在不确定性原理的概念下，微观粒子的本质是模糊的，测量结果的不确定性也是微观粒子本身的属性之一。
3. 量子纠缠量子纠缠是指两个或更多个微观粒子之间存在的一种相互作用，使得它们之间的特定物理量是相关的，无论它们之间有多远的距离。
量子纠缠的概念在量子通信和量子计算中具有重要意义。
二、量子物理学的应用量子物理学在科技和产业界有广泛应用，例如量子通信、量子计算、量子传感器和量子存储器等。
1. 量子通信量子通信是一种利用量子力学原理实现的安全通信方式，能够保证通信的机密性和完整性，是目前最安全的通信方式之一。
量子通信的实现需要利用量子纠缠和量子密钥分发等技术。
2. 量子计算量子计算是一种基于量子力学原理实现的高效计算方式，能够在指数级时间内完成一些复杂问题的计算，例如分解大素数等。
目前量子计算的实现还面临着很多技术和理论上的挑战，需要更加深入的研究和探索。
3. 量子传感器量子传感器是一种利用量子力学原理实现的高灵敏度和精度的传感器。
目前已经有多种量子传感器被开发和应用，例如量子陀螺仪、量子磁力计、量子计时器和量子压力计等。
4. 量子存储器量子存储器是一种利用微观粒子的量子状态来存储和传输信息的存储方式，具有高效和高安全性的特点。
量子物理基本概念及原理
量子物理基本概念及原理量子物理是关于微观世界的科学，研究微观粒子的行为和性质。
它是现代物理学中最重要的分支之一，涉及到原子、分子、基本粒子等微观尺度的现象和现象解释。
1. 粒子波动性在经典物理中，物体被认为是粒子，具有确定的质量和轨迹。
然而，量子物理揭示了微观粒子的波动性。
根据德布罗意假说，所有粒子都具有波动性。
这意味着粒子在空间中的位置不能精确地确定，而是呈现出一定范围内的概率分布。
粒子的波动性可以通过波函数来描述，波函数的平方值表示了粒子出现在某一位置的概率。
2. 不确定性原理不确定性原理是量子物理中的基本原理之一，由海森堡提出。
它指出，对于一对互相关联的物理量，如位置和动量、能量和时间等，在同一时刻是不可能同时精确测量的。
测量其中一个物理量的精确值，将导致另一个物理量的不确定性增大。
这种不确定性不是测量工具的限制，而是自然界的本质。
3. 粒子间的量子纠缠量子纠缠是量子物理中一个引人注目的现象。
当两个或多个粒子处于纠缠状态时，它们的状态将变得相互关联，无论它们之间的距离有多远。
纠缠的状态在测量一个粒子时会立即影响到另一个粒子，即使它们之间的信息传递速度超过了光速。
爱因斯坦曾形容这种现象为“鬼魅般的远程作用”。
4. 量子隧道效应量子隧道效应是指微观粒子在经典力学理论下无法穿过的物理屏障，却可以通过量子力学中的隧道效应透过去。
这种现象是由于波粒二象性的存在，粒子可以被视作波动函数在空间中的传播。
因此，即使在经典物理学中无法通过的物理障碍物，在量子物理中也存在一定概率的通过。
5. 波函数坍缩当对一个粒子进行观测测量时，根据量子力学的波函数坍缩原理，粒子的波函数会突然坍缩到表征某个确定状态的一个特定值上。
在观测之前，粒子处于叠加态，即可能处于多个状态之一。
观测会导致波函数选择其中一种状态，并且不能预测是哪一种状态。
总结起来，量子物理是一门研究微观世界行为和性质的科学。
它揭示了微观粒子的波粒二象性以及量子纠缠、量子隧道效应等奇特现象。
量子物理的重要概念是
量子物理的重要概念是量子物理是研究微观世界的物理学科，它描述了微观粒子的行为和性质。
量子物理有一些重要的概念，以下将详细介绍其中的五个。
首先是量子态。
在量子物理中，一个物理系统的状态被描述为一个量子态。
量子态可以是相干叠加态，也可以是非相干态。
相干叠加态是指不同的量子态之间可以通过叠加而形成的态，而非相干态则是指不同态之间不能通过叠加形成的态。
量子态可以用波函数来描述，波函数是一个数学函数，它包含了关于物理系统的全部信息。
量子态的演化是量子物理的第二个重要概念。
量子系统的演化是指它从一个状态转变为另一个状态。
量子态的演化可以由薛定谔方程描述，薛定谔方程是描述量子系统演化的基本方程。
薛定谔方程可以用来计算系统在不同时间点上的波函数。
第三个重要概念是量子测量。
量子测量是指对一个量子系统进行测量，以获取其特定性质的信息。
在量子物理中，测量的结果通常是不确定的，只能得到可能的结果和对应的概率。
量子测量会引起量子系统的坍缩，即系统从量子态向某一特定本征态坍缩的过程。
这就是著名的“观察者效应”。
第四个重要概念是量子纠缠。
量子纠缠是指两个或多个粒子之间存在一种深度关联的状态。
当量子系统处于纠缠态时，对其中一个粒子进行测量会立即影响到其他粒子，即使它们之间的距离很远。
这种关联性是一种非局部、非经典的性质，被广泛应用于量子通信和量子计算。
最后一个重要概念是量子力学的不可克服的不确定性原理。
不确定性原理指出，在一些测量中，某些配对的物理量（如位置和动量、能量和时间）不能同时被准确测量出来。
这是因为在量子物理中，测量的过程会对系统造成干扰，限制了我们同时获得这些物理量的准确值。
这些都是量子物理中的重要概念。
量子态、量子演化、量子测量、量子纠缠和不确定性原理都是量子物理理论的核心内容，它们帮助我们理解微观世界的奇妙规律，并在实际应用中发挥着重要作用，如量子计算和量子通信等领域。
对于深入理解和应用量子物理，这些概念是不可或缺的基本知识。
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Ω
∫ Ψ(x,t)
2
dx=1
( Ω − 全区间 )
例：将下列波函数 归一化
f ( x ) = exp(−α 2 x 2 2 )
设归一化因子为C， 设归一化因子为 ，则归一化的波函数为 Ψ(x)= C exp(-α2x2/2) )= (
+∞ −∞
∫
Ψ ( x ) dx = 1
2
计算积分得
|Ｃ|２＝α／π１／２
由dE / dr = 0
给出
n2ℏ 2 e2 － 3 + 2 =0 mr 4πεο r
ℏ 2 4πεο 2 rn = n = r1n2 = 0.053 × n2nm m e2
这正是玻尔的量子化的轨道半径。 这正是玻尔的量子化的轨道半径。
（3）考虑在刚性匣子中的运动粒子（如图） ）考虑在刚性匣子中的运动粒子（如图） 粒子在匣中的动能为 (1/2)mv2 ， 运动周期为2d/v,按照物质波的 运动周期为 按照物质波的 观点， 观点，物质波来回反射形成驻 波，驻波波长满足
h h , 2 πr = n λ = n = n p mv
n = 1,2 ⋯
于 是有
mvr = n
h = nℏ 2π
这正是玻尔曾用过的 角动量量子化条件。 角动量量子化条件。
（2）如果把 ）p=源自nh nℏ = 2π r r
代入氢原子总能量表达式中
p2 e2 n2ℏ 2 e2 E= － = 2－ 2m 4πεο r 2mr 4πεο r
第十七章 量子力学基础
§0 引言 一、相关实验
1、 汤姆逊给出电子穿过多晶薄膜的衍射图 、 （Thomson, 1927） ）
2、电子衍射图与X光衍射图的比较 、电子衍射图与 光衍射图的比较
3、电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验 电子的单缝、双缝、 （Jonsson，1961) ，
通过以上实验我们初步了解到电子具有某种波性。 通过以上实验我们初步了解到电子具有某种波性。
玻尔的首席Clams 玻尔的首席 “量子力学很象这样的一种胜利：它让你先是笑上 量子力学很象这样的一种胜利： 量子力学很象这样的一种胜利 两个月，然后再哭上一年。 两个月，然后再哭上一年。” Schrodinger “如果真存在所谓的几率解释，我就绝对不能原谅 如果真存在所谓的几率解释， 如果真存在所谓的几率解释 自己搞过量子理论！ 自己搞过量子理论！” Heisenberg “我们逐渐进入非常痛苦的境地，神经都要崩溃了。” 我们逐渐进入非常痛苦的境地，神经都要崩溃了。 我们逐渐进入非常痛苦的境地 Einstein “我简直象一只鸵鸟，为了不看到量子那丑恶的面 我简直象一只鸵鸟， 我简直象一只鸵鸟 宁愿把头扎入沙堆中。 孔，宁愿把头扎入沙堆中。”
ℏ ∆ t∆ E ≥ 2
不确定关系十分有用， 不确定关系十分有用，利用这个简单的不确定 关系式， 关系式，常常可以方便地对一些物理量作出数量级 上的估算。下面以几个具体例子加以说明。 上的估算。下面以几个具体例子加以说明。
2、 不确定关系的例举
例题1 例题1 讨论单缝衍射的不确定关系 如图所示，位置的不确定，由缝宽Δx=d 给出。 如图所示，位置的不确定， 给出。 x方向的动量不确定度Δpx用衍射一级极小的半角宽 方向的动量不确定度 方向的动量不确定 表示， 度表示， 有
sin θ1 = ∆p x / p
p 是入射光子动量
按照波的衍射理论， 按照波的衍射理论，第一级 衍射极小的角位置满足 于是有
λ sin θ1 = d
∆x∆p x = λ p = h
衰变中， 例题2 在 β 衰变中，若电子是从原子核中逃逸出来 的，试估计它在核中的动能 大小的核， 解：对于数量级为10－14m大小的核，位置的不确定度 对于数量级为 大小的核 取为 ∆x = 10 −14 m 按照不确定关系， 按照不确定关系，动量不确定度为
h h 6.63 × 10− 34 λ= = = = 2.21 × 10−34 m 0.01 × 300 p mυ
由于h极其微小 由于 极其微小 宏观物体的波长小到实验难以测量 宏观物体的波长小到实验难以测量 “宏观物体只表现出粒子性” 宏观物体只表现出粒子性” 宏观物体只表现出粒子性
再看 m,0
这些干涉图说明： 这些干涉图说明： 就单个电子而言，出现何处是随机的，但大量电子通 就单个电子而言，出现何处是随机的， 过双缝后总体表现出一种统计规律，显示出干涉图样。 过双缝后总体表现出一种统计规律，显示出干涉图样。 这些实验，都是用任何经典方法所绝对不能解释的， 这些实验，都是用任何经典方法所绝对不能解释的， 但是量子力学的核心正是包含在这些实验之中。 但是量子力学的核心正是包含在这些实验之中。
∆p ~ ℏ 10
−14
m
~ 10 − 20 kg
m s
~p
动能约为
2 Ek = c 2 p 2 + mo c 4－mo c 2 ~ 20Mev
衰变的动能远小于该值。 通常 β 衰变的动能远小于该值。 简单的估算排除了电子在原子内的可能性， 简单的估算排除了电子在原子内的可能性，在原 子核内只能存放质子和中子。 子核内只能存放质子和中子。电子可以被束缚在线度 的原子内的。 为0.05nm的原子内的。 的原子内的
数值是极其微小的，因此， 数值是极其微小的，因此，球类运动员大可 不必为球的波动性而担忧。 不必为球的波动性而担忧。
例题4 例题4
光谱线的自然宽度
原子所发射的光是由电子在两个能级之间跃迁产生的。 原子所发射的光是由电子在两个能级之间跃迁产生的。 如果两个能级有确定的值， 如果两个能级有确定的值，那么由频率条件将得到有确定频率 或波长)的谱线。 (或波长)的谱线。 由于处在激发态能级上的电子寿命( t)有限， 由于处在激发态能级上的电子寿命(Δt)有限，按照不确 有限 定关系， 定关系，这意味着能级存在着一定的能级宽度ΔE，这导致辐 射光谱不再是单一频率，而有一定频率宽度，称谱线自然宽度。 射光谱不再是单一频率，而有一定频率宽度，称谱线自然宽度。 如果激发态的寿命为∆t=10-8s 那么 如果激发态的寿命为
x 及其偏差∆x
同样对粒子的动量也只能知道其统计平均值 px 及其偏差 ∆px 海森伯指出， 海森伯指出，平均偏差乘积有一个最小的限制 这个关系称不确定关系 类似地
ℏ ∆ x∆ p x ≥ 2
∆x ⋅ ∆px ≥ ℏ 2, ∆y ⋅ ∆py ≥ ℏ 2, ∆ z ⋅ ∆pz ≥ ℏ 2
这是量子力学的又一条重要规律。 这是量子力学的又一条重要规律。它定量地揭示 了粒子坐标和动量的不确定度。 了粒子坐标和动量的不确定度。这样经典的轨道概念 在这里完全失去了意义，不确定关系是波粒二象性的 在这里完全失去了意义， 必然结果。 必然结果。 按照波函数的统计诠释， 按照波函数的统计诠释，可以证明任何两个不 对易的力学量， 对易的力学量，在任何量子态下的平均涨落都有相 应的不确定关系。 应的不确定关系。 如时间和能量的不确定关系是： 如时间和能量的不确定关系是：
ℏ ℏc 197 ×10 −15 ×106 ∆E ≥ = = (eV) = 3.3 ×10 −8 eV 2∆t 2∆tc 2 ×10 −8 × 3 ×108
Ｃ＝（α Ｃ＝（α／π１／２）１／２ｅｉδ 取 δ＝0，则归一化的波函数为 ，
Ψ (x)=（α／π１／２）１／２ exp(-α2x2/2) （ α
6. 波函数统计诠释涉及对微观世界本质的认识 争论至今未息 哥本哈根学派(Bohr,Heisenberg) 哥本哈根学派(Bohr,Heisenberg) 爱因斯坦学派(Einstein,Schrodinger) 爱因斯坦学派(Einstein,Schrodinger) 四. 状态叠加原理 若体系具有一系列互异的可能状态
(3)微观粒子既不是经典的粒子，也不是经典的波， (3)微观粒子既不是经典的粒子，也不是经典的波， 微观粒子既不是经典的粒子 它是一个特定的客体。 它是一个特定的客体。 它具有在不同的环境下显示出类似于经典波或粒 子特性的潜在能力， 子特性的潜在能力，但是至今我们不能用人们习惯的 语言来恰当描写微观粒子。 语言来恰当描写微观粒子。
{Ψ1，Ψ2， } ⋯
则 Ψ ＝C Ψ ＋C Ψ ＋⋯ 1 1 2 2 也是可能的状态
§2 不确定性关系(Uncertainty relations) 不确定性关系(Uncertainty
1、 不确定性关系 接受了波函数的统计诠释，完全摒弃于经典粒子的 接受了波函数的统计诠释， 轨道概念， 轨道概念，即排除了粒子每时每刻有确定的位置和确定 的动量。 的动量。 |ψ (x) |2 dx 粒子出现在x~x+dx间隔的概率 粒子出现在 间隔的概率 所以由波函数只能给出粒子位置的平均值
1.波函数 1.波函数 2.Born假定 2.Born假定
Ψ (x, t)
2
Ψ ( x, t )
Ψ (x,t) 概率振幅
概率密度 = Ψ * ( x , t )Ψ ( x , t )
3.自由粒子平面波波函数 3.自由粒子平面波波函数 经典的平面波为
2 πx cos( ω t − ) λ
复数形式 利用 得
→ e
i ( px − E t ) ℏ
i(
2 πx −ω t) λ
E = ℏω , p = ℏk
Ψ ( x , t ) = Ae
Ψ ( x, t ) = Ae
i ( p ⋅x − E t ) ℏ
Ψ( x, t ) = 常数
2
在空间各点发现自由粒子的概率相同 4. 用电子双缝衍射实验说明概率波的含义 (1)入射强电子流 (1)入射强电子流 (2)入射弱电子流 5. 波函数满足的条件 • 自然条件：单值、有限和连续 自然条件：单值、 • 归一化条件
2d = nλ = nh / p
于是粒子的动量 p = nh / 2d 粒子的动能
Ek = p 2 / 2m = n 2 h 2 / 8md 2
∫ Ψ(x,t)
2
dx=1
( Ω − 全区间 )
例：将下列波函数 归一化
f ( x ) = exp(−α 2 x 2 2 )
设归一化因子为C， 设归一化因子为 ，则归一化的波函数为 Ψ(x)= C exp(-α2x2/2) )= (
+∞ −∞
∫
Ψ ( x ) dx = 1
2
计算积分得
|Ｃ|２＝α／π１／２
由dE / dr = 0
给出
n2ℏ 2 e2 － 3 + 2 =0 mr 4πεο r
ℏ 2 4πεο 2 rn = n = r1n2 = 0.053 × n2nm m e2
这正是玻尔的量子化的轨道半径。 这正是玻尔的量子化的轨道半径。
（3）考虑在刚性匣子中的运动粒子（如图） ）考虑在刚性匣子中的运动粒子（如图） 粒子在匣中的动能为 (1/2)mv2 ， 运动周期为2d/v,按照物质波的 运动周期为 按照物质波的 观点， 观点，物质波来回反射形成驻 波，驻波波长满足
h h , 2 πr = n λ = n = n p mv
n = 1,2 ⋯
于 是有
mvr = n
h = nℏ 2π
这正是玻尔曾用过的 角动量量子化条件。 角动量量子化条件。
（2）如果把 ）p=源自nh nℏ = 2π r r
代入氢原子总能量表达式中
p2 e2 n2ℏ 2 e2 E= － = 2－ 2m 4πεο r 2mr 4πεο r
第十七章 量子力学基础
§0 引言 一、相关实验
1、 汤姆逊给出电子穿过多晶薄膜的衍射图 、 （Thomson, 1927） ）
2、电子衍射图与X光衍射图的比较 、电子衍射图与 光衍射图的比较
3、电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验 电子的单缝、双缝、 （Jonsson，1961) ，
通过以上实验我们初步了解到电子具有某种波性。 通过以上实验我们初步了解到电子具有某种波性。
玻尔的首席Clams 玻尔的首席 “量子力学很象这样的一种胜利：它让你先是笑上 量子力学很象这样的一种胜利： 量子力学很象这样的一种胜利 两个月，然后再哭上一年。 两个月，然后再哭上一年。” Schrodinger “如果真存在所谓的几率解释，我就绝对不能原谅 如果真存在所谓的几率解释， 如果真存在所谓的几率解释 自己搞过量子理论！ 自己搞过量子理论！” Heisenberg “我们逐渐进入非常痛苦的境地，神经都要崩溃了。” 我们逐渐进入非常痛苦的境地，神经都要崩溃了。 我们逐渐进入非常痛苦的境地 Einstein “我简直象一只鸵鸟，为了不看到量子那丑恶的面 我简直象一只鸵鸟， 我简直象一只鸵鸟 宁愿把头扎入沙堆中。 孔，宁愿把头扎入沙堆中。”
ℏ ∆ t∆ E ≥ 2
不确定关系十分有用， 不确定关系十分有用，利用这个简单的不确定 关系式， 关系式，常常可以方便地对一些物理量作出数量级 上的估算。下面以几个具体例子加以说明。 上的估算。下面以几个具体例子加以说明。
2、 不确定关系的例举
例题1 例题1 讨论单缝衍射的不确定关系 如图所示，位置的不确定，由缝宽Δx=d 给出。 如图所示，位置的不确定， 给出。 x方向的动量不确定度Δpx用衍射一级极小的半角宽 方向的动量不确定度 方向的动量不确定 表示， 度表示， 有
sin θ1 = ∆p x / p
p 是入射光子动量
按照波的衍射理论， 按照波的衍射理论，第一级 衍射极小的角位置满足 于是有
λ sin θ1 = d
∆x∆p x = λ p = h
衰变中， 例题2 在 β 衰变中，若电子是从原子核中逃逸出来 的，试估计它在核中的动能 大小的核， 解：对于数量级为10－14m大小的核，位置的不确定度 对于数量级为 大小的核 取为 ∆x = 10 −14 m 按照不确定关系， 按照不确定关系，动量不确定度为
h h 6.63 × 10− 34 λ= = = = 2.21 × 10−34 m 0.01 × 300 p mυ
由于h极其微小 由于 极其微小 宏观物体的波长小到实验难以测量 宏观物体的波长小到实验难以测量 “宏观物体只表现出粒子性” 宏观物体只表现出粒子性” 宏观物体只表现出粒子性
再看 m,0
这些干涉图说明： 这些干涉图说明： 就单个电子而言，出现何处是随机的，但大量电子通 就单个电子而言，出现何处是随机的， 过双缝后总体表现出一种统计规律，显示出干涉图样。 过双缝后总体表现出一种统计规律，显示出干涉图样。 这些实验，都是用任何经典方法所绝对不能解释的， 这些实验，都是用任何经典方法所绝对不能解释的， 但是量子力学的核心正是包含在这些实验之中。 但是量子力学的核心正是包含在这些实验之中。
∆p ~ ℏ 10
−14
m
~ 10 − 20 kg
m s
~p
动能约为
2 Ek = c 2 p 2 + mo c 4－mo c 2 ~ 20Mev
衰变的动能远小于该值。 通常 β 衰变的动能远小于该值。 简单的估算排除了电子在原子内的可能性， 简单的估算排除了电子在原子内的可能性，在原 子核内只能存放质子和中子。 子核内只能存放质子和中子。电子可以被束缚在线度 的原子内的。 为0.05nm的原子内的。 的原子内的
数值是极其微小的，因此， 数值是极其微小的，因此，球类运动员大可 不必为球的波动性而担忧。 不必为球的波动性而担忧。
例题4 例题4
光谱线的自然宽度
原子所发射的光是由电子在两个能级之间跃迁产生的。 原子所发射的光是由电子在两个能级之间跃迁产生的。 如果两个能级有确定的值， 如果两个能级有确定的值，那么由频率条件将得到有确定频率 或波长)的谱线。 (或波长)的谱线。 由于处在激发态能级上的电子寿命( t)有限， 由于处在激发态能级上的电子寿命(Δt)有限，按照不确 有限 定关系， 定关系，这意味着能级存在着一定的能级宽度ΔE，这导致辐 射光谱不再是单一频率，而有一定频率宽度，称谱线自然宽度。 射光谱不再是单一频率，而有一定频率宽度，称谱线自然宽度。 如果激发态的寿命为∆t=10-8s 那么 如果激发态的寿命为
x 及其偏差∆x
同样对粒子的动量也只能知道其统计平均值 px 及其偏差 ∆px 海森伯指出， 海森伯指出，平均偏差乘积有一个最小的限制 这个关系称不确定关系 类似地
ℏ ∆ x∆ p x ≥ 2
∆x ⋅ ∆px ≥ ℏ 2, ∆y ⋅ ∆py ≥ ℏ 2, ∆ z ⋅ ∆pz ≥ ℏ 2
这是量子力学的又一条重要规律。 这是量子力学的又一条重要规律。它定量地揭示 了粒子坐标和动量的不确定度。 了粒子坐标和动量的不确定度。这样经典的轨道概念 在这里完全失去了意义，不确定关系是波粒二象性的 在这里完全失去了意义， 必然结果。 必然结果。 按照波函数的统计诠释， 按照波函数的统计诠释，可以证明任何两个不 对易的力学量， 对易的力学量，在任何量子态下的平均涨落都有相 应的不确定关系。 应的不确定关系。 如时间和能量的不确定关系是： 如时间和能量的不确定关系是：
ℏ ℏc 197 ×10 −15 ×106 ∆E ≥ = = (eV) = 3.3 ×10 −8 eV 2∆t 2∆tc 2 ×10 −8 × 3 ×108
Ｃ＝（α Ｃ＝（α／π１／２）１／２ｅｉδ 取 δ＝0，则归一化的波函数为 ，
Ψ (x)=（α／π１／２）１／２ exp(-α2x2/2) （ α
6. 波函数统计诠释涉及对微观世界本质的认识 争论至今未息 哥本哈根学派(Bohr,Heisenberg) 哥本哈根学派(Bohr,Heisenberg) 爱因斯坦学派(Einstein,Schrodinger) 爱因斯坦学派(Einstein,Schrodinger) 四. 状态叠加原理 若体系具有一系列互异的可能状态
(3)微观粒子既不是经典的粒子，也不是经典的波， (3)微观粒子既不是经典的粒子，也不是经典的波， 微观粒子既不是经典的粒子 它是一个特定的客体。 它是一个特定的客体。 它具有在不同的环境下显示出类似于经典波或粒 子特性的潜在能力， 子特性的潜在能力，但是至今我们不能用人们习惯的 语言来恰当描写微观粒子。 语言来恰当描写微观粒子。
{Ψ1，Ψ2， } ⋯
则 Ψ ＝C Ψ ＋C Ψ ＋⋯ 1 1 2 2 也是可能的状态
§2 不确定性关系(Uncertainty relations) 不确定性关系(Uncertainty
1、 不确定性关系 接受了波函数的统计诠释，完全摒弃于经典粒子的 接受了波函数的统计诠释， 轨道概念， 轨道概念，即排除了粒子每时每刻有确定的位置和确定 的动量。 的动量。 |ψ (x) |2 dx 粒子出现在x~x+dx间隔的概率 粒子出现在 间隔的概率 所以由波函数只能给出粒子位置的平均值
1.波函数 1.波函数 2.Born假定 2.Born假定
Ψ (x, t)
2
Ψ ( x, t )
Ψ (x,t) 概率振幅
概率密度 = Ψ * ( x , t )Ψ ( x , t )
3.自由粒子平面波波函数 3.自由粒子平面波波函数 经典的平面波为
2 πx cos( ω t − ) λ
复数形式 利用 得
→ e
i ( px − E t ) ℏ
i(
2 πx −ω t) λ
E = ℏω , p = ℏk
Ψ ( x , t ) = Ae
Ψ ( x, t ) = Ae
i ( p ⋅x − E t ) ℏ
Ψ( x, t ) = 常数
2
在空间各点发现自由粒子的概率相同 4. 用电子双缝衍射实验说明概率波的含义 (1)入射强电子流 (1)入射强电子流 (2)入射弱电子流 5. 波函数满足的条件 • 自然条件：单值、有限和连续 自然条件：单值、 • 归一化条件
2d = nλ = nh / p
于是粒子的动量 p = nh / 2d 粒子的动能
Ek = p 2 / 2m = n 2 h 2 / 8md 2