代数复习-函数综合

１一、选择题 第1题答案. B第2题答案. B第3题答案. B第4题答案. B第5题答案. C第6题答案. B二、填空题 第7题答案.3717第8题答案.322y y-= 第9题答案.2-第10题答案.122y << 第11题答案. ①②④ 三、计算题 第12题答案.解：方程两边同乘以x －4，得3－x －1＝x －4解这个方程，得x ＝3检验：当x ＝=3时，x －4＝－1≠0∴ x ＝3是原方程的解第13题答案.解:0)23)(3(=+--x x x 0)33)(3(=--x x 03=-x 或033=-x 即31=x 或12=x四、应用题２第14题答案.解：设甲工程队单独完成任务需x 天，则乙工程队单独完成任务需(2)x +天， 依题意得2312x x +=+． 化为整式方程得2340x x --=解得1x =-或4x =．检验：当4x =和1x =-时，(2)0x x +≠，4x ∴=和1x =-都是原分式方程的解． 但1x =-不符合实际意义，故1x =-舍去；∴乙单独完成任务需要26x +=（天）． 答：甲、乙工程队单独完成任务分别需要4天、6天．第15题答案.解：（1）由图象可知，函数my x=（0x >）的图象经过点(16)A ，， 可得6m =．设直线AB 的解析式为y kx b =+．∵(16)A ，，(61)B ，两点在函数y kx b =+的图象上， ∴66 1.k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得17.k b =⎧⎨=⎩，∴直线AB 的解析式为7y x =-+．（2）图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数是 3 ． 五、复合题 第16题答案.（1）∵直线MC 的函数表达式为3y kx =-， ∴点C （0，3-）. ∵cos ∠BCO＝OC BC==，∴可设3(0)OC t t BC =>=，． 则由勾股定理，得OB t =． 而33OC t ==，∴1t =．３∴1OB =，∴点B （1，0）∵点B （1，0），C （0，3-）在抛物线上， ∴403a c a c +=⎧⎨+=-⎩，解得14a c =⎧⎨=-⎩．∴抛物线的函数表达式为22(1)423y x x x =+-=+-，（2）假设在抛物线上存在异于点C 的点P ，使以N 、P 、C 为顶点的三角形是以NC 为一条直角边的直角三角形．①若PN 为另一条直角边．∵点M （1-，4-）在直线MC 上，∴43k -=--，即1k =．∴直线MC 的函数表达式为3y x =-．易得直线MC 与x 轴的交点N 的坐标为N （3，0）． ∵||||OC ON =，∴45CNO ∠=°，在y 轴上取点D （0，3），连结ND 交抛物线于点P ． ∵||||ON OD =，∴45DNO ∠=°．∴90PNC ∠=°． 设直线ND 的函数表达式为y mx n =+． 由303m n n +=⎧⎨=⎩，解得13m n =-⎧⎨=⎩．∴直线ND 的函数表达式为3y x =-+．设点P （x ，3x -+），代入抛物线的函数表达式，得 2323x x x -+=+-，即2360x x +-=．解得132x -=，232x --=∴1y =，2y =∴满足条件的点为1P，2P ． ············· 2分 ②若PC 是另一条直角边．∵点A 是抛物线与x 轴的另一交点，∴点A 的坐标为（3-，0）． 连结AC ．∵||||OA OC =，∴45OCA ∠=°．又45OCN ∠=°，４∴90ACN ∠=°，∴点A 就是所求的点3P （3-，0）． ···································· 1分 [或：求出直线AC 的函数表达式为3y x =--．设点P （x ，3x --），代入抛物线 的函数表达式，得2323x x x --=+-，即230x x +=．解得13x =-，20x =． ∴1203y y ==，-，∴点34(30)(03)P P --，，， （舍去）．] 综上可知，在抛物线上存在满足条件的点，有3个，分别为：13P，2P ，3(30)P -，． （3）①若抛物线沿其对称轴向上平移，设向上平移b （0b >）个单位． 可设函数表达式为223y x x b =+-+．由2233y x x b y x ⎧=+-+⎨=-⎩，消去y ，得20x x b ++=．∴要使抛物线与线段NQ 总有交点，必须∆=140b -≥，即14b ≤．∴104b <≤． ∴若抛物线向上平移，最多可平移14个单位长度．②若抛物线沿其对称轴向下平移，设向下平移b （0b >）个单位．可设函数表达式为223y x x b =+--．∵当3x =-时，y b =-；当3x =时，12y b =-．易求得Q （3-，6-），又N （3，0）．∴要使抛物线与线段NQ 总有交点，必须6b --≥或120b -≥，即6b ≤或12b ≤． ∴012b <≤．∴若抛物线向下平移．最多可平移l2个单位长度．[或：若抛物线沿其对称轴向下平移，设平移b （0b >）个单位． 则212233y x x b y x =+--=-，在33x -≤≤总有交点．即22122330y y x x b x x x b -=+---+=+-=在33x -≤≤总有实数根．令2211()24y x x x =+=+-，在33x -≤≤时，1124y -≤≤． ∴要使20x x b +-=在33x -≤≤有解，b 必须满足1124b -≤≤．∴0<b ≤12．即b 的最大值为l2．∴向下最多可平移12个单位长度．]综上可知，若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ 总有公共点，５则向上最多可平移14个单位长度，向下最多可平移l2个单位长度．六、动态几何 第17题答案.（1）点A 的坐标为（4，8）．将(48)A ，、(80)C ，两点坐标分别代入2y ax bx =+， 得81640648.a b a b =+⎧⎨=+⎩，解得142a b =-=，．∴抛物线的解析式为：2142y x x =-+． （2）①在Rt APE △和Rt ABC △中，tan PE BC PAE AP AB ∠==，即48PE AP =． ∴1122PE AP t ==，8PB t =-． ∴点E 的坐标为1482t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，． ∴点G 的纵坐标为22111144482228t t t ⎛⎫⎛⎫-+++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．∴218(8)8EG t t =-+--218t t =-+． ∵108-<，∴当4t =时，线段EG 最长为2． ②共有三个时刻．1231640313t t t ===，，．。

专题:二次函数与代数综合题【典例1】（2019•自贡）如图，已知直线AB与抛物线C：y＝ax2+2x+c相交于点A（﹣1，0）和点B（2，3）两点．（1）求抛物线C函数表达式；（2）若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点，以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，求此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；（3）在抛物线C的对称轴上是否存在定点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y=17 4的距离？若存在，求出定点F的坐标；若不存在，请说明理由．【点拨】（1）利用待定系数法，将A，B的坐标代入y＝ax2+2x+c即可求得二次函数的解析式；（2）过点M作MH⊥x轴于H，交直线AB于K，求出直线AB的解析式，设点M（a，﹣a2+2a+3），则K（a，a+1），利用函数思想求出MK的最大值，再求出△AMB面积的最大值，可推出此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；（3）如图2，分别过点B，C作直线y＝的垂线，垂足为N，H，设抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y＝的距离，其中F（1，a），连接BF，CF，则可根据BF＝BN，CF＝CN两组等量关系列出关于a的方程组，解方程组即可．【解答】解：（1）由题意把点（﹣1，0）、（2，3）代入y＝ax2+2x+c，得，，解得a＝﹣1，c＝3，∴此抛物线C函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）如图1，过点M作MH⊥x轴于H，交直线AB于K，将点（﹣1，0）、（2，3）代入y＝kx+b中，得，，解得，k＝1，b＝1，∴y AB＝x+1，设点M（a，﹣a2+2a+3），则K（a，a+1），则MK＝﹣a2+2a+3﹣（a+1）＝﹣（a﹣）2+，根据二次函数的性质可知，当a＝时，MK有最大长度，∴S△AMB最大＝S△AMK+S△BMK＝MK•AH+MK•（x B﹣x H）＝MK•（x B﹣x A）＝××3＝，∴以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，S最大＝2S△AMB最大＝2×＝，M（，）；（3）存在点F，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴对称轴为直线x＝1，当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，∴抛物线与点x轴正半轴交于点C（3，0），如图2，分别过点B，C作直线y＝的垂线，垂足为N，H，抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y＝的距离，设F（1，a），连接BF，CF，则BF＝BN＝﹣3＝，CF＝CH＝，由题意可列：，解得，a＝，∴F（1，）．【点睛】此题考查了待定系数法求解析式，还考查了用函数思想求极值等，解题关键是能够判断出当平行四边形MANB的面积最大时，△ABM的面积最大，且此时线段MK的长度也最大．【精练1】（2019•贵阳）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（﹣1，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）连接BC，若点P在y轴上时，BP和BC的夹角为15°，求线段CP的长度；（3）当a≤x≤a+1时，二次函数y＝x2+bx+c的最小值为2a，求a的值．【点拨】（1）先根据题意得出点B 的坐标，再利用待定系数法求解可得；（2）分点P 在点C 上方和下方两种情况，先求出∠OBP 的度数，再利用三角函数求出OP 的长，从而得出答案；（3）分对称轴x ＝1在a 到a +1范围的右侧、中间和左侧三种情况，结合二次函数的性质求解可得． 【解答】解：（1）∵点A （﹣1，0）与点B 关于直线x ＝1对称， ∴点B 的坐标为（3，0）， 代入y ＝x 2+bx +c ，得： {1−b +c =09+3b +c =0， 解得{b =−2c =−3，所以二次函数的表达式为y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）如图所示：由抛物线解析式知C （0，﹣3）， 则OB ＝OC ＝3， ∴∠OBC ＝45°，若点P在点C上方，则∠OBP＝∠OBC﹣∠PBC＝30°，∴OP＝OB tan∠OBP＝3×√33=√3，∴CP＝3−√3；若点P在点C下方，则∠OBP′＝∠OBC+∠P′BC＝60°，∴OP′＝OB tan∠OBP′＝3×√3=3√3，∴CP＝3√3−3；综上，CP的长为3−√3或3√3−3；（3）若a+1＜1，即a＜0，则函数的最小值为（a+1）2﹣2（a+1）﹣3＝2a，解得a＝1−√5（正值舍去）；若a＜1＜a+1，即0＜a＜1，则函数的最小值为1﹣2﹣3＝2a，解得：a＝﹣2（舍去）；若a＞1，则函数的最小值为a2﹣2a﹣3＝2a，解得a＝2+√7（负值舍去）；综上，a的值为1−√5或2+√7．【点睛】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、三角函数的运用、二次函数的图象与性质及分类讨论思想的运用．【精练2】（2019•长春）已知函数y={−x2+nx+n，(x≥n)，−12x2+n2x+n2，(x＜n)（n为常数）（1）当n＝5，①点P（4，b）在此函数图象上，求b的值；②求此函数的最大值．（2）已知线段AB的两个端点坐标分别为A（2，2）、B（4，2），当此函数的图象与线段AB只有一个交点时，直接写出n的取值范围．（3）当此函数图象上有4个点到x轴的距离等于4，求n的取值范围．【点拨】（1）①将P （4，b ）代入y =−12x 2+52x +52；②当x ≥5时，当x ＝5时有最大值为5；当x ＜5时，当x =52时有最大值为458；故函数的最大值为458；（2）将点（4，2）代入y ＝﹣x 2+nx +n 中，得到n =185，所以185＜n ＜4时，图象与线段AB 只有一个交点；将点（2，2）代入y ＝﹣x 2+nx +n 和y =−12x 2+n2x +n2中，得到n ＝2，n =83，所以2≤n ＜83时图象与线段AB 只有一个交点；（3）利用数形结合的思想，分别画出图象解决问题即可：n ＞0时，n ＞n2，①如图1中，当点A 的纵坐标为4时，构建方程解决问题即可．②如图2中，观察图象可知，当n ≥8时，恰好有四个点满足条件，分别是图中A ，B ，C ，D ． ③如图3中，当点A 的纵坐标为4时，恰好有四个点满足条件，分别是图中A ，B ，C ，D ．构建方程即可解决问题．④如图4中，当n ≤﹣8时，观察图象可知，恰好有四个点满足条件，分别是图中A ，B ，C ，D ． 【解答】解：（1）当n ＝5时， y ={−x 2+5x +5(x ≥5)−12x 2+52x +52(x ＜5)， ①将P （4，b ）代入y =−12x 2+52x +52， ∴b =92；②当x ≥5时，当x ＝5时有最大值为5； 当x ＜5时，当x =52时有最大值为458；∴函数的最大值为458；（2）将点（4，2）代入y ＝﹣x 2+nx +n 中， ∴n =185， ∴185＜n ＜4时，图象与线段AB 只有一个交点；将点（2，2）代入y ＝﹣x 2+nx +n 中， ∴n ＝2，将点（2，2）代入y =−12x 2+n 2x +n 2中， ∴n =83，∴2≤n ＜83时图象与线段AB 只有一个交点； 综上所述：185＜n ＜4，2≤n ＜83时，图象与线段AB 只有一个交点；（3）n ＞0时，n ＞n2，函数图象如图实线所示． ①如图1中，当点A 的纵坐标为4时，则有−n 28+n 24+n 2=n 28+n2=4时，解得n ＝4或n ＝﹣8（舍去）， 观察图象可知：n ＝4时，满足条件的点恰好有四个，分别是A ，B ，C ，D ．②如图2中，观察图象可知，当n ≥8时，恰好有四个点满足条件，分别是图中A ，B ，C ，D ．n＜0时，n＜n2，函数图象如图中实线．③如图3中，当点A的纵坐标为4时，恰好有四个点满足条件，分别是图中A，B，C，D．则有：−n24+n22+n＝4时，解得n＝﹣2﹣2√5或n＝﹣2+2√5（舍弃）④如图4中，当n≤﹣8时，观察图象可知，恰好有四个点满足条件，分别是图中A，B，C，D．综上所述，函数图象上有4个点到x轴的距离等于4时，n≤﹣8或n＝﹣2﹣2√5或n＝4或n≥8．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查二次函数的图象及性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会正确画出函数图象，利用图象法解决问题，属于中考压轴题．【精练3】（2019•绥化）已知抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴为直线x=12，交x轴于点A、B，交y轴于点C，且点A坐标为A（﹣2，0）．直线y＝﹣mx﹣n（m＞0）与抛物线交于点P、Q（点P在点Q的右边），交y轴于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）若n＝﹣5，且△CPQ的面积为3，求m的值；（3）当m≠1时，若n＝﹣3m，直线AQ交y轴于点K．设△PQK的面积为S，求S与m之间的函数解析式．【点拨】（1）将点A（﹣2，0）代入解析式，对称轴为x=−b2a=12，联立即可求a与b的值；（2）设点Q横坐标x1，点P的横坐标x2，则有x1＜x2，联立y＝﹣mx+5，y=−12x2+12x+3根据韦达定理可得x1+x2＝2m+1，x1x2＝4，由面积之间的关系：S△CPQ＝S△CHP﹣S△CHQ，可求m的值；（3）当n＝﹣3m时，PQ解析式为y＝﹣mx+3m，联立有：﹣mx+3m=−12x2+12x+3，解得x＝3或x＝2m﹣2；由条件可得P（3，0），Q（2m﹣2，﹣2m2+5m），K（0，5﹣2m），所以有HK＝|5m﹣5|＝5|m﹣1|；①当0＜m＜1时，HK＝5﹣5m，S△PQK＝S△PHK+S△QHK=12×HK（x P﹣x Q）=12×（5﹣5m）（5﹣2m）＝5m2−352m+252，②当1＜m＜52时，HK＝5m﹣5，S△PQK＝﹣5m2+352m−252，③当2m﹣2＞3时，如图③，有m＞52，S△PQK=12×KQ|y P|=32（2m2﹣5m）＝3m2−152m，【解答】解：（1）将点A（﹣2，0）代入解析式，得4a﹣2b+3＝0，∵x=−b2a=12，∴a=−12，b=12；∴y=−12x2+12x+3；（2）设点Q横坐标x1，点P的横坐标x2，则有x1＜x2，把n＝﹣5代入y＝﹣mx﹣n，∴y＝﹣mx+5，联立y ＝﹣mx +5，y =−12x 2+12x +3得：﹣mx +5=−12x 2+12x +3，∴x 2﹣（2m +1）x +4＝0，∴x 1+x 2＝2m +1，x 1x 2＝4，∵△CPQ 的面积为3；∴S △CPQ ＝S △CHP ﹣S △CHQ ，即12HC （x 2﹣x 1）＝3， ∴x 2﹣x 1＝3，∴(x 1+x 2)2−4x 1x 2＝9，∴（2m +1）2＝25，∴m ＝2或m ＝﹣3，∵m ＞0，∴m ＝2；（3）当n ＝﹣3m 时，PQ 解析式为y ＝﹣mx +3m ，∴H （0，3m ），∵y ＝﹣mx +3m 与y =−12x 2+12x +3相交于点P 与Q ，∴﹣mx +3m =−12x 2+12x +3，∴x ＝3或x ＝2m ﹣2，当2m ﹣2＜3时，有0＜m ＜52，∵点P 在点Q 的右边，∴P （3，0），Q （2m ﹣2，﹣2m 2+5m ），∴AQ 的直线解析式为y =5−2m 2x +5﹣2m ， ∴K （0，5﹣2m ），∴HK ＝|5m ﹣5|＝5|m ﹣1|，①当0＜m ＜1时，如图①，HK ＝5﹣5m ，∴S △PQK ＝S △PHK +S △QHK =12×HK （x P ﹣x Q ）=12×（5﹣5m ）（5﹣2m ）＝5m 2−352m +252，②当1＜m ＜52时，如图②，HK ＝5m ﹣5，∴S △PQK ＝﹣5m 2+352m −252， ③当2m ﹣2＞3时，如图③，有m ＞52，∴P （2m ﹣2，﹣2m 2+5m ），Q （3，0），K （0，0），∴S △PQK =12×KQ |y P |=32（2m 2﹣5m ）＝3m 2−152m ， 综上所述，S ={ 5m 2−352m +252(0＜m ＜1)−5m 2+352m −252(1＜m ＜52)3m 2−152m(m ＞52)；【点睛】本题是二次函数的综合题；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合，分类讨论是解题的主要思想．【精练4】（2019•大庆）如图，抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝2，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣1，0）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）将抛物线y＝x2+bx+c图象x轴下方部分沿x轴向上翻折，保留抛物线在x轴上的点和x轴上方图象，得到的新图象与直线y＝t恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为D，E，F，G．当以EF为直径的圆过点Q（2，1）时，求t的值；（3）在抛物线y＝x2+bx+c上，当m≤x≤n时，y的取值范围是m≤y≤7，请直接写出x的取值范围．【点拨】（1）抛物线的对称轴是x＝2，且过点A（﹣1，0）点，∴{−b2=21−b+c=0，即可求解；（2）翻折后得到的部分函数解析式为：y ＝﹣（x ﹣2）2+9＝﹣x 2+4x +5，（﹣1＜x ＜5），新图象与直线y＝t 恒有四个交点，则0＜t ＜9，由{y =t y =−x 2+4x +5解得：x ＝2±√9−t ，即可求解； （3）分m 、n 在函数对称轴左侧、m 、n 在对称轴两侧、m 、n 在对称轴右侧时，三种情况分别求解即可．【解答】解：（1）抛物线的对称轴是x ＝2，且过点A （﹣1，0）点，∴{−b 2=21−b +c =0，解得：{b =−4c =−5， ∴抛物线的函数表达式为：y ＝x 2﹣4x ﹣5；（2）y ＝x 2﹣4x ﹣5＝（x ﹣2）2﹣9，则x 轴下方图象翻折后得到的部分函数解析式为：y ＝﹣（x ﹣2）2+9＝﹣x 2+4x +5，（﹣1＜x ＜5），其顶点为（2，9）．∵新图象与直线y ＝t 恒有四个交点，∴0＜t ＜9，设E （x 1，y 1），F （x 2，y 2）．由{y =t y =−x 2+4x +5解得：x ＝2±√9−t ， ∵以EF 为直径的圆过点Q （2，1），∴EF ＝2|t ﹣1|＝x 2﹣x 1，即2√9−t =2|t ﹣1|，解得t =1±√332， 又∵0＜t ＜9，∴t 的值为1+√332；（3）①当m 、n 在函数对称轴左侧时，m ≤n ≤2，由题意得：x ＝m 时，y ＝7，x ＝n 时，y ＝m ，即：m 2﹣4m ﹣5＝7，解得m ＝﹣2或m ＝6（舍），n 2﹣4n ﹣5＝m ，解得n ＝2−√7或m ＝2+√7（舍），解得：﹣2≤x ≤2−√7；②当m 、n 在对称轴两侧时，x ＝2时，y 的最小值为﹣9，不合题意；③当m 、n 在对称轴右侧时，同理可得：5+3√52≤x ≤6； 故x 的取值范围是：﹣2≤x ≤2−√7或5+3√52≤x ≤6． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、圆的基本性质性质、图形的翻折等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．【精练5】（2019•玉林）已知二次函数：y ＝ax 2+（2a +1）x +2（a ＜0）．（1）求证：二次函数的图象与x 轴有两个交点；（2）当二次函数的图象与x 轴的两个交点的横坐标均为整数，且a 为负整数时，求a 的值及二次函数的解析式并画出二次函数的图象（不用列表，只要求用其与x 轴的两个交点A ，B （A 在B 的左侧），与y 轴的交点C 及其顶点D 这四点画出二次函数的大致图象，同时标出A ，B ，C ，D 的位置）；（3）在（2）的条件下，二次函数的图象上是否存在一点P 使∠PCA ＝75°？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．【点拨】（1）将解析式右边因式分解得抛物线与x 轴的交点为（﹣2，0）、（−1a ，0），结合a ＜0即可得证；（2）结合（1）中一个交点坐标（−1a ，0）及横坐标均为整数，且a 为负整数可得a 的值，从而得出抛物线解析式，继而求出点C 、D 坐标，从而画出函数图象；（3）分点P在AC上方和下方两种情况，结合∠ACO＝45°得出直线PC与x轴所夹锐角度数，从而求出直线PC解析式，继而联立方程组，解之可得答案．【解答】解：（1）∵y＝ax2+（2a+1）x+2＝（x+2）（ax+1），且a＜0，∴抛物线与x轴的交点为（﹣2，0）、（−1a，0），则二次函数的图象与x轴有两个交点；（2）∵两个交点的横坐标均为整数，且a为负整数，∴a＝﹣1，则抛物线与x轴的交点A的坐标为（﹣2，0）、B的坐标为（1，0），∴抛物线解析式为y＝（x+2）（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+12）2+94，当x＝0时，y＝2，即C（0，2），函数图象如图1所示：（3）存在这样的点P，∵OA＝OC＝2，∴∠ACO＝45°，如图2，当点P在直线AC上方时，记直线PC与x轴的交点为E，∵∠PCA ＝75°，∴∠PCO ＝120°，∠OCB ＝60°，则∠OEC ＝30°，∴OE =OC tan∠OEC =33=2√3， 则E （2√3，0），求得直线CE 解析式为y =−√33x +2， 联立{y =−√33x +2y =−x 2−x +2，解得{x =0y =2或{x =√3−33y =√3+53， ∴P （√3−33，√3+53）； 如图3，当点P 在直线AC 下方时，记直线PC 与x 轴的交点为F ，∵∠ACP ＝75°，∠ACO ＝45°，∴∠OCF ＝30°，则OF ＝OC tan ∠OCF ＝2×√33=2√33， ∴F （2√33，0）， 求得直线PC 解析式为y =−√3x +2，联立{y =−√3x +2y =−x 2−x +2， 解得：{x =0y =2或{x =√3−1y =√3−1， ∴P （√3−1，√3−1），综上，点P 的坐标为（√3−33，√3+53）或（√3−1，√3−1）． 【点睛】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的图象和性质、直线与抛物线相交的问题等．【精练6】（2019•河北）如图，若b 是正数，直线l ：y ＝b 与y 轴交于点A ；直线a ：y ＝x ﹣b 与y 轴交于点B ；抛物线L ：y ＝﹣x 2+bx 的顶点为C ，且L 与x 轴右交点为D ．（1）若AB ＝8，求b 的值，并求此时L 的对称轴与a 的交点坐标；（2）当点C 在l 下方时，求点C 与l 距离的最大值；（3）设x 0≠0，点（x 0，y 1），（x 0，y 2），（x 0，y 3）分别在l ，a 和L 上，且y 3是y 1，y 2的平均数，求点（x 0，0）与点D 间的距离；（4）在L 和a 所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b ＝2019和b ＝2019.5时“美点”的个数．【点拨】（1）当x ＝0时，y ＝x ﹣b ＝﹣b ，所以B （0，﹣b ），而AB ＝8，而A （0，b ），则b ﹣（﹣b ）＝8，b ＝4．所以L ：y ＝﹣x 2+4x ，对称轴x ＝2，当x ＝2吋，y ＝x ﹣4＝﹣2，于是L 的对称轴与a 的交点为（2，﹣2 ）；（2）y ＝﹣（x −b 2）2+b 24，顶点C （b 2，b 24）因为点C 在l 下方，则C 与l 的距离b −b 24=−14（b ﹣2）2+1≤1，所以点C 与1距离的最大值为1；（3）由題意得y 3=y 1+y 22，即y 1+y 2＝2y 3，得b +x 0﹣b ＝2（﹣x 02+bx 0）解得x 0＝0或x 0＝b −12．但x 0≠0，取x 0＝b −12，对于L ，当y ＝0吋，0＝﹣x 2+bx ，即0＝﹣x （x ﹣b ），解得x 1＝0，x 2＝b ，右交点D（b ，0）．因此点（x 0，0）与点D 间的距离b ﹣（b −12）=12（4）①当b ＝2019时，抛物线解析式L ：y ＝﹣x 2+2019x 直线解析式a ：y ＝x ﹣2019，美点”总计4040个点，②当b ＝2019.5时，抛物线解析式L ：y ＝﹣x 2+2019.5x ，直线解析式a ：y ＝x ﹣2019.5，“美点”共有1010个．【解答】解：（1）当x ＝0时，y ＝x ﹣b ＝﹣b ，∴B （0，﹣b ），∵AB ＝8，而A （0，b ），∴b ﹣（﹣b ）＝8，∴b ＝4．∴L ：y ＝﹣x 2+4x ，∴L 的对称轴x ＝2，当x ＝2吋，y ＝x ﹣4＝﹣2，∴L 的对称轴与a 的交点为（2，﹣2 ）；（2）y ＝﹣（x −b 2）2+b 24， ∴L 的顶点C （b 2，b 24）∵点C 在l 下方，∴C 与l 的距离b −b 24=−14（b ﹣2）2+1≤1， ∴点C 与1距离的最大值为1；（3）由题意得y 3=y 1+y 22，即y 1+y 2＝2y 3， 得b +x 0﹣b ＝2（﹣x 02+bx 0）解得x 0＝0或x 0＝b −12．但x 0≠0，取x 0＝b −12，对于L，当y＝0吋，0＝﹣x2+bx，即0＝﹣x（x﹣b），解得x1＝0，x2＝b，∵b＞0，∴右交点D（b，0）．∴点（x0，0）与点D间的距离b﹣（b−12）=12（4）①当b＝2019时，抛物线解析式L：y＝﹣x2+2019x直线解析式a：y＝x﹣2019联立上述两个解析式可得：x1＝﹣1，x2＝2019，∴可知每一个整数x的值都对应的一个整数y值，且﹣1和2019之间（包括﹣1和﹣2019）共有2021个整数；∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，∴线段和抛物线上各有2021个整数点∴总计4042个点，∵这两段图象交点有2个点重复，∴美点”的个数：4042﹣2＝4040（个）；②当b＝2019.5时，抛物线解析式L：y＝﹣x2+2019.5x，直线解析式a：y＝x﹣2019.5，联立上述两个解析式可得：x1＝﹣1，x2＝2019.5，∴当x取整数时，在一次函数y＝x﹣2019.5上，y取不到整数值，因此在该图象上“美点”为0，在二次函数y＝x2+2019.5x图象上，当x为偶数时，函数值y可取整数，可知﹣1到2019.5之间有1010个偶数，因此“美点”共有1010个．故b＝2019时“美点”的个数为4040个，b＝2019.5时“美点”的个数为1010个．【点睛】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的性质以及待定系数法求函数解析式是解题的关键．。

中考总复习：函数综合—知识讲解（基础）【考纲要求】1．平面直角坐标系的有关知识平面直角坐标系中各象限和坐标轴上的点的坐标的特征，求点关于坐标轴、坐标原点的对称点的坐标，求线段的长度，几何图形的面积，求某些点的坐标等；2．函数的有关概念求函数自变量的取值范围，求函数值、函数的图象、函数的表示方法；3．函数的图象和性质常见的题目是确定图象的位置，利用函数的图象确定某些字母的取值，利用函数的性质解决某些问题．利用数形结合思想来说明函数值的变化趋势，又能反过来判定函数图象的位置；4．函数的解析式求函数的解析式，求抛物线的顶点坐标、对称轴方程，利用函数的解析式来求某些字母或代数式的值．一次函数、反比例函数和二次函数常与一元一次方程、一元二次方程、三角形的面积、边角关系、圆的切线、圆的有关线段组成综合题．【知识网络】【考点梳理】考点一、平面直角坐标系 1．相关概念（1）平面直角坐标系 （2）象限 （3）点的坐标2.各象限内点的坐标的符号特征3.特殊位置点的坐标 （1）坐标轴上的点（2）一三或二四象限角平分线上的点的坐标 （3）平行于坐标轴的直线上的点的坐标 （4）关于x 轴、y 轴、原点对称的点的坐标 4.距离（1）平面上一点到x 轴、y 轴、原点的距离（2）坐标轴或平行于坐标轴的直线上两点间的距离 （3）平面上任意两点间的距离 5.坐标方法的简单应用（1）利用坐标表示地理位置 （2）利用坐标表示平移 要点诠释：点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点P(x,y)到x 轴的距离等于y ； （2）点P(x,y)到y 轴的距离等于x ；（3）点P(x,y)到原点的距离等于22y x .考点二、函数及其图象 1.变量与常量 2.函数的概念3.函数的自变量的取值范围4.函数值5.函数的表示方法（解析法、列表法、图象法）6.函数图象 要点诠释：由函数解析式画其图像的一般步骤：（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来.考点三、一次函数1.正比例函数的意义2.一次函数的意义3.正比例函数与一次函数的性质4. 一次函数的图象与二元一次方程组的关系5.利用一次函数解决实际问题 要点诠释：确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式kx y =（k ≠0）中的常数k ；确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式b kx y +=（k ≠0）中的常数k 和b.解这类问题的一般方法是待定系数法.考点四、反比例函数 1.反比例函数的概念2.反比例函数的图象及性质3.利用反比例函数解决实际问题 要点诠释：反比例函数中反比例系数的几何意义，如下图，过反比例函数)0(≠=k xky 图像上任一点),(y x P 作x 轴、y 轴的垂线PM ，PN ，垂足为M 、N ，则所得的矩形PMON 的面积S=PM ∙PN=xy x y =∙.,y xk=∴||k S k xy ==，.考点五、二次函数 1.二次函数的概念2.二次函数的图象及性质3.二次函数与一元二次方程的关系4.利用二次函数解决实际问题 要点诠释：1、两点间距离公式（当遇到没有思路的问题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法） 如图：点A 坐标为（x 1，y 1），点B 坐标为（x 2，y 2），则AB 间的距离，即线段AB 的长度为()()221221y y x x -+-.2、函数平移规律：左加右减、上加下减.考点六、函数的应用1.一次函数的实际应用2. 反比例函数的实际应用3. 二次函数的实际应用要点诠释：分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多设计成两种情况以上，解答时需分段讨论.在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型.【典型例题】类型一、用函数的概念与性质解题1．已知一次函数y=(3a-2)x+(1-b)，求字母a, b的取值范围，使得：（1）y随x的增大而增大；（2）函数图象与y轴的交点在x轴的下方；（3）函数的图象过第一、二、四象限.【思路点拨】（1）y=kx+b (k≠0)的图象，当k＞0时，y随x的增大而增大；（2）当b＜0时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方；（3）当k＜0， b＞0时时，函数的图象过第一、二、四象限.【答案与解析】解：a、b的取值范围应分别满足：（1）由一次函数y=kx+b(k≠0)的性质可知：当k＞0时，函数值y随x的增大而增大，即3a-2＞0,∴23a＞, 且b取任何实数.（2）函数图象与y 轴的交点为（0,1-b ）， ∵ 交点在x 轴的下方，∴ ，即a≠, b ＞1.（3）函数图象过第一、二、四象限，则必须满足 .【总结升华】下面是y=kx(k≠0), y=kx+b (k≠0)的图象的特点和性质的示意图，如图1，当k ＞0时，y 随x 的增大而增大；当b ＞0时，图象过一、二、三象限，当b=0时，是正比例函数，当b ＜0时，图象过一、三、四象限；当y=x 时，图象过一、三象限，且是它的角平分线.由于常数k 、b 不同，可得到不同的函数，k 决定直线与x 轴夹角的大小，b 决定直线与y 轴交点的位置，由k 定向，由b 定点.同样，如图2，是k ＜0的各种情况，请你指出它们的图象的特点和性质.举一反三：【变式】作出函数y=x, 2x y x=，2()y x =的图象，它们是不是同一个函数？【答案】 函数2()y x =的自变量x 的取值范围是x≥0；函数2x y x=在x≠0时，就是函数y=x ；而x=0不在函数2x y x=的自变量x 的取值范围之内.由此，作图如下：可见它们不是同一个函数.类型二、函数图象及性质2．已知：(1)m为何值时，它是一次函数.(2)当它是一次函数时，画出草图，指出它的图象经过哪几个象限？y是随x的增大而增大还是减小？(3)当图象不过原点时，求出该图象与坐标轴交点间的距离，及图象与两轴所围成的三角形面积. 【思路点拨】一次函数应满足：一次项(或自变量)的指数为1，系数不为0.【答案与解析】(1)依题意：，解得m=1或m=4.∴当m=1或m=4时，它是一次函数.(2)当m=4时，函数为y=2x，是正比例函数，图象过一，三象限，y随x的增大而增大.当m=1时，函数为y=-x-3，直线过二，三，四象限，y随x的增大而减小.(3)直线y=-x-3不过原点，它与x轴交点为A(-3，0)，与y轴交点为B(0，-3)，..∴直线y=-x-3与两轴交点间的距离为，与两轴围成的三角形面积为.【总结升华】(1)某函数是一次函数应满足的条件是：一次项(或自变量)的指数为1，系数不为0.而某函数若是正比例函数，则还需添加一个条件：常数项为0.(2)判断函数的增减性，关键是确定直线y=kx+b（k≠0）中k、b的符号.(3)直线y=kx+b（k≠0）与两轴的交点坐标可运用x轴、y轴上的点的特征来求，当直线y=kx+b（k ≠0）上的点在x轴上时，令y=0，则，交点为；当直线y=kx+b（k≠0）上的点在y轴上时，令x=0，则y=b，即交点为(0，b).举一反三：【高清课程名称：函数综合1 高清ID号：369111关联的位置名称（播放点名称）：经典例题2】【变式】已知关于x的方程2(3)40--+-=.x m x m（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根大于4且小于8，求m 的取值范围；（3）设抛物线2(3)4y x m x m =--+-与y 轴交于点M ，若抛物线与x 轴的一个交点关于直线y x =-的对称点恰好是点M ，求m 的值. 【答案】证明：（1）22224(3)4(4)1025(5)b ac m m m m m ∆=-=---=-+=-≥0，所以方程总有两个实数根.解：（2）由（1）2(5)m ∆=-，根据求根公式可知,方程的两根为：23(5)2m m x -±-= 即11x =，24x m =-,由题意，有448m <-<，即812m <<.（3）易知，抛物线2(3)4y x m x m =--+-与y 轴交点为M （0，4m -）,由（2）可知抛物线与x 轴的交点为（1,0）和（4m -,0），它们关于直线y x =-的对称点分别为（0,1-）和（0, 4m -）， 由题意，可得14m -=-或44m m -=-，所以3m =或4m =.3．抛物线y=x 2+bx+c 图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y=x 2﹣2x﹣3，则b 、c 的值为（ ）A ．b=2，c=2B ．b=2，c=0C ．b=﹣2，c=﹣1D ．b=﹣3，c=2 【思路点拨】易得新抛物线的顶点，根据平移转换可得原抛物线顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得原抛物线的解析式，展开即可得到b ，c 的值． 【答案】B ． 【解析】解：由题意得新抛物线的顶点为（1，﹣4）， ∴原抛物线的顶点为（﹣1，﹣1），设原抛物线的解析式为y=（x ﹣h ）2+k 代入得：y=（x+1）2﹣1=x 2+2x ， ∴b=2，c=0． 故选B ．【总结升华】抛物线的平移不改变二次项系数的值；讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可．4．若一次函数y=kx+1的图象与反比例函数1y x=的图象没有公共点，则实数k 的取值范围是 ． 【思路点拨】因为反比例函数1y x = 的图象在第一、三象限，故一次函数y=kx+1中，k ＜0，将解方程组 11y kx y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩转化成关于x 的一元二次方程，当两函数图象没有公共点时，只需△＜0即可．【答案】1-4k＜.【解析】由反比例函数的性质可知，1yx=的图象在第一、三象限，∴当一次函数y=kx+1与反比例函数图象无交点时，k＜0，解方程组11y kxyx=+⎧⎪⎨=⎪⎩，得kx2+x-1=0，当两函数图象没有公共点时，△＜0，即1+4k＜0，解得1-4k＜，∴两函数图象无公共点时，1-4k＜．故答案为：1-4k＜.【总结升华】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．关键是转化成关于x的一元二次方程，再确定k的取值范围．类型三、函数综合题5．已知点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）在反比例函数y=的图象上．下列结论中正确的是（）A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y1＞y2 D．y2＞y3＞y1【思路点拨】先判断出函数反比例函数y=的图象所在的象限，再根据图象在每一象限的增减性及每一象限坐标的特征进行判断．【答案】B．【解析】解：∵k2≥0，∴﹣k2≤0，﹣k2﹣1＜0，∴反比例函数y=的图象在二、四象限，∵点（﹣1，y1）的横坐标为﹣1＜0，∴此点在第二象限，y1＞0；∵（2，y2），（3，y3）的横坐标3＞2＞0，∴两点均在第四象限y2＜0，y3＜0，∵在第四象限内y随x的增大而增大，∴0＞y3＞y2，∴y1＞y3＞y2．故选B．【总结升华】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：当k＞0时，图象分别位于第一、三象限，横纵坐标同号；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限，横纵坐标异号．举一反三：【变式】二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+b2﹣4ac与反比例函数y=在同一坐标系内的图象大致为（）A. B． C． D．【答案】由抛物线的图象可知，横坐标为1的点，即（1，a+b+c）在第四象限，因此a+b+c＜0；∴双曲线的图象在第二、四象限；由于抛物线开口向上，所以a＞0；对称轴x=＞0，所以b＜0；抛物线与x轴有两个交点，故b2﹣4ac＞0；∴直线y=bx+b2﹣4ac经过第一、二、四象限．故选D．类型四、函数的应用6．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，求绳子的最低点距地面的距离为多少米？【思路点拨】根据题意，运用待定系数法，建立适当的函数解析式，代入求值即可解答． 【答案】解：以左边树与地面交点为原点，地面水平线为x 轴，左边树为y 轴建立平面直角坐标系， 由题意可得A （0，2.5），B （2，2.5），C （0.5，1）设函数解析式为y=ax 2+bx+c ，把A 、B 、C 三点分别代入得出c=2.5， 同时可得4a+2b+c=2.5，0.25a+0.5b+c=1 解之得a=2，b=﹣4，c=2.5．∴y=2x 2﹣4x+2.5=2（x ﹣1）2+0.5． ∵2＞0，∴当x=1时，y=0.5米． ∴故答案为：0.5米．【总结升华】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 举一反三：【高清课程名称： 函数综合1 高清ID 号： 369111 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题3】 【变式】抛物线2y ax bx c =++，a ＞0，c ＜0，2360a b c ++=．（1）求证：1023b a +>； （2）抛物线经过点1(,)2P m ，Q (1,)n ．① 判断mn 的符号；② 抛物线与x 轴的两个交点分别为点A 1(,0)x ，点B 2(,0)x （A 在B 左侧），请说明116x <，2112x <<．【答案】（1）证明：∵ 2360a b c ++=，∴ 12362366b a b c c a a a a++==-=-． ∵ a ＞0，c ＜0，∴0c a <，0c a->． ∴ 1023b a +>．（2）解：∵ 抛物线经过点P 1(,)2m ，点Q (1,)n ， ∴ 11 ,42 .a b c m a b c n ⎧++=⎪⎨⎪++=⎩① ∵ 2360a b c ++=，a ＞0，c ＜0，∴ 223a b c +=-，223a b c =--． ∴ 1112111()42424312b c m a b c a a a a +=++=+=+-=-＜0． 2(2)33a a n a b c a c c c =++=+--+=-＞0． ∴ 0mn <．② 由a ＞0知抛物线2y ax bx c =++开口向上．∵ 0m <，0n >，∴ 点P 1(,)2m 和点Q (1,)n 分别位于x 轴下方和x 轴上方．∵ 点A ，B 的坐标分别为A 1(,0)x ，B 2(,0)x （点A 在点B 左侧），∴ 由抛物线2y ax bx c =++的示意图可知，对称轴右侧的点B 的横坐标2x 满足2112x <<． ∵ 抛物线的对称轴为直线2b x a =-，由抛物线的对称性可1222x x b a +=-，由（1）知123b a -<， ∴ 12123x x +<． ∴ 12221332x x <-<-，即116x <．。

代几综合问题—知识讲解（提高）【中考展望】代几综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以代几综合题的形式出现．解代几综合题一般可分为“认真审题、理解题意；探求解题思路；正确解答”三个步骤,解代几综合题必须要有科学的分析问题的方法．数学思想是解代几综合题的灵魂，要善于挖掘代几综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程（不等式）的思想等，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，这是学习解代几综合题的关键．题型一般分为：（1）方程与几何综合的问题；（2）函数与几何综合的问题；（3）动态几何中的函数问题；（4）直角坐标系中的几何问题；（5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题.题型特点：一是以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数方程或函数模型求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化，从函数关系中点与线的位置、方程根的情况得出图形中的几何关系.以形导数，由数思形，从而寻找出解题捷径. 解代几综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要从题目中寻找这两部分知识的结合点，从而发现解题的突破口.【方法点拨】方程与几何综合问题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明．函数型综合题主要有：几何与函数结合型、坐标与几何、方程与函数结合型问题，是各地中考试题中的热点题型．主要是以函数为主线，建立函数的图象，结合函数的性质、方程等解题．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等．函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力，有较好的区分度，因此是各地中考的热点题型．几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力．1．几何型综合题，常以相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以证明、计算等题型出现．2．几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧长的计算，角的计算，三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等．3．几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力．4．解几何综合题应注意以下几点：（1）注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系；（2）注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化；（3）注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线作法；（4）注意灵活地运用数学的思想和方法．【典型例题】类型一、方程与几何综合的问题1.（2015•大庆模拟）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm．点P从B出发沿BA向A运动，速度为每秒1cm，点E是点B以P为对称中心的对称点，点P运动的同时，点Q从A出发沿AC向C运动，速度为每秒2cm，当点Q到达顶点C时，P，Q同时停止运动，设P，Q两点运动时间为t秒．（1）当t为何值时，PQ∥BC？（2）设四边形PQCB的面积为y，求y关于t的函数关系式；（3）四边形PQCB面积能否是△ABC面积的？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；（4）当t为何值时，△AEQ为等腰三角形？（直接写出结果）【思路点拨】（1）先在Rt△ABC中，由勾股定理求出AB=10，再由BP=t，AQ=2t，得出AP=10﹣t，然后由PQ∥BC，根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，求解即可；（2）正确把四边形PQCB表示出来，即可得出y关于t的函数关系式；（3）根据四边形PQCB面积是△ABC面积的，列出方程，解方程即可；（4）△AEQ为等腰三角形时，分三种情况讨论：①AE=AQ；②EA=EQ；③QA=QE，每一种情况都可以列出关于t的方程，解方程即可．【答案与解析】解：（1）Rt△ABC中，∵∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，∴AB=10cm．∵BP=t，AQ=2t，∴AP=AB﹣BP=10﹣t．∵PQ∥BC，∴=，∴=，解得t=；（2）∵S四边形PQCB=S△ACB﹣S△APQ=AC•BC﹣AP•AQ•sinA∴y=×6×8﹣×（10﹣t）•2t•=24﹣t（10﹣t）=t2﹣8t+24，即y关于t的函数关系式为y=t2﹣8t+24；（3）四边形PQCB面积能是△ABC面积的，理由如下：由题意，得t2﹣8t+24=×24，整理，得t2﹣10t+12=0，解得t1=5﹣，t2=5+（不合题意舍去）．故四边形PQCB面积能是△ABC面积的，此时t的值为5﹣；（4）△AEQ为等腰三角形时，分三种情况讨论：①如果AE=AQ，那么10﹣2t=2t，解得t=；②如果EA=EQ，那么（10﹣2t）×=t，解得t=；③如果QA=QE，那么2t×=5﹣t，解得t=．故当t为秒秒秒时，△AEQ为等腰三角形．【总结升华】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定等，综合性较强，难度适中．解答此题时要注意分类讨论，不要漏解；其次运用方程思想是解题的关键．举一反三：【变式】（2016•镇江）如图1，在菱形ABCD中，AB=6，tan∠ABC=2，点E从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t（秒），将线段CE绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CF．（1）求证：BE=DF；（2）当t= 秒时，DF的长度有最小值，最小值等于；（3）如图2，连接BD、EF、BD交EC、EF于点P、Q，当t为何值时，△EPQ是直角三角形？（4）如图3，将线段CD绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CG．在点E的运动过程中，当它的对应点F位于直线AD上方时，直接写出点F到直线AD的距离y 关于时间t的函数表达式．【答案】解：（1）∵∠ECF=∠BCD，即∠BCE+∠DCE=∠DCF+∠DCE，∴∠DCF=∠BCE，∵四边形ABCD是菱形，∴DC=BC，在△DCF和△BCE中，∵，∴△DCF≌△BCE（SAS），∴DF=BE；（2）如图1，当点E运动至点E′时，DF=BE′，此时DF最小，在Rt△ABE′中，AB=6，tan∠ABC=tan∠BAE′=2，∴设AE′=x，则BE′=2x，∴AB=x=6，则AE′=6∴DE′=6+6，DF=BE′=12，故答案为：6+6，12；（3）∵CE=CF，∴∠CEQ＜90°，①当∠EQP=90°时，如图2①，∵∠ECF=∠BCD，BC=DC，EC=FC，∴∠CBD=∠CEF，∵∠BPC=∠EPQ，∴∠BCP=∠EQP=90°，∵AB=CD=6，tan∠ABC=tan∠ADC=2，∴DE=6，∴t=6秒；②当∠EPQ=90°时，如图2②，∵菱形ABCD的对角线AC⊥BD，∴EC与AC重合，∴DE=6，∴t=6秒；（4）y=t﹣12﹣，如图3，连接GF分别交直线AD、BC于点M、N，过点F作FH⊥AD于点H，由（1）知∠1=∠2，又∵∠1+∠DCE=∠2+∠GCF，∴∠DCE=∠GCF，在△DCE和△GCF中，∵，∴△DCE≌△GCF（SAS），∴∠3=∠4，∵∠1=∠3，∠1=∠2，∴∠2=∠4，∴GF∥CD，又∵AH∥BN，∴四边形CDMN是平行四边形，∴MN=CD=6，∵∠BCD=∠DCG，∴∠CGN=∠DCN=∠CNG，∴CN=CG=CD=6，∵tan∠ABC=tan∠CGN=2，∴GN=12，∴GM=6+12，∵GF=DE=t，∴FM=t﹣6﹣12，∵tan∠FMH=tan∠ABC=2，∴FH=（t﹣6﹣12），即y=t﹣12﹣．类型二、函数与几何综合问题2.如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t（t＞0）秒，抛物线y=x2＋bx＋c经过点O和点P．已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0）、B（1，－5）、D（4，0）．⑴求c、b（可以用含t的代数式表示）；⑵当t>1时，抛物线与线段AB交于点M．在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；⑶在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接．．写出t的取值范围．【思路点拨】（1）由抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，将点O与P的坐标代入方程即可求得c，b；（2）当x=1时，y=1-t，求得M的坐标，则可求得∠AMP的度数；（3）根据图形，可直接求得答案．【答案与解析】解：（1）把x=0，y=0代入y=x2+bx+c，得c=0，再把x=t，y=0代入y=x2+bx，得t2+bt=0，∵t＞0，∴b=-t；（2）不变．∵抛物线的解析式为：y=x2-tx，且M的横坐标为1，∴当x=1时，y=1-t，∴M（1，1-t），∴AM=|1-t|=t-1，∵OP=t ，∴AP=t-1， ∴AM=AP ，∵∠PAM=90°，∴∠AMP=45°；（3）72＜ｔ＜113．①左边4个好点在抛物线上方，右边4个好点在抛物线下方：无解； ②左边3个好点在抛物线上方，右边3个好点在抛物线下方： 则有-4＜y 2＜-3，-2＜y 3＜-1， 即-4＜4-2t ＜-3，-2＜9-3t ＜-1，∴72＜ｔ＜４且103＜ｔ＜113，解得72＜ｔ＜113；③左边2个好点在抛物线上方，右边2个好点在抛物线下方：无解； ④左边1个好点在抛物线上方，右边1个好点在抛物线下方：无解； ⑤左边0个好点在抛物线上方，右边0个好点在抛物线下方：无解； 综上所述，t 的取值范围是：72＜ｔ＜113．【总结升华】此题考查了二次函数与点的关系．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．类型三、动态几何中的函数问题3. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2+2y ax ax c =+的图象与y 轴交于(0,3)C ，与x 轴交于A 、B 两点，点B 的坐标为(-3,0)（1）求二次函数的解析式及顶点D 的坐标；（2）点M 是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM 把四边形ACDB 分成面积为1:2的两部分，求出此时点M 的坐标；（3）点P 是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P 在何处时△CPB 的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P 的坐标.【思路点拨】（1）抛物线的解析式中只有两个待定系数，因此只需将点B 、C 的坐标代入其中求解即可．（2）先画出相关图示，连接OD 后发现：S △OBD ：S 四边形ACDB =2：3，因此直线OM 必须经过线段BD 才有可能符合题干的要求；设直线OM 与线段BD 的交点为E ，根据题干可知：△OBE 、多边形OEDCA 的面积比应该是1：2或2：1，即△OBE 的面积是四边形ACDB 面积的1233或，所以先求出四边形ABDC 的面积，进而得到△OBE 的面积后，可确定点E 的坐标，首先求出直线OE （即直线OM ）的解析式，联立抛物线的解析式后即可确定点M 的坐标（注意点M 的位置）．（3）此题必须先得到关于△CPB 面积的函数表达式，然后根据函数的性质来求出△CPB 的面积最大值以及对应的点P 坐标；通过图示可发现，△CPB 的面积可由四边形OCPB 的面积减去△OCB 的面积求得，首先设出点P 的坐标，四边形OCPB 的面积可由△OCP 、△OPB 的面积和得出． 【答案与解析】解：（1）由题意，得：3,9-60.c a a c =⎧⎨+=⎩ 解得：-1,3.a c =⎧⎨=⎩所以，二次函数的解析式为：2--23y x x =+ ，顶点D 的坐标为（-1，4）. （2）画图由Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点的坐标，易求四边形ACDB 的面积为9.直线BD 的解析式为y=2x+6.设直线OM 与直线BD 交于点E ，则△OBE 的面积可以为3或6.①当1=9=33OBE S ∆⨯时，如图，易得E 点坐标（-2，-2），直线OE 的解析式为y=-x.E M xy O A BCD设M 点坐标（x ，-x ），21223113113,().22x x x x x -=--+---+==舍 ∴113113M ,22--+（） ② 当时，同理可得M 点坐标．∴ M 点坐标为（-1，4）．（3）如图，连接OP ，设P 点的坐标为(),m n ， ∵点P 在抛物线上，∴232n m m =-+-， ∴PB PO OPB OB S S S S =+-△C △C △△C111||222OC m OB n OC OB =⋅-+⋅-⋅ ()339332222m n n m =-+-=--()22333273.2228m m m ⎛⎫=-+=-++ ⎪⎝⎭∵3<0m -<，∴当32m =-时，154n =. △CPB 的面积有最大值27.8∴当点P 的坐标为315(,)24-时，△CPB 的面积有最大值，且最大值为27.8【总结升华】此题主要考查了二次函数解析式的确定、图形面积的解法以及二次函数的应用等知识；（2）问中，一定先要探究一下点M 的位置，以免出现漏解的情况．举一反三：【变式】如图所示，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（3，0），（0，1），点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线y ＝－12x ＋b 交折线OAB 于点E ．（1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式；（2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形OA 1B 1C 1，试探究OA 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.yxDECOAB【答案】（1）由题意得B （3，1）．若直线经过点A （3，0）时，则b ＝32 若直线经过点B （3，1）时，则b ＝52若直线经过点C （0，1）时，则b ＝1.①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤32，如图1，此时点E（2b，0）.∴S＝12OE·CO＝12×2b×1＝b.②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即32＜b＜52，如图2，此时点E（3，32b-），D（2b－2，1）.∴S＝S矩－(S△OCD＋S△OAE＋S△DBE)＝ 3－[12(2b－1)×1＋12×(5－2b)•(52b-)＋12×3(32b-)]（2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，C1B1与OA相交于点N，则矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积．由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM 为平行四边形,根据轴对称知，∠MED＝∠NED, 又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，MD＝ME，∴平行四边形DNEM为菱形．过点D作DH⊥OA，垂足为H，设菱形DNEM的边长为a，由题可知，D（2b-2，1），E（2b，0），∴DH=1，HE=2b-（2b-2）=2，∴HN=HE-NE=2-a，则在Rt△DHM中，由勾股定理知：222(2)1a a=-+，∴a=5 . 4.∴S四边形DNEM ＝NE·DH＝54．∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为54．类型四、直角坐标系中的几何问题4. 如图所示，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴．．．于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）由轴对称的性质，可知∠FBD=∠ABD，FB=AB，可得四边形ABFD是正方形，则可求点E、F的坐标；（2）已知抛物线的顶点，则可用顶点式设抛物线的解析式. 因为以点E、F 、P 为顶点的等腰三角形没有给明顶角的顶点，而顶角和底边都是唯一的，所以要抓住谁是顶角的顶点进行分类，可分别以E 、F 、P 为顶角顶点；（3）求周长的最小值需转化为利用轴对称的性质求解. 【答案与解析】解：(1)E(3,1)；F(1,2)；(2)连结EF ，在Rt △EBF 中,∠B=90°，∴EF=5212222=+=+BF EB .设点P 的坐标为(0,n),n ＞0,∵顶点F(1,2), ∴设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+2，(a ≠0)．①如图1，当EF=PF 时，EF 2=PF 2，∴12+(n-2)2=5，解得n 1=0(舍去)，n 2=4. ∴P(0，4)，∴4=a(0-1)2+2，解得a=2， ∴抛物线的解析式为y=2(x-1)2+2．②如图2，当EP=FP 时，EP 2=FP 2，∴(2-n)2+1=(1-n)2+9，解得n=－25(舍去)③当EF=EP 时，EP=5＜3，这种情况不存在. 综上所述，符合条件的抛物线为y=2(x-1)2+2．(3)存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小．如图3，作点E 关于x 轴的对称点E′，作点F 关于y 轴的对称点F′，连结E′F′，分别与x 轴、y 轴交于点M 、N ，则点M 、N 就是所求. 连结NF 、ME. ∴E′(3，-1)、F′(-1，2)，NF=NF′，ME=ME′. ∴BF′=4，BE′=3. ∴FN+NM+ME=F′N+NM+ME′=F′E′=2243 =5. 又∵EF=5，∴FN+MN+ME+EF=5+5， 此时四边形MNFE 的周长最小值为5+5.【总结升华】本题考查了平面直角坐标系、等腰直角三角形、抛物线解析式的求法、利用轴对称求最短距离以及数形结合、分类讨论等数学思想. 分类讨论的思想要依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类原则是不重不漏，最简分类常见的依据是：一是依据概念分类，如判断直角三角形时明确哪个角可以是直角，两个三角形相似时分清哪两条边是对应边；二是依运动变化的图形中的分界点进行分类，如一个图形在运动过程中，与另一个图形重合部分可以是三角形，也可以是四边形、五边形等. 几何与函数的综合题是中考常见的压轴题型，解决这类问题主要分为两步：一是利用线段的长确定出几何图形中各点的坐标；二是用待定系数法求函数关系式．类型五、几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题5. 如图所示，以等腰三角形AOB 的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA 1，再以等腰直角三角形ABA 1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A 1BB 1，……，如此作下去，若OA=OB=1，则第n 个等腰直角三角形的面积Ｓ＝ ________（n 为正整数）．B 2B 1A 1BOA【思路点拨】本题要先根据已知的条件求出S 1、S 2的值，然后通过这两个面积的求解过程得出一般性的规律，进而可得出S n 的表达式．【总结升华】本题要先从简单的例子入手得出一般化的结论，然后根据得出的规律去求特定的值． 举一反三：【变式】阅读下面的文字，回答后面的问题．求3+32+33+…+3100的值． 解：令S=3+32+33+…+3100（1），将等式两边提示乘以3得到：3S=32+33+34+…+3101（2）， （2）-（1）得到：2S=3101-3问题：（1）2+22+…+22011的值为__________________；（直接写出结果）（2）求4+12+36+…+4×350的值；（3）如图，在等腰Rt△OAB中，OA=AB=1，以斜边OB为腰作第二个等腰Rt△OBC，再以斜边OC为腰作第三个等腰Rt△OCD，如此下去…一直作图到第8个图形为止．求所有的等腰直角三角形的所有斜边之和．（直接写出结果）．【答案】解：（1）22012-2．（2）令S=4+12+36+…+4×350 ①，将等式两边提示乘以3得到：3S=12+36+108+…+4×351②，②-①得到：2S=4×341-4∴S=2×351-2∴4+12+36+…+4×350=2×351-2．（3）92-2 2-1（）．。

一 .反比例函数、一次函数部分1. 下列函数中，自变量x 的取值范围是x ≥3的是（ ） （A ）31-=x y （B ）31-=x y（C ）3-=x y （D ）3-=x y2使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3 B 、x ≥3 C 、 x>4 D 、x ≥3且x ≠43． 一次函数y =kx +b 与反比例函数y =kx 的图象如图5所示，则下列说法正确的是( )A.它们的函数值y 随着x 的增大而增大B.它们的函数值y 随着x 的增大而减小 ＜0D.它们的自变量x 的取值为全体实数4．矩形面积为4，它的长y 与宽x 之间的函数关系用图象大致可表示为（ ）5．反比例函数 x m y 1+=的图象经过点（2，1），则m 的值是 6．在反比例函数1ky x-=的图象的每一条曲线上，y x 都随的增大而增大，则k 的值可以是（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．27．如图，已知一次函数1y x =+的图象与反比例函数ky x=在第一象限相交于点A ，与x 轴相交于点C AB x ，⊥轴于点B AOB △的面积为1，则AC 的长为 （保留根号）．8如图，A 、B 是函数2y x=的图象上关于原点对称的任意两点， yO xAC B yOyOyOyOOBxyCABC ∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面积记为S ，则（ ）A ． 2S =B ． 4S =C ．24S <<D ．4S >9如图，点A 、B 是双曲线3y x=上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段， 若1S =阴影，则12S S += ．10如图，直线y=mx 与双曲线y=xk交于A 、B 两点，过点A 作AM ⊥x 轴，垂足为M ，连结BM,若ABM S ∆=2，则k 的值是（ ） A ．2 B 、m-2C 、mD 、411.将直线y x =向左平移1个单位长度后得到直线a ，如图3，直线a 与反比例函数()1y x =A ，与x 轴相交于B ，则22OA OB -=12.从2、3、4、5这四个数中，任取两个数()p q p q ≠和，构成函数2y px y x q =-=+和，并使这两个函数图象的交点在直线2x =的右侧，则这样的有序数对()p q ，共有（ ） A ．12对 B ．6对C ．5对D ．3对13．小敏家距学校1200米，某天小敏从家里出发骑自行车上学，开始她以每分钟1V 米的速xyABO1S2SB AOyxa图5度匀速行驶了600米，遇到交通堵塞，耽搁了3分钟，然后以每分钟2V 米的速度匀速前进一直到学校)(21V V <，你认为小敏离家的距离y 与时间x 之间的函数图象大致是（ ）\14．一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E ”图案，如图4所示，设小矩形的长和宽分别为x 、y ，剪去部分的面积为20，若2≤x ≤10，则y 与x 的函数图象是:15.已知, A 、B 、C 、D 、E 是反比例函数16y x=（x>0）图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图5所示的五个橄榄形（阴影部分），则这五个橄榄形的面积总和是 （用含π的代数式表示）\16如图7所示，P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），……P n （x n ，y n ）在函数y=x9（x ＞0）的图象上，△OP 1A 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3……△P n A n －1A n ……都是等腰直角三角形，斜边OA 1，A 1A 2 ,……A n-1A n ，都在x 轴上，则y 1+y 2+…+y n = 。

北师大版八年级数学上册第四章 一次函数 提高培优讲义：一次函数和代数综合 知识梳理模块一：一次函数(0)y kx b k =+≠图像的变换及特殊位置关系： 1．平移：上加下减，左加右减；2．对称：关于哪轴对称那轴对应坐标不变，另外一个变为原来的相反数； 3．中心对称：x 和y 值都变．4．三大变换通解方法：找两个点（如与坐标轴的两个交点），进行相应变化后，再确定解析式．5．特殊位置关系：（1）若两直线平行：k （斜率）相等（b 值不等）．（2）若两直线垂直：两直线k （斜率）互为负倒数，即121k k ⋅=-． 模块二：一次函数和方程（组）综合 ←−→←−→←−→←−→模块三：一次函数和不等式综合 ←−→←−→←−→←−→例题精讲以交点为界限，直线1l 位于直线2l 上方的那部分一次函数11y a x b =+与22y a x b =+，求当12y y >时x 的取值范围 解一元一次不等式1122a x b a x b +>+()a a ≠当0y >时，直线上的点在x 轴上方0y <时，点在x 轴下方一次函数y ax b =+ 求当0y >或0y <时x解一元一次不等式0ax b +>0(0)ax b a +<≠两条直线11y a x b =+与22y a x b =+相交求一次函数11y a x b =+ 与22y a x b =+图象的交点坐标解二元一次方程组 ()1112y a x b a a y a x b =+⎧⎨=+⎩≠确定直线y ax b =+与x 轴交点的横坐标一次函数y ax b =+ 当0y =时，求x 的值解一元一次方程 ()00ax b a +=≠（1）把函数24y x =-+的图象向上平移2个单位，所得函数图象的解析式为_________；（2）把函数34y x =+的图象向右平移2个单位，所得函数图象的解析式为_________；（3）把函数31y x =--的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得函数图象的解析式为__________；（4）若将直线l 的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位后，得到直线21y x =-+，则原直线解析式为__________．【解析】（1）26y x =-+；（2）32y x =-；（3）312y x =--；（4）27y x =--． 【提示】这道题主要考查一次函数的平移规律：上加下减，左加右减．规律可以记不住，但是一定要让学生掌握本质，通过寻找特殊点（一般是与坐标轴交点）变换后的点，运用两点式或点斜式来确定直线的解析式。

初中数学专题复习代数综合题(含答案)代数综合题是一类综合题，主要包括方程、函数、不等式等内容，需要用到化归思想、分类思想、数形结合思想以及代入法、待定系数法、配方法等数学思想方法。

解决代数综合题需要注意归纳整理教材中的基础知识、基本技能、基本方法，抓住题意，化整为零，层层深入，各个击破。

同时，需要注意各知识点之间的联系和数学思想方法、解题技巧的灵活运用，从而达到解决问题的目的。

已知关于x的一元二次方程x－(k＋1)x－6=0的一个根是2，求方程的另一根和k的值。

解：设方程的另一根为x1，由韦达定理：2 x1 =－6，∴x1 =－3.由韦达定理：－3+2= k＋1，∴k=－2.已知关于x的一元二次方程（k+4）x＋3x+k－3k－4=0的一个根为2，求k的值。

解：把x=0代入这个方程，得k－3k－4=0，解得k1＝1，k2＝－4.因为k+4≠0，所以k≠－4，所以k＝1.需要注意需满足k+4的系数不能为0，即k≠－4.已对方程2x+3x－l＝0，求作一个二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数。

解：设2x+3x－l＝0的两根为x1、x2，则新方程的两根为1/x1、1/x2.得到1/x1+1/x2=3，所以新方程为y2－3y－2=0.某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的日销售价x （元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：x（元）xxxxxxxx… y（件）xxxxxxxx…（省略号表示数据继续往下延伸）。

⑴在草稿纸上描点，观察点的分布，建立y与x的恰当函数模型。

⑵要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？解：⑴经观察发现各点分布在一条直线上，∴设y=kx+b（k≠0）。

⑵由题意可知每件产品的销售价应为20元，此时每日销售利润为200元。

1、根据题意可列出函数关系：y=ax^2+bx+c，代入三组数据得到三个方程组成的线性方程组：begin{cases} 8.6=1990a+1990b+c \\ 10.4=1995a+1995b+c \\ 12.9=2000a+2000b+c \end{cases}$$解得：$a=0.45,b=-1792.5,c=xxxxxxx$，所以二次函数为$y=0.45x^2-1792.5x+xxxxxxx$，代入$x=15$得到2005年该市国内生产总值为14.1亿元人民币。

备考2022年中考数学二轮复习-函数_二次函数_二次函数与不等式（组）的综合应用-综合题专训及答案二次函数与不等式（组）的综合应用综合题专训1、(2017丰台.中考模拟) 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣4mx+2m﹣1（m≠0）与平行于x轴的一条直线交于A，B两点．（1）求抛物线的对称轴；（2）如果点A的坐标是（﹣1，﹣2），求点B的坐标；（3）抛物线的对称轴交直线AB于点C，如果直线AB与y轴交点的纵坐标为﹣1，且抛物线顶点D到点C的距离大于2，求m的取值范围．2、(2018西湖.中考模拟) 二次函数y=（m+1）x2﹣2（m+1）x﹣m+3．（1）求该二次函数的对称轴；（2）过动点C（0，n）作直线l⊥y轴，当直线l与抛物线只有一个公共点时，求n关于m的函数表达式；（3）若对于每一个给定的x值，它所对应的函数值都不大于6，求整数m．3、(2017江北.中考模拟) 如图，已知图①中抛物线y=ax2+bx+c经过点D（﹣1，0）、C（0，﹣1）、E（1，0）．（1）求图①中抛物线的函数表达式；（2）将图①中抛物线向上平移一个单位，再绕原点O顺时针旋转180°后得到图②中抛物线，则图②中抛物线的函数表达式为；（3）图②中抛物线与直线y=﹣x﹣相交于A、B两点（点A在点B的左侧），如图③，求点A、B的坐标，并直接写出当一次函数的值大于二次函数的值时，x 的取值范围．4、(2017杭州.中考模拟) 已知抛物线y=x2﹣2bx+c（1）若抛物线的顶点坐标为（2，﹣3），求b，c的值；（2）若b+c=0，是否存在实数x，使得相应的y的值为1，请说明理由；（3）若c=b+2且抛物线在﹣2≤x≤2上的最小值是﹣3，求b的值．5、(2016杭州.中考真卷) 已知函数y1=ax2+bx，y2=ax+b（ab≠0）．在同一平面直角坐标系中．（1）若函数y1的图象过点（﹣1，0），函数y2的图象过点（1，2），求a，b的值．（2）若函数y2的图象经过y1的顶点．①求证：2a+b=0；②当1＜x＜时，比较y1，y2的大小．6、(2019河南.中考模拟) 根据下列要求，解答相关问题：（1）请补全以下求不等式﹣2x2﹣4x≥0的解集的过程①构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数y=﹣2x2﹣4x；抛物线的对称轴x=﹣1，开口向下，顶点（﹣1，2）与x轴的交点是（0，0），（﹣2，0），用三点法画出二次函数y=﹣2x2﹣4x的图象如图1所示；②数形结合，求得界点：当y=0时，求得方程﹣2x2﹣4x=0的解为；③借助图象，写出解集：由图象可得不等式﹣2x2﹣4x≥0的解集为．（2）利用（1）中求不等式解集的方法步骤，求不等式x2﹣2x+1＜4的解集．①构造函数，画出图象；②数形结合，求得界点；③借助图象，写出解集．（3）参照以上两个求不等式解集的过程，借助一元二次方程的求根公式，直接写出关于x的不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集．7、(2017荆州.中考真卷) 已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣5）x+1﹣k=0，其中k为常数．（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；（2）已知函数y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，求k的取值范围；（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值．8、(2017长沙.中考真卷) 若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三组数”．（1）实数1，2，3可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由；（2）若M（t，y1），N（t+1，y2），R（t+3，y3）三点均在函数（k为常数，k≠0）的图象上，且这三点的纵坐标y1，y2，y3构成“和谐三组数”，求实数t的值；（3）若直线y=2bx+2c（bc≠0）与x轴交于点A（x1，0），与抛物线y=ax2+3bx+3c（a≠0）交于B（x2，y2），C（x3，y3）两点．①求证：A，B，C三点的横坐标x1，x2，x3构成“和谐三组数”；②若a＞2b＞3c，x2=1，求点P（，）与原点O的距离OP的取值范围．9、(2017揭阳.中考模拟) 如图，直线y=﹣x﹣2交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A，且经过点B．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点C（m，﹣）在抛物线上，求m的值．（3）根据图象直接写出一次函数值大于二次函数值时x的取值范围．10、(2019昆明.中考模拟) 已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B （3，0）.（1）求抛物线的解析式；（2）过点D（0，）作x轴的平行线交抛物线于E，F两点，求EF的长；（3）当y≤ 时，直接写出x的取值范围是.11、(2019盘龙.中考模拟) 如图，已知抛物线与轴交于点，，且线段，该抛物线与轴交于点，对称轴为直线.（1）求抛物线的函数表达式；（2）根据图象，直接写出不等式的解集：；（3）设D为抛物线上一点，为对称轴上一点，若以点，，，为顶点的四边形是菱形，则点的坐标为.12、(2020萧山.中考模拟) 已知点A（1，1）为函数y=ax2+bx+4（a，b为常数，且a≠0）上一点。

第9课 函数与其他代数知识的综合运用◆考点分析函数与其他代数知识的综合运用仍然是中考的热点之一，有的与方程、三角函数等知识相结合，有的是传统函数题的新探究，有的是函数与新的数学知识相结合. 这类题目多安排在最后几道，主要考查综合运用知识的能力，其难度比较深，运算量比较大，对式的恒等变形、用字母表示数的代数知识及数学思想方法等要求特别高. ◆典型例题例1 (2006年长沙市中考题)如图3.3-1，已知直线12y x =-与抛物线2164y x =-+交于A 、B 两点.（1）求A 、B 两点的坐标；（2）求线段AB 的垂直平分线的解析式.【解题分析】 本题以函数知识为框架，以方程知识为工具，将函数与方程揉和为一体. 第（1）小题把求直线与抛物线的交点问题转化为解方程组问题可求得A 、B 两点的坐标；第（2）小题把求点的坐标问题转化为三角形相似问题，由C 、D 两点坐标求出线段AB 的垂直平分线的解析式.【同类变式】 如图3.3-2，在平面直角坐标系中，抛物线2164y x =-与直线12y x =交于A 、B 两点.（1）求线段AB 的长；（2）若一个扇形的周长等于（1）中线段AB 当扇形的半径取何值时，扇形的面积最大？ 最大面积是多少？ （2007年深圳市中考题）例2 （2005年常州市中考题）有一个直角三角形ABC ，∠A=900，∠B=600，AB=1，将它放在直角坐标系中，使斜边BC 在x 轴上，直角顶点A在反比例函数y x=的图象上，求点C 的坐标.【解题分析】 根据题目要求，直角三角形ABC 的直角顶点A要放在反比例函数y =的图象上，而函数图象有两支，直角三角形ABC 又不是等腰直角三角形，所以会出现四种情况，在每一种情况下，根据直角三角形的特殊边角关系，即可求出点C 的坐标. 这种分情况讨论求解的题目不仅要求思维灵活、严谨，而且要求具有很好的知识基础，如本题中的特殊直角三角形的边角关系的计算要达到“自动化”的程度.【同类变式】 （2006年成都市中考题）如图3.3—3，已知反比例函数(0)ky k x=<的图象经过点A ()m ，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，且∆AOB.（1）求k 和m 的值；（2）若一次函数1y ax =+的图象经过点A ，并且与x 轴相交于点C ，求∠ACO 的度数和︱A O ︱：︱A C ︱的值.例3 （2007年大连市中考题）已知抛物线22y ax x =++. （1）当1a =-时，求此抛物线的顶点坐标和对称轴； （2）若代数式22x x -++的值为正整数，求x 的值；（3）当1a a =时，抛物线22y ax x =++与x 轴的正半轴相交于点(,0)M m ，当2a a =时，抛物线22y ax x =++与x 轴的正半轴相交于点(,0)N n ，若点M 在点N的左边，试比较1a 与2a 的大小.【解题分析】 第（1）小题是把抛物线解析式的一般形式化为顶点式，必须熟练掌握，22192()24y x x x =-++=--+；第（2）小题求解必须明确，开口向下的抛物线219()24y x =--+，它的最高点是它的顶点19(,)24，即它的最大函数值为94，那么代数式22x x -++的正整数值就只有1或2，再分别求出x 的值；第（3）小题对代数式的恒等变形要求很高，要谨慎分别用,m n 的代数式表示12,a a ，用求差法就可以比较1a 与2a 的大小，但要注意题目条件“0m n <<”有效合理利用.◆当堂反馈1、（2007年成都市中考题）如图3.3—4所示的抛物线是二次函数2231y ax x a =-+-的图象，那么a 的值是 .2、如图，矩形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA=4，OC=2，点G 为矩形对角线的交点，经过点G 的双曲线ky x=在第一象限的图象与BC 相交于点M ，则CM ：MB= . （2007年大连市中考题） 3、设抛物线212y x =与直线y x =的交点为A ，与直线y x =-的交点为B. 过点A 引与OB 平行的直线，与抛物线212y x =交点为C ，再经过点C 引与OA 平行的直线，与212y x =的交点为D. 用最简单的整数比来表示下列线段的比：OA ：AC ：CD.◆配套练习1、（2007年南京市中考题）已知点(,)P x y 位于第二象限，并且4y x ≤+，,x y 为整数，写出一个符合上述条件的点P 的坐标 .2、（2007年威海市中考题）如图3.3-6，直线y mx =与双曲线ky x=交于点A 、B ，过点A 作A M ⊥x 轴，垂足为M ，连接BM ，若1ABM S ∆=，则k 的值是（ ）.A .1 B. 1m - C.2 D. m3、二次函数2(0,,,y ax bx c a a b c =++≠都是常数），自变量x 与函数y 的对应值如下表：x－112- 0 12 1 32 2 52 3 y－2 14-174274114- －2（1）判断二次函数图象的开口方向，并写出它的顶点坐标；（2）一元二次方程20(0,,,ax bx c a a b c ++=≠都是常数）的两个根1x ，2x 的取值范围是下列选项中的哪一个？ .①12130,222x x -<<<<；②12151,222x x -<<-<<； ③12150,222x x -<<<<；④12131,222x x -<<-<<. （2007年宁夏中考题）4、若设关于x 的一次函数11y a x b =+与22y a x b =+，则称为函数1122()()y m a x b n a x b =+++（其中1m n +=）为此两个函数的生成函数.（1）当1x =时，求函数1y x =+与2y x =的生成函数的值；（2）若函数11y a x b =+与22y a x b =+的函数交点为P ，判断点P 是否在此两个函数的生成函数的图象上，并说明理由. （2007年绍兴市中考题）答案: ◆典型例题例1 （1）由题意得216,412y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得12126,4,,32x x y y ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩，∴A （6，-3）B （-4，2）； （2）如题图，作AB 的垂直平分线分别交x 轴、y 轴于C 、D 两点，交AB 与M ，∵OA OB ==，∴AB =∴122OM AB OB =-=， 过点B 作B E ⊥x 轴E 于点，∵⊿BEO ∽⊿CMO ，∴OC OM OB OE =，55,42OC OD ==， ∴C 、D 两点的坐标分别为55(,0),(0,)42C D -，设过C 、D 两点的直线解析式为y kx b =+，则有50,452k b b ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴2,52k b =⎧⎪⎨=-⎪⎩，即线段AB 的垂直平分线的解析式为522y x =-. 【同类变式】（1）由216,412y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得12124,6,,23x x y y =-=⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩，∴A （-4，-2）B （6，3），易求得OA OB ==，∴AB = （2）设扇形的半径为x ，扇形的面积S ，则212)2S x x x x ==-，当x =12516S =.例2 有4种情况：如图（1），过点A 作A D ⊥BC 于D ，则AD=AB ×sin600=2， 即A点的纵坐标为2，将其代入y x=得2x =， ∴OD=2，在直角三角形ADC 中， DC=32，∴OC=72，∴17(,0)2C ； 如图（2）过点A 作A E ⊥BC 于E ，则AE=2，OE=2，CE= 32， ∴OC= 12，∴21(,0)2C ；根据双曲线的对称性，可知3471(,0),(,0)22C C --. ∴点C 的坐标分别为：17(,0)2C 、21(,0)2C 、37(,0)2C -、41(,0)2C -.【同类变式】 （1）2,m k ==-（2）∠ACO=300，︱A C ︱=4，︱A O ︱，∴ ︱A O ︱：︱A C ︱：4.例3 （1）当1a =-时，抛物线22y ax x =++可化为22192()24y x x x =-++=--+， ∴顶点坐标为19(,)24，对称轴为12x =； （2）∵代数式22x x -++的值为正整数，∴函数22y x x =-++的值为正整数，又∵22192()24y x x x =-++=--+，它的最大值为94， ∴y 的正整数值只能为1或2，图2当1y =时，21221,x x x x -++===， 当2y =时，23422,0,1x x x x -++===.∴x的值有四个：11,22+-. （3）当1a a =时，抛物线22y ax x =++与x 轴的正半轴相交于点(,0)M m ，∴2120,0,a m m m ++=≠，∴122m a m +=-， 当2a a =时，抛物线22y ax x =++与x 轴的正半轴相交于点(,0)N n ，∴2220,0a n n n ++=≠，∴222n a n+=-， ∴122222()m n a a m n ++-=--- 22222222n m n m n m m n --++= 22()(22)m n mn m n m n -++=， ∵点M 、N 在x 轴的正半轴上，且点M 在点N 的左边，∴0m n <<，∴0m n -<， ∴22()(22)0m n mn m n m n -++<，∴12a a <.◆当堂反馈1、-1.2、1：3.3、如图，由21,2y x y x⎧=⎪⎨⎪=⎩得A 点坐标为（2，2）∴同理，， ∴OA ：AC ：CD=1：3：5.◆配套练习1、（-1，3），（-1，2），（-1，1），（-2，2），（-2，1），（-3，1）写一个即可.2、A.3、（1）开口向下，顶点坐标为（1，2）；（2）选③.4、（1）函数1y x =+与2y x =的生成函数为(1)(2)(2)y m x n x m n x m =++=++，当1x =时，此两个生成函数的值为(2)12()212y m n m m n =+⨯+=+=⨯=； （2）点P 在两个函数的生成函数图象上.设点P 的坐标为(,)a b ，∵11a a b b ⨯+=，22a a b b ⨯+=， ∴当自变量x a =时，此两个函数的生成函数的函数值y 为：1122()()y m a a b n a a b =⨯++⨯+()mb nb m n b b =+=+=，即点P 在两个函数的生成函数图象上..。

１代数式方程函数综合测试题一、选择题1. 若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．1k >-B ．1k >-且0k ≠C ．1k <D ．1k <且0k ≠2. 如图，小虎在篮球场上玩， 从点O 出发， 沿着O →A →B →O 的路径匀速跑动，能近似刻画小虎所在位置距出发点O 的距离S 与时间t 之间的函数关系的大致图象是 （ ）3. 小明在解关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=⊗-=⊗+133,y x y x 时得到了正确结果⎩⎨⎧=⊕=.1,y x 后来发现“⊗”“ ⊕”处被墨水污损了，请你帮他找出⊗、⊕A ．⊗ = 1，⊕ = 1B ．⊗ = 2，⊕ = 1C ．⊗ = 1，⊕ = 2D ．⊗ = 2，⊕ = 24. 如图，直线y kx b =+经过点(12)A --，和点(20)B -，， 直线2y x =过点A ，则不等式20x kx b <+<的解集为（ ） A ．2x <-B ．21x -<<-C ．20x -<<D ．10x -<<5. 已知二次函数2y a x b x c =++（0a ≠）的图象如图所示，有下列四个结论：20040b c b a c <>->①②③④0a b c -+<A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个２6. 从2、3、4、5这四个数中，任取两个数()p q p q ≠和，构成函数2y px y x q =-=+和，并使这两个函数图象的交点在直线2x =的右侧，则这样的有序数对()p q ，共有（ ） A ．12对 B ．6对 C ．5对D ．3对二、填空题7. 已知直线1y x =，2113y x =+，3455y x =-+无论x 取何值，y 总取1y 、2y、3y 中的最小值，则y 的最大值为 ．8. 解方程2223321x x x x--=-时，若设21x y x =-，则方程可化为 ．9. 若n （0n ≠）是关于x 的方程220x mx n ++=的根，则m +n 的值为____________．10. 点(21)A ，在反比例函数ky x=的图象上，当14x <<时，y 的取值范围是 ．11. 图为二次函数2y ax bx c =++的图象，给出下列说法：①0ab <；②方程20ax bx c ++=的根为1213x x =-=，；③0a b c ++>；④当1x >时，y 随x 值的增大而增大；⑤当0y >时，13x -<<．其中，正确的说法有 ．（请写出所有正确说法的序号） 三、计算题 12. 解分式方程：14143=-+--xx x13. 解方程： 0)3(2)3(2=-+-x x x３四、应用题14. 在达成铁路复线工程中，某路段需要铺轨．先由甲工程队独做2天后，再由乙工程队独做3天刚好完成这项任务．已知乙工程队单独完成这项任务比甲工程队单独完成这项任务多用2天，求甲、乙工程队单独完成这项任务各需要多少天？15. 如图，A B 、两点在函数(0)my x x=>的图象上． （1）求m 的值及直线AB 的解析式；（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点，请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数．４六、动态几何16. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点(40)B ，、(80)C ，、(88)D ，．抛物线2y ax bx =+过A C 、两点．（1）直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）动点P 从点A 出发，沿线段AB 向终点B 运动，同时点Q 从点C 出发，沿线段CD 向终点D 运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒．过点P 作PE AB ⊥交AC 于点E ．①过点E 作EF AD ⊥于点F ，交抛物线于点G ．当t 为何值时，线段EG 最长？ ②连接EQ ．在点P Q 、运动的过程中，判断有几个时刻使得CEQ △是等腰三角形？ 请直接写出相应的t 值．。

板块考试要求A 级要求B 级要求C 级要求一次函数理解正比例函数；能结 合具体情境了解一次函数的意义，会画一次函数的图象；理解一次函数的性质会根据已知条件确定一次函数的解析式；会根据一次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标；能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解能用一次函数解决实际问题一、一次函数解析式的确定用待定系数法求一次函数的解析式⑴定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待字系数法．⑵用待定系数法求函数解析式的一般步骤： ①根据已知条件写出含有待定系数的解析式； ②将x y ，的几对值，或图象上的几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组；③解方程（组），得到待定系数的值；④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求的函数解析式．二、一次函数与一元一次方程的关系：直线y b k 0kx =+≠（）与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程0(0)kx b k +=≠的解。

求直线y bkx =+与x 轴交点时，可令0y =，得到方程b 0kx +=，解方程得b x k =-，直线y kx b =+交x 轴于(,0)b k-，b k -就是直线y b kx =+与x 轴交点的横坐标。

三、一次函数与一元一次不等式的关系：任何一元一次不等式都可以转化为0ax b +>或0ax b +<(a b 、为常数，0a ≠)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。

四、一次函数与二元一次方程（组）的关系： 一次函数的解析式y b 0kx k =+≠（）本身就是一个二元一次方程，直线y b 0kx k =+≠（）上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程y b 0kx k =+≠（），因此二元一次方程的解也就有无数个。

知识点睛中考要求第二讲一次函数与代数综合板块一 用待定系数法求解析式1、用待定系数法求解析式【例1】 已知函数图象如图所示，则此函数的解析式为（ ）A.2y x =-B.2(10)y x x =--<<C.12y x =-D. 1(10)2y x x =--<<【解析】 由题意，正比例函数经过点（-1，2），求出函数解析式为2y x =-，同时根据图象看出自变量的取值范围为10x -<<答案：B【例2】 已知一次函数的图象经过(3，2)和(1，-2)两点．求这个一次函数的解析式．【解析】 设这个一次函数的解析式为：y kx b =+，由题意可知322k b k b +=⎧⎨+=-⎩，解得24k b =⎧⎨=-⎩故这个一次函数的解析式为：24y x =-．【点评】这种首先设出函数解析式，然后再根据已知条件求出函数解析式的系数的方法，称为“待定系数法”．【例3】 (09四川泸州)已知一次函数y ax b =+的图象经过点()023A -，，()143B -，，()4C c c +，． ⑴ 求c ；⑵ 求222a b c ab ac bc ++---的值．【解析】 ⑴根据已知()023A -，，()143B -，，求出一次函数解析式为223y x =+-，再把C 点坐重点：了解和理解函数的定义以及灵活运用函数的判定，同时注意函数的自变量取值范围的判定；一次函数的定义及其判定，一次函数的性质难点：一次函数与反比例函数的综合运用，以及一次函数和反比例函数的实际运用重、难点例题精讲标代入得2c =．⑵()()()222222192a b c ab ac bc a b b c a c ⎡⎤++---=-+-+-=⎣⎦∵【点评】第二小问老师应该详细分析【例4】 (江苏省初中数学竞赛试题)一条直线l 经过不同的三点A (a ,b )，B (b ,a )，C (a b -，b a -)，那么直线l 经过 象限．【解析】 设直线l 的解析式为y kx t =+，因点A 、B 在直线l 上．∴b ka ta kb t =+⎧⎨=+⎩，∵a b =/，解得：1k =-,故直线l 的解析式为y x =-+t ．又点C 在直线l 上．∴()b a a b t -=--+，得0t =． 即直线l 的解析式为y x =-，可知l 经过二、四象限．2、根据位置关系求解析式【例5】 已知一次函数y kx b =+的图象与直线21y x =+平行并且过点P (-1，2)，求这个一次函数的解析式．【解析】 根据题意可设此函数解析式为2y x b =+，过点P (-1，2)，解得4b =，解析式为24y x =+.【例6】 (08年上海市中考题)如图，将直线OA 向上平移1个单位，得到一个一次函数的图像，那么这个一次函数的解析式是 ．【解析】 根据题意可得OA 的解析式为2y x =，向上平移一个单位以后，可得：12y x -=，即21y x =+3、根据函数定义求解析式【例7】 已知212y y y =+，其中1y 与x 成正比例，2y 与x 成反比例，且当2x =和3x =时，y 的值都为l9，求y 与变量x 的函数关系式．【解析】 根据已知条件，设11y k x =，22k y x = (1k ，2k 均不为零)，于是，得：2221212k y y y k x x=+=+将2x =，3x =代入212y y y =+得：22122121943199k k k k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解之：122536k k =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴2365y x x =+【补充】已知函数y (32)(4)a x b =+--为正比例函数。

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图1，对称轴为直线x=1的抛物线y=1 2 x2+bx+c，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且点A坐标为(-1，0).又P是抛物线上位于第一象限的点，直线AP与y轴交于点D，与抛物线对称轴交于点E，点C与坐标原点O关于该对称轴成轴对称.（1）求点B 的坐标和抛物线的表达式；（2）当AE：EP=1：4 时，求点E 的坐标；（3）如图 2，在（2）的条件下，将线段 OC 绕点 O 逆时针旋转得到OC ′，旋转角为α(0°＜α＜90°)，连接C ′D、C′B，求C ′B+23C′D 的最小值．【答案】（1）B（3，0）；抛物线的表达式为：y=12x2-x-32；（2）E(1，6)；（3）C′B＋23C′D4103【解析】试题分析：（1）由抛物线的对称轴和过点A，即可得到抛物线的解析式，令y=0，解方程可得B的坐标；（2）过点P作PF⊥x轴，垂足为F．由平行线分线段弄成比例定理可得AEAP=AGAF=EGPF=15，从而求出E的坐标；（3）由E（1，6）、A（-1，0）可得AP的函数表达式为y=3x+3，得到D（0，3）．如图，取点M（0，43），连接MC′、BM．则可求出OM，BM的长，得到△MOC′∽△C′OD．进而得到MC′＝23C′D，由C′B＋23C′D＝C′B＋MC′≥BF可得到结论．试题解析：解：（1）∵抛物线y=12x2+bx+c的对称轴为直线x=1，∴-122b=1，∴b=-1．∵抛物线过点A（-1，0），∴12-b+c=0，解得：c=-32，即：抛物线的表达式为：y=12x2-x-32．令y=0，则12x2-x-32=0，解得：x1=-1，x2=3，即B（3，0）；（2）过点P作PF⊥x轴，垂足为F．∵EG∥PF，AE：EP=1：4，∴AEAP =AGAF=EGPF=15．又∵AG=2，∴AF=10，∴F（9，0）．当x=9时，y=30，即P（9，30），PF=30，∴EG=6，∴E（1，6）．（3）由E（1，6）、A（-1，0）可得AP的函数表达式为y=3x+3，则D（0，3）．∵原点O与点C关于该对称轴成轴对称，∴EG=6，∴C（2，0），∴OC′＝OC＝2．如图，取点M（0，43），连接MC′、BM．则OM＝43，BM＝2243()3+＝97．∵423'23OMOC==，'23OCOD=，且∠DOC′＝∠C′OD，∴△MOC′∽△C′OD．∴'2'3MCC D=，∴MC′＝23C′D，∴C′B＋23C′D＝C′B＋MC′≥BM＝4103，∴C′B＋23C′D的最小值为4103．点睛：本题是二次函数的综合题，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，求得AF的长是解答问题（2）的关键；和差倍分的转化是解答问题（3）的关键．2．如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣1过A、B两点，并与过A点的直线y=﹣12x﹣1交于点C．（1）求抛物线解析式及对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使四边形ACPO的周长最小？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点M 为y 轴右侧抛物线上一点，过点M 作直线AC 的垂线，垂足为N ．问：是否存在这样的点N ，使以点M 、N 、C 为顶点的三角形与△AOC 相似，若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为：y=211184x x --，抛物线对称轴为直线x=1；（2）存在P 点坐标为（1，﹣12）；（3）N 点坐标为（4，﹣3）或（2，﹣1） 【解析】分析：（1）由待定系数法求解即可；（2）将四边形周长最小转化为PC+PO 最小即可；（3）利用相似三角形对应点进行分类讨论，构造图形．设出点N 坐标，表示点M 坐标代入抛物线解析式即可．详解：（1）把A （-2，0），B （4，0）代入抛物线y=ax 2+bx-1，得042101641a b a b --⎧⎨+-⎩＝＝解得1814a b ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＝＝ ∴抛物线解析式为：y=18x 2−14x−1 ∴抛物线对称轴为直线x=-141228ba -=-⨯＝1 （2）存在使四边形ACPO 的周长最小，只需PC+PO 最小∴取点C （0，-1）关于直线x=1的对称点C′（2，-1），连C′O 与直线x=1的交点即为P 点．设过点C′、O 直线解析式为：y=kx∴k=-1 2∴y=-1 2 x则P点坐标为（1，-12）（3）当△AOC∽△MNC时，如图，延长MN交y轴于点D，过点N作NE⊥y轴于点E∵∠ACO=∠NCD，∠AOC=∠CND=90°∴∠CDN=∠CAO由相似，∠CAO=∠CMN∴∠CDN=∠CMN∵MN⊥AC∴M、D关于AN对称，则N为DM中点设点N坐标为（a，-12a-1）由△EDN∽△OAC ∴ED=2a∴点D坐标为（0，-52a−1）∵N为DM中点∴点M坐标为（2a，32a−1）把M代入y=18x2−14x−1，解得a=4则N点坐标为（4，-3）当△AOC∽△CNM时，∠CAO=∠NCM∴CM∥AB则点C关于直线x=1的对称点C′即为点N 由（2）N（2，-1）∴N 点坐标为（4，-3）或（2，-1）点睛：本题为代数几何综合题，考查了待定系数、两点之间线段最短的数学模型构造、三角形相似．解答时，应用了数形结合和分类讨论的数学思想．3．已知抛物线26y x x c =-++.（1）若该抛物线与x 轴有公共点，求c 的取值范围；（Ⅱ）设该抛物线与直线21y x =+交于M ，N 两点，若MN =C 的值； （Ⅲ）点P ，点Q 是抛物线上位于第一象限的不同两点，,PA QB 都垂直于x 轴，垂足分别为A ，B ，若OPA OQB ∆≅∆，求c 的取值范围.【答案】（I ）9c -；（Ⅱ）2c =-；（Ⅲ）c 的取值范围是2174c -<< 【解析】 【分析】(1) 抛物线与x 轴有公共点，则判别式为非负数，列不等式求解即可;(2)求出二次函数与直线的交点，并根据勾股定理求出MN 的长度，列方程即可求解; (3)由OPA OQB ∆≅∆可知，P ,Q 两点的坐标特点，设坐标得到设点P 的坐标为(, )m n ，则点Q 的坐标为(,)n m ，代入二次函数，得到n,m 的关系，则只需保证该方程有正根即可求解. 【详解】解：（I ）∵抛物线26y x x c =-++与x 轴有交点，∴一元二次方程260x x c -++=有实根。

中考数学复习考点知识专题训练10 一次函数综合（基础）1．如图，已知点A（3，0），C（﹣1，0），点B为y轴正半轴上的一点，且S△ABC＝6．（1）求直线AB的解析式；（2）在y轴上是否存在点T，将直线CB沿直线CT翻折后，点B的对称点H恰好落在x轴上．若存在，求出T点的坐标；若不存在，说明理由．（3）若P、Q两点在直线AB上，且x P、x Q是方程x2﹣x﹣2mx+m2+m﹣2＝0的两个根，当∠POQ ＝90°时，求m的值．2．如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点B（0，﹣2），点C 是x轴上一点，且满足CA＝CB（1）求直线l的解析式；（2）求点C的坐标和△ABC的面积；（3）过点C作y轴的平行线CH，借助△ABC的一边构造与△ABC面积相等的三角形，第三个顶点P在直线CH上，求出符合条件的点P的坐标．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（4，0），OA＝OC，∠AOC＝60°，且CB∥OA，OB平分∠AOC，点P是四边形OABC的内部一点，且点P到四边形OABC四条边的距离相等．（1）直接写出点P的坐标是；（2）若一次函数y＝x+b的图象经过点P，求b的值；（3）若一次函数y＝x+m的图象与四边形OABC有两个公共点时，直接写出m的取值范围．4．如图，把矩形纸片OABC放入直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴的正半轴上，连接AC，将△ABC翻折，点B落在该坐标平面内，设这个落点为D，CD交x轴于点E，已知CB＝8，AB＝4．（1）求AC所在直线的函数关系式；（2）求点E的坐标和△ACE的面积；（3）求点D的坐标，并判断点（8，﹣4）是否在直线OD上，说明理由．5．如图，若A （0，a ），B （b ，0），C （c ，c ），且（a ﹣5）2+|b +2|+√c −3=0．四边形ABCD 为平行四边形，点D 在第一象限，直线AC 交x 轴于点F ．（1）求点D 的作坐标；（2）求证：∠DCF ＝∠ABF +∠AFB ；（3）求CF AC 的比值．6．如图1，在平面直角坐标系中，已知点A （0，4√3），点B 在x 正半轴上，且∠ABO ＝30°，动点P 在线段AB 上从点A 向点B 以每秒√3个单位的速度运动，设运动时间为t 秒，在x 轴上取两点M ，N 作等边△PMN ，（1）求直线AB 的解析式；（2）求等边△PMN 的边长（用t 的代数式表示），并求出当等边△PMN 的顶点M 运动到与原点O 重合时t 的值；（3）如果取OB 的中点D ，以OD 为边在Rt △AOB 内部作如图2所示的矩形ODCE ，点C 在线段AB 上，设等边△PMN 和矩形ODCE 重叠部分的面积为S ，①t ＝2时，S 的值；②请求出当0≤t ≤1时S 与t 的函数关系式．7．直线y＝x+6交x轴、y轴于A、B两点，AC⊥AB交y轴于C，P为x轴正半轴上一点．（1）求直线AC的解析式；（2）过P作PM⊥BP交AC于M，求证：PM＝PB；（3）在（2）的条件下，过B任作直线BG，MG⊥BG于G，连接PG，∠PGM的度数是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．8．已知点A，B分别在x轴的负半轴和正半轴上，OA，OB的长分别是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，且OA＞OB，点C的坐标为（0，﹣4），点D在y轴上，直线AD平分∠CAB．（1）求A，B两点的坐标；（2）求直线BD的解析式；（3）点P是直线BD上一点，平面内是否存在点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，在平面直角坐标系xOy中，将直线y＝kx（k≠0）沿y轴向上平移2个单位得到直线l，已知直线l经过点A（﹣4，0）（1）求直线l的解析式；（2）设直线l与y轴交于点B，在x轴正半轴上任取一点C（OC＞2），在y轴负半轴上取点D，使得OD＝OC，过D作直线DH⊥BC于H，交x轴于点E，求点E的坐标；（3）若点P的坐标为（﹣3，m），△ABP与△ABO的面积之间满足S△ABP=12S△ABO，求m的值．10．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，AB与OD交于点P，其中OA＝3，OB＝2．（1）求AB所在直线的解析式；（2）求OD所在直线的解析式；（3）求交点P的坐标．11．如图，已知点A（m，m+1），B（m+3，m﹣1）（1）求线段AB的长；（2）若已知m＝3，x轴上是否存在一点P，使得P A+PB的值最小？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式．12．如图，A（4，0），B（0，4），直线y=13x与直线AB交于点C．（1）求点C的坐标；（2）点P是x轴正半轴上一点，若∠PCO＝3∠ABO．①求直线PB的解析式；②求点P的坐标．13．如图，直线y＝kx+6与x轴，y轴分别交于点E、点F，点E的坐标为（﹣8，0）（1）求k的值；（2）已知点A（﹣6，0），若点P（x，y）是直线上第二象限内的一个动点，试写出△OP A的面积S 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；（3）探究：在（2）的条件下，当点P 运动到什么位置时，△OP A 的面积为274？并说明理由．14．如图，在平面直角坐标系中，直线与x 轴、y 轴分别交于点A （6，0）、点B （0，6√3），点D 是线段AB 的中点，点C （0，2√3），点E 为x 轴上一动点．（1）求直线AB 的表达式，并直接写出点D 的坐标；（2）联结CE 、DE ，以CE 、DE 为边作▱CEDF ，▱CEDF 的顶点F 恰好落在y 轴上，求点F 的坐标；（3）设点M 是直线y ＝x +4√3上一点，若以C 、D 、E 、M 为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标．15．已知：如图，直线y =−12x +1与x 轴、y 轴的交点分别是A 和B ，把线段AB 绕点A 顺时针旋转90°得线段AB ′．（1）直接写出点B ′的坐标；（2）若点C （1，a ）在第一象限内，并且S △ABC ＝S △ABB ′，求a 的值；（3）P 在x 轴上，且△P AB 是等腰三角形，请直接写出点P 的坐标．16．如图，点A 的坐标是（2，1），点B 的坐标是（5，1），过点A 的直线l 的表达式为y ＝2x +b ，点C 在直线l 上运动，在直线OA 上是否存在一点D ，使得以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．17．一次函数y ＝kx +b 的图象经过点A （0，9），并与直线y =53x 相交于点B ，与x 轴相交于点C ，其中点B 的横坐标为3．（1）求B 点的坐标和k ，b 的值；（2）点Q 为直线y ＝kx +b 上一动点，当点Q 运动到何位置时△OBQ 的面积等于272？请求出点Q的坐标；（3）在y 轴上是否存在点P 使△P AB 是等腰三角形？若存在，请直接写出点P 坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，直线y＝﹣x+1与x轴，y轴分别交于B，A两点，动点P在线段AB上移动，以P为顶点作∠OPQ＝45°交x轴于点Q．（1）求点A和点B的坐标；（2）比较∠AOP与∠BPQ的大小，说明理由．（3）是否存在点P，使得△OPQ是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．19．在平面直角坐标系中，一次函数y=−12x+2的图象交x轴、y轴分别于A、B两点，交直线y＝kx于P．（1）求点A、B的坐标；（2）若OP＝P A，求k的值；（3）在（2）的条件下，C是线段BP上一点，CE⊥x轴于E，交OP于D，若CD＝2ED，求C 点的坐标．20．如图，在平面直角坐标中，直角梯形OABC的边OC、OA分别在x轴、y轴上，AB∥OC，∠AOC ＝90°，∠BCO＝45°，BC＝12√2，点C的坐标为（﹣18，0）．（1）求点B的坐标；（2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y轴于点E，交x轴于点F，且OE＝4，∠OFE＝45°，求直线DE的解析式；（3）求点D的坐标．11 / 11。

《高等代数》复习提纲一、基础知识回顾1.四则运算：加法、减法、乘法、除法2.复数的表示与运算3.指数与对数的性质4.幂函数与对数函数的图像与性质5.三角函数的定义与性质6.二次方程与不等式的解法7.组合与排列的性质与计算法则二、向量与矩阵1.向量的定义与性质2.向量的线性运算3.向量的模与方向4.向量的数量积与向量积5.矩阵的定义与性质6.矩阵的加法与数乘7.矩阵的乘法8.矩阵的逆与转置三、矩阵与线性方程组1.线性方程组的定义与性质2.初等变换与线性方程组的解法3.高斯消元法与矩阵的行阶梯形4.线性方程组的解的个数与无解情况5.同解条件与齐次线性方程组的解法6.矩阵的秩与方程组解存在的条件四、复数与复矩阵1.复数域与复数的四则运算2.复数的几何表示与指数形式3.复矩阵的定义与性质4.复矩阵的加法与数乘5.复矩阵的乘法与转置6.复矩阵的逆与行列式五、向量空间1.向量空间的定义与性质2.线性相关与线性无关3.矩阵的秩与零空间4.线性变换与线性映射5.矩阵的特征值与特征向量6.矩阵的对角化与相似矩阵六、多项式与多项式方程1.多项式的定义与性质2.多项式的加法与乘法3.最大公约数与最小公倍数4.多项式方程的解法5.代数多项式与整式的除法6.根与系数的关系7.代数方程的根的性质七、数学归纳法与递推关系1.数学归纳法的原理与应用2.递推关系与递推公式3.斐波那契数列与等差数列4.线性递推关系与齐次线性递推公式5.非齐次线性递推公式与特解6.递推关系的特征方程与通解八、行列式与特征值1.行列式的定义与性质2.行列式的展开与性质3.行列式的性质与应用4.矩阵的特征值与特征向量5.特征值与特征向量的求解6.特征值的性质与应用九、线性方程组的解法1.线性方程组的解的存在唯一性定理2.线性方程组的几何解释3.克拉默法则与逆矩阵法4.线性方程组解的数量与自由变量5.齐次线性方程组的解的结构6.分块矩阵与分块矩阵求逆以上是《高等代数》的复习提纲，希望对你的复习有所帮助。

2023年中考数学总复习：代数几何综合问题【中考展望】代几综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以代几综合题的形式出现．解代几综合题一般可分为“认真审题、理解题意；探求解题思路；正确解答”三个步骤,解代几综合题必须要有科学的分析问题的方法．数学思想是解代几综合题的灵魂，要善于挖掘代几综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程（不等式）的思想等，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，这是学习解代几综合题的关键．题型一般分为：（1）方程与几何综合的问题；（2）函数与几何综合的问题；（3）动态几何中的函数问题；（4）直角坐标系中的几何问题；（5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题.题型特点：一是以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数方程或函数模型求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化．以形导数，由数思形，从而寻找出解题捷径.解代几综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要从题目中寻找这两部分知识的结合点，从而发现解题的突破口.【方法点拨】方程与几何综合问题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明．函数型综合题主要有：几何与函数结合型、坐标与几何、方程与函数结合型问题，是各地中考试题中的热点题型．主要是以函数为主线，建立函数的图象，结合函数的性质、方程等解题．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等．函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力，有较好的区分度，因此是各地中考的热点题型．几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力．1．几何型综合题，常以相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以证明、计算等题型出现．2．几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧长的计算，角的计算，三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等．3．几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力．4．解几何综合题应注意以下几点：（1）注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系；（2）注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化；（3）注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线作法；（4）注意灵活地运用数学的思想和方法．【典型例题】类型一、方程与几何综合的问题1．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，BC＝CD＝12，∠ABE＝45°，若AE ＝10，则CE的长为_________.第1页共23页。

初中数学知识可以分为代数、几何、函数、统计四大部分。

在这四大部分中我是这样渗透数学思想和数学方法的。

（一）：代数部分。

如：分式的基本性质一节。

可复习分数的基本性质，练习，1约分3212 2计算、12121-31+。

通过练习可知：3212的分子与分母分别除以4得到83。

31的分子与分母分别乖以4得到124，21的分子与分母分别乖以6得到126把异分母变成同分母进行加减。

类似地可得分式的基本性质：分式的分子与分母都乖以（或除以）同一个不等于的零式子整式，分式的值不变。

式子表示是：m b m a b a ⨯⨯=；mb m a b a ÷÷=（m 0≠）,再例题讲解，这就用了类比方法。

a 的意义，2a 的化简都要对a ,0,0〈〉a a =0，这三种情况进行讨论。

这就用到了分类讨论思想。

可化为一元一次方程的分式方程一节中用去分母的方法对方程3-60380x x =+两边乖以（x+3）(x-3),约去分母得：80（x-3）=60(x+3).这样把分式方程转化成了整式方程就是以前学过的了。

这里渗透了转化思想把待解决的分式方程归结到已学的整式方程中去，提高了学生分析问题解决问题的能力。

例3审题分析设未知数用“结果甲比乙少用2小时输完”建立方程。

这里用到了分析法和方程思想。

（二）：几何部分：如;20.3菱形的判定一节的教法与矩形的判定类似先通过对菱形的性质的逆命题给出猜想，再通过操作验证，最后给出逻辑证明。

这就渗透了类比的数学方法。

又如19.2三角形全等的判定中的“边角边”公理的讨论对两边一角该有两种情况：一种是角夹在两条边的中间，形成两边夹角;另一种是角不夹在两边的中间，形成两边一对角进行讨论。

这就用到了分类讨论思想。

对几何证明题例题 分析从已知出发能得到什么结论，又从求证中需要什么条件。

这就用到了分析综合法。

（三）函数。

如：一次函数的性质一节。

画出y=132+x 的图象从列表中的数看：X 的值增大Y 的值也增大;从图象上从左到右上升。