【最新】九年级数学(RJ)-第二十七章 B.贵州能力、易错高频考点 模型构建专题：相似三角形中的基本模型--

初三下册数学第27章知识点归纳：相似图形知识点对朋友们的学习非常重要，大家一定要认真掌握，查字典数学网为大家整理了初三下册数学第27章知识点归纳：相似图形，让我们一起学习，一起进步吧!知识点1.概念把形状相同的图形叫做相似图形。

(即对应角相等、对应边的比也相等的图形)解读：(1)两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到.(2)全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同.(3)判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关.知识点2.比例线段对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即(或a:b=c:d)那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.知识点3.相似多边形的性质相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.解读：(1)正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系.(2)明确相似多边形的“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性.知识点4.相似三角形的概念对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形. 解读：(1)相似三角形是相似多边形中的一种;(2)应结合相似多边形的性质来理解相似三角形;(3)相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同;(4)相似用“∽”表示，读作“相似于”;(5)相似三角形的对应边之比叫做相似比.知识点5.相似三角的判定方法(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似;(2)平行于三角形一边的直线截其他两边(或其他两边的延长线)所构成的三角形与原三角形相似.(3)如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.(4)如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.(5)如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.(6)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似.知识点6.相似三角形的性质(1)对应角相等，对应边的比相等;(2)对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比;(3)相似三角形周长之比等于相似比;面积之比等于相似比的平方.(4)射影定理只要这样踏踏实实完成每天的计划和小目标，就可以自如地应对新学习，达到长远目标。

九年级数学下册第二十七章相似易错知识点总结单选题1、如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法正确的有（）个①S△ABC:S△A′B′C′=1:2②AB:A′B′=1:2③点A，O，A′三点在同一条直线上④BC∥B′C′A．1B．2C．3D．4答案：C分析：根据位似图形的概念和相似三角形的性质判断即可．解：以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，则△ABC∽△A′B′C′，且相似比为1：2，∴S△ABC：S△A′B′C′=1：4，故①选项说法错误；∴AB：A′B′=1：2，点A，O，A′三点在同一条直线上，BC∥B′C′，②③④说法正确；故选C．小提示：本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．2、如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件不能满足△ADE∽△ACB的条件是（）A．∠AED=∠B B．ADAC =AEABC．AD·BC= DE·AC D．DE//BC答案：C分析：根据相似三角形的判定定理去判断分析即可．∵∠AED=∠B，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，故A不符合题意；∵ADAC =AEAB，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，故B不符合题意；∵AD·BC= DE·AC，无夹角相等，∴不能判定△ADE∽△ACB，故C符合题意；∵DE//BC，∴△ADE∽△ACB，故D不符合题意；故选C．小提示：本题考查了三角形相似的判定条件，熟练掌握判定三角形相似的基本方法是解题的关键．3、如图所示，网格中相似的两个三角形是（）A．①与②B．①与③C．③与④D．②与③答案：B分析：分别根据网格的特点求得各三角形三边的长，根据三边对应成比例判断两三角形相似即可．解：根据网格的特点，①号三角形的三边长分别为：√2，2，√10，②号三角形的三边长分别为：√2，√5，3，③号三角形的三边长分别为：2，2√2，2√5，④号三角形的三边长分别为：√2，3，√17，∵√22=2√2=√102√5√22，∴①与③相似，故B选项正确，符合题意；其他选项不正确故选：B．小提示：本题考查了网格中判断相似三角形，分别求得各三角形的边长是解题的关键．4、如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB=1.2m，BC=12.8m，则建筑物CD的高是( )A．17.5m B．17m C．16.5m D．18m答案：A分析：先求得AC，再说明△ABE∽△ACD，最后根据相似三角形的性质列方程解答即可．解：∵AB=1.2m，BC=12.8m∴AC=1.2m+12.8m=14m∵标杆BE 和建筑物CD 均垂直于地面∴BE//CD∴△ABE ∽△ACD∴AB BE =AC CD ,即1.21.5=14CD ,解得CD=17.5m ． 故答案为A ．小提示：本题考查了相似三角形的应用，正确判定相似三角形并利用相似三角形的性质列方程计算是解答本题的关键．5、线段AB 的长为2，点C 是线段AB 的黄金分割点，则线段AC 的长可能是（ ）A ．√5+1B ．2﹣√5C ．3﹣√5D ．√5﹣2答案：C分析：根据黄金分割点的定义，知AC 可能是较长线段，也可能是较短线段，分别求出即可．解：分两种情况讨论（1）如图，∵点C 是线段AB 的黄金分割点，AB ＝2，∴AC ＝√5−12AB ＝√5−12×2＝√5﹣1， 或如图，AC ＝2﹣（√5﹣1）＝3﹣√5，故选：C ．小提示：本题主要考查了黄金分割的定义，熟记黄金分割的比值是解题的关键．6、如图，将ΔABC 沿BC 边上的中线AD 平移到ΔA ′B ′C ′的位置．已知ΔABC 的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若AA ′=1，则A ′D 等于（ ）A．2B．3C．4D．32答案：B分析：由S△ABC＝16、S△A′EF＝9且AD为BC边的中线知SΔA′DE=12SΔA′EF=92，SΔABD=12SΔABC=8，根据△DA′E∽△DAB知(A′DAD )2=SΔA′DESΔABD，据此求解可得．∵SΔABC=16、SΔA′EF=9，且AD为BC边的中线，∴SΔA′DE=12SΔA′EF=92，SΔABD=12SΔABC=8，∵将ΔABC沿BC边上的中线AD平移得到ΔA′B′C′，∴A′E//AB，∴ΔDA′E∼ΔDAB，则(A′DAD )2=SΔA′DESΔABD，即(A′DA′D+1)2=298=916，解得A′D=3或A′D=−37（舍），故选B．小提示：本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点．7、如图，在等腰△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝α，BC＝12，点D是边AB上一点，且BD＝4，点P是边BC上一动点，作∠DPE＝α，射线PE交边AC于点E，当CE＝9时，则满足条件的P点的个数是（）A．1B．2C．3D．以上都有可能答案：A分析：由已知得∠ABC＝∠ACB＝α，再证明∠EPC＝∠PDB，则可判断△PDB∽△EPC，利用相似比得到BD：PC ＝PB：CE，设PB＝x，则PC＝10﹣x，CE＝9时，所以x2﹣12x+36＝0，根据判别式的意义得到Δ＝0，即原方程只有一个实数根即可选出答案．解：∵△ABC为等腰三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝α，∵∠DPC＝∠B+∠PDB，即∠DPE+∠EPC＝∠B+∠PDB，而∠DPE＝α，∴∠EPC＝∠PDB，而∠ABC＝∠ACB，∴△PDB∽△EPC，∴BDPC =PBCE，设PB＝x，则PC＝12﹣x，当CE＝9时，∴412−x =x9，∴x2﹣12x+36＝0，∵Δ＝（﹣12）2﹣4×36＝0，原方程只有一个实数根，∴点P有且只有一个，故选A．小提示：本题主要考查了三角形外角的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．8、如图，直线AB ∥CD ∥EF ，若AC =3，CE =4，则BD BF 的值是（ ）A ．34B ．43C ．37D ．47 答案：C分析：由平行线分线段成比例直接得到答案．解：∵AB ∥CD ∥EF∴BD BF =AC AE ∵AC =3，CE =4∴BD BF =37， 故选C ．小提示：本题考查的是平行线分线段成比例，解题的关键在于能够熟练掌握平行线分线段成比例．9、神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（ ）A ．平移B ．旋转C ．轴对称D ．黄金分割答案：D分析：根据黄金分割的定义即可求解．解：动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的黄金分割．故选：D小提示：本题考查了黄金分割的定义，黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小，约等于0.618，这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称部分与较大部分的比值，其比值为√5−12为黄金分割．熟知黄金分割的定义是解题关键．10、生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0．618，可以增加视觉美感，若图中b为2米，则a约为（）A．1．24米B．1．38米C．1．42米D．1．62米答案：A分析：根据a:b≈0.618，且b=2即可求解．解：由题意可知，a:b≈0.618，代入b=2，∴a≈2×0.618=1.236≈1.24．所以答案是：A小提示：本题考查了黄金分割比的定义，根据题中所给信息即可求解，本题属于基础题．填空题11、如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为O，且△ABC的面积与△DEF的面积之比是16：9，则AO：OD＝_____．答案：4:3##43分析：根据位似图形具有相似三角形的性质即可得出结果．解：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为O，且△ABC的面积与△DEF的面积之比是16：9，∴AO：OD=4：3，所以答案是：4：3．小提示：本题考查了位似变换，正确掌握位似变换的性质是解题的关键．12、如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，请添加一个条件_________，使△ADE∽△ABC．答案：∠ADE=∠B（答案不唯一）．分析：已知有一个公共角，则可以再添加一个角从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似来判定或添加夹此角的两边对应成比例也可以判定．解∶∵∠A=∠A，∴根据两角相等的两个三角形相似，可添加条件∠ADE=∠B或∠AED=∠C证△ADE∽△ABC相似；根据两边对应成比例且夹角相等，可添加条件ADAB =AEAC证△ADE∽△ABC相似．故答案为∶∠ADE＝∠B（答案不唯一）．小提示：此题考查了本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．13、△AOB三个顶点的坐标分别为A(5,0)，O(0,0)，B(3,6)，以原点O为位似中心，相似比为23，将△AOB缩小，则点B的对应点B′的坐标是________．答案：（2，4）或（-2，-4）##（-2，-4）或（2，4）．分析：根据位似变换的性质解答即可．解：∵△AOB 顶点B 的坐标为（3，6），以原点O 为位似中心，相似比为23，将△AOB 缩小， ∴点B 的对应点B ′的坐标为（3×23，6×23）或（3×（-23），6×（-23）），即（2，4）或（-2，-4）， 所以答案是：（2，4）或（-2，-4）．小提示：本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ．14、如图，已知AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，垂足分别是B 、D 、F ，且AB ＝1，CD ＝3，则EF 的长为_______．答案：34 分析：易证△DEF ∽△DAB ，△BEF ∽△BCD ，根据相似三角形的性质可得EF AB =DF DB ，EF CD =BF BD ，从而可得EF AB +EF CD =BF BD+DF BD =1，然后把AB =1，CD =3代入即可求出EF 的值． 解：∵AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，∴AB ∥CD ∥EF ，∴△DEF ∽△DAB ，△BEF ∽△BCD ，∴EF AB =DF DB ，EF CD =BF BD ， ∴EF AB +EF CD =BF BD +DF BD =1，∵AB =1，CD =3，∴EF 1+EF 3=1， ∴EF =34，所以答案是：34．小提示：本题考查相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．15、如图，D是ΔABC边AB延长线上一点，请添加一个条件_______，使ΔACD∽ΔABC．答案：AC＝AB•AD（答案不唯一）分析：根据相似三角形的判定添加适当的条件即可．解：添加：AC＝AB•AD∵AC＝AB•AD∴ACAB =ADAC∵∠A＝∠A∴ΔACD∽ΔABC．所以答案是：AC＝AB•AD（答案不唯一）．小提示：本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．解答题16、如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点(网格线的交点)为顶点的△ABC 和格点0.(1)以点O为位似中心，将△ABC放大2倍得到ΔA1B1C1，在网格中画出ΔA1B1C1；(2)将△ABC绕点0逆时针旋转90°得ΔA2B2C2，画出ΔA2B2C2；答案：(1)作图见解析(2)作图见解析分析：（1）利用相似变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．（1）解：如图，△A1B1C1即为所求；（2）解：如图，△A2B2C2即为所求．小提示：本题考查作图﹣旋转变换，相似变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，相似变换的性质，属于中考常考题型．17、已知：a:b:c=2:3:5.（1）求代数式3a−b+c2a+3b−c的值；（2）如果3a−b+c=24，求a,b,c的值.答案：（1）1；（2）a=6,b=9,c=15分析：（1）设a=2k，b=3k，c=5k(k≠0)，代入代数式3a−b+c2a+3b−c，即可求出答案；（2）把a、b、c的值代入，求出即可．∵a:b:c=2:3:5∴设a=2k，b=3k，c=5k(k≠0)，（1）3a−b+c2a+3b−c =6k−3k+5k4k+9k−5k=8k8k=1；（2）∵3a−b+c=24∴6k-3k+5k=24，∴k=3，∴a=2×3=6，b=3×3=9，c=5×3=15.小提示：本题考查了比例的性质的应用，主要考查学生的计算能力．18、若xa−b =yb−c=zc−a，求x+y+z的值．答案：0分析：设xa−b =yb−c=zc−a=k，则x=k(a−b)，y=k(b−c)，z=k(c−a)，然后计算即可得到答案．解：∵xa−b =yb−c=zc−a，设xa−b =yb−c=zc−a=k，∴x=k(a−b)，y=k(b−c)，z=k(c−a)，∴x+y+z=k(a−b)+k(b−c)+k(c−a)=ka−kb+kb−kc+kc−ka=0；小提示：本题考查了比例的性质，求代数式的值，解题的关键是熟练掌握比例的性质进行解题．。

九年级下册数学第27章知识点汇总（人教
版）
27.1图形的相似
gt;gt;gt;gt;图形的相似知识点
27.2相似三角形
相似三角形定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。

相似三角形判定定理1：两角对应相等，两三角形相似(ASA)
gt;gt;gt;gt;相似三角形知识点
27.3位似
位似图形(Homothetic figures)的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。

把幻灯片上的图形放大到屏幕上，形成的新图形和原图形就是典型的位似图形。

两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形(homothetic figures)，这个交点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。

gt;gt;gt;gt;位似图形知识点
九年级下册数学第27章知识点整理的很及时吧，提高学习成绩离不开知识点和练习的结合，因此大家想要取得更好的成绩一定要注重从平时中发现问题查缺补漏~请关注数学知识点。

九年级数学下册第二十七章相似知识点汇总单选题1、某校开展“展青春风采，树强国信念”科普大阅读活动．小明看到黄金分割比是一种数学上的比例关系，它具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，应用时一般取0.618．特别奇妙的是在正五边形中，如图所示，连接AB，AC，∠ACB的角平分线交边AB于点D，则点D就是线段AB的一个黄金分割点，且AD>BD，已知AC=10cm，那么该正五边形的周长为（）A．19.1cmB．25cmC．30.9cmD．40cm答案：C分析：证明BC=CD=AD=6.18（cm），可得结论．解：由题意，点D是线段AB的黄金分割点，∴AD=0.618，AB∵AB=AC=10cm，∴AD=6.18（cm），∵∠ABC=∠ACB=72°，CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=∠CAD=36°，∠CDB=∠CBD=72°，∴BC=CD=AD=6.18（cm），∴五边形的周长为6.18×5=30.90（cm），故选：C．小提示：本题考查正多边形的性质，黄金分割等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题．2、如图，在△ABC中，AC=6,AB=4，点D与点A在直线BC的同侧，且∠ACD=∠ABC，CD=2，点E是线段BC 延长线上的动点，当△DCE 和△ABC 相似时线段CE 的长为（ ）A ．3B ．43C ．3或43D ．4或34 答案：C分析：根据∠ACD =∠ABC ，可得∠A =∠DCE ，然后分两种情况讨论，即可求解．解：∵∠ACD =∠ABC ，∠ACD +∠DCE =∠A +∠ABC ，∴∠A =∠DCE ，当 △CDE ∼△ABC 时，∴CD AB =CE AC ，∵AC =6,AB =4，CD =2，∴24=CE 6 ，解得：CE =3 ；当△CED ∼△ABC 时，∴CE AB =CD AC ，∵AC =6,AB =4，CD =2，∴CE 4=26 ，解得：CE =43∴线段CE 的长为3或43．故选：C小提示：本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质定理是解题的关键．3、如图，△ABC 和△A 1B 1C 1中，A 1B 1∥AB ，A 1C 1∥AC ，C 1为OC 的中点，△A 1B 1C 1面积是5，则△ABC 的面积为（ ）A．10B．20C．25D．50 答案：B分析：利用位似图形的性质得出SΔA1B1C1SΔABC ＝14，进而求出即可．解：∵A1B1∥AB，A1C1∥AC，∴△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，∵C1为OC的中点，△A1B1C1面积是5，∴OC1OC ＝12，∴SΔA1B1C1SΔABC ＝14，∴5SΔABC ＝14，解得：S△ABC＝20．故选：B．【小提示】此题主要考查了三角形的面积、位似变换，得出位似比是解题关键．4、如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法正确的有（）个①S△ABC:S△A′B′C′=1:2②AB:A′B′=1:2③点A，O，A′三点在同一条直线上④BC∥B′C′A．1B．2C．3D．4答案：C分析：根据位似图形的概念和相似三角形的性质判断即可．解：以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，则△ABC∽△A′B′C′，且相似比为1：2，∴S△ABC：S△A′B′C′=1：4，故①选项说法错误；∴AB：A′B′=1：2，点A，O，A′三点在同一条直线上，BC∥B′C′，②③④说法正确；故选C．小提示：本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．5、如图，△ABC与△DEF是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（）A．（8，2）B．（9，1）C．（9，0）D．（10，0）答案：C分析：延长EB、DA交于点P，根据位似图形的对应点的连线相交于一点解答即可．解：延长EB、DA交于点P，则点P 即为位似中心，位似中心的坐标为（9，0），故选：C ．小提示：本题考查的是位似变换的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．6、已知b a ＝5，则a−b a+b 的值是（ ）A ．−23B ．﹣13C ．23D ．13答案：A分析：由b a =5，可得b =5a ，然后代入a−b a+b ，即可求出其值．解：∵b a =5 ，∴b =5a ，且 a ≠0 ，则 a−b a+b =a−5a a+5a =−4a 6a =−23 ， 故选：A ．小提示：本题考查了比例的性质，解题的关键是正确运用基本性质．本题中要先确定a 与b 的关系，再确定a -b 与a +b 的关系．7、《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（ ）A．五丈B．四丈五尺C．一丈D．五尺答案：B分析：根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．设竹竿的长度为x尺，∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，∴x15=1.50.5，解得x=45（尺），即竹竿的长为四丈五尺．故选B小提示：本题考查了相似三角形的应用举例，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．8、如图，点A，B的坐标分别为A(√2,0)、B(0,√2)，点C为坐标平面内一点，BC=1，点M为线段AC的中点，连接OM，当OM最大时，M点的坐标为（）A．(√22,1+√22)B．(√22,√22)C．(3√24,3√24)D．(1+√24,1+√24)答案：C分析：根据同圆的半径相等可知，点C在半径为1的⊙B上运动，取OD=OA，根据三角形的中位线定理知，点C在BD与⊙B的交点时，OM最小，在DB的延长线与⊙B的交点时，OM最大，根据平行线分线段成比例定理求得C的坐标，进而确定中点M的坐标即可．解：∵点C在坐标平面内，BC=1，∴C在半径为1的⊙B上，如图所示，取OD=OA=√2，连接CD，∵AM=CM，OD=OA，∴OM为△ACD的中位线，∴OM=12CD，当OM最大时，即CD最大，此时D，B，C三点共线，∵OB=OD=√2，∠BOD=90°，∴BD=2，∴CD=2+1=3，作CE⊥x轴于E点，∵CE∥OB，∴OBCE =ODDE=BDCD，即：√2CE=√2DE=23，∴CE=DE=3√22，∴OE=DE−OD=√22，∴C(√22,3√22)，∵M是AC的中点，∴M(3√24,3√24)，故选：C．小提示：本题考查了坐标与图形的性质，三角形的中位线定理等，确定OM最大时动点C的位置关系是解题关键．9、如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，则零件的厚度x为（）A．0.3cm B．0.5cm C．0.7cm D．1cm答案：B分析：求出△AOB和△COD相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算求出AB，再根据外径的长度解答．解：∵OA：OC=OB：OD=3，∠AOB=∠COD，∴△AOB∽△COD，∴AB：CD=3，∴AB：3=3，∴AB=9（cm），∵外径为10cm，∴9+2x=10，∴x=0.5（cm）．故选：B．小提示：本题考查相似三角形的应用，解题的关键是利用相似三角形的性质求出AB的长．10、已知ab =23，那么下列等式中成立的是（）A．2a=3b B．a+1b+1=34C．a+bb=53D．a−bb=13．答案：C分析：比例的性质为两内项之积等于两外项之积，据此可进行解答．解：∵a：b=2：3的两内项是b、2，两外项是a、3，∴3a=2b，A：由以上解释易知A选项错误，不符题意；B：(a+1)×3=(b+1)×4，即3a=4b+1，故错误，不符题意；C：3×(a+b)=5b，即3a=2b，故正确，符合题意；D：3(a−b)=b，即3a=4b，故错误，不符题意；故选C．小提示：本题考查了比例的基本性质，掌握基本性质是解题关键．填空题11、《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB=1.6米，BD=1米，BE=0.2米，那么井深AC为______米．答案：7分析：由题意易得△ACE∽△BDE，则有ACBD =AEBE，然后问题可求解．解：∵AC//BD，∴△ACE∽△BDE，∴ACBD =AEBE，∵AB=1.6米，BD=1米，BE=0.2米，∴AC1=1.6−0.20.2，解得AC=7米，故答案为7．小提示：本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．12、如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝12，点P是AB边的中点，点Q是BC边上一个动点，当BQ＝___________时，△BPQ与△BAC相似．答案：1.5或6分析：直接利用△BPQ∽△BAC或△BPQ∽△BCA，分别得出答案．解：∵AB＝6，BC＝12，点P是AB边的中点，∴BP＝3．当△BPQ∽△BAC时，则BPAB =BQBC故36=BQ12解得：BQ=6；当△BPQ∽△BCA时，则BPBC =BQAB，故312=BQ6，解得BQ=1.5．所以答案是：1.5或6．小提示：本题主要考查了相似三角形的判定，正确分类讨论是解题关键．13、已知a6=b5=c4，且a+b−2c=6，则a的值为__________．答案：12分析：直接利用已知比例式假设出a，b，c的值，进而利用a+b-2c=6，得出答案．解：∵a6=b5=c4，∴设a=6x，b=5x，c=4x，∵a+b-2c=6，∴6x+5x-8x=6，解得：x=2，故a=12．故答案为12．小提示：此题主要考查了比例的性质，正确表示出各数是解题关键．14、在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2=AE⋅AB．已知AB为2米，则线段BE的长为______米．答案：(√5−1)##(−1+√5)分析：根据点E是AB的黄金分割点，可得AEBE =BEAB=√5−12，代入数值得出答案．∵点E是AB的黄金分割点，∴AEBE =BEAB=√5−12．∵AB=2米，∴BE=（√5−1）米．所以答案是：（√5−1）．小提示：本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键．15、如图，已知△ABC和△EDC是以点C为位似中心的位似图形，且点C与点D在直线AB同侧△ABC和△EDC的周长之比为1:2，点C的坐标为(-2，0)，若点A的坐标为(-4，3)，则点E的坐标为______．答案：(2,−6)分析：先利用位似的性质得到△ABC和△EDC的位似比为1：2，然后利用平移的方法把位似中心平移到原点解决问题．解：∵△ABC和△EDC是以点C为位似中心的位似图形，而△ABC和△EDC的周长之比为1：2，∴△ABC和△EDC的位似比为1：2，把C点向右平移2个单位到原点，则A点向右平移2个单位的对应点的坐标为（-2，3），点（-2，3）以原点为位似中心的对应点的坐标为（4，-6），把点（4，-6）向左平移2个单位得到（2，-6），∴E点坐标为（2，-6）．故填：(2,−6)．小提示：本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．也考查了转化的思想．解答题16、如图，在△ABC与△A′B′C′中，点D、D′分别在边BC、B′C′上，且△ACD∽△A′C′D′，若___________，则△ABD∽△A′B′D′．请从①BDCD =B′D′C′D′；②ABCD=A′B′C′D′；③∠BAD=∠B′A′D′这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明．答案：见解析．分析：根据相似三角形的判定定理证明即可．解：若选①BDCD =B′D′C′D′，证明：∵△ACD∽△A′C′D′，∴∠ADC=∠A′D′C′，ADA′D′=CDC′D′，∴∠ADB=∠A′D′B′，∵BDCD =B′D′C′D′，∴BDB′D′=CDC′D′，∴ADA′D′=BDB′D′，又∠ADB=∠A′D′B′，∴△ABD∽△A′B′D′．选择②BACD =B′A′C′D′，不能证明△ABD∽△A′B′D′．若选③∠BAD=∠B′A′D′，证明：∵△ACD∽△A′C′D′，∴∠ADC=A′D′C′，∴∠ADB=∠A′D′B′，又∵∠BAD=∠B′A′D′，∴△ABD∽△A′B′D′．小提示：本题考查相似三角形的判定定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．17、如图所示，AB是⊙O的直径，CB，CE分别切⊙O于点B、点D，CE与BA的延长线交于点E，连接OC，OD．已知DE=a，AE=b，BC=c，请选用以上适当的数据，设计出计算⊙O的半径r的一种方案．（1）你选用的已知数据是__________．（2）写出求解过程（结果用字母表示）．答案：（1）a，b；（2）r=a2−b22b，其他情况见解析；分析：方案一：选用的已知数据是a，b，根据题意，△EDO是直角三角形，所以在Rt△EDO中，利用勾股定理得到：EO2=DE2+OD2，就可以求出半径的长度；方案二：选用的已知数据是a，b，c，利用△DEO~△BEC，得到ODBC =EDEB，由此可得到半径的长度；方案三：选用的已知数是a，b，c，在Rt△EBC种，利用勾股定理得到：EC2=EB2+BC2，就可以求出半径的长度；方案四：选用的已知数是a，b，c，根据角的关系，得到∠COB=∠DAO，所以AD//OC，由此推出DECD =EAAO，即可求出半径的长度．解：方案一（1）选用的已知数据是a，b．（2）求解过程：∵CE分别切⊙O于点D，∴OD⊥EC．在Rt△EDO中，DE=a，OD=r，EO=b+r，且EO2=DE2+OD2，即(b+r)2=a2+r2，解得r=a2−b22b（舍负值）．方案二（1）选用的已知数据是a，b，c．（2）求解过程：∵CB，CE分别切⊙O于点B、点D，∴OD⊥EC，OB⊥BC，∴∠EDO=∠EBC．又∵∠DEO=∠BEC，∴△DEO~△BEC，∴ODBC =EDEB，即rc =ab+2r，解得r=−b+√b2+8ac4（舍负值）．说明：在Rt△DEO和Rt△BEC中，分别表示tanE，也可得到上述方程（或等价形式）．方案三（1）选用的已知数是a，b，c．（2）求解过程：∵CB，CE分别切⊙O于点B、点D，∴CB=CD=c，OB⊥BC．在Rt△EBC中，EC=ED+CD=a+c，EB=EA+AB=b+2r，BC=C，且EC2=EB2+BC2，即(a+c)2=(b+2r)2+c2，解得r=√a2+2ac−b2（含负值）．方案四（1）选用的已知数是a，b，c．（2）求解过程：如图，连接AD．∵CB，CE分别切⊙O于点B、点D，∴CB=CD=c，OB⊥BC，∠DCO=∠BCO．∴∠COB=∠COD=90°−∠BCO，∠DOA=180°−∠DOB=180°−2∠COB=2∠BCO．∵OD=OA，∴∠DAO=90°−12∠DOA=90°−∠BCO．∴∠COB=∠DAO，∴AD//OC，∴DECD =EAAO，即ac=br，∴r=bca．18、如图，a//b//c，直线m，n交于点O，且分别与直线a，b，c交于点A，B，C和点D，E，F，已知OA=1，OB=2，BC=4，EF=5，求DE的长度．答案：154分析：由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．解：∵b∥c，OB=2，BC=4，∴OEEF =OBBC=24=12．∵EF=5，∴OE=12EF=52．∵a∥c，OA=1∴ODOF =OAOC=12+4=16．∴OD=16OF=16×(52+5)=54．∴DE=OD+OE=54+52=154．小提示：本题考查了平行线分线段成比例定理，熟记平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．。

九年级数学下册第二十七章相似知识点总结归纳单选题1、如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB=1.2m，BC=12.8m，则建筑物CD的高是( )A．17.5m B．17m C．16.5m D．18m答案：A分析：先求得AC，再说明△ABE∽△ACD，最后根据相似三角形的性质列方程解答即可．解：∵AB=1.2m，BC=12.8m∴AC=1.2m+12.8m=14m∵标杆BE和建筑物CD均垂直于地面∴BE//CD∴△ABE∽△ACD∴ABBE =ACCD,即1.21.5=14CD,解得CD=17.5m．故答案为A．小提示：本题考查了相似三角形的应用，正确判定相似三角形并利用相似三角形的性质列方程计算是解答本题的关键．2、如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ADE与△ABC相似的是（）A．B＝∠D B．∠C＝∠AED C．ABAD ＝DEBCD．ABAD＝ACAE答案：C分析：△ADE≌△ABC根据题意可得∠EAD=∠CAB，然后根据相似三角形的判定定理逐项判断，即可求解．解：∵∠BAD=∠CAE，∴∠EAD=∠CAB，A．若添加∠B=∠D，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明△ADE≌△ABC，故本选项不符合题意；B．若添加∠C=∠AED，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明△ADE≌△ABC，故本选项不符合题意；C．若添加ABAD =DEBC，不能证明△ADE≌△ABC，故本选项符合题意；D．若添加ABAD =ACAE，可用两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，证明△ADE≌△ABC，故本选项不符合题意；故选：C．小提示：本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．3、如图，将ΔABC沿BC边上的中线AD平移到ΔA′B′C′的位置．已知ΔABC的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若AA′=1，则A′D等于（）A．2B．3C．4D．32答案：B分析：由S△ABC＝16、S△A′EF＝9且AD为BC边的中线知SΔA′DE=12SΔA′EF=92，SΔABD=12SΔABC=8，根据△DA′E∽△DAB知(A′DAD )2=SΔA′DESΔABD，据此求解可得．∵SΔABC=16、SΔA′EF=9，且AD为BC边的中线，∴SΔA′DE=12SΔA′EF=92，SΔABD=12SΔABC=8，∵将ΔABC沿BC边上的中线AD平移得到ΔA′B′C′，∴A′E//AB，∴ΔDA′E∼ΔDAB，则(A′DAD )2=SΔA′DESΔABD，即(A′DA′D+1)2=298=916，解得A′D=3或A′D=−37（舍），故选B．小提示：本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点．4、如图，在等腰△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝α，BC＝12，点D是边AB上一点，且BD＝4，点P是边BC上一动点，作∠DPE＝α，射线PE交边AC于点E，当CE＝9时，则满足条件的P点的个数是（）A．1B．2C．3D．以上都有可能答案：A分析：由已知得∠ABC＝∠ACB＝α，再证明∠EPC＝∠PDB，则可判断△PDB∽△EPC，利用相似比得到BD：PC ＝PB：CE，设PB＝x，则PC＝10﹣x，CE＝9时，所以x2﹣12x+36＝0，根据判别式的意义得到Δ＝0，即原方程只有一个实数根即可选出答案．解：∵△ABC为等腰三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝α，∵∠DPC＝∠B+∠PDB，即∠DPE+∠EPC＝∠B+∠PDB，而∠DPE＝α，∴∠EPC＝∠PDB，而∠ABC＝∠ACB，∴△PDB∽△EPC，∴BDPC =PBCE，设PB＝x，则PC＝12﹣x，当CE＝9时，∴412−x =x9，∴x2﹣12x+36＝0，∵Δ＝（﹣12）2﹣4×36＝0，原方程只有一个实数根，∴点P有且只有一个，故选A．小提示：本题主要考查了三角形外角的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．5、如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，下列结论：①DEBC =12；②SΔDOESΔCOB=12；③ADAB=OEOB；④SΔODESΔADC =13，其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案：C分析：由BE、CD是△ABC的中线，可得DE=12BC,即DEBC=12，从而可判断①；由DE是△ABC的中位线，可得△DOE∽△COB，从而可判断②；由△ADE∽△ABC与△DOE∽△COB，利用相似三角形的性质可判断③；由△ABC的中线BE与CD交于点O．可得点O是△ABC的重心，根据重心性质，BO＝2OE，△ABC中BC上的高＝△BOC中BC上的高的3倍，且△ABC与△BOC同底（BC），可得S△ABC=3S△BOC，由②和③知，S△ODE=1 4S△COB,S△ADE=34S△BOC，从而可判断④．解：①∵BE、CD是△ABC的中线，即D、E是AB和AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12BC,即DEBC=12，故①正确；②∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴△DOE∽△COB，∴S△DOES△COB =(DEBC)2=(12)2=14，故②错误；③∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ADAB =DEBC，∵△DOE∽△COB，∴OEOB =DEBC，∴ADAB =OEOB，故③正确；④∵△ABC的中线BE与CD交于点O，∴点O是△ABC的重心，根据重心性质，BO＝2OE，△ABC中BC上的高＝3△BOC中BC上的高，且△ABC与△BOC同底（BC），∴S△ABC=3S△BOC，由②和③知，S△ODE=14S△COB，ADAB=DEBC=12，∴S△DAES△BAC =(ADAB)2=(12)2=14，∴S△ADE=34S△BOC，∴S△ODES△ADE =13，∵E是AC的中点，∴S△ADC=2S△ADE∴SΔODESΔADC =16．故④错误．综上，①③正确．故选B．小提示：本题考查的三角形的中线与三角形的中位线的性质，三角形的重心的性质，相似三角形的判定与性质，掌握利用以上知识解决三角形的面积问题是解题的关键．6、神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（）A．平移B．旋转C．轴对称D．黄金分割答案：D分析：根据黄金分割的定义即可求解．解：动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的黄金分割．故选：D小提示：本题考查了黄金分割的定义，黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为√5−12，约等于0.618，这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．熟知黄金分割的定义是解题关键．7、若ab =cd=−2，则a−cb−d＝（）A．−2B．2C．−12D．12答案：A分析：根据ab =cd=−2，可知a＝﹣2b，c＝﹣2d，将a和c的值代入求值的代数式化简即可．解：∵ab =cd=−2，∴a＝﹣2b，c＝﹣2d，∴a−cb−d =−2b+2db−d=−2(b−d)(b−d)=−2．故选：A．小提示：本题考查了比例的性质，解题的关键是根据已知将a和c用b和d正确表示．8、在比例尺为1：50的图纸上，长度为10cm的线段实际长为（）A．50cmB．500cmC．150cm D．1500cm答案：B分析：根据成比例线段的性质求解即可．解：∵1：50=10:500，∴长度为10cm的线段实际长为500cm，故选B．小提示：本题考查了成比例线段，掌握比例的性质是解题的关键．9、如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（）A．ABAE =AGADB．DFCF=DGADC．FGAC=EGBDD．AEBE=CFDF答案：D分析：根据EG∥BD，可得△AEG∽△ABD，根据FG∥AC，可得△DGF∽△DAC，再根据相似三角形的性质即可求解．解：∵GE∥BD，∴AEBE =AGDG，△AEG∽△ABD，∴ABAE =ADAG，故选项A错误；∵GF∥AC，∴DFCF =DGAG，△DGF∽△DAC，故选项B错误；∵DFCF =DGAG∴AGDG =CFDF∴AEBE =CFDF故选项D正确；∵△AEG∽△ABD，△DGF∽△DAC，∴FGAC =DGDA，EGBD=AGAD故选项C错误；故选：D．小提示：本题考查了平行线分线段成比例定理及相似三角形的性质及判定，利用平行线分线段成比例，找出比例式是解题的关键．10、如图，在△ABC中，P、Q分别为AB、AC边上的点，且满足APAC =AQAB．根据以上信息，嘉嘉和淇淇给出了下列结论：嘉嘉说：连接PQ，则PQ//BC．淇淇说：△AQP∽△ABC．对于嘉嘉和淇淇的结论，下列判断正确的是（）A．嘉嘉正确，淇淇错误B．嘉嘉错误，淇淇正确C．两人都正确D．两人都错误答案：B分析：根据APAC =AQAB，∠PAQ=∠CAB可以判定△AQP∽△ABC，APAB与AQAC不一定相等，不能判定PQ//BC．解：∵APAC =AQAB，∠PAQ=∠CAB，∴△AQP∽△ABC，即淇淇的结论正确；∴∠AQP=∠ABC，∠APQ=∠ACB，∵不能得出∠AQP=∠ACB或∠APQ=∠ABC，∴不能得出PQ//BC，即嘉嘉的结论不正确．故选B．小提示：本题考查相似三角形和平行线的判定，熟练掌握相似三角形和平行线的判定方法是解题的关键．填空题11、已知a2=b3=c5，则a+bc的值为_____．答案：1分析：由比例的性质，设a2=b3=c5=k，则a=2k，b=3k，c=5k，然后代入计算，即可得到答案．解：根据题意，设a2=b3=c5=k，∴a=2k，b=3k，c=5k，∴a+bc =2k+3k5k=1，所以答案是：1．小提示：本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质进行解题．12、如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且ADDB =32，AEEC=12，射线ED和CB的延长线交于点F，则FBFC的值为________．答案：13分析：过B作BG∥AC交EF于G，得到△DBG∽△ADE，由相似三角形的性质得到BGAE =BDAD=23，推出BG：CE=13，根据相似三角形的性质即可得到结论．解：过B作BG∥AC交EF于G，∴△DBG∽△DAE，∴BGAE =BDAD=23，∵AEEC =12，∴BGCE =13，∵BG∥AC，∴△BFG∽△CFE，∴BFFC =BGCE=13．故答案是：13．小提示：本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．13、如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则AG∶GF的值是_______．答案：6：5分析：作FN∥AD，交AB与N，设DE=a，则AE=3a，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．作FN∥AD，交AB与N，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴FN∥AD，∴四边形ANFD是平行四边形，∵∠D=90°，∴四边形ANFD是矩形．设DE=a，则AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a，∵AN=BN，MN∥AE，∴BM=ME，∴MN=32a，∴FM=52a，∵AE∥FM，∴AGGF =AEFM=3a52a=65．故答案为6∶5．小提示：本题考查了正方形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．14、如图，D是ΔABC边AB延长线上一点，请添加一个条件_______，使ΔACD∽ΔABC．答案：AC＝AB•AD（答案不唯一）分析：根据相似三角形的判定添加适当的条件即可．解：添加：AC＝AB•AD∵AC＝AB•AD∴ACAB =ADAC∵∠A＝∠A∴ΔACD∽ΔABC．所以答案是：AC＝AB•AD（答案不唯一）．小提示：本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．15、如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y =√33x +2√33与⊙O 相交于A ，B 两点，且点A 在x 轴上，则弦AB的长为_________．答案：2√3．分析：过O 作OE ⊥AB 于C ，根据垂径定理可得AC =BC =12AB ，可求OA =2，OD =2√33，在Rt △AOD 中，由勾股定理AD =4√33，可证△OAC ∽△DAO ，由相似三角形性质可求AC =√3即可．解：过O 作OE ⊥AB 于C ，∵AB 为弦，∴AC =BC =12AB ，∵直线y =√33x +2√33与⊙O 相交于A ，B 两点， ∴当y =0时，√33x +2√33=0，解得x =-2， ∴OA =2，∴当x =0时，y =2√33， ∴OD =2√33， 在Rt △AOD 中，由勾股定理AD =√AO 2+OD 2=√22+(2√33)2=4√33， ∵∠ACO =∠AOD =90°，∠CAO =∠OAD ，∴△OAC ∽△DAO ，AC AO =AO AD 即AC =AO 2AD =4√33=√3， ∴AB =2AC =2√3，故答案为2√3．小提示：本题考查直线与圆的位置关系，垂径定理，直线与两轴交点，勾股定理，三角形相似判定与性质，掌握以上知识、正确添加辅助线是解题关键．解答题16、问题背景：如图1，在矩形ABCD 中，AB =2√3，∠ABD =30°，点E 是边AB 的中点，过点E 作EF ⊥AB 交BD 于点F ．实验探究：（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的△BEF 绕点B 按逆时针方向旋转90°，如图2所示，得到结论：①AE DF =_____；②直线AE 与DF 所夹锐角的度数为______．（2）小王同学继续将△BEF 绕点B 按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置.请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．拓展延伸：在以上探究中，当△BEF 旋转至D 、E 、F 三点共线时，则△ADE 的面积为______．答案：（1）√32，30°；（2）成立，理由见解析；拓展延伸：13√3+√398或13√3−√398 分析：（1）通过证明ΔFBD ∽ΔEBA ，可得AE DF =BE BF =√32，∠BDF =∠BAE ，即可求解； （2）通过证明ΔABE ∽ΔDBF ，可得AE DF =BE BF =√32，∠BDF =∠BAE ，即可求解；拓展延伸：分两种情况讨论，先求出AE ，DG 的长，即可求解．解：（1）如图1，∵∠ABD=30°，∠DAB=90°，EF⊥BA，∴cos∠ABD=BEBF =ABDB=√32，如图2，设AB与DF交于点O，AE与DF交于点H，∵ΔBEF绕点B按逆时针方向旋转90°，∴∠DBF=∠ABE=90°，∴ΔFBD∽ΔEBA，∴AEDF =BEBF=√32，∠BDF=∠BAE，又∵∠DOB=∠AOF，∴∠DBA=∠AHD=30°，∴直线AE与DF所夹锐角的度数为30°，所以答案是：√32，30°；（2）结论仍然成立，理由如下：如图3，设AE与BD交于点O，AE与DF交于点H，∵将ΔBEF绕点B按逆时针方向旋转，∴∠ABE=∠DBF，又∵BEBF =ABDB=√32，∴ΔABE∽ΔDBF，∴AEDF =BEBF=√32，∠BDF=∠BAE，又∵∠DOH=∠AOB，∴∠ABD=∠AHD=30°，∴直线AE与DF所夹锐角的度数为30°．拓展延伸：如图4，当点E在AB的上方时，过点D作DG⊥AE于G，∵AB=2√3，∠ABD=30°，点E是边AB的中点，∠DAB=90°，∴BE=√3，AD=2，DB=4，∵∠EBF=30°，EF⊥BE，∴EF=1，∵D、E、F三点共线，∴∠DEB=∠BEF=90°，∴DE=√BD2−BE2=√16−3=√13，∵∠DEA=30°，∴DG=12DE=√132，由（2）可得：AEDF =BEBF=√32，√13+1=√32，∴AE=√39+√32，∴ΔADE的面积=12×AE×DG=12×√39+√32×√132=13√3+√398；如图5，当点E在AB的下方时，过点D作DG⊥AE，交EA的延长线于G，同理可求：ΔADE 的面积=12×AE ×DG =12×√39−√32×√132=13√3−√398； 所以答案是：13√3+√398或13√3−√398． 小提示：本题是几何变换综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，旋转的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．17、已知△OAB 在平面直角坐标系中的位置如图所示．(1)将△ABO 绕原点O 顺时针旋转90°得△OA 1B 1；(2)以原点O 为位似中心，将△OA 1B 1在原点异侧按位似比2：1进行放大得到△OA 2B 2．答案：(1)见解析(2)见解析分析：（1）先找到A 、B 的对应点A 1、B 1，然后顺次连接O 、A 1、B 1即可；（2）先找到A 1、B 1的对应点A 2、B 2，然后顺次连接O 、A 2、B 2即可；．（1）解：如图所示，△OA 1B 1即为所求；（2）解：如图所示，△OA2B2即为所求．小提示：本题主要考查了再坐标系中画旋转图形，画位似图形，熟知画旋转图形和画位似图形的方法是解题的关键．18、已知AB是圆O直径，点C为圆上一点，OD⊥BC于D，过C作切线，交OD延长线于E．（1）求证：BE为圆O切线；（2）连接AD并延长交BE于F，若C为弧AB中点，OB=10，求BF．答案：（1）见详解；（2）203分析：（1）连接OC，先证明△COE≌△BOE，可得∠OBE=∠OCE=90°，即可求证；（2）过点D作DH⊥AB于点H，根据AB是圆O直径，OB=10，可得∠ACB=90°，AB=2OB=20，又由C为弧AB中OB=5，再证明△ADH～点，可得到△ABC是等腰直角三角形，进而△DOB是等腰直角三角形，从而DH=OH=12△AFB，利用相似三角形的性质，即可求解．（1）证明：如图1，连接OC，∵CE是圆O切线，∴∠OCE=90°，∵OC=OB，OD⊥BC，∴∠COE=∠BOE，∵OE=OE，∴△COE≌△BOE，∴∠OBE=∠OCE=90°，∴BE为圆O切线；（2）如图，过点D作DH⊥AB于点H，∵AB是圆O直径，OB=10，∴∠ACB=90°，AB=2OB=20，∵C为弧AB中点，∴AC=BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°，∵OD⊥BC，∴△DOB是等腰直角三角形，∵DH⊥AB，∴DH=OH=12OB=5，∴AH=AO+OH=15，∵BE⊥AB，∴DH∥BF，∴△ADH～△AFB，∴AHAB =DHBF，即1520=5BF，解得：BF=203．小提示：本题考查了相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质、圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，熟练掌握切线的判定与性质，证明△COE≌△BOE，△ADH～△AFB是解题的关键．。

九年级数学下册第二十七章相似高频考点知识梳理单选题1、如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ADE与△ABC相似的是（）A．B＝∠D B．∠C＝∠AED C．ABAD ＝DEBCD．ABAD＝ACAE答案：C分析：△ADE≌△ABC根据题意可得∠EAD=∠CAB，然后根据相似三角形的判定定理逐项判断，即可求解．解：∵∠BAD=∠CAE，∴∠EAD=∠CAB，A．若添加∠B=∠D，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明△ADE≌△ABC，故本选项不符合题意；B．若添加∠C=∠AED，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明△ADE≌△ABC，故本选项不符合题意；C．若添加ABAD =DEBC，不能证明△ADE≌△ABC，故本选项符合题意；D．若添加ABAD =ACAE，可用两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，证明△ADE≌△ABC，故本选项不符合题意；故选：C．小提示：本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．2、如图，△ABC与△A1B1C1位似，位似中心是点O，若OA:OA1=1:2，则△ABC与△A1B1C1的周长比是（）A．1:2B．1:3C．1:4D．1:√2答案：A分析：根据位似图形的概念得到ΔABC∽△A1B1C1，AC//A1C1，进而得出ΔAOC∽△A1OC1，根据相似三角形的性质解答即可．解：∵ΔABC与△A1B1C1位似，∴ΔABC∽△A1B1C1，AC//A1C1，∴ΔAOC∽△A1OC1，∴ACA′C′=OAOA′=12，∴ΔABC与△A1B1C1的周长比为1:2，故选：A．小提示：本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似图形是相似图形、位似图形的对应边平行是解题的关键．3、一个四边形的各边之比为1∶2∶3∶4，和它相似的另一个四边形的最小边长为5cm，则它的最大边长为（）A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm答案：C分析：设它的最大边长为x cm，根据相似图形的性质求解即可得到答案解：设它的最大边长为x cm，∵两个四边形相似，∴15=4x，解得x=20，即该四边形的最大边长为20cm．故选C．小提示：本题考查了相似多边形的性质，牢记“相似多边形对应边的比相等”是解题的关键．4、如图，在四边形ABDC中，不等长的两对角线AD、BC相交于O点，且将四边形ABDC分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若OA：OB＝OC：OD＝2：3，则此四个三角形的关系，下列叙述正确的是（）A．甲与丙相似，乙与丁相似B．甲与丙相似，乙与丁不相似C．甲与丙不相似，乙与丁相似D．甲与丙不相似，乙与丁不相似答案：A分析：利用已知条件得到即OAOC =OBOD，加上对顶角相等，则可判断△AOB∽△COD；再利用比例性质得到AOOB=OCOD，而∠AOC＝∠BOD，所以△AOC∽△BOD．解：∵OA：OB＝OC：OD＝2：3，即OAOC =OBOD，而∠AOB＝∠COD，∴△AOB∽△COD，∵OAOC =OBOD，∴AOOB =OCOD，∵∠AOC＝∠BOD，∴△AOC∽△BOD．故选：A．小提示：本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．5、神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（）A．平移B．旋转C．轴对称D．黄金分割答案：D分析：根据黄金分割的定义即可求解．解：动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的黄金分割．故选：D小提示：本题考查了黄金分割的定义，黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为√5−12，约等于0.618，这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．熟知黄金分割的定义是解题关键．6、若ab =cd=−2，则a−cb−d＝（）A．−2B．2C．−12D．12答案：A分析：根据ab =cd=−2，可知a＝﹣2b，c＝﹣2d，将a和c的值代入求值的代数式化简即可．解：∵ab =cd=−2，∴a ＝﹣2b ，c ＝﹣2d ， ∴a−c b−d=−2b+2d b−d=−2(b−d)(b−d)=−2．故选：A ．小提示：本题考查了比例的性质，解题的关键是根据已知将a 和c 用b 和d 正确表示． 7、在比例尺为1：50的图纸上，长度为10cm 的线段实际长为（ ） A ．50cmB ．500cmC ．150cm D ．1500cm答案：B分析：根据成比例线段的性质求解即可． 解：∵1：50=10:500，∴长度为10cm 的线段实际长为500cm ， 故选B ．小提示：本题考查了成比例线段，掌握比例的性质是解题的关键．8、如图，在△APM 的边AP 上任取两点B ，C ，过B 作AM 的平行线交PM 于N ，过N 作MC 的平行线交AP 于D ．若PA PB =43，则PCPD 的值为（ ）．A ．32B ．43C ．2D ．3 答案：B分析：根据AM ∥BN ，可以得到PMPN =PAPB =43，再根据MC ∥ND ，即可得到PCPD =PM PN=43.解：∵AM ∥BN ， ∴PM PN=PA PB =43，又∵MC ∥ND ，∴PCPD =PMPN=43，故选B.小提示：本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键在于能够熟练掌握平行线分线段成比例定理.9、如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于12BD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论正确的是（）A．DE垂直平分AC B．△ABE∽△CBAC．BD2=BC⋅BE D．CE⋅AB=BE⋅CA答案：D分析：根据作图可知AP是∠BAC的角平分线，AB=AD，根据SAS证明△ABE≌△ADE，可得EB=ED，∠ADE=∠ABE=90°，根据面积法可得S△ABES△AEC =12AB⋅BE12AC⋅DE=12AB⋅BE12AB⋅EC，可得ABAC=BEEC即可判断D选项正确，其他选项无法证明．解：根据作图可知AP是∠BAC的角平分线，AB=AD，∴∠EAB=∠EAD，在△ABE与△ADE中，{AE=AE∠EAB=∠EADAB=AD，∴△ABE≌△ADE，∴EB=ED，∵∠ABC=90°，∴∠ADE=∠ABE=90°，∴BE⊥AB,ED⊥C，∵S△ABES△AEC =12AB⋅BE12AC⋅DE=12AB⋅BE12AB⋅EC，∴ABAC =BEEC，即CE⋅AB=BE⋅CA．A,B,C选项无法证明．故选：D．小提示：本题考查了作角平分线，全等三角形的性质与判定，三角形面积公式，证明两三角形相似，垂直平分线的性质，理解基本作图是解题的关键．10、如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（）A．a＝√2bB．a＝2bC．a＝2√2bD．a＝4b答案：B分析：根据对折表示出小长方形的长和宽，再根据相似多边形的判定，对应边成比例列式计算即可．解：对折两次后的小长方形的长为b，宽为14a，要使小长方形与原长方形相似，只要满足ab =b14a即可，∴a=2b．故选：B．小提示：本题考查了相似多边形的判定，准确表示出小长方形的长和宽是解题的关键．填空题11、如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且ADDB =32，AEEC=12，射线ED和CB的延长线交于点F，则FBFC的值为________．答案：13分析：过B作BG∥AC交EF于G，得到△DBG∽△ADE，由相似三角形的性质得到BGAE =BDAD=23，推出BG：CE=13，根据相似三角形的性质即可得到结论．解：过B作BG∥AC交EF于G，∴△DBG∽△DAE，∴BGAE =BDAD=23，∵AEEC =12，∴BGCE =13，∵BG∥AC，∴△BFG∽△CFE，∴BFFC =BGCE=13．故答案是：13．小提示：本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．12、如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则AG∶GF的值是_______．答案：6：5分析：作FN∥AD，交AB与N，设DE=a，则AE=3a，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．作FN∥AD，交AB与N，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴FN∥AD，∴四边形ANFD是平行四边形，∵∠D=90°，∴四边形ANFD是矩形．设DE=a，则AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a，∵AN=BN，MN∥AE，∴BM=ME，∴MN=32a，∴FM=52a，∵AE∥FM，∴AGGF =AEFM=3a52a=65．故答案为6∶5．小提示：本题考查了正方形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．13、如图，△ABC沿AC平到△A'B'C'，A'B'交BC于点D，若AC＝6，D是BC的中点，则C'C＝_____．答案：3分析：证明AA′=CA′=3，即可得出结论；由平移的性质可知：AD′//AB，∵ D的为BC的中点，∴ BD=CD，∵AC=6，∴AA′=CA′=3，∴CC′=AA′=3，所以答案是：3．小提示：本题考查了平移的性质，平行线等分线段定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用知识点解决问题．14、如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y =√33x +2√33与⊙O 相交于A ，B 两点，且点A 在x 轴上，则弦AB的长为_________．答案：2√3．分析：过O 作OE ⊥AB 于C ，根据垂径定理可得AC =BC =12AB ，可求OA =2，OD =2√33，在Rt △AOD 中，由勾股定理AD =4√33，可证△OAC ∽△DAO ，由相似三角形性质可求AC =√3即可．解：过O 作OE ⊥AB 于C ，∵AB 为弦，∴AC =BC =12AB ， ∵直线y =√33x +2√33与⊙O 相交于A ，B 两点，∴当y =0时，√33x +2√33=0，解得x =-2，∴OA =2， ∴当x =0时，y =2√33， ∴OD =2√33， 在Rt △AOD 中，由勾股定理AD =√AO 2+OD 2=√22+(2√33)2=4√33， ∵∠ACO =∠AOD =90°，∠CAO =∠OAD ，∴△OAC ∽△DAO ，AC AO =AOAD即AC=AO2AD=4√33=√3，∴AB=2AC=2√3，故答案为2√3．小提示：本题考查直线与圆的位置关系，垂径定理，直线与两轴交点，勾股定理，三角形相似判定与性质，掌握以上知识、正确添加辅助线是解题关键．15、如图，在△ABC中，点E在BC上，且BE＝3EC．D是AC的中点，AE、BD交于点F，则AFEF的值为______．答案：43分析：过E点作EH∥AC交BD于点H，根据平行线分线段成比例定理，由EH∥CD得到EHCD =34,由于AD=CD，则EH AD =34，然后利用平行线分线段成比例定理得到AFEF的值.过E点作EH∥AC交BD于点H，如图：∵EH∥AC，∴EHCD =BEBC，∵BE＝3EC，∴EHCD =3CE4CE=34，∵D为AC的中点，∴AD=CD，∴EHCD =EHAD=34，∵EH∥AD，∴AFEF =ADEH=43.故答案为43.小提示：本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 解答题16、已知△OAB在平面直角坐标系中的位置如图所示．(1)将△ABO绕原点O顺时针旋转90°得△OA1B1；(2)以原点O为位似中心，将△OA1B1在原点异侧按位似比2：1进行放大得到△OA2B2．答案：(1)见解析(2)见解析分析：（1）先找到A、B的对应点A1、B1，然后顺次连接O、A1、B1即可；（2）先找到A1、B1的对应点A2、B2，然后顺次连接O、A2、B2即可；．（1）解：如图所示，△OA1B1即为所求；（2）解：如图所示，△OA2B2即为所求．小提示：本题主要考查了再坐标系中画旋转图形，画位似图形，熟知画旋转图形和画位似图形的方法是解题的关键．17、△ABC中，点D是BC边上的一点，点F在AD上，连接BF并延长交AC于点E；（1）如图1，若D为BC的中点，AEEC =12，求证：AF＝FD；（2）尺规作图：在图2中，请利用圆规和无刻度的直尺在AC上找一点E，使得AEEC =12；（3）若F为AD的中点，设BDBC =m，AEAC=n，请求出m、n之间的等量关系．答案：（1）证明见解析，（2）作图见解析，（3）m=n1−n分析：（1）作DG∥BE交AC于G，列出比例式即可证明；（2）作△ABC的中线AD，再作AD中点，连接BF并延长交AC于点E即可；（3）作DG∥BE交AC于G．根据平行得出比例式，根据F为AD的中点，得出m、n之间的等量关系即可．（1）证明：作DG∥BE交AC于G，∵DG∥BE，BD＝CD，∴CDBD ＝CGEG＝1，∴EG＝CG，∵EF∥DG，∴AFDF ＝AEEG，∵AEEC =12，EG＝GC，∴AEEG＝1，∴AFDF＝1．∴AF＝FD；（2）作△ABC的中线AD，再作AD中点，连接BF并延长交AC于点E，点E即是所求；（3）作DG∥BE交AC于G．∵DG∥BE，∴BDBC ＝EGCE＝m，∵AEAC=n，设AC＝a，AE＝an，EC＝a－an，EG＝m(a－an)，∵EF∥DG，∴AFDF ＝AEEG=anam(1−n)=nm−mn，∵F为AD的中点，∴nm−mn =1即m=n1−n．小提示：本题考查了平行线分线段成比例定理，解题关键是恰当作平行线，利用比例式解决问题．18、已知：a：b：c＝3：4：5（1）求代数式3a−b+c2a+3b−c的值；（2）如果3a﹣b+c＝10，求a、b、c的值．答案：（1）1013；（2）a=3，b=4，c=5分析：（1）根据比例设a=3k，b=4k，c=5k（k≠0），然后代入比例式进行计算即可得解；（2）先设a=3k，b=4k，c=5k（k≠0），然后将其代入3a-b+c=10，即可求得a、b、c的值．（1）∵a：b：c=3：4：5，∴设a=3k，b=4k，c=5k（k≠0），则3a−b+c2a+3b−c =9k−4k+5k6k+12k−5k=10k13k=1013；（2）设a=3k，b=4k，c=5k（k≠0），代入3a﹣b+c＝10得：9k-4k+5k=10，解得k=1．则a=3k=3，b=4k=4，c=5k=5．小提示：本题考查了比例的性质，利用“设k法”求解更简便．。

人教版数学九年级下册第二十七章相似必考点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，6AB =，8BC =，在Rt MPN △中，90MPN ∠=︒，点P 在AC 上，PM 交AB 于点E ，PN 交BC 于点F ，当2PE PF =时，AP 的长为（ ）A ．4B ．6C ．245D ．2562、如图，点E ，D ，F 在△ABC 的三边上，四边形AEDF 是菱形，若35FC AF =，则BEAF 的值为（ ）A ．35B ．58C ．53D ．853、如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，分别以AB ，BC ，AC 为边在△ABC 外部作正方形ADEB ，CBFG ，ACHI ．将正方形ABED 沿直线AB 翻折，得到正方形ABE 'D '，AD '与CH 交于点N ，点E '在边FG上，D 'E '与CG 交于点M ，记△ANC 的面积为S 1，四边形'BCME 的面积为S 2，若CN ＝2NH ，S 1+S 2＝14，则正方形ABED 的面积为（ ）A ．25B ．26C ．27D ．284、如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是边AD 上的一点，且AE ＝2ED ，EC 交对角线BD 于点F ，2DEF S ∆=，则BCF S ∆为（ ）A ．6B ．18C ．4D ．95、如图，已知四边形ABCD 是矩形，点E 在BA 的延长线上，AE AD =，EC 分别交AD ，BD 于点F ，G ，若AF AB =，则:AD AB 的值为（ ）．A ．32B C ．2D 6、如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若△ABC 的面积为16，则四边形BCED 的面积为（ ）A ．8B ．12C ．14D ．167、如图，H 是平行四边形ABCD 的边AD 上一点，且12AH DH =，BH 与AC 相交于点K ，那么AK ：KC等于（ ）A ．1：1B ．1：2C ．1：3D ．1：48、如图，小明到操场测量旗杆AB 的高度，他手拿一支铅笔MN ，边观察边移动（铅笔MN 始终与地面垂直）．当小明移动到D 点时，眼睛C 与铅笔，旗杆的顶端M ，A 共线，同时眼睛C 与它们的底端N ，B 也恰好共线．此时测得DB ＝50m ，小明的眼睛C 到铅笔的距离为0.6m ，铅笔MN 的长为0.16m ，则旗杆AB 的高度为（ ）A ．15mB ．503m C ．403m D ．14m9、如图，点P 是▱ABCD 边AD 上的一点，E ，F 分别是BP ，CP 的中点，已知▱ABCD 面积为16，那么△PEF 的面积为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．210、如图，O 是ABC 的重心，过O 的一条直线分别与AB 、AC 相交于G 、H （均不与ABC 的顶点重合），BCHG S 四边形，AGH S 分别表示四边形BCHG 和AGH 的面积，则BCHG AGHS S 四边形△的最大值是（ ）A ．54B ．1C ．32D ．23第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题6分，共计30分）1、已知B 是线段AC 的黄金分割点，AB ＞BC ，若AC ＝6，则AB 的长为______．（结果保留根号）2、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =3，AC =4，F 为AB 上的点，联结CF .将△ACF 沿直线CF 翻折，点A 的对称点为E ，若EF ∥CB ，则FE=_______________3、生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a 与全身b 的高度比值接近黄金比，可以增加视觉美感．若图中b 为2米，则a 约为___米．4、如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边BC 、AC 上的点，AD 与BE 相交于点F ，若E 为AC 的中点，BD ：DC ＝2：3，则AF ：FD 的值是 _____．5、若在比例尺为1:1000000的地图上，测得两地的距离为1.5厘米，则这两地的实际距离是______________千米三、解答题（4小题，每小题10分，共计40分）1、如图，在平面直角坐标系中，点A 、点B 的坐标分别为()1,3，()3,2．（1）画出OAB 绕点B 顺时针旋转90︒后的O A B ''△；（2）以点B 为位似中心，相似比为2:1，在x 轴的上方画出O A B ''△放大后的O A B ''''V ；2、图①、图②均是66⨯的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．ABC 的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法．（1）在图①中的线段AB 上找一点D ，连结CD ，使DCB DBC ∠=∠．（2）在图②中的线段AB 上找一点E ，连结CE ，使ACE AEC ∠=∠．3、如图，在带有网格的平面直角坐标系中，网格边长为一个单位长度，给出了三角形ABC ．（1）作出ABC 关于x 轴对称的A B C '''V ；（2）以坐标原点为位似中心在图中的网格中作出A B C '''V 的位似图形A B C ''''''△，使A B C '''V 与A B C ''''''△的位似比为1：2；（3）若ABC 的面积为3.5平方单位，求出A B C ''''''△的面积．4、如图，过矩形ABCD（AD＞AB）的对角线AC的中点O作AC的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，分别连接AF和CE．（1）判断四边形AFCE是什么特殊四边形，并证明；（2）过点E作AD的垂线交AC于点P，求证：2AE2＝AC•AP．参考答案一、单选题1、B 【解析】【分析】如图作PQ ⊥AB 于Q ，PR ⊥BC 于R ．由△QPE ∽△RPF ，推出2PQ PEPR PF==，可得PQ ＝2PR ＝2BQ ，由PQ //BC ，可得AQ ：QP ：AP ＝AB ：BC ：AC ＝3：4：5，设PQ ＝4x ，则AQ ＝3x ，AP ＝5x ，BQ ＝2x ，可得2x＋3x ＝6，求出x 即可解决问题．【详解】解：如图作PQ ⊥AB 于Q ，PR ⊥BC 于R ．∵∠PQB ＝∠QBR ＝∠BRP ＝90°，∴四边形PQBR 是矩形，∴∠QPR ＝90°＝∠MPN ，∴∠QPE ＝∠RPF ，∴△QPE ∽△RPF ，∴2PQ PEPR PF==，∴PQ ＝2PR ＝2BQ ，∵PQ //BC ，∴△AQP ∽△ABC ，∴AQ ：QP ：AP ＝AB ：BC ：AC ＝3：4：5，设PQ ＝4x ，则AQ ＝3x ，AP ＝5x ，BQ ＝2x ，∴2x ＋3x ＝6，∴x ＝65，∴AP ＝5x ＝6．故选：B ．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．2、C 【解析】【分析】根据菱形的性质可得,,AE AF DF AB DE AC =∥∥，进而可得35FC CD AE AF BD BE ===，进而可得53BE BE AF AE ==【详解】解： 点E ，D ，F 在△ABC 的三边上，四边形AEDF 是菱形，∴,DF AB DE AC ∥∥，AE AF=35DC FC BD AF ∴==,AE CDBE BD =35AE BE ∴== AE AF∴53BE BE AF AE ==故选C 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．3、B 【解析】【分析】设NH x =，则2CN x =，证明Rt ACN Rt BCA ∽，得出92BC x =，根据2ABED S AB = ，再证明'()Rt ABN Rt D AM ASA ≌，得出'Rt ABC CND M S S = 四边形，可以得出12''214Rt ABC ABE D S S S S +=-= 四边形，得出等式2117192314422x x x -⨯⋅⋅=，求解即可得到．【详解】解：设NH x =，则2CN x =，由题意知：3CA CH x ==，在Rt ACN 和Rt BCA 中，90ACN BCA ∠=∠=︒，90CAN CNA CAN CAB ∠+∠=∠+∠=︒ ，CNA CAB ∴∠=∠，Rt ACN Rt BCA ∴ ∽，2233CN AC x AC BC x ∴===，92BC x ∴=，在Rt ABC 中由勾股定理得：22222281117944AB AC BC x x x =+=+=，2ABED S AB = ，2''1174ABED ABE D S S x ∴== 四边形，在Rt ABN △和'Rt D AM 中，'''AB D A ABN D AM BAN AD M =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩，'()Rt ABN Rt D AM ASA ∴ ≌，'Rt ABC CND M S S ∴= 四边形，12'''14Rt ABC ABE D CND M S S S S S ∴+=--= 四边形四边形，12''214Rt ABC ABE D S S S S ∴∴+=-= 四边形，2117192314422x x x ∴-⨯⋅⋅=，解得：25663x =，211711756264463ABED S x ∴==⨯= ，故选：B ．【点睛】本题考查正方形的性质、三角形相似、三角形全等、勾股定理，解题的关键是掌握相应的判定定理，通过转化的思想及等量代换的思想进行求解．4、B【解析】【分析】先求解13ED AD =，再利用平行四边形的性质证明EDF CBF ∽，得到13EF CF =，再利用相似三角形面积比等于相似比的平方得出两个三角形的面积关系可得答案．【详解】解：∵AE =2ED ，AD =AE +DE =3DE ，∴ 13ED AD =，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ，BC =AD ，∴∠DEF =∠BCF ，∠EDF =∠CBF ，EDF CBF ∴ ∽，13ED EF ED BC CF AD ∴===， ∴2221139EDF BCF S ED S BC ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ， 2EDF S = ，9218BCF S ∴=⨯= ．故选：B ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，相似两个三角形的面积之间的关系，掌握以上知识是解题的关键．5、B【解析】【分析】由矩形可证得EAF CDF △△，则AE CD AF DF =，设AB =AF =CD =x ，AE =AD =y ，即可求得y x的值．【详解】∵四边形ABCD 是矩形∴∠DCE =∠AEC ，∠CDA =∠EAD∴EAF CDF△△∴AE CD AF DF=设AB =AF =CD =x ，AE =AD =y ，则有220x y xy -+=给方程两边同时除以2x ，21()0y y x x-+=令y x为t 则有210t t --=解得1t =2t =则t =y x则AD AB 故答案选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形性质及判定，将:AD AB 表示为y x是解题的关键．6、B【解析】【分析】直接利用三角形中位线定理得出DE ∥BC ，DE =12BC ，再利用相似三角形的判定与性质得出11=416=44ADE ABC S S ∆∆⨯=即可．【详解】解：∵在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，∴DE∥BC，DE=12BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，∵DEBC=12，∴14ADEABCSS∆∆=，∵S△ABC=16，∴11=416=44ADE ABCS S∆∆⨯=，∴S四边形BCED= S△ABC-S△ADE=16-4=12．故选B．【点睛】考查了三角形的中位线以及相似三角形的判定与性质，正确得出△ADE∽△ABC是解题关键．7、C【解析】【分析】根据AH=12DH求出AH：AD即AH：BC的值是1：3，再根据相似三角形对应边成比例求出AK：KC 的值．【详解】解：∵AH=12DH，∴AH：AD=13，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，3∴△AHK ∽△CBK ，∴13AK AH KC BC == 故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，比例式的变形是解题的关键．8、C【解析】【分析】利用相似三角形对应边的比等于对应高的比，过C 作CE AB ⊥于E ,交MN 于F ，先证四边形CDBE 是矩形，再明CMN CAB ∽△△，得出MN CF AB CE=，从而求出AB ．【详解】解：过C 作CE AB ⊥于E ,交MN 于F ，根据题意0.60.1650CF m MN m BD m ===，， ，∵CD BD AB BD ⊥⊥，，∴90CDB DBA BEC ∠=∠=∠=︒，∴四边形CDBE 是矩形，50CE DB m ∴==，又//MN AB ，∴∠CMN =∠A ，∠CNM =∠CBA ，MNC ABC ∴ ∽，MN CF AB CE∴=，50AB 40m 3AB ∴=．故选择C ．【点睛】本题考查相似三角形的应用，矩形的判定与性质，三角形相似判定与性质，掌握相似三角形的应用于测量的方法，矩形的判定与性质，三角形相似判定与性质是解题关键．9、D【解析】【分析】根据平行线间的距离处处相等，得到=8PBC S △，根据EF 是△PBC 的中位线，得到△PEF ∽△PBC ，EF =12BC ，得到1=4PEF PBC S S △△计算即可．【详解】∵点P 是▱ABCD 边AD 上的一点，且 ▱ABCD 面积为16，∴1==82PBC ABCD S S △平行四边形；∵E ，F 分别是BP ，CP 的中点，∴EF ∥BC ，EF =12BC ，∴△PEF ∽△PBC ，∴21=(4PEF PBC PBC EF S S S BC =△△△，∴1=824PEF S ⨯=△，故选D ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握中位线定理，灵活运用三角形相似的性质是解题的关键．10、A【解析】【分析】根据O 是ABC 的重心可得2AO OD=，过O 作MN ∥BC 交AN 于N ，交AC 于M ，过M 作ME ∥AB 交GH 于E ，易证OM =ON ，设,9MEH ABC S x S y == ，分别表示出四边形BCHG 和AGH 的面积即可【详解】过O 作MN ∥BC 交AN 于N ，交AC 于M ，过M 作ME ∥AB 交GH 于E∵O 是ABC 的重心，∴2AO OD=，D 是BC 中点∴BD =CD ，23AO AD =∵MN ∥BC∴~AMN ACB∴23NO MO AO BD CD AD ===,24()9AMN ABCS AO S AD == ∴MO NO=∵ME ∥AB∴MOH NOG∠=∠∴()MOE NOG AAS ∆≅∆∴MOE NOGS S ∆∆=设,9MEH ABC S x S y== ∴4,5,AMN BCMN S S y y ==△四边形∴BCHG BC HOM NO MN GS S S S ∆∆=-+四边形四边形()MOE MEH NO BCMN GS S S S ∆∆∆=-++四边形5y x=-HG MN A A NOG HOMS S S S ∆∆∆∆=-+()A NOG MOE M MEH N S S S S ∆∆∆∆=-++4y x=+∴54BCHGAGH S x y S x y -=+四边形△∵x 为定值∴当y 越小时54BCHGAGHS x y S x y -=+四边形△值越大∴当0y =时54BCHG AGH S S =四边形△最大，此时GH ∥BC 故选:A【点睛】题是几何综合题，以三角形的重心为背景，考查了重心的概念、性质以及应用，考查了相似三角形的性质知识点．解题的关键是表示出54BCHG AGH S xyS x y-=+四边形△．二、填空题1、3-##3-+【解析】【分析】根据黄金分割的定义得到AB AC =，把AC ＝6代入计算即可解题．【详解】解： B 是线段AC 的黄金分割点，∴AB AC= AC ＝6∴3AB =-2、2【解析】【分析】根据勾股定理求出AB ，由等面积法求出CG ，根据相似三角形判定证明Rt ACB Rt EGF ∽，由性质建立等式求出即可．【详解】解：根据题意作图如下：由勾股定理得：5AB ==，根据折叠的性质得：,A E AC CE ∠=∠=，//FE BC ，B EFG ∴∠=∠，90A B ∠+∠=︒ ，90E EFG ∴∠+∠=︒，90FGE ∴∠=︒，CG AB ∴⊥，11622ABC S AC BC AB CG =⋅=⋅= ，解得：125CG =，128455GE CE CG ∴=-=-=，90,EGF ACB A E ∠=∠=︒∠=∠ ，Rt ACB Rt EGF ∴ ∽，AB AC FE EG∴=，即5485FE =，解得：2FE =，故答案是：2．【点睛】本题考查了折叠问题，三角形相似、勾股定理，解题的关键是添加辅助线，构造相似三角形．31【解析】【分析】由题意得a b ，以此进行分析计算即可得出答案．【详解】解：∵雕像的腰部以下a 与全身b 的高度比值接近黄金比，∴a b ，∴a b 1）米.故答案为：1）．【点睛】本题考查的是黄金分割的概念，注意掌握把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，其中AB ．4、52##2.5【解析】【分析】过D 作DH ∥AC 交BE 于H ，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：过D 作DH ∥AC 交BE 于H ，∴△DHF ∽△AEF ，△BDH ∽△BCE ，∴DH DF AE AF =，DH BD CE BC=，∵若E 为AC 的中点，∴CE ＝AE ，∴=DF BD AF BC，∵BD ：DC ＝2：3，∴BD ：BC ＝2：5，∴DF ：AF ＝2：5，∴AF ：FD ＝52．故答案为：52．【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质，合理添加辅助线，正确选择比例式是解题的关键．5、15【解析】【分析】设两地间的实际距离是x cm ，由在比例尺为1：1000 000的地图上，量得两地间的距离为1.5厘米，即可得方程1 1.51000000x= ，解方程即可求得x 的值，然后换算单位即可求得答案．【详解】解：设两地间的实际距离是x cm ，∵比例尺为1：1000 000，量得两地间的距离为1.5cm ，∴1 1.51000000x=，解得：x =1500000，∵1500000cm=15km ，∴两地间的实际距离是15千米，故答案为：15．【点睛】本题考查了比例的性质——比例尺的性质，解题的关键是根据题意列方程，要注意统一单位．三、解答题1、（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）找到O,A 绕点B 顺时针旋转90︒后的对应点O ',A ',顺次连接O '，A '，B ，则O A B ''△即为所求；（2）延长BO '至O ″,BA '至A ″，使得B O ″=2B O ',B A ″=2B A '，连接A ″O ″，则O A B ''''V 即为所求【详解】（1）如图，找到O,A 绕点B 顺时针旋转90︒后的对应点O ',A ',顺次连接O '，A '，B ，则O A B ''△即为所求；（2）如图，延长BO '至O ″,BA '至A ″，使得B O ″=2B O ',B A ″=2B A '，连接A ″O ″，则O A B''''V【点睛】本题考查了画旋转图形，在平面直角坐标系中画位似图形，掌握旋转的性质和位似图形的性质是解题的关键．2、（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）找出ABC 所在的矩形ACBE ，然后连接CE ，交AB 于点D ，根据矩形的对角线相等且互相平分即可证明DCB DBC ∠=∠，即点D 即为所求；（2）取格点D 、F ，连接DF ，交AB 于点E ，连接CE ，根据相似三角形的判定及性质可得：14BF BE AD AE ==，根据勾股定理求出5AB =，由线段比例可得：445AE AB ==，得出AE AC =，由等边对等角即可得出两个角相等，即点E 即为所求．【详解】解：（1）如图1，找出ABC 所在的矩形ACBE ，然后连接CE ，交AB 于点D ，即为所求；∵四边形ACBE 为矩形，∴AD CD BD DE ===，∴DCB DBC ∠=∠，∴点D 符合题意；（2）如图2，取格点D 、F ，连接DF ，交AB 于点E ，连接CE ，点E 即为所求，∵AD BC ∥，∴~AED BEF ，∴14BF BE AD AE ==，在ACB 中，4CA =，3CB =，∴5AB =，∴445AE AB ==，∴AE AC =，∴ACE AEC ∠=∠，∴点E 符合题意．【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，包括矩形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，理解题意，熟练掌握运用这些知识点作出相应图形是解题关键．3、（1）见解析；（2）见解析；（3）14平方单位．【解析】【分析】（1）根据轴对称性质即可画出△ABC 关于x 轴对称的A B C '''V ；（2）根据位似图形的性质即可画出A B C '''V 以点O 为位似中心的位似图形A B C ''''''△，A B C '''V 与A B C ''''''△的位似比为1：2;（3）利用相似三角形的性质计算即可．【详解】解：（1）如图，A B C '''V ，即为所求作；（2）如图，A B C ''''''△，即为所求作；（3）∵A B C '''V 与A B C ''''''△的位似比为1：2，∴A B C '''V ∽A B C ''''''△，A 'B 'A ″B ″=12，∴S △A 'B 'C 'S △A ″B ″C ″=(A 'B 'A ″B ″)2=14，∵ABC 的面积为3.5平方单位，即A B C '''V 的面积为3.5平方单位，∴A B C ''''''△的面积为：2S △A 'B 'C '=4×3.5=14平方单位．【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，位似变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4、（1）四边形AFCE是菱形，见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）由过矩形ABCD（AD＞AB）的对角线AC的中点O作AC的垂直平分线EF，易证得△AOE≌△COF，即可得EO＝FO，则可证得四边形AFCE是平行四边形，又由EF⊥AC，可得四边形AFCE是菱形；（2）由∠AEP＝∠AOE＝90°，∠EAP＝∠OAE，可证得△AOE∽△AEP，又由相似三角形的对应边成比例，即可证得2AE2＝AC•AP．【详解】证明：（1）四边形AFCE是菱形．理由：由已知可知：AO＝CO，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，在△AOE和△COF中，∠EAO=∠FCO∠AEO=∠CFO，AO=CO∴△AOE≌△COF（AAS），∴EO＝FO，∴四边形AFCE是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形；（2）∵∠AEP＝∠AOE＝90°，∠EAP＝∠OAE，∴△AOE∽△AEP，∴AOAE ＝AEAP，∴AE2＝AO•AP，又AC＝2AO，∴2AE2＝AC•AP．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的性质、菱形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意掌握数形结合思想的应用．。

人教版数学九年级下册第27章相似全章拓展提升与复习过关知识全面设计合理含答案教师必备《相似》全章复习与巩固--知识讲解（基础）【学习目标】1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方，探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题；3、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标的变化；4、结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力，以及综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、相似图形及比例线段1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 要点诠释：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形全等；2.相似多边形如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．要点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．（2）相似多边形对应边的比称为相似比.3. 比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a :b =c :d ，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．要点诠释：（1）若a :b =c :d ，则ad=bc ；（d 也叫第四比例项）（2）若a :b=b :c ，则 =ac （b 称为a 、c 的比例中项）． 要点二、相似三角形1. 相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似. 判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.2. 相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.(3) 相似三角形周长的比等于相似比；（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

九年级数学下册第二十七章相似知识点总结(超全)单选题1、△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心，点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，若△DEF的面积是2，则△ABC的面积是( )A．2B．4C．6D．8答案：D分析：先根据三角形中位线的性质得到DE=12AB，从而得到相似比，再利用位似的性质得到△DEF∽△ABC，然后根据相似三角形的面积比是相似比的平方求解即可．∵点D，E分别是OA，OB的中点，∴DE=12AB，∵△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心，∴△DEF∽△ABC，∴SΔDEFSΔABC =1 4，∴△ABC的面积=2×4=8故选D．小提示：本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．2、下列图形中不一定相似的是（）A．两个矩形B．两个圆C．两个正方形D．两个等边三角形答案：A分析：两个多边形相似，是指边数相同的两个多边形，对应角相等，对应边成比例，根据此定义即可判断．A、两个矩形不一定相似，由于对应边不一定成比例，故符合题意；B、两个圆一定相似，故不满足题意；C、根据两个图形相似的定义，两个正方形相似，故不满足题意；D、根据两个图形相似的定义，两个等边三角形相似，故不满足题意；故选：A．小提示：本题考查两个图形的相似，关键是掌握两个图形相似的概念．3、如图所示，网格中相似的两个三角形是（）A．①与②B．①与③C．③与④D．②与③答案：B分析：分别根据网格的特点求得各三角形三边的长，根据三边对应成比例判断两三角形相似即可．解：根据网格的特点，①号三角形的三边长分别为：√2，2，√10，②号三角形的三边长分别为：√2，√5，3，③号三角形的三边长分别为：2，2√2，2√5，④号三角形的三边长分别为：√2，3，√17，∵√22=2√2=√102√5√22，∴①与③相似，故B选项正确，符合题意；其他选项不正确故选：B．小提示：本题考查了网格中判断相似三角形，分别求得各三角形的边长是解题的关键．4、如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB=1.2m，BC=12.8m，则建筑物CD的高是( )A ．17.5mB ．17mC ．16.5mD ．18m答案：A分析：先求得AC ，再说明△ABE ∽△ACD ，最后根据相似三角形的性质列方程解答即可．解：∵AB =1.2m ，BC =12.8m∴AC=1.2m+12.8m=14m∵标杆BE 和建筑物CD 均垂直于地面∴BE//CD∴△ABE ∽△ACD∴AB BE =AC CD ,即1.21.5=14CD ,解得CD=17.5m ． 故答案为A ．小提示：本题考查了相似三角形的应用，正确判定相似三角形并利用相似三角形的性质列方程计算是解答本题的关键．5、已知线段AB 的长为2厘米，点P 是AB 的黄金分割点，线段PB 的长是（ ）A ．√5−12B ．√5−1或3−√5C ．3−√5D ．√5−1答案：B分析：根据黄金分割的定义和黄金比值√5−12，分PB 为较长线段和PB 为较短线段求解即可．解：∵线段AB 的长为2厘米，点P 是AB 的黄金分割点，∴PB = √5−12AB = √5−12×2=√5−1，或PB =2－（√5−1）=3−√5，故选：B ．小提示：本题考查黄金分割的定义：把线段AB 分成两条线段AC 和CB （AC ＞BC ），且AC 为AB 和BC 的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC= √5−12AB，熟记黄金比值√5−12是解答的关键．6、如图，△ABC与△A1B1C1位似，位似中心是点O，若OA:OA1=1:2，则△ABC与△A1B1C1的周长比是（）A．1:2B．1:3C．1:4D．1:√2答案：A分析：根据位似图形的概念得到ΔABC∽△A1B1C1，AC//A1C1，进而得出ΔAOC∽△A1OC1，根据相似三角形的性质解答即可．解：∵ΔABC与△A1B1C1位似，∴ΔABC∽△A1B1C1，AC//A1C1，∴ΔAOC∽△A1OC1，∴ACA′C′=OAOA′=12，∴ΔABC与△A1B1C1的周长比为1:2，故选：A．小提示：本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似图形是相似图形、位似图形的对应边平行是解题的关键．7、如图，在等腰△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝α，BC＝12，点D是边AB上一点，且BD＝4，点P是边BC上一动点，作∠DPE＝α，射线PE交边AC于点E，当CE＝9时，则满足条件的P点的个数是（）A．1B．2C．3D．以上都有可能答案：A分析：由已知得∠ABC＝∠ACB＝α，再证明∠EPC＝∠PDB，则可判断△PDB∽△EPC，利用相似比得到BD：PC ＝PB：CE，设PB＝x，则PC＝10﹣x，CE＝9时，所以x2﹣12x+36＝0，根据判别式的意义得到Δ＝0，即原方程只有一个实数根即可选出答案．解：∵△ABC为等腰三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝α，∵∠DPC＝∠B+∠PDB，即∠DPE+∠EPC＝∠B+∠PDB，而∠DPE＝α，∴∠EPC＝∠PDB，而∠ABC＝∠ACB，∴△PDB∽△EPC，∴BDPC =PBCE，设PB＝x，则PC＝12﹣x，当CE＝9时，∴412−x =x9，∴x2﹣12x+36＝0，∵Δ＝（﹣12）2﹣4×36＝0，原方程只有一个实数根，∴点P有且只有一个，故选A．小提示：本题主要考查了三角形外角的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．8、如图，直线AB ∥CD ∥EF ，若AC =3，CE =4，则BD BF 的值是（ ）A ．34B ．43C ．37D ．47 答案：C分析：由平行线分线段成比例直接得到答案．解：∵AB ∥CD ∥EF∴BD BF =AC AE ∵AC =3，CE =4∴BD BF =37， 故选C ．小提示：本题考查的是平行线分线段成比例，解题的关键在于能够熟练掌握平行线分线段成比例．9、神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（ ）A ．平移B ．旋转C ．轴对称D ．黄金分割答案：D分析：根据黄金分割的定义即可求解．解：动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的黄金分割．故选：D小提示：本题考查了黄金分割的定义，黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为√5−12，约等于0.618，这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．熟知黄金分割的定义是解题关键．10、若ab =cd=−2，则a−cb−d＝（）A．−2B．2C．−12D．12答案：A分析：根据ab =cd=−2，可知a＝﹣2b，c＝﹣2d，将a和c的值代入求值的代数式化简即可．解：∵ab =cd=−2，∴a＝﹣2b，c＝﹣2d，∴a−cb−d =−2b+2db−d=−2(b−d)(b−d)=−2．故选：A．小提示：本题考查了比例的性质，解题的关键是根据已知将a和c用b和d正确表示．填空题11、如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为O，且△ABC的面积与△DEF的面积之比是16：9，则AO：OD＝_____．答案：4:3##43分析：根据位似图形具有相似三角形的性质即可得出结果．解：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为O，且△ABC的面积与△DEF的面积之比是16：9，∴AO：OD=4：3，所以答案是：4：3．小提示：本题考查了位似变换，正确掌握位似变换的性质是解题的关键．12、如图，已知一组平行线a//b//c，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB＝3，BC＝4，EF＝4.8，则DE的长为__．答案：3.6分析：根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入数据进行计算即可得到答案．解：∵a∥b∥c，∴DEEF =ABBC，即DE4.8=34，∴DE＝3.6，所以答案是：3.6．小提示：本题考查了平行线分线段成比例，根据题目特点，灵活选择比例式计算是解题的关键．13、如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q 从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么经过______秒时△QBP与△ABC 相似．答案：0.8或2##2或0.8分析：设经过t秒时，△QBP与△ABC相似，则AP=2tcm,BP=(8−2t)cm,BQ=4tcm,利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：BPBA =BQBC时，△BPQ∽△BAC，即8−2t8=4t16；当BPBC=BQ BA 时，△BPQ∽△BCA，即8−2t16=4t8，然后解方程即可求出答案．解：设经过t秒时，△QBP与△ABC相似，则AP=2tcm,BP=(8−2t)cm,BQ=4tcm, ∵∠PBQ=∠ABC，∴当BPBA =BQBC时，△BPQ∽△BAC，即8−2t8=4t16，解得：t=2；当BPBC =BQBA时，△BPQ∽△BCA，即8−2t16=4t8，解得：t=0.8；综上所述：经过0.8s或2s秒时，△QBP与△ABC相似，小提示：本题考查了相似三角形的判定：两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似，解题的关键是准确分析题意列出方程求解．14、已知a2=b3=c5，则a+bc的值为_____．答案：1分析：由比例的性质，设a2=b3=c5=k，则a=2k，b=3k，c=5k，然后代入计算，即可得到答案．解：根据题意，设a2=b3=c5=k，∴a=2k，b=3k，c=5k，∴a+bc =2k+3k5k=1，所以答案是：1．小提示：本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质进行解题．15、如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且ADDB =32，AEEC=12，射线ED和CB的延长线交于点F，则FBFC的值为________．答案：13分析：过B作BG∥AC交EF于G，得到△DBG∽△ADE，由相似三角形的性质得到BGAE =BDAD=23，推出BG：CE=13，根据相似三角形的性质即可得到结论．解：过B作BG∥AC交EF于G，∴△DBG∽△DAE，∴BGAE =BDAD=23，∵AEEC =12，∴BGCE =13，∵BG∥AC，∴△BFG∽△CFE，∴BFFC =BGCE=13．故答案是：13．小提示：本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．解答题16、如图，BD，AC相交于点P，连接AB，BC，CD，DA，∠DAP＝∠CBP．(1)求证：△ADP∽△BCP；(2)直接回答△ADP与△BCP是不是位似图形；(3)若AB＝8，CD＝4，DP＝3，求AP的长．答案：(1)见解析；(2)不是位似图形；(3)6分析：（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明；（2）根据位似图形的定义判断，即可；（3）根据△ADP∽△BCP，得到APDP =BPCP，再证明△APB∽△DPC，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到答案．（1）证明：∵∠DAP＝∠CBP，∠DPA＝∠CPB，∴△ADP∽△BCP．（2）解：△ADP与△BCP不是位似图形．理由是：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．△ADP与△BCP的对应点的连线交于一个点，∴△ADP与△BCP不是位似图形．（3）解：∵△ADP∽△BCP，∴APDP =BPCP，∵∠APB＝∠DPC，∴△APB∽△DPC，∴APPD =ABCD，∴AP3=84，解得AP＝6．小提示：本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．17、已知线段a、b满足a：b＝3：2，且a＋2b＝28（1）求a、b的值．（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．答案：（1）a＝12，b＝8；（2）x＝4√6．分析：（1）利用a:b=3:2，可设a=3k，b=2k，则3k+4k=28，然后解出k的值即可得到a、b的值；（2）根据比例中项的定义得到x2=ab，即x2=96，然后根据算术平方根的定义求解．解：（1）∵a:b=3:2∴设a=3k，b=2k，∵a+2b=28，∴3k+4k=28，∴k=4，∴a=12，b=8；（2）∵x是a:b的比例中项，∴x2=ab=96，∵x是线段，x>0，∴x=4√6．小提示：本题考查了比例线段，解题的关键是掌握对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a:b=c:d（即ad=bc)，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意利用代数的方法解决较为简便．18、已知△OAB在平面直角坐标系中的位置如图所示．(1)将△ABO绕原点O顺时针旋转90°得△OA1B1；(2)以原点O为位似中心，将△OA1B1在原点异侧按位似比2：1进行放大得到△OA2B2．答案：(1)见解析(2)见解析分析：（1）先找到A、B的对应点A1、B1，然后顺次连接O、A1、B1即可；（2）先找到A1、B1的对应点A2、B2，然后顺次连接O、A2、B2即可；．（1）解：如图所示，△OA1B1即为所求；（2）解：如图所示，△OA2B2即为所求．小提示：本题主要考查了再坐标系中画旋转图形，画位似图形，熟知画旋转图形和画位似图形的方法是解题的关键．。

人教版数学九年级下册第27章相似相似多边形及位似拓展提升与复习过关知识全面设计合理含答案教师必备相似多边形及位似--知识讲解【学习目标】1、掌握相似多边形的性质及应用；2、了解图形的位似，知道位似变换是特殊的相似变换，能利用位似的方法，将一个图形放大或缩小；3、了解黄金分割值及相关运算.【要点梳理】要点一、相似多边形相似多边形的性质：（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．（2）相似多边形的周长比等于相似比．（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．要点诠释：用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况：（1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形；（2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形；（3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形.要点二、位似1.位似图形定义:如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.要点诠释：（1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.3.平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．4.作位似图形的步骤第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；第二步：作位似中心与各关键点连线；第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；第四步：顺次连接各对应点. 要点诠释：位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.要点三、黄金分割定义：如图，将一条线段AB 分割成大小两条线段AP 、PB ，若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即ABAPAP PB =（此时线段AP 叫作线段PB 、AB 的比例中项），则P 点就是线段AB 的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫黄金分割．要点诠释：1.黄金分割值：设AB=1，AP=x ，则BP=x -1 ∵AB APAP PB = ∴11xx x =- ∴x x -=12∴618.0215≈-=x (舍负) 2.黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形，它的底角为72°，恰好是顶角的2倍，人们称这种三角形为黄金三角形．黄金三角形性质：底角平分线将其腰黄金分割．【典型例题】类型一、相似多边形1.如图，矩形草坪长20m，宽16m,沿草坪四周有2m宽的环形小路，小路内外边缘所形成的两个矩形相似吗？为什么？【答案与解析】因为矩形的四个角都是直角，所以关键是看矩形ABCD 与矩形EFGH的对应边的比是否相等.542016221616EFAB==++=，652420222020EHAD==++=而6554≠，∴EHADEFAB≠∴矩形ABCD与矩形EFGH的对应边的比不相等，因而它们不相似.【总结升华】两个边数相同的多边形，必须同时满足“对应边的比都相等，对应角都相等”这两个条件才能相似，缺一不可.举一反三【变式】（2015•梧州一模）如图，一张矩形纸片ABCD的长AB=a，宽BC=b．将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED与矩形ABCD相似，则a：b=（）A. 2：1B. ：1C. 3：D. 3：2【答案】B.提示: ∵矩形纸片对折，折痕为EF，∴AF=AB=a，∵矩形AFED与矩形ABCD相似，∴=，即=，∴（）2=2，∴=．故选B．AB CDEF GH2.（2014•甘肃模拟）如图，在长8cm，宽4cm 的矩形中截去一个矩形，使留下的矩形（阴影部分）与原矩形相似，那么留下的矩形的面积为（）．A. 2cm2B. 4cm2C. 8cm2D. 16cm2【答案】C.【解析】设留下的矩形的宽为x，∵留下的矩形与原矩形相似，∴，∴x=2，∴留下的矩形的面积为：2×4=8（cm2）故答案为：8．故选C．【总结升华】本题主要考查了相似多边形的性质，在解题时要能根据相似多边形的性质列出方程是本题的关键．类型二、位似3. 利用位似图形的方法把五边形ABCDE放大1.5倍.【答案与解析】即是要画一个五边形A′B′C′D′E′，要与五边形ABCDE相似且相似比为1.5.画法是：1．在平面上任取一点O.2．以O为端点作射线OA、OB、OC、OD、OE.3．在射线OA、OB、OC、OD、OE上分别取点A′、B′、C′、D′、E′，使OA′:OA＝ OB′:OB ＝OC′:OC＝OD′:OD＝OE′:OE＝1.5.4．连结A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′A′.这样：A′B′AB＝B′C′BC＝C′D′CD＝D′E′DE＝A′E′AE＝1.5.则五边形A′B′C′D′E′为所求. 另外一种情况，所画五边形跟原五边形分别在位似中心的两侧.ABC DEA1B1C1D1E1ABC DE【总结升华】由本题可知，利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小.4. 如图，矩形OABC 的顶点坐标分别为O （0，0），A （6，0），B （6，4），C （0，4）.画出以点O 为位似中心，矩形OABC 的位似图形OA ′ B ′ C ′ ，使它的面积等于矩形OABC 面积的41，并分别写出A ′、B ′、C ′三点的坐标.【答案与解析】因为矩形OA ′B ′C ′与矩形OABC 是位似图形，面积比为1：4，所以它 们的位似比为1：2. 连接OB ，（1）分别取线段OA 、OB 、OC 的中点A ′、B ′、C ′，连接O A ′、A ′B ′、B ′C ′、 C ′O ，矩形OA ′B ′C ′就是所求的图形.A ′，B ′，C ′三点的坐标分别为A ′（3，0），B ′（3，2），C ′（0，2）. （2）分别在线段OA ，OB ，OC 的反向延长线上截取O A ″、O B ″、O C ″，使OA ″=21OA ，OB ″=21OB ，O C ″=21OC ，连接 A ″B ″、B ″C ″，则矩形O A ″B ″C ″为所求. A ″、B ″、C ″三点的坐标分别为A ″（-3，0），B ″（-3，-2），C ″（0，-2）.【总结升华】平面直角坐标系内画位似图形，若没有明确指出只画一个，一定要把两种情况都画在坐标系内，并写出两种坐标.举一反三【变式】在已知三角形内求作内接正方形．【答案】作法：（1）在AB上任取一点G′，作G′D′⊥BC；（2）以G′D′为边，在△ABC内作一正方形D′E′F′G′；（3）连接BF′，延长交AC于F；（4）作FG∥CB，交AB于G，从F、G分别作BC的垂线FE， GD；∴四边形DEFG即为所求．类型三、黄金分割5.求做黄金矩形（写出具体做题步骤）并证明.【答案与解析】宽与长的比是512的矩形叫黄金矩形．（心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感．）黄金矩形的作法如下（如图所示）：第一步：作一个正方形ABCD；第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；第四步：过E作EF⊥AD，交AD的延长线于F．即矩形DCEF为黄金矩形．证明：在正方形ABCD中，取2AB a=，∵ N为BC的中点，G FF'B CG'∴ 12NC BC a ==． 在Rt DNC △中，2222(2)5ND NC CD a a a =+=+=．又∵ NE ND =，∴ (51)CE NE NC a =-=-．∴5151CE a CD --==（）． 故矩形DCEF 为黄金矩形．【总结升华】要求熟练掌握多边形相似的比例关系．会利用相似比，求未知线段的长度或比值．举一反三【变式】美是一种感觉，当人的肚脐是人的身高的黄金分割点时，人的下半身长与身高之比约为0.618，人的身段成为黄金比例，给人一种美感．某女士身高165cm ，下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应穿高跟鞋的高度大约为（ ） A.4cm B.5cm C.6cm D.8cm 【答案】D.∵该女士身高165cm ，下半身长与身高的比值是0.60， ∴此女士下半身长是165×0.60=99cm ，设需要穿的高跟鞋是xcm ，根据黄金分割的定义得：99+=165+xx0.618，解得：x ≈8． 故选D ．相似多边形及位似--巩固练习【巩固练习】一. 选择题1.下面给出了相似的一些命题： （1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相 似；（5）正六边形都相似；其中正确的有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个2.下列说法错误的是（ ）. A.位似图形一定是相似图形. B.相似图形不一定是位似图形.C.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.D.位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行. 3.下列说法正确的是（ ）A.分别在ABC 的边AB 、AC 的反向延长线上取点D 、E ，使DE ∥BC ，则ADE是ABC 放大后的图形.AC D EFM NB.两位似图形的面积之比等于相似比.C.位似多边形中对应对角线之比等于相似比.D.位似图形的周长之比等于相似比的平方.4.平面直角坐标系中，有一条“鱼，它有六个顶点”，则（）A.将各点横坐标乘以2，纵坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似.B.将各点纵坐标乘以2，横坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似.C.将各点横、纵坐标都乘以2，得到的鱼与原来的鱼位似.D.将各点横坐标乘以2，纵坐标乘以，得到的鱼与原来的鱼位似.5.（2015•杭州模拟）如图，四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，AB=12，CD=15，A1B1=9，则边C1D1的长是（）A. 10B. 12C.D.6．如果点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列各式不正确的是（）A. AB：AC=AC：BCB. AC=512AB-C.AB=512AC+D.BC≈0.618AB7.已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD 上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（）A. 512-B.512+C.3D.2二.填空题8. 如果两个位似图形的对应线段长分别为3cm和5cm，且较小图形周长为30cm，则较大图形周长为___ ___.9.已知ABC，以点A为位似中心，作出ADE，使ADE是ABC放大2倍的图形，则这样的图形可以作出______个，它们之间的关系是__________.10．如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A B C D E'''''，已知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A B C D E'''''的周长的比值是__________．11. △ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，△ADE是△ABC缩小后的图形.若DE把△ABC的面积分成相等的两部分，则AD：AB=________.12.（2015春•庆阳校级月考）图中的两个四边形相似，则x+y= ，α= ．13.如图（1），将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1，取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图（2）中阴影部分，取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图（3）中阴影部分，如此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为__________________.14. 如图，△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=36°，∠ABC的平分线与AC边的交点D为边AC的黄金分割点（AD＞DC），则BC=______________.三．综合题15.如图，D、E分别AB、AC上的点.(1)如果DE∥BC，那么△ADE和△ABC是位似图形吗？为什么？(2)如果△ADE和△ABC是位似图形，那么DE∥BC吗？为什么？16.（2014•南通）如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形A EFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．（1）求证：EB=GD；（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的长．17. 如图1，矩形ODEF的一边落在矩形ABCO的一边上，并且矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，矩形ABCO的边AB=4，BC=43．（1）求矩形ODEF的面积；（2）将图1中的矩形ODEF绕点O逆时针旋转一周，连接EC、EA，△ACE的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．【答案与解析】一、选择题1．【答案】B【解析】（1）菱形的角不一定对应相等，故错误；（2）（3）（5）符合相似的定义，故正确；（4）对应边的比不一定相等．故错误．故正确的是：（2）（3）（5）．故选B．2．【答案】D.3．【答案】C.4．【答案】C.5．【答案】C．【解析】∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，∴=，∵AB=12，CD=15，A1B1=9，∴C1D1==．6．【答案】D.【解析】∵AC＞BC，∴AC是较长的线段，根据黄金分割的定义可知：AB：AC=AC：BC，AC=512AB-, AB=512AC+AC≈0.618AB．故选D．7.【答案】B.【解析】∵AB=1，设AD=x，则FD=x-1，FE=1，∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，∴EF AD FD AB=，111xx=-，解得11+5 =2x,21-5 =2x,（负值舍去），经检验11+5 =2x是原方程的解．故选B．二、填空题8.【答案】50cm.9.【答案】2个；全等.10.【答案】1：2．【解析】∵五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，OA=10cm，OA′=20cm，∴五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，且相似比为：OA：OA′=10：20=1：2，∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比为：OA：OA′=1：2．故答案为：1：2．11.【答案】；【解析】由BC ∥DE 可得△ADE ∽△ABC ，所以，故.12.【答案】63，85°.【解析】由于两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等，∴ 18：4=x ：8=y ：6，解得x=36，y=27，则x+y=36+27=63．∴a=360°﹣（77°+83°+115°）=85°．故答案为63，85°．13. 【答案】1256. 【解析】∵A 1、F 1、B 1、D 1、C 1、E 1分别是△ABC 和△DEF 各边中点，∴正六角星形AFBDCE ∽正六角星形A 1F 1B 1D 1C 1E 1，且相似比为2：1，∵正六角星形AFBDCE 的面积为1，∴正六角星形A 1F 1B 1D 1C 1E 1的面积为14， 同理可得，第三个六角形的面积为：314=164， 第四个六角形的面积为：1111=1644256⨯⨯， 故答案为：1256. 14. 【答案】25-2；【解析】∵AB=AC ，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，又BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=∠CBD=36°，∴∠BDC=72°，∴BC=BD=AD ，∵D 点是AC 的黄金分割点，∴BC=AD=4×5-12=25-2.三．解答题15.【答案与解析】(1)△ADE 和 △ABC 是位似图形.理由是：DE ∥BC ，所以∠ADE=∠B ， ∠AED=∠C.所以△ADE ∽△ABC ，所以. 又因为 点A 是△ADE 和 △ABC 的公共点，点D 和点B 是对应点，点E 和点C是对应点，直线BD 与CE 交于点A ，所以△ADE 和 △ABC 是位似图形.(2)DE ∥BC.理由是：因为△ADE 和△ABC 是位似图形，所以△ADE ∽△ABC所以∠ADE=∠B所以DE ∥BC.16.【答案与解析】（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD ，∴∠EAG=∠BAD，∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB，∴∠EAB=∠GAD，∵AE=AG，AB=AD ，∴△AEB≌△AGD，∴EB=GD；（2）解：连接BD 交AC 于点P ，则BP⊥AC，∵∠DAB=60°，∴∠PAB=30°，∴BP=AB=1，AP==，AE=AG=，∴EP=2， ∴EB===， ∴GD=．17.【答案与解析】（1）∵矩形ODEF ∽矩形ABCO ，其相似比为1：4，∴S 矩形ODEF =116S 矩形ABCO =116×4×43=3； （2）存在．∵OE=所以点E 的轨迹为以点O 为圆心，以2为半径的圆， 设点O 到AC 的距离为h ，AC=()22224438AB BC +=+=∴8h=4×43，。