高中数学必修一第一章学案1.1.2

1.1.2 瞬时变化率——导数导数定义求函数的导函数.1．瞬时速度(1)在物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为__________．(2)一般地，如果当Δt __________0时，运动物体位移s (t )的平均变化率s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt无限趋近于一个______，那么这个______称为物体在t ＝t 0时的__________，也就是位移对于时间的____________．预习交流1做一做：如果质点A 按规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3 s 时的瞬时速度为__________． 2．瞬时加速度一般地，如果当Δt __________时，运动物体速度v (t )的平均变化率v (t 0＋Δt )－v (t 0)Δt无限趋近于一个_______，那么这个________称为物体在t ＝t 0时的_________，也就是速度对于时间的____________．3．导数(1)设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx无限趋近于一个______A ，则称f (x )在x ＝x 0处______，并称该______A 为函数f (x )在x ＝x 0处的______，记为______．(2)导数f ′(x 0)的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的________． (3)若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的________，记作________．预习交流2做一做：设函数f (x )可导，则当Δx →0时，f (1＋Δx )－f (1)3Δx等于__________．预习交流3做一做：函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数是__________．预习交流4利用导数求曲线切线方程的步骤有哪些？预习导引1．(1)平均速度 (2)无限趋近于 常数 常数 瞬时速度 瞬时变化率预习交流1：提示：s (3＋Δt )＝3(3＋Δt )2＝3[9＋6Δt ＋(Δt )2]＝27＋18Δt ＋3(Δt )2.s (3)＝3×32＝27.Δs ＝s (3＋Δt )－s (3)＝18Δt ＋3(Δt )2， ∴Δs Δt ＝18＋3Δt ，当Δt →0时，ΔsΔt→18. 2．无限趋近于0 常数 常数 瞬时加速度 瞬时变化率3．(1)常数 可导 常数 导数 f ′(x 0) (2)斜率 (3)导函数 f ′(x )预习交流2：提示：f (1＋Δx )－f (1)3Δx ＝13·f (1＋Δx )－f (1)Δx，当Δx →0时，f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝f ′(1)，∴原式＝13f ′(1)．预习交流3：提示：∵函数y ＝f (x )＝x ＋1x，∴Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝1＋Δx ＋11＋Δx －1－1＝(Δx )21＋Δx.∴Δy Δx ＝Δx 1＋Δx ，当Δx →0时，Δy Δx →0，即y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数为0. 预习交流4：提示：利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤： (1)求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)； (3)将所得切线方程化为一般式．一、求瞬时速度一辆汽车按规律s ＝at 2＋1做直线运动，当汽车在t ＝2 s 时的瞬时速度为12 m/s ，求a .思路分析：先根据瞬时速度的求法得到汽车在t ＝2 s 时的瞬时速度的表达式，再代入求出a 的值．1．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2.其中s 的单位是m ，t 的单位是s ，那么物体在3 s 末的瞬时速度是__________．2．子弹在枪筒中运动可以看作是匀变速运动，如果它的加速度是a ＝5×105 m/s 2，子弹从枪口射出时所用的时间为t 0＝1.6×10－3s ．求子弹射出枪口时的瞬时速度．根据条件求瞬时速度的步骤：(1)探究非匀速直线运动的规律s ＝s (t )；(2)由时间改变量Δt 确定路程改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)；(3)求平均速度v ＝ΔsΔt；(4)运用逼近思想求瞬时速度，当Δt →0时，ΔsΔt→v (常数)．二、利用导数的定义求函数的导数已知f (x )＝x 2－3.(1)求f (x )在x ＝2处的导数； (2)求f (x )在x ＝a 处的导数．思路分析：根据导数的定义进行求解．深刻理解概念是正确解题的关键．1．若函数f (x )＝ax －2在x ＝3处的导数等于4，则a ＝__________.2．(1)求函数f (x )＝1x ＋1在x ＝1处的导数；(2)求函数f (x )＝2x 的导数．结合函数，先求出Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，再求ΔyΔx＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，当Δx →0时，求ΔyΔx 的值，即f ′(x 0)．三、导数的几何意义已知y ＝2x 3上一点A (1,2)，求点A 处的切线斜率．思路分析：为求得过点(1,2)的切线斜率，可以从经过点(1,2)的任意一条直线(割线)入手．1．抛物线y ＝14x 2在点Q (2,1)处的切线方程为__________．2．已知曲线y ＝3x 2－x ，求曲线上一点A (1,2)处的切线的斜率及切线方程．1．导数的几何意义是指：曲线y ＝f (x )在(x 0，y 0)点处的切线的斜率就是函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，而切线的斜率就是切线倾斜角的正切值．2．运用导数的几何意义解决曲线的切线问题时，一定要注意所给的点是否是在曲线上，若点在曲线上，则该点的导数值就是该点处的曲线的切线的斜率；若点不在曲线上，则该点的导数值不是切线的斜率．3．若所给的点不在曲线上，应另设切点，然后利用导数的几何意义建立关于所设切点横坐标的关系式进行求解．1．若一物体的运动方程为s ＝2－12t 2，则该物体在t ＝6时的瞬时速度为__________．2．已知曲线y ＝12x 2－2上一点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，则过点P 的切线的倾斜角为__________． 3．函数f (x )＝1－3x 在x ＝2处的导数为__________．4．一质点按规律s ＝2t 3运动，则t ＝2时的瞬时速度为__________．5．如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线是l ，则f (2)＋f ′(2)＝__________.答案：活动与探究1：解：∵s ＝at 2＋1，∴s (2＋Δt )＝a (2＋Δt )2＋1＝4a ＋4a ·Δt ＋a ·(Δt )2＋1.于是Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝4a ＋4a ·Δt ＋a ·(Δt )2＋1－(4a ＋1)＝4a ·Δt ＋a ·(Δt )2，∴Δs Δt ＝4a ·Δt ＋a ·(Δt )2Δt＝4a ＋a ·Δt . 当Δt →0时，ΔsΔt→4a ，依题意有4a ＝12，∴a ＝3. 迁移与应用：1．5 m/s 解析：s (3＋Δt )＝1－(3＋Δt )＋(3＋Δt )2＝(Δt )2＋5Δt ＋7，所以s (3＋Δt )－s (3)＝(Δt )2＋5Δt ， 故s (3＋Δt )－s (3)Δt＝Δt ＋5，于是物体在3 s 末的瞬时速度，即Δt →0时，ΔsΔt→5(m/s)．2．解：运动方程为s ＝12at 2.∵Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0·Δt ＋12a ·(Δt )2，∴Δs Δt ＝at 0＋12a ·Δt ，∴Δt →0时，ΔsΔt→at 0. 由题意知a ＝5×105(m/s 2)，t 0＝1.6×10－3(s)，故at 0＝8×102＝800(m/s)．即子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.活动与探究2：解：(1)因为Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝(2＋Δx )2－3－(22－3)Δx＝4＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，4＋Δx 无限趋近于4， 所以f (x )在x ＝2处的导数等于4.(2)因为Δy Δx ＝f (a ＋Δx )－f (a )Δx＝(a ＋Δx )2－3－(a 2－3)Δx＝2a ＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，2a ＋Δx 无限趋近于2a ， 所以f (x )在x ＝a 处的导数等于2a .迁移与应用：1．4 解析：由题意知f ′(3)＝4，而f ′(3)＝Δy Δx ＝a (3＋Δx )－2－(3a －2)Δx＝a ，当Δx →0时，ΔyΔx→a ，故a ＝4.2．解：(1)(导数定义法)∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝12＋Δx －12＝－Δx 2(2＋Δx )，∴ΔyΔx＝－12(2＋Δx )，从而Δx →0时，2＋Δx →2，∴f (x )在x ＝1处的导数等于－14.(导函数的函数值法)∵Δy ＝1x ＋Δx ＋1－1x ＋1＝－Δx (x ＋Δx ＋1)(x ＋1)，∴ΔyΔx＝－1(x ＋Δx ＋1)(x ＋1)，从而Δx →0时，Δy Δx →－1(x ＋1)2，于是f ′(1)＝－1(1＋1)2＝－14.(2)∵Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝2x ＋Δx －2x ，∴Δy Δx ＝2x ＋Δx －2x Δx ＝(2x ＋Δx －2x )(x ＋Δx ＋x )Δx (x ＋Δx ＋x )＝2x ＋Δx ＋x，从而Δx →0时，Δy Δx →1x.活动与探究3：解：设A (1,2)，B (1＋Δx,2(1＋Δx )3)，则割线AB 的斜率为k AB ＝2(1＋Δx )3－2Δx ＝6＋6Δx ＋2(Δx )2，当Δx 无限趋近于0时，k AB 无限趋近于常数6，从而曲线y ＝2x 3在点A (1,2)处的切线斜率为6.迁移与应用：1．x －y －1＝0 解析：∵y ＝14x 2，Δy ＝14(2＋Δx )2－14×22＝Δx ＋14(Δx )2，Δy Δx＝1＋14Δx ， ∴当Δx →0时，Δy Δx →1，即f ′(2)＝1，由导数的几何意义得抛物线y ＝14x 2在点Q (2,1)处的切线的斜率为1.∴切线方程为y －1＝x －2，即x －y －1＝0.2．解：因为Δy Δx ＝3(1＋Δx )2－(1＋Δx )－(3×12－1)Δx＝5＋3Δx ，当Δx 无限趋近于0时，5＋3Δx 无限趋近于5，所以曲线y ＝3x 2－x 在点A (1,2)处的切线斜率是5.切线方程为y －2＝5(x －1)，即5x －y －3＝0. 当堂检测1．－6 解析：Δs Δt ＝s (6＋Δt )－s (6)Δt ＝2－12(6＋Δt )2－(－16)Δt ＝－12Δt －6，∴当Δt →0时，ΔsΔt→－6.2．45° 解析：∵Δy Δx ＝12(1＋Δx )2－2－12×1＋2Δx ＝Δx ＋12(Δx )2Δx ＝1＋12Δx ，当Δx无限趋近于0时，1＋12Δx 无限趋近于1，∴曲线y ＝12x 2－2在点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32处的切线斜率为1，∴倾斜角为45°.3．－3 解析：Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝－3Δx ，Δy Δx ＝－3，则Δx 趋于0时，ΔyΔx＝－3.∴f (x )在x ＝2处的导数为－3.4．24 解析：Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝2(2＋Δt )3－2×23＝2×[8＋6(Δt )2＋12Δt ＋(Δt )3]－16＝24Δt ＋12(Δt )2＋2(Δt )3， ∴Δs Δt ＝24＋12Δt ＋2(Δt )2，则当Δt →0时，Δs Δt →24. 5．98解析：由题图可知，直线l 的方程为9x ＋8y －36＝0. 当x ＝2时，y ＝94，即f (2)＝94.又切线斜率为－98，即f ′(2)＝－98，∴f (2)＋f ′(2)＝98.欢迎您的下载，资料仅供参考！。

【新教材】1.2 集合的基本关系学案（人教A版）1. 了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．2. 理解子集.真子集的概念．3. 能使用venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用。

重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念．难点：难点是属于关系与包含关系的区别．一、预习导入阅读课本7-8页，填写。

1．集合与集合的关系（1）一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中_____________元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有_____________关系，称集合A为B的______.记作：A_________ B(或B _________ A)读作：A包含于B(或B包含A).图示：（2）如果两个集合所含的元素完全相同（A______ B且B ______ A），那么我们称这两个集合相等.记作：A ______B读作：A等于B.图示：2. 真子集A ，存在元素x______ B且x______ A，则称集合A是集合B的真子集。

若集合B记作：A ______B （或B ______A ） 读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）3．空集__________________的集合称为空集，记作：∅. 规定：空集是任何集合的子集。

4.常用结论（1）A __________ A （类比a a ≤）（2）空集是__________的子集，是_____________的真子集。

（3）若,,A B B C ⊆⊆则A __________ C （类比b a ≤，c b ≤则c a ≤）（4）一般地，一个集合元素若为n 个，则其子集数为________个，其真子集数为________个，特别地，空集的子集个数为________，真子集个数为________。

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空集中只有元素0，而无其余元素． ( ) (2)任何一个集合都有子集． ( ) (3)若A ＝B ，则A ⊆B . ( ) (4)空集是任何集合的真子集． ( ) 2.用适当的符号填空(1) a______{a,b,c} (2) 0_______{x|x 2=0} (3) ∅________{x ∈R|x 2+1=0} (4) {0,1}_____N(5) {∅}_____{x|x 2=x} （6）{2,1}____{x|x 2−3x +2=0} 3．设a ∈R ，若集合{2,9}＝{1－a,9}，则a ＝________.例1 (1)写出集合{0,1,2}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集;(2)填写下表,并回答问题:由此猜想:含n 个元素的集合{a 1,a 2,…,a n}的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢?例2 下列能正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|x 2+x=0}的关系的维恩图是( )例3 已知集合A={x|-5<x<2},B={x|2a-3<x<a-2}. (1)若a=-1,试判断集合A,B 之间是否存在子集关系; (2)若A ⊇B,求实数a 的取值范围.变式1． [变条件] 【例3】(2)中,是否存在实数a,使得A ⊆B?若存在,求出实数a 的取值范围;若不存在,试说明理由.变式2． [变条件] 若集合A={x|x<-5或x>2},B={x|2a-3<x<a-2},且A ⊇B,求实数a 的取值范围.1．已知集合A ＝{2，－1}，集合B ＝{m 2－m ，－1}，且A ＝B ，则实数m 等于( )A ．2B ．－1C ．2或－1D ．42．已知集合A ＝{x|－1－x<0}，则下列各式正确的是( )A ．0⊆AB ．{0}∈AC ．∅∈AD ．{0}⊆A3．已知集合A ⊆{0,1,2}，且集合A 中至少含有一个偶数，则这样的集合A 的个数为( )A ．6B ．5C．4 D．34．已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间的关系是( ) A．A⊆B B．A＝BC．A B D．A B5．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有两个子集，则a的值是( ) A．1 B．－1C．0,1 D．－1,0,1=1}，则A，B的关系是________．6．设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝{(x，y)|yx7．已知集合A＝{x|x<3}，集合B＝{x|x<m}，且A⊆B，则实数m满足的条件是________．8．已知A＝{x∈R|x<－2或x>3}，B＝{x∈R|a≤x≤2a－1}，若B⊆A，求实数a的取值范围．答案小试牛刀1．答案：(1) ×(2) √(3) √ (4)×2．（1）∈（2）= （3）=（4）⊆（5）⊈（6）=3．-1自主探究例1【答案】见解析【解析】分析:(1)利用子集的概念,按照集合中不含任何元素、含有一个元素、含有两个元素、含有三个元素这四种情况分别写出子集.(2)由特殊到一般,归纳得出.解:(1)不含任何元素的子集为⌀;含有一个元素的子集为{0},{1},{2};含有两个元素的子集为{0,1},{0,2},{1,2};含有三个元素的子集为{0,1,2}.故集合{0,1,2}的所有子集为⌀,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}.其中除去集合{0,1,2},剩下的都是{0,1,2}的真子集.(2)由此猜想:含n 个元素的集合{a 1,a 2,…,a n}的所有子集的个数是2n,真子集的个数是2n-1,非空真子集的个数是2n-2. 例2【答案】B【解析】∵N={x|x 2+x=0}={x|x=0或x=-1}={0,-1},∴N ⫋M,故选B. 例3【答案】见解析【解析】分析:(1)令a=-1,写出集合B,分析两个集合中元素之间的关系,判断其子集关系;(2)根据集合B 是否为空集进行分类讨论;然后把两集合在数轴上标出,根据子集关系确定端点值之间的大小关系,进而列出参数a 所满足的条件.解:(1)若a=-1,则B={x|-5<x<-3}. 如图在数轴上标出集合A,B.由图可知,B ⫋A. (2)由已知A ⊇B.①当B=⌀时,2a-3≥a-2,解得a ≥1.显然成立. ②当B ≠⌀时,2a-3<a-2,解得a<1.由已知A ⊇B,如图在数轴上表示出两个集合, 由图可得{2a -3≥-5,a -2≤2,解得-1≤a≤4.又因为a<1,所以实数a 的取值范围为-1≤a<1 变式1．【答案】见解析【解析】因为A={x|-5<x<2},所以若A ⊆B,则B 一定不是空集.此时有{2a -3≤-5,a -2≥2,即{a ≤-1,a ≥4,显然实数a 不存在.变式2．【答案】见解析【解析】①当B=⌀时,2a-3≥a-2,解得a ≥1.显然成立. ②当B ≠⌀时,2a-3<a-2,解得a<1.由已知A ⊇B,如图在数轴上表示出两个集合,由图可知2a-3≥2或a-2≤-5,解得a ≥52 或a ≤-3.又因为a<1,所以a ≤-3.综上,实数a 的取值范围为a ≥1或a ≤-3. 当堂检测1-5．CDADD 6．B A 7．m≥38．【答案】见解析【解析】∵B ⊆A ，∴B 的可能情况有B ≠∅和B ＝∅两种． ①当B ＝∅时，由a>2a －1，得a<1. ②当B≠∅时，∵B ⊆A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a>3，a≤2a－1或⎩⎪⎨⎪⎧2a －1<－2，a≤2a－1成立，解得a>3；综上可知，实数a 的取值范围是{a|a<1或a>3}．。

1．1．2 集合的表示方法1．理解列举法、描述法的定义．2．会用两种方法表示一些简单的集合．1．列举法(1）定义：将集合中的元素一一列举出来，写在花括号内表示集合的方法．（2）用列举法表示集合适用的范围仅为集合中元素较少(填“多"或“少"）或有（填“有”或“无”）明显规律．2．描述法（1)定义：把集合中的元素共同特征描述出来，写在花括号内表示集合的方法叫做特征性质描述法，简称描述法．它的一般形式是｛x∈I|p（x）｝，其中“x"是集合元素的代表形式，“I"是“x”的范围,“|p(x）”是集合中元素“x”的共同特征，竖线不可省略．（2）描述法的语言形式有以下三种:文字语言，符号语言，图形语言．1．用列举法表示不超过5的自然数集为________．答案：｛0，1，2,3，4，5}2．用描述法表示不超过5的自然数集为________．答案：｛x∈N|0≤x≤5}或｛x∈Z|0≤x≤5｝(答案不唯一)3．用列举法表示集合需要注意什么？解:(1）元素间用分隔号“,"；(2）元素不重复；(3）元素无顺序;（4)元素不能遗漏．4．用描述法表示集合需要注意什么?解:用描述法表示集合时应注意以下六点：（1）写清楚该集合中元素的代号(字母或用字母表达的元素符号）；（2)说明该集合中元素的性质；（3)不能出现未被说明的字母；(4）多层描述时应当准确使用“且"“或”；（5)所有描述的内容都写在集合符号内;（6)用于描述条件的语句力求简明、准确．用列举法表示集合用列举法表示下列集合：（1）满足－2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A；（2）方程（x－2)2(x－3)＝0的解组成的集合M；（3）方程组错误!的解组成的集合B；（4）15的正约数组成的集合N．【解】(1)因为－2≤x≤2，x∈Z，所以x＝－2，－1，0,1,2，所以A＝{－2,－1，0,1，2}．(2）因为2和3是方程的根，所以M＝{2，3｝．(3）解方程组错误!得错误!所以B＝｛（3,2）｝．（4)因为15的正约数有1，3，5,15四个数字，所以N＝{1，3，5，15}．（1）用列举法表示集合,要注意是数集还是点集．(2）列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时,用列举法表示集合比较方便，且使人一目了然．用列举法表示下列集合：（1)A＝错误!；（2)已知M＝{0，2，3，7}，P＝｛x|x＝ab，a，b∈M，a≠b｝，写出集合P．解:（1）A＝{0,3,4,5}．（2)P＝｛0，6，14，21}．用描述法表示集合用描述法表示下列集合：（1）函数y＝－2x2＋x图象上的所有点组成的集合;(2)不等式2x－3〈5的解组成的集合;(3)如图中阴影部分的点(含边界）的集合；（4）3和4的所有正的公倍数构成的集合．【解】(1）函数y＝－2x2＋x的图象上的所有点组成的集合可表示为{(x，y)|y＝－2x2＋x}．(2）不等式2x－3〈5的解组成的集合可表示为｛x|2x－3〈5}，即{x|x<4}．（3）图中阴影部分的点（含边界)的集合可表示为{（x，y）|－1≤x≤错误!，－错误!≤y≤1，xy≥0｝．（4）3和4的最小公倍数是12,因此3和4的正的公倍数构成的集合是｛x|x＝12n，n∈N＋}．错误!用描述法表示集合应注意的问题（1）写清楚该集合的代表元素，如数或点等；（2）说明该集合中元素的共同属性;(3)不能出现未被说明的字母；(4）所有描述的内容都要写在花括号内，用于描述的内容力求简洁、准确．用描述法表示下列集合：(1)正偶数集；（2）被3除余2的正整数集合；（3）使式子1x（x－1）（x＋1)有意义的实数x的取值范围．解：（1）｛x｜x＝2n，n∈N＋}．(2){x|x＝3n＋2，n∈N}．（3）{x|x≠0,且x≠－1，且x≠1}．集合的表示方法的综合应用集合M＝｛x|ax2－2x＋2＝0，a∈R｝中只有一个元素，求实数a的值．【解】(1）当a＝0时，方程转化为－2x＋2＝0，解得x＝1，此时M＝｛1｝,满足条件；（2)当a≠0时，方程为一元二次方程，由题意得Δ＝4－8a＝0，即a＝错误!,此时方程有两个相等的实数根．综合(1）(2)可知，当a＝错误!或0时，集合M中只有一个元素．若将本例中“只有一个”改为“有两个"，求实数a的取值范围．解：因为集合M＝｛x｜ax2－2x＋2＝0,a∈R}中有两个元素，则Δ＝(－2)2－8a〉0，即a<错误!．错误!此题容易漏解a＝0，漏解的原因是默认所给的方程一定是一元二次方程．其实，当a＝0时，所给的方程是一个一元一次方程;当a≠0时，所给的方程才是一个一元二次方程，求解时要注意对a进行分类讨论．1．设－5∈｛x｜x2－ax－5＝0}，则集合｛x｜x2－5x－a ＝0}中所有元素之和为________．解析：因为－5∈｛x|x2－ax－5＝0｝，所以(－5）2＋5a－5＝0，即a＝－4．所以{x｜x2－5x－a＝0｝＝｛x|x2－5x＋4＝0｝＝｛x｜(x－1）（x－4)＝0｝＝｛1，4}．故集合｛x｜x2－5x－a＝0}中的所有元素之和为5．答案：52．设集合B＝错误!．(1）试判断元素1，2与集合B的关系；(2)用列举法表示集合B．解：(1)当x＝1时，错误!＝2∈N．当x＝2时,错误!＝错误!∉N．所以1∈B，2∉B．(2)因为错误!∈N，x∈N，所以2＋x只能取2,3，6．所以x只能取0,1，4．所以B＝{0，1，4｝．1．寻找适当的方法来表示集合时,应该“先定元，再定性"．一般情况下，元素个数无限的集合不宜采用列举法，因为不能将元素一一列举出来,而描述法既适合元素个数无限的集合，也适合元素个数有限的集合．2．用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合．一定要注意该集合的代表元素是什么，看清楚是数集、点集还是其他形式，还要注意充分利用特征性质求解,两者相互兼顾，缺一不可．1．下列集合的表示方法正确的是（)A．{1，2，2｝B．{比较大的实数}C．｛有理数}D．不等式x2－5＞0的解集为{x2－5＞0}答案:C2．把集合{x|－3≤x≤3，x∈N｝用列举法表示，正确的是（）A．{1，2,3｝B．｛0，1，2，3｝C．｛－2,－1，0，1，2｝D．｛－3,－2,－1，0,1，2，3}解析:选B．满足－3≤x≤3的自然数有0，1，2，3．3．用列举法表示集合A＝｛y｜y＝x2－1，－2≤x≤2,且x∈Z}是________．解析:因为x＝－2，－1，0,1，2，所以对应的函数值y＝3，0,－1，0,3，所以集合A用列举法表示为｛－1，0，3}．答案：{－1，0，3}4．集合A＝{(1，2)，（0,3）}中共有________个元素．答案：2［A 基础达标］1．已知集合A＝{x∈N|x〈6},则下列关系式错误的是（）A．0∈A B．1．5∉AC．－1∉A D．6∈A解析：选D．A＝｛x∈N｜x<6}＝{0,1，2，3,4，5｝．2．下列集合中，不同于另外三个集合的是（)A．{x｜x＝1｝B．{x｜x2＝1}C．｛1} D．{y|(y－1)2＝0}解析：选B．{x｜x2＝1}＝{－1，1}，另外三个集合都是{1}，选B．3．集合错误!用描述法可表示为（）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!解析：选D．由3，错误!，错误!，错误!，即错误!,错误!，错误!，错误!，从中发现规律，x＝错误!，n∈N＋，故可用描述法表示为错误!．4．设集合A＝{1，2，3}，B＝｛4,5｝，M＝｛x｜x＝a＋b,a∈A,b∈B｝，则M中元素的个数为（)A．3 B．4C．5 D．6解析：选B．因为集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5｝，M＝｛x｜x＝a＋b，a∈A，b∈B}，所以M中的元素有：5，6，7，8,共4个．故选B．5．已知M＝｛(x，y）|2x＋3y＝10,x，y∈N}，N＝｛（x，y)｜4x－3y＝1,x，y∈R｝，则( )A．M是有限集，N是有限集B．M是有限集,N是无限集C．M是无限集，N是无限集D．M是无限集，N是有限集解析：选B．因为M＝｛（x,y)｜2x＋3y＝10，x，y∈N}＝{（2，2)，(5，0）}，所以M为有限集．N ＝{(x ,y )｜4x －3y ＝1,x ，y ∈R }中有无限多个点满足4x －3y ＝1，故N 为无限集．6．已知集合A ＝{－1，0，1｝，集合B ＝｛y ｜y ＝｜x |，x ∈A }，则B ＝________．解析：因为｜－1|＝1，故B ＝｛0，1}．答案：｛0，1｝7．已知集合A ＝｛m ＋2，2m 2＋m ｝，若3∈A ，则实数m 的值为________．解析：因为3∈A ,所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3．当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3，此时集合A 中有重复元素3，所以m ＝1不符合题意,舍去；当2m 2＋m ＝3时,解得m ＝－错误!或m ＝1（舍去）,当m ＝－错误!时，m ＋2＝错误!≠3，符合题意．所以m ＝－错误!．答案：－328．已知集合A ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，若A ＝{2，3}，则a －b ＝________．解析：由A ＝｛2,3}知,方程x 2－ax ＋b ＝0的两根为2,3，由根与系数的关系得，错误!因此a ＝5，b ＝6．故a －b ＝－1．答案：－19．选择适当的方法表示下列集合：（1)大于2且小于6的有理数；（2）由直线y＝－x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合．解：(1)由于大于2且小于6的有理数有无数个，故不能用列举法表示该集合，但可以用描述法表示该集合为{x∈Q｜2＜x＜6}．(2)用描述法表示该集合为{(x,y）｜y＝－x＋4，x∈N，y∈N}；或用列举法表示该集合为｛（0，4)，（1，3)，（2，2),（3,1)，(4,0)｝．10．含有三个实数的集合A＝错误!，若0∈A且1∈A，求a2 017＋b2 017的值．解：由0∈A，“0不能做分母”可知a≠0,故a2≠0，所以错误!＝0,即b＝0．又1∈A，可知a2＝1或a＝1．当a＝1时，得a2＝1，由集合元素的互异性,知a＝1不合题意．当a2＝1时，得a＝－1或a＝1(由集合元素的互异性，舍去)．故a＝－1，b＝0，所以a2 017＋b2 017的值为－1．[B 能力提升］11．已知集合A＝｛1，2,4}，则集合B＝｛（x,y）|x∈A，y∈A}中元素的个数为( ）A．3 B．6C．8 D．9解析:选D．集合B中的元素有(1,1），（1，2)，(1，4)，（2,1），（2，2）,(2,4)，（4，1)，(4，2)，（4，4），共9个．故选D．12．已知x，y为非零实数，则集合M＝错误!为( ）A．{0，3｝B．｛1，3}C．{－1,3｝D．{1，－3}解析：选C．当x>0,y〉0时，m＝3;当x<0，y<0时，m＝－1；当x〉0，y<0时,m＝－1；当x〈0,y>0时，m＝－1．故M＝{－1,3}．13．对于任意两个正整数m,n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n＝m＋n，当m，n中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m※n＝mn，在此定义下，求集合M＝｛（a,b）|a※b＝12,a∈N＋，b∈N＋}中的元素的个数．解：从定义出发，抓住a，b的奇偶性对12实行分拆是解决本题的关键．当a，b同奇偶时,根据m※n＝m＋n将12分拆为两个同奇偶数的和，当a,b一奇一偶时，根据m※n＝mn将12分拆为一个奇数与一个偶数的积，再算其组数即可．若a，b同奇偶，有12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7＝6＋6，前面的每种可以交换位置，最后一种只有1个点（6，6)，这时有2×5＋1＝11（个）;若a，b一奇一偶,有12＝1×12＝3×4,每种可以交换位置,这时有2×2＝4(个)．所以共有11＋4＝15(个）．错误!（选做题）设y＝x2－ax＋b，A＝｛x|y－x＝0｝,B＝｛x｜y －ax＝0}，若A＝｛－3，1}，试用列举法表示集合B．解：将y＝x2－ax＋b代入集合A中的方程并整理得x2－（a＋1）x＋b＝0．因为A＝{－3,1}，所以方程x2－(a＋1)x＋b＝0的两根为－3，1．由根与系数的关系得错误!解得错误!所以y＝x2＋3x－3．将y＝x2＋3x－3，a＝－3代入集合B中的方程并整理得x2＋6x －3＝0，解得x＝－3±2错误!,所以B＝{－3－23，－3＋2错误!}．。

1.2 集合间的基本关系学习目标1.了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；2．理解子集、真子集的概念；3．能使用Venn 图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用，体会数形结合的思想.重点难点重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念；难点：属于关系与包含关系的区别．知识梳理1．集合与集合的关系（1）一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为B 的子集.记作：()A B B A ⊆⊇或读作：A 包含于B (或B 包含A ).图示：（2）如果两个集合所含的元素完全相同（A B B A ⊆⊆且），那么我们称这两个集合相等.记作：A =B读作：A 等于B. 图示：2. 真子集 若集合A B ⊆,存在元素A x B x ∉∈且，则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B （或B A ）读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）3．空集不含有任何元素的集合称为空集,记作：∅.规定：空集是任何集合的子集.学习目标探究一子集1.观察以下几组集合，并指出它们元素间的关系：①A ={1,2,3},B ={1,2,3,4,5};②A 为立德中学高一（2）班全体女生组成的集合, B 为这个班全体学生组成的集合; ③A ={x |x ＞2},B ={x |x ＞1}.2.子集定义：一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中都是集合B 中的元素，我们就说这两个 集合有包含关系，称集合A 为集合B 的.记作：(A B B A ⊆⊇或）读作：(或“”)符号语言：任意有则.3.韦恩图（Venn 图）：用一条封闭曲线（圆、椭圆、长方形等）的内部来代表集合叫集合的韦恩图表示.牛刀小试1：图中A 是否为集合B 的子集？牛刀小试2：判断集合A 是否为集合B 的子集，若是则在（）打√，若不是则在（）打×:①A ={1,3,5}, B ={1,2,3,4,5,6} ( )②A ={1,3,5}, B ={1,3,6,9} ( )③A ={0}, B={x | x 2+2=0} ( )④A ={a,b,c,d }, B ={d,b,c,a } ( )探究二集合相等BB A,A1.观察下列两个集合，并指出它们元素间的关系（1）A ＝{x |x 是两条边相等的三角形}，B ＝{x |x 是等腰三角形}；2.定义：如果集合A 的都是集合B 的元素，同时集合B 都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B ，记作.牛刀小试3：()(){}{}12012A x x x B A B =++==--，，.集合与什么关系？探究三真子集1.观察以下几组集合，并指出它们元素间的关系：(1)A ={1,3,5}, B ={1,2,3,4,5,6}；(2)A ={四边形}, B ={多边形}.2.定义：如果集合A ⊆B ,但存在元素，且，称集合A 是集合B 的真子集．记作：（或）读作：“A 真含于B ”（或B 真包含A ）.探究四空集1.我们把的集合叫做空集，记为φ，并规定：空集是任何集合的子集.空集是任何非空集合的真子集.即φB ，（B φ≠） 例如:方程x 2+1=0没有实数根,所以方程 x 2+1=0的实数根组成的集合为φ.问题：你还能举几个空集的例子吗？2.深化概念：（1）包含关系{}a A ⊆与属于关系a A ∈有什么区别？（2）集合A B 与集合A B ⊆有什么区别？（3）0，{0}与 Φ三者之间有什么关系?3.结论：由上述集合之间的基本关系,可以得到下列结论：（1）任何一个集合是它本身的子集，即.（2）对于集合A 、B 、C ，若,,A B B C ⊆⊆则（类比b a ≤，c b ≤则c a ≤）. 例1.写出集合{a ，b }的所有子集，并指出哪些是它的真子集.例2.判断下列各题中集合A 是否为集合B 的子集，并说明理由.(1)A ={1,2,3},B ={x |x 是8的约数}；(2)A ={x |x 是长方形}，B ={x |x 是两条对角线相等的平行四边形}达标检测1．集合A ＝{－1,0,1}，A 的子集中含有元素0的子集共有( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个2．已知集合M＝{x|－3<x<2，x∈Z}，则下列集合是集合M的子集的为( ) A．P＝{－3,0,1}B．Q＝{－1,0,1,2}C．R＝{y|－π<y<－1，y∈Z}D．S＝{x||x|≤，x∈N}3．①0∈{0}，②∅{0}，③{0,1}⊆{(0,1)}，④{(a，b)}＝{(b，a)}．上面关系中正确的个数为( )A．1 B．2C．3 D．44．设集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则a的取值范围是( )A．{a|a≤2}B．{a|a≤1}C．{a|a≥1}D．{a|a≥2}5．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集．——★ 参*考*答*案★——学习过程：探究一1.集合A的元素都属于集合B2.任何一个元素子集集合A含于集合B集合B包含集合Ax∈A，x∈BA⊆B牛刀小试1 集合A不是集合B的子集牛刀小试2 ①√ ②×③×④√探究二集合相等1.（1）中集合A中的元素和集合B中的元素相同．2.任何一个元素任何一个元素A=B牛刀小试3 A=B探究三真子集1.集合A中元素都是集合B的元素，但集合B有的元素不属于集合A.2.x∈Bx AA BB A探究四空集1.不含任何元素2.（1）前者为集合之间关系，后者为元素与集合之间的关系.（2） A = B或A B（3）{0}与Φ ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合.如Φ{0}不能写成Φ ={0}，Φ ∈{0}3.（1）（2）例1.解：集合{a，b}的子集：，{a},{b} ,{a, b}.集合{a，b}真子集：，{a},{b}.例2.解：（1）因为3不是8的约数，所以集合A不是集合B的子集.三、达标检测1.『解析』根据题意，在集合A的子集中，含有元素0的子集有{0}、{0,1}、{0，－1}、{－1,0,1}四个，故选B.『答案』B2.『解析』集合M＝{－2，－1,0,1}，集合R＝{－3，－2}，集合S＝{0,1}，不难发现集合P 中的元素－3∉M，集合Q中的元素2∉M，集合R中的元素－3∉M，而集合S＝{0,1}中的任意一个元素都在集合M中，所以S⊆M.故选D.『答案』D3.『解析』①正确，0是集合{0}的元素；②正确，∅是任何非空集合的真子集；③错误，集合{0,1}含两个元素0,1，而{(0,1)}含一个元素点(0,1)，所以这两个集合没关系；④错误，集合{(a，b)}含一个元素点(a，b)，集合{(b，a)}含一个元素点(b，a)，这两个元素不同，所以集合不相等．故选B.『答案』B4.『解析』由A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，A⊆B，则{a|a≥2}．『答案』D5.『解』因为A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，所以A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．所以A的子集有：∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．。

第2课时集合的表示1．掌握用列举法表示有限集．2．理解描述法格式及其适用情形．3．学会在集合不同的表示法中作出选择和转换．1．列举法把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．温馨提示：(1)元素与元素之间必须用“,”隔开．(2)集合中的元素必须是明确的．(3)集合中的元素不能重复．(4)集合中的元素可以是任何事物．2．描述法(1)定义：一般地,设A表示一个集合,把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)},这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．温馨提示：(1)写清楚集合中元素的符号．如数或点等．(2)说明该集合中元素的共同特征,如方程、不等式、函数式或几何图形等．(3)不能出现未被说明的字母．1．观察下列集合：①方程x2－4＝0的根；②20的所有正因数组成的集合．(1)上述两个集合中的元素能一一列举出来吗？(2)如何表示上述两个集合？[答案] (1)能．①中的元素为－2,2；②中的元素为1,2,4,5,10,20(2)用列举法表示2．观察下列集合：①不等式x －2≥3的解集；②函数y ＝x 2－1的图象上的所有点． (1)这两个集合能用列举法表示吗？(2)你觉得用什么方法表示这两个集合比较合适？ [答案] (1)不能 (2)利用描述法3．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}．( ) (2)集合{(1,2)}中的元素是1和2.( )(3)集合A ＝{x|x －1＝0}与集合B ＝{1}表示同一个集合．( ) (4)集合{x|4<x<5}可用列举法表示．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×题型一 用列举法表示集合【典例1】 用列举法表示下列集合：(1)方程x(x －1)2＝0的所有实数根组成的集合； (2)不大于10的非负偶数集；(3)一次函数y ＝x 与y ＝2x －1图象的交点组成的集合．[思路导引] 用列举法表示集合的关键是弄清集合中的元素是什么,还要弄清集合中的元素个数． [解] (1)方程x(x －1)2＝0的实数根为0,1, 故其实数根组成的集合为{0,1}．(2)不大于10的非负偶数即为从0到10的偶数,故不大于10的非负偶数集为{0,2,4,6,8,10}．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x y ＝2x －1,解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.故一次函数y ＝x 与y ＝2x －1图象的交点组成的集合为{(1,1)}．用列举法表示集合的3个步骤[针对训练]1．用列举法表示下列集合： (1)我国现有的所有直辖市； (2)绝对值小于3的整数集合；(3)一次函数y ＝x －1与y ＝－23x ＋43的图象交点组成的集合．[解] (1)我国现有的直辖市有北京市、天津市、上海市和重庆市,故我国现有的所有直辖市组成的集合为{北京市,天津市,上海市,重庆市}．(2)绝对值小于3的整数有－2,－1,0,1,2,故绝对值小于3的整数集合为{－2,－1,0,1,2}．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝－23x ＋43，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝75，y ＝25.故一次函数y ＝x －1与y ＝－23x ＋43的图象交点组成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫75，25.题型二 用描述法表示集合【典例2】 用描述法表示下列集合： (1)正偶数集；(2)被3除余2的正整数的集合；(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合； (4)不等式3x －2<4的解集．[思路导引] 用描述法表示集合的关键是确定代表元素的属性和表示元素的共同特征．[解] (1)偶数可用式子x ＝2n,n ∈Z 表示,但此题要求为正偶数,故限定n ∈N *,所以正偶数集可表示为{x|x ＝2n,n ∈N *}．(2)设被3除余2的数为x,则x ＝3n ＋2,n ∈Z,但元素为正整数,故x ＝3n ＋2,n ∈N,所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x ＝3n ＋2,n ∈N}．(3)坐标轴上的点(x,y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0,即xy ＝0,故坐标轴上的点的集合可表示为{(x,y)|xy ＝0}．(4)不等式3x －2<4可化简为x<2, 所以不等式3x －2<4的解集为{x|x<2}．用描述法表示集合应注意的3点(1)用描述法表示集合,首先应弄清楚集合的属性,是数集、点集还是其他的类型．一般地,数集用一个字母代表其元素,而点集则用一个有序数对来表示．(2)用描述法表示集合时,若描述部分出现元素记号以外的字母,要对新字母说明其含义或取值范围． (3)多层描述时,应当准确使用“且”和“或”,所有描述的内容都要写在集合内．[针对训练]2．用描述法表示下列集合： (1)所有被5整除的数；(2)方程6x 2－5x ＋1＝0的实数解集； (3)直线y ＝x 上去掉原点的点的集合．[解] (1)被5整除的数可用式子x ＝5n,n ∈Z 表示,所以所有被5整除的数的集合可表示为{x|x ＝5n,n ∈Z}．(2)由6x 2－5x ＋1＝0解得x ＝12或x ＝13,所以方程6x 2－5x ＋1＝0的实数解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝12或x ＝13. (3)直线y ＝x 上除去原点,即x ≠0,所以直线y ＝x 上去掉原点的点的集合为{(x,y)|y ＝x,且x ≠0}. 题型三 集合表示方法的应用【典例3】 (1)若集合A ＝{x|ax 2－8x ＋16＝0,a ∈R}中只有一个元素,则a 的值为( ) A ．1 B ．4 C ．0D ．0或1(2)已知A ＝{x|kx ＋2>0,k ∈R},若－2∈A,则k 的取值范围是________． [思路导引] 借助描述法求值或范围的关键是弄清集合中元素的特征． [解析] (1)①当a ＝0时,原方程为16－8x ＝0. ∴x ＝2,此时A ＝{2}；②当a ≠0时,由集合A 中只有一个元素, ∴方程ax 2－8x ＋16＝0有两个相等实根, 则Δ＝64－64a ＝0,即a ＝1. 从而x 1＝x 2＝4,∴集合A ＝{4}． 综上所述,实数a 的值为0或1.故选D ． (2)∵－2∈A,∴－2k ＋2>0,得k<1.[答案] (1)D (2)k<1[变式] (1)本例(1)中条件“有一个元素”改为有“两个元素”,其他条件不变,求a 的取值范围． (2)本例(2)中条件“－2∈A ”改为“－2∉A ”,其他条件不变,求k 的取值范围． [解] (1)由题意可知方程ax 2－8x ＋16＝0有两个不等实根．∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝64－64a>0，解得a<1,且a ≠0.(2)∵－2∉A,∴－2k ＋2≤0,得k ≥1.集合表示方法的应用的注意点(1)若已知集合是用描述法给出的,读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键． (2)与方程ax 2－8x ＋16＝0的根有关问题易忽视a ＝0的情况．[针对训练]3．已知集合A ＝{x|x 2－ax ＋b ＝0},若A ＝{2,3},求a,b 的值．[解] 由A ＝{2,3}知,方程x 2－ax ＋b ＝0的两根为2,3,由根与系数的关系得,⎩⎪⎨⎪⎧2＋3＝a ，2×3＝b ，因此a ＝5,b ＝6.4．设集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈N ⎪⎪⎪62＋x ∈N. (1)试判断元素1,2与集合B 的关系； (2)用列举法表示集合B.[解] (1)当x ＝1时,62＋1＝2∈N.当x ＝2时,62＋2＝32∉N.所以1∈B,2∉B. (2)∵62＋x ∈N,x ∈N,∴2＋x 只能取2,3,6.∴x 只能取0,1,4.∴B ＝{0,1,4}．课堂归纳小结1．表示集合的要求(1)根据要表示的集合元素的特点,选择适当方法表示集合,一般要符合最简原则．(2)一般情况下,元素个数无限的集合不宜用列举法表示,描述法既可以表示元素个数无限的集合,也可以表示元素个数有限的集合.2.在用描述法表示集合时应注意的问题(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么),是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式？ (2)元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时,要去伪存真,而不能被表面的字母形式所迷惑.1．用列举法表示集合{x|x 2－2x ＋1＝0}为( ) A ．{1,1} B ．{1}C ．{x ＝1}D ．{x 2－2x ＋1＝0}[解析] ∵x 2－2x ＋1＝0,即(x －1)2＝0,∴x ＝1,选B. [答案] B2．已知集合A ＝{x ∈N *|－5≤x ≤5},则必有( ) A ．－1∈A B ．0∈A C.3∈AD ．1∈A[解析] ∵x ∈N *,－5≤x ≤5,∴x ＝1,2,即A ＝{1,2},∴1∈A,选D. [答案] D3．一次函数y ＝x －3与y ＝－2x 的图象的交点组成的集合是( ) A ．{1,－2} B ．{x ＝1,y ＝－2} C ．{(－2,1)}D ．{(1,－2)}[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －3，y ＝－2x 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，∴交点为(1,－2),故选D.[答案] D4．若A ＝{－2,2,3,4},B ＝{x|x ＝t 2,t ∈A},用列举法表示集合B 为________． [解析] 当t ＝－2时,x ＝4； 当t ＝2时,x ＝4； 当t ＝3时,x ＝9； 当t ＝4时,x ＝16； ∴B ＝{4,9,16}． [答案] {4,9,16}5．选择适当的方法表示下列集合： (1)绝对值不大于2的整数组成的集合；(2)方程(3x －5)(x ＋2)＝0的实数解组成的集合；(3)一次函数y＝x＋6图象上所有点组成的集合．[解] (1)绝对值不大于2的整数是－2,－1,0,1,2,共有5个元素,则用列举法表示为{－2,－1,0,1,2}．(2)方程(3x－5)(x＋2)＝0的实数解仅有两个,分别是53,－2,用列举法表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫53，－2.(3)一次函数y＝x＋6图象上有无数个点,用描述法表示为{(x,y)|y＝x＋6}．课内拓展课外探究集合的表示方法1．有限集、无限集根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集．当集合中元素的个数有限时,称之为有限集；而当集合中元素的个数无限时,则称之为无限集．当集合为有限集,且元素个数较少时宜采用列举法表示集合；对元素个数较多的集合和无限集,一般采用描述法表示集合．对于元素个数较多的集合或无限集,其元素呈现一定的规律,在不产生误解的情况下,也可以列举出几个元素作为代表,其他元素用省略号表示．【典例1】用列举法表示下列集合：(1)正整数集；(2)被3整除的数组成的集合．[解] (1)此集合为无限集,且有一定规律,用列举法表示为{1,2,3,4,…}．(2)此集合为无限集,且有一定规律,用列举法表示为{…,－6,－3,0,3,6,…}．[点评] (1){1,2,3,4,…}一般不写成{2,1,4,3,…}；(2)此题中的省略号不能漏掉．2．集合含义的正确识别集合的元素类型多是以数、点、图形等形式出现的．对于已知集合必须弄清集合元素的形式,特别是对于用描述法给定的集合要弄清它的代表元素是什么,代表元素有何属性(如表示数集、点集等)．【典例2】已知下面三个集合：①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x,y)|y＝x2＋1}．问：它们是否为同一个集合？它们各自的含义是什么？[解] ∵三个集合的代表元素互不相同,∴它们是互不相同的集合．集合①{x|y＝x2＋1}的代表元素是x,即满足条件y＝x2＋1中的所有x,∴{x|y＝x2＋1}＝R.集合②{y|y＝x2＋1}的代表元素是y,满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1,∴{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．集合③{(x,y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x,y),可认为是满足条件y＝x2＋1的实数对(x,y)的集合,也可认为是坐标平面内的点(x,y),且这些点的坐标满足y ＝x 2＋1.∴{(x,y)|y ＝x 2＋1}＝{P|P 是抛物线y ＝x 2＋1上的点}．[点评] 使用特征性质描述来表示集合时,首先要明确集合中的元素是什么,如本题中元素的属性都与y ＝x 2＋1有关,但由于代表元素不同,因而表示的集合也不一样．课后作业(二)复习巩固一、选择题1．已知M 中有三个元素可以作为某一个三角形的边长,则此三角形一定不是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形[解析] 集合M 的三个元素是互不相同的,所以作为某一个三角形的边长,三边是互不相等的,故选D. [答案] D2．下列集合中,不同于另外三个集合的是( ) A ．{x|x ＝1} B ．{x|x 2＝1} C ．{1}D ．{y|(y －1)2＝0}[解析] {x|x 2＝1}＝{－1,1},另外三个集合都是{1},选B. [答案] B3．已知M ＝{x|x －1<2},那么( ) A ．2∈M,－2∈M B ．2∈M,－2∉M C ．2∉M,－2∉MD ．2∉M,－2∈M[解析] 若x ＝2,则x －1＝1<2,所以2∈M ；若x ＝－2,则x －1＝－3<2,所以－2∈M.故选A. [答案] A4．下列集合的表示方法正确的是( )A ．第二、四象限内的点集可表示为{(x,y)|xy ≤0,x ∈R,y ∈R}B ．不等式x －1<4的解集为{x<5}C ．{全体整数}D ．实数集可表示为R[解析] 选项A 中应是xy<0；选项B 的本意是想用描述法表示,但不符合描述法的规范格式,缺少了竖线和竖线前面的代表元素x ；选项C 的“{ }”与“全体”意思重复．[答案] D5．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x 2－y 2＝9的解集是( )A ．(－5,4)B ．(5,－4)C ．{(－5,4)}D ．{(5,－4)}[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x 2－y 2＝9，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－4，故解集为{(5,－4)},选D.[答案] D 二、填空题6．设集合A ＝{1,－2,a 2－1},B ＝{1,a 2－3a,0},若A,B 相等,则实数a ＝________.[解析] 由集合相等的概念得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a 2－3a ＝－2，解得a ＝1.[答案] 17．设－5∈{x|x 2－ax －5＝0},则集合{x|x 2＋ax ＋3＝0}＝________. [解析] 由题意知,－5是方程x 2－ax －5＝0的一个根, 所以(－5)2＋5a －5＝0,得a ＝－4, 则方程x 2＋ax ＋3＝0,即x 2－4x ＋3＝0, 解得x ＝1或x ＝3,所以{x|x 2－4x ＋3＝0}＝{1,3}． [答案] {1,3}8．若A ＝{－2,0,2,3},B ＝{(x,y)|y ＝x 2,x ∈A},用列举法表示集合B 为________． [解析]由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝9，得集合B ＝{(－2,4),(0,0),(2,4),(3,9)}．[答案] {(－2,4),(0,0),(2,4),(3,9)} 三、解答题9．用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体；(2)由直线y ＝－x ＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合． [解] (1){1月,3月,5月,7月,8月,10月,12月}．(2)用描述法表示该集合为M ＝{(x,y)|y ＝－x ＋4,x ∈N,y ∈N},或用列举法表示该集合为{(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)}．10．含有三个实数的集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2，b a ，a ,若0∈A 且1∈A,求a 2019＋b 2019的值． [解] 由0∈A,“0不能做分母”可知a ≠0,故a 2≠0,所以b a ＝0,即b ＝0.又1∈A,可知a 2＝1或a ＝1.当a ＝1时,得a 2＝1,由集合元素的互异性,知a ＝1不合题意．当a2＝1时,得a＝－1或a＝1(舍)．故a＝－1,b＝0,所以a2019＋b2019的值为－1.综合运用11．集合A＝{y|y＝x2＋1},集合B＝{(x,y)|y＝x2＋1}(A,B中x∈R,y∈R)．选项中元素与集合的关系都正确的是( )A．2∈A,且2∈BB．(1,2)∈A,且(1,2)∈BC．2∈A,且(3,10)∈BD．(3,10)∈A,且2∈B[解析] 集合A中元素y是实数,不是点,故选项B,D不对．集合B的元素(x,y)是点而不是实数,2∈B 不正确,所以A错．[答案] C12．定义P*Q＝{ab|a∈P,b∈Q},若P＝{0,1,2},Q＝{1,2,3},则P*Q中元素的个数是( )A．6个B．7个 C．8个D．9个[解析] 若a＝0,则ab＝0；若a＝1,则ab＝1,2,3；若a＝2,则ab＝2,4,6.故P*Q＝{0,1,2,3,4,6},共6个元素．[答案] A13．已知集合A＝{－1,0,1},集合B＝{y|y＝|x|,x∈A},则B＝________.[解析] ∵x∈A,∴当x＝－1时,y＝|x|＝1；当x＝0时,y＝|x|＝0；当x＝1时,y＝|x|＝1.[答案] {0,1}14.用描述法表示图中阴影部分的点构成的集合为________．[解析] 依题设知：该集合为一点集,且其横坐标满足0≤x≤2,纵坐标满足0≤y≤1,所以该集合为{(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤1}．[答案] {(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤1}15．设集合A＝{x|x2＋ax＋1＝0}．(1)当a＝2时,试求出集合A；(2)a为何值时,集合A中只有一个元素；(3)a为何值时,集合A中有两个元素．[解] 集合A是方程x2＋ax＋1＝0的解构成的集合．(1)当a＝2时,x2＋2x＋1＝0,即(x＋1)2＝0,x＝－1,所以A＝{－1}．(2)A中只有一个元素,即方程x2＋ax＋1＝0有两个相等实根,由Δ＝a2－4＝0,得a＝±2.所以a＝±2时,集合A中只有一个元素．(3)A中有两个元素,即方程x2＋ax＋1＝0有两个不相等的实根,由Δ＝a2－4>0,得a<－2或a>2. 所以a<－2或a>2时,集合A中有两个元素．。

新教材高中数学：1.1 空间向量及其运算1.1.1 空间向量及其线性运算学 习 目 标核 心 素 养1.理解空间向量的概念．(难点)2.掌握空间向量的线性运算．(重点)3.掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用．(重点、难点)1.通过空间向量有关概念的学习，培养学生的数学抽象核心素养.2.借助向量的线性运算、共线向量及共面向量的学习，提升学生的直观想象和逻辑推理的核心素养.国庆期间，某游客从上海世博园(O )游览结束后乘车到外滩(A )观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B )游玩，如图1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？图1 图2如果游客还要登上东方明珠顶端(D )俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那么他实际发生的位移是什么？又如何表示呢？1．空间向量(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：空间向量的大小． (3)表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a ，b ，c ，…表示；若向量a 的起点是A ，终点是B ，也可记作：AB →，其模记为|a |或|AB →|.2．几类常见的空间向量名称 方向 模 记法 零向量 任意 0 0 单位向量任意1相反向量 相反 相等 a 的相反向量：－aAB →的相反向量：BA →相等向量相同相等a ＝b3.空间向量的线性运算 (1)向量的加法、减法 空间向量的运算加法 OB →＝OA →＋OC →＝a ＋b减法CA →＝OA →－OC →＝a －b加法运算律①交换律：a ＋b ＝b ＋a②结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )(2)空间向量的数乘运算①定义：实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 当λ>0时，λa 与向量a 方向相同； 当λ<0时，λa 与向量a 方向相反；当λ＝0时，λa ＝0；λa 的长度是a 的长度的|λ|倍． ②运算律a ．结合律：λ(μa )＝μ(λa )＝(λμ)a .b ．分配律：(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ，λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 思考：向量运算的结果与向量起点的选择有关系吗？ [提示] 没有关系． 4.共线向量(1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．(2)方向向量：在直线l 上取非零向量a ，与向量a 平行的非零向量称为直线l 的方向向量．规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a ，都有0∥a .(3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使a ＝λb .(4)如图，O 是直线l 上一点，在直线l 上取非零向量a ，则对于直线l 上任意一点P ，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得OP →＝λa .5．共面向量(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．(2)共面向量定理：若两个向量a ，b 不共线，则向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .(3)空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件：存在有序实数对(x ，y ), 使AP →＝xAB →＋yAC →或对空间任意一点O ，有OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →.思考：(1)空间中任意两个向量一定是共面向量吗？(2)若空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，满足OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，则点P 与点A ，B ，C 是否共面？[提示] (1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面的两个向量，因此一定是共面向量．(2)由OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →得OP →－OA →＝13(OB →－OA →)＋13(OC →－OA →)即AP →＝13AB →＋13AC →，因此点P 与点A ，B ，C 共面．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间向量a ，b ，c ，若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ． ( ) (2)相等向量一定是共线向量． ( ) (3)三个空间向量一定是共面向量． ( ) (4)零向量没有方向．( )[提示] (1)× 若b ＝0时，a 与c 不一定平行． (2)√ 相等向量一定共线，但共线不一定相等．(3)× 空间两个向量一定是共面向量，但三个空间向量可能是共面的，也可以是不共面的．(4)× 零向量有方向，它的方向是任意的．2．如图所示，在四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1所有的棱中，可作为直线A 1B 1的方向向量的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 D [共四条AB ，A 1B 1，CD ，C 1D 1.]3．点C 在线段AB 上，且|AB |＝5，|BC |＝3，AB →＝λBC →，则λ＝________.－53 [因为C 在线段AB 上，所以AB →与BC →方向相反，又因|AB |＝5，|BC |＝3，故λ＝－53.] 4．在三棱锥A ­BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则AB →＋12BC →－32DE →－AD →化简的结果为________．0 [延长DE 交边BC 于点F ，连接AF ，则有AB →＋12BC →＝AF →，32DE →＋AD →＝AD →＋DF →＝AF →，故AB →＋12BC →－32DE →－AD →＝0.]空间向量的有关概念【例1】 (1)给出下列命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；②若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |； ③在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AC →＝A 1C 1→；④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p . 其中正确命题的序号是________．(2)如图所示，在平行六面体ABCD ­A ′B ′C ′D ′中，顶点连接的向量中，与向量AA ′→相等的向量有________；与向量A ′B ′→相反的向量有________．(要求写出所有适合条件的向量)(1)②③④ (2)BB ′→，CC ′→，DD ′→ B ′A ′→，BA →，CD →，C ′D ′→[(1)对于①，向量a 与b 的方向不一定相同或相反，故①错；对于②，根据相反向量的定义知|a |＝|b |，故②正确； 对于③，根据相等向量的定义知，AC →＝A 1C 1→，故③正确；对于④，根据相等向量的定义知正确．(2)根据相等向量的定义知，与向量AA ′→相等的向量有BB ′→，CC ′→，DD ′→.与向量A ′B ′→相反的向量有B ′A ′→，BA →，CD →，C ′D ′→.]解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点(1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向． (2)注意点：注意一些特殊向量的特性．①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性．②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同.若两个向量模相等,方向相反,则它们为相反向量.[跟进训练]1．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是( ) ①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量； ②平行且模相等的两个向量是相等向量； ③若a ≠b ，则|a |≠|b |；④两个向量相等，则它们的起点与终点相同． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3B [根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，①正确；平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，②不正确；当a ＝－b 时，也有|a |＝|b |，③不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点与终点无关，④不正确．综上可知只有①正确，故选B.]空间向量的线性运算【例2】 (1)如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为向量AC 1的有( )①(AB →＋BC →)＋CC 1→； ②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→； ④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(2)已知正四棱锥P ­ABCD ，O 是正方形ABCD 的中心，Q 是CD 的中点，求下列各式中x ，y ，z 的值．①OQ →＝PQ →＋yPC →＋zPA →； ②PA →＝xPO →＋yPQ →＋PD →.[思路探究] (1)合理根据向量的三角形和平行四边形法则，以及在平行六面体中，体对角线向量等于从同一起点出发的三条棱向量的和．如AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→.(2)根据数乘向量及三角形或平行四边形法则求解． (1)D [对于①，(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→； 对于②，(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→； 对于③，(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→； 对于④，(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→.] (2)[解] ①如图，∵OQ →＝PQ →－PO →＝PQ →－12(PA →＋PC →)＝PQ →－12PC →－12PA →，∴y ＝z ＝－12.②∵O 为AC 的中点，Q 为CD 的中点， ∴PA →＋PC →＝2PO →，PC →＋PD →＝2PQ →， ∴PA →＝2PO →－PC →，PC →＝2PQ →－PD →， ∴PA →＝2PO →－2PQ →＋PD →，∴x ＝2，y ＝－2.1．空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．2．利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．[跟进训练]2．已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，设M ，G 分别是BC ，CD 的中点，则MG →－AB →＋AD →等于( )A ．32DB →B ．3MG →C ．3GM →D ．2MG → B [MG →－AB →＋AD →＝MG →－(AB →－AD →)＝MG →－DB → ＝MG →＋BD →＝MG →＋2MG →＝3MG →.]共线问题【例3】 (1)设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB ＝e 1＋k e 2，BC ＝5e 1＋4e 2，DC ＝－e 1－2e 2，且A ，B ，D 三点共线，实数k ＝________.(2)如图所示，已知四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，判断CE →与MN →是否共线．[思路探究] (1)根据向量共线的充要条件求解．(2)根据数乘向量及三角形法则，把MN →表示成λCE →的形式，再根据向量共线的充要条件求解．(1)1 [AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(e 1＋k e 2)＋(5e 1＋4e 2)＋(e 1＋2e 2)＝7e 1＋(k ＋6)e 2. 设AD →＝λAB →，则7e 1＋(k ＋6)e 2＝λ(e 1＋k e 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝7λk ＝k ＋6，解得k ＝1.](2)[解] 法一：因为M ，N 分别是AC ，BF 的中点，且四边形ABCD ，四边形ABEF 都是平行四边形，所以MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →.又因为MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →，以上两式相加得CE →＝2MN →，所以CE →∥MN →，即CE →与MN →共线．法二：因为四边形ABEF 为平行四边形，所以连接AE 时，AE 必过点N . ∴CE →＝AE →－AC →＝2AN →－2AM → ＝2(AN →－AM →)＝2MN →.所以CE →∥MN →，即CE →与MN →共线．证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P ，A ，B 可通过证明下列结论来证明三点共线． (1)存在实数λ，使PA →＝λPB →成立． (2)对空间任一点O ，有OP →＝OA →＋tAB →(t ∈R )． (3)对空间任一点O ，有OP →＝xOA →＋yOB →(x ＋y ＝1)．[跟进训练]3.如图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F→＝23FC →.求证：E ，F ，B 三点共线．[证明] 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ， 因为A 1E →＝2ED 1→，A 1F →＝23FC →，所以A 1E →＝23A 1D 1→，A 1F →＝25A 1C →，所以A 1E →＝23AD →＝23b ，A 1F →＝25(AC →－AA 1→)＝25(AB →＋AD →－AA 1→)＝25a ＋25b －25c ，所以EF →＝A 1F →－A 1E →＝25a －415b －25c ＝25⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b －c . 又EB →＝EA 1→＋A 1A →＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ，所以EF →＝25EB →，所以E ，F ，B 三点共线.向量共面问题1．什么样的向量算是共面向量？[提示] 能够平移到同一个平面内的向量称为共面向量． 2．能说明P ，A ，B ，C 四点共面的结论有哪些？ [提示] (1)存在有序实数对(x ，y )，使得AP →＝xAB →＋yAC →.(2)空间一点P 在平面ABC 内的充要条件是存在有序实数组(x ，y ，z )使得OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)．(3)四点中任意两点的方向向量与另外两点的方向向量共线，如PA →∥BC →.3．已知向量a ，b ，c 不共面，且p ＝3a ＋2b ＋c ，m ＝a －b ＋c ，n ＝a ＋b －c ，试判断p ，m ，n 是否共面．[提示] 设p ＝x m ＋y n ，即3a ＋2b ＋c ＝x (a －b ＋c )＋y (a ＋b －c )＝(x ＋y )a ＋(－x ＋y )b ＋(x －y )c . 因为a ，b ，c 不共面，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，－x ＋y ＝2，x －y ＝1，而此方程组无解，所以p 不能用m ，n 表示， 即p ，m ，n 不共面．【例4】 已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若点M 满足OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →. (1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面； (2)判断M 是否在平面ABC 内．[思路探究] (1)根据向量共面的充要条件，即判断是否MA →＝xMB →＋yMC →；(2)根据(1)的结论，也可以利用OM →＝xOA →＋yOB →＋zOC →中x ＋y ＋z 是否等于1.[解] (1)∵OA →＋OB →＋OC →＝3OM →， ∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)， ∴MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →， ∴向量MA →，MB →，MC →共面．(2)由(1)知向量MA →，MB →，MC →共面，而它们有共同的起点M ，且A ，B ，C 三点不共线，∴M ，A ，B ，C 共面，即M 在平面ABC 内．1．[变条件]若把本例中条件“OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →”改为“OA →＋2OB →＝6OP →－3OC →”，点P是否与点A 、B 、C 共面．[解] ∵3OP →－3OC →＝OA →＋2OB →－3OP →＝(OA →－OP →)＋(2OB →－2OP →)， ∴3CP →＝PA →＋2PB →，即PA →＝－2PB →－3PC →.根据共面向量定理的推论知：点P 与点A ，B ，C 共面．2．[变条件]若把本例条件变成“OP →＋OC →＝4OA →－OB →”，点P 是否与点A 、B 、C 共面． [解] 设OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →(x ，y ∈R )，则OA →＋xAB →＋yAC →＋OC →＝4OA →－OB →，∴OA →＋x (OB →－OA →)＋y (OC →－OA →)＋OC →＝4OA →－OB →，∴(1－x －y －4)OA →＋(1＋x )OB →＋(1＋y )OC →＝0，由题意知OA →，OB →，OC →均为非零向量，所以x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x －y －4＝0，1＋x ＝0，1＋y ＝0，显然此方程组无解，故点P 与点A ，B ，C 不共面．3．[变解法]上面两个母题探究，还可以用什么方法判断？[解] (1)由题意知，OP →＝16OA →＋13OB →＋12OC . ∵16＋13＋12＝1，∴点P 与点A 、B 、C 共面． (2)∵OP →＝4OA →－OB →－OC →，而4－1－1＝2≠1.∴点P 与点A 、B 、C 不共面．解决向量共面的策略1若已知点P 在平面ABC 内，则有AP →＝xAB →＋yAC →或OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →x ＋y ＋z ＝1，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数.2证明三个向量共面或四点共面，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示.1．一些特殊向量的特性(1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的．(2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.(3)两个向量模相等，不一定是相等向量，反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量．2.OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →称为空间平面ABC 的向量表达式．由此可知空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．3．证明(或判断)A ，B ，C 三点共线时，只需证明存在实数λ，使AB →＝λBC →(或AB →＝λAC →)即可，也可用“对空间任意一点O ，有OC →＝tOA →＋(1－t )OB →”来证明A ，B ，C 三点共线．4．空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对(x ，y )，使MP →＝xMA →＋yMB →，满足这个关系式的点都在平面MAB 内；反之，平面MAB 内的任一点都满足这个关系式．这个充要条件常用于证明四点共面．5．直线的方向向量是指与直线平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无穷多个，它们的方向相同或相反．6．向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是在a 与b 不共线的前提下才成立的，若a 与b 共线，则不成立．1．下列条件中使M 与A ，B ，C 一定共面的是( )A ．OM →＝2OA →－OB →－OC →B ．OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC → C ．MA →＋MB →＋MC →＝0D ．OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0C [由MA →＋MB →＋MC →＝0得MA →＝－MB →－MC →，故M ，A ，B ，C 共面．]2．已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1，若点F 是侧面CD 1的中心，且AF →＝AD →＋mAB →－nAA 1→，则m ，n的值分别为( )A ．12，－12B ．－12，－12C ．－12，12D ．12，12A [由于AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12(DC →＋DD 1→)＝AD →＋12AB →＋12AA 1→，所以m ＝12，n ＝－12，故答案为A.]3．化简：12(a ＋2b －3c )＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －12b ＋23c －3(a －2b ＋c )＝________. 56a ＋92b －76c [原式＝12a ＋b －32c ＋103a －52b ＋103c －3a ＋6b －3c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋103－3a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52＋6b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋103－3c ＝56a ＋92b －76c .]4．给出下列四个命题：①方向相反的两个向量是相反向量；②若a，b满足|a|＞|b|且a，b同向，则a＞b；③不相等的两个空间向量的模必不相等；④对于任何向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|.其中正确命题的序号为________．④[对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错；对于②，向量是不能比较大小的，故不正确；对于③，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故③错；只有④正确．]5．设两非零向量e1，e2不共线，且k e1＋e2与e1＋k e2共线，求k的值．[解]∵两非零向量e1，e2不共线，且k e1＋e2与e1＋k e2共线，∴k e1＋e2＝t(e1＋k e2)，则(k－t)e1＋(1－tk)e2＝0.∵非零向量e1，e2不共线，∴k－t＝0,1－kt＝0，解得k＝±1.。

新版高一数学必修第一册第一章全部学案第一章集合与常用逻辑用语第1节集合的概念1.了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系.2.掌握集合的三种表示方法，常用数集及其专用符号,集合的三个基本特征.1.集合的含义与表示方法，元素与集合的关系；2.选择恰当的方法表示一些简单的集合一、集合的基本概念1．元素与集合的概念(1)把统称为，通常用 ________表示．(2)把叫做 (简称为集)，通常用 ______ 表示．2．集合中元素三个特征：、____________、___________3、集合相等_____________________________________________________4．元素与集合的关系：(1)如果a.是集合A的元素，就说a A(2)如果a不是集合A的元素，就说a A5．常用的数集及其符号表示：非负整数集（自然数集）____________________________记作__________正整数集__________________________________________记作__________整数集____________________________________________记作__________有理数集__________________________________________记作_________实数集____________________________________________记作__________二、集合的表示方法1、列举法：将集合的元素出来，并置于花括号“{__}”内．元素之间要用分隔，列举时与无关．2．描述法：将集合的所有元素表示出来，写成{x|φ(x)}的形式探究一、集合的含义1.考察下列问题：（1）（1）1～20以内的所有偶数； （2）立德中学今年入学的全体高一学生； （3）所有正方形；（4）到直线l 的距离等于定长d 的所有的点; （5）方程0232=+-x x的所有实数根；（6）地球上的四大洋。

1.2 子集、全集、补集互动课堂疏导引导1.对于两个集合A、B，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，则称集合A是集合B的子集.记为A ⊆B或B ⊇A.疑难疏引对于两个集合A、B，如果A ⊆B且A≠B,则称集合A是集合B的真子集.记为A⊆B或B ⊇A;如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任意一个元素都是集合A的元素，则称集合A和集合B相等，记作A=B.2.（1）A＝B ⇔A⊆ B且B ⊆A.（2）A⊆B，B ⊆C ⇔A ⊆C, A B，B ⊆C ⇒A C, A ⊆B，B C ⇒A C.（3）若集合A有n个元素，则A的子集个数为2n，真子集个数为2n－1,非空真子集的个数为2n-2.●案例1【探究】设集合A={0，1}，B={x｜x⊆A}，则集合A、B之间的关系如何？要确定A、B的关系，就必须弄清集合B的元素是什么，集合B的元素x⊆A，所以集合B={∅，{0}，{1}，{0，1}}.虽然“∈”表示元素与集合的关系，但是集合A作为B的一个元素出现，故A 与B之间用的是符号“∈”.【溯源】要认真分析所研究的对象是元素与集合之间的关系还是集合之间的关系.如果是元素和集合，那么只能用“∈”和“∉”，如果是两集合之间的关系，那么应该在“⊆”、“⊇”和“＝”中选择合适的符号表示.●案例2写出集合｛a,b,c}的所有子集.【探究】本题考查子集的概念，注意不要遗漏，可按元素个数的多少这一顺序书写，养成好的习惯.｛a,b,c},{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}.【溯源】空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；任何集合都是本身的子集，但不是本身的真子集.●案例3写出满足｛1，3｝⊆M ⊆｛1，3，5，7｝的所有集合M.【探究】根据题目条件可以知道集合M中至少含有元素1和3，最多只能有4个元素1、3、5、,7，所以相当在求集合｛5，7｝的所有子集，然后在这些子集中都加上元素1和3即可.所以所求集合M为｛1，3｝、｛1，3，5｝，｛1，3，7｝，｛1，3，5，7｝.【溯源】 1.若条件改为｛1，3｝M ⊆｛1，3，5，7｝，则符合条件的M应将上述四个集合中的｛1，3｝去掉.2.若仅需求M的个数则只需用公式24－2＝4即可.3.解题时应注意空集的独特性.可采用分类讨论、数形结合、等价转化思想解决集合与二次方程的综合应用题.●案例4已知集合A={1，2}，B={1，2，3，4，5}，且A M ⊆B，写出满足上述条件的集合M.【探究】集合M为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}.疑难疏引利用分类讨论的思想，考虑到集合B的所有可能的情况.这是处理集合与其子集之间关系的常用方法.另外，此题也可以利用韦达定理结合根的判别式求解.此题容易发生的错误是：没有注意题中的已知条件，又多加上B=∅的情形，从而造成画蛇添足!●案例5已知集合A={x|x2－2x－3=0}，集合B={x|ax－1=0}.若B是A的真子集，则a【探究】 本题可先从化简集合A 入手.因为 B A ,所以可写出B 的所有结果,再分别代入求值.∵A ={-1,3}, B A,∴B =∅,{1},{3}.若B =∅,则a =0;若B ={-1},则a =-1;若B ={3},则a =31. 综上,a 的值为-1,0,31. ●案例6已知A ={－3,4},B ={x |x 2－2px +q =0},B ≠∅,且B ⊆A ,求实数p 、,q 的值.【探究】 本题可以先求出集合B 的三种情况，再由方程的根来求出字母的值.由B ⊆A 知，B ={-3}或{4}或{-3，4}.当B ={-3}时，方程x 2－2px +q =0有两个相等的根-3∴⎩⎨⎧=-=∆=++.044,0692q p q p 解得⎩⎨⎧=-=;9,3q p ; 当B ={4}时，方程x 2－2px +q =0有两个相等的根4∴⎩⎨⎧=-=∆=+-.044,08162q p q p 解得⎩⎨⎧==;16,4q p p =4,q =16; 当B ={-3，4}时，方程x 2－2px +q =0的根是-3，4,∴⎩⎨⎧=+-=++.0816,069q p qp 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==.12,21qp【溯源】 本题应从集合B 的三种情况考虑，而不应该盲目地把-3，4带入方程. 活学巧用 1.（1）{1，2，3}______{3，2，1}（2）∅________{0};(3){3}_________{x |2<x <4};(4){x |x =2n +1,n ∈Z }_________{x |x =4n +1,n ∈Z}.【思路解析】 本题考查几个符号的正确应用情况.【答案】=2.设集合M ={x |x ≤0}( )A.0 ⊆MB .{0}∈MC .{0}⊆MD .∅∈M【思路解析】 本题考查几个符号的正确应用.【答案】 C3.集合A ={x |x =2n +1,n ∈Z },B ={y |y =4k ±1,k ∈Z },则A 与B 的关系为( )A.A BB.A BC.A =BD.A ≠B【思路解析】 易知集合A 就是奇数集，集合B 通过给k 赋值，也可以取到所有的奇数.【答案】 C4.已知A ={x |x <5},B ={x |x <a },若A ⊆B ，求实数a 的取值范围.【思路解析】 A ⊆B 说明A 的范围比B 的范围小.【解】 a ≥5.5.写出集合｛1，2，3｝的所有子集并求所有子集中元素之和.【思路解析】 按子集元素个数的多少分别写出它的子集，才能避免不重不漏，同时还应注.（1）由本题知，由3个元素组成的集合子集有8个.那么由2个元素组成的集合子集有几个？由4个元素呢？由5个元素呢？推而广之n 个元素组成的集合子集有多少个？（2n（2）A 中每个元素出现在子集中4次，是在写出所有子集后，再观察得出的结果，能否不写出A 的子集也得出同样结论？完全可行.注意到A 中的元素1，出现在A 的子集（｛1｝，｛1，2｝，｛1，3｝，｛1，2，3｝），如果从这些集合中去掉元素12｝，｛3｝，｛2，3｝，即为集合｛2，3｝的全部子集.一般而言，A 中n 个元素，而每一元素出现于集合中的次数为2n －1.故所有子集元素之和S ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )2n －1.【解】∅，｛1｝，｛2｝，｛3｝，｛1，2｝，｛1，3｝，｛2，3｝，｛1，2，3｝.注意到A 中每个元素均出现了4次.故所有子集元素的和为（1＋2＋3）×4＝24.6.己知｛1，2｝⊆A ⊆｛1，2，3，4｝，求满足条件的集合A .【思路解析】 首先弄清应有怎样的元素组成集合A .【解】 ∵｛1，2｝⊆A ，∴A 中要有元素1和2.然后将A（1）A 中仅有元素1和2时，A ＝｛1，2｝.（2）A 在1、2的基础上增加1个，于是有A ＝｛1，2，3｝或A ＝｛1，2，4｝.（3）A 在1、2的基础上增加2个，于是有A ＝｛1，2，3，4｝.这样符合条件的集合A 共有4｛1，2｝，｛1，2，3｝，｛1，2，4｝，｛1，2，3，4｝.7.设集合A ={2,3,a 2+2a -3}，B ={2，5，b }，并且A =B ，求实数a 、b 的值.【思路解析】 本题考查集合相等的含义，易知{2,5,b }={2,3,a 2+2a -3}，解方程组即可.【解】 由已知，{2,5,b }={2,3,a 2+2a -3},∴⎩⎨⎧=-+=.532,32a a b b =3,a 2+2a -3=5. 解得⎩⎨⎧-==4,3a b 或⎩⎨⎧==.2,3a b【思路解析】构成集合的元素可以是世界万物，当然可以是集合，集合B中的元素就是集合.【解】B={∅},{0},{1},{0,1}，C={1},所以A∈B,C∈B,C⊆A.。

集合学案 §1.1集合（1）一、知识归纳：1、 集合：某些 的对象集在一起就形成一个集合，简称集。

元素：集合中的每个 叫做这个集合的元素。

2、集合的表示方法⎩⎨⎧描述法：列举法：3、集合的分类⎪⎩⎪⎨⎧空集：无限集：有限集：二、例题选讲：例1、观察下列实例：① 小于11的全体非负偶数； ②整数12的正因数；③抛物线12+=x y 图象上所有的点； ④所有的直角三角形；⑤高一（1）班的全体同学； ⑥班上的高个子同学； 回答下列问题： ⑴哪些对象能组成一个集合.⑵用适当的方法表示它.⑶指出以上集合哪些集合是有限集. 例2、用适当的方法表示以下集合：⑴平方后与原数相等的数的集合；⑵设b a ,为非零实数，bb aa +可能表示的数的取值集合；⑶不等式62<x 的解集； ⑷坐标轴上的点组成的集合； ⑸第二象限内的点组成的集合； ⑹方程组⎩⎨⎧=-=+15y x y x 的解集。

三、针对训练：1．课本P5第1题： 2．课本P6第1、2题 3．已知集合{}012|2=++=x ax x A⑴若A 中只有一个元素，求a 及A ；⑵若,Φ=A 求a 的取值范围。

§1.1集合(2)一、知识归纳：4、集合的符号表示：⑴集合用 表示，元素用 表示。

⑵如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作： 如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作： ⑶常用数集符号：非负整数集（或自然数集）： 正整数集： 整数集： 有理数集： 实数集： 5、 元素的性质：（1） （2） （3） 二、例题选讲：例3 用符号∉∈与填空：⑴0 *NZ ；0 N ；0)1(- *N ；23+ Q ；34Q 。

⑵3{}3,2；3(){}3,2；()3,2 (){}3,2； ()2,3 (){}3,2例4 （1）已知{}52<<=x x A ，判断b a 、是否属于A ？7=a ，︒+︒=31tan 42sin b（2）已知{}{},.,1,,2B A b B a a A ===求b a ,三、针对训练： 1．课本P5第2题2．习题1.13.已知：}{Nx x y y A ∈+==且1|2{}22|),(2+-==x x y y x B ，用符号∉∈与填空⑴0 A ； 5.3 A ； 10 A ； （1，2） A 。

函数的概念※ 知识梳理 1.函数的概念：设A ，B 是非空的_____，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的________数x ，在集合B 中都有________的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A .其中x 叫做______，x 的取值范围A 叫做函数y ＝f (x )的______；与x 的值相对应的y 值叫做_____，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数y ＝f (x )的______，则值域是集合B 的____． 2．常见函数的定义域和值域函数关系式图象定义域值域反比例函数y ＝kx(k ≠0)一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)3．相等函数：一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域，其中值域是由______和________决定的．如果两个函数的定义域相同，并且________完全一致，我们就称这两个函数相等．(1)只要两个函数的定义域相同，对应法则相同，其值域就________．故判断两个函数是否相等时，一看定义域，二看对应法则．如y ＝1与y ＝xx 不是相等函数，因为____________．y ＝3t ＋4与y ＝3x ＋4是相等函数．(2)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示．4．区间与无穷大：（1）区间的几何表示定义 名称 符号 数轴表示{x |a ≤x ≤b } 闭区间 [a ，b ] {x |a <x <b }开区间(a ，b ){x |a ≤x <b }半开半 闭区间 [a ，b ){x |a <x ≤b } 半开半 闭区间(a ，b ]这里的实数a 与b 都叫做相应区间的端点．（2）实数集R 的区间表示：实数集R 可以用区间表示为____________，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．（3）无穷大的几何表示定义 符号 数轴表示{x |x ≥a } [a ，＋∞) {x |x >a } (a ，＋∞) {x |x ≤b } (－∞，b ]{x |x <b }(－∞，b )※ 典例分析【题型一】函数的基本概念【例1】1. 如图所示，能够作为函数y ＝f (x )的图象的有________．[答案] ①⑤ 解：根据函数的定义，一个函数图象与垂直于x 轴的直线最多有一个交点，这是通过图象判断其是否构成函数的基本方法.2. 下列对应或关系式中是A 到B 的函数的是( )A ．A ∈R ，B ∈R ，x 2＋y 2＝1 B ． A={(x ，y)|x ，y ∈R }，对任意的(x ，y)∈A ，(x,y)→x+y.C ．A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x －2D ．A ＝{1,2,3,4}，B ＝{0,1}，对应关系如图：答案：D3. 下列各对函数中，是相等函数的序号是________.① f (x )＝x ＋1与g (x )＝x ＋x 0 ② f (x )＝22x 1)+（与g (x )＝|2x ＋1| ③ f (n )＝2n ＋1(n ∈Z )与g (n )＝2n －1(n ∈Z ) ④ f (x )＝3x ＋2与g (t )＝3t ＋2 ⑤ y ＝x －1与y ＝x 2－1x ＋1[答案] ②④4. 已知一个函数的解析式为2)(x x f =2，它的值域为{1，4}，这样的函数有 个.[答案]9[解析]列举法:定义域可能是{1,2},{-1,2},{1,-2},{-1,-2},{1,-2,2},{-1,-2,2},{-1,1,2},{-1,1,-2},{-1,1,-2,2}.【课堂练习1】1. 下列对应是否为A 到B 的函数：①A ＝R ，B ＝{x|x>0}，f ：x→y ＝|x|； ②A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x→y ＝x 2； ③A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x→y ＝x ； ④A ＝[－1,1]，B ＝{0}，f ：x→y ＝0.答：(1)①③不是 ②④是2. 以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？(1)f 1：y ＝xx ；f 2：y ＝1.(2)f 1：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2.f 2：x x ≤1 1<x <2 x ≥2 y123(3)f 1：y ＝2x ；f 2：如图所示．【解】(1)不同函数．f 1(x )的定义域为{x ∈R |x ≠0}，f 2(x )的定义域为R .(2)同一函数，x 与y 的对应关系完全相同且定义域相同，它们是同一函数的不同表示方式． (3)同一函数．理由同(2)．【题型二】 求函数定义域 【例2】1. 求下列函数的定义域：①y ＝4－x ； ②y ＝1|x |－x ； ③y ＝5－x ＋x －1－1x 2－9.[解析] (1)①4－x ≥0，即x ≤4，故函数的定义域为{x |x ≤4}．②分母|x |－x ≠0，即|x |≠x ，所以x ＜0.故函数的定义域为{x |x ＜0}．③解不等式组⎩⎨⎧ 5－x ≥0，x －1≥0，x 2－9≠0，得⎩⎨⎧x ≤5，x ≥1，x ≠±3.故函数的定义域是{x |1≤x ≤5且x ≠3}．【课堂练习2】1. 将长为a 的铁丝折成矩形，求矩形面积y 关于一边长x 的解析式，并写出此函数的定义域．解：设矩形一边长为x ，则另一边长为12(a －2x )，所以y ＝x ·12(a －2x )＝－x 2＋12ax ，定义域为(0，a2)．2. （2016年高考江苏卷） 函数y =232x x --的定义域是 .【答案】[]3,1-3. 若函数86-)(2++=m mx mx x f 的定义域为R ，则实数m 的取值范围是 .4. 已知函数32341++-=ax ax ax y 的定义域为R ，则实数a 的取值范围是 .【题型三】复合函数的定义域【例3】1. 已知函数f (x )的定义域为(－1，0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )A. (－1,1)B. )21,1(--C. (－1,0)D. )1,21(解析：由题意知－1<2x ＋1<0，则－1<x <－12.答案：B2. 已知f (x 2－1)的定义域为[0，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为__________．解析：∵0≤x ≤3，∴0≤x 2≤9，∴－1≤x 2－1≤8，∴函数y ＝f (x )的定义域是[－1，8]．【课堂练习3】1. 已知函数f (2x ＋1)的定义域为(0，1)，则f (x )的定义域是______________．[解析]因为f (2x ＋1)的定义域为(0，1)，即其中的函数自变量x 的取值范围是0<x <1，令t ＝2x ＋1，所以1<t <3，所以f (t )的定义域为{t |1<t <3}，所以函数f (x )的定义域为{x |1<x <3}．2. 已知函数f (x )的定义域是[0,1]，求g(x)=f (2x )＋f (x ＋23)的定义域；解： 解不等式组0212013x x ≤≤⎧⎪⎨≤+≤⎪⎩，∴g(x) 的定义域是[0,13]. 【题型四】求函数的解析式 【例4】1. 已知f (x )＝21xx+，求f (2x ＋1)； 解析：f (2x ＋1)＝244122+++x x x .2. f (x ＋1)＝x ＋2x . 求f (x )的解析式；解：方法一：设u ＝x ＋1，则x ＝u －1(u ≥1)，∴f (u )＝(u －1)2＋2(u －1)＝u 2－1(u ≥1)，即f (x )＝x 2－1(x ≥1)． 方法二：∵x ＋2x ＝(x ＋1)2－1，由于x ≥0，所以x ＋1≥1.∴ f (x )＝x 2－1(x ≥1)3. y ＝f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝9x ＋8，求f (x )的解析式；解：由条件可设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∵f [f (x )]＝9x ＋8，∴有a (ax ＋b )＋b ＝9x ＋8.比较系数可得⎩⎨⎧ a ＝3，b ＝2；或⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－4.故f (x )＝3x ＋2或f (x )＝－3x －4，4. f (x )＝2f (1x)·x －1，求f (x )的解析式；解：在f (x )＝2f (1x )x －1中，用1x 代替x ，得f (1x )＝2f (x )1x －1，将f (1x )＝2()f x x－1代入f (x )＝2f (1x)x －1中，可求得f (x )＝23x ＋13.(x>0) 5. f (0)＝1，并且对任意实数x ，y ，有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，求f (x )的解析式.解：令x=0,y=-x,则f(x)=f(0)+x(0+x+1)=1+2xx +课堂小结：函数解析式的求法：(1)凑配法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)方程思想：已知关于f (x )与f (1x )或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．（5）赋值法：赋x,y 特殊值，适用于解抽象函数。