圆 的 方 程整理的习题

圆的⽅程练习题圆的⽅程【基础练习】A 组1.已知点A(3，－2)，B(－5，4)，以线段AB 为直径的圆的⽅程为2.过点A （1，－1）、B （－1，1）且圆⼼在直线x ＋y －2＝0上的圆的⽅程是3.已知圆C 的半径为2，圆⼼在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的⽅程4.圆22420x y x y c +-++=与y 轴交于A 、B 两点，圆⼼为P ，若∠APB=120°，则实数c 值为_ _5.如果⽅程220x y Dx Ey F ++++=()2240D E F +->所表⽰的曲线关于直线y x =对称，那么必有__ _6．设⽅程22242(3)2(14)1690x y m x m y m +-++-++=，若该⽅程表⽰⼀个圆，求m 的取值范围及这时圆⼼的轨迹⽅程。

7．⽅程224(1)40ax ay a x y +--+=表⽰圆，求实数a 的取值范围，并求出其中半径最⼩的圆的⽅程。

8．求半径为4，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的⽅程．9．设圆满⾜:①截y 轴所得弦长为2;②被x 轴分成两段圆弧,其弧长的⽐为3:1,在满⾜条件①、②的所有圆中,求圆⼼到直线l :x -2y =0的距离最⼩的圆的⽅程.10．在平⾯直⾓坐标系xoy 中，已知圆⼼在第⼆象限、半径为C 与直线y x =相切于坐标原点O ．椭圆22219x y a +=与圆C 的⼀个交点到椭圆两焦点的距离之和为10． (1)求圆C 的⽅程；(2)试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【基础练习】B 组1.关于x,y 的⽅程Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0表⽰⼀个圆的充要条件是2.过点P(-8，-1)，Q(5，12)，R(17，4)三点的圆的圆⼼坐标是3.若两直线y=x+2k 与y=2x+k+1的交点P 在圆x 2+y 2=4的内部，则k 的范围是4.已知圆⼼为点（2，-3），⼀条直径的两个端点恰好落在两个坐标轴上，则这个圆的⽅程是5.直线y=3x+1与曲线x 2+y 2=4相交于A 、B 两点，则AB 的中点坐标是6.⽅程1x -=表⽰的曲线是_7.圆2)4()3(22=++-y x 关于直线0=+y x 的对称圆的⽅程是8.如果实数x 、y 满⾜等式()2223x y -+=，那么y x的最⼤值是 9.已知点)1,1(-A 和圆4)7()5(:22=-+-y x C ，求⼀束光线从点A 经x 轴反射到圆周C 的最短路程为______10．求经过点A(5,2),B(3,2),圆⼼在直线2x─y─3=0上的圆的⽅程;11. ⼀圆与y 轴相切，圆⼼在直线x －3y =0上，且直线y =x 截圆所得弦长为27，求此圆的⽅程直线与圆的位置关系【基础练习】A 组1.若直线4x -3y -2=0与圆x 2+y 2-2ax +4y +a 2-12=0总有两个不同交点，则a 的取值范围是2.直线x -y +4=0被圆x 2+y 2+4x -4y +6=0截得的弦长等于3.过点P(2，1)且与圆x 2+y 2-2x +2y +1=0相切的直线的⽅程为 .4..设集合(){}22,|25=+≤M x y x y ,()(){}22,|9=-+≤N x y x a y ,若M ∪N=M ，则实数a 的取值范围是5.M （2,-3,8）关于坐标平⾯x O y 对称点的坐标为6．已知圆C ：（x －1）2＋（y －2）2＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y －7m －4=0（m ∈R ）.（1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点；（2）求直线被圆C 截得的弦长最⼩时l 的⽅程.7.已知圆O : 122=+y x ，圆C : 1)4()2(22=-+-y x ，由两圆外⼀点),(b a P 引两圆切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，满⾜|PA|=|PB|.(1)求实数a 、b 间满⾜的等量关系；(2)是否存在以P 为圆⼼的圆，使它与圆O 相内切并且与圆C 相外切？若存在，求出圆P 的⽅程；若不存在，说明理由.8.已知圆C 与两坐标轴都相切，圆⼼C 到直线y x =-（1）求圆C 的⽅程.（2）若直线:1x y l m n +=(2,2)m n >>与圆C相切，求证：6mn ≥＋9.如图，在平⾯直⾓坐标系x O y 中，平⾏于x 轴且过点A(33，2)的⼊射光线l 1被直线l ：y =33x 反射．反射光线l 2交y 轴于B 点，圆C 过点A 且与l 1, l 2都相切.(1)求l 2所在直线的⽅程和圆C 的⽅程；(2)设P ，Q 分别是直线l 和圆C 上的动点，求PB+PQ 的最⼩值及此时点P 的坐标．【基础练习】B 组1.圆x 2+y 2-4x=0在点P(1,3)处的切线⽅程为2.直线3x +y －23=0截圆x 2＋y 2＝4得的劣弧所对的圆⼼⾓为3.已知直线l 过点），（02-，当直线l 与圆x y x 222=+有两个交点时，其斜率k 的取值范围是4.设m>0,则直线2(x+y)+1+m=0与圆x 2+y 2=m 的位置关系为5.圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有个数为6.点P 从(1,0)出发,沿单位圆122=+y x 逆时针⽅向运动32π弧长到达Q 点,则Q 的坐标为 7.若圆04122=-++mx y x 与直线1-=y 相切，且其圆⼼在y 轴的左侧，则m 的值为 8.已知P(3，0)是圆x 2+y 2-8x-2y+12=0内⼀点则过点P 的最短弦所在直线⽅程是，过点P 的最长弦所在直线⽅程是9.设P 为圆122=+y x 上的动点，则点P 到直线01043=--y x 的距离的最⼩值为 .10. 已知与曲线C ：x 2+y 2-2x-2y+1=0相切的直线L 交x 轴、 y 轴于A 、B 两点, O 为原点, 且|OA|=a, |OB|=b (a>2,b>2)（1）求证曲线C 与直线L 相切的条件是(a-2)(b-2)=2 (2)求ΔAOB ⾯积的最⼩值..11.已知平⾯区域00240x y x y ≥??≥??+-≤?恰好被⾯积最⼩的圆222:()()C x a y b r -+-=及其内部所覆盖．(1)试求圆C 的⽅程.(2)若斜率为1的直线l 与圆C 交于不同两点,.A B 满⾜CA CB ⊥,求直线l 的⽅程.12、已知⊙O ：221x y +=和定点(2,1)A ，由⊙O 外⼀点(,)P a b 向⊙O 引切线PQ ，切点为Q ，且满⾜||||PQ PA =．(1) 求实数a b 、间满⾜的等量关系；(2) 求线段PQ 长的最⼩值；(3) 若以P 为圆⼼所作的⊙P 与⊙O 有公共点，试求半径取最⼩值时的⊙P ⽅程．。

高二数学圆的方程练习题1. 某圆的半径为3，圆心坐标为(2, -1)，求该圆的方程。

解析：设该圆的方程为(x-a)² + (y-b)² = r²（a为圆心横坐标，b为圆心纵坐标，r为半径）根据已知条件得到：(x-2)² + (y+1)² = 3²将方程展开得：x² - 4x + 4 + y² + 2y + 1 = 9整理得：x² + y² - 4x + 2y - 4 = 0所以该圆的方程为x² + y² - 4x + 2y - 4 = 02. 某圆的直径的两个端点分别为A(1, 2)和B(5, 6)，求该圆的方程。

解析：首先求出圆心坐标：圆心的横坐标为直径的中点的横坐标，纵坐标为直径的中点的纵坐标圆心的横坐标 = (1+5)/2 = 3圆心的纵坐标 = (2+6)/2 = 4所以该圆的圆心为(3, 4)然后求出半径：半径的长度等于直径的长度的一半直径AB的长度= √[(5-1)² + (6-2)²] = 2√2所以半径等于直径的一半：r = (2√2)/2 = √2圆心坐标为(3, 4)，半径为√2，所以该圆的方程为：(x-3)² + (y-4)² = (√2)²展开得：x² + y² - 6x - 8y + 13 = 0所以该圆的方程为：x² + y² - 6x - 8y + 13 = 03. 已知圆的方程为：x² + y² + 2x - 4y - 4 = 0，求该圆的圆心坐标和半径。

解析：根据已知方程可得:(x+1)² + (y-2)² = 9将方程展开得：x² + y² + 2x - 4y + 1 + 4 - 9 = 0整理得：x² + y² + 2x - 4y - 4 = 0可见，已知的方程与题目中给出的方程相同，所以该圆的圆心坐标为(-1, 2)，半径为3。

圆的方程习题（含答案）一、单选题1．以点P(2，－3)为圆心，并且与y轴相切的圆的方程是( )A．(x＋2)2＋(y－3)2＝4B．(x＋2)2＋(y－3)2＝9C．(x－2)2＋(y＋3)2＝4D．(x－2)2＋(y＋3)2＝92．当点在圆上运动时，连接它与定点，线段的中点的轨迹方程是（）A．B．C．D．3．圆x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0的圆心在直线x＋y－4＝0上，那么圆的面积为( )A．9πB．πC．2πD．由m的值而定4．圆的半径是（）A．B．2C．D．45．已知圆与圆相交于A、B两点，则线段AB的垂直平分线的方程为A．B．C．D．6．若点为圆上的一个动点，点，为两个定点，则的最大值为（）A．B．C．D．7．已知直线：是圆的对称轴.过点作圆的一条切线，切点为，则（）A．2B．C．6D．8．若直线l：ax+by+1=0经过圆M：的圆心则的最小值为A．B．5C．D．109．若均为任意实数，且，则的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题10．如图，扇形的圆心角为90°，半径为1，点是圆弧上的动点，作点关于弦的对称点，则的取值范围为____．11．已知x,y满足－4－4＋＝0, 则的最大值为____12．若直线l：与x轴相交于点A，与y轴相交于B，被圆截得的弦长为4，则为坐标原点的最小值为______．13．设直线与圆相交于两点，若，则圆的面积为________.14．已知圆的圆心在曲线上，且与直线相切，当圆的面积最小时，其标准方程为_______．15．在平面直角坐标系xOy中，已知过点的圆和直线相切，且圆心在直线上，则圆C的标准方程为______．16．已知圆的圆心在直线上，且经过，两点，则圆的标准方程是__________．17．在平面直角坐标系中，三点,，，则三角形的外接圆方程是__________．18．如图，O是坐标原点，圆O的半径为1，点A（-1，0），B（1，0），点P，Q分别从点A ，B 同时出发，圆O 上按逆时针方向运动.若点P 的速度大小是点Q 的两倍，则在点P 运动一周的过程中，的最大值是_______.三、解答题 19．设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．（1）求的方程；（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程． 20．已知圆内一点，直线过点且与圆交于，两点.（1）求圆的圆心坐标和面积； （2）若直线的斜率为，求弦的长；（3）若圆上恰有三点到直线的距离等于，求直线的方程．21．已知点在圆上运动，且存在一定点，点为线段的中点.（1）求点的轨迹的方程； （2）过且斜率为的直线与点的轨迹交于不同的两点，是否存在实数使得，并说明理由.22．已知圆经过()()2,5,2,1-两点，并且圆心在直线12y x =上。

圆的标准方程练习题圆的标准方程练习题圆是数学中的一个基本几何形状，它在我们的生活中随处可见。

在解决与圆相关的问题时，掌握圆的标准方程是非常重要的。

本文将通过一些练习题来帮助读者加深对圆的标准方程的理解和应用。

练习题一：求圆的标准方程1. 已知圆心为(2, -3)，半径为5，求圆的标准方程。

解析：圆的标准方程为$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$，其中(h, k)为圆心坐标，r 为半径。

代入已知条件，得到$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$。

2. 已知圆心为(-1, 4)，过点(3, 2)，求圆的标准方程。

解析：首先求得半径，半径的长度等于圆心到过点的距离。

利用距离公式$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，代入已知条件，得到$d = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (2 - 4)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$。

然后代入圆心和半径，得到$(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 20$。

练习题二：判断给定方程是否为圆的标准方程1. $x^2 + y^2 + 2x - 4y = 0$解析：这个方程可以通过将其进行配方来判断是否为圆的标准方程。

将方程进行配方，得到$(x + 1)^2 - 1 + (y - 2)^2 - 4 = 0$，化简后得到$(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 5$。

因此，这个方程是圆的标准方程。

2. $x^2 + y^2 + 3x - 2y + 4 = 0$解析：同样地，将方程进行配方，得到$(x + \frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 + (y - 1)^2 - 1 = 0$，化简后得到$(x + \frac{3}{2})^2 + (y - 1)^2 = \frac{9}{4} + 1$。

因此，这个方程不是圆的标准方程。

一、选择题1. 圆心是(4, -1),且过点(5.2)的圆的标准方程是( )Λ. α-4)2+(y+l)2=10 B. (A ^+4)2+(y-l)2=10 C. (χ-4)2+(y÷l)2=100D. (%-4)2÷ (y+1)2=√W2. 已知圆的方程是(χ-2)2+(y-3)2=4,则点P(3,2)满足() A.是圆心B.在圆上C.在圆内3. 圆(A -+1)2+(7-2)2=4的圆心坐标和半径分别为() Λ. (-1,2), 2B. (1, -2), 2C. (-1,2), 44. (2016 •锦州高一检测)若圆C 与圆(x+2)2÷(y-l)2= 1关于原点对称，则圆C 的方程是()Λ. α-2)2+(y+l)2=l B. (χ-2)2+(y-l)2=l C. U-l)2+(y+2)2=lD. (A ÷1)2÷(7+2)2=15. (2016 •全国卷II)圆√+∕-2χ-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1 =0的距离为1,则日=()6. 若Pa 一1)为圆(χ-l)2+y=25的弦/矽的中点，则直线/矽的方程是(Λ )二、 填空题7. 以点(2, — 1)为圆心且与直线x+y=6相切的圆的方程是8. 圆心既在直线x —y=0上，又在直线x+y —4=0上，且经过原点的圆的方程是三、 解答题9. 圆过点 Atl 9 一2)、B(-l,4).求 (1) 周长最小的圆的方程；⑵圆心在直线2x —y —4 = 0上的圆的方程.10. 已知圆川的标准方程为(%-5)2+(y-6)2=a 2(a>0).Λ.B.C. √3D. 2 D.在圆外D. (h -2), 4A. X —y —3=0B ・ 2x+ y — 3 = 0C ・ x+ y — 1 =0D. 2%—y —5=0(1)若点M6.9)在圆上，求。

的值；(2)已知点A3,3)和点0(5.3),线段図(不含端点)与圆再有且只有一个公共点，求臼的取值范围.B级素养提升一、选择题1. (2016〜2017-宁波高一检测)点与圆√+∕=j的位置关系是Λ.在圆上 B.在圆内 C.在圆外 D.不能确定2.若点(2o, a-l)在圆√÷(y+l)2=5的内部，则&的取值范围是( )Λ. (一8, 1] B. (一1・1) C. (2.5) D・(1, +∞)3.若点P(l, 1)为圆α-3)2+72=9的弦的中点，则弦聽V所在直线方程为( )Λ. 2x+y—3=0 B・X—2y+l=0 C. x+2y—3=0 D・(IX—y—1=04.点"在圆(Λ--5)2+(7-3)2=9上，则点J/到直线3x+4y-2=0的最短距离为( )Λ. 9B・8 C・5 D・2二、填空题5.已知圆C经过力(5∙1). 0(1∙3)两点，圆心在才轴上，则C的方程为6.以玄线2x+y-4 = 0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程为C级能力拔高1・如图，矩形力仇0的两条对角线相交于点M2,0), /矽边所在直线的方程为χ-3y-6=0, 边所在的直线上•求力〃边所在直线的方程・2.求圆心在直线4x+y=0上，且与直线才+y—l =0切于点Λ3, 一2)的圆的方程，并找出圆的圆心及半径.一、选择题1・圆z÷√-4x+6y= O的圆心坐标是( )Λ. (2.3) B. (-2,3) C. (一2, -3) D. (2, -3)2・(2016〜2017 •曲靖高一检测)方程√+∕÷2^r-Λy÷c= 0表示圆心为67(2,2),半径为2的圆，则血b、C 的值依次为( )Λ. —2,4.4 B. —2, —4,4 C. 2, —4,4 D. 2, —4, —43.(2016〜2017 •长沙高一检测)已知圆C过点J∕(l,l), A r(5,1),且圆心在直线y=x~2上，则圆C的方程为 ( )A・ X ÷y-6A r-2y÷6 = 0 B. x ÷y÷6%-2y÷6=0[C・ x'÷y ÷6x÷2y÷6=0 D・ A r÷y —2χ-6y÷6=04.设圆的方程是Y÷y2+2ax÷2y+(a-l)2=0,若O<X1,则原点与圆的位置关系是( )Λ.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.不确定5・若圆√+∕-2χ-4y= 0的圆心到直线AT-y÷5= 0的距离为专，则日的值为( )1 3A. —2 或2B. §或O C・ 2 或0 D. —2 或06.圆Z÷∕-2y-l =O关于直线y=x对称的圆的方程是( )Λ. (X—1)^+y =2 B. (x+l)'+y i=2C. (A-I)2+y =4D. (^+l)2+y=4二、填空题7.圆心是(-3,4),经过点.f∕(5,l)的圆的一般方程为______________________ .8.设圆√+y-4,r+2y-ll= 0的圆心为儿点P在圆上，则刊的中点〃的轨迹方程是一三、解答题9.判断方程X + y -4^+ 2my+ 20/»-20=0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径.10.求过点J(-l,0). g(3∙0)和C(0.1)的圆的方程.B级素养提升一、选择题1.若圆x2+y2-2ax÷36y= 0的圆心位于第三象限，那么直线x+ay+b =0—定不经过( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2•在圆√+y2-2-γ-6y =0内，过点F(OJ)的最长弦和最短弦分别为和加,则四边形/处9的面只为( )Λ. 5√2 B. 10√5 C. 15√2D・20√23.若点(2o, a— 1)在圆x2÷y2—(Iy-5a'=0的内部，则日的取值范围是( )4 4 4 Q QΛ. ( — 8, -] B. (―-, ξ) C. (―[, +∞) D. (丁，+∞)4.若直线7：乩γ+by+l=O始终平分圆J/： z+y+4x÷2y÷l=0的周长，则(a-2)2+(Z,-2)2的最小值为)二、填空题5.已知圆C: √+∕+2,γ+ay-3 = 0U为实数)上任意一点关于直线/：χ-y+2=0的对称点都在圆C上，则。

圆的方程复习题圆的方程复习题在数学中，圆是一个非常重要的几何形状。

它具有许多有趣的性质和应用。

在这篇文章中，我们将复习一些关于圆的方程的基本概念和问题。

通过这些复习题，我们可以更好地理解圆的方程以及如何应用它们解决实际问题。

1. 已知圆心为（2，-3），半径为5。

请写出这个圆的方程。

解答：圆的方程可以用标准方程表示为：(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)是圆心的坐标，r是半径。

根据已知信息，我们可以得到这个圆的方程为：(x - 2)² + (y + 3)² = 25。

2. 已知一个圆的方程为x² + y² - 6x + 4y + 9 = 0。

求圆心和半径。

解答：首先，我们需要将方程转化为标准方程。

通过完成平方项并整理，我们可以得到(x - 3)² + (y + 2)² = 4²。

从这个标准方程中，我们可以看出圆心的坐标为(3, -2)，半径为4。

3. 已知两个圆的方程分别为x² + y² - 4x + 6y + 9 = 0和x² + y² + 2x - 8y + 1 = 0。

求这两个圆的交点坐标。

解答：为了求解这个问题，我们需要解这两个方程组。

首先，我们将两个方程整理为标准方程，得到(x - 2)² + (y + 3)² = 4²和(x + 1)² + (y - 4)² = 3²。

通过观察，我们可以看到这两个圆的圆心分别为(2, -3)和(-1, 4)，半径分别为4和3。

然后，我们可以将这两个圆的方程相减，得到(x - 2)² - (x + 1)² + (y + 3)² - (y - 4)² = 4² - 3²。

课时作业23 圆的一般方程(限时：10分钟)1．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( )A ．－2或2 B.12或32C ．2或0D ．－2或0解析：圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，圆心为(1,2)，圆心到直线的距离|1－2＋a |12＋(－1)2＝22，解得a ＝0或2. 答案：C2．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，－32b ，则有a <0，b >0.直线x ＋ay ＋b ＝0变为y ＝－1a x －b a .由于斜率－1a >0，在y 轴上截距－b a >0，故直线不经过第四象限．答案：D3．直线y ＝2x ＋b 恰好平分圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0，则b 的值为( )A ．0B ．2C ．4D ．1解析：由题意可知，直线y ＝2x ＋b 过圆心(－1,2)，∴2＝2×(－1)＋b ，b ＝4.答案：C4．M (3,0)是圆x 2＋y 2－8x －2y ＋10＝0内一点，过M 点最长的弦所在的直线方程为________，最短的弦所在的直线方程是________．解析：由圆的几何性质可知，过圆内一点M 的最长的弦是直径，最短的弦是与该点和圆心的连线CM 垂直的弦．易求出圆心为C (4,1)，k CM ＝1－04－3＝1，∴最短的弦所在的直线的斜率为－1，由点斜式，分别得到方程：y ＝x －3和y ＝－(x －3)，即x －y －3＝0和x ＋y －3＝0.答案：x －y －3＝0 x ＋y －3＝05．求经过两点A (4,7)，B (－3,6)，且圆心在直线2x ＋y －5＝0上的圆的方程．解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 42＋72＋4D ＋7E ＋F ＝0，(－3)2＋62－3D ＋6E ＋F ＝0，2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2－5＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧ 4D ＋7E ＋F ＝－65，3D －6E －F ＝45，2D ＋E ＝－10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－2，E ＝－6，F ＝－15.所以，所求的圆的方程为x 2＋y 2－2x －6y －15＝0.(限时：30分钟)1．圆x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0的圆心和半径分别为( )A ．(2，－3)；16B ．(－2,3)；4C ．(4，－6)；16D ．(2，－3)；4 解析：配方，得(x ＋2)2＋(y －3)2＝16，所以，圆心为(－2,3)，半径为4.答案：B2．方程x 2＋y 2＋4x －2y ＋5m ＝0表示圆的条件是( )A.14<m <1 B ．m >1C ．m <14D ．m <1解析：由42＋(－2)2－4×5m >0解得m <1.。

必修二圆的方程练习题一．选择题（共8小题）1．从圆x2﹣2x+y2﹣2y+1=0外一点P（3，2）向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（）A．B．C．D．02．已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣83．圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离的最小值是（）A．6 B．4 C．5 D．14．平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=05．过三点A（1，0），B（0，），C（2，）则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）A．B．C．D．6．以点（3，﹣1）为圆心且与直线3x+4y=0相切的圆的方程是（）A．（x﹣3）2+（y+1）2=1 B．（x+3）2+（y﹣1）2=1C．（x+3）2+（y﹣1）2=2 D．（x﹣3）2+（y+1）2=27．直线x+2y﹣5+=0被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为（）A．1 B．2 C．4 D．48．圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切 B．相交 C．外切 D．相离二．解答题（共8小题）9．如图所示，在Rt△ABC中，已知A（﹣2，0），直角顶点B（0，﹣2），点C在x轴上．（Ⅰ）求Rt△ABC外接圆的方程；（Ⅱ）求过点（﹣4，0）且与Rt△ABC外接圆相切的直线的方程．10．若圆过A（2，0），B（4，0），C（0，2）三点，求这个圆的方程．11．已知圆C的圆心在直线l：x﹣2y﹣1=0上，并且经过原点和A（2，1），求圆C的标准方程．12．一圆与y轴相切，圆心在直线x﹣3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为，求此圆的方程．13．设圆的方程为x2+y2﹣4x﹣5=0，（1）求该圆的圆心坐标及半径；（2）若此圆的一条弦AB的中点为P（3，1），求直线AB的方程．14．已知两点A（1，﹣1），B（﹣1，﹣3）．（Ⅰ）求过A、B两点的直线方程；（Ⅱ）求线段AB的垂直平分线l的直线方程；（Ⅲ）若圆C经过A、B两点且圆心在直线x﹣y+1=0上，求圆C的方程．15．已知过点A（﹣1，4）的圆的圆心为C（3，1）．（1）求圆C的方程；（2）若过点B（2，﹣1）的直线l被圆C截得的弦长为，求直线l的方程．16．已知圆C经过A（3，2）、B（4，3）两点，且圆心在直线y=2x上．（1）求圆C的方程；（2）若直线l经过点P（﹣1，3）且与圆C相切，求直线l的方程．必修二圆的方程练习题参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2016•陕西校级模拟）从圆x2﹣2x+y2﹣2y+1=0外一点P（3，2）向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（）A．B．C．D．0【解答】解：圆x2﹣2x+y2﹣2y+1=0的圆心为M（1，1），半径为1，从外一点P（3，2）向这个圆作两条切线，则点P到圆心M的距离等于，每条切线与PM的夹角的正切值等于，所以两切线夹角的正切值为，该角的余弦值等于，故选B．2．（2016•贵州校级模拟）已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8【解答】解：圆x2+y2+2x﹣2y+a=0 即（x+1）2+（y﹣1）2=2﹣a，故弦心距d==．再由弦长公式可得2﹣a=2+4，∴a=﹣4，故选：B．3．（2015•潮南区模拟）圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离的最小值是（）A．6 B．4 C．5 D．1【解答】解：圆的圆心坐标（0，0），到直线3x+4y﹣25=0的距离是，所以圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离的最小值是5﹣1=4故选B．4．（2015•广东）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0【解答】解：设所求直线方程为2x+y+b=0，则，所以=，所以b=±5，所以所求直线方程为：2x+y+5=0或2x+y﹣5=0故选：A．5．（2015•新课标II）过三点A（1，0），B（0，），C（2，）则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）A．B．C．D．【解答】解：因为△ABC外接圆的圆心在直线BC垂直平分线上，即直线x=1上，可设圆心P（1，p），由PA=PB得|p|=，得p=圆心坐标为P（1，），所以圆心到原点的距离|OP|===，故选：B6．（2015•茂名一模）以点（3，﹣1）为圆心且与直线3x+4y=0相切的圆的方程是（）A．（x﹣3）2+（y+1）2=1 B．（x+3）2+（y﹣1）2=1 C．（x+3）2+（y﹣1）2=2 D．（x﹣3）2+（y+1）2=2【解答】解：设圆的方程是（x﹣3）2+（y+1）2=r2∵直线3x+4y=0相与圆相切∴圆的半径r==1因此，所求圆的方程为（x﹣3）2+（y+1）2=1 故选：A．7．（2013•安徽）直线x+2y﹣5+=0被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为（）A．1 B．2 C．4 D．4【解答】解：由x2+y2﹣2x﹣4y=0，得（x﹣1）2+（y﹣2）2=5，所以圆的圆心坐标是C（1，2），半径r=．圆心C到直线x+2y﹣5+=0的距离为d=．所以直线直线x+2y﹣5+=0被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为故选C．8．（2012•山东）圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切 B．相交 C．外切 D．相离【解答】解：圆（x+2）2+y2=4的圆心C1（﹣2，0），半径r=2．圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的圆心C2（2，1），半径R=3，两圆的圆心距d==，R+r=5，R﹣r=1，R+r＞d＞R﹣r，所以两圆相交，故选B．二．解答题（共8小题）9．（2016春•吉林校级期末）如图所示，在Rt△ABC中，已知A（﹣2，0），直角顶点B（0，﹣2），点C在x轴上．（Ⅰ）求Rt△ABC外接圆的方程；（Ⅱ）求过点（﹣4，0）且与Rt△ABC外接圆相切的直线的方程．【解答】解：（Ⅰ）设点C（a，0），由BA⊥BC，可得K BA•K BC=•=﹣1，∴a=4，故所求的圆的圆心为AC的中点（1，0）、半径为AC=3，故要求Rt△ABC外接圆的方程为（x﹣1）2+y2=9．（Ⅱ）由题意可得，要求的直线的斜率一定存在，设要求直线的方程为y=k（x+4），即kx﹣y+4k=0，当直线和圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，故有d==3，求得k=±，故要求的直线的方程为3x﹣4y+12=0，或3x+4y+12=0．10．（2015秋•高安市校级期末）若圆过A（2，0），B（4，0），C（0，2）三点，求这个圆的方程．【解答】解：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则有②﹣①得：12+2D=0，∴D=﹣6代入①得：4﹣12+F=0，∴F=8代入③得：2E+8+4=0，∴E=﹣6∴D=﹣6，E=﹣6，F=8∴圆的方程是x2+y2﹣6x﹣6y+8=011．（2015秋•孝义市期末）已知圆C的圆心在直线l：x﹣2y﹣1=0上，并且经过原点和A （2，1），求圆C的标准方程．【解答】解：设圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，圆心（a，b），半径r．∵圆C的圆心在直线l：x﹣2y﹣1=0上，并且经过原点和A（2，1），∴解得．故圆C的标准方程为．12．（2013秋•南岗区校级期末）一圆与y轴相切，圆心在直线x﹣3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为，求此圆的方程．【解答】解：因圆与y轴相切，且圆心在直线x﹣3y=0上，故设圆方程为（x﹣3b）2+（y ﹣b）2=9b2．又因为直线y=x截圆得弦长为2，则有（）2+（）2=9b2，解得b=±1．故所求圆方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9．13．（2013春•天元区校级月考）设圆的方程为x2+y2﹣4x﹣5=0，（1）求该圆的圆心坐标及半径；（2）若此圆的一条弦AB的中点为P（3，1），求直线AB的方程．【解答】解：（1）将x2+y2﹣4x﹣5=0配方得：（x﹣2）2+y2=9∴圆心坐标为C（2.0），半经为r=3．…（6分）（2）设直线AB的斜率为k．由圆的知识可知：CP⊥AB，∴k CP•k=﹣1又K cp==1，∴k=﹣1．∴直线AB的方程为y﹣1=﹣1（x﹣3）即：x+y﹣4=014．（2013秋•昌平区期末）已知两点A（1，﹣1），B（﹣1，﹣3）．（Ⅰ）求过A、B两点的直线方程；（Ⅱ）求线段AB的垂直平分线l的直线方程；（Ⅲ）若圆C经过A、B两点且圆心在直线x﹣y+1=0上，求圆C的方程．【解答】解：（I）∵点A（1，﹣1），B（﹣1，﹣3），∴k AB==1，∴过A、B两点的直线方程为y+1=x﹣1，即x﹣y﹣2=0…（4分）（II）线段AB的中点坐标（0．﹣2），k AB=1，则所求直线的斜率为﹣1，故所求的直线方程是x+y+2=0…（8分）（III）设所求圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0由题意可知，解得D=3，E=1，F=﹣4所求的圆的方程是x2+y2+3x+y﹣4=0．…（14分）15．（2010秋•徐州期末）已知过点A（﹣1，4）的圆的圆心为C（3，1）．（1）求圆C的方程；（2）若过点B（2，﹣1）的直线l被圆C截得的弦长为，求直线l的方程．【解答】解：（1）圆C半径r即为AC，所以，所以圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=25．（2）圆心C到直线l的距离为，当直线l垂直于x轴时，方程为x=2，不满足条件，所以直线l的斜率存在，设直线l的方程为y+1=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k﹣1=0，由，解得，所以直线l的方程为x+2y=0．16．（2009•山东模拟）已知圆C经过A（3，2）、B（4，3）两点，且圆心在直线y=2x上．（1）求圆C的方程；（2）若直线l经过点P（﹣1，3）且与圆C相切，求直线l的方程．【解答】解：（1）设圆C的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，r＞0，，依题意得：，解得a=2，b=4，r=．所以，圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣4）2=5．（2）由于直线l经过点P（﹣1，3），当直线l的斜率不存在时，x=﹣1与圆C （x﹣2）2+（y﹣4）2=5 相离．当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y﹣3=k（x+1），即：kx﹣y+3=0．因为直线l与圆相切，且圆的圆心为（2，4），半径为，所以，有=．解得k=2 或k=﹣．所以，直线l的方程为y﹣3=2（x+1）或y﹣3=﹣（x+1），即：2x﹣y+5=0 或x+2y﹣5=0．。

圆的方程练习题圆是几何学中常见的一种形状，其方程是描述圆的数学表达式。

在解决与圆相关的问题时，掌握圆的方程是非常重要的。

本文将介绍一些关于圆的方程的练习题，帮助读者巩固对圆的方程的理解和运用。

练习题1：已知圆心坐标和半径，求圆的方程已知圆的圆心坐标为(x₁, y₁)，半径为r，要求推导出圆的方程。

解答：圆的方程可以表示为：(x - x₁)² + (y - y₁)² = r²练习题2：已知圆上一点坐标和圆心坐标，求圆的方程已知圆上一点的坐标为(x₂, y₂)，圆心坐标为(x₁, y₁)，要求推导出圆的方程。

解答：根据题意，圆上一点到圆心的距离等于半径：√[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²] = r进行平方运算得：(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² = r²练习题3：已知圆心和通过圆上两点的直径，求圆的方程已知圆的圆心坐标为(x₁, y₁)，通过圆上两点的直径坐标为[(x₂, y₂), (x₃, y₃)]，要求推导出圆的方程。

解答：通过圆上两点的直径可以求出圆心的坐标：圆心坐标(x₁, y₁) = [(x₂ + x₃) / 2, (y₂ + y₃) / 2]然后利用圆心和圆上一点坐标的求圆的方程公式：(x - x₁)² + (y - y₁)² = r²代入圆心坐标和圆上一点的坐标，可得：(x - [(x₂ + x₃) / 2])² + (y - [(y₂ + y₃) / 2])² = r²练习题4：已知圆在坐标轴上的截距，求圆的方程已知圆在x轴和y轴上的截距分别为a和b，要求推导出圆的方程。

解答：根据题意，圆在x轴和y轴上分别有两个点：(a, 0)和(0, b)。

圆心的坐标为(c, c)，其中c是圆心到x轴和y轴的距离，即c = (a + b) / 2。

第二章直线和圆的方程2.4圆的方程2.4.1圆的标准方程例1求圆心为(2,3)A -，半径为5的圆的标准方程，并判断点1(5,7)M -，2(2,1)M --是否在这个圆上．分析：根据点的坐标与圆的方程的关系，只要判断一个点的坐标是否满足圆的方程，就可以得到这个点是否在图上．解：圆心为(2,3)A -，半径为5的圆的标准方程是22(2)(3)25x y -++=把点1(5,7)M -的坐标代入方程22(2)(3)25x y -++=的左边，得22(52)(73)25-+-+=，左右两边相等，点1M 的坐标满足圆的方程，所以点1M 在这个圆上．把点2(2,1)M --的坐标代入方程22(2)(3)25x y -++=的左边，得22(22)(13)20--+-+=，左右两边不相等，点2M 的坐标不满足圆的方程，所以点2M 不在这个圆上（图2.4-2）．图2.4-2例2ABC 的三个顶点分别是(5,1)A ，(7,3)B -，(2,8)C -，求ABC 的外接圆的标准方程．分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆．显然已知的三个点不在同一条直线上．只要确定了a ，b ，r ，圆的标准方程就确定了．解：设所求的方程是222()()x a y b r -+-=．①因为(5,1)A ，(7,3)B -，(2,8)C -三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①．于是222222222(5)(1),(7)(3),(2)(8),a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪-+--=⎨⎪-+--=⎩即22222222210226,14658,41668,a b a b r a b a b r a b a b r ⎧+--+=⎪+-++=⎨⎪+-++=⎩观察上面的式子，我们发现，三式两两相减，可以消去2a ，2b ，2r ，得到关于a ，b 的二元一次方程组28,1.a b a b -=⎧⎨+=-⎩解此方程组，得2,3.a b =⎧⎨=-⎩代入222(5)(1)a b r -+-=，得225r =．所以，ABC 的外接圆的标准方程是22(2)(3)25x y -++=．例3已知圆心为C 的圆经过(1,1)A ，(2,2)B -两点，且圆心C 在直线:10l x y -+=，求此圆的标准方程．分析：设圆心C 的坐标为(,)a b ．由已知条件可知，||||CA CB =，且10a b -+=．由此可求出圆心坐标和半径．另外，因为线段AB 是圆的一条弦，根据平面几何知识，AB 的中点与圆心C 的连线垂直于AB ，由此可得到另一种解法．解法1：设圆心C 的坐标为(,)a b ．因为圆心C 在直线:10l x y -+=上，所以10a b -+=．①因为A ，B 是圆上两点，所以||||CA CB ==，即330a b --=②由①②可得3a =-，2b =-．所以圆心C 的坐标是(3,2)--．圆的半径||5r AC ===．所以，所求圆的标准方程是22(3)(2)25x y +++=．解法2：如图2.4-3，设线段AB 的中点为D ．由A ，B 两点的坐标为(1,1)，(22)-，可得点D 的坐标为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线AB 的斜率为21321AB k --==--．因此，线段AB 的垂直平分线l '的方程是113232y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即330x y --=．由垂径定理可知，圆心C 也在线段AB 的垂直平分线上，所以它的坐标是方程组330,10x y x y --=⎧⎨-+=⎩的解．解这个方程组，得3,2.x y =-⎧⎨=-⎩所以圆心C 的坐标是(3,2)--．圆的半径||5r AC ===．所以，所求圆的标准方程是22(3)(2)25x y +++=．图2.4-3练习1.写出下列圆的标准方程.（1）圆心为()3,4C -，半径是；（2）圆心为()8,3C -，且经过点()5,1M --．【答案】（1）（x +3）2+（y ﹣4）2＝5．（2）（x +8）2+（y ﹣3）2＝25．【解析】【分析】（1）根据圆心和半径，直接写出圆的标准方程．（2）先求出圆的半径，可得圆的标准方程．【详解】解：（1）∵圆心在C （﹣3，4）x +3）2+（y ﹣4）2＝5．（2）∵圆心在C （﹣8，3），且经过点M （﹣5，﹣1），故半径为MC ==5，故圆的标准方程为（x +8）2+（y ﹣3）2＝25．2.已知圆的标准方程是()()223216x y -++=，借助计算工具计算，判断下列各点在圆上、圆外，还是在圆内．（1）()14.30, 5.72M -；（2）()25.70,1.08M ；（3）()33,6M -．【答案】（1）1M 在圆内；（2）2M 在圆外；（3）3M 在圆上.【解析】【分析】分别将三个点代入方程，和等号右边比较即可判断.【详解】（1）22(4.303)(5.722)15.528416-+-+=< ，1M ∴在圆内；（2）22(5.703)(1.082)16.776416-++=> ，2M ∴在圆外；（3）22(33)(62)16-+-+= ，3M ∴在圆上.3.已知()14,9P ，()26,3P 两点，求以12PP 为直径的圆的方程，并判断点()6,9M ，()3,3N ，()5,3Q 与圆的位置关系．【答案】点M 在圆上，点N 在圆外，点Q 在圆内【解析】【分析】先求出圆心和半径，得到圆方程，再计算点到圆心的距离，与半径作比较得到答案.【详解】由线段的中点坐标公式，求得圆心()5,6C ．直径12PP ==．故所求圆的方程为()()225610x y -+-=．CM r == ，∴点M在圆上；CN r => ，∴点N 在圆外；3CQ r =< ，∴点Q 在圆内．综上：点M 在圆上，点N 在圆外，点Q 在圆内【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，属于基础题型.4.已知AOB 的三个顶点分别是点()4,0A ，()0,0O ，()0,3B ，求AOB 的外接圆的标准方程．【答案】()22325224x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭【解析】【分析】由题意可确定圆的直径为AB ，根据中点坐标公式求出圆心坐标，结合两点距离公式求出半径即可.【详解】由题意知，AB 为圆的直径，设圆心为()C a b ，，则AB 中点即为3(2)2C ，，所以半径为52OC =，故外接圆的标准方程为：22325(2)()24x y -+-=.2.4.2圆的一般方程例4求过三点(0,0)O ，1(1,1)M ，2(4,2)M 的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径．分析：将点O ，1M ，2M 的坐标分别代入圆的一般方程，可得一个三元一次方程组，解方程组即可求出圆的方程．解：设圆的方程是220x y Dx Ey F ++++=．①因为O ，1M ，2M 三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解．把它们的坐标依次代入方程①，得到关于D ，E ，F 的一个三元一次方程组0,20,42200.F D E F D E F =⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩解这个方程组，得8,6,0.D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩所以，所求圆的方程是22860x y x y +-+=．由前面的讨论可知，所求圆的圆心坐标是(4,3)-，半径5r ==．例5已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．分析：如图2.4-4，点A 运动引起点M 运动，而点A 在已知圆上运动，点A 的坐标满足方程22(1)4x y ++=．建立点M 与点A 坐标之间的关系，就可以利用点A 的坐标所满足的关系式得到点M 的坐标满足的关系式，求出点M的轨迹方程．图2.4-4解：设点M 的坐标是(),x y ，点A 的坐标是()00,x y ，由于点B 的坐标是(4,3)，且M 是线段AB 的中点，所以042x x +=，032y y +=．于是有024x x =-，023y y =-．①因为点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，所以点A 的坐标满足圆的方程，即()220014x y ++=．②把①代入②，得22(241)(23)4x y -++-=，整理，得2233122x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭这就是点M 的轨迹方程，它表示以33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，半径为1的圆．练习5.求下列各圆的圆心坐标和半径.（1）2260x y x +-=；（2）2220x y by ++=；（3）222230x y ax a +--+=．【答案】(1)圆心为(30)，，半径为3；(2)圆心为(0)b -，，半径为b ;(3)圆心为()a ，半径为a .【解析】【分析】结合配方法将圆的一般方程化为标准方程,再求出圆心和半径即可.【详解】(1)方程222260(3)9x y x x y +-=⇒-+=，所以圆心为(30)，，半径为3；(2方程2222220()x y by x y b b ++=⇒++=，所以圆心为(0)b -，，半径为b ；(3)方程222222230()()x y ax a x a y a +--+=⇒-+-=，所以圆心为()a ，半径为a ；6.判断下列方程分别表示什么图形，并说明理由.（1）220x y +=；（2）222460x y x y +-+-=；（3）22220x y ax b ++-=．【答案】答案见解析【解析】【分析】（1）由方程可得0,0x y ==；（2）化简可得()()221211x y -++=可判断；（3）化简可得()2222x a y a b ++=+，分0a b ==和0a ≠或0b ≠时讨论可得.【详解】（1） 220x y +=，0,0x y ∴==，故220x y +=表示点()0,0；（2）222460x y x y +-+-=可化为()()221211x y -++=，所以方程222460x y x y +-+-=表示以()1,2-为半径的圆；（3）22220x y ax b ++-=可化为()2222x a y a b ++=+，当0a b ==时，方程22220x y ax b ++-=表示点()0,0，当0a ≠或0b ≠时，方程22220x y ax b ++-=表示以(),0a -为半径的圆.7.如图，在四边形ABCD 中，6AB =，3CD =，且//AB CD ，AD BC =，AB 与CD 间的距离为3．求等腰梯形ABCD 的外接圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径．【答案】圆心坐标为30,8⎛⎫ ⎪⎝⎭,半径长为8.【解析】【分析】设所求圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=,将A,B,C 三点坐标代入求解即可.【详解】由题意可知A (-3,0),B (3,0),C 3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭设所求圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=,则9309309393042D F D F D E F ⎧⎪-+=⎪++=⎨⎪⎪++++=⎩.解得0349D E F =⎧⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩，故所求圆的方程为223904x y y +--=,其圆心坐标为30,8⎛⎫ ⎪⎝⎭,3658=.习题2.4复习巩固8.求下列各圆的圆心坐标和半径，并画出它们的图形.（1）22250x y x +--=；（2）222440x y x y ++--=；（3）2220x y ax ++=；（4）222220x y by b +--=．【答案】(1)圆心(10)，，半径r =，图见解析；(2)圆心(12)-，，半径3r =，图见解析；(3)圆心(0)a -，，半径r a =，图见解析；(4)圆心(0)b ，，半径r =，图见解析；【解析】【分析】结合配方法将圆的一般方程化为标准方程,再求出圆心和半径，进而画出图形即可.【详解】(1)方程2222250(1)6x y x x y +--=⇒-+=，所以圆心为(10)，，如图；(2方程22222440(1)(2)9x y x y x y ++--=⇒++-=，所以圆心为(12)-，，半径为3，如图；(3)方程2222220()x y ax x a y a ++=⇒++=，0a ≠所以圆心为(0)a -，，半径为a ；不妨设=2a ，如图；(4)方程222222220()3x y by b x y b b +--=⇒+-=，0b ≠所以圆心为(0)b ，；不妨设=1b ，如图；9.求下列各圆的方程，并面出图形.（1）圆心为点()8,3C -，且过点()5,1A ；（2）过()1,5A -，()5,5B ，()6,2C -三点．【答案】（1）22(8)(3)25x y -++=（图见解析）（2）2242200x y x y +---=（图见解析）【解析】【分析】（1）求出半径，利用圆的标准方程写出即可.（2）设出圆的一般方程，将三点代入解出即可.【详解】（1）由题意知半径5r ==,所以圆的方程为：22(8)(3)25x y -++=.（2）设圆的一般方程为：220x y Dx Ey F ++++=.将()1,5A -，()5,5B ，()6,2C -代入得：1+255042525550236462020D E F D D E F E D E F F -++==-⎧⎧⎪⎪++++=⇒=-⎨⎨⎪⎪++-+==-⎩⎩所以圆的方程为：2242200x y x y +---=.10.已知圆C 经过原点和点()2,1A ，并且圆心在直线:210l x y --=上，求圆C 的标准方程．【答案】22612951020x y ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】设圆C 的标准方程为()()222x a y b r -+-=，根据题意得到不等式组，解之即可求出结果.【详解】设圆C 的标准方程为()()222x a y b r -+-=，由题意可得()()()()2222220021210a b r a b r a b ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪--=⎪⎩，解得2651102920a b r ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，因此22612951020x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.11.圆C 的圆心在x 轴上，并且过()1,1A -和()1,3B 两点，求圆C 的方程．【答案】()22210x y -+=【解析】【分析】由题意，设圆心坐标和半径表示圆的标准方程，结合待定系数法即可.【详解】设圆C 的圆心坐标为()C a ，0，半径为r ，则圆C 的标准方程为：222()x a y r -+=，有{222222(1)1(1)3a r a r --+=-+=，解得2210a r ==，，所以圆C 的标准方程为：22(2)10x y -+=综合运用12.已知圆的一条直径的端点分别是A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．求证：此圆的方程是（x –x 1）（x –x 2）+（y –y 1）（y –y 2）=0．【答案】证明见解析【解析】【分析】由题意求得圆心和半径，可得圆的标准方程，化简即可．【详解】∵圆的一条直径的端点分别是A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∴圆心为C （122x x +，122y y +），半径为2AB =∴此圆的方程是2122x x x +⎛⎫- ⎪⎝⎭+()()22212121224x x y y y y y -+-+⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即x 2–（x 1+x 2）x +()2124x x ++y 2–（y 1+y 2）y +()()()22212121244y y x x y y +-+-=，即x 2–（x 1+x 2）x +x 1•x 2+y 2–（y 1+y 2）y +y 1•y 2=0，即（x –x 1）（x –x 2）+（y –y 1）（y –y 2）=0．【点睛】本题主要考查圆的标准方程的特征，属于基础题．13.平面直角坐标系中有()0,1A ，()2,1B ，()3,4C ，()1,2D -四点，这四点是否在同一个圆上？为什么？【答案】四点在同一个圆上（证明见解析）【解析】【分析】以、、A B C 三点，求出圆的方程，再将点D 代入即可得出答案.【详解】设过、、A B C 三点的圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=.将、、A B C 三点代入得：1+02412069163405E F D D E F E D E F F +==-⎧⎧⎪⎪++++=⇒=-⎨⎨⎪⎪++++==⎩⎩.所以圆的一般方程为222650x y x y +--+=.将点()1,2D -代入得：22(1)22(1)6250-+-⨯--⨯+=，满足方程.所以四点在同一个圆上.14.已知等腰三角形ABC 的一个顶点为()4,2A ，底边的一个端点为()3,5B ，求底边的另一个端点C 的轨迹方程，并说明它是什么图形．【答案】22(4)(2)10x y -+-=（去掉（3,5），（5,-1）两点）；表示是以()4,2为圆心，半径，且去掉（3,5），（5,-1）两点的圆【解析】【分析】根据等腰三角形和已知顶点A (4,2)，一个端点B (3,5)，利用腰相等且能构成三角形即可求端点C 的轨迹方程；【详解】由题意知：设另一个端点(,)C x y，腰长为r ==，∴C 的轨迹方程：22(4)(2)10x y -+-=，又由A 、B 、C 构成三角形，即三点不可共线，∴需要去掉重合点（3,5），反向共线点（5,-1），即表示是以()4,2为圆心，以半径，且去掉（3,5），（5,-1）两点的圆.15.长为2a 的线段AB 的两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，求线段AB 的中点的轨迹方程，并说明轨迹的形状．【答案】轨迹方程为：x 2+y 2＝a 2（a ＞0）．表示圆心在原点半径为a 的圆.【解析】【分析】设AB 的中点坐标为（x ，y ），当A 、B 均不与原点重合时，由直角三角形虚部的中线等于斜边的一半可得AB 中点轨迹，验证A 、B 有一点与原点重合时成立得答案．【详解】解：设线段AB 的中点P （x ，y ），若A 、B 不与原点重合时，则△AOB 是直角三角形，且∠O 为直角，则OP 12=AB ，而AB ＝2a ，∴OP ＝a ，即P 的轨迹是以原点为圆心，以a 为半径的圆，方程为x 2+y 2＝a 2（a ＞0）；若A 、B 有一个是原点，同样满足x 2+y 2＝a 2（a ＞0）．故线段AB 的中点的轨迹方程为：x 2+y 2＝a 2（a ＞0）．表示圆心在原点半径为a 的圆.拓广探索16.已知动点M 与两个定点()0,0O ，()3,0A 的距离的比为12，求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹的形状．【答案】22(1)4x y ++=，以(1,0)-为圆心2为半径的圆【解析】【分析】设出点M ,根据题意列出等式，化简即为答案.【详解】设点(,)M x y .则12MO MA==，化简得：2222230(1)4x y x x y ++-=⇒++=为以(1,0)-为圆心2为半径的圆.17.在半面直角坐标系中，如果点P 的坐标(),x y 满足cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩，其中θ为参数．证明：点P 的轨迹是圆心为(),a b ，半径为r 的圆．【答案】证明见解析.【解析】【分析】将参数方程化为普通方程可证得结果.【详解】由cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩可得cos sin x ary b r θθ-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，又因为22cos sin 1θθ+=，所以221x a y b r r --⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即222()()x a y b r -+-=，所以点P 的轨迹是圆心为(,)a b ，半径为r 的圆.。