山东省德州市平原一中2017-2018学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析

山东省德州市数学高二上学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共4题；共4分)1. （1分） (2018高二上·黑龙江月考) 将参加数学竞赛的1000名学生编号如下：0001，0002，0003，，1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的办法分成50个部分如果第一部分编号为0001，0002，，0020，从中随机抽取一个号码为0015，则第40个号码为________．2. （1分） (2018高二上·齐齐哈尔期中) 某射击运动员在五次射击中，分别打出了9，8，10，8，x环的成绩，且这组数据的平均数为9，则这组数据的方差是________．3. （1分）已知M（4，2）是直线l被椭圆x2+4y2=36所截得的线段AB的中点，则直线l的方程为________4. （1分）已知直线y= x与双曲线﹣ =1交于A、B两点，P为双曲线上不同于A、B的点，当直线PA、PB的斜率kPA ， kPB存在时，kPA•kPB=________．二、解答题 (共6题；共60分)5. （10分） (2016高一下·郑州期中) 某校从参加高三期中考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为100分），数学成绩分组及样本频率分布表如下：分组频数频率[40，50）20.04[50，60）30.06[60，70）140.28[70，80）15②[80，90）①0.24[90，100]40.08合计③④（1）请把给出的样本频率分布表中的空格都填上；（2）为了帮助成绩差的学生提高数学成绩，学校决定成立“二帮一”小组，即从成绩[90，100]中选两位同学，共同帮助[40，50）中的某一位同学，已知甲同学的成绩为42分，乙同学的成绩为95分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率．6. （10分） (2018高二上·凌源期末) 已知函数在区间上有1个零点；函数图象与轴交于不同的两点.若“ ”是假命题，“ ”是真命题，求实数的取值范围.7. （10分） (2018高一上·山西月考) 已知二次函数满足条件 .（1）求的解析式；（2）求在区间上的最值.8. （10分） (2017高二下·成都开学考) 从某校高三1200名学生中随机抽取40名，将他们一次数学模拟成绩绘制成频率分布直方图（如图）（满分为150分，成绩均为不低于80分整数），分为7段：[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]．（1）求图中的实数a的值，并估计该高三学生这次成绩在120分以上的人数；（2）在随机抽取的40名学生中，从成绩在[90，100）与[140，150]两个分数段内随机抽取两名学生，求这两名学生的成绩之差的绝对值标不大于10的概率．9. （10分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F与椭圆C的一个焦点重合，且抛物线的准线与椭圆C相交于点．（1）求抛物线的方程；（2）过点F是否存在直线l与椭圆C交于M，N两点，且以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在y轴上？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．10. （10分）(2016·淮南模拟) 设椭圆E的方程为 +y2=1（a＞1），O为坐标原点，直线l与椭圆E交于点A，B，M为线段AB的中点．（1）若A，B分别为E的左顶点和上顶点，且OM的斜率为﹣，求E的标准方程；（2）若a=2，且|OM|=1，求△AOB面积的最大值．参考答案一、填空题 (共4题；共4分)1-1、2-1、3-1、4-1、二、解答题 (共6题；共60分)5-1、5-2、6-1、7-1、7-2、8-1、8-2、9-1、9-2、10-1、10-2、。

2017-2018高二（上学期）期中考试数学（理科）试题考试说明：1.考试时间 120分钟 2.试题总分 150分一、选择题（12*5=60）1．空间三条直线互相平行,由每两条平行线确定一个平面,则可确定平面的个数为（ ） A ．3B ．1或2C ．1或3D ．2或32. 若空间三条直线a ，b ，c 满足a ⊥b ，b ∥c ，则直线a 与c ( ) A ．一定平行 B ．一定相交 C ．一定是异面直线D ．一定垂直3．若直线l 的倾斜角为120,则直线l 的斜率是（ ）A.33 B. 33- C. 3 D. 3- 4．过点A (2，3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( ) A ．x －2y ＋4＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y ＋3＝0D ．x －2y ＋5＝05.一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（ ）A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱6.如图，在四面体D －ABC 中，若AB ＝CB ，AD ＝CD ，E 是AC 的中点，则下列结论正确的是( ) A ．平面ABC ⊥平面ABD B ．平面ABD ⊥平面BDCC ．平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDED ．平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE 7.两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是( )A ．两条相交直线B ．两条平行直线C ．两个点D ．一条直线和直线外一点8．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，则直线l 2恒过定点( ) A ．(0，4)B ．(0，2)C ．(－2，4)D ．(4，－2)9.下列四个命题中，正确命题的个数是( )个① 若平面//α平面β，直线//m 平面α，则//m β； ② 若平面α⊥平面γ，且平面β⊥平面γ，则//αβ；③ 平面α⊥平面β，且l αβ= ，点A α∈，A l ∉，若直线AB l ⊥，则AB β⊥； ④ 直线m n 、为异面直线，且m ⊥平面α，n ⊥平面β，若m n ⊥，则αβ⊥. A.0 B.1 C.2 D. 310．如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则C 1在底面ABC 上的射影H 必在( )A ．直线AB 上 B ．直线BC 上C ．直线AC 上D ．△ABC 内部11．已知M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）|y －3x －2＝3，N ＝{(x ，y )|ax ＋2y ＋a ＝0}，且M ∩N ＝∅，则a ＝( ) A ．－6或－2 B ．－6 C ．2或－6D ．－212．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点，设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围（ ）A.1⎤⎥⎣⎦B.1,⎤⎥⎣⎦C.⎣⎦D.1,⎤⎥⎣⎦二、填空题（4*5=20）13．已知两点(2,0)A -，(0,4)B ，则线段AB 的垂直平分线方程是________. 14若直线1:260l ax y ++=和直线()()22:110l x a y a +-+-=平行，则a = 。

2017-2018学年 数学试题（理） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设命题p ：00x ∃>，00cos sin 1x x +>，则p ⌝为（ ） A ．0x ∀>，cos sin 1x x +> B ．00x ∃≤，00cos sin 1x x +≤ C ．0x ∀>，cos sin 1x x +≤D ．00x ∃>，00cos sin 1x x +≤2.命题“若24x <，则22x -<<”的逆否命题是（ ）A ．若24x ≥，则2x ≥或2x ≤- B ．若22x -<<，则24x <C ．若2x >或2x <-，则24x >D ．若2x ≥或2x ≤-，则24x ≥3.已知平面α与平面β相交于直线l ，1l 在平面α内，2l 在平面β内，若直线1l 和2l 是异面直线，则下列说法正确的是（ ） A ．l 与1l ，2l 都相交B ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交C ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交D ．l 与1l ，2l 都不想交4.若“p ：x a >”是“q ：1x >或3x <-”的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ） A ．1a ≥B ．1a ≤C ．3a ≥-D ．3a ≤-5.设命题p ：函数1y x=在定义域上是减函数；命题q ：x R ∀∈，都有210x x ++>，以下说法正确的是（ ） A ．p q ∨为真B ．p q ∧为真C ．p 真q 假D ．p ，q 均为假6.设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若//m n ，//m α，则//n α B ．若αβ⊥，//m α，则m β⊥ C ．若αβ⊥，m β⊥，则//m αD ．若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥7.如图，AB 为圆O 的直径，点C 在圆周上（异于点A ，B ），直线PA 垂直于圆O 所在的平面，点M ，N 分别为线段PB ，BC 的中点，有以下三个命题：①OC ⊥平面PAC ；②//MO 平面PAC ；③平面PAC //平面MON ． 其中正确的命题是（ ） A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③8.如图是某个三棱锥的三视图，其中主视图是等边三角形，左视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的体积是（ ）A B C D9.若圆锥的侧面展开图的圆心角为90︒，半径为r ，则该圆锥的全面积为（ ） A ．216r πB ．2316r πC ．24r πD ．2516r π10.如图所示，正方体的棱长为1，11B C BC O = ，则AO 与11AC 所成角的度数为（ ） A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒11.如图，设AB 为圆锥PO 的底面直径，PA 为母线，点C 在底面圆周上，若PA 2AB ==，AC BC =，则二面角P AC V --大小的正切值是（ ）A ．6B C ．7D 12.三棱锥P ABC -的四个顶点都在球D 的表面上，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，3PA =，2AB BC ==，则球O 的表面积为（ ）A ．13πB ．17πC ．52πD ．68π第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知(2,1,3)a =- ，(4,2,)b x =- ，(1,,2)c x =- ，若()a b c +⊥，则实数x 的值是 ． 14.若命题：“x R ∃∈,210kx kx --≥”是假命题，则实数k 的取值范围是 ． 15.已知△ABC 为等腰直角三角形，斜边BC 上的中线2AD =，将△ABC 沿AD 折成60︒的二面角，连结BC ，则三棱锥C ABD -的体积为 ． 16.如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线；③CN 与BM 成60︒角；④DM 与BN 是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知命题p ：关于x 的不等式1xa >，（0a >，1a ≠）的解集是{}|0x x <；命题q ：函数2lg()y x x a =-+的定义域为R ．若p q ∨为真，p q ∧为假，求实数a 的取值范围． 18.已知命题p ：关于x 的方程230x ax a -++=有实数根，命题q ：11m a m -≤≤+．（1）若p ⌝是真命题，求实数a 的取值范围；（2）若p 是q 的必要非充分条件，求实数m 的取值范围．19.如图，已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB ，PC 的中点．（1）求证：//EF 平面PAD ； （2）求证：EF CD ⊥；（3）若45PDA ∠=︒，求EF 与平面ABCD 所成的角的大小．20.三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，△ABC 是边长为4的等边三角形，D 为AB 边中点，且12CC AB =．（1）求证：平面1C CD ⊥平面1ADC ； （2）求证：1//AC 平面1CDB ； （3）求三棱锥1D CAB -的体积．21.如图，在单位正方体1111ABCD A BC D -中，O 是11B D 的中点． （1）求证：1//B C 平面1ODC ；（2）求异面直线1B C 与OD 夹角的余弦值； （3）求直线1B C 到平面1ODC 的距离．22.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，BC PB ⊥，△BCD 为等边三角形，PA BD ==，AB AD =，E 为PC 的中点．（1）求证：BC AB ⊥； （2）求AB 的长；（3）求平面BDE 与平面ABP 所成二面角的正弦值．高二年级2016—2017学年第一学期期中考试数学试题（理）答案 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CDBAADCBDABB二、填空题13.4- 14.(4,0]-15.316.③④ 三、解答题17.解：当p 为真，∴01a <<；当Q 为真，∴20x x a -+>对x R ∀∈恒成立， ∴140a ∆=-<，即14a >． P 真Q 假时，01,1,4a a <<⎧⎪⎨≤⎪⎩解得104a <<； P 假Q 真时，01,1,4a a a ≤≥⎧⎪⎨>⎪⎩或解得1a ≥．（2）∵p 是q 的必要非充分条件，则[]1,1m m -+是(,2][6,)-∞+∞ 的真子集， 即12m +≤-或16m -≥，解得3m ≤-或7m ≥， ∴实数m 的取值范围是(,3][7,)-∞-+∞ ．19.证明：（1）取PD 中点Q ，连结AQ 、QF ，则//AE QF ， ∴四边形AEFQ 为平行四边形， ∴//EF AQ ，又∵AQ ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，∴//EF 平面PAD ．（2）∵CD AD ⊥，CD PA ⊥，PA AD A = ，PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， ∴CD ⊥平面PAD ， 又∵AQ ⊂平面PAD ， ∴CD AQ ⊥， ∵//EF AQ ， ∴CD EF ⊥．（3）解：∵45PAD ∠=︒， ∴△PAD 为等腰直角三角形， ∴AQ PD ⊥， ∴45QAD ∠=︒，即AQ 与平面ABCD 所成角为45︒， 又∵//AQ EF ，∴EF 与平面ABCD 所成角为45︒．20.（1）证明：∵1CC ⊥平面ABC ，又AB ⊂平面ABC ，∴1CC AB ⊥， ∵△ABC 是等边三角形，CD 为边AB 上的中线，∴CD AB ⊥， ∵1CD CC C = ，∴AB ⊥平面1C CD ，∵AB ⊂平面1ADC ，∴平面1C CD ⊥平面1ADC ．（2）证明：连结1BC ，交1B C 于点O ，连结DO ，则O 是1BC 的中点，DO 是△1BAC 的中位线，∴1//DO AC ，∵DO ⊂平面1CDB ，1AC ⊄平面1CDB ， ∴1//AC 平面1CDB ．（3）∵1CC ⊥平面ABC ，11//BB CC ，∴1BB ⊥平面ABC ， ∴1BB 为三棱锥1D CBB -的高．11211114833243D CAB B CBD SCD V V S BB --∆==⋅=⨯⨯=，∴三棱锥1D CAB -的体积为3．21.（1）证明：连结1A D ，则11//B C A D ， 而1A D ⊆平面1ODC ，1B C ⊄平面1ODC ， ∴1//B C 平面1ODC ．（2）解：由（1）知异面直线1B C 与OD 的夹角为1A DO ∠或其补角， 而1111A D AC DC ==，且O 为11AC 的中点，故130A DO ∠=︒，所以两异面直线1B C 与OD 的夹角θ的余弦值为cos θ=． （3）解：由（1）知平面1ODC 的一个法向量为(1,1,1)n =- ，又(0,1,0)DC =，∴1B C 到平面1ODC 的距离||||DC n d n ⋅==．22.（1）证明：连结AC ，∵PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PA BC ⊥， 又∵BC PB ⊥，PA PB P = ，∴BC ⊥平面PAB ， ∵AB ⊂平面PAB ，∴AB BC ⊥． （2）由（1）知AB BC ⊥，∵BCD ∆为等边三角形，∴30ABD ∠=︒， 又已知AB AD =，BD ，可得1AB =．（3）分别以BC ，BA 所在直线为x ，y 轴，过B 且平行PA 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，P，C，1(,222E，3(,0)22D ． 由题意可知平面PAB 的法向量(1,0,0)m =， 设平面BDE 的法向量为(,,)n x y z =， 则0,0,BE n BD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即10,230,2x y z x y ++=+=则(3,2)n =- ，3cos ,4m n <>== ，所以平面BDE 与平面ABP所成二面角的正弦值为4．。

山东省德州市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）(2018·中原模拟) 如图为2017年3-11月某市接待游客人数及与上年同期相比增速图，根据该图，给出下列结论：①2017年11月该市共接待旅客35万人次，同比下降了3.1%；②整体看来，该市2017年3-11月接待游客数量与上年同期相比都处于下降状态；③2017年10月该市接待游客人数与9月相比的增幅小于2017年5月接待游客人数与4月相比的增幅.其中正确结论的个数为（）A . 0B . 1C . 2D . 32. （2分）某人在打靶中，连续射击次，至多有一次中靶的对立事件是（）A . 至少有一次中靶B . 两次都中靶C . 两次都不中靶D . 恰有一次中靶3. （2分）下面的程序执行后，变量a ， b的值分别为（）A . 20，15B . 35，35C . 5，5D . －5，－54. （2分） (2020高一下·高安期中) 若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m，n，则点P(m，n)在直线x ＋y＝4上的概率是（）A .B .C .D .5. （2分）从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点，则点取自阴影部分的概率为（）A .B .C .D .6. （2分）某县教育局为了解本县今年参加一次大联考的学生的成绩，从5000名参加今年大联考的学生中抽取了250名学生的成绩进行统计，在这个问题中，下列表述正确的是（）A . 5000名学生是总体B . 250名学生是总体的一个样本C . 样本容量是250D . 每一名学生是个体7. （2分）某高校有甲、乙、丙三个数学建模兴趣班，甲、乙两班各有45人，丙班有60人，为了解该校数学建模成果，采用分层抽样从中抽取一个容量为10的样本，则在乙班抽取的人数为（（）A . 2B . 3C . 4D . 58. （2分） (2018高二上·宾县期中) 用秦九韶算法计算多项式在时的值时，的值为（）A .B . 220C .D . 349. （2分）某班有34位同学，座位号记为01，02，…34，用如图的随机数表选取5组数作为参加青年志愿者活动的五位同学的座号．选取方法是从随机数表第一行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个志愿者的座号是（）A . 23B . 09C . 02D . 1610. （2分）(2019·四川模拟) 节能降耗是企业的生存之本，树立一种“点点滴滴降成本，分分秒秒增效益”的节能意识，以最好的管理，来实现节能效益的最大化为此某国企进行节能降耗技术改造，下面是该国企节能降耗技术改造后连续五年的生产利润：年号12345年生产利润1单位：千万元预测第8年该国企的生产利润约为千万元参考公式及数据：；，，A .B .C .D .11. （2分） (2016高一下·正阳期中) 如果数据x1 ， x2 ，…，xn的平均数是，方差是S2 ，则2x1+3，2x2+3，…，2xn+3的平均数和方差分别是（）A . 和SB . 2 +3和4S2C . 和S2D . 和4S2+12S+912. （2分）(2018·肇庆模拟) 如图是一算法的程序框图，若输出结果为S＝720，则在判断框中应填入的条件是（）A . k≤6B . k≤7C . k≤8D . k≤9二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二上·孝感期中) 306，522，738的最大公约数为________．14. （1分） (2016高一下·衡阳期中) 将51转化为二进制数得________．15. （1分） (2016高二上·河北期中) 书架上有4本不同的语文书，2本不同的数学书，从中任意取出2本，能取出数学书的概率为________．16. （1分）已知下列框图，若a=5，则输出b=________．三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分）(2018·南宁模拟) 在某单位的食堂中，食堂每天以10元/斤的价格购进米粉，然后以4.4元/碗的价格出售，每碗内含米粉0.2斤，如果当天卖不完，剩下的米粉以2元/斤的价格卖给养猪场.根据以往统计资料，得到食堂某天米粉需求量的频率分布直方图如图所示，若食堂购进了80斤米粉，以（斤）（其中）表示米粉的需求量，（元）表示利润.（1）计算当天米粉需求量的平均数，并直接写出需求量的众数和中位数；（2）估计该天食堂利润不少于760元的概率.18. （15分） (2016高二下·惠阳期中) 有甲乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如表的列联表．优秀非优秀总计甲班10乙班30合计100已知在全部100人中抽到随机抽取1人为优秀的概率为（1）请完成如表的列联表；（2）根据列联表的数据，有多大的把握认为“成绩与班级有关系“？（3）按分层抽样的方法，从优秀学生中抽出6名学生组成一个样本，再从样本中抽出2名学生，记甲班被抽到的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．参考公式和数据：K2= ，其中n=a+b+c+d下面的临界值表供参考：p（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82819. （5分）为了了解某年段1000名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15）；…；第五组[17，18]．按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3：8：19，且第二组的频数为8．（Ⅰ）将频率当作概率，请估计该年段学生中百米成绩在[16，17）内的人数；（Ⅱ）求调查中随机抽取了多少个学生的百米成绩；（Ⅲ）若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1秒的概率．20. （15分）某种产品的质量以其质量指标衡量，并依据质量指标值划分等级如表：质量指标值m m＜185185≤m＜205M≥205等级三等品二等品一等品从某企业生产的这种产品中抽取200件，检测后得到如下的频率分布直方图：（1）根据以上抽样调查的数据，能否认为该企业生产这种产品符合“一、二等品至少要占到全部产品的92%的规定”？（2）在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率；（3）该企业为提高产品的质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值X近似满足X～N（218，140），则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？21. （10分） (2019高一下·佛山月考) 有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮饮料销售的影响.经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的散点图和对比表摄氏温度—5471015233036热饮杯数16212811513589716337（参考公式），（参考数据），，， .样本中心点为 .（1）从散点图可以发现，各点散布在从左上角到右下角的区域里.因此，气温与当天热饮销售杯数之间成负相关，即气温越高，当天卖出去的热饮杯数越少.统计中常用相关系数来衡量两个变量之间线性关系的强弱.统计学认为，对于变量、，如果，那么负相关很强；如果，那么正相关很强；如果，那么相关性一般；如果，那么相关性较弱.请根据已知数据，判断气温与当天热饮销售杯数相关性的强弱.（2）（i）请根据已知数据求出气温与当天热饮销售杯数的线性回归方程；（ii）记为不超过的最大整数，如， .对于（1）中求出的线性回归方程，将视为气温与当天热饮销售杯数的函数关系.已知气温与当天热饮每杯的销售利润的关系是（单位：元），请问当气温为多少时，当天的热饮销售利润总额最大？22. （10分） (2016高一下·珠海期末) 在区间[﹣1，1]上任取两个数a，b，在下列条件时，分别求不等式x2+2ax+b2≥0恒成立时的概率：（1）当a，b均为整数时；（2）当a，b均为实数时．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、。

2017-2018学年山东省德州一中高二（上）模块数学试卷（理科）（大纲版）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中一定成立的是（）A．ab＞ac B．c（b﹣a）＜0 C．cb2＜ab2D．ac（a﹣c）＞02．x2﹣3x﹣10＞0的解集为（）A．（﹣∞，2）∪（5，+∞）B．（﹣2，5）C．（﹣∞，﹣2）∪（5+∞）D．（﹣5，2）3．在△ABC中，已知a2=b2+c2+bc，则角A为（）A．B．C．D．或4．在a和b两个数之间插入n个数，使它们与a、b组成等差数列，则该数列的公差为（）A．B．C．D．5．等比数列{a n}的各项均为正数，且a1=3，S3=21，则a3+a4+a5=（）A．33 B．72 C．189 D．846．若△ABC的周长等于20，面积是10，A=60°，则BC边的长是（）A．5 B．6 C．7 D．87．等差数列{a n}的前n项和记为S n，若a2+a4+a15的值是一个确定的常数，则数列{S n}中也为常数的项是（）A．S7B．S8C．S13D．S158．在R上定义运算⊗：x⊗y=x（1﹣y），若不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意实数x都成立，则（）A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜2 C．﹣D．﹣9．{a n}是等比数列，且a2=4，a6=16，则a4=（）A．8 B．﹣8 C．8或﹣8 D．1010．数列1，，，…，的前n项和为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共20分．把答案直接填在题中横线上）11．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则的值是．12．在△ABC中，若C=30°，AC=3，AB=3，则△ABC的面积为．13．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=5x+y的最大值为．14．若x+3y﹣2=0，则2x+8y的最小值为．15．不等式ax2+bx+c＜0的解集为（﹣∞，m）∪（n，+∞），其中m＜0＜n，则不等式cx2+bx+a ＞0的解集是．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过n程或演算步骤）16．在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若sinB+sinC=1，试判断△ABC的形状．17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=1，S11=33．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设．求证：{b n}是等比数列，并求其前n项和T n．18．（1）已知x＜，求函数y=4x﹣2+的最大值；（2）已知x＞0，y＞0且+=1，求x+y的最小值．19．本公司计划2009年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？20．已知函数f（x）=ax2+x﹣a，a∈R．（1）若函数f（x）有最大值，求实数a的值；（2）解不等式f（x）＞1（a≥0）．21．若公比为c的等比数列{a n}的首项a1=1且满足（n≥3）．（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）求数列{na n}的前n项和S n．2014-2015学年山东省德州一中高二（上）模块数学试卷（理科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中一定成立的是（）A．ab＞ac B．c（b﹣a）＜0 C．cb2＜ab2D．ac（a﹣c）＞0考点：不等关系与不等式．专题：阅读型．分析：先研究a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0结构，再由不等式的运算性质结合题设中的条件对四个选项逐一验证得出正确选项即可解答：解：∵a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，∴c＜0＜a由此知A选项ab＞ac正确，由于c（b﹣a）＞0知B选项不正确，由于b2可能为0，故C选项不正确，由于ac＜0，a﹣c＞0，故ac（a﹣c）＜0，所以D不正确故选A点评：本题考查不等式与不等关系，主要考查了不等式的性质及运算，解决本题的关键就是熟练掌握不等式的性质与运算，对基本概念及运算的灵活运用是快捷解题的保证．2．x2﹣3x﹣10＞0的解集为（）A．（﹣∞，2）∪（5，+∞）B．（﹣2，5）C．（﹣∞，﹣2）∪（5+∞）D．（﹣5，2）考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：直接利用二次不等式求解即可．解答：解：x2﹣3x﹣10＞0化为：（x﹣5）（x+2）＞0，可得x＜﹣2或x＞5．x2﹣3x﹣10＞0的解集为：（﹣∞，﹣2）∪（5，+∞）．故选：C．点评：本题考查二次不等式的解法，基本知识的考查．3．在△ABC中，已知a2=b2+c2+bc，则角A为（）A．B．C．D．或考点：余弦定理．专题：计算题．分析：根据余弦定理表示出cosA，然后把已知的等式代入即可求出cosA的值，由A的范围，根据特殊角的三角函数值即可得到A的度数．解答：解：由a2=b2+c2+bc，则根据余弦定理得：cosA===﹣，因为A∈（0，π），所以A=．故选C点评：此题考查学生灵活运用余弦定理及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．4．在a和b两个数之间插入n个数，使它们与a、b组成等差数列，则该数列的公差为（）A．B．C．D．考点：等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：在a和b两个数之间插入n个数，使它们与a、b组成等差数列，说明这组等差数列中共有n+2个数，设出公差，运用等差数列通项公式求公差．解答：解：设a1=a，则a n+2=b，再设其公差为d，则a n+2=a1+（n+2﹣1）d即b=a+（n+1）d，所以，．故选B．点评：本题考查了等差数列的通项公式，解答此题的关键是明确总项数，属基础题．5．等比数列{a n}的各项均为正数，且a1=3，S3=21，则a3+a4+a5=（）A．33 B．72 C．189 D．84考点：等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知得，由各项为正数得q=2，由此能求出a3+a4+a5的值．解答：解：∵等比数列{a n}的各项均为正数，且a1=3，S3=21，∴，整理，得q2+q﹣6=0，解得q=2或q=﹣3（舍），∴a3+a4+a5=3×22+3×23+3×24=84．故选：D．点评：本题考查等比数列中三项和的求法，是基础题，解题时要注意等比数列的性质的合理运用．6．若△ABC的周长等于20，面积是10，A=60°，则BC边的长是（）A．5 B．6 C．7 D．8考点：余弦定理．专题：计算题．分析：先设A、B、C所对的边分别为a、b、c，然后利用面积公式S=bcsinA得到bc的值，因为周长为a+b+c=20，再根据余弦定理列出关于a的方程，求出a的值即为BC的值．解答：解：依题意及面积公式S=bcsinA，得10=bcsin60°，得bc=40．又周长为20，故a+b+c=20，b+c=20﹣a，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣2bccos60°=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc，故a2=（20﹣a）2﹣120，解得a=7．故选C点评：考查学生利用余弦定理解决数学问题的能力，以及会用三角形的面积公式，掌握整体代换的数学思想．7．等差数列{a n}的前n项和记为S n，若a2+a4+a15的值是一个确定的常数，则数列{S n}中也为常数的项是（）A．S7B．S8C．S13D．S15考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：设出a2+a4+a15的值，利用等差数列的通项公式求得a7，进而利用等差中相当性质可知a1+a13=2a7代入前13项的和的公式中求得S13=p，进而推断出S13为常数．解答：解：设a2+a4+a15=p（常数），∴3a1+18d=p，即a7=p．∴S13==13a7=p．故选C．点评：本题主要考查了等差数列的性质．涉及等差数列的通项公式，等差中项的性质，等差数列的求和公式．8．在R上定义运算⊗：x⊗y=x（1﹣y），若不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意实数x都成立，则（）A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜2 C．﹣D．﹣考点：等差数列的性质．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：根据新定义化简不等式，得到a2﹣a﹣1＜x2﹣x因为不等式恒成立，即要a2﹣a﹣1小于x2﹣x的最小值，先求出x2﹣x的最小值，列出关于a的一元二次不等式，求出解集即可得到a的范围．解答：解：由已知：（x﹣a）⊗（x+a）＜1，∴（x﹣a）（1﹣x﹣a）＜1，即a2﹣a﹣1＜x2﹣x．令t=x2﹣x，只要a2﹣a﹣1＜t min．t=x2﹣x=，当x∈R，t≥﹣．∴a2﹣a﹣1＜﹣，即4a2﹣4a﹣3＜0，解得：﹣．故选：C．点评：考查学生理解新定义并会根据新定义化简求值，会求一元二次不等式的解集，掌握不等式恒成立时所取的条件．9．{a n}是等比数列，且a2=4，a6=16，则a4=（）A．8 B．﹣8 C．8或﹣8 D．10考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：设数列{a n}的公比为q，可得q2=2，而a4=a2•q2，计算可得．解答：解：设数列{a n}的公比为q，则可得a6=a2•q4，解得q4=4，故q2=2，可得a4=a2•q2=4×2=8故选A点评：本题考查等比数列的通项公式，得出q2=2是解决问题的关键，属基础题．10．数列1，，，…，的前n项和为（）A．B．C．D．考点：数列的求和．专题：计算题．分析：利用的等差数列的前n项和公式将已知数列的通项化简，利用裂项求和的方法求出数列的前n项和．解答：解：∵所以数列的前n项和为==故选B点评：求数列的前n项和的问题，一般先求出数列的通项，利用通项的特点，选择合适的求和方法．二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共20分．把答案直接填在题中横线上）11．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1， a3，a9成等比数列，则的值是．考点：等差数列的性质．专题：压轴题．分析：由a1，a3，a9成等比数列求得a1与d的关系，再代入即可．解答：解：∵a1，a3，a9成等比数列，∴（a1+2d）2=a1•（a1+8d），∴a1=d，∴=，故答案是：．点评：本题主要考查等差数列的通项公式及等比数列的性质．12．在△ABC中，若C=30°，AC=3，AB=3，则△ABC的面积为或．．考点：正弦定理；三角形的面积公式．专题：计算题；解三角形．分析：由正弦定理可得sinB=，故可得B=60°或120°，由三角形面积公式分情况讨论即可得解．解答：解：∵由正弦定理可得：sinB===，∴B=60°或120°，1．B=60°，那么A=90°，△ABC的面积=×3×3=．2．B=120°，A=180°﹣120°﹣30°=30°．△ABC的面积=AC•AB sinA=×3×3×sin30°=．故答案为：或．点评：本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式的应用，属于基本知识的考查．13．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=5x+y的最大值为 5 ．考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；数形结合．分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=5x+y过点A （1，0）时，z最大值即可．解答：解：根据约束条件画出可行域直线z=5x+y过点A（1，0）时，z最大值5，即目标函数z=5x+y的最大值为5，故答案为5．点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．14．若x+3y﹣2=0，则2x+8y的最小值为 4 ．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式的性质、指数运算性质即可得出．解答：解：∵x+3y﹣2=0，即x+3y=2则2x+8y≥2=2==4，当且仅当x=3y=1时取等号．∴2x+8y的最小值为4．故答案为：4．点评：本题考查了基本不等式的性质、指数运算性质，属于基础题．15．不等式ax2+bx+c＜0的解集为（﹣∞，m）∪（n，+∞），其中m＜0＜n，则不等式cx2+bx+a＞0的解集是．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：不等式ax2+bx+c＜0的解集为（﹣∞，m）∪（n，+∞），其中m＜0＜n，可得a＜0，m，n是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根，又根与系数的关系可得：m+n=﹣，mn=．不等式cx2+bx+a＞0化为0，可得mnx2﹣（m+n）x+1＜0，解出即可．解答：解：∵不等式ax2+bx+c＜0的解集为（﹣∞，m）∪（n，+∞），其中m＜0＜n，∴a＜0，m，n是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根，∴m+n=﹣，mn=．不等式cx2+bx+a＞0化为0，∴mnx2﹣（m+n）x+1＜0，（mx﹣1）（nx﹣1）＜0，化为0，解得或x．∴不等式cx2+bx+a＞0的解集是．故答案为：．点评：本题考查了一元二次不等式解集与根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过n程或演算步骤）16．在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若sinB+sinC=1，试判断△ABC的形状．考点：解三角形；三角函数的化简求值．专题：计算题．分析：（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转化成边，求得a，b和c关系式，代入余弦定理中求得cosA的值，进而求得A．（Ⅱ）把（Ⅰ）中a，b和c关系式利用正弦定理转化成角的正弦，与sinB+sinC=1联立求得sinB和sinC的值，进而根据C，B的范围推断出B=C，可知△ABC是等腰的钝角三角形．解答：解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得2a2=（2b+c）b+（2c+b）c即a2=b2+c2+bc由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA故（Ⅱ）由（Ⅰ）得sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC．变形得=（sinB+sinC）2﹣sinBsinC又sinB+sinC=1，得sinBsinC=上述两式联立得因为0°＜B＜60°，0°＜C＜60°，故B=C=30°所以△ABC是等腰的钝角三角形．点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．在解三角形问题中一般借助正弦定理和余弦定理边化角，角化边达到解题的目的．17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=1，S11=33．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设．求证：{b n}是等比数列，并求其前n项和T n．考点：等比数列的前n项和；等差数列的前n项和；等比关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用等差数列的通项公式和前n项和公式即可得出；（2）利用等比数列的定义、通项公式和前n项和公式即可得出．解答：解：（1）设等差数列{a n}的公差为d．∵，∴解得，∴．（2）∵，∴，∴{b n}是首项，公比为的等比数列，故前n项和．点评：本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式、等比数列的定义、通项公式和前n项和公式，属于中档题．18．（1）已知x＜，求函数y=4x﹣2+的最大值；（2）已知x＞0，y＞0且+=1，求x+y的最小值．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）变形利用基本不等式的性质即可得出；（2）利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．解答：解：（1）∵x＜，∴4x﹣5＜0．∴y=4x﹣5++3=﹣[（5﹣4x）+]+3≤﹣2+3=1，当且仅当x=1时取等号．∴y max=1．（2）∵x＞0，y＞0且+=1，∴x+y=（x+y）=10+≥10+2=16，当且仅当y=3x=12时取等号．∴x+y的最小值为16．点评：本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，属于中档题．19．本公司计划2009年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？考点：简单线性规划的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，列出约束条件以及目标函数，画出可行域，利用线性规划求解即可．解答：解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得目标函数为z=3000x+2000y．二元一次不等式组等价于作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．如图：作直线l：3000x+2000y=0，即3x+2y=0．平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值．联立解得x=100，y=200．∴点M的坐标为（100，200）．∴z max=3000x+2000y=700000（元）答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．点评：本题考查线性规划的应用，正确列出约束条件，画出可行域，求出最优解是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力．20．已知函数f（x）=ax2+x﹣a，a∈R．（1）若函数f（x）有最大值，求实数a的值；（2）解不等式f（x）＞1（a≥0）．考点：二次函数的性质．专题：计算题．分析：（1）函数f（x）有最大值，则，解之，即可求实数a的值；（2）f（x）=ax2+x﹣a＞1，即ax2+x﹣（a+1）＞0，即（x﹣1）（ax+a+1）＞0，再分类讨论，确定不等式的解集．解答：解：（1）∵函数f（x）有最大值，所以a≥0，不满足题意；∴，∴8a2+17a+2=0，∴a=﹣2或a=﹣．（2）f（x）=ax2+x﹣a＞1，即ax2+x﹣（a+1）＞0，即（x﹣1）（ax+a+1）＞0a=0时，解集为（1，+∞）a＞0时，解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．点评：本题考查函数的最值，考查解不等式，解题的关键是确定方程两根的大小关系．21．若公比为c的等比数列{a n}的首项a1=1且满足（n≥3）．（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）求数列{na n}的前n项和S n．考点：数列的求和；等比数列．专题：综合题．分析：（Ⅰ）由题设，当n≥3时，a n=c2a n﹣2，代即可求得c．（Ⅱ）由（Ⅰ），分c=1和时两种情况讨论c=1时，数列{a n}是等比数列．最后根据错位相减法求和．解答：解：（Ⅰ）由题设，当n≥3时，a n=c2a n﹣2，a n﹣1=ca n﹣2，，由题设条件可得a n﹣2≠0，因此，即2c2﹣c﹣1=0解得c=1或（Ⅱ）由（Ⅰ），需要分两种情况讨论，当c=1时，数列{a n}是一个常数列，即a n=1（n∈N*）这时，数列{na n}的前n项和当时，数列{a n}是一个公比为的等比数列，即（n∈N*）这时，数列{na n}的前n项和①1式两边同乘2，得②①式减去②式，得所以（n∈N*）点评：本题主要考查了数列的求和问题．考查了用错位相减法求数列的和．。

2017-2018学年山东省德州市平原一中高二（上）第一次月考数学试卷一、选择题（每小题5分，共50分）1．等差数列{a n}中，S n是{a n}前n项和，已知S6=2，S9=5，则S15=（）A．15 B．30 C．45 D．602．在△ABC中，已知∠B=45°，c=2，b=，则∠A的值是（）A．15° B．75° C．105°D．75°或15°3．公差不为0的等差数列{a n}的第2，3，7项恰为等比数列{b n}的连续三项，则{b n}的公比为（）A．1 B．2 C．3 D．44．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积是（）A．B．C．D．35．已知等比数列{a n}中有a3a11=4a7，数列{b n}是等差数列，且a7=b7，则b5+b9=（）A．2 B．4 C．8 D．166．△ABC的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的半径为（）A．B．C．D．97．数列{a n}的首项为3，{b n}为等差数列且b n=a n+1﹣a n（n∈N*），若b3=﹣2，b10=12，则a8=（）A．0 B．3 C．8 D．118．设△ABC的三内角A、B、C成等差数列，三边 a，b，c成等比数列，则这个三角形的形状是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形9．如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使在C塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC=45°，则塔高AB的高度为（）A．10 B．10C．10D．1010．定义：称为n个正数p1，p2，…，p n的“均倒数”，若数列{a n}的前n项的“均倒数”为，则数列{a n}的通项公式为（）A．2n﹣1 B．4n﹣3 C．4n﹣1 D．4n﹣5二、填空题（本大题有5小题，每题5分，共25分）11．已知1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则= ．12．在△ABC中，已知2a2=c2+（b+c）2，则∠A= ．13．等差数列{a n}中，若3a1=5a2，且a1＞0，S n为前n项和，当S n取得最大值时，n= ．14．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升．15．下面是一道选择题的两种解法，两种解法看似都对，可结果并不一致，问题出在哪儿？[题]在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若△ABC有两解，则x的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（0，2）C. D.[解法1]△ABC有两解，asinB＜b＜a，xsin45°＜2＜x，即，故选C．[解法2]，．△ABC有两解，bsinA＜a＜b，，即0＜x＜2，故选B．你认为是正确的（填“解法1”或“解法2”）三、解答题（6个题，共计50分）16．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=1，S11=33．（1）求{a n}的通项公式；（2）设，求证：{b n}是等比数列．17．在△ABC中，已知a=，A=60°，b﹣c=﹣1，求b，c和B，C．18．已知数列{2n a n}的前n项和S n=9﹣6n（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{T n}的前n项和T n．19．在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c．已知sinA+sinC=psinB（p∈R）．且ac=b2．（Ⅰ）当p=，b=1时，求a，c的值；（Ⅱ）若角B为锐角，求p的取值范围．20．某海轮以30n mile/h的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°方向，向北航行40min后到达B点，测得油井P在南偏东30°方向，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80min到达C点，求P、C间的距离．21．在公差为d的等差数列{a n}中，已知a1=10，且2a1，2a2+2，5a3﹣1成等比数列．（1）求d，a n；（2）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|2014-2015学年山东省德州市平原一中高二（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1．等差数列{a n}中，S n是{a n}前n项和，已知S6=2，S9=5，则S15=（）A．15 B．30 C．45 D．60考点：等差数列的前n项和．分析：由等差数列前n项和公式，条件要由前n项和转化为有关项的形式，再由等差数列性质求得解答：解：∵s9﹣s6=a7+a8+a9=3a8=3∴a8=1又∵∴s15=15故选A点评：本题主要考查等差数列前n项和公式两种形式的灵活选择和性质的运用．2．在△ABC中，已知∠B=45°，c=2，b=，则∠A的值是（）A．15° B．75° C．105°D．75°或15°考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由B的度数求出sinB的值，再由b与c的值，利用余弦定理求出a的值，再由a，sinB，以及b的值，利用正弦定理求出sinA的值，即可确定出A的度数．解答：解：∵在△ABC中，∠B=45°，c=2，b=，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即=a2+8﹣4a，解得：a=2+或a=2﹣，由正弦定理=得：sinA==或，∵sin75°=sin（45°+30°）=sin45°cos30°+cos45°sin30°=，sin15°=sin（45°﹣30°）=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=，∴∠A=75°或15°．故选D点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．3．公差不为0的等差数列{a n}的第2，3，7项恰为等比数列{b n}的连续三项，则{b n}的公比为（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：等比数列的性质；等差数列的性质．专题：计算题．分析：先由第2，3，7项恰为等比数列{b n}的连续三项得到，再利用等比数列公比的求法求出即可．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，由得解得2d2=﹣3a1d∵d≠0∴∴{b n}的公比为故选D．点评：本题是对等差数列和等比数列的综合考查．在求等比数列的公比时，只要知道数列中的任意两项就可求出公比4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积是（）A．B．C．D．3考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：将“c2=（a﹣b）2+6”展开，另一方面，由余弦定理得到c2=a2+b2﹣2abcosC，比较两式，得到ab的值，计算其面积．解答：解：由题意得，c2=a2+b2﹣2ab+6，又由余弦定理可知，c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab，∴﹣2ab+6=﹣ab，即ab=6．∴S△ABC==．故选：C．点评：本题是余弦定理的考查，在高中范围内，正弦定理和余弦定理是应用最为广泛，也是最方便的定理之一，高考中对这部分知识的考查一般不会太难，有时也会和三角函数，向量，不等式等放在一起综合考查．5．已知等比数列{a n}中有a3a11=4a7，数列{b n}是等差数列，且a7=b7，则b5+b9=（）A．2 B．4 C．8 D．16考点：等差数列的性质；等比数列的性质．专题：计算题．分析：由a3a11=4a7，解出a7的值，由 b5+b9=2b7 =2a7求得结果．解答：解：等比数列{a n}中，由a3a11=4a7，可知a72=4a7，∴a7=4，∵数列{b n}是等差数列，∴b5+b9=2b7 =2a7 =8，故选C．点评：本题考查等差数列、等比数列的性质，求出a7的值，是解题的关键．6．△ABC的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的半径为（）A．B．C．D．9考点：解三角形．专题：计算题．分析：先利用余弦定理求得三角形第三边长，进而根据同角三角函数的基本关系求得第三边所对角的正弦，最后利用正弦定理求得外接圆的半径．解答：解：由余弦定理得：三角形第三边长为=3，且第三边所对角的正弦值为=，所以由正弦定理可知2R=，求得R=．故选C点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．作为解三角形问题常用公式如正弦定理和余弦定理公式，勾股定理，三角形面积公式等，应作为平时训练的重点．7．数列{a n}的首项为3，{b n}为等差数列且b n=a n+1﹣a n（n∈N*），若b3=﹣2，b10=12，则a8=（）A．0 B．3 C．8 D．11考点：数列递推式．专题：计算题．分析：先利用等差数列的通项公式分别表示出b3和b10，联立方程求得b1和d，进而利用叠加法求得b1+b2+…+b n=a n+1﹣a1，最后利用等差数列的求和公式求得答案．解答：解：依题意可知求得b1=﹣6，d=2∵b n=a n+1﹣a n，∴b1+b2+…+b n=a n+1﹣a1，∴a8=b1+b2+…+b7+3=+3=3故选B．点评：本题主要考查了数列的递推式．考查了考生对数列基础知识的熟练掌握．8．设△ABC的三内角A、B、C成等差数列，三边 a，b，c成等比数列，则这个三角形的形状是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形考点：三角形的形状判断；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：三角函数的求值．分析：根据题意，利用等差数列及等比数列的性质列出关系式，再利用内角和定理求出B 的度数，利用正弦定理化简，再利用积化和差公式变形，利用特殊角的三角函数值计算求出cos=1，确定出A=C，即可确定出三角形形状．解答：解：∵△ABC的三内角A、B、C成等差数列，三边a，b，c成等比数列，∴2B=A+C，b2=ac，∵A+B+C=180°，∴B=60°，利用正弦定理化简b2=ac得：sin2B=sinAsinC=，即=，∴cos=1，即=0，∴A﹣C=0，即A=C=60°，则这个三角形的形状为等边三角形．故选D点评：此题考查了三角形形状的判断，等差数列、等比数列的性质，正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．9．如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使在C塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC=45°，则塔高AB的高度为（）A．10 B．10C．10D．10考点：解三角形的实际应用．专题：计算题；解三角形．分析：先在△ABC中求出BC，再△BCD中利用正弦定理，即可求得结论．解答：解：设塔高AB为x米，根据题意可知在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x，从而有BC=x，AC=x在△BCD中，CD=10，∠BCD=60°+30°+15°=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30°由正弦定理可得，=∴BC==10∴x=10∴x=故塔高AB=点评：本题考查了正弦定理在实际问题中的应用，解决本题的关键是要把实际问题转化为数学问题，属于中档题．10．定义：称为n个正数p1，p2，…，p n的“均倒数”，若数列{a n}的前n项的“均倒数”为，则数列{a n}的通项公式为（）A．2n﹣1 B．4n﹣3 C．4n﹣1 D．4n﹣5考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：根据“均倒数”的定义，得到=，然后利用a n与S n的关系即可得到结论．解答：解：根据“均倒数”的定义可知，若数列{a n}的前n项的“均倒数”为，则=，即a1+a2+a3+…a n=n（2n﹣1）=2n2﹣n，则当n≥2时，a1+a2+a3+…a n﹣1=2（n﹣1）2﹣（n﹣1），两式相减得a n=2n2﹣n﹣2（n﹣1）2+（n﹣1）=4n﹣3，当n=1时，a1=2﹣1=1，满足，a n=4n﹣3，故数列{a n}的通项公式为a n=4n﹣3，故选：B点评：本题主要考查数列通项公式的求解，利用a n与S n的关系是解决本题的关键．二、填空题（本大题有5小题，每题5分，共25分）11．（5分）（2010•重庆校级模拟）已知1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则= ．考点：等差数列的性质；等比数列的性质．专题：计算题．分析：利用等差数列的性质求出a1+a2的值，利用等比数列的性质求出b2，代入求解即可．解答：解：∵1，a1，a2，4成等差数列，∴a1+a2=1+4=5；∵1，b1，b2，b3，4成等比数列，∴b22=1×4=4，又b2=1×q2＞0，∴b2=2；∴=．故答案为．点评：本题综合考查了等差数列和等比数列的性质，计算简单、明快，但要注意对隐含条件b2=1×q2＞0的挖掘．12．在△ABC中，已知2a2=c2+（b+c）2，则∠A= ．考点：余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：将原式化简整理得，b2+c2﹣a2=﹣bc，再由余弦定理得，cosA=﹣，由于0＜A＜π，即可得到A．解答：解：由于2a2=c2+（b+c）2，则2a2=2c2+2bc+2b2，即有b2+c2﹣a2=﹣bc，由余弦定理，得cosA==﹣，由于0＜A＜π，则A=．故答案为：．点评：本题考查余弦定理及运用，考查运算能力，属于基础题．13．等差数列{a n}中，若3a1=5a2，且a1＞0，S n为前n项和，当S n取得最大值时，n= 3 ．考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由题意可得d=﹣a1＜0．故此数列是递减数列，由a n=a1+（n﹣1）d=a1≥0可得n的最大值，从而得到答案．解答：解：由题意可得3a1=5（a1+d），∴d=﹣a1＜0．故此数列是递减数列，所有的非负项的和最大，由a n=a1+（n﹣1）d=a1≥0 可得n≤3.5，又n为正整数，故n为3时，S n取得最大值，故答案为：3．点评：本题考查等差数列的定义和性质，通项公式，判断此数列是递减数列，所有的非负项的和最大，是解题的关键．14．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升．考点：数列的应用．专题：计算题．分析：由题设知，先求出首项和公差，然后再由等差数列的通项公式求第5节的容积．解答：解：由题设知，解得，∴=．故答案为：．点评：本题考查等式数列的通项公式和前n项和公式，解题时要注意公式的灵活运用．15．下面是一道选择题的两种解法，两种解法看似都对，可结果并不一致，问题出在哪儿？[题]在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若△ABC有两解，则x的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（0，2）C. D.[解法1]△ABC有两解，asinB＜b＜a，xsin45°＜2＜x，即，故选C．[解法2]，．△ABC有两解，bsinA＜a＜b，，即0＜x＜2，故选B．你认为解法1 是正确的（填“解法1”或“解法2”）考点：进行简单的演绎推理．专题：解三角形．分析：若a＜b，则A＜B，结合B=45°，可得△ABC只有一解，故可得结论．解答：解：解法1正确∵若a＜b，则A＜B，∵B=45°，∴△ABC只有一解，故解法2不正确故答案为：解法1点评：本题考查解三角形，考查正弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力．三、解答题（6个题，共计50分）16．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=1，S11=33．（1）求{a n}的通项公式；（2）设，求证：{b n}是等比数列．考点：等比关系的确定；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：（1）分别利用等差数列的通项公式及等差数列的前n项和的公式由a2=1，S11=33表示出关于首项和公差的两个关系式，联立即可求出首项与公差，即可得到数列的通项公式；（2）根据（1）求出的首项与公差，欲证明：{b n}是等比数列，只须利用等比数列的定义进行证明即可．解答：解：（1）依题意有，解之得，∴．（2）由（1）知，，∴，∴∵，∴{b n}构成以为首项，公比为的等比数列．点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式，灵活运用等比关系的确定的方法解决问题，是一道中档题．17．在△ABC中，已知a=，A=60°，b﹣c=﹣1，求b，c和B，C．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：由a，cosA的值，利用余弦定理列出关系式，记作①，将已知等式b﹣c=﹣1两边平方，得到关系式，记作②，①﹣②得到bc的值，与b﹣c=﹣1联立求出b与c的长，由sinA，b及a的值，利用正弦定理求出sinB的值，利用特殊角的三角函数值求出B的度数，即可确定出C的度数．解答：解：由余弦定理得，6=b2+c2﹣2bccos60°，∴b2+c2﹣bc=6，①由b﹣c=﹣1平方得：b2+c2﹣2bc=4﹣2，②①、②两式相减得bc=2+2，联立得：，解得：，由正弦定理sinB===，∵＜+1，∴B=75°或105°，∵a2+c2＞b2，∴B为锐角，∴B=75°，C=45°．点评：此题考查了余弦定理，正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．18．已知数列{2n a n}的前n项和S n=9﹣6n（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{T n}的前n项和T n．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）在已知的数列递推式中分别取n=1和n≥2求解数列的通项公式，验证首项后得答案；（2）利用等比数列的前n项和求数列{a n}的前n项和．解答：解：（1）当n=1时，2a1=3，，当n≥2时，2n a n=S n﹣S n﹣1=9﹣6n﹣[9﹣6（n﹣1）]=﹣6，∴，验证n=1时上式不成立，∴；（2）==．点评：本题考查了由数列前n项和求数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是中档题．19．在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c．已知sinA+sinC=psinB（p∈R）．且ac=b2．（Ⅰ）当p=，b=1时，求a，c的值；（Ⅱ）若角B为锐角，求p的取值范围．考点：解三角形．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转化成边，解方程组求得a和c的值．（Ⅱ）先利用余弦定理求得a，b和c的关系，把题设等式代入表示出p2，进而利用cosB的范围确定p2的范围，进而确定pd 范围．解答：（Ⅰ）解：由题设并利用正弦定理得故可知a，c为方程x2﹣x+=0的两根，进而求得a=1，c=或a=，c=1（Ⅱ）解：由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣2accosB=p2b2﹣b2cosB﹣，即p2=+cosB，因为0＜cosB＜1，所以p2∈（，2），由题设知p∈R，所以＜p＜或﹣＜p＜﹣又由sinA+sinC=psinB知，p是正数故＜p＜即为所求点评：本题主要考查了解三角形问题．学生能对正弦定理和余弦定理的公式及变形公式熟练应用．20．某海轮以30n mile/h的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°方向，向北航行40min后到达B点，测得油井P在南偏东30°方向，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80min到达C点，求P、C间的距离．考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：在△ABP中，根据正弦定理，求BP，再利用余弦定理算出PC的长，即可算出P、C 两地间的距离．解答：解：如图，在△ABP中，AB=30×=20，∠APB=30°，∠BAP=120°，根据正弦定理，=得：=，∴BP=20．在△BPC中，BC=30×=40．由已知∠PBC=90°，∴PC==20（n mile）答：P、C间的距离为20 n mile．点评：本题给出实际应用问题，求两地之间的距离，着重考查了正弦定理、余弦定理和解三角形的实际应用等知识，属于中档题．21．在公差为d的等差数列{a n}中，已知a1=10，且2a1，2a2+2，5a3﹣1成等比数列．（1）求d，a n；（2）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|考点：等比数列的性质；等比数列的前n项和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（1）直接由已知条件a1=10，且a1，2a2+2，5a3﹣1成等比数列列式求出公差，则通项公式a n可求；（2）利用（1）中的结论，得到等差数列{a n}的前3项大于0，后面的项小于0，所以分类讨论求d＜0时|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|的和．解答：解：（1）由题意得2a1•（5a3﹣1）=（2a2+2）2，整理得d2﹣28d﹣124=0．解得d=32或d=﹣4．当d=32时，a n=a1+（n﹣1）d=10+32（n﹣1）=32n﹣22．当d=﹣4时，a n=a1+（n﹣1）d=10﹣4（n﹣1）=﹣4n+14．所以a n=32n﹣22或a n=﹣4n+14；（2）设数列{a n}的前n项和为S n，因为d＜0，由（1）得d=﹣4，a n=﹣4n+14．则当n≤3时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=n（﹣2n+12）．当n≥4时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=﹣S n+2S3=2n2﹣12n+36．综上所述，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=．点评：本题考查了等差数列、等比数列的基本概念，考查了等差数列的通项公式，求和公式，考查了分类讨论的数学思想方法和学生的运算能力，是中档题．。

高二数学（理科）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知命题，则为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】全称命题的否定是特称命题，所以命题“”，的否定为“”故选B.2. 抛物线的焦点坐标是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】已知抛物线，则抛物线的标准方程为，所以焦点坐标为，故选D.3. 过点且与直线平行的直线方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】设过点且与直线平行的直线方程为，因为经过，所求方程为，故选C.4. 若变量满足约束条件，则的最大值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】画出约束条件表示的可行域（如图），，平移直线，由图可知，当直线经过点时，最大，且最大值为，故选C.5. 如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据（单位：），可知此几何体的体积是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体是底面为边长为的正方形，高为的四棱锥，如图，其体积为，故选B.6. 圆与圆的位置关系为（）A. 内切B. 相交C. 外切D. 相离【答案】A【解析】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，圆心距为（等于两圆半径的差），圆与圆的位置关系是内切，故选A.7. “”是“方程表示双曲线”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若方程表示双曲线，则，解得，则的范围小于，所以“”是方程表示双曲线的充分不必要条件，故选A.8. 过点引直线与曲线相交于两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】当面积取最大值时，曲线相交于两点，为坐标原点，圆心，半径，是等腰直角三角形，，圆心到直线的距离为，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，不合题意；当直线的斜率存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离为，解得，，故选B.9. 设是两条不同直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A. 且，则B. 且，则C. ，则D. ，则【答案】B【解析】对于A.直线可能平行、相交、异面，不正确；对于B.由面面垂直的性质可得，正确；对于C.没有，不正确；对于D.没有说明是两条相交直线，不对故选B.10. 设分别是双曲线的左、右焦点．圆与双曲线的右支交于点，且，则双曲线离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】是双曲线的左、右焦点，圆与双曲线的右支交于点，所以，，，，，故选D.【方法点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．本题中，根据双曲线的定义以及勾股定理关于焦半径和焦距的关系．从而找出之间的关系，求出离心率．11. 在正方体中，分别是中点，则与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在正方体中，分别是中点，的中点为，连接，则是平行四边形，与所成的为，设，，在中，由余弦定理可得，，与所成角的余弦值为，故选C. 【方法点晴】本题主要考查异面直线所成的角立，属于难题. 求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质及三角函数知识求解.12. 已知，抛物线的焦点为，射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点中，若，则三角形面积为（）A. B. C. 4 D.【答案】A【解析】抛物线的焦点，设在准线上的射影为，由抛物线的定义知，由可得，则，，又，即有，求得，则三角形的面积为，故选A.【方法点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，以及三角形面积公式，属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 在空间直角坐标系中，正方体的顶点的坐标为，其中心的坐标为，则该正方体的棱长等于__________．【答案】14. 某隧道的拱线设计半个椭圆的形状，最大拱高为6米（如图所示），路面设计是双向车道，车道总宽为米，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽至少应是__________米．【答案】32【解析】设椭圆方程为，当点在椭圆上时，，解得车辆高度不超过米，，即拱宽至少，故答案为.15. 已知是球的球面上两点，为该球面上的动点．若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为__________．【答案】【解析】如图所示，当点位于垂直于面的直径的端点时，三棱锥体积最大，设球的半径为，，解得，则球的表面积为，体积为，故答案为.16. 已知圆，圆，若圆上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，使得，则实数的最大值与最小值之和为__________．【答案】4【解析】，在圆上，，即，即，解得，即的最大值为，的最小值为，实数的最大值与的最小值的和为，故答案为.【方法点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系及解析几何求最值问题，属于难题.解决解析几何的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知圆，直线．（1）当为何值时，直线与圆相切；（2）当直线与圆相交于两点，且时，求直线的方程．【答案】(1) (2) 或【解析】试题分析：(1)将圆的方程化成标准方程为，则此圆的圆心为，半径为，根据圆心到圆心的距离等于半径列方程可求的值；（2）由，根据点到直线距离公式以及勾股定理列方程求出的值，从而可得直线的方程．试题解析：将圆的方程化成标准方程为，则此圆的圆心为，半径为．（1）若直线与圆相切，则有，解得；（2）过圆心作，则根据题意和圆的性质，得，解得或，故所求直线方程为或．18. 如图，已知所在的平面，是的直径，是上一点，且是中点，为中点．（1）求证：面；（2）求证：面；（3）求三棱锥的体积．【答案】(1)见解析(2) 见解析（3）试题解析：（1）证明：在三角形中，是中点，为中点，∴，平面平面，∴面；（2）证明：∵面，平面，∴，又∵是的直径，∴，又，∴面，∵，∴面；（3）∵，∴，在中，∵，∴，∴．【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、利用等积变换求三棱锥体积，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的. 19. 已知命题直线和直线垂直；命题三条直线将平面划分为六部分．若为真命题，求实数的取值集合．【答案】【解析】试题分析：真：，，∴或；真：如果这三条直线将平面划分为六部分包括两种情况能够成立，一是过另外两条直线的交点，做出交点坐标代入直线方程，得到的值，二是这条直线与另外两条直线中的一条平行，求出或或，真，可得至少有一个为真，从而可得的取值集合为.试题解析：真：，，∴或，真：∵与不平行，则与平行或与平行或三条直线交于一点，若与平行，由得，若与平行，由得，若三条直线交于一点，由，得，代入得，∴真，或或，∵真，∴至少有一个为真，∴的取值集合为．20. 已知四棱锥，四边形是正方形，．（1）证明：平面平面；（2）若为的中点，求二面角的余弦值．【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析：（1）由可得，即，由为正方形，可得，从而得平面，由面面垂直的判定定理可得平面平面；（2）设的中点为，∵，∴，面面垂直的性质可得平面，在平面内，过作直线，则两两垂直，以为坐标原点，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，分别根据向量垂直数量积为零列方程组求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.试题解析：（1）∵，∴，即，又∵为正方形，∴，∵，∴平面，∵平面，∴平面平面；（2）设的中点为，∵，∴，由（1）可知平面平面，且平面平面，∴平面，在平面内，过作直线，则两两垂直．以为坐标原点，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，∴，设平面的法向量为，则，，即，取，设平面的法向量为，则，，即，取，，由图可知，二面角的余弦值为．【方法点晴】本题主要考查面面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.21. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为2．（1）求抛物线的方程；（2）若直线与圆切于点，与抛物线切于点，求的面积．【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）在抛物线上，∴，由抛物线焦半径公式可得，解得，所以抛物线的方程为；（2）设直线方程为：，根据与圆相切，直线与抛物线相切，列方程组可求得解得或，根据勾股定理求出弦长，利用点到直线距离公式求出三角形的高，从而可得的面积.试题解析：（1）∵在抛物线上，∴，由题意可知，，解得，所以抛物线的方程为；（2）设直线方程为：，∵与圆相切，∴，整理得，①依题意直线与抛物线相切，由得（*）②由①②解得或，此时方程（*）化为，解得，∴点，∴，直线为：或，到的距离为，∴．22. 椭圆的离心率是，过点的动直线与椭圆相交于两点，当直线与轴平行时，直线被椭圆截得的线段长为．（1）求椭圆的方程；（2）在轴上是否存在异于点的定点，使得直线变化时，总有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1) (2) 存在定点满足题意【解析】试题分析：（1）由椭圆的离心率是，直线被椭圆截得的线段长为列方程组求出，从而可得椭圆的标准方程；（2）设直线方程为，由得，，根据韦达定理及斜率公式可得，令，可得符合题意. 试题解析：（1）∵，∴，椭圆方程化为：，由题意知，椭圆过点，∴，解得，所以椭圆的方程为：；（2）当直线斜率存在时，设直线方程：，由得，，设，假设存在定点符合题意，∵，∴，∴，∵上式对任意实数恒等于零，∴，即，∴，当直线斜率不存在时，两点分别为椭圆的上下顶点，显然此时，综上，存在定点满足题意．。

山东省2017—2018学年高二数学上学期期中考试卷（二）（理科）（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分）1．直线l：x+y+3=0的倾斜角α为（）A．30°B．60°C．120° D．150°2．两条不平行的直线，其平行投影不可能是（）A．两条平行直线B．一点和一条直线C．两条相交直线D．两个点3．已知圆C：x2+y2﹣2x+6y=0，则圆心P及半径r分别为（）A．圆心P（1，3），半径r=10 B．圆心P（1，3），半径C．圆心P（1，﹣3），半径r=10 D．圆心P（1，﹣3），半径．4．已知a∥α，b⊂α，则直线a与直线b的位置关系是（）A．平行B．相交或异面C．异面D．平行或异面5．过点（﹣2，4）且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条6．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．若AC=BD=a，且AC与BD所成的角为60°，则四边形EFGH的面积为（）A．B．C．D．7．已知两条直线l1：x+2ay﹣1=0，l2：x﹣4y=0，且l1∥l2，则满足条件a的值为（）A．B．C．﹣2 D．28．设直线过点（0，a），其斜率为1，且与圆x2+y2=2相切，则a的值为（）A．±B．±2 C．±2D．±49．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2π+2B．4π+2C．2π+ D．4π+10．一束光线从点（﹣1，1）出发，经x轴反射到圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1上的最短路径长度是（）A．4 B．5 C．3 D．211．点P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为（）A．x+y﹣1=0 B．2x+y﹣3=0 C．x﹣y﹣3=0 D．2x﹣y﹣5=012．四面体P﹣ABC中，若PA=PB=PC，则点P在平面ABC内的射影点O是三角形ABC的（）A．内心B．外心C．垂心D．重心二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知⊙O1：x2+y2=1与⊙O2：（x﹣3）2+（y+4）2=9，则⊙O1与⊙O2的位置关系为．14．圆柱的侧面展开图是边长分别为2a，a的矩形，则圆柱的体积为．15．若l为一条直线，α，β，γ为三个互不重合的平面，给出下面四个命题：①α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β；②α⊥γ，β∥γ，则α⊥β；③l∥α，l⊥β，则α⊥β．④若l ∥α，则l平行于α内的所有直线．其中正确命题的序号是．（把你认为正确命题的序号都填上）16．如图2﹣①，一个圆锥形容器的高为a，内装有一定量的水．如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为（如图2﹣②），则图2﹣①中的水面高度为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知直线l经过直线3x+4y﹣2=0与直线2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x ﹣2y﹣1=0．求：（Ⅰ）直线l的方程；（Ⅱ）直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．18．如果一个几何体的主视图与左视图都是全等的长方形，边长分别是4cm与2cm如图所示，俯视图是一个边长为4cm的正方形．（1）求该几何体的全面积．（2）求该几何体的外接球的体积．19．已知直线l1：mx﹣y=0，l2：x+my﹣m﹣2=0．（1）求证：对m∈R，l1与l2的交点P在一个定圆上；（2）若l1与定圆的另一个交点为P1，l2与定圆的另一个交点为P2，求当m在实数范围内取值时，△PP1P2的面积的最大值及对应的m．20．已知圆C同时满足下列三个条件：①与y轴相切；②在直线y=x上截得弦长为2；③圆心在直线x﹣3y=0上．求圆C的方程．21．已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，又PD⊥底ABCD，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．（1）证明：DN∥平面PMB；（2）证明：平面PMB⊥平面PAD；（3）求点A到平面PMB的距离．22．已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y ﹣29=0相切．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设直线ax﹣y+5=0（a＞0）与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P（﹣2，4），若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．参考答案一、单项选择题1．C．2．D．3．D4．D．5．C6．A．7．C．8．B．9．C10．A．11．C12．B．二、填空题13．解：根据题意，得⊙O1的半径为r=1，⊙O2的半径为R=3，O1O2=5，R+r=4，R﹣r=2，则4＜5，即R+r＜O1O2，∴两圆相离．故答案为：相离．14．解：圆柱的侧面展开图是边长为2a与a的矩形，当母线为a时，圆柱的底面半径是，此时圆柱体积是π×（）2×a=；当母线为2a时，圆柱的底面半径是，此时圆柱的体积是π×（）2×2a=，综上所求圆柱的体积是：或．故答案为：或；15．解：①中，若α⊥γ，β⊥γ，则α与β可能平行与可能相交，故①错误；②中，若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β，故②正确；③中，若l∥α，l⊥β，则α中存在直线a平行l，即a⊥β，由线面垂直的判定定理，得则α⊥β，故③正确；④中，若l∥α，则l与α内的直线平行或异面，故④的错误；故答案：②③16．解：令圆锥倒置时水的体积为V′，圆锥体积为V则=V正置后：V水=V则突出的部分V空=设此时空出部分高为h，则h3：，∴故水的高度为：a﹣故答案为：a﹣三、解答题17．解：（Ⅰ）由解得由于点P的坐标是（﹣2，2）．则所求直线l与x﹣2y﹣1=0垂直，可设直线l的方程为2x+y+m=0．把点P的坐标代入得2×（﹣2）+2+m=0，即m=2．所求直线l的方程为2x+y+2=0．（Ⅱ）由直线l的方程知它在x轴．y轴上的截距分别是﹣1．﹣2，所以直线l与两坐标轴围成三角形的面积．18．解：（1）由题意可知，该几何体是长方体，底面是正方形，边长是4，高是2，因此该几何体的全面积是：2×4×4+4×4×2=64cm2几何体的全面积是64cm2．（2）由长方体与球的性质可得，长方体的对角线是球的直径，记长方体的对角线为d，球的半径是r，d=所以球的半径r=3因此球的体积v=，所以外接球的体积是36πcm3．19．解：（1）如图所示：l1：﹣y=0，过定点（0，0），=m；l2：x+my﹣m﹣2=0，m（y﹣1）+x﹣2=0，=﹣令y﹣1=0，x﹣2=0．得y=1，x=2，∴过定点（2，1），∵•=﹣1，∴直线与直线互相垂直，∴直线与直线的交点必在以（0，0），（2，1）为一条直径端点的圆上，且圆心（1，），半径r==，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=．即x2+y2﹣2x﹣y=0；（2）由（1）得：（0，0），（2，1）．当P点在定圆上移动时，△PP1P2的底边P1P2为定值2r．当三角形的高最大时，△PP1P2的面积最大．故三角形面积最大为•2r•r=又与圆的交点为P（，），且OP与P1P2的夹角是45°．∴|OP|==，即+=，解得：m=3或m=故当m=3或m=时，△PP1P2的面积取得最大值．20．解设所求的圆C与y轴相切，又与直线y=x交于AB，∵圆心C在直线x﹣3y=0上，∴圆心C（3a，a），又圆与y轴相切，∴R=3|a|．又圆心C到直线y﹣x=0的距离．在Rt△CBD中，，∴9a2﹣2a2=7．a2=1，a=±1，3a=±3．∴圆心的坐标C分别为（3，1）和（﹣3，﹣1），故所求圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9．21．解：（1）证明：取PB中点Q，连接MQ、NQ，因为M、N分别是棱AD、PC中点，所以QN∥BC∥MD，且QN=MD，于是DN∥MQ．⇒DN∥平面PMB．（2）⇒PD⊥MB又因为底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，且M为AD中点，所以MB⊥AD．又AD∩PD=D，所以MB⊥平面PAD.⇒平面PMB⊥平面PAD．（3）因为M是AD中点，所以点A与D到平面PMB等距离．过点D作DH⊥PM于H，由（2）平面PMB⊥平面PAD，所以DH⊥平面PMB．故DH是点D到平面PMB的距离.．∴点A到平面PMB的距离为．22．解：（Ⅰ）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．由于圆与直线4x+3y﹣29=0相切，且半径为5，所以，即|4m﹣29|=25．因为m为整数，故m=1．故所求圆的方程为（x﹣1）2+y2=25．…（Ⅱ）把直线ax﹣y+5=0，即y=ax+5，代入圆的方程，消去y，整理，得（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1=0，由于直线ax﹣y+5=0交圆于A，B两点，故△=4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，即12a2﹣5a＞0，由于a＞0，解得a＞，所以实数a的取值范围是（）．（Ⅲ）设符合条件的实数a存在，则直线l的斜率为，l的方程为，即x+ay+2﹣4a=0由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上，所以1+0+2﹣4a=0，解得．由于，故存在实数使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB．…。

A 2017-2018学年高二上学期期中考试数学（理）科试卷1、考试时间：120分钟2、满分：150分3、考试范围：命题，圆锥曲线，空间几何一,选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的）1.命题：“0x R ∃∈，020x≤”的否定是（ ）A ．0x R ∃∈，020x >B ．不存在0x R ∈，020x> C ．x R ∀∈，20x >D ． x R ∀∈，20x ≤2.抛物线22x y =的焦点坐标是( ) A.)0,1(B. )0,21(C. )81,0(D. 41,0(3.x y 2=，则该双曲线的离心率为( )AB ．2CD 4.如图，在平行六面体1111D C B A ABCD -中,点M 为AC 与BD 的交点， 若B A =11，,,111c A A b D A ==则下列向量中与M B 1相等的是（ ）A ．+--2121B ．++2121C ．+-2121D ．++-21215.平面内有两定点A 、B 及动点P ，设命题甲：“|PA|+|PB|是定值”， 命题乙：“点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆”，则甲是乙的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6.“|x|<2”是“x 2-x-6<0”的 ( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7．在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为1的正方形，若∠A 1AB=∠A 1AD =60º，且A 1A=3，则A 1C 的长为（ ）A B ．8．空间四边形OABC 中，OA=6,AB=4,AC=3,BC=6，∠OAC ＝∠OAB ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉等于( ) A.21B.22C ．121D ．619.已知椭圆)20(14222<<=+b b y x 的左，右焦点分别为21,F F ，过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，若22AF BF +的最大值为5，则b 的值是( ) A. 1 B.2 C.23D.310.已知命题:p 椭圆2241+=x y 上存在点M 到直线:20+-=l x y 的距离为1，命题:q 椭圆2222754+=x y 与双曲线22916144-=x y 有相同的焦点，则下列命题为真命题的是（ ）A ． ()∧⌝p qB ．()⌝∧p q C. ()()⌝∧⌝p q D ．∧p q 11. 如图，过抛物线x y 42=焦点的直线依次交抛物线和圆1)1(22=+-y x 于A 、B 、C 、D 四点，则|AB |·|CD |＝( )A ．4B ．2C ．1 D.1212.已知A,B,P 是双曲线12222=-by a x 上的不同三点，且AB 连线经过原点，若直线PA ，PB 的斜率乘积32=∙PB PA K K ，则该双曲线的离心率为（ ） A.315B.25C. 210D.2二、填空题（每小题5分，共25分）13. 若双曲线22116y x m-=的离心率e=2，则m= 。