2017-2018学年江苏省南通市启东中学高二(上)期初数学试卷与解析word

2017-2018学年江苏省南通市高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是．2．（5分）在等差数列{a n}中，a1=﹣1，a4=8，则公差d=．3．（5分）抛物线x2=2y的准线方程是．4．（5分）命题“若实数a满足a≤2，则a2≤4”的否命题是命题．（选填“真”或“假”之一）5．（5分）已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且PF1=4，则PF2的长为．6．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，且a2是a1和a5的等比中项，则a3的值为．7．（5分）设{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正+a2n＜0”的条件．（填“充要条件、充分不必要条件、必要不整数n，a2n﹣1充分条件、即不充分也不必要条件”）8．（5分）设F1，F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，M为AF2的中点，若MF1⊥AF2，则该椭圆的离心率为．9．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，若=2，S4=4，则S8的值为．10．（5分）已知F是抛物线C：y2=12x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M是FN的中点，则FN的长度为．11．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF的边长为6的等边三角形（O为坐标原点），则该双曲线的方程为．12．（5分）已知数列{a n}中，a1=1，a2=4，a3=10，若{a n+1﹣a n}是等比数列，则=．i13．（5分）已知P为椭圆+=1上的动点，M，N为圆（x﹣2）2+y2=1上两点，且MN=，则|+|的取值范围是．14．（5分）设数列{a n}共有4项，满足a1＞a2＞a3＞a4≥0，若对任意的i，j（1≤i≤j≤4，且i，j∈N*），a i﹣a j仍是数列{a n}中的某一项．现有下列命题：①数列{a n}一定是等差数列；②存在1≤i＜j≤4，使得ia i=ja j；③数列{a n}中一定存在一项为0．其中，真命题的序号有．（请将你认为正确命题的序号都写上）二、解答题（本大题共6小题，共90分）15．（14分）命题p：方程+=1表示双曲线；命题q：∃x∈R，使得x2+mx+m+3＜0成立．若“p且￢q”为真命题，求实数m的取值范围．16．（14分）设等差数列{a n}的前n项和为S，a2+a6=20，S5=40．（1）求{a n}的通项公式；（2）设等比数列{b n}满足b2=a3，b3=a2．若b6=a k，求k的值．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）与双曲线﹣y2=1有相同的焦点F1，F2，抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，且与椭圆在第一象限的交点为M，若MF1+MF2=2．（1）求椭圆的方程；（2）若MF=，求抛物线的方程．18．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2﹣a n（n∈N*）．数列{b n}满足（2n﹣1）b n﹣（2n+1）b n=0（n∈N*），且b1=1．+1（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和为T n．19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，AB为椭圆的一条弦（不经过原点），直线y=kx（k＞0）经过弦AB 的中点，与椭圆C交于P，Q两点，设直线AB的斜率为k1．（1）若点Q的坐标为（1，），求椭圆C的方程；（2）求证：k1k为定值；（3）过P点作x轴的垂线，垂足为R，若直线AB和直线QR倾斜角互补．若△PQR的面积为2，求椭圆C的方程．20．（16分）已知数列{a n}的首项a1=a（a＞0），其前n项和为S n，设b n=a n+a n+1（n∈N*）．（1）若a2=a+1，a3=2a2，且数列{b n}是公差为3的等差数列，求S2n；（2）设数列{b n}的前n项和为T n，满足T n=n2．①求数列{a n}的通项公式；②若对∀n∈N*，且n≥2，不等式（a n﹣1）（a n1）≥2（1﹣n）恒成立，求a+1的取值范围．2017-2018学年江苏省南通市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是∃x∈R，sinx＞1．【解答】解：根据题意我们直接对语句进行否定命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是：∃x∈R，sinx＞1．故答案为：∃x∈R，sinx＞1．2．（5分）在等差数列{a n}中，a1=﹣1，a4=8，则公差d=3．【解答】解：a4=8=﹣1+3d，解得d=3．故答案为：3．3．（5分）抛物线x2=2y的准线方程是．【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2=2y，焦点在y轴上；所以：2p=2，即p=1，所以：=，所以准线方程y=﹣．故答案为：y=﹣．4．（5分）命题“若实数a满足a≤2，则a2≤4”的否命题是真命题．（选填“真”或“假”之一）【解答】解：命题的否命题为：“若实数a满足a＞2，则a2＞4”∵a＞2∴a2＞4∴否命题为真命题故答案为：真5．（5分）已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且PF1=4，则PF2的长为10．【解答】解：根据题意，双曲线的标准方程为﹣=1，其中a==3，点P在双曲线上，则有||PF 1|﹣|PF2||=2a=6，又由|PF1|=4，解可得|PF2|=10或﹣2（舍），则|PF2|=10；故答案为：10．6．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，且a2是a1和a5的等比中项，则a3的值为5．【解答】解：∵等差数列{a n}的公差为2，且a2是a1和a5的等比中项，∴，∴（a1+2）2=a1（a1+8），解得a1=1，∴a3=1+2×2=5．故答案为：5．7．（5分）设{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正+a2n＜0”的必要不充分条件．（填“充要条件、充分不必要条件、整数n，a2n﹣1必要不充分条件、即不充分也不必要条件”）【解答】解：∵{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，∴当a1=1，q=﹣时，满足q＜0，但此时a1+a2=1﹣=＞0，则a2n﹣1+a2n＜0不成立，即充分性不成立，+a2n＜0，则a1q2n﹣2+a1q2n﹣1＜0反之若a2n﹣1∵a1＞0，∴q2n﹣2（1+q）＜0，即1+q＜0，则q＜﹣1，即q＜0成立，即必要性成立，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n+a2n＜0”的必要不充分条件，﹣1故答案为：必要不充分8．（5分）设F1，F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，M为AF2的中点，若MF1⊥AF2，则该椭圆的离心率为．【解答】解：∵F1，F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，若M为AF2的中点，且MF1⊥AF2，则△F1F2A是等腰三角形，F1F2=F1A，即2c=a，故该椭圆的离心率e==，故答案为：．9．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，若=2，S4=4，则S8的值为12．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，=2，S4=4，∴，解得q4=2，a1=﹣4（1﹣q），∴S8===12．故答案为：12．10．（5分）已知F是抛物线C：y2=12x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M是FN的中点，则FN的长度为9．【解答】解：抛物线C：y2=8x的焦点F（2，0），M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，可知M的横坐标为：1.5，则FN|=1.5+3=4.5，|FN|=2|FM|=2×4.5=9．故答案为：9．11．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF的边长为6的等边三角形（O为坐标原点），则该双曲线的方程为﹣=1．【解答】解：由题意可知，解得a=3，b=3，∴双曲线方程为=1．故答案为：=1．12．（5分）已知数列{a n}中，a1=1，a2=4，a3=10，若{a n+1﹣a n}是等比数列，则i=3049．【解答】解：∵数列{a n}中，a1=1，a2=4，a3=10，{a n+1﹣a n}是等比数列，∴a2﹣a1=3，a3﹣a2=6，﹣a n}是首项为3，公比为2的等比数列，∴{a n+1∴a4﹣a3=12，a4=12+10=22，a5﹣a4=24，a5=24+22=46，a6﹣a5=48，a6=48+46=94，a7﹣a6=96，a7=96+94=190，a8﹣a7=192，a8=192+190=382，a9﹣a8=384，a9=384+382=766，a10﹣a9=768，a10=768+766=1534，∴i=1+4+10+22+46+94+190+382+766+1534=3049．故答案为：3049．13．（5分）已知P为椭圆+=1上的动点，M，N为圆（x﹣2）2+y2=1上两点，且MN=，则|+|的取值范围是[3，13] ．【解答】解：令Q为MN中的中点，则圆（x﹣2）2+y2=1的圆心C到MN的距离CQ==，又由C为椭圆+=1的焦点，故|PC|∈[2，6]，则PQ|∈[2﹣，6+]=[，]，|+|=|2|∈[3，13]，故答案为：[3，13]．14．（5分）设数列{a n}共有4项，满足a1＞a2＞a3＞a4≥0，若对任意的i，j（1≤i≤j≤4，且i，j∈N*），a i﹣a j仍是数列{a n}中的某一项．现有下列命题：①数列{a n}一定是等差数列；②存在1≤i＜j≤4，使得ia i=ja j；③数列{a n}中一定存在一项为0．其中，真命题的序号有①②③．（请将你认为正确命题的序号都写上）【解答】解：根据题意：对任意i，j（1≤i≤j≤4），有a i﹣a j仍是该数列的某一项，令i=j，则0为数列的某一项，即a4=0，则a3﹣a4=a3∈{a n}，（a3＞0）．必有a2﹣a3=a3，即a2=2a3，而a1﹣a2=a2或a3，若a1﹣a2=a2，则a1﹣a3=3a3，而3a3≠a2，a3，a4，舍去；若a1﹣a2=a3∈{a n}，此时a1=3a3，可得数列{a n}为：3a3，2a3，a3，0（a4＞0）；据此分析选项：易得①②③正确；故答案为：①②③二、解答题（本大题共6小题，共90分）15．（14分）命题p：方程+=1表示双曲线；命题q：∃x∈R，使得x2+mx+m+3＜0成立．若“p且￢q”为真命题，求实数m的取值范围．【解答】解：若p为真命题，则（m+3）（m﹣4）＜0，解得：﹣3＜m＜4，￢q：∀x∈R，使得x2+mx+m+3≥0，若￢q是真命题，则m2﹣4（m+3）≤0，解得：﹣2≤m≤6，若“p且￢q”为真命题，则p是真命题且￢q也是真命题，故﹣2≤m＜4．16．（14分）设等差数列{a n}的前n项和为S，a2+a6=20，S5=40．（1）求{a n}的通项公式；（2）设等比数列{b n}满足b2=a3，b3=a2．若b6=a k，求k的值．【解答】解：（1）∵等差数列{a n}的前n项和为S，a2+a6=20，S5=40．∴a2+a6=2a4=20，解得a4=10，S5=5a3=40，解得a3=8．∴d=a4﹣a3=10﹣8=2，a1=a3﹣2d=8﹣4=4，∴a n=a1+（n﹣1）d=4+（n﹣1）×2=2n+2．（2）∵等比数列{b n}满足b2=a3，b3=a2．∴b2=8，b3=16，∴q=，∴b6=a k=2k+2=8×24=128，解得k=63．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）与双曲线﹣y2=1有相同的焦点F1，F2，抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，且与椭圆在第一象限的交点为M，若MF1+MF2=2．（1）求椭圆的方程；（2）若MF=，求抛物线的方程．【解答】解：（1）由条件得，解得a=，b=，∴椭圆方程为=1．（2）设M（x0，y0），则MF=y0+=，即p=﹣2y0，又M在椭圆上，∴x02+3y02=6，且x02=2py0，∴（7﹣4y0）y0+3y02=6，解得y0=1或y0=6（舍），∴p=，∴抛物线方程为x2=3y．18．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2﹣a n（n∈N*）．数列{b n}﹣（2n+1）b n=0（n∈N*），且b1=1．满足（2n﹣1）b n+1（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和为T n．【解答】解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2﹣a n（n∈N*）．=2﹣a n+1，得到：S n+1则：a n=a n﹣a n+1，+1整理得：所以：数列{a n}是以1为首项，为公比的等比数列．则：．﹣（2n+1）b n=0（n∈N*），数列{b n}满足（2n﹣1）b n+1则：，所以：数列{}是常数列．则：{b n}的通项公式为：b n=2n﹣1．（2）由（1）得：c n=a n•b n=，则：+…+①所以：+…+②则：①﹣②得：）﹣，整理得：T n=．19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，AB为椭圆的一条弦（不经过原点），直线y=kx（k＞0）经过弦AB 的中点，与椭圆C交于P，Q两点，设直线AB的斜率为k1．（1）若点Q的坐标为（1，），求椭圆C的方程；（2）求证：k1k为定值；（3）过P点作x轴的垂线，垂足为R，若直线AB和直线QR倾斜角互补．若△PQR的面积为2，求椭圆C的方程．【解答】解：（1）由条件得：，解得a=2，b=，∴椭圆方程为=1．（2）证明：设AB的中点为（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），由于A，B为椭圆上的点，∴，，两式相减得：+=0，即=﹣•=﹣•，∵k1=，k=，∴k1=﹣，即k1k=﹣．∵e==，∴==，∴k1k=﹣．（3）设Q（s，t）（s＞0，t＞0），则P（﹣s，﹣t），R（﹣s，0），∴k QR==，∵直线AB和直线QR倾斜角互补，∴=﹣k1，又k1k=﹣，且k＞0，∴k=，又S=st=2，=k=，△PQR∴s=2，t=，即Q（2，），∴=1，又，∴a=2，b=3，∴椭圆方程为．20．（16分）已知数列{a n}的首项a1=a（a＞0），其前n项和为S n，设b n=a n+a n+1（n∈N*）．（1）若a2=a+1，a3=2a2，且数列{b n}是公差为3的等差数列，求S2n；（2）设数列{b n}的前n项和为T n，满足T n=n2．①求数列{a n}的通项公式；1）≥2（1﹣n）恒成立，求a ②若对∀n∈N*，且n≥2，不等式（a n﹣1）（a n+1的取值范围．﹣b n=a n+2﹣a n=3，【解答】解：（1）由已知可得：b n+1∴数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等差数列，且公差为3．∴a3﹣a1=2a2﹣a=2（a+1）﹣a=a+2=3，解得a=1．∴a1=1，a2=2．∴S2n=+=3n2．（2）①由T n=n2，n≥2时，b n=T n﹣T n﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1．n=1时，b1=T1=1．∴b n=a n+a n+1=2n﹣1．﹣n=﹣[a n﹣（n﹣1）]，化为：a n+1∴数列{a n﹣（n﹣1）}为等比数列，公比为﹣1．首项为a．∴a n﹣（n﹣1）=a×（﹣1）n﹣1，即a n=n﹣1+a×（﹣1）n﹣1，②不等式（a n ﹣1）（a n +11）≥2（1﹣n ）化为：a n a n +1﹣（a n +a n +1）+1≥2（1﹣n ），由a n +a n +1=2n ﹣1．∴不等式化为：a n a n +1≥0．当n 为奇数时，a n =a +（n ﹣1），a n +1=﹣a +n ，∴a n a n +1=[a +（n ﹣1）]（﹣a +n ）=﹣a 2+a +n （n ﹣1）≥0，即﹣a 2+a ≥﹣n （n ﹣1）对∀n ∈N *，且n ≥2恒成立． ∴﹣a 2+a ≥﹣6，解得﹣2≤a ≤3．当n 为偶数时，a n =﹣a +（n ﹣1），a n +1=a +n ，∴a n a n +1≥0，即﹣a 2+a ≥﹣n （n ﹣1）对∀n ∈N *，且n ≥2恒成立． ∴﹣a 2+a ≥﹣2，解得﹣2≤a ≤1．又a ＞0，可得a 的取值范围为：0＜a ≤1．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型： 图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；xyB CAO2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

2017-2018学年江苏省南通市高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是．2．在等差数列{a n}中，a1=﹣1，a4=8，则公差d=．3．抛物线x2=2y的准线方程是．4．命题“若实数a满足a≤2，则a2≤4”的否命题是命题．（选填“真”或“假”之一）5．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且PF1=4，则PF2的长为．6．已知等差数列{a n}的公差为2，且a2是a1和a5的等比中项，则a3的值为．7．设{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n+a2n＜0”的条件．（填“充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、﹣1即不充分也不必要条件”）8．设F1，F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，M 为AF2的中点，若MF1⊥AF2，则该椭圆的离心率为．9．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若=2，S4=4，则S8的值为．10．已知F是抛物线C：y2=12x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M是FN的中点，则FN的长度为．11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF的边长为6的等边三角形（O为坐标原点），则该双曲线的方程为．12．已知数列{a n}中，a1=1，a2=4，a3=10，若{a n﹣a n}是等比数列，则+1=．i13．已知P为椭圆+=1上的动点，M，N为圆（x﹣2）2+y2=1上两点，且MN=，则|+|的取值范围是．14．设数列{a n}共有4项，满足a1＞a2＞a3＞a4≥0，若对任意的i，j（1≤i≤j≤4，且i，j∈N*），a i﹣a j仍是数列{a n}中的某一项．现有下列命题：①数列{a n}一定是等差数列；②存在1≤i＜j≤4，使得ia i=ja j；③数列{a n}中一定存在一项为0．其中，真命题的序号有．（请将你认为正确命题的序号都写上）二、解答题（本大题共6小题，共90分）15．命题p：方程+=1表示双曲线；命题q：∃x∈R，使得x2+mx+m+3＜0成立．若“p且￢q”为真命题，求实数m的取值范围．16．设等差数列{a n}的前n项和为S，a2+a6=20，S5=40．（1）求{a n}的通项公式；（2）设等比数列{b n}满足b2=a3，b3=a2．若b6=a k，求k的值．17．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）与双曲线﹣y2=1有相同的焦点F1，F2，抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，且与椭圆在第一象限的交点为M，若MF1+MF2=2．（1）求椭圆的方程；（2）若MF=，求抛物线的方程．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2﹣a n（n∈N*）．数列{b n}满足（2n ﹣1）b n﹣（2n+1）b n=0（n∈N*），且b1=1．+1（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和为T n．19．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，AB为椭圆的一条弦（不经过原点），直线y=kx（k＞0）经过弦AB的中点，与椭圆C交于P，Q两点，设直线AB的斜率为k1．（1）若点Q的坐标为（1，），求椭圆C的方程；（2）求证：k1k为定值；（3）过P点作x轴的垂线，垂足为R，若直线AB和直线QR倾斜角互补．若△PQR的面积为2，求椭圆C的方程．20．已知数列{a n}的首项a1=a（a＞0），其前n项和为S n，设b n=a n+a n（n∈N*）．+1（1）若a2=a+1，a3=2a2，且数列{b n}是公差为3的等差数列，求S2n；（2）设数列{b n}的前n项和为T n，满足T n=n2．①求数列{a n}的通项公式；1）≥2（1﹣n）恒成立，求a ②若对∀n∈N*，且n≥2，不等式（a n﹣1）（a n+1的取值范围．2017-2018学年江苏省南通市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是∃x∈R，sinx＞1．【考点】2J：命题的否定．【分析】直接把语句进行否定即可，注意否定时∀对应∃，≤对应＞．【解答】解：根据题意我们直接对语句进行否定命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是：∃x∈R，sinx＞1．故答案为：∃x∈R，sinx＞1．2．在等差数列{a n}中，a1=﹣1，a4=8，则公差d=3．【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：a4=8=﹣1+3d，解得d=3．故答案为：3．3．抛物线x2=2y的准线方程是．【考点】K7：抛物线的标准方程．【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p，再直接代入即可求出其准线方程．【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2=2y，焦点在y轴上；所以：2p=2，即p=1，所以：=，所以准线方程y=﹣．故答案为：y=﹣．4．命题“若实数a满足a≤2，则a2≤4”的否命题是真命题．（选填“真”或“假”之一）【考点】21：四种命题．【分析】利用否命题的形式写出否命题，判断出否命题是真命题．【解答】解：命题的否命题为：“若实数a满足a＞2，则a2＞4”∵a＞2∴a2＞4∴否命题为真命题故答案为：真5．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且PF1=4，则PF2的长为10．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的标准方程求出a的值，结合双曲线的定义分析可得||PF1|﹣|PF2||=2a=6，解可得|PF2|的值，取舍即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的标准方程为﹣=1，其中a==3，点P在双曲线上，则有||PF1|﹣|PF2||=2a=6，又由|PF1|=4，解可得|PF2|=10或﹣2（舍），则|PF2|=10；故答案为：10．6．已知等差数列{a n}的公差为2，且a2是a1和a5的等比中项，则a3的值为5．【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列通项公式和等比中项性质列出方程，由此能求出a3的值．【解答】解：∵等差数列{a n}的公差为2，且a2是a1和a5的等比中项，∴，∴（a1+2）2=a1（a1+8），解得a1=1，∴a3=1+2×2=5．故答案为：5．7．设{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n+a2n＜0”的必要不充分条件．（填“充要条件、充分不必要条件、必要不﹣1充分条件、即不充分也不必要条件”）【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：∵{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，∴当a1=1，q=﹣时，满足q＜0，但此时a1+a2=1﹣=＞0，则a2n﹣1+a2n＜0不成立，即充分性不成立，+a2n＜0，则a1q2n﹣2+a1q2n﹣1＜0反之若a2n﹣1∵a1＞0，∴q2n﹣2（1+q）＜0，即1+q＜0，则q＜﹣1，即q＜0成立，即必要性成立，+a2n＜0”的必要不充分条件，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1故答案为：必要不充分8．设F1，F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，M为AF2的中点，若MF1⊥AF2，则该椭圆的离心率为．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】由已知中M为AF2的中点，且MF1⊥AF2，由等腰三角形三线合一可得△F1F2A是等腰三角形，F1F2=F1A，进而得到答案．【解答】解：∵F1，F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，若M为AF2的中点，且MF1⊥AF2，则△F1F2A是等腰三角形，F1F2=F1A，即2c=a，故该椭圆的离心率e==，故答案为：．9．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若=2，S4=4，则S8的值为12．【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列{a n}的前n项和公式、通项公式求出q4=2，a1=﹣4（1﹣q），由此能求出S8．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，=2，S4=4，∴，解得q4=2，a1=﹣4（1﹣q），∴S8===12．故答案为：12．10．已知F是抛物线C：y2=12x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M是FN的中点，则FN的长度为9．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点坐标，推出M坐标，然后求解即可．【解答】解：抛物线C：y2=8x的焦点F（3，0），M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，可知M的横坐标为：1.5，则FN|=1.5+3=4.5，|FN|=2|FM|=2×4.5=9．故答案为：9．11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF的边长为6的等边三角形（O为坐标原点），则该双曲线的方程为﹣=1．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意列方程组求出a，b的值即可．【解答】解：由题意可知，解得a=3，b=3，∴双曲线方程为=1．故答案为：=1．12．已知数列{a n}中，a1=1，a2=4，a3=10，若{a n﹣a n}是等比数列，则i=+13049．【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】由a2﹣a1=3，a3﹣a2=6，得{a n+1﹣a n}是首项为3，公比为2的等比数列，从而依次求出数列的前10项，由此能求出i．【解答】解：∵数列{a n}中，a1=1，a2=4，a3=10，{a n+1﹣a n}是等比数列，∴a2﹣a1=3，a3﹣a2=6，﹣a n}是首项为3，公比为2的等比数列，∴{a n+1∴a4﹣a3=12，a4=12+10=22，a5﹣a4=24，a5=24+22=46，a6﹣a5=48，a6=48+46=94，a7﹣a6=96，a7=96+94=190，a8﹣a7=192，a8=192+190=382，a9﹣a8=384，a9=384+382=766，a10﹣a9=768，a10=768+766=1534，∴i=1+4+10+22+46+94+190+382+766+1534=3049．故答案为：3049．13．已知P为椭圆+=1上的动点，M，N为圆（x﹣2）2+y2=1上两点，且MN=，则|+|的取值范围是[3，13] ．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】令Q为MN中的中点，可得CQ=，结合C为椭圆+=1的焦点，|PC|∈[2，6]，可得PQ|的范围，结合|+|=|2|，可得答案．【解答】解：令Q为MN中的中点，则圆（x﹣2）2+y2=1的圆心C到MN的距离CQ==，又由C为椭圆+=1的焦点，故|PC|∈[2，6]，则PQ|∈[2﹣，6+]=[，]，|+|=|2|∈[3，13]，故答案为：[3，13]．14．设数列{a n}共有4项，满足a1＞a2＞a3＞a4≥0，若对任意的i，j（1≤i≤j≤4，且i，j∈N*），a i﹣a j仍是数列{a n}中的某一项．现有下列命题：①数列{a n}一定是等差数列；②存在1≤i＜j≤4，使得ia i=ja j；③数列{a n}中一定存在一项为0．其中，真命题的序号有①②③．（请将你认为正确命题的序号都写上）【考点】8H：数列递推式．【分析】根据题意：对任意i，j（1≤i≤j≤4），有a i﹣a j仍是该数列的某一项，因此0∈{a n}，即a4=0，进而推出数列的其它项，可得答案．【解答】解：根据题意：对任意i，j（1≤i≤j≤4），有a i﹣a j仍是该数列的某一项，令i=j，则0为数列的某一项，即a4=0，则a3﹣a4=a3∈{a n}，（a3＞0）．必有a2﹣a3=a3，即a2=2a3，而a1﹣a2=a2或a3，若a1﹣a2=a2，则a1﹣a3=3a3，而3a3≠a2，a3，a4，舍去；若a1﹣a2=a3∈{a n}，此时a1=3a3，可得数列{a n}为：3a3，2a3，a3，0（a4＞0）；据此分析选项：易得①②③正确；故答案为：①②③二、解答题（本大题共6小题，共90分）15．命题p：方程+=1表示双曲线；命题q：∃x∈R，使得x2+mx+m+3＜0成立．若“p且￢q”为真命题，求实数m的取值范围．【考点】2E：复合命题的真假．【分析】根据双曲线的性质求出p为真时m的范围，根据二次函数的性质求出￢q为真时的m的范围，取交集即可．【解答】解：若p为真命题，则（m+3）（m﹣4）＜0，解得：﹣3＜m＜4，￢q：∀x∈R，使得x2+mx+m+3≥0，若￢q是真命题，则m2﹣4（m+3）≤0，解得：﹣2≤m≤6，若“p且￢q”为真命题，则p是真命题且￢q也是真命题，故﹣2≤m＜4．16．设等差数列{a n}的前n项和为S，a2+a6=20，S5=40．（1）求{a n}的通项公式；（2）设等比数列{b n}满足b2=a3，b3=a2．若b6=a k，求k的值．【考点】85：等差数列的前n项和；84：等差数列的通项公式．【分析】（1）利用等差数列通项公式求出a4=10，利用等差数列前n项和公式求出a3=8．由此能求出{a n}的通项公式．（2）求出等比数列{b n}中b2=8，b3=16，从而q=2，b6=a k=2k+2=128，由此能求出k．【解答】解：（1）∵等差数列{a n}的前n项和为S，a2+a6=20，S5=40．∴a2+a6=2a4=20，解得a4=10，S5=5a3=40，解得a3=8．∴d=a4﹣a3=10﹣8=2，a1=a3﹣2d=8﹣4=4，∴a n=a1+（n﹣1）d=4+（n﹣1）×2=2n+2．（2）∵等比数列{b n}满足b2=a3，b3=a2．∴b2=8，b3=16，∴q=，∴b6=a k=2k+2=8×24=128，解得k=63．17．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）与双曲线﹣y2=1有相同的焦点F1，F2，抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，且与椭圆在第一象限的交点为M，若MF1+MF2=2．（1）求椭圆的方程；（2）若MF=，求抛物线的方程．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）根据椭圆的定义列出方程组求出a，b的值即可；（2）设M（x0，y0），根据抛物线的性质列方程组求出M点坐标，从而得出抛物线方程．【解答】解：（1）由条件得，解得a=，b=，∴椭圆方程为=1．（2）设M（x0，y0），则MF=y0+=，即p=﹣2y0，又M在椭圆上，∴x02+3y02=6，且x02=2py0，∴（7﹣4y0）y0+3y02=6，解得y0=1或y0=6（舍），∴p=，∴抛物线方程为x2=3y．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2﹣a n（n∈N*）．数列{b n}满足（2n ﹣（2n+1）b n=0（n∈N*），且b1=1．﹣1）b n+1（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和为T n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）根据已知条件利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用乘公比错位相减法求出数列的和．【解答】解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2﹣a n（n∈N*）．得到：S n+1=2﹣a n+1，则：a n+1=a n﹣a n+1，整理得：所以：数列{a n}是以1为首项，为公比的等比数列．则：．数列{b n}满足（2n﹣1）b n+1﹣（2n+1）b n=0（n∈N*），则：，所以：数列{}是常数列．则：{b n}的通项公式为：b n=2n﹣1．（2）由（1）得：c n=a n•b n=，则： +…+①所以： +…+②则：①﹣②得：）﹣，整理得：T n=．19．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，AB为椭圆的一条弦（不经过原点），直线y=kx（k＞0）经过弦AB的中点，与椭圆C交于P，Q两点，设直线AB的斜率为k1．（1）若点Q的坐标为（1，），求椭圆C的方程；（2）求证：k1k为定值；（3）过P点作x轴的垂线，垂足为R，若直线AB和直线QR倾斜角互补．若△PQR的面积为2，求椭圆C的方程．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）列方程组求出a，b的值即可得出椭圆方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程化简，从而得出k1，k关于A，B坐标的表达式，结合e=即可得出kk1的值；（3）设Q（s，t）（s＞0，t＞0），根据倾斜角互补和面积公式计算Q的坐标，从而得出椭圆方程．【解答】解：（1）由条件得：，解得a=2，b=，∴椭圆方程为=1．（2）证明：设AB的中点为（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），由于A，B为椭圆上的点，∴，，两式相减得： +=0，即=﹣•=﹣•，∵k1=，k=，∴k1=﹣，即k1k=﹣．∵e==，∴==，∴k 1k=﹣． （3）设Q （s ，t ）（s ＞0，t ＞0），则P （﹣s ，﹣t ），R （﹣s ，0），∴k QR ==，∵直线AB 和直线QR 倾斜角互补，∴=﹣k 1，又k 1k=﹣，且k ＞0，∴k=，又S △PQR =st=2， =k=，∴s=2，t=，即Q （2，），∴=1，又，∴a=2，b=3，∴椭圆方程为．20．已知数列{a n }的首项a 1=a （a ＞0），其前n 项和为S n ，设b n =a n +a n +1（n ∈N*）．（1）若a 2=a +1，a 3=2a 2，且数列{b n }是公差为3的等差数列，求S 2n ； （2）设数列{b n }的前n 项和为T n ，满足T n =n 2．①求数列{a n }的通项公式；②若对∀n ∈N*，且n ≥2，不等式（a n ﹣1）（a n +11）≥2（1﹣n ）恒成立，求a 的取值范围．【考点】8K ：数列与不等式的综合．【分析】（1）由已知可得：b n +1﹣b n =a n +2﹣a n =3，数列{a n }的奇数项与偶数项分别成等差数列，且公差为3．利用a 3﹣a 1=2a 2﹣a=2（a +1）﹣a=3，解得a ．即可得出S 2n ．（2）①由T n =n 2，n ≥2时，b n =T n ﹣T n ﹣1=n 2﹣（n ﹣1）2=2n ﹣1．n=1时，b 1=T 1=1．b n =a n +a n +1=2n ﹣1．化为：a n +1﹣n=﹣[a n ﹣（n ﹣1）]，利用等比数列的通项公式可得a n=n﹣1+a×（﹣1）n﹣1，②不等式（a n﹣1）（a n+11）≥2（1﹣n）化为：a n a n+1﹣（a n+a n+1）+1≥2（1﹣n），由a n+a n+1=2n﹣1．不等式化为：a n a n+1≥0．对分类讨论即可得出．【解答】解：（1）由已知可得：b n+1﹣b n=a n+2﹣a n=3，∴数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等差数列，且公差为3．∴a3﹣a1=2a2﹣a=2（a+1）﹣a=a+2=3，解得a=1．∴a1=1，a2=2．∴S2n=+=3n2．（2）①由T n=n2，n≥2时，b n=T n﹣T n﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1．n=1时，b1=T1=1．∴b n=a n+a n+1=2n﹣1．化为：a n+1﹣n=﹣[a n﹣（n﹣1）]，∴数列{a n﹣（n﹣1）}为等比数列，公比为﹣1．首项为a．∴a n﹣（n﹣1）=a×（﹣1）n﹣1，即a n=n﹣1+a×（﹣1）n﹣1，②不等式（a n﹣1）（a n+11）≥2（1﹣n）化为：a n a n+1﹣（a n+a n+1）+1≥2（1﹣n），由a n+a n+1=2n﹣1．∴不等式化为：a n a n+1≥0．当n为奇数时，a n=a+（n﹣1），a n+1=﹣a+n，∴a n a n+1=[a+（n﹣1）]（﹣a+n）=﹣a2+a+n（n﹣1）≥0，即﹣a2+a≥﹣n（n﹣1）对∀n∈N*，且n≥2恒成立．∴﹣a2+a≥﹣6，解得﹣2≤a≤3．当n为偶数时，a n=﹣a+（n﹣1），a n+1=a+n，∴a n a n+1≥0，即﹣a2+a≥﹣n（n﹣1）对∀n∈N*，且n≥2恒成立．∴﹣a2+a≥﹣2，解得﹣2≤a≤1．又a＞0，可得a的取值范围为：0＜a≤1．。

2017-2018学年江苏省南通市启东中学普通班高二（上）第一次月考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知命题p：∀x∈R，sinx＜1，则￢p为．2．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为．3．（5分）过点P（3，4）与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=1相切的直线方程为．4．（5分）若函数f（x）=2x﹣（k2﹣3）•2﹣x，则k=2是函数f（x）为奇函数的条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）5．（5分）若椭圆+=1过点（﹣2，），则其焦距为．6．（5分）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB的面积为．7．（5分）已知命题p：设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的必要不充分条件；命题q：若•＜0，则，夹角为钝角，在命题①p∧q；②￢p∨￢q；③p∨￢q；④￢p∨q中，真命题的是．（填序号）8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知过原点O的动直线l与圆C：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B，若点A恰好使线段OB的中点，则圆心C到直线l的距离为．9．（5分）若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成7：3的两段，则此双曲线的离心率为．10．（5分）若圆上一点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x﹣y+1=0相交的弦长为2，则圆的方程是．11．（5分）已知抛物线y2=8x的准线为l，点Q在圆C：x2+y2+2x﹣8y+13=0上，记抛物线上任意一点P到直线l的距离为d，则d+PQ的最小值为．12．（5分）如图所示，A，B是椭圆的两个顶点，C是AB的中点，F为椭圆的右焦点，OC的延长线交椭圆于点M，且|OF|=，若MF⊥OA，则椭圆的方程为．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．14．（5分）如图，已知过椭圆（a＞b＞0）的左顶点A（﹣a，0）作直线1交y轴于点P，交椭圆于点Q，若△AOP是等腰三角形，且，则椭圆的离心率为．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）设a为实数，给出命题p：关于x的不等式的解集为ϕ，命题q：函数f（x）=lg[ax2+（a﹣2）x+]的定义域为R，若命题p和q中有且仅有一个正确，求a的取值范围．16．（14分）抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为（，），求抛物线与双曲线方程．17．（14分）已知圆M：x2+y2﹣2x+a=0．（1）若a=﹣8，过点P（4，5）作圆M的切线，求该切线方程；（2）若AB为圆M的任意一条直径，且•=﹣6（其中O为坐标原点），求圆M的半径．18．（16分）已知椭圆，点P（）在椭圆上．（1）求椭圆的离心率；（2）设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点．若点Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|，求直线OQ的斜率的值．19．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在坐标原点O，右焦点为F．若C的右准线l的方程为x=4，离心率e=．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设点P为直线l上一动点，且在x轴上方．圆M经过O、F、P三点，求当圆心M到x轴的距离最小时圆M的方程．20．（16分）在平面直角坐标系xOy 中，离心率为的椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左顶点为A，且A到右准线的距离为6，点P、Q是椭圆C上的两个动点．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，当P、O、Q共线时，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点，求证：•定值；（3）设直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，当k1•k2=﹣1时，证明直线PQ经过定点R．2017-2018学年江苏省南通市启东中学普通班高二（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知命题p：∀x∈R，sinx＜1，则￢p为∃x∈R，sinx≥1．【分析】由已知中的原命题，结合全称命题否定的定义，可得答案．【解答】解：命题p：∀x∈R，sinx＜1，则￢p为“∃x∈R，sinx≥1”，故答案为：∃x∈R，sinx≥1．【点评】本题考查的知识点是全称命题的否定，难度不大，属于基础题．2．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为y=．【分析】由双曲线的离心率，利用题设条件，结合离心率的变形公式能求出的值，由此能求出双曲线的渐近线的方程．【解答】解：∵双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为，∴===，∴1+=，∴=，解得，∴C的渐近线方程为y==．故答案为：y=．【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是基础题，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质．3．（5分）过点P（3，4）与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=1相切的直线方程为x=3或4x﹣3y=0．【分析】讨论切线的斜率不存在时，求出切线的方程；切线的斜率存在时，由圆心到切线的距离等于半径求出斜率，写出切线方程．【解答】解：当切线的斜率不存在时，切线的方程为x=3；当切线的斜率存在时，设切线的斜率为k，则切线的方程为y﹣4=k（x﹣3），即kx﹣y+4﹣3k=0，由圆心（2，1）到切线的距离等于半径，得=1，解得k=，此时切线的方程为4x﹣3y=0；综上，圆的切线方程为x=3或4x﹣3y=0．故答案为：x=3或4x﹣3y=0．【点评】本题主要考查了过圆外一点作圆的切线问题，一般是利用点到切线的距离d=r，求得切线方程．4．（5分）若函数f（x）=2x﹣（k2﹣3）•2﹣x，则k=2是函数f（x）为奇函数的充分不必要条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）【分析】根据奇函数的定义得到k2﹣3=1，解出k的值，从而得到答案．【解答】解：若函数f（x）=2x﹣（k2﹣3）•2﹣x为奇函数，则f（﹣x）=2﹣x﹣（k2﹣3）2x=（k2﹣3）2﹣x﹣2x，∴k2﹣3=1，解得：k=±2，∴k=2是函数f（x）为奇函数的充分不必要条件，故答案为：充分不必要．【点评】本题考察了充分必要条件，考察函数的奇偶性，是一道基础题．5．（5分）若椭圆+=1过点（﹣2，），则其焦距为4．【分析】先由条件把椭圆经过的点的坐标代入椭圆的方程，即可求出待定系数m，从而得到椭圆的标准方程，再根据椭圆的a，b，c之间的关系即可求出焦距2c．【解答】解：由题意知，把点（﹣2，）代入椭圆的方程可求得b2=4，故椭圆的方程为，∴a=4，b=2，c==2，则其焦距为4．故答案为4，【点评】本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，以及椭圆方程中a、b、c之间的关系．6．（5分）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB的面积为．【分析】设直线AB的倾斜角为θ，利用|AF|=3，可得点A到准线l：x=﹣1的距离为3，从而cosθ=，进而可求|BF|，|AB|，由此可求AOB的面积．【解答】解：设直线AB的倾斜角为θ（0＜θ＜π）及|BF|=m，∵|AF|=3，∴点A到准线l：x=﹣1的距离为3，∴2+3cosθ=3，即cosθ=，则sinθ=．∵m=2+mcos（π﹣θ）∴m=∴△AOB的面积为S===．故答案为：．【点评】本题考查抛物线的定义，考查三角形的面积的计算，确定抛物线的弦长是解题的关键．7．（5分）已知命题p：设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的必要不充分条件；命题q：若•＜0，则，夹角为钝角，在命题①p∧q；②￢p∨￢q；③p∨￢q；④￢p∨q中，真命题的是②③．（填序号）【分析】分别判断出命题p和q的真假，然后根据复合命题真假的定义分别进行判断．【解答】解：当a=1，b=4时，满足a+b＞4，但a＞2且b＞2不成立，若a＞2且b＞2，则a+b＞4成立，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的必要不充分条件，故命题p为真命题；当和的夹角为π时，满足•＜0，但，的夹角不是钝角，故命题q为假命题；则①p∧q是假命题；②￢p∨￢q为真命题；③p∨￢q为真命题；④￢p∨q为假命题；故真命题的是②③．【点评】本题考查复合命题的真假，先判断出命题p和q的真假为解题的关键．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知过原点O的动直线l与圆C：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B，若点A恰好使线段OB的中点，则圆心C到直线l的距离为．【分析】化圆的一般式方程为标准方程，设出直线方程，和圆的方程联立，由已知可得A，B两点横坐标的关系，结合根与系数的关系列式求得直线的斜率，得到直线方程，由点到直线的距离公式得答案．【解答】解：由圆C：x2+y2﹣6x+5=0，得（x﹣3）2+y2=4，画出图形如图，设OB所在直线方程为y=kx，联立，得（1+k2）x2﹣6x+5=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则由题意可得：x2=2x1，∴，消去x1得：，∴k=．由对称性，不妨取k=，则直线方程为，即，则圆心C（3，0）到直线的距离为d=．故答案为：．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查了一元二次方程根与系数的关系故选的运用，训练了点到直线的距离公式的用法，是中档题．9．（5分）若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成7：3的两段，则此双曲线的离心率为．【分析】利用线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成7：3的两段，确定a，c的关系，从而可求双曲线的离心率【解答】解：因为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点（，0）分成7：3的两段，（+c）：（c﹣）=7：3，∴5b=4c，∴25（c2﹣a2）=16c2，∴3c=5a，∴e==．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的几何性质，主要是离心率的求法，考查学生的计算能力，属于基础题．10．（5分）若圆上一点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x﹣y+1=0相交的弦长为2，则圆的方程是（x﹣6）2+（y+3）2=52或（x ﹣14）2+（y+7）2=244．【分析】由圆上的点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上，知圆心在直线x+2y=0上，设圆心为（2a，﹣a），则R2=（2a﹣2）2+（﹣a﹣3）2，由圆与直线x﹣y+1=0相交的弦长为2，知圆心到直线的距离d=，由此能求出圆的方程．【解答】解：∵圆上的点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上，∴圆心在直线x+2y=0上．设圆心为（2a，﹣a），则r2=（2a﹣2）2+（﹣a﹣3）2，∵圆与直线x﹣y+1=0相交的弦长为2，∴圆心到直线的距离d=，∴，解得a=3或a=7．∴圆的方程为（x﹣6）2+（y+3）2=52或（x﹣14）2+（y+7）2=244．故答案为：（x﹣6）2+（y+3）2=52或（x﹣14）2+（y+7）2=244．【点评】本题考查对称点的坐标的求法，圆的标准方程的求法，考查计算能力，是中档题．11．（5分）已知抛物线y2=8x的准线为l，点Q在圆C：x2+y2+2x﹣8y+13=0上，记抛物线上任意一点P到直线l的距离为d，则d+PQ的最小值为3．【分析】圆C：x2+y2+2x﹣8y+13=0，以C（﹣1，4）为圆心，半径等于2，抛物线y2=8x的准线为l：x=﹣2，焦点为F（2，0），当P，Q，F三点共线时，P到点Q的距离d与点P到抛物线的焦点距离|PQ|之和最小，从而d+|PQ|的最小值为|FC|﹣r．【解答】解：圆C：x2+y2+2x﹣8y+13=0，即（x+1）2+（y﹣4）2=4，表示以C（﹣1，4）为圆心，半径等于2的圆．抛物线y2=8x的准线为l：x=﹣2，焦点为F（2，0），根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，进而推断出当P，Q，F三点共线时，P到点Q的距离d与点P到抛物线的焦点距离|PQ|之和最小，∴d+|PQ|的最小值为：|FC|﹣r=﹣2=3．故答案为：3．【点评】本题考查线段和的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意抛物线性质的合理运用．12．（5分）如图所示，A，B是椭圆的两个顶点，C是AB的中点，F为椭圆的右焦点，OC的延长线交椭圆于点M，且|OF|=，若MF⊥OA，则椭圆的方程为．【分析】设出椭圆方程，利用AB为椭圆的两个顶点，C是AB的中点，OC交椭圆于点M，MF⊥OA，求出M、C的坐标，利用OM的斜率=OC的斜率，即可求得结论．【解答】解：∵F为椭圆的右焦点，|OF|=，∴c=．设椭圆方程为（b＞0），∵AB为椭圆的两个顶点，C是AB的中点，OC交椭圆于点M，MF⊥OA，∴A是长轴右端点，∴，∴M（）∵A（），B（0，b）∴C（）∵OM的斜率=OC的斜率，∴∴b=，∴所求椭圆方程是．故答案为．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．【分析】由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，由题意可知，只需（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．【解答】解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圆C 是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx﹣2的距离为d，则d=≤2，即3k2﹣4k≤0，∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案为：．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．14．（5分）如图，已知过椭圆（a＞b＞0）的左顶点A（﹣a，0）作直线1交y轴于点P，交椭圆于点Q，若△AOP是等腰三角形，且，则椭圆的离心率为．【分析】利用等腰三角形的性质和向量相等运算即可得出点Q的坐标，再代入椭圆方程即可．【解答】解：∵△AOP是等腰三角形，A（﹣a，0）∴P（0，a）．设Q（x0，y0），∵，∴（x0，y0﹣a）=2（﹣a﹣x0，﹣y0）．∴，解得．代入椭圆方程得，化为．∴=．故答案为．【点评】熟练掌握等腰三角形的性质和向量相等运算、“代点法”等是解题的关键．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）设a为实数，给出命题p：关于x的不等式的解集为ϕ，命题q：函数f（x）=lg[ax2+（a﹣2）x+]的定义域为R，若命题p和q中有且仅有一个正确，求a的取值范围．【分析】若p正确，求得a＞1；②若q正确，求得．根据p和q中有且仅有一个正确，故有或，解不等式组，求得a的取值范围．【解答】解：①若p正确，则由题意可得≤1 恒成立，即的最大值为1，可得a＞1．（4分）②若q正确，则解集为R，（6分）当a=0时，的解集不是R，不合题意，舍去；当a≠0时，则由解得．（10分）③∵p和q中有且仅有一个正确，∴，或，∴a≥8，或．故a的取值范围为[8，+∞）∪（，1]．（14分）【点评】本题主要考查对数函数、指数函数的单调性和特殊点，复合命题的真假，属于基础题．16．（14分）抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为（，），求抛物线与双曲线方程．【分析】首先根据抛物线的准线过双曲线的焦点，可得p=2c，再利用抛物线与双曲线同过交点（，），求出c、p的值，进而结合双曲线的性质a2+b2=c2，求解即可．【解答】解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，∴p=2c．设抛物线方程为y2=4c•x，∵抛物线过点（，），∴6=4c•．∴c=1，故抛物线方程为y2=4x．又双曲线﹣=1过点（，），∴﹣=1．又a2+b2=c2=1，∴﹣=1．∴a2=或a2=9（舍）．∴b2=，故双曲线方程为：4x2﹣=1．【点评】本题考查了抛物线和双曲线方程的求法：待定系数法，熟练掌握圆锥曲线的性质是解题的关键，同时考查了学生的基本运算能力与运算技巧．17．（14分）已知圆M：x2+y2﹣2x+a=0．（1）若a=﹣8，过点P（4，5）作圆M的切线，求该切线方程；（2）若AB为圆M的任意一条直径，且•=﹣6（其中O为坐标原点），求圆M的半径．【分析】（1）分类讨论：当切线的斜率存在时，设切线的方程为l：y﹣5=k（x ﹣4），利用直线与圆相切的性质即可得出．斜率不存在时直接得出即可．（2）•=（+）•（+），即可得出结论．【解答】解：（1）若a=﹣8，圆M：x2+y2﹣2x+a=0即（x﹣1）2+y2=9，圆心（1，0），半径为3，斜率不存在时，x=4，满足题意；斜率存在时，切线l的斜率为k，则l：y﹣5=k（x﹣4），即l：kx﹣y﹣4k+5=0 由=3，解得k=，∴l：8x﹣15y+43=0，综上所述切线方程为x=4或8x﹣15y+43=0；（2）•=（+）•（+）=1﹣（1﹣a）=﹣6，∴a=﹣6，∴圆M的半径==．【点评】本题考查了二次方程与圆的方程之间的关系、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了向量的数量积公式，属于中档题．18．（16分）已知椭圆，点P（）在椭圆上．（1）求椭圆的离心率；（2）设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点．若点Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|，求直线OQ的斜率的值．【分析】（1）根据点P（）在椭圆上，可得，由此可求椭圆的离心率；（2）设直线OQ的斜率为k，则其方程为y=kx，设点Q的坐标为（x0，y0），与椭圆方程联立，，根据|AQ|=|AO|，A（﹣a，0），y0=kx0，可求，由此可求直线OQ的斜率的值．【解答】解：（1）因为点P（）在椭圆上，所以∴∴∴（2）设直线OQ的斜率为，则其方程为y=kx设点Q的坐标为（x0，y0），由条件得，消元并整理可得①∵|AQ|=|AO|，A（﹣a，0），y0=kx0，∴∴∵x0≠0，∴代入①，整理得∵∴+4，∴5k4﹣22k2﹣15=0∴k2=5∴【点评】本题考查椭圆的离心率，考查直线与椭圆的位置关系，联立方程组是关键．19．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在坐标原点O，右焦点为F．若C的右准线l的方程为x=4，离心率e=．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设点P为直线l上一动点，且在x轴上方．圆M经过O、F、P三点，求当圆心M到x轴的距离最小时圆M的方程．【分析】（1）设椭圆C的标准方程是，由题意知，由此能够求出椭圆C的方程．（2）由（1）知，F（2，0），由题意设P（4，t），t＞0，线段OF的垂直平分线方程为x=1，因为线段FP的中心为（3，），斜率为．所以线段FP的垂直平分线方程为，由此入手能够求出圆M的方程．【解答】解：（1）由题意，设椭圆C的标准方程是，则，解得，∴所求椭圆C的方程为．（2）由（1）知，F（2，0），由题意设P（4，t），t＞0，线段OF的垂直平分线方程为x=1，①因为线段FP的中心为（3，），斜率为．所以线段FP的垂直平分线方程为，即y=﹣++，②联立①②，解得，即：圆心M（1，），∵t＞0，∴=，当且仅当，即t=2时，圆心M到x轴的距离最小，此时圆心为M（1，），半径为OM=3，故所求圆M的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=9．【点评】本题考查椭圆标准方程的求法和求当圆心M到x轴的距离最小时圆M 的方程．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．20．（16分）在平面直角坐标系xOy 中，离心率为的椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左顶点为A，且A到右准线的距离为6，点P、Q是椭圆C上的两个动点．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，当P、O、Q共线时，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点，求证：•定值；（3）设直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，当k1•k2=﹣1时，证明直线PQ经过定点R．【分析】（1）由椭圆的离心率为，且A到右准线的距离为6，列方程求解得a=2，c=1，由此能求出椭圆的标准方程；（2）设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），又A（﹣2，0），求出直线AP的方程得到M点的坐标，再求出，同理可得，进一步求出•=4+，结合点P在椭圆C上，故，即可证得结论；（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），将直线AP的方程y=k1（x+2）与椭圆方程联立得：，即（3+4k12）x2+16k12x+16k12﹣12=0，求出P点的坐标，由k1•k2=﹣1即可求出Q点的坐标，然后分类讨论即可得结论．【解答】（1）解：由题意，且，解得a=2，c=1．∴b=．∴椭圆的标准方程为．（2）证明：设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），又A（﹣2，0），∴直线AP的方程为y=（x+2），得M（0，），∴=（2，）．同理可得N（0，），=（2，），∴•=4+．又点P在椭圆C上，故，即，∴•=4+=1（定值）；（3）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），将直线AP的方程y=k1（x+2）与椭圆方程联立得：，即（3+4k12）x2+16k12x+16k12﹣12=0．∴﹣2+x1=，x1=，y1=，∴P（，）．∵k1•k2=﹣1，∴Q（，）．当时，点P和点Q的横坐标相同，直线PQ的方程为x=﹣，由此可见，如果直线PQ经过定点R，则点R的横坐标一定为﹣．当时，，直线PQ的方程为y﹣=（x﹣），令x=﹣得：=0．∴直线PQ过定点R（﹣，0）．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查两数值是否为定值的判断与求法，考查运算能力，解题时要认真审题，注意直线与椭圆性质的合理运用，是难题．。

2017-2018学年江苏省南通市启东中学高三（上）期初数学试卷一．填空题1．（3分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0，x∈Z}，集合B={x|x＞0}，则集合A∩B=．2．（3分）从1，2，3，4，5这5个数字中任取2个数字，这2个数字之和为偶数的概率为．3．（3分）函数y=lnx﹣x的单调递增区间为．4．（3分）已知函数f（x）=的定义域是一切实数，则m的取值范围是．5．（3分）若f（x）=2x+2﹣x lga是奇函数，则实数a=．6．（3分）若cos（﹣θ）=，则cos（+θ）﹣sin2（θ﹣）=．7．（3分）直线y=kx与曲线y=2e x相切，则实数k=．8．（3分）已知f（x）=的最大值和最小值分别是M和m，则M+m=．9．（3分）设实数a＞1，b＞1．则“a＜b”是“lna﹣lnb＞a﹣b”成立的条件．（请用“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中之一填空．）充要．10．（3分）设函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（e x）=x+e x，则f′（1）=．11．（3分）已知O是△ABC外接圆的圆心，若4+5+6=，则cosC=．12．（3分）二次函数f（x）满足f（3﹣x）=f（3+x），又f（x）是[0，3]上的增函数，且f（a）≥f（0），那么实数a的取值范围是．13．（3分）已知函数f（x）=e|x|，将函数f（x）的图象向右平移3个单位后，再向上平移2个单位，得到函数g（x）的图象，函数h（x）=若对于任意的x∈[3，λ]（λ＞3），都有h（x）≥g（x），则实数λ的最大值为．14．（3分）已知函数f（x）=Asin（x+θ）﹣cos cos（﹣）（其中A为常数，θ∈（﹣π，0），若实数x1，x2，x3满足；①x1＜x2＜x3，②x3﹣x1＜2π，③f（x1）=f（x2）=f（x3），则θ的值为．二.计算题15．已知命题p：∀x∈[2，4]，x2﹣2x﹣2a≤0恒成立，命题q：f（x）=x2﹣ax+1在区间上是增函数．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．16．设事件A表示“关于x的一元二次方程x2+ax+b2=0有实根”，其中a，b为实常数．（Ⅰ）若a为区间[0，5]上的整数值随机数，b为区间[0，2]上的整数值随机数，求事件A发生的概率；（Ⅱ）若a为区间[0，5]上的均匀随机数，b为区间[0，2]上的均匀随机数，求事件A发生的概率．17．已知向量．（1）若，求证：（2）设，若，求α，β的值．18．已知函数f（x）=（a2﹣3a+3）a x是指数函数，（1）求f（x）的表达式；（2）判断F（x）=f（x）﹣f（﹣x）的奇偶性，并加以证明（3）解不等式：log a（1﹣x）＞log a（x+2）19．如图，OA是南北方向的一条公路，OB是北偏东45°方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线C．为方便游客光，拟过曲线C上的某点分别修建与公路OA，OB垂直的两条道路PM，PN，且PM，PN的造价分别为5万元/百米，40万元/百米，建立如图所示的直角坐标系xoy，则曲线符合函数y=x+（1≤x ≤9）模型，设PM=x，修建两条道路PM，PN的总造价为f（x）万元，题中所涉及的长度单位均为百米．（1）求f（x）解析式；（2）当x为多少时，总造价f（x）最低？并求出最低造价．20．已知a＞0，且a≠1，函数f（x）=a x﹣1，g（x）=﹣x2+xlna．（1）若a＞1，证明函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数；（2）求函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值；（3）若函数F（x）的图象过原点，且F′（x）=g（x），当a＞e时，函数F（x）过点A（1，m）的切线至少有2条，求实数m的值．2017-2018学年江苏省南通市启东中学高三（上）期初数学试卷参考答案与试题解析一．填空题1．（3分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0，x∈Z}，集合B={x|x＞0}，则集合A∩B={1，2} ．【解答】解：求解不等式x2﹣2x﹣3＜0可得：﹣1＜x＜3，结合题意可得：A={0，1，2}，利用交集的定义可得：A∩B={1，2}．故答案为：{1，2}．2．（3分）从1，2，3，4，5这5个数字中任取2个数字，这2个数字之和为偶数的概率为．【解答】解：从1，2，3，4，5这5个数字中任取2个数字，有1、2，1、3，1、4，1、5，2、3，2、4，2、5，3、4，3、5，4、5；共10种情况．其中2个数字之和为偶数即取出的两个数均为奇数或偶数的情况有：1、3，1、5，3、5，2、4，共4种情况；故这2个数字之和为偶数的概率为=；故答案为：．3．（3分）函数y=lnx﹣x的单调递增区间为（0，1] ．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞）y′=﹣1=，令y′≥0得0＜x≤1，故函数的单调递增区间是（0，1]，故答案为：（0，1]．4．（3分）已知函数f（x）=的定义域是一切实数，则m的取值范围是0≤m≤4．【解答】解：∵函数f（x）=的定义域是一切实数，∴mx2+mx+1≥0对一切x∈R恒成立，当m=0时，上式变为1＞0，恒成立，当m≠0时，必有，解之可得0＜m≤4，综上可得0≤m≤4故答案为0≤m≤45．（3分）若f（x）=2x+2﹣x lga是奇函数，则实数a=．【解答】解：函数f（x）=2x+2﹣x lga是奇函数∴f（x）+f（﹣x）=0，∴2x+2﹣x lga+2﹣x+2x lga=0，即2x+2﹣x+lga（2x+2﹣x）=0∴lga=﹣1∴a=故答案为：．6．（3分）若cos（﹣θ）=，则cos（+θ）﹣sin2（θ﹣）=﹣．【解答】解：∵cos（θ﹣）=cos（﹣θ）=，∴sin2（θ﹣）=1﹣cos2（﹣θ）=，∴cos（+θ）=cos（π﹣+θ）=﹣cos（﹣θ）=﹣，∴cos（+θ）﹣sin2（θ﹣）=﹣﹣=﹣．故答案是：﹣．7．（3分）直线y=kx与曲线y=2e x相切，则实数k=2e．【解答】解：设切点为（x0，y0），则y0=2e x0，∵y′=（2e x）′=2e x，∴切线斜率k=2e x0，又点（x0，y0）在直线上，代入方程得y0=kx0，即2e x0=2e x0 x0，解得x0=1，∴k=2e．故答案为：2e．8．（3分）已知f（x）=的最大值和最小值分别是M和m，则M+m=4．【解答】解：f（x）===2+，设g（x）=，则g（﹣x）=﹣=﹣g（x），即g（x）为奇函数，可设g（x）的最大值为t，则最小值为﹣t，可得M=t+2，m=﹣t+2，即有M+m=4．故答案为：4．9．（3分）设实数a＞1，b＞1．则“a＜b”是“lna﹣lnb＞a﹣b”成立的充要条件．（请用“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中之一填空．）充要．【解答】解：设f（x）=lnx﹣x，x＞1，则；∴f（x）在（1，+∞）上单调递减；∴a＜b⇔f（a）＞f（b）；即a＜b⇔lna﹣a＞lnb﹣b；∴a＜b⇔lna﹣lnb＞a﹣b；∴“a＜b”是“lna﹣lnb＞a﹣b”的充要条件．故答案为：充要．10．（3分）设函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（e x）=x+e x，则f′（1）=2．【解答】解：函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（e x）=x+e x，令e x=t，则x=lnt，故有f（t）=lnt+t，即f（x）=lnx+x，∴f′（x）=+1，故f′（1）=1+1=2．故答案为：2．11．（3分）已知O是△ABC外接圆的圆心，若4+5+6=，则cosC=．【解答】解：由O是△ABC外接圆的圆心，则丨丨=丨丨=丨丨=R，由4+5+6=，且=﹣（4+5）．平方可得R2=（16R2+40R2cos∠AO，B+25R2），解得：cos∠AOB=﹣，由∠ACB=∠AOB，则cos∠ACB=cos∠AOB==，则cosC=，故答案为：．12．（3分）二次函数f（x）满足f（3﹣x）=f（3+x），又f（x）是[0，3]上的增函数，且f（a）≥f（0），那么实数a的取值范围是[0，6] ．【解答】解：∵f（x）满足f（3﹣x）=f（3+x），∴对称轴是x=3，又f（x）在[0，3]上是增函数，则抛物线的开口向下，且f（x）在[3，6]上是减函数，∵f（a）≥f（0），则f（a）≥f（6），所以根据二次函数的单调性并结合图象（示意图）可得：0≤a≤6．故答案为：[0，6]．13．（3分）已知函数f（x）=e|x|，将函数f（x）的图象向右平移3个单位后，再向上平移2个单位，得到函数g（x）的图象，函数h（x）=若对于任意的x∈[3，λ]（λ＞3），都有h（x）≥g（x），则实数λ的最大值为ln2+4．【解答】解：由f（x）=e|x|的图象向右平移3个单位后可得：e|x﹣3|，再向上平移2个单位，可得e|x﹣3|+2=g（x）．当x∈[3，λ]（λ＞3）时，g（x）时，增函数，∴g（x）max=g（λ）=eλ﹣3+2．函数h（x）=，当x∈[3，5]时，h（x）=e（x﹣1）+2是增函数，此时：5≥λ＞3；那么：h（x）min=h（3）=2e+2．则eλ﹣3+2≤2e+2．解得：λ≤ln2+4∵5≥λ＞3；∴实数λ的最大值为ln2+4．当x∈（5，﹣∞）时，h（x）=4e6﹣x+2是减函数，此时：5＜λ；那么：2＜h（x）＜4e+2．则eλ﹣3+2≤2．解得：λ∈Φ，综上可得：实数λ的最大值为ln2+4．14．（3分）已知函数f（x）=Asin（x+θ）﹣cos cos（﹣）（其中A为常数，θ∈（﹣π，0），若实数x1，x2，x3满足；①x1＜x2＜x3，②x3﹣x1＜2π，③f（x1）=f（x2）=f（x3），则θ的值为﹣．【解答】解：∵f（x）=Asin（x+θ）﹣cos cos（﹣）（其中A为常数，θ∈（﹣π，0），∴﹣=Acos（x+θ）+，∵实数x1，x2，x3满足；①x1＜x2＜x3，②x3﹣x1＜2π，③f（x1）=f（x2）=f（x3），∴由题设条件①②③，得：x∈[x1，x3]时，f′（x）有两个零点，当cos（x+θ）=ksin（x﹣）时，f′（x）在[x1，x3]这个小于2π的区间才有两个零点，即x+θ=x﹣++kπ，∵θ∈（﹣π，0），∴=﹣．故答案为：﹣．二.计算题15．已知命题p：∀x∈[2，4]，x2﹣2x﹣2a≤0恒成立，命题q：f（x）=x2﹣ax+1在区间上是增函数．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：∀x∈[2，4]，x2﹣2x﹣2a≤0恒成立，等价于a≥x2﹣x在x∈[2，4]恒成立，而函数g（x）=x2﹣x在x∈[2，4]递增，其最大值是g（4）=4，∴a≥4，若p为真命题，则a≥4；f（x）=x2﹣ax+1在区间上是增函数，对称轴x=≤，∴a≤1，若q为真命题，则a≤1；由题意知p、q一真一假，当p真q假时，a≥4；当p假q真时，a≤1，所以a的取值范围为（﹣∞，1]∪[4，+∞）．16．设事件A表示“关于x的一元二次方程x2+ax+b2=0有实根”，其中a，b为实常数．（Ⅰ）若a为区间[0，5]上的整数值随机数，b为区间[0，2]上的整数值随机数，求事件A发生的概率；（Ⅱ）若a为区间[0，5]上的均匀随机数，b为区间[0，2]上的均匀随机数，求事件A发生的概率．【解答】解：（Ⅰ）当a∈{0，1，2，3，4，5}，b∈{0，1，2}时，共可以产生6×3=18个一元二次方程．若事件A发生，则a 2﹣4b2≥0，即|a|≥2|b|．又a≥0，b≥0，所以a≥2b．（3分）从而数对（a，b）的取值为（0，0），（1，0），（2，0），（2，1），（3，0），（3，1），（4，0），（4，1），（4，2），（5，0），（5，1），（5，2），共12组值．所以P（A）=．（5分）（Ⅱ）据题意，试验的全部结果所构成的区域为D={（a，b）|0≤a≤5，0≤b ≤2}，构成事件A的区域为A={（a，b）|0≤a≤5，0≤b≤2，a≥2b}．（8分）在平面直角坐标系中画出区域A、D，如图，其中区域D为矩形，其面积S（D）=5×2=10，区域A为直角梯形，其面积S（A）=．（11分）所以P（A）=．（12分）17．已知向量．（1）若，求证：（2）设，若，求α，β的值．【解答】解：（1）∵，∴=2，又=cos2α+sin2α=1，=cos2β+sin2β=1，∴=0，∴．（2）∵=（cosα+cosβ，sinα+sinβ）=（0，1），∴，∵0＜α＜β＜π，∴α+β=π，∴sinα=sinβ=，∴，．18．已知函数f（x）=（a2﹣3a+3）a x是指数函数，（1）求f（x）的表达式；（2）判断F（x）=f（x）﹣f（﹣x）的奇偶性，并加以证明（3）解不等式：log a（1﹣x）＞log a（x+2）【解答】解：（1）a2﹣3a+3=1，可得a=2或a=1（舍去），∴f（x）=2x；（2）F（x）=2x﹣2﹣x，∴F（﹣x）=﹣F（x），∴F（x）是奇函数；（3）不等式：log2（1﹣x）＞log2（x+2），即1﹣x＞x+2＞0，∴﹣2＜x＜﹣，解集为{x|﹣2＜x＜﹣}．19．如图，OA是南北方向的一条公路，OB是北偏东45°方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线C．为方便游客光，拟过曲线C上的某点分别修建与公路OA，OB垂直的两条道路PM，PN，且PM，PN的造价分别为5万元/百米，40万元/百米，建立如图所示的直角坐标系xoy，则曲线符合函数y=x+（1≤x ≤9）模型，设PM=x，修建两条道路PM，PN的总造价为f（x）万元，题中所涉及的长度单位均为百米．（1）求f（x）解析式；（2）当x为多少时，总造价f（x）最低？并求出最低造价．【解答】解：（1）在如图所示的直角坐标系中，因为曲线C的方程为，所以点P坐标为，直线OB的方程为x﹣y=0，…（2分）则点P到直线x﹣y=0的距离为，…（4分）又PM的造价为5万元/百米，PN的造价为40万元/百米．则两条道路总造价为．…（8分）（2）因为，所以，…（10分）令f'（x）=0，得x=4，列表如下：所以当x=4时，函数f（x）有最小值，最小值为．…（13分）答：（1）两条道路PM，PN总造价f（x）为（1≤x≤9）；（2）当x=4时，总造价最低，最低造价为30万元．…（14分）（注：利用三次均值不等式，当且仅当，即x=4时等号成立，照样给分．）20．已知a＞0，且a≠1，函数f（x）=a x﹣1，g（x）=﹣x2+xlna．（1）若a＞1，证明函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数；（2）求函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值；（3）若函数F（x）的图象过原点，且F′（x）=g（x），当a＞e时，函数F（x）过点A（1，m）的切线至少有2条，求实数m的值．【解答】解：（1）h（x）=f（x）﹣g（x）=a x﹣1+x2﹣xlna，则h′（x）=（a x﹣1）lna+2x，∵a＞1，∴当x＞0时，a x﹣1＞0，lna＞0，∴h′（x）＞0，即此时函数h（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数．（2）由（1）知，当a＞1时，函数h（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数，则在区间（﹣∞，0）上是单调减函数，同理当0＜a＜1时，h（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数，则在区间（﹣∞，0）上是单调减函数，即当a＞0，且a≠1时，h（x）在区间[﹣1，0）上是减函数，在区间（[0，1）上是增函数，当﹣1≤x≤1时，h（x）的最大值为h（﹣1）和h（1）中的最大值，∵h（1）﹣h（﹣1）=（a﹣lna）﹣（+lna）=a﹣﹣2lna，∴令G（a）=a﹣﹣2lna，a＞0，则G′（a）=1+﹣=（1﹣）2≥0，∴G（a）=a﹣﹣2lna，在a＞0上为增函数，∵G（1）=1﹣1﹣2ln1=0，∴a＞1时，G（a）＞0，即h（1）＞h（﹣1），最大值为h（1）=a﹣lna，当0＜a＜1时，G（a）＜0，即h（﹣1）＞h（1），最大值为h（﹣1）=+lna．（3）∵F（x）的图象过原点，且F′（x）=g（x）=﹣x2+xlna，∴设F（x）=﹣x3+x2lna+c，∵F（x）的图象过原点，∴F（0）=0，即c=0，则F（x）=﹣x3+x2lna．设切点为B（x0，﹣x03+x02lna），则B处的切线方程为：y﹣（﹣x03+x02lna）=（﹣x02+x0lna）（x﹣x0），将A的坐标代入得m﹣（﹣x03+x02lna）=（﹣x02+x0lna）（1﹣x0），即m=x03﹣（1+lna）x02+x0lna （※），则原命题等价为关于x0的方程（※）至少有2个不同的解，设φ（x）=x3﹣（1+lna）x2+xlna，则φ′（x）=2x02﹣（2+lna）x+lna=（x﹣1）（2x﹣lna），∵a＞e，∴＞1，当x∈（﹣∞，1）和（，+∞）时，φ′（x）＞0，此时函数φ（x）为增函数，当x∈（1，）时，φ′（x）＜0，此时函数φ（x）为减函数，∴φ（x）的极大值为φ（1）=﹣1﹣lna+lna=lna﹣，φ（x）的极小值为φ（lna）=ln3a﹣ln2a（1+lna）+ln2a=﹣ln3a+ln2a，设t=lna，则t＞，则原命题等价为对t＞恒成立，∴由m≤t﹣得m≤，∵s（t）=﹣t3+t2的最大值为s（4）=，∴由m≥﹣t3+t2，得m≥，即m=，综上所述当a＞e时，函数F（x）过点A（1，m）的切线至少有2条，此时实数m的值为．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

2017-2018学年江苏省南通市启东中学创新班高二（上）第一次月考数学试卷一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．1．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣x≤0”的否定是．2．（5分）已知实数a∈{0，1，2，3}，且a∉{0，1，2}，则a的值为．3．（5分）函数f（x）=的定义域为．4．（5分）已知函数f（x）是二次函数且f（0）=2，f（x+1）﹣f（x）=x﹣1，则函数f（x）=．5．（5分）已知集合A={x|x＞3}，B={x|x＞a}，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则实数a的取值范围为．6．（5分）从1，2，3，4，5这五个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为．7．（5分）设命题p：实数x满足x2﹣4x+3＜0；命题q：实数x满足．若p∧q为真，则实数x的取值范围是．8．（5分）如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于．9．（5分）随机变量ξ的取值为0，1，2，若P（ξ=0）=，E（ξ）=1，则D（ξ）=．10．（5分）若有一批产品共100件，其中有5件不合格品，随机取出10件产品，则不合格品数ξ的数学期望E（ξ）=．11．（5分）设函数f（x）=，若f（f（a））=2，则a=．12．（5分）已知集合I={1，2，3，4，5，6，7}，集合，k∈I}，则P 的元素个数为．13．（5分）若函数f（x）=a（x2﹣2x）e x﹣e x+1在区间（﹣∞，0）恒为非负，则实数a的取值范围为．14．（5分）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B．现有如下命题：①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f （a）=b”；②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g （x）∉B．④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B．其中的真命题有．（写出所有真命题的序号）二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同，随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c．（1）求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率；（2）求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．（注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数）16．（14分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．命题p：若a3+b3=c3，则．（1）写出命题p的逆否命题，并判断其真假；（2）若命题p为真，请证明；若为假，请说明理由．17．（14分）已知关于x的一元二次方程9x2+6ax﹣b2+4=0，a、b∈R．（1）若a=1，b是从区间[0，2]内任取的一个数，求方程没有实数根的概率；（2）若a是从区间[0，3]内任取的一个数，b是从区间[0，2]内任取的一个数，求方程有实数根的概率．18．（16分）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，其中基础设施工程有6个项目，民生工程有4个项目，产业建设工程有2个项目．现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设，设每个工人选择任意一个项目的概率相同．（1）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；（2）记X为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求X 的概率分布以及它的数学期望E（X）与标准差σ．19．（16分）有人玩掷硬币走跳棋的游戏，已知棋盘上标有0站，1站，2站，…，99站，100站．一枚棋子开始时在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，则棋子前进1站；若掷出反面，则棋子前进2站，知道跳到99站（胜利）或100站（失败），游戏结束．设棋子跳到第n站的概率为P n．（1）求P0，P1，P2的值；（2）求P n与P n的关系式；（其中2≤n≤99）﹣1（3）求P99和P100．20．（16分）对于定义域为I的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆I，同时满足①f（x）在[m，n]内是单调函数；②当定义域为[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．则称[m，n]是函数y=f（x）的“好区间”．已知函数f（x）=x3﹣ax，其中a∈R．（1）若a=0，判断函数f（x）是否存在“好区间”，请说明理由；（2）若a=3，判断函数f（x）是否存在“好区间”，请说明理由；（3）若函数f（x）存在“好区间”，试求实数a的取值范围．2017-2018学年江苏省南通市启东中学创新班高二（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．1．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣x≤0”的否定是∃x∈R，x2﹣x＞0．【分析】由已知中的原命题，结合全称命题否定的定义，可得答案．【解答】解：命题“∀x∈R，x2﹣x≤0”的否定是“∃x∈R，x2﹣x＞0”，故答案为：∃x∈R，x2﹣x＞0【点评】本题考查的知识点是全称命题的否定，难度不大，属于基础题．2．（5分）已知实数a∈{0，1，2，3}，且a∉{0，1，2}，则a的值为3．【分析】利用元素与集合的关系直接求解．【解答】解：∵实数a∈{0，1，2，3}，且a∉{0，1，2}，∴元素a是集合{0，1，2，3}中的元素，且元素a不是集合{0，1，2}中的元素，∴a=3．故答案为：3．【点评】本题考查实数值的求法，考查元素与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．3．（5分）函数f（x）=的定义域为（2，+∞）．【分析】要使函数有意义，则需x＞0，且log2x﹣1＞0，运用对数函数的单调性，即可得到定义域．【解答】解：要使函数有意义，则需x＞0，且log2x﹣1＞0，即x＞0且x＞2，即有x＞2．则定义域为（2，+∞）．故答案为：（2，+∞）．【点评】本题考查函数的定义域的求法，注意对数的真数必须大于0，偶次根式被开方式非负，分式分母不为0，考查对数函数的单调性，属于基础题．4．（5分）已知函数f（x）是二次函数且f（0）=2，f（x+1）﹣f（x）=x﹣1，则函数f（x）=．【分析】设f（x）=ax2+bx+c，a≠0，且f（0）=c=2，从而f（x）=ax2+bx+2，a≠0，进而f（x+1）﹣f（x）=2ax+a+b=x﹣1，由此能求出函数f（x）．【解答】解：∵函数f（x）是二次函数且f（0）=2，f（x+1）﹣f（x）=x﹣1，∴设f（x）=ax2+bx+c，a≠0，且f（0）=c=2，∴f（x）=ax2+bx+2，a≠0，f（x+1）﹣f（x）=a（x+1）2+b（x+1）+2﹣（ax2+bx+2）=2ax+a+b=x﹣1，∴，解得a=，b=﹣，∴f（x）=．故答案为：．【点评】本题考查查函数的表达式的求法，考查二次函数等基础知识，是基础题，解题时要认真审题，注意函数的性质的合理运用．5．（5分）已知集合A={x|x＞3}，B={x|x＞a}，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则实数a的取值范围为a＞3．【分析】若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则B⊊A，进而得到答案．【解答】解：∵集合A={x|x＞3}，B={x|x＞a}，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则B⊊A，即a＞3，故答案为：a＞3【点评】本题考查的知识是充要条件的判断，正确理解并熟练掌握充要条件的定义，是解答的关键．6．（5分）从1，2，3，4，5这五个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为．【分析】根据题意，首先用列举法列举从1，2，3，4，5这五个数中一次随机取两个数的全部情况，可得其情况数目，进而可得其中一个数是另一个的两倍的情况数目，由古典概型的公式，计算可得答案【解答】解：从1，2，3，4，5这五个数中一次随机取两个数，有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4）（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），共10种情况；其中其中一个数是另一个的两倍的有2种，即（1，2），（2，4），故其中一个数是另一个的两倍的概率为=，故答案为：【点评】本题考查古典概型的计算，解本题时，用列举法，注意按一定的顺序，做到不重不漏．7．（5分）设命题p：实数x满足x2﹣4x+3＜0；命题q：实数x满足．若p∧q为真，则实数x的取值范围是（2，3）．【分析】分别求出p，q为真时的x的范围，取交集即可．【解答】解：由x2﹣4x+3＜0；解得：1＜x＜3，故p：1＜x＜3；由，解得：2＜x＜3，若p∧q为真，则实数x的取值范围是（2，3），故答案为：（2，3）【点评】本题考查了解二次不等式（组）问题，考查复合命题的判断，是一道基础题．8．（5分）如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于．【分析】利用几何概型的计算概率的方法解决本题，关键要弄准所求的随机事件发生的区域的面积和事件总体的区域面积，通过相除的方法完成本题的解答．【解答】解：由几何概型的计算方法，可以得出所求事件的概率为P=．故答案为．【点评】本题主要考查了几何概型，解决此类问题的关键是弄清几何测度，同时考查了梯形的面积公式，属于基础题．9．（5分）随机变量ξ的取值为0，1，2，若P（ξ=0）=，E（ξ）=1，则D（ξ）=．【分析】结合方差的计算公式可知，应先求出P（ξ=1），P（ξ=2），根据已知条件结合分布列的性质和期望的计算公式不难求得．【解答】解析：设P（ξ=1）=p，P（ξ=2）=q，则由已知得p+q=，，解得，，所以．故答案为：【点评】本题综合考查了分布列的性质以及期望、方差的计算公式．10．（5分）若有一批产品共100件，其中有5件不合格品，随机取出10件产品，则不合格品数ξ的数学期望E（ξ）=．【分析】由题意知ξ服从超几何分布B（10，），计算ξ的数学期望即可．【解答】解：根据题意知，ξ服从超几何分布B（10，）；∴ξ的数学期望为Eξ=10×=．故答案为：．【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是基础题．11．（5分）设函数f（x）=，若f（f（a））=2，则a=．【分析】根据分段函数的表达式，利用分类讨论的方法即可得到结论．【解答】解：设t=f（a），则f（t）=2，若t＞0，则f（t）=﹣t2=2，此时不成立，若t≤0，由f（t）=2得，t2+2t+2=2，即t2+2t=0，解得t=0或t=﹣2，即f（a）=0或f（a）=﹣2，若a＞0，则f（a）=﹣a2=0，此时不成立；或f（a）=﹣a2=﹣2，即a2=2，解得a=．若a≤0，由f（a）=0得，a2+2a+2=0，此时无解；或f（a）=﹣2，即a2+2a+4=0，此时无解，综上：a=，故答案为：．【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用换元法分别进行讨论即可．12．（5分）已知集合I={1，2，3，4，5，6，7}，集合，k∈I}，则P 的元素个数为47．【分析】利用列举法能求出集合P的元素个数．【解答】解：∵集合I={1，2，3，4，5，6，7}，集合，k∈I}，∴P={1，2，3，4，5，6，7，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，}．∴P的元素个数为47个．故答案为：47．【点评】本题考查满足条件的集合中元素个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．13．（5分）若函数f（x）=a（x2﹣2x）e x﹣e x+1在区间（﹣∞，0）恒为非负，则实数a的取值范围为．【分析】f（0）=0．对a分类讨论：a=0时，x∈（﹣∞，0），f（x）=﹣e x+1＞f （0）=0，不满足题意，舍去．a≠0时，f′（x）=a（x2﹣2）e x﹣e x，通过对a分类讨论即可得出．【解答】解：f（0）=0．a=0时，∵x∈（﹣∞，0），f（x）=﹣e x+1＞f（0）=0，不满足题意，舍去．a≠0时，f′（x）=a（x2﹣2）e x﹣e x=ae x（x2﹣）．由≤0，解得0．此时可得：f′（x）＜0，此时函数f（x）在x∈（﹣∞，0）上单调递减，∴f（x）＞f（0）=0，不满足题意舍去．a＞0时，f′（x）=ae x（x2﹣）=ae x．∴x=﹣时，函数f（x）取得极大值即最大值，而f（0）=0，因此不满足题意，舍去．a时，x=﹣时，函数f（x）取得极小值即最小值，又f（0）=0，及其x→﹣∞时，f（x）＜0，因此满足题意．综上可得：a＜﹣．故答案为：．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．14．（5分）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B．现有如下命题：①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f （a）=b”；②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g （x）∉B．④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B．其中的真命题有①③④．（写出所有真命题的序号）【分析】根据题中的新定义，结合函数值域的概念，可判断出命题①②③是否正确，再利用导数研究命题④中函数的值域，可得到其真假情况，从而得到本题的结论．【解答】解：（1）对于命题①，若对任意的b∈R，都∃a∈D使得f（a）=b，则f（x）的值域必为R．反之，f（x）的值域为R，则对任意的b∈R，都∃a∈D使得f（a）=b，故①是真命题；（2）对于命题②，若函数f（x）∈B，即存在一个正数M，使得函数f（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．∴﹣M≤f（x）≤M．例如：函数f（x）满足﹣2＜f（x）＜5，则有﹣5≤f（x）≤5，此时，f（x）无最大值，无最小值，故②是假命题；（3）对于命题③，若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）值域为R，f（x）∈（﹣∞，+∞），并且存在一个正数M，使得﹣M≤g（x）≤M．故f（x）+g（x）∈（﹣∞，+∞）．则f（x）+g（x）∉B，故③是真命题；（4）对于命题④，∵﹣≤≤，当a＞0或a＜0时，aln（x+2）∈（﹣∞，+∞），f（x）均无最大值，若要使f （x）有最大值，则a=0，此时f（x）=，f（x）∈B，故④是真命题．故答案为①③④．【点评】本题考查了函数值域的概念、基本不等式、充要条件，还考查了新定义概念的应用和极限思想．本题计算量较大，也有一定的思维难度，属于难题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同，随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c．（1）求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率；（2）求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．（注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数）【分析】（Ⅰ）所有的可能结果（a，b，c）共有3×3×3=27种，一一列举即可，而满足a+b=c的（a，b，c）有3个，由此求得“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率．（Ⅱ）所有的可能结果（a，b，c）共有3×3×3种，用列举法求得满足“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的（a，b，c）共计三个，由此求得“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的概率，再用1减去此概率，即得所求【解答】解：（Ⅰ）由题意，（a，b，c）所有的可能为：（1，1，1），（1，1，2），（1，1，3），（1，2，1），（1，2，2），（1，2，3），（1，3，1），（1，3，2），（1，3，3），（2，1，1），（1，1，2），（2，1，3），（2，2，1），（2，2，2），（2，2，3），（2，3，1），（2，3，2），（2，3，3），（3，1，1），（3，1，2），（3，1，3），（3，2，1），（3，2，2），（3，2，3），（3，3，1），（3，3，2），（3，3，3），共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A，则事件A包括（1，1，2），（1，2，3），（2，1，3），共3种，所以P（A）==．因此，“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为．（Ⅱ）设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件包括（1，1，1），（2，2，2），（3，3，3），共3种．所以P（B）=1﹣P（）=1﹣=．因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于中档题16．（14分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．命题p：若a3+b3=c3，则．（1）写出命题p的逆否命题，并判断其真假；（2）若命题p为真，请证明；若为假，请说明理由．【分析】（1）写出命题p的逆否命题，判断它是真命题；（2）命题p是真命题，根据原命题与它的逆否命题真假性相同，证明命题p的逆否命题为真命题即可．【解答】解：（1）△ABC中，命题p：若a3+b3=c3，则，命题p的逆否命题为：若C≥，则a3+b3≠c3，它是真命题；（2）命题p是真命题，证明如下：命题p的逆否命题为：△ABC中，若C≥，则a3+b3≠c3，因为△ABC中，C≥时，c＞a，c＞b，且c2≥a2+b2，∴c3≥ca2+cb2＞a3+b3，∴命题p的逆否命题是真命题，则命题p也为真命题．【点评】本题考查了命题与它的逆否命题真假性相同的应用问题，是中档题．17．（14分）已知关于x的一元二次方程9x2+6ax﹣b2+4=0，a、b∈R．（1）若a=1，b是从区间[0，2]内任取的一个数，求方程没有实数根的概率；（2）若a是从区间[0，3]内任取的一个数，b是从区间[0，2]内任取的一个数，求方程有实数根的概率．【分析】（1）方程没有实数根的条件是△＜0，求出a=1时b的取值范围，再计算方程没有实数根的概率值；（2）方程有实数根的条件是△≥0，求出a、b满足的关系式，再计算方程有实数根的概率值．【解答】解：（1）关于x的一元二次方程9x2+6ax﹣b2+4=0，a、b∈R；方程没有实数根的条件是△＜0，即36a2﹣4×9×（﹣b2+4）＜0①；当a=1时，①化为1+b2﹣4＜0，解得﹣＜b＜；则b从区间[0，2]内任取的一个数，方程没有实数根的概率为P==；（2）方程有实数根的条件是△≥0，即36a2﹣4×9×（﹣b2+4）≥0；化简为a2+b2≥4；a从区间[0，3]内任取的一个数，b从区间[0，2]内任取的一个数，如图所示，则方程有实数根的概率为P==．【点评】本题考查了几何概型的概率计算问题，也考查了二元一次不等式组表示平面区域的问题，是中档题．18．（16分）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，其中基础设施工程有6个项目，民生工程有4个项目，产业建设工程有2个项目．现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设，设每个工人选择任意一个项目的概率相同．（1）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；（2）记X为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求X 的概率分布以及它的数学期望E（X）与标准差σ．【分析】为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别为6，4，2．现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．（1）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；（2）记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列及数学期望与标准差σ．【解答】解：（1）记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件A i，B i，C i，i=1，2，3．由题意知A1，A2，A3相互独立，B1，B2，B3相互独立，C1，C2，C3相互独立，且P（A i）=，P（B i）=，p（C i）=，他们选择的项目所属类别互不相同的概率P=P（A1B2C3）=6×××=．（2）记第i名工人选择的项目属于基础工程或产业建设工程分别为事件D i，i=1，2，3．D1，D2，D3相互独立，且P（D i）=P（A i+C i）=P（A i）+P（C i）=+=，∴X～B（3，），P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）=C（）3=，∴X的分布列是：∵X～B（3，），∴E（X）==2．D（X）=3×，∴标准差σ==．【点评】本题考是概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、标准差的求法，考查二项分布等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方和思想，是中档题．19．（16分）有人玩掷硬币走跳棋的游戏，已知棋盘上标有0站，1站，2站，…，99站，100站．一枚棋子开始时在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，则棋子前进1站；若掷出反面，则棋子前进2站，知道跳到99站（胜利）或100站（失败），游戏结束．设棋子跳到第n站的概率为P n．（1）求P0，P1，P2的值；（2）求P n与P n的关系式；（其中2≤n≤99）﹣1（3）求P99和P100．【分析】（1）由题意知棋子开始在第0站为必然事件，第一次掷硬币出现正面，棋子跳到第1站，其概率为，棋子跳到第2站应从如下两方面考虑：①前两次掷硬币都出现正面，②第一次掷硬币出现反面，根据概率公式得到结果．（2）棋子跳到第n（2≤n≤99）站的情况是下列两种，而且也只有两种：①棋；②棋子先到第n﹣1站，又掷子先到第n﹣2站，又掷出反面，其概率为P n﹣2．得到连续三个概率之间的关系．出正面，其概率为P n﹣1（3）根据第二问得到的关于连续三个概率之间的关系，整理出数列{P n﹣P n}﹣1是首项为P1﹣P0=﹣，公比为﹣的等比数列．写出等比数列的通项，仿写一系列式子，把这些式子相加，得到要求的结论．【解答】解：（1）棋子开始在第0站为必然事件，∴P0=1．第一次掷硬币出现正面，棋子跳到第1站，其概率为，∴P1=．棋子跳到第2站应从如下两方面考虑：①前两次掷硬币都出现正面，其概率为×=；②第一次掷硬币出现反面，其概率为．∴P2=．（2）棋子跳到第n（2≤n≤99）站的情况是下列两种，而且也只有两种：；①棋子先到第n﹣2站，又掷出反面，其概率为P n﹣2②棋子先到第n﹣1站，又掷出正面，其概率为P n．﹣1∴P n=P n﹣2+P n﹣1．=﹣（P n﹣1﹣P n﹣2）．∴P n﹣P n﹣1（3）由（2）知，当1≤n≤99时，}是首项为P1﹣P0=﹣，公比为﹣的等比数列．数列{P n﹣P n﹣1∴P1﹣1=﹣，P2﹣P1=（﹣）2，P3﹣P2=（﹣）3，…，P n﹣P n﹣1=（﹣）n．以上各式相加，得P n﹣1=（﹣）+（﹣）2+…+（﹣）n，∴P n=1+（﹣）+（﹣）2+…+（﹣）n=[1﹣（﹣）n+1]，（n=0，1，2，99）．∴P99=[1﹣（﹣）100]=[1﹣（）100]，P100=P98=•[1﹣（﹣）99]=[1+（）99]．【点评】本题考查互斥事件的概率公式，数列的定义，用叠加法求数列的项，是一个综合题，这种问题可以作为高考题目出现，解题时注意要灵活应用所学知识．20．（16分）对于定义域为I的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆I，同时满足①f（x）在[m，n]内是单调函数；②当定义域为[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．则称[m，n]是函数y=f（x）的“好区间”．已知函数f（x）=x3﹣ax，其中a∈R．（1）若a=0，判断函数f（x）是否存在“好区间”，请说明理由；（2）若a=3，判断函数f（x）是否存在“好区间”，请说明理由；（3）若函数f（x）存在“好区间”，试求实数a的取值范围．【分析】（1）举例说明a=0时函数f（x）有“好区间”；（2）利用导数研究函数的单调性，求出增区间，设[m，n]是f（x）=x3﹣3x的定义域的子集，则[m，n]⊂（﹣∞，﹣1]或[m，n]⊂[1，+∞），由[m，n]是已知函数的“好区间”，可得，说明m，n是方程x2﹣4=0的相异两实根，不合题意，说明函数f（x）不存在“好区间”；（3）由f（x）=x3﹣ax，得f′（x）=3x2﹣a，若a≤0，可得函数f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数，若[m，n]是已知函数的“好区间”，则，即m，n是方程x3﹣（a+1）x=0的两实根，得x=0或x=，由a+1＞0，可得a＞﹣1，此时﹣1＜a≤0；若a＞0，可得f（x）在（﹣∞，]，[，+∞）上为增函数，若[m，n]是已知函数的“好区间”，则，即m，n是方程x3﹣（a+1）x=0的两实根，得x=0或x=，不满足有两个相异负根或两个相异正根，不合题意，由此求得实数a的取值范围．【解答】解：（1）若a=0，f（x）=x3，取m=﹣1，n=1，则f（x）在[﹣1，1]内是单调增函数；f（x）的值域也是[﹣1，1]，∴f（x）是否存在“好区间”[﹣1，1]；（2）若a=3，f（x）=x3﹣3x，f′（x）=3x2﹣3=3（x2﹣1），当x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（﹣1，1）时，f′（x）＜0，∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1]，[1，+∞）；单调减区间为（﹣1，1）．设[m，n]是f（x）=x3﹣3x的定义域的子集，则[m，n]⊂（﹣∞，﹣1]或[m，n]⊂[1，+∞），若[m，n]是已知函数的“好区间”，则，即m，n是方程x3﹣4x=0，也就是x2﹣4=0的相异两实根，可得m=﹣2，n=2，不合题意，即a=3，函数f（x）不存在“好区间”；（3）由f（x）=x3﹣ax，得f′（x）=3x2﹣a，若a≤0，则f′（x）≥0，函数f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数，若[m，n]是已知函数的“好区间”，则，即m，n是方程x3﹣（a+1）x=0的两实根，得x=0或x=，由a+1＞0，可得a＞﹣1，此时﹣1＜a≤0；若a＞0由f′（x）=3x2﹣a=0，得x=．∴f（x）在（﹣∞，]，[，+∞）上为增函数，若[m，n]是已知函数的“好区间”，则，即m，n是方程x3﹣（a+1）x=0的两实根，得x=0或x=，不满足有两个相异负根或两个相异正根，不合题意．∴若函数f（x）存在“好区间”，则实数a的取值范围是（﹣1，0]．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查利用导数研究函数的单调性，考查了逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题．。

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2０1７－2018学年度第一学期期终考试高二数学试卷注意事项：１．本试卷共4页,包括填空题（第1题~第１4题)、解答题(第15题~第２０题)两部分.本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前,请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上.试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后,交回答题卡． 参考公式：方差s 2=错误!［（x 1-错误!)２＋（ｘ2-错误!)2+…＋（x n －错误!）2],其中错误!为x 1，x 2,…,x n的平均数.一、填空题:本大题共14小题，每小题5分,共７0分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．． 上．1.复数-1iz i=+,其中i 为虚数单位，则z2．命题:p x R ∃∈，使得220x +≤3.执行如图所示的伪代码，若输出y 4.已知一组数据4。

8,4.９,５．2，5.５ 的方差是 ▲ ．5。

抛物线2=4x y 的焦点到准线的距离为 ▲ ．6.某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人,现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出56人,其中从高一年级学生中抽出20人,则从高二年级学生中抽取的人数为 ▲ 。

７.观察下列各式9﹣１＝8,16﹣４=12，25﹣9=１6,36﹣16＝2０…,这些等式反映了自然数间的某种规律，设n 表示自然数,用关于n 的等式表示为 ▲ ..8．离心率为2且与椭圆252x ＋92y =1有共同焦点的双曲线方程是___▲＿＿__ .9.将一个质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点为正方体玩具)先后抛掷（第3题）２次，则出现向上的点数之和不小于９的概率是 ▲ .１０.已知命题P:2[1,2],0x x a ∀∈-≥,命题q ：2,220x R x ax a ∃∈++-=，若p q ∧是真命题,则实数a 的取值范围是 ▲ ．1１.在平面直角坐标系xoy 中，直线320()mx y m m R ---=∈被圆22(2)(1)4x y -++=截得的所有弦中弦长的最小值为 ▲ .１2．已知点A 的坐标是(1，1),1F 是椭圆0124322=-+y x 的左焦点，点P 在椭圆上移动, 则12PF PA +的最小值 ▲ ．13．已知圆()()22:3354C x y -+-=和两点()3,0A m -,()3,0Bm （0m >）,若圆C 上存在点P ,使得60APB ∠=︒,则实数m 的取值范围是_＿___＿▲__＿_＿_．14.如图,已知椭圆12222=+by a x (0a b >>)的左、右焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上一点, M 在1PF 上，且满足,M F PO 2⊥，O 为坐标原点.椭圆离心率e 的取值范围▲ ．21PF F MOy x(第１4题）二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分) 已知z 为复数,2z i +和2zi-均为实数，其中i 是虚数单位。

2017-2018学年一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．已知集合{}1,2,4A =，{}|(1)(3)0B x x x =--≤，则A B = ．【答案】{}1,2考点：集合的运算．2．“[0,)x ∃∈+∞，23x >”的否定是 ． 【答案】[0,)x ∀∈+∞，23x ≤ 【解析】试题分析：“[0,)x ∃∈+∞，23x >”的否定是“[0,)x ∀∈+∞，23x ≤” 考点：的否定．3．在3和243中间插入3个实数1a ，2a ，3a ，使这5个数成等比数列，则2a = ． 【答案】27 【解析】试题分析：222324327a =⨯=，又2a 与2,243同号，所以227a =．考点：等比数列的性质． 4．已知7sin cos 13αα+=-，π(,0)2α∈-，则tan α= ． 【答案】125- 【解析】试题分析：由7sin cos 13αα+=-得249(sin cos )169αα+=，所以60sin cos 169αα=-，因为(,0)2πα∈-，所以sin 0,cos 0αα<>，由7sin cos 1360sin cos 169αααα⎧+=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得12sin 135cos 13αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以sin 12tan cos 5ααα==-． 考点：同角间的三角函数关系．5．函数()ln 23x f x x =+-在区间(1,2)上的零点个数为 ． 【答案】1考点：函数的零点．6．已知定义在R 上的函数2()23f x ax x =++的值域为[2,)+∞，则()f x 的单调增区间为 ．【答案】[1,)-+∞（(1,)-+∞也对） 【解析】试题分析：由已知012424a a a>⎧⎪-⎨=⎪⎩，解得1a =，22()23(1)2f x x x x =++=++，所以其增区间为[1,)-+∞． 考点：二次函数的性质．7．函数3()812f x x x =+-在区间[33]-，上的最大值与最小值之和是 ． 【答案】16 【解析】试题分析：设在区间[3,3]-上()f x 的最大值为M ，最小值为m ，再设()()8g x f x =-，()g x 的最大值为8M -，最小值为8m -，又3()12g x x x =-是奇函数，所以在区间[3,3]-上max min ()()0g x g x +=，即(8)(8)0M m -+-=，16M m +=．考点：函数的奇偶性．8．等差数列{}n a 的前m 项的和为30，前2m 项的和为100，求它的前3m 项的和为 ．【答案】210 【解析】试题分析：因为{}n a 是等差数列，所以232,,m m m m m S S S S S --也成等差数列，即2322()()m m m m m S S S S S -=+-，所以323()3(10030)210m m m S S S =-=⨯-=．考点：等差数列的性质． 9．若α、β均为锐角，且1cos 17α=，47cos()51αβ+=-，则cos β= ． 【答案】13考点：两角和与差的余弦公式．【名师点睛】三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示： (1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍”的关系或“互余互补”的关系． (3)在求值的过程中“拼凑角”对求值往往起到“峰回路转”的效果．通过适当地拆角、凑角来利用所给条件．常见的变角技巧有α＋β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β，α＝(α－β)＋β，π4＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，15°＝45°－30°等．10．函数()y f x =是R 上的奇函数，满足()()33f x f x +=-，当(0,3)x ∈时，()2xf x =，则(5)f -= ．【答案】2- 【解析】试题分析：由题意1(5)(32)(32)(1)22f f f f =+=-===，又()f x 是奇函数，所以(5)(5)2f f -=-=-．考点：函数的奇偶性．11．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数，给出下列函数：⑴1()sin cos f x x x =+；⑵2()f x x 3()cos )f x x x =+；⑷4()sin f x x =；⑸5()2cos (sin cos )222x x xf x =+，其中“互为生成”函数的有 ．（请填写序号）【答案】⑴⑵⑸考点：函数图象的平移．12．已知ABC ∆是单位圆O 的内接三角形，AD 是圆的直径，若满足2AB AD AC AD BC ⋅+⋅=，则||BC = ．【答案】2 【解析】试题分析：因为AD 直径，所以2ABD ACD π∠=∠=，所以2AB AD AB ⋅=，2AC AD AC ⋅=，所以222AB AC BC +=，即2BAC π∠=，BC 直径，所以2BC =．考点：向量的数量积．13．已知直线l 与曲线1y x =-和曲线ln y x =均相切，则这样的直线l 的条数为 ．【答案】1 【解析】试题分析：设1()ln f x x x =+，22111'()x f x x x x-=-=，当01x <<时，'()0f x <，()f x 单调递减，当1x >时，'()0f x >，()f x 单调递增，1x =时，()f x 取得极小值也是最小值(1)ln1110f =+=>，所以1ln 0x x +>恒成立，即1ln x x>-，因此设公直线l 与曲线1y x =-相切于点11(,)A x y ，与曲线ln y x =相切于点22(,)B x y ，必有10x <，1y x=-的导数为21'y x =，ln y x =的导数是1'y x =，由题意212212112111ln 1x x x x x x x ⎧=⎪⎪⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩，211221111ln 1x x x x x +⇒=-，1112ln()20x x x ⇒--+=，记()2l n ()2g x x x x =--+，'()2ln()1g x x =-+，令'()0g x =，则12x e-=-，当12x e-<-时，'()0g x >，()g x 单调递增，当120ex --<<时，'()0g x <，()g x 单调递减，1122max ()()2(1)0g x g e e --=-=+>，又22()320g e e -=-+<，lim[2ln()2]20x x x x →---+=>，所以()0g x =只有一解，即1112ln()20x x x --+=只有一解，所以两曲线的切线只有一条．考点：导数的几何意义，导数与函数的单调性． 【名师点睛】1．求过点P 的曲线的切线方程的步骤为： 第一步，设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))；第二步，写出过P ′(x 1，f (x 1))的切线方程为y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)； 第三步，将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程，求出x 1；第四步，将x 1的值代入方程y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)，可得过点P (x 0，y 0)的切线方程． 2．判断函数y ＝f (x )零点个数的常用方法：(1)直接法：令f (x )＝0，则方程实根的个数就是函数零点的个数．(2)零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数．在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题．14．已知数列{}n a 满足11a =，且111n n a a n +=++，*n ∈N ，则201420151()k k k a a =-=∑ ．【答案】20291052考点：数列求和．【名师点睛】 数列求和的方法：(1)一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和． (2)解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路：①转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成．②不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15． (本小题满分14分) 已知集合{}||21|3A x x =-<，{}2|(2)20B x x a x a =-++≤．⑴若1a =，求AB ；⑵若A B A =，求实数a 的取值范围．【答案】（1）[1,2)；（2）(,1]-∞．考点：集合的运算，集合的关系． 16．(本小题满分14分) 已知ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，满足sin sin sin sin b a B Cc B A--=+．⑴求角A 的值；⑵若a ，c ，b 成等差数列，试判断ABC ∆的形状． 【答案】（1）3A π=；（2）等边三角形．考点：正弦定理，余弦定理，三角形形状的判断． 【名师点睛】判定三角形形状的两种常用途径：(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断． (2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断．提醒：在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响． 17．(本小题满分14分)已知向量a ，b ，c 满足0a b c ++=，且a 与b 的夹角等于150︒，b 与c 的夹角等于120︒，||2c =，求||a ，||b ．【答案】||23a =，||4b =．考点：向量的数量积． 18．(本小题满分16分) 设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，3S ，9S ，6S 成等差数列．⑴设此等比数列的公比为q ，求3q 的值；⑵问：数列中是否存在不同的三项m a ，n a ，p a 成等差数列？若存在，求出m ，n ，p 满足 的条件；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）312q =-；（2）存在不同的三项1a ，7a ，4a 成等差数列． 【解析】试题分析：（1）本题要求3q 值，已知是9362S S S ∴=+，我们借助n S 的最基本形态12n n S a a a =+++，有19123162()()()a a a a a a a ++=+++++，化简即得7894562()()0a a a a a a +++++=，而3789456()0a a a q a a a ++=++≠，由此可得3q ；（2）数列中的探索性，如果是肯定性结论，本题只要能找到三项，成等差数列即可，如果是否定性结论，则必须证明．具体找三项时，可写出数列{}n a 中连考点：等比数列与等差数列的性质． 19．(本小题满分16分)已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足：2*11,2,n n n S ka ta n n -+=-∈N ≥(其中,k t为常数)． ⑴若12k =，14t =，数列{}n a 是等差数列，求1a 的值； ⑵若数列{}n a 是等比数列，求证：k t <．【答案】（1）11a =（2）证明见解析． 【解析】试题分析：（1）已知条件是2111124n n n S a a -+=-，这种问题一般都是再写一次即21111124n n n S a a +++=-，两式相减变形后可得12n n a a +-=，注意这里有2n ≥，但由于数列{}n a 是等差数列，因此也有212a a -=，代入已知212211124a a a +=-可求得1a ；（2）与（1）相同方法得2211(2)n n n n n a ka ka ta ta n +++-=-≥，由数列{}n a 是等比数列，可设1n n a qa +=，代入化简得2(1)1(2)n t q a kq k n ∴-=-+≥，下面对此式分析，首先0q >，1q ≠，{}n a 不是常数列，这样此式对2n ≥恒成立，必有0t =，恒等式变为10kq k -+=，不能得出什么有用结论，回到已知条件，已知变为11n n S ka -∴+=-，此式中，10,0n n a S ->>，那么只能有0k <，得证．⑵由211n n n S ka ta -+=-得2111n n n S ka ta +++=-，两式相减，得：2211(2)n n n n n a ka ka ta ta n +++-=-≥， ………………………………10分设等比数列{}n a 的公比为q ，∴222n n n n na kqa ka tq a ta +-=-， 2(1)1(2)n t q a kq k n ∴-=-+≥，由已知，可知0q >，…………………………………12分∴1q ≠，{}n a 不是常数列，0t ∴=； ………………………………………14分11n n S ka -∴+=-，而0n a >且10n S ->，0k ∴<，k t ∴<． ………………………………………………………………………………16分考点：等差数列与等比数列的定义． 20．(本小题满分16分)已知函数()=e x f x (其中e 是自然对数的底数)，2()1g x x ax =++，a ∈R ． ⑴记函数()()()F x f x g x =⋅，当0a >时，求()F x 的单调区间；⑵若对于任意的1x ，2[0,2]x ∈，12x x ≠，均有1212|()()||()()|f x f x g x g x ->-成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）单调增区间为：(,1)a -∞--，(1,)-+∞，减区间为(1,1)a ---；（2）[1,22ln 2]--． 【解析】列表如下：（0a >，11a ∴--<-）……………………………………………………………………………………4分()F x ∴的单调增区间为：(,1)a -∞--，(1,)-+∞，减区间为(1,1)a ---； ……………6分⑵设12x x <，()e x f x =是单调增函数，12()()f x f x ∴<，2112121221()()|()()|()()()()()()f x f x g x g x f x f x g x g x f x f x ∴->-⇒-<-<-；………8分①由1212()()()()f x f x g x g x -<-得：1122()()()()f x g x f x g x -<-， 即函数2()()e 1x y f x g x x ax =-=---在[0,2]上单调递增， ()()e 20x y f x g x x a '''∴=-=--≥在[0,2]上恒成立，e 2x a x ∴-≤在[0,2]上恒成立；令()e 2x h x x =-，()e 20ln 2x h x x '∴=-=⇒=，∴[0,ln 2)x ∈时，()0h x '<；(ln 2,2]x ∈时，()0h x '>；考点：导数与函数的单调性，不等式恒成立问题． 【名师点睛】1．用导数研究函数的单调性：(1)求函数f (x )单调区间的方法是，通过解不等式f ′(x )>0(或f ′(x )<0)直接得到单调递增(或递减)区间．(2)导数法证明函数f (x )在(a ，b )内的单调性的步骤： ①求f ′(x )．②确认f ′(x )在(a ，b )内的符号．③得出结论：f ′(x )>0时为增函数；f ′(x )<0时为减函数．2．不等式恒成立问题，一般通过转化与化归思想，转化为用导数求函数的最值，研究函数的单调性，这类问题比较复杂，考查学生的分析问题解决问题的能力，考查计算推理能力．。

2017-2018学年度第一学期期终考试高二数学试卷注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 参考公式：方差s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．． 上．1．复数-1iz i=+，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是 ▲ ． 2．命题:p x R ∃∈，使得220x +≤的否定为_____▲____．3．执行如图所示的伪代码，若输出y 的值为1，则输入x 的值为 ▲ ．4．已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是 ▲ ． 5.抛物线2=4x y 的焦点到准线的距离为 ▲ ．6.某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出56人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高二年级学生中抽取的人数为 ▲ .7．观察下列各式9﹣1=8，16﹣4=12，25﹣9=16，36﹣16=20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n 表示自然数，用关于n 的等式表示为 ▲ ．. 8．离心率为2且与椭圆252x ＋92y =1有共同焦点的双曲线方程是___▲____ ．9．将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点为正方体玩具）先后抛掷 2次，则出现向上的点数之和不小于9的概率是 ▲ ．10．已知命题P ：2[1,2],0x x a ∀∈-≥，命题q ：2,220x R x ax a ∃∈++-=，若p q ∧是真命题，则实数a 的取值范围是 ▲ ．（第3题）11．在平面直角坐标系xoy 中，直线320()mx y m m R ---=∈被圆22(2)(1)4x y -++=截得的所有弦中弦长的最小值为 ▲ ．12．已知点A 的坐标是(1,1)，1F 是椭圆0124322=-+y x 的左焦点,点P 在椭圆上移动， 则12PF PA +的最小值 ▲ ． 13．已知圆()()22:3354C x y -+-=和两点()3,0A m -，()3,0Bm （0m >），若圆C上存在点P ，使得60APB ∠=︒，则实数m 的取值范围是______▲______．14.如图，已知椭圆12222=+by a x （0a b >>）的左、右焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，M 在1PF 上，且满足，M F PO 2⊥，O 为坐标原点.椭圆离心率e 的取值范围▲ ．21PF F MOy x(第14题)二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 已知z 为复数，2z i +和2zi-均为实数，其中i 是虚数单位. (1)求复数z 和z ；(2)若213(6)z z m m i =++-在第四象限，求实数m 的取值范围.16．（本小题满分14分）已知命题p ：x R ∀∈，20tx x t +≤+.（1）若p 为真命题，求实数t 的取值范围；（2）命题q ：[]2,16x ∃∈，2log 10t x +≥，当p q ∨为真命题且p q ∧为假命题时， 求实数t 的取值范围. 17．（本小题满分14分）已知椭圆C 的方程为22191x y k k +=--． （1）求k 的取值范围；（2）若椭圆C 的离心率e =，求k 的值．18．（本小题满分16分）已知圆22:4O x y +=，两个定点(),2A a ，(),1B m ，其中a R ∈，0m >．P 为圆O 上任意一点，且PAPBλ=（λ为常数) ． （1）求常数λ的值；（2）过点(),E a t 作直线l 与圆22:C x y m +=交于,M N 两点，若M 点恰好是线段NE 的中点，求实数t 的取值范围．19．（本小题满分16分）（1）找出一个等比数列{}n a ，使得1，4为其中的三项，并指出分别是 {}n a 的第几项； （2（3）证明：1，4不可能为同一等差数列中的三项．20．（本小题满分16分）已知椭圆C ：2211612x y +=左焦点F ，左顶点A ，椭圆上一点B 满足BF ⊥x 轴，且点B 在x 轴下方，BA 连线与左准线l 交于点P ，过点P 任意引一直线与椭圆交于C 、D ，连结AD 、BC 交于点Q ，若实数λ1，λ2满足：→BC ＝λ1→CQ ，→QD ＝λ2→DA （1）求λ1·λ2的值；（2）求证：点Q 在一定直线上．(第20题)江苏省启东中学2017-2018学年度第一学期期终考试高二数学试卷(附加题) 2018.1.8命题人:黄群力注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用．2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．21．（B）选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵M221a⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中Ra∈，若点(1,2)P-在矩阵M的变换下得到点(4,0)P'-，（1）求实数a的值；（2）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．21．（C）选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）已知直线的极坐标方程为2sin42πρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭，圆的参数方程为（其中为参数）.（1）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求圆上的点到直线的距离的最小值.22．（本小题满分10分）如图，正方形的中心为，四边形为矩形，平面平面，点 为的中点，．（1）求二面角的正弦值；（2）设为线段上的点，且，求直线和平面所成角的正弦值．.( 第22题)23． （本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：x ＝－1，点T (3，0)．动点P 满足PS ⊥l ，垂足为S ， 且OP →·ST →＝0．设动点P 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）设Q 是曲线C 上异于点P 的另一点，且直线PQ 过点(1，0)，线段PQ 的中点为M ， 直线l 与x 轴的交点为N ．求证：向量SM →与NQ →共线．2017-2018第一学期高二数学调研试卷答案 2018.1.8一、填空题：1. 【答案】2．【答案】，3. 【答案】4.【答案】5．【答案】26．【答案】187. 【答案】8.【答案】－=19.【答案】10.【答案】11.【答案】12.【答案】13．【答案】14．【答案】二.解答题15.【解析】（1）设，则 2分4分所以， 8分（2） 14分16.【解析】（1）∵，，∴且，解得∴为真命题时，. 6分（2），，有解.又时，，∴. 8分∵为真命题且为假命题时，∴真假或假真，当假真，有解得；当真假，有解得；∴为真命题且为假命题时，或. 14分17. 【解析】（1）∵方程表示椭圆，则，解得 k∈（1，5）∪（5，9）……6分（未去5扣2分）（2）①当9﹣k＞k﹣1时，依题意可知a=，b=∴c=∵= ∴∴k=2；10分②当9﹣k＜k﹣1时，依题意可知b=，a=∴c= ∵= ∴∴k=8；∴k的值为2或8．（一种情况4分共8分）14分18. 【解析】（1）设点，，，，因为，所以，化简得，因为为圆上任意一点，所以，又，解得，所以常数．8分（2）设，是线段的中点，，又在圆C上，即关于的方程组有解，化简得有解，即直线与圆有交点，则，化简得：，解得．16分19. 【解析】（1）取一个等比数列{a n}：首项为1、公比为，则，…2分则令=4，解得n=5，所以a1=1，，a5=4．…4分（2）证明：假设是有理数，则存在互质整数h、k，使得，…5分则h2=2k2，所以h为偶数，…7分设h=2t，t为整数，则k2=2t2，所以k也为偶数，则h、k有公约数2，这与h、k互质相矛盾，…9分所以假设不成立，所以是有理数． …10分 （3）证明：假设1，，4是同一等差数列中的三项， 且分别为第n 、m 、p 项且n 、m 、p 互不相等，…11分 设公差为d ，显然d ≠0，则， 消去d 得，，…13分由n 、m 、p 都为整数，所以为有理数，由（2）得是无理数，所以等式不可能成立，…15分所以假设不成立，即1，，4不可能为同一等差数列中的三项． …16分． 20. 【解析】（1）因为F (-2,0)，由BF ⊥x 轴，由对称性不妨设B (-2,-3)，则直线AB ：y ＝-32(x +4) 又左准线l :x ＝-8，所以P (-8,6)又→BC ＝λ1→CQ ，所以→PC ＝→PB +λ1→PQ 1+λ1， 同理由→QD ＝λ2→DA ，得→PD ＝→PQ +λ2→PA 1+λ2又→PB ＝32→PA ，所以→PC ＝32→PA +λ1→PQ 1+λ1又→PC //→PD ，比较系数得32λ2＝λ11，所以λ1·λ2＝32 8分（2）证明：设点C (x 1,y 2)，D (x 2,y 2)，Q (x 0,y 0)由→BC ＝λ1→CQ ，得x 1＝-2+λ1x 01+λ1，y 1＝-3+λ1y 01+λ1代入椭圆方程3x 2+4y 2＝48，得：3⎝ ⎛⎭⎪⎫-2+λ1x 01+λ12+4⎝ ⎛⎭⎪⎫-3+λ1y 01+λ12＝48整理得：(3x 20+4y 20-48)λ21-(12x 0+24y 0+96)λ1＝0 显然λ1≠0，所以λ1＝12x 0+24y 0+963x 20+4y 20-48同理由→QD ＝λ2→DA ，得x 2＝x 0-4λ21+λ2，y 2＝y 01+λ2代入椭圆方程3x 2+4y 2＝48，得：3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0-4λ21+λ22+4⎝ ⎛⎭⎪⎫y 01+λ22＝48同理可得：λ2＝3x 20+4y 20-4824x 0+96又由（1）λ1·λ2＝32，所以，12x 0+24y 0+963x 20+4y 20-48·3x 20+4y 20-4824x 0+96＝32 整理得：x 0-y 0+2＝0 即点Q 在定直线x -y +2＝0上 16分21.(B)【解析】（1）由=，∴ --------------3分 （2）由（1）知，则矩阵的特征多项式为令，得矩阵的特征值为与4. …………………………..6分 当时，∴矩阵的属于特征值的一个特征向量为; …………………..8分 当时，∴矩阵的属于特征值的一个特征向量为. ………………………10分 21.(C)【解析】（1）以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系.所以，该直线的直角坐标方程为：……………………..5分 （2）圆的普通方程为： 圆心到直线的距离所以，圆上的点到直线的距离的最小值为…………………….10分 22． 【解析】依题意， ，如图，以为点，分别以的方向为轴、 轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得，.（1）解：易证， 为平面的一个法向量. 依题意， .K12教育资源学习用资料K12教育资源学习用资料 设为平面的法向量，则，即.不妨设，可得.因此有，于是，所以，二面角的正弦值为 (5)（2）解：由，得.因为，所以，进而有，从而，因此.分…………………………9分所以，直线和平面所成角的正弦值为 (10)23. 【解析】（1）设P (x ，y )为曲线C 上任意一点 ．因为PS ⊥l ，垂足为S ，又直线l ：x ＝－1，所以S (－1，y )．因为T (3，0)，所以OP →＝(x ，y )， ST →＝(4，－y )．因为OP →·ST →＝0，所以4x －y 2＝0，即y 2＝4x ．所以曲线C 的方程为y 2＝4x ． …………… 3分（2）因为直线PQ 过点(1，0)，故设直线PQ 的方程为x ＝my ＋1．P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．联立⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1，消去x ，得y 2―4my ―4＝0． 所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝―4． …………… 5分 因为M 为线段PQ 的中点，所以M 的坐标为(x 1＋x 22，y 1＋y 22)，即M (2m 2＋1，2m )． 又因为S (－1，y 1)，N (－1，0)，所以SM →＝(2m 2＋2，2m －y 1)，NQ →＝(x 2＋1，y 2)＝(my 2＋2，y 2)． …………… 7分 因为(2m 2＋2) y 2－(2m －y 1)(my 2＋2)＝(2m 2＋2) y 2－2m 2y 2＋my 1y 2－4m ＋2y 1＝2(y 1＋y 2)＋my 1y 2－4m ＝8m －4m －4m ＝0．所以向量SM →与NQ →共线． …………… 10分。

江苏省启东2017~2018学年度第一学期第一次月考高二创新班数学试卷 2017.9.25一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题．．纸．相应位置上．．．．．． 1．命题“x ∀∈R ，2x x -≤0”的否定是 ．2．已知实数{0a ∈，1，2，3}，且{0a ∉，1，2}，则a 的值为 ．3．函数()f x =的定义域为 ．4．已知函数()f x 是二次函数且(0)2f =，(1)()1f x f x x +-=-，则函数()f x = ．5．已知集合{|3}A x x =>，{|}B x x a =>，若“x A ∈”是“x B ∈的”必要不充分条件，则实数a的取值范围为 ．6．从1，2，3，4，5这五个数中一次随机地抽取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是 ．7．设命题p ：实数x 满足2430x x -+<；命题q ：实数x 满足2260280x x x x ⎧--<⎪⎨+->⎪⎩ 若p q ∧为真，则实数x 的取值范围是 ．8．矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自ADE △内部的概率为 ．9．随机变量X 的取值为0，1，2，若1(0)5P X ==，()1E X =，则()V X = ． 10．若有一批产品共100件，其中有5件不合格品，随机取出10件产品，则不合格品数ξ的数学期望()E ξ= ．11．设函数2222()x x f x x ⎧++⎪=⎨-⎪⎩ 若(())2f f a =，则a = ． 12．已知集合{I =1，2，3，4，5，6，7}，集合P m =，}k I ∈，则P 的元素个数为 ． 13．若函数2()(2)e e 1x x f x a x x =--+在区间(-∞，0]恒为非负，则实数a 的取值范围为 ．14．以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数()x ϕ组成的集合：对于函数()x ϕ，存在一个正数M ，使得函数()x ϕ的值域包含于区间[M -，]M ．例如，当31()x x ϕ=，2()sin x x ϕ=时，1()x A ϕ∈，2()x B ϕ∈．现有如下命题：， ， ，x ≤0， ，0x >．①设函数()f x 的定义域为D ，则“()f x A ∈”的充要条件是“b ∀∈R ，a D ∃∈，()f a b =”； ②若函数()f x B ∈的充要条件是()f x 有最大值和最小值；③若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，()g x B ∈，则()()f x g x B +∉； ④若函数2()ln(2)1x f x a x x =+++（2x >-，a ∈R ）有最大值，则()f x B ∈． 其中的真命题的序号为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题．．纸．指定区域．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同 ．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上数字依次记为a ，b ，c ． ⑴求“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率；⑵求“抽取的卡片上的数字不完全相同”的概率．16．（小题满分14分）设ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．命题p ：若333a b c +=，则π2C <． ⑴写出命题p 的逆否命题，并判断其真假；⑵若命题p 为真，请证明；若为假，请说明理由．17．（本小题满分14分）已知关于x 的一元二次方程229640x ax b +-+=，a 、b ∈R ．⑴若1a =，b 是从区间[0，2]内任取的一个数，求方程没有实数根．．．．．．．的概率； ⑵若a 是从区间[0，3]内任取的一个数，b 是从区间[0，2]内任取的一个数，求方程．．有实数根．．．．的 概率．18．（本小题满分16分）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，其中基础设施工程有6个项目，民生工程有4个项目，产业建设工程有2个项目．现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设，设每个工人选择任意一个项目的概率相同．⑴求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；⑵记X 为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求X 的概率分布以及它的数学期望()E X 与标准差σ．19．（本小题满分16分）有人玩掷硬币走跳棋的游戏，已知棋盘上标有0站，1站，2站，…，99站，100站．一枚棋子开始时在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，则棋子前进1站；若掷出反面，则棋子前进2站，知道跳到99站（胜利）或100站（失败），游戏结束．设棋子跳到第n站的概率为n P ．⑴求0P ，1P ，2P 的值；⑵求n P 与1n P -的关系式；（其中2≤n ≤99）⑶求99P 和100P ．20．（本小题满分16分）对于定义域为I 的函数()y f x =，如果存在区间[m ，]n I ⊆，同时满足①()f x 在[m ，]n 内是单调函数；②当定义域为[m ，]n 时，()f x 的值域也是[m ，]n ．则称[m ，]n 是函数()y f x =的“好区间”．已知函数3()f x x ax =-，其中a ∈R ． ⑴若0a =，判断函数()f x 是否存在“好区间”，请说明理由；⑵若3a =，判断函数()f x 是否存在“好区间”，请说明理由； ⑶若函数()f x 存在“好区间”，试求实数a 的取值范围．。