下载文档原格式
常用的三种抽样分布
概述
在统计学中，抽样分布是指从总体中抽取一定数量的样本，并计算样本统计量的分布。
根据中心极限定理，当样本数足够大时，样本的均值和标准差会呈正态分布。
然而，并非所有的抽样分布都符合正态分布。
本文将介绍统计学中常用的三种抽样分布，包括正态分布、t分布和χ²〔卡方〕分布。
1. 正态分布〔Normal Distribution〕
正态分布是最常见的一种抽样分布，也被称为高斯分布。
它具有以下特点： - 均值为μ，标准差为σ； - 对称分布，其曲线呈钟型，两侧尾部逐渐下降； - 总体分布和抽样分布均为正态分布； - 标准正态分布
的均值为 0，标准差为 1。
可以通过标准化计算将任意正态分布转换为标准正态分布。
正态分布在实际应用中非常重要，尤其是在假设检验和置信区间计算中的应用广泛。
2. t分布〔Student’s t-Distribution〕
t分布是由英国统计学家William Sealy Gosset〔也被称为。
. . . .全国2009年10月高等教育自学考试概率论与数理统计（经管类）试题课程代码：04183一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号。
错选、多选或未选均无分。
1．某射手向一目标射击两次，A i 表示事件“第i 次射击命中目标”，i =1，2，B 表示事件“仅第一次射击命中目标”，则B =（ B ） A ．A 1A 2 B ．21A A C ．21A AD ．21A A2．某人每次射击命中目标的概率为p (0<p <1)，他向目标连续射击，则第一次未中第二次命中的概率为（ D ） A ．p 2B ．(1-p )2C ．1-2pD ．p (1-p )3．已知P (A )=0.4，P (B )=0.5，且A ⊂B ，则P (A |B )=（ C ） A ．0 B ．0.4 C ．0.8D ．1解：（P14）∵A ⊂B ，∴()()P AB P A =，()()()()()0.40.80.5P AB P A P A B P B P B ====。
4．一批产品中有5%不合格品，而合格品中一等品占60%，从这批产品中任取一件，则该件产品是一等品的概率为（ D ） A ．0.20 B ．0.30 C ．0.38D ．0.57解：（P14）设A 为取到不合格品的事件，B 为取到一等品的事件； 则A 为取到合格品的事件，∴()()()5%,195%P A P A P A ==-= 合格品中一等品概率为：()60%P B A =，显然，()0P B A =. . . .由全概率公式得：()()()()()5%095%60%57%P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯= 5．设随机变量X 的分布律为，则P {X <1}=（ C ）A ．0B ．0.2C ．0.3D ．0.5解(P?)：6．下列函数中可作为某随机变量的概率密度的是（ A ）A ．⎪⎩⎪⎨⎧≤>100,0,100,1002x x xB ．⎪⎩⎪⎨⎧≤>0,0,0,10x x xC ．⎩⎨⎧≤≤-其他,0,20,1x D ．⎪⎩⎪⎨⎧≤≤其他,0,232121x ，解：(P39)∵()1f x dx +∞-∞=⎰∴(A)()210010010010010001100f x dx dx x x +∞+∞+∞-∞⎛⎫==-=--= ⎪⎝⎭⎰⎰； (B)()01010ln 1f x dx dx x x+∞+∞+∞-∞==≠⎰⎰；(D)()33221122111311112222222f x dx dx x +∞-∞===⨯-⨯=≠⎰⎰； 7．设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数为2的指数分布，Y ～B (6，21)，则E(X-Y)= （ A ）A ．25- B ．21 C ．2D ．5解：(P ？)∵()12E X =，()1632E Y =⨯=，()()()15322E X Y E X E Y -=-=-=-。
抽样分布与理论分布一、抽样分布总体分布：总体中所有个体关于某个变量的取值所形成的分布。
样本分布：样本中所有个体关于某个变量大的取值所形成的分布。
抽样分布：样品统计量的概率分布，由样本统计量的所有可能取值和相应的概率组成。
即从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本最多可抽取m 个样本，m 个样本统计值形成的频率分布，即为抽样分布。
样本平均数的抽样分布：设变量X 是一个研究总体，具有平均数μ和方差σ2。
那么可以从中抽取样本而得到样本平均数x ，样本平均数是一个随机变量，其概率分布叫做样本平均数的抽样分布。
由样本平均数x 所构成的总体称为样本平均数的抽样总体。
它具有参数μx 和σ2x ，其中μx 为样本平均数抽样总体的平均数，σ2x 为样本平均数抽样总体的方差，σx 为样本平均数的标准差，简称标准误。
统计学上可以证明x 总体的两个参数 μx 和σ2x 与X 总体的两个参数μ和σ2有如下关系：μx = μσ2x = σ2 /n 由中心极限定理可以证明，无论总体是什么分布，如果总体的平均值μ和σ2都存在，当样本足够大时（n>30），样本平均值x 分布总是趋近于N （μ，n2σ)分布。
但在实际工作中，总体标准差σ往往是未知的，此时可用样本标准差S 估计σ。
于是，以nS估计σx ，记为X S ，称为样本标准误或均数标准误。
样本平均数差数的抽样分布：二、正态分布2.1 正态分布的定义：若连续型随机变量X 的概率密度函数是⎪⎭⎫ ⎝⎛--=σμπσx e x f 22121)( （-∞＜x ＜+∞）则称随机变量X 服从平均数为μ、方差为σ2的正态分布，记作X~N （μ，σ2）。
相应的随机变量X 概率分布函数为 F （x ）=⎰∞-x dx x f )(它反映了随机变量X 取值落在区间（-∞，x ）的概率。
2.2 标准正态分布当正态分布的参数μ=0，σ2=1时，称随机变量X 服从标准正态分布，记作X~N （0,1）。
一、 三大抽样分布的分布函数综 述：)a 根据大数定理和中心极限定理，但样本容量n 较大时（数学上一般要求45n >），任何分布都依概率收敛于正态分布()2, N μσ，并可标准化为()0, 1N 。
)b 现实世界和工程技术中的任何数据样本流到目前为止，不外乎()0, 1N 的函数分布，集中表现为3大抽样分布规律。
)c 考研数学中规定：()0, 1N 的分位数定义为下分位数（从图形上看为左边面积），3 大抽样分布的分位数定义都为上分位数（从图形上看为右边面积）1． ()2n χ分布（分布函数不要求掌握）量纲模型：性 质：()1{}i X ()2 可加性 212~()n n χ+++()3证 明()3：由于()()()~0,10; 1i i i X N E X D X ⇒==()()()()()2224421 1,2,,3i i i i x i E X E X E X D X i n E X x edx +∞--∞=-===⎡⎤⎣⎦==()()()()()()()()()224222211222113122iii n ni i i i n n i i i i D X E X E X E n E X E X n D n D X D X nχχ====⎡⎤=-=-=⎣⎦⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑∑∑样本函数中的必需记住的数字特征()4 上分位点 α定义为()2n χ分布的分位数2． ()t n 分布（分布函数不要求掌握）{}i X 独立同分布 2~(0,1), ~();i X N Yn X Y χ和独立 性 质：()1 t 分布密度函数()()~(0,1)t n n f x N →∞⇒()2 上分位点 α定义为()t n 分布的分位数()3 ()0, 22nEX DX n n ==>- ()4 性质 T 分布具有对称性， 1()(); 45t n t n n αα-=->时，()t n Z αα≈3．(), F m n 分布（分布函数不要求掌握）X 、Y 相互独立，2~(); ~()X m Y n χχ；量纲模型：例：假定()12, X X 来自正态整体()2~0, X N σ的一个样本，求()()2122124X X P X X ⎡⎤+<⎢⎥-⎢⎥⎣⎦。
一、 三大抽样分布的分布函数综 述：)a 根据大数定理和中心极限定理，但样本容量n 较大时（数学上一般要求45n >），任何分布都依概率收敛于正态分布()2, N μσ，并可标准化为()0, 1N 。
)b 现实世界和工程技术中的任何数据样本流到目前为止，不外乎()0, 1N 的函数分布，集中表现为3大抽样分布规律。
)c 考研数学中规定：()0, 1N 的分位数定义为下分位数（从图形上看为左边面积），3 大抽样分布的分位数定义都为上分位数（从图形上看为右边面积）1． ()2n χ分布（分布函数不要求掌握）量纲模型：性 质：()1{}i X ()2可加性 ()3证 明()3：由于()()()~0,10; 1i i i X N E X D X ⇒==()()()()()2224421 1,2,,3i i i i x i E X E X E X D X i n E X x edx +∞--∞=-===⎡⎤⎣⎦==()()()()()()()()()224222211222113122iii n n i i i i n n i i i i D X E X E X E n E X E X n D n D X D X nχχ====⎡⎤=-=-=⎣⎦⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑∑∑样本函数中的必需记住的数字特征()4 上分位点 α定义为()2n χ分布的分位数2． ()t n 分布（分布函数不要求掌握）{}i X 独立同分布 2~(0,1), ~();i X N Y n X Y χ和独立 性 质：()1 t 分布密度函数()()~(0,1)t n n f x N →∞⇒()2 上分位点 α定义为()t n 分布的分位数()3 ()0, 22nEX DX n n ==>- ()4 性质 T 分布具有对称性，1()(); 45t n t n n αα-=->时，()t n Z αα≈3．(), F m n 分布（分布函数不要求掌握）X 、Y 相互独立，2~(); ~()X m Y n χχ；量纲模型：例：假定()12, X X 来自正态整体()2~0, X N σ的一个样本，求()()2122124X X P X X ⎡⎤+<⎢⎥-⎢⎥⎣⎦。
解：()()()2221212~0, ~0, 2; ~0, 2i X N X X N X X N σσσ⇒+-()()()()2222~0, 1~0, 1~1; ~1N N χχ⇒()()()()()22122212241220121~1, 124arctan 2.X X F X X X X P X X π+⇒==-⎡⎤+⇒<==⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎰①上分位点 α定义为()t n 分布的分位数② 性 质n● 证明结论 ()()2~1, t n F n ~(0,1)U N 2~()V n χ ~()T t n =22;U T V n= 而 22~(1)U χ时()()22~(1, )~1, T F n t n F n ⇒⇒● 证明结论 11(, )(, )F n m F m n αα-=如下(){}()()()()()()()()()1111~, ~, 1111, 11, 11, 1 , 1111, , , , X F m n Y F n m XP X F m n P X F m n P X F m n P F n m X P P F n m F n m X F m n X F m n αααααααααααα---=--⎧⎫⎪⎪≥=-⇒≤=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎧⎫⎪⎪⇒>=⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎧⎫−−−−−−−−→≥=⎨⎬⎩⎭⎧⎫⎪⎪⎧⎫>=≥⇒=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭又根据分位数的定义，而连续分布对一点的概率取值为零，则二、数理统计中8大样本函数的分布（枢轴量）的详细证明1． 单个正态总体设2{}~(, )n X N μσ为一系列简单随机样本，则有()1 若σ已知，需要估计μ的范围，则使用枢轴量)证明一：11ni i X X n ==∑111()()n i i E X E X n n nμμ===⋅⋅=∑2222111()()ni i D X D Xn n nn σσ===⋅⋅=∑证明二：()0X E E X μμσ⎛⎫ ⎪-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭2()X n D D X μμσσ⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=222[()()]n E X E X μμσ---=()222[20]nE X X μμσ+-- =2222[()2]n E X μμσ+-=2222(()2)nE X μμσ+-=2222[()]1nnσμμσ+-=故~(0,1)X N μσ-公式 ① 是标准化随机变量的手段，也是确定复合随机变量分布的基础。
()2若μ未知，需要估计σ的范围，则使用枢轴量（X 是随机变量） 证 明：已知()()21,2,,~, i X i n Nμσ= ，且相互独立，令 ()()121,2,,,,,~0,1i i n X Y i n Y Y Y N μσ-==⇒ ，且相互独立。
作下列正交变换：11222122212n n n n n nn Z Y Z Y c c c Z Y c c c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭正交变换不改变向量组的秩，由于12,,,n Y Y Y 相互独立，则12,,,n Z Z Z 相互独立，且都服从()0,1N 。
记 1111111111nn n n i i i ii i i X XX Y Y X n n nn n n μμμμσσσσσσ====--===⋅-=-⋅⋅=∑∑∑∑ 由上述变换矩阵等式易得：()112~0,1n Z N =+++= 正交变换不改变向量的长度2211nni i i i Y Z ==⇒=∑∑，所以222221122111222121(1)1()() ()()2 ()()2 ()n ni i i i nnni i i i i ni i ni i X n S X X X X X X X X X X n n X X n μμσσσσμμμμσσσσμμμσσσμμσσ=======---=-=-⎛⎫----⎛⎫=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫---=+- ⎪⎝⎭⎛⎫--=- ⎝∑∑∑∑∑∑∑()22222221112~1n nni ii i i i Y nY Z Z Z n χ===⎪⎭=-=-=-∑∑∑222221(1)1()~(1)niin SX X nχσσ=-=--∑有重要的应用价值，如计算()()22;E S D S。
()()()()()()()()()()()()() 22222222222222224 222211,121(1)11111(1)(1)2121111E n n D n nn SE S E E n nn n nn S nD S D D n nn n n χχσσσχσσσσσχσσ-=--=-⎛⎫-⇒==-=⋅-=⎪---⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎡⎤--⎡⎤==⋅-=⋅-=⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦∵()3若σ未知，需要估计μ的范围，则使用枢轴量证明：()0,1~1XNXt nSμσμ--==-()4若μ已知，需要估计σ的范围，则使用枢轴量（μ是常量）证明：()()22222111~0,11()()~iin n nii ii i iXY NXX Y nμσμμχσσ===-=--==∑∑∑2．两个正态总体（X和Y独立同分布）21~(,)X Nμσ，222~(,)Y Nμσ11niiX Xn==∑11niiY Yn==∑2222121111(),()11n mi ii iS X X S Y Yn m===-=---∑∑则有：()5 若2212, σσ已知，需要估计12μμ-的范围，则使用枢轴量证明：221212 ()~0, ~(0,1)X Y N N n m σσμμ⎡⎤---+⇒⎢⎥⎣⎦()6若2212, σσ未知，但12σσσ==时，需要估计12μμ-的范围，则使用枢轴量其中：W S=证明：212211()~0,110,X Y N n m N μμσσ⎡⎤⎛⎫---+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥=()2110, 0, 10,10,1 ~2N N N N t n m σσ⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⋅====+-()7如12, μμ已知，需要估计1222σσ的范围，则使用枢轴量证明：()()()2122122112122221221122()1()~,1()()ni ni i i m ni ii i Xn X n n nF n m m Y Y m mm μχμσσχσμμσ====--==--∑∑∑∑根据F 分布的意义，可以推知222111222221()/~()()/~()n i i m i i X n Y m μσχμσχ==⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩∑∑()8如12, μμ未知，需要估计1222σσ的范围，则使用枢轴量证明：()()()()()()()2212221122222221221111~1,11111n S n n S n F n m m S m S m m χσσχσσ----==------ 三、先进题型与求解秘技量纲法求复合统计量的抽样分布。
3种抽样源正态；量纲法则判类型。
根据定义凑模式；标准变量容量值。
【例1】设1234, , , x x x x 来自正态总体()20, 2N 的简单随机样本，求, a b ，使得 ()()2221234234~X a x x b x x χ=-+-。
解：()()))))()[])()()[]()22221234123422122234223423412~0, 220, 2020134~0, 220, 100100~2X a x x b x x x x x x x x N N a a x x N N a b X χ⎤⎤=-+-=-+-⎦⎦⎡⎤-+=⇒=⎢⎥⎣⎦⎡⎤-+=⇒=⎢⎥⎣⎦【例2】2{}~(0,2)i N N ，22212345678910()()()Q aX b X X c X X X d X X X X =+++++++++服从2χ分布，求, , , a b c d 和自由度m 。
解： 2221111111~(0,2)~(0,1)~(1)24X N X X N X xσ⇒=⇒ 同理 23~(0,8),X X N +156~(0,12),X X X N ++78910~(0,16)X X X X N +++ 22231()~(1)8X X χ+ 24561()~(1)12X X X χ++ 278101()~(1)16X X X X χ+++ 由2()n χ的可加性知 2~(4)Q χ 所以 14a =18b = 112c = 116d = 4m = 【例3】设, X Y 相互独立，都服从()20, 3N，则统计量U =服从什么分布。
