湘教版九年级下册3.1.3过不在同一直线上的三点作圆教案

初三数学圆周角、过不在同一直线上的三点作圆知识精讲一. 本周教学内容：圆周角、过不在同一直线上的三点作圆［教学目标］（一）知识与技能要求1. 理解圆周角的概念，了解圆周角与圆心角的关系，直径所对圆周角的特征。

2. 能灵活地运用圆周角的有关性质进行作图、计算和证明。

3. 了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法。

4. 了解三角形的外接圆、三角形的外心的概念。

（二）过程与方法要求1. 经历探索圆周角的性质的过程。

2. 经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程。

3. 体会分类、归纳等数学思想方法，体会解决数学问题的策略。

（三）情感态度与价值观要求1. 积极参与探索活动，在活动中勤于独立思考，发表个人见解。

2. 愿意和他人合作，交流看法，并尊重他人的意见。

3. 认识到通过观察、归纳、推断可以获得数学猜想，体会数学活动充满着探索性和创造性。

二. 重点、难点：1. 教学重点：（1）圆周角的定义、圆周角的性质。

（2）定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆。

2. 教学难点：（1）认识到圆周角定理需分三种情况逐一证明。

（2）分析作圆的方法，实质是设法找圆心。

过已知点作圆的问题就是对圆心和半径的探讨。

三. 主要内容：（一）圆周角1. 定义：顶点在圆上，两边都与圆相交的角，叫圆周角。

如图，∠BAC强调圆周角与圆心角的区别。

2. 圆周角的性质：定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

如上图，∠∠BAC BOC =12强调：（1）定理的证明思路和方法，强调分类、归纳的数学思想。

（2）圆周角和圆心角存在关系的前提是它们对着同一条弧。

推论：（1）在同一圆（或相等的圆）中，同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，相等的圆周角所对的弧相等。

（2）直径（或半圆）所对的圆周角是直角；反之，90°的圆周角所对的弦是直径。

C 2C 3 C 1BA CB∠∠∠AC B AC B AC B 123==AB O ACB o 是⊙的直径∠⇔=90说明：（1）圆周角的性质定理和推论是圆中证明两角相等、两条线段相等、两条弦相等的重要依据，还能确定直径，在计算和作图中应用较广。

九年级数学下册《过不共线三点作圆》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解并掌握圆的基本概念、圆的半径、直径、圆周率等基本性质。
2.掌握通过不共线的三点作圆的方法，并能运用该方法解决实际问题。
3.学会运用圆规和直尺进行圆的作图，提高作图技能和几何直观能力。
4.能够运用圆的相关性质解决几何问题，如求圆的半径、直径、周长、面积等。
-设计意图：巩固基础知识，提高解题能力。
2.提高题：选取一道与生活实际相结合的题目，如“已知三个不共线的点，求作一个圆形花坛的周长和面积”，要求学生运用所学知识解决问题。
-设计意图：培养学生的应用意识，提高解决实际问题的能力。
3.合作题：以小组为单位，共同完成一道综合性的几何题目，如“已知一个圆形操场，测量三个不共线的点到操场的距离，求操场的半径和面积”。
c.通过不共线三点作圆的方法在生活中的应用举例。
2.设计意图：通过小组讨论，促进学生之间的交流与合作，培养学生的探究能力和团队精神。
（四）课堂练习
1.教学活动：教师布置以下练习题，让学生独立完成：
a.已知三个不共线的点，作出符合条件的圆。
b.已知一个圆，判断其是否符合通过不共线三点作圆的条件。
c.结合生活实例，运用通过不共线三点作圆的方法解决问题。
4.部分学生对数学学科的兴趣可能不高，要通过生动有趣的教学方法，激发学生的学习兴趣，提高学习积极性。
5.学生在解决实际问题时，可能缺乏将理论知识与实际问题相结合的能力，需要教师在教学过程中注重培养学生的应用意识。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：通过不共线三点作圆的方法及其在实际问题中的应用。
1.学生在空间想象能力上的差异，部分学生可能难以理解三点确定一个圆的位置关系，需要通过具体实例和实际操作进行引导。

湘教版数学九年级下册教学设计：2.4 过不共线三点作圆一. 教材分析湘教版数学九年级下册第2.4节“过不共线三点作圆”是圆的基本性质和几何作图的重要组成部分。

本节内容是在学生已经掌握了圆的定义、圆的性质以及圆的方程的基础上进行学习的，通过本节的学习，使学生能够掌握过不共线三点作圆的方法，进一步培养学生的几何思维能力和作图能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识和逻辑思维能力，对于圆的性质和方程应该已经有所了解。

但是在作图方面，可能还存在一些困难，因此，在教学过程中，需要注重引导学生进行实际操作，培养学生的动手能力和观察能力。

三. 教学目标1.让学生理解过不共线三点作圆的原理和方法。

2.培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。

3.培养学生的动手操作能力和观察能力。

四. 教学重难点1.过不共线三点作圆的原理和方法。

2.如何引导学生将几何知识运用到实际问题中。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生通过实际问题理解过不共线三点作圆的原理和方法。

2.采用分组合作学习法，让学生在实际操作中相互交流、讨论，培养学生的团队协作能力。

3.采用案例分析法，让学生通过分析实际案例，掌握过不共线三点作圆的方法。

六. 教学准备1.准备相关的几何模型和教具，用于引导学生进行实际操作。

2.准备一些实际问题，让学生进行分析和讨论。

3.准备PPT，用于辅助教学。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出本节内容：“在平面上有三个点，如何作一个圆，使得这个圆经过这三个点？”让学生思考并尝试解答这个问题。

2.呈现（10分钟）讲解过不共线三点作圆的原理和方法，引导学生理解并掌握这个方法。

3.操练（10分钟）让学生分组进行实际操作，尝试用刚学到的方法过不共线的三点作圆。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（5分钟）通过一些实际问题，让学生运用过不共线三点作圆的方法进行解答，巩固所学知识。

5.拓展（5分钟）引导学生思考：过共线三点能否作圆？如果可以，如何作圆？进一步拓展学生的知识面。

过三点的圆数学教案
主题：过三点的圆
一、教学目标：
1. 理解并掌握如何通过三个不在同一直线上的点作圆。

2. 能够运用所学知识解决实际问题。

3. 培养学生的观察力、思考能力和解决问题的能力。

二、教学重点与难点：
1. 重点：过三点作圆的方法。

2. 难点：理解为什么必须是三个不在同一直线上的点才能确定一个圆。

三、教学过程：
1. 引入新课：
教师可以通过展示一些关于圆形的实物或图片，引导学生讨论并思考，引出“如何确定一个圆”的问题。

2. 讲授新知：
（1）定义：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。

（2）过三点作圆的方法：
a. 找到任意两点连线的中垂线；
b. 第三个点到这条中垂线的距离就是圆的半径；
c. 以中垂线的交点为圆心，以半径画圆。

3. 演示与实践：
教师在黑板上演示过三点作圆的过程，然后让学生自己动手尝试。

4. 练习与应用：
设计一些相关的练习题，让学生巩固所学的知识，并能运用到实际问题中。

5. 小结：
总结本节课的主要内容，强调重点和难点。

6. 作业布置：
布置一些相关习题，要求学生回家完成。

四、教学评价：
通过课堂观察、作业批改和测验等方式，对学生的学习情况进行评估。

湘教版数学九年级下册2.4《过不共线三点作圆》教学设计一. 教材分析湘教版数学九年级下册2.4《过不共线三点作圆》是本册教材中的一个重要内容。

在此之前，学生已经学习了圆的基本概念、圆的性质等知识。

本节课通过教授过不共线三点作圆的方法，使学生更深入地理解圆的性质，培养学生的几何思维能力。

教材通过具体的例子引导学生探索、发现、归纳圆的性质，从而提高学生的数学素养。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识基础，对圆的概念和性质有初步的了解。

但是，对于过不共线三点作圆的原理和应用，学生可能还存在一定的困惑。

因此，在教学过程中，需要关注学生的认知水平，引导学生通过实际操作和思考，理解并掌握过不共线三点作圆的方法。

三. 教学目标1.让学生理解过不共线三点作圆的原理。

2.培养学生运用圆的性质解决实际问题的能力。

3.提高学生的几何思维能力，培养学生的数学素养。

四. 教学重难点1.过不共线三点作圆的原理。

2.如何运用圆的性质解决实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探索、发现、归纳圆的性质。

2.利用几何画板等软件，进行动态演示，帮助学生直观理解过不共线三点作圆的原理。

3.通过实际例题，让学生运用圆的性质解决实际问题，巩固所学知识。

六. 教学准备1.准备相关教学PPT，包括理论知识、实例分析等。

2.准备几何画板软件，用于动态演示。

3.准备相关练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出本节课的主题：过不共线三点作圆。

例如，讲解一个 farmer 问题： farmer 有三个奶牛，分别位于不同的地方，他想围一个圆形牧场，如何确定圆的位置和半径？2.呈现（15分钟）讲解过不共线三点作圆的原理，引导学生通过实际操作和思考，发现并归纳圆的性质。

利用几何画板软件进行动态演示，帮助学生直观理解。

3.操练（15分钟）让学生分组进行实际操作，尝试过不共线三点作圆。

湘教版数学九年级下册2.4《过不共线三点作圆 1》说课稿一. 教材分析湘教版数学九年级下册2.4《过不共线三点作圆 1》是本节课的主要内容。

教材从实际问题出发，引导学生认识圆的定义，并通过实例让学生掌握过不共线三点作圆的方法。

本节课的内容是学生对圆的基本概念和性质的进一步理解，也是对圆的画法的基本训练。

教材通过问题驱动的方式，引导学生探究过不共线三点作圆的方法，培养学生的动手操作能力和解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了圆的基本概念和性质，对圆的画法有一定的了解。

但是，对于过不共线三点作圆的具体方法，学生可能还没有完全掌握。

因此，在教学过程中，我需要根据学生的实际情况，引导学生通过实例理解过不共线三点作圆的方法，并加以巩固。

三. 说教学目标本节课的教学目标有三：1.让学生理解圆的定义，掌握过不共线三点作圆的方法。

2.培养学生动手操作能力和解决问题的能力。

3.通过对圆的画法的探究，培养学生的逻辑思维能力和团队合作能力。

四. 说教学重难点本节课的重难点是让学生理解并掌握过不共线三点作圆的方法。

过不共线三点作圆是圆的基本画法之一，对于学生来说，理解和掌握这一方法需要一定的空间想象能力和逻辑思维能力。

因此，在教学过程中，我需要通过实例和操作，引导学生理解和掌握这一方法。

五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用问题驱动的教学方法，通过实例和操作，引导学生理解和掌握过不共线三点作圆的方法。

同时，我会利用多媒体教学手段，如PPT和几何画板，来辅助教学，使学生更直观地理解和掌握圆的画法。

六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生认识圆的定义，激发学生的学习兴趣。

2.探究：引导学生通过实例，探究过不共线三点作圆的方法，并总结出规律。

3.巩固：让学生通过操作，巩固过不共线三点作圆的方法。

4.应用：让学生运用过不共线三点作圆的方法，解决实际问题。

5.总结：对本节课的内容进行总结，强调重点和难点。

湘教版数学九年级下册2.4《过不共线三点作圆 2》教学设计一. 教材分析湘教版数学九年级下册2.4《过不共线三点作圆》是本节课的主要内容。

这一节内容是在学生掌握了圆的定义、圆的性质、圆的标准方程等知识的基础上进行学习的。

通过这一节课的学习，学生需要掌握过不共线三点作圆的方法和步骤，并能够运用这一方法解决实际问题。

教材中给出了详细的步骤和例子，同时也提供了丰富的练习题供学生巩固所学知识。

二. 学情分析在进入九年级下册之前，学生已经学习了两年多的数学知识，对于基础的代数、几何知识有一定的掌握。

在几何知识方面，学生已经学习了图形的性质、图形的变换等知识，对于图形的性质和图形的变换有一定的了解。

在代数知识方面，学生已经学习了函数、方程等知识，对于函数和方程的解法有一定的了解。

但是，对于过不共线三点作圆的知识，学生可能还没有接触过，需要通过本节课的学习来掌握。

同时，由于九年级学生的学习压力较大，需要教师在教学过程中注重启发学生的学习兴趣，引导学生主动参与学习。

三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解过不共线三点作圆的原理，掌握过不共线三点作圆的方法和步骤，并能够运用这一方法解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流等方法，学生能够培养自己的问题解决能力和团队协作能力。

3.情感态度与价值观目标：学生能够体验到数学与实际生活的紧密联系，激发学习数学的兴趣和热情。

四. 教学重难点1.教学重点：过不共线三点作圆的方法和步骤。

2.教学难点：理解和掌握过不共线三点作圆的原理。

五. 教学方法1.启发式教学法：通过提出问题、引导学生思考，激发学生的学习兴趣和主动性。

2.合作交流法：学生进行小组讨论、合作交流，培养学生的团队协作能力和沟通能力。

3.实践操作法：引导学生动手操作，通过实际操作来加深对知识的理解和掌握。

六. 教学准备1.教学PPT：制作教学PPT，包括教材中的例题和练习题。

2.教学素材：准备相关的图片、实例等教学素材，用于辅助教学。

课题：过不共线三点作圆【学习目标】1．理解确定圆的条件及外接圆和外心的定义． 2．掌握三角形外接圆的画法． 【学习重点】确定圆的条件及外接圆和外心的定义． 【学习难点】任意三角形的外接圆的作法．情景导入 生成问题情景导入：1．圆心和半径分别确定圆的什么？答：圆心确定圆的位置；半径确定圆的大小．2．平面内一定点A ，如何过点A 作一个圆？过点A 可作多少个圆？答：任取平面内一点O 为圆心，以OA 为半径作圆即可，过点A 的圆可作无数个． 3．平面内有两定点A ，B ，如何过A ，B 两点作一个圆？过两点可作多少个圆？答：以线段AB 垂直平分线上任意一点为圆心，以这点到点A 的距离为半径画圆即可，这样的圆有无数个．自学互研 生成能力知识模块一 不在同一直线上的三点确定一个圆 阅读教材P61～P62，完成下列问题：如何过不在同一直线上的三个点作圆？可作多少个圆？答：由上面作图可知，过A ，B 两点圆的圆心在AB 的垂直平分线上，过B ，C 两点的圆的圆心在BC 的垂直平分线上，两条垂直平分线交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC ，以OA 为半径作圆即可，由于圆心与半径的唯一性，这样的圆有且只有一个．即不在同一直线上的三个点确定一个圆．【例1】 在同一平面内，过已知A ，B ，C 三个点可以作圆的个数为( D )A ．0个B ．1个C ．2个D ．0个或1个【变例1】 用尺规法找出BAC ︵所在圆的圆心；(保留作图痕迹，不写作法)略．【变例2】 如图，OA ＝OB ＝OC ，且∠ACB＝30°，且∠AOB 的大小是( C )A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°知识模块二 三角形的外接圆和外心什么是三角形的外接圆？什么是三角形的外心？答：经过三角形各个顶点的圆叫这个三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫作这个三角形的外心，这个三角形叫作这个圆的内接三角形，三角形的外心是它的三条边的垂直平分线的交点，它到各个顶点的距离相等．【例2】 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，求△ABC 外接圆的半径．解：作AD⊥BC，垂足为D ，连接OB.∴AD＝52－32＝4. 设OA ＝r ，OB 2＝OD 2＋BD 2，即r 2＝(4－r)2＋32，解得r ＝258.【变例1】 在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，且△ABC 的面积为12，则△ABC 外接圆的半径为__256或258__．【变例2】 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，则它的外心与顶点C 之间的距离是( A )A ．5cmB ．6cmC ．7cmD ．8cm【变例3】 点O 是△ABC 的外心，若∠BOC ＝80°，则∠BAC 的度数为( C )A ．40°B ．100°C ．40°或140°D ．40°或100°交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 不在同一直线上的三点确定一个圆 知识模块二 三角形的外接圆和外心检测反馈 达成目标1．三角形的外心是( B )A ．三角形三角平分线交点B ．三角形三条边的垂直平分线的交点C ．三角形三条高的交点D ．三角形三条中线的交点2．(普洱中考)⊙O 是△A BC 的外接圆，∠OCB ＝40°，则∠A 的度数是( B )A ．40°B ．50°C ．60°D ．100°3．(济南中考)如图⊙O 的半径为1，△ABC 是⊙O 的内接等边三角形，点D ，E 在圆上，四边形BCDE 为矩形，这个矩形的面积是( B )A ．2B . 3C .32D .32课后反思查漏补缺1．收获：_____________________________________________________________________ 2．存在困惑：__________________________________________________________________。

3.1.3过不在同一直线上的三点作圆教学目标：1.（了解）（１）知道不在同一条直线上的三点确定一个圆.（２）三角形的外心.2．（掌握）（１）会用尺规作过不在同一直线上的三个点的圆； （２）掌握三角形的外接圆、圆的内接三角形的概念. 重、难点：过不共线的三点圆的圆心的确定.学具：圆规、直尺等.教学过程：一、 复习引入1. 怎样作线段的垂直平分线？2. 三角形两边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离是否相等？3. 位置和大小确定一个圆.决定圆的大小的是圆的 ，决定圆的位置的是 .4. 几点可以确定一条直线？既然一条直线可以由 点来确定，那么一个圆需用几点来确定呢？今天这节课就来研究这个问题.二、 讲授新课１. 阅读课文，然后分两组画图：（１）组：经过一个已知点Ａ画圆； （２）组：经过两个已知点Ａ、Ｂ画圆. 注意引导：画圆要确定圆心和半径，但要画的圆经过已知点，圆心确定以后，半径也随之确定，因此，关键是确定圆心.（学生在底下画图时，可让两生上黑板画）教师作简单小结，并在投影上展示出来.过一个点的圆有无数多个 过两个点的圆有无数多个接下下来我们来学习过三个已知点画圆.（板书课题）2. 例：作圆，使它经过不在同一直线上的三个已知点.已知：不在同一直线上的三点Ａ、Ｂ、Ｃ（如图）求作：⊙Ｏ，使它经过点Ａ、Ｂ、Ｃ.分析：以前我们学过三角形两边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，若把三个已知点看作是三角形的三个顶点构造三角形，那么，两边垂直平分线的交点就是我们要找的圆心.师生共同完成作图过程.（板书过程）（结合以上的作法与证明，请学生回答下列问题，引出定理）①、经过不在同一条直线上的三点A、B、C的圆是否承在？（承在）②、是否还有其他符合条件的圆？（没有）③根据是什么？（线段AB、BC的垂直平分线有且只有一个交点）这说明所作的圆心是唯一的，从而半径也是唯一的，则所作的圆是唯一的.３.定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆.强调：（１）过同一直线上三点不行.（２）“确定”一词应理解成“有且只有”.4. 介绍“三角形的外接圆”和“圆的内接三角形”以及“外心”的概念.5. 过同一直线上的三个点能不能作圆呢？（引导学生思考与尝试）学生得出：过同一直线上的三个点不能作圆三、巩固练习1. 按图填空：（１）△ABC是⊙Ｏ的三角形；（２）⊙Ｏ是△ABC的圆2. 判断：（１）经过三个点一定可以作圆；（）（２）任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；（）（３）任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；（）（４）三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等.（）（5）三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点. （）四、思考题经过４个（或４个以上的）点是不是一定能作圆？五、小结过一点作圆过二点作圆会用尺规作三角形的外接圆。

过不在同一直线上的三点作圆教学目标：知识与技能：让学生掌握过不在同一直线上的三点作圆的方法；过程与方法：让学生经历通过不在同一直线上的三点找圆心，画圆的过程；情感态度与价值观：培养学生操作能力。

教学重难点：重点：过不在同一直线上的三点作圆的方法；难点：通过不在同一直线上的三点找圆心。

教学过程：复习：1.什么是圆周角？2.定理2 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.3.在同一圆(或相等的圆)中，同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，相等的圆周角所对的弧相等.直径(或半圆)所对的圆周角是直角；反之，90°的圆周角所对的弦是直径。

新知：1. 如何过一点A作一个圆？过点A可以作多少个圆？方法：只要以点A以外的任意一点为圆心，以这个点和点A的距离为半径画圆即可。

2. 如何过两点作一个圆？过两点可以作多少个圆？（学生动手完成）方法：1. 由于两点A，B与圆心的距离相等，因此圆心在线段AB的垂直平分线上.2.以线段AB的垂直平分线上任意一点为圆心，以这点和点A的距离为半径画圆即可。

由于以线段AB的垂直平分线上任意一点为圆心，所以可以画无数个圆。

3. 如何过不在同一直线上的三个点作圆？可以作多少个圆？学生思考怎样找圆心？提示：上面2中作AB的垂直平分线找圆心，在这里能给我们上面启示。

方法：1.连结AB，作线段AB的垂直平分线EF；2.连结BC，作线段BC的垂直平分线MN；3.以EF和MN的交点O为圆心，以OA为半径作圆.由于圆心只有一个，所以只能画一个圆。

定理3：不在同一直线上的三点确定一个圆。

4. 过同一直线上的三点A，B，C 能作一个圆吗？（学生思考）不能做同一个圆.经过△ABC的三个顶点可以作一个圆吗？可以作几个圆？为什么？由于△ABC的三个顶点不在同一直线上，因此过这三个顶点可以作一个圆，并且只可以作一个圆.经过一个三角形各顶点的圆叫这个三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做这个三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形，三角形的外心是它的三条边的垂直平分线的交点。

4.通过对几何美的感悟，培养学生的审美情趣，提高他们对数学美的鉴赏能力。
在本章节的教学过程中，教师应关注学生的全面发展，将知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观有机地结合起来，使学生在掌握基本几何知识的同时，提高自身的综合素质，为未来的学习和发展奠定坚实的基础。
三、教学策略
（一）情景创设
1.创设生活化的教学情境，以学生熟悉的事物或场景作为引入，如校园里的圆形花坛、篮球场的圆形边界等，让学生感受到圆就在我们的身边，激发他们的学习兴趣。
4.通过对几何性质的学习和证明，使学生掌握几何学的基本研究方法和思维方式，提高学生的几何素养。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对数学几何学科的兴趣，培养他们主动探究、勇于创新的科学精神。
2.培养学生严谨、细心的学习态度，使他们认识到几何学习的严密性和逻辑性，从而提高学习的自觉性和自律性。
3.引导学生关注数学与生活的联系，体会数学在现实生活中的广泛应用，增强数学学习的实用性和价值感。
3.教师巡回指导，关注每个小组的讨论情况，给予适当的提示和引导，确保讨论的有效性。
（四）总结归纳
1.邀请各小组代表汇报讨论成果，让学生在倾听他人观点的过程中，加深对知识点的理解。
2.教师针对学生的讨论成果进行点评，总结“过不共线三点作圆”的基本原理、尺规作图方法以及几何证明过程。
3.强调本节课的重点和难点，指导学生掌握几何学习的思维方法和技巧。
4.能够运用所学的知识，解决一些与圆相关的实际问题，如测量圆形场地、设计圆形图案等。
（二）过程与方法
1.通过小组合作和自主探究，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力，让学生在实践中学会如何观察、分析和解决问题。
2.引导学生运用尺规作图、直观演示等方法，提高学生的动手操作能力和空间想象能力。

湘教版数学九年级下册2.4《过不共线三点作圆 1》教学设计一. 教材分析湘教版数学九年级下册2.4《过不共线三点作圆》是圆的基础知识章节，主要让学生了解并掌握过不共线三点作圆的原理和方法。

本节课的内容是在学生已经掌握了圆的定义、性质和画法的基础上进行学习的，对于进一步深化学生对圆的理解，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力有着重要的作用。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对圆的概念和性质有一定的了解。

但是，对于过不共线三点作圆的原理和具体操作方法，可能还存在一定的困惑。

因此，在教学过程中，需要教师引导学生通过观察、思考、操作等活动，逐步理解和掌握过不共线三点作圆的方法。

三. 教学目标1.让学生了解过不共线三点作圆的原理和方法。

2.培养学生观察、思考、操作的能力，提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.培养学生合作学习的习惯，增强学生的团队意识。

四. 教学重难点1.过不共线三点作圆的原理的理解。

2.过不共线三点作圆方法的掌握。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、思考、操作等活动，自主探索过不共线三点作圆的原理和方法。

2.采用合作学习的教学方法，让学生在小组内进行讨论和交流，共同完成任务。

3.采用案例分析的教学方法，让学生通过分析具体案例，加深对过不共线三点作圆方法的理解。

六. 教学准备1.准备相关的教学案例和图片，用于引导学生观察和分析。

2.准备教学课件，用于辅助教学。

3.准备练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾圆的定义和性质，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师通过课件或板书，呈现过不共线三点作圆的原理和具体方法，引导学生理解和掌握。

3.操练（10分钟）教师提出具体问题，让学生运用所学的原理和方法进行操作，巩固所学知识。

4.巩固（10分钟）教师通过练习题，检验学生对过不共线三点作圆方法的掌握程度，并对学生的错误进行讲解和指导。

2.4 过不共线三点作圆教学目标：1.（了解）（１）知道不在同一条直线上的三点确定一个圆.（２）三角形的外心. 2．（掌握）（１）会用尺规作过不在同一直线上的三个点的圆；（２）掌握三角形的外接圆、圆的内接三角形的概念.重、难点：过不共线的三点圆的圆心的确定.学具：圆规、直尺等.教学过程：一、 复习引入1. 怎样作线段的垂直平分线？2. 三角形两边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离是否相等？3. 位置和大小确定一个圆.决定圆的大小的是圆的 ，决定圆的位置的是 .4. 几点可以确定一条直线？既然一条直线可以由 点来确定，那么一个圆需用几点来确定呢？今天这节课就来研究这个问题.二、 讲授新课１. 阅读课文，然后分两组画图：（１）组：经过一个已知点Ａ画圆； （２）组：经过两个已知点Ａ、Ｂ画圆.注意引导：画圆要确定圆心和半径，但要画的圆经过已知点，圆心确定以后，半径也随之确定，因此，关键是确定圆心.（学生在底下画图时，可让两生上黑板画） 教师作简单小结，并在投影上展示出来.过一个点的圆有无数多个 过两个点的圆有无数多个接下下来我们来学习过三个已知点画圆.（板书课题）2. 例：作圆，使它经过不在同一直线上的三个已知点.2 已知：不在同一直线上的三点Ａ、Ｂ、Ｃ（如图）求作：⊙Ｏ，使它经过点Ａ、Ｂ、Ｃ.分析： 以前我们学过三角形两边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，若把三个已知点看作是三角形的三个顶点构造三角形，那么，两边垂直平分线的交点就是我们要找的圆心.师生共同完成作图过程.（板书过程）（结合以上的作法与证明，请学生回答下列问题，引出定理）①、经过不在同一条直线上的三点A 、B 、C 的圆是否承在？（承在）②、是否还有其他符合条件的圆？（没有）③根据是什么？（线段AB 、BC 的垂直平分线有且只有一个交点）这说明所作的圆心是唯一的，从而半径也是唯一的，则所作的圆是唯一的.３.定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆.强调：（１）过同一直线上三点不行.（２）“确定”一词应理解成“有且只有”.4. 介绍“三角形的外接圆”和“圆的内接三角形”以及“外心”的概念.5. 过同一直线上的三个点能不能作圆呢？（引导学生思考与尝试）学生得出：过同一直线上的三个点不能作圆三、巩固练习 1. 按图填空：（１）△ABC 是⊙Ｏ的 三角形； （２）⊙Ｏ是△ABC 的 圆. 2. 判断： （１）经过三个点一定可以作圆；（ ） （２）任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；（ ）（３）任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；（ ）（４）三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等.（ ）（5）三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点. （ ）四、思考题经过４个（或４个以上的）点是不是一定能作圆？。

AO2O 1O 3《过不在同一直线上的三点作圆》教案【知识与技能】1.理解确定圆的条件及外接圆外心的定义。

2.掌握三角形外接圆的画法。

【过程与方法】经历过不在一直线上的三点确定一个圆的探索过程，让学生会用尺规作过不在同一直线上的三点的圆。

【情感态度与价值观】在探究过不在同一直线上的三点确定一个圆的过程中，进一步培养探究能力和动手能力。

教学重点和难点【重点】（1）确定圆的条件和外心的定义。

（2）三角形外接圆的画法。

【难点】过不共线的三点的圆的圆心的确定。

教学过程一 创设情境，导入新课1.几点确定一条直线？既然一条直线可以由两点确定，那么一个圆需要几点才能确定呢？2.如图一考古学家在马王堆汉墓挖掘时，发现一圆形瓷器碎片，为了便于进行研究，这位考古学家想画出这个碎片所在的圆，你能帮助他解决这个问题吗？为了解决上面问题我来学习:3.1.3过不在同一直线上的三点作圆二合作交流，探究新知1探究确定圆的条件（1）如何过点A 作圆，可以作多少个圆？（学生独立完成）教师归纳：任意取点O 作圆心，OA 为半径作圆。

（2）如何过两点作圆？过两点可以作多少个圆？ 引导：画圆要确定圆心和半径，但要画的圆经过已知点，圆心确定以后，半径也随之确定，因此，关键是确定圆心.①过A 、B 两点的圆的圆心在哪儿？由于A 、B 两点在圆上，所以OA=OB,因此点O 在AB的垂直平分线上。

② 如何过A 、B 两点作圆？以线段AB 垂直平分线上任意一点O 为圆心，OA 长为半径作圆。

③ 过A 、B 两点可以作多少个圆？由于AB 垂直平分线上任意一点都可以作为圆心，因此可以作无数个圆。

学生完成作图 A B O 3O 2O 1（3）如何过不在同一直线上的三点作圆？已知：不在同一直线上的三点Ａ、Ｂ、Ｃ（如图）求作：⊙Ｏ，使它经过点Ａ、Ｂ、Ｃ.分析：由于圆O经过点A、B、C，因此点OA=OB=OC,于是点O在线段AB的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上。

过不共线三点作圆【教学目标】（一）知识与技能：1．理解确定圆的条件及外接圆和外心的定义。

2．掌握三角形外接圆的画法。

（二）过程与方法：经过不在同一直线上的三点确定一个圆的探索过程，让我们学会用尺规作不在同一直线上的三点的圆。

（三）情感态度：在探究过不在同一直线上的三点确定一个圆的过程中，进一步培养探究能力和动手能力，提高学习数学的兴趣。

【教学重点】确定圆的条件及外接圆和外心的定义。

【教学难点】任意三角形的外接圆的作法。

【教学过程】一、情境导入，初步认识：如图所示，点A，B，C表示因支援三峡工程建设而移民的某县新建的三个移民新村。

这三个新村地理位置优越，空气清新，环境幽雅。

花园式的建筑住宅让人心旷神怡，但安居后发现一个极大的现实问题：学生就读的学校离家太远，给学生上学和家长接送学生带来了很大的麻烦。

根据上面的实际情况，政府决定为这三个新村就近新建一所学校，让三个村到学校的距离相等，你能帮助他们为学校选址吗？二、思考探究，获取新知：（一）确定圆的条件：活动1：如何过一点A作一个圆？过点A可以作多少个圆？活动2：如何过两点A、B作一个圆？过两点可以作多少个圆？以上两个问题要求学生独立动手完成，让学生初步体会，已知一点和已知两点都不能确定一个圆，并帮助学生得出如下结论。

1．过平面内一个点A的圆，是以点A以外的任意一点为圆心，以这点到A的距离为半径的圆，这样的圆有无数个。

2．经过平面内两个点A，B的圆，是以线段AB垂直平分线上的任意一点为圆心，以这一点到A或B的距离为半径的圆。

这样的圆有无数个。

活动3：如图，已知平面上不共线三点A，B，C，能否作一个圆，使它刚好都经过A，B，C三点。

假设经过A、B、C三点的圆存在，圆心为O，则点O到A、B、C三点的距离相等，即OA=OB=OC，则点O位置如何确定？是否唯一确定？教师提示到此，让学生动手画圆，最后教师归纳出。

3．经过不在同一直线上的三个点A、B、C的圆，是以AB、BC、CA的垂直平分线的交点为圆心，以这一点到点A，点B或点C的距离为半径的圆，这样的圆只有一个。

湘教版数学九年级2.4过不共线三点作圆教学设计课题 2.4过不共线三点作圆单元第二章圆学科数学年级九年级学习目标1、理解、确定圆的条件及外接圆和外心的定义．掌握三角形外接圆的画法．2、经过不在同一直线上的三点确定一个圆的探索过程，让我们学会用尺规作不在同一直线上的三点的圆．3、在探究过不在同一直线上的三点确定一个圆的过程中,进一步培养探究能力和动手能力,提高学习数学的兴趣．重点确定圆的条件及外接圆和外心的定义．难点任意三角形的外接圆的作法．教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课阅读下面的材料，想一想：要确定一个圆必须满足几个条件？一位考古学家在长沙马王堆汉墓挖掘时，发现一圆形瓷器碎片，你能帮助这位考古学家画出这个碎片所在的整圆，以便于进行深入的研究吗？阅读材料，思考确定一个圆的条件．通过材料引入激发学生的兴趣．讲授新课一、确定圆的条件的探究1、合作探究一：如何过一个点A作一个圆？过点A作圆，可以作多少个圆？请动手画图试一试并归纳出结论．以不与A点重合的任意一点为圆心，以这个点到A点的距离为半径画圆即可；过一个点可作无数个圆．2、合作探究二：如何过两点A、B作一个圆？过两点可以作多少个圆？其圆心的分布有什么特点?与线段AB有什么关系？请动手画图试一试并归纳出结论．作线段AB的垂直平分线，以其上任意一点为探究发现结论．探究发现结论．通过学生的探究活动，得出过一个点可作无数个圆的结论．通过学生的探究活动，得出过两个点可作无数个圆的结论．圆心，以这点和点A或B的距离为半径画圆即可；过两点可作无数个圆．通过上面的探究活动你发现了什么结论？请通过小组合作交流归纳出结论．归纳：（1）过平面内一个点A的圆，是以点A以外的任意一点为圆心，以这点到A的距离为半径的圆,这样的圆有无数个．（2）经过平面内两个点A，B的圆，是以线段AB垂直平分线上的任意一点为圆心，以这一点到A 或B的距离为半径的圆．这样的圆有无数个．3、合作探究三：如何过不在同一直线上的三个点作圆？可以作多少个圆？你能过不在同一直线上的三点作圆吗？请完成下面的探究过程．假设经过不在同一直线上的A、B、C三点存在⊙O．（1）圆心O到A、B、C三点距离（填“相等”或”不相等”）.（2）如果O点到A、B的距离相等，则点O 应在线段AB的_____________上，同理点O也应在线段AC的______________上．（3）点O应是线段AB、AC的____________交点，半径为OA的长，所以_____作圆．根据上面的探究过程你能完成下面的例题吗？例已知：不在同一直线上的三点A、B、C．求作：⊙O，使它经过点A、B、C．作法：1、连结AB，作线段AB的垂直平分线MN；2、连接AC，作线段AC的垂直平分线EF，交在教师的引导下进行归纳．根据课件演示填空．完成例题．通过归纳得出经过一点或两点不能唯一确定一个圆的结论．通过填空得出经过不在同一直线上的三点作一个圆的方法．掌握经过不在同一直线上三点作圆的方法．MN于点O；3、以O为圆心，OB为半径作圆．所以⊙O就是所求作的圆．归纳：经过不在同一直线上的三点可以作一个圆而且只能作一个圆．探究过同一直线上的三点A、B、C能作一个圆吗? 为什么？二、三角形的外接圆，三角形的外心1、经过△ABC的三个顶点可以作一个圆吗？为什么？教师讲解三角形的外接圆等概念．经过三角形各顶点的圆叫作这个三角形的外接圆．☉O叫做△ABC的________，这个三角形叫作这个圆的内接三角形，△ABC叫做☉O的____________．2、三角形的外心：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心．怎样作三角形的外心？小组合作交流归纳三角形的外心有何性质？三、探究活动四：三角形与它的外心的位置关系．分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系．结论：锐角三角形的外心位于三角形内；直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中探究三角形与它的外心的位置关系．进一步理解和掌握二次函数y=a（x-h）2的图象和性质．理解三角形的外接圆及三角形外心的概念及性质．掌握任意三角形的外接圆的作法．点；钝角三角形的外心位于三角形外．应用：课前的引例中的圆形瓷器碎片如何还原？请用所学的知识解决这个问题．方法：1、在圆弧上任取三点A、B、C；2、作线段AB、BC的垂直平分线，其交点O即为圆心；3、以点O为圆心，OC长为半径作圆．⊙O即为所求．解决引例．会应用三角形外接圆的作法解决实际问题．1、三角形的外心具有的性质是（）A．到三边的距离相等B．到三个顶点的距离相等C．外心在三角形的外D．外心在三角形内2、小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是（）A．第一块B．第二块C．第三块D．第四块3、如图，点A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为5_________．4、如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．已知：AB=24 cm，CD=8 cm．（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求（1）中所作圆的半径．学生先自主思考，完成后小组交流展示成果．通过练习的解决进一步掌握过三点作圆的方法，三角形外心的性质并，能运用所学知识解决有关的实际问题．5、如图，△ABC内接于⊙O，∠B=30°，AC=2 cm，求⊙O的半径．6、如图所示，锐角△ABC，∠A=60°，其外接圆的半径为3，求BC．课堂小结回顾本节课所学知识．通过小结，进一步掌握本节所学的知识，并能运用所学的知识解决问题．。

AC AP 3AP. tan 30
【互动探究】若AP=1，则⊙O的面积为多少？ 提示：∵∠PAC=90°， ∴弦PC为⊙O的直径, ∴PC2=12+( 3 )2=4,∴PC=2, ∴S⊙O=π×12=π.
【总结提升】三角形外接圆圆心的“三种”位置 1.锐角三角形的外心在三角形内部，如图1； 2.直角三角形的外心是斜边的中点，如图2； 3.钝角三角形的外心在三角形外部，如图3.
4.已知 A B ，请找出 A B 所在圆的圆心， 并将圆的其他部分作出来.
【解析】作法：(1)在 A 上B 任取一点C(点C与A，B两点不重合). (2)连结AC，BC. (3)分别作AC，BC的垂直平分线，它们的交点O就是A B 所在圆 的圆心.
(4)以O为圆心，以OA为半径作出⊙O，如图所示.
设半径OB=R，则OD=4-R，由R2=32+(4-R)2,解得R=3.125.
3.△ABC的边长AB=1 cm, A C 2cm ,B C 3cm ,则其外接圆的 半径是________.
【解析】因为AB2+AC2=12+2=3=BC2.
所以△ABC为直角三角形，所以其外接圆的半径为△ABC斜边的 一半，即 r 3 .
3.1.3 过内确定一个圆的条件.(重点) 2.理解“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，并能经过不 在同一直线上的三个点作圆.(重点) 3.了解三角形的外接圆及外心.(难点)
确定圆的条件 (1)确定一个圆需要确定_圆__心__和__半__径__. (2)经过一点A可以作_无__数__个圆. (3)经过两点A，B可以作_无__数__个圆，这些圆的圆心都在线段AB 的_垂__直__平__分__线__上.
题组二:与圆内接三角形有关的运算 1.(2013·漳州中考)如图,☉O是△ABC的外接圆,连结OB,OC,若 OB=BC,则∠BAC等于 ( )