第二讲 配套习题及答案1.若效用函数现为：γγ-=1),(l c l c u （10<<γ）其他条件与实例中给出的相同，试分别求分散经济与计划经济的最优解。
计划者目标函数为：}{max 1,γγ-l c lc ..t s αα--==10)(l h zk y c 代约束条件进目标函数，可以得到无约束的最大化问题：{}γγαα---110])([max l l h zk l一阶条件为：)(l FOC γγααγγγγααγγγγα-------=--l l h k z l l h k z )1()()()1()1(011)1(0求解可得：αγγ--=*1)1(h l αγαγ--=*1)1(h n 代*n 进生产函数可得：αααγαγ-**⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==101)1(h zk y c企业利润函数为：wn k r n zk -+-=-)1(1ααπ企业利润最大化的一阶条件为：0)1(11=+-=∂∂--r n k z kαααπ 0)1(=--=∂∂-w n k z nαααπ 利用这两个一阶条件可以取得均衡的价格解，为：αααγαγ-*⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1)1(0h zk w11)1(110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=--*αααγαγαh k z r2.假设行为人的效用函数如下：)ln()ln(l c U +=，其中c 是行为人的消费，l 是行为人每天用于闲暇的时间。
行为人每天的时间除了用于闲暇，就是用于工作，但他既可以为自己工作也可以为别人工作。
他为自己工作时的产出函数为5.0)(4s n y =，其中s n 为用于自己工作的时间。
如果他为别人工作，每小时得到的报酬是工资，记为w （当然是用消费品衡量的）。
试写出该行为人的最优化问题，并求解之。
)ln(){ln(max ,,l c sn l c + ..t s w n l n c s s )24()(45.0--+=代约束条件进目标函数，分别对l 和s n 两个变量求一阶导数，并令其为零，有：)(l FOC lw n l n w s s 1)24()(45.0=--+ )(n FOC 0)24()(4)(25.05.0=--+--wn l n w n s s s 求解上述联立方程，可得：w n s 4=*2212w l +=* 421285.0--+=*w w wc 3.考虑一个具有如下代表性行为人的模型。
代表性消费者的效用函数如下：l c l c u +=β),(其中，c 是消费，l 是闲暇，且0>β。
消费者拥有一单位的时间禀赋和0k 单位的资本。
代表性企业生产消费品的技术由如下的生产函数来表示：αα-=1n Ak y其中，y 是产出，A 是全要素生产率，k 是资本投入，n 是劳动投入，且10<<α。
记w 为市场的实际工资，r 为资本的租金率。
a.试求解实现竞争均衡时的所有价格和数量。
b.试分析全要素生产率A 的一个变化会对消费、产出、就业、实际工资以及资本租金率产生怎样的影响。
解：a.第一步，分析消费者行为：l c l c u lc l c +=β,,max ),(max ..t s 0)1()1(k r l w c ++-=代约束条件进目标函数，可转化为无约束的最大化问题。
l k r l w l+++-])1()1([max 0β 对l 求一阶导数，并令其为零，可得：β1=w第二步，分析企业的行为：d d d d dk k r wn n Ak )1()1(1δπαα-++--=- n FOC 0)1(=---w n Ak d dααα d k FOC 011=----δαααr n Ak d d根据市场出清条件，可得如下方程组：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+==----0111)1(k k r n Ak n Ak dd d d d δαβααααα求解得：[][]⎪⎩⎪⎨⎧--=-=-**δαβααβααααα1110)1()1(A r k A n 第三步，全部均衡解：[]αααβ10)1(11k A n l --=-=**[][]011100)1()1(k A k A Ak c y ααααααααβαβ--**-=-== α1=*w或者，考虑计划经济情形：l c l c u lc l c +=β,,max ),(max ..t s αα--=10)1(l Ak c 代约束条件进目标函数，可转化为无约束的最大化问题：()[]l l Ak l+--ααβ10)1(max 对l 求一阶导数，并令其为零，可得：1)1()1(0=---αααβl Ak解得：[]αααβ10)1(1k A l --=* []αααβ10)1(k A n -=*b.()0)1()1(101<---=∂∂-k A A l αααβαβα()0)1()1(101>--=∂∂-k A A n αααβαβα()0)1(1011>-=∂∂=∂∂--k A A c A y αααααβα()0)1(11>-=∂∂--αααααβA A r 0=∂∂Aw 说明：闲暇将随技术进步而减少，因而就业将随技术进步而增加；产出、消费和资本租金率将随技术进步而上升；实际工资不会随技术进步的变化而变化。
4.考虑一个如下的含有政府的代表性行为人的经济。
消费者的偏好由如下的效用函数代表：g l c l c u ln ln ln ),(γθ++=这里，c 是消费；l 是闲暇；g 是政府购买；0,>γθ。
消费者拥有一单位的时间禀赋。
私人消费品的生产技术如下：zn y =这里，y 是产出，n 是劳动投入，0>z 。
假设政府通过向消费者征收一个总额税来为自己的购买融资。
（1）对于一个给定的g ，试求均衡时的消费、产出和就业。
证明这些均衡数量是帕累托最优的。
（2）试分析当政府购买发生变化时，这些均衡数量会受到怎样的影响。
平衡预算乘数时大于1还是小于1，解释之。
（3）现在假设政府是一个“仁慈”的政府，它将选择一个最优的g 。
也就是说，政府将选择一个合适的g 去最大化代表性行为人的福利。
试求解最优水平的政府购买数量。
解：（1）在给定0,>τg 时，消费者的最优规划问题可以表述如下： ]ln ln [ln max ,g l c lc γθ++ ..t s τ--=)1(l w c代约束条件进目标函数，可以转化为无约束的极值问题： {}g l l w lln ln ])1(ln[max γθτ++-- 该最大化问题的一阶条件为： 0)1(=+---ll w w θτ 利用这一一阶条件，可以求得消费者的闲暇需求函数： ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+=w l τθθ11 )1()(θτθ+-=w w 利用闲暇的需求函数，再加上消费者的时间约束和预算约束，我们可以进一步求得消费者的劳动供给和消费需求函数： )1(θθτ++=w w n ， θτ+-=1w c可以注意到，闲暇和消费都是都是随总额税的增加而减少的，这确保在我们假设的效用函数下，这两种商品都是正常商品。
也可以注意到，闲暇和消费都随w 的增加而增加，这意味着在我们的模型中，相对于收入效应而言，替代效应是占主导地位的。
从企业的利润最大化问题中，我们能得到：z w =竞争均衡的定义要求政府的预算要平衡：τ=g代这些表达式进入消费者的闲暇和消费需求函数中，可以得到如下的竞争均衡数量： )1()(θθ+-=z g z l ， )1(θθ++=z g z n ， θ+-=1g z c 注意，当我们把消费者的时间预算代进其预算约束的时候，我们已经运用了劳动市场的出清条件，l n -=1。
利用或者商品市场出清条件，y g c =+，或者生产函数，zn y =，并与上述均衡数量相结合，可以求得均衡产量： θθ++=1g z y 给定时，0>g 我们可以借助如下的社会计划者最优问题来求得帕累托最优的均衡数量：]ln ln [ln max ,g l c lc γθ++ ..t s )1(l z g c -=+代约束条件进目标函数，可以转化为无约束的极值问题： {}g l g l z lln ln ])1(ln[max γθ++--该最大化问题的一阶条件为：0)1(=+---lg l z z θ 利用该一阶条件，可以求得消费者的闲暇需求函数： ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+=z g l 11θθ )1()(θθ+-=z g z 利用闲暇的需求函数，再加上消费者的时间约束、生产函数和资源约束，我们可以进一步求得如下的均衡数量： )1(θθ++=z g z n ，θθ++=1g z y ， θ+-=1g z c 因为这些解与上面我们已经推导出来的竞争均衡数量是相同的，因此，竞争均衡分配是帕累托最优的分配。
在这一例子中，之所以两者的结果相同是因为总额税并不会产生扭曲效应。
（2）因为在题（1）中我们已经求得均衡数量解，因而，我们之需要简单地让这些均衡解对g 求全导数，就可以得到结论：0)1(>+=θθz dg dn01>+=θθdg dy 011<+-=θdg dc 可以注意到，平衡预算乘数是小于1的。
因为，θθ+<1，所以，11<+=θθdg dy 。
（回忆：政府预算约束g =τ必须成立，因而，g 的任何一个变化一定对应着τ的一个相同变化：dg d =τ。
因此，我们有“平衡预算乘数”这一名词。
）也可以注意到，挤出是不完全的：因为0>θ，所以111<+=θdg dc 。
（3）为了确定最优水平的政府购买数量，政府在给定行为人对g 变化的最优反应的基础上通过选择一个合适的g 来最大化代表性行为人的福利。
我们可以把在题（1）中求得的行为人的决策规则看成是一个g 的函数：)(g c c =和)(g l l =。
这些函数告诉我们行为人的最优选择c 和l 是如何随着g 的变化而变化的。
政府的最优化问题可以描述如下：[]g g l g c gln )(ln )(ln max γθ++ 或者，等价地： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-g z g z g z g ln )1()(ln 1ln max γθθθθ 一阶条件如下： 01=+----gg z g z γθ 或者 g g z γθ=-+1 （1） 注意，方程（1）的左边代表的是政府购买的边际成本。
这些成本是借助纯财富效应通过减少消费和闲暇的形式实现的。
方程（1）的右边代表的是政府购买的边际收益。
因此，最优的g 平衡着政府购买的边际收益和边际成本。
注意到边际成本随着g 的增加而增加，而边际收益则随着g 的增加而减少。
求解（1）式可以得到最优的政府购买水平： γθγ++=*1z g （2） 5.考虑一个具有和题1相同的偏好和生产技术的代表性行为人经济。
