四川省成都七中2020-2021度高三10月阶段性测试数学(文科)试题(wd无答案)

四川省成都市高2021届2020年高三零诊数学试卷(文科、理科)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合 $A=\{x|0<x<2\}$，$B=\{x|x\geq1\}$，则 $A\capB=$A) $\{x|0<x\leq1\}$ (B) $\{x|0<x<1\}$ (C) $\{x|1\leqx<2\}$ (D) $\{x|0<x<2\}$2.复数 $z=2i/(2-i)$（$i$ 为虚数单位）在复平面内对应的点位于A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限3.已知函数 $f(x)=\begin{cases} |x-1|。

& x\leq 1 \\ e^{\ln x}。

& x>0 \end{cases}$，则 $f(f(2))=$A) 0 (B) 1 (C) $e^{-1}$ (D) 24.为了加强全民爱眼意识，提高民族健康素质，1996年，卫生部、教育部、XXX等12个部委联合发出通知，将爱眼日活动列为国家节日之一，并确定每年的6月6日为“全国爱眼日”。

某校高二（1）班有40名学生，学号为01到40，现采用随机数表法从该班抽取5名学生参加“全国爱眼日”宣传活动。

已知随机数表中第6行至第7行的各数如下：xxxxxxxx39 xxxxxxxx82 xxxxxxxx78 xxxxxxxx38xxxxxxxx48 xxxxxxxx15 xxxxxxxx77 xxxxxxxx17 xxxxxxxx92 若从随机数表第6行第9列的数开始向右数，则抽取的第5名学生的学号是A) 17 (B) 23 (C) 35 (D) 375.“$k=223$” 是“直线 $y=kx+2$ 与圆 $x^2+y^2=1$ 相切”的A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D)既不充分也不必要条件6.已知离心率为2的双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ （$a>0,b>0$）与椭圆$\dfrac{y^2}{84}+\dfrac{x^2}{ab}=1$ 有公共焦点，则双曲线的方程为A) $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ (B)$\dfrac{x^2}{b^2}-\dfrac{y^2}{a^2}=1$ (C) $x^2-a^2y^2=b^2$ (D) $y^2-a^2x^2=b^2$7.执行如图所示的程序框图，则输出的结果 $S$ 为A) $-1$ (B) $\dfrac{2}{\sqrt{2}}$ (C) 0 (D) $-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$8.设函数 $f(x)$ 的导函数是 $f'(x)$。

成都七中2020届三诊模拟数 学(文科)一、选择题：（本大题共12小题,每小题5分,共60分.） 1. 已知集合2{1,0,1,2,3,4},{|,}A B y y x x A =-==∈,则AB =（ ）(A){0,1,2} (B){0,1,4} (C){1,0,1,2}- (D){1,0,1,4}- 2. 已知复数11iz =+,则||z =（ ）(B)1 (D)2 3. 设函数()f x 为奇函数,当0x >时,2()2,f x x =-则((1))f f =（ ） (A)1- (B)2- (C)1 (D)24. 已知单位向量12,e e 的夹角为2π3,则122e e -=（ ）(A)3 (B)7 (C)5. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线方程为3y x =±,则双曲线的离心率是（ ）(C)10 (D)1096. 在等比数列{}n a 中,10,a >则“41a a <”是“53a a <”的（ ）(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件7. 如图所示的程序框图,当其运行结果为31时,则图中判断框①处应填入的是（ ）(A)6?i ≤ (B)5?i ≤ (C)4?i ≤ (D)3?i ≤8. 已知,a b 为两条不同直线,,,αβγ为三个不同平面,下列命题：①若///,,/ααγβ则//βγ；②若//,//,a a αβ则//αβ；③若,,αγγβ⊥⊥则αβ⊥；④若,,a b αα⊥⊥则//a b .其中正确命题序号为（ ） (A)②③(B)②③④(C)①④(D)①②③9. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别为1,5,11,21,37,61,95,则该数列的第8项为（ ） (A)99(B)131 (C)139 (D)14110. 已知2πlog e ,a =πln ,eb =2e ln ,πc =则（ ）得分(A)a b c << (B)b c a << (C)b a c << (D)c b a <<11. 已知一个四面体的每一个面都是以3,3,2为边长的锐角三角形,则这个四面体的外接球的表面积为（ ） (A)11π4 (B)11π2(C)11π (D)22π 12. 已知P 是椭圆2214x y +=上一动点,(2,1),(2,1)A B -,则cos ,PAPB 的最大值是（ ）(D)14二、填空题：（本大题共4小题,每小题5分,共20分.）13.已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 且111,1(2),n n a a S n -==+≥则4a =14. 已知实数,x y 满足线性约束条件117x y x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩,则目标函数2z x y =+的最大值是15. 如图是一种圆内接六边形ABCDEF ,其中BC CD DE EF FA ====且.AB BC ⊥则在圆内随机取一点,则此点取自六边形ABCDEF 内的概率是16. 若指数函数xy a =(0a >且1)a ≠与一次函数y x =的图象恰好有两个不同的交点,则实数a 的取值范围是三、解答题：本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,.a b c 已知2.tan sin a bA B= (1)求角A 的大小； (2)若2,a b ==求ABC ∆的面积.18.(本小题满分12分) 成都七中为了解班级卫生教育系列活动的成效,对全校40个班级进行了一次突击班级卫生量化打分检查(满分100分,最低分20分).根据检查结果：得分在[80,100]评定为“优”,奖励3面小红旗；得分在[60,80)评定为“良”,奖励2面小红旗；得分在[40,60)评定为“中”,奖励1面小红旗；得分在[20,40)评定为“差”,不奖励小红旗.已知统计结果的部分频率分布直方图如下图：(1)依据统计结果的部分频率分布直方图,求班级卫生量化打分检查得分的中位数；(2)学校用分层抽样的方法,从评定等级为“良”、“中”的班级中抽取6个班级,再从这6个班级中随机抽取2个班级进行抽样复核,求所抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率.19.(本小题满分12分) 如图,在四棱锥M ABCD -中,2,,AB AM AD MB MD AB AD =====⊥(1)证明：AB ⊥平面ADM ；(2)若//CD AB 且23CD AB =,E 为线段BM 上一点,且 2BE EM =,求三棱锥A CEM -的体积.20.(本小题满分12分)已知函数22e (),(e,).ln x xf x x x x ++=∈+∞ (1)证明：当(e,)x ∈+∞时,3eln ex x x ->+；(2)证明：()f x 在1[2e ,)2++∞单调递增.(其中e 2.71828=是自然对数的底数).21.(本小题满分12分)已知点P 是抛物线21:2C y x =上的一点,其焦点为点,F 且抛物线C 在点P 处的切线l 交圆:O 221x y +=于不同的两点,A B .(1)若点(2,2),P 求||AB 的值；(2)设点M 为弦AB 的中点,焦点F 关于圆心O 的对称点为,F '求||F M '的取值范围.请考生在第22,23题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时,用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的标号涂黑.22.(本小题满分10分)选修44-：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为233x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩(α为参数,0πα≤≤).在以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,射线l 的极坐标方程是π6θ=.(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)若射线l 与曲线C 相交于,A B 两点,求||||OA OB ⋅的值.23.(本小题满分10分)选修45-：不等式选讲已知0,0,a b >>且24,a b +=函数()2f x x a x b =++-在R 上的最小值为.m (1)求m 的值；(2)若22a mb tab +≥恒成立,求实数t 的最大值.参考答案一、选择题(每小题5分,共60分)1.B ；2.A ；3.C ；4.D ；5.A ；6.A ；7.B ；8.C ；9.D ； 10.B ； 11.C ； 12.A.二、填空题(每小题5分,共20分)13.8； 14.15； ； 16.1e (1,e ).三、解答题(共70分) 17. 解：(1)由正弦定理知sin sin a b A B =,又2,tan sin a b A B =所以2.sin tan a aA A= 于是1cos ,2A =因为0π,A <<所以π.3A =6分(2)因为π2,,3a b A ===22π222cos ,3c c =+-⨯⨯即2230.c c --=又0c >,所以 3.c =故ABC ∆的面积为11πsin 23sin223bc A =⨯⨯⨯= 12分18.解：(1)得分[20,40)的频率为0.005200.1⨯=；得分[40,60)的频率为0.010200.2⨯=； 得分[80,100]的频率为0.015200.3⨯=；所以得分[60,80)的频率为1(0.10.20.3)0.4.-++=设班级得分的中位数为x 分,于是600.10.20.40.520x -++⨯=,解得70.x = 所以班级卫生量化打分检查得分的中位数为70分. 6分(2)由(1)知题意 “良”、“中”的频率分别为0.4,0.2.又班级总数为40.于是“良”、“中”的班级个数分别为16,8．分层抽样的方法抽取的 “良”、“中”的班级个数分别为4,2. 因为评定为“良”,奖励2面小红旗,评定为“中”,奖励1面小红旗.所以抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3为两个评定为“良”的班级或一个评定为“良”与一个评定为“中”的班级.记这个事件为.A 则A 为两个评定为“中”的班级.把4个评定为“良”的班级标记为1,2,3,4. 2个评定为“中”的班级标记为5,6.从这6个班级中随机抽取2个班级用点(,)i j 表示,其中16i j ≤<≤.这些点恰好为66⨯方格格点上半部分(不含i j =对角线上的点),于是有366152-=种. 事件A 仅有(5,6)一个基本事件. 所以114()1()1.1515P A P A =-=-= 所抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率为14.1512分19.解：(1)因为2AB AM ==,MB =所以222.AM AB MB +=于是.AB AM ⊥ 又,AB AD ⊥且,AMAD A AM =⊂平面ABD ,AD ⊂平面ADM ,所以AB ⊥平面.ADM 5分(2)因为2,AM AD MD ===所以ADM S ∆=因为2BE EM =,所以1.3C AEM C ABM V V --=又//,CD AB AB ⊥平面.ADM 所以111333A CEM C AEM C ABM D ABMB ADM V V V V V -----====111123333ADM S AB =⨯⋅⋅=⨯=所以三棱锥A CEM -的体积为912分20.解：(1)令3e ()ln ,(e,).e x g x x x x -=-∈+∞+则22214e (e)()0.(e)(e)x g x x x x x -'=-=>++于是()g x 在(e,)+∞单调递增,所以()(e)0,g x g >= 即3eln ,(e,).ex x x x ->∈+∞+ 5分(2)22222222(21)ln (e )(ln 1)(e )ln (e )().(ln )(ln )x x x x x x x x x x f x x x x x +-+++--++'== 令2222()(e )ln (e ),(e,).h x x x x x x =--++∈+∞ 当(e,)x ∈+∞时,由(1)知3eln .e x x x ->+则222223e 1()(e )(e )2(4e 1)2[(2e )],e 2x h x x x x x x x x x ->--++=-+=-++ 当1[2e ,)2x ∈++∞时,()0h x >,从而()0.f x '> 故()f x 在1[2e ,)2++∞严格单调递增. 12分21.解：设点00(,)P x y ,其中2001.2y x =因为,y x '=所以切线l 的斜率为0,x 于是切线2001:.2l y x x x =-(1)因为(2,2),P 于是切线:2 2.l y x =-故圆心O 到切线l 的距离为d =于是||AB===5分(2)联立22200112x yy x x x⎧+=⎪⎨=-⎪⎩得22340001(1)10.4x x x x x+-+-=设1122(,),(,),(,).A x yB x y M x y则3122,1xx xx+=+32240001()4(1)(1)0.4x x x∆=--+->又20,x≥于是202x≤<+于是32200120022001,.22(1)22(1)x xx xx y x x xx x+===-=-++又C的焦点1(0,),2F于是1(0,).2F'-故||F M'===9分令21,t x=+则13t≤<+于是||F M'==因为3tt+在单调递减,在+单调递增.又当1t=时,1||2F M'=；当t=时,||F M'=；当3t=+时,11||.22F M'=>所以||F M'的取值范围为1).212分22.解：(1)消去参数α得22(2)3(0)x y y-+=≥将cos,sinx yρθρθ==代入得22(cos2)(sin)3,ρθρθ-+=即24cos10.ρρθ-+=所以曲线C的极坐标方程为2π4cos10(0).3ρρθθ-+=≤≤5分(2)法1：将π6θ=代入2π4cos10(0)3ρρθθ-+=≤≤得210ρ-+=,设12ππ(,),(,),66A Bρρ则121.ρρ=于是12|||| 1.OA OBρρ⋅==10分法2：π3θ=与曲线C相切于点,Mπ||2sin1,3OM==由切割线定理知2|||||| 1.OA OB OM⋅==10分23.解：(1)3, (,),2()2, [,],23, (,).a x a b x a f x x a x b x a b x b x a b x b ⎧--+∈-∞-⎪⎪⎪=++-=++∈-⎨⎪+-∈+∞⎪⎪⎩.当(,)2a x ∈-∞-时,函数()f x 单调递减；当(,)xb ∈+∞时,函数()f x 单调递增. 所以m 只能在[,]2a b -上取到.当[,]2ax b ∈-时,函数()f x 单调递增. 所以2() 2.222a a a bm f a b +=-=-++==5分(2)因为22a mb tab +≥恒成立,且0,0a b >>,所以22a mb t ab +≤恒成立即mina b mb t a ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭.由(1)知2m =,于是a b a mb +≥== 当且仅当2a b ab =时等号成立即1)0,2(20.a b =>=>所以t ≤,故实数t的最大值为10分。

2020-2021学年四川省成都市某校高三（上）10月月考数学（文）试卷一、选择题1. 已知全集为实数集R，集合A={x|0≤x≤4}，B={x|x2−8x+15>0}，则A∩(∁R B)=( )A.[4,5]B.[0,3]C.[3,4]D.(3,4)2. 已知复数z=21−i，则|z|=( )A.1B.√2C.√3D.23. 命题$p:``\forall x \in (0,\,\frac{\pi}{2})$，$\sin x < \tan x"$的否定¬p为( )A.∀x∈(0, π2)，sin x≥tan x B.∀x∈(0, π2)，sin x>tan xC.∃x0∈(0, π2)，sin x0≥tan x0 D.∃x0∉(0, π2)，sin x0≥tan x04. 由于美国对华为实施禁令，华为手机的销售受到影响，现统计出今年x月份(x∈{6,7,8,9,10})的销售量y（单位：万台）的一组相关数据如下表：ŷ=−20x+a，则预计今年11月份的销量为( )万台．A.580B.570C.560D.5505. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3，a7是方程x2−8x−13=0的两根，则S9=( )A.80B.72C.40D.366. 已知tan(α+π2)=−12，则2sinα+cosαcosα−sinα=( )A.−4B.4C.5D.−57. 已知x，y满足|x|+|y|≤1，则事件“x2+y2≤12”的概率为( )A.π8B.π4C.1−π8D.1−π48. “m ∈(0,13)”是“函数f (x )={(3m −1)x +4m ，x <1，−mx,x ≥1， 是定义在R 上的减函数”的( )A.既不充分也不必要条件B.充分必要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件9. 已知lg a +lg b =0且a <b ，则不等式log a x +log b (2x −1)>0的解集为( ) A.(1,+∞) B.(0,1)C.(12,+∞) D.(12,1)10. 已知三棱锥P −ABC ，PA ⊥平面ABC ，且|PA|=√3，在△ABC 中，|AC|=1，|BC|=2，且满足sin 2A =sin 2B ，则三棱锥P −ABC 外接球的体积为( ) A.2√23π B.323πC.8√23π D.83π11. 已知函数f (x )=x +cos x ， x ∈R ，设a =f (0.3−1)，b =f (2−0.3)，c =f(log 20.2)，则( ) A.b <c <a B.c <a <b C.b <a <c D.c <b <a12. 已知函数f (x )的定义域为R ，且对任意x ∈R 都满足f (1+x )=f (1−x )，当x ≤1时，f (x )={ln x, 0<x ≤1，e x, x ≤0，（其中e 为自然对数的底数），若函数g (x )=m|x|−2与y =f (x )的图像恰有两个交点，则实数m 的取值范围是( ) A.m ≤0或m =e B.0<m ≤32C.32<m <eD.m >e二、填空题已知角α终边上一点P (3,4)，则sin 2α=________.已知非零向量a →与b →的夹角为2π3， |b →|=2，若a →⊥(a →+b →)，则|a →|=________.已知数列{a n }对任意m ， n ∈N ∗都满足a m+n =a m +a n ，且a 1=1，若命题“∀n ∈N ∗，λa n ≤a n 2+12”为真，则实数λ的最大值为________.对于定义在区间D 上的函数f (x )，若满足对∀x 1，x 2∈D 且x 1≠x 2时都有(x 1−x 2)(f (x 1)−f (x 2))≥0，则称函数f (x )为区间D 上的“非减函数”，若f (x )为区间[0,2]上的“非减函数”且f (2)=2，f (x )+f (2−x )=2，又当x ∈[32,2]，f (x )≤2(x −1)恒成立，有下列命题 ①f(1)=1 ②f(32)=32③∀x ∈[32，2],f(x)≥1④f (114)+f (916)+f (2518)+f (2714)=4其中正确的所有命题的序号为________. 三、解答题已知f (x )=√3sin x cos x +sin 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最大值；(2)若b =4，△ABC 的周长为12，且f (B )=32，求△ABC 的面积．随着新冠疫情防控进入常态化，生产生活逐步步入正轨，为拉动消费，成都市先后发行了三批（每批2亿元）消费券．我们随机抽取了50人，对这种拉动消费的方式是否赞同进行调查，结果如下表，其中年龄低于45岁的总人数与不低于45岁的总人数之比为3:2.(1)求m ，n 的值；(2)若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“赞同”的态度与人的年龄有关；(3)若从年龄在[55,65）的被调查人中随机选取2人进行追踪调查，求2人中至少有1人不赞同的概率．参考数据：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d.如图(1)，AD是△BCD中BC边上的高线，且AB=2AD=2AC=2，将△BCD沿AD翻折，使得平面ACD⊥平面ABD，如图(2).(1)求证：AB⊥CD；(2)图(2)中，E是BD上一点，连接AE，CE，当AE与底面ABC所成角的正切值为12时，求四面体A−CDE的体积.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1的左、右顶点分别为A1,A2，上下顶点分别为B1,B2，且|A1B1|=2√5，离心率e=√32.(1)求椭圆方程；(2)点P是圆C2:(x−2)2+(y−3)2=1上一点，射线OP与椭圆C交于点M，直线A1M,A2M,PM的斜率分别为k1,k2,k3，求k1⋅k2⋅k3的取值范围．已知函数f(x)=x2+2a ln x，其中a∈R.(1)当a=−1时，求f(x)的单调区间；(2)若在[1,e]上存在一点x，使得关于x的不等式f(x)>x2+2(a+1)x+2x成立，求实数a的取值范围．在直角坐标系xOy 中，直线C 1的方程为： {x =−1+√22t ，y =1+√22t （t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 2的极坐标方程为ρ2−2ρcos θ−4ρsin θ+4=0.(1)求C 2的直角坐标方程；(2)设C 1,C 2的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．已知m >n >0，函数f (x )=|x +1n (m−n )| . (1)若m =3，n =1，求不等式f (x )>2的解集；(2)求证∶f (x )≥4−|x −m 2|.参考答案与试题解析2020-2021学年四川省成都市某校高三（上）10月月考数学（文）试卷一、选择题1.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】解：由x2−8x+15>0⇒x<3或x>5，则∁R B=[3,5]，则A∩(∁R B)=[3,4]．故选C．2.【答案】B【考点】复数的模复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】解：由z=21−i =2(1+i)(1−i)(1+i)=2(1+i)1−i2=1+i，则|z|=√2．故选B．3.【答案】C【考点】全称命题与特称命题【解析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：命题p:∀x∈(0, π2)，sin x<tan x，则¬p:∃x0∈(0, π2)，sin x0≥tan x0．故选C．4.【答案】A求解线性回归方程 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由x ¯=8，y ¯=640， 则y ¯=−20x ¯+a ⇒a =800， 则当x =11时，y ̂=580． 故选A ． 5.【答案】 D【考点】根与系数的关系 等差数列的性质 【解析】由a 3+a 7=8，则S 9=9(a 1+a 3)2=9(a 9+a 7)2=36 .【解答】解：由a 3+a 7=8，则S 9=9(a 1+a 9)2=9(a 3+a 7)2=36 .故选D . 6.【答案】 D【考点】三角函数的化简求值同角三角函数间的基本关系 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由tan (α+π2)=−12，则tan α=2， 由2sin α+cos αcos α−sin α=2tan α+11−tan α=−5 .故选D . 7. 【答案】 B【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型） 【解析】解：在平面坐标系中满足|x|+|y|≤1的(x, y)点如图中正方形面积所示， 满足条件x 2+y 2≤12的(x, y)点如图中阴影部分所示：∵ S 正方形=2，S 阴影=12π，∴ x ，y 满足|x|+|y|≤1，则事件“x 2+y 2≤12”的概率P =S 阴影S正方形=12π2=π4.故选B ． 8.【答案】 D【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由f (x )是R 上的减函数，则 {3m −1<0，−m <0，(3m −1)+4m ≥−m ，⇒m ∈[18,13)，由[18,13)⫋(0,13)，则是必要不充分条件 . 故选D . 9.【答案】 A【考点】对数的运算性质对数函数的单调性与特殊点【解析】由lg a +lg b =0且a <b ，则ab =1,0<a <1,b >1，由log a x +log b (2x −1)>0⇒log a x +log a x (2x −1)>0⇒log 1ax(2x −1)>0⇒log a x −log a (2x −1)>0，则log a x >log a (2x −1)，由a ∈(0,1)，则 {x <2x −1x >02x −1>0⇒x ∈(1,+∞) .【解答】解：由lg a +lg b =0且a <b ， 则ab =1，0<a <1，b >1.由log a x +log b (2x −1)>0⇒log a x +log 1a(2x −1)>0⇒log a x −log a (2x −1)>0，则log a x >log a (2x −1). 由a ∈(0,1)，则 {x <2x −1，x >0，2x −1>0，⇒x ∈(1,+∞) .故选A . 10.【答案】 C【考点】球的表面积和体积 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由sin 2A =sin 2B 且|BC|≠|AC|， 则2A +2B =π⇒A +B =π2⇒C =π2，则AC ⊥BC ，由(2R )2=|AC|2+|BC|2+|PA|2=8⇒R =√2， 则V 球=43πR 3=8√23π． 故选C ． 11. 【答案】 D【考点】利用导数研究函数的单调性 指数式、对数式的综合比较 【解析】由f ′(x)=1−sin x ≥0，则y =f (x ),在x ∈R 上单调递增，由0.3−1>2−0.3>lglog 20.2，则c <b <a . 【解答】解：由f ′(x)=1−sin x ≥0， 则y =f (x )在x ∈R 上单调递增， 由0.3−1>2−0.3>log 20.2，则c<b<a .故选D .12.【答案】A【考点】函数的对称性利用导数研究曲线上某点切线方程分段函数的应用根的存在性及根的个数判断【解析】【解答】解：由f(1+x)=f(1−x)，则y=f(x)关于直线x=1对称.由题y=f(x)与y=g(x)的图像只有两个交点，设y=ln x,x∈(0,1)图像上的切点(x0,ln x0)，y′=1x ，则k切=1x0，l切：y−ln x0=1x0(x−x0)，把(0,−2)代入可得x0=1e，则k切=1x0=e，如图所示：结合图像可知，要有两个交点，则m≤0或m=e . 故选A .二、填空题【答案】2425【考点】二倍角的正弦公式任意角的三角函数【解析】此题暂无解析【解答】解：由已知可得sin α=45，cos α=35，则sin 2α=2sin αcos α=2425． 故答案为：2425．【答案】 1【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 平面向量数量积的运算 【解析】 【解答】解：由a →⊥(a →+b →)，则a →⋅(a →+b →)=0 ⇒a →2+a →⋅b →=0 ⇒|a →|2+|a →||b →|cos2π3=0，则|a →|2−|a →|=0⇒|a →|=0（舍）或|a →|=1． 故答案为：1． 【答案】 7【考点】 数列递推式函数的最值及其几何意义【解析】【解答】解：令m =1，则a n+1=a n +a 1⇒a n+1−a n =1， 则{a n }是等差数列，a n =n .由λa n ≤a n 2+12对∀n ∈N ∗恒成立， 则λn ≤n 2+12⇒λ≤n +12n（n ∈N ∗）恒成立.令y =n +12n，由√12∈(3,4)，当n =3时，y =7， 当n =4时，y =7， 则y min =7⇒λ≤7， 则λmax =7. 故答案为：7. 【答案】 ①③④ 【考点】抽象函数及其应用命题的真假判断与应用 函数单调性的性质【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由f (2)=2，f (x )+(2−x )=2，则f (0)=0，y =f (x )关于(1,1)点对称，则f (1)=1，故①正确； 当x ∈[32,2]时，f (x )≤2(x −1)恒成立，令x =32，则f (32)≤1，由f (x )为区间[0,2]上的“非减函数”， 则f (32)≥f(1)=1，则1≤f (32)≤1⇒f (32)=1，故②错误；由∀x ∈[32,2]，f(x)≥f (32)=1，故③正确； 由∀x ∈[1,32]，f (1)≤f(x)≤f (32)⇒f(x)=1， 同理可得∀x ∈[12,32]，f (x )=1，由f (114)+f (2714)=2，916∈[12,32]，2518∈[12,32]， 可得f (916)=f (2518)=1， 故f (114)+f (916)+f (2518)+f (2714)=4，故④正确 . 故答案为：①③④.三、解答题【答案】解：(1)f (x )=√3sin x cos x +sin 2x =√32sin 2x +1−cos 2x 2=sin (2x −π6)+12，故f (x )的最小正周期为T =2π2=π，当2x −π6=2kπ+π2（k ∈Z ）时，f (x )的最大值为32． (2)由f (B )=32，得2B −π6=2kπ+π2（k ∈Z ）， B =kπ+π3（k ∈Z ）. 因为0<B <π，故B =π3. 因为b =4，△ABC 的周长为12，所以a +c =8．由余弦定理得：a 2+c 2−ac =16， 即(a +c )2−3ac =16， 所以ac =16．故S △ABC =12ac ⋅sin B =12×16×√32=4√3.【考点】正弦函数的定义域和值域 两角和与差的正弦公式 二倍角的正弦公式 二倍角的余弦公式 正弦函数的周期性 余弦定理 正弦定理 【解析】【解答】解：(1)f (x )=√3sin x cos x +sin 2x =√32sin 2x +1−cos 2x 2=sin (2x −π6)+12， 故f (x )的最小正周期为T =2π2=π，当2x −π6=2kπ+π2（k ∈Z ）时，f (x )的最大值为32． (2)由f (B )=32，得2B −π6=2kπ+π2（k ∈Z ），B =kπ+π3（k ∈Z ）. 因为0<B <π，故B =π3.因为b =4，△ABC 的周长为12， 所以a +c =8．由余弦定理得：a 2+c 2−ac =16， 即(a +c )2−3ac =16， 所以ac =16．故S △ABC =12ac ⋅sin B =12×16×√32=4√3.【答案】解：(1)由题意， 5+m +15+10+n +5=50， 且(5+m +15):(10+n +5)=3:2， 解得： m =10，n =5.(2)由以上统计数据填写下面2×2列联表，如下：≈9.98>6.635，根据公式计算K2=50(10×27−10×3)237×13×30×20所以有99%的把握认为年龄45岁为分界点对发行成都消费券的态度有差异．(3)设年龄在[55,65)中不赞同“发行成都消费券”的人为A，B，C，赞同“发行成都消费券”的人为a，b，则从5人中随机选取2人有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，10个结果；其中2人中至少有1人不赞同“发行成都消费券”的有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，9个结果，．所以2人中至少有1人不赞同“发行成都消费券”的概率为P=910【考点】频率分布表独立性检验列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】【解答】解：(1)由题意，5+m+15+10+n+5=50，且(5+m+15):(10+n+5)=3:2，解得：m=10，n=5.(2)由以上统计数据填写下面2×2列联表，如下：≈9.98>6.635，根据公式计算K2=50(10×27−10×3)237×13×30×20所以有99%的把握认为年龄45岁为分界点对发行成都消费券的态度有差异．(3)设年龄在[55,65)中不赞同“发行成都消费券”的人为A，B，C，赞同“发行成都消费券”的人为a，b，则从5人中随机选取2人有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，10个结果；其中2人中至少有1人不赞同“发行成都消费券”的有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，9个结果，所以2人中至少有1人不赞同“发行成都消费券”的概率为P=910．【答案】(1)证明：由图知，AC⊥AD，AB⊥AD，∵平面ACD⊥平面ABD，平面ACD∩平面ABD=AD，AB⊂平面ABD，∴AB⊥平面ACD.又CD⊂平面ACD，∴AB⊥CD .(2)解：∵AB，AC，AD两两垂直，且相交于A点，∴AD⊥平面ABC.又AD在平面ABD内，∴平面ABD⊥平面ABC.∵AE在平面ABD内，∴AE在平面ABC内的射影就是AB.∴∠BAE为AE与平面ABC所成的角，tan∠BAE=12.∵AB=2AD，且角A为直角，∴tan∠ABE=12.于是tan∠ADE=tan∠DAE=2，∴BE=AE=DE，即E是BD中点.∴V A−CDE=12V A−BCD=12V D−ABC=12×13AD×12AB⋅AC=112×1×2×1=16.【考点】两条直线垂直的判定平面与平面垂直的性质柱体、锥体、台体的体积计算【解析】【解答】(1)证明：由图知，AC⊥AD，AB⊥AD，∵平面ACD⊥平面ABD，平面ACD∩平面ABD=AD，AB⊂平面ABD，∴AB⊥平面ACD.又CD⊂平面ACD，∴AB⊥CD .(2)解：∵AB，AC，AD两两垂直，且相交于A点，∴AD⊥平面ABC.又AD在平面ABD内，∴平面ABD⊥平面ABC.∵ AE 在平面ABD 内，∴ AE 在平面ABC 内的射影就是AB .∴ ∠BAE 为AE 与平面ABC 所成的角，tan ∠BAE =12. ∵ AB =2AD ，且角A 为直角， ∴ tan ∠ABE =12.于是tan ∠ADE =tan ∠DAE =2， ∴ BE =AE =DE ，即E 是BD 中点. ∴ V A−CDE =12V A−BCD =12V D−ABC=12×13AD ×12AB ⋅AC =112×1×2×1=16 . 【答案】 解：(1)在椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1中，∵ |A 1B 1|=2√5， ∴ a 2+b 2=20. 又e =ca =√32且a 2=b 2+c 2,可解得a =4，b =2， ∴ 椭圆C 的方程为：x 216+y 24=1.(2)设M (x 0,y 0)，由题意可知x 0216+y 024=1，且M 点在第一象限，于是x 02−16=−4y 02，①k 1=y 0x+4，k 2=y 0x0−4，故k 1k 2=y 02x 02−16，将①代入可得k 1k 2=−14.直线MP 的方程为y =k 3x ，则圆心(2,3)距直线MP 的距离不大于1, 即3√1+k 3≤1，即(2k 3−3)2≤1+k 32，解得12−4√36≤k 3≤12+4√36故k 1⋅k 2⋅k 3的取值范围是[−3+√36,√3−36]． 【考点】椭圆中的平面几何问题 直线与椭圆的位置关系 椭圆的标准方程 直线和圆的方程的应用直线的斜率 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)在椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1中， ∵ |A 1B 1|=2√5， ∴ a 2+b 2=20. 又e =c a=√32且a 2=b 2+c 2,可解得a =4，b =2， ∴ 椭圆C 的方程为：x 216+y 24=1.(2)设M (x 0,y 0)，由题意可知x 0216+y 024=1，且M 点在第一象限，于是x 02−16=−4y 02，①k 1=y 0x+4，k 2=y 0x0−4，故k 1k 2=y 02x 02−16，将①代入可得k 1k 2=−14.直线MP 的方程为y =k 3x ，则圆心(2,3)距直线MP 的距离不大于1, 即3√1+k 3≤1，即(2k 3−3)2≤1+k 32，解得12−4√36≤k 3≤12+4√36故k 1⋅k 2⋅k 3的取值范围是[−3+√36,√3−36]． 【答案】解：(1)当a =−1时，f(x)=x 2−2ln x (x >0)， f ′(x)=2x −2x =2(x 2−1)x，当x ∈(0,1)时，f ′(x)<0，f(x)为减函数， 当x ∈(1,+∞)时，f ′(x)>0，f(x)为增函数，故f(x)的单调递增区间为(1,+∞)，单调递减区间为(0,1) . (2)在[1,e]上存在一点x ，使得不等式f(x)>x 2+2(a+1)x+2x 成立，等价于x +1x −a ln x +ax <0在 x ∈[1,e]上有解，即函数ℎ(x)=x +1x −a ln x +ax ，在[1,e]上的最小值小于零. ℎ′(x)=1−1x 2−ax −ax 2=(x+1)(x−a−1)x 2，①当a +1≥e 时，即a ≥e −1时，ℎ(x)在[1,e]上单调递减， ∴ ℎ(x)的最小值为ℎ(e)．由ℎ(e)=e+1+ae−a<0，可得a>e 2+1e−1.∵e2+1e−1>e−1，故a>e2+1e−1；②当a+1≤1时，即a≤0时，ℎ(x)在[1,e]上单调递增，∴ℎ(x)的最小值为ℎ(1)，由ℎ(1)=1+1+a<0，可得a<−2；③当1<a+1<e，即0<a<e−1时，可得ℎ(x)的最小值为ℎ(a+1)，∵0<ln(a+1)<1，∴0<a ln(a+1)<a，ℎ(a+1)=a+1+1a+1−a ln(a+1)+aa+1=a+2−a ln(a+1)>2，∴ℎ(a+1)<0不成立.综上：实数a的取值范围是(−∞,−2)∪(e 2+1a+1,+∞) . 【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值利用导数研究不等式恒成立问题【解析】【解答】解：(1)当a=−1时，f(x)=x2−2ln x(x>0)，f′(x)=2x−2x =2(x2−1)x，当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，故f(x)的单调递增区间为(1,+∞)，单调递减区间为(0,1) .(2)在[1,e]上存在一点x，使得不等式f(x)>x2+2(a+1)x+2x成立，等价于x+1x −a ln x+ax<0在x∈[1,e]上有解，即函数ℎ(x)=x+1x −a ln x+ax，在[1,e]上的最小值小于零.ℎ′(x)=1−1x2−ax−ax2=(x+1)(x−a−1)x2，①当a+1≥e时，即a≥e−1时，ℎ(x)在[1,e]上单调递减，∴ℎ(x)的最小值为ℎ(e)．由ℎ(e)=e+1+ae−a<0，可得a>e 2+1e−1.∵e2+1e−1>e−1，故a>e2+1e−1；②当a+1≤1时，即a≤0时，ℎ(x)在[1,e]上单调递增，∴ℎ(x)的最小值为ℎ(1)，由ℎ(1)=1+1+a<0，可得a<−2；③当1<a+1<e，即0<a<e−1时，可得ℎ(x)的最小值为ℎ(a+1)，∵0<ln(a+1)<1，∴0<a ln(a+1)<a，ℎ(a+1)=a+1+1a+1−a ln(a+1)+aa+1=a+2−a ln(a+1)>2，∴ℎ(a+1)<0不成立.综上：实数a的取值范围是(−∞,−2)∪(e 2+1a+1,+∞) . 【答案】解：(1)因为ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，C2的直角坐标方程为x2+y2−2x−4y+4=0，即(x−1)2+(y−2)2=1.(2)将C1的方程代入C2的直角坐标方程得：(−2+√22t′)2+(−1+√22t′)2=1，整理得：t′2−3√2+4=0，Δ=(−3√2)2−4×4=2>0，且t1′+t2′=3√2，t1′t2′=4.所以|MN|=√(t1′−t2′)2=√(t1′+t2′)2−4t1′t2′=√(3√2)2−4×4=√2.因为C2的半径为r=1，则圆心C2到MN的距离d=√r2−(|MN|2)2=√1−(√22)2=√22，则△C2MN的面积为S=12×√2×√22=12.【考点】圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化直线和圆的方程的应用【解析】【解答】解：(1)因为ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，C2的直角坐标方程为x2+y2−2x−4y+4=0，即(x−1)2+(y−2)2=1.(2)将C 1的方程代入C 2的直角坐标方程得：(−2+√22t ′)2+(−1+√22t ′)2=1，整理得：t ′2−3√2+4=0， Δ=(−3√2)2−4×4=2>0，且t 1′+t 2′=3√2，t 1′t 2′=4. 所以|MN|=√(t 1′−t 2′)2 =√(t 1′+t 2′)2−4t 1′t 2′=√(3√2)2−4×4=√2. 因为C 2的半径为r =1，则圆心C 2到MN 的距离 d =√r 2−(|MN|2)2=√1−(√22)2=√22，则△C 2MN 的面积为S =12×√2×√22=12.【答案】(1)解：依题意，f (x )=|x +12|，则f (x )>2⇔|x +12|>2⇔x +12>2或x +12<−2， 解得x >32或x <−52，故不等式f (x )>2的解集为{x|x >32或x <−52}． (2)证明：依题意，f (x )≥4−|x −m 2| ⇔|x +1n (m−n )|+|x −m 2|≥4，因为|x +1n (m−n )|+|x −m 2|≥|x +1n (m−n)−(x −m 2)| =m 2+1n (m−n )，m =n +(m −n )≥2√n (m −n )， 故1n (m−n )≥4m 2，故m 2+1n (m−n )≥m 2+4m 2≥4， 当且仅当m =√2，n =√22时等号成立. 【考点】不等式的证明绝对值不等式的解法与证明 基本不等式 【解析】 此题暂无解析 【解答】试卷第21页，总21页 (1)解：依题意，f (x )=|x +12|， 则f (x )>2⇔|x +12|>2⇔x +12>2或x +12<−2， 解得x >32或x <−52， 故不等式f (x )>2的解集为{x|x >32或x <−52}．(2)证明：依题意，f (x )≥4−|x −m 2| ⇔|x +1n (m−n )|+|x −m 2|≥4， 因为|x +1n (m−n )|+|x −m 2|≥|x +1n (m−n )−(x −m 2)| =m 2+1n (m−n )，m =n +(m −n )≥2√n (m −n )， 故1n (m−n )≥4m 2，故m 2+1n (m−n )≥m 2+4m 2≥4，当且仅当m =√2，n =√22时等号成立.。

2020年四川省成都七中高考数学三诊试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合0，1，2，3，，，则A. 1，B. 1，C. 0，1，D. 0，1，2.已知复数，则A. B. 1 C. D. 23.设函数为奇函数，当时，，则A. B. C. 1 D. 24.已知单位向量，的夹角为，则A. 3B. 7C.D.5.已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率是A. B. C. D.6.在等比数列中，，则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框处应填入的是A. B. C. D.8.已知a，b为两条不同直线，，，为三个不同平面，下列命题：若，，则若，，则若，，则若，，则其中正确命题序号为A. B. C. D.9.南宋数学家杨辉在详解九章算法和算法通变本末中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第8项为A. 99B. 131C. 139D. 14110.已知，，，则A. B. C. D.11.已知一个四面体的每一个面都是以3，3，2为边长的锐角三角形，则这个四面体的外接球的表面积为A. B. C. D.12.已知P是椭圆上一动点，，，则的最大值是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知数列的前n项和为，且，，则______．14.已知实数x，y满足线性约束条件，则目标函数的最大值是______．15.如图是一种圆内接六边形ABCDEF，其中且则在圆内随机取一点，则此点取自六边形ABCDEF内的概率是______．16.若指数函数且与一次函数的图象恰好有两个不同的交点，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，已知．求角A的大小；若，，求的面积．18.成都七中为了解班级卫生教育系列活动的成效，对全校40个班级进行了一次突击班级卫生量化打分检查满分100分，最低分20分根据检查结果：得分在评定为“优”，奖励3面小红旗；得分在评定为“良”，奖励2面小红旗；得分在评定为“中”，奖励1面小红旗；得分在评定为“差”，不奖励小红旗．已知统计结果的部分频率分布直方图如图：依据统计结果的部分频率分布直方图，求班级卫生量化打分检查得分的中位数；学校用分层抽样的方法，从评定等级为“良”、“中”的班级中抽取6个班级，再从这6个班级中随机抽取2个班级进行抽样复核，求所抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率．19.如图，在四棱锥中，，，，．证明：平面ADM；若且，E为线段BM上一点，且，求三棱锥的体积．20.已知函数，．证明：当时，；证明：在单调递增．其中是自然对数的底数．21.已知点P是抛物线C：上的一点，其焦点为点F，且抛物线C在点P处的切线l交圆O：于不同的两点A，B．若点，求的值；设点M为弦AB的中点，焦点F关于圆心O的对称点为，求的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数，在以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，射线l的极坐标方程是．求曲线C的极坐标方程；若射线l与曲线C相交于A，B两点，求的值．23.已知，，且，函数在R上的最小值为m．求m的值；若恒成立，求实数t的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：0，1，2，3，，1，4，9，，1，．故选：B．可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．本题考查了列举法、描述法的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：A解析：解：，则．故选：A．利用复数模的运算性质即可得出．本题考查了复数模的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：C解析：解：根据题意，当时，，则，又由为奇函数，则，则；故选：C．根据题意，由函数的解析式可得，由函数的奇偶性可得的值，据此可得，即可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．4.答案：D解析：解：根据题意，单位向量，的夹角为，则，则，故；故选：D．根据题意，求出的值，由数量积的运算性质可得，代入数据计算可得的值，变形可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量模的计算，属于基础题．5.答案：A解析：解：由双曲线的方程可得渐近线为：，所以由题意可得：，所以离心率，故选：A．由双曲线的方程可得渐近线的方程，再由椭圆可得a，b的关系，由a，b，c之间的关系进而求出离心率．考查双曲线的性质，属于基础题．6.答案：A解析：【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等比数列的性质是解决本题的关键．根据充分条件和必要条件的定义结合等比数列的性质进行判断即可．【解答】解：在等比数列中，若，即，，，即，则，即成立，若等比数列1，，4，，16，满足，但不成立，故“”是“”的充分不必要条件，故选：A7.答案：C解析：【分析】本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律，属于基础题．按照程序框图的流程，写出前几次循环的结果判断出当i为何值时输出，得到判断框中的条件．【解答】解：初始值，模拟执行程序框图，可得，不满足条件，继续循环；，不满足条件，继续循环；，不满足条件，继续循环；，，此时，由题意，应该满足条件，退出循环，输出S的值为31．故判断框中应填入的关于i的条件是？故选C．8.答案：C解析：解：若，，则，故正确；若，，则或与相交，故错误；若，，则或与相交，故错误；若，，则，故正确．正确命题序号为．由空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定逐一核对四个命题得答案．本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．9.答案：D解析：解：由题意可知：1，5，11，21，37，61，95，的差的数列为：4，6，10，16，24，34，这个数列的差组成的数列为：2，4，6，8，10，是等差数列，所以前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第8项为：．故选：D．利用已知条件，推出数列的差数列的差组成的数列是等差数列，转化求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，等差数列的定义的应用，是中档题．10.答案：C解析：解：，，．．又．．故选：C．利用对数函数的单调性即可得出．本题考查了对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.答案：C解析：解：设长方体的长宽高分别是a，b，c，其四个顶点就构成一个四面体满足每个面的边长为3，3，2，则，，，则，即长方体的外接球直径，故外接球的表面积，故选：C．考虑一个长方体，其四个顶点就构成一个四面体恰好就是每个三角形边长为3，3，2，则四面体的外接球即为长方体的外接球，进而计算出其外接球的直径，可得外接本题考查求一个几何体的外接球表面积，关键是求出外接球的半径，将几何体补成一个长方体是解题的关键，考查数形结合思想，属于中档题．12.答案：A解析：解：过点P作，垂足为H，设，则，，令，当时，，，；当时，，当且仅当，即时取等号，此时最大，且．故选：A．过点P作，垂足为H，设，可得，由正切的和角公式可得，通过换元令，结合基本不等式可得当时最大，由此得解．本题考查圆锥曲线中的最值求解，涉及了正切的和角公式，基本不等式的运用等基础知识点，考查转化思想，换元思想，数形结合思想等，考查运算求解能力，属于较难题目．13.答案：8解析：解：数列的前n项和为，且，，可得，，，故答案为：8．利用数列的递推关系式，逐步求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，数列项的求法，是基本知识的考查．14.答案：15解析：解：先根据实数x，y满足线性约束条件，画出可行域，然后平移直线，当直线过点时，目标函数的纵焦距取得最大值，此时z取得最大值，z 最大值为．故答案为：15．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线过点时，z 最大值即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．15.答案：解析：解：因为且．所以该图形是该圆的内接正六边形AMNBCDEF的一部分．易知，以O为顶点，正八边形的各边为底边的八个等腰三角形全等．且它们的腰长为圆的半径r，顶角为．故每个小等腰三角形的面积为．内接六边形ABCDEF的面积为，由正八边形的性质知：四边形ABCF是矩形，且，所以．又，故所求概率为：．故答案为：．易知，题中所给的多边形是该圆的内接正八边形的一部分，并且整个正八边形是由八个全等的等腰三角形组合而成．结合正八边形的对称性，可知内接六边形ABCDEF部分，其面积是六个等腰三角形的面积，由此可求出结果．本题考查几何概型概率的计算，以及圆的内接正八边形的性质．属于中档题．16.答案：解析：解：当时，函数且的图象与一次函数的图象没有交点，设当时，指数函数且与一次函数的图象恰好有两个不同的交点，，且与相切于，，则有，故，，即，，，实数a的取值范围是：．故答案为：．判断，利用函数的导数，转化求解a的最大值，从而求出a的取值范围．本题考查了指数函数的性质，函数的导数的应用，切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．17.答案：解：由正弦定理知，又，所以．于是，因为，所以．因为，由余弦定理得，即．又，所以．故的面积为．解析：由正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得，结合范围，可求A的值．由已知利用余弦定理得，结合，可求c的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.答案：解：得分的频率为；得分的频率为；得分的频率为；所以得分的频率为．设班级得分的中位数为x分，于是，解得．所以班级卫生量化打分检查得分的中位数为70分．由知题意“良”、“中”的频率分别为，又班级总数为40．于是“良”、“中”的班级个数分别为16，8．分层抽样的方法抽取的“良”、“中”的班级个数分别为4，2．因为评定为“良”，奖励2面小红旗，评定为“中”，奖励1面小红旗．所以抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3为两个评定为“良”的班级或一个评定为“良”与一个评定为“中”的班级．记这个事件为A．则为两个评定为“中”的班级．把4个评定为“良”的班级标记为1，2，3，4，2个评定为“中”的班级标记为5，6．从这6个班级中随机抽取2个班级用点表示，其中．这些点恰好为方格格点上半部分不含对角线上的点，于是有种．事件仅有一个基本事件．所以．所抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率为．解析：利用频率分布直方图，能求出班级卫生量化打分检查得分的中位数．“良”、“中”的频率分别为，又班级总数为从而“良”、“中”的班级个数分别为16，分层抽样的方法抽取的“良”、“中”的班级个数分别为4，由此利用对立事件概率计算公式能求出抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率．本题考查中位数、概率的求法，考查分层抽样、频率分布直方图、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.答案：解：因为，，所以于是．又，且，平面ABD，平面ADM，所以平面ADM．因为，所以．因为，所以．又，平面ADM．所以．所以三棱锥的体积为．解析：推导出，由此能证明平面ADM．推导出，，由此能求出三棱锥的体积．本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：证明：令，则．于是在单调递增，，即；．令，．当时，由知．则，当时，，从而．故在上单调递增．解析：令，求其导函数，可得导函数大于0，由得结论；求出原函数的导函数，再令，结合中，把导函数缩小，再由缩小后的解析式在上大于0恒成立，可得在单调递增．本题考查利用导数研究函数的单调性，正确求导是解答该题的关键，考查计算能力，是中档题．21.答案：解：设点，其中．因为，所以切线l的斜率为，于是切线．因为，于是切线l：故圆心O到切线l的距离为．于是．联立得．设，，则，．又，于是．于是．又C的焦点，于是．故．令，则于是．因为在单调递减，在单调递增．又当时，；当时，；当时，．所以的取值范围为．解析：设点，其中利用函数的导数求出切线的斜率，得到切线方程，通过圆心O到切线l的距离为转化求解即可．联立得设，，利用韦达定理，求出中点坐标，求出的表达式，令，则于是利用函数的单调性求解范围即可．本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．22.答案：解：消去参数得将，代入得，即．所以曲线C的极坐标方程为．法1：将代入，得，设，则．于是．法2：与曲线C相切于点M，，由切割线定理知．解析：直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用极径的应用和一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，所以m只能在上取到．当时，函数单调递增．所以；因为恒成立，且，，所以恒成立即．由知，于是．当且仅当时等号成立即．所以，故实数t的最大值为．解析：由绝对值的意义，去绝对值，可得的分段函数式，由一次函数的单调性，可得的最小值，进而得到m的值；由参数分离可得恒成立即，运用基本不等式可得此不等式右边的最小值，进而得到所求t的最大值．本题考查含绝对值的函数的最值求法，注意结合一次函数的单调性，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和基本不等式，考查运算能力和推理能力，属于中档题．。

成都七中高新校区高 2021届零诊模拟考试文科数学（满分 150 分，考试时间 120 分钟）一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合=>A x x {|log 1}2，集合=<B x {x |||3}，则⋂=A B ( )A ．<<x x {|23}B ．-<<x x {|32}C ．-<<x x {|33}D ．>x x {|2}2．已知复数z 满足+=z i (1)|1|，其中i 为虚数单位，则在复平面内，z 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3． “搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标.“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高.如图是2019年9月到2020年2月这半年中，”高考数学改革”一词的搜索指数变化的走势图.根据该走势图，下列结论正确的是（ ）A ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C ．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差D ．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值4．成都七中高新校区高一、高二、高三年级的学生人数之比依次为6:5:7，高新防疫站欲对学生进行身体健康调查，用分层抽样的方法从学校高中三个年级的学生中抽取容量为n 的样本，样本中高三年级的学生有21人，则n 等于( )A ．35B ．45C ．54D ．635.已知等差数列a n {}的前n 项和为S n ，且+=+a a a 3476，则=S (9 )A ．27B ．227C ．9D ．36．在不等式组≥⎩⎪≥+-≤⎨⎪⎧-+y x y x y 020 10所表示的平面区域内随机地取一点M ，则点M 恰好落在第二象限的概率为15.已知锐角三角形ABCBC ||，且|AB|=3，|AC|=3，则|BC|=16．已知函数⎩⎪+≤⎨=⎪⎧->x x x f x x x x x 2,03ln 2,02)(，函数=-+g x f x kx 1)()(有四个零点，则实数k 的取值范围是 ．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答）17．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求实数a ，b 的值；(2)若=f x '()0存在两个不同的实数解，求实数a 的取值范围．18．《中国诗词大会》是中央电视台于2016年推出的大型益智类节目，中央电视台为了解该节目的收视情况，抽查北方与南方各5个城市，得到观看该节目的人数（单位：千人）如茎叶图所示，但其中一个数字被污损．（1）若将被污损的数字视为0~9中10个数字中的一个，求北方观众平均人数不超过南方观众平均人数的概率；（2）该节目的播出极大激发了观众学习诗词的热情，现在随机统计了4位观众每周学习诗词的平均时间y （单位：小时）与年龄x （单位：岁），并制作了对照表（如表所示）:由表中数据分析，x 与y 呈线性相关关系，试求线性回归方程，并预测年龄为70岁的观众每周学习诗词的平均时间．参考公式：∑∑-=-==xn x b x y nx yi i n i i i n ()ˆ1221，=+y bx a ˆˆˆ．19．如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，，，顶点在底面内的射影恰为点．（1）求证：平面；（2）若直线与底面所成的角为，求线段AD 1的长及B 点到平面AA D 1的距离． 20．设函数=--=-x e f x ax a lnx g x e x(),()12，其中∈a R ，=⋯e 2.71828为自然对数的底数. （1）讨论f x ()的单调性；（2）证明：当>x 1，>g x ()021．已知矩形EFMN，=EF ||，=FM ||1，以EF 的中点O 为原点，建立如图的平面直角坐标系，若椭圆Γ以E ，F 为焦点，且经过M ，N 两点.（1）求椭圆Γ方程；（2）直线=+l y x m :与Γ相交于A ，B 两点，在y 轴上是否存在点C ，使得△ABC 为正三角形，若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为⎩⎪=⎪⎨⎪⎪=+⎧y x t 211（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为+=ρρθ3sin 12222．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的参数方程；（2）若P (1,0)，直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求+PM PN ||||的值． -ABCD A B C D 1111ABCD AB CD //=AB 4==BC CD 2D 1ABCD C ⊥BC ACD 1DD 1ABCD π4的成都七中高新校区高 2021届零诊模拟考试文科数学答案1—12 A D D C AC A A B C A B 13. 21 14. 109215.317.解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝b ＝0，f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)＞0，即4a 2＋4a ＋1＞0，所以a ≠－12.所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 18.解：（1）设污损的数字为x ，由北方观众平均人数不超过南方观众平均人数得+++++++++x 5578798281807377788680，解得：x 6，即=x 6，7，8，9， ∴北方观众平均人数不超过南方观众平均人数的概率为：=10542．（2）设线性回归方程为：==+++x 43520304050，==+++y 4 3.53 3.5 3.54， ∴∑=⨯+⨯+⨯+⨯==x y i i i 20330 3.540 3.550450514，∑=+++==x i i 400900160025005400124，-⨯==-⨯⨯b 54004350.03ˆ505435 3.52，=-⨯=a 3.50.0335 2.45ˆ， ∴=+yx 0.03 2.45ˆ，当=x 70时，=⨯+=y 0.0370 2.45 4.55ˆ．答：年龄为70岁的观众每周学习诗词的平均时间大约为4.55小时．19.解：（1）证明：如图，连接，则平面，平面，，在等腰梯形中，连接，过点作于点，，，，则，，，，因此满足，，又，平面，，平面．（2）解：由（1）平面，，，，D C 1⊥D C 1ABCD ⊂BC ABCD ∴⊥BC D C 1ABCD AC C ⊥CG AB G =AB 4==BC CD 2AB CD //=AG 3=BG1==CG∴===AG +==AC BC AB 16222∴⊥BC AC D C 1⊂AC AD C 1=D C A C C 1∴⊥BC AD C 1⊥D C 1ABCD ∴∠=πD DC 41∴==D C CD 21=--y x m 3,令=x 0,可得=-y m 3,即⎝⎭ ⎪-⎛⎫C m 30,.又因为=PC AB 2,=⨯23,即=33.解得=±m 5,满足<<m .故y 轴上存在点C 使得ABC 为等边三角形,此时=+l y x 5:或=-l y x 5:22.解：（1）直线l 的参数方程转换为普通方程为=y -=y 0。

2020~2021学年10月四川成都武侯区成都七中林荫校区高三上学期月考文科数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. A.B.C.D.复数的虚部为（ ）．2.A.B.C.D.，，则（ ）．4. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件“”是“函数在上有极值”的（ ）．5.开始是否输出结束A.B.C.D.若如图所示的程序框图输出的是，则条件①可以为（ ）．6.某几何体的三视图如上图所示，则该几何体的体积为（ ）．3.A.B.C.D.若变量，满足约束条件，则的取值范围是（ ）．A.B.C.D.正（主）视图侧（左）视图俯视图7. A.B.C.D.在平面直角坐标系中，直线与曲线交于，两点，且，则（ ）．8. A.个B.个C.个D.个关于函数有如下命题，其中正确的个数有（ ）．①的表达式可改写为；②是以为最小正周期的周期函数；③的图象关于点对称；④的图象关于直线对称．9. A. B. C. D.如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，与的交点为，平面，且，是边的中点，动点在四棱锥表面上运动，并且总保持，则动点的轨迹的周长为( )10.A.B.C. D.已知定义域为的奇函数的周期为，且时，．若函数在区间（且）上至少有个零点，则的最小值为（ ）．A.B.C.D.过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦，，设为抛物线上的一动点．若，则的最小值是（ ）．12.A.B.C.D.已知定义在上的函数，其导函数为，若，且当时，，则不等式的解集为（ ）．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.某个年级有男生人，女生人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为的样本，则此样本中女生人数为 ．14.已知，，与垂直，则与的夹角为 ．15.已知集合，有下列三个关系①；②；③，若三个关系中有且只有一个正确的，则．16.设，是正实数，函数，，若存在，使成立，则的取值范围为 ．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17.（1）（2）已知向量，，，且角、、分别为三边、、所对的角．求角的大小．若、、成等差数列，且，求边的长．18.（1）（2）某企业的甲、乙两种产品在东部地区三个城市以及西部地区两个城市的销售量，的数据如下：东部城市东部城市东部城市西部城市西部城市已知销售量和销售量大致满足线性相关关系，求出关于的线性回归方程．根据上述数据计算是否有的把握认为东、西部的地区差异与甲、乙两种产品的销售量相关．参考公式：，，其中．临界值表：19.（1）（2）如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，，面，，是的中点．求证：平面平面．求三棱锥的体积．20.（1）（2）已知椭圆的两个焦点为，，焦距为，直线与椭圆相交于，两点，为弦的中点．求椭圆的标准方程．若直线与椭圆相交于不同的两点，，若（为坐标原点），求的取值范围．21.（1）12（2）已知函数，函数，函数的导函数为．求函数的极值．若．求函数的单调区间．求证：时，不等式恒成立．四、选做题（本大题共2小题，每小题10分，选做1小题）22.（1）（2）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程．设点，直线与曲线交于，两点，求的值．23.（1）（2）解答下列各题．求函数的最大值．若实数，，满足，证明：，并说明取等条件．。

成都七中2020届高中毕业班三诊模拟数 学(文科)本试卷分选择题和非选择题两部分. 第Ⅰ卷(选择题)1至2页,第Ⅱ卷 (非选择题)3至4页,共4页,满分150分,考试时间120分钟. 注意事项：1.答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时,必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号.3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.5.考试结束后,只将答题卡交回.第Ⅰ卷 (选择题,共60分)一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合2{1,0,1,2,3,4},{|,}A B y y x x A =-==∈,则A B =I(A){0,1,2} (B){0,1,4} (C){1,0,1,2}- (D){1,0,1,4}- 2. 已知复数11iz =+,则||z =(A)2(B)1 (D)2 3. 设函数()f x 为奇函数,当0x >时,2()2,f x x =-则((1))f f = (A)1- (B)2- (C)1 (D)24. 已知单位向量12,e e 的夹角为2π3,则122e e -=(A)3 (B)75. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线方程为3y x =±,则双曲线的离心率是(B)3 (C)10 (D)1096. 在等比数列{}n a 中,10,a >则“41a a <”是“53a a <”的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件7. 如图所示的程序框图,当其运行结果为31时,则图中判断框①处应填入的是(A)6?i ≤ (B)5?i ≤ (C)4?i ≤ (D)3?i ≤8. 已知,a b 为两条不同直线,,,αβγ为三个不同平面,下列命题：①若///,,/ααγβ则//βγ；②若//,//,a a αβ则//αβ；③若,,αγγβ⊥⊥则αβ⊥；④若,,a b αα⊥⊥则//a b .其中正确命题序号为 (A)②③(B)②③④(C)①④(D)①②③9. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别为1,5,11,21,37,61,95,则该数列的第8项为 (A)99(B)131 (C)139 (D)14110. 已知2πlog e ,a =πln ,eb =2e ln ,πc =则(A)a b c <<(B)b c a <<(C)b a c <<(D)c b a <<11. 已知一个四面体的每一个面都是以3,3,2为边长的锐角三角形,则这个四面体的外接球的表面积为 (A)11π4 (B)11π2(C)11π (D)22π 12. 已知P 是椭圆2214x y +=上一动点,(2,1),(2,1)A B -,则cos ,PA PB u u u r u u u r 的最大值是(A)4 (B)17 (C)6- (D)14第Ⅱ卷 (非选择题,共90分)二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡上. 13.已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 且111,1(2),n n a a S n -==+≥则4a =14. 已知实数,x y 满足线性约束条件117x y x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩,则目标函数2z x y =+的最大值是15. 如图是一种圆内接六边形ABCDEF ,其中BC CD DE EF FA ====且.AB BC ⊥则在圆内随机取一点,则此点取自六边形ABCDEF 内的概率是16. 若指数函数xy a =(0a >且1)a ≠与一次函数y x =的图象恰好有两个不同的交点,则实数a 的取值范围是三、解答题：本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,.a b c 已知2.tan sin a bA B= (1)求角A 的大小； (2)若2,a b ==求ABC ∆的面积.18.(本小题满分12分)成都七中为了解班级卫生教育系列活动的成效,对全校40个班级进行了一次突击班级卫生量化打分检查(满分100分,最低分20分).根据检查结果：得分在[80,100]评定为“优”,奖励3面小红旗；得分在[60,80)评定为“良”,奖励2面小红旗；得分在[40,60)评定为“中”,奖励1面小红旗；得分在[20,40)评定为“差”,不奖励小红旗.已知统计结果的部分频率分布直方图如下图：(1)依据统计结果的部分频率分布直方图,求班级卫生量化打分检查得分的中位数；(2)学校用分层抽样的方法,从评定等级为“良”、“中”的班级中抽取6个班级,再从这6个班级中随机抽取2个班级进行抽样复核,求所抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率.19.(本小题满分12分)如图,在四棱锥M ABCD -中,2,2.,,3AB AM AD MB MD AB AD =====⊥ (1)证明：AB ⊥平面ADM ； (2)若//CD AB 且23CD AB =,E 为线段BM 上一点,且 2BE EM =,求三棱锥A CEM -的体积.20.(本小题满分12分)已知函数22e (),(e,).ln x xf x x x x++=∈+∞ (1)证明：当(e,)x ∈+∞时,3eln ex x x ->+； (2)证明：()f x 在1[2e ,)2++∞单调递增.(其中e 2.71828=L 是自然对数的底数).21.(本小题满分12分)已知点P 是抛物线21:2C y x =上的一点,其焦点为点,F 且抛物线C 在点P 处的切线l 交圆:O 221x y +=于不同的两点,A B .(1)若点(2,2),P 求||AB 的值；(2)设点M 为弦AB 的中点,焦点F 关于圆心O 的对称点为,F '求||F M '的取值范围.请考生在第22,23题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时,用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的标号涂黑.22.(本小题满分10分)选修44-：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为233x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数,0πα≤≤).在以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,射线l 的极坐标方程是π6θ=.(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)若射线l 与曲线C 相交于,A B 两点,求||||OA OB ⋅的值.23.(本小题满分10分)选修45-：不等式选讲已知0,0,a b >>且24,a b +=函数()2f x x a x b =++-在R 上的最小值为.m(1)求m 的值；(2)若22a mb tab +≥恒成立,求实数t 的最大值.成都七中2020届高中毕业班三诊模拟数 学(文科)参考答案及评分意见第Ⅰ卷 (选择题,共60分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.B ；2.A ；3.C ；4.D ；5.A ；6.A ；7.B ；8.C ；9.D ； 10.B ； 11.C ； 12.A.第Ⅱ卷 (非选择题,共90分)二、填空题(每小题5分,共20分)13.8； 14.15； 15.2π； 16.1e (1,e ).三、解答题(共70分) 17. 解：(1)由正弦定理知sin sin a b A B =,又2,tan sin a b A B =所以2.sin tan a aA A= 于是1cos ,2A =因为0π,A <<所以π.3A = L L 6分(2)因为π2,,3a b A ===22π222cos,3c c =+-⨯⨯即2230.c c --=又0c >,所以 3.c =故ABC ∆的面积为11πsin 23sin 223bc A =⨯⨯⨯= L L 12分18.解：(1)得分[20,40)的频率为0.005200.1⨯=；得分[40,60)的频率为0.010200.2⨯=； 得分[80,100]的频率为0.015200.3⨯=；所以得分[60,80)的频率为1(0.10.20.3)0.4.-++=设班级得分的中位数为x 分,于是600.10.20.40.520x -++⨯=,解得70.x = 所以班级卫生量化打分检查得分的中位数为70分. L L 6分 (2)由(1)知题意 “良”、“中”的频率分别为0.4,0.2.又班级总数为40.于是“良”、“中”的班级个数分别为16,8．分层抽样的方法抽取的 “良”、“中”的班级个数分别为4,2.因为评定为“良”,奖励2面小红旗,评定为“中”,奖励1面小红旗.所以抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3为两个评定为“良”的班级或一个评定为“良”与一个评定为“中”的班级.记这个事件为.A 则A 为两个评定为“中”的班级.把4个评定为“良”的班级标记为1,2,3,4. 2个评定为“中”的班级标记为5,6.从这6个班级中随机抽取2个班级用点(,)i j 表示,其中16i j ≤<≤.这些点恰好为66⨯方格格点上半部分(不含i j =对角线上的点),于是有366152-=种. 事件A 仅有(5,6)一个基本事件. 所以114()1()1.1515P A P A =-=-= 所抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率为14.15L L 12分19.解：(1)因为2AB AM==,MB =所以222.AM AB MB +=于是.AB AM ⊥又,AB AD ⊥且,AM AD A AM =⊂I 平面ABD ,AD ⊂平面ADM ,所以AB ⊥平面.ADM L L 5分(2)因为2,AM AD MD ===所以ADM S ∆=因为2BE EM =,所以1.3C AEM C ABM V V --=又//,CD AB AB ⊥平面.ADM所以111333A CEM C AEM C ABM D ABM B ADM V V V V V -----==== 111123333ADM S AB =⨯⋅⋅=⨯=所以三棱锥A CEM -L L 12分20.解：(1)令3e ()ln ,(e,).e x g x x x x -=-∈+∞+则22214e (e)()0.(e)(e)x g x x x x x -'=-=>++于是()g x 在(e,)+∞单调递增,所以()(e)0,g x g >=即3eln ,(e,).ex x x x ->∈+∞+ L L 5分 (2)22222222(21)ln (e )(ln 1)(e )ln (e )().(ln )(ln )x x x x x x x x x x f x x x x x +-+++--++'== 令2222()(e )ln (e ),(e,).h x x x x x x =--++∈+∞当(e,)x ∈+∞时,由(1)知3eln .e x x x ->+则222223e 1()(e )(e )2(4e 1)2[(2e )],e 2x h x x x x x x x x x ->--++=-+=-++ 当1[2e ,)2x ∈++∞时,()0h x >,从而()0.f x '> 故()f x 在1[2e ,)2++∞严格单调递增. L L 12分21.解：设点00(,)P x y ,其中2001.2y x =因为,y x '=所以切线l 的斜率为0,x 于是切线2001:.2l y x x x =-(1)因为(2,2),P 于是切线:2 2.l y x =-故圆心O 到切线l的距离为d =于是||5AB === L L 5分(2)联立22200112x y y x x x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩得22340001(1)10.4x x x x x +-+-= 设1122(,),(,),(,).A x y B x y M x y 则301220,1x x x x +=+32240001()4(1)(1)0.4x x x ∆=--+-> 又200,x ≥于是2002x ≤<+于是32200120022001,.22(1)22(1)x x x x x y x x x x x +===-=-++ 又C 的焦点1(0,),F 于是1(0,).F '-故||F M '===L L 9分 令201,t x =+则13t ≤<+于是||F M'==因为3t t+在单调递减,在+单调递增.又当1t =时,1||2F M '=；当t =时,||F M '=；当3t =+时,11||.22F M '=> 所以||F M '的取值范围为1).2L L 12分22.解：(1)消去参数α得22(2)3(0)x y y -+=≥将cos ,sin x y ρθρθ==代入得22(cos 2)(sin )3,ρθρθ-+=即24cos 10.ρρθ-+=所以曲线C 的极坐标方程为2π4cos 10(0).3ρρθθ-+=≤≤L L 5分 (2)法1：将π6θ=代入2π4cos 10(0)3ρρθθ-+=≤≤得210ρ-+=,设12ππ(,),(,),66A B ρρ则12 1.ρρ=于是12|||| 1.OA OB ρρ⋅== L L 10分法2：π3θ=与曲线C 相切于点,M π||2sin 1,3OM ==由切割线定理知2|||||| 1.OA OB OM ⋅== L L 10分23.解：(1)3, (,),2()2, [,],23, (,).a x a b x a f x x a x b x a b x b x a b x b ⎧--+∈-∞-⎪⎪⎪=++-=++∈-⎨⎪+-∈+∞⎪⎪⎩.当(,)2ax ∈-∞-时,函数()f x 单调递减；当(,)x b ∈+∞时,函数()f x 单调递增.所以m 只能在[,]2a b -上取到.当[,]2ax b ∈-时,函数()f x 单调递增.所以2() 2.222a a a bm f a b +=-=-++== L L 5分(2)因为22a mb tab +≥恒成立,且0,0a b >>,所以22a mb t ab +≤恒成立即mina b mb t a ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭.由(1)知2m =,于是a b a mb +≥== 当且仅当2aab =时等号成立即1)0,2(20.a b =>=> 所以t ≤,故实数t 的最大值为 L L 10分。

2024-2025学年度高三上期数学10月阶段性测试（考试时间：120分钟；满分150分）第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．已知集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知复数满足，则（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知向量满足，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图为函数在上的图象，则的解析式只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）A ．B ．C ．D ．6．在体积为12的三棱锥中，，平面平面，若点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．7．若，则的最大值为（ ）ABCD8．设，则（ ）{{},21x A x y B y y ====+A B = (]0,1(]1,2[]1,2[]0,2z 23i z z +=+3iz+=12i+12i-2i+2i-,a b 222a b a b -=-= 1b = a b ⋅=1414-1212-()y f x =[]6,6-()f x ())ln cos f x x x=+())lnsin f x x x=+())ln cos f x x x=-())ln sin f x x x=-()()cos f x x a x =+()y f x =()()π,πf ππ0x y +-=ππ0x y -+=π0x y -+=0x y +=A BCD -,AC AD BC BD ⊥⊥ACD ⊥ππ,,34BCD ACD BCD ∠=∠=,,,A B C D O O 12π16π32π48π()()sin cos2sin αβααβ+=-()tan αβ+202420230.2024log 2023,log 2022,log 0.2023a b c ===A ．B ．C ．D ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．9．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件：，下列结论正确的是（ ）A ．B ．C ．是数列中的最大值D ．数列无最大值10．透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为的4个小球，从中任意摸出两个球．设事件“摸出的两个球的编号之和小于5”，事件“摸出的两个球的编号都大于2”，事件“摸出的两个球中有编号为3的球”，则（ ）A ．事件与事件是互斥事件B ．事件与事件是对立事件C ．事件与事件是相互独立事件D ．事件与事件是互斥事件11．已知，其中，则的取值可以是（ ）A ．eB ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，第14题第一个空3分，第二个空2分．12．若，则______．13．设是数列的前n 项和，点在直线上，则数列的前项和为______．14．已知点是轴上的动点，且满足的外心在轴上的射影为，则点的轨迹方程为______，的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．15．（13分）设的内角的对边分别为，且，边上的两条中线相交于点．c a b <<b c a <<b a c <<a b c<<{}n a q n n S n n T 2024120242025202511,1,01a a a a a ->><-20242025S S <202420261a a <2024T {}n T {}n T 1,2,3,41A =2A =3A =1A 2A 1A 3A 1A 3A 23A A 13A A 6ln ,6e n m m a n a =+=+e nm ≠e nm +2e23e24e1sin 3α=-()cos π2α-=n S {}n a ()()*,n n a n ∈N 2y x =1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n ()()2,0,1,4,A B M N 、y 4,MN AMN =△P y Q P PQ PB +ABC △,,A B C ,,a b c ()()()sin sin sin sin b a ABC BAC c ABC C +∠-∠=∠-,BC AC ,AD BE P（1）求；（2）若，求的面积．16．（15分）如图，在三棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，是边长为2的正三角形，为的中点，为上一点，且平面平面．（1）求证：平面；（2）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．17．（15分）为研究“眼睛近视是否与长时间看电子产品有关”的问题，对某班同学的近视情况和看电子产品的时间进行了统计，得到如下的列联表：每天看电子产品的时间近视情况超过一小时一小时内合计近视10人5人15人不近视10人25人35人合计20人30人50人附表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828．（1）根据小概率值的独立性检验，判断眼睛近视是否与长时间看电子产品有关；（2）在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是多少？（3）以频率估计概率，在该班所在学校随机抽取2人，记其中近视的人数为，每天看电子产品超过一小时的人数为，求的值．BAC ∠2,cos AD BE DPE ==∠=ABC △D ABC -ABC △AB ABD △E AD F DC BEF ⊥ABD AD ⊥BEF ABC ⊥ABD BEF BCD αx α()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++0.05α=2χX Y ()P X Y =18．（17分）已知函数．（1）求曲线在处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）设函数．证明：存在实数，使得曲线关于直线对称．19．（17分）已知椭圆的对称中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，且经过点和．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作不与坐标轴平行的直线交曲线于两点，过点分别向轴作垂线，垂足分别为点，，直线与直线相交于点．①求证：点在定直线上；②求面积的最大值．2024-2025学年度高三上期数学10月阶段性测试（参考答案）一、单项选择题：BAACDDDC8．【解】由对数函数的性质知，，所以；当时，，所以，取，则，所以，即，综上，．二、多项选择题：ABC ACD CD ．11．【解】令，则，()()ln 1f x x =+()y f x =3x =()()()F x ax f x a =-∈R ()()1111g x x f f x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭m ()y g x =x m =C )⎛- ⎝C ()2,0M l C ,A B ,A B xDE AE BD P P PAB △0.20240.2024log 0.2023log 0.20241c =>=2024202420242023202320230log 1log 2023log 20241,0log 1log 2022log 20231=<<==<<=1,01,01c a b ><<<<2n >()()ln 1ln ln 10n n n +>>->()()()()222ln 1ln 1ln 1ln 1(ln )(ln )2n n n n n n ++-⎡⎤+⋅--<-⎢⎥⎣⎦()()()2222222222ln 1ln 11ln (ln )(ln )(ln )(ln )(ln )0222n n n n n n n n n ⎡⎤-+-⎡⎤⎛⎫=-=-<-=-=⎢⎥ ⎪⎢⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦2023n =2lg2022lg2024(lg2023)0⋅-<220232024lg2022lg2023lg2022lg2024(lg2023)log 2022log 20230lg2023lg2024lg2023lg2024b a ⋅--=-=-=<⋅b a <b ac <<()6ln f x x x =-()661xf x x x-=-='故当时，单调递增，当时，单调递减，，又，不妨设，解法一：记，设，则在上恒成立，所以在上单调递减，所以，则，又因为，且在上单调递减，所以，则，所以．解法二：由，两式相减，可得，令，则；令，则，令，则在上恒成立，所以在上单调递增，因为在上恒成立，所以在上单调递增，则，即，所以．解法三：，两式相减得，，可得，三、填空题： ；3()0,6x ∈()()0,f x f x '>()6,x ∈+∞()()0,f x f x '<()()6ln ,66lne e ,e n n n m m a n a f m f =+==+∴= e n m ≠06e n m <<<12,e nx m x ==()()()()12,0,6g x f x f x x =--∈()()()()2662(6)1201212x x x g x f x f x x x x x ---=---=-=<--'''()0,6()g x ()0,6()()()()()1260,0,6g x f x f x g x =-->=∈()()()11212f x f x f x ->=()1212,6,x x -∈+∞()f x ()6,+∞1212x x -<1212x x +>e 12n m +>6ln ,66lne e nnm m a n a =+==+e 6ln e n nm m =-e (1)n t t m=>()()61ln 6ln 6ln 6ln 1,,e ,e 111n n t t t t tt m t m mt m t t t +=-===∴+=---()()()1ln 21,1g t t t t t =+-->()11ln 2ln 1t g t t t t t+=+-=+-'1ln 1(1)y t t t =+->221110t y t t t-=-=>'()1,+∞()g t '()1,+∞()()10g t g ''>=()1,+∞()g t ()1,+∞()()10g t g >=()1ln 21t t t +>-()61ln e 121n t tm t ++=>-6ln ,66lne e nnm m a n a =+==+ e 6lne ln n n mm-=-212121ln ln 2x x x xx x -+<<-e 12n m +>79-1n n +24y x =14．【解】设点，则根据点是的外心，，而，则，所以从而得到点的轨迹为，焦点为由抛物线的定义可知，因为，即，当点在线段上时等号成立．四、解答题：15．【解】（1）因为，所以由正弦定理得，由余弦定理得，又，所以．（2）因为是边上的两条中线与的交点，所以点是的重心．又，所以在中，由余弦定理，所以，又，所以，所以，所以的面积为．()0,M t ()0,4)N t -P AMN V (),2P x t -22||PM PA =2224(2)(2)x x t +=-+-2(2),24t x y t -==-P 24y x =()1,0F 1PF PQ =+4,14PF PB BF PF PB PQ PB +≥=+=++≥3PQ PB +≥P BF ()()()sin sin sin sin b a ABC BAC c ABC C +∠-∠=∠-222b c a bc +-=2221cos 22b c a BAC bc +-∠==0πBAC <∠<π3BAC ∠=P ,BC AC AD BE P ABC △2,AD BE APB DPE ==∠=∠ABP △22222cos c AB PA PB PA PB APB==+-⋅∠22442433⎛⎫=+-⨯= ⎪⎝⎭2c =π2,3BE BAC =∠=2AE BE ==24b AE ==ABC △1π42sin 23⨯⨯⨯=16．【解】（1）是边长为的正三角形，为的中点，则．且平面平面，平面平面平面，则平面．（2）由于底面为等腰直角三角形，是边长为2正三角形，可取中点，连接，则．且平面平面，且平面平面，则平面．因此两两垂直，可以建立空间直角坐标系．是边长为2的正三角形，则可求得高．底面为等腰直角三角形，求得．可以得到关键点的坐标由第（1）问知道平面的法向量可取．设平面的法向量为，且，则，则，解得．则．则平面与平面17．【解】（1）零假设为：学生患近视与长时间使用电子产品无关．计算可得，，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即患近视与长时间使用电子产品的习惯有关．（2）每天看电子产品超过一小时的人数为，ABD △2E AD BE AD ⊥BEF ⊥ABD BEF ,ABD BE AD =⊂ABD AD ⊥BEF ABC △ABD △AB O OD ,OD AB OC AB ⊥⊥ABC ⊥ABD ABC ABD AB =OD ⊥ABC ,,OC OA OD O xyz -ABD △OD =ABC △1OC OA OB ===()()()(0,1,0,0,1,0,1,0,0,A B C D -BEF (0,AD =-BCD (),,m x y z = ()(1,1,0,BC CD ==- 0m BC m CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩x y x +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩)m = cos ,m AD m AD m AD ⋅〈〉===⋅ BEF BCD 0H 220.0550(1025105)4006.349 3.8411535203063x χ⨯⨯-⨯==≈>=⨯⨯⨯0.05α=2χ0H ξ则，所以在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是．（3）依题意，，事件包含两种情况：①其中一人每天看电子产品超过一小时且近视，另一人既不近视，每天看电子产品也没超过一小时；②其中一人每天看电子产品超过一小时且不近视，另一人近视且每天看电子产品没超过一小时，于是，所以．18．【解】（1）切点为．因为，所以切线的斜率为，所以曲线在处的切线方程为，化简得；（2）由题意可知，则的定义域为，当时，，则在上单调递减；当时，令，即，解得，若；若，则在上单调递减，在上单调递增．综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；()()()21310510331515C C C 45512069223C C 45591P P P ξξξ⨯+≥==+==+==6991()()1111110,22245525P X Y P X Y ===⨯====⨯=1X Y ==()1122111161C C 2551025P X Y ===⨯⨯+⨯⨯=()()()()1165301242525100P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+===++=()3,ln4()11f x x '=+()134k f ='=()y f x =3x =()1ln434y x -=-48ln230x y -+-=()()ln 1F x ax x =-+()F x ()1,-+∞()()11,1,,11ax a F x a x x x +-=-=∈-'+∞++0a ≤()101F x a x '=-<+()F x ()1,-+∞0a >()0F x '=10ax a +-=11x a=-()11111,01a ax a x F x a a x '-+--<≤=-=≤+()111,01ax a x F x a x +--'>=>+()F x 11,1a ⎛⎤-- ⎥⎝⎦11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭0a ≤()F x ()1,-+∞0a >()F x 11,1a ⎛⎤-- ⎥⎝⎦11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭（3）证明：函数，函数的定义域为．若存在，使得曲线关于直线对称，则关于直线对称，所以由．可知曲线关于直线对称．19．【解】（1）设椭圆的方程为，代入已知点的坐标，得：，解得，所以椭圆的标准方程为．（2）如图：①设直线的方程为，并记点，由消去，得，易知，则．由条件，，直线的方程为，直线的方程为()()111ln 1ln 2g x x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()g x ()(),10,-∞-+∞ m ()y g x =x m =()(),10,-∞-+∞ x m =12m =-()()111ln 1ln 211g x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-+-+ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭21121lnln ln ln 111x x x x x x x x x x +++=--=-+++()()()11211211lnln ln 1ln ln 1x x x x x x x g x x x x x x+++++=+--=+-=+()y g x =12x =-C 221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠312413m n m n +=⎧⎪⎨+=⎪⎩1612m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩C 22162x y +=l ()20x my m =+≠()()()112200,,,,,A x y B x y P x y 222,162x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩x ()223420m y my ++-=()()222Δ16832410m m m =++=+>12122242,33m y y y y m m --+==++()()12,0,,0D x E x AE ()1212y y x x x x =--BD，联立解得，所以点在定直线上．②，而，所以，则令，则，所以，当且仅当时，等号成立，所以．()2121y y x x x x =--()()2112211212012121222223my y my y x y x y my y x y y y y y y ++++====++++P 3x =0212121121111312222PAB S AD x x y x y my y my y =⋅-=⋅-=⋅-=-△121212my y y y =+()121212my y y y =+1211211224PABy y S y y y +=-=-==△t =1t >2122PAB t S t t t==≤=++△t =PAB △。

2021届四川省成都七中高三10月阶段性测试数学(文)试题一、单选题1.复数()21z i =+的虚部为( ) A.2-B.2C.2i -D.2i【参考答案】B【试题解析】利用复数代数形式的乘法运算化简,即可得出复数z 的虚部.解：因为()221122z i i i i =+=++=, 即2z i =,所以复数z 的虚部为2. 故选：B.本题考查复数代数形式的乘法运算,考查了复数的基本概念,是基础题. 2.{}2P y y x==,{Q x y ==,则P Q =( )A.⎡⎣B.(){}1,1C.{D.⎡⎣【参考答案】D【试题解析】利用二次函数的值域,以及根式的性质化简集合,P Q ,利用交集的定义计算可得答案.集合{}{}2|0P y y xy y ===≥,{{|Q x y x x ===≤≤则{|0P Q x x ⋂=≤≤故选：D本题考查集合的交集运算,考查函数的定义域,属于基础题.3.若变量x ,y 满足约束条件2,1,1y x x y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,则11y x -+的取值范围是( )A.11,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B.13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.13,,22⎛⎤⎡⎫-∞+∞⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【参考答案】C【试题解析】先根据已知中,变量x,y满足约束条件画出满足约束条件的可行域,进而分析11yx-+的几何意义,我们结合图象,利用角点法,即可求出答案.变量x,y满足约束条件211y xx yx⎧⎪+⎨⎪⎩的可行域如下图所示：根据题意,11yx-+可以看作是可行域中的点与点(1,1)P-连线的斜率,由图分析易得：当1x=,0y=时,其斜率最小,即11yx-+取最小值12-,当1x=,2y=时,其斜率最大,即11yx-+的取最大值12.故11yx-+的取值范围是11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：C.本题考查的知识点是简单线性规划,其中解答的关键是画出满足约束条件的可行域,“角点法”是解答此类问题的常用方法.4.“2a>”是“函数()()xf x x a e=-在()0,∞+上有极值”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【参考答案】A【试题解析】求出函数()()xf x x a e =-的极值点,利用该极值点在()0,∞+内求得实数a 取值范围,利用集合的包含关系可得出结论.()()x f x x a e =-,则()()1x f x x a e '=-+,令()0f x '=,可得1x a =-.当1x a <-时,()0f x '<;当1x a >-时,()0f x '>. 所以,函数()y f x =在1x a =-处取得极小值.若函数()y f x =在()0,∞+上有极值,则10a ->,1a ∴>.因此,“2a >”是“函数()()xf x x a e =-在()0,∞+上有极值”的充分不必要条件.故选：A.本题考查充分不必要条件的判断,同时也考查了利用导数求函数的极值点,考查计算能力与推理能力,属于中等题.5.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为126,则判断框内的条件可以为( )A.5n ≤B.6n ≤C.7n ≤D.8n ≤【参考答案】B【试题解析】根据框图,模拟程序运行即可求解.根据框图,执行程序,12,2S n ==; 1222,3S n =+=;⋯12222,1i S n i =++⋯+=+,令12222126i S =++⋯+=, 解得6i =,即7n =时结束程序, 所以6n ≤, 故选 ：B本题主要考查了程序框图,循环结构,条件分支结构,等比数列求和,属于中档题.genju 6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.32B.1C.13D.12【参考答案】C【试题解析】由三视图还原为原图,由此求得几何体的体积.由三视图可知,该几何体如下图所示四棱锥1D EFBC -,故体积为1111133⨯⨯⨯=. 故选：C本小题主要考查有三视图还原为原图,考查四棱锥体积的计算,属于基础题.7.在平面直角坐标系xOy 中,直线l ：40kx y k -+=与曲线29y x =-A ,B 两点,且2AB =,则k =( )A.3B.22C.1D.3【参考答案】C【试题解析】求出圆心到直线的距离,再由垂径定理列式求解k 值.解： 曲线29y x =-是圆心为原点,半径r ＝3的上半圆,如图：圆心到直线l 的距离241k d k =+,22221622921k AB r d k =-=-=+,解得：1k =±,当1k =-时,直线l 与曲线29y x =-,舍去. 故1k =. 故选：C .本题考查直线系方程的应用,考查直线与圆位置关系的应用,考查计算能力,是中档题. 8.关于函数()()πf x 4sin 2x x R 3⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭有如下命题,其中正确的个数有( ) ()y f x =①的表达式可改写为()()πf x 4cos 2x x R 6⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭()y f x =②是以2π为最小正周期的周期函数; ()y f x ③=的图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称;()y f x =④的图象关于直线πx 3=对称. A.0个 B.1个C.2个D.3个【参考答案】C【试题解析】利用诱导公式变形判断①;由正弦函数的周期公式判断②;求得πf 6⎛⎫-⎪⎝⎭的值可判断③;求得πf 3⎛⎫⎪⎝⎭的值可判断④.()ππππf x 4sin 2x 4cos 2x 4cos 2x 3236⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,①正确;()f x 的最小正周期2πT π2==,②错误; πππf 4sin 0633⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()y f x =的图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称,③正确; 由π2ππf 4sin 0333⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不为最值,④错误. 其中正确的个数为2.故选C .本题考查命题的真假判断与应用,考查诱导公式,()y Asin ωx φ=+型函数的图象和性质,属基础题.9.如图,四棱锥S ABCD -中,底面是边长为2的正方形ABCD ,AC 与BD 的交点为O ,SO ⊥平面ABCD 且2SO =,E 是边BC 的中点,动点P 在四棱锥表面上运动,并且总保持PE AC ⊥,则动点P 的轨迹的周长为( )A.2B.3C.12+D.13+【参考答案】D【试题解析】分别取CD 、SC 的中点F 、G ,连接EF 、FG 和EG ,证明平面EFG ∥平面BDS ,再由题意证明AC ⊥平面EFG ,得出点P 在△EFG 的三条边上,求出△EFG 的周长即可.解：分别取CD 、SC 的中点F 、G ,连接EF 、FG 和EG ,如图所示;则EF ∥BD ,EF ⊄平面BDS ,BD ⊂平面BDS ∴EF ∥平面BDS 同理FG ∥平面BDS又EF ∩FG ＝F ,EF ⊂平面EFG ,FG ⊂平面EFG ,, ∴平面EFG ∥平面BDS ,由AC ⊥BD ,AC ⊥SO ,且AC ∩SO ＝O , 则AC ⊥平面BDS , ∴AC ⊥平面EFG ,∴点P 在△EFG 的三条边上; 又EF ＝12BD ＝1222＝1, FG ＝EG ＝12SB ＝1222(2)1+32, ∴△EFG 的周长为EF +2FG ＝3故选：D.本题考查了四棱锥结构特征的应用问题,也考查了空间中线线、线面、面面间的位置关系应用问题,是中档题.10.已知定义域为R 的奇函数()f x 的周期为2,且(]0,1x ∈时,()12log f x x =.若函数()()πsin2F x f x x =-在区间[]3,m -(m Z ∈且3m >-)上至少有5个零点,则m 的最小值为( ) A.2B.3C.4D.6【试题解析】先根据条件分析函数()f x 的性质,然后将问题转化为函数()y f x =和πsin2y x =的图象交点问题,再根据图象求解出m 的最小值.因为()y f x =是奇函数,所以()00f =,又因为函数()f x 的周期为2, 所以()()()202f f f -==0=,在同一坐标系中作出函数()y f x =和πsin2y x =的图象(如图), 观察图象可知()y f x =和πsin2y x =的图象在3,2上有五个交点, 而函数()()πsin2F x f x x =-在区间[]3,m -(m Z ∈且3m >-)上有至少有5个零点, 所以2m ≥,所以m 的最小值为2. 故选：A.本题考查函数与方程的综合应用,着重考查函数性质以及数形结合思想,难度较难.数形结合思想的用处：(1)解决函数零点与方程根的个数问题;(2)解决函数图象问题;(3)求解参数范围与解不等式.11.过抛物线()2:20E x py p =>的焦点F 作两条互相垂直的弦AB ,CD ,设P 为抛物线上的一动点,(1,2)Q ,若111||||4AB CD +=,则||||PF PQ +的最小值是( ) A.1B.2C.3D.4【试题解析】设直线AB 的方程为2p y kx =+,代入22x py =得：2220x pkx p --=,由根与系数的关系得2A B x x pk +=,2A B x x p =-,从而得到()2||21AB p k =+,同理可得21||2(1)CD p k=+,再利用111||||4AB CD +=求得p 的值,当Q ,P ,M 三点共线时,即可得答案.根据题意,可知抛物线的焦点为(0,)2p,则直线AB 的斜率存在且不为0, 设直线AB 的方程为2p y kx =+,代入22x py =得：2220x pkx p --=. 由根与系数的关系得2A B x x pk +=,2A B x x p =-,所以()2||21AB p k=+.又直线CD 的方程为12p y x k =-+,同理21||2(1)CD p k=+, 所以221111111||||2(1)242(1)AB C p k p kD p +=+==++,所以24p =.故24x y =.过点P 作PM 垂直于准线,M 为垂足, 则由抛物线的定义可得||||PF PM =.所以||||||||||3PF PQ PM PQ MQ +=+≥=,当Q ,P ,M 三点共线时,等号成立. 故选：C.本题考查直线与抛物线的位置关系、焦半径公式的应用,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意取最值的条件.12.已知定义在R 上的函数()f x ,其导函数为()f x ',若()()2sin f x f x x =--,且当0x ≥时,()cos 0f x x '+<,则不等式()sin cos 2f x f x x x π⎛⎫+>+- ⎪⎝⎭的解集为( ) A.,2π⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B.,2π⎛⎫+∞⎪⎝⎭C.,4π⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D.,4π⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【参考答案】C【试题解析】令()()sin g x f x x =-,可根据已知等式验证出()g x 为偶函数,同时根据导数得到()g x 的单调性;将所求不等式转化为()2g x g x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭,根据单调性可得到2x x π+<,解不等式求得结果.令()()sin g x f x x =-,则()()sin g x f x x -=-+,()()2sin f x f x x =--,()()sin sin f x x f x x ∴+=--,()()g x g x ∴-=, ()g x ∴为定义在R 上的偶函数;当0x ≥时,()()cos 0g x f x x ''=+<,()g x ∴在[)0,+∞上单调递减, 又()g x 为偶函数,()g x ∴在(],0-∞上单调递增.由()sin cos 2f x f x x x π⎛⎫+>+- ⎪⎝⎭得：()cos sin sin 222f x x f x x f x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++>+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,即()2g x g x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭,2x x π∴+<,解得：4x π<-,即不等式的解集为,4π⎛⎫-∞-⎪⎝⎭. 故选：C .本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题,涉及到构造函数、利用导数确定函数的单调性等知识;解题关键是能够通过构造函数的方式将不等式转化为函数值的比较,再根据单调性转化为自变量之间的大小关系.二、填空题13.某个年级有男生780人,女生420人,用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为20的样本,则此样本中女生人数为______________. 【参考答案】7【试题解析】直接利用分层抽样的比例关系得到答案.样本中男女生人数为：420207780420⨯=+.故答案为：7.本题考查了分层抽样,意在考查学生的计算能力,属于基础题. 14.已知2=a ,1b =,a b -与b 垂直,则a 与b 的夹角为______. 【参考答案】π3【试题解析】利用两个向量垂直的性质,两个向量的夹角公式,求得a 与b 的夹角的余弦值,可得a 与b 的夹角.||2a =,||1b =,a b -与b 垂直,故有22()||||cos ,||2cos ,10a b b a b b a b a b b a b -⋅=⋅-=<>-=<>-=, 所以1cos ,2a b <>=, 因为0,a b π≤<>≤ 所以a 与b 的夹角为3π, 故答案为：3π.本题主要考查两个向量垂直的性质,两个向量的夹角公式,属于基础题.15.已知集合{}{}012a b c =,,,,,有下列三个关系①2a ≠;②2b =;③0c ≠,若三个关系中有且只有一个正确的,则23a b c ++=_______________. 【参考答案】5【试题解析】依次讨论①②③正确性,确定a b c 、、的值,得到答案.若①正确,②③错误,则0c,1b =,2a =,矛盾,不成立;若②正确,①③错误,则2b =,0c,1a =,矛盾,不成立;若③正确,①②错误,则2a =,1c =,0b =,成立,235a b c ++=; 综上所述：235a b c ++=. 故答案为：5.本题考查了逻辑推理,相等集合,意在考查学生的计算能力和逻辑推理能力. 16.设a ,b 是正实数,函数()ln f x x x =,()ln 3b g x x a =-+.若存在0,3a x b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,使()()00f x g x ≤成立,则ba的取值范围为_________.【参考答案】13,3e ⎛⎤⎥⎝⎦【试题解析】由区间的表示可知13b a >,令()()()h x f x g x =-,存在0,3a x b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,使()()00f x g x ≤成立等价于min ()0h x ≤,求导后判断导数的正负号,即可讨论出函数()h x 在区间,3a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性,即可求出b a 的取值范围.∵存在0,3ax b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,使()()00f x g x ≤成立,∴3a b <,0a >得13b a >;令()()()ln ln 3b h x f x g x x x x a =-=-+; ∴()ln 1ln ln 1x h x x a a ⎛⎫'=+-=+⎪⎝⎭; ∵0,3ax b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,03a x ≥,013x a ≥,令ln 10xa +>,即ax e >时,()h x 递增;3a ax e <<时,()h x 递减;①若a b e ,即()11,,3b h x a e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦在,3a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减; ∴()min ()ln 03b bh x h b b a ⎛⎫==+≤⎪⎝⎭,对11,3b a e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立; ②若3a a b e <<,即1,b a e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭,()h x 在,3a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上先递减后递增;∴min ()ln ln 03a a a a b h x h a e e e e ⎛⎫==-+⎪⎝⎭,∴03a b e -+≤,3b a e ≤,即13b e a e<, 综上b a 的取值范围为13,3e ⎛⎤ ⎥⎝⎦.故答案为：13,3e ⎛⎤⎥⎝⎦.本题结合函数考查不等式的存在性问题,属于难题.将存在0,3a xb ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,使()()00f x g x ≤成立转化为最值()min ()()0f x g x -≤是解本题的关键.三、解答题17.已知向量()sin ,sin m A B =,()cos ,cos n B A =,sin 2m n C ⋅=,且A 、B 、C 分别为ABC 的三边a 、b 、c 所对的角. (1)求角C 的大小;(2)若sin A ,sin C ,sin B 成等差数列,且18CA CB ⋅=,求c 边的长. 【参考答案】(1)π3C =;(2)6c =. 【试题解析】(1)利用向量的数量积可得,,A B C 的三角函数关系式,结合内角和为π可得关于C 的方程,解方程后可得C 的大小.(2)根据内角的正弦为等差数列可得2c a b =+,利用向量数量积的定义和余弦定理可得与三边相关的方程,从而可求c 的值.(1)()sin cos sin cos sin m n A B B A A B ⋅=⋅+⋅=+, 对于ABC ,πA B C +=-,0πC <<.∴()sin sin A B C +=,∴sin 2sin C C =,2sin cos sin C C C ⋅=, 因为sin 0C >,故1cos 2C =,而()0,C π∈,故π3C =.(2)由sin A ,sin C ,sin B 成等差数列,得2sin sin sin C A B =+, 由正弦定理得2c a b =+.∵18CA CB ⋅=,即cos 18ab C =,36ab =,由余弦定理()22222cos 3c a b ab C a b ab =+-=+-, ∴224336c c =-⨯,236c =,∴6c =.本题考查正弦定理、余弦定理、向量的数量积以及三角变换,一般地,在解三角形中,如果题设条件是边角的混合关系,那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.另外,解三角形时,注意对三角形中已知的几何量和未知的几何量进行分析,从而确定用合适定理解决问题,本题属于中档题.18.某企业的甲、乙两种产品在东部地区三个城市以及西部地区两个城市的销售量x ,y 的数据如下：(1)已知销售量x 和销售量y 大致满足线性相关关系,求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+;(2)根据上述数据计算是否有99%的把握认为东、西部的地区差异与甲、乙两种产品的销售量相关.参考公式：()()()121nii i nii xx y yb xx==--=-∑∑,a y bx =-;()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++.临界值表：【参考答案】(1) 4.768y x =-;(2)列联表见解析,有99%的把握认为东、西部的地区差异与甲、乙两种产品的销售量相关.【试题解析】(1)求出x 、y ,代入相应值求ˆb,再由公式ˆˆa y bx =-求出ˆa ,即可求得线性回归方程;(2)作出列联表,计算观测值,观测值与表中对应临界值比较即可得出结论.(1)4050602030405x++++==,11018021030701205y++++==,515221ˆ55i iiiix y x ybx x==-=-∑∑2287005401204.79000540-⨯⨯==-⨯,120 4.74068ˆˆa y bx=-=-⨯=-,得到线性回归方程为 4.768y x=-;(2)作出列联表如下：东部城市西部城市总计甲150 50 200乙500 100 600总计650 150 800计算得()22800150100505006.838 6.635200600650150K⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯,所以有99%的把握认为东、西部的地区差异与甲、乙两种产品的销售量相关.本题考查最小二乘法求线性回归方程、独立性检验,考查数据处理能力、计算能力,属于中档题.19.如图,在四棱锥P ABCD-中,四边形ABCD是直角梯形,AB AD⊥,//AB CD,PC⊥底面ABCD,224AB AD CD===,2PC a=,E是PB的中点.(1)求证：平面EAC⊥平面PBC;(2)求点P到平面AEC的距离.【参考答案】(1)证明见解析;(2)433. 【试题解析】(1)在直角梯形ABCD 中,求解三角形可得222AC BC AB +=,即得AC BC ⊥,再由PC ⊥平面ABCD ,得AC PC ⊥,进一步可得AC ⊥平面PBC ,由面面垂直的判定可得平面EAC ⊥平面PBC ;(2)将P 到平面AEC 的距离转化为B 到平面AEC 的距离,利用体积法E ABC B AEC V V --=可得答案.解析：(1)∵PC ⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD , ∴AC PC ⊥因为4AB =,2AD CD ==, 所以2AC BC ==,所以222AC BC AB +=,所以AC BC ⊥,又BC PC C ⋂=, 所以AC ⊥平面PBC . 因为AC ⊂平面EAC , 所以平面EAC ⊥平面PBC ;(2)∵E 为PB 中点,故P 到平面AEC 的距离等于B 到平面AEC 的距离,设为d ,118422323E ABC V -=⨯⨯⨯⨯=由(1)AC CE ⊥ ∴112262322ACE S AC CE =⋅=⨯=△,由E ABC B AEC V V --=可得8133=⨯,解得B 到平面AEC .故P 到平面AEC .本题考查平面与平面垂直的判定,考查体积法求点到面的距离,考查了学生的转化能力及空间想象能力,是中档题.20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的两个焦点为1F ,2F ,焦距为直线l ：1y x =-与椭圆C 相交于A ,B 两点,31,44P ⎛⎫- ⎪⎝⎭为弦AB 的中点.(1)求椭圆的标准方程;(2)若直线l ：y kx m =+与椭圆C 相交于不同的两点M ,N ,()0,Q m ,若3OM ON OQ λ+=(O 为坐标原点),求m 的取值范围.【参考答案】(1)2213x y +=;(2)113m <<或113m -<<-.【试题解析】(1)31,44P ⎛⎫- ⎪⎝⎭为弦AB 的中点, 设()11,A x y ,()22,B x y ,代入椭圆方程利用点差法可求解.(2)由M ,Q ,N 三点共线,133OQ OM ON λ=+,根据三点共线性质可得：1133λ+=,则2λ=,将直线l 的方程和椭圆C 方程联立,利用韦达定理即可求得答案.(1)∵焦距为则c =设()11,A x y ,()22,B x y ,∵31,44P ⎛⎫- ⎪⎝⎭为弦AB 的中点,根据中点坐标公式可得：1232x x +=,1212y y +=-,又∵将()11,A x y ,()22,B x y 代入椭圆C ：22221x y a b+=∴2222221122222222b x a y a b b x a y a b⎧+=⎨+=⎩ ∴将两式作差可得：()()()()22121212120b x x x x a y y y y +-++-=,所以()()22121222121231AB b x x y y b k x x a y y a +-==-==-+, 所以223a b ………①.∵222a c b -=………②由①②得：2231a b ⎧=⎨=⎩所以椭圆的标准方程为2213x y +=.(2)∵M ,Q ,N 三点共线,133OQ OM ON λ=+ ∴根据三点共线性质可得：1133λ+=,则2λ= 设()11,M x y ,()22,N x y ,则1212033x x +=,∴122x x =-.将直线l 和椭圆C 联立方程22,33y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消掉y . 可得：()222136330kxkmx m +++-=.220310k m ∆>⇒-+>………③,根据韦达定理：122613km x x k +=-+,21223313m x x k -=+,代入122x x =-,可得：22613km x k =+,222233213m x k--=+, ∴()222222363321313k m m kk --⨯=++,即()2229131m k m -⋅=-.∵2910m -≠,219m ≠, ∴22213091m k m -=≥-………④,代入③式得22211091m m m --+>-,即()22211091m m m -+->-, ∴()()2221910mmm --<,∴2119m <<满足④式,∴113m <<或113m -<<-.本题考查椭圆的中点弦问题,考查直线与椭圆的综合问题,联立方程,韦达定理的应用,属于中档题. 21.已知函数()()2311023f x x ax a =->,函数()()()1xg x f x e x =+-,函数()g x 的导函数为()g x '. (1)求函数()f x 的极值; (2)若a e =,①求函数()g x 的单调区间;②求证：0x >时,不等式()1ln g x x '≥+恒成立. 【参考答案】(1)极小值为()00f =,极大值为2116f a a ⎛⎫=⎪⎝⎭;(2)①单调递增区间是()0,∞+,单调递减区间是(),0-∞;②证明见解析.【试题解析】(1)求导并令21()()0f x x ax ax x a'=-=--=,结合导数的正负判断极值;(2)()(1)x g x x e ex '=-+,①记()1xh x e ex =-+,由导数可知,()h x h (1)10=>,则根据()(1)x g x x e ex '=-+的正负可确定函数的单调性;②化()(1)1x g x x e ex lnx '=-++为11xlnxe ex x+-+,令()()1ln 0x x x x φ=+->,利用导数求出1lnxx+的取值范围,从而证明(1)()21f x x ax ax x a ⎛⎫'=-=--⎪⎝⎭, ∴当()0f x '=时,0x =或1x a=,又0a >,∴当(),0x ∈-∞时,()0f x '<;当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f x '>;当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时,()0f x '<,∴()f x 的极小值为()00f =,()f x 的极大值为2116f a a⎛⎫= ⎪⎝⎭. (2)∵a e =, ∴()()2311123xg x x ex e x =-+-,()()1x g x x e ex '=-+. ①记()1xh x e ex =-+,则()xh x e e '=-,当(),1x ∈-∞时,()0h x '<,()h x 是减函数; 当()1,x ∈+∞时,()0h x '>,()h x 是增函数, ∴()()110h x h ≥=>,则在()0,∞+上,()0g x '>;在(),0-∞上,()0g x '<,∴函数()g x 的单调递增区间是()0,∞+,单调递减区间是(),0-∞. ②证明：0x >时,()()1ln 1111x x xg x x e ex nx e ex x+'=-+≥+⇔-+≥, 由①知,()11xh x e ex =-+≥,记()()1ln 0x x x x φ=+->,则()1xx xφ-'=, 在区间()1,+∞上,()0x φ'<,()x φ是减函数, ∴()()10x φφ≤=,即1ln 0x x +-≤,1ln 1xx+≤, ∴1ln 11xxe ex x+-+≥≥,即()1ln g x x '≥+恒成立.本题考查了利用导数求函数的极值,考查了利用导数研究函数的单调性、证明不等式恒成立,考查计算能力,解题过程注意转化思想的应用,属于难题.22.在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数).在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为3sin()42πρθ-=. (Ⅰ)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程; (Ⅱ)设点(2,3)P -,若直线l 与曲线C 交于A ,B 两点,求||||PA PB ⋅的值.【参考答案】(Ⅰ)曲线C 的普通方程为2212x y +=;直线l 的直角坐标方程为10x y ++=;(Ⅱ)403. 【试题解析】(Ⅰ)消去参数α可得曲线C 的普通方程,利用极坐标与直角坐标互化的方法确定直线l 的直角坐标方程即可;(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,点()2,3P -在直线l 上,联立直线的参数方程与C 的直角坐标方程,结合直线的几何意义可得PA PB ⋅的值.(Ⅰ)由x y sin αα⎧=⎪⎨=⎪⎩,消去参数α可得2212x y +=,故曲线C 的普通方程为2212x y +=.由342sin πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,可得222sin cos ρθρθ--=,即10sin cos ρθρθ++=,将x cos ρθ=,y sin ρθ=代入上式,可得10x y ++=,故直线l 的直角坐标方程为10x y ++=.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,点()2,3P -在直线l 上,可设直线l的参数方程为2232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数),将22x =-,32y t =-+代入2212x y +=,化简可得23400t -+=, 设A ,B 两点对应的参数分别为1t ,2t ,则12403t t =, 所以1212403PA PB t t t t ⋅=⋅==.本题主要考查极坐标与直角坐标的互化,参数方程与普通方程的互化,直线参数方程中参数的几何意义等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23.(1)求函数()32123x x f x x +--=+的最大值M . (2)若实数a ,b ,c 满足22a b c M +≤≤,证明：()210a b c +++≥,并说明取等条件.【参考答案】(1)1M =;(2)证明见解析;当12a b ==-,12c =时取等. 【试题解析】(1)利用绝对值三角不等式可得()f x 的最大值;(2)利用已知条件结合不等式,可证明命题成立.(1)()32123212133x x x x f x x x +--++-=≤=++,等号成立, 当且仅当23x ≤-或12x ≥,所以1M =. (2)()()222()2121212a b a b c a b a b a b ⎛⎫++++≥++++≥+++ ⎪⎝⎭()210a b =++≥, 当且仅当12a b ==-,12c =时取等,所以存在实数12a b ==-,12c =满足条件.本题考查绝对值三角不等式的应用,考查重要不等式,属于中档题.。

高2022届高三上期数学（文科）阶段性测试题本卷满分150分 ；考试时间：120分钟一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{||2|3}A x x =-<，则A =RA ．(,1)(5,)-∞-+∞B ．(,1][5,)-∞-+∞C ．[]1,5- D ．(1,5)-2．已知复数43i 1i z =+-，其中i 为虚数单位，则z z += A ．i B ．7i C ．7D ．1 3．已知命题23000:(0,1),p x x x ∃∈≥，则命题p 的否定为A ．23000(0,1),x x x ∃∈≤B ．23000(0,1),x x x ∃∈<C ．23(0,1),x x x ∀∈<D ．23(0,1),x x x ∀∈≤4．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x <时，12()4log (1)x f x x -=+-，则(1)f =A ．3B ．3-C ．5D ．5-5．“22m n <”是“ln ln m n <”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件6．已知变量x ，y 之间满足线性相关关系 1.31ˆyx =-，且x ，y 之间的相关数据如下表所示：则m = A ．0.8B ．1.8C ．0.6D ．1.6 7．已知单位向量,a b 满足||20++⋅=a b a b ，则|3|+a b 的值为A B ．7C D ．8.在ABC △中，1AB =，AC =6C =π，则B = A ．4π B ．4π或2πC ．34πD ．4π或34π9．已知4tan 23α=-，02απ<<，则sin 3cos αα+=A B ．2 C D 10.若正项递增等比数列{}n a 满足()()()243510a a a a λλ+-+-=∈R ，则67a a λ+的最小值为A ．2-B ．4-C ．2D ．4三、解答题：共70分。

成都七中高2020届数学10月阶段性试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 方程的解集为，方程的解集为，且，则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，,代入得4-2p+6=0，即p=5，又，代入得4+12-q=0，即q=16，则21，选D.2. 函数定义域是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意,解得,即,故选A.3. 若集合，则( )A. 或B.C. D.【答案】D【解析】∵，∴A B=，故选D4. 如果函数在区间上是递增的，那么实数的取值范围( )A. B. C. D.【答案】B【解析】因为函数在上单调递增, ,,故选B.5. 若函数满足，则的值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】令x=1，，则，故选B。

6. 下列各组函数中，是同一函数的是( )①与② 与③与④与⑤与A. ①②③B. ①②④C. ②④D. ①④⑤【答案】C【解析】对于①，= ，与对应法则不同，不合题意；对于②，, ,是同一函数;对于③, , 而，定义域不同，不合题意；对于④，与，定义域均为R，且对应法则相同，是同一函数；对于⑤，, ,定义域不同，不合题意；综上可知，②④符合题意，故选C.点睛:本题考查函数的性质,属于基础题目. 函数的定义：给定一个数集A，对A施加对应法则f，记作f（A），得到另一数集B，也就是B=f（A）.那么这个关系式就叫函数关系式，简称函数.函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f。

其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征.7. 设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】函数是奇函数, 不等式可化简为,即,等价于或,又在上为增函数，且，则在上为增函数，且，或,即或,故选D.点睛: 本题主要考查抽象函数的单调性与奇偶性.根据题意，函数为奇函数，所以图像关于原点对称，且在对称区间上的单调性相同，即在和上分别为增函数，且可得,再将不等式化简为,即或,分两种情况讨论写出解集即可.8. 函数的值域为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】函数,即函数的值域为,故选A.9. 已知是关于的方程两个根，则以下结论正确的是( )A. 的取值范围为B. 若，则的取值范围为C. 的取值范围是D. 若，则的取值范围为【答案】D【解析】选项A,是关于的方程两个根,则,解得,错误;选项B, 若,则,解得,错误;选项C,= ,又,,错误;选项D, 若，设,则,解得,正确;故选D.10. 若表示不超过的最大整数，则关于的不等式解集为( )A. B. 或C. D.【答案】C【解析】不等式,分别画出函数和的图象,如图所示,则当或x=1时满足题意,故选C.11. 定义表示两个数中的较小者，表示两个数中的较大者，设集合都是的含有两个元素的子集，且满足：对任意的都有，,则的最大值是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】根据题意，对于M，含2个元素的子集有个,其中, {1，2}、{2，4}、{3，6}、{4，8}可以任选两个; {1，3}、{2，6}符合题意; {2，3}、{4，6}符合题意; {3，4}、{6，8}符合题意;即满足的任意的最多有4个,故的最大值是4,应选C. 12. 函数的定义域为，对于内的任意都有成立，则的值为A. B. C. D. 以上答案均不正确【答案】A【解析】由,可得函数在x=1处取到最大值,即的对称轴为x= =1,解得b=2,又,则的解集为[-1,3],则-c=,即c=3,, 则= ,故选A.点睛:本题考查复合函数的单调性和二次函数的性质,属于中档题目. 由,可得函数在x=1处取到最大值,即根号下开口向下的二次函数的对称轴为x=1,可求出b的值,再由可得x=-1为的一个零点,再根据对称性可得的解集为[-1,3],由韦达定理求出c的值,即可求出函数解析式.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知集合，集合满足，则集合有___________个．【答案】【解析】集合,即,集合有个,故填4.14. 写出一个定义域为，值域为的函数解析式__________．【答案】【解析】由题意得,当时, ,函数在对称轴x=1处取最小值0,且y<=4,故填15. 已知函数，与函数图像恰有一个交点，则的范围为__________．【答案】【解析】由题意,当时,,且当时,,与函数图像恰有一个交点，则需;又当时,,图象是一个开口向上且对称轴为y轴的抛物线在的部分, 又与函数图像恰有一个交点,则需a=f(0)=2或;综上可知,的范围为,故填.16. 集合中的元素恰有个整数，则的范围为__________．【答案】【解析】由题意得,解得，则集合中的整数元素最小为1，若整数元素为1和2，则，无解；若整数元素为2和3，则，解得；若若整数元素为3和4，则，解得；综上可得，或,故填.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知函数（1）写出函数的单调减区间.（不用写出过程）（2）证明：函数在上是减函数.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析:(1)根据反比例函数的性质写出单调区间;(2)由定义法证明函数在上是减函数.试题解析:解：（1）单调区间为（2）证明：取任意的，且，，，，在上是减函数.点睛:本题考查反比例函数的单调性,属于基础题目.在解答题中证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取，并且（或）；（2）作差：，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；（3）定号：判断的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论；（4）下结论：根据定义得出其单调性.18. 设全集，集合，若，求的值.【答案】）【解析】试题分析:,可求出a值,确定集合A,,可求出b,通过检验求得集合B,即得出符合条件的的值.试题解析:解：即将代入得或当时，而当时，与矛盾，综上所述点睛: 1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示,并注意多值时的检验；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．19. 某工厂生产某种产品的固定成本（固定投入）为万元，已知生产件这样的产品需要在增加可变成本（另增加投入）万元，根据市场调研分析，销售的收入为（万元），，其中是产品售出的数量（单位：百件），假设此种产品的需求量最多为件，设该工厂年利润为万元.（1）将年利润表示为年产量的函数；（2）求年利润的最大值.【答案】（1）（2）当时，【解析】试题分析:(1)利用年利润=年销售收入-投资成本（包括固定成本），可得年利润表示为年产量的函数；（2）用配方法化简解析式，求出最大值.试题解析:解：（1）设年产量为百件.当时，产品能够全部售出，，当时，只能售出件，，（2）当时，，时，；当时，，综上所述，当时，点睛:本题考查函数模型的实际应用以及分段函数,属于中档题目. 利用年利润=年销售收入-投资成本（包括固定成本），设年产量为百件.当时，产品能够全部售出，当时，只能售出件，分别列出函数解析式;由利润函数是分段函数，分段求出最大值，利用二次函数的性质求出函数取最大值时对应的自变量x的值，比较两段的最大值即可求出所求.20. 已知函数（为常数），方程有两个实根，（1）求函数的解析式；（2）设，解关于的不等式：【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析:(1) 将分别代入方程,解出a,b的值,求出函数的解析式；(2) 不等式即为，可化为即,比较三个零点的大小,分三类进行讨论,分别写出不等式的解集.试题解析:解：（1）将分别代入方程得解得，所以，（2）不等式即为，可化为即①当，解集为②当时，不等式为解集为③当时，解集为21. 函数对任意的都有，并且当时，（1）判断函数是否为奇函数，（2）证明：在上是增函数，（3）若，解不等式；【答案】（1）不可能是奇函数（2）见解析（3）..................试题解析:解：（1）当时，解得，显然函数不可能是奇函数，（2）任取,且，在上但增.（3）解：令，由题，则，在上单增，，，22. 已知函数（1）若，判断函数的奇偶性，并说明理由，（2）若，求的范围；（3）若，且是否存在，使得对于恒成立，若有，求的解析式？若无，说明理由；【答案】（1）奇函数（2）试题解析:解：（1），，，，为奇.（2）设联立消得：，，，，（3）存在由图像得，。

2020-2021学年四川省成都市某校高三（上）10月月考数学（文）试卷一、选择题1. 集合A ={x ∣x =2n +1,x ∈Z}，B ={x ∣x 2≤10,x ∈R }，则A ∩B =( )A.{1,3}B.{−3,−1,1,3}C.{−3,3}D.{−3,−1}2. 已知复数z =1+i ，z ¯为z 的共轭复数，则|z ¯⋅(z +1)|= （ ）A.√2B.2C.10D.√103. 函数f (x )={log 2x,x ≥2,f (x +1),x <2,则f (0)=( ) A.−1B.0C.1D.24. 已知实数x ，y 满足 {x +y −1≥0，x −2y +2≥0，2x −y −2≤0，则z =2x +y 的最大值为( )A.1B.2C.6D.85. 命题p ：若直线a//平面α，直线b ⊂α，则a//b ；命题q ：若平面α⊥平面β，直线a ⊂α，b ⊂β，则a ⊥b ．下列命题中为真命题的是（ ）A.p ∨qB.p ∧(¬q )C.(¬p )∧qD.(¬p )∧(¬q )6. 三国时期，吴国数学家赵爽绘制“勾股圆方图”证明了勾股定理（西方称之为“毕达哥拉斯定理”）．如图，四个完全相同的直角三角形和中间的小正方形拼接成一个大正方形，若该勾股圆方图中小正方形的面积S 1与大正方形面积S 2之比S 1S 2=125，则图中角α满足tan α=（ ）A.34B.43C.54D.537. △ABC 中，AB =1，AC =√5，面积S △ABC =1，m →=AB →+CA →，n →=λAB →−CA →，若m →⊥n →，则实数λ=( )A.0B.3C.−3D.28. 命题p ：直线x +(m +1)y −2=0与直线mx +2y +4=0相交；命题q ：直线mx −y −1=0与圆(x −3)2+y 2=8相离．若命题p ∧q 为真命题，则实数m 的取值范围为（ ）A.(−∞,−1)∪(7,+∞)B.(−1,1)∪(1,7)C.(−∞,−2)∪(−2,−1)∪(7,+∞)D.(−∞,−2)∪(7,+∞)9. 函数f (x )的导函数为f ′(x)，若已知f ′(x)的图象如图，则下列说法正确的是（ ）A.f (x )存在极大值点B.f (x )在(0,+∞)单调递增C.f (x )一定有最小值D.不等式f (x )<0一定有解10. 函数f (x )=2sin (ωx +π3)+m (ω>0)的部分图象如图，则f (π2)=（ ）A.−√3−1B.1C.√3−1D.011. 如图，某市一个圆形公园的中心为喷泉广场，A 为入口，B 为公园内紧贴围墙修建的一个凉亭，C 为公园内紧贴围墙修建的公厕，已知AB =300m ，BC =500m ，∠ABC =120∘，计划在公园内D 处紧贴围墙再修建一座凉亭，若要使得AB ，BC ，CD 和DA 的总长度L 最大，则DC 的长度应为( )A.500mB.700mC.700√3mD.1400√33m12. 已知数列{a n }中，a 1=32，且满足a n =12a n−1+12n (n ≥2,n ∈N ∗)，若对于任意n ∈N ∗，都有λn ≥a n 成立，则实数λ的最小值是( ) A.2B.4C.8D.16 二、填空题已知sin (α+π4)=13，则sin (α−34π)=________.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4=−16，S 3=a 1+4，则公比q 为________.如图，在△ABC 中，AB =4，AC =2√2，∠BAC =45∘，D 为边BC 的中点，M 为中线AD 的中点，则向量BM →的模为________函数f (x )=x −2与g (x )=k−3+4ln x x （k 为常数）的图象有两个不同的交点，则k 的取值范围为________.三、解答题如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α，β(0<α<β<π2)的终边分别与单位圆交于点A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，且点A在直线2x−y=0上，y2=7√210.(1)求sin(α+β)的值；(2)求2α−β的值．数列{a n}各项都为正数，前n项和为S n，a1=2，a2=5，当n≥3时，S n=S n−2+1 3(a n2−a n−12).(1)求a n；(2)求数列{1a n a n+1}的前n项和T n.△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，m→=(√3cos A,cos A−1)，n→=(sin A,cos A+1)，且m→⊥n→.(1)求A；(2)若a=√7，b−c=1，求△ABC的周长．某果农种植一种水果，每年施肥和灌溉等需投入4万元．为了提高产量，同时改善水果口味以赢得市场，计划在今年投入x万元用于改良品种．根据其他果农种植经验发现，该水果年产量t（万斤）与用于改良品种的资金投入x（万元）之间的关系大致为：t=3−mx+1(x≥0，m为常数），若不改良品种，年产量为1万斤．该水果最初售价为每斤4.75元，改良品种后，售价每斤提高x4元．假设产量和价格不受其他因素的影响．(1)设该果农种植该水果所获得的年利润为y（万元），试求y关于资金投入x（万元）的函数关系式，并求投入2万元改良品种时，年利润为多少？(2)该果农一年内应当投入多少万元用于改良品种，才能使得年利润最大？最大利润为多少？函数f(x)=1+x⋅e x−k(e x−1).(1)当k=1时，求f(x)的单调区间；(2)当x>0，k≤2时，证明：f(x)>0.在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为：x−√3y−2=0，直线l上一点P(5,√3)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ.(1)判断曲线C的形状并求出曲线C的直角坐标方程；(2)直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|⋅|PB|的值．函数f(x)=2|x−1|+|x+3|.(1)解不等式：f(x)≤6；(2)证明：对于任意x∈R，都有f(x)≥4成立．参考答案与试题解析2020-2021学年四川省成都市某校高三（上）10月月考数学（文）试卷一、选择题1.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】读懂描述法表示的集合，再解集合的交集.【解答】解：由题设A ={x|x =2n +1,x ∈Z }，可得集合A 为奇数集，B ={x|x 2≤10,x ∈R }={x|−√10≤x ≤√10}，所以A ∩B ={−3,−1,1,3}.故选B .2.【答案】D【考点】共轭复数复数的模复数的运算复数代数形式的乘除运算【解析】利用共轭复数的概念得z ¯，再利用复数的运算得z ¯⋅(z +1)，进而求模.【解答】解：由题z =1+i ，所以z ¯=1−i ，z ¯⋅(z +1)=(1−i )(2+i )=2−i 2−i =3−i ，|z ¯⋅(z +1)|=|3−i |=√32+(−1)2=√10.故选D .3.【答案】C【考点】函数的求值分段函数的应用利用分段函数解得f(0)=f(2)，再利用对数的性质得解.【解答】解：由题设得f(0)=f(1)=f(2)=log 22=1.故选C .4.【答案】C【考点】求线性目标函数的最值【解析】作出可行域，利用目标函数的几何意义进行求解即可.【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域如图所示：目标函数z =2x +y 可化为y =−2x +z ，平移直线y =−2x +z ，当直线经过B 时，直线在y 轴上截距最大，此时目标函数有最大值.联立{x −2y +2=0,2x −y −2=0,易求得B(2,2)，∴ 目标函数的最大值为2×2+2=6.故选C .5.【答案】D【考点】命题的真假判断与应用逻辑联结词“或”“且”“非”空间中直线与直线之间的位置关系【解析】首先判断命题的真假，再判断复合命题的真假即可.【解答】解：由题意可知：命题p ：若直线a//平面α，直线b ⊂α，则a ，b 异面或平行，故为假命题；命题q ：若平面α⊥平面β，直线a ⊂α，b ⊂β，此时无法判断直线a ，b 位置关系，故所以命题p ∨q 为假命题，故A 不符合题意；命题p ∧(¬q)为假命题，故B 不符合题意；命题(¬p)∧q 为假命题，故C 不符合题意；命题(¬p)∧(¬q)为真命题，故D 符合题意.故选D .6.【答案】B【考点】解三角形的实际应用勾股定理的应用【解析】由题设小正方形的边长为1，正方形的边长为5，直角三角形的短的直角边长为x ，则较长的直角边长为x +1,即可得到x 2+(x +1)2=52，求出x =3，即可得解tan α=43.【解答】解：根据已知条件四个直角三角形全等，该勾股圆方图中小正方形的面积S 1与大正方形面积S 2之比S 1S 2=125， ∴ 设小正方形的边长为1，正方形的边长为5，直角三角形的短的直角边长为x ，则较长的直角边长为x +1,∴ x 2+(x +1)2=52，∴ x 2+x −12=0，解得：x =3或−4（负值舍去），∴ tan α=43.故选B .7.【答案】B【考点】平面向量数量积的运算向量的数量积判断向量的共线与垂直正弦定理【解析】由题根据三角形的面积可得sin ∠BAC =2√55，即可得到cos ∠BAC =√55,根据m →⊥n →，可得m →⋅n →=(AB →+CA →)(λAB →−CA →)=0，展开后利用向量的数量积即可解得λ=2.【解答】解：因为AB =1，AC =√5，S △ABC =1，所以12×1×√5×sin A =1，所以sin A =√5，所以cos A =√5，所以AB →⋅CA →=|AB →|⋅ |CA →|⋅cos (π−A )=±1．因为m →⊥n →，所以m →⋅n →=0，即λAB 2→+(λ−1)AB →⋅CA →−CA →2=0.若AB →⋅CA →=1，则λ+λ−1−5=0，所以λ=3；若AB →⋅CA →=−1 ，则λ−λ+1−5=0，无解．综上，λ=3.故选B ．8.【答案】C【考点】直线与圆的位置关系两条直线平行的判定逻辑联结词“或”“且”“非”【解析】先分别求出两个命题为真时的m 的取值范围，再由p ∧q 为真，则p 真q 真，求交集即可.【解答】解：若直线x +(m +1)y −2=0与直线mx +2y +4=0相交，则m (m +1)≠2，所以m ≠1且m ≠−2；若直线mx −y −1=0与圆(x −3)2+y 2=8相离， 则√m 2+1>2√2，所以m <−1或m >7．因为p ∧q 为真命题，所以{m ≠1且m ≠−2,m <−1或m >7,即m ∈(−∞,−2)∪(−2,−1)∪(7,+∞).故选C ．9.【答案】C【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性【解析】利用导函数图像的正负即可判断原函数的增减，从而对选项逐项判定.【解答】解：由导数图象可知，函数f (x )在(−∞,−1)上单调递减，在(−1,0)上单调递增；此时x =−1为函数的极小值点；函数f (x )在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增；此时x =1为函数的极小值点；可得A，B错误，而两个极小值中一定有一个为最小值，C正确；若最小值大于0，则f(x)<0无解，D错误.故选C.10.【答案】A【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式函数的求值【解析】先由图象确定m=−3+12=−1，再代入(11π12,0)求得ω的值，在求解即可.【解答】解：根据题意，可知2+m=1（或−2+m=−3），所以m=−1．又因为f(11π12)=0，即2sin(11πω12+π3)−1=0，所以sin(11πω12+π3)=12，对照正弦函数图象可得11πω12+π3=13π6+2kπ，k∈Z，所以ω=2+24k11，k∈Z.又因为T=2πω>11π12，所以ω<2411，结合ω>0得k=0，ω=2，所以f(x)=2sin(2x+π3)−1，故f(π2)=2sin(π+π3)−1=−√3−1.故选A．11.【答案】B【考点】基本不等式余弦定理的应用【解析】利用余弦定理，首先求出AC，再利用对边对角解三角形的范围问题处理即可. 【解答】解：由题意得：如图，连接AC，则∠D=180∘−∠B=60∘，在△ABC中，由余弦定理得：AC=√3002+5002−2×300×500×(−12)=700.设AD =m ，CD =n ，在△ACD 中，由余弦定理得：7002=m 2+n 2−2mn ×12=(m +n )2−3mn ， 即mn =13[(m +n )2−7002].又由基本不等式得：mn ≤(m+n 2)2，当且仅当m =n 时，取等号， 即13[(m +n)2−7002]≤(m+n 2)2，则m +n ≤1400， 即L 取得最大值时，此时m =n =700，即此时CD =700m . 故选B . 12.【答案】 A【考点】数列与不等式的综合 等差关系的确定 等差数列的通项公式【解析】有递推关系得2n ⋅a n −2n−1⋅a n−1=1，可得数列{2n ⋅a n }是首项为3，公差为1的等差数列.则可求得a n =n+22n，再结合不等式恒成立条件求解即可.【解答】解：因为n ≥2时，a n =12a n−1+12n，所以2n a n =2n−1a n−1+1.又21a 1=3，所以数列{2n a n }是首项为3公差为1的等差数列，故2n a n =n +2，从而a n =n+22n .又因为λn ≥a n 恒成立，即λ≥n (n+2)2n恒成立，所以λ≥[n (n+2)2n] max ．由 {n(n+2)2n≥(n+1)(n+3)2n+1,n(n+2)2n≥(n−1)(n+1)2n−1)(n ∈N ∗) 得n =2，所以[n (n+2)2n]max=2×(2+2)22=2，所以λ≥2，即实数λ的最小值是2.故选A ． 二、填空题 【答案】−13【考点】运用诱导公式化简求值直接利用诱导公式求解即可. 【解答】解：∵ sin (α+π4)=13， ∴ sin (α−3π4)=sin [(α+π4)−π]=−sin (α+π4)=−13. 故答案为：−13. 【答案】−2【考点】等比数列的前n 项和 等比数列的通项公式【解析】利用等比数列通项与求和公式求出公比即可求解. 【解答】解：因为S 3=a 1+4，所以a 2+a 3=4，所以{a 1(q +q 2)=4,a 1q 3=−16,，解得q =−2.故答案为：−2. 【答案】√262【考点】 向量的模向量加减混合运算及其几何意义 【解析】由题根据平面向量的基本定理可得BM →=14AC →−34AB →，根据|BM →|=|14AC →−34AB →|=√(14AC →−34AB →)2，根据向量的数量积运算展开求解即可得解.【解答】解：因为AB =4，AC =2√2，∠BAC =45∘， 所以BC 2=16+8−2×4×2√2×√22=8，所以BC =2√2，从而BD =√2.因为M 是AD 的中点，所以2BM →=BA →+BD →. 因为BC =AC ，所以∠ABC =45∘，所以4BM →2=(BA →+BD →)2=BA →2+BD →2+2|BA →|⋅|BD →|⋅cos ∠ABD =26， 所以|BM →|2=BM →2=264，所以|BM →|=√262. 故答案为：√262. 【答案】(3−4ln 2,+∞)利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的最值 函数与方程的综合运用【解析】由题将问题转化为函数y =k 的图象和函数ℎ(x )=x 2−2x −4ln x +3(x >0)的图象有2个交点，求出函数ℎ(x )的导数ℎ′(x )，根据函数的单调性得到函数ℎ(x )有最小值，即可求解k 的取值范围.【解答】解：由已知，可得x −2=k−3+4ln xx有两个不等实根，即k =x 2−2x +3−4ln x 有两个不等实根．设ℎ(x )=x 2−2x +3−4ln x (x >0)， 则ℎ′(x )=2x −2−4x =2(x+1)(x−2)x，易知当x ∈(0,2)时，ℎ′(x )<0，故ℎ(x )在(0,2)上单调递减； 当x ∈(2,+∞)时，ℎ′(x )>0，故ℎ(x )在(2,+∞)上单调递增， 所以ℎ(x )min =ℎ(2)=3−4ln 2，所以k ∈(3−4ln 2,+∞). 故答案为：(3−4ln 2,+∞). 三、解答题 【答案】解：(1)根据题意可得{2x 1−y 1=0，x 12+y 12=1，因为0<α<π2，所以{x 1=√55，y 1=2√55，所以sin α=2√55，cos α=√55. 因为x 22+y 22=x 22+(7√210)2=1，0<β<π2，所以x 2=√210， 所以sin β=7√210，cos β=√210. sin (α+β)=2√55×√210+√55×7√210=9√1050 .(2)因为sin α=2√55>√22且0<α<π2，所以π4<α<π2， 所以0<2α−β<π .又sin 2α=2×2√55×√55=45，cos 2α=(√55)2−(2√55)2=−35，所以cos (2α−β)=(−35)×√210+45×7√210=√22， 所以2α−β=π4 . 【考点】二倍角的正弦公式 二倍角的余弦公式 两角和与差的正弦公式 任意角的三角函数 两角和与差的余弦公式 同角三角函数基本关系的运用 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)根据题意可得{2x 1−y 1=0，x 12+y 12=1，因为0<α<π2，所以{x 1=√55，y 1=2√55，所以sin α=2√55，cos α=√55. 因为x 22+y 22=x 22+(7√210)2=1，0<β<π2，所以x 2=√210 ， 所以sin β=7√210，cos β=√210. sin (α+β)=2√55×√210+√55×7√210=9√1050 .(2)因为sin α=2√55>√22且0<α<π2，所以π4<α<π2， 所以0<2α−β<π . 又sin 2α=2×2√55×√55=45， cos 2α=(√55)2−(2√55)2=−35，所以cos (2α−β)=(−35)×√210+45×7√210=√22， 所以2α−β=π4 . 【答案】解：(1)当n ≥3时，S n =S n−2+13(a n 2−a n−12)，所以a n +a n−1=S n −S n−2=13(a n 2−a n−12)，所以a n +a n−1=13(a n +a n−1)⋅(a n −a n−1).因为{a n }各项都为正数，所以a n +a n−1>0， 故a n −a n−1=3(n ≥3)． 又因为a 1=2，a 2=5， 所以a 2−a 1=3，故a n −a n−1=3(n ≥2)，所以数列{a n }是首项为2公差为3的等差数列， 故a n =3n −1． (2)因为1an ⋅a n+1=1(3n−1)⋅(3n+2)=13×(13n−1−13n+2)，所以T n =13×(12−15+15−18+⋯+13n−1−13n+2) =13×(12−13n+2)=n6n+4． 【考点】 数列的求和 等差关系的确定 等差数列的通项公式 【解析】 无 无 【解答】解：(1)当n ≥3时，S n =S n−2+13(a n 2−a n−12)， 所以a n +a n−1=S n −S n−2=13(a n 2−a n−12)，所以a n +a n−1=13(a n +a n−1)⋅(a n −a n−1).因为{a n }各项都为正数，所以a n +a n−1>0， 故a n −a n−1=3(n ≥3)． 又因为a 1=2，a 2=5， 所以a 2−a 1=3，故a n −a n−1=3(n ≥2)，所以数列{a n }是首项为2公差为3的等差数列， 故a n =3n −1．(2)因为1an ⋅a n+1=1(3n−1)⋅(3n+2)=13×(13n−1−13n+2)，所以T n =13×(12−15+15−18+⋯+13n−1−13n+2) =13×(12−13n+2)=n6n+4． 【答案】解：(1)因为m →⊥n →，所以m →⋅n →=0．因为m →=(√3cos A,cos A −1)，n →=(sin A,cos A +1)， 所以√3cos A sin A +cos 2A −1 =√32sin 2A +12cos 2A −12=sin (2A +π6)−12=0，所以sin (2A +π6)=12. 又因为A ∈(0,π)， 所以2A +π6∈(π6,13π6)，所以2A +π6=5π6，所以A =π3．(2)因为a 2=b 2+c 2−2bc cos A =b 2+c 2−bc ，且a =√7，所以b 2+c 2−bc =7． 联立{b 2+c 2−bc =7,b −c =1,解得{b =−2,c =−3,（舍）{b =3,c =2,所以△ABC 的周长a +b +c =√7+5． 【考点】二倍角的正弦公式 两角和与差的正弦公式 两角和与差的余弦公式 余弦定理数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解析】 无 无 【解答】解：(1)因为m →⊥n →，所以m →⋅n →=0．因为m →=(√3cos A,cos A −1)，n →=(sin A,cos A +1)， 所以√3cos A sin A +cos 2A −1 =√32sin 2A +12cos 2A −12=sin (2A +π6)−12=0，所以sin (2A +π6)=12. 又因为A ∈(0,π)， 所以2A +π6∈(π6,13π6)，所以2A +π6=5π6，所以A =π3．(2)因为a 2=b 2+c 2−2bc cos A =b 2+c 2−bc ，且a =√7，所以b 2+c 2−bc =7． 联立{b 2+c 2−bc =7,b −c =1,解得{b =−2,c =−3,（舍）{b =3,c =2,所以△ABC 的周长a +b +c =√7+5． 【答案】解：(1)根据已知可得当x =0时，t =1， 所以3−m0+1=1，所以m =2．改良品种投入x 万元时，销售额为ω=(4.75+x4)⋅(3−2x+1)=554+3x 4−9x+1，所以年利润y =554+3x 4−9x+1−4−x =394−x 4−9x+1(x ≥0)．当果农投入2万元改良品种时， 年利润为y 0=394−24−93=254=6.25，即该果农年利润为6.25万元． (2)因为x ≥0，所以x +1≥1， 所以y =394−x 4−9x+1=10−(x+14+9x+1)≤10−2√94=7，当且仅当x+14=9x+1(x ≥0)即x =5时等号成立，所以一年内应投入5万元改良品种，能使年利润最大，最大利润为7万元． 【考点】根据实际问题选择函数类型 函数最值的应用基本不等式在最值问题中的应用 【解析】无无【解答】解：(1)根据已知可得当x=0时，t=1，所以3−m0+1=1，所以m=2．改良品种投入x万元时，销售额为ω=(4.75+x4)⋅(3−2x+1)=554+3x4−9x+1，所以年利润y=554+3x4−9x+1−4−x=394−x4−9x+1(x≥0)．当果农投入2万元改良品种时，年利润为y0=394−24−93=254=6.25，即该果农年利润为6.25万元．(2)因为x≥0，所以x+1≥1，所以y=394−x4−9x+1=10−(x+14+9x+1)≤10−2√94=7，当且仅当x+14=9x+1(x≥0)即x=5时等号成立，所以一年内应投入5万元改良品种，能使年利润最大，最大利润为7万元．【答案】(1)解：当k=1时，f(x)=1+x⋅e x−(e x−1)，所以f′(x)=x⋅e x，当f′(x)>0时，x>0；当f′(x)<0时，x<0．所以f(x)的单调递减区间为(−∞,0)，单调递增区间为(0,+∞)．(2)证明：因为f(x)=1+x⋅e x−k(e x−1)，所以f′(x)=e x⋅[x−(k−1)].①当k≤1，x>0时，f′(x)>0恒成立，所以f(x)单调递增，所以f(x)>f(0)，而f(0)=1>0，所以f(x)>0恒成立；②1<k≤2，x>0时，由f′(x)>0得x>k−1；由f′(x)<0可得0<x<k−1，所以f(x)在(0,k−1)上单调递减，在(k−1,+∞)上单调递增，所以f(x)min=f(k−1)=1+k−e k−1．设g(x)=1+x−e x−1(1<x≤2)，则g′(x)=1−e x−1<0，所以g(x)在(1,2]上单调递减，故g(x)min=g(2)=3−e>0，所以f(x)min=1+k−e k−1>0，从而f(x)>0．综上，当x>0，k≤2时，f(x)>0．【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的单调性【解析】无无【解答】(1)解：当k =1时，f (x )=1+x ⋅e x −(e x −1)， 所以f ′(x )=x ⋅e x ，当f ′(x )>0时，x >0；当f ′(x )<0时，x <0．所以f(x)的单调递减区间为(−∞,0)，单调递增区间为(0,+∞)． (2)证明：因为f (x )=1+x ⋅e x −k (e x −1)， 所以f ′(x )=e x ⋅[x −(k −1)].①当k ≤1，x >0时，f ′(x )>0恒成立，所以f (x )单调递增， 所以f (x )>f (0)，而f (0)=1>0， 所以f (x )>0恒成立；②1<k ≤2，x >0时，由f ′(x )>0得x >k −1； 由f ′(x )<0可得0<x <k −1，所以f (x )在(0,k −1)上单调递减，在(k −1,+∞)上单调递增， 所以f (x )min =f (k −1)=1+k −e k−1．设g (x )=1+x −e x−1(1<x ≤2)，则g ′(x )=1−e x−1<0， 所以g (x )在(1,2]上单调递减， 故g (x )min =g (2)=3−e >0，所以f (x )min =1+k −e k−1>0，从而f (x )>0． 综上，当x >0，k ≤2时，f (x )>0． 【答案】解：(1)曲线C 是一个圆．由C ：ρ=2cos θ得ρ2=2ρcos θ，即x 2+y 2=2x ，整理得x 2+y 2−2x =0． (2)易知直线l:x −√3y −2=0的斜率为k =√33， 所以其倾斜角α=30∘，所以直线l 的参数方程为 {x =5+√32t,y =√3+12t （t 为参数）． 将直线l 的参数方程代入曲线x 2+y 2−2x =0中整理得： t 2+5√3t +18=0，易得Δ=3>0. 设该方程的两根分别为t 1和t 2， 则t 1+t 2=−5√3，t 1⋅t 2=18>0 ． 所以|PA|⋅|PB|=|t 1|⋅|t 2|=18． 【考点】圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化 直线的参数方程 参数方程的优越性【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)曲线C 是一个圆．由C ：ρ=2cos θ得ρ2=2ρcos θ，即x 2+y 2=2x ，整理得x 2+y 2−2x =0． (2)易知直线l:x −√3y −2=0的斜率为k =√33，所以其倾斜角α=30∘，所以直线l 的参数方程为 {x =5+√32t,y =√3+12t（t 为参数）． 将直线l 的参数方程代入曲线x 2+y 2−2x =0中整理得： t 2+5√3t +18=0，易得Δ=3>0. 设该方程的两根分别为t 1和t 2， 则t 1+t 2=−5√3，t 1⋅t 2=18>0 ． 所以|PA|⋅|PB|=|t 1|⋅|t 2|=18． 【答案】(1)解：f(x)=2|x −1|+|x +3|={−3x −1,x <−3,−x +5,−3≤x ≤1,3x +1,x >1,而f (x )≤6，所以{x <−3,−3x −1≤6或{−3≤x ≤1,−x +5≤6或{x >1,3x +1≤6,所以x ∈⌀或−1≤x ≤1或1<x ≤53，即−1≤x ≤53，所以不等式f (x )≤6的解集是[−1,53]． (2)证明：当x <−3时，f (x )=−3x −1>8，当−3≤x ≤1时，f (x )=−x +5∈[4,8]， x >1时，f (x )=3x +1>4， 综上，f(x)∈[4,+∞），即f (x )≥4恒成立． 【考点】绝对值不等式的解法与证明 【解析】 【解答】(1)解：f(x)=2|x −1|+|x +3|={−3x −1,x <−3,−x +5,−3≤x ≤1,3x +1,x >1,而f (x )≤6，所以{x <−3,−3x −1≤6或{−3≤x ≤1,−x +5≤6或{x >1,3x +1≤6,所以x ∈⌀或−1≤x ≤1或1<x ≤53，即−1≤x ≤53， 所以不等式f (x )≤6的解集是[−1,53]． (2)证明：当x <−3时，f (x )=−3x −1>8，当−3≤x ≤1时，f (x )=−x +5∈[4,8]， x >1时，f (x )=3x +1>4， 综上，f(x)∈[4,+∞），即f (x )≥4恒成立．。

成都七中2021-2021学年度上学期2021届高三阶段性测试数学试卷〔理科〕一，选择题〔每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合要求，把答案涂在答题卷上〕1，复数()21i z +=的虚部为( ) 2,{}2|x y y P ==, {}2|22=+=y x x Q ,那么Q P ⋂=A. []22-，B.()(){}1,1,1,1-- C,{}2,0 D,[]2,03,“2a >〞是“函数()x e a x x -+)(f 在()∞+，0上的极值〞的〔 〕 A,充分不必要条件 B 必要不充分条件C ，充要条件D ，既不充分也不必要条件4，假设如下图的程序框图输出S 是126，那么①可为〔 〕A. ?5n ≤B.?6n ≤C.?7n ≤D.?8n ≤5,某几何体的三视图如上图(右)所示，那么该几何体的体积为〔 〕 A. 23 B.1 C.21 D.31 6,关于函数()()R x x x f ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin 4π有如下命题，其中正确的个数有〔 〕 ①()x f =y 的表达式可改写为()()R x x x f ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62cos 4π； ②()x f =y 是以为π2最小周期的周期函数；③()x f =y 的图像关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,6π对称； ④()x f =y 的图像关于直线3x π=对称； 7，为抗击新冠病毒，某部门安排甲，乙，丙，丁，戊五名专家到三地指导防疫工作，因为工作需要，每地至少需安排一名专家，其中甲，乙两名专家必须安排在同一地工作，丙，丁两名专家不能安排在同一地工作，那么不同的分配方式总数为〔 〕8,在平面直角坐标系xoy 中，直线04:l =+-k y kx 与曲线29y x -=交于A,B 两点，且2=⋅AB AO ，那么k=( )A. 33B.22C.1D.3 9,如图，四棱锥S-ABCD 中，底面是边长2为的正方形ABCD ，AC 与BD 的交点为O ，SO ⊥平面ABCD 且2=SO ，E 是边BC 的中点，动点P 在四棱锥外表上运动，并且总保持AC PE ⊥，那么动点P 的轨迹的周长为( )10,定义域为R 的奇函数()x f 的周期为2，且]1,0(∈x 时()x x f 21log =， 假设函数()()x x f x F 2sinπ-=在区间[]()3m 3-->∈m Z m 且，上至少有5个零点，那么m 的最小值为〔〕 11,过抛物线E ：()02x 2>=p py .的焦点作两条相互垂直的弦AB,CD ，设P 为抛物线的一动点，()2,1Q 假设4111=+CD AB ，那么PQ PF +的最小值是〔〕 12,定义在R 上的奇函数()x f 满足()2/->x f，那么不等式()()()x x x x f 213ln 2312-+-<-的解集为〔〕 A.⎪⎭⎫ ⎝⎛e 10， B.()10， C.()e 1， D .⎪⎭⎫ ⎝⎛e ,e 1 二，填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。