2020中考数学专题复习,动点问题导学案+近三年中考数学分析

中考数学专题复习《动点-----分类讨论》导学案教材分析1.本节课是初三中考二轮复习中的动点问题的难点，在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．2.二轮复习动点问题分为三个课题（1）探究两条直线的位置关系（2）探究几何图形面积的函数关系式（3）分类讨论思想的运用3.本课题分为两节课，本节课是第一节，主要内容是在点动和线动的情况下，利用分类讨论的方法探究几何图形的形状：第二节是在折线运动或图形运动的情况下，利用分类讨论的方法探究。

3.本课对学生的动手能力，观察能力都有一定的要求，对培养学生灵活的思维，提高学生解决实际问题的能力都有重要的意义。

4.本课内容安排上难度和强度较高，适合学生讨论，可以充分开展合作学习，培养学生的合作精神和团队竞争的意识。

学情分析1.授课班级学生基础较好，教学中应给予充分思考，讨论，展示的时间。

2、该班级学生在平时训练中已经形成了良好的合作精神和合作气氛，可以充分发挥合作的优势，兼顾效率和平衡。

学习目标知识目标：体验分类讨论在动点问题的运用，灵活运用相似三角形的性质，勾股定理技能目标：理解分类讨论思想的使用，学会运用分类思想观察思考，学会通过画图“由动转静”解决动点问题，灵活运用等腰（直角）三角形的思想整体观察对象，总结一些有益的结论。

重点和难点重点：理解并学会用分类讨论的思想解决问题难点：1.学会通过画图“由动转静”解决动点问题2.，学会加辅助线分割三角形或构造三角形课前思考：1：当三角形ABC的角满足什么条件时是直角三角形2：当三角形ABC的边满足什么条件时是等腰三角形引入：把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想。

例题：如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10cm ，BC=6cm ，E 点以2cm/秒的速度在线段AB 上由A 向B 匀速运动，F 点同时以1cm/秒的速度在线段BC 上由B 向C 匀速运动，设运动时间为t 秒（0＜t ＜5).1.求当t 为何值时，△BEF 为直角三角形？；2.当t 为何值时，△BEF 为等腰三角形？3. 伴随着E 、F 的运动，直线a 保持垂直平分EF ，且交EF 于点M ，当直线a 与AC 交与点N 时，四边形ANME 能否成为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由变形练习：. 如图，三角形ABC 中，∠ABC=90°，AB=8， BC=16，直线AM 从A 点出发，始终保持与BC 平行，并以每秒1个单位的速度向BC 移动，交AB 于E ，交AC 于F ，同时点P 从C 点出发，沿CB 方向以每秒3个单位的速度向点B 移动. 当P 点移动到点B 时，停止运动，同时直线EF 也停止运动，设移动时间为t 秒，解答下列问题： 当t 为何值时，ΔPEF 是直角三角形？CFEBA拓展练习. 如图，在Rt ABC △中，90A ∠=，6AB =，8AC =，D E ，分别是边AB AC ，的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于Q ，过点Q 作QR BA ∥交AC 于R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ x = 1）点D 到BC 的距离DH 的长=2）是否存在点P ，使PQR △不存在，请说明理由．感悟和收获1.分类讨论的原则是不重复、不遗漏 。

中考经典几何题系列：动点存在性问题目录一、建立函数解析式二、动态几何型压轴题三、双动点问题四、函数中因动点产生的相似三角形问题五、圆的动点问题六、经典练习题（一）七、经典练习题（二）“动点存在性问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静.数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式例1（上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G.(1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围).(3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长.解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH 中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=32NH=2132⋅OP=2.(2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=, ∴2362121x OH MH -==. 在Rt △MPH 中,.∴y =GP=32MP=233631x + (0<x <6). (3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况:①GP=PH 时,x x =+233631,解得6=x . 经检验, 6=x 是原方程的根,且符合题意.②GP=GH 时, 2336312=+x ,解得0=x . 经检验, 0=x 是原方程的根,但不符合题意.③PH=GH 时,2=x .综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2. 二、应用比例式建立函数解析式例2（山东）如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式；2222233621419x x x MH PH MP +=-+=+=HM NGPOAB图1x y(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°.∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB,∴△ADB ∽△EAC, ∴ACBD CEAB =,∴11x y =, ∴xy 1=. (2)由于∠DAB+∠CAE=αβ-,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=290α-︒,且函数关系式成立,∴290α-︒=αβ-, 整理得=-2αβ︒90.当=-2αβ︒90时,函数解析式x y 1=成立.例3（上海)如图3(1),在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O 是边AC 上的一个动点,以点O 为圆心作半圆,与边AB 相切于点D,交线段OC 于点E.作EP ⊥ED,交射线AB 于点P,交射线CB 于点F.(1)求证: △ADE ∽△AEP.(2)设OA=x ,AP=y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域.(3)当BF=1时,求线段AP 的长.解:(1)连结OD. 根据题意,得OD ⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP.又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE ∽△AEP.(2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠ABC=∠ADO=90°, ∴OD ∥BC, ∴53x OD =,54xAD =, ∴OD=x 53,AD=x 54. ∴AE=x x 53+=x 58.∵△ADE ∽△AEP, ∴AE AD AP AE =, ∴x x yx 585458=. ∴x y 516= (8250≤<x ). (3)当BF=1时，①若EP 交线段CB 的延长线于点F,如图3(1)，则CF=4.AED CB 图2A 3(2)3(1)∵∠ADE=∠AEP, ∴∠PDE=∠PEC. ∵∠FBP=∠DEP=90°, ∠FPB=∠DPE, ∴∠F=∠PDE, ∴∠F=∠FEC, ∴CF=CE.∴5-x 58=4,得85=x .可求得2=y ,即AP=2.②若EP 交线段CB 于点F,如图3(2), 则CF=2. 类似①,可得CF=CE.∴5-x 58=2,得815=x .可求得6=y ,即AP=6.综上所述, 当BF=1时,线段AP 的长为2或6.三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4（上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y .(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域.(2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积.解:(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H. ∵∠BAC=90°,AB=AC=22, ∴BC=4,AH=21BC=2. ∴OC=4-x .∵AH OC S AOC ⋅=∆21, ∴4+-=x y (40<<x ).(2)①当⊙O 与⊙A 外切时,在Rt △AOH 中,OA=1+x ,OH=x -2, ∴222)2(2)1(x x -+=+. 解得67=x . 此时,△AOC 的面积y =617674=-. ②当⊙O 与⊙A 内切时,在Rt △AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x , ∴222)2(2)1(-+=-x x . 解得27=x . 此时,△AOC 的面积y =21274=-. 综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为617或21. AB CO图8HC动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

中考数学专题：动点型问题一、中考专题诠释所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.“动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。

二、解题策略和解法精讲解决动点问题的关键是“动中求静”.从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

三、中考考点精讲考点一：建立动点问题的函数解析式（或函数图像）函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.（一）应用勾股定理建立函数解析式（或函数图像）例1 如图，正方形ABCD的边长为a，动点P从点A出发，沿折线A→B→D→C→A的路径运动，回到点A时运动停止．设点P运动的路程长为长为x，AP长为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．对应训练1．如图，正△ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（秒），y=PC2，则y关于x的函数的图象大致为（）．．A B C．D．（二）应用比例式建立函数解析式（或函数图像）例2 、如图，直角梯形AOCD的边OC在x轴上，O为坐标原点，CD垂直于x轴，D（5，4），AD=2．若动点E、F同时从点O出发，E点沿折线OA→AD→DC运动，到达C点时停止；F点沿OC运动，到达C点是停止，它们运动的速度都是每秒1个单位长度．设E运动秒x时，△EOF的面积为y（平方单位），则y关于x的函数图象大致为（）A．B．C．D．对应训练2．、如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点P在射线AC上运动，过点P作PH⊥AB，垂足为H．（1）直接写出线段AC、AD及⊙O半径的长；（2）设PH=x，PC=y，求y关于x的函数关系式；（3）当PH与⊙O相切时，求相应的y值．（三）应用求图形面积的方法建立函数关系式例3 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，D为BC的中点．（1）若E、F分别是AB、AC上的点，且AE=CF，求证：△AED≌△CFD；（2）当点F、E分别从C、A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA、AB运动，到点A、B时停止；设△DEF的面积为y，F点运动的时间为x，求y与x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，点F、E分别沿CA、AB的延长线继续运动，求此时y与x的函数关系式．对应训练3．、如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动，当P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动．设P点运动的时间为t，△APQ的面积为S，则S与t的函数关系的图象是（）A．B．C．D．考点二：动态几何型压轴题点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力.动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

专题：折叠类题目中的动点问题折叠问题是中考的热点也是难点问题，通常与动点问题结合起来，这类问题的题设通常是将某个图形按一定的条件折叠，通过分析折叠前后图形的变换，借助轴对称性质、勾股定理、全等三角形性质、相似三角形性质、三角函数等知识进行解答。

此类问题立意新颖，充满着变化，要解决此类问题，除了能根据轴对称图形的性质作出要求的图形外，还要能综合利用相关数学模型及方法来解答。

类型一、求折叠中动点运动距离或线段长度的最值例1. 动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5. 如图例1-1所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A’处，折痕为PQ，当点A’在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动. 若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A’在BC边上可移动的最大距离为 .图例1-1【答案】2.【解析】此题根据题目要求准确判断出点A'的最左端和最右端位置.当点Q与点D重合时，A'的位置处于最左端，当点P与点B重合时，点A'的位置处于最右端. 根据分析结果，作出图形，利用折叠性质分别求出两种情况下的BA'或CA'的长度，二者之差即为所求.①当点Q与点D重合时，A'的位置处于最左端，如图例1-2所示.确定点A'的位置方法：因为在折叠过程中，A'Q=AQ，所以以点Q为圆心，以AQ长为半径画弧，与BC的交点即为点A'. 再作出∠A'QA的角平分线，与AB的交点即为点P.图例1-2 图例1-3由折叠性质可知，AD= A'D=5，在Rt△A'CD中，由勾股定理得，A C==='4②当点P与点B重合时，点A'的位置处于最右端，如图例1-3所示.确定点A'的位置方法：因为在折叠过程中，A'P=AP，所以以点P为圆心，以AP长为半径画弧，与BC的交点即为点A'. 再作出∠A'PA的角平分线，与AD的交点即为点Q.由折叠性质可知，AB= A'B=3，所以四边形AB A'Q为正方形.所以A'C=BC－A'B=5－3=2.综上所述，点A移动的最大距离为4－2=2.故答案为：2.【点睛】此类问题难度较大，主要考察学生的分析能力，作图能力。

中考复习课《中考动态问题》导学案【导学目标】1、使学生理解并掌握中考试题中常见的动点、动线及图形运动问题。

2、让学生学会用数形结合、分类讨论等数学思想来构建方程、函数模型,培养学生的数学思维能力、3、让学生在合作交流的学习过程中,体验动态问题中的分类讨论思想,体验到成功的乐趣,从而增强学习数学的自信心。

【导学重点】动态问题中的分类讨论思想,注意分类讨论周全,不要遗漏。

【导学难点】利用相关的知识和方法(如方程、函数、相似等)进行探究,寻找各个相关几何量之间的关系,构建相应的数学模型进行求解、【导学过程】一、专题介绍动态问题越来越成为中考的重中之重,也是特别多学生较困惑的题型。

首先要明确动态问题的题型特点,深刻理解解题要领在哪里,再加上具备扎实的基础知识,答好动态问题并没有那么难。

理解以下四点特别关键:1、动非静,易生变,要有充分的分类讨论意识。

２、运动的过程能够理解为由无数个静止时刻构成,因此所求问题大致有三种形式:极值、定值、特别值。

3、尝试动手画图,作出符合要求的基本示意图。

4、方程求值、函数求值(极值)意识、二、典例剖析例1 如图,⊙O的半径为2,点O到直线ｌ的距离为3,,点Ｐ是直线l上的一个动点,PQ切⊙O 于点Q,则PQ的最小值为、【设计意图】考查动态问题中点在特别时刻或点运动到特别位置时取最值。

【解析过程】步骤一:审题,特别时刻为“PQ取最小值时”。

步骤二:作图,线段PＱ的长度与线段ＰO有关,即存在ＰQ2＝ＰO2—OQ2,当ＰO最小时(ＰO⊥l),PＱ取最小值,如图、步骤三:求值。

利用提示图的特别时刻性质PQ2＝ＰO2—OQ２计算求值、答案:变式练习:如图,⊙Ｏ是以原点为圆心,为半径的圆,点P是直线上的一点,过点P作⊙O的一条切线PQ,Q为切点,则切线长ＰQ的最小值为、例2 (2019,吉林)如图,菱形AＢCＤ中,对角线AＣ,BD相交于点O,且AC=6cm,BD=８cm,动点Ｐ,Q分别从点B,D同时出发,运动速度均为１cｍ／s,点P沿B→C→D运动,到点Ｄ停止,点Q沿D→O→Ｂ运动,到点O停止１s后接着运动,到Ｂ停止,连接AP,AQ,ＰQ。

专题七几何图形动点运动问题【考题研究】几何动点运动问题，是以几何知识和具体的几何图形为背景，渗透运动变化的观点，通过点、线、形的运动，图形的平移、翻折、旋转等把图形的有关性质和图形之间的数量关系位置关系看作是在变化的、相互依存的状态之中，要求对运动变化过程伴随的数量关系的图形的位置关系等进行探究．对学生分析问题的能力，对图形的想象能力，动态思维能力的培养和提高有着积极的促进作用．动态问题，以运动中的几何图形为载体所构建成的综合题，它能把几何、三角、函数、方程等知识集于一身，题型新颖、灵活性强、有区分度，受到了人们的高度关注，同时也得到了命题者的青睐，动态几何问题，常常出现在各地的中考数学试卷中．【解题攻略】几何动点运动问题通常包括动点问题、动线问题、面动问题，在考查图形变换(含三角形的全等与相似)的同时常用到的不同几何图形的性质，以三角形四边形为主，主要运用方程、函数、数形结合、分类讨论等数学思想．【解题类型及其思路】动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。

利用动点（图形）位置进行分类，把运动问题分割成几个静态问题，然后运用转化的思想和方法将几何问题转化为函数和方程问题,利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质（或所求图形面积）直接转化为函数或方程。

解题类型：几何动点运动问题常见有两种常见类型：(1)利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质直接转化为函数或方程；(2)根据运动图形的位置分类，把动态问题分割成几个静态问题，再将几何问题转化为函数和方程问题【典例指引】类型一【探究动点运动过程中线段之间的数量关系】【典例指引1】在△ABC中，△ACB＝45°，点D为射线BC上一动点（与点B、C不重合），连接AD，以AD为一边在AD右侧作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC，如图1，且点D在线段BC上运动，判断△BAD△CAF（填“＝”或“≠”），并证明：CF△BD（2）如果AB≠AC，且点D在线段BC的延长线上运动，请在图2中画出相应的示意图，此时（1）中的结论是否成立？请说明理由；（3）设正方形ADEF的边DE所在直线与直线CF相交于点P，若AC＝42，CD＝2，求线段CP的长．【举一反三】如图1，点C在线段AB上，（点C不与A、B重合），分别以AC、BC为边在AB同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点P（1）观察猜想：①线段AE与BD的数量关系为_________；②△APC的度数为_______________（2）数学思考：如图2，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明（3）拓展应用：如图3，分别以AC、BC为边在AB同侧作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，其中△ACD=△BCE=90°，CA=CD，CB=CE，连接AE=BD交于点P，则线段AE与BD的关系为________________类型二 【确定动点运动过程中的运动时间】【典例指引2】已知：如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC 的项点B 的坐标是(6,4).（1）直接写出A 点坐标（______，______），C 点坐标（______，______）；（2）如图，D 为OC 中点.连接BD ，AD ，如果在第二象限内有一点(),1P m ，且四边形OADP 的面积是ABC ∆面积的2倍，求满足条件的点P 的坐标；（3）如图，动点M 从点C 出发，以每钞1个单位的速度沿线段CB 运动，同时动点N 从点A 出发.以每秒2个单位的連度沿线段AO 运动，当N 到达O 点时，M ，N 同时停止运动，运动时间是t 秒()0t >，在M ，N 运动过程中.当5MN =时，直接写出时间t 的值.【举一反三】如图，△ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AB △AC ，AB ＝3，BC ＝5，点P 从点A 出发，沿AD 以每秒1个单位的速度向终点D 运动．连结PO 并延长交BC 于点Q ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）求BQ 的长，（用含t 的代数式表示）（2）当四边形ABQP 是平行四边形时，求t 的值（3）当点O 在线段AP 的垂直平分线上时，直接写出t 的值．类型三 【探究动点运动过程中图形的形状或图形之间的关系】【典例指引3】已知矩形ABCD 中，10cm AB =，20cm BC =，现有两只蚂蚁P 和Q 同时分别从A 、B 出发，沿AB BC CD DA =--方向前进，蚂蚁P 每秒走1cm ，蚂蚁Q 每秒走2cm ．问：（1）蚂蚁出发后△PBQ 第一次是等腰三角形需要爬行几秒?（2）P 、Q 两只蚂蚁最快爬行几秒后，直线PQ 与边AB 平行?【举一反三】如图，平面直角坐标系中，直线l 分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点（AO <AB ）且AO 、AB 的长分别是一元二次方程x 2-3x +2=0的两个根，点C 在x 轴负半轴上，且AB ：AC =1:2.（1）求A、C两点的坐标；（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM 的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．类型四【探究动点运动过程中图形的最值问题】【典例指引4】如图，抛物线y＝ax2﹣34x+c与x轴相交于点A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴相交于点C，连接AC，BC，以线段BC为直径作△M，过点C作直线CE△AB，与抛物线和△M分别交于点D，E，点P在BC下方的抛物线上运动．（1）求该抛物线的解析式；（2）当△PDE是以DE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）当四边形ACPB的面积最大时，求点P的坐标并求出最大值．【举一反三】已知：如图.在△ABC中.AB=AC=5cm，BC=6cm.点P由B出发，沿BC方向匀速运动.速度为1cm/s.同时，点Q从点A出发，沿AC方向匀速运动.速度为1cm/s，过点P作PM⊥BC交AB于点M，过点Q作QN⊥BC，垂足为点N，连接MQ，若设运动时间为t(s)(0<t<3)，解答下列问题：（1）当t为何值时，点M是边AB中点?（2）设四边形PNQM的面积为y(cm2)，求出y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S四边形PNQM:S△ABC=4:9?若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）是否存在某一时刻t，使四边形PNQM为正方形?若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由.【新题训练】1．如图①，△ABC是等边三角形，点P是BC上一动点（点P与点B、C不重合），过点P 作PM△AC交AB于M，PN△AB交AC于N，连接BN、CM．（1）求证：PM+PN＝BC；（2）在点P的位置变化过程中，BN＝CM是否成立？试证明你的结论；（3）如图②，作ND△BC交AB于D，则图②成轴对称图形，类似地，请你在图③中添加一条或几条线段，使图③成轴对称图形（画出一种情形即可）．2．如图，在矩形ABCD中，AB=18，AD=12，点M是边AB的中点，连结DM，DM与AC 交于点G，点E，F分别是CD与DG上的点，连结EF，(1)求证：CG =2AG .(2)若DE =6，当以E ，F ，D 为顶点的三角形与△CDG 相似时，求EF 的长.(3)若点E 从点D 出发，以每秒2个单位的速度向点C 运动，点F 从点G 出发，以每秒1个单位的速度向点D 运动.当一个点到达，另一个随即停止运动.在整个运动过程中，求四边形CEFG 的面积的最小值.3．知识链接：将两个含30°角的全等三角尺放在一起，让两个30°角合在一起成60°，经过拼凑、观察、思考，探究出结论“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”． 如图，等边三角形ABC 的边长为4cm ，点D 从点C 出发沿CA 向A 运动，点E 从B 出发沿AB 的延长线BF 向右运动，已知点D 、E 都以每秒0.5cm 的速度同时开始运动，运动过程中DE 与BC 相交于点P ，设运动时间为x 秒．(1)请直接写出AD 长．（用x 的代数式表示）(2)当△ADE 为直角三角形时，运动时间为几秒？(3)求证：在运动过程中，点P 始终为线段DE 的中点．4．如图所示，已知抛物线2(0)y ax a =≠与一次函数y kx b =+的图象相交于(1,1)A --，(2,4)-B 两点，点P 是抛物线上不与A ，B 重合的一个动点.（1）请求出a ，k ，b 的值；（2）当点P 在直线AB 上方时，过点P 作y 轴的平行线交直线AB 于点C ，设点P 的横坐标为m ，PC 的长度为L ，求出L 关于m 的解析式；（3）在（2）的基础上，设PAB ∆面积为S ，求出S 关于m 的解析式，并求出当m 取何值时，S 取最大值，最大值是多少？5．已知：如图，在矩形ABCD 中，AC 是对角线，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ．点P 从点D 出发，沿DC 方向匀速运动，速度为1cm /s ，同时，点Q 从点C 出发，沿CB 方向匀速运动，速度为2cm /s ，过点Q 作QM △AB 交AC 于点M ，连接PM ，设运动时间为t （s ）（0＜t ＜4）．解答下列问题：（1）当t 为何值时，△CPM ＝90°；（2）是否存在某一时刻t ，使S 四边形MQCP ＝ABCD1532S 矩形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（3）当t 为何值时，点P 在△CAD 的角平分线上．6．在等边三角形ABC 中，点D 是BC 的中点，点E 、F 分别是边AB 、AC （含线段AB 、AC 的端点）上的动点，且△EDF ＝120°，小明和小慧对这个图形展开如下研究：问题初探：（1）如图1，小明发现：当△DEB ＝90°时，BE +CF ＝nAB ，则n 的值为 ； 问题再探：（2）如图2，在点E 、F 的运动过程中，小慧发现两个有趣的结论：①DE 始终等于DF ；②BE 与CF 的和始终不变；请你选择其中一个结论加以证明．成果运用:（3）若边长AB ＝8，在点E 、F 的运动过程中，记四边形DEAF 的周长为L ，L ＝DE +EA +AF +FD ，则周长L 取最大值和最小值时E 点的位置?7．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8cm ，BC ＝16cm ，点P 从点D 出发向点A 运动，运动到点A 停止，同时，点Q 从点B 出发向点C 运动，运动到点C 即停止，点P 、Q 的速度都是1cm /s ．连接PQ 、AQ 、CP ．设点P 、Q 运动的时间为ts ．(1)当t 为何值时，四边形ABQP 是矩形；(2)当t 为何值时，四边形AQCP 是菱形；(3)分别求出(2)中菱形AQCP 的周长和面积．8．如图，O 为菱形ABCD 对角线的交点，M 是射线CA 上的一个动点（点M 与点C 、O 、A 都不重合），过点A 、C 分别向直线BM 作垂线段，垂足分别为E 、F ，连接OE ，OF ．（1）①依据题意补全图形；②猜想OE 与OF 的数量关系为_________________.（2）小东通过观察、实验发现点M 在射线CA 上运动时，（1）中的猜想始终成立． 小东把这个发现与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明（1）中猜想的几种想法： 想法1：由已知条件和菱形对角线互相平分，可以构造与△OAE 全等的三角形，从而得到相等的线段，再依据直角三角形斜边中线的性质，即可证明猜想；想法2：由已知条件和菱形对角线互相垂直，能找到两组共斜边的直角三角形，例如其中的一组△OAB 和△EAB ，再依据直角三角形斜边中线的性质，菱形四边相等，可以构造一对以OE 和OF 为对应边的全等三角形，即可证明猜想．……请你参考上面的想法，帮助小东证明（1）中的猜想（一种方法即可）．（3）当△ADC =120°时，请直接写出线段CF ，AE ，EF 之间的数量关系是_________________．9．（1）（问题情境）小明遇到这样一个问题：如图①，已知ABC ∆是等边三角形，点D 为BC 边上中点，60ADE ∠=︒，DE 交等边三角形外角平分线CE 所在的直线于点E ，试探究AD 与DE 的数量关系．小明发现：过D 作//DF AC ，交AB 于F ，构造全等三角形，经推理论证问题得到解决．请直接写出AD 与DE 的数量关系，并说明理由．（2）（类比探究）如图②，当D 是线段BC 上（除,B C 外）任意一点时（其他条件不变）试猜想AD 与DE 的数量关系并证明你的结论．（3）（拓展应用）当D 是线段BC 上延长线上，且满足CD BC =（其他条件不变）时，请判断ADE ∆的形状，并说明理由．10．如图，直线y =﹣23x +4与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，抛物线y =ax 2+103x +c 经过B 、C 两点． （1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，当△BEC 面积最大时，请求出点E 的坐标；（3）在（2）的结论下，过点E 作y 轴的平行线交直线BC 于点M ，连接AM ，点Q 是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得以P 、Q 、A 、M 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．11．如图，边长为4的正方形ABCD 中，点P 是边CD 上一动点，作直线BP ，过A 、C 、D 三点分别作直线BP 的垂线段，垂足分别是E 、F 、G ．（1）如图（a ）所示，当CP ＝3时，求线段EG 的长； （2）如图（b ）所示，当△PBC ＝30°时，四边形ABCF 的面积；（3）如图（c ）所示，点P 在CD 上运动的过程中，四边形AECG 的面积S 是否存在最大值？如果存在，请求出△PBC 为多少度时，S 有最大值，最大值是多少？如果不存在，请说明理由．12．已知：如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，90ACB ∠=︒，10cm AB =，8cm BC =，OD 垂直平分A C .点P 从点B 出发，沿BA 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，点Q 从点D 出发，沿DC 方向匀速运动，速度为1cm/s ；当一个点停止运动，另一个点也停止运动.过点P 作PE AB ⊥，交BC 于点E ，过点O 作//QF AC ，分别交AD ，OD 于点F ，G .连接OP ，EG .设运动时间为()t s ()05t <<，解答下列问题：(1)当t 为何值时，点E 在BAC ∠的平分线上？ (2)设四边形PEGO 的面积为()2mS c ，求S 与t 的函数关系式.(3)连接OE ，OQ ，在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使OE OQ ⊥？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.13．已知：如图1，矩形OABC 的两个顶点A ，C 分别在x 轴，y 轴上，点B 的坐标是（8，2），点P 是边BC 上的一个动点，连接AP ，以AP 为一边朝点B 方向作正方形PADE ，连接OP 并延长与DE 交于点M ，设CP ＝a （a ＞0）． （1）请用含a 的代数式表示点P ，E 的坐标．（2）连接OE ，并把OE 绕点E 逆时针方向旋转90°得EF ．如图2，若点F 恰好落在x 轴的正半轴上，求a 与EMDM的值． （3）①如图1，当点M 为DE 的中点时，求a 的值．②在①的前提下，并且当a ＞4时，OP 的延长线上存在点Q ，使得EQ +22PQ 有最小值，请直接写出EQ +22PQ 的最小值．14．如图，边长为6的正方形ABCD 中，,E F 分别是,AD AB 上的点，AP BE ⊥，P 为垂足．（1）如图①， AF =BF ，AE =23，点T 是射线PF 上的一个动点，则当△ABT 为直角三角形时，求AT 的长；（2）如图②，若AE AF =，连接CP ，求证：CP FP ⊥．15．边长相等的两个正方形ABCO 、ADEF 如图摆放，正方形ABCO 的边OA 、OC 在坐标轴上，ED 交线段OC 于点G ，ED 的延长线交线段BC 于点P ，连AG ，已知OA 3 （1）求证：AOG ADG ∆≅∆;（2）若12∠=∠，AG =2，求点G 的坐标；（3）在（2）条件下，在直线PE 上找点M ，使以M 、A 、G 为顶点的三角形是等腰三角形，求出点M 的坐标.16．定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“梦想四边形”。

《动点问题解析专题》教学设计一、教学目标：1、了解动点问题——动点问题中的特殊图形的基础知识、基本方法、注意事项。

2、理解掌握转化思想、分类讨论思想、方程、函数思想在动点问题中的灵活运用。

二、教学重点：1、学会解决动点问题的基本思路与方法，熟练解决等腰三角形、直角三角形、面积问题等基本题型。

2、理解数学的几种常用数学思想与数学方法。

三、教学难点：1、数学方法的综合运用2、动点问题的基本分析思路四、教学方法：多媒体直观演示、自主探究、小组合作、共同探究、分类讨论五、教学过程：（一）、通过教师寄语“成功是优点的发挥，失败是缺点的积累。

希望每个同学都能扬长避短！”提高学生的学习积极性。

分析动点、动线、动形问题的特点，引出本节课的题目：动点问题。

再给学生分析莱芜最近五年的中考题中所涉及到的题目，让学生从心理上重视起来，引起学生学习的积极性。

学生的积极性上来了，趁热打铁引出本节课的教学目标，让学生知道本节课的任务。

（二）、本节课的第一个题目就是等腰三角形问题。

考点探究一：1、如图：已知平行四边形ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30°(1)点P从点A沿边AB向点B运动，速度为1cm/s,时间为t(s). 当t为何值时，△PBC为等腰三角形？D CAB这个题目就是让学生理解等腰三角形有三种可能，虽然这个题只有一种可能，但是必须说明其他两种不可能的理由。

学生解答完了教师要问一句如果点P在射线AB上的时候会有啥结果？提高学生的分析能力、分类思想数形结合能力。

[变式一](2)若点P从点A沿射线 AB运动，速度仍是1cm/s。

当t为何值时，△PBC为直角三角形？[变式二]（3）是否存在某一时刻t,使得△PBC面积为6 cm2？紧跟着的两个变式训练，就是让学生体会刚才题目的分析思路，然后按照这种方法自己解决问题，体验成功的喜悦。

（三）、考点探究二2、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm， BC=8cm，点P由点A 出发，沿AC向C运动，速度为2cm/s，同时点Q由AB中点D出发，沿DB向B运动，速度为1cm/s，连接PQ，若设运动时间为t(s)，（1）当t(0＜t ≤3)为何值时， PQ∥BC?ACB这个例题重点让学生体会相似的作用。

教学设计教学准备学案、课件板书设计2.4拓展综合类—动点问题（1）学生展示1.2.3 1.表示线段的方法：书写必要的步骤勾股定理、相似、三角函数。

2.解决问题的方法：数形结合定相似，比例线段构方程3.数学思想：分类讨论，数形结合、建模思想。

教学过程教学环节及内容教师活动学生活动一、【课前热身】1.如图，已知在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动,速度为2cm/s；连接PQ.若设运动的时间为t（s）(0<t≤4),解答下列问题：(1)当t= 何值时，PQ∥CB？(2)当t= 为何值时，PQ⊥CB？(3)当t= 何值时，△APQ为直角三角形？思考：当t为何值时，△APQ为等腰三角形？方法小结：1. .2. .设计意图：将24题的考点进行分层，这3个题目很简单，通过课后合学，都能解决。

这样既可以增强学生的信心，消除恐惧感，也可以让学生体会到参与的快乐。

教学策略：学生课前已经完成，教师上课时引导学生展示解决这3个题目的方法.【基础探究】例1. 接上题.（4）当t为何值时，△APQ为等腰三角形.方法小结： .变式：连接PC将△PQC沿着AC翻折得到△P’QC,问当t= 何值时，若四边形PQP’C是菱形.设计意图：1.落实步骤的规范性，注意方法多样化和最优化，关注不同的思维方式.2.从图形的角度引导学生要时刻关注动态过程中的静态图形，从而降低题目难度，突出重点，突破难点，真正的理解数形结合的含义。

出示动点问题的考题分析，让学生了解此题的分值，内容等，然后结合课后的合学成果，选择学生进行讲述。

并给予学生恰当的评价。

引导学生归纳解题步骤及方法。

引导学生分析题意：并提出三个问题：1.当△APQ为等腰三角形时，有几种情况？2.画出这一时刻的静态图形？3.结合图形，找出等量关系解决学生结合课后的合学，小组推荐人员讲解，并板书必要的解题过程。

2021-2021学年度第二学期九年级数学学科导教案课题动点课型复习讲课时间总第课时主备人审查人九年级数学集班级姓名备组【学习目标】1.娴熟掌握平面几何图形的性质2.可以在几何图形运动变化过程中发现存在的数目关系或规律教课过程【知识重点】师生活动典型例题错题笔录：如图，在Rt △ ACB中，∠ C=90°， AC=8cm,BC=6cm，点 P 由 B 出发沿 BA方向向点 A 匀速运动，速度为 1cm/s ；点 Q由 A 出发沿 AC方向向点 C 匀速运动，速度为2cm/s ；连结 PQ.假定设运动时间为 t(s)(0 ＜t ≤4) ，解答以下问题 :(1) 当 t 为什么值时， PQ∥ BC?PBACQ〔 2〕当 t 为什么值时， PQ⊥ AB?〔 3〕当 t 为什么值时，△ APQ为直角三角形 ?〔 4〕当 t 为什么值时，△ APQ为等腰三角形 ?(5)设△ AQP的面积为 y(cm2) ，求 y 与 t 之间的函数关系式 .〔 6〕当 t 为什么值时，△ AQP的面积有最大值？恳求出最大值.〔 7〕能否存在某一时辰 t ，使 PQ分△ ACB两局部的面积 S△AQP:S 四边形PQBC=2：3?假定存在，求出此时 t 的值；假定不存在，请说明原因 .〔 8〕能否存在某一时辰t ，使线段PQ恰巧把 Rt △ACB的周长和面积同时均分?假定存在，求出此时t 的值 ; 假定不存在，说出原因.（9〕能否存在某一时辰 t ，使 PQ的垂直均分线经过点 B?假定存在，求出此时 t 的值 ;假定不存在，说出原因 .〔 10〕能否存在某一时辰 t ，使 BQ均分∠ ABC?假定存在，求出此时 t 的值 ; 假定不存在，说出原因 .’〔 11〕连结 PC，并把△ PQC沿 QC翻折，获得四边形PQPC，那么能否存在某一时刻 t ，使四边形’t 的值 ; 假定不存在，说明原因 .PQP C 为菱形？假定存在，求出〔 12〕取 PQ的中点 O， AP 的中点 G，连结 OG，问能否存在某一时辰 t ，使以 O 为圆心， OG为半径的圆与AC相切？假定存在，求出此时 t 的值 ; 假定不存在，说出原因.反省感悟检测反响：分层作业：A组：B组：C组：。

《动点问题解析专题》教学设计一、教学目标：1、了解动点问题——动点问题中的特殊图形的基础知识、基本方法、注意事项。

2、理解掌握转化思想、分类讨论思想、方程、函数思想在动点问题中的灵活运用。

二、教学重点：1、学会解决动点问题的基本思路与方法，熟练解决等腰三角形、直角三角形、面积问题等基本题型。

2、理解数学的几种常用数学思想与数学方法。

三、教学难点：1、数学方法的综合运用2、动点问题的基本分析思路四、教学方法：多媒体直观演示、自主探究、小组合作、共同探究、分类讨论五、教学过程：（一）、通过教师寄语“成功是优点的发挥，失败是缺点的积累。

希望每个同学都能扬长避短！”提高学生的学习积极性。

分析动点、动线、动形问题的特点，引出本节课的题目：动点问题。

再给学生分析莱芜最近五年的中考题中所涉及到的题目，让学生从心理上重视起来，引起学生学习的积极性。

学生的积极性上来了，趁热打铁引出本节课的教学目标，让学生知道本节课的任务。

（二）、本节课的第一个题目就是等腰三角形问题。

考点探究一：1、如图：已知平行四边形ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30°(1)点P从点A沿边AB向点B运动，速度为1cm/s,时间为t(s). 当t为何值时，△PBC为等腰三角形？D CAB这个题目就是让学生理解等腰三角形有三种可能，虽然这个题只有一种可能，但是必须说明其他两种不可能的理由。

学生解答完了教师要问一句如果点P在射线AB上的时候会有啥结果？提高学生的分析能力、分类思想数形结合能力。

[变式一](2)若点P从点A沿射线 AB运动，速度仍是1cm/s。

当t为何值时，△PBC为直角三角形？[变式二]（3）是否存在某一时刻t,使得△PBC面积为6 cm2？紧跟着的两个变式训练，就是让学生体会刚才题目的分析思路，然后按照这种方法自己解决问题，体验成功的喜悦。

（三）、考点探究二2、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm， BC=8cm，点P由点A 出发，沿AC向C运动，速度为2cm/s，同时点Q由AB中点D出发，沿DB向B运动，速度为1cm/s，连接PQ，若设运动时间为t(s)，（1）当t(0＜t ≤3)为何值时， PQ∥BC?ACB这个例题重点让学生体会相似的作用。

2019-2020年中考数学复习专题讲座( 精编含详细参考答案14 页 ) ：动点型问题一、中考专题诠释所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点, 它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目. 解决这类问题的关键是动中求静, 灵活运用有关数学知识解决问题.“动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。

二、解题策略和解法精讲解决动点问题的关键是“动中求静”.从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路, 这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

三、中考考点精讲建立动点问题的函数解析式（或函数图像）函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律, 是初中数学的重要内容. 动点问题反映的是一种函数思想, 由于某一个点或某图形的有条件地运动变化, 引起未知量与已知量间的一种变化关系, 这种变化关系就是动点问题中的函数关系.（一）应用勾股定理建立函数解析式（或函数图像）例 1（2012?嘉兴）如图，正方形 ABCD的边长为 a，动点 P 从点 A出发，沿折线 A→B→D→C→A的路径运动，回到点 A 时运动停止．设点 P 运动的路程长为长为 x， AP长为 y，则 y 关于 x的函数图象大致是（）A．B．C．D．思路分析：根据题意设出点P 运动的路程 x 与点 P 到点 A 的距离 y 的函数关系式，然后对x 从 0 到 2a+2 a 时分别进行分析，并写出分段函数，结合图象得出答案．解：设动点 P 按沿折线 A→B→D→C→A的路径运动，∵正方形 ABCD的边长为 a，∴BD=a，则当 0≤x＜ a 时， y=x，当 a≤x＜（ 1+） a 时， y=，当 a（ 1+）≤x＜ a（ 2+）时，y=，当 a（2+）≤x≤a（ 2+2）时， y=a（ 2+2）﹣ x，结合函数解析式可以得出第2， 3 段函数解析式不同，得出 A 选项一定错误，根据当 a≤x＜（ 1+） a 时，函数图象被P 在 BD中点时，分为对称的两部分，故 B 选项错误，再利用第 4 段函数为一次函数得出，故C选项一定错误，故选： D．点评：此题主要考查了动点问题的函数图象问题；根据自变量不同的取值范围得到相应的函数关系式是解决本题的关键．对应训练1．（ 2012?内江）如图，正△ABC的边长为 3cm，动点 P 从点 A 出发，以每秒 1cm的速度，沿 A→B→C的方向运动，到达点 C 时停止，设运动时间为2x（秒）， y=PC，则 y关于 x 的函数的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．解：∵正△ ABC 的边长为 3cm ，∴∠ A=∠ B=∠C=60°， AC=3cm ．如图， D 为 AB 的中点，连结 CD ，则： AD=BD=1.5（ cm ）， CD=33（ cm ）。

动点及动图形的专题复习教案所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.一、应用勾股定理建立函数解析式)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G.(1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值围).(3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长.解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=32NH=2132⋅OP=2.(2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=, ∴2362121x OH MH -==. 在Rt △MPH 中,.∴y =GP=32MP=233631x + (0<x <6). (3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况:①GP=PH 时,x x =+233631,解得6=x . 经检验, 6=x 是原方程的根,且符合题意. ②GP=GH 时, 2336312=+x ,解得0=x . 经检验, 0=x 是原方程的根,但不符合题意.③PH=GH 时,2=x .综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2.二、应用比例式建立函数解析式例2如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式；(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°. ∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB,∴△ADB ∽△EAC, ∴ACBD CE AB =,∴11x y =, ∴xy 1=. 2222233621419x x x MH PH MP +=-+=+= AEDCB 图2HM NGPOAB图1x yADEl(2)由于∠DAB+∠CAE=αβ-,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=290α-︒,且函数关系式成立,∴290α-︒=αβ-, 整理得=-2αβ︒90. 当=-2αβ︒90时,函数解析式xy 1=成立. 如三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4（）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y .(1)求y 关于x 的函数解析式,(2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积.解:(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H.∵∠BAC=90°,AB=AC=22, ∴BC=4,AH=21BC=2. ∴OC=4-x . ∵AH OC S AOC ⋅=∆21, ∴4+-=x y (40<<x ). (2)①当⊙O 与⊙A 外切时,在Rt △AOH 中,OA=1+x ,OH=x -2, ∴222)2(2)1(x x -+=+. 解得67=x . 此时,△AOC 的面积y =617674=-. ②当⊙O 与⊙A 切时,在Rt △AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x , ∴222)2(2)1(-+=-x x . 解得27=x . 此时,△AOC 的面积y =21274=-. 综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为617或21.动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

中考专题复习——动点问题【学情分析】动点一般在中考都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路。

动点类题目一般都有好几问，前一问大都是后一问的提示，就像几何探究类题一样，如果后面的题难了，可以反过去看看前面问题的结论【教学目标】知识与技能：1、利用特殊三角形的性质和定理解决动点问题；2、分析题目，了解有几个动点，动点的路程，速度（动点怎么动）；3、结合图形和题目，得出已知或能间接求出的数据。

过程与方法：1、利用分类讨论的方法分析并解决问题；2、数形结合、方程思想的运用。

情感态度价值观：通过动手操作、合作交流，探索证明等活动，培养学生的团队合作精神，激发学生学习数学的兴趣。

【教学重点】根据动点中的移动距离，找出等量列方程。

【教学难点】1、两点同时运动时的距离变化；2、运动题型中的分类讨论【教学方法】教师引导、自主思考【教学过程】一、动点问题的近况：1、动态几何图形中的点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力.动态几何特点－－－－问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

）它通常分为三种类型：动点问题、动线问题、动形问题。

在解这类问题时，要充分发挥空间想象的能力，不要被“动”所迷惑，而是要在“动”中求“静”，化“动”为“静”，抓住它运动中的某一瞬间，寻找确定的关系式，就能找到解决问题的途径。

本节课重点来探究动态几何中的第一种类型----动点问题。

所谓动点问题：是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放新题目。

2、动点问题所用的数学思想：解决运动型问题常用的数学思想是方程思想，数学建模思想，函数思想，转化思想等；常用的数学方法有：分类讨论法，数形结合法等。

中考数学压轴题型研究（一）——动点几何问题近几年中考数学中运动几何问题倍受青睐，它不仅综合考查初中数学骨干知识，如三角形全等与相似、图形的平移与旋转、函数（一次函数、二次函数与反比例函数）与方程等，更重要的是综合考查初中基本数学思想与方法。

此类题型也往往起到了考试的选拔作用，使学生之间的数学考试成绩由此而产生距离，所以准确快速解决此类问题是赢得中考数学胜利的关键。

如何准确、快速解决此类问题呢？关键是把握解决此类题型的规律与方法――以静制动。

另外，需要强调的是此类题型一般起点低，第一步往往是一个非常简单的问题，考生一般都能拿分，但恰恰是这一步问题的解题思想和方法是本题基本的做题思想和方法，是特殊到一般数学思想和方法的具体应用，所以考生在解决第一步时不仅要准确计算出答案，更重要的是明确此题的方法和思路。

下面以具体实例简单的说一说此类题的解题方法。

一、利用动点（图形）位置进行分类，把运动问题分割成几个静态问题，然后运用转化的思想和方法将几何问题转化为函数和方程问题例1：（北京市石景山区2010年数学期中练习）在△ABC 中，∠B=60°,BA=24CM,BC=16CM, (1)求△ABC 的面积；(2)现有动点P 从A 点出发，沿射线AB 向点B 方向运动，动点Q 从C 点出发，沿射线CB 也向点B 方向运动。

如果点P 的速度是4CM/秒，点Q 的速度是2CM/秒，它们同时出发，几秒钟后，△PBQ 的面积是△ABC 的面积的一半？(3)在第（2）问题前提下，P,Q 两点之间的距离是多少？点评：此题关键是明确点P 、Q 在△ABC 边上的位置，有三种情况。

（1）当0﹤t ≦6时，P 、Q 分别在AB 、BC 边上；（2）当6﹤t ≦8时，P 、Q 分别在AB 延长线上和BC 边上；（3）当t >8时, P 、Q 分别在AB 、BC 边上延长线上.然后分别用第一步的方法列方程求解.例2: (北京市顺义2010年初三模考)已知正方形ABCD 的边长是1，E 为CD 边的中点， P 为正方形ABCD 边上的一个动点，动点P 从A 点出发，沿A →B → C →E 运动，到达点E.若点P 经过的路程为自变量x ，△APE 的面积为函数y ，（1）写出y 与x 的关系式(2)求当y ＝13时，x 的值等于多少？ 点评:这个问题的关键是明确点P 在四边形ABCD 边上的位置,根据题意点P 的位置分三种情况:分别在AB 上、BC 边上、EC 边上.例3：(北京市顺义2010年初三模考)如图1 ，在直角梯形ABCD 中，∠B=90°，DC ∥AB ，动点P 从B 点出发，沿梯形的边由B →C → D → A 运动，设点P 运动的路程为x ,△ABP 的面积为y , 如果关于x 的函数y 的图象如图2所示 ，那么△ABC 的面积为（ ） A ．32 B ．18 C ．16 D ．10 例4：（09齐齐哈尔）直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动．（1）直接写出A B 、两A C BxA OQP B y点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式； （3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．点评：本题关键是区分点P 的位置：点P 在OB 上，点P 在BA 上。