北师大版 八年级 应用二元一次方程组——鸡兔同笼
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第五章二元一次方程组5.3 鸡兔同笼平川区王家山中学赵进芳一、教材分析《鸡兔同笼》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级(上)第五章《二元一次方程组》第三节.本节安排1个课时。
借助"鸡兔同笼"这一中国古代名题,让学生经历列二元一次方程组解决实际问题的过程,进行根据实际问题情境列二元一次方程组的训练,强化方程的模型思想,培养了学生列方程(组)解决实际问题的意识和应用能力.,同时将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体。
当然,在题材的选择上,教科书注意了题材的现实性、科学性和趣味性;在题材的呈现顺序上,遵循了由易到难的原则,教学中,教师可以根据学生的生活实际和认知实际,选择更贴近学生实际的素材进行教学,此外,在教学过程中,教师应更多地关注学生的建模过程,关注学生是否能顺利地列出正确的二元一次方程组.二、学情分析●学生的年龄特点和认知特点初中二年级的学生,正处于少年期,已具备了初步的抽象、概括和分析问题解决问题能力,要培养他们敢于面对挑战和勇于克服困难的意志.鼓励他们大胆尝试,敢于发表自己的看法,以从中获得成功的体验,激发学习激情.●在学习本课之前,应具备的基础知识和基本技能(1)方程的思想;(2)能整体地系统地审清题意,找出等量关系;(3)能从具体问题中的数量关系列出二元一次方程组;(4)熟练解二元一次方程组.●学习者对即将学习的内容已经具备的水平(1)本课是在学生已对一元一次方程、二元一次方程、二元一次方程组解法有了足够的认识的基础上来学习的,也学过了列一元一次方程解决实际问题,因此,大部分学生学习本课应该没有太大的困难的.(2)初二的学生已经初步的具备了初步的抽象、想象、逻辑思维能力,初步的分析问题和解决问题的能力.三、教学目标●知识目标在具体问题的解决过程中提高学生的解二元一次方程组的技能;●能力目标使学生掌握运用方程组解决实际问题的一般步骤,让学生亲自经历和体验运用方程(组)解决实际问题的过程,进一步体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型,培养学生的抽象、概括、分析解决实际问题的能力;●情感目标1.进一步丰富学生数学学习的成功体验,激发学生对数学学习的好奇心,进一步形成积极参与数学活动、主动与他人合作交流的意识.2.通过"鸡兔同笼",把同学们带入古代的数学问题情景,学生体会到数学中的"趣";进一步强调课堂与生活的联系,突出显示数学教学的实际价值,培养学生的人文精神;通过对祖国文明史的了解,培养学生爱国主义精神,树立为中华崛起而学习的信心.●教学重点根据等量关系列二元一次方程组解应用题.●教学难点1.读懂古算题;2根据题意找出等量关系,列出方程.四、教学方式采用"先学后教,当堂训练"的模式展开教学..五、教学媒体和教学技术选用多媒体课件及微课辅助教学.六、教学活动过程本节课设计了五个教学环节:第一环节:引入课题;第二环节:出示学习目标;第三环节:先学后教,当堂训练;第四环节:感悟和收获;第五环节:作业布置.第一环节:引入课题活动1:应用幻灯片1中的图片提问并采用相应文字说明引入新课。
3 应用二元一次方程组——鸡兔同笼教学目标【知识与技能】1.会用二元一次方程组解决实际问题.2.在解决实际问题的过程中,能用方程组这样的数学模型刻画现实世界.【过程与方法】1.在列方程组的建模过程中,强化方程的模型思想,培养学生列方程解决现实问题的意识和应用能力.2.将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体,进一步提高解方程组的技能.【情感、态度与价值观】体会方程组是刻画现实世界的有关数学模型,培养应用数学的意识.在用方程组解决实际问题的过程中,体验数学的实用性,提高学习数学的兴趣.教学重难点【重点】让学生经历和体验到方程组解决实际问题的过程,进一步体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型,培养学生的数学应用能力.【难点】用方程(组)这样的数学模型刻画和解决实际问题,即数学建模的过程.教学过程一、创设情境,引入新课师:“鸡兔同笼”是经典的数学问题,在小学阶段同学们曾探究过它的多种解法,这节课我们用本单元学习的方程来解决此问题,看结果如何.二、讲授新课教师多媒体出示课件:今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何?(1)“上有三十五头”的意思是什么?“下有九十四足”是什么意思?(2)你能根据(1)中的数量关系列出方程组吗?(3)你能解决这个有趣的问题吗?请与同伴进行交流.生:“上有三十五头”是指鸡和兔共有35只,即“鸡的只数+兔的只数=35只”.“下有九十四足”是指鸡的腿和兔子的腿的和为94条,即“鸡的腿数+兔子的腿数=94”.师:很好!那么根据(1)中的数量关系你能得出什么结论呢?生:根据(1)中的数量关系,我们可以设鸡有x只,兔有y只,可得x+y=35①,2x+4y =94②,把①和②联立方程组,得{x+y=35,2x+4y=94.解这个方程组,得{x=23,y=12.即笼中有鸡23只,兔12只.师:很好!下面我们再来看一个问题,同学们思考一下,并尝试解决这个问题.问题:有2元、5元、10元的人民币共50张,合计305元,其中2元的张数和5元的张数相同,三种人民币共有多少张?师:这个问题和上面的“鸡兔同笼”问题有联系吗?生:有联系,可以采取相同的方式解决这个问题.师:你准备设几个未知数?生:设2个未知数就可以了,因为题中2元的张数和5元的张数相同.师:对,那你能根据题目中的已知量、未知量及它们之间的关系列出方程组吗?生:可以设2元的人民币x张,5元的人民币x张,10元的人民币y张,根据题意可列出方程{2x+5x+10y=305,x+x+y=50.师:很好!同学们能解这个方程吗?生:能.{7x+10y=305,①2x+y=50.②由②得y=50-2x.③把③代入①得7x+10(50-2x)=305,解得x=15.把x=15代入③中,得y=20.即2元的人民币有15张,5元的人民币有15张、10元的人民币有20张.三、例题讲解【例】以绳测井.若将绳三折测之,绳多五尺;若将绳四折测之,绳多一尺.绳长、井深各几何?题目大意是:用绳子测量水井的深度.如果将绳子折成三等份,一份绳长比井深多5尺;如果将绳子折成四等份,一份绳长比井深多1尺.绳长、井深各是多少尺?【解】设绳长x 尺,井深y 尺,根据题意,得{x 3-y =5,①x 4-y =1.②①-②,得x 3-x 4=4,x 12=4,x =48.将x =48代入①,得y =11.所以绳长48尺,井深11尺.四、课堂小结师:通过这节课的学习,同学们有什么收获?与大家交流一下.学生发言,教师予以点评.。
5.3 应用二元一次方程组——鸡兔同笼【学习目标】【知识目标】使学生初步掌握列二元一次方程组解应用题【能力目标】通过将实际问题转化成纯数学问题的应用训练,培养学生分析问题、解决问题的能力。
【情感目标】通过对祖国文明史的了解,培养学生爱国主义精神,树立为中华崛起而学习的信心。
【重点】根据等量关系列二元一次方程组解应用题。
【难点】根据题意找出等量关系,列出方程。
【学习过程】一.我们伟大祖国具有五千年的文明史,在历史的长河中,为科学知识的创新和发展作出了巨大的贡献,特别在数学领域有[九章算术]、[孙子算经]等古代名著流传于世,普及趋于民众,许多问题浅显易懂,趣味性强,如[九章算术]下卷第三题目“雉兔同笼”等,漂洋过海传到了日本等国,对中国古代文明史的传播起了很大作用。
“雉兔同笼”题为:“今有雉兔同笼,上有三十五关,下有九十四足,问雉兔各几何?”问题1、“上有三十五头”指的意思是什么?“下有九十四足”呢?答:“上有三十五头”指的鸡和兔共有三十五个头,“下有九十四足”指的是鸡和兔共有九十四只脚。
问题2、你能根据问题1中的的数量关系列出方程吗?并能解决这个有趣的问题吗? (分小组进行讨论,然后请两个小组的代表到黑板上板演)解:设有鸡x 只,兔y 只,则x+y=35 解之得x=232x+4y=94 y=12答:共有鸡23只,兔12只。
这个古老的数学问题,用今天的方程解决,体现了古为今用的原则,为后人理解了数学的过去和现在,当代的著名的数学家陈省生教授在说起“鸡兔同笼”时,曾另有一番别有风趣的延伸:“全体鸡兔立正,兔子提起前面的两只脚,请问现在共有几只脚?”……二.中国是一个伟大的四大文明古国,像这样浅显有趣的数学题目还有很多,我们的书上就提供了这样的一个例题例1、 以绳测井,若将绳三折测之,绳多五尺,若将绳四折测之,绳多一尺,绳长、井深各几何?接下来老师看一下,那位同学的古文水平好,那位同学能自告奋勇地解释一下,这段古文的意思?(用绳子测量水井的深度,如果将绳子折成三等分,一份绳子长比井深多5尺;如果将绳折成四等份,一份绳子比井深多1尺,绳子、井深各是多少尺?)(分小组进行讨论,然后请两个小组的代表到黑板上板演)解:设绳子长x 尺,井深y 尺,则1453=-=-y x y x解之得x= 48y=11 答:绳子长为48尺,井深11尺。
北师大初中数学八年级重点知识精选掌握知识点,多做练习题,基础知识很重要!北师大初中数学和你一起共同进步学业有成!5.3 应用二元一次方程组——鸡兔同笼【学习目标】【知识目标】使学生初步掌握列二元一次方程组解应用题【能力目标】通过将实际问题转化成纯数学问题的应用训练,培养学生分析问题、解决问题的能力。
【情感目标】通过对祖国文明史的了解,培养学生爱国主义精神,树立为中华崛起而学习的信心。
【重点】根据等量关系列二元一次方程组解应用题。
【难点】根据题意找出等量关系,列出方程。
【学习过程】一.我们伟大祖国具有五千年的文明史,在历史的长河中,为科学知识的创新和发展作出了巨大的贡献,特别在数学领域有[九章算术]、[孙子算经]等古代名著流传于世,普及趋于民众,许多问题浅显易懂,趣味性强,如[九章算术]下卷第三题目“雉兔同笼”等,漂洋过海传到了日本等国,对中国古代文明史的传播起了很大作用。
“雉兔同笼”题为:“今有雉兔同笼,上有三十五关,下有九十四足,问雉兔各几何?”问题1、“上有三十五头”指的意思是什么?“下有九十四足”呢?答:“上有三十五头”指的鸡和兔共有三十五个头,“下有九十四足”指的是鸡和兔共有九十四只脚。
问题2、你能根据问题1中的的数量关系列出方程吗?并能解决这个有趣的问题吗?(分小组进行讨论,然后请两个小组的代表到黑板上板演)解:设有鸡x只,兔y只,则x+y=35 解之得x=232x+4y=94 y=12答:共有鸡23只,兔12只。
这个古老的数学问题,用今天的方程解决,体现了古为今用的原则,为后人理解了数学的过去和现在,当代的著名的数学家陈省生教授在说起“鸡兔同笼”时,曾另有一番别有风趣的延伸:“全体鸡兔立正,兔子提起前面的两只脚,请问现在共有几只脚?”……二.中国是一个伟大的四大文明古国,像这样浅显有趣的数学题目还有很多,我们的书上就提供了这样的一个例题例1、以绳测井,若将绳三折测之,绳多五尺,若将绳四折测之,绳多一尺,绳长、井深各几何?接下来老师看一下,那位同学的古文水平好,那位同学能自告奋勇地解释一下,这段古文的意思?(用绳子测量水井的深度,如果将绳子折成三等分,一份绳子长比井深多5尺;如果将绳折成四等份,一份绳子比井深多1尺,绳子、井深各是多少尺?)(分小组进行讨论,然后请两个小组的代表到黑板上板演)解:设绳子长x尺,井深y尺,则1453=-=-y x y x 解之得x= 48y=11 答:绳子长为48尺,井深11尺。
“鸡兔同笼”补遗北师大版八年级(上)第五章第三节介绍了《应用二元一次方程组-——鸡兔同笼》,本文再介绍与之相关的一些知识,供同学们学习时参考.今有雉兔同笼,上有三十五头.下有九十四足,问雉兔各几何?它出自我国古代数学著作《孙子算经》中著名的“雉兔同笼”问题.书中给出的解法是:“上置头,下置足,半其足,以头除(此处‘除’之意为‘除去’即减去)足,以足除头,即得.”书中先设“金鸡独立”,玉兔双腿(即“半其足”),这时共有腿数为94÷2 = 47.在这47条腿中,每数一条腿应该有一只鸡,而每数两条腿才有一只兔,所以:兔数为 47-35 = 12,即“以头除足”.鸡数为 35-12 =23.这道题用列二元一次方程组的方法可以很容易求解:设鸡有x 只,兔有y 只,则由题意,可得352494.x y x y +=⎧⎨+=⎩解这个方程组,得2312x y =⎧⎨=⎩. 我们再把这个解法一般化:在一般情况下,设鸡有x 只,兔有y 只,A 为鸡、兔总共只数,B 为鸡、兔总共足数.则24.x y A x y B +=⎧⎨+=⎩解之,可得22.2B x A B y A ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 这就是说,兔数为腿数的二分之一(半其足),与总头数之差(以头除足).在古代朱世杰《算学启蒙》(1299年)《永乐大典》中的《丁巨算法》(1355年)严恭《通原算法》中,也载有鸡兔同笼问题,朱世杰的解法与《孙子算经》不同,而与现代的算术解法则几乎完全一样.今有鸡兔100,共足272只,只云鸡足二,兔足四,问鸡兔各几何?其解法是:“列一百,以兔足乘之,得数内减共足余一百二十八为实,列鸡、兔足以少减多余二为法而一得鸡,反减一百即兔,合问.”又术曰:“倍一百以减共足余半之即兔也.”此即:鸡数 (100×4-272)÷(4-2) = 64.兔数 100-64 = 36.或兔数 (272-100×2)÷2 = 36.鸡数 100-36 = 64.吴敬《九章算法比类大全》(1450年)卷六也载有几个很有趣味的类似的诗词古体算题,如争强斗胜八臂一头号夜叉,三头六臂是哪吒.两处争强来斗胜,二相胜负正交加.三十六头齐厮打,一百八手乱相抓.旁边看者殷勤问,几个哪吒几夜叉?吴敬原书的解法:置列互乘对减得 108×3-36×6 = 108为被除数,3×8-1×6 = 18为除数,故:夜叉数为108÷18 = 6.哪吒数为(36-6)÷3 = 10.此法与现在的方程组解法相类似:设夜叉数为x ,哪吒数为y ,则86108.336x y x y +=⎧⎨+=⎩解得6.10x y =⎧⎨=⎩“鸡兔同笼”问题,在我国民间流传十分广泛,民间流传有“野鸡兔子四十九,一百条腿地下走.借问英贤能算士,野鸡兔子各多少?(请同学们自己列方程组解答).下面这道题是流传于我国民间的“板凳木马问题”它同“鸡兔问题”很相似.板凳木马三十三,共足一百单;请问能算者,它们各若干?这道题的意思是:板凳木马的总数是33个,腿的总数是101条.板凳、木马各有多少个?(注:板凳4条腿,木马3条腿)解:设有板凳x 个,木马y 个,根据题意,得33,43101.x y x y +=⎧⎨+=⎩解得2,31.x y =⎧⎨=⎩即板凳有2条,木马有31个. 在李汝珍(约公元1763 - 1830)著的古典小说《镜花缘》中有这样一段趣味故事:宗伯府的女主人卞宝云邀请众女才子们到府中的小鳌山观灯.当众才女在一片音乐声中来到小鳌山时,只见楼上楼下俱挂着许多灯球,五彩缤纷,秀丽壮观,宛如列星,高低错落.一时竟难分辨其有灯多少,卞宝云请精通筹算的才女米兰芬,算一算楼上楼下大小灯球的数目.她告诉米兰芬:“楼上的灯有两种;一种上做三个大灯球,下缀六个小灯球;另一种上做三个大灯球,下缀18个小灯球.楼下的灯也分两种:一种一个大球下缀两个小球;另一种是一个大球下缀四个小球.”她请米兰芬算一算楼上楼下大小灯球各多少盏?米兰芬想了一想,请宝云命人查一查楼上楼下大小灯球各多少个.查的结果是:楼上大灯球396个,小灯球1440个;楼下大灯球360个,小灯球1200个.米兰芬采用《孙子算经》中雉兔同笼“的解法,先算楼下的:一大四小灯的盏数:1200÷2-360 = 240.一大二小灯的盏数:360-240 = 120.楼上三大十八小的盏数:(1440÷2-396)÷6 = 54.三大六小的盏数:(396-3×54)÷3 = 78.用列二元一次方程组的方法求解如下:解:设楼下一个大球下缀两个小球的灯有x 盏,一个大球下缀四个小球的灯有y 盏,根据题意,得360,241200.x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得120,240.x y =⎧⎨=⎩答:(略).请同学们用同样的方法算一算楼上两种灯的盏数.在我国明朝永乐年间,由翰林学士解缙等人编撰的《永乐大典》中也有类似的题目,请看下面这道题: 钱二十贯,买四百六十尺,绫每尺四十三,罗每尺四十四.问绫、罗几何?这道题的意思是:用20贯钱买了460尺绫和罗,绫的价格是每尺43文,罗的价格是每尺44文.问买了绫、罗各多少尺?(贯:古代货币单位;文:古代货币单位.1贯=1000文;尺:已经废止使用的市制长度单位.)经过我们仔细地观察、比较,可以发现,此题也可以归为“鸡兔问题”来求解.解:设买绫x 尺,买罗y 尺,根据题意,得460,434420000.x y x y +=⎧⎨+=⎩解得240,220.x y =⎧⎨=⎩即买绫240尺,买罗220尺. 在《九章算术》中的:“玉石问题”也属于这一类:今有玉方一寸,重七两;石方一寸,重六两.今有石方三寸,中有玉,并一十一斤.问玉、石各重几何?(斤、两:都是已经废止使用的重量单位.古代,1斤=16两;寸:是已经废止使用的市制长度单位.)这道题的意思是:宝玉1立方寸重7两,石料1立方寸重6两.现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体,棱长是3寸,重量是11斤.在这个正方体中的宝玉和石料各重多少两?解:设这个正方体中宝玉x 寸,石料y 寸,根据题意,得33,76176.x y x y ⎧+=⎨+=⎩ 解得14,13.x y =⎧⎨=⎩则有宝玉:14×7=98(两),石料:13×6=78(两).答:(略)中国的鸡兔问题后来传到了日本.日本江户时代出版社出版的《算法童子问》一书中就有许多类似这样解法的题目.下面这道题就是这本书中比较典型的一道:院子里有狗,厨房的菜墩上有章鱼.狗和章鱼的总头数是14,总足数是96,求狗和章鱼各有多少.(注:章鱼有8只足.)解:设狗有x 条,章鱼有y 尾,根据题意,得14,4896.x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得4,10.x y =⎧⎨=⎩即有狗4条,有章鱼10尾.列一次方程组解“鸡兔问题”的方法你学会了吗?下面的题目请你尝试一下:1. 鸡兔同笼不知数,三十六头笼中露;看来脚有一百只,几多鸡儿几多兔.2. 一千官兵一千布,一官四尺无零数;四兵才得布一尺,请问官兵多少数?答案:1.14只兔,22只鸡.2.200军官,800士兵.。