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九年级人教版数学全册知识点一、代数1. 代数式的定义和基本性质2. 一元一次方程及其应用3. 一元一次不等式及其应用4. 线性函数及其应用5. 平方根与二次方程6. 平方根与二次函数7. 分式与分式方程8. 速度与比例二、几何1. 线段比例及其性质2. 相似三角形及其性质3. 直角三角形中的三角函数4. 平面直角坐标系5. 二次函数的图像与性质6. 平面向量三、数据统计与概率1. 统计与统计图2. 等可能事件与概率3. 条件概率与事件独立性4. 排列与组合5. 正态分布与抽样调查四、实数1. 整式的加减运算2. 整式的乘法和因式分解3. 分式的加减运算4. 分式的乘法和除法5. 二次根式的性质和计算五、函数与方程1. 一元二次方程2. 一元二次函数3. 二次函数与二次方程4. 一元二次不等式5. 一元一次不等式六、立体几何与图形1. 空间几何图形2. 直线与点的位置关系3. 平面与空间直线的位置关系4. 空间图形的投影5. 立体图形的计算七、三角函数1. 任意角与弧度制2. 三角函数及其图像性质3. 三角函数的诱导公式4. 三角函数的图像变换5. 三角恒等变换八、二次函数1. 二次函数的定义与性质2. 二次函数的函数图像3. 二次函数的最值与判别式4. 直线与二次函数的交点5. 二次函数的应用九、统计1. 统计调查与参数估计2. 统计图的应用与分析3. 数据的分类与分组4. 数据的比较与分析5. 综合统计应用题以上就是九年级人教版数学全册的知识点概述。
在这些知识点中，我们将学习代数、几何、数据统计与概率、实数、函数与方程、立体几何与图形、三角函数二次函数和统计等内容。
通过系统的学习和练习，我们将能够掌握九年级数学的核心知识，提高数学解题和分析问题的能力。
希望同学们能够认真学习，并在实践中不断提高自己的数学水平！。
![新人教版九年级上册数学[随机事件和概率--知识点整理及重点题型梳理]](https://img.taocdn.com/s1/m/721dc7c9f61fb7360a4c6512.png)
新人教版九年级上册初中数学重难点有效突破知识点梳理及重点题型巩固练习随机事件和概率--知识讲解【学习目标】1、通过对生活中各种事件的判断，归纳出必然事件、不可能事件和随机事件的特点，并根据这些特点对有关事件作出准确判断；2、初步理解概率定义，通过具体情境了解概率意义.【要点梳理】要点一、必然事件、不可能事件和随机事件【 391875 名称：随机事件与概率初步：随机事件】1.定义：（1）必然事件在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件，叫做必然事件．（2）不可能事件在每次试验中都不会发生的事件叫做不可能事件．（3）随机事件在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.要点诠释：1.必然发生的事件和不可能发生的事件均为“确定事件”，随机事件又称为“不确定事件”；2.要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同.要点二、概率的意义概率是从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫做事件A的概率(probability)，记为.要点诠释：(1)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；(2)概率反映了随机事件发生的可能性的大小；(3) 事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0<P(随机事件)<1.【典型例题】类型一、随机事件1.（1）指出下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是随机事件？①若 a、b、c都是实数，则a(bc)=(ab)c；②没有空气，动物也能生存下去；③在标准大气压下，水在 90℃时沸腾；④直线 y=k(x+1)过定点(-1，0)；⑤某一天内电话收到的呼叫次数为 0；⑥一个袋内装有形状大小完全相同的一个白球和一个黑球，从中任意摸出 1个球则为白球.【答案与解析】①④是必然事件；②③是不可能事件；⑤⑥是随机事件.【总结升华】准确掌握定义，依据定义判别.【 391875 名称：随机事件与概率初步：经典例题1】举一反三【变式1】下列事件是必然事件的是( )．A．明天要下雨;B．打开电视机，正在直播足球比赛;C．抛掷一枚正方体骰子，掷得的点数不会小于1;D．买一张彩票，一定会中一等奖.【答案】C.【变式2】下列说法中，正确的是( )．A．生活中，如果一个事件不是不可能事件，那么它就必然发生;B．生活中，如果一个事件可能发生，那么它就是必然事件;C．生活中，如果一个事件发生的可能性很大，那么它也可能不发生;D．生活中，如果一个事件不是必然事件，那么它就不可能发生.【答案】C.2. 在一个不透明的口袋中，装有10个除颜色外其它完全相同的球，其中5个红球，3个蓝球，2个白球，它们已经在口袋中搅匀了.下列事件中，哪些是必然发生的？哪些是不可能发生的？哪些是可能发生的？(1)从口袋中任取出一个球，它恰是红球；(2)从口袋中一次性任意取出2个球，它们恰好全是白球；(3)从口袋中一次性任意取出5个球，它们恰好是1个红球，1个蓝球，3个白球. 【答案与解析】(1)可能发生，因为袋中有红球；(2)可能发生，因为袋中刚好有2个白球；(3)不可能发生，因为袋中只有2个白球，取不出3个白球.【总结升华】了解并掌握三种事件的区别和联系.举一反三【变式】甲、乙两人做掷六面体骰子的游戏，双方规定，若掷出的骰子的点数大于3，则甲胜，若掷出的点数小于3，则乙胜，游戏公平吗？若不公平，请你设计出一种对于双方都公平的游戏.【答案】不公平，小于3的点数有1、2，大于3的点数有4、5、6，因此，它们的可能性是不同的，所以不公平.可设计掷出的点数为偶数时甲胜，掷出的点数为奇数时乙胜.类型二、概率3.（2015春•山亭区期末）一只口袋里放着4个红球、8个黑球和若干个白球，这三种球除颜色外没有任何区别，并搅匀．（1）取出红球的概率为，白球有多少个？（2）取出黑球的概率是多少？（3）再在原来的袋中放进多少个红球，能使取出红球的概率达到？【答案与解析】解：（1）设袋中有白球x个．由题意得：4+8+x=4×5，解得：x=8，答：白球有8个；（2）取出黑球的概率为：，答：取出黑球的概率是，（3）设再在原来的袋中放入y个红球．由题意得：3（4+y）=20+y，或2（4+y）=8+8，解得：y=4，答：再在原来的袋中放进4个红球，能使取出红球的概率达到．【总结升华】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．举一反三【变式】（2014•宁波模拟）中央电视台“非常6+1”栏目中有个互动环节，在电视直播现场有三个“金蛋”三个“银蛋”其中只有一个“金蛋”内有礼物，银蛋也是如此．有一个打进电话的观众，选择并打开后得到礼物的可能性是（）A．B．C．D．【答案】D.【 391875 名称：随机事件与概率初步：例6及思考题】投篮次数n8 10 12 9 16 10进球次数m 6 8 9 7 12 7进球频率nm(1)计算表中各场次比赛进球的频率；(2)这位运动员每次投篮，进球的概率约为多少? 【答案与解析】 （1）投篮次数n 8 10 12 9 16 10 进球次数m 6897127进球频率nm0.75 0.8 0.75 0.78 0.75 0.7 (2)P(进球)≈0.75.【总结升华】频率和概率的关系：当大量重复试验时，频率会稳定在概率附近. 举一反三【变式】某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：射击次数(ｎ) 10 20 50 100 200 500 击中靶心次数(ｍ)9 19 44 91 178 451 击中靶心频率()(1)计算表中击中靶心的各个频率(精确到0.01)；(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少(精确到0.1)？【答案】 (1)击中靶心的各个频率依次是：0.90，0.95，0.88，0.91，0.89，0.90. (2)这个射手击中靶心的概率约为0.9.。
中考数学知识点归纳人教版
中考数学是中学阶段数学知识的重要总结，涵盖了代数、几何、统计与概率等多个领域。
以下是人教版中考数学知识点的归纳：
一、数与代数
1. 实数：包括有理数和无理数，理解实数的性质和运算规则。
2. 代数式：包括整式和分式，掌握代数式的运算法则和化简技巧。
3. 方程与不等式：一元一次方程、一元二次方程、分式方程的解法，以及不等式的解集。
4. 函数：一次函数、反比例函数、二次函数的性质和图像，理解函数的基本概念和应用。
二、几何
1. 平面图形：包括线段、角、三角形、四边形、圆等，掌握其性质和计算方法。
2. 立体图形：包括立体图形的表面积和体积计算。
3. 图形的变换：包括平移、旋转、反射等，理解图形变换的基本概念和性质。
4. 相似与全等：理解相似图形和全等图形的性质，掌握证明方法。
三、统计与概率
1. 数据的收集与处理：包括数据的收集、整理和描述，掌握统计图表的绘制。
2. 概率：理解概率的基本概念，掌握概率的计算方法。
四、综合应用
1. 数学建模：将数学知识应用于解决实际问题，培养解决实际问题的能力。
2. 数学思维：包括逻辑推理、抽象思维等，提高学生的数学思维能力。
结束语
通过以上对中考数学知识点的归纳，我们可以看出，中考数学不仅要
求学生掌握基础的数学知识，更注重培养学生的数学思维和解决实际
问题的能力。
希望同学们能够系统地复习这些知识点，为中考做好充
分的准备。
一、代数运算1.整式的加减乘除2.代数式化简3.因式分解4.分式的四则运算及化简5.方程与不等式的基本概念及解法6.一元一次方程与一元一次不等式的应用7.二次根式的性质与运算8.二次方程的解法及应用9.二次函数概念及性质10.比例、比例方程及应用11.百分数与利率二、几何与图形1.角的概念及性质2.线段的分点、线段的垂直平分线、边的垂直平分线、角的平分线3.相交线及其性质4.平行线及其性质5.等腰三角形、直角三角形、等边三角形及其性质6.圆的概念、圆心角、圆内角及弧7.相交圆与相切圆8.平面直角坐标系、坐标运算9.图形的相似与全等10.平面几何的平移、旋转、翻折11.三视图的画法与展开图的应用12.面积的计算、体积的计算三、概率与统计1.事件与概率的概念2.频率与概率的关系3.概率的计算4.统计图表与数据的分析四、函数1.函数概念的认识2.函数的表示及性质3.一次函数的表示与分析4.一次函数与一元一次方程的关系5.约束条件下的一次函数问题6.一次函数的图象与线性规律问题7.二次函数的图象与性质8.二次函数图象的平移与翻折9.二次函数与一元二次方程的关系10.利用二次函数解决实际问题五、三角1.正弦、余弦、正切的定义与性质2.三角函数的计算及应用3.周期函数的性质与表示4.集合与数列5.集合的关系与运算6.集合的表示与应用7.数列的概念与性质8.通项公式与位置公式的应用9.等差数列与等比数列的性质与应用六、立体几何1.平面与直线的位置关系2.空间中的概念及性质3.平行线的判定4.线面垂直及面面垂直的判定5.正交投影图的基本概念与画法6.空间形体的投影图7.三视图的基本概念与画法8.平行面的性质与判定。
初中数学知识点总结人教版（精选7篇）初中数学知识点总结篇一1、一元一次方程根的情况△=b2-4ac当△0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；当△0时，一元二次方程没有实数根2、平行四边形的性质：①两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
②平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫他的对角线。
③平行四边形的对边/对角相等。
④平行四边形的对角线互相平分。
菱形：①一组邻边相等的平行四边形是菱形②领心的四条边相等，两条对角线互相垂直平分，每一组对角线平分一组对角。
③判定条件：定义/对角线互相垂直的平行四边形/四条边都相等的四边形。
矩形与正方形：①有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。
②矩形的对角线相等，四个角都是直角。
③对角线相等的平行四边形是矩形。
④正方形具有平行四边形，矩形，菱形的一切性质。
⑤一组邻边相等的矩形是正方形。
多边形：①N边形的内角和等于(N-2)180度②多边心内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角，在每个顶点处取这个多边形的一个外角，他们的和叫做这个多边形的内角和(都等于360度) 平均数：对于N个数X1，X2…XN，我们把(X1+X2+…+XN)/N叫做这个N个数的算术平均数，记为X加权平均数：一组数据里各个数据的重要程度未必相同，因而，在计算这组数据的平均数时往往给每个数据加一个权，这就是加权平均数。
初中九年级数学知识点总结篇二第一章实数一、重要概念1.数的分类及概念数系表：说明：“分类”的原则：1)相称(不重、不漏)2)有标准2.非负数：正实数与零的统称。
(表为：x≥0)性质：若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0。
3.倒数：①定义及表示法②性质：A.a≠1/a(a≠±1);B.1/a中，a≠0;C.01时，1/a1;D.积为1.4.相反数：①定义及表示法②性质：A.a≠0时，a≠-a;B.a与-a在数轴上的位置；C.和为0,商为-1.5.数轴：①定义(“三要素”)②作用：A.直观地比较实数的大小；B.明确体现绝对值意义；C.建立点与实数的一一对应关系。
新人教版九年级数学上册知识点归纳
一. 整式的加减法和乘法
- 整式的加减法
- 同类项的加减法原则
- 不同类项的加减法原则
- 整式的乘法
- 单项式乘法
- 多项式乘法
二. 因式分解与整式的乘法
- 因式分解
- 公因式提取法
- 平方差公式
- 立方差公式
- 和差化积公式
- 整式的乘法
- 定积分法
- 化简法
三. 一次函数与二次函数
- 一次函数
- 函数的概念和表示方法
- 函数的图象
- 函数的性质和应用
- 二次函数
- 函数的概念和表示方法
- 函数的图象
- 函数的性质和应用
四. 几何图形的认识
- 点、线和面的基本概念
- 几何图形的分类
- 几何图形的性质和判定方法
五. 平面坐标系
- 平面直角坐标系
- 平面直角坐标系中的点及其坐标- 平面直角坐标系中的线段及其长度- 平面直角坐标系中的图形
六. 相交与平行线
- 直线的概念和表示方法
- 直线的性质和判定方法
- 直线间的位置关系
- 平行线判定的方法
七. 形状与变换
- 图形的相似关系和判定方法
- 图形的全等关系和判定方法
- 图形的对称关系和判定方法
- 图形的平移、旋转和翻转
八. 数据的收集和处理
- 数据的收集和整理方法
- 数据的图表表示
- 数据的统计分析
以上是新人教版九年级数学上册的知识点归纳，包括整式的加减法和乘法、因式分解与整式的乘法、一次函数与二次函数、几何
图形的认识、平面坐标系、相交与平行线、形状与变换，以及数据的收集和处理。
期末复习重点知识点：一、一元二次方程1．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 次的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数.2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2≥=-a a b x 的一元二次方程，就可用直接开平方的方法.（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为2()x m n+=的形式，⑤如果是非负数，即0n ≥，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n ＜0，则原方程无解.（3）公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是 .公式法解方程的步骤 1.变形: 化已知方程为一般形式ax 2+bx +c =0; 2.确定系数:用a ,b ,c 写出各项系数; 3.计算: b 2-4ac 的值;4.判断：若b 2-4ac ≥0，则利用求根公式求出; 若b 2-4ac <0，则方程没有实数根. （4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解. 3. 一元二次方程根的判别式：关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式为 .（1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 实数根，即=x .（2）ac b 42-=0⇔一元二次方程有 相等的实数根，即==21x x . （3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根.（4）ac b 42-≥0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有 实数根.4． 一元二次方程根与系数的关系若关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么=+21x x ，=⋅21x x .同时：若α、β为一元二次方程0132=++x x 的两个实数根，则有01α3α2=++ 和01β3β2=++5．列一元二次方程解应用题的一般步骤：审、找、设、列、解、答六步。
九年级数学课本知识点人教版初三新学期数学知识点一、圆的定义1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。
2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。
二、圆的各元素1、半径：圆上一点与圆心的连线段。
2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。
3、弦：连接圆上两点线段(直径也是弦)。
4、弧：圆上两点之间的曲线部分。
半圆周也是弧。
(1)劣弧：小于半圆周的弧。
(2)优弧：大于半圆周的弧。
5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。
6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。
7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。
三、圆的基本性质1、圆的对称性(1)圆是图形，它的对称轴是直径所在的直线。
(2)圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。
(3)圆是对称图形。
2、垂径定理。
(1)垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。
(2)推论：平分弦(非直径)的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。
平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。
3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。
圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。
(1)同弧所对的圆周角相等。
(2)直径所对的圆周角是直角;圆周角为直角，它所对的弦是直径。
4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。
5、夹在平行线间的两条弧相等。
6、设⊙O的半径为r，OP=d。
7、(1)过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。
(2)不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三个点的距离相等。
(直角的外心就是斜边的中点。
)8、直线与圆的位置关系。
d表示圆心到直线的距离，r表示圆的半径。
直线与圆有两个交点，直线与圆相交;直线与圆只有一个交点，直线与圆相切;直线与圆没有交点，直线与圆相离。
9、中，A(x1，y1)、B(x2，y2)。
10、圆的切线判定。
(1)d=r时，直线是圆的切线。
切点不明确：画垂直，证半径。
(2)经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线。
人教版九年级数学上册知识点整理完整版一、代数与函数1.代数简介①常数：数值不变的量。
②变量：数量可能改变的量。
③代数式：由数、字母、加减乘除号、括号等符号组成的式子。
④同类项：指含有相同字母并且指数相同的项。
⑤合并同类项：指将同类项合并成一个项。
⑥因式分解：将代数式表示成幂或较简单的代数式，叫做因式分解。
⑦方程式&方程：一个代数式与另一个代数式在等号两边，称为方程式，且方程式构成了等式。
2.一次函数①函数：将自变量的某个取值代入函数中得到唯一的因变量的值，称为函数。
②自变量：输入的值③函数表达式：用代数式表示函数的式子称为函数表达式④一次函数：函数表达式中，最高次项是一次幂的函数叫一次函数，也叫线性函数。
⑤斜率：函数： y = kx + b ，函数图象的斜率 k，即为直线的斜率。
3.二次函数①二次函数：函数表达式中，最高次项是二次幂的函数，叫做二次函数。
②二次函数的一般式：f(x) = ax² + bx + c（a≠0）③二次函数的顶点：二次函数图象的转折点，称为顶点。
④二次函数的对称轴：图象关于 x = -b/ 2a 对称的直线，称为二次函数的对称轴。
⑤二次函数的最小值/最大值：二次函数）的顶点纵坐标所对应的函数值，是二次函数的最小值或最大值。
4.函数的研究①函数图象的基本性质：函数的零点、函数值的正负、单调性、奇偶性、周期性、对称性、渐近线等。
②函数的零点：函数 f(x) = 0 的解叫做函数的零点。
即 f(x) = 0 时 x 的解。
③函数类型：函数分类标准通常有函数的定义域和值域、图象、函数表达式等。
二、图形的认识1.图形的一些概念①线段：由两个端点所组成的线段,叫做线段。
②射线：在一个端点处向一个方向上延伸的线段,叫做射线。
③直线：没有端点,在一个方向上延伸的线段,称为直线。
④平行线：永远不会相交的两条直线叫做平行线。
⑤垂直平分线：在一条直线上，垂直于该线段、且等分该线段的线，称为垂直平分线。
新人教版九年级上册数学知识点归纳第二十一章一元二次方程2１．1 一元二次方程在一个等式中，只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程有四个特点：(１)只含有一个未知数;(2)且未知数次数最高次数是2;(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,若是，再对它进行整理.如果能整理为 ax２＋bx+c=0(a≠０）的形式,则这个方程就为一元二次方程． (4）将方程化为一般形式：ax2+bx＋c=0时,应满足（ａ≠0)21.2 降次——解一元二次方程解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。
一元二次方程有四种解法:1、直接开平方法：用直接开平方法解形如(ｘ-m)2=n (ｎ≥０)的方程,其解为ｘ=± m.直接开平方法就是平方的逆运算．通常用根号表示其运算结果．2、配方法通过配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的根的方法。
这种解一元二次方程的方法称为配方法，配方的依据是完全平方公式。
１.转化: 将此一元二次方程化为aｘ＾2+bx+c=0的形式(即一元二次方程的一般形式）２.系数化1: 将二次项系数化为13.移项: 将常数项移到等号右侧4.配方：等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方5.变形：将等号左边的代数式写成完全平方形式6．开方: 左右同时开平方7.求解：整理即可得到原方程的根３、公式法公式法：把一元二次方程化成一般形式,然后计算判别式△=ｂ２-４ac的值，当b2－4ac≥0时,把各项系数a, b， c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。
因式分解法:把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。
这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
21.3 实际问题与一元二次方程列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展从列方程解应用题的方法来讲,列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的，由于一元一次方程未知数是一次,因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决．如果未知数出现二次，用算术方法就很困难了,正由于未知数是二次的，所以可以用一元二次方程解决有关面积问题,经过两次增长的平均增长率问题，数学问题中涉及积的一些问题,经营决策问题等等．第二十二章 二次函数22．１二次函数及其图像二次函数(ｑuadrat ｉc fun ｃt ｉｏn)是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。
二次函数可以表示为y=ax２+ｂx+c(a 不为０)。
其图像是一条主轴平行于ｙ轴的抛物线。
一般的,自变量x 和因变量y 之间存在如下关系：一般式 ｙ=ａx ２+b ｘ+c （ａ≠0,a、b 、c 为常数），顶点坐标为（-b/2a,(b2-４ａc)/4a ） ；顶点式ｙ=ａ（x-h)2+k(ａ≠0，a 、h 、k 为常数)或ｙ=a(x-ｈ）２+ｋ（ａ≠0,a、h 、ｋ为常数)，顶点坐标为（h ，ｋ)对称轴为x=h,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ａｘ２的图像相同,有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式； 交点式y ＝a(ｘ-x １)(x-x 2) [仅限于与ｘ轴有交点A(x 1，０)和 B （ｘ2,0)的抛物线］ ;重要概念：a ，ｂ,c 为常数，a≠0，且a 决定函数的开口方向,a ＞0时,开口方向向上，a<0时,开口方向向下。
ａ的绝对值还可以决定开口大小,a 的绝对值越大开口就越小,a 的绝对值越小开口就越大。
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x 2的平方的图像， 可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。
不同的二次函数图像如果所画图形准确无误,那么二次函数将是由一般式平移得到的。
轴对称１.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x = －b/2ａ。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P 。
特别地,当b=０时，抛物线的对称轴是ｙ轴（即直线x=0) 顶点２．抛物线有一个顶点P ，坐标为P ( -b ／２a ,４ac-ｂ2）／４a )当-b/2a=0时,P 在y 轴上;当Δ= b 2-４ac ＝0时,P 在ｘ轴上。
开口3．二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时，抛物线向上开口;当a<０时,抛物线向下开口。
|ａ|越大,则抛物线的开口越小。
决定对称轴位置的因素４.一次项系数ｂ和二次项系数ａ共同决定对称轴的位置。
xy当a 与ｂ同号时（即ａb ＞0），对称轴在y 轴左; 因为若对称轴在左边则对称轴小于0,也就是－ ｂ/2ａ<0,所以b/2ａ要大于0,所以ａ、ｂ要同号当a 与b 异号时(即ab<0），对称轴在y 轴右。
因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/２a>0, 所以b/2a 要小于0,所以ａ、b 要异号可简单记忆为左同右异，即当a 与b 同号时(即ａｂ>0),对称轴在y 轴左；当a 与ｂ异号时 即ab ＜ 0 ),对称轴在y 轴右。
事实上,b 有其自身的几何意义：抛物线与y 轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式（一次函数）的 斜率k 的值。
可通过对二次函数求导得到。
决定抛物线与y 轴交点的因素 5.常数项c 决定抛物线与y 轴交点。
抛物线与y 轴交于（0，c ） 抛物线与x 轴交点个数 ６．抛物线与x 轴交点个数Δ= b ２-4a ｃ>0时,抛物线与x 轴有２个交点。
Δ= b 2-4a ｃ=０时，抛物线与x 轴有1个交点。
Δ= ｂ2-4ａc ＜0时，抛物线与ｘ轴没有交点。
当a>0时，函数在x= -b ／2a 处取得最小值,当a<０时,函数在x= -b/２ａ处取得最大值 当b=0时,抛物线的对称轴是y 轴, 7．特殊值的形式①当ｘ=１时 y ＝a ＋b+c ②当ｘ=-1时 y=ａ－b+c ③当x ＝2时 ｙ=4a ＋2b+ｃ ④当ｘ=－2时 ｙ=4ａ-2b ＋c用函数观点看一元二次方程１． 如果抛物线y ax bx c =++2与ｘ轴有公共点，公共点的横坐标是x 0,那么当x x =0时，函数的值是0，因此x x =0就是方程ax bx c 20++=的一个根。
2. 二次函数的图象与x 轴的位置关系有三种：没有公共点,有一个公共点,有两个公共点。
这对应着一元二次方程根的三种情况:没有实数根,有两个相等的实数根,有两个不等的实数根。
实际问题与二次函数在日常生活、生产和科研中,求使材料最省、时间最少、效率最高等问题，有些可归结为求二次函数的最大值或最小值。
第二十三章 旋转２３.１ 图形的旋转1. 图形的旋转（1）定义:在平面内，将一个圆形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转动一个角度,这样的图形运动叫做旋转,这个定点叫做旋转中心,转动的角称为旋转角。
(2）生活中的旋转现象大致有两大类：一类是物体的旋转运动，如时钟的时针、分针、秒针的转动，风车的转动等；另一类则是由某一基本图形通过旋转而形成的图案，如香港特别行政区区旗上的紫荆花图案。
（3）图形的旋转不改变图形的大小和形状,旋转是由旋转中心和旋转角所决定，旋转中心可以在图形上也可以在图形外。
(４）会找对应点,对应线段和对应角。
２. 旋转的基本特征：(1)图形在旋转时，图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。
（2)图形在旋转时，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等,对应角相等;(3)图形在旋转时，图形的大小和形状都没有发生改变。
３．几点说明：（１）在理解旋转特征时,首先要对照图形，找出旋转中心、旋转方向、对应点、旋转角。
(2)旋转的角度是对应线段的夹角或对应顶点与旋转中心连线的夹角。
(3）旋转中心的确定分两种情况，即在图形上或在图形外，若在图形上，哪一点旋转过程中位置没有改变，哪一点就是旋转中心;若在图形外，对应点连线的垂直平分线的交点就是旋转中心。
23.2 中心对称中心对称:把一个图形绕着某一点旋转１８0°,假如它能够与另一个图形重合,那么这刘遇图形关于这个点对称或中心对称。
中心对称的性质：①关于中心对称的刘遇图形,对应点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分。
②关于中心对称的刘遇图形是全等形。
中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形。
对称点的坐标规律:①关于x轴对称:横坐标不变，纵坐标互为相反数,②关于y轴对称：横坐标互为相反数,纵坐标不变，③关于原点对称:横坐标、纵坐标都互为相反数。
２3.3 课题学习图案设计灵活运用平移、旋转、轴对称等变换进行图案设计．图案设计就是通过图形变换（平移、旋转、轴对称或几种的组合）把基本图形组成具有一定意义的新图形,图案设计时不仅要看是否正确使用了图形变换，还要看图案是否很好的体现了设计意图．第二十四章圆24.1 圆定义：(1）平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
(2)平面上一条线段，绕它的一端旋转36０°，留下的轨迹叫圆。
圆心:（1)如定义（１)中,该定点为圆心(2)如定义（2）中,绕的那一端的端点为圆心。
(3）圆任意两条对称轴的交点为圆心。
（4) 垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。
注:圆心一般用字母O表示直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。
直径一般用字母d表示。
半径：连接圆心和圆上任意一点的线段,叫做圆的半径。
半径一般用字母r表示。
圆的直径和半径都有无数条。
圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。
在同圆或等圆中:直径是半径的2倍，半径是直径的二分之一．d=2r或r=二分之d。
圆的半径或直径决定圆的大小,圆心决定圆的位置。
圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长,用字母C表示。
圆的周长与直径的比值叫做圆周率。
圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率,它是一个无限不循环小数（无理数)，用字母π表示。
计算时，通常取它的近似值,π≈3．１4。
直径所对的圆周角是直角。
90°的圆周角所对的弦是直径。
圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。
πr＾２，用字母Ｓ表示。
一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等,所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弦相等,那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。
周长计算公式1.、已知直径:Ｃ=πd 2、已知半径：C=２πr 3、已知周长：D=c\π４、圆周长的一半:１＼2周长(曲线) 5、半圆的长：１\2周长＋直径面积计算公式:1、已知半径：S＝πr平方２、已知直径:Ｓ=π(d\２)平方 3、已知周长：S=π(c＼２π)平方24.２点、直线、圆和圆的位置关系１．点和圆的位置关系①点在圆内⇔点到圆心的距离小于半径②点在圆上⇔点到圆心的距离等于半径③点在圆外⇔点到圆心的距离大于半径2. 过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆。
